BÖLÜM4
M-N-Q
BÖLÜM 4: M-N-V
4.1. ĐZOSTATĐK SĐSTEMLER
Yapıda döşeme üzerinde bulunan sabit ve hareketli yükleri kolonlara aktaran yapı elemanı olan kiriş,
1. Bir boyutu diğerine göre küçük olan [b,h<<L] [b,h, L: kiriş genişliği, yüksekliği, açıklığı]
2. Yükleri genellikle çubuk eksenine dik uygulanan
3. Açıklığı [L] boyunca tekil ve yayılı yükle yüklenebilen
4. Kendi ve uygulanan yükler altında eğilmeye karşı direnç gösterebilen
5. Malzeme özellikleri bilinen
6. Yük ve dayanım özelliklerine göre belirli noktalarından mesnetlenen
prizmatik çubuklara kiriş denir. Kirişler tatbik edilen yükleri belirli noktalara [mesnetlere] emniyetli bir
şekilde aktaran yapı elemanıdır. Bu kirişlerin 1. Bölümde açıklanan ΣFx=0, ΣFy=0 ve ΣM=0 üç denge
denklemi ile incelendiğinde,
1. Üç bilinmeyenden az bilinmeyeni varsa sisteme [taşıyıcı olmayan, rijit değil] “labil”
P
q
2
q
P
P
1
P
2
1
P
q
mafsal
2
P
q
mafsal
2
1
2
1
2
1
1
2. Üç denge denklemi ile mesnet tepki kuvvetleri ve kesit tesiri olan moment, kesme kuvveti ve
eksenel kuvveti bulunabilen sistemlere “izostatik”
q
3
q
P
P
1
2
3
1
q
2
P
1
1
P
q
2
3
2
1
2
3
3. Bu üç denge denklemi ile kesit tesirleri ve mesnet tepki kuvvetleri bulunamayan ve çözümü
için ilave denge denklemlerine ihtiyaç duyulan ve üçten daha fazla bilinmeyeni olan sistemlere
ise “hiperstatik”
sistemler denir. Bu kısımda izostatik sistemlerin çözümü yapılacaktır.
hiperstatik sistemlerin çözümü,
127
Gerek izostatik gerekse
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
q
P
P
P
1
2
4
3
6-3=3.
dereceden
hiperstatik
4-3=1. dereceden hiperstatik
q
P
1
3
2
2
1
9-3=6.
dereceden
hiperstatik
4
6
5
1
3
2
4
6
5
3
1. Sistemin taşıdığı ve taşıması düşünülen yükler [rüzgar, deprem] altındaki kesit tesirleri [M,
N,V],
2. [M,N,V] kesit tesirlerini müsaade edilebilen ölçüler [deplasman, gerilme]
içinde emniyetle
taşıyabilecek malzeme ve kesit [mukavemet konusu].
3. 1. ve 2. maddelerdeki kriterler dikkate alınarak sistem boyutları,
belirlenerek sistem kullanıma sunulur. Köprü kirişleri, köprü ve çatı kafes sistemleri dışında betonarme
yapılara izostatik sistemlere pek rastlanmaz. Ancak hiperstatik sistemlerin çözümü izostatik
sistemlerdeki çözüm esaslarının ilave denge denklemlerinin ilave edilmesiyle bulunduğu için izostatik
sistemlerin çözümü büyük önem arzeder.
%100
%00
%X
%Y
%00
%100
4.2. ĐZOSTATĐK SĐSTEMLER VE ĐŞARET KABULÜ
Kolon ve kirişlerden oluşan yapı sistemlerinin boyutlandırılmasında esas olan,
a. Kesme kuvveti [V]
b. Moment [M]
c. Eksenel kuvvet [N]
kesit tesirleri yapı elemanının dolaysıyla sisteminin,
a. Kesit ve fiziksel [b,h]
b. Mesnet [sabit, ankastre]
c. Yük [q, P]
128
BÖLÜM4
M-N-Q
özelliklerine
göre belirlenir. Kesit tesirlerinin
işaretlerinin belirlenmesinde elemanların şekil
değiştirmeleri esas olmak üzere yapılmasına karşın değişik kabuller yapılarak değişik işaret kabulleri
kullanılabilmektedir. Literatürdeki mevcut kaynaklarda eksenel kuvvet işaretinde bir farklılık olmamakla
birlikte moment ve kesme kuvvetlerinin çizimlerinde değişik işaret kabullerine rastlamak mümkündür.
Bu notlarda kullanılan işaret kabulü aşağıdaki şekildeki gibidir.
Yüksüz
(kendi ağırlığı ihmal)
P
P
Yüklü (P)
M
M
(kendi ağırlığı ihmal)
Çekme
Basınç
-
+
-
Basınç
+
M
Çekme
M
V
P
-
V
V
V
KESME KUVVETĐ ĐŞARET KABULÜ
EĞĐLME MOMENTĐ ĐŞARET KABULÜ
P
+
P
P
Basınç
Çekme
EKSENEL KUVVET ĐŞARET KABULÜ
Yukarıdaki şekillerden de anlaşılabileceği gibi, eğilme momentinden dolayı elemanının uzayan yani
çekme meydana gelen kısmı artı diğer kısmı ise basınç bölgesi olarak kabul edilmiştir. Bu notlarda
moment alanı elemanın çekme meydana getiren yüzüne çizilmiştir. Kesme kuvvetinde ise kesiti saat
yönünde döndürmeye çalışan kesme kuvveti artı tersi eksi olarak kabul edilmiştir. Eksenel kuvvette ise
kesitin boyunu kısaltmaya çalışan basınç kuvveti eksi [-] kesitin boyunu uzatmaya çalışan çekme
kuvveti ise artı [+] olarak kabul edilmiştir.
4.3. YÜKLER
4.3.1. Uygulama Sürelerine Göre
Yükler etkime sürelerine ve bu süre içinde değişimlerine göre,
1.
Yapıya veya sisteme etkime şiddet ve süreleri zamanla değişim gösteren [rüzgar, karyağmur, ısı, deprem, makine titreşimi ve hareketler] gibi yüklere HAREKETLĐ yükler,
129
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
2.
Yapıya veya sisteme etkime şiddet ve süreleri zamanla değişim göstermeyen [ kolon,
kiriş, döşeme, duvar, toprak] gibi yüklere ZATĐ [ölü] yükler,
olarak sınıflandırılır. Zati yükler, hareketli yükleri emniyetli ve konforlu bir şekilde karşılamak için
yapılan yapıyı oluşturan döşeme, duvar, sıva, kolon-kiriş gibi kalıcı elemanların oluşturduğu yüklerdir.
Đnsan yük olarak hareketli bir yük sınıfına girerken, insanın içinde bulunacağı konuttun, sınıfın ve
sinemanın yapı elemanları ise zati yük sınıfına girmektedir.
4.3.2. Uygulama Şekillerine Göre Yükler
Yükler etkime durumlarına göre,
1. Tekil yük
Belli bir şiddeti ve yönü olan kuvvetin etkime noktası sistemin alanı veya boyuna göre çok küçük ise
bu tür kuvvetlere tekil kuvvet denir. Örneğin bir otomobil içindeki kişiler yayılı yük oluşturduğu halde
otomobilin tekerleri yere tekil yük olarak etkidiği kabul edilir. Tahterevallide bulunan çocukların her biri
birer tekil yük olarak alınabilir. Yapı sistemlerinde mesnet tepki kuvvetleri, tavana asılmış avize,
sıraların ayakları ve çantanın sapına uygulanan kuvvetler tekil kuvvet olarak kabul edilebilir.
2. Yayılı yük
a. Düzgün [üniform] yayılı yük
b. Üçgen yayılı yük
c. Trapez yayılı yük
d. Fonksiyonel yayılı yük
olarak aşağıdaki tabloda verildiği gibi gruplara ayrılır. Isı, mesnet çökmesi-dönmesi ve diğer yük ve
etkileri Mukavemet ve Yapı Statiği derslerinde incelenecektir.
TEKĐL YÜK
R P
Düzgün
YAYILI YÜK
Üçgen
Trapez
q1
V
Sistemdeki yüklerin hesaplanması aşağıdaki şekilde yapılmaktadır.
130
Fonksiyonel
q2
xn
Moment
M
BÖLÜM4
M-N-Q
A
2
K102
S1 50/25
(Elastisite modülü
S2 100/25
K101
4m
1
S4 100/25
K101
0
45
h
S3 25/100
K102
1m
7m
d
Duvar yükü = d x λ x h kN/m
q= d x λ x h kN/m
d : duvar kalınlığı
h: kat yüksekliği-kiriş yüksekliği
3
λ: duvar malzemesi birim hacim ağırlığı (t/m )
Bir kiriş elemanının yükünü,
1. Duvar+sıva yükü
2. Döşeme yükü
2.a. Kirişlerle 1-2-3-4 yandan çevrili
döşeme
2.b. Kirişlerin kesiştiği köşeden açı
ortay çizilir.
2.c. Uzun yönde trapez kısa yönde
üçgen yayılı yükler kirişlere aktarılır.
2.d. Aktarım TS500 bağıntıları ile
çözümü kolaylaştırmak için düzgün
yayılı yük haline getirilir.
Sıva
Sıva
+
Duvar
+
Duvar
Duv
+
+
Döşeme
Döşeme
+
3. Kirişin kendi yükü [bxhx1xρ]
oluşturur.
Kiriş 101
q kN/m
131
+
Kiriş 102
q kN/m
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
4.3.3. Bir Đzostatik Sistemin Çözümde Đzlenen Yol
1. Bilinmeyen mesnet tepki kuvvetlerinin ve verilen tekil yüklerin çubuk eksenindeki iz düşümleri
ve yayılı yüklerin bileşkesi olan kuvvetlerin işaretli olduğu sistemin serbest cisim diyagramı
belirlenir.
10 N
2 N/m
45o
A
B
6m
3m
2x6=12 N
7.07 N
Bx
7.07 N
3m
6m
Ay
By
2. Bilinen denge denklemleri kullanılarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
a. ΣFx=0
b. ΣFy=0
c. ΣM=0
3. Kirişin herhangi bir ucundan başlamak üzere kesim yaparak kirişin tamamındaki kesit tesirleri
belirlenir. Kesim yapılacak noktalar,
d. Kiriş üzerindeki yükün sağında ve solunda
e. Mesnedin sağında ve solunda
f.
1
Kiriş üzerinde birden fazla yük varsa her yükün sağında ve solunda
3
2
5 kN
4
3 kN/m
B
4.5 m
1
1
B
A
L
L
1
3
2
P
q kN/m
B
A
5 kN
3m
3m
2
P
q kN/m
1 kN/m
A
3m
1
q
P
P
B
A
L
132
4
3
2
q
P
B
A
L
BÖLÜM4
M-N-Q
4. Buradaki kirişler eğilmeye çalıştığı için kesim noktasına moment, kesme ve eksenel kuvvet
etkileri bilinmeyen olarak işaretlenerek bulunur. Bir n noktasının kesit tesirleri sağdan veya
soldan aynı olacağından etkilerin az olduğu yönden bulunması kolaylık sağlayabilir.
2x6=12 N
7.07 N
n
Bx
7.07 N
3m
6m
Ay
By
2x6=12 N
7.07 N
n
7.07 N
3m
x
Ay
Vn
Mn
n
Nn Nn
Vn
Mn
Bx
x
By
5. Bulunan kesit tesirleri kiriş boyuna eşit boyda çizilecek eksenler üzerine işaretlenerek
kesme, moment ve eksenel yük diyagramları çizilir. Çizimler işaret kuralları konusunda
belirtilen yönlerde yapılır. [Đşaret yönleri kaynaktan kaynağa değişiklik gösterebilir.]
y
P
P
n
x Yük ve mesnetleri ile verilen kiriş
P
3
m
6
m
y
+
n
x V Yük ve mesnetleri ile verilen kirişin
Kesme Kuvvet [V] diyagramı
y
y
n
x M Yük ve mesnetleri ile verilen kirişin
Moment [M] diyagramı
+
n
x N Yük ve mesnetleri ile verilen kirişin
Eksenel Kuvvet [N] diyagramı
6. Yayılı olan yükün-lerin bileşkesi aşağıdaki şekilde bulunur.
L
Üçgen yayılı yükü bileşkesi P =
∫
0
qx
qx 2
dx =
L
2L
133
L
=
0
qL
[N, kN]
2
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
∫
dx parçacığının momenti M = x q dx
L
Sistem gereği yayılı yükten bulunan kesit tesirlerinin yayılı yükün bileşkesi ile bulunan kesit
tesirlerini aynı olması gereğinden,
x g P = M = ∫ x qdx
x g ∫ qdx = ∫ x qdx
P = ∫ qdx = ∫ dA = A →→
xg =
L
L
L
∫ x qdx
L
L
L
∫ qdx
∫ x dA
=
L
L
∫ dA
∫ x dA
=
A
L
∫ dA
A
xg ağırlık merkezini yukarıdaki bağıntı ile bulunur. Bu konuda detaylı açıklama ağırlık merkezi
bölümünde bulunmaktadır. Buna göre yayılı yükün bileşkesi olan P kuvvetinin etkime noktası
yayılı yük alanının ağırlık merkezidir.
q
P
xg
=
B
A
B
A
L
L
q
qx
L
B
A
x
L
dx
Bazı geometrik şekillerin alan ve ağırlık merkezi değerleri
x
h1
b
x=
h2
o
2
x
n
x
x
x=
b[h2 + h1]
2
A=
h 2o
b
b
b[2h2 + h1]
3[h2 + h1]
A=
h
3b
8
2bh
3
x=
b
b[n + 1]
2[n + 2]
A=
x
x =b/2
2bh
A=
3
nbh
[n + 1]
134
h
x
2o
b
b
4
bh
A=
3
x=
h
x
n
x
b
b
n+2
bh
A=
n +1
x=
h
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.1. Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
P kN
P kN
B
A
a
B
A
a
b
BY
AY
L
Bx
b
Çözüm: Önce mesnet tepki kuvvetleri
P kN
∑ MA = 0
Pa
By =
L
Pb
Ay =
L
P a − B yL = 0
∑ MB = 0
A yL − Pb = 0
∑ Fx = 0
B
A
a
Pb
AY =
L
b
BY =
Bx
Pa
L
Bx = 0
∑X = 0 N = 0
M
Pb
L
Pbx
∑ M = 0 M − Ayx = 0 M =
L
∑ Y = 0 Ay − Q = 0 Q =
x = a ise M =
A
AY =
N
V
Pb
L
x
Pba
L
∑X = 0 N = 0
P
M
A
a
AY =
x
V
N
∑ Y = 0 Ay − P − Q = 0 Q =
Pb
L
Pb
−P
L
∑ M = 0 M − A y [ a + x ] + Px = 0 M =
Pb[ a + x ]
− Px
L
x = a + b = L ise M = 0
Bulunan kesme ve moment değerleri çubuk ekseni üzerine işaretlenerek diyagramlar [V,M,N] çizilir.
P kN
B
A
a
Pb
AY =
L
AY =
Pb
L
b
BY =
Bx
Pa
L
P
Pa
= BY
L
[M] alanı
+
AY a =
[V] alanı
Pb
Pba
Pa
a=
= BY b =
b
L
L
L
[N]
135
alanı
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.2. Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
P=qL kN/m
q kN/m
L/2
=
B
A
L
L
By
Ay
q kN/m
Çözüm: Önce mesnet tepki kuvvetleri
B
A
L
qL
AY =
2
q kN/m
A
M
N
Q
AY =
x
qL
2
qL
L 
q.L   − B y L = 0 B y =
2
2
 
qL
L 
A y L − q.L   = 0 A y =
∑ MB = 0
2
2
F
=
0
B
=
0
∑ x
x
X
=
0
N
=
0
∑
qL
− qx
∑ Y = 0 Ay − qx − Q = 0 Q =
2
x = L / 2 ise Q = 0
x = L ise Q = −[qL / 2 ] kN
Bx
qL
BY =
2
∑ MA = 0
∑ M = 0 M − A y x + q x [ x / 2] = 0 M =
qLx qx
−
2
2
x = [L / 2 ] ise M =
x=L
ise M = 0
B
A
L
qL
AY =
2
qL
2
+
2
-
B
=
qL2
8
[N]
B
L
L
q
Çözüm: Önce mesnet tepki kuvvetleri
B
A
∑ MA = 0
L
qL
6
BY =
q =[qx/L]
qL
 qL  2L
 2  3 − B yL = 0 B y = 3
 
M
A
AY =
136
[Q]
+
A
AY =
qL
2
[M]
qL2
kNm
8
ÖRNEK 4.3. Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
qL
P=
2
2L/3
L/3
q
A
Bx
qL
BY =
2
Q
qL
6
x
N
qL
3
BÖLÜM4
M-N-Q
 qL  L
A yL −   = 0
 2 3
∑ MB = 0
Ay =
qL
6
q
B
A
∑ Fx = 0
Bx = 0
L
qL
AY =
6
qL
6
+
qL
3
2
L
3
∑Y = 0
∑
N=0
x=
 qx   x 
Ay −     − Q = 0
 L  2
M = 0 M − Ay x +
qL qx 2
−
6
2L
qx x x
qLx qx 3
=0 M=
−
L 23
6
6L
 qx   x 
  −Q = 0
 L 2
∑ Y = 0 Ay − 
max Maç
Q=
Q=
qL qx 2
=0
−
6
2L
x=
x=
x2 =
L
3qL2
⇒
2
48
L2
qL
⇒
2
9
L2
2
x = L ise Q = −
qL
3
L
3qL2
ise M =
kNm
2
48
qL 2L
L2
=
6 q
3
x=
3o
max açıçıkl x =
L
qL
ise Q =
2
24
[V]
[M]
+
∑X = 0
Bx
qL
BY =
3
x =L
[N]
ise M = 0
L2
3
0 .5 
0 .5
0. 5

  2  0 .5  2  0 .5

qL  L2  
q L
L
1  L2 
1
qL  L2 


=
−
=
 
  x   x x  x
 
 6 3 
L  3 
2  3 
3
9  3 
 3 
  

  
 yük
Amesnet tepkisi
ÖRNEK 4.4. Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
o
2
q
A
L
qL
3
L
4
3L
4
2o
qL
AY =
12
q
B
A
L
∑X = 0
Bx = 0
∑Y = 0
A y + By −
B
qL
BY =
4
qL
=0
3
A y + By =
qL
3
∑ MA = 0
qL  3L 
− B yL = 0
3  4 
By =
qL
4
∑ MB = 0
qL  L 
− A yL = 0
3  4 
Ay =
qL
12
Bx
137
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
qL
3
3L
4
L
4
o
2
q
B
A
L
qL
AY =
12
qL
12
Bx
qL
BY =
4
3o
+
qL
4
x
[M]
+
L
3qL2
x=
⇒
2
48
3o
max açıçıkl x =
[V]
L2
qL
⇒
2
9
L2
2
[N]
138
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.5. Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
10 N
45
2 N/m
o
A
B
3m
m
3
Çözüm: 10 N’luk kuvvetin yatay ve düşey bileşenleri bulunarak mesnet kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
7.07 x 3 − 2 x 6 x 3 + 6 B y = 0
B y = 2.465 kN
∑ MB = 0
7.07 x 9 + 2 x 6 x 3 − 6 A y = 0
A y = 16.605 kN
2 N/m
7.07 N
7.07N
7.07 N
3m
7.07
6m
Ay=16.605N
By=2.465 N
Q
sol
= -7.07N
3m
Q
2.47
7.07
-
Q
-
sol
M
+
N
9.54
sol
= -7.07 x3 = -21.21 Nm
sol
= -7.07 N
21.21
Q
M
-
+
1.52
7.07
N
2 N/m
7.07
3m
7.07N
M
Ay=16.605t
-
Q –2 x 3 + 2.465= 0 Q=3.535 N
3m
M=2.465x3-2x3x1.5=1.605 Nm
By=2.465N
N=-7.07N
ÖRNEK 4.6. Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
6 kN/m
4 kN
6 kN
A
B
3m
9m
Çözüm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
b
a
36 kN
6 kN/m
4 kN
6 kN
A
B
m
Bx = 6
m
3
9
a
A Y = 21.33
b
B Y = 18.67
139
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
∑ Fx = 0
M-N-Q
6 −Bx = 0 Bx = 6 kN
 6 x12 

 x 5 − 4 x 3 −B y 9 = 0 B y = 18.67 kN
 2 
∑ MA = 0
q =[qx/ L]=0.5x
4 kN
M
6 kN
N
x
∑ MB = 0
 6 x12 

 x 4 + 4 x 12 − A y 9 = 0 A y = 21.33 kN
 2 
V
a-a
a-a ve b-b kesitlerinde kesimler yapılarak kesit tesirleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
∑ Fx = 0
N+ 6= 0
∑ Fy = 0
∑M = 0
x = 3 m → N = −6 kN
N = −6
Q = 4 + 0 . 25 x 2
Q − 4 − 0 .5 x [ x / 2 ] = 0
x = 3 m → Q = 6 . 25 kN
M = −[ 4 x + x 3 0.25 / 3 ]
M + 4 x + 0.5 x[0.5 x ][ x / 3 ] = 0
x = 3 m → M = −14.25 kNm
q =[qx/ L]=0.5x
4 kN
M
6 kN
N
A
V
x
b-b
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
∑ Mx = 0
A Y = 21.33
N+ 6= 0
x = 7.5 m → N = −6 kN
N = −6 kN
Q + 4 − 21.33 + 0.5 x[ x / 2 ] = 0
Q = 17.33 − 0.25 x 2
x = 3 m + 4.5 m = 7.5 m → Q = 3.27 kN
M x = −63.99 + 17.33x − x 3 0.25 / 3
M x + 4 x − 21.33 [ x − 3 ] + 0.5 x[0.5 x ][ x / 3 ] = 0
x = 7.5 m → M x = 30.83 kNm
b
a
x = 12 m → M x = 0
x = 12 m → N = −6 kN
36 kN
6 kN/m
4 kN
6 kN
A
B
3m
Bx = 6
9m
A Y = 21.33
a
b
B Y = 18.67
15.08
+
4
-
6.25
[Q]
x=8.33
14.25
18.67
+
[M]
6.25
6
-
140
[N]
BÖLÜM4
M-N-Q
Maksimum açıklık momenti V=0 da olduğuna göre,
Q=0
 17.33 
x=

 0.25 
4 + [0.5 x ] x [0.5 ] − 21.33 = 0
[1 / 2 ]
= 8.33
x = 8.33 →→ max M aç = 21.33 [ x − 3 ] − 4 x − 8.33 [0.5 x ] [0.5 ] [8.33 / 3 ] − 14.25 = 32.20 kNm
Đstenirse sağ yönden de kesim yapılarak sonuçlar kontrol edilebilir.
∑ Fx = 0
qx =
N+ 6 = 0
x = 9 m → N = −6 kN
N = −6 kN
x = 12 m → N = −6 kN
6[12 − x ]
= 6 − 0.5 x
12
Q + ([[6 − 0.5 x ] + 6 ] x ) / 2 − 18.67 = 0 Q = 18.67 + 0.25 x 2 − 6x
x = 4.5 ise Q = 3.27 kN
6 [12 − x ]
12
M x + [6 − 0.5 x ] x x / 2 + 0.5 xx[ 0.5 ][2x / 3 ] − 18.67x = 0
M x = 18.67x − 3x 2 + 0.5 x 3 / 6
x = 4.5 ise M x = 30.86 kN
M
6 kN/m
N
6 kN
B
V
x = 9 ise M x = 14.22 kN
x
B Y = 18.67
4.4. KESME KUVVETĐ ĐLE MOMENT ARASINDAKĐ ĐLĐŞKĐ
dx
B
A
L
x
Çekme Bölgesi
P
B
A
+
-
V
M
+
Kesit
Basınç Bölgesi
T.E.
q(dx)
L
Kesme
T.E.
B
A
M
M
V
s V+dV
V
dx
M
Moment
Çelik
Kesit
ΣFy=0
V + q (dx) – [V + dV]= 0 q (dx) – [dV]= 0
dV= q (dx)
dV = q
dx
(Kesme kuvvetinin türevi yayılı yükün değerini verir.)
ΣMs=0 V dx + M +q (dx) (dx /2) – [M + dM]= 0
Vdx = dM
dM= V
dx
(Momentin türevi ise kesme kuvvetinin değerini verir.)
Not: dx küçük bir dilim olduğu için
dx 2
= 0 alınmıştır.
2
141
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
q
M
V
j
j
j
dV=qdx
i
i
x
dx
dM=Vdx
i
x
dx
dx
x
j
VEYA
Vj − Vi = ∫ qdx
Buna göre yayılı yükün alanı kesme kuvvetini verir.
i
j
M j − Mi = ∫ V dx
Kesme kuvvetinin alanı momenti verir.
i
ÖRNEK 4.7. Şekildeki konsol kirişin kesme ve momet bağıntılarının elde edilmesi
4 kN/m
A
6m
Konsol kirişin A mesnedindeki kesit tesirleri aşağıdaki şekilde bulunur.
12 kN
x2
3
x
3
48 kNm
48 kNm
M
z
x
4m
V
12 kN
12 kN
ΣFy=0
ΣMz=0
x=2
x=4
x=6
− 48 + 12 x −
12 −
x2
− V =0
3
x2 x
−M= 0
3 3
x2
3
x3
M = 12x − 48 −
9
x2
22
x3
23
=12 − =10.67kN
M2 =12 x − − 48 =12 x 2 − − 48 =− 24.89kNm
3
3
9
9
x2
42
x3
43
V4 =12 − =12 − = 6.67kN
M4 =12 x − − 48 =12 x 4 − − 48 =− 7.11kNm
3
3
9
9
62
63
x2
x3
V6 =12 − =12 − = 0
M6 =12 x − − 48 =12 x 6 − − 48 = 0
3
3
9
9
V2 =12 −
48 kNm
-
12 kN
3o
+
2o
A
A
6m
6m
142
V =12 −
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.8. Verilen çıkmalı kirişin V,M ve N kuvvet alanlarının kesim metoduyla çizimi.
3 kN/m
5 kN
1 kN/m
A
B
4.5m
3m
5 kN
3m
3m
Verilen sistemin önce mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı yapılır.
3 kN/m
5 kN
1 kN/m
A
B
Bx
4.5m
m
3
3m
Ay
5 kN
3m
By
∑ MA = 0
5 x 3 + 7.5 x B y − 3x 4.5 x2.25 − 1.5 x[ 4.5 + 3 + 2 ] = 0
∑ MB = 0
5 x [3 + 4.5 + 3 ] − 7.5 xA y + 3 x 4.5 x[2.25 + 3 ] − 1.5 x2 = 0
∑X = 0
B x −5 = 0
∑ X =0
B y = 3.95 kN
A y = 16.05 kN
B x = 5 kN
N=0
5 kN
Kesim yöntemi ∑ Y = 0 − 5 + V = 0 V = 5kN
∑M = 0
5 kN
V
3m
M
N
V
x2
A
x1
M + 5 x1 = 0 M = −5 x1 x1 = 2m ise M = −5 x2 = −10kNm
3 kN/m
M
4.5 m
3m
16.05 kN
∑ X =0
N= 0
∑ Y =0
− 5 +16.05 − 3 x 2 − V = 0 Q =11.05 − 3 x 2
x2 =0
ise V =11.05kN
x 2 = 4.5 ise V = −2.45kN
∑M= 0
M + 3 x 2 x 2 / 2 + 5 [ 3 + x 2 ] −16.05 x 2 = 0 M =11.05 x 2 − 3 x 2 x 2 / 2 −15
x 2 = 0 ise M = −15kNm
x 2 = 2 ise M =1.10kNm
x 2 = 4.5 ise M = 4.35kNm
y=
M
1 kN/m
N
V
M
x3
1 kN/m
N
3m
V
∑X = 0
N−5 = 0
q[3 − x3 ]
3
N = 5 kN
x3
3m
x3 = 3
5 kN
ise
143
N = 5 kN
http://mizan.ogu.edu.tr.
N
BÖLÜM4
M-N-Q
 q[ 3 − x 3 ]
x 3 q +
x3

3


=0 V =
∑ Y =0 V −
2
∑M = 0
M+
 q[ 3 − x 3 ]
q +

3


x 3 =1 ise V = 0.84kN
2
x 3 = 3 ise V =1.50kN
y x 3 x 3 [q − y ]x 3 2x 3
=0
+
2
2
3
 y x 2 [q − y]x 23 
M = − 3 +

3
 2

x3 = 2
ise M = −1.78 kNm
x3 = 3
ise M = −3 kNm
M
∑ X =0
N− 5 +B x =0 N= 0
∑ Y =0
V − B y − 3[1/ 2 ] = 0 V = 3.95 −1.5 = 2.45kN
V
B
A
4.5m
5 kN
3m
3m
11.05
-
1.5
5
+
2.45
X=3.68
+
2o
-
Kesme Kuvvet Diyagramı
2.45
15
3
2o
-
-
3o
Moment Diyagramı
+
4.35
maxM=5.35
5
+
Eksenel Kuvvet Diyagramı
Açıklık momentinin hesabı için
1. Kesme kuvvetinin V=0 olan noktaya göre moment alınır.
max M aç = 16.05[3.68 ] − 5[3 + 3.68 ] − 3[3.68 ]3.68 / 2 = 5.35 kNm
2. Açıklığın hemen sağındaki veya solundaki mesnet momentlerine göre
maxMaç =
Vx
2
− Mmesnet =
11.05x3.68
2
−15 = 5.33kNm
144
5 kN
m
3
BY=3.95 kN
1 kN/m
3 kN/m
3m
B
Bx=5 kN
3m
∑ M = 0 M +1.5 x[ 3 + 2 x 3 / 3 ] − 3.95 x3 = 0 M = 4.35kNm
5 kN
1 kN/m
N
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.9. Çıkmalı kirişin Moment, Kesme ve Normal kuvvet alanlarının çizimi.
10 kN/m
5 kN
30 kNm
5 kN/m
B
A
2m
2m
2m
6m
2m
Çözüm: A ve B noktalarında ΣMA=0 ve ΣMB=0 yazılarak mesnet tepki kuvvetleri
ΣMA=0 dan -5x12+5x2x1-[10x6x0.5x6]+30-10By=0
By=20 kN
ΣMB=0 dan -5x2+30+[10X6X0.5X4]+5X2X11-10Ay=0
Ay=25 kN
ΣFx=0 dan Ax=0
Verilen kirişin kesim metoduy ile kesit tesirleri olan kesme, moment ve eksenel kuvvet değerleri bir
önceki örnekte olduğu gibi bulunur. Bulunan değerler aşağıda çizilmiştir.
10 kN/m
2
5 kN
30 kNm
5 kN/m
A
m
2
m
2
m
6
B
m
2
m
20 kN
25 kN
15
15
x=4.24 m
-
5
-
[V]
+
+
10
10
2O
15
10
10
-
-
-
[M]
+
+
20
20
3O
32.43
[N]
Maksimum momentin yeri ve değeri için kesme kuvvetinin sıfır olduğu nokta bulunur.
[qx/ L]
5 kN
M
N
V
B
x
2
m
20 kN
∑ Fy = 0
Vx + 20 − 5 − [ qx / 6 ]x[ 0.5 ] = 0
qx 2
−15 x = 4.24m
12
Maksimum moment, x belli olduğuna göre o noktaya göre sağdan veya soldan moment alınarak veya
kesme kuvvetinin alanın hesabında bulunur.
max M aç =
Vx =
4.24 x 15 x 2
− 10 = 32.40 tm
3
max M aç = −5 x [ 4.24 + 2 ] + 20 x 4.24 − 4.24 x [qx / 6 = 7.07 ] x 0.5 x [ 4.24 / 3 ] = 32.42
145
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.10. Şekilde verilen çıkmalı kirişin V ve M diyagramlarının çizimi.
20 kNm
20 kN/m
10 kN/m
50 kN
A
2m
B
2m
2m
3m
2m
Çözüm: A ve B noktalarında ΣMA=0 ve ΣMB=0 yazılarak mesnet tepki kuvvetleri
ΣMA=0 dan 50x2+(2+2+2)x(20x3x0.5)+(1+2+2+3)x10x2)-20-7By=0
By=60 kN
ΣMB=0 dan -20-50x5-(3/3)x(20x3x0.5)+(1)x10x2)-7Ay=0
Ay=40 kN
ΣFx=0 dan Ax=0
20 kNm
20 kN/m
10 kN/m
50 kN
A
2m
B
2m
2m
2m
3m
40
20
10
40
ÖRNEK 4.11. Şekilde verilen çıkmalı kirişin V ve M diyagramlarının çizimi.
300 N
300 N/m
100 N/m
B
A
6m
m
6
6m
Çözüm: Verilen sistemin önce mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı yapılır.
∑ MA = 0
18 x 300 + 100 x6x[6 & 3 ] + 200 x6x0.5 x[6 + 2 ] − 12 x B y = 0 B y = 1300 N
∑ MB = 0
6 x 300 + 12 x A y − 100 x6x[3 ] − 200 x6 x0.5 x[ 4 ] = 0 A y = 200 N
∑X = 0
Bx = 0
146
BÖLÜM4
M-N-Q
300 N
300 N/m
100 N/m
B
A
m
200 N
m
m
6
6
6
1300 N
300
200
Kesme kuvvet alanı
1000
2o
1800
3o
Moment alanı
1200
V=
R
200 [6 − x ]
6
300 N/m
200 N/m
100 N/m
A
m
200
∑Y = 0
Ay = V
6
x
Ay − V = 0
Ay = V
bu eşitliği sağlayan x değeri hesaplanır.
  200[6 − x ]
 
+ 200  X 

6
 
200 = 100 X +  


2




200 = 300 X − 16.67X 2
  200[6 − x ] + 1200  

X
6
 
200 = 100 X +  


2




X = 0.695 m' de kesme kuvveti "0" ve M maksimum
Đntegral Đle Kesme Ve Moment Değerlerinin Bulunması
Kesme kuvveti değerlerinin entegral ile bulunması
A-B arası V=200 N
x
x
[0<x<6]
B-C arası V =− 100 x + 500
 3

[6<x<12]
x
100

∫ dV = ∫ − qdx = ∫  3 x − 500 dx
6
6
6
V=
50 2
x − 500 x + 2600
3
[ 6 < x <12 ]
x = 9 → V = 550N
x =12 → V =1000N
147
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
C-D arası V=300 N
[12<x<18]
A-B arası [0<x<6] M=V dx
M
x
x
0
0
0
V=200 N
∫ dM = ∫ Vdx = ∫ 200dx
B-C arası [6<x<12]
M
x
x
Mb
6
6
Moment değerlerinin entegral ile bulunması
M = 200 Nm
V=
M=V dx
50
x = 3 m → M = 600 Nm x = 6 m → M =1200 Nm
50 2
x − 500 x + 2600
3

∫ dM = ∫ Vdx = ∫  3 x 2 − 500 x + 2600 dx
M = 50 x 3 − 250x 2 + 2600 x − 6600Nm
9
 100

C-D arası q = − 
x + 500 
 3

C-D arası [12<x<18] M=V dx
M
∫
Mc
x
x
12
12
x =12 m → M =1800Nm
x = 6 m → M =1200Nm
[6<x<12]
V=300 N
dM = ∫ Vdx = ∫ 300dx
M = 300x − 5400Nm
x =12 m → M =1800 Nm
x =16 m → M = 600 Nm
x =18 m → M = 0 Nm
Bulunan değerlerin kesim yoluyla bulunan moment ve kesme kuvvet değerleri ile aynı olduğu görülür.
ÖZET: Yukarıdaki örneklerin ve aşağıdaki tablonun incelenmesinden, yük, kesme kuvveti ve moment
birer derece artarak devam etmektedir. Yani yük 1. dereceden ise kesme kuvveti 2. derecede moment
ise 3. dereceden veya yük ile kesme kuvveti arasında bir derece bulunurken moment ile iki derece
bunmaktadır. Yük n. dereceden ise kesme kuvveti n+1 ve moment n+2 derece olmaktadır.
YÜK ŞEKLĐNE GÖRE KESĐT TESĐRLERĐ [V M N]
YÜK
KESME
KUVVETĐ
[V]
R
P
xn
V
P
3O
2O
MOMENT
[M]
EKSENEL
KUVVET
[N]
2O
2O
3O
V
V
148
4O
[n+1]O
[n+2]O
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.10: Şekilde verilen çıkmalı kirişin V,N ve M diyagramlarının çizimi.
1000 N
6 N/m
3 N/m
400 N
B
A
3
m
2
m
3
m
6
m
3
m
2
m
6m
A ve B noktalarında ΣMA=0 ve ΣMB=0 yazılarak mesnet tepki kuvvetleeri bulunur.
ΣMA=0
-400x2-1000sin30x5+3x6x6+6+6x6x0.5x(3+6+3+2+6x2/3)-20By=0
By=-143.10 N
ΣMB=0
-400x22-1000sin30x25-3x6x14+6-6x6x0.5x(6/3)-20Ay=0
Ay=1079.10 N
500
866
6 Nm
B
A
2m
3m
6 N/m
3 N/m
400 N
3m
1079.1
6m
2m
3m
6
m
143.1
900
500
Kesme
+
143.10
161.1
179.1
2762.7
3300
1742.1
1500
2O
1252.8
1258.8
930.6
3O
Moment
Eksenel
-
866
ÖRNEK 4.13. Kirişin kesme kuvvet, moment ve normal kuvvet alanın belirlenmesi.
4 kN
4 kN
C
6 kN
4m
C
6 kN
m
4
4m
4m
B
A
MA
B
AX
m
10
AY
10m
6
-
VC= - 4 t
NC = -6 t
MC= 4 x 4 =16 tm
VB= 6 t
NC = - 4 t
MB= 4 x 4 – 6 x 4 =-8 tm
Ay= 4 t
Ax= -6 t
MA= -(8 + 4 x 10) = -48 tm
C
B
A
+
4
-
- 4
N
6
C
+
V
+
16
6
C
+
B
A
-
-
4
8
M
8
149
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.15. Şekilde verilen çıkmalı kirişin V ve M diyagramlarının çizimi.
2 kN
B
2 kN
C
D
B
C
D
Cy
4m
A
Ax
3m
3m
Ay
Verilen sistemin önce mesnet tepki kuvvetlerinin hesabı yapılır.
1
-
1
+
1
+
Cy=1
Normal kuvvet
diyagramı
Cy=1
Kesme kuvvet
diyagramı
Cy=1
3
Moment
diyagramı
1
Ax=0
=0
x
∑F
Ax = 0
y
=0
=0
2 x 3 − 6 x Cy = 0
∑M
=0
2 x 3 − 6 x Ay − 4 x Ax = 0
C
Ay=1
A y + Cy = 2
∑M
A
Ax=0
Ay=1
Ay=1
∑F
Ax=0
VA = 0 MA = 0
Cy = 1 kN
VBkolon = 0 VBkiriş =1kN
A y = 1 kN
MB =1x6 − 2 x3 = 0
VDsağ =1kN VDsol =−1kN
MD =1x2 = 2 kNm
Momentin yük olarak verilmesi durumunda kesme kuvveti ve momentin değişimi aşağıdaki gibidir.
M
A
A
B
B
L/2
L
M
By = −
M
L
M
L
L
a
M
By = −
By
∑ MA = 0
M + LB y = 0
M
L
Ay =
M
L
+
By
Ay
∑ MA = 0
M
L
Ay
B
L/2
Ay
M + LB y = 0
Ay =
A
M
By
Ay
∑ MA = 0
M
M
M
L
By = −
+
M + LB y = 0
M
L
Ay =
M
L
+
By
Ay
Ay
M
L
By
M/2 +
+
M
150
M/2
-
M
BÖLÜM4
M-N-Q
Süperpozisyon prensibi; üzerinde birden fazla yük bulunan [elastik] sistemin çözümü sonucu
bulunan kesit tesirleri [V, M, N] sistem üzerinde bulunan her bir yük için ayrı çözüm yapılarak bulunan
kesit tesirlerinin çözümüne eşittir. Aşağıda verilen sistemin orta noktasındaki moment,
 qL2   Pa   M 
Morta = 
+ + 
 8   2L   2 
q
qL2
8
L
P
P
a
M
q
Pa
2L
M
L
M
L=5a
M/2
L
ÖRNEK 4.16. Şekildeki çıkmalı kirişin mesnet tepkilerinin superpozisyon yöntemiyle bulunması.
10 t
45
7.07 kN
2 t/m
o
7.07 kN
A
3m
B
6m
Ay=10.61
∑X = 0
7.07 x 3 + 6B y = 0 B y = −3.54 kN
∑ MB = 0
7.07 x 9 − 6 A y = 0 A y = 10.61kN
Bx = 0
∑ MA = 0
By=3.54
B x = 7.07 kN
∑ MA = 0
∑X = 0
Bx
6m
3m
2 t/m
2 x 6 x 3 + 6B y = 0 B y = 6 kN
A
∑ MB = 0
2 x 6 x 3 + 6 A y = 0 A y = 6 kN
Sonuç:
Ay=6+10.61=16.61 kN
B
6m
3m
Ay=6
By=6
By=6-3.54=2.46 kN
151
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 4.17. Çerçevenin V, M ve N diyagramlarını çizerek mak. açıklık momentinin hesaplanması.
2 kN/m
2 kN/m
C
4
C
D
4kN
m
2
4
5
4kN
m
m
2
A x = 4 kN
B
A
D
B
m
A y = 6.6 kN
∑ Fx = 0
Ax − 4 = 0
∑ Fy = 0
Ay + By − 2 x 5 = 0
B y = 3.4 kN
A x = 4 kN
A y + B y = 10
∑ MA = 0
2 x 5 x 2.5 − 4 x 2 − 5 x B y = 0
B y = 3.4 kN
∑ MB = 0
2 x 5 x 2.5 − 5 x A y + 4 x 2 = 0
A y = 6.6 kN
N AC = −6.6 kN
sağ
MC
m
NBD = −3.4 kN
NCD = −4 kN
= 3.4 x5 − 4 x2 − 2x5 x2.5 =−16kNm
VC − A =−4kN VC −D = 6.6kN
MCsol =− A x x 4 =−4 x 4 =−16kNm
MDsol = 6.6 x5 − 4 x 4 − 2 x5 x2.5 = −8kNm
VD −C = 3.4kN VD −B = 4kN
sağ
MC =−4 x 4 =−8kNm
4
VA −C = −4kN
-
16
-
8
5.11
+
+
6.6
3.4
VB −D = 0
4
-
-
-
-
6.6
4
-
-
Moment alanı
4
N alanı
Kesme alanı
A x = 4 kN
B
A y = 6.6 kN
6.6
3.4
B y = 3.4 kN
Açıklık momentinin hesaplanması,
g. Açıklık momenti istenen eleman verilen dış yükleri ve bulunan uç momentleri
ile sistemden çıkarılır.
h. Elemanın mesnet tepki kuvvetleri,
a. Dış yüklerden
b. Uç momentlerinden ayrı ayrı hesaplanarak bulunur.
152
BÖLÜM4
M-N-Q
i.
Elemanın kesme kuvvet diyagramı çizilir.
j.
Kesme kuvvet diyagramının alanı ve uç momentleri kullanılarak açıklık
momenti örnekteki gibi hesaplanır.
16
8
2 kN/m
k.
max Maç = A 1 − 16 = A 2 − 8 = 3.3 x 6.6 x 0.5 − 16 = 1.7 x 3.4 x 0.5 − 8 = −5.11kNm
maxMaç =
veya
C
D
5=2x5/2
5
1.6=[16-8]/5
6.6 2
3.4 2
V2
V2
−16 =
−8 =
−16 =
− 8 =−5.11kNm
2q
2q
2x 2
2x2
1.6
3.4
6.6
x2=1.7 m
x1=3.3 m
A2
3.4
A1
6.6
16
-
8
5.11
ÖRNEK 4.18. Çerçevenin V, M ve N diyagramları ile maksimum açıklık momentinin hesaplanması.
4 kN/m
C
3m
4 kN/m
4 kNm
D
C
3m
4 kN
4 kN
2m
2m
A
4 kNm
D
Serbest cisim diyagramı
[uygulanan yükler ile
bulunması gereken
mesnet tepkileri ]
B
m
5
E
B
BX
m
2
BY
AY
Çözüm: Đlk önce mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
4 x 5 x 2.5 + 4 x 2 + 4 − 5 x B y = 0
B y = 12.40 kN
∑ MB = 0
4 x 5 x 2.5 − 4 x 2 − 4 − 5 x A y = 0
A y = 7.60 kN
∑ Fx = 0
4 − Bx = 0
B x = 4.00 kN
VEYA
Kirişin E noktasında momentin sıfır (4 dış momenttir bu yüzden dikkate alınmaz veya bu noktada yazılan moment
olacağından E noktasına göre moment alarak Bx tepkisi bulunabilir.
Yani momenti bilinen bir noktaya göre moment alınarak uygun mesnet tepki kuvvetleri
hesaplanabilir (B noktasına göre moment yazılarak Bx bilinmeyeni bulunamaz)
bağıntısı bu dış momente eşitlenir)
∑ ME = 0
∑ ME = 0
7.6 x 7 − 4 x3 − 4 x 5 x 2.5 + 12.4 x 2 + 4 + 5 x B x = 0
7.6 x 7 − 4 x3 − 4 x 5 x 2.5 + 12.4 x 2 + 4 + 5 x B x = 4
153
B x = 4.00 kN
B x = 4.00 kN
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
N
N
∑ Fx = 0
N + 7.6 = 0 N = −7.60 kN
∑ Fy = 0
V + 4 =0
∑ Fy = 0
Q=0
∑ Mx = 0
M+ 4 x =0
x
Q
∑ Fx = 0
M=0
M
Q
V =−4
x
M
N + 7.6 = 0 N =−7.60kN
M = −4 x
4 kN
x =1m M =−4kNm x = 3m M =−12kNm
AY=7.6
N
∑ Fx = 0
N +12.4 = 0 N =−12.4kN
∑ Fy = 0
V − 4=0
∑ Mx = 0
M+ 4 x = 0
AY=7.6
M
Q
x
V =4
M =−4 x
B
x =1m M =−4kNm x = 5m M =−20kNm
BX=4
BY=12.4
M
4 kN/m
N
C
V
x
4 kN
∑ Fx = 0
N + 4 = 0 N =−4kN
∑ Fy = 0
7.6 − V − 4 x = 0
V = 7.6 − 4 x
x = 2m V =−0.4 kNm x = 5m V =−12.4kNm
∑ Mx = 0
7.6 x − 4 xx [1/ 2 ] − M − 4[ 3 ] = 0
M = 7.6 x − 2 x 2 −12
x = 2m M =−4.8 kNm x = 5m M =−24kNm
AY=7.6
M
4 kN/m
4 kNm
N
∑ Fx = 0
N + 4 = 0 N =−4kN
∑ Fy = 0
12.4 + V − 4 x = 0
D
x
Q
E
V =−12.4 + 4 x
x = 2m V =−4.4 kNm x = 5m V = 7.6kNm
∑ Mx = 0
M + 4 + 4 xx [1/ 2 ] + 4[ 5 ] −12.4 x = 0
B
M =12.4 x − 2 x 2 − 24
BX=4
x = 2m M =−7.2 kNm x = 5m M =−12kNm
BY=12.4
24
-
5-x1
x
4.0
C
D
+
-
-
7.6
-
A
7.6
-
12.4
4.78
12
5-x
-
-
-
x1
-
4
20
4
B
12.4
4
Maksimum açıklık momenti [V=0’daki x benzer üçgen bağıntılarından bulunarak maksimum moment hesaplanabilir]
x
5−x
=
x = 1.9 m max M aç = 7.6 [1.9 ] − 4 [ 3 ] − 1.9[ 4 ][1.9 / 2 ] = −4.78 kNm
7.6
12.4
VEYA DĐĞER YÖNDEN
x1
5 − x1
=
12.4
7.6
x 1 = 3.1 m max M aç = 12.4 [3.1] − 4 [5 ] − 3.1[ 4 ][3.1 / 2 ] − 4 = −4.78 kNm
154
BÖLÜM4
M-N-Q
VEYA aşağıdaki formüller kullanılarak da aynı değerler aşağıdaki gibi bulunur.
[ 7.6 ]2
V 7.6
V2
=
=1.9 maxMaç =
± Mmesnet =
−12 =−4.78kNm
q 4
2q
2x4
SOL YÖNDEN
⇒ x=
SAĞ YÖNDEN
⇐ x1 =
[12.4 ]2
V 12.4
V2
=
= 3.1 maxMaç =
± Mmesnet =
− 24 =−4.78kNm
q
4
2q
2x 4
NOT: Maksimum açıklık momenti her zaman artı moment olacak diye bir yaklaşım olmamalıdır.
Maksimum moment artı işaretli en büyük olan moment veya sıfıra en yakın olan eksi işaretli momenttir.
4.5. TESĐR ÇĐZGĐSĐ ĐLE MESNET TEPKĐLERĐNĐN HESABI
Bunun için aranan mesnet tepkisi 1 birim ve diğer mesnet tepkisi ise sıfır olacak şekilde üçgen çizilir.
Sistemdeki verilen dış yükler tekil yük ise yük altındaki ordinat ile tekil yük şiddeti çarpılarak mesnet
tepkisi bulunur. Sistemdeki verilen dış yükler düzgün yayılı yük ise yük altındaki alan ile yayılı yükün
şiddeti çarpılarak mesnet tepkisi bulunur. Eğer sistem üzerinde her iki yükte bulunuyor ise her yük için
bu işlem yapılarak toplanır.
ÖRNEK 4.19. Verilen kirişlerin mesnet tepkilerinin tesir çizgisi yöntemi ile bulunması.
8 kN
3m
4 kN/m
5m
B
A
8m
m
8
Ay
By
By
Ay
1
1
0.625
1
1
0.375
A y = 0.625 x 8 = 5 kN
A y = [1 x 8 x 4 ] / 2 = 16 kN
B y = 0.375 x 8 = 3 kN
By = [1 x 8 x 4 ] / 2 = 16 kN
4 kN
2 kN/m
6 kN/m
A
B
3m
Ay
8m
5m
8m
Ay
By
By
1
1
2m
+
- 0.25
m
0.625
1
1
0.375
A y = [ 1 x 8 x 2 / 2 ] − [0.25 x 2 x 2 / 2 ] = 7.5 kN
A y = [ 1 x 8 x 6 / 2 ] + [0.625 x 4 ] = 26.5 kN
B y = [ 1 x 10 x 2 / 2 ] = 12.5 kN
B y = [ 1 x 8 x 6 / 2 ] + [0.375 x 4 ] = 25.5 kN
155
http://mizan.ogu.edu.tr.
1.25
BÖLÜM4
M-N-Q
4.6. GERBER KĐRĐŞ
Heinrich Gerber, 1832–1912, Alman, Đnşaat Mühendisi, Gerber kirişi.
Gerber kiriş,
3. Hiperstatik sistemlerin mafsallarla izostatik hale getirilmiş
4. Basit, çıkmalı ve konsol kirişlerin mafsallarla birbirine bağlanmış
Durumlarının,
a. Taşıyıcı
b. Đzostatik
sistemlere denir. Gerber kirişler uygulamada çatı aşıklarında ve köprü kirişlerinde kullanılır. Gerber
kirişlerin oluşturulmasında kirişlerin labil olmamasına dikkat edilmelidir. Aşağıda bazı gerber kiriş
çözüm örnekleri bulunmaktadır.
Aşağıda örnek olarak verilen hiperstatik mütemadi kirişin izostatik olarak (gerber) çözümü için
mafsallarla değişik durumlarda yapmak mümkündür.
4 kN/m
2m
4 kN/m
2m
5m
G
6m
6m
5m
3 kN/m
6 kN
G
6m
3 kN/m
6 kN
8m
6m
4 kN/m
8m
2m
3 kN/m
6 kN
G
5m
6m
6m
G
8m
ÖRNEK 2.3. Şekilde verilen mütemadi kirişi gerber kiriş haline getirerek kesme kuvvet ve moment
alanın belirlenmesi.
4 kN/m
2m
5
3 kN/m
6 kN
m
6
m
6
m
8
m
Bu mütemadi kiriş iki şekilde gerber kiriş haline getirilebilir.
4 kN/m
1. Durum
2
m
5m
3 kN/m
6 kN
G
6
m
6m
G
8
m
Sistem bir taşınan ve 2 taşıyan izostatik sistem haline getirilmiştir. Taşınan sistem çözülerek mesnet
tepkileri taşıyan sistemlere yük olarak yüklenir.
6 kN
4 kN/m
2m
5
m
3m
3
m
6 kN
Taşınan
G
G
m
3 kN/m
3
G
G
3
m
4 kN/m
8m
2m
Taşıyanlar
156
5m
G1y=3
3m
3m
G
3m
G2y=3
G
3m
3 kN/m
8m
BÖLÜM4
M-N-Q
ΣMA=0
5By –3 x 8 – 4 x 7 x 1.5 = 0
ΣMB=0
10.20
By= 13.20 kN
5Ay + 3 x 3 – 4 x 7 x 3.5 = 0
10.89
8
3
Ay= 17.80 kN
13.12
9.8
ΣMC=0
8Dy +3 x 3 – 3 x 8 x 4 =0
ΣMD=0
8Cy - 3 x 11 – 3 x 8 x 4=0
Q
3
9.0
Dy= 10.88 kN
9.0
8.0
M
Cy= 16.12 kN
9.0
2
MAB
Q
9.8
=
± MA =
− 8 = 4.01 kNm
2q
2x4
MDC =
19.73
2
2
MGG
6x6
Q
13.122
=
= 9.00kNm MCD =
± MC =
− 9 = 19.69 kNm
4
2q
2x3
Q2
10.882
± MD =
− 0 = 19.73kNm
2q
2x3
2. Durum
4 kN/m
2m
5
m
6
m
6
4 kN/m
2
m
5m
3 kN/m
6 kN
m
8
3 kN/m
6 kN
G1
6
m
6
m
G2
m
8
m
4 kN/m
2m
3m
3 kN/m
G1y=3.33
4 kN/m
G1y=3.33
2m
G2y=6
3 kN/m
6 kN
6m
6m
4m
4m
Devam edecek
ΣMA= 0
3 G1y –5 x 4 x 0.5 = 0
ΣMG= 0 3Ay - 5x4x2.5 =0
ΣMD= 0
4 G2y –3 x 4 x 2 = 0
ΣMC= 0
10 By +3 x 4 x 2 + 6 x 4 – 6 x 5 – 3.33 x 12 – 2 x 4 x 11 = 0
By= 11.00 kN
ΣMB= 0
10 Cy +3.33 x 2 +4 x 2 x 1– 6 x 14 – 6 x 5 – 3 x 4 x 12 = 0
Cy= 24.33 kN
G1y= 3.33 kN
G2y= 6.00 kN
Ay= 16.67 kN
Dy= 6.00 kN
11.33
8.00
6.33
0.33
6.00
Q
8.67
18.00
48.00
14.66
16.31
8.00
M
1.40
MAG1 =
6.00
Q2
8.672
± MA =
− 8 = 1.40 kNm
2q
2x4
MC = −(6 x 4 + 3 x 4 x 2) = −48.00kNm
MDG2 =
Q2
62
± MD =
− 0 = 6.00 tm
2q
2x3
MB = −(3.33 x 2 + 4 x 2 x1) = −14.66 kNm
M6t = − (3.33 x 7 + 4 x 2 x 6) + 11x 5 = −16.51 kNm
veya
MG2D =
Q2
62
± MD =
− 0 = 6.00
2q
2x3
157
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
Bazı sistemlerin moment ve kesme kuvvet alanları
L
2qL
5
qL
2
qL
2
3qL
8
qL
2
qL
10
qL
10
qL
2
qL2
8
o
qL2
8
2qL
5
2
=s
3
qL2
12
o
=
qL2
8
qL2
12
5qL
8
2qL
3qL
20
qL2
15
3
2
qL
12
7qL
20
o
qL2
30
qL2
20
9qL2
128
9 3
2
2
ÖRNEK 1.8: Şekilde yükleme durumu, kesiti ve σemniyet=200 N/mm τem=50 N/mm olarak verilen
kirişin emniyetle taşıyabileceği q yükünün belirlenmesi.
q kN/m
70
20
40
2m
8m
30
∑ MA = 0
q x10 x 5 − 8B y = 0
B y = 6.25q
∑ MB = 0
q x10 x 3 − 8 A y = 0
A y = 3.75q
4.25q
Kesme kuvvet alanı
70
2q
3.75q
20
2q
y = 36.154
Moment alanı
max Maç =
30
(3.75q)2
= 7.03q
2xq
Kesitin atalet momentinin hesaplanması
Ix = Ix1 + Ix2 =
y′ = y / 2 = 36.154 / 2 = 18.077
y=
70 x 20 x 50 + 30 x 40 x 20
= 36.154 cm
70 x 20 + 40 x 30
bh3
bh3
70 x 203
+ A d2 +
+ A d2 =
+ 70 x 20 x (50 − 36.154)2
12
12
12
30 x 403
+
+ 30 x 40 x (36.154 − 20)2 = 788205.13 cm4
12
σem =
M y 7.03 q(105 )
=
36.154 = 200.......................................q = 6.2kg / cm
I
788205.13
τem =
Q Ay′ 4.25 q(103 ) x 36.154 x 30 x (36.154 / 2)
=
= 50.........q = 14.2kg / cm
Ib
788205.13 x 30
Kirişin emniyetle taşıyabileceği q= 6.20 kg/cm olarak alınır. q= 14.2 kg/cm olarak alınması durumunda normal gerilme emniyetle
taşınamaz.
158
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
2 kN/m
2 kN/m
C
C
4m
E
E
B
4 kN
B
4 kN
1.78m
3m
8 kNm
8 kNm
A
F
F
3.12m
2m
AY
m
4
∑ Fx = 0
DY
4
Dx = 4kN
DX
D
D
m
∑ MD = 0
∑ MA = 0
4 x 5 − 2 x 4 x 6 − 8 + 8A y = 0
A y = 4.5 kN
4 x 3 + 2 x 4 x 2 − 8 + 4 x 2 + 8D y = 0
D y = 3.5 kN
N
M
x
Q
∑ Fx = 0
N + 7.6 = 0 N = −7.60 kN
∑ Fy = 0
Q=0
M=0
N
AY=4.5
[Yatay kuvvetlerin toplamı]H=4
M
N
V
M
x
V
4 kN
B
45o
B
4 kN
V=4.5-2x [Düşey kuvvetlerin toplamı]
x
A
AY=4.5
A
AY=4.5
Hcosα
M x = 2 = 4.5 x 2 − 4 x 2 − 2 x 2 x 1 = −3 kNm
α
Vsinα
Vcosα
α V
M x = 4 = 4.5 x 4 − 4 x 4 − 2 x 4 x 2 = −14 kNm
4 kN
B
x
V=4.5-qx
AY=4.5
Hsinα
H=[4]
4 kN
B
x
AY=4.5
 x = 0 ⇒ V = [4.5]cos 45 − [4]sin 45 = 0.354 kN

V = V cos α − Hsin α = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45  x = 2 ⇒ V = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 = −2.48 kN
 x = 4 ⇒ V = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 = −5.30 kN

159
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
x = 0 ⇒ N = −6.01

N =− (Hcos α+ Vsinα)=− [4cos45 + [[4.5 − 2x]sin45] = 6.01−1.414x x = 2 ⇒ N = −3.17
x = 4 ⇒ N = −0.354
N
2 kN/m
66o
M
C
H=4
V
V=3.5
66o
4 kN
B
V
H=4
V=3.5
M
[b]
N
8 kNm
[a]
AY
4
ME = 4.5 x [ 4 + 1.78 ] − 2 x 4 x [2 + 1.78 ] = −4.23 kNm [ a ]
3.5 D
ME = 3.5 x 2.22 − 4 x5 + 8 = −4.23 kNm [b ]
V = V cos α − Hsin α = [ − 3.5 ]cos[ −66 ] − 4sin[ −66 ] = −2.23 [ a ][ b ]
N = − [H cos α + V sin α ] = 4 cos[ −66 ] + [ −3.5 ] sin[ −66 ] = 4 cos[ −66 ] + [ −3.5 ] cos[ 90 − 66 ] = 4.82 [ a ][b ]
2 kN/m
C
N
66o
4 kN
M
H=4
B
V
8 kNm
AY
66o
H=4
4
V=3.5
V=3.5
M
[a]
3.5 D
V
[b]
N
MF = 4.5 x [4 + 3.12] − 2 x 4 x [2 + 3.12] + 4 x 3 − 8 = −4.92 kNm [a]
MF = 3.5 x 0.88 − 4 x 2 = −4.92 kNm [b]
V ve N Yük olmadığı için yukarıdakinin aynısı olur.
V = V cos α − Hsin α = 3.5cos66 − 4sin66 = 3.5cos66 − 4cos24 =−2.23kN
N = H cos α + V sin α) = 4 cos 66 + 3.5 sin 66 = 4 cos 66 + 3.5 cos[ 90 − 66 ] = 4.82
Burada çubuk üzerinde yük olmadığı için x’in değişimi ile sadece moment değişir. V ve N değişmez.
M = x[3.5 cos 66] − x[4 sin 66]
N
x = 2.19 ⇒ MF = 2.19[3.5 cos 66] − 2.19[4 sin 66] = −4.89kNm
66o
M
H=4
V
4
x
V=3.5
160
3.5 D
BÖLÜM4
M-N-Q
M = x[3.5 cos 66] − x[4 sin 66] + 8
x = 2.19 + 3.32 ⇒ MF = 5.51[3.5cos 66] − 5.51[4 sin66] + 8 = 4.29kNm
x = 2.19 + 3.32 + 4.34 ⇒ MF = 9.85[3.5 cos 66] − 9.85[4 sin66] + 8 = −13.97kNm
2 kN/m
N
C
66o
4.34m
M
H=4
V
4 kN
B
E
V=3.5
3.32m
8 kNm
F
x
2.19m
AY
8 kNm
DX
DY
4
D
3.5
Sistemin V, M ve N diyagramları aşağıda verilmiştir.
5.30
+
14.00
0.35 4.82
C
C
C
-
E
6.01
E
B 0.35
E
B
B
2.23
M
V
A
A
F
4.92
N
A
3.08
4.50
F
F
D
D
D
2.23
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen 3 mafsallı çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
C
C
m
1.5
10 kN
20 kNm
10 kN
20 kNm
m
10 kN/m 3
m
10 kN/m 3
B
B
D
D
3m
10 kN/m
3m
10 kN/m
EX
E
E
EY
2m
2m
A
A
4m
2m
2m
AX
3m
AY
4m
2m
2m
3m
Çözüm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
161
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
∑ MA = 0
5 ⋅ 10 ⋅ 2.5 − 20 + 10 ⋅ (4 + 2) + 10 ⋅ 3 ⋅ (1.5 + 8) − 2E X − 11E Y = 0
∑ MC = 0
2 ⋅ 10 + 10 ⋅ 3 ⋅ (1.5 + 4) + 6E X − 7EY = 0
∑ ME = 0
5 ⋅ 10 ⋅ 0.5 − 10 ⋅ 5 − 20 − 10 ⋅ 3 ⋅ 1.5 + 11A Y − 2A X = 0
∑ MC = 0
4 A Y − 8A X − 5 ⋅ 10 ⋅ (2.5 + 3) − 20 = 0
2E X + 11EY = 450



6E X − 7E Y = −185 
E X = 13.94 N E Y = 38.375 N




A Y = 1.625 N



A X = −36.063 N

4A Y − 8A X = 295



11A Y − 2A X = 90
C
20 kNm
V20kNmsol = − 13.94 kN
B
10 kN/m
+
-
AX=36.063
4m
AY=1.625
C
20 kNm
− 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20dış = 40.91kNm
VBsol = [1.625cos51.34 − ( −36.063 + 10 ⋅ 5)sin51.34 = −9.87 kN
NBsol = − [( −36.063 + 10 ⋅ 5)cos51.34 + 1.625 sin51.34 ] = − 9.98 kN
MBsol = 1.625 Ay ⋅ 4 + 36.063 Ax ⋅ 5 − 10yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2) = 61.82 kNm
VA = V cos α − Hsin α = [1.625cos51.34 − ( −36.063)sin51.34 = 29.18 kN
NA = − (Hcos α + V sin α) = − [( −36.063)cos51.34 + 1.625sin51.34 ] = 21.26 kN
MA = 0
MC = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 3) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 3) − 20 = 0.00 kNm
V20kNmsol = − 13.94 kN
B
N20kNmsol = − 1.625 kN
M20kNmsol = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5)
N20kNmsol = − 1.625 kN
M20kNmsol = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5)
− 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20dış = 40.91kNm
10 kN/m
VBsağ = V cos α − Hsin α = [ 1.625 cos90 − ( −36.063 + 10 ⋅ 5) sin90 = −13.94 kN
NBsağ = − (Hcos α + V sin α) = − [ ( −36.063 + 10 ⋅ 5) cos90 + 1.625 sin90 ] = − 1.625 kN
MBsağ 1.5m = 1.625 Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) = 40.91 kNm
AX=36.063
4m
AY=1.625
N
M
V
Vorta = V cos α − Hsin α = [1.625cos51.34 − ( −36.063 + 10 ⋅ 2.5)sin51.34 = 9.65 kN
10 kN/m
m
2.5
AX=36.063
Norta = − (Hcos α + V sin α ) = − [( −36.063 + 10 ⋅ 2.5)cos51.34 + 1.625sin51.34 ] = 5.64 kN
Morta = 1.625Ax ⋅ (4 / 2) + 36.063Ay ⋅ 2.5 − 10Yayılı ⋅ 2.5 ⋅ (2.5 / 2) = 62.16 kNm
C
10 kN
m
4
AY=1.625
m
10 kN/m 3
F
D
VDsağ = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3]cos[ −45] − 13.94 sin[ −45] = 3.94 kN
NDsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −45) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3] sin( −45)] = − 15.77 kN
MDsağ = 38.375Ey ⋅ 3 − 13.94Ex ⋅ 3 − 10 Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2) = 28.305 kNm
+
-
3m
Ex=13.94
VEsol = V cos α − Hsin α = [ − 38.375]cos[ −45] − 13.94 sin[ −45] = −17.28 kN
NEsol = − (Hcos α + V sin α) = − [(13.94)cos( −45) + [ − 38.375]sin( −45)] = − 36.99 kN
Ey=38.375
MEsol = 0
2m
162
2m
3m
2m
BÖLÜM4
M-N-Q
MDsol = 38.375Ey ⋅ 7 − 13.94Ex ⋅ 6 − 10 Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2 + 2) − 10 ⋅ 2 = 0.000
C
10 kN
m
10 kN/m 3
F
VFsol = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3 + 10]cos[−37] − 13.94 sin[ −37] = −9.69 kN
D
NFsol = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −37) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3 + 10] sin( −37)] = −10.17 kN
MFsol = 38.375Ey ⋅ 5 − 13.94Ex ⋅ 4.5 − 10Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2) = 24.145 kNm
3m
+
VFsağ = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3]cos[ −37] − 13.94 sin[ −37] = 1.70 kN
NFsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −37) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3]sin( −37)] = −16.18 kN
-
Ex=13.94
Ey=38.375
2m
MFsağ = 38.375Ey ⋅ 5 − 13.94Ex ⋅ 4.5 − 10Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2) = 24.145 kNm
2m
3m
2m
F noktasının sağındaki kesit tesirlerinin diğer yönden bulunuşu aşağıdaki şekilde yapılmış ve aynı
sonuçlar bulunmuştur.
C
10 kN
20 kNm
F
B
VFsağ = [−10 + 1.625] cos[ −37] − [ −36.063 + 10 ⋅ 5] sin[−37] = 1.66 kN
10 kN/m
NFsağ = − [[−36.063 + 10 ⋅ 5] cos( −37) + [−10 + 1.625] sin( −37)] = 16.16 kN
MFsağ = 1.625 ⋅ 6 + 36.063 Ax ⋅ 6.5 − 10 Yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20 = 24.16 kNm
AX=36.063
4m
AY=1.625
13.94
24.15
20.91
9.66
9.87
40.91
61.82
1.66
3.93
0.79m
28.30
29.85
4.75m
69.30
17.28
V alanı
 V2

17.282
=
= 29.85 

2
 2q 2 ⋅ (10 /(cos 45) )

10.17
M alanı
16.18
1.63
29.18
15.77
9.98
36.99
N alanı
21.26
163
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen 3 mafsallı çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
10 kN
1
1m
1m
20 kNm
8 kN
10 kN
m
10 kN
6 kN
II
8 kN
I
3m
B
BX
3m
1
m
1
m
1
IV
III
20 kNm
m
3
m
10 kN
6 kN G
3m
BY
A
2m
3m
3m
3m
AX
2m
AY
3m
3m
3m
Çözüm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
sağ
∑ MG
8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 5 + 6 ⋅ 9 + 8 ⋅ 3 + 20 − 3BX − 8BY = 0
= 0 3 ⋅ 10 + 10 ⋅ 6 + 20 + 6BX − 6BY = 0
∑ MB = 0
6 ⋅ 6 − 10 ⋅ 3 + 20 + 8A Y − 3A X = 0
sol
2A Y − 9A X − 6 ⋅ 8 = 0
∑ MG = 0

3BX + 8BY = 228 


BX = 7.39 kN





BY = 25.73 kN

− 6BX + 6BY = 110



A Y = −5.73 kNyön ters

8A Y − 3A X = −26










2A Y − 9A X = 48 


A X = −6.61kNyön ters
VGsol = [−5.73cos77.4 − 1.39 sin77.4 = −2.60 kN
Nsol
G = − [ −5.73 sin77.4 + 1.39co s77.4 = 5.29 kN
sol
G
M
6 kN
10 kN
10 kN
G
= 6.61⋅ 9 − 5.73 ⋅ 2 − 8 ⋅ 6 = 0.03 kNm
II
VI = [−5.73cos77.4 − 1.39 sin77.4 = −2.60 kN
III
20 kNm
8 kN
NI = − [ −5.73 sin77.4 + 1.39co s77.4 = 5.29 kN
I
MI = 6.61⋅ 3 − 5.73 ⋅ 0.67 = 16.00 kNm
VI = [−5.73cos77.4 − ( −6.61)sin77.4 = 5.20 kN
-
AX=6.61 A
NI = − [ −5.73 sin77.4 + ( −6.61)co s77.4 = 7.03 kN
m
+
BX=7.39
3m
3m
BY=25.73
m
2
3
AY=5.73
MI = 6.61⋅ 3 − 5.73 ⋅ 0.67 = 16.00 kNm
B
IV
1m
1m
1m
m
3
3m
VAsağ = V cos α − Hsin α = [−5.73cos77.4 − ( −6.61)sin77.4 = 5.20 kN
Nsağ
= − (Hcos α + V sin α ) = − [ −5.73 sin77.4 + ( −6.61)co s77.4 = 7.03 kN
A
VGsağ = V cos α − Hsin α = [−5.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −3.10 kN
Nsağ
= − (Hcos α + V sin α ) = − [ −5.73 ( − sin18.43) + 7.39co s18.43 = −8.82 kN
G
6 kN
VIIsağ = [−15.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −12.58 kN
10 kN
10 kN
G
II
AX=6.61 A
+
-
2m
3m
AY=5.73
IV
III
20 kNm
8 kN
I
m
BX=7.39
NIIsağ = − [ −15.73( − sin18.43) + 7.39co s18.43] = −11.98 kN
MIIsağ = 25.73 ⋅ 3 − 10 ⋅ 3 − 7.39 ⋅ 5 − 20 = −9.76 kNm
3m
B
VIIIsağ = [−25.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −22.06 kN
3m
NIIIsağ = − [ −25.73( − sin18.43) + 7.39co s18.43] = −15.14 kN
BY=25.73
m
3
MIIIsağ = −7.39 ⋅ 4 − 20 = −49.56 kNm
m
3
VBsağ = − 25.73cos 45 − 7.39 sin 45 = −23.42 kN
NBsağ = − [ −25.73sin 45 + 7.39co s 45] = −12.96 kN
MBsağ = −20 kNm
1
1m
1m
VIVsağ = − 25.73cos 45 − 7.39 sin 45 = −23.42 kN
sağ
NIV
= − [ −25.73sin 45 + 7.39cos 45] = 12.96 kN
sağ
MIV
= −25.73 ⋅ 3 − 7.39 ⋅ 3 − 20 = −119.36 kNm
164
BÖLÜM4
M-N-Q
3.10
22.06
12.58
49.56
9.76
2.60
119.36
8.82
11.98
5.29
V kesme
15.14
15.99
12.96
20.00
23.42
M alanı
N eksenel
7.03
5.20
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
10 kN/m
C
∑ MA = 0
10 kN
8 ⋅ 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 − 8BY = 0














A Y = 45 kN


BY = 35 kN
E
4m
∑ Fx = 0 A X = 10 kN
A
D
2m
∑ MB = 0
B
4m
− 8 ⋅ 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 + 8A Y = 0
4m
Çözüm: Mesnette moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
VCsol = V cos α − Hsin α = [45cos90 − 10 sin90] = −10 kN
VCsağ = [45cos 45 − 10( − sin 45)] = 38.89 kN
Nsol
C = − (Hcos α + V sin α ) = − [45 sin90 + 10co s90] = −45 kN
= − [45( − sin 45) + 10co s 45] = 24.75 kN
Nsağ
C
sol
C
M
= −10 ⋅ 4 = −40 kNm
MCsağ = −10 ⋅ 4 = −40 kNm
VDsol = [5cos 45 − 10( − sin 45)] = −10.61kN
sol
D
N
VDsağ = [5cos 45 − 10 sin 45] = −3.54 kN
= − [5( − sin 45 ) + 10co s 45] = −3.54 kN
NDsağ = − [5 sin 45 + 10co s 45] = −10.61kN
MDsol = 45 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 100 kNm
MDsağ = 45 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 100 kNm
VEsol = [−35cos 45 − 10 sin 45] = −31.82 kN
VEsağ = [−35cos90 − 0 sin 45] = 0 kN
NEsol = − [ −35sin 45 + 10co s 45] = 17.68 kN
NEsağ = − [−35 sin90 + 0co s 45] = 35 kN
= 45 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 = 0 kNm
MEsağ = 45 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 = 0 kNm
sol
E
M
24.75
31.82
40
17.68
38.89
3.54
10
45.00
100
10.61
V kesme
M moment
3.54 10.61
N eksenel
35.00
ÖRNEK 2.4. Şekilde verilen sistemin V, M ve N diyagramlarının belirlenmesi.
10 kN
10 kNm
H
10 kN
5 kN/m
5 kN
3 kN/m
G
B
2m
I
4m
E
C
5m
10 kN
5
D
A
2m
6m
m
F
6
m
165
http://mizan.ogu.edu.tr.
BÖLÜM4
M-N-Q
10 kN
10 kN
H
H
10 kN
10 kNm
10 kN
5 kN/m
5 kN/m
10 kN
I
5 kN
B
B
20 kN
20 kN
10 kN
A
3 kN/m
G
2m
A
2m
4
m
5
ΣFy= 0
m
5m
F
10 kN
Gx = 10 kN
E
C
10 kN
5 kN
Taşınan parçanın mesnet tepki kuvvetleri,
ΣFx= 0
m
4m
2m
10 kN
4
6m
24.33kN
19.67kN
Ay + Gy = 10 + 5 x 4 = 30
ΣMA= 0
6 Gy –5 x 4 x 4 +10 x 10 - 10 x 6 = 0
ΣMG= 0
6 Ay –5 x 4 x 2 – 10 x 6 + 10 x 4 = 0
Gy= 20 kN
Ay= 10 kN
Taşıyan parçanın mesnet tepki kuvvetleri,
ΣFy= 0
ΣFx= 0
Dx = 10 –10 + 5 = 5 kN
ΣMD= 0
10 x 10 – 20 x 2 + 3 x 8 x 2 + 5 x 14 – 10 – 10 x 5 -6 Fy =0
ΣMF= 0
-10 x 5 + 10x10 – 20x8-3 x 8 x 4 + 5x14-10+6 Dy =0
V
Dy + Fy = 3 x 8 + 20 = 44 kN
H
Fy=19.67 kN
Dy=24.33 kN
10 kN
VAsağ = V cos α − Hsin α = 10cos78.69 − 0 sin78.69 = 1.96 kN
Nsağ
= − [0cos78.69 + 10 sin78.69] = −9.81 kN
A
α=78.69
A
10 kN
10 kN
VBsol = V cos α − Hsin α = − 10 cos 63.43 − 10 sin( −63.43) = 4.47 kN
NBsol = − (Hcos α + V sin α ) = − (10 cos 64.43 − 10 sin( −64.43) = − 13.41kN
β=63.43
H
V
MBA= 10 x 2 = 20 kNm
MBH= 10 x 4 – 10 x 2 = 20 kNm
10
-
MBG= 10 x 2 –10 x 2+10 x 4 = 40 kNm
MCG= -(20 x 2 +3 x 2 x 1)= -46 kNm
+
+
MCE= 19.67x 6 –5 x 4 – 18 x 3 +10 = 54 kNm
26.00
+
-
MEI= -5 x 4 +10 = -10 kNm
9.81
19.67
-
+
15.00
20
54
+
10
20
V alanı
+
40
25
M alanı
1.96
10
100
+
+
+ 10
46
5.00
4.47
24.33
+
1.67
19.67
13.41
MCD= 10 x 5 +5 x 10 = 100 kNm
MEC= -5 x 4 +10 = -10 kNm
5
+
5.00
3.16
166
N alanı
-
Download

BÖLÜM 4: M-N-V