BÖLÜM-9
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
1
ÇERÇEVE VE MAKİNELER
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
2
Kafes sistemi;
- Sürtünmesiz mafsallarla bağlanmışlardır.
- Doğru eksenli çubuklardan meydana gelmiştir.
- Kuvvet çubuk ekseni doğrultusunda etki eder.
Çerçeveler;
- Çubuklara 3 veya daha fazla kuvvet etki eder .
- Kuvvetler çubuk ekseni doğrultusunda olmak zorunda
değildir.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
3
Makineler;
- Kuvvet iletir veya kuvveti değiştirerek aktarırlar.
- Hareketli veya hareketsiz olabilirler.
- Her zaman hareketli parçalardan oluşurlar.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
4
Çerçeveler
ve
Makineler
çoklu kuvvet elemanı içeren
yapılardır. Elemanlar üzerine üç
veya daha fazla kuvvet etki
eder.
Çerçeveler
yükleri
taşımak
için
dizayn
edilmişlerdir
ve
genellikle
hareketsiz, tamamen tutulu
yapılardır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
A
B
C
D
M
5
Makineler kuvvetleri iletmek veya kuvveti değiştirerek
aktarmak üzere dizayn edilmişlerdir ve her zaman
hareketli parçalardan oluşurlar.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
6
Bir çerçevenin analizi için
ilk olarak, serbest bir
cisim olarak çerçevenin
tümü düşünülür ve üç
denge denklemi yazılır.
Eğer çerçeve rijit ise
destek
yerlerinden
ayrıldığında reaksiyonlar Ex
sadece üç bilinmeyendir
ve bunlar bu denklemler
yardımıyla elde edilebilir.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
A
B
C
Dx
D
Dy
M
Ey
7
Diğer taraftan, eğer rijit çerçeve kesilecek olursa, destek
yerlerinden
ayrıldığında
reaksiyon
kuvvetleri
üç
bilinmeyenden fazla olabilir ve denge denklemlerinden
hepsi bulunamayabilir.
B
B
Dx
A
M
Ex
B
C
B
D
Dy
Ey
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
8
Çerçeve elemanlara ayrılır ve her eleman kuvvet
çifti elemanı olarak veya çoklu kuvvet elemanı olarak
tanımlanır. Mafsallar ise birbirine bağlanmış her bir
elemanın bağlandıkları parçanın adıdır.
Çoklu kuvvet elemanlarının her birinin serbest cisim
diyagramı çizilir. İki çoklu kuvvet elemanı aynı kuvvet çifti
elemanına bağlandığında doğrultusu belli olan fakat
büyüklüğü belli olmayan eşit ve zıt yönlü kuvvetler ile
eleman üzerine etkirler. İki çoklu kuvvet elemanı bir mafsal
ile bağlıysa, birbirlerini belli olmayan doğrultuda eşit ve zıt
yöndeki kuvvetler ile zorlarlar, ki bunlar iki bilinmeyen
bileşen ile tanımlanmalıdır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
9
Çoklu
kuvvet
elemanlarının
serbest
cisim
diyagramlarından elde edilen denge denklemleri ile çeşitli
iç kuvvetler çözülebilir. Denge denklemleri aynı zamanda
mesnet reaksiyonlarının belirlenmesinde de kullanılır.
Aslında çerçeve statikçe belirli ve rijit ise, çoklu kuvvet
elemanlarının serbest cisim diyagramları, bilinmeyen
kuvvetlerin bulunduğu birçok denklemler olarak elde edilir.
Yukarıdaki tavsiyelerin yanında tavsiye edilen ilk
olarak çerçevenin tamamıyla serbest cisim diyagramını göz
önüne alıp en az sayıda eşzamanlı olarak çözüm
yapılmasıdır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
10
Çerçeve ve makineler, sık sık çoklu kuvvet
elemanlarının mafsal ile bağlanmasından oluşturulur.
Elemanlar iki veya daha fazla kuvvete maruz
kalmaktadırlar.
AB ve BC çoklu kuvvet elemanlarıdır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
11
AB
elemanı
3
kuvvete
maruzdur:
• Meydana gelen kuvvetlerden
biri B mafsalında
• Meydana gelen kuvvetlerden
biri A mafsalında
• Kuvvet çifti (Moment) ise M
Benzer olarak BC elemanı da 3
kuvvete maruzdur: :
• Meydana gelen kuvvetlerden
biri B mafsalında
• Meydana gelen kuvvetlerden
biri C mafsalında
• Dış kuvvet P
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
12
⇒
İki kuvvet
elemanı:
•AB
•BC
•BE
•HI
DH elemanı bir çoklu kuvvet elemanıdır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
13
DH
elemanı
5
kuvvete maruzdur:
• Meydana
gelen
kuvvetlerden biri D
mafsalında
• Meydana
gelen
kuvvetlerden biri F
mafsalında
•FBE
•FHI
•FBC
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
14
Bir makinenin analizinde ise, makine önce
elemanlarına ayrılır. Yukarıda anlatılan aynı yöntemler
izlenir. Çoklu kuvvet elemanlarının her birinin serbest cisim
diyagramları çizilir. Uygun denge denklemleri iç kuvvetler
ve dış kuvvetler eşitliği olarak oluşturularak çözüm yapılır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
15
* Bir vinç’in analizi aşağıdaki gibi yapılır.
D
D
C
E
F
T
C
F
A
W
B
W
B
G
E
A
Ax
Ay
ΣM A = 0 ⇒ T
ΣFx = 0 ⇒ Ax
ΣFy = 0 ⇒ Ay
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
16
Cy
-BE
Cx
T
Cx
-BE
B
A
Ax
BE
Cy
BE
W
Ay
ΣM C = 0 ⇒ BE
ΣM E = 0 ⇒ C y
ΣFx = 0 ⇒ C x
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
17
Örnek 9.1
B
D
A
E
C
50 mm
F
500 N
20 mm
40 mm
400 mm
Çapı 50 mm olan
bir boru, boru
anahtarı
ile
şekilde gösterildiği
gibi sıkılmıştır.
AB ve DE elemanları rijit olup, CF parçası ise D
noktasındaki bir mafsal ile bu elemanlara bağlanmıştır.
Borunun sıkılarak çevrilmesi durumunda (boru ve sıkma
elemanları arasında herhangi bir kaymanın olmadığını
kabul ederek) boruya A ve C noktalarından etkiyen kuvvet
bileşenlerini bulunuz.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
18
Çözüm :
1) Makine elemanlarına ayrılır ve her bir elemanın serbest
cisim diyagramı çizilir.
2) İlk önce her bir eleman üzerine etkiyen kuvvetler yazılır
ve bağlantı noktalarında da eşit ve zıt yönlü etkiyen
kuvvetler yazılır.
3) Diğer çoklu kuvvet elemanlarıda göz önüne alınır.
4) Her bir eleman için denge denklemleri yazılır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
19
Çözüm :
ABDE parçası için serbest cisim diyagramı:
Dy
B
A Ay D
Ax
Dx
20 mm
Ax
Ay
=
;
90 mm
20 mm
E
90 mm
Ax= 4.5 Ay
D
20 mm
Dy= Ay ;
A
90 mm
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
Dx= Ax= 4.5 Dy
(1)
20
Çözüm :
CF parçası için serbest cisim diyagramı:
Dy
Dx
20 mm
F
500 N
Cx
Cy
+
40 mm
400 mm
Σ MC = 0: Dx(20 mm) - Dy(40 mm) - (500 N)(440 mm) = 0
(1)’de yerine konulursa;
4.5Dy(20) - Dy(40) - 220 x103= 0
Dy = 4400 N = 4.4 kN
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
Dx= 4.5 Dy = 19.8 kN
21
Çözüm :
+
+
Σ Fx = 0: Cx - 19.8 kN = 0
Σ Fy = 0: Cy - 4.4 kN -0.5 kN = 0
Cx = 19.8 kN
Cy = 4.9 kN
(1). Denklemden;
Ax = Dx = 19.8 kN Ay = Dy = 4.4 kN
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
22
Çözüm :
4.4 kN
B
A 4.4 kN
19.8 kN
4.4 kN
19.8 kN
20 mm
19.8 kN
D
E
F
19.8 kN
4.9 kN
500 N
40 mm
400 mm
Bütün kuvvet bileşenleri şekilde görüldüğü yönlerde etki
etmektedir. Boru üzerindeki bileşenler eşit ve zıt yönlüdür.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
23
Çözüm :
4.9 kN
19.8 kN
19.8 kN
4.4 kN
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
Ax = 19.8 kN
Ay = 4.4 kN
Cx = 19.8 kN
Cy = 4.9 kN
24
Örnek 9.2
Birleşik bir kiriş şekilde gösterildiği üzere B noktasındaki bir
mafsal ile bağlanmıştır. Mesnetlerdeki reaksiyonları
hesaplayınız. (Kirişin ağırlığını ve kalınlığını ihmal ediniz.)
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
25
Çözüm :
Serbest Cisim Diyagramı:
Tüm kiriş için ⇒ 4 unknowns
A’da ankastre ⇒
1. Yatay reaksiyon (Ax)
2. Dikey reaksiyon (Ay)
3. Moment (MA)
C’deki mesnet ⇒ 4. Dikey reaksiyon (Cy)
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
26
Çözüm :
4 bilinmeyen var; Ax, Ay, MA, ve Cy
3 Denge denklemi var:
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ve ΣM = 0
Kiriş AB ve BC olmak üzere iki parçaya ayrılır.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
27
Çözüm :
BC kısmındaki denge denklemleri:
+
⎯
⎯→
∑ Fx = 0
⇒ − Bx = 0 ⇒ Bx = 0
(+ M B = 0
⇒ −8kN (1m ) + C y ( 2m ) = 0
⇒ C y = 4kN
+ ↑ ∑ Fy = 0
⇒ B y − 8kN + C y = 0
⇒ B y − 8kN + 4kN = 0
⇒ B y = 4kN
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
28
Çözüm :
AB kısmındaki denge denklemleri:
⎛ 3⎞
⇒ Ax − (10kN)⎜ ⎟ + Bx = 0
⎝ 5⎠
Bx = 0
⇒ Ax = 6kN
+
⎯
⎯→
∑Fx = 0
⎛ 4⎞
⇒ M A − (10kN)⎜ ⎟(2m) − By (4m) = 0
⎝ 5⎠
⇒ M A = 16+ (4)(4) = 32kN.m
By = 4kN
(+M A = 0
⎛ 4⎞
⇒ Ay − (10kN)⎜ ⎟ − By = 0
⎝ 5⎠
⇒ Ay = 8 + 4 = 12kN
By = 4kN
+ ↑ ∑Fy = 0
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
29
Çözüm :
Sonuçlar:
Ax = 6kN
Ay = 12kN
M A = 32kN .m
Bx = 0kN
B y = 4kN
C y = 4kN
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
30
Örnek 9.3
Şekilde görülen iki parçalı çerçevenin A ve C noktalarındaki
yatay ve dikey kuvvet bileşenlerini hesaplayınız.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
31
Çözüm :
By
B
Bx
FBC
Cx
B
Cy
=
FCB
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
C
32
Çözüm :
Serbest Cisim Diyagramı:
200(3)=600N
Ax
FBC 45º
Ay
1.5 m
1.5 m
FBC
B
FCB
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
C
33
Çözüm :
Denge Denklemleri:
(+ M A = 0
⇒ FBC cos 45°(3) − 600(1.5) = 0
⇒ FBC =
900
= 424.26 N
3 cos 45°
+
⎯
⎯→
∑ Fx = 0
⇒ FBC sin 45° − Ax = 0
⇒ Ax = (424.26)(sin 45°) = 300 N
+ ↑ ∑ Fy = 0
⇒ Ay + FBC cos 45° − 600 = 0
⇒ Ay = 600 − (424.26)(cos 45°) = 300 N
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
200(3)=600N
Ax
FBC 45º
Ay
1.5 m
1.5 m
34
Çözüm :
C noktası:
C x = FBC sin 45°
⇒ C x = (424.26)(sin 45°)
FBC
⇒ C x = 300 N
B
C y = FBC cos 45°
⇒ C y = (424.26)(cos 45°)
⇒ C y = 300 N
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
Cx
45º
FBC
C Mafsalı
Cy
FCB
C
35
Çözüm :
Sağlaması: Ax = 300 N
C x = 300 N
Ay = 300 N
600N
C y = 300 N
B
Ax
+
⎯
⎯→
∑ Fx = 0
Ay
⇒ C x − Ax = 0
300 − 300 = 0 ⇒ saglandı
+ ↑ ∑ Fy = 0
Cx
Cy
⇒ Ay + C y − 600 = 0
300 + 300 − 600 = 0 ⇒ saglandı
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
36
Örnek 9.4
Şekildeki kriko ile
125 kg’lık bir motor
kaldırılmaktadır.
Krikonun DB ve FB
elemanlarında
meydana
gelen
kuvvetleri bulunuz.
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
37
Çözüm :
Ey
2m
1m
E
G
F
3
10
1
125(9.81)=
1226.25N
E
Ex
Ey
Ex
2m
FFB
FDB
45°
1m
Cx
C
Cy
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
38
Çözüm :
∑M
E
=0
⎛ 3 ⎞
1226 . 25 ( 3 ) − F FB ⎜
⎟(2) = 0
⎝ 10 ⎠
⇒ F FB = 1938 . 87 N = 1 . 94 kN
2m
1m
E
G
F
3
10
1
+↑
∑F
y
=0
⎛ 3 ⎞
1938 . 87 ⎜
⎟ − 1226 . 25 − E y = 0
⎝ 10 ⎠
⇒ E y = 613 . 125 N
125(9.81)=
1226.25N
Ex
Ey
FFB
+
⎯
⎯→
∑ Fx = 0
⎛ 1 ⎞
E x − 1938 . 87 ⎜
⎟=0
⎝ 10 ⎠
⇒ E x = 613 . 125 N
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
39
Çözüm :
Ey
E
∑M
C
Ex=613,125 N
=0
613.125(3) − FBD sin 45°(1) = 0
2m
⇒ FDB = 2601.27 N = 2.60kN
FDB
45°
1m
Cx
C
Cy
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
40
Örnek 9.5
Ayarlı bir pense ile B noktasındaki parçanın kesilmesi için
50 N’luk bir yük uygulanmaktadır. Bu durumda parçanın
kesilmesi için uygulanmış olan kuvveti hesaplayınız.
50 N
20 cm
3 cm
2 mm
50 N
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
41
Çözüm :
∑M
A
50 N
=0
20 cm
50(20) − 3( FB ) = 0
⇒ FB = 333,3 N
3 cm
2 mm
50 N
50 N
20 cm
Ax
A
Ay
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
3 cm
FB
42
Örnek 9.6
12
cm
12 in
66 cm
in
E
D
C
A
B
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
Şekildeki çerçeve için
yatay
ve
dikey
yüzeylerdeki
sürtünmeyi
ihmal
in
44 cm
ederek BCE elemanı
in üzerindeki B ve C
22cm
noktalarına
etkiyen
in kuvvetleri
66 cm
hesaplayınız.
50 lb N
in 500
66cm
43
Çözüm :
ACD elemanı için serbest cisim diyagramı:
Cy
H
D
Cy
D
2 cm
Cx
A
A
18 cm
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
C
Cx
6 cm
Bx
By
Σ MH = 0:
500 N
Cx(2 cm) - Cy(18 cm) = 0
6 cm
6 cm
Cx = 9Cy
44
Çözüm :
BCE elemanı için serbest cisim diyagramı:
Cy
H
D
2 cm
Cx=9 Cy
Cx
A
A
D
Cy
18 cm
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
C
Cx
6 cm
Bx
By
Σ MB = 0:
500 N
6 cm
6 cm
Cx(6 cm) + Cy(6 cm) - (500 N)(12 cm) = 0
45
Çözüm :
Cx = 9Cy yerine konulursa: 9Cy(6 cm) + Cy(6 cm) - 6000 = 0
Cy = +125 N; Cx = 9Cy = 9(125) =1125 N
500 N
Cy
C
125 N
C
Cx
1125 N
C = 1131,9 N
Bx
C
6.3o
6 cm 6 cm
By
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
46
Çözüm :
B
375 N
B = 1185,85 N
18.4o
B
1125 N
+
Σ Fx = 0: Bx - 1125 N = 0
Bx = 1125 N
+ Σ Fy = 0: By + 125 N - 500 N = 0
By = 375 N
Prof. Dr. Muzaffer TOPCU
47
Download

Bölüm-9.Çerçeve ve Makineler