BÖLÜM 3: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İŞ ve ENERJİ
3.1. Giriş
Bölüm 2’de, bir maddesel nokta üzerine etkiyen net dengelenmemiş kuvvet ile maddesel
noktanın sahip olduğu ivme arasındaki ilişkiyi ortaya koymak üzere Newton’un ikinci kanunu
F = m.a’yı ele almış ve hareket denklemini çeşitli hareket problemlerine uygulamıştık. Bu
bölümde ise iş ve enerji ilkesini inceleyeceğiz.
Genelde bir maddesel noktanın üzerine etkiyen dengelenmemiş kuvvetlerin etkilerinin
ortaya çıkardığı iki tip problem vardır:
1.) Kuvvetlerin, maddesel noktanın yer değiştirmesine bağlı olarak integre edildiği
problemler. Kuvvetlerin yer değiştirmeye göre integralinin alınması, bu bölümünde
konusu olan, iş ve enerji denklemlerini verir.
2.) Kuvvetlerin, uygulandıkları zamana göre integralinin alındığı problemler. Kuvvetlerin
zamana göre integralinin alınması ise, bir sonraki bölümde ele alınacak olan, impuls ve
momentum denklemlerini verir.
3.2. İş Tanımı
İşin tanımını yapmak üzere, bir F kuvveti uygulanan A maddesel noktasının, Şekil 3.1’de
gösterilen bir yörünge üzerindeki hareketini ele alalım. Maddesel noktanın A noktasındaki
konumu r konum vektörü ile tanımlanabilir. Maddesel noktanın, A noktasından A' noktasına
sonsuz küçük hareketinden kaynaklanan yer değiştirme dr yer değiştirme vektörü ile
tanımlanabilir. Buna göre, dr yer değiştirmesi boyunca F kuvvetinin yaptığı iş aşağıdaki gibi
tanımlanır:
(3.1)
Hatırlatma
İş ve Enerji skaler büyüklüklerdir.
olduğuna dikkat edin.
Bu nedenle Denklem 3.1’deki çarpımın skaler çarpım
1
.
Şekil 3.1
Maddesel noktanın Şekil 3.1’deki hareketini, normal ve teğetsel (n-t) koordinat sistemine göre ele
aldığımızı düşünelim. Bu durumda,
olarak yazılabilir. Buna
ve
göre, Denklem 3.1 aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir:
(3.2)
Skaler çarpım özelliklerini kullanarak bu ifadeyi açtığımızda,
(3.3)
elde edilir. Skaler çarpımın tanımı gereği,
ve
’dir. Buna göre,
(3.4)
olarak yazılabilir. Burada, Ft = F cosα olduğu Şekil 3.1’de görülmektedir. Bu nedenle,
Denklem 3.4 alternatif olarak aşağıdaki gibide yazılabilir,
(3.5)
2
İşin bu tanımı göre, kuvvetin yer değiştirmeye dik yöndeki bileşeni Fn = F sinα ’nin iş
yapmadığına dikkat etmek gerekir.
Hatırlatma: İş Tanımı
Mekanikte, bir F kuvveti, ancak maddesel nokta kuvvet doğrultusunda yer değiştirmeye maruz
kalırsa maddesel nokta üzerinde iş yapmış olur.
Eğer kuvvetin iş yapan bileşeni Ft, yer değiştirme ile aynı yönde ise iş pozitif, ters yönde ise iş
negatif olacaktır.
Hatırlatma: İş Birimi
dU = F dr (N.m = Joule)
3.3. İş Örnekleri
3.3.1. Değişken Bir Kuvvetin Yaptığı İş
Maddesel nokta, uygulanan kuvvet sonucu izlediği yol boyunca sonlu bir yer değiştirme
yapıyorsa, kuvvetin yaptığı iş Şekil 3.2’de gösterildiği gibi,
(3.6)
integrali alınarak bulunur.
Şekil 3.2
3
3.3.2. Bir Doğru Boyunca Hareket Eden Sabit Bir Kuvvetin Yaptığı İş
Şekil 3.3’de gösterilen, 1 konumundan 2 konumuna giderken maddesel nokta üzerine
uygulanan sabit P kuvvetini ele alalım. P kuvvetinin maddesel nokta üzerine yaptığı iş aşağıdaki
gibi ifade edilebilir:
(3.7)
Daha öncede ifade edildiği gibi, bu iş ifadesi, aynı zamanda kuvvetin hareket
doğrultusundaki bileşeni Pcosα ile kat edilen L mesafesinin çarpımı olduğunu unutmayınız. Yine,
yer değiştirmeye dik yöndeki kuvvet bileşeni Psinα‘nın iş yapmadığına dikkat ediniz.
Şekil 3.3
4
3.3.3. Ağırlığın Yaptığı İş
Şekil 3.4’de gösterilen, bir yörünge boyunca 1 konumundan 2 konumuna hareket eden bir
maddesel noktanın hareketini göz önüne alalım. Yükseklik değişimi boyunca, g = sabit olduğu
kabul edilir ise, maddesel nokta ağırlığı mg’nin, 1 ve 2 noktaları arasında yer değiştirirken,
yaptığı iş şu şekilde tanımlanabilir:
(3.8)
Yatay hareketin bu işe katkıda bulunmadığını görüyoruz. Ayrıca maddesel nokta (başka
kuvvetler etkisi ile) yükselirse
nokta düşerse
olur ve meydana gelen iş negatif olur. Eğer maddesel
olur, bu durumda yapılan iş pozitif olur.
Şekil 3.4
5
3.3.4. Yay Kuvvetinin Yaptığı İş
Şekil 3.5’de gösterilen, yayı uzatmak veya kısaltmak için gerekli kuvvetin x deformasyonu
ile orantılı olduğu, yay katsayısı k olan doğrusal bir yayı göz önüne alalım. Maddesel nokta x1 ilk
konumundan x2 son konumuna keyfi bir yer değiştirme yaptığında, yay tarafından maddesel
noktaya uygulanan F = -kxi kuvvetinin maddesel nokta üzerinde yaptığı iş,
3.9
şeklinde ifade edilebilir. Eğer ilk konum, yayın deforme olmadığı konum ise x1 = 0 olur ve x2 ≠ 0
değerleri için iş negatiftir. Öte yandan, x1 ≠ 0 ilk konumunda x2 = 0 son konumuna hareket
edersek, iş pozitif olur.
Şekil 3.5
6
3.4. İş ve Kinetik Enerji Prensibi
Maddesel noktanın, üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin bileşkesi ΣF’i temsil eden F kuvveti
etkisi altında, eğrisel bir yörünge boyunca hareket eden m kütleli bir maddesel noktanın üzerine
yapılan işi göz önüne alalım (Şekil 3.6). maddesel noktanın konumu r konum vektörü ile
tanımlanmakta ve dt zaman aralığında yörüngesi boyunca yaptığı yer değiştirme, konum
vektörünün dr değişimi ile temsil edilmektedir. Maddesel noktanın, 1 noktasında 2 noktasına
giderken sonlu hareketi sırasında, maddesel noktaya etkiyen F kuvveti tarafından yapılan iş, daha
öncede yapıldığı gibi, aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:
(3.10)
Newton’un ikinci kanunu F = ma Denklem 3.10’da yerine yazıldığında iş ifadesi aşağıdaki gibi
olur:
(3.11)
Şekil 3.6
7
at ds = v dv ilişkisi kullanılarak iş ifadesi yeniden düzenlenirse,
(3.12)
elde edilir.
Maddesel noktanın kinetik enerjisi T,
(3.13)
olarak tanımlanır ve durgun bir konumdan v hızına ulaşması için maddesel noktanın üzerine
yapılması gereken toplam iştir. Kinetik enerji tanımını dikkate alarak Denklem 3.12 aşağıdaki
gibi yeniden düzenlenebilir:
(3.14)
Bu ifade, 1 noktasından 2 noktasına giderken maddesel noktanın üzerine etkiyen tüm kuvvetlerin
yaptığı toplam işin, maddesel noktanın kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğunu belirtir.
Hatırlatma: İş-Enerji Yönteminin Avantajı
Denklem 3.15’den, iş ve enerji yönteminin önemli bir avantajının, ivmeyi hesaplama zorunluluğunun
ortadan kaldırması ve iş yapan kuvvetlerin fonksiyonları olarak doğrudan hız değişimlerini vermesi
olduğu görüyoruz.
8
3.5. Güç
Bir makinenin kapasitesi ya da gücü zamana bağlı iş yapabilme veya enerji aktarabilme hızı
ya da kapasitesi ile ölçülür. Ne kadar küçük olursa olsun, bir motor yeterli zaman verildiğinde
büyük miktarda enerji verebileceği için toplam iş ya da enerji çıkışı bu kapasitenin yani gücün bir
ölçüsü değildir. Öte yandan, kısa bir süre içerisinde büyük miktarlarda enerji vermek büyük ve
güçlü bir makine gereklidir. Bu nedenle bir makinenin gücü birim zamanda yaptığı iş yada iş
yapabilme hızı olarak tanımlanır.
3.15
Görüldüğü
gibi,
güç
skaler
bir
büyüklüktür
ve
SI
birim
sistemine
göre
birimi
Watt = Joule/saniye’dir.
Hatırlatma: Güç Birimi
1 W = 1 J/s
1 hp = 746 W = 0.746 kW
3.6. Verim
Aynı zaman aralığında bir makinenin yaptığı işin ona yapılan işe oranına, makinenin
mekanik verimi, em adı verilir. Tüm makineler bir miktar enerji kaybı ile çalıştıklarından ve
makinenin içerisinde ilave bir enerji üretimi oluşturulmadığından dolayı verim her zaman birden
küçüktür. Hareketli parçalar içeren mekanik cihazlarda, sürtünme kuvvetleri nedeniyle her zaman
bir miktar enerji kaybı olacaktır. Bu sürtünme işi, ısı enerjisine dönüşür ve ortama yayılır.
Herhangi bir andaki mekanik verim,
3.16
olarak tanımlanır.
9
Örnek 3.1
Örnek 3.2
10
Örnek 3.3
11
Örnek 3.4
12
Örnek 3.5
13
3.7. Potansiyel Enerji
Şu ana kadar, iş ve kinetik enerjiden bahsettik ve yer çekimi kuvveti, yay kuvveti ve
maddesel noktaya dışarıdan uygulanan diğer kuvvetlerin maddesel nokta üzerine yaptıkları işleri
belirledik. Bu kısımda, yer çekimi kuvveti ve yay kuvvetinin yaptıkları işleri ele almak üzere
potansiyel enerji kavramının üzerinde duracağız.
3.7.1. Yer Çekimi Potansiyel Enerjisi
Maddesel noktanın yer çekimi potansiyel enerjisi Vg, maddesel noktayı Vg’nin sıfır olarak
alındığı keyfi bir referans hattından h mesafesi kadar yukarı çıkarmak için yer çekimine karşı
yapılan iş olarak tanımlanır:
3.17
h = h1 olan bir seviyeden daha yüksek bir h = h2 seviyesine çıkarken potansiyel
enerjisindeki değişim,
3.18
Buna karşılık yer çekimi kuvveti tarafından maddesel nokta üzerine yapılan iş yada
maddesel noktanın ağırlığının yaptığı iş –mgΔh’dır (Bölüm 3.3.3’e bakınız). Buna göre, yer
çekimi tarafından yapılan iş potansiyel enerjinin negatifidir.
Şekil 3.7
14
3.7.2. Elastik Potansiyel Enerji
Potansiyel enerjinin ikinci örneği, yay gibi elastik bir cismin deformasyonu ile oluşur. Bir
yayı deforme etmek için üzerine yapılan iş yayda saklıdır ve buna elastik potansiyel enerji Ve adı
verilir. Bu enerji, yaya uygulanan deformasyon ortana kalkınca yayın hareket eden ucuna
iliştirilmiş cisme yapmış olduğu iş olarak geri dönüştürülebilir. Bölüm 3.3.4’de ele alınan ve
Şekil 3.5’de gösterilen, yay katsayısı k olan tek boyutlu doğrusal yayda yayın deformasyona
uğramamış konumundan, çekme ya da basma herhangi bir x deformasyonunda yayın taşıdığı
kuvvet F = kx’dir. Böylece, yayın elastik potansiyel enerjisini, onu x mesafesi kadar deforme
etmek için üzerine uygulanması gereken iş olarak tanımlanır ve şu şekilde ifade edilir:
3.19
Yayın çekme ya da basma deformasyonu, hareketi sırasında, x1’den x2’e artarsa, yayın
potansiyel enerjisindeki değişim onun son değerinden ilk değerinin çıkarılması ile belirlenir ve
pozitiftir:
3.20
Tersi durumda, yani hareket aralığı içerisinde yayın deformasyonu azalırsa, yayın potansiyel
enerjisi de azalacağı için, yayın potansiyel enerjisindeki değişim negatiftir.
15
3.8. İş – Enerji Denklemi
Potansiyel enerji türlerini de ele aldığımıza göre, artık Bölüm 3.4’de, iş ve kinetik enerji
için elde ettiğimiz iş - enerji denklemine (Denklem 3.14) potansiyel enerji terimlerini de
ekleyerek genel formuna kavuşturabiliriz.
(3.21)
16
Örnek 3.6
Örnek 3.7
17
Örnek 3.8
18
Download

BÖLÜM 3: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İŞ ve ENERJİ 3.1