MAK669 LINEER ROBUST
KONTROL
Prof.Dr. Selim SİVRİOĞLU
[email protected]
24.10.2014
1
Norm
Bir vektörün, bir matrisin, bir sinyalin veya
bir sistemin toplam büyüklüğünü veren bir tek
sayıya sahip olmak avantajdır ve değerlendirme
yapmak icin kullanılabilir.
Bu amaçla norm olarak isimlendirilen fonksiyonları kullanıyoruz.
Tanım:
e nin normu e ile gösterilen reel bir sayıdır ve aşağıdaki
özelliklere sahiptir:
1- Negatif degildir: e  0
2- e  0
ise
e=0.
3- Homojenlik:   e    e bütün skalar  için.
4- Üçgen eşitsizliği:
e1  e2  e1  e2
İspatlarda kullanılmaktadır.
Norm
Norm aşağıdaki dört değişik vektör uzayı için düşünülebilir:
1- e sabit bir vektör
2- e sabit bir matris
3- e zamana bağlı bir sinyal yani e(t ) bu durumda herbir zaman
değerinde sabit skalar veya vektör
4- e bir sistem, herbir s veya t değerinde sabit bir skalar veya matris
olan G ( s) transfer fonksiyonu veya g (t ) impuls cevabı
vektor normu:
x 1  x1  x2 
x 2  ( x12  x22 
x

 xn
 xn2 )  ( xT x)
 max  xi : i  1, 2
n
 6 
4
x   ,
2
 
 5
x 1  6  4  2  5  17
x 2  (6) 2  42  22  (5) 2  9
x

6
Norm
Frobenius Matris normu:
A
F

a
2
ij
 trace( AAT )  trace( AT A)
i, j
trace matrisin koşegen elemanlarının toplamını ifade etmektedir.
Vektor için Frobenius normu 2 normuna esittir:
x2 x
F
Matrisler icin norm:
m
A 1  max  aij : j  1, 2
 i 1

n

matrisin kolonları içinde elemanları
toplamı maksimum olan kolon norm degeridir.
 n
 max  aij : i  1, 2
 j 1

m

matrisin satırları içinde elemanları
toplamı maksimum olan satir norm değeridir.
A
A 2  max ( AT A)
Norm
Örnek:
 5 1 3
 6 2 4 

A
 2 9 3


7
3
9


 35 -44 10
 -44 56 -6
T
A* A  
 10 -6 94

 -59 72 -68
-59 
72 
-68 

139 
( 5  6  2  7)  20  A 1
(1  2  9  3)  15
( 3  4  3  9)  19
A
F
 trace( A * AT )  (35  56  94  139)  18
Tek tek kolon elemanlarinin toplami
icinde en buyuk olan deger
( 5  1  3 )  9
(6  2  4)  12
( 2  9  3 )  14
(7  3  9)  19  A 
Tek tek satir elemanlarinin
toplami icinde en buyuk
olan deger
A 2  15.4095
Norm
Örnek:
A 2  max ( AT A)
Bir matrisin 2 normu matrisin karesinin oluşturduğu matrisin
özdeğerleri içinde en büyük olan özdeğerin kareköküdür.
A=[-5 1 -3;6 -2 4;-2 -9 -3;7 3 9]
AAoz=eig(A'*A)
AAozroot=sqrt(eig(A'*A))
A2norm=sqrt(max(eig(A'*A)))
A2normMatlab=norm(A,2)
A 2  15.4095
Sistem normu
Norm
H 2 Normunun Hesaplanması
Eğer norm bir sistem transfer fonksiyonu için hesaplanıyorsa
“Hardy space” anlamında H sembolü kullanılmaktadır. H2 normu
transfer fonksiyonu için 2 normu anlamındadır.
H 2 Normunun Hesaplanması:
1
G2
2



T
trace(G ( j ) G ( j ))d 
G ( s ), g(t) nin Laplace transformu olsun. Yani L[g(t)]=G(s).
G(s) in H 2 normu aynı zamanda aşağıdaki şekilde de hesaplanabilir:
G2 g
2




T
trace( g (t ) g (t ))dt
Norm
H 2 Normunun Hesaplanması
Kontrol problemi olarak G(s)
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
1
G ( s )  C ( sI  A) B  D
Bu kontrol sisteminin G
2
A B 
Aynı zamanda: G(s)= 

C D 
normunu hesaplamak için D=0 kabul edelim.
Impuls cevabı için:
 Ce At B
g (t )  L [G ( s)]  L [C ( sI  A) B ]  
 0
1
G2

1



0
T
trace( g (t ) g (t ))dt 
S   e C T Ce At dt
AT t
t0
t0
1




trace(Ce B) Ce B )dt  trace (B (  e C T Ce At dt ) B )
olarak tanımlansın.
At
T
At
T
0
AT t
Norm
H 2 Normunun Hesaplanması
G 2  trace (BT SB)
Burada S sistemin (A,C) gözlemlenebilirlik Gramian dir
ve aşağıdaki denklemden hesaplanabilir:
SA  AT S  C T C  0
Bu denklem cebirsel Riccati ile karşılaştırılırsa:
SA  AT S  Q  SBR 1 BT S  0
A  A, B  0, Q  C T C , R  I oldugu anlaşılır.
Norm
Örnek:
H 2 Normunun Hesaplanması
 x1   0 1 0   x1  0 
d   
x2    0 0 1   x2   0  u

dt
 x3   2 5 1  x3  1 
1 0 0   x1 
y  0 1 0   x2 
0 0 1   x3 
1


 s 3  s 2  5s  2 


s


G (s)  3 2
 s  s  5s  2 


2
s


 s 3  s 2  5s  2 
A=[ 0 1 0;
0 0 1;
-2 -5 -1];
B=[0;0;1];
C=eye(3);
D=zeros(3,1)
[NUM,DEN] = ss2tf(A,B,C,D,1)
sys=ss(A,[],C,[]);
S=gram(sys,'o')
G2norm=sqrt(trace(B'*S*B))
SA  AT S  C T C  0
 2.4167 2.4167 0.2500 
S =  2.4167 5.7500 0.5833 
0.2500 0.5833 1.0833 
G 2  trace (BT SB)  1.0408
Norm
H  Normu:
G ( s )  C ( sI  A) 1 B  D şeklinde bir transfer fonksiyonu
düşünelim(D  0 olsun). G ( s ) transfer fonksiyonunun bütün
frekans değerlerinde alacağı en yüksek değer transfer
fonksiyonunun sonsuz normudur. Matrissel anlamda
sistem transfer matrisinin
singüler değerine karşılık gelir.
G(s)

max  (G ( j ))

11
Norm
H Normunun Hesaplanması:
Bir kontrol sistemi için H  normunu doğrudan hesaplamak H 2 normunu
hesaplamaktan çok daha zordur. Verilen   0 herhangi bir  değeri için
normun G

  şeklinde sağlanıp sağlanmadığını
kontrol etmek göreceli olarak daha kolaydır.
Teorem :
Sistem G ( s )  C ( sI  A) 1 B  D olsun.  > 0 olmak üzere G

  sadece
ve sadece  ( D)   ve aşağıdaki matrisin imajiner eksen üzerinde hiç bir
özdeğere sahip olmaması şartıyla sağlanır:
 A  BV 1 DT C
 T
1 T
 C ( I  DV D )C

: Hamilton matrisi
1 T
T
( A  BV D C ) 
burada V   2 I  DT D
BV 1 BT
dir.
12
Norm
Hamilton matrisinin elde edilişi:
Aşağıdaki Cebirsel Riccati denklemini düşünelim.
AT P  PA  C T C  ( PB  C T D )( I  DT D ) 1 ( PB  C T D)T  0
AT P  PA  C T C  [ PB ( I  DT D ) 1  C T D ( I  DT D ) 1 ]( PB  C T D )T  0
AT P  PA  C T C  [ PB ( I  DT D ) 1  C T D ( I  DT D) 1 ]( DT C  BT P )  0
AT P  PA  C T C  PB( I  DT D ) 1 DT C  C T D ( I  DT D ) 1 DT C
 PB( I  DT D) 1 BT P  C T D ( I  DT D ) 1 BT P  0
 A  B( I  DT D ) 1 DT C
 P In  
T
T 1

C
(
I

DD
) C

  In 
0

T
T
T
1 T  
 A  C D( I  D D) B   P 
B ( I  DT D ) 1 BT
Hamilton Matrisi
Norm
H Normunun Hesaplanması:
Bisection Algoritması:
Giriş: G(s) proper reel transfer fonksiyonu ve  yüzdelik tolerans olsun.
Çıkış: Hatası  den küçük sistemin G

normu
Adım 1:
A B 
G(s)= 

 C D
şeklindeki bir gerçeklenmeyi kur.
Adım 2:
 gibi bir alt sınır ve  gibi bir üst sınır   G
Adım 3: Eğer
o zaman G

(   )

  şeklinde oluştur.
 2 ise

 (   ) / 2 yap ve dur.
değilse  =(   ) / 2 yap ve Adım 4 git
14
Norm
Adım 4. Aşağıdaki matrisin öz değerlerini bul
 A  BV 1 DT C
 T
1 T
 C ( I  DV D )C


( A  BV 1DT C )T 
BV 1BT
V   2 I  DT D
Adım 5. Eğer özdeğerler imajiner eksen üzerinde ise:
 =
eşitle
değilse
 =
Adım 6. Adım 3 e git.
15
Norm
Örnek:
 1 0 0 
1 
A   0 2 0  , B   2 
 0 0 3
 3 
C   1 2 3 , D  1
 =10,  =1 seçilsin.
=
(   )
 5.5
2
V   2 I  DT D  29.25
 A  BV 1 DT C
 T
1 T
 C ( I  DV D )C


( A  BV 1 DT C )T 
BV 1 BT
 ()    2.6443  1.5428  0.6231 2.6443 0.6231 1.5428
Görüldüğü gibi hiç bir özdeğer imajiner eksen üzerinde değildir.
16
Norm
Bir sonraki adimda
 =5.5,  =1
=
(   )
 3.25
2
V   2 I  DT D  9.5625
 ()    2.5268i 2.5268i  2.4491
-1.1914
2.4491
1.1914

Görüldüğü gibi imajiner eksen üzerinde komplek özdegerler vardır.
  3.25 icin çözüm yoktur. En son   5.5 çözüm vardı dolayısı ile
bu değerlerde sonsuz normu bu sistem elde edilebilirdir.
sys=ltisys(A,B,C,D);
hnorm=hinfnorm(sys,0.1)
hnorm =
hnorm =
5.0000
>> hnorm=hinfnorm(sys,0.01)
5.5000
0
5.0000
5.0500
0
17
Norm
Grafiksel yöntemle H_infinity normunun
bulunması.
F1
x1
m1
x  Ax  Bu
y  Cx
F2
k1
c1
x2
m2
 x1 
x 
F 
x 
x   2  ,u   1  , y   1 
 x1 
 F2 
 x2 
 
 x2 
 0
 0

 k
A   1
 m1
 k1

 m2

0
1
0
k1
m1
0
c
 1
m1
k1  k2
m2
c1
m2
k2

0

0
1 

1
c1 
,B  
m1 
 m1

c c 
 1 2
0
m2 

0
0 
0 

0 

1 

m2 
c2
m1=1;m2=2;
k1=1; k2=4; c1=0.2; c2=0.1;
1 0 0 0 
C
 , D  022
0 1 0 0 
18
Norm
H  normu
en buyuk singuler deger
G  =11.47
m1=1;m2=2;
k1=1; k2=4; c1=0.2; c2=0.1;
A=[ 0
0
1
0
0
0
0
1
-k1/m1 k1/m1 -c1/m1 c1/m1
k1/m2 -(k1+k2)/m2 c1/m2 -(c1+c2)/m2];
B=[0 0
0 0
1/m1 0
0 1/m2];
C=[1 0 0 0
0 1 0 0];
D=zeros(2);
G=pck(A,B,C,D);
en kucuk singuler deger
hinfnorm(G,0.0001) % relative hata 0:0001
%linfnorm(G,0.0001)
w=logspace(-1,1,200); % 0.1 ile 10 arasinda 200 nokta
Gf=frsp(G,w); % frekans cevabinin hesaplanmasi
[u,s,v]=vsvd(Gf); % herbir frekansta SVD(singuler deger hesabi)
vplot('liv,lm',s); grid % singuler degerlerin ve grid cizilmesi
max  0.84828
hinfnorm komutu ile elde edilen
sonuç grafiksel olarak da görülebiliyor.
Grafiksel yöntem az sönümlü sistemlerde
yanlış sonuçlar verebilir. logspace de
tanımlanan frekans noktalarının sayısına
bağlı olarak farklı sonuçlar verebilir.
19
Norm
H  normu ile H 2 normu arasindaki fark:
H  normu sistemin bütün frekans bölgesinde en büyük singüler
değerinini verir.
H 2 normu tüm frekans bölgesinde tüm singüler değerlerin bir anlamda
ortalamasını vermektedir.
Kontrol tasarımı açısından düşünüldüğünde H  kontrolörü kapalı sistemin
maksimum singüler değerini minimize etmeyi amaçlamaktadır.
20
Sistem Belirsizliklerinin Modellenmesi
Gerçek kontrol sistemlerinde belirsizliklerden kaçınmak mümkün değildir.
Belirsizlikler iki katagori olarak sınıflandırılabilir: gürültü sinyalleri ve
dinamik bozucu etkiler.
Gürültü sinyalleri giriş ve çıkış gürültüleri, sensör gürültüsü, aktüatör
gürültüsü vb. dir. Dinamik bozucu etkiler matematik model ile
çalışan gerçek sistemin dinamiği arasındaki farklılıklardır.
Matematik model herzaman gerçek sistemin sistem dinamiğinin
bir yaklaşımıdır. Bu tip bozucu etkilerin kaynağı modellenemeyen
dinamikler(genellikle yüksek frekans dinamikleri), ihmal
edilen nonlineerlikler ve çevresel değişikliklerden dolayı sistemdeki
parametrelerdeki değişimlerdir.
Bu modelleme hataları kontrol sisteminin kararlılığını ve
performansını etkiler.
Sistem Belirsizliklerinin Modellenmesi
Yapısal olmayan belirsizlikler(Unstructured Uncertainities)
Bir sistemin değişik kısımlarında oluşan modellenemeyen
yüksek frekans dinamikleri gibi
bir çok dinamik bozucu etkiler  gibi bir tek bozucu blok içinde
toplanabilir. Bu şekilde temsil edilen belirsizliklere
"yapısal olmayan belirsizlikler"
olarak isimlendiriyoruz. Lineer zamanla değişmeyen
sistemde  transfer fonksiyonu matrisi olarak gösterilebilir.
Toplam Belirsizlikleri
( s )
+
Go ( s)
+
G p ( s )  Go ( s )  ( s)
Go ( s) : nominal sistem
G p ( s) : gerçek sistem
Toplam belirsizliği nominal model ile gerçek sistem dinamiği
arasındaki mutlak(obsolute) hatayı verir.
Çarpım Belirsizlikleri
( s )
( s )
+
+
+
Go ( s)
Go ( s)
Giriş çarpım belirsizliği:
Çıkış çarpım belirsizliği:
G p ( s )  Go ( s )  I  ( s ) 
G p ( s )   I  ( s)  Go ( s )
+
Çarpım belirsizlik relatif hataları göstermektedir.
Sistem Belirsizlikleri
Gerçek sistem dinamiği:
G p (s) 
1
s 2 ( s 2  2)
Nominal sistem dinamiği:
Go ( s ) 
1
s2
Toplam belirsizliği:
s2  1
 a ( s )  G p ( s )  Go ( s )   2 2
s ( s  2)
Çarpım belirsizliği:
 m ( s) 
G p ( s )  Go ( s )
Go ( s )
s2  1
 2
s 2
Sistem Belirsizlikleri
100
100
80
50
60
40
-50
Genlik [ dB ]
Genlik [ dB ]
0
G p ( s)
-100
20
0
-20
Go ( s)
-40
-60
-150
-80
-200
-2
10
-1
10
0
10
Frekans [ Hz]
1
10
-100
-2
10
2
10
100
100
Genlik [ dB ]
Genlik [ dB ]
2
10
40
40
20
0
a ( s)
20
0
-20
-40
-60
-60
-80
-80
-100
-2
10
1
10
60
60
-40
0
10
Frekans [ Hz]
80
80
-20
-1
10
-1
10
0
10
Frekans [ Hz]
1
10
2
10
-100
-2
10
 m ( s)
-1
10
0
10
Frekans [ Hz]
1
10
2
10
Mekanik Sistemlerde Belirsizlikler
Elastik rotorlar, plakalar ve yüksek katlı yapılar gibi
titreşim kontrolünün yapıldığı mühendislik sistemlerinde
yüksek frekans modları belirsizlik
olarak kabul edilebilir. Genelde bu tür sistemlerde
ilk birkaç titreşim modunun
kontrolu büyük oranda tüm sistemin titreşim genliklerini sınırlamaktadır.
Dolayısı ile tam dereceli
sistem modellemesi yapılarak kontrol dizaynı için indirgenmiş sistem modeli elde edilir.
İndirgemede ihmal edilen sistem dianmikleri belirsizlik olarak ele alınabilir.
Bu tür yüksek frekans modlarının kontrol dizaynında
ihmal edildiği sistemlerde kontrolor tarafından
yüksek frekansların uyarıldığı spillover etkisi olarak isimlendirilen bir durum sözkonusudur.
Robust kararlilik için kontrolörün yüksek frekans modlarını uyarmayacak şekilde yüksek
frekanslarda düşük kazançlı olması gerekmektedir.
Sistem Belirsizlikleri
M f x  C f x  K f x  Ff u  H f z
İlk iki modun kontrol edilmesinin amaçlandığını
düşünelim. Öncelikle tam dereceli sistem modelinin
elde edilmesi gerekiyor.
28
Sistem Belirsizlikleri
x f  Af x f  B f u
-20
yr  C f x f
Tam ve Indirgenmis dereceli sistem frekans cevaplari
-40
xr  Ar xr  Br u
 Af B f 
Pf ( s)  

C f 0 
 A Br 
Pr ( s)   r

 Cr 0 
-60
Genlik [ dB ]
yr  Cr xr
-80
-100
-120
-140 0
10
1
10
Frekans [ rad/s ]
10
2
Sistem Belirsizlikleri
 m ( j ) 
Pf ( j )  Pr ( j )
Modellenmeyen dinamiklerin toplam belirsizligi frekans cevabi
Pr ( j )
-40
-50
 a ( j )  Pf ( j )  Pr ( j )
-60
-70
a
Modellenmeyen dinamiklerin carpim belirsizligi frekans cevabi
40
Gain [dB]
-130
m
-140
0
10
-10
-20
-30
-40
-50
-60
0
10
-100
-120
20
0
-90
-110
30
10
Gain [dB]
-80
1
10
Frekans [rad/s]
10
2
1
10
Frekans [rad/s]
2
10
Sistem Belirsizlikleri
%Belirsizliklerin frekans cevabinýn elde edilmesi
Pf = ltisys(Af,Bf,Cf,Df);
Pr = ltisys(Ar,Br,Cr,Dr);
w = logspace(-1,2,200);
omega = w*2*pi;
Pfg= bode(Af,Bf,Cf,Df,1,omega);
Prg= bode(Ar,Br,Cr,Dr,1,omega);
Delta_c=(Pfg-Prg)./Prg;
Delta_t=(Pfg-Prg);
figure(1)
semilogx(omega,20*log10(Delta_c),'r-');grid;
title('Modellenmeyen dinamiklerin carpým belirsizliði frekans cevabi ')
xlabel('Frekans [rad/s]'), ylabel('Gain [dB]')
axis([ 1 200 -65 40 ])
figure(2)
semilogx(omega,20*log10(Delta_t),'r-');grid;
title('Modellenmeyen dinamiklerin toplam belirsizliði frekans cevabi ')
xlabel('Frekans [rad/s]'), ylabel('Gain [dB]')
axis([ 1 200 -130 -40 ])
31
Sistem Belirsizlikleri
% plant parameter
m1 = 1.5; m2 = 1.5;m3 = 1.5; m4 = 1.5;k1 = 2600; k2 = 2600;k3 = 2600; k4 = 2600;
c1 = 0.1; c2 = 0.1;c3 = 0.1; c4 = 0.1;
M_f=diag([m1 m2 m3 m4]);
K_f=[ k1+k2 -k2
0
0 ;-k2
k2+k3 -k3
0 ;0
-k3
k3+k4 -k4 ;0
0
-k4
k4 ];
C_f=[ c1+c2 -c2
0
0 ; -c2
c2+c3 -c3
0 ;0
-c3
c3+c4 -c4 ;0
0
-c4
c4 ];
F_f=[0 0 0 1]';
n = length(M_f);
M_fi = inv(M_f);
% Definition of the full order model
Af = [ zeros(n,n) eye(n,n) ;-M_fi*K_f -M_fi*C_f ];
Bf = [ zeros(n,1) ; M_fi*F_f ];
Cf1 = [ 0 0 0 1 ];
Cf = [ Cf1 zeros(1,n) ];Df = [ 0 ];
% Transform to modal axis
[V,D] = eig(M_fi*K_f);
[eva,idx] = sort(diag(D));
eve = V(:,idx);
eme = eve'*M_f*eve;
nrm = inv(sqrt(diag(diag(eme))));
phi = eve*nrm;
M = phi'*M_f*phi;K = phi'*K_f*phi; C = phi'*C_f*phi;F = phi'*F_f;
Cf1p = Cf1*phi;
% Definition of the reduced order model (modal axis model)
nr = 2;
Mm = M(1:nr,1:nr);Km = K(1:nr,1:nr); Cm = C(1:nr,1:nr);Fm = F(1:nr,1); Cfm = Cf1p(1,1:nr);
Arm = [ zeros(nr,nr) eye(nr,nr) ;-Km
-Cm
];
Brm = [ zeros(nr,1) ; Fm
];
Crm = [ Cfm, zeros(1,nr) ]; Drm = [ 0 ];
% Definition of the reduced order model(physical axis model)
phi12=phi(:,1:nr);
Tphi12=[phi12
zeros(n,nr) ;zeros(n,nr) phi12 ];
Cy=[ 1 0 0 0 ; 0 0 0 1 ];
iT=[ Cy
zeros(nr,n) ; zeros(nr,n) Cy
]*Tphi12;
T=inv(iT);
Ar=iT*Arm*T; Br=iT*Brm; Cr =Crm *T; Dr =Drm;
% Frekans cevabi
w = logspace(-1,2,300); omega = w*2*pi;
[magp,phase] = bode(Af,Bf,Cf,Df,1,omega);
[magr,phaser] = bode(Ar,Br,Cr,Dr,1,omega);
figure(1)
semilogx(omega,20*log10(magp(:,1)),'r-',omega,20*log10(magr(:,1)),'b-');grid;
set(gca,'fontname','times','fontsize',12)
title(' Tam ve Indirgenmis dereceli sistem frekans cevaplari ')
xlabel('Frekans [ rad/s ]'); ylabel('Genlik [ dB ]')
axis([ 1 100 -140 -20 ])
Sistem Belirsizlikleri
z
xa
f
x
xs
Sensor
Amp.
Elastik çubuk sürekli bir sistem
olarak sonsuz sayıda elastik moda
sahiptir. Eğer ilk üç modu
dikkate alıp kontrol dizaynı
yapılırsa dikkate alınmayan modların
uyarılmaması gerekir. İhmal edilen
yüksek frekans dinamikleri(burada
4. ve daha yukarı mod dinamikleri)
kontrol tasarımında dikkate alınması
istenirse belirsizlik olarak ele alınabilir.
Kontrol
Bilgisayarı
Aktüatör
Amp.
Elastik çubuğun ilk üç modu için :
1 
 0
A1  

 176 1.33
1 
 0
A2  

 2640 0.823
1 
 0
A3  

 12300 1.33
 0 
 0 
 0 
B1  
, B2  
, B3  



0.230
0.305
0.198
C1   162 0 , C2   914 0 , C3   1450 0
D0
33
Sistem Belirsizlikleri
0
Tam dereceli sistem
Indirgenmis sistem
-20
-40
Genlik [ dB ]
Elastik rotor manyetik sisteminde
rotor elastik modlarindan ilk ikisi kontrol
tasariminda model icinde dusunulurken
diger ihmal edilen yuksek frekans modlari
modelleme belirsizlikleri olarak kontrol
tasariminda dikkate alinmaktadir.
-60
-80
-100
-120
-140
-160
10
0
2
10
Frekans [ Hz ]
10
4
Ödev
Bir DC motorda hızlı ve yavaş dinamiklerin oluşturduğu
gerçek sistem dinamiği:
G p ( s )  g gainGslow ( s )G fast ( s )
Gnominal ( s )  Gslow ( s )
şeklinde verilmistir. Bu dinamikler
Gslow ( s ) 
1
1
, G fast ( s ) 
1  sT
1   sT
olarak ayrıldığına göre
 a ( s ),  m ( s )
oluşturup frekans cevaplarını çiziniz.
(g gain  1,  =0.1, T=0.5)
Download

0,8 MB