DOĞRUSAL
ZAMAN SERİSİ
MODELLERİ
Durağan ARIMA Modelleri:
Hareketli Ortalama Modelleri
MA(q) Süreci
Hareketli Ortalama Süreci:MA(q)
Hareketli Ortalama sürecini yapısını ortaya koymak
için önce hisse senedi fiyatının yapısını inceleyelim.
Herhangi bir hisse senedinin fiyatına ait zaman dizisinin:
• Ortalaması sıfırdır,
•Sabit varyansla dağılmaktadır,
•Gözlemler arasında korelasyon yoktur.
03.04.2014
2
Hareketli Ortalama Süreci:MA(q)
Herhangi bir t günündeki hisse senedinin fiyatı Pt ise
fiyattaki değişme aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Yt = Pt-Pt-1 = et
t=1,2,..,T
et bilinen özelliklere sahip rassal değişkendir.
et’nin modelde yer almasının nedenleri :
•Şirketin finansmanı hakkındaki yeni bilgilerin öğrenilmesi,
•Ürün satışındaki ani yükseliş ve düşüşler,
•Yeni rakipler nedeniyle şirketin durumundaki risk,
•Teknolojik gelişmeler ve bunlara şirketin verdiği tepki,
•Yönetim kademesinde meydana gelen olumsuzluklar,
• vd.
03.04.2014
3
Hareketli Ortalama Süreci:MA(q)
Herhangi bir t günündeki hisse senedinin fiyatı Pt ise
fiyattaki değişme aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
Yt+1 = et+1 + et
et+1 : t+1 gününün etkisi
et : t gününün etkisi
Hareketli Ortalama Süreci
Hareketli Ortalama Süreci, Yt+1 ekonomik değişkeninin
cari ve geçmiş rassal bir kalıntının ağırlıklı
ortalamasıdır.
03.04.2014
4
Hareketli Ortalama Süreci:MA(q)
Genel MA(q) süreci için istatistiki model:
Yt =  + et + 1et-1 + 2et-2 + …..+ qet-q
et ~ IID (0,s2)
i bilinmeyen parametreler
 sabit parametre
03.04.2014
5
Hareketli Ortalama Süreci:MA(q)
MA(q) sürecinin ortalaması:
E(Yt)= 
MA(q) sürecinin varyansı:
Var(Yt)= 0
=E[(Yt - )2]
 E e2t  12 e2t 1  ....  q2 e2t q  212 et 1et 2  ...
 s e2  12s e2  ......  q2s e2
 s e2 (1  12  ....  q2 )
03.04.2014
6
MA(1) Sürecinin Ortalaması ve Varyansı
Birinci dereceden hareketli ortalama süreci:
Yt =  + et + 1et-1
Sürecin Ortalaması:
E(Yt)= 
Sürecin Varyansı:
Var(Yt)= E[(Yt - )2]
2
2
s
(1

θ
0 = e
1)
03.04.2014
7
MA(1) Sürecinin Kovaryansı
Cov(Yt, Yt-1) = E[(Yt - )(Yt-1 - )]
= E[(et + 1et-1)(et-1 + 1et-2)]
2
1 = 1s e
Cov(Yt, Yt-2) = E[(Yt - )(Yt-2 - )]
= E[(et + 1et-1)(et-2 + 1et-3)]
2 = 0
Cov(Yt, Yt-k) = E[(Yt - )(Yt-k - )]
= E[(et + 1et-1)(et-k + 1et-k)]
k = 0
03.04.2014
8
MA(1) Sürecinin Kovaryansı
k=1 için kovaryans hesaplanabilmektedir.
k>1 için kovaryanslar sıfırdır.
Bu durumda MA(1) süreci yalnızca bir dönemlik belleğe
sahiptir.
Yt değeri, Yt-1 ve Yt+1 dönemleri ile korelasyonludur.
03.04.2014
9
MA(1) Sürecinin Otokorelasyon Fonksiyonu
k
k 
0
 θ1

 1+θ12
 0

k=1
k >1
03.04.2014
10
MA(1) Sürecinin Tersine Çevrilmesi
Aşağıda verilen AR(1) süreci
Yt=  + 1Yt-1 + et
Aşağıdaki gibi tersine çevrilebilir.
Yt = et  12 et 1  12 et  2  13et 3  ...
Böylece sınırsız dereceli bir MA süreci elde edilir.
03.04.2014
11
MA(1) Sürecinin Tersine Çevrilmesi
MA(1) süreci Yt, Yt-1, ...’de sınırsız bir seri olarak et’de tersine
çevrilebilir:
et =
Yt  1Yt 1   Yt 2  ......
2
1
Gerekli düzenlemelerden sonra yukarıdaki ifade:
Yt  1Yt 1  12 Yt  2  ...  et
Bu son ifade AR() sürecini tanımlar.
Kısmi otokorelasyonlar kesilmez fakat sıfıra doğru sönerler.
Diğer taraftan otokorelasyonlar birinci gecikmeden sonra sıfır
olur.
03.04.2014
12
MA(1) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
ortalama
modelinde
kısmi
otokorelasyon değerleri gecikme sayısı
arttıkça
üstel
olarak
yavaş
yavaş
azalmaktadır.
Ancak
otokorelasyon
değerlerinde bu azalma bir anda olmaktadır.
Örneğin, MA(1) modelinde ilk gecikmeden
sonra otokorelasyon değerleri 0 değerini
almaktadır.
 Hareketli
03.04.2014
13
MA(1) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
14
03.04.2014
15
03.04.2014
16
MA(2) Sürecinin Ortalaması ve Varyansı
İkinci dereceden hareketli ortalama süreci:
Yt =  + et + 1et-1 + 2et-2
Sürecin Ortalaması:
E(Yt)= 
Sürecin Varyansı:
Var(Yt)= s e2 (1  12  22 )
= 0
03.04.2014
17
MA(2) Sürecinin Kovaryansı
Cov(Yt, Yt-1) = E[(et + 1et-1 + 2et-2 )(et-1 + 1et-2 + 2et-3 )]
 1s e2  1 2s e2
1 =
s e2 (1  1 2 )
Cov(Yt, Yt-2) = E[(et + 1et-1 + 2et-2 )(et-2 + 1et-3 + 2et-4 )]
2
2 =  2s e
Cov(Yt, Yt-3) = E[(et + 1et-1 + 2et-2 )(et-3 + 1et-4 + 2et-5 )]
3 = 0
Cov(Yt, Yt-k) = k = 0
03.04.2014
18
MA(2) Sürecinin Kovaryansı
k=1ve k=2 için kovaryans hesaplanabilmektedir.
k>2 için kovaryanslar sıfırdır.
Bu durumda MA(2) süreci yalnızca iki dönemlik belleğe
sahiptir.
03.04.2014
19
MA(2) Sürecinin Otokorelasyon Fonsiyonu
1 
2
1  12   22
1 (1   2 )
1  12   22
2 
k>2
k = 0
1 + 2 < 1
2 - 1 < 1
|2| < 1
03.04.2014
20
MA(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
MA(2) modelinde otokorelasyon fonksiyonu
grafiğinde ilk iki gecikmeye ait ilişki önemli
olmaktadır. Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun
gecikme sayısı arttıkça yavaş bir şekilde azaldığı
görülür.
03.04.2014
21
MA(2) Modeli ACF ve PACF Grafikleri
22
03.04.2014
23
03.04.2014
24
03.04.2014
25
03.04.2014
26
MA(q) Sürecinin Özellikleri
Yt =  + et + 1et-1 + 2et-2 +…..+ qet-q
0 = (1  12  22  ...  q2 )s e2
i = E[(et + 1et-1 + 2et-2 + ….+qet-q)
(et-k + 1et-k + 2et-k-2 + ….+qet-k-q)]
 E k e2t k  k 11e2t k 1  k  22 et2k 2  ....qq k et2q k 

 θ k  θ k+1θ1  θ k+2θ 2 
γi  
0


 θ q θ q-i  s e 2
k  1, 2,
,q
kq
03.04.2014
27
MA(q) Sürecinin Özellikleri
0 = (1  12  22 )s e2
1 = (1   2 1 )s
2
e
2
(

)
s
0 =
2
e
3 = 4 = …. =0
03.04.2014
 k   k 11   k  2 2  ...   q q  k

1  12   22  ... q2
k  

0

k = 1,2,…,q
k>q
28
MA(q) Sürecinin Tahmini
T
T
2

(Y

q
e
)
S(1) =  e
 t 1 t 1
t 1
2
t
t 1
Yt = et + 1et-1
e1 = Y1 - e0
2
e2 = Y2 - e1 =Y2 - Y1 + e0
2
3
e3 = Y3 - e2 =Y3 - Y2 +  Y1-  e0
……
……
2
T-1
T
eT = YT - eT-1 =YT - YT-1 +  YT-2 +…  Y1 -  e0
03.04.2014
29
MA(q) Sürecinin Tahmini
T
S(1) =
e
t 1
2
t
et = Yt - et-1
L θ  
t=1,2,…,T
1T
 1  θ 2T+2 

 Sθ 
2
1-θ


03.04.2014
30
03.04.2014
31
03.04.2014
32
Download

27-30 mart 2015 iddaa oyun programı