T.C
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
CAUCHY – TOEPLİTZ VE CAUCHY – HANKEL MATRİSLERİNİN KHATRİ –
RAO VE TRACY – SİNGH ÇARPIMLARININ NORMLARI ÜZERİNE
Hacı CİVCİV
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu tez 10 / 01 / 2005 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oybirliği / oyçokluğu
ile kabul edilmiştir.
..............................................
..................................................
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA
( Üye )
( Üye )
.........................................................
Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
( Danışman )
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
CAUCHY – TOEPLİTZ VE CAUCHY – HANKEL MATRİSLERİNİN KHATRİ –
RAO VE TRACY – SİNGH ÇARPIMLARININ NORMLARI ÜZERİNE
Hacı CİVCİV
Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman : Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
2005, 72 sayfa
Jüri :
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Yrd. Doç. Dr. Necati TAŞKARA
Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
Cauchy – Toeplitz matrislerinin singüler değerleriyle G. Szegö ilgilenmiş ve
bununla ilgili bir problem ortaya koymuştur. Daha sonra bu matrisler, C. Möler ’in
dikkatini çekmiş ve C. Möler deneysel olarak bu matrislerin singüler değerlerinin
çoğunun π ’ye yaklaştığını tespit etmiş ama bu analitik olarak S. V. Parter tarafından
çözülmüştür. E. E. Tyrtyshnikov g = 1 / 2 ve h = 1 özel durumu için, bu matrisin
singüler değerleri için bir alt ve üst sınır bulmuştur. Durmuş Bozkurt bu matrisin
genel halinin Euclide normu için bir alt ve üst sınır bulmuştur.
Biz bu çalışmada, g < h ve g , h ∈ \ + olmak üzere, genel Cauchy –Toeplitz
matrislerinin Khatri – Rao ve Tracy – Singh çarpımlarının A p normu için bir alt ve
üst sınır bulduk ve yine aynı şartlar altında Cauchy –Hankel matrislerinin Khatri –
Rao ve Tracy – Singh çarpımlarının A p normu için bir alt ve üst sınır tespit ettik.
ANAHTAR KELİMELER : Matris Normu, Cauchy – Toeplitz Matrisleri,
Cauchy – Hankel Matrisleri, Khatri – Rao Çarpımı, Tracy – Singh Çarpımı.
ABSTRACT
The Post Graduate Thesis
ON THE NORMS OF KHATRİ – RAO AND TRACY – SİNGH PRODUCTS OF
CAUCHY – TOEPLİTZ AND CAUCHY – HANKEL MATRİCES
Hacı CİVCİV
Selçuk University
Graduate School of Natural and Applied Science
Department of Mathematics
Supervisor : Ass. Yrd. Doç. Dr. Ramazan TÜRKMEN
2005, 72 pages
Jury :
Prof. Dr. Durmuş BOZKURT
Assoc. Prof. Dr. Necati TAŞKARA
Assoc. Prof. Dr. Ramazan TÜRKMEN
G. Szegö interested in the singuler values of Cauchy – Toeplitz matrix and
put forward a problem. Later, these matrices attracted the attention of C. Moler, who
had experimentaly discovered that most of their singular values are clustered near π .
Recently, S. V. Parter gave an explanation of this phenomenon E. E. Tyrtyshnikov
obtained a lower and upper bound for spectral norm of Cauchy – Toeplitz matrix
such that h = 1 and g =1/2 . D. Bozkurt, found a lower and upper bound for the
general condition of Euclidian norm of Cauchy – Toeplitz matrices.
In this study, we have established a lower and an upper for the A p norms of
Khatri – Rao and Tracy – Singh Products of the Cauchy – Toeplitz matrix such that
g < h and g , h ∈ \ + . Moreover, we have obtained an upper bound for the A p norms
of Cauchy – Hankel matrix such that g < h and g , h ∈ \ + .
KEYWORDS : Matrix Norm, Cauchy – Toeplitz matrices, Cauchy – Hankel
matrices, Khatri – Rao Product, Tracy – Singh Product.
2. GENEL BİLGİLER
Bu bölüm, sonraki bölümler için gerekli olan temel tanımlardan oluşmaktadır.
Öncelikle, çalışma boyunca kullanılacak olan polygamma fonksiyonu ve onun
özellikleri hakkında kısaca bilgi verelim.
Tanım 2.1. Gamma fonksiyonu,
∞
Γ( x) = ∫ e − t t x −1 dt
0
olmak üzere,
Ψ ( x) = Psi ( x) =
d
{ln [Γ( x)]}
dx
şeklinde tanımlı fonksiyona psi ( veya digamma ) fonksiyonu denir. Psi
fonksiyonunun n. mertebeden türevine de polygamma fonksiyonu denir ve
Ψ (n, x) =
dn
dn  d

Psi
(
x
)
=
ln [ Γ( x) ]
n
n 
dx
dx  dx

şeklinde gösterilir. Burada n ≥ 0 dır. Eğer, n = 0 ise
Ψ (0, x) = Psi ( x) =
d
{ln [Γ( x)]}
dx
olur ( Kölbig 1972 ).
Özellik 2.1 a ∈ ] + , b herhangi bir sayı ve n ∈ ] + olmak üzere,
lim Ψ (a, n + b) = 0
n →∞
dır ( Bozkurt 1998 ).
2.1. Bazı Özel Matris Çarpımları
Tanım 2.1.1. A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n ve p×q
mertebeli herhangi iki kompleks matris olmak üzere,
A⊗B = (aijB )ij
= (( aij bkl )kl )ij
şeklinde tanımlanan, mp×nq boyutlu A⊗B matrisine, A ve B matrislerinin Kronecker
çarpımı denir.
Kronecker çarpıma aynı zamanda, tensör çarpım ya da direkt çarpım da denir.
Tanım 2.1.2. A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n mertebeli
herhangi iki kompleks matris olmak üzere,
AοB = ( aijbij )ij
şeklinde tanımlanan mxn mertebeli AοB matrisine A ve B matrislerinin Hadamard
çarpımı denir.
Tanım 2.1.3 A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n, pxq mertebeli
herhangi iki kompleks matris ve Aij , Bkl de sırasıyla A ve B matrislerinin mixnj
(
∑m
i
= m , ∑ n j = n ) , pkxql (
∑p
k
= p , ∑ ql = q ) mertebeli ( i, j )-inci ve
( k, l )-inci blok alt matrisleri olmak üzere;
AB = ( ( Aij ⊗Bkl )kl )ij
şeklinde tanımlanan mpxnq mertebeli AB matrisine, A ve B matrislerinin TracySingh çarpımı denir ( Shuangzhe 1999 ).
Tanım 2.1.4 A ve B sırasıyla, A = ( aij )ij , B = ( bkl )kl şeklinde m×n, pxq mertebeli
herhangi iki kompleks matris ve Aij , Bkl de sırasıyla A ve B matrislerinin, mixnj
(
s
t
i =1
j =1
∑ mi = m , ∑ n j = n ) , pkxql (
s
t
k =1
l =1
∑ pk = p , ∑ ql = q ) mertebeli, aynı sayıdaki
( i, j )-inci ve ( k, l )-inci blok alt matrisleri olmak üzere;
A”B = ( Aij ⊗ Bij )ij
s
t
i =1
j =1
şeklinde tanımlanan (∑ mi pi ) x (∑ n j q j ) mertebeli A”B matrisine, A ve B
matrislerinin Khatri-Rao çarpımı denir ( Shuangzhe 1999 ).
2.2. Vektör Normları
Tanım 2.2.1
F, reel ya da kompleks sayılar cismi ve V, F cismi üzerinde
tanımlanmış vektör uzayı olmak üzere;
|| . || : V → \ + ∪ { 0 }
v → || v ||
şeklinde ifade edilen ve
i ) Her v ∈ V için,
i a ) v ≠ 0 ise, || v || > 0 dır,
i b ) v = 0 olması için gerek ve yeter şart || v || = 0 olmasıdır,
ii ) α ∈ F ve v ∈ V için, || αv || = | α | || v || dir,
iii ) u,v ∈ V için, || u+v || ≤ || u || + || v || dir,
aksiyomlarını sağlayan || . || dönüşüme, vektör normu denir.
Bu tanım dikkate alınarak, bir çok vektör normu tanımlanabilir.
Bileşenleri kompleks sayılar olan n – mertebeli vektörlerden oluşan C n
cümlesi, kompleks sayılar cismi üzerinde bir vektör uzaydır.
Tanım 2.2.2
|| . ||1 : C n → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve v = (vi ) ∈ ^ n (1 ≤ i ≤ n) için,
|| v ||1 =
n
∑| v
i =1
i
|
şeklinde tanımlanan || . ||1 dönüşümüne, v vektörünün toplam normu denir.
Tanım 2.2.3
|| . ||2 : C n → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve v = (vi ) ∈ ^ n (1 ≤ i ≤ n) için,
 n

|| v ||2 =  ∑ | vi | 2 
 i =1

1/ 2
şeklinde tanımlanan || . ||2 dönüşümüne, v vektörünün Euclidean (veya Frobenius )
normu denir.
Tanım 2.2.4
|| . ||p : C n → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve v = (vi ) ∈ ^n (1 ≤ i ≤ n) için,
 n

|| v ||p =  ∑ | vi | p 
 i =1

1/ p
,1≤p < ∞
şeklinde tanımlanan || . ||p dönüşümüne v vektörünün p – normu ( veya Holder )
normu denir.
2.3 Matris Normları
Tanım 2.3.1 F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn(F); bileşenleri F cisminin
elemanları olan n - mertebeli karesel matrislerin cümlesi olmak üzere;
|| . || : Mn(F) → \ + ∪ { 0 }
A → || A ||
şeklinde ifade edilen ve
i ) A ∈ Mn,(F) için,
i a ) A ≠ 0 ise, || A || > 0 dır,
i b ) A = 0 olması için gerek ve yeter şart || A || = 0 olmasıdır,
ii ) α ∈ F ve A ∈ Mn,(F) için, || αA || = | α | || A || dır,
iii ) A, B ∈ Mn,(F) için, || A+B || ≤ || A || + || B || dir,
iv ) A, B ∈ Mn(F) için, || AB || ≤ || A |||| B || dir,
aksiyomlarını sağlayan || . || dönüşüme, matris normu denir.
Tanım 2.3.2 F, reel ya da kompleks sayılar cismi, Mn,m(F); bileşenleri F cisminin
elemanları olan nxm mertebeli matrislerin cümlesi olmak üzere;
|| . || : Mn,m(F) → \ + ∪ { 0 }
A → || A ||
şeklinde ifade edilen ve
i ) A ∈ Mn,m(F) için,
i a ) A ≠ 0 ise, || A || > 0 dır,
i b ) A = 0 olması için gerek ve yeter şart || A || = 0 olmasıdır,
ii ) α ∈ F ve A ∈ Mn,m(F) için, || αA || = | α | || A || dır,
iii ) A, B ∈ Mn,m(F) için, || A+B || ≤ || A || + || B || dir,
aksiyomlarını sağlayan || . || dönüşüme, genelleştirilmiş matris normu denir.
Tanım 2.3.3 F, reel ya da kompleks sayılar cismi olmak üzere;
|| . ||2 : Mn(F) → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve A = (aij ) ∈ M n ( F ) (1 ≤ i, j ≤ n) için,
n
|| A ||2 = ( ∑ | aij | 2 )1 / 2
i , j =1
şeklinde tanımlanan || . ||2 dönüşümüne, Euclide normu denir.
Bazen, bu şekilde tanımlanan norm için, Euclide normu yerine Frobenius
norm, Schur norm, Hilbert-Schmidt norm veya A 2 norm ifadeleri de kullanılır.
Tanım 2.3.4 F, reel ya da kompleks sayılar cismi olmak üzere;
|| . ||g2 : Mn,m(F) → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve A = ( aij ) ∈ M n, m ( F ) (1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ) için,
n
|| A ||2 = ( ∑ | aij | 2 )1 / 2
i , j =1
şeklinde tanımlanan dönüşüme genelleştirilmiş - Euclide normu denir.
Tanım 2.3.5 F, reel ya da kompleks sayılar cismi olmak üzere;
|| . ||p : Mn(F) → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve A = (aij ) ∈ M n ( F ) (1 ≤ i, j ≤ n) için,
n
|| A ||p = ( ∑ | aij | p )1/ p
i , j =1
şeklinde tanımlanan || . ||p dönüşümüne, A p matris normu denir.
Tanım 2.3.6 F, reel ya da kompleks sayılar cismi olmak üzere;
|| . ||p : Mn,m(F) → \ + ∪ { 0 }
ile ifade edilen ve A = ( aij ) ∈ M n, m ( F ) (1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ m ) için,
n
|| A ||p = ( ∑ | aij | p )1/ p
i , j =1
şeklinde tanımlanan dönüşüme genelleştirilmiş - A p matris normu denir.
3. CAUCHY – TOEPLİTZ MATRİSLERİ
Tanım 3.1. x i ≠ y j ( xi , y j ∈ ^) ve 1 ≤ i, j ≤ n olmak üzere elemanları,
c ij =
1
xi − y j
( 3.1 )
ile tanımlı C = (c ij )i , j =1 matrisine Cauchy matrisi denir ( Horn ve Kıttaneh 1998,
n
Tyrtyshnikov 1991, Calvetti ve Reichel 1997 ).
Tanım 3.2. n ≥ 1 ve t i − j ’ler kompleks sayılar olmak üzere,
Tn −1 = (t i − j )i , j = 0
n −1
şeklindeki matrise Toeplitz matrisi denir ( Iohvidov 1982 ).
Tanım 3.3 ( 3.1 ) ile verilen Cauchy matrisinde, a ve b keyfi sayılar olmak üzere,
a
(b ≠ 0, ∉ ]) xi = a + bi ve y j = jb alınarak elde edilen
b
n


1
Tn = 

 a + ( i − j ) b  i , j =1
matrisine Cauchy – Toeplitz matrisi denir ( Tyrtyshnikov 1991, Trench 1999 ).
3.1. Cauchy – Toeplitz Matrislerinin Khatri – Rao Çarpımlarının A p Normları
İçin Sınırlar
Teorem 3.1.1 Tn ; ( 3.1 ) ile tanımlanan Cauchy matrisinde
xi =
1
+ i , yj = j
2
alınması ile elde edilen,
n




1
Tn = 

 1 + (i − j ) 
 2
 i , j =1
( 3.1.1 )
şeklinde bir Cauchy-Toeplitz matrisi ve ζ ( p ) , Riemann – Zeta fonksiyonu olmak
üzere, Tn matrisinin A p ( p ≥ 2 ) normu için,
( 2 p − 1) ζ ( p ) 


1/ p
≤ n −1/ p || Tn || p ≤ 21/ p ( 2 p − 1) ζ ( p ) 
1/ p
( 3.1.2 )
şeklinde bir alt ve üst sınır vardır ( Bozkurt 1996 ).
Teorem 3.1.2 Tn , ( 3.1.1 ) ’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) CauchyToeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz
matrisinin, Tn”Tn ile gösterilen Khatri-Rao çarpımının A p ( p ≥ 2) matris normu için,
||Tn”Tn || pp ≤ ( n − 1) ( 2 p +1 − 2 ) ζ ( p )  + ( 2 p − 1) ζ ( p ) 
2
2
+ ( 2 p − 1) ζ ( p ) − 2 p  + 4 p
2
şeklinde bir üst sınır,
( 3.1.3 )
||Tn”Tn || pp ≥ ( 2 p − 1) ζ ( p )  +2 ( 2 p − 2 ) ζ ( p − 1) − ( 2 p − 1) ζ ( p )  + 4 p
2
2
( 3.1.4)
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 3.1.1 ) ile tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Toeplitz matrisini,
Tn(11) = Tn −1 , Tn(12) ;
n −1
Tn(12)




1
=

 1 + i − n
 i =1
 2
( 3.1.5 )
şeklinde ( n-1 ) – mertebeli reel sütun vektör, Tn( 21) ;
Tn( 21)


1
=
1 + n −
 2
n −1



j
 j =1
( 3.1.6 )
şeklinde (n-1)- mertebeli reel satır vektör, Tn( 22) ;
Tn( 22) = (2) 1x1
( 3.1.7 )
şeklinde bir matris olmak üzere,
T (11)
Tn =  n( 21)
Tn
Tn(12) 

Tn( 22) 
şeklinde blok matrislere ayıralım.
( 3.1.8 )
Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Toeplitz
matrisinin Khatri-Rao çarpımı,
 T ⊗ Tn −1
Tn”Tn =  (n21−1)
( 21)
Tn ⊗ Tn
Tn(12) ⊗ Tn(12) 

Tn( 22) ⊗ Tn( 22) 
şeklinde 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Tn”Tn matrisidir.
( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Tn −1 , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker
çarpımı,
n −1
Tn −1 ⊗ Tn −1
n −1

 

 
1
1

 
= 
  1
 1
 
  + i − j   + k − l   
 2
  k ,l =1  i , j =1
   2
şeklinde tanımlanan, (n − 1) 2 - mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) - mertebeli iki
Tn(12) vektörünün Kronecker çarpımı,
n −1
Tn(12) ⊗ Tn(12)
n −1

 

 
1
1

 
= 
  1
 1
 
  + i − n   + k − n   
 2
  k =1  i =1
   2
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel sütun vektör; ( n-1 ) - mertebeli iki Tn( 21) vektörünün
Kronecker çarpımı;
n −1
Tn( 21) ⊗ Tn( 21)
n −1

 

 
1
1


 
=
  1
 1
 
  + n − j   + n − l   
 2
  l =1  j =1
   2
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel satır vektör; 1 – mertebeli reel iki Tn( 22) matrisinin
Kronecker çarpımı, Tn( 22) ⊗ Tn( 22) = (4) 1x1 şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.
Böylece, matrisler için tanımlanan A p ( p ≥ 2) matris normu ve vektörler için
tanımlanan p - normu tanımlarından,
|| Tn”Tn || pp =
2
∑ || T
i , j =1
⊗ Tn( ij ) || pp
( ij )
n
( 3.1.9 )
eşitliği yazılır. Yukarıda tanımlanan, Tn(11) ⊗ Tn(11) , Tn( 22) ⊗ Tn( 22) karesel matrislerin
A p ( p ≥ 2) normlarının ve Tn(12) ⊗ Tn(12) , Tn( 21) ⊗ Tn( 21) vektörlerinin p – normlarının
p. kuvvetlerinin ve de ( 3.1.9 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;
2
2
||Tn”Tn || pp





 n −1
n −1
1
1
 +
=

p

i , j =1 1
 i =1 1 + i − n

+i− j 

2
2



∑
 n −1
1
= 2 p ∑
 i , j =1 2i − 2 j + 1 p

∑


 p
 + 2




2
p
n −1
2







 n −1
 +4p
1
 + ∑
p 

 j =1 1 + n − j 



2



1
∑ 2i − 2n + 1
i =1
2
 n −1
 p n −1 2n − 2k − 1 
1
2 p
= 2 ∑
+

∑
p
p

 k =1 (2k − 1) 
 i =1 2i − 2n + 1
2
 n −1 2n − 2k − 1 
 n−2
1
+  2 p ∑
||Tn”Tn || = 2 p ∑
p 
p
 i = 0 (2i + 1)
 k =1 (2k − 1) 
p
p




p




2
2


 n −1
1
+ ∑
 j =1 j − n − 1 + 1 − 1

2



 + 2p




n −1
∑
j =1
2
p



p
 +4





p
2 j − 2(n + 1) + 1 
1
2
+4p
2
2
 n −1

1
+ 2 p ∑
− 2p  +4p
p
 j = 0 (2i + 1)



( 3.1.10 )

 2n−3 1
1
n−2
1 
2
||Tn”Tn || pp = || Tn −1 ||2p p +  2 p  ∑ p − p ∑ p  
2 k =1 k  
  k =1 k
  2 n −1 1
1
+  2 p  ∑ p − p

k
2
  k =1
n −1
1
∑
p
k
k =1
2


 − 2 p  + 4 p



( 3.1.11 )
eşitliği elde edilir. Böylece; ( 3.1.11 ) eşitliği ve Teorem 3.1.1 de verilen ( 3.1.2 )
eşitsizliğinden,
||Tn”Tn || ≤ ( n − 1) ( 2
p
p
p +1
  2 n −3 1
1
− 2 ) ζ ( p )  +  2 p  ∑ p − p
2
  k =1 k
2
n−2
1
∑
p
k =1 k
  2 n −1 1
1
+  2 p  ∑ p − p

2
  k =1 k
n −1
1
∑
p
k =1 k
2
  2 n −3 1
1
||Tn”Tn || ≤ ( n − 1) ( 2 p +1 − 2 ) ζ ( p )  + lim  2 p  ∑ p − p
n →∞
2
  k =1 k
p
p
 p  2 n −1 1
1
+ lim  2  ∑ p − p
n →∞
2
  k =1 k



n−2
2
2


 − 2 p  + 4 p



1
∑
p
k =1 k



2
2
1 
p 
p
−
2
 +4
∑

p
k =1 k 

n −1
( 3.1.12 )
eşitsizliği elde edilir. ( 3.1.12 ) eşitsizliği ve
∞
1
∑k
k =1
p
= ζ ( p)
eşitliği ile, ( 3.1.1 ) ile verilen n – mertebeli iki Tn Cauchy- Toeplitz matrisinin
Khatri – Rao çarpımı olan, 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Tn”Tn matrisinin
A p ( p ≥ 2) normu için,
||Tn”Tn || pp ≤ ( n − 1) ( 2 p +1 − 2 ) ζ ( p )  + ( 2 p − 1) ζ ( p )  + ( 2 p − 1) ζ ( p ) − 2 p  + 4 p
2
2
2
şeklinde bir üst sınır bulunmuş olunur ve böylece ( 3.1.3 ) eşitsizliği ispat edilmiş
olunur.
Tn”Tn matrisinin A p ( p ≥ 2) normunun bir alt sınırını bulmak için, ( 3.1.10 )
eşitliği olarak bilinen,
2
 n −1 2n − 2k − 1 
 p n−2
1
2 ∑
||Tn”Tn || = 2 p ∑
+

p
p

 k =1 (2k − 1) 
 i = 0 (2i + 1)
p
p
2


 + 2 p




2

1
− 2p  +4p
∑
p

j = 0 ( 2i + 1)

n −1
eşitliğini göz önüne alalım. Buradan,
 n−2

1

+ 2 
p 
 i = 0 (2i + 1) 
||Tn”Tn || = || Tn −1 ||
p
p
2p
p
∑
2p
2
2
 n −1

1
+4p
+2  ∑
p 
i
(2
1)
+
 i =1

2p
2
−2
≥ n || Tn −1 ||
||Tn”Tn || ≥ (n
p
p
−1 / p
2p
p
+2
|| Tn −1 || p
)
2 p +1
 n −1

1
+4p
∑
p 
 i =1 (2i + 1) 
2
2p
+2
2 p +1
n −1
 n −1

1
1
+4p
−
∑
∑
p −1
p 
i =1 (2i + 1) 
 i =1 (2i + 1)
( 3.1.13 )
eşitsizliği elde edilir. Böylece elde edilen ( 3.1.13 ) eşitsizliği ve Teorem 3.1.1 de
verilen ( 3.1.2 ) eşitsizliği ile,
||Tn”Tn || ≥ ( 2 − 1) ζ ( p )  +2
p
p
eşitsizliği
n −1

i =1

yazılır.
1
∑  (2i + 1)
2
p
p −1
−
Böylece,
1
(2i + 1)
p
2
2 p +1
 n −1 

1
1
−
+ 4p
∑ 
p −1
p 
(2
i
+
1)
(2
i
+
1)

 i =1 
(
3.1.14
)
eşitsizliğinde
( 3.1.14 )
yer

 teriminin Polygamma fonksiyonu cinsinden değeri,


alan

1
1

−
∑
p −1

(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
n −1

(− 1) p Ψ p − 2, n + 1  + 1 − 1 ζ ( p − 1)
 = p−
 

 2 1 ( p − 2 )! 
2   2 p −1 

+
(− 1) p Ψ p − 1, n + 1  − 1 − 1  ζ p

 
 ( )
2   2p 
2 p ( p − 1)! 
şeklinde yazıldığı ve ayrıca,
n −1 
1
1
−
lim ∑ 
p −1
n→∞
(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
 
1
 =  1 − p - 1  z
  2 

( p − 1) − 1 −

1
2p

ζ ( p )

3.1.15
olduğu bilindiğine göre, böylece, ( 3.1.14 ) eşitsizliği ve ( 3.1.15 ) eşitliği dikkate
alınarak, Tn”Tn matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için,
||Tn”Tn || pp ≥ ( 2 p − 1) ζ ( p )  +2 ( 2 p − 2 ) ζ ( p − 1) − ( 2 p − 1) ζ ( p )  + 4 p
2
2
şeklinde bir alt sınır bulunmuş olunur ve böylece ( 3.1.4 ) eşitsizliği ispat edilmiş
olunur.
Teorem 3.1.3 g ve h; 0 < g / h <1 olacak şekilde herhangi iki reel sayı olmak üzere,
n


1
Tn = 

 g + (i − j )h  i , j =1
3.1.16
şeklinde tanımlanan Tn , Cauchy-Toeplitz matrisinin A p ( 1 ≤ p < ∞ ) matris normu
için,


1 
|| Tn || p ≥

|h|




1/ p 
n 
|| Tn || p ≤

|h| 


1/ p
  h p
g 

−   + ζ  p,−  , p tek
h 

  g 

1/ p
p
 h 
g 

, p çift
  + ζ  p,− 
h 

 g 

3.1.17
1/ p
  h p
g

 g 
−   + ζ  p,−  + ζ  p,  , p tek
h

 h 
  g 
1/ p
 h  p
g

 g 
, p çift
  + ζ  p,−  + ζ  p, 
g
h

 h 
 
3.1.18
şeklinde alt ve üst sınırlar vardır ( Tekin 1996 ).
Teorem 3.1.4 Tn , ( 3.1.16 ) ’ daki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) CauchyToeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz
matrisinin, Tn”Tn ile gösterilen Khatri-Rao çarpımının A p (1 ≤ p < ∞) matris normu
için, p tek ise;
||Tn”Tn ||
p
p
2
(
n − 1)   h 
≤
−  
| h |2 p
g
 g 

p
,
+
ζ
−
+
ζ


 p,  
 
h

 h 
  g 
p
+
1
| h |2 p
2
1
 2
g
g 
2 
ζ  p, − h  + ζ  p, h   + ( g ) 2 p



 
3.1.19
p çift ise,
||Tn”Tn || pp
(n − 1)2  h 
≤
| h |2 p
g

 g 
+
ζ
p
,
−
+
ζ


 p,  
 
h

 h 
 g 
p
+
1
| h |2 p
2
 2
g
g 
1
2 
ζ  p, − h  + ζ  p, h   + ( g ) 2 p



 
3.1.20
şeklinde bir üst sınır vardır. p tek ise,
1
||Tn”Tn || pp ≥
| h |2 p
  h p
−   + ζ
  g 
2
1
1
1
g 

+
+
p
,
−

 +
2p
2p
h   ( g − h )
( g )2 p

( g + h)
3.1.21
p çift ise,
1
||Tn”Tn || ≥
| h |2 p
p
p
 h  p
  + ζ
 g 
2
1
g 
1
1

p
,
−
+
+

 +
2p
2p
h   ( g − h )
( g )2 p

( g + h)
3.1.22
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 3.1.16 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Tn Cauchy-Toeplitz
matrisini; Tn(11) = Tn −1 , Tn(12) ;
n −1
(12 )
n
T


1
=

 g + (i − n)h  i =1
3.1.23
şeklinde ( n-1 ) – mertebeli dikey reel vektör, Tn( 21) ;
n −1
( 21)
n
T


1
=

 g + (n − j )h  j =1
3.1.24
şeklinde (n-1)- mertebeli satır reel vektör, Tn( 22) ;
1
Tn( 22) =  
 g 1x1
3.1.25
şeklinde bir matris olmak üzere,
Tn(11)
Tn =  ( 21)
Tn
Tn(12) 

Tn( 22) 
3.1.26
şeklinde blok matrislere ayıralım.
Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Toeplitz
matrisinin Khatri-Rao çarpımı,
 T ⊗ Tn −1
Tn”Tn =  (n21−1)
( 21)
Tn ⊗ Tn
Tn(12 ) ⊗ Tn(12 ) 

Tn( 22 ) ⊗ Tn( 22 ) 
şeklinde 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Tn”Tn matrisidir.
( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Tn −1 , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker
çarpımı,
n −1
Tn −1 ⊗ Tn −1
n −1



1
1
= 


  ( g + (i − j )h ) (g + (k − l )h )  k ,l =1  i , j =1
şeklinde tanımlanan, (n − 1) 2 - mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) – mertebeli dikey
iki Tn(12) vektörünün Kronecker çarpımı,
n −1
(12 )
n
T
⊗T
(12 )
n
n −1

 
1
1
= 
 
  ( g + (i − n)h ) ( g + (k − n)h ) k =1  i =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli dikey reel vektör; ( n-1 ) – mertebeli satır iki
Tn( 21) vektörünün Kronecker çarpımı;
n −1
( 21)
n
T
⊗T
( 21)
n
n −1

 
1
1
= 
 
  ( g + (n − j )h ) ( g + (n − l )h ) l =1  j =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli satır reel vektör; 1 – mertebeli reel iki Tn( 22) matrisinin
Kronecker çarpımı,
 1 
Tn(22) ⊗ Tn(22) = 
2 
 ( g ) 1x1
şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.
Böylece, matrisler için tanımlanan A p (1 ≤ p < ∞) matris normu ve vektörler
için tanımlanan p - normu tanımlarından,
|| Tn”Tn || pp =
2
∑ || T
i , j =1
( ij )
n
⊗ Tn(ij ) || pp
3.1.27
eşitliği yazılır. Yukarıda tanımlanan, Tn(11) ⊗ Tn(11) , Tn( 22) ⊗ Tn( 22) karesel matrislerin
(12 )
A p normlarının ve Tn
⊗ Tn(12) , Tn( 21) ⊗ Tn( 21) vektörlerinin p – normlarının p.
kuvvetlerinin ve de ( 3.1.27 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;
2
2
 n −1
  n −1
  n −1

1
1
1
||Tn”Tn || =  ∑
+
+





∑
∑
p
p
p
i , j =1 g + (i − j )h   i =1 g + (i − n)h   i =1 g + (n − i )h 
p
p
+
2
n −1
 n −1 n − i
 n −1

n−i 
1
= ∑
+
+

∑

∑
p
p
p
i =1 g + ih 
i =1 g + (i − n) h 
 i = 0 g − ih




2
1
( g )2 p
2
2
 n −1

1
1
+ ∑
 +
p
( g )2 p
 i =1 g + (n − i )h 
2
=|| Tn −1 ||2p p
2
 n −1
1
1   n −1
1 
+
+ ∑
+


∑
p
p
( g )2 p
 i =1 g − ih   i =1 g + ih 
2
||Tn”Tn || pp =|| Tn −1 ||2p p +
||Tn”Tn || pp =|| Tn −1 ||2p p +
2
1
| h |2 p


 n −1

1 
1

+
∑
p
 i =1 g
 | h |2 p
−i 

h




 n −1

1
1 

+
∑
p
 i =1 g
 ( g )2 p
+i 

h


1
| h |2 p
2
2

 
 

 
 
1
 n −1 1   n −1 1  
+ ∑
 ∑
+
p
p
2p



 i =1 g − i   i =1 g + i   ( g )

h
h
 
 

3.1.28
eşitliği elde edilir. Şimdi ( 3.1.28 ) eşitliğini, p ’nin tek veya çift olma durumlarına
göre inceleyelim.
Böylece; ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.18 )
eşitsizliğinden, p tek ise;
||Tn”Tn ||
p
p
(n − 1)2 −  h 
≤
| h |2 p
g

 g 
+
ζ
p
,
−
+
ζ


 p,  
 
h

 h 
  g 
+
p
1
| h |2 p
2
2
2

 
 

 
 
1
 n −1 1   n −1 1  
+ ∑
+
 ∑

p
p
2p
 i =1 g − i   i =1 g + i   ( g )

h
h
 
 

3.1.29
eşitsizliği elde edilir. Ayrıca, Riemann – Zeta ( veya Hurwitz – Zeta ) fonksiyonu
tanımından ve 0 < g / h < 1 kabulünden hareketle;
∞
∑
i =1
∞
1
g
−i
h
=∑
p
i =1
∞
∑
i =1
p
g
i−
h
∞
1
g
i+
h
∞
1
p
=∑
i =1
=∑
i =1
1
g

i − 
h

1
g

i + 
h

p
p
≤ ζ ( p , − g / h)
≤ ζ ( p , g / h)
3.1.30
3.1.31
eşitsizlikleri yazılır. Böylece, ( 3.1.29 ) , ( 3.1.30 ) , ( 3.1.31 ) eşitsizlikleri ile birlikte
p ’nin tek olması durumunda, n – mertebeli iki Tn Cauchy- Toeplitz matrisinin Khatri
– Rao çarpımı olan, 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Tn”Tn matrisinin A p
normu için,
||Tn”Tn || pp
(n − 1)2 −  h 
≤
| h |2 p
g

 g 
+
ζ
p
,
−
+
ζ
 p,  


 
h

 h 
  g 
p
+
1
| h |2 p
2
1
 2
g
g 
2 
ζ  p, − h  + ζ  p, h   + ( g ) 2 p



 
şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.1.4 de verilen ( 3.1.19 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Benzer şekilde, ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.18 )
eşitsizliğinden, p çift ise;
||Tn”Tn ||
p
p
(n − 1)2  h 
≤
| h |2 p
g

 g 
+
ζ
p
,
−
+
ζ


 p,  
 
h

 h 
 g 
+
p
1
| h |2 p
2
2
2

 
 

 
 
1
 n −1 1   n −1 1  
+ ∑
+
 ∑

p
p
2p
 i =1 g − i   i =1 g + i   ( g )

h
h
 
 

3.1.32
eşitsizliği elde edilir. Böylece, ( 3.1.30 ) , ( 3.1.31 ) , ( 3.1.32 ) eşitsizlikleri ile
birlikte p ’nin çift olması durumunda, Tn”Tn matrisinin A p normu için,
||Tn”Tn || pp
(n − 1)2  h 
≤
| h |2 p
g

 g 
p
,
ζ
+
ζ
+
−


 p,  
 
h

 h 
 g 
p
+
1
| h |2 p
2
1
 2
g
g 
2 
ζ  p, − h  + ζ  p, h   + ( g ) 2 p



 
şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.1.4 de verilen ( 3.1.20 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Şimdi de, Tn”Tn matrisinin A p normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,
( 3.1.28 ) eşitliğini p ’nin tek veya çift olması durumlarına göre ayrı ayrı ele alalım.
Böylece ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.19 ) eşitsizliğinden, p tek
ise;
p
1  h
||Tn”Tn || ≥
−  
| h |2 p   g 

p
p
2
2

 
 
2

 
 
g 
1   2−1 1   2−1 1  

+ ζ  p,−   + 2 p  ∑
+ ∑

p
p
  i =1 g
 
h  | h |   i =1 g


−i  
+i 
 
h
h


 

+
1
( g )2 p
2
p
1  h
g 
1
1
1



||Tn”Tn || ≥
+
+

−
+
ζ
p
,
−

 +
2p
2p
2p


| g +h|
( g )2 p
|h|  g
h  | g − h |



p
p
şeklinde Tn”Tn matrisinin A p normu için bir alt sınır elde edilir ki, böylece Teorem
3.1.4 de verilen ( 3.1.21 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Benzer şekilde, ( 3.1.28 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.19 )
eşitsizliğinden, p çift ise;
1
||Tn”Tn || ≥
| h |2 p
p
p
 h  p
 
 g 
2
2

 
 

 
 
g 
1   2−1 1   2−1 1  

+ ∑
+ ζ  p, −   + 2 p  ∑

p
p
  i =1 g
 
h  | h |   i =1 g


−i  
+i 
 
h
h
 
 

2
+
1
||Tn”Tn || pp ≥
| h |2 p
 h  p
  + ζ
 g 
1
( g )2 p
2
1
1
1
g 

+
+
 p, −   +
2p
2p
| g +h|
h   | g − h |
( g )2 p

şeklinde Tn”Tn matrisinin A p normu için bir alt sınır elde edilir ki, böylece Teorem
3.1.4 de verilen ( 3.1.22 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Teorem 3.1.5 a ve b; a < b olacak şekilde herhangi iki pozitif reel sayı olmak üzere,
n


1
Tn = 

 a + (i − j )b  i , j =1
3.1.33
şeklinde tanımlanan Tn , Cauchy-Toeplitz matrisinin A p matris normu için,
n
n
−1 / p
−1 / p
 1
1
a
a


|| Tn || p ≤  p +
p
1
,
1
p
1
,
1
Ψ
−
−
+
Ψ
−
+




b
b
( p − 1)!b p 

a
1

1
1
|| Tn || p ≥  p +
+
p
p
2(b − a )
2(b + a ) 
a
1/ p
3.1.34
1/ p
3.1.35
şeklinde alt ve üst sınır vardır ( Çatak 2001 ).
Teorem 3.1.6 Tn , ( 3.1.33 ) ’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) CauchyToeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz
matrisinin, Tn”Tn ile gösterilen Khatri-Rao çarpımının A p matris normu için,
1
1
a
a


||Tn”Tn || ≤ (n − 1)  p +
Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 +  
p
( p − 1)!b 
b
b

a
p
p
2
2
2
 ( −1) p  
1
a
a  

1,1
1,1
+
Ψ
p
−
−
+
Ψ
p
−
+



   + 2 p 3.1.36

p
b
b   a

 ( p − 1) !b  

şeklinde bir üst sınır ve
2
 1

1
1
1
1
1
 +
+
+ 2p
||Tn”Tn || ≥  p +
+
p
p 
2p
2p
a
(b + a )
2(b − a )
2(b + a )  (b − a )
 a
p
p
3.1.37
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 3.1.33 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Tn , Cauchy-Toeplitz
matrisini; Tn(11) = Tn −1 , Tn(12) ;
n −1
(12 )
n
T


1
=

 a + (i − n)b  i =1
şeklinde ( n-1 ) – mertebeli dikey reel vektör, Tn( 21) ;
3.1.38
n −1
( 21)
n
T


1
=

 a + (n − j )b  j =1
3.1.39
şeklinde (n-1)- mertebeli satır reel vektör, Tn( 22) ;
1
Tn( 22 ) =  
 a 1x1
3.1.40
şeklinde bir matris olmak üzere,
T (11)
Tn =  n( 21)
Tn
Tn(12) 

Tn( 22) 
3.1.41
şeklinde blok matrislere ayıralım.
Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Toeplitz
matrisinin Khatri-Rao çarpımı,
 T ⊗ Tn −1
Tn”Tn =  (n21−1)
( 21)
Tn ⊗ Tn
Tn(12 ) ⊗ Tn(12 ) 

Tn( 22 ) ⊗ Tn( 22 ) 
şeklinde 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Tn”Tn matrisidir.
( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Tn −1 , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker
çarpımı,
n −1
Tn −1 ⊗ Tn −1
n −1

 
1
1
= 
 
  (a + (i − j )b ) (a + (k − l )b )  k ,l =1  i , j =1
şeklinde tanımlanan, (n − 1) 2 - mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) - mertebeli iki
Tn(12) vektörünün Kronecker çarpımı,
n −1
(12 )
n
T
⊗T
(12 )
n
n −1

 
1
1
= 
 
  (a + (i − n)b ) (a + (k − n)b )  k =1  i =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli dikey reel vektör; ( n-1 ) - mertebeli iki Tn( 21) vektörünün
Kronecker çarpımı;
n −1
Tn( 21) ⊗ Tn( 21)
n −1

 
1
1
= 
 
  (a + (n − j )b ) (a + (n − l )b ) l =1  j =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli satır reel vektör; 1 – mertebeli reel iki Tn( 22) matrisinin
Kronecker çarpımı,
 1 
Tn( 22 ) ⊗ Tn( 22 ) =  2 
 a 1x1
şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.
Böylece, matrisler için tanımlanan A p
matris normu ve vektörler için
tanımlanan p - normu tanımlarından,
|| Tn”Tn || pp =
2
∑ || T
i , j =1
( ij )
n
⊗ Tn( ij ) || pp
3.1.42
eşitliği yazılır. Yukarıda tanımlanan, Tn(11) ⊗ Tn(11) , Tn( 22) ⊗ Tn( 22) karesel matrislerin
A p normlarının ve Tn(12) ⊗ Tn(12) , Tn(21) ⊗ Tn(21) vektörlerinin p – normlarının p.
kuvvetlerinin ve de ( 3.1.42 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;
2
2
2
 n −1
  n −1
  n −1

1
1
1
1
||Tn”Tn || pp =  ∑
+
+




 + 2p
∑
∑
p
p
p
a
i , j =1 a + (i − j )b   i =1 a + (i − n)b   i =1 a + (n − i )b 
2
 n − 1 n−2
 1

1   n −1
1

+
||Tn”Tn || =  p + ∑ (n − 1 − i )
+


∑
 ib − a p ib + a p   i =1 a + (i − n)b p 
 a
i =1

 

2
p
p
2
 n −1

1
1
+ ∑
 + 2p
p
a
 i =1 a + (n − i )b 
2
||Tn”Tn || =|| Tn −1 ||
p
p
2p
p
2
 n −1 1   n −1
1
1 
+ ∑
 + ∑
 + 2p
p
p
a
 i =1 a − ib   i =1 a + ib 
3.1.43
eşitliği elde edilir. ( 3.1.43 ) eşitliği ve Teorem 3.1.5 de verilen ( 3.1.34 ) eşitsizliği
ile,
1
1
a
a


||Tn”Tn || ≤ (n − 1)  p +
Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 +  
p
( p − 1)!b 
b
b

a
p
p
2
2
2
2
 n −1 1   n −1 1 
1
+ ∑
 + ∑
 + 2p
p
p
a
 i =1 a − ib   i =1 a + ib 
1
1
a
a


||Tn”Tn || ≤ (n − 1)  p +
Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 +  
p
( p − 1)!b 
b
b

a
p
p
2
2
2
n −1
 n −1 1
1 
1
+ ∑
+
 + 2p
∑
p
p
a
i =1 a + ib 
 i =1 a − ib

eşitsizliği elde edilir. (3.1.44 ) eşitsizliğindeki
 1
1 

ifadesinin
+
∑
 a − ib p a + ib p 
i =1


n −1
Polygamma fonksiyonu cinsinden,
 1
(− 1)p
1 

+
=
∑
 a − ib p a + ib p  ( p − 1)!b p
i =1


n −1
3.1.44

a
a


− Ψ  p − 1, n − b  − Ψ  p − 1, n + b 





a
a 


+ Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 + 
b
b 


yazıldığı ve ayrıca,
p
 1

−
1
(
)
1
=
lim ∑ 
+
n →∞
 a − ib p a + ib p  ( p − 1) !b p
i =1


n −1
 
a
a 

 Ψ  p − 1,1 − b  + Ψ  p − 1,1 + b   3.1.45



 
olduğu bilindiğine göre, böylece ( 3.1.44 ) eşitsizliği ve ( 3.1.45 ) eşitliğinden, Tn”Tn
matrisinin A p normu için,
1
1
a
a


||Tn”Tn || ≤ (n − 1)  p +
Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 +  
p
( p − 1)!b 
b
b

a
2
2
p
p
 ( −1) p
+
p
 ( p − 1) !b
2
1
 
a
a  

 Ψ  p − 1,1 − b  + Ψ  p − 1,1 + b    + 2 p


  a
 
şeklinde bir üst sınır elde edilir ki; Teorem 3.1.6 ile verilen ( 3.1.36 ) eşitsizliği ispat
edilmiş olunur.
Şimdi de, Tn”Tn matrisinin A p normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,
Teorem 3.1.5 ile verilen ( 3.1.35 ) eşitsizliğini ve ( 3.1.43 ) eşitliğini göz önüne
alırsak,
2
||Tn”Tn || = || Tn −1 ||
p
p
2p
p
2
 n −1 1   n −1
1 
1
+ ∑
+


 + 2p
∑
p
p
a
 i =1 a − ib   i =1 a + ib 
2
2
2
 1
  2 −1 1   2 −1
1
1
1
1 

≥  p +
+
+
+



 + 2p
∑
∑
p
p
p
p 
a
2(b − a )
2(b + a )   i =1 a − ib   i =1 a + ib 
 a
2
 1

1
1
1
1
1
 +
+
+
||Tn”Tn || ≥  p +
+ 2p
p
p 
2p
2p
a
(b + a )
2(b − a )
2(b + a )  (b − a )
 a
p
p
şeklinde bir alt sınır elde edilir ki; Teorem 3.1.6 ile verilen ( 3.1.37 ) eşitsizliği ispat
edilmiş olunur.
3.2. Cauchy – Toeplitz Matrislerinin Tracy – Singh Çarpımlarının A p Normları
İçin Sınırlar
Teorem 3.2.1 Tn , ( 3.1.1 ) ’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) CauchyToeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz
matrisinin, Tn  Tn ile gösterilen Tracy - Singh çarpımının A p ( p ≥ 2) matris normu
için,
|| Tn  Tn || pp ≤ [n(2 p +1 − 2)ζ ( p )]
2
3.2.1
şeklinde bir üst sınır ve
|| Tn  Tn || pp ≥ ( 2 p − 2 ) ζ ( p − 1) 
2
3.2.2
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 3.1.1 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Tn Cauchy-Toeplitz
matrisini, Tn(11) = Tn −1 ve Tn(12) , Tn( 21) , Tn( 22) sırasıyla; ( 3.1.5 ) , ( 3.1.6 ) , ( 3.1.7 ) ’
deki gibi tanımlamak üzere,
T (11)
Tn =  n( 21)
Tn
Tn(12) 

Tn( 22) 
şeklinde blok matrislere ayıralım. Böylece; Tn(ij ) ( 1 ≤ i, j ≤ 2 ) matrisleri ile nmertebeli ( n ≥ 2 ) Tn , Cauchy-Toeplitz matrisinin Tracy – Singh çarpımı,
T ( ij ) ⊗ Tn(11)
Tn(ij )  Tn =  n(ij )
( 21)
Tn ⊗ Tn
Tn( ij ) ⊗ Tn(12 ) 
 , i,j = 1, 2
Tn( ij ) ⊗ Tn( 22 ) 
şeklinde tanımlanmak üzere, ( 3.1.1 ) deki gibi bloklara ayrılmış n – mertebeli iki Tn
Cauchy-Toeplitz matrisinin, Tn  Tn ile gösterilen Tracy-Singh çarpımı;
Tn  Tn = ( Tn(ij )  Tn )ij
şeklinde tanımlanan n 2 - mertebeli reel karesel bir matristir.
Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı göz önüne alınırsa, Tn  Tn matrisini
oluşturan bloklar, karesel matrisler veya vektörlerin yanısıra, karesel olmayan
matrislerden de ibarettir. Bu sebeptendir ki; || .||gp , Tanım 2.3.6 da verilen
genelleştirilmiş - A p matris normu olmak üzere, Tn  Tn matrisinin A p ( p ≥ 2)
normu için;
p
Ω(ij, kl ) =|| Tn( ij ) ⊗ Tn( kl ) ||gp
( 1 ≤ i, j , k , l ≤ 2)
olmak üzere,
|| Tn  Tn || pp =
2
2
∑ ∑ Ω(ij, kl )
3.2.3
i , j =1k , l =1
şeklinde eşitlik yazılır. Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı ve bu çarpımın
genelleştirilmiş - A p matris normu tanımları göz önüne alınırsa,
2





 n −1
1

p 
 i , j =1 1 + i − j 


2





  n −1


1

+

p 
  i , j =1 1 + i − j 


2




 n −1
1
∑
 i =1 1 + i − n

2











  n −1


1

+

p 
  i , j =1 1 + i − j 


2




 n −1
1
∑
 i =1 1 + i − n

2

∑ Ω(11, kl ) = ∑
k ,l =1


 n −1
1

1
i
=
1

+i−n

2

2
∑ Ω(12, kl ) = ∑
k ,l =1
p
∑ Ω(21, kl ) = ∑
k ,l =1
∑ Ω(21, kl ) =
k ,l =1
∑

 


 

n −1
n −1

 

1
1
+

p  
p 
1
1
j
=
1
i
j
,
=
1





+ n − j  
+i− j 

2
2
 


2
2
∑
∑



  n −1
p 

1
2 
+

p 
1
  i , j =1 + i − j 


2


∑


 n −1
1
∑
1
1
i
=

+i−n

2

p
p


 n −1
1
∑
1
i
=
1

+i−n

2

p
 


 


  n −1

1
p
+
2
 + ∑

p 
  j =1 1 + n − j 

 


2
 


3.2.4
 


 


  n −1

1
p
+
2
 + ∑

p 

  j =1 1 + n − j 
 


2
 


p
3.2.5
 


 


  n −1

1
p
+
2
+
 ∑

p 
  j =1 1 + n − j 

 


2
 


 


 


n
−
1
 

1
p
2
+
+
 ∑

p 
  j =1 1 + n − j 

 


2
 


3.2.6
3.2.7
eşitlikleri elde edilir. Böylece , ( 3.2.4 ) , ( 3.2.5 ) , ( 3.2.6 ) , ( 3.2.7 ) eşitliklerinden,
Tn  Tn matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için;



  n −1
p
1



|| Tn  Tn || p =  ∑
+
p 

  i , j =1 1 + i − j 

 
2





= || Tn −1 || pp




= || Tn −1 || pp


 n −1
1

p
∑
i =1 1
+i−n

2



 n −1
1
+ ∑
 i =1 1 + i − n

2

p
 



  n −1

1

p
 +
+2 
p 
 ∑
j =1 1



 
+n− j 

2
 


 


 


n
1
−
 
1

p
+2 
 + ∑
p 

  j =1 1 + n − j 

 

2

 

2
2

  n −1
 n −1

1
1
 + 2p
 + 2 p 
+ 2 p ∑
p
 i =1 2i − 2n + 1 p   ∑


  j =1 2 j − 2(n + 1) + 1 

2
n−2
n −1


1
1
p
= || Tn −1 || pp +2 p ∑
p +2 ∑
p
i = 0 (2i + 1)
j = 0 (2 j + 1) 


 2 n −3
|| Tn  Tn || pp = || Tn −1 || pp + 2 p  ∑ 1p − 1p


i =1
i
1   2 n −1 1
1
+ ∑ p − p
∑
p
2 i =1 i   i =1 i
2
n−2
n −1
1
∑
p
i =1 i
2
 
 
 
2
3.2.8
eşitliği elde edilir. Böylece; ( 3.2.8 ) eşitliği ve Teorem 3.1.1 de verilen ( 3.1.2 )
eşitsizliğinden,

 2n −3
|| Tn  Tn || ≤  2 p +1 − 2 (n − 1)ζ ( p ) + 2 p  ∑ 1p − 1p
2

 i =1 i
p
p
[(
]
)
1   2 n −1 1 1
+∑ p − p
∑
p
2
i =1 i 
 i =1 i
n−2
1  

∑
p 
i =1 i   

n −1
2
3.2.9
eşitsizliği elde edilir. ( 3.2.9 ) eşitsizliği ve
∞
1
∑k
k =1
p
= ζ ( p)
eşitliği ile ( 3.1.1 ) ’ deki gibi tanımlanan n – mertebeli iki Tn Cauchy- Toeplitz
matrisinin Tracy - Singh çarpımı olan, n 2 - mertebeli karesel reel Tn  Tn matrisinin
A p ( p ≥ 2) normu için,
|| Tn  Tn || pp ≤ [n(2 p +1 − 2)ζ ( p )]
2
şeklinde bir üst sınır bulunmuş olunur ki; böylece Teorem 3.2.1 ’de verilen ( 3.2.1 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Şimdi de Tn  Tn matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için bir alt sınır bulalım.
Bunun için,

n−2

i =0
|| Tn  Tn || pp = || Tn −1 || pp +2 p ∑
n −1

1
1
p
+
2
∑
p
p
(2i + 1)
j = 0 (2 j + 1) 
2
eşitliğinden ve Teorem 3.1.1 de verilen ( 3.1.2 ) eşitsizliğinden yazılan,

n −1

i =1
|| Tn  Tn || pp ≥ (2 p − 1)ζ ( p ) + 2 p +1 ∑
1 
(2i + 1)p 
2
n −1

 n −1
1
1 
|| Tn  Tn || ≥  2 p − 1 ζ ( p ) + 2 p  ∑

−
∑
p −1
p 

i =1 (2i + 1)  
 i =1 (2i + 1)

p
p
eşitsizliğini
n −1

i =1

)
göz
1
∑  (2i + 1)
(
p −1
−
önüne
1
(2i + 1) p

1
1

−
∑
p −1

(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
n −1
alalım.
(
3.2.10
2
)
3.2.10
eşitsizliğinde
yer
alan

 teriminin Polygamma fonksiyonu cinsinden,



( −1)
1 
1 

 = p −1
 2 ( p − 2 ) ! Ψ  p − 2, n + 2  + 1 − 2 p −1 ζ ( p − 1)

p
p
(
− 1)
1 
1 

+ p
Ψ  p − 1, n +  −  1 − p  ζ ( p )
2  2 
2 ( p − 1)! 
şeklinde yazıldığı ve ayrıca,
n −1 
1
1
−
lim ∑ 
p
−
1
n→∞
(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
 
1
1
 = 1 − p −1 ζ ( p − 1) −  1 − p
 
2 
 2


ζ ( p )

3.2.11
olduğu bilindiğine göre, böylece, ( 3.2.10 ) eşitsizliği ve ( 3.2.11 ) eşitliği dikkate
alınarak, Tn  Tn matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için,
|| Tn  Tn || pp ≥ ( 2 p − 2 ) ζ ( p − 1) 
2
şeklinde bir alt sınır bulunmuş olunur ve böylece ( 3.2.2 ) eşitsizliği ispat edilmiş
olunur.
Teorem 3.2.2 Tn , ( 3.1.16 ) ’ daki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) CauchyToeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz
matrisinin, Tn  Tn ile gösterilen Tracy - Singh çarpımının A p ( 1 ≤ p < ∞ ) matris
normu için, p tek ise;


 h
  g 
|| Tn  Tn || pp ≤  (n −p1) −  h  + ζ  p,− g  + ζ  p, g 

p
h


h 

g
1  
1 
 g 
+ p ζ  p,−  + ζ  p,  + p 
h
 h  g 
h  
2
3.2.12
p çift ise,
 (n − 1)  h  p

|| Tn  Tn || ≤  p   + ζ  p,− g  + ζ  p, g 
h

 h 
 h  g 
p
p
g
1  
1 
 g 
+ p ζ  p,−  + ζ  p,  + p 
h
 h  g 
h  
2
3.2.13
şeklinde bir üst sınır vardır. p tek ise,
 1
|| Tn  Tn || pp ≥  p
 | h |
p çift ise,
  h p
−   + ζ
  g 
g 
1
1
1 

p
,
−
+
+
+




h   | g − h | p | g + h | p | g | p 


2
3.2.14
 1
|| Tn  Tn || pp ≥  p
 | h |
 h  p
  + ζ
 g 
g 
1
1
1 

,
p
−
+
+
+




h   | g − h | p | g + h | p | g | p 


2
3.2.15
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 3.1.16 )’ daki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Toeplitz
matrisini, Tn(11) = Tn −1 ve Tn(12) , Tn(21) , Tn(22) sırasıyla; ( 3.1.23 ) , ( 3.1.24 ) , ( 3.1.25 )
’deki gibi tanımlamak üzere, ( 3.1.26 ) ’daki gibi blok matrislere ayıralım.
Böylece; Tn(ij ) ( 1 ≤ i, j ≤ 2 ) matrisleri ile ( 3.1.26 ) ’daki gibi blok matrislere
ayrılan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Tn Cauchy-Toeplitz matrisinin Tracy – Singh çarpımı,
(ij )
n
T
Tn( ij ) ⊗ Tn(11)
 Tn =  (ij )
( 21)
Tn ⊗ Tn
Tn( ij ) ⊗ Tn(12) 
 , i,j = 1, 2
Tn( ij ) ⊗ Tn( 22) 
şeklinde tanımlanmak üzere, ( 3.1.26 ) deki gibi bloklara ayrılmış n – mertebeli iki
Tn Cauchy-Toeplitz matrisinin, Tn  Tn ile gösterilen Tracy-Singh çarpımı;
Tn  Tn = ( Tn(ij )  Tn )ij
şeklinde tanımlanan n 2 - mertebeli reel karesel bir matristir.
Buradan, Tn  Tn matrisinin A p ( 1 ≤ p < ∞ ) normu için;
p
Ω(ij , kl ) =|| Tn( ij ) ⊗ Tn( kl ) ||gp
( 1 ≤ i, j , k , l ≤ 2)
olmak üzere,
|| Tn  Tn || pp =
2
2
∑ ∑ Ω(ij, kl )
i , j =1k , l =1
3.2.16
şeklinde eşitlik yazılır. Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı ve bu çarpımın
genelleştirilmiş - A p matris normu tanımları göz önüne alınırsa,

2
n −1
∑ Ω(11, kl ) =  ∑
k ,l =1
 i , j =1


g + (i − j )h 
1
p
  n −1

  n −1
1
1

+ 
  ∑
∑
p
p
  i , j =1 g + (i − j )h   i =1 g + (i − n)h 
 n −1
 1 
1
+
+ ∑
p
 j =1 g + (n − j )h  g p 



2
 n −1
k ,l =1
 i =1
∑ Ω(12, kl ) =  ∑

   n −1
  n −1
1
1

 
+ 
∑
∑
p
p
p
g + (i − n)h    i , j =1 g + (i − j )h   i =1 g + (i − n)h 
1
 n −1
 1 
1
+
+ ∑
 j =1 g + (n − j )h p  g p 



 n −1
2
∑ Ω(21, kl ) =  ∑
k , l =1

j =1


g + (n − j )h 
1
p
∑ Ω(22, kl ) =
k ,l =1
3.2.18
  n −1

  n −1
1
1

+ 
  ∑
∑
p
p
  i , j =1 g + (i − j )h   i =1 g + (i − n)h 
 n −1
 1 
1
+
+ ∑
p
 j =1 g + (n − j )h  g p 



2
3.2.17
3.2.19

  n −1
1
1   n −1
1

+ 

∑
∑
p
p
p
g   i , j =1 g + (i − j )h   i =1 g + (i − n)h 
 n −1
 1 
1
+
+ ∑
 j =1 g + (n − j )h p  g p 



3.2.20
eşitlikleri elde edilir. Böylece , ( 3.2.17 ) , ( 3.2.18 ) , ( 3.2.19 ) , ( 3.2.20 )
eşitliklerinden, Tn  Tn matrisinin A p ( 1 ≤ p < ∞ ) normu için;
  n −1
  n −1
  n −1
 1 
1
1
1
 +
+ 
+
|| Tn  Tn || =   ∑
∑
∑
p
p
p





 g p 
g
(
i
n
)
h
+
−
+
−
g
(
i
j
)
h
+
−
(
)
g
n
j
h
i
=
1
,
=
1
i
j
 
  j =1
 


2
p
p

|| Tn  Tn || = || Tn −1 || pp

p
p
 n −1
 1 
1   n −1
1
+
+ ∑
+ ∑
p
p
 i =1 g − ih   j =1 g + jh  g p 
 



2












n −1
n −1
1  1 
|| Tn  Tn || pp = || Tn −1 || pp + 1  ∑ 1  + 1 
+
p 
p 
p ∑
p 
p
h  i =1 g

 h  j =1 g + j  g 
i
−






h
h






2
3.2.21
eşitliği elde edilir. Şimdi ( 3.2.21 ) eşitliğini, p ’nin tek veya çift olma durumlarına
göre inceleyelim.
Böylece; ( 3.2.21 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.18 )
eşitsizliğinden, p tek ise;




p
 h
 1  n −1 1
p
(
)
g
g
n
−
1





|| Tn  Tn || p ≤ 
−   + ζ  p,−  + ζ  p,  + p  ∑
p
h

 h  h  i =1 g
  g 
h

−i


h


p













1  n −1
1  1 
+ p ∑
+
p 
p
h  j =1 g
 g 
j
+



h



2
3.2.22
eşitsizliği elde edilir. Ayrıca, Riemann – Zeta ( Hurwitz – Zeta ) fonksiyonu
tanımından ve 0 < g / h < 1 kabulünden hareketle;
∞
∑
i =1
∞
1
g
−i
h
p
=∑
i =1
∞
1
g
i−
h
p
=∑
i =1
1
g

i − 
h

p
≤ ζ ( p , − g / h)
3.2.23
∞
∑
i =1
∞
1
g
i+
h
p
=∑
i =1
1
g

i + 
h

p
≤ ζ ( p , g / h)
3.2.24
eşitsizlikleri yazılır. ( 3.2.22 ) , ( 3.2.23 ) , ( 3.2.24 ) eşitsizlikleri ile birlikte p ’nin
tek olması durumunda, ( 3.1.16 ) da tanımlanan n – mertebeli iki Tn CauchyToeplitz matrisinin Tracy – Singh çarpımı olan, n 2 - mertebeli karesel reel Tn  Tn
matrisinin A p ( 1 ≤ p < ∞ ) normu için;


 h
g
  
|| Tn  Tn || pp ≤  (n −p1) −  h  + ζ  p,− g  + ζ  p, g 

p

h

h 

1  
1 
g
 g 
+ p ζ  p,−  + ζ  p,  + p 
h
 h  g 
h  
2
şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.2.2 de verilen ( 3.1.12 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Benzer şekilde, ( 3.2.21 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.18 )
eşitsizliğinden, p çift ise;




p


 n −1 1
p


(
)
g
g
n
−
1
h
1





|| Tn  Tn || p ≤ 


+
−
+
+
p
p
,
,
ζ
ζ






 
p
p ∑
h

 h  h  i =1 g
 h  g 
−i


h


p













1  n −1
1  1 
+ p ∑
+ p
p 
h  j =1 g
g 

+j 


h



2
3.2.25
eşitsizliği elde edilir. Böylece, ( 3.2.23 ) , ( 3.2.24 ) , ( 3.2.25 ) eşitsizlikleri ile
birlikte p ’nin çift olması durumunda, ( 3.1.16 ) da tanımlanan n – mertebeli iki Tn
Cauchy- Toeplitz matrisinin Tracy – Singh çarpımı olan, n 2 - mertebeli karesel reel
Tn  Tn matrisinin A p ( 1 ≤ p < ∞ ) normu için;
 (n − 1)  h  p

|| Tn  Tn || ≤  p   + ζ  p,− g  + ζ  p, g 
h

 h 
 h  g 
p
p
1  
1 
g
 g 
+ p ζ  p,−  + ζ  p,  + p 
h
 h  g 
h  
2
şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.2.2 de verilen ( 3.1.13 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Şimdi de, Tn  Tn matrisinin A p ( 1 ≤ p < ∞ ) normu için bir alt sınır bulalım.
Bunun için,
( 3.2.21 ) eşitliğini p ’nin tek veya çift olmasına göre ayrı ayrı ele
alalım. Böylece ( 3.2.21 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.19 )
eşitsizliğinden, p tek ise;



p



2 −1
 1   h 
g 
1  2−1 1
1 
1 

p
|| Tn  Tn || p ≥  p  −   + ζ  p, −   +
+∑
+

∑
p
p
 | g |p 
h   | h | p  i =1 g

i =1 g
 | h |   g 
+i
−i 


h
h


 1
|| Tn  Tn || ≥  p
 | h |
p
p
  h p
−   + ζ
  g 
2
g 
1
1
1 

p
,
−
+
+
+




h   | g − h | p | g + h | p | g | p 


şeklinde bir alt sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.2.2 de verilen ( 3.1.14 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Benzer şekilde, ( 3.2.21 ) eşitliği ve Teorem 3.1.3 de verilen ( 3.1.19 )
eşitsizliğinden, p çift ise;
 1
|| Tn  Tn || ≥  p
 | h |
p
p
g 
1
1
1 

p
,
−
+
+
+



h   | g − h | p | g + h | p | g | p 


 h  p
  + ζ
 g 
şeklinde bir alt sınır elde edilir ki, böylece Teorem 3.2.2 de verilen ( 3.1.15 )
eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Teorem 3.2.3 Tn , ( 3.1.33 ) ’ daki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) CauchyToeplitz matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Tn Cauchy-Toeplitz
matrisinin, Tn  Tn ile gösterilen Tracy - Singh çarpımının A p matris normu için,

 1
a
a
1


Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 +  
|| Tn  Tn || pp ≤ (n − 1) p +
p
b
b
( p − 1)!b 


a
( −1)  
a
a   1 

p
1,1
p
1,1
+
Ψ
−
−
+
Ψ
−
+


 + 
b
b   a p 
( p − 1)!b p  


p
2
3.2.26
şeklinde bir üst sınır ve
 1
1
1
|| Tn  Tn || ≥  p +
+
p
p
2(b − a )
2(b + a )
 a
p
p
2

1
1
1 
 +
+
+
 3.2.27
p

(b + a ) p a p 
 (b − a )
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 3.1.33 )’ deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Tn Cauchy-Toeplitz
matrisini, Tn(11) = Tn −1 ve Tn(12) , Tn( 21) , Tn(22) sırasıyla; ( 3.1.38 ) , ( 3.1.39 ) , ( 3.1.40 )
’daki gibi tanımlamak üzere, ( 3.1.41 ) ’deki gibi blok matrislere ayıralım.
Böylece; Tn(ij ) ( 1 ≤ i, j ≤ 2 ) matrisleri ile ( 3.1.33 ) ’deki gibi tanımlanan ve
( 3.1.41 ) ’deki gibi blok matrislere ayrılan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Tn , Cauchy-Toeplitz
matrisinin Tracy – Singh çarpımı,
T ( ij ) ⊗ Tn(11)
Tn(ij )  Tn =  n( ij )
( 21)
Tn ⊗ Tn
Tn( ij ) ⊗ Tn(12 ) 
 , i,j = 1, 2
Tn( ij ) ⊗ Tn( 22 ) 
şeklinde tanımlanmak üzere, ( 3.1.41 ) deki gibi bloklara ayrılmış n – mertebeli iki
Tn Cauchy-Toeplitz matrisinin, Tn  Tn ile gösterilen Tracy-Singh çarpımı;
Tn  Tn = ( Tn(ij )  Tn )ij
şeklinde tanımlanan n 2 - mertebeli reel karesel bir matristir.
Buradan, Tn  Tn matrisinin A p normu için;
p
Ω(ij , kl ) =|| Tn( ij ) ⊗ Tn( kl ) ||gp
( 1 ≤ i, j , k , l ≤ 2)
olmak üzere,
|| Tn  Tn || pp =
2
2
∑ ∑ Ω(ij, kl )
3.2.28
i , j =1k , l =1
şeklinde eşitlik yazılır. Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı ve bu çarpımın
genelleştirilmiş - A p matris normu tanımları göz önüne alınırsa,
2

n −1
∑ Ω(11, kl ) =  ∑ a + (i 1− j)b
k , l =1
 i , j =1


p


  n −1

1
+
  ∑
p

+
−
a
(
i
j
)
b
  i , j =1


 n −1
1


p

∑
a
(
i
n
)
b
+
−

 i =1
 n −1
 1 
1
+
+ ∑
 j =1 a + (n − j )b p  a p 



3.2.29
2
 n −1
k , l =1
 i =1
∑ Ω(12, kl ) =  ∑


p
a + (i − n)b 
1
  n −1

  n −1
1
1

+ 
  ∑
∑
p
p



a
(
i
n
)
b
+
−
+
−
a
(
i
j
)
b
i
=
1
i
j
,
=
1
 

 
 n −1
 1 
1
+
+ ∑
 j =1 a + (n − j )b p  a p 



 n −1
2
∑ Ω(21, kl ) =  ∑
k , l =1

j =1
   n −1

1
 
+
∑
p
p
a + (n − j )b    i , j =1 a + (i − j )b 
1

 n −1
1


∑
 i =1 a + (i − n)b p 


 n −1
 1 
1
+
+ ∑
 j =1 a + (n − j )b p  a p 



2
∑ Ω(21, kl ) = a1
k , l =1
p
  n −1

1
+
  ∑
p
  i , j =1 a + (i − j )b 
3.2.30
3.2.31

 n −1
1


∑
p
 i =1 a + (i − n)b 


 n −1
 1 
1
+
+ ∑
p
 j =1 a + (n − j )b  a p 



3.2.32
eşitlikleri elde edilir. Böylece , ( 3.2.29 ) , ( 3.2.30 ) , ( 3.2.31 ) , ( 3.2.32 )
eşitliklerinden, Tn  Tn matrisinin A p normu için;
  n −1

1
+
|| Tn  Tn || =   ∑
p


+
−
a
(
i
j
)
b
i
j
,
=
1
 

p
p

|| Tn  Tn || = || Tn −1 || pp

p
p
 n −1
  n −1
 1 
1
1

 +
+
∑
∑
p
 i =1 a + (i − n)b   j =1 a + (n − j )b p  a p 

 


 n −1
 1 
1   n −1
1
+
+ ∑
+ ∑
p
p
 i =1 a − ib   j =1 a + jb  a p 
 



2
2
3.2.33
eşitliği elde edilir. ( 3.2.33 ) eşitliği ve Teorem 3.1.5 de verilen ( 3.1.34 ) eşitsizliği
ile,

 1
1
a
a


p
1
,
1
p
1
,
1
Ψ
−
−
+
Ψ
−
+
|| Tn  Tn || pp ≤ (n − 1) p +




b
b
( p − 1)!b p 


a
 1 
 n −1
1   n −1
1
+

+
∑
∑
 j =1 a − ib p   j =1 a + jb p  a p 

 


(3.2.34 ) eşitsizliğindeki
n −1

1
∑  a − ib
i =1

p
+
2
3.2.34

 ifadesinin Polygamma
a + ib 
1
p
fonksiyonu cinsinden,
 1
(− 1)p
1 

=
+
∑
 a − ib p a + ib p  ( p − 1)!b p
i =1


n −1

a
a


− Ψ  p − 1, n − b  − Ψ  p − 1, n + b 





a
a 


+ Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 + 
b
b 


yazıldığı ve ayrıca,
p
 1
( −1)
1 

lim ∑
=
+
n →∞
 a − ib p a + ib p  ( p − 1) !b p
i =1


n −1
a
a 
 

 Ψ  p − 1,1 − b  + Ψ  p − 1,1 + b   3.2.35



 
olduğu bilindiğine göre, böylece ( 3.2.34 ) eşitsizliği ve ( 3.2.35 ) eşitliğinden,
Tn  Tn matrisinin A p normu için;

 1
1
a
a


p
p
Ψ
−
−
+
Ψ
−
+
|| Tn  Tn || pp ≤ (n − 1) p +
1
,
1
1
,
1




b
b
( p − 1)!b p 


a
( −1)  
a
a   1 

+
Ψ  p − 1,1 −  + Ψ  p − 1,1 +   + p 
p 
b
b  a 
( p − 1)!b  


p
2
şeklinde bir üst sınır elde edilir ki; Teorem 3.2.3 ile verilen ( 3.2.26 ) eşitsizliği ispat
edilmiş olunur.
Şimdi de, Tn  Tn matrisinin A p normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,
Teorem 3.1.5 ile verilen ( 3.1.35 ) eşitsizliğini ve ( 3.2.33 ) eşitliğini göz önüne
alırsak,

|| Tn  Tn || = || Tn −1 || pp

p
p
 n −1
1
+ ∑
 i =1 a − ib

p
  n −1
 1 
1
 +
+
∑
p
  j =1 a + jb  a p 

 

 1
1
1
≥  p +
+
p
p
2(b − a )
2(b + a )
 a
 1
1
1
|| Tn  Tn || ≥  p +
+
p
p
2(b − a )
2(b + a )
 a
p
p




2
 1 
  2 −1
 2 −1
1
1
+
+
+ ∑
∑
 j =1 a + jb p   j =1 a + jb p  a p 

 



1
1
1 
 +
+
+

p
p

(b + a ) a p 
 (b − a )
2
2
şeklinde bir alt sınır elde edilir ki; Teorem 3.2.3 ile verilen ( 3.2.27 ) eşitsizliği ispat
edilmiş olunur.
4. CAUCHY – HANKEL MATRİSLERİ
Tanım 4.1. ( 3.1 ) ile verilen Cauchy matrisinde, a ve b keyfi sayılar olmak üzere,
a
(b ≠ 0, ∉ ]) x k = a + bk ve y j = − jb alınarak elde edilen
b
n


1
Hn = 

 a + ( k + j ) b  k , j =1
( 4.1 )
matrisine Cauchy – Hankel matrisi denir.
4.1. Cauchy – Hankel Matrislerinin Khatri – Rao Çarpımlarının A p Normları
İçin Sınırlar
Teorem 4.1.1 H n , ( 4.1 ) matrisinde a = 1/ 2 ve b = 1 alınması ile elde edilen,
n




1
Hn = 

1
 + (i + j ) 
2
 i , j =1
( 4.1.1 )
şeklindeki Cauchy-Hankel matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan H n
matrisinin A p normu için,


1

|| H n || p ≤ 1 + ( 2 p −1 − 1) ζ ( p − 1) −  2 p −1 −  ζ ( p ) − ln 2
2



1/ p
( 4.1.2 )
1/ p
1
1



|| H n || p ≥  2 p − 2 −  ζ ( p − 1) −  2 p − 2 −  ζ ( p) 
2
4



şeklinde bir alt ve üst sınır vardır ( Bozkurt 1996 ).
( 4.1.3 )
Teorem 4.1.2 H n , ( 4.1.1 ) ’deki gibi tanımlanan n- mertebeli ( n ≥ 2 ) bir
Cauchy-Hankel matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Cauchy-Hankel
matrisinin Khatri-Rao çarpımının A p (2 ≤ p < ∞) matris normu için,
1



||Hn”Hn || ≤ 1 − ln 2 + ( 2 p −1 − 1) ζ ( p − 1) −  2 p −1 −  ζ ( p ) 
2



2
p
p
2
1
2
+ ( 2 p − 2 ) ζ ( p − 1) − ( 2 p − 1) ζ ( p )  +  
2
9
2p
( 4.1.4 )
şeklinde bir üst sınır ve
2


1
22 p +1
1

||Hn”Hn || ≥  2 p − 2 − ζ ( p − 1) −  2 p − 2 − ζ ( p ) + 2 p
2
4
7



p
p
( 4.1.5 )
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 4.1.1 ) ile verilen n- mertebeli ( n ≥ 2 ) H n Cauchy-Hankel matrisini,
H n(11) = H n −1 , H n(12) ;
n −1
H n(12)


 1

=

1
 + i + n
2
 i =1
şeklinde ( n-1 ) – mertebeli reel sütun vektör, H n( 21) ;
( 4.1.6 )
n −1
H n( 21)




1
=

1
 + j + n
2
 j =1
( 4.1.7 )
şeklinde (n-1)- mertebeli reel satır vektör, H n( 22) ;
H
( 22 )
n


 1 

=
1

 + 2n 
2
1x1
( 4.1.8 )
şeklinde reel matris olmak üzere,
 H (11)
H n =  n( 21)
H n
H n(12) 

H n( 22) 
( 4.1.9 )
şeklinde blok matrislere ayıralım.
Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Hankel
matrisinin Khatri-Rao çarpımı,
 H ⊗ H n −1
Hn”Hn =  (n21−1)
( 21)
H n ⊗ H n
H n(12 ) ⊗ H n(12 ) 

H n( 22 ) ⊗ H n( 22 ) 
şeklinde 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Hn”Hn matrisidir.
( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki H n −1 , Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker
çarpımı,
n −1
H n −1 ⊗ H n −1
n −1

 

 
1
1

 
= 
  1
1
 
  + i + j   + k + l   
2
  k ,l =1  i , j =1
   2
şeklinde tanımlanan, (n − 1) 2 - mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) - mertebeli iki
H n(12) vektörünün Kronecker çarpımı,
n −1
H n(12) ⊗ H n(12)
n −1

 

 
1
1


 
=
  1
1
 
  + i + n   + k + n   
2
  k =1  i =1
   2
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel sütun vektör; ( n-1 ) - mertebeli iki H n(21) vektörünün
Kronecker çarpımı;
H n( 21) ⊗ H n( 21)
n −1

 

 
1
1

 
= 
  1
 1
 
  + j + n   + l + n   
2
  l =1 
   2
n −1
j =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli yatay reel vektör; 1 – mertebeli reel iki H n(22) matrisinin
Kronecker çarpımı,
H n( 22) ⊗ H n( 22)




1


=
2 
 1

  + 2n  
  1x1
  2
şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.
Böylece, matrisler için tanımlanan A p ( p ≥ 2) matris normu ve vektörler için
tanımlanan p - normu tanımlarından,
|| Hn”Hn || pp =
2
∑ || H
i , j =1
( ij )
n
⊗ H n( ij ) || pp
( 4.1.10 )
eşitliği yazılır. Yukarıda tanımlanan, H n(11) ⊗ H n(11) , H n( 22) ⊗ H n( 22) karesel matrislerin
A p ( p ≥ 2) normlarının ve H n(12) ⊗ H n(12) , H n( 21) ⊗ H n( 21) vektörlerinin p – normlarının
p. kuvvetlerinin ve de ( 4.1.10 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;

 n −1
1
||Hn”Hn || pp =  ∑
i , j =1 1
  +i+
  2
2
2
2

 



 


n −1
1
1
  n −1
1
 +
 +
2p
+
p 
∑
p
∑
p 
1


i =1  1
1

1
=
j
 


  + i + n    + j + n 
 + 2n 
j 

 

2

   2
 
 
 2




n−2

n −1
n−i
1



+
p   + 2 ∑
p 
(
)
2
n
2
i
1
+
+
i =1

 i =1  1 + i + n  


 
 2
2
2
  n −1
i
= 2 p  ∑
p
  i =1 (2i + 1)
∑
+
1
1

 + 2n 
2

2p
2
≤ || H n −1 ||2p p




1
i
 n −1
 +
+ 2 ∑
2p
p 
1

 i =1  1 + i + n  
 + 4


2

 
 2
2
=|| H n −1 ||
2p
p
+2
2 p +1
 n −1
 2
i
 ∑
 + 
p 
 i =1 (2n + 2i + 1)   9 
2
 n −1
 2
i
 ∑
 + 
p 
 i =1 (2i + 1)   9 
2p
2p
||Hn”Hn || ≤ || H n −1 ||
+2
||Hn”Hn || pp ≤ || H n −1 ||2p p
 n −1 
1
1
+22 p −1  ∑ 
−
p −1
p
 i =1  ( 2i + 1)
( 2i + 1)
p
p
2p
p
2 p +1
2
   2 2 p
 +  
  9 

( 4.1.11 )
eşitliği elde edilir. Böylece, elde edilen ( 4.1.11 ) eşitsizliği ve Teorem 4.1.1 de
verilen ( 4.1.2 ) eşitsizliği ile,


1

||Hn”Hn || ≤ 1 − ln 2 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) −  2 p −1 − ζ ( p )
2



(
p
p
)
 n −1 
1
1
+22 p −1  ∑ 
−
p −1
p
 i =1  ( 2i + 1)
( 2i + 1)
eşitsizliği
n −1

yazılır.
1
∑  (2i + 1)
i =1

p −1
−
(
4.1.12
)
eşitsizliğinin
2
2
   2 2 p
 +  
  9 

sağ
tarafında
( 4.1.12 )
yer
alan

1
 ifadesinin Polygamma fonksiyonu cinsinden değeri,
p 
(2i + 1) 

1
1

−
∑
p −1

(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
n −1

(− 1) p Ψ p − 2, n + 1  + 1 − 1 ζ ( p − 1)
 = p −1
 

 2 ( p − 2 )! 
2   2 p −1 

+
(− 1) p Ψ p − 1, n + 1  − 1 − 1  ζ p

 
 ( )
2   2p 
2 p ( p − 1)! 
şeklinde yazılır ve
n −1 
1
1
lim ∑ 
−
−
p
1
n→∞
(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
 
1
1
 = 1 − p −1 ζ ( p − 1) −  1 − p
  2 
 2


ζ ( p )

( 4.1.13 )
olduğu bilindiğine göre, böylece ( 4.1.13 ) eşitliği ve ( 4.1.12 ) eşitsizliğinden,
Hn”Hn matrisinin A p normu için,


1

||Hn”Hn || ≤ 1 − ln 2 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) −  2 p −1 − ζ ( p )
2



p
p
(
)
2
2
1
2
+ ( 2 p − 2 ) ζ ( p − 1) − ( 2 p − 1) ζ ( p )  +  
2
9
2p
şeklinde bir üst sınır elde edilmiş olunur ki, ( 4.1.4 ) eşitsizliği ispat edilmiş olur.
Şimdi de, Hn”Hn matrisinin A p normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,
2
||Hn”Hn || pp =|| H n −1 ||2p p




n −1
1
1

 +
+ 2 ∑
2p
p 
1

 i =1  1 + i + n  
 + 2n 


2

 
 2
( 4.1.14 )
eşitliğini tekrar göz önüne alalım. Böylece, ( 4.1.14 ) eşitliği ve Teorem 4.1.1 de
verilen ( 4.1.3 ) eşitsizliği ile, Hn”Hn matrisinin A p normu için;
2

1

||Hn”Hn || pp ≥  2 p − 2 − ζ ( p − 1) −  2 p − 2
2






n −1

1
1

− ζ ( p ) + 2 ∑


p
4

 i =1  1 + i + n  


 
 2
2

1

||Hn”Hn || pp ≥  2 p − 2 − ζ ( p − 1) −  2 p − 2
2






2 −1

1
1


− ζ ( p ) + 2 ∑

p 
4

 i =1  1 + i + 2  


 
 2
2
2
2


1
22 p +1
1

||Hn”Hn || ≥  2 p − 2 − ζ ( p − 1) −  2 p − 2 − ζ ( p ) + 2 p
2
4
7



p
p
şeklinde bir alt sınır elde edilmiş olunur ki, böylece ( 4.1.5 ) eşitsizliği ispat edilmiş
olur.
Teorem 4.1.3 c ve d, c < d olacak şekildeki herhangi iki pozitif reel sayı olmak
üzere,
n


1
Hn = 

 c − (i + j )d  i , j =1
( 4.1.15 )
şeklinde tanımlanan H n Cauchy-Hankel matrisinin A p (3 ≤ p < ∞) normu için,
1/ p
c−d
c
c
1 1


Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  
|| H n || p ≤ 
d  ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 
d
d  



1
2
1
|| H n || p ≥ 
+
+
p
p
p 
(3d − c ) (4d − c ) 
 (2d − c )
( 4.1.16 )
1/ p
( 4.1.17 )
şeklinde üst ve alt sınır vardır ( Çatak 2001 ).
Teorem 4.1.4 H n , ( 4.1.15 ) ile verilen n - mertebeli ( n ≥ 2 ) bir Cauchy-Hankel
matrisi olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki Cauchy-Hankel matrisinin Khatri-Rao
çarpımının A p (3 ≤ p < ∞) matris normu için,
1
||Hn”Hn || pp ≤ 2 p
d
 1
c−d
c
c 


Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  

d
d  

 ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 
2
 (− 1) p  c − d
d −c

+ 2
Ψ  p − 1,1 +

p 
d 
 ( p − 2 )! d  ( p − 1)d 
2
1
d − c  

−Ψ  p − 2,1 +
  +
d    ( 2d − c ) 2 p

( 4.1.18 )
şeklinde bir üst sınır ve
2


1
2
1
2
||Hn”Hn || ≥ 
+
+
+
p
p
p 
(3d − c ) (4d − c )  ( 3d − c )2 p
 (2d − c )
p
p
şeklinde bir alt sınır vardır.
( 4.1.19 )
İspat : ( 4.1.15 ) ile verilen n- mertebeli ( n ≥ 2 ) H n Cauchy-Hankel matrisini,
H n(11) = H n −1 , H n(12) ;
n −1
H
(12 )
n


1
=

 c − (i + n)d  i =1
( 4.1.20 )
şeklinde ( n-1 ) – mertebeli reel sütun vektör, H n( 21) ;
n −1
H
( 21)
n


1
=

 c − (n + j )d  j =1
( 4.1.21 )
şeklinde (n-1)- mertebeli reel satır vektör, H n( 22) ;
 1 
H n( 22 ) = 

 c − 2nd 1x1
( 4.1.22 )
şeklinde reel matris olmak üzere,
 H (11)
H n =  n( 21)
H n
H n(12) 

H n( 22) 
( 4.1.23 )
şeklinde blok matrislere ayıralım.
Bu şekilde bloklara ayrılmış n- mertebeli ( n ≥ 2 ) iki Cauchy-Hankel
matrisinin Khatri-Rao çarpımı,
 H ⊗ H n −1
Hn”Hn =  (n21−1)
( 21)
H n ⊗ H n
H n(12) ⊗ H n(12) 

H n( 22) ⊗ H n( 22) 
şeklinde 2((n − 1) 2 + 1) - mertebeli karesel reel Hn”Hn matrisidir.
( n-1 ) - mertebeli ( n ≥ 2 ) iki H n −1 Cauchy-Toeplitz matrisinin Kronecker
çarpımı,
n −1
H n −1 ⊗ H n −1
n −1



1
1
= 


  (c − (i + j )d ) (c − (k + l )d )  k ,l =1  i , j =1
şeklinde tanımlanan, (n − 1) 2 - mertebeli karesel reel matris; ( n-1 ) - mertebeli iki
H n(12) vektörünün Kronecker çarpımı,
n −1
H
(12 )
n
⊗H
(12 )
n
n −1

 
1
1
= 
 
  (c − (i + n)d ) (c − (k + n)d )  k =1  i =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel sütun vektör; ( n-1 ) - mertebeli iki H n(21) vektörünün
Kronecker çarpımı;
n −1
H n( 21) ⊗ H n( 21)
n −1

 
1
1
= 
 
  (c − (n + j )d ) (c − (n + l )d )  l =1  j =1
şeklinde ( n-1 )2 – mertebeli reel satır vektör; 1 – mertebeli reel iki H n(22) matrisinin
Kronecker çarpımı,


1
H n( 22) ⊗ H n( 22) = 
2 
 (c − 2nd )  1x1
şeklinde 1 – mertebeli reel matristir.
Böylece, matrisler için tanımlanan A p
tanımlanan p - normu tanımlarından,
matris normu ve vektörler için
|| Hn”Hn || pp =
2
∑ || H
i , j =1
( ij )
n
⊗ H n( ij ) || pp
( 4.1.24 )
eşitliği yazılır. Yukarıda tanımlanan, H n(11) ⊗ H n(11) , H n( 22) ⊗ H n( 22) karesel matrislerin
A p normlarının ve H n(12) ⊗ H n(12) , H n( 21) ⊗ H n( 21) vektörlerinin p – normlarının p.
kuvvetlerinin ve de ( 4.1.24 ) eşitliğinin dikkate alınması ile;
 n −1
1
||Hn”Hn || =  ∑
 i =1 c − (i + n)d

p
p
2
  n −1
1
 +
p
 ∑
  i =1 c − (i + n)d
2
p
  n −1
1
 +∑
  j =1 c − ( j + n)d
 
+
2
1
(c − 2nd )2 p
2
2p
p
 n −1
1
+2 ∑
p
 i =1 ((i + n)d − c )

1
 +

(2nd − c )2 p

||Hn”Hn || pp ≤|| H n −1 ||2p p
 n −1
i
+2  ∑
 i =1 ( (i + 1) d − c ) p


1
 +
 ( 2nd − c )2 p

=|| H n −1 ||
p




2
( 4.1.25 )
eşitsizliği elde edilir. Böylece ( 4.1.25 ) eşitsizliği ve Teorem 4.1.3 ile verilen
( 4.1.16 ) eşitsizliği ile,
c−d
c
c 
1  1


||Hn”Hn || ≤ 2 p 
Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  
d
d  
d  ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 

2
p
p
 n −1
i
+2  ∑
 i =1 ( (i + 1)d − c ) p

2

1
 +
 ( 2d − c ) 2 p

( 4.1.26 )
eşitsizliği elde edilir. ( 4.1.26 ) eşitsizliğinin sağ tarafında yer alan,
n −1
∑
i =1
i
( (i + 1)d − c )
p
ifadesinin Polygamma fonksiyonu cinsinden değeri,
n −1
∑
i =1
i
( (i + 1)d − c )
p
 (− 1) p (c − d ) 
d −c
d − c 


=
− Ψ  p − 1, n +
 + Ψ  p − 1,1 +

p +1 
d 
d 



 ( p − 1)! d
( −1)  Ψ  p − 2, n + d − c  − Ψ  p − 2,1 + d − c   


 
d 
d   
( p − 2 )!d p  

p
+
olup,
p
(
− 1)
=
lim ∑
p
n →∞
( p − 2)! d p
i =1 ( (i + 1) d − c )
n −1
i
 c−d
d −c

 ( p − 1)d Ψ  p − 1,1 + d 



d − c 

− Ψ  p − 2,1 +

d 

( 4.1.27 )
dir. Böylece ( 4.1.27 ) eşitliği ve ( 4.1.26 ) eşitsizliğinden, Hn”Hn matrisinin A p
normu için,
1
||Hn”Hn || ≤ 2 p
d
p
p
 1
c−d
c
c 


Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  

d
d  

 ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 
 (− 1) p
+ 2
p
 ( p − 2 )! d
2
 c−d
d −c

 ( p − 1)d Ψ  p − 1,1 + d 



2
1
d − c  

−Ψ  p − 2,1 +
  +
d    ( 2d − c ) 2 p

şeklinde bir üst sınır elde edilir ki, ( 4.1.18 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Şimdi de, Hn”Hn matrisinin A p normu için bir alt sınır bulalım. Bunun için,
||Hn”Hn || =|| H n −1 ||
p
p
2p
p
 n −1
1
+2 ∑
p
 i =1 ((i + n)d − c )
2

1
 +

(2nd − c )2 p

( 4.1.28 )
eşitliğini tekrar göz önüne alalım. Buradan, ( 4.1.28 ) eşitliği ve Teorem 4.1.3 ile
verilen ( 4.1.17 ) eşitsizliği ile, Hn”Hn matrisinin A p normu için
2


1
2
1
2
||Hn”Hn || ≥ 
+
+
+
p
p
p 
(3d − c ) (4d − c )  ( 3d − c )2 p
 (2d − c )
p
p
şeklinde bir alt sınır bulunur ki, ( 4.1.19 ) eşitsizliği ispat edilmiş olur.
4.2. Cauchy – Hankel Matrislerinin Tracy – Singh Çarpımlarının A p Normları
İçin Sınırlar
Teorem 4.2.1 H n , ( 4.1.1 ) ile verilen n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Hankel matrisi
olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki H n Cauchy-Hankel matrisinin, Hn  Hn ile
gösterilen Tracy - Singh çarpımının A p ( p ≥ 2) matris normu için,
1


|| Hn  Hn || pp ≤ 1 − ln 2 + ( 2 p + 2 p −1 − 3) ζ ( p − 1) +  2 p − 2 p −1 −  ζ ( p )
2


2
+ 
9
şeklinde bir üst sınır ve
p



2
( 4.2.1 )
 p − 2 1 
2 p +1 
 p −2 1 
|| Hn  Hn || ≥  2
− ζ ( p − 1) −  2
− ζ ( p ) + p 
2
4
7 


2
p
p
( 4.2.2 )
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 4.1.1 ) ile verilen n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Hankel matrisini,
H n(11) = H n −1 ve H n(12) , H n( 21) , H n( 22) sırasıyla; ( 4.1.6 ) , ( 4.1.7 ) , ( 4.1.8 ) ’ deki
gibi tanımlamak üzere, ( 4.1.9 ) ’daki gibi blok matrislere ayıralım.
Böylece; H n(ij ) ( 1 ≤ i, j ≤ 2 ) matrisleri ile ( 4.1.9 ) ’daki gibi bloklara ayrılan
n- mertebeli ( n ≥ 2 ) H n , Cauchy-Hankel matrisinin Tracy – Singh çarpımı,
H
(ij )
n
 H n( ij ) ⊗ H n(11)
 H n =  (ij )
( 21)
H n ⊗ H n
H n( ij ) ⊗ H n(12 ) 
 , i,j = 1, 2
H n(ij ) ⊗ H n( 22) 
şeklinde tanımlanmak üzere, ( 4.1.9 ) deki gibi bloklara ayrılmış n – mertebeli iki
H n Cauchy-Hankel matrisinin, H n  H n ile gösterilen Tracy-Singh çarpımı;
H n  H n = ( H n(ij )  H n )ij
şeklinde tanımlanan n 2 - mertebeli reel karesel bir matristir.
Bu sebeptendir ki; ||.||gp , Tanım 2.3.6 ’da verilen genelleştirilmiş - A p matris
normu olmak üzere, H n  H n matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için;
p
Ω(ij , kl ) =|| H n( ij ) ⊗ H n( kl ) || gp
( 1 ≤ i, j , k , l ≤ 2)
olmak üzere,
|| H n  H n || pp =
2
2
∑ ∑ Ω(ij, kl )
i , j =1k , l =1
( 4.2.3 )
şeklinde eşitlik yazılır. Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı ve bu çarpımın
genelleştirilmiş - A p matris normu tanımları göz önüne alınırsa,
 


 


n −1
n −1
1
1
 

Ω(11, kl ) =  ∑
+
p   ∑
p 

k , l =1
 i , j =1  1 + i + j     i , j =1  1 + i + j  
 


   
2
 
2

2
∑




n −1
1


p 
∑
 i =1  1 + i + n  


 
 2






n −1
1
1



+ ∑
+
p 
p
 j =1  1 + n + j    1 + 2n  


  2
 
 2




n −1
1


Ω(12, kl ) = ∑
p 

k , l =1
 i =1  1 + i + n  


 
 2
2
∑



  n −1
1


+
 ∑
p 
  i , j =1  1 + i + j  

 
 
2





n −1
1


p 
∑
 i =1  1 + i + n  


 
 2






1
1
 n −1


+ ∑
+
p
p 
 j =1  1 + n + j    1 + 2n  


  2
 
 2




n −1
1


Ω(21, kl ) = ∑
p 

k , l =1
 i =1  1 + i + n  


 
 2
2
∑



  n −1
1


+
 ∑
p 
  i , j =1  1 + i + j  

 
 
2

( 4.2.4 )
( 4.2.5 )




1
 n −1

p 
∑
 i =1  1 + i + n  


 
 2






n −1
1
1


 ( 4.2.6 )
+ ∑
+
p
p 
 j =1  1 + n + j    1 + 2n  


  2
 
 2

  n −1
1
1

Ω(21, kl ) =
p  ∑
k , l =1
i , j =1  1
1

 + 2n   
 +i+
2

 
2
2
∑



+
p 
 
j 
 




n −1
1


p 
∑
 i =1  1 + i + n  


 
 2






n −1
1
1



+ ∑
+
p
p 
 j =1  1 + n + j    1 + 2n  


  2
 
 2
( 4.2.7 )
eşitlikleri yazılır.
Böylece, ( 4.2.4 ) , ( 4.2.5 ) , ( 4.2.6 ) , ( 4.2.7 ) eşitliklerinden, H n  H n
matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için;



  n −1
1

|| H n  H n || pp =   ∑
+
p 

  i , j =1  1 + i + j  

 
 
2


 



 


n −1
1
n
−
1

 
1
1


+
+
∑
p 

p 
p
∑
i =1  1
  + i + n    j =1  1 + n + j    1 + 2n  

 

   2
 
  2
 2








1
1
 n −1



p
= || H n −1 || p +2 ∑
+
p 
p

 i =1  1 + i + n    1 + 2n  



  2
 
 2

2




 n −1

1
1



+
= || H n −1 || pp +2 p +1  ∑
p 
p

 i =1 (2n + 2i + 1)   1

 + 2n  

 
2




n −1

i
1

|| H n  H n || pp ≤ || H n −1 || pp +2 p +1  ∑

p
 (2i + 1)p  +

 i =1
 1

 + 2n  

 
2
2
2
2


n −1 
1
1
|| H n  H n || pp ≤ || H n −1 || pp +2 p ∑ 
−
p −1
p

i =1 ( 2i + 1)
( 2i + 1)






1

+
p 
 1
 

 + 2n  
2
 
2
( 4.2.8 )
eşitsizliği elde edilir. Böylece, elde edilen ( 4.2.8 ) eşitsizliği ve Teorem 4.1.1 de
verilen ( 4.1.2 ) eşitsizliği ile,

1

|| H n  H n || pp ≤ 1 − ln 2 + 2 p −1 − 1 ζ ( p − 1) −  2 p −1 − ζ ( p )
2


(
)

1
1
+2 ∑ 
−
p −1
p
i =1  ( 2i + 1)
( 2i + 1)

  2  p 
+  
 9 


)
tarafında
p
eşitsizliği
yazılır.
(
4.2.9
n −1
eşitsizliğinin
sağ
2
( 4.2.9 )
yer

1
1

−
∑
p −1
p

i =1 ( 2i + 1)
( 2i + 1)


 ifadesinin Polygamma fonksiyonu cinsinden,



1
1

−
∑
p −1

(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)

(− 1) p Ψ p − 2, n + 1  + 1 − 1 ζ ( p − 1)
 = p −1
 

 2 ( p − 2)! 
2 
2 p −1 

n −1
n −1
+
alan
(− 1) p Ψ p − 1, n + 1  − 1 − 1  ζ p

 
 ( )
2   2p 
2 p ( p − 1)! 
şeklinde yazıldığı ve ayrıca
n −1 
1
1
lim ∑ 
−
−
p
1
n→∞
(2i + 1) p
i =1  (2i + 1)
 
1
1
 = 1 − p −1 ζ ( p − 1) −  1 − p
 
2 
 2


ζ ( p )

( 4.2.10 )
olduğu bilindiğine göre, böylece ( 4.2.10 ) eşitliği ve ( 4.2.9 ) eşitsizliğinden,
H n  H n matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için;
p

1

 2  
|| H n  H n || ≤ 1 − ln 2 + ( 2 p + 2 p −1 − 3) ζ ( p − 1) +  2 p − 2 p −1 −  ζ ( p ) +   
2

 9  

2
p
p
şeklinde bir üst sınır bulunur ki, böylece ( 4.2.1 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Şimdi de, H n  H n matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için bir alt sınır bulalım.
Bunun için,




n
−
1

1
1

|| H n  H n || pp = || H n −1 || pp +2 p +1  ∑

+
p
 (2n + 2i + 1)p 

 i =1
 1

 + 2n  

2
 

2
( 4.2.11 )
eşitliğini tekrar göz önüne alalım. Böylece, ( 4.2.11 ) eşitliği ve Teorem 4.1.1 de
verilen ( 4.1.3 ) eşitsizliği ile, H n  H n matrisinin A p ( p ≥ 2) normu için;
n −1


1
1
1

|| H n  H n || pp ≥  2 p − 2 −  ζ ( p − 1) −  2 p − 2 −  ζ ( p ) + 2 p +1 ∑
p 
2
4

i =1 ( 2i + 2n + 1) 


2 −1


1
1
1

≥  2 p − 2 −  ζ ( p − 1) −  2 p − 2 −  ζ ( p ) + 2 p +1 ∑
p 
2
4

i =1 ( 2i + 5 ) 



1
2 p +1 
1

|| H n  H n || ≥  2 p − 2 − ζ ( p − 1) −  2 p − 2 − ζ ( p ) + p 
2
4
7 


2
2
2
p
p
şeklinde bir alt sınır elde edilir ki, böylece ( 4.2.2 ) eşitsizliği ispat edilmiş olur.
Teorem 4.2.2 H n , ( 4.1.15 ) ile verilen n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Hankel matrisi
olmak üzere, bu şekilde tanımlanan iki H n Cauchy-Hankel matrisinin, Hn  Hn ile
gösterilen Tracy - Singh çarpımının A p (3 ≤ p ≤ ∞) matris normu için,
 1
|| Hn  Hn || pp ≤  p
 d
 1
c−d
c
c 


Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  

d
d  

 ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 
 (− 1) p
+ 2
p
 ( p − 2 )! d
 c−d
d −c

 ( p − 1)d Ψ  p − 1,1 + d 




1
d − c  

− Ψ  p − 2,1 +
  +
p 
d    ( 2d − c ) 

2
( 4.2.12 )
şeklinde bir üst sınır ve


1
4
1
|| H n  H n || ≥ 
+
+
p
p
p 
(3d − c ) (4d − c ) 
 (2d − c )
2
p
p
( 4.2.13 )
şeklinde bir alt sınır vardır.
İspat : ( 4.1.15 ) ile verilen n- mertebeli ( n ≥ 2 ) Cauchy-Hankel matrisini,
H n(11) = H n −1 ve H n(12) , H n( 21) , H n( 22) sırasıyla; ( 4.1.20 ) , ( 4.1.21 ) , ( 4.1.22 ) ’ deki
gibi tanımlamak üzere, ( 4.1.23 ) ’deki gibi blok matrislere ayıralım.
Böylece; H n(ij ) ( 1 ≤ i, j ≤ 2 ) matrisleri ile ( 4.1.23 ) ’de ki gibi bloklara ayrılan
n- mertebeli ( n ≥ 2 ) H n Cauchy-Hankel matrisinin Tracy – Singh çarpımı,
 H ( ij ) ⊗ H n(11)
H n(ij )  H n =  n(ij )
( 21)
H n ⊗ H n
H n( ij ) ⊗ H n(12 ) 
 , i,j = 1, 2
H n(ij ) ⊗ H n( 22) 
şeklinde tanımlanmak üzere, ( 4.1.23 ) ’deki gibi bloklara ayrılmış n – mertebeli iki
H n Cauchy-Hankel matrisinin, H n  H n ile gösterilen Tracy-Singh çarpımı;
H n  H n = ( H n(ij )  H n )ij
şeklinde tanımlanan n 2 - mertebeli reel karesel bir matristir.
||.||gp , ( 2.3.6 ) da tanımlanan genelleştirilmiş - A p matris normu olmak üzere,
H n  H n matrisinin A p normu için;
p
Ω(ij , kl ) =|| H n( ij ) ⊗ H n( kl ) || gp
( 1 ≤ i, j , k , l ≤ 2)
olmak üzere,
|| H n  H n || pp =
2
2
∑ ∑ Ω (ij, kl )
( 4.2.14 )
i , j =1k , l =1
şeklinde eşitlik yazılır. Herhangi iki matrisin Kronecker çarpımı ve bu çarpımın
genelleştirilmiş - A p matris normu tanımları göz önüne alınırsa,
2

n −1
∑ Ω(11, kl ) =  ∑ c − (i +1 j)d
k , l =1
 i , j =1
   n −1
1
 
∑
p
   i , j =1 c − (i + j )d
 
  n −1
1
+ 
∑
p
  i =1 c − (i + n)d
 
 n −1
1
+ ∑
 j =1 c − (n + j )d

2
 n −1
k , l =1
 i =1
∑ Ω(12, kl ) =  ∑
   n −1
1
 
∑
p


c − (i + n)d    i , j =1 c − (i + j )d
1
p

1
+
 c − 2nd

p



  n −1
1
+ 
p
 ∑
  i =1 c − (i + n)d
 n −1
1
+ ∑
 j =1 c − (n + j )d


1
+
p
 c − 2nd


p

p




( 4.2.15 )


p


( 4.2.16 )
 n −1
2
∑ Ω(21, kl ) =  ∑
k , l =1
 i =1
   n −1
1
 
∑
p


c − (i + n)d    i , j =1 c − (i + j )d
1
  n −1
1
+ 
p
 ∑
  i =1 c − (i + n)d
 n −1
1
+ ∑
 j =1 c − (n + j )d

2
∑ Ω (22, kl ) =
k , l =1
1
c − 2nd
p
  n −1
1
  ∑
  i , j =1 c − (i + j )d

1
+
p
 c − 2nd

  n −1
1
+ 
∑
p
  i =1 c − (i + n)d
 
 n −1
1
+ ∑
 j =1 c − (n + j )d


1
+
p
 c − 2nd


p

p
p




( 4.2.17 )





p

( 4.2.18 )
eşitlikleri yazılır. Böylece , ( 4.2.15 ) , ( 4.2.16 ) , ( 4.2.17 ) , ( 4.2.18 ) eşitliklerinden,
H n  H n matrisinin A p normu için;

n −1


 n −1
1
1

+ 
|| H n  H n || pp =   ∑
∑
p
p



  i , j =1 c − (i + j )d   i =1 c − (i + n)d 
 n −1
1
+ ∑
 j =1 c − (n + j )d



 n −1

1
1
+
|| H n  H n || = || H n −1 || pp +2 ∑
p
p
 i =1 (i + n)d − c  2nd − c 





1
+
p
 c − 2nd


p

2
2
( 4.2.19 )
p
p
eşitliği elde edilir. Böylece ( 4.2.19 ) eşitliği ve Teorem 4.1.3 ile verilen ( 4.1.16 )
eşitsizliği ile,
|| H n  H n || pp ≤
1  1
c−d
c
c 


Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  
p 
d
d  
d  ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 

2
 n −1

i
1
 +
+ 2 ∑
(2d − c )2 p
 i =1 ((i + 1)d − c ) 
( 4.2.20 )
eşitsizliği elde edilir. ( 4.2.20 ) eşitsizliğinde yer alan,
n −1
i
∑ ((i + 1)d − c )
ifadesinin
i =1
Polygamma fonksiyonu cinsinden değeri,
 (− 1) p (c − d ) 
d −c
d − c 
i


=
− Ψ  p − 1, n +
 + Ψ  p − 1,1 +


∑
p +1 
d 
d 


i =1 ((i + 1) d − c )

 ( p − 1)! d
n −1
( −1)  Ψ  p − 2, n + d − c  − Ψ  p − 2,1 + d − c   
+


 
d 
d   
( p − 2 )!d p  

p
dir. Ayrıca
(− 1)
i
lim ∑
=
n→∞
( p − 2)! d p
i =1 ((i + 1) d − c )
n −1
p
 c−d
d −c

 ( p − 1)d Ψ  p − 1,1 + d 



d − c 

− Ψ  p − 2,1 +

d 

( 4.2.21 )
olduğu bilindiğine göre, böylece ( 4.2.21 ) eşitliği ve ( 4.2.20 ) eşitsizliğinden,
H n  H n matrisinin A p normu için,
 1  1
c−d
c
c 


|| H n  H n || pp ≤  p 
Ψ  p − 1, 2 −  − Ψ  p − 2, 2 −  
d
d  

 d  ( p − 2 ) ! ( p − 1) d 
 (− 1) p
+ 2
p
 ( p − 2 )! d
 c−d
d −c

 ( p − 1)d Ψ  p − 1,1 + d 




1
d − c  

− Ψ  p − 2,1 +
  +
p 
d    ( 2d − c) 

2
şeklinde bir üst sınır bulunur ki, böylece ( 4.2.12 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
Şimdi de, H n  H n matrisinin A p normu için bir alt sınır bulalım. ( 4.2.19 )
eşitliği ve Teorem 4.1.1 de verilen ( 4.1.3 ) eşitsizliği ile, H n  H n matrisinin A p
normu için;
2 −1


1
2
1
1
2
+
+
+
|| H n  H n || pp ≥ 
∑
p
p
p
p 
(3d − c ) (4d − c )
i =1 ((i + 2) d − c ) 
 (2d − c )


1
4
1
|| H n  H n || ≥ 
+
+

p
(3d − c ) p (4d − c ) p 
 (2d − c )
2
p
p
şeklinde bir alt sınır bulunur ki, böylece ( 4.2.13 ) eşitsizliği ispat edilmiş olunur.
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
Bu çalışmada, Cauchy – Toeplitz ve Cauchy – Hankel matrislerinin Khatri –
Rao ve Tracy – Singh çarpımlarının A p normları için alt ve üst sınırlar tespit ettik.
Bu matrislerin, Khatri – Rao ve Tracy – Singh çarpımlarının singüler
değerleri araştırılabilinir.
6. KAYNAKLAR
Bozkurt, D. 1998. On the A p norms of Cauchy – Toeplitz matrices, Linear and
Multilinear Algebra, 44 : 341 – 346
Bozkurt, D. 1995. Almost Cauchy – Toeplitz Matrislerinin A p Normları Üzerine,
VIII. Ulusal Matematik Sempozyumu, Çukurova Üniversitesi, Adana.
Bozkurt, D. 1996. Cauchy – Toeplitz Matrislerinin A p Normları Üzerine, Ord. Prof.
Dr. Cahit Arf ’ın 85. Doğum Günü Onuruna Matematik Sempozyumu.
Bozkurt, D. 1996. On the A p norms of Cauchy – Hankel matrices, Journal of
Scientific Research Foundation, Vol : 1, No : 2, pp. 27 – 32.
Bozkurt, D. 1996. On the A p norms of Almost Cauchy – Toeplitz matrices, Tr. J. of
Mathematics, 20 : 545 -552, Tübitak.
Calvetti, D. , Reichel L. 1997. Factorizations of Cauchy Matrices, Journal of
Computational and Applied Mathematics, 86 : 103 – 123
Horn, R. A. , Kıttaneh F. 1998. Two Applications of a Bound On The Hadamard
Product with a Cauchy Matrix, The Electronic Journal of Linear Algebra, 3 : 4 – 12
Iohvidov, I. S. 1982. Hankel and Toeplitz Matrices and Forms, Birkhauser, Boston.
Kölbig, K. S. 1972. Programs for Computing The Logarithm of The Gamma
Function and Digamma Function for Complex Arguments, Computer Phys, Comm.,
4 : 221 - 226
Horn, R. A. , Johnson, C. R. 1990. Matrix Analysis, Cambridge University Press.
Bozkurt, D. , Türen, B. 2000. Lineer Cebir, SEL – ÜN Vakfı Yayınları, Konya.
Taşçı, D. 1999. Lineer Cebir, SEL – ÜN Yayınları, Konya.
Tyrtyshnikov, E. E. 1991. Cauchy – Toeplitz Matrices and Some Applications,
Linear Algebra and Its Applications, Vol : 149, pp : 1 – 18.
Shuangzhe, L. 1999. Matriz Results On the Khatri – Rao and Tracy – Singh
Products, Linear Algebra and Its Applications, 289 : 267 – 277.
Shuangzhe, L. 2002. Several Inequalities Involving Khatri – Rao Products of
Positive Semidefinite Matrices, Linear Algebra and Its Applications, 354 : 175 – 186.
Xian Z. , Yang, Z. , Cao, C. 2002. Inequalities Involving Khatri –Rao Products of
Positive Semi – definite Matrices, Applied Mathematics E – Notes, 2 : 117 -124.
Çatak, Ö. 2001. Cauchy – Toeplitz ve Cauchy – Hankel Matrislerinin A p Normları
İçin Sınırlar, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
Türkmen, R. 1999. Cauchy – Toeplitz ve Cauchy – Hankel Matrislerinin Normları
İçin Sınırlar, Yüksek Lisans Tezi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
Tekin, H. 1996. Cauchy – Toeplitz A p Normları İçin Sınırlar, Yüksek Lisans Tezi,
Fen Bilimleri Enstitüsü, Konya.
Download