BÖLÜM 4

4- KOMPLEKS (KARMAŞIK) SAYILAR
4-1 KARMAŞIK SAYILAR VE ÖZELLİKLERİ
ax2 + bx +c=0 ikinci derece denkleminin ∆<0 iken reel köklerinin olmadığını biliyoruz.
Örneğin x2+1=0 denkleminin reel sayılar kümesinde çözümü yoktur. Çünkü
(x2+1=0⇒ x2=-1) karesi –1 olan sayılar yoktur. Şimdi bu türden denklemlerin
çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme
tanımlayacağız.
Tanım
a ve b birer reel sayı ve i = − 1 olmak üzere, Z=a+ib şeklinde ifade edilen z
sayısına kompleks(karmaşık) sayı denir. Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
C={z ‌ z = a + ib; a,b ∈IR ve i = − 1 } dir
Z=a + ib karmaşık sayısında a‘ya karmaşık sayının reel (gerçek) kısmı, b’ye de
karmaşık sayının imajiner(sanal) kısmı denir. Ve sırasıyla Re(z)=a, İm(z)=b
şeklinde gösterilir.
Örnek
Aşağıdaki karmaşık sayıların reel ve sanal kısımlarını belirleyiniz?
a) Z1=2+3i⇒Re(Z1)=2, İm(Z1) =3
b) Z2 = 3 − i ⇒ Re(Z2 ) = 3 , İm(Z2 ) = −1
c) Z3=5 ⇒ Re(Z3)=5, İm(Z3) =0
d) Z4=-4i ⇒ Re(Z4)=0 , İm(Z4) =-4 dir
Örnek
x2-4x+13=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
Çözüm
∆ = b2 – 4ac = (-4)2-4.(1).13 = -36 =36.(-1)= 36i2
X 1, 2 =
− b µ ∆ − (−4) µ 36i 2 4 µ 6i
=
=
2a
2.1
2
X1=2+3i ,X2=2-3i olup Ç.K={2+3i,2-3i}
Bulunur.
114
MATEMATİK-I
4-2 İ ’NİN TAMSAYI OLAN KUVVETLERİ
i0 = 1 , i1 =i , i2 = -1 , i3 = -i , i4 = 1 , i5 = i , ...
Görüldüğü gibi , i’nin tamsayı olan kuvvetleri 1,i,-1,-i değerlerinden yalnızca birine
eşittir. Buna göre n∈IN olmak üzere
i4n=1 , i4n+1=i , i4n+2= -1 , i4n+3= -1 şeklindedir.
Örnek
Aşağıdakileri hesaplayınız?
a) i48 = (i4)12 = 112 = 1
b) i49 = (i4)12.i = 1.i = i
c) i50 = (i4)12.İ2 = 1.(-1) = -1
d) i51 = (i4)12.i3 = 1.(-i) = -i dir.
4-3 KARMAŞIK SAYILARIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ
Sayı ekseni, karmaşık sayıları ifade etmeye uygun değildir. Bu yüzden iki boyutlu
Analitik düzlemde, X- ekseninin reel eksen, Y- ekseninin sanal eksen alınmasıyla
oluşturulan düzleme Karmaşık Düzlem denir.
Z=a+ib karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktası, vektör
uzayındaki görüntüsü ise M=(a,b) olmak üzere OM Vektörüdür.
Örnek
Aşağıdaki karmaşık sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz?
Z1=3+2i
Z2= -2-i
Z3=1-i
Z4=3i
Z5= -4
115
MATEMATİK-I
Tanım
Karmaşık düzlemde, bir karmaşık
sayıya karşılık gelen noktanın orjine
olan uzaklığına bu karmaşık sayının
modülü
(mutlak
değeri)
denir.
Ve Z şeklinde gösterilir.
Z=a+ib ise
Z = a 2 + b 2 dir.
Örnek
Aşağıdaki karmaşık sayıların modülünü bulunuz?
a) Z 1 = 1 + 3i ⇒ Z 1 = 12 + 3 2 = 2
b) Z 2 = −3 + 4i ⇒ Z 2 = (−3) 2 + 4 2 = 5
c) Z 3 = −3i ⇒ Z 3 = 0 2 + (−3) 2 = 3
d) Z 4 = 4 ⇒ Z 4 = 0 2 + 4 2 = 4
Tanım
Z=a+ib karmaşık sayısı için Z = a-ib karmaşık sayısına Z karmaşık sayısının
eşleniği denir,ve Z ile gösterilir.
Açıktır ki bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir, yani Z =Z dir
Örnek
Aşağıdaki karmaşık sayıların eşleniğini bulup karmaşık düzlemde gösteriniz?
Z 1 = 3 + 2i ⇒ Z 1 = 3 − 2i
Z 2 = −2 − i ⇒ Z 2 = −2 + i
Z3 =1 − i ⇒ Z 3 =1 + i
Z 4 = 3i ⇒ Z 4 = −3i
Z 5 = −4 ⇒ Z 5 = −4
116
MATEMATİK-I
4-4 KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER
1) a+ib=0 ⇔a=0 ve b=0
2) Z1=a+ib ,Z2= c+id ≠ 0 olsun
a)
Z1=Z2 ⇔a=c ve b=d
b)
Z1 + Z2= (a+c) + i(b+d)
c)
Z1 – Z2=(a-c) + i (b-d)
d)
Z1.Z2= (a+ib).(c+id)
= ac + iad + ibc +i2bd
= ac + i(ad + bc ) –bd
= (ac – bd) + i(ad+bc)
e)
Z 1 a + ib (a + ib)(c − id ) ac − iad + ibc − i 2 bd
=
=
=
Z 2 c + id (c + id )(c − id )
c2 − i2d 2
=
ac + bd + i (bc − ad ) ac + bd bc − ad
= 2
+
c2 + d 2
c + d 2 c2 + d 2
f) Z 1 − Z 2 = (a + ib) − (c + id ) = (a − c) + i (b − d ) = (a − c) 2 + (b − d ) 2 dir.
Örnek
Z1=3+4i ve Z2= 2-i ise aşağıdaki işlemleri yapınız?
a) Z1+Z2=(3+4i) + (2-i)=(3+2) + (4-1)i = 5+3i
b) Z1 – Z2= (3+4i) – (2-i) = (3-2) – (4-(-1))i = 1+5i
c) Z1.Z2= (3+4i) . (2-i) = 6- 3i – 8i – 4i2=10+5i
Z 1 3 + 4i (3 + 4i )(2 + i ) 6 + 3i + 8i + 4i 2 2 + 11i 2 11
d)
=
=
=
=
= + i
Z2
2−i
(2 − i )(2 + i )
5
5 5
22 − i 2
e) Z 1 − Z 2 = (3 + 4i ) − (2 − i ) = (3 − 2) + i (4 − (−1)) = 1 + 5i = 12 + 5 2 = 26
117
MATEMATİK-I
ALIŞTIRMALAR
1) Aşağıdaki karmaşık sayıların her birini, a+ib durumunda yazınız?
a) i3 + i12 - i7 + 2i
b) i123 + i147 + 2i - 5i16
c) 3i5 + 4i2 - 5i
d) i12.( 1 - i3) + i11( 2 + i + i5 )
2) Aşağıdaki işlemleri yapınız?
a) (2-i)(3+i)
3
d)
−i
g)
2 − 3i
1+ i
c) (2 5 − 3i )(2 5 + 3i )
b) (1-i)(2+i)i
2i
e)
1 − 2i
(1 + i )(1 − i )
h)
(2 + i )(3 + i )
f) 2.i-1 + i-3 +1
i)
(1 + i ) 21
(1 − i ) 20
3) Aşağıdaki eşitlikleri gerçekleyen Z karmaşık sayılarını bulunuz?
a) Z + 2Z=3i
b) 2( Z − Z ) = 1 + Zi
c)2Z + iZ = 3-i
d) 3Z − 3 = −2 Z + 2i
4) 2Z1 – Z2 = 3-2i ve Z1 – 2Z2=1-3i ise Im(Z1+Z2) kaçtır?
5) x4 + ax3 + bx – 1 =0 denkleminin köklerinden biri 1+i ise a+b kaçtır?
6)Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz?
a) x2 + 27 =0
b) x2 – 4x + 5 =0
c) x2 + (2i-1)x – 1 – i =0
d) x2 + (3-i)x – 2i - 2 =0
118
MATEMATİK-I
4-5 KARMAŞIK SAYILARDA KUVVET ve KÖK ALMA
Bir Karmaşık Sayının Kutupsal (Trigonometrik) Gösterimi
Z=a+ib karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki
görüntüsünün M(a,b) noktası olduğunu biliyoruz
Yandaki şekil’de OM vektörü ile x ekseni arasındaki pozitif
yönlü açını ölçümü θ olsun OKM dik üçgeninde
r = Z = a2 + b2
b
⇒ b = r. sin θ
r
a
cos θ = ⇒ a = r. cos θ
r
bağıntıları vardır. Z=a+ib olduğundan, Z=a+ib = r.cosθ+i.r.sinθ= r(cosθ+isinθ) elde
edilir.
sin θ =
Tanım
Z=a+ib karmaşık sayısının Z=r.(cosθ + isinθ) şeklinde ifade edilmesine karmaşık
sayının kutupsal(trigonometrik)gösterimi denir. Bazen bu ifade yerine
Z=r.eiθ veya Z = r.cisθ gösterimi de kullanılır.
Örnek
Z= -2 + 2i karmaşık sayısını kutupsal şeklinde yazınız?
Çözüm
r = Z = (−2) 2 + 2 2 = 2 2
b
2
2
=
=
r 2 2
2
a −2
2
cos θ = =
=−
r 2 2
2
sin θ =
ise θ= 1350 dir
o halde
Z = −2 + 2i = 2 2 (cos 135 0 + i sin 135 0 ) olur.
119
MATEMATİK-I
Karmaşık sayılardaki; çarpma,bölme,kuvvet ve kök alma işlemlerini, karmaşık
sayıların trigonometrik gösteriminden faydalanarak yapmak daha kolaydır. Şimdi bu
işlemlerin nasıl yapıldığını inceleyelim.
Teorem
Z1=r1(cosθ1 + isinθ1) ve Z2 = r2(cosθ2+isinθ2 ) (Z2≠0) şeklinde verilen iki karmaşık sayı
olsun.
a) Z1.Z2=r1.r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
b)
Z 1 r1
= [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin(θ 1 − θ 2 )] dir.
Z 2 r2
Örnek
Z1= 4( cos2400 + isin2400) ve Z2= 2(cos300+isin300) ise aşağıdakileri hesaplayınız?
a) Z1.Z2=?
Çözüm
b)
Z1
=?
Z2
a) Z1.Z2= 4.2[cos(2400+300) + isin(2400+300)] = 8(cos 2700 + isin 2700)
= 8( 0 + i(-1) )
= -8i
Z
4
b) 1 = [cos(240 0 − 30 0 ) + i sin(240 0 − 30 0 )] = 2(cos 210 0 + i sin 210 0 )
Z2 2
3 1
− i)
2 2
=− 3 −i
= 2(−
4-6 BİR KARMAŞIK SAYININ N.KUVVETİ (DEMOİVRE TEOREMİ)
n ∈ Z + ve Z = r(cosθ + i sinθ ) karmaşık sayısı verilsin
Bu durumda
Örnek
Z = 3(cos
Zn =rn (cos nθ+isin nθ) dir.
π
π
+ i sin ) ise, Z12 sayısını bulunuz?
8
8
Çözüm
Z 12 = 312 (cos 12 ⋅
π
π
3π
3π
+ i sin 12 ⋅ ) = 312 (cos
+ i sin ) = 312 (0 − i ) = −312 i dir.
8
8
2
2
120
MATEMATİK-I
Örnek
Z = 1 + 3i ise, Z10 sayısını bulunuz?
Çözüm
Önce Z = 1 + 3i sayısını trigonometrik şekilde yazalım.
3
1
, cos θ = ⇒ θ = 60 0 bulunur. O halde,
2
2
0
0
Z = 1 + Z = 1 + 3i = 2(cos 60 + i sin 60 ) olup
Z = 1 + 3i ise Z = 1 + 3 = 2 ve sin θ =
Z 10 = (1 + 3i ) 10 = 210 (cos 10 ⋅ 60 0 + i sin 10 ⋅ 60 0 )
Z10= 210(cos6000 + isin6000)
Z10=210(cos2400 + isin2400)
1
3
Z 10 = 210 (− −
i ) = 2 9 (−1 − 3i ) bulunur.
2
2
4-7 BİR KARMAŞIK SAYININ N.KUVVETTEN KÖKLERİ
Karmaşık sayılarda kuvvet alma işlemi gibi, kök alma işlemine de ihtiyaç duyulur.
DeMoivre teoremi kullanılarak bir karmaşık sayının n. Kuvvetten köklerini aşağıdaki
teorem yardımıyla bulabiliriz.
Teorem
r∈IR+,n∈Z+ olmak üzere Z=r(cos θ +isin θ ) karmaşık sayısının tam n tane farklı kökü
olup bunlar,
θ + 2kπ
θ + 2kπ
Z k = n r [cos
) + i sin(
)]ik = 0,1,2,3,....(n − 1) şeklindedir.
n
n
Örnek
Z=27 karmaşık sayısının 3.kuvvetten köklerini bulunuz?
Çözüm
Önce Z=27 karmaşık sayısını trigonometrik şekilde yazalım.
Z = 27 + 0 ⋅ i ⇒ r = 27 2 + 0 2 = 27
0
sin θ =
=0
27
27
cos θ =
=1
⇒ θ=0 dir. O halde
27
Z=27=27(cos00 + isin00) olur. Z karmaşık sayısının 3.kuvvetten köklerini bulacağımız
için,
0 0 + 2kπ
0 0 + 2kπ
3
Z k = 27 [cos(
) + i sin(
)], k = 0,1,2
3
3
O halde aranan kökler;
121
MATEMATİK-I
k=0 ise Z 0 = 3 27 (cos 0 0 + i sin 0 0 = 3(1 + 0 ⋅ i ) = 3
k=1 ise Z 1 = 3 27 (cos
2π
2π
1
3
3
3
+ i sin
) = 3(− +
i) = − +
i
3
3
2
2
2
2
Z 2 = 3 27 (cos
k=2 ise
4π
4π
1
3
3
3
+ i sin
) = 3(− −
i) = − −
i
3
3
2
2
2
2
dir.
Örnek
Z2=1+i denklemini çözünüz?
Çözüm
Z2=1+i karmaşık sayısını trigonometrik şekilde yazalım. r = 12 + 12 = 2 ,
sin θ = −
1
2
2
1
2
olup θ= 450 bulunur.
, cos θ =
=
2
2
2
=
O halde Z2=1+i karmaşık sayısını
Z 2 = 1 + i = 2[cos(45 0 + k .360 0 ) + i sin(45 0 + k .360 0 )], k ∈ Z
yazabiliriz.
Bu ifadenin 2. kuvvetten köklerini alırsak,
1
1
1
( Z k2 ) 2 = (1 + i ) 2 = ( 2 ) 2 [cos(
1
k=0 ise Z 0 = 2 4 (cos
1
k=1 ise Z 1 = 2 4 (cos
45 0 + k .360 0
45 0 + k .360 0
) + i sin(
)], k = 0,1 o halde
2
2
45 0
45 0
+ i sin
)
2
2
405 0
405 0
+ i sin
) bulunur.
2
2
122
MATEMATİK-I
ALIŞTIRMALAR
1) Aşağıdaki karmaşık sayıları kutupsal şekilde yazınız?
a) Z=1+i
b) Z= -1+i
c) Z = 1 − 3i
d) Z = − 3 − i
π
π
π
π
+ i sin ) ve Z 2 = 2(cos + i sin ) karmaşık sayıları için aşağıdaki
4
4
3
3
işlemleri yapınız?
2) Z 1 = 4(cos
a) Z1.Z2
b)
Z1
Z2
c) Z 18 .Z 23
d) (
Z 1 12
)
Z2
3) Aşağıdaki karmaşık sayılar için istenenleri bulunuz?
a) Z = 4(cos350 + isin350)
ise Z4=?
b) Z= 5(cos550 + isin550)
ise Z6=?
c) Z = 1 + 3i ise Z6=?
d) Z = 2(cos
π
π
+ i sin ) ise Z8=?
4
4
e) Z= -1 –i
ise Z10=?
4) Aşağıdaki karmaşık sayıların kareköklerini ve küp köklerini bulunuz?
π
π
+ i sin )
4
4
π
π
b) Z = 3(cos + i sin )
12
12
a) Z = 2(cos
5) z3 =8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz?
123
MATEMATİK-I
4-8 TEST (KARMAŞIK SAYILAR)
1. (1 − 2i ) ⋅ z = 4 + z eşitliğini sağlayan z karmaşık
(
)
sayısı
aşağıdakilerden
hangisidir? z , z nin eslenigidir.
A) 2 – i
B) 1 + 2i
C) 2 – 2i
D) 3 + 2i
E) 2 + 2i
CEVAP : E
(1 + i )3 + (1 − i )3
2. i = −1 olmak üzere,
2
4
E) 4
A) – 4 B) – 2 C) – 1 D) 2
işleminin sonucu kaçtır?
CEVAP : C
3.
− 1 = i olmak üzere, − 2 ⋅ − 18 + 3 − 8 işleminin sonucu kaçtır?
A) – 2 + 6i
B) 2 – 6i
C) – 4
D) – 6
E) – 8
CEVAP : E
4. a, b birer reel sayı olmak üzere, x 2 + ax + b = 0 denkleminin köklerinden biri 1 – 2i
olduğuna göre, a·b kaçtır?
A) – 12 B) – 10 C) – 8 D) – 6 E) – 3
CEVAP : B
π
π

5. z =  cos + i ⋅ sin  karmaşık sayısı veriliyor. Buna göre, z7sayısı aşağıdakilerden
3
3

hangisidir?
1
3
+
i
2 2
D) 1 + 3i
A)
1
3
−
i
2 2
E) 1 + i
C) 1 − 3i
B)
CEVAP : A
(
)
6. z = 16 cos 80 0 + i ⋅ sin 80 0 karmaşık sayısının kareköklerinden biri aşağıdakilerden
hangisidir?
(
)
B) 4 cos 50 0 + i ⋅ sin 50 0
(
)
D) 4 cos 40 0 + i ⋅ sin 40 0
A) 4 sin 40 0 + i ⋅ sin 40 0
C) 4 cos 20 0 + i ⋅ sin 20 0
(
E) 2 cos160 0 + i ⋅ sin 160 0
(
)
(
)
)
CEVAP : D
124
MATEMATİK-I
7. z − z = 12
A) 3 + 4i
olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 3 – 4i
C) 5 + 6i
D) 5 + 9i
E) 6 + 3i
CEVAP : C
8. z1 = 6 − i ve z 2 = 2 + 2i noktaları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
CEVAP : B
(
9. z 2 = 9 ⋅ cos 80 0 + i ⋅ sin 80 0
)
olduğuna göre, z aşağıdakilerden hangisi olabilir?
(
)
B) 3 ⋅ (cos 220 + i cos 220 )
C) 3 ⋅ (cos 250 + i sin 205 )
D) 3 ⋅ (cos 80 + i sin 80 )
E) 3 ⋅ (cos 220 + i sin 220 )
A) 3 ⋅ sin 220 0 + i sin 220 0
0
0
0
0
0
0
0
0
CEVAP : E
10. z = cos 105 0 + i sin 105 0 karmaşık sayısının küp köklerinden birisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) cos 20 0 + i sin 20 0
B) cos 210 0 + i sin 210 0
C) cos 145 0 + i sin 145 0 D) cos 155 0 + i sin 155 0
E) cos 40 0 + i sin 40 0
CEVAP : D
125
Download

Öğr.Gör.Barış ŞAHİN DERS NOTU 4