URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Düşük İşaret Gürültü Oranı ve Düşük Gözlem Sayılarında Önbilgisiz
Sezimleme Probleminde Uydurulmuş Olasılık Dağılım Modeli Yöntemi
Süleyman Gökhun Tanyer
Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü, Mühendislik Fakültesi, Başkent Üniversitesi, Ankara
[email protected], [email protected]
Özet: Sezimleme sistemlerinde olasılık dağılımları önbilgisi ile işaret gürültü oranı (İGO)’nın yüksek olması
halinde oldukça yüksek başarı elde edilebilmektedir. Ancak, dağılımlar hakkında yeterli önbilginin ve yeterli
gözlem sayısının bulunmadığında sıkıntı yaşanabilmektedir. Kuramsal dağılım ve yoğunluk fonksiyonları düşük
sayılı gözlem örnekleri üzerinde geçerli olmamaktadır. Bu çalışmada, düşük gözlem imkanı ve düşük sinyal
gürültü oranının bulunduğu önbilgisiz koşullara yönelik Uydurulmuş (ampirik) Olasılık Dağılım Modeli
(UODM) yöntemi önerilmektedir. Sınır değer bulma yönteminin başarımı en sade haliyle sorgulanmış ve düşük
sinyal gürültü oranlarında, uydurulmuş (ampirik) olasılık dağılım fonksiyonları hesaplanmıştır. İGO’nun çok
düşük olduğunda 20 kadar az sayılı gözlem örnekleri incelenmiş ve başarılı sonuçlar elde edilmiştir.
Abstract: Utilization of apriori information for detection systems is helpful to increase the probability of
detection, especially when signal has a larger signal to noise ratio. For practical problems the theoretical
distributions are often not accurate and observation samples are insufficient. In this study, the detection problem
for the case where there is neither apriori information nor sufficient observation samples is studied. Very
promising results are obtained on normally distributed signals with signal to noise ratios as low as 1 dB.
1. Giriş
Gözleme dayalı karar destek uygulamaları, bir çok bilim dalında yer alan temel problemlerdendir. Belirsizliğin
bulunduğu koşullar altında, hangi olayın olmuş olabileceğini, gözlem sonuçları ile –eğer mevcut ise– geçmiş
bilgilere dayalı olarak tahmin yürütmek istatistiksel bir problemdir. Gözlem sırasında elde edilen verilerin hata
içermesi ve gerçekleşen olayın bilinmiyor olmasından dolayı, herhangi bir yöntem kullanılarak verilecek karar
mutlaka hata içerecektir. Bu tür problemlere yönelik çalışmaların hedefi, engellenemeyen bu hata miktarını
mümkün olduğu kadar düşürebilmektir. Örneğin, bir tıbbi görüntüleme sisteminden elde edilmiş bir kişiye ait
görüntünün incelenmesi ile tümor bulunup bulunmadığına karar verilmesi veya bir radar sisteminden 500 km.
uzaklıktaki bir bölgeden elde edilmiş radyo frekanslı yankı işaretinden faydalanılarak hedefin bulunup
bulunmadığına karar verilmesi oldukça benzer problemlerdir. Bu konuda oldukça geniş uygulama alanları
bulunmakta ve oldukça uzun zamandır çalışılmaktadır [1]. İzleyen başlıklar altında, hedef kestirim probleminin
en sade halinin başarımı özetlenmekte ve bu çalışmada önerilen Uydurulmuş Olasılık Dağılım Modeli (UODM)
yönteminin önbilgisiz ve düşük işaret gürültü oranı (İGO) değerlerindeki başarımı gösterilmektedir.
2. Önbilgili sezimleme olasılıkları
Bu çalışmada incelenen problemin başarımının gösteriminde, radarlarda hedefin uzaklığının belirlenmesi
problemi en sade haliyle örnek olarak seçilmiştir. Hedefin radara uzaklığının veya hızının belirlenmesi gibi,
radarlardan çok farklı uygulamalarda da benzeri yaklaşım örnek olarak seçilebilir. Radar tarafından yapılan
gözlem sonucunda, belirli bir yön ve uzaklıkta tanımlı ‘kapı’ içerisinde hedefin bulunup bulunmadığının
mümkün olan en kısa zamanda (en düşük gözlem sayısı ile) tespit edilebilmesi gerekmektedir. Zira, erken ihbar
radarları gibi geniş bir bölgeden sorumlu radar sistemleri veya atış kontrol radarlarındaki hedef izleme çalışma
modundaki gibi yüksek hız ve ivmeli hedeflere yönelik uygulamalarda, güvenilir ve zaman etkin yöntemlerin
kullanılmasına ihtiyaç duyulmaktadır. Radarın gözlemlediği tek bir noktada (mesafe kapısında)
gerçekleşebilecek aşağıdaki dört olasılık bulunmaktadır. Hedefin bulunup bulunmadığı (Var/Yok) durumuna
bağlı olarak tanımlanabilecek bu olasılıklar sırası ile olasılık dağılım fonksiyonları (ODF),
,
, veya bu fonksiyonların entegralleri ile ifade edilebilen olasılık yoğunluk fonksiyonları (OYF),
,
cinsinden Tablo I’de verilmektedir. Burada
, her bir
gözlem örneğinin
karşılaştırılmasında esas alınan sınır değeridir. Listelenen olasılık değerlerinin doğru şekilde gözlenebilmesi için,
kuramsal olasılık yoğunluk fonksiyonlarının kesin olarak bilinmesi ve gözlem yapılan örnek sayısının ise
sonsuza yakınsaması gerekmektedir, oysa pratik sınırlamalardan dolayı mümkün olamamaktadır.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
TABLO I. Hedef Tespitinde Olasılıklar
GÖZLEM KARARI
HEDEF VAR (
V
A
R
Doğru tespit:
Y
O
K
Kaçırma:
HEDEF YOK (
∫
∫
Hatalı tespit:
∫
∫
İşlem yok:
(a)
(b)
(c)
(c)
(g)
(d)
Şekil 1 (a). Gözlenen örneklere ilişkin Uydurulmuş Olasılık Dağılım Fonksiyonları, UODF (
)
olan normal dağılımlar kabul edilmiştir), (Sol)
, (Sağ)
, N =; (o) 10, (:) 100, (--)
1,000, (-.) 10,000, (-) 100, 000, (b – d) Gözlenen hedef tespit olasılıkları, (varyansları 1 olan normal
dağılımlar kabul edilmiştir) N =; (b) 10, (c) 100, (d) 1,000, (e) 10,0000, (f) 100,000, (g) 1,000,000, koşu
sayısı = 1,000,
, yer olmadığından (d – f ) grafikleri bildiriden çıkarılmıştır.
2. Uydurulmuş (Ampirik) Olasılık Dağılım Modeli Yöntemi
Olasılık dağılımlarının kesin olarak bilinmediği ve gözlem sayılarının düşük olduğu sıradan koşullar altında,
düşük sayılı gözlem örneklerinde de geçerli olan istatistiksel araçlara ihtiyaç duyulmaktadır. İncelenen olasılıklar
(Tablo I), yakın dönemde işaret işlemede benzetim uygulamalarında kullanılmakta olan N-örnekli uydurulmuş
(ampirik) olasılık dağılım fonksiyonu (UODF) kullanılarak hesaplanabilmektedir. Ses işleme uygulamalarında
başarılı sonuçlar elde edilmesi sağlanmıştır [2]. N örnekten oluşan bir sıralı gözlem kümesinde,

ve
1 ≤ p < r ≤ N için UODF aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır [3].
{
 
(  
)
(1)

Burada xn, X rasgele değişkenine ait örnek değerleri, n sıra numarası, N toplam örnek sayısı (uzunluğu) ve
X   ifadesini göstermektedir. Örnek sayısının artması ile UODF’nin kuramsal dağılım fonksiyonuna
yakınsadığı Şekil 1 (a)’da görülmektedir. UODF fonksiyonu benzeri şekilde hedef tespit olasılığının işaret
gürültü oranı (İGO)’na göre değişimi Şekil 1 (b–g)’de incelenmektedir. Düşük sayılı gözlem örnekleri
kullanılarak UODF hesaplanabilmekle birlikte, her yeni gözlem kümesinde beklendiği gibi farklı sonuçların elde
edildiği görülmektedir. Bu yüzden, UODF kullanılarak hesaplanan Tablo I’deki olasılıklar da benzeri şekilde
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
(a)
(b)
Şekil 2. (a) Olasılık dağılım fonksiyonu (ODF), (-) ODF, (--) birinci ve (-.) ikinci türevi, (b) Gözlenen olasılık
dağılım fonksiyonunun ve türevlerinin üçüncü dereceli polinom ile modellemesi,
, koşu sayısı = 50.
PD
PE
PD
PE
PH
(a)
PH
(d)
Şekil 3. UODM yönteminin başarım sonuçları; koşu sayısı = 10,000, (a) N = 20, (b) N = 100, Olasılıklar; (-) PD:
Doğru tespit, (--) PK: Kaçırma, (-.) PE: Yöntemin hata bildirmesi  gözlem sonuçlarının çöpe atılması ve tekrar.
her gözlemde (koşuda) farklı olacaktır. Örnek olarak seçilen hedef tespit olasılığına ilişkin UODF’nin çoklu koşu
birleştirilmiş sonuçları Şekil 1 (c–g)’de gösterilmektedir. Gözlenmiş örnek sayısının düşük olması halinde, kabul
edilen kuramsal dağılımdan oldukça farklı sonuçların elde edilmesinin yüksek olasılığa sahip olduğu
görülmektedir. Yapılan gözlem sayısının azalması halinde, hedef tespit probleminin oldukça güçleşmekte
olduğu Şekil 1 (b)’de açıkça görülmektedir. Arama radarının hareketli bir platformda konuşlu olması ve
elektronik aldatma ve karıştırma (Elektronik Taarruz – ET) işaretlerine maruz kalması gibi örneklerlerde, bahse
konu sıkıntılar sıradan çalışma şartlarını belirleyebilmektedir.
Uydurulmuş Olasılık Dağılım Fonksiyonu (UODF)’nun kendisi ile türevleri Şekil 2 (a)’da
gösterilmektedir. Farklı ortalama değerinin değişmesi ile birlikte UODF’nin ikinci türevinin aniden işaret
değiştirmekte olduğu Şekil 2 (b)’de gözlenmektedir. Farklı koşullar altında, işaret gürültü oranı (İGO)
değerlerine bağlı olarak, uydurulmuş dağılım modeli (UODM) yöntemi kullanılarak hesaplanan hedef tespit,
hedefin kaçırılması ve yöntemin hata vermesi olasılıkları Şekil 3’te verilmiştir. Dağılım ile ilgili önbilgi
bulunmadan, 20 gözlenen örnek ile yeni 20 örneğin UODF’leri karşılaştırıldığında, 1 dB gibi düşük İGO
değerinde hedef tespit olasılığının yaklaşık %50 olduğu gözlenmektedir. Örnek sayısı 100’e çıktığında, aynı
olasılık için İGO 0.45 dB değerine kadar düşebilmektedir. Ayrıca, İGO 3 dB için hedef tespit olasılığı bire çok
yaklaşmaktadır. Uydurulmuş olasılık dağılım yöntemi (UODY)’nin yaklaşımı dikkate alındığında, iki tarafı
sıfıra uzanan kuyruklu ve tek tepe değerine sahip tüm diğer olasılık dağılımları için de geçerli olacağı tahmin
edilmekle birlikte, henüz denenmemiştir.
Kaynaklar
[1] A. Yıldırım, ‘Experimental analysis of various estimators for target range estimation in high resolution
radars’, IET Signal Process., 2011, Vol. 5, Iss. 7, pp.680 – 689, doi: 10.1049/iet-spr.2010.0098.
[2] S. G. Tanyer, H. Özer, ‘Voice activity detection in nonstationary noise’, IEEE Trans. Speech and Audio
Process., Vol. 8, No. 4, 2000, pp. 478 – 482.
[3] S. G. Tanyer, ‘Sonlu veri kümeleri için olasılık dağılım fonksiyonu’, 20. IEEE Sinyal İşleme ve İletişim
Uygulamaları Kurultayı, 18-20 Nisan, 2012.
Download