Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ESOGÜ-MMF
1970
1
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ĐÇĐNDEKĐLER
SAYFA
BÖLÜM 1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Đzostatik sistemler ve Đşaret Kabulü……………………………………….
Mesnetler…………………………………………………………………….
Đzostatik Sistemlerin Çözüm ve Örnekler…………………………………
Hiperstatik Sistemler………………………………………………………..
Sistemlerin Çözümünde yapılan Kabuller………………………………..
2
BÖLÜM 2
2.1
2.2
Virtüel Đş……………………………………………………………………...
Betti Teoremi………………………………………………………………...
BÖLÜM 3
3.1
3.2
3.3
Mohr Metodu………………………………………………………………...
Castigliano I Teoremi……………………………………………………….
Castigliano II Teoremi………………………………………………………
BÖLÜM 4
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Açı Metodu…………………………………………………………………..
Düğüm Noktaları Sabit Sistemlerde Açı Metodu………………………...
Ankastrelik Momentlerinin Bulunması…………………………………….
Düğün Noktaları Sabit Sistemlere Ait Örnekler…………………………..
Düğüm Noktaları Hareketli Sistemlerin Açı Metoduyla Çözümü……….
Simetrik Sistemler Açı Metoduyla Çözümü………………………………
Simetrik Sistem Simetrik Yükleme………………………………………...
Simetrik Sistem Antimetrik Yükleme………………………………………
Isı Etkisi………………………………………………………………………
BÖLÜM 5
5.1
5.2
5.3
Cross Metodu………………………………………………………………..
Düğüm Noktaları Sabit Sistemlerin Cross Yöntemiyle Çözümü…….....
Düğüm Noktaları Hareketli Sistemlerin Cross Yöntemiyle Çözümü……
BÖLÜM 6
6.1
6.2
6.3
Kuvvet Metodu………………………………..........................................
Simetrik Sistemler…………………………………………………………..
Üç Moment Denklemi……………………………………………………….
BÖLÜM 7
7.1.
7.2.
7.2.
Matris Metodları……………………………………………………………..
Kafes Sistemlerin Matris Metodu Đle Çözümü …………………………….
Çerçeve Sistemlerin Matris Metodu Đle Çözümü………………………………
EKLER
EK1
EK2
EK3
Alan Çarpım Tablosu…………………………………………………….....
Ankastrelik Moment Tablosu………………………………………………
Kaynaklar
57
97
136
229
272
357
2
397
398
399
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
BÖLÜM 1
1.1. ĐZOSTATĐK SĐSTEMLER VE ĐŞARET KABULÜ
Kolon ve kirişlerden oluşan yapı sistemlerinin boyutlandırılmasında esas olan,
a. Kesme kuvveti (V)
b. Moment (M)
c. Eksenel kuvvet (N)
kesit tesirleri yapı elemanının dolaysıyla sisteminin,
a. Kesit ve fiziksel
b. Mesnet
c. Yük
özelliklerine göre belirlenir. Kesit tesirlerinin işaretlerinin belirlenmesinde elemanların şekil
değiştirmeleri esas olmak üzere yapılmasına karşın değişik kabuller yapılarak değişik işaret
kabulleri kullanılabilmektedir. Literatürdeki mevcut kaynaklarda eksenel kuvvet işaretinde bir
farklılık olmamakla birlikte moment ve kesme kuvvetlerinin çizimlerinde değişik işaret kabullerine
rastlamak mümkündür. Bu notlarda kullanılan işaret kabulü aşağıdaki gibidir.
Yüksüz
(kendi ağırlığı ihmal)
P
P
Yüklü (P)
M
M
(kendi ağırlığı ihmal)
Çekme
Basınç
-
+
-
Basınç
+
M
Çekme
M
P
-
V
V
V
V
KESME KUVVETĐ ĐŞARET KABULÜ
EĞĐLME MOMENTĐ ĐŞARET KABULÜ
P
P
+
P
Basınç
Çekme
EKSENEL KUVVET ĐŞARET KABULÜ
Çekme Bölgesi
Basınç Bölgesi
3
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Yukarıdaki şekillerden de anlaşılabileceği gibi, eğilme momentinden dolayı elemanının uzayan
yani çekme meydana gelen kısmı artı diğer kısmı ise basınç bölgesi olarak kabul edilmiştir. Bu
notlarda moment alanı elemanın çekme meydana getiren yüzüne çizilmiştir. Kesme kuvvetinde
ise kesiti saat yönünde döndürmeye çalışan kesme kuvveti artı tersi eksi olarak kabul edilmiştir.
Eksenel kuvvette ise kesitin boyunu kısaltmaya çalışan basınç kuvveti eksi kesitin boyunu
uzatmaya çalışan çekme kuvveti ise artı olarak kabul edilmiştir.
Eğilmeden
Çekme çatlağı
Diyagonal
Kesme çatlağı
Eğilmeden
Çekme çatlağı
Diyagonal
Kesme çatlağı
Diyagonal
Kesme çatlağı
Eğilmeden
Çekme çatlağı
Basınç Bölgesi
P
Eğilmeden
Çekme çatlağı
Eğilmeden
Çekme çatlağı
4
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
5
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
NOT: Kısa kirişler (kesme kirişi), moment değerleri kiriş üzerinde olan yani kesitin alt kısmında eğilme etkisi
olmayan kirişler olarak tanımlanabilir. Bu tür kirişlerde kiriş boyunca etriye sıklaştırması yapılması uygun olur.
20 kN/m
19.80
3m
89.7
6m
50.1
59.4
M
+
62.5
6
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK 1: Şekilde verilen 200 N’luk kuvvetin A noktasına taşınması.
y
200 N
45o
B
4m
A
x
8m
[Varignon, 1654-1722].
Çözüm: 200 N A noktasına şekildeki gibi dik mesafe ile çarpımıyla taşınır
y
y
200 N
2
d=(2 +2 ) =2.828 m
o
45
45o
MA=200x2.828=565.6 kNm
B
y
200 N
2 0.5
B
B
200 N
m
4
4m
45o
4m
A
4m
A
x
A
x
d
565.6 kNm
565.6 kNm
VEYA 200 N birleşenlerine ayrılarak matris formatıyla moment ifadesi yazılarak taşınır.
j
k
 i

MA =rxF= −8
4
0 =−565.6k


−141.4 141.4 0
y
y
200 N
200 N
45o
45o 141.4 N
B
B
141.4 N
4m
r
4m
A
m
A
x
x
8
565.6 kNm
1. MOMENT [BĐR KUVVETĐN DĐK BĐR EKSENE GÖRE]
Moment; bir kuvvetin bir noktaya dik mesafesi ile çarpımından oluşan kuvvet çiftine denir.
Düzlem kuvvetlerin momenti aşağıda kısaca örnek üzerinde açıklanmıştır.
P=4 kN
L1=3
m
L2= 5
B
y
m
P=100N
o
60
A
B
P=100N
M A = P x L = 4 x 5 = 20 kNm
x
L= 6m
Px=100cos60=50 N
B
MB = 4 x 3 = 12 kNm
L= 6m
MA = P xL = 86.6 x 6 + 50 x0 = 519.6Nm
7
A
Py=100sin60=86.6 N
o
60
x
http://mizan.ogu.edu.tr.
A
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
y
F
Fy
rx
My
F
y
x
Fyj
Fx
ry
z
Fxi
r
Mo
Fzk
yj
Mxi
Mz=rx Fy- ry Fx
xi
Myj
x
zk
x
x’e paralel y’ye dik olanlar Mz oluşturur
Mzk
r = xi+ yj+ zk
z
F =Fxi +Fyj +Fzk
y’ye paralel x’e dik olanlar Mz oluşturur
Mo =rxF
Mo =Mxi +Myj +Mzk
Momentin Đşaret: Vektörel çarpım işaret kuralından çıkar. Veya M=rxF olmasından dolayı F
kuvveti indis (x,y,z) eksenine bitiştirilir ve saat dönüşü + tersi – alınarak vektörel çarpım işaret
kuralı ile aynı olduğu görülür.
MOMENT,
1. Verilen kuvvet-kuvvetlerin eksenlerindeki birleşenleri
2. Kuvvet-kuvvetlerin uygulandığı nokta ile moment alınacak nokta arasındaki noktaların
yer vektörleri
i

3. 1. ve 2. deki değerler kullanılarak M =  x
F
 x
j
y
Fy
k 

z  ile MOMENT-MOMENTLER hesaplanır.
Fz 
4. Moment hesabı için gerekli olan matris tablodaki gibi oluşturulur.
M
=
i
x
Fx
j
y
Fy
k
z
Fz
→Eksenlerin doğrultman kosinüsleri
→F kuvvetinin uygulama noktası koordinatları
→F kuvvetinin bileşenleri
i
j k 


M =  x y z  =  Fz y − Fy z  i − [ Fz x − Fx z ] j +  Fy x − Fx y  k Myj
F F F 
 x y z
Mx =  Fz y − Fy z 
My = − [ Fz x − Fx z ]
y
M y = −[ Fz x − Fx z ]
[
Mxi M x = Fz y − Fy z
Mz =  Fy x − Fx y 
z
8
x
Mzk
[
M z = Fy x − Fx y
]
http://mizan.ogu.edu.tr.
]
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Mx, My ve Mz değerleri skaler olup F kuvvetinin O merkezinden geçen eksenlere göre
momentleridir. Bu momentler; F kuvvetinin rijit cisme eksenleri etrafında uyguladığı
döndürme uygulamalarıdır
j k
j k
j k
i
i
i





Mo = 3 0 0 =0 MA = 3 5 0 =5x40 = 200Nm MB = 3 0 8 =−8x40 =−320Nm






40 0 0
40 0 0
40 0 0
y
A-
5m
Mx =[2x50 − 2x30]i= 40i
j
k
i

Mo = 3
2 2 Nm = My =−[3x50 − 2x40]i =70 j



40 30 50
Mz =[3x50 − 2x40]i=70k
0
x
3m
-B
z
F=40 N
8m
Mx = 240i
j k
j k
k 
i
i
i j

MB = 3 0 8 =My = −[8x40]j=−320 j+0 2 8 =Mx =[8x30]i= 240i+0 0 68−2  =0 = My = −320 j







40 0 0
0 30 0
0 0 50 
Mz =0
y
F=300 N
2m
3m
0
m
8m z B
x
F=400 N
2
F=500 N
Özellik 1: M momentinin Mx skaler birleşeni M ile x ekseni üzerindeki birim vektör i’nin skaler
çarpımından;
M .i = [M x i + M y j + M z k ] . i = [M x i.i + M y j.i + M z k.i ] = M x [1] + 0 + 0 = M x
olarak elde edilir. Buna göre M momentinin herhangi bir n eksenine göre Mn momenti n ekseni
üzerindeki un birim vektörü ile [Mn =M un] çarpımıdır.
Yukarıda klasik olarak momentler vektörel olarak aşağıdaki şekilde aynısının bulunduğu görülür.
P=4 kN
L1=3
m
y
L2= 5
m
P=100N
60o
B
M A = P x L = 4 x 5 = 20 kNm
A
B
P=100N
x
L= 6m
C
Py=100sin60=86.6 N
o
60
MB = 4 x 3 = 12 kNm
B
L= 6m
MC = P x L = 86.6 x 6 + 50 x 0 = 519.6Nm
M = r xF
r = xi + yj + zk
F = Fxi + Fyj + Fzk
9
M = M xi + M yj + M zk
http://mizan.ogu.edu.tr.
C
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
MA
MB
MC
i

= x
F
 x
i

= x
F
 x
i

= x
F
 x
j
y
Fy
j
y
Fy
j
y
Fy
Bölüm1
k   i
j
 
z  = − 5 0
Fz   0 − 4
k  i
j
 
z  = 3 0
Fz  0 − 4
k
0  = [0]i + [0] j + [[ −4 ] x [ −5 ] − 0]k = 20 kNm
0 
k
0  = [0]i + [0] j + [− 4 x3 − 0]k = −12 kNm
0 
k   i
j
k
 
z  = −6
0
0 = [0]i + [0] j + [[ −86.6 ] x [ −6 ] − 0]k = 519.6 Nm
Fz   50 − 86.6 0 
ÖRNEK 2: Şekilde verilen sistemde;
a: x, y ve z eksenlerindeki momentleri, b: AD doğrultusundaki momenti hesaplayınız.
z
E
10
200 kN
A
20
B
20
400 kN
C
20
O
y
12
8
D
a: Verilen kuvvetin eksenlerdeki birleşenleri,
x
rDE =[ −12i−18 j+ 40k] F =
200
122 +182 + 402
rMO =[12i+8 j + 20k] 24.66F =
[ −12i−18 j + 40k]=[ −52.77i−79.16 j+175.90k ]
400
[12i+8 j+ 20k]=[194.65i+129.77 j+324.41k ]
122 + 82 + 202
x, y ve z eksenlerine göre moment, DO =12i+ 8 j
MO =12i+8 j+ 20k yer vektörleri ile hesaplanır.
j
k   i
j
k  [1407.2 −0.12]i−[2110.8 −0.08] j+[ −527.76 + 0.04]k
 i




M0 = 12
8
0
8
20  = 
+ 12


 
−52.77 −79.16 175.90 194.65 129.77 324.41 [1407.08i− 2110.72j−527.72k]kNm
Eğer her eksenin momenti ayrı hesaplanırsa matristeki aranan eksen numarasına 1 diğerlerine
0 yazılarak ayrı ayrı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir.
1x'momenti

Mx = 
12
 −52.77

 1x'momenti
0
0 
 

8
0 +
12
8
20  = 1[1407.2 −0.12]=1407.08kNm
−79.16 175.90  194.65
129.77 324.41
 

0
0
 0
1y'momenti
0   0
1y'momenti
0 

 

My = − 12
8
0  +  12
8
20  = − 1[2110.80 −0.08] = −2110.72kNm
−52.77
−79.16 175.90 194.65
129.77
324.41
 


10
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
 0
0
1z'momenti   0
0
1z'momenti

 

Mz =  12
8
0
8
20
 +  12
 = 1[ −527.76 + 0.04]= −527.72kNm
−52.77 −79.16


175.90
194.65 129.77
324.41 

 

b: AD doğrultusundaki momenti bulmak için tüm kuvvetler A noktasına taşınır ve sonra AD
doğrultman değerleri ile çarpılarak AD doğrultusundaki moment aşağıdaki şekilde hesaplanır.
A
E
rAD=(0-12)i+(0-8)j+(40-0)k=-12i-8j+40k
z
20
10
200 kN
B
j
k 
j
k 

 i
 i
M =  12

 0
8
40
0
40 
−
+
−
=
 A 




−57.77 −79.16 175.9200N 194.65 129.77 324.41400N

A moment 
=[ −1759.2i+200 j−487.76k ] +5190.8i−7786 j= 3431.6i −7586 j −487.76k
200


MAD =MA irAD = 3431.6i −7586 j −487.76k  i 12i+8 j−40k =00

  42.52 

20
400 kN
C
20
O
y
12
8 D
x
VEYA; AD doğrultusundaki momenti bulmak için tüm kuvvetler D noktasına taşınır ve sonra DA doğrultman değerleri
ile çarpılarak DA doğrultusundaki moment aşağıdaki şekilde yukarıda hesaplanan AD doğrultusuyla aynı olarak
hesaplanır.
j
k 
j
k 

 i
 i
M =  0


0
0
0 
+ −12
−8
=
 D 




−57.77 −79.16 175.9200N 194.65 129.77 324.41400N

D moment 
=[0i+0j+0k ] −2595.28i+3892.92j−0.04k = −2595.28i +3692.92j −0.04k
200


MAD =MA irAD =  −2595.28i 3692.92 j +0.04k  i −12i−8j+ 40k =000
  42.52 


ÖRNEK 3: Şekilde verilen kuvvet (100 N, 200 N ve 400 N) ve momentin (600 Nm),
a) AB doğrultusunda oluşturacağı momenti (MAB)
b) Orjinden 14 m uzaktati S-S doğrultusundaki momenti (Mss) hesaplayınız.
Çözüm a: Eksenler üzerinde olmayan kuvvetlerin ve momentlerin birleşenleri bulunur.
y
y
600 Nm
−6 j+ 4k
FAC =200 
 =−166.41j+110.94k
 62 + 42 
2m
B
 −2i+2j−2k 
MP =600 
 =−346.42i+346.42j−346.42k
 22 +22 +22 
C
400 N
z
100N
6m
z
x
2m
S
O
6m
4m
A 200 N
B noktasındaki momenti bulunarak AB doğrutusundaki birim vektörle çarpılarak MBA aşağıdaki şekilde
bulunur.
11
2m
P
http://mizan.ogu.edu.tr.
14m
x
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
j k  i
j
k  i
j
k 

 i
M =[ −346.42i+346.42j−346.42k] +  0 0 4 + 6
 + 6

0
4
0
0
P 
 B
 
 


100 0 0 0 −400 0 0 −166.41 110.94

200N
100N
400N
B


=[ −346.42i+346.42j−346.42k ]P + −−4 x100 j+ 4x400i−6x400k −6x110.94 j−6x166.41k

= 1253.58i +80.78 j −3744.88k
B noktasında bulunan MB = 1253.58i +80.78 j −3744.88k momenti hangi doğrultuya taşınacak
ise o yöndeki birim vektörle (dogrultman cosinüsleri) çarpılarak taşınır.
Örnekte AB doğrultusunda taşınması isteniğine göre bu yöndeki birim vektör;
uAB =
−6i+ 6 j− 4k
62 + 62 + 42
=−0.64i+ 0.64 j−0.426k
ise
MAB =MB iuAB =[ 1253.58i +80.78 j −3744.88k ]iskaler [−0.64i+ 0.64 j−0.426k ]
MAB =(1253.58x( −0.64))i.i+(80.98x0.64)j.j+( −3744.88x( −0.426))k.k =−802.29 + 51.83 +1596.79 = 846.20Nm
VEYA A noktasındaki moment bulunarak da M AB aşağıdaki gibi aynısı bulunur.
j k
j
k
j
k 

 i
i
i
M =[ −346.42i+346.42j−346.42k] +  −6 6 0
0

0
+
6
0
+
6
−
4 
P 
 A






100 0 0100N 0 −400 0400N 0 −166.41 110.94200N

A moment 

[ −346.42i+346.42j−346.42k ]P −600k +00+00= −346.42i +346.42j −946.42k


M AB =M A i uAB = −346.42i +346.42j −946.42k i[ −0.64i+0.64 j−0.426k ]=846.59 Nm
Çözüm b: Kuvvetlerin eksenlere göre analizleri yukarıda yapılmıştı. Burada S noktasında tüm
kuvvetlerden oluşan moment hesaplanır ve S doğrusu boyunca hesaplanan doğrulman
değerleri ile çarpılarak S doğrultusundaki moment aşağıdaki şekilde hesaplanır.
j k
j
k
j
k 

 i
i
i
M =[ −346.42i+346.42j−346.42k] + −14 6 4



+ −8
6
4
+ −8
6
4 
P 
 S






100 0 0100N  0 −400 0400N  0 −166.41 110.94200N


S moment
[ −346.42i + 346.42j −346.42k]P +[ 00i + 400j + 600k]100 +[1600i + 00 j + 3200k]400

+[1331.28i + 877.52j +1331.28k]400 += 2584.86i +1623.94 j +4784.86k

M =M i u = 2584.86i +1623.94 j +4784.86k i[ j]=1623.94 Nm
 S A ss
12
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK 4: Şekildeki çıkmalı kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
10 kN
2 kN/m
45o
6m
3m
Çözüm: ilk önce sistemin mesnet tepki kuvvetleri bulunur ve sonra kesim yapılarak her noktanın
kesit tesirleri [V, M ve N] bulunur.
2 kN/m
7.07
7.07 kN
By=2.465 kN
Ay=16.605 kN
7.07
V M
7.07
-
2.47
-
V
N
N=-7.07 kN M=-7.07x kN
X=3
M=-21.21 kNm
V=-7.07 kN
x
+
9.54
21.21
V M
7.07
N
M
Ay=16.605 kN
m
3
+
V=-7.07+2X+16.605 kN
N=-7.07 kN
2
M=16.605x-7.07(3+x)-2x /2
x
1.52
7.07 N
-
Yapı sistemlerinde yük, kesme kuvveti ve moment arasındaki ilişki
4.4. KESME KUVVETĐ ĐLE MOMENT ARASINDAKĐ ĐLĐŞKĐ
dx
B
A
L
x
Çekme Bölgesi
P
B
A
Kesme
V
M
+
Kesit
Basınç Bölgesi
T.E.
q(dx)
L
+
T.E.
B
A
M+dM
M
s V+dV
V
V
dx
M
Moment
Çelik
Kesit
ΣFy=0
V - q (dx) – [V + dV]= 0 -q (dx) – [dV]= 0
dV=- q (dx)
dV =−q
dx
(Kesme kuvvetinin türevi yayılı yükün değerini verir.)
ΣMs=0 V dx + M -q (dx) (dx /2) – [M + dM]= 0
Vdx = dM
dM= V
dx
(Momentin türevi ise kesme kuvvetinin değerini verir.)
2
Not: dx küçük bir dilim olduğu için dx = 0 alınmıştır.
2
13
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
L
P
Kesme
V
+
V
+
-
M
M
Moment
q
j
j
V
j
M
dV=qdx
i
i
x
dx
VEYA
j
 Vj − Vi  = ∫ q dx
i
j
Mj − Mi  = ∫ V dx
dM=Vdx
i
dx
x
dx
x
Buna göre yayılı yükün alanı kesme kuvvetini verir.
Kesme kuvvetinin alanı momenti verir.
i
14
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK 1.2: Şekildeki konsol kirişin kesme ve momet bağıntılarının elde edilmesi
4 kN/m
A
6m
Konsol kirişin A mesnedindeki kesit tesirleri aşağıdaki şekilde
bulunur.
2x
48 kNm 3
12 kN
4m
48 kNm
4 kN/m
x2
3
A
A
6m
12 kN
ΣFy=0
12 −
12 kN
x2
−V = 0
3
ΣMz=0 − 48 + 12 x −
V
V = 12 −
x2 x
−M= 0
3 3
M
z
x
x2
3
M = 12x − 48 −
x3
9
x2
22
x3
23
= 12 −
= 10.67kN
M2 = 12x −
− 48 = 12x2 −
− 48 = − 24.89kNm
3
3
9
9
x2
42
x3
43
x = 4 ⇒ V4 = 12 −
= 12 −
= 6.67kN
M4 = 12x −
− 48 = 12x4 −
− 48 = − 7.11kNm
3
3
9
9
x2
62
x3
63
x=6
V6 = 12 −
= 12 −
=0
M6 = 12x −
− 48 = 12x6 −
− 48 = 0
3
3
9
9
x = 2⇒
V2 = 12 −
2o
12 kN
A
V
6m
48 kN
3o
A
M
6m
ÖRNEK 4.3: Verilen kirişin kesme, moment ve normal kuvvet diyagramlarının çizimi.
6 kN/m
4 kN
6 kN
A
3m
B
9m
Çözüm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri
hesaplanır.
b
a
36 kN
6 kN/m
4 kN
6 kN
A
B
3m
a
15
Bx = 6
9m
A Y = 21.33
b
B Y = 18.67
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
∑F
=0
x
Bölüm1
6 − Bx = 0 Bx = 6 kN
q =[qx/ L]=0.5x
4 kN
∑M
A
∑M
B
=0
=0
M
6 kN
 6 x12 
 2  x 5 − 4 x 3 − By 9 = 0 B y = 18.67 kN


N
x
V
a-a
 6 x12 
 2  x 4 + 4 x12 − A y 9 = 0 By = 21.33 kN


a-a ve b-b kesitlerinde kesimler yapılarak kesit tesirleri aşağıdaki şekilde hesaplanır.
∑ Fx = 0
∑F
N+ 6= 0
=0
y
V − 4 − 0.5x[x / 2] = 0
∑M = 0
x = 3 m → N = −6 kN
N = −6
V = 4 + 0.25 x 2
x = 3m → V = 6.25 kN
M = −[ 4 x + x 3 0.25 / 3 ]
M + 4 x + 0.5 x[0.5 x ][ x / 3 ] = 0
x = 3 m → M = −14.25 kNm
q =[qx/ L]=0.5x
4 kN
M
6 kN
N
A
V
x
b-b
A Y = 21.33
∑F
=0
∑F
= 0 V + 4 − 21.33 + 0.5x[x / 2] = 0 V = 17.33 − 0.25 x 2
x
y
∑M
x
=0
N+ 6 = 0
N = −6kN
x = 7.5m → N = −6kN
Mx + 4x − 21.33[x − 3] + 0.5x[0.5x][x / 3] = 0
x = 12m → N = −6kN
x = 3m + 4.5m = 7.5m → V = 3.27kN
Mx = −63.99 + 17.33x − x 3 0.25 / 3
b
a
36 kN
6 kN/m
4 kN
x = 7.5
m
→ M x = 30.83 kNm
6 kN
A
B
3m
x = 12 m → M x = 0
A Y = 21.33
a
b
B Y = 18.67
6.25
-
-
4
Bx = 6
9m
15.08
[V]
+
x=8.33
14.25
18.67
+
[M]
6.25
6
-
16
[N]
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Maksimum açıklık momenti V=0 da olduğuna göre,
Q=0
 17.33 
x=

 0.25 
4 + [0.5x] x [0.5] − 21.33 = 0
[1/ 2]
= 8.33
x = 8.33 →→ maxMaç = 21.33[x − 3] − 4x − 8.33 [0.5x][0.5][8.33 / 3] − 14.25 = 32.20kNm
Đstenirse sağ yönden de kesim yapılarak sonuçlar kontrol edilebilir.
∑F
=0
qx =
6[12 − x]
= 6 − 0.5x
12
x
N+ 6 = 0
N = −6kN
x = 9m → N = −6 kN
V + ([[6 − 0.5x] + 6] x) / 2 − 18.67 = 0 V = 18.67 + 0.25x 2 − 6x
x = 12m → N = −6kN
x = 4.5 ise V = 3.27kN
6 [12 − x ]
12
Mx + [6 − 0.5x] x x / 2 + 0.5xx[ 0.5][2x / 3] − 18.67x = 0
M
Mx = 18.67 x − 3x + 0.5x / 6
2
x = 4.5 ise Mx = 30.86kN
3
x=9
6 kN/m
N
ise Mx = 14.22 kN
6 kN
B
V
x
B Y = 18.67
ÖRNEK 1.3. V, M ve N diyagramları ile [açMmax=?] momentinin hesaplanması.
4 kN/m
C
3m
4 kN/m
4 kNm
D
C
3m
4 kN
4 kN
2m
2m
A
D
5
E
Serbest cisim diyagramı
[uygulanan yükler ile
bulunması gereken
mesnet tepkileri ]
B
B
m
4 kNm
BX
m
2
BY
AY
Çözüm: Đlk önce mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
4 x 5 x 2.5 + 4 x 2 + 4 − 5 xB y = 0
B y = 12.40 kN
∑ MB = 0
4 x 5 x 2.5 − 4 x 2 − 4 − 5 x A y = 0
A y = 7.60 kN
∑ Fx = 0 4 − B x = 0 B x = 4 kN
VEYA: Kirişin E noktasında momentin sıfır (4 dış momenttir bu yüzden dikkate alınmaz veya bu noktada yazılan
moment bağıntısı bu dış momente eşitlenir) olacağından E noktasına göre moment alarak Bx tepkisi
bulunabilir. Yani momenti bilinen bir noktaya göre moment alınarak uygun mesnet tepki
kuvvetleri hesaplanabilir (B noktasına göre moment yazılarak Bx bilinmeyeni bulunamaz)
∑ ME = 0
7.6 x 7 − 4 x3 − 4 x 5 x 2.5 + 12.4 x 2 + 4 + 5 x B x = 0
B x = 4.00 kN
∑ ME = 0
7.6 x 7 − 4 x3 − 4 x 5 x 2.5 + 12.4 x 2 + 4 + 5 x B x = 4
B x = 4.00 kN
17
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
N
N
∑ Fx = 0 N + 7.6 = 0 N = −7.60kN
x
∑ Fy = 0 V = 0
M
V
M=0
x
M
V
4 kN
AY=7.6
∑ Fx = 0 N + 7.6 = 0 N = −7.60kN
∑ Fy = 0 V + 4 = 0
V = −4
AY=7.6
N
M
M = −4x
x =1 m
∑ Fx = 0 N + 12.4 = 0 N = −12.4kN
M = −4kNm
x = 3m M = −12kNm
∑ Fy = 0 V − 4 = 0
x
∑ Mx = 0 M + 4x = 0
V
V=4
B
∑ Mx = 0 M + 4x = 0
4 kN/m
M = −4x
x = 1m
M = −4kNm
BX=4
BY=12.4
M
N
C
V
x
x = 5m M = −20kNm
4 kN
∑ Fx = 0 N + 4 = 0 N = −4kN
x = 2m
V = −0.4 kNm
∑ Fy = 0 7.6 − V − 4x = 0
x = 5m V = −12.4kNm
∑ Mx = 0 7.6 x − 4xx[1/ 2] − M − 4[3] = 0
AY=7.6
x = 2m
V = 7.6 − 4x
M = −4.8 kNm
M = 7.6x − 2x 2 − 12
x = 5m M = −24kNm
∑ Fx = 0 N + 4 = 0 N = −4kN
M
4 kN/m
4 kNm
N
∑ Fy = 0 12.4 + V − 4x = 0
x = 2m
V = −4.4 kNm
V = −12.4 + 4x
V
x
D
E
x = 5m V = 7.6kNm
∑ Mx = 0 M + 4 + 4xx[1/ 2] + 4[5] − 12.4x = 0
B
M = 12.4x − 2x 2 − 24
BX=4
BY=12.4
x = 2m
M = −7.2 kNm
x = 5m M = −12kNm
Sistemin Q, M ve N diyagramları aşağıdaki şekilde elde edilmiştir.
24
C
5-x1
x
4.0
D
+
-
-
-
Eksenel kuvvet
7.6
A
4
7.6
-
12.4
4.78
12
5-x
-
-
-
x1
Kesme kuvveti
-
Moment
B
12.4
4
18
http://mizan.ogu.edu.tr.
4
20
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Maksimum açıklık momentinin hesabı aşağıdaki gibi yapılabilir. [V=0’daki x benzer üçgen
bağıntılarından da bulunarak maksimum moment hesaplanabilir]
x
5−x
=
7.6
12.4
x = 1.9 m max M aç = 7.6 [1.9 ] − 4 [ 3 ] − 1.9[ 4 ][1.9 / 2 ] = −4.78 kNm
x1
5 − x1
=
12.4
7.6
VEYA DĐĞER YÖNDEN
x1 = 3.1 m maxMaç = 12.4[3.1] − 4[5] − 3.1[4][3.1/ 2] − 4 = −4.78kNm
VEYA aşağıdaki formüller kullanılarak da aynı değerler aşağıdaki gibi bulunur.
SOL YÖNDEN ⇒ x =
V 7.6
V2
[7.6]2
=
= 1.9 max Maç =
± Mmesnet =
− 12 = −4.78 kNm
q
4
2q
2x4
SAĞYÖNDEN ⇐ x1 =
V 12.4
V2
[12.4]2
=
= 3.1 max Maç =
± Mmesnet =
− 24 = −4.78 kNm
q
4
2q
2x4
NOT: Maksimum açıklık momenti her zaman artı moment olacak diye bir yaklaşım olmamalıdır. Maksimum moment
artı işaretli en büyük olan moment veya sıfıra en yakın olan eksi işaretli momenttir.
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
2 kN/m
2 kN/m
C
C
4m
E
E
B
4 kN
4 kN
B
m
1.78
3m
8 kNm
8 kNm
A
F
F
3.12m
2m
AY
4m
4
∑ Fx = 0
Dx = 4kN
DY
∑ MD = 0
∑ MA = 0
N
DX
D
D
m
4 x 5 − 2 x 4 x 6 − 8 + 8A y = 0
A y = 4.5 kN
4 x 3 + 2 x 4 x 2 − 8 + 4 x 2 + 8D y = 0
D y = 3.5 kN
M
Q
x
∑Fx =0
∑Fy =0
N+7.6=0
N=−7.6 kN
V =0 M=0
N
AY=4.5
N
[Yatay kuvvetlerin toplamı]H=4
M
M
V
V
4 kN
B
45o
x
4 kN
x
B
V=4.5-2x [Düşey kuvvetlerin toplamı]
A
A
AY=4.5
AY=4.5
19
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
M x = 2 = 4.5 x 2 − 4 x 2 − 2 x 2 x 1 = −3 kNm
Hcosα
α
α
Vsinα
α
M x = 4 = 4.5 x 4 − 4 x 4 − 2 x 4 x 2 = −14 kNm
α
4 kN
B
x
Vcosα
kN
Hsinα
α
H=[4]
V
V=4.5-qx
4 kN
x
B
AY=4.5
AY=4.5
 x = 0 ⇒ V = [4.5]cos 45 − [4]sin 45 = 0.354 kN

V = V cos α − Hsin α = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45  x = 2 ⇒ V = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 = −2.48 kN
 x = 4 ⇒ V = [4.5 − 2x]cos 45 − 4 sin 45 = −5.30 kN

x = 0 ⇒ N = −6.01

N =− (Hcos α+ Vsinα)=− [4cos45 + [[4.5 − 2x]sin45] = 6.01−1.414x x = 2 ⇒ N = −3.17
x = 4 ⇒ N = −0.354
N
2 kN/m
66o
C
M
H=4
V
V=3.5
66o
4 kN
B
V
H=4
V=3.5
M
[b]
N
8 kNm
[a]
AY
4
ME = 4.5 x [ 4 + 1.78 ] − 2 x 4 x [2 + 1.78 ] = −4.23 kNm [ a ]
3.5 D
ME = 3.5 x 2.22 − 4 x5 + 8 = −4.23 kNm [b ]
V = V cos α − Hsin α = [− 3.5] cos[−66] − 4 sin[−66] = −2.23 [a][b]
N = − [H cos α + V sin α ] = 4 cos[ −66 ] + [ −3.5 ] sin[ −66 ] = 4 cos[ −66 ] + [ −3.5 ] cos[ 90 − 66 ] = 4.82 [ a ][b ]
2 kN/m
C
N
66o
4 kN
M
H=4
B
V
8 kNm
AY
66o
H=4
4
V=3.5
V=3.5
M
[a]
3.5 D
V
[b]
N
20
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
MF = 4.5 x [4 + 3.12] − 2 x 4 x [2 + 3.12] + 4 x 3 − 8 = −4.92kNm[a]
MF = 3.5 x 0.88 − 4 x 2 = −4.92 kNm [b]
V ve N Yük olmadığı için yukarıdakinin aynısı olur.
V = V cos α − H sin α = 3.5 cos 66 − 4 sin 66 = 3.5 cos 66 − 4 cos 24 = −2.23 kN
N = H cos α + V sin α) = 4 cos 66 + 3.5 sin 66 = 4 cos 66 + 3.5 cos[ 90 − 66 ] = 4.82
Çubuk üzerinde yük olmadığı için x’in değişimi ile sadece moment değişir. V ve N değişmez.
M = x[3.5 cos 66] − x[4 sin 66]
N
66o
x = 2.19 ⇒ MF = 2.19[3.5 cos 66] − 2.19[4 sin 66] = −4.89kNm
M
H=4
V
M = x[3.5 cos 66] − x[4 sin 66] + 8
4
x
V=3.5
x = 2.19 + 3.32 ⇒ MF = 5.51[3.5cos 66] − 5.51[4 sin66] + 8 = 4.29kNm
3.5 D
x = 2.19 + 3.32 + 4.34 ⇒ MF = 9.85[3.5 cos 66] − 9.85[4 sin66] + 8 = −13.97kNm
2 kN/m
N
C
66o
4.34m
M
H=4
V
B
4 kN
E
V=3.5
3.32m
8 kNm
F
x
2.19m
AY
8 kNm
DX
DY
4
D
3.5
Sistemin V, M ve N diyagramları aşağıda verilmiştir.
5.30
+
14.00
0.35 4.82
C
C
C
-
E
6.01
E
B 0.35
E
B
B
2.23
M
V
A
A
F
4.92
A
3.08
4.50
F
N
F
D
D
D
2.23
21
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen 3 mafsallı çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
C
C
10 kN
1.5m 20 kNm
10 kN
20 kNm
m
m
10 kN/m 3
10 kN/m 3
B
B
D
D
3m
3m
10 kN/m
10 kN/m
EX
E
E
EY
2m
2m
A
A
m
2m
4
2m
AX
m
3
4m
AY
2m
2m
3m
Çözüm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
5 ⋅ 10 ⋅ 2.5 − 20 + 10 ⋅ (4 + 2) + 10 ⋅ 3 ⋅ (1.5 + 8) − 2E X − 11E Y = 0
∑ MC = 0
2 ⋅ 10 + 10 ⋅ 3 ⋅ (1.5 + 4) + 6E X − 7E Y = 0
EX = 13.94 N






6EX − 7EY = −185



2EX + 11E Y = 450
E Y = 38.375 N
∑ ME = 0
5 ⋅ 10 ⋅ 0.5 − 10 ⋅ 5 − 20 − 10 ⋅ 3 ⋅ 1.5 + 11A Y − 2A X = 0
∑ MC = 0
4 A Y − 8A X − 5 ⋅ 10 ⋅ (2.5 + 3) − 20 = 0




A Y = 1.625 N



A X = −36.063 N

4A Y − 8A X = 295



11A Y − 2A X = 90
C
20 kNm
V20kNmsol = − 13.94 kN
B
10 kN/m
-
+
AX=36.063
4m
AY=1.625
C
20 kNm
− 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20dış = 40.91kNm
VBsol = [1.625cos51.34 − ( −36.063 + 10 ⋅ 5)sin51.34 = −9.87 kN
NBsol = − [( −36.063 + 10 ⋅ 5)cos51.34 + 1.625 sin51.34 ] = − 9.98 kN
MBsol = 1.625 Ay ⋅ 4 + 36.063 Ax ⋅ 5 − 10yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2) = 61.82 kNm
VA = V cos α − Hsin α = [1.625cos51.34 − ( −36.063)sin51.34 = 29.18 kN
NA = − (Hcos α + V sin α) = − [( −36.063)cos51.34 + 1.625sin51.34 ] = 21.26 kN
MA = 0
MC = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 3) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 3) − 20 = 0.00 kNm
V20kNmsol = − 13.94 kN
B
N20kNmsol = − 1.625 kN
M20kNmsol = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5)
N20kNmsol = − 1.625 kN
M20kNmsol = 1.625Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5)
− 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20dış = 40.91kNm
10 kN/m
VBsağ = V cos α − Hsin α = [ 1.625 cos90 − ( −36.063 + 10 ⋅ 5) sin90 = −13.94 kN
NBsağ = − (Hcos α + V sin α) = − [ ( −36.063 + 10 ⋅ 5) cos90 + 1.625 sin90 ] = − 1.625 kN
MBsağ 1.5m = 1.625 Ay ⋅ 4 + 36.063Ax ⋅ (5 + 1.5) − 10 yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) = 40.91 kNm
AX=36.063
4m
AY=1.625
22
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
N
M
V
Vorta = V cos α − Hsin α = [1.625cos51.34 − ( −36.063 + 10 ⋅ 2.5)sin51.34 = 9.65 kN
10 kN/m
m
2.5
AX=36.063
Norta = − (Hcos α + V sin α ) = − [( −36.063 + 10 ⋅ 2.5)cos51.34 + 1.625sin51.34 ] = 5.64 kN
Morta = 1.625Ax ⋅ (4 / 2) + 36.063Ay ⋅ 2.5 − 10Yayılı ⋅ 2.5 ⋅ (2.5 / 2) = 62.16 kNm
4m
AY=1.625
C
10 kN
m
10 kN/m 3
F
D
VDsağ = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3]cos[−45] − 13.94 sin[ −45] = 3.94 kN
NDsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −45) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3] sin( −45)] = − 15.77 kN
MDsağ = 38.375Ey ⋅ 3 − 13.94Ex ⋅ 3 − 10 Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2) = 28.305 kNm
+
-
3m
Ex=13.94
VEsol = V cos α − Hsin α = [ − 38.375]cos[ −45] − 13.94 sin[ −45] = −17.28 kN
NEsol = − (Hcos α + V sin α) = − [(13.94)cos( −45) + [ − 38.375]sin( −45)] = − 36.99 kN
Ey=38.375
2m
MEsol = 0
2m
3m
2m
MDsol = 38.375Ey ⋅ 7 − 13.94Ex ⋅ 6 − 10 Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2 + 2) − 10 ⋅ 2 = 0.000
C
10 kN
m
10 kN/m 3
F
VFsol = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3 + 10]cos[−37] − 13.94 sin[ −37] = −9.69 kN
D
NFsol = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −37) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3 + 10] sin( −37)] = −10.17 kN
MFsol = 38.375Ey ⋅ 5 − 13.94Ex ⋅ 4.5 − 10Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2) = 24.145 kNm
3m
+
VFsağ = V cos α − Hsin α = [− 38.375 + 10q ⋅ 3]cos[ −37] − 13.94 sin[ −37] = 1.70 kN
NFsağ = − (Hcos α + V sin α ) = − [13.94cos( −37) + [ − 38.375 + 10q ⋅ 3]sin( −37)] = −16.18 kN
-
Ex=13.94
Ey=38.375
2m
MFsağ = 38.375Ey ⋅ 5 − 13.94Ex ⋅ 4.5 − 10Yayılı ⋅ 3 ⋅ (3 / 2 + 2) = 24.145 kNm
2m
C
F noktasının sağındaki
kesit tesirlerinin diğer
yönden bulunuşu
yandaki gibidir.
3m
2m
10 kN
20 kNm
F
B
VFsağ = [−10 + 1.625] cos[ −37] − [ −36.063 + 10 ⋅ 5] sin[−37] = 1.66 kN
10 kN/m
NFsağ = − [[−36.063 + 10 ⋅ 5] cos( −37) + [−10 + 1.625] sin( −37)] = 16.16 kN
MFsağ = 1.625 ⋅ 6 + 36.063 Ax ⋅ 6.5 − 10 Yayılı ⋅ 5 ⋅ (5 / 2 + 1.5) − 20 = 24.16 kNm
AX=36.063
4m
AY=1.625
10.17
13.94
16.18
24.15
20.91
1.63
15.77
9.98
40.91
9.66
61.82
9.87
28.30
29.85
1.66
3.93
36.99
69.30
m
4.75
N alanı
17.28
V alanı
V

17.28
=
= 29.85 

2
 2q 2 ⋅ (10 /(cos 45) )

2
M alanı
m
0.79
2
21.26
29.18
23
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen 3 mafsallı çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
10 kN
1
m
1
1m
20 kNm
8 kN
10 kN
m
10 kN
6 kN
II
IV
III
20 kNm
m
3
1m
m
1
1m
10 kN
6 kN G
8 kN
I
BX
3m
3m
B
3m
BY
A
2m
3m
3m
3m
AX
2m
AY
3m
3m
3m
Çözüm: Mesnet ve mafsalda moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
∑ MA = 0
sağ
∑ MG
8 ⋅ 10 + 10 ⋅ 5 + 6 ⋅ 9 + 8 ⋅ 3 + 20 − 3BX − 8BY = 0
= 0 3 ⋅ 10 + 10 ⋅ 6 + 20 + 6BX − 6BY = 0
∑ MB = 0
6 ⋅ 6 − 10 ⋅ 3 + 20 + 8A Y − 3A X = 0
sol
2A Y − 9A X − 6 ⋅ 8 = 0
∑ MG = 0

3BX + 8BY = 228 


BX = 7.39 kN





BY = 25.73 kN

− 6BX + 6BY = 110



A Y = −5.73 kNyön ters

8A Y − 3A X = −26










2A Y − 9A X = 48 


A X = −6.61kNyön ters
VGsol = [−5.73cos77.4 − 1.39 sin77.4 = −2.60 kN
Nsol
G = − [ −5.73 sin77.4 + 1.39co s77.4 = 5.29 kN
sol
G
M
6 kN
10 kN
10 kN
G
= 6.61⋅ 9 − 5.73 ⋅ 2 − 8 ⋅ 6 = 0.03 kNm
II
VI = [−5.73cos77.4 − 1.39 sin77.4 = −2.60 kN
III
20 kNm
8 kN
NI = − [ −5.73 sin77.4 + 1.39co s77.4 = 5.29 kN
I
MI = 6.61⋅ 3 − 5.73 ⋅ 0.67 = 16.00 kNm
VI = [−5.73cos77.4 − ( −6.61)sin77.4 = 5.20 kN
-
AX=6.61 A
NI = − [ −5.73 sin77.4 + ( −6.61)co s77.4 = 7.03 kN
+
BX=7.39
3m
3m
BY=25.73
m
m
2
3m
AY=5.73
MI = 6.61⋅ 3 − 5.73 ⋅ 0.67 = 16.00 kNm
B
IV
1m
1m
1m
3
3m
VAsağ = V cos α − Hsin α = [−5.73cos77.4 − ( −6.61)sin77.4 = 5.20 kN
Nsağ
= − (Hcos α + V sin α ) = − [ −5.73 sin77.4 + ( −6.61)co s77.4 = 7.03 kN
A
VGsağ = V cos α − Hsin α = [−5.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −3.10 kN
Nsağ
= − (Hcos α + V sin α ) = − [ −5.73 ( − sin18.43) + 7.39co s18.43 = −8.82 kN
G
6 kN
VIIsağ = [−15.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −12.58 kN
10 kN
10 kN
G
II
III
20 kNm
8 kN
I
+
AX=6.61 A
m
m
-
2
3m
AY=5.73
BX=7.39
IV
B
NIIsağ = − [ −15.73( − sin18.43) + 7.39co s18.43] = −11.98 kN
MIIsağ = 25.73 ⋅ 3 − 10 ⋅ 3 − 7.39 ⋅ 5 − 20 = −9.76 kNm
3m
VIIIsağ = [−25.73cos18.43 − 7.39( − sin18.43) = −22.06 kN
3m
NIIIsağ = − [ −25.73( − sin18.43) + 7.39co s18.43] = −15.14 kN
BY=25.73
3m
MIIIsağ = −7.39 ⋅ 4 − 20 = −49.56 kNm
3m
VBsağ = − 25.73cos 45 − 7.39 sin 45 = −23.42 kN
NBsağ = − [ −25.73sin 45 + 7.39co s 45] = −12.96 kN
MBsağ = −20 kNm
1
1m
1m
VIVsağ = − 25.73cos 45 − 7.39 sin 45 = −23.42 kN
sağ
NIV
= − [ −25.73sin 45 + 7.39cos 45] = 12.96 kN
sağ
MIV
= −25.73 ⋅ 3 − 7.39 ⋅ 3 − 20 = −119.36 kNm
24
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
3.10
22.06
12.58
49.56
9.76
2.60
119.36
8.82
11.98
5.29
V kesme
15.14
15.99
12.96
20.00
23.42
M alanı
N eksenel
7.03
5.20
ÖRNEK 1.4. Şekilde verilen çerçevenin V,M ve N kesit tesirlerinin çizimi.
10 kN/m
∑ MA = 0
C
8 ⋅ 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 − 8BY = 0
E
4m
∑ Fx = 0 A X = 10 kN
A
D
2m
∑ MB = 0
B
4m














A Y = 45 kN


BY = 35 kN
10 kN
− 8 ⋅ 10 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 + 8A Y = 0
4m
Çözüm: Mesnette moment ifadesi yazarak mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
VCsol = V cos α − Hsin α = [45cos90 − 10 sin90] = −10 kN
VCsağ = [45cos 45 − 10( − sin 45)] = 38.89 kN
Nsol
C = − (Hcos α + V sin α ) = − [45 sin90 + 10co s90] = −45 kN
Nsağ
= − [45( − sin 45) + 10co s 45] = 24.75 kN
C
sol
C
M
= −10 ⋅ 4 = −40 kNm
MCsağ = −10 ⋅ 4 = −40 kNm
VDsol = [5cos 45 − 10( − sin 45)] = −10.61kN
VDsağ = [5cos 45 − 10 sin 45] = −3.54 kN
NDsol = − [5( − sin 45 ) + 10co s 45] = −3.54 kN
NDsağ = − [5 sin 45 + 10co s 45] = −10.61kN
sol
D
M
= 45 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 100 kNm
MDsağ = 45 ⋅ 4 − 10 ⋅ 4 ⋅ 2 = 100 kNm
VEsol = [−35cos 45 − 10 sin 45] = −31.82 kN
sol
E
N
VEsağ = [−35cos90 − 0 sin 45] = 0 kN
= − [ −35sin 45 + 10co s 45] = 17.68 kN
NEsağ = − [−35 sin90 + 0co s 45] = 35 kN
MEsol = 45 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 = 0 kNm
MEsağ = 45 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 ⋅ 8 − 10 ⋅ 4 = 0 kNm
24.75
31.82
17.68
40
38.89
3.54
10
45.00
100
10.61
V kesme
M moment
3.54 10.61
N eksenel
35.00
ÖRNEK 2.4. Şekilde verilen sistemin V, M ve N diyagramlarının belirlenmesi.
10 kN
10 kNm
H
10 kN
5 kN
5 kN/m
4m
3 kN/m
G
B
I
2m
E
C
5m
10 kN
5m
D
A
2
m
6
m
F
6
m
25
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
10 kN
10 kN
H
H
10 kN
10 kNm
10 kN
5 kN/m
5 kN/m
10 kN
I
5 kN
B
B
20 kN
20 kN
10 kN
A
3 kN/m
G
2m
A
2
4m
m
5
ΣFy= 0
m
5
m
F
10 kN
Gx = 10 kN
E
C
10 kN
5 kN
6m
24.33kN
Taşınan parçanın mesnet tepki kuvvetleri,
ΣFx= 0
m
4m
2m
10 kN
4
19.67kN
Ay + Gy = 10 + 5 x 4 = 30
ΣMA= 0
6 Gy –5 x 4 x 4 +10 x 10 - 10 x 6 = 0
ΣMG= 0
6 Ay –5 x 4 x 2 – 10 x 6 + 10 x 4 = 0
Gy= 20 kN
Ay= 10 kN
Taşıyan parçanın mesnet tepki kuvvetleri,
ΣFx= 0
Dx = 10 –10 + 5 = 5 kN
ΣFy= 0
ΣMD= 0
10 x 10 – 20 x 2 + 3 x 8 x 2 + 5 x 14 – 10 – 10 x 5 -6 Fy =0
ΣMF= 0
-10 x 5 + 10x10 – 20x8-3 x 8 x 4 + 5x14-10+6 Dy =0
V
Dy + Fy = 3 x 8 + 20 = 44 kN
H
Fy=19.67 kN
Dy=24.33 kN
10 kN
VAsağ = V cos α − Hsin α = 10cos78.69 − 0 sin78.69 = 1.96 kN
sağ
A
N
α=78.69
A
= − [0cos78.69 + 10 sin78.69] = −9.81 kN
10 kN
10 kN
VBsol = V cos α − Hsin α = − 10 cos 63.43 − 10 sin( −63.43) = 4.47 kN
NBsol = − (Hcos α + V sin α ) = − (10 cos 64.43 − 10 sin( −64.43) = − 13.41kN
β=63.43
H
V
MBA= 10 x 2 = 20 kNm
MBH= 10 x 4 – 10 x 2 = 20 kNm
10
-
MBG= 10 x 2 –10 x 2+10 x 4 = 40 kNm
MCG= -(20 x 2 +3 x 2 x 1)= -46 kNm
5
+
13.41
MCD= 10 x 5 +5 x 10 = 100 kNm
+
+
N alanı
MCE= 19.67x 6 –5 x 4 – 18 x 3 +10 = 54 kNm
MEC= -5 x 4 +10 = -10 kNm
26.00
+
-
MEI= -5 x 4 +10 = -10 kNm
9.81
19.67
-
+
15.00
10
100
+
+
+ 10
46
5.00
4.47
24.33
+
1.67
20
54
+
10
20
V alanı
+
40
25
M alanı
1.96
19.67
5.00
3.16
26
http://mizan.ogu.edu.tr.
-
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
1.2. MESNETLER
Bir sistemin, mesnet reaksiyonları dahil bütün kesit tesirlerinin belirlenmesi için ΣFx=0, ΣFy=0 ve
ΣM=0 denge denklemleri belirlenebiliyor ise sistem izostatiktir. Đzostatik sistemlerde mesnet
şekilleri ve yükleme durumu etkin olduğu için burada kısa ve genel bir inceleme yapılmaktadır.
Tip Konum
Menet şekli
Reaksiyonlar
Kayıcı
Kenar
Ry
Rx=0
Ry≠0
R
Ry=R cosα
α
Rx=R sinα
α
Rx Ry
Rx≠0
Ry≠0
Orta
Eğik
α
α
Sabit
Kenar
Orta
Eğik
α
Ry
Ankastre
Rx
Tam
M
Ry
Rx
Kayıcı
Labil
Bilinmeyenler Moment Dönüş
M
M=0
ϕ≠0
M≠
≠0
ϕ=0
α
Ry=R cosα
Rx=R sinα
α
Rx≠0
Ry≠0
Rx≠0
Ry=0
Labil
Labil
27
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1.3. ĐZOSTATĐK SĐSTEMLERĐN ÇÖZÜM ÖRNEKLERĐ
ÖRNEK 4.10: Şekilde verilen çıkmalı kirişin V,N ve M diyagramlarının çizimi.
1000 N
B
A
2m
3m
6 N/m
3 N/m
400 N
6m
3m
3m
2m
6m
A ve B noktalarında ΣMA=0 ve ΣMB=0 yazılarak mesnet tepki kuvvetleeri bulunur.
ΣMA=0
-400x2-1000sin30x5+3x6x6+6+6x6x0.5x(3+6+3+2+6x2/3)-20By=0
By=-143.10 N
ΣMB=0
-400x22-1000sin30x25-3x6x14+6-6x6x0.5x(6/3)-20Ay=0
Ay=1079.10 N
500
866
A
2m
3m
6 N/m
3 N/m
400 N
6 Nm
B
3m
1079.1
6m
2m
3m
6m
143.1
900
500
Kesme
+
143.10
161.1
179.1
2762.7
3300
1742.1
1500
2O
1252.8
1258.8
930.6
Moment
Eksenel
-
866
3O
ÖRNEK 2.1. Kirişin kesme kuvvet, moment ve normal kuvvet alanın belirlenmesi.
4 kN
4 kN
C
6 kN
4m
4m
B
A
C
6 kN
4m
4m
MA
B
AX
10m
m
AY
28
10
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
VC= - 4 kN
NC = -6 kN
MC= 4 x 4 =16 kNm
VB= 6 kN
NC = - 4 kN
MB= 4 x 4 – 6 x 4 =-8 kNm
Ay= 4 kN
Ax= -6 kN
MA= -(8 + 4 x 10) = -48 kNm
4
-
6
-
C
+
V
-
6
8
M
8
6
+
+
-
B
4
16
C
- 4
N
A
B
A
+
48
C
GERBER KĐRĐŞLER
Gerber kiriş,
1. Hiperstatik sistemlerin mafsallarla izostatik hale getirilmiş
2. Basit, çıkmalı ve konsol kirişlerin mafsallarla birbirine bağlanmış
Durumlarının,
a. Taşıyıcı
b. Đzostatik
sistemlere denir. Gerber kirişler uygulamada çatı aşıklarında ve köprü kirişlerinde kullanılır.
Gerber kirişlerin oluşturulmasında kirişlerin labil olmamasına dikkat edilmelidir. Aşağıda bazı
gerber kiriş çözüm örnekleri bulunmaktadır.
Aşağıda örnek olarak verilen hiperstatik mütemadi kirişin izostatik olarak (gerber) çözümü için
mafsallarla değişik durumlarda yapmak mümkündür.
4 kN/m
2
4 kN/m
2
m
5m
G
6
5m
6
m
6m
3 kN/m
6 kN
6m
m
G
m
3 kN/m
6 kN
8
m
4 kN/m
8m
2m
5
3 kN/m
6 kN
G
m
6m
6
m
G
8m
ÖRNEK 2.3. Şekilde verilen mütemadi kirişi gerber kiriş haline getirerek kesme kuvvet ve
moment alanın belirlenmesi.
4 kN/m
2m
3 kN/m
6 kN
5m
6
m
6
m
8
m
Bu mütemadi kiriş iki şekilde gerber kiriş haline getirilebilir.
4 kN/m
1. Durum
2
m
5m
3 kN/m
6 kN
G
6m
6m
G
8m
Sistem bir taşınan ve 2 taşıyan izostatik sistem haline getirilmiştir. Taşınan sistem çözülerek
mesnet tepkileri taşıyan sistemlere yük olarak yüklenir.
29
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
6 kN
4 kN/m
2m
5
3m
m
3
6 kN
Taşınan
G
G
3m
3 kN/m
G
m G
3
m
8
4 kN/m
m
2m
5m
G1y=3
3m
G2y=3
m
3m
3
G
G
3 kN/m
3m
8
m
Taşıyanlar
ΣMA=0
5By –3 x 8 – 4 x 7 x 1.5 = 0
ΣMB=0
10.20
By= 13.20 kN
5Ay + 3 x 3 – 4 x 7 x 3.5 = 0
10.89
8
3
Ay= 17.80 kN
13.12
9.8
ΣMC=0
8Dy +3 x 3 – 3 x 8 x 4 =0
ΣMD=0
8Cy - 3 x 11 – 3 x 8 x 4=0
9.0
Dy= 10.88 kN
9.0
8.0
M
Cy= 16.12 kN
9.0
2
2
MAB =
V
9.8
± MA =
− 8 = 4.01 kNm
2q
2x4
MCD =
V2
13.122
± MC =
− 9 = 19.69 kNm
2q
2x3
4 kN/m
2. Durum
2m
6m
4 kN/m
2m
5m
MGG =
MDC =
V2
10.882
± MD =
− 0 = 19.73kNm
2q
2x3
3 kN/m
8m
6m
3 kN/m
6 kN
G1
6m
G2
8m
6m
4 kN/m
2m
3m
3 kN/m
G1y=3.33
4 kN/m
G1y=3.33
6 kN
6m
2m
Devam edecek
19.73
6x6
= 9.00kNm
4
6 kN
5m
V
3
G2y=6
3 kN/m
6m
4m
4m
ΣMA= 0
3 G1y –5 x 4 x 0.5 = 0
ΣMG= 0 3Ay - 5x4x2.5 =0
ΣMD= 0
4 G2y –3 x 4 x 2 = 0
ΣMC= 0
10 By +3 x 4 x 2 + 6 x 4 – 6 x 5 – 3.33 x 12 – 2 x 4 x 11 = 0
By= 11.00 kN
ΣMB= 0
10 Cy +3.33 x 2 +4 x 2 x 1– 6 x 14 – 6 x 5 – 3 x 4 x 12 = 0
Cy= 24.33 kN
G1y= 3.33 kN
G2y= 6.00 kN
Ay= 16.67 kN
Dy= 6.00 kN
11.33
8.00
6.00
6.33
0.33
V
8.67
18.00
48.00
14.66
16.31
8.00
M
1.40
MAG1 =
V2
8.672
± MA =
− 8 = 1.40 kNm
2q
2x4
6.00
MB = −(3.33 x 2 + 4 x 2 x1) = −14.66 kNm
30
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
MC = −(6 x 4 + 3 x 4 x 2) = −48.00kNm
2
MDG2 =
M6t = − (3.33 x 7 + 4 x 2 x 6) + 11x 5 = −16.51 kNm
2
V
6
± MD =
− 0 = 6.00 tm
2q
2x3
MG2D =
veya
V2
62
± MD =
− 0 = 6.00
2q
2x3
Bazı sistemlerin moment ve kesme kuvvet alanları
L
qL
3
qL
2
qL
2
2qL
5
3qL
8
qL
2
qL
6
qL
10
qL
2
2
qL
8
qL2
8
qL2
12
5qL
8
qL2
15
2
qL2
8
2o
=s
3
qL
12
o
=
3o
qL2
24
2qL
7qL
20
3qL
20
qL2
30
qL2
20
9qL2
128
9 3
2
2
ÖRNEK 1.8: Şekilde yükleme durumu, kesiti ve σemniyet=200 N/mm τem=50 N/mm olarak
verilen kirişin emniyetle taşıyabileceği q yükünün belirlenmesi.
q kN/m
70
20
40
2m
8m
30
∑ MA = 0
q x10 x 5 − 8B y = 0
B y = 6.25q
∑ MB = 0
q x10 x 3 − 8 A y = 0
A y = 3.75q
4.25q
Kesme kuvvet alanı
2q
3.75q
70
2q
20
Moment alanı
y′ = y / 2 = 36.154 / 2 = 18.077
y = 36.154
30
max Maç =
(3.75q)2
= 7.03q
2xq
y=
Kesitin atalet momentinin hesaplanması
70 x 20 x 50 + 30 x 40 x 20
= 36.154 cm
70 x 20 + 40 x 30
bh3
bh3
70 x 203
+ A d2 +
+ A d2 =
+ 70 x 20 x (50 − 36.154)2
12
12
12
30 x 403
+
+ 30 x 40 x (36.154 − 20)2 = 788205.13 cm4
12
M y 7.03 q(105 )
36.154 = 200.......................................q = 6.2kg / cm
=
=
I
788205.13
Ix = Ix1 + Ix2 =
σem
τem =
V Ay′ 4.25 q(103 ) x 36.154 x 30 x (36.154 / 2)
=
= 50.........q = 14.2kg / cm
Ib
788205.13 x 30
Kirişin emniyetle taşıyabileceği q= 6.20 kg/cm olarak alınır. q= 14.2 kg/cm olarak alınması durumunda normal gerilme
emniyetle taşınamaz.
31
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1.4. HĐPERSTATĐK SĐSTEMLER
Bir sistemin, mesnet reaksiyonları dahil bütün kesit tesirleri,
1. ΣFx=0
ΣFy=0
ΣM=0
denge denklemleri elde edilen sistemlere izostatik sistemler. Bu üç denge denklemleri ile
mesnet reaksiyonları ve kesit tesirleri bulınamayan sistemlere ise hiperstatik sistemler denir. Bu
üç temel denklem dışında yazılan ilave denklem sayısına sistemin hiperstatiklik derecesi
denir. Bir sistemin hiperstatiklik derecesi, verilen sistemi izostatik sistemlere ayırarak yazılan
denge denklemleri ile giderilir ve sistemin kesit tesirleri bulunur. Eğer bir sistemin hiperstatiklik
derecesi mesnet reaksiyonları kaldırılarak gideriliyor ise dıştan, bazı elemanlardaki kesit
tesirleri kaldırılarak gideriliyor ise içten ve her ikisi birlikte yapılarak gideriliyor ise hem içten
hem dıştan hiperstatik olarak aşağıdaki şekillerdeki gibi tanımlamak mümkündür. Yapı
sistemlerindeki hiperstatiklik derecesi çözüm yöntemine göre değişiklik göstermektedir. Bu
durum kuvvet ve açı metoduna göre aşağıda örnekler üzerinde açıklanmaktadır.
M1
M3
M3
M1+ M2+ M3
Dıştan
hiperstatik
M1
M1
M2
M1
M1+M3
Mbilinmiyor
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
b
Dıştan
hiperstatik
M=0
Vbilinmiyor
Mbilinmiyor
Nbilinmiyor
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
Đçten
hiperstatik
c
c
M=0
Vbilinmiyor
Nbilinmiyor
a: Sistemdeki mesnet tepkisi sayısı
b: Hiperstatik kısmın kesit tesiri sayısı
c: Hiperstatik kısmın izostatik hale gelince ki parça sayısı
h: hiperstatiklik derecesi
a
a
a=6 b=2 c=2
h=a +b -3c=6+2-3x2=2o hiperstatik
c
a
Dıştan
hiperstatik
b
c
c
olmak üzere,
a
a
a=8 b=3 c=3 (mafsal=mesnet)
h=a +b -3c=8+3-3x3=2o hiperstatik
h=a +b -3c
h>0 sistem hiperstatik
h=0 sistem izostatik h < 0 sistem labil
a=2 b=0 c=1
h=2+0-3x1=-1
sistem Labil (sadece
a=3
b=0
c=1
h=2+1-3x1=0
sistem izostatik
çubuk-menet eksenine
dik yük olması durumu
için taşıyıcıdır.)
a=7
b=5
c=3
h=7+5-3x3=3
sistem 3. dereceden
hiperstatik
a=4
b=2
c=2
h=4+2-3x2=0
sistem izostatik
Mesnet ve Çubuk
Mesnet ve uç kuvvetleri
32
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Verilen Sistem
Serbest cisim diyagramı
Serbest cisim diyagramı
Serbest cisim diyagramı
a=6 b=3 c=2
a=6 b=9 c=4
a=6 b=0 c=1
h=6+3-3x2=3
h=6+9-3x4=3
h=3+0-3x1=3 [Dıştan]
sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik
a=6 b=0 c=1
h=3+0-3x1=3 [Dıştan]
a=6 b=3 c=2
h=6+3-3x2=3
a=6 b=9 c=4
h=6+9-3x4=3
sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik sistem 3. dereceden hiperstatik
a=6 b=3 c=1
h=6+3-3x1=6
a=6 b=6 c=2
h=6+6-3x2=6
a=6 b=12 c=4
h=6+12-3x4=6
sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik
a=3 b=6 c=1
h=3+6-3x1=6
a=3 b=9 c=2
h=3+9-3x2=6
a=3 b=18 c=5
h=3+18-3x5=6
sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik sistem 6. dereceden hiperstatik
18. dereceden
11. dereceden Yatay yüklerde labil
22. dereceden
17. dereceden
Sistem 6.
dereceden
hiperstatik
a=4
b=6 c=2
h=4+6-3x2=4
sistem 4. dereceden
hiperstatik
15. dereceden hiperstatik
a=3 b=18 c=3
h=3+18-3x3=12
sistem 12. dereceden
M=çubuk sayısı
a=mesnet tepkisi sayısı
N=düğüm sayısı
C=mafsal sayısı
h=3M+a –(3N+C)=3x3+6-(3x4+1)=2o
hiperstatik
Dıştan
hiperstatik
M=çubuk sayısı
a=mesnet tepkisi sayısı
N=düğüm sayısı
C=mafsal sayısı
h=3M+a –(3N+C)=3x5+6-(3x6+2)=1o
hiperstatik
33
a=6 b=4 c=3
h=6+4-3x3=1o
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Hiperstatik sistemlerin çözüm metodlarına göre hiperstatiklik derecelerin belirlenmesi;
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sistemdeki iki ucu mafsallı çubuk sayısı S1
Sistemdeki bir ucu mafsallı bir ucu rijit çubuk sayısı S2
Sistemdeki iki ucu rijit çubuk sayısı S3
Sistemdeki mesnet tepkisi sayısı a
Sistemdeki mafsallı düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d1
Sistemdeki rijit düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d2
olmak üzere aşağıdaki şekilde bulmak mümkündür.
Kuvvet metoduna göre,
n = S1 + 2 S2 + 3 S3 + a – ( 2 d1 + 3 d2)
Şekil değiştirme büyüklükleri yöntemine göre,
m = 2 d 1 + 3 d2 - a
Şekil değiştirme büyüklükleri yönteminin özel durumu olan AÇI yönteminde bilinmeyenler
açılardır. Eksenel kuvvet şekil değiştirmeleri ihmal edildiğinden hiperstatiklik derecesi olan m
değeri oldukca küçülür.
ÖRNEK 1.9: Şekilde verilen çerçevenin hiperstatiklik derecesini,
a) Kuvvet yöntemine göre
b) Şekil değiştirme büyüklükleri yöntemine göre belirleyiniz.
16
12
7
8
14
11
4
9
5
10
6
13
1
2
3
A
B
C
1. Sistemdeki iki ucu mafsallı çubuk sayısı S1=1 (11)
2. Sistemdeki bir ucu mafsallı bir ucu rijit çubuk sayısı S2=6 (3,13,14,8,10,4)
3. Sistemdeki iki ucu rijit çubuk sayısı S3=8 (1,7,12,16,9,6,5,2)
4. Sistemdeki mesnet tepkisi sayısı a=8
5. Sistemdeki mafsallı düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d1=1
6. Sistemdeki rijit düğüm noktası sayısı (mesnetler dahil) d2=11
a. Kuvvet metoduna göre,
n = S1 + 2 S2 + 3 S3 + a – ( 2 d1 + 3 d2)
n = 1 + 2 x 6 + 3 x 8 + 8 – ( 2 x 1 + 3 x 11)= 10
b. Şekil değiştirme büyüklükleri yöntemine göre,
m = 2 d1 + 3 d2 – a
m = 2 x 1 + 3 x 11 – 8 = 27
Yapılar yatay yüklere maruz kaldığı zaman yapının kirişleri döşemelerle birlikte diğer yapı
elemanı kolonlara göre oldukça rijit kalmaktadır.
Ikiriş =∞
Ikiriş = normal
Ikiriş =∞
Normal Çerçeve
Kesme Çerçeve
34
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bundan dolayı kirişlerin rijitliğini kolon rijitliğinden çok büyük olduklarından sonsuz kabul ederek
(kirişlerin deformasyon yapmadığını kabul ederek) kolonların kirişlere ankastre bağlı olarak
(ϕ=0) alınmaktadır. Kabul edilen bu çerçevelere kesme çerçeveleri denir. Kesme çerçevelerinde
kolon rijitlikleri birim yüklemeler yapılarak bulunur. Çerçevelerin kesme çerçevesi olarak kabul
edilmesiyle bilinmeyen sayısı yatay deplasman sayısına inmektedir. Çünkü kolonlar kirişlere
ankastre bağlı olduğu kabul edildiği için buralardaki dönüş açıları sıfır (ϕ=0) olmaktadır. Yapılar
yatay yüklere maruz kaldığında yapının kirişleri döşemelerle birlikte diğer yapı elemanı
kolonlara göre oldukça rijit kalmaktadır.
Ι tüm kirişler=∞
ϕ5
δ5
Ikiriş =∞
ϕ4
δ4
Ikiriş = normal
ϕ3
ϕ2
δ3
δ2
Ikiriş =∞
Normal Çerçeve
ϕ1
δ1
Kesme çerçevesi 5
bilinmeyen
[5 δ [veya katsayısı kadar]]
Kesme Çerçeve
I5
δ5
I4
δ4
I3
I2
δ3
δ2
I1
δ1
ϕ10
ϕ9
ϕ8
ϕ7
ϕ6
Klasik çerçeve 15
bilinmeyen
[5 δ, 10 ϕ]
Şekil 5.5.. Kesme ve klasik çerçevenin karşılaştırılması
Çerçeve sistemlerin şekil değiştirmesinde kiriş rijitliklerinin etkisi aşağıdaki gibidir.
F
EI=∞
∞
F
F
EI=0
EI
Şekil 5.7. Kiriş rijitliğin çerçeve davranışına etkisi
1.5. HĐPERSTATĐK SĐSTEMLERĐN ÇÖZÜMÜNDE YAPILAN KABULLER
1. BERNOULLĐ (1705) hipotezi (h << L ) geçerlidir. L ≤ h ise geçersizdir. Eğilmeden önce
düzlem olan kesitler eğilmeden de sonra düzlem kalırlar prensibi geçerlidir.
Kiriş dilimi
.
.
t’
M
t
M
(L/h)>> hassasiyet azalır.
Đlk durum Yüksek kirişlerde geçerli
h
olmayabilir.
L
L
Bernoulli
dx
ds≡dx alınır ve 1. mertebe
etkisi geçerli olur.
(Düzlem kalması)
Eğilmiş hal
Navier
ds>dx
(Dik kalması)
Şekil
değiştirmemiş
ilk hal
Şekil
değiştirmiş hal
35
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
2. Bazı elastik cisimlerin belirli yük sınırları altında gerilme-şekil değiştirme bağıntıları lineer
olarak değiştiğini belirten HOOKE kanunları geçerlidir ( Robert Hooke, 1660).
ε1 =
Normal gerilme hali
σ
σ1
E
Kayma gerilmesi
τ
τ1 = G γ 1
τ1
σ1
tan α = G
tan α = E
ε1
ε
γ1
γ
3. Elemanların boyca uzama-kısalma durumlarının hesaba katılmadığı birinci mertebe teorisi
geçerlidir. Yani şekil değiştirmeler elamanın boyutları yanında oldukça küçükse denge
denklemlerinde şekil değiştirmemiş boyutlar kullanılır. Đkinci mertebe teorisi
kullanılmamaktadır.
q
5  ql 4 
δ=


384  EI 
Deplasman δ
Elastik eğri L’
L
Bu elemanda yazılacak denge denklemlerin kiriş açıklığı şekil değiştirmeden sonraki L’
olmasına karşın L açıklığı kullanılmasıdır.
4. Yukarıda verilen 2. ve 3. maddelerin geçerli olması halinde süperpozisyon kuralları
geçerlidir. Eğer bir sistemin bir noktasındaki kesit tesirleri ve şekil değiştirmeler sistem
üzerindeki yüklerin her biri için bulunan değerlerin işaretleri ile toplamına eşittir. Aşağıdaki
örnekte kirişin orta noktasındaki deplasman için yapılan süperpozisyon görülmektedir.
5. Hook kanunun geçerli olmasından dolayı elemanlar lineer elastik olduğu için sistemdeki
şekil değiştirme üzerindeki yüke bağlıdır. Yani kuvvetler ve şekil değiştirmeler orantılıdır. Bu
2
durum aşağıdaki örnekte açıklanmaktadır. [Örnek q= 2 t/m L=10 m EI= 10080 tm ]
36
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
q
4q
Deplasman δ
Elastik eğri L’
Deplasman δ
Elastik eğri L’
L
L
5  ql 
5  2 x 10


=
384  EI  384  10080
4
4
δ=

 = 0.0258 m

4 x 5  ql 
5  ql 4 

=

 = 0.1032
384  EI  96  EI 
4
δ=
1.6. ELASTĐK ŞEKĐL DEĞĐŞTĐRMELER
Sistemler kendi ağırlıklarından, üzerine uygulanan yüklerden ve servis süresince
karşılaşabilecekleri yüklemelerden (ısı, rüzgar ve deprem gibi) dolayı şekil değiştirirler. Bu şekil
değiştirmeler;
1. Sınır koşulları: mesnetlerde deplasmanın sıfır olması, ankastre mesnet dönmezken
sabit ve kayıcı mesnetlerde dönmenin olması
2. Uygunluk koşulları: aşağıdaki simetrik sistemin kendi ağırlığından dolayı açıklıklarda
teğet eğimlerinin sıfır olması, mesnetin sağı ve solundaki teğet eğimlerinin eşit ve ters
işaretli olması, uygulanan her bir kuvvetin şekil değiştirmiş durumda etki etmesi,
P
Olarak hesaplarda dikkate alınır.
L
L
L
L
Tekil yükten şekil değiştirme
Kendi ağırlığından şekil değiştirme
Sistemlerde şekil değiştirmeler en genel haliyle Eksenel kuvvetten, momentten ve kesme
kuvvetinden dolayı veya bunların karışımından oluşur. Đncelenen sistemlerde şekil
değiştirmelerin bilinmesi,
1. Hiperstatik sistemlerin çözümünde gerekli olan ilave denklemlerin elde edilmesinde
2. Rijitlik oranının belirlenmesinde
3. 2. mertebe ektilerin kontrolünde
Hesap hassasiyetini ve çözümü kolaylaştırmaktadır. Aşağıda şekil değiştirmeler herbir durum
için ayrı ayrı hesaplanmaktadır.
1. Eksenel kuvvetten dolayı oluşan şekil değiştirmeler EA= Eksenel Rijitlik
Yüksüz
Yüksüz
N
Yük uygulanmış
dL
dL
N
EA
dL
Yüklü
dL
∆dLuzama
∆dL
N
N
∆dl
σ
∆dl = ε . dl = dl =
dl
dl
E
EA
ÖRNEK 1.10: Verilen çubuktaki birim uzamayı ve gerilmeyi hesaplayınız. (E=3.105 kg/cm2, N=200 t )
ε=
Yüksüz
ε=
ε=
∆dl
dl
∆dl = ε .dl =
σ
N
dl =
dl
E
EA
Yüklü
5
∆dl =
2.10
500 = 1.667 cm
3.105.(20x10)
∆dl 1.667
N
=
= 0.00333 σ = = ε .E = 0.00333 x 300.000 = 1000kg / cm2
A
dl
500
20 cm
EA
dL=500 cm
dL
10 cm
kesit
∆dL=???
N=200 t
37
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK 1.11: Kendi ağırlığından dolayı uç noktasındaki deplasman δC=? (ρρ: özgül ağırlık A: alan )
ρAL
Normal
kuvvet
diyagramı
EA
L
+
Nx =Wx = ρ A x
ρAx
x
C
Wx
Küçük x boyundaki uzama, x boyundaki normal kuvvet alanının eksenel rijitliğe bölünmesi sonucu,
dδ =
N
ρ Ax x
NL
= x dx =
dx
EA EA x
EA x
L
δC = ∫ dδ =
0
L
L
 ρ x2 
ρ Ax x
ρx
ρ L2
dx
=
dx
=
=
∫
∫


0 EA x
0 E
 2E  0 2E
L
olarak bulunur. Kısaca çubuğun ucundaki deplasman eksenel kuvvet alanın EA’ya bölümüdür.
Şekil
koni
olduğu
zaman oluşan uç noktasındaki deplasman ise aşağıdaki şekilde
hesaplanır.
y
ρAL =
ρ π ro2L
3
ro
L
Nx
rx
x
x
δc
Wx
Koninin kesit yarıçapı ile boyu arasındaki bezerlik yazılır.
r x ro
=
x
L
rx =
x ro
L
[rx: kesilen x boyundaki parçacığı kesitin yarıçapı]
π x rx2
π x 3 ro2
=
3
3L2
3 2
ρ π x ro
Kesilen x boyundaki parçacığın kütlesi
W=
3L2
π ro2 x 2
Kesilen x boyundaki parçacığın kesit alanı A = π rx2 =
L2
Kesilen x boyundaki parçacığın hacmi
V=
Çubuk boyunca ağırlığından dolayı oluşan deplasman ise aşağıdaki şekilde hesaplanır.
ρ π ro2 3
x
2
W
ρ L
ρ L2
δ=∫
dx = ∫ 3L 2
dx =
xdx =
∫
3E 0
6E
πr
0 EA
0
E 2o x 2
L
L
L
38
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK 1.12: Kademeli düşey çubuğun kendi ağırlığından dolayı uç noktasındaki δC=? (ρρ: özgül
ağırlık olup bütün çubuklarda eşittir.)
10MA
10EA
M
8EA
8ĐA
Đ
6EA
δ1 =
6ZA
Z
 NA N2 

δ 2 = ρ
+
 2E 2E 


4AA
4EA A
PN NN2 A ρ N 2 ρ
=
=
EA
22EA
2E
Eksenel kuvvet diyagramı
2NA
 NZ 2 AZ Z 2 

δ 3 = ρ
+
+
 3E
3E
2E 

2EA N
C
 NĐ AĐ 3ZĐ Đ 2 

δ 4 = ρ
+
+
+
 4E 2E 4E 2E 


TOPLAM UÇ NOKTASI DEPLASMANI
, M=Đ=Z=A=N=L
 NM 2MA 3MZ 4MĐ M2 
δ5 = ρ 
+
+
+
+

5E
5E
5E 2E 
 5E
δ C = δ1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 + δ 5 =
29 L2ρ
olarak bulunur.
4E
ÖRNEK 1.13: Kademeli düşey çubuğun uç noktasındaki δC=?. (E=2.103 kg/ cm2 ve kendi ağırlığı ihmal )
Œ
δ1 =
0.5m
PL (15 + 15 − 7 − 15 + 45)103 x 50
=
= 0.1325 cm
EA
100 x 2.105
100cm2

80 cm2 Ž
50 cm2
δ2 =
m
0.4
15kN
15kN
0.4m
δ3 =
7kN Ž
20 cm2
PL (15 − 7 − 15 + 45)103 x 40
=
= 0.095 cm
EA
80 x 2.105
PL ( −7 − 15 + 45)103 x 40
=
= 0.092 cm
EA
50 x 2.105
15kN
0.3m

10 cm2 
δ4 =
0.3m
PL ( −15 + 45)103 x 30
=
= 0.225 cm
EA
20 x 2.105
45kN
δ5 =
PL (45)103 x 30
=
= 0.675 cm
EA
20 x 2.105
δ C = δ 1 + δ 2 + δ 3 + δ 4 + δ 5 = 0.1325 + 0.095 + 0.092 + 0.225 + 0.675 = 1.22 cm
2. Eğilme momentinden dolayı oluşan şekil değiştirme
ρ
ρ
dϕ
dϕ
1 ve 2 noktalarından
çizilen dikler (normaller)
t
x
1
t.e
2
M
Kiriş
dilimi
M
u
y
dϕ
dl
ϕ2
dϕ12
ϕ1
∆dl
39
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
1 dϕ
=
ρ dl
dl
ρ
dϕ =
Bölüm1
ε=
M = ∫ [(σ dA)kuvvet u]moment = ∫ E
∆dl u dϕ u
=
=
dl
dl
ρ
u
E
EI EI dϕ
u dA = [ ∫ u2 dA ]Atalet Momenti = =
ise
ρ
ρ
ρ
dl
dϕ =
M
dl
EI
ϕt= eksen dönüş açısı, bu açı çok küçük olduğundan radyan değeri eğimine eşit alınabilir.
’
ϕt ≅ y
dϕ M
=
dl EI
EI
dϕ
=M
dl
y'' =
d2 y dϕ
M
=
=−
dl
dl
EI
[elastik eğrinin diferansiyel denklemi]
x
Dönüş yönü
d2 y
M
d2M
=−
=−q
EI
dx 2
dx 2
y : deplasman (elastik eğri)
α=400
M
α=00
α=200
yııı = − V / EI Kesme
y
y’ azalan
y ıv = q / EI yük (kesmenin türevi – yüke eşit olduğu için – işareti + olur)
M
α=400
yı :dönüş açısı y ıı = −M / EI :moment
y”< 0
+
Uygulama: Tabloda verilen konsol kirişlerin uç deplasman ve dönüş açılarının hesabı
Yayılı yük
Konsol kiriş
Üçgen yayılı yük
q
q
A
c
x
c
x
L
L
Mx =
Moment
M. D.
denklemi
yıı = −
M
qx 2
=−
EI
2EI
yı = −
qx 3
+ C1
6EI
qx 2
2
Mx =
[x = L yı = 0 ⇒ C1 =
qL3
6EI
yıı = −
M
qx 3
=−
EI
6LEI
y' = −
M
qx 4
=−
+ C1
EI
24LEI
qx 3
6L
x = L ' de y ' = 0 ⇒ C1 =
qL3
24EI
Dönüş
y' = −
qx 3 qL3
+
6EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x
+
+ C2
24EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x qL4
+
−
24EI 6EI 8EI
y' = −
[x = L y = 0 ⇒ C2 = −
qL4
8EI
qx 4
qL3
+
24LEI 24EI
y=−
qx 5
qL3 x
+
+ C2
120LEI 24EI
y=−
qx 5
qL3 x qL4
+
−
120LEI 24EI 30EI
x = L y = 0 C2 = −
E. Eğri
ϕc
L
x=0
q
q
A
x =0
ϕc =
3
qL
6EI
+
+
ϕc
c
δc
c
δc
x
x
L
x =0
δc = −
4
x =0
qL
8EI
ϕc =
40
3
qL
24EI
x =0
δc = −
qL4
30EI
http://mizan.ogu.edu.tr.
qL4
30EI
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Uygulama: Tabloda verilen konsol kirişlerin uç deplasman ve dönüş açılarının hesabı
Tekil yük
Konsol kiriş
Moment
P
A
A
c
x
L
Moment
M. D.
denklemi
c
x
M*
L
Mx = Px
yıı = −
M
Px
=−
EI
EI
y' = −
M
Px 2
=−
+ C1
EI
2EI
Mx = M *
M
M*
=−
EI
EI
M
M* x
+ C1
y' = − = −
EI
EI
yıı = −
x = L 'de y ' = 0 ⇒ C1 =
PL2
2EI
x = L 'de y ' = 0 ⇒ C1 =
M*L
EI
Dönüş
y' = −
y=−
Px 3 PL2 x
+
+ C2
6EI
2EI
y=−
Px 3 PL2 x PL3
+
−
6EI
2EI 3EI
Px 2 PL2
+
2EI 2EI
y' = −
x = L y = 0 C2 = −
PL3
3EI
M* x M*L
+
EI
EI
y=−
M * x 2 M * Lx
+
+ C2
2EI
EI
y=−
M * x 2 M * Lx M * L2
+
−
2EI
EI
2EI
x = L y = 0 C2 = −
M * L2
2EI
E. Eğri
P
A
ϕc
A
ϕc
c
δc
x
L
PL3
2EI
x =0
ϕc =
δc
x
L
x=0
M*
c
x =0
δc = −
PL3
3EI
x =0
ϕc =
x =0
M*L
EI
δc = −
M * L2
2EI
Uygulama: Tabloda verilen konsol kirişlerin uç deplasman ve dönüş açılarının hesabı
Yayılı yük
Konsol kiriş
Üçgen yayılı yük
q
c
x
L
Bazı sistemlerin momentleri uzun olmasından dolayı süperpozisyon yöntemini kullanmak daha kısa yoldan
çözüme ulaştırabilir. (3. bölümde Mohr yöntemi ile hesaplandı)
q
A
q
x
L
L
Mx =
Moment
M. D.
denklemi
yıı = −
yı = −
qx 3
+ C1
6EI
c
x
c
qx 2
2
Mx = −
M
qx 2
=−
EI
2EI
[x = L yı = 0 ⇒ C1 =
yıı = −
qL3
6EI
y' = −
M
qx 4
=
+ C1
EI 24LEI
qx 3
6L
M qx 3
=
EI 6LEI
x = L 'de y ' = 0 ⇒ C1 = −
qL3
24EI
Dönüş
y' = −
qx 3 qL3
+
6EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x
+
+ C2
24EI 6EI
y=−
qx 4 qL3 x qL4
+
−
24EI 6EI 8EI
y' =
[x = L y = 0 ⇒ C2 = −
qL4
8EI
qx 4
qL3
−
24LEI 24EI
y=
qx 5
qL3 x
−
+ C2
120LEI 24EI
y=
qx 5
qL3 x qL4
−
+
120LEI 24EI 30EI
x = L y = 0 C2 =
E. Eğri
41
http://mizan.ogu.edu.tr.
qL4
30EI
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ϕc
x =0
ϕc =
x=0
qL4
6EI
δc = −
x =0
δc
q
c
x
L
x =0
Toplam dönüş ϕc =
Toplam
c
x
L
δc
ϕc
q
A
qL4
8EI
x =0
ϕc = −
qL3
qL3
qL3
−
=
6EI 24EI 8EI
qL3
24EI
x =0
δc =
x =0
Toplam deplasman δc = −
qL4
30EI
qL4
qL4
11qL4
+
=−
8EI 30EI
120EI
2. Kesme kuvvetinden dolayı oluşan şekil değiştirme
Kesme kuvvetini maruz bir kirişte aralarında dx kadar mesafe bulunan iki nokta kesme kuvveti
doğrultusunda birbirine göre dy kadar bir yer değiştirme yaparlar. Bu aşağıda açıklanmaktadır.
τ
V
x
τ1
y
γ
dy
Kesme kuvvet diyagramı
tan α = G
V
dx
γ1
γ
γ << 1 olmasından dolayı tanγγ ≅ γ alınabilir. (χ
χ: kesitin geometrisine bağlı katsayı olup aşağıdaki
tabloda bazı kesitler için verilmiştir.)
DĐKDÖRTGEN
DAĐRE
HALKA
I PROFĐLĐ
1.20
1.185
2.00
2.52 (NP 8)
KESĐT
χ
γ=
 1  V  χ V
dy
τ
= =    =
dx G  G  A  GA
dy =
χV
dx
GA
42
http://mizan.ogu.edu.tr.
γ
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK 1.14: Şekilde yükleme durumu ve özellikleri verilen (EI= sabit) kirişin;
q
a) A ve B mesnetlerindeki dönüş açılarının
b) Kirişin ortasındaki deplasmanın
c) Elastik eğri denkleminin bulunması.
L
q
q
M=
A=
qL
2
Elastik eğri L’
B=
Deplasman δ
qL
2
A=
x
qL
2
L
Elastik eğrinin diferansiyel denklemi;
d2 y
=−
dx 2
Bu denklemin 1 defa integrali alınırsa,
y′ =
d2 y
M
EI
qLx qx 2
−
2
2
dx 2
= y′′ =
1  qx 2 qLx 
−

 ............1
EI  2
2 
1  qx 3 qLx 2 
−

 + C1 ......................................2
EI  6
4 
olur. Buradaki C1 sabiti x değişkeni yerine eğimin sıfır olduğu x=L/2 sınır şartı yazılarak
aşağıdaki şekilde bulunur.
x=
L
1  qL3 
ise C1 =


2
EI  24 
C1 sabiti y’ denkleminde yerine yazılır ise;
y′ =
1  qx 3 qLx 2 qL3 
−
+

 ..........
EI  6
4
24 
...........3
Bu denklemde x değişkeni istenilen noktanın değeri verilerek o noktanın eğimi bulunur. Örneğin
A mesnedindeki eğimini bulmak için x=0 verilirse,
x = 0 ise θA = θB =
1  qL3 

 olarak bulunur. ( a nin cevabı)
EI  24 
3 denkleminin 1 defa daha integrali alınarak ise,
y=
1  qx 4 qLx 3 qL3 x 
−
+

 + C2 ........................................................................................4
EI  24
12
24 
Buradaki C2 sabiti ise deplasmanın sıfır olduğu x= 0 veya x=L sınır şartları verilerek bulunarak
( x = 0 veya x = L ise C2 = 0 ) yerine yazılır ise elastik eğri denklemi bulunur.
a) Elastik eğri denklemi;
y=
yı :dönüş açısı y ıı = −M / EI :moment
1  qx 4 qLx 3 qL3 x 
−
+

 .......................................5
EI  24
12
24 
yııı = −V / EI Kesme
qx 4 qLx3 qL3 x I 1 qx3 qLx2 qLx2 
y= 1 
−
+
y= 
−
+
EI  24 12
24 
EI  6
4
8 
y ıv = q / EI yük
qx2 qLx qLx 
yII = 1 
−
+
EI  2
2
4 
ĐSE
qL qL
yIII = 1 qx − + 
EI 
2 4
yIV = 1 [q ]
EI
b) Kirişin orta noktasındaki deplasman;
x=
L
2
ise
f=
1  q(L / 2)4 qL(L / 2)3 qL3 (L / 2) 
5  qL4 
−
+
=




EI  24
12
24
 384  EI 
43
olarak bulunur.
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Uygulama: şekilde verilen kirişin elastik eğri denkleminin elde edilmesi (EI= sabit).
q
q
L
x
Çözüm: Sistemin hiperstatik olmasından dolayı x mesafesindeki moment
yazılamadığından bilinen en kesin sınır şartı yük ifadesi kullanılarak çözüm yapılmıştır.
d4 y
EI 4 = − q
dx
EI
Elastik eğrinin diferansiyel denklemi; EI
EI
ifadesi
d3 y
= − qx + C1
dx 3
d2 y
qx 2
=−
+ C1x + C2
2
2
dx
dy
qx 3 C1x 2
=−
+
+ C2 x + C3
dx
6
2
1
qx 4 C1x 3 C2 x 2
+
+
+ C3 x + C4
2
24
6
2
dy
qx 3 C1x 2
Ankastre mesnette x = 0' da Dönüş = 0 olduğundan EI = −
+
+ C2 x + C3
dx
6
2
EIy = −
C3 = 0
qx 4 C1x 3 C2 x 2
+
+
+ C3 x + C 4
24
6
2

dy
qx 3 C1x 2
3
Dönüş
EI
=
y
'
=
−
+
+ C2 x

dx
6
2

1 ve 2 denklemlerinde C3 = 0 C4 = 0 yazılırsa, 

3
2
4
Deplasman EI y = − qx + C1x + C2 x
4
24
6
2

Ankastre mesnette x = 0' da Deplasman = 0 olduğundan EIy = −

dy
qL3 C1L2
= EIy ' = −
+
+ C2L = 0 
dx
6
2

qL
 C1 =
2

qL4 C1L3 C2L2

+
+
=0
x = L 'da Deplasman = 0 olduğundan EIy = −
24
6
2

x = L 'da Dönüş = 0 olduğundan EI
C1 =
x=
qL
2
C2 = −
qL2
12
4 nolu denklemde yazılırsa
L
qx 4 qLx 3 qL2 x 2
⇒ EIy = −
+
−
2
24
12
24
x = L EIy ' = −
qx 3 qLx 2 qL2 x
+
−
6
4
12
y=
Elastik eğri EIy = −
C2 = −
qL2
12
qx 4 qLx 3 qL2 x 2 
+
−

24
12
24 
qL4
384EI
y' = 0
x=
44
L
qx 3 qLx 2 qL2 x
⇒ EIy ' = −
+
−
2
6
4
12
http://mizan.ogu.edu.tr.
y' = 0
C4 = 0
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Örnek: Şekilde verilen kirişin elastik eğri denkleminin bulunması.
6 kN
4 kN
6 kN
4 kN
2 kN/m
3 kN/m
2 kN/m
3 kN/m
A
C
B
m
m
2
2
A y = 16.33
D
m
2
2 kN/m
3 kN/m
Çözüm: Verilen sistemin mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
x mesafesindeki moment ifadesi;
y'' =
D y = 19.67
6 kN
4 kN
A y = 16.33
D y = 19.67
2
d2y
2⋅(x − 2)2
=− M =16.33x − 3x − 4 ⋅(x − 2) −
− 6 ⋅(x − 4)
2
EI
2
2
dx
x
2
3 4 ⋅(x − 2)2 2 ⋅(x − 2)3 6 ⋅(x − 4)2
y' = 16.33x − 3x −
−
−
+ C1
2
6
2
6
2
3
4 4 ⋅(x − 2)3 2 ⋅(x − 2)4 6 ⋅(x − 4)3
−
−
+ C1x + C2
y = 16.33x − 3x −
6
24
6
24
6
x=0 ise C2=0 olur. (Not: yukarıdaki y ifadesinde x başlangıcında tekil yüklerin ve 2 kN/m yayılı
yükün etkisi olmadığı için terimlerini dikkate almıyoruz)
4
y = 16.33x3 − 3x −
6
24
4 ⋅(x − 2)3 2 ⋅(x − 2)4 6 ⋅(x − 4)3
−
−
+ C1x + C2
6
24
6
Yukarıdaki ifadeden x=L ise y=0’dan C1=-58.98 olarak bulunur.
ifadesinde C1=-58.98 ve x=6 m alındığında C2=0 olduğu görülür.
Yukarıdaki y elastik eğri
2
3 4 ⋅(x − 2)2 2 ⋅(x − 2)3 6 ⋅(x − 4)2
y' = 16.33x − 3x −
−
−
− 58.98
2
6
2
6
2
Dönüş denklemi
Elastik eğri denklemi
4
y = 16.33x3 − 3x −
6
24
4 ⋅(x − 2)3 2⋅(x − 2)4 6 ⋅(x − 4)3
−
−
− 58.98x
6
24
6
Maksimum deplasmanın yeri bulunmak istenirse muhtemelen 2 ile 4 m arasında bir noktadadır.
ÖRNEK 1.15: Şekilde yükleme durumu ve özellikleri verilen (EI= sabit) kirişin;
q
L
a) Elastik eğri denklemini [y=?]
b) Kirişin ortasındaki deplasmanı [x=L/2 δ=?]
c) A ve B mesnetlerindeki dönmeyi bulunuz. [ϕ
ϕA =? ϕB =?]
q
M=
qLx qx 3
−
6
6L
x
qL
A=
6
Deplasman δ
B=
qL
A=
6
qL
3
q(x ) =
qx
L
Elastik eğri L’
L
45
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
d2 y
Elastik eğrinin diferansiyel denklemi;
dx 2
=−
M
EI
d2 y
dx 2
= y′′ =
1  qx 3 qLx 
−


EI  6L
6 
Bu denklemin 1 defa integrali alınırsa,
y′ =
1  qx 4 qLx 2 
−

 + C1
EI  24L
12 
y=
1  qx 5
qLx 3 
−

 + C 1x + C 2
EI  120L
36 
buradan x=0 dan C2=0 ve x=L den C1 bulunur.
x=L
0=
1  qL4 qL4 
−

 + C1L
EI  120
36 
C1 =
7qL3
360EI
1  qx 4 qLx 2 7qL3 
−
+


EI  24L
12
360 
Bu denklemde x değişkenine değer verilerek istenilen noktanın eğimi bulunur.
olur. Buna göre dönüş açısı denklemi aşağıdaki şekli alır. y ′ =
Örneğin A mesnedindeki eğimini bulmak için x=0 verilirse,
x = 0 ise θA =
1  7qL3 


EI  360 
θB =
1  8qL3 

 olarak bulunur. ( c nin cevabı)
EI  360 
q
qL
6
qL
3
L
Denkleminin 1 defa daha integrali ise,
ϕA
y=
ϕB
1  qx 5
qLx 3 7qL3 x 
−
+

 + C2
EI  120L
36
360 
Buradaki C2 sabiti ise deplasmanın sıfır olduğu x=0 veya x=L sınır şartları verilerek bulunur ve
( x = 0 veya x = L ise C 2 = 0 ) yerine yazılır ise elastik eğri denklemi aşağıdaki gibi bulunur.
a)
y=
1  qx 5
qLx 3 7qL3 x 
−
+


EI 120L
36
360 
b) Kirişin orta δorta=?
x=
L
1  q(L / 2)5 qL(L / 2)3 7qL3 (L / 2) 
7  ql4 
ise δORTA =
−
+

=
 
2
EI  120L
36
360
 3840  EI 
olarak bulunur. Bu elastik eğri denkleminde istenilen noktadaki deplasmanı bulmak için x
değişkenine o noktanın değeri verilerek bulunur.
46
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK 1.15.1: Şekilde yükleme durumu ve özellikleri verilen (EI= sabit) kirişin; q
qL4 
 x
 x
7 − 30 1 −  + 15 1 − 
360EI 
l
l


2
y′ =
4
L



Elastik eğri denkleminin [y=?]
olduğunu gösteriniz.
qL4   x 
 x
 x 
7 1 −  − 10 1 −  + 3 1 −  
360EI  
l
l
l  


3
y=
5
ÖRNEK 1.16: Şekilde verilen (EI= sabit) kirişin Elastik eğri denkleminin elde edilmesi
P
a
L
Kiriş 2 bölgeye ayrılır. I. Bölge A-B. Bu bölgede,
Elastik eğri
Deplasman
A=−
Pa
L
B =P+
Pa
L
dx
2
A=−
Pa
L
dx
I. Bölge
M = P(x1 − a)
Pax
L
x
A=−
d2 y
I. Bölgede elastik eğrinin diferansiyel denklemi;
d2 y
M= −
P
P
2
=−
x
Pa
L
B =P+
Pa
L
M
EI
II. Bölge
= y ′′ =
d2 y
1  Pax 
.
EI  L 
dx
2
= y ′′ =
1
[P(a − x1)] ..................1
EI
Bu denklemin 1 defa integrali alınırsa,
y′ =
1  Pax 2 

 + C1 ..
EI  2L 


y=
1  Pax 3 

 + C1x + C 2
EI  6L 


y′ =
y=

Px 2 
1 
Pax 1 − 1 ) + CI −1 ................2

EI
2 


2
3 

1  Pax1 Px1 
−
) + CI−1x1 + CII−1 .......3
EI  2
6 


olur. Buradan C1, C1-1, CII-1 ve CII-1 sabitlerin belirlenmesi ise,
3. denklemden (x=0 ve x1=0 da deplasmanın sıfır olduğu yazılarak)
C2=0
y=
ve CII-1=0
1  Pax 3 
PaL

 + C1x + C 2 denkleminde x=L de deplasmanın sıfır sınır şartından C1 = −
EI  6L 
6


olur.
CI-1 ise, B mesnedinin solundaki teğetin eğimi, B mesnedinin sağındaki teğetin eğimine eşit olması şartından,
y′ =
1  Pax 2 

 + C1
EI  2L 


y′ =

Px 2 
1 
Pax 1 − 1 ) + CI −1
EI 
2 


47
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
1  Pax 2 
1
Px12 

 + C1 = Pax1 −
 + CI−1
EI  2L 
EI 
2 
x = L de
x1 = 0
C1 değeri ve sınır şartları yerini yazılır ve iki denklem eşitlenir ise CI-1 bulunur.
1  2 PaL 
EI  3 
CI−1 =
Sabitler yerine yazılarak I. ve II. bölge için elastik eğri denklemleri,
I. Bölge
II. Bölge
Dönüş açısı y′ =
1  Pax 2 
PaL

+−
EI  2L 
6
y′ =
Px12  1  2PaL 
1
) +
Pax1 −
EI 
2  EI  3 
y=
1  Pax 3  PaLx

−
EI  6L 
6
y=
1  Pax12 Px13   2PaLx1 
−
) +


EI  2
6  
3

Deplasman
ÖRNEK 1.17: Şekildeki (EI= sabit) kirişin Elastik eğri denkleminin belirlenmesi.
ΣMB=0
q
B
B y = qL −
A
qL2
2b
Ay =
qL2
2b
Ay =
q x L x L x 0.5 – bAy =0
qL2
2b
B y = qL −
q
q
A
B
b
qL2
2b
A
B
a
Elastik eğri
Deplasman
L
Sistemin şekil değiştirmiş hali
Kirişi 2 bölgeye ayırırız. I. Bölge A-C. Bu bölgede, ( 0 < x < a )
M=−
q x 2 d2 y
1  q x2 
1  q x3 
1  q x4 
'
′′
=
=
−
=
−
+
=
y
−
−
−
−
−
y
C
y




−
 + C1x + C2
C
−
A
1
C
−
A
2 dx 2
EI  2 
EI  6 
EI  24 
II. Bölge A-B. Bu bölgede, ( a < x < L )
M=−
q x 2 qL2
+
(x − a)
2
2b
y ′A −B =

d2 y
1  q x 2 qL2
′′
=
y
=
+
(x − a)
−
2
EI  2
2b
dx

1  q x 3 qL2  (x − a)2  
1  q x 4 qL2  (x − a)3  
+
+
−

  + C 3 − − − − − − − y A −B =  −

  + C3 x + C 4
EI  6
2b 
2 
EI  24
2b 
6 
C1, C2, C3, ve C4 sabitleri kirişi eğiminin ve deplasmanlarının sıfır ve eşit olması şartlarından
yararlanarak bulunur. Sınır şartları aşağıdaki şekilde bulunur.
1  q x4 
−
 + C1x + C2
EI  24 
1.
x=a ise deplasman sıfır olacağından y =
0=
1  qa 4 
1  qa 4 
−
+
C
a
+
C
C
=
−


−
 + C1a
1
2
2
EI  24 
EI  24 
48
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
2.
y=
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
x=L ise deplasman sıfır olacağından
1  q x 4 qL2  (x − a)3
+
−

EI  24
2b 
6

  + C3 x + C4

C4 = −
1  qL4 qL2  (L − a)3
+
−

EI  24
2b  6

  + C3L

3. A mesnedinin sağındaki ve solundaki dönüş açılarının eşit olması şartından (x=a)
y'C − A =
1  q x3 
1  q x 3 qL2  (x − a)2  
+

  + C3
−
 + C1 = y ′A −B =  −
EI  6 
EI  6
2b 
2 
1  q x3 
1  q x3 
−
 + C1 =  −
 + C3
EI  6 
EI  6 
C1 = C3
buradan
4. mesnetler arasındaki bölgede x=a da deplasman sıfır olma şartından
y A −B =
1  q x 4 qL2  (x − a)3
+
−

EI  24
2b 
6
Bu şartların ortak çözümünden C1

1  qa 4 qL2  (a − a)3
+
C
x
+
C
−
−
−
−
−
−
C
=
−
+

−


3
4
4
EI  24
2b  6

 q(L4 − a 4 )x qL2bx 
= C3 = 
−

24b
12 

I. Bölge A-C. Bu bölgede, (0<x<a)
y A −C =

  + C3 a

 qa 4 q(L4 − a 4 )a qL2ba 
C2 = C 4 = 
−
+

24b
12 
 24
1  q x 4 q(L4 − a 4 )x qL2bx qa 4 q(L4 − a 4 )a qL2ba 
+
−
+
−
+
−

EI  24
24b
12
24
24b
12 
II. Bölge A-B. Bu bölgede, (a<x<L)
y A −B =
1  q x 4 qL2 (x − a3 ) q(L4 − a 4 )x qL2bx qa 4 q(L4 − a 4 )a qL2ba 
+
−
+
−
+
−

EI  24
12b
24b
12
24
24b
12 
ÖRNEK 1.18: Şekilde yükleme durumu kirişinde,
a. ϕA=?
M*
A
ϕB=?
b. Kirişin orta noktasındaki [δ
δorta=?] deplasmanın belirlenmesi
B
L
Çözüm: Mesnet tepki kuvvetleri bulunarak moment alanı çizilir.
M*
A
A=
M*
L
d2 y
1 M * 
= y" =− 
x
2
EI  L 
dx
B
L
B=
M*
L
M*
x
............................................................................................1
Bu denklemin 1 defa integrali alınırsa,
1 M * x2 
y′ = −

 + C1 ..........................................................................................................2
EI  L 2 
y= −
1  M * x3 

 + C1x + C2 .................................................................................................3
EI  L 6 
49
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Sınır şartları
Bölüm1
x=0 ise y=0 buna göre C2=0
x=L ise y=0 buna göre C1 = −
Buna göre dönüş açısı bağıntısı y′ = −
x = 0 ⇒ ϕA =
M*L
6EI
x = L ⇒ ϕB =
1 M * x2 M * L 
−


EI  2L
6 
M*L
3EI
y= −
Şekil değiştirme bağıntısı
M*L
olarak bulunur.
6
1  M * x 3 M * Lx 
−


EI  6L
6 
x = 0 ve x = 0 ⇒ δ A = δ B = 0
x = L / 2 ⇒ δ orta = −
M * L2
16EI
ÖRNEK: Şekilde verilen kirişin elastik eğri denklemini bulunuz.
50 kN
50 kN
50 kN
A
50 kN
A
B
B
6m
16.67
6m
16.67
x
Çözüm: Kirişin moment alanı çizilerek moment ifadesi yazılır.
50
Mx = 50 −
y′′ = −
100
50
x = 50 −
x
6
3
50


Mx
1
50 
1
50x 2
1  50x 2 50x 3
= − 50 −
x  − − − y ′ = − 50x −
+ C1  − − − y = − 
−
+ C1x + C2 
EI
EI 
3 
EI 
2x3
EI
2
18



Sınır şartları yazılarak sabitler, x=0 ve y=0 ise C2=0 olur. x=6 ise y=0 dan C1=50 olur.
Dönüş için y ′ = −

1
50x 2
50x
−
+ 50 

EI 
2x3

Elastik eğri denklemi y = −

1  25x 3 50x 2
−
+ 50x 

EI  9
2

Bu denklemde hangi noktadaki deplasman veya dönüş isteniyorsa x yerine yazılarak aranan
deplasman bulunur.
ÖRNEK: Şekilde verilen konsol kirişin elastik eğri denkleminin bulunması.
y
y
q
q
k
i
a
k
x
b
δmax
i
L
a
b
x
θmaxx
L
q
y
M=qb[a+b/2]
qb
i
k
x
a
b
L
50
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
1. Bölge
y1" = −
0≤x≤a
M1 = [qb[ a + b / 2 ] − qbx ]
M 1
= [ qbx − qb[a + b / 2]]
EI EI
y1' =

1  qbx 2
qb2 x
− qbax −
+ C

EI  2
2

y1 =

1  qbx 3 qbax 2 qb2 x3
−
−
+ D

EI  6
2
6

2. Bölge
y"2 = −
a≤x≤b
x = 0 [dönüş = 0] ise C = 0
x = 0 [deplasman = 0] ise D = 0
M2 = qb[a + b / 2] − qbx + qx 2 / 2 
M 1
= qbx − qb[a + b / 2] − qx 2 / 2 
EI EI 
y '2 =

1  qbx 2
qbx qx 3
− qbax −
−
+ E

EI  2
2
6

y2 =

1  qbx 3 qbax 2 qb2 x 2 qx 4
−
−
−
+ Ex + F

EI  6
2
4
24

x = 0 [dönüş = 0] ise E = 0
x = 0 [deplasman = 0] ise F = 0
y '2 =
1  qbx 2
qb2 x qx3 
− qbax −
−


EI  2
2
6 
y2 =
1  qbx 3 qbax 2 qb2 x 2 qx 4 
qL3
−
−
−

 a = 0 ve b = L ise δmax =
EI  6
2
4
24 
8EI
a = 0 ve b = L ise θmax =
qL3
6EI
Kiriş tam yüklü ise
Bulunan değerlerin aşağıda verilen tabloda bulunan değerler ile aynı olduğu görülmektedir.
y
q
θk = −
k
δmax
i
L
x
θmaxx
qL3
6EI
δ max = −
qL4
8EI
y=−
Px 2 2
[ x − 4Lx + 6L2 ]
24EI
θk = 0
1. ve 2. bölgelerdeki elastik eğri denklemi aşağıdaki şekilde elde edilir.
y1' =
1  qbx 2
qb2 x 
− qbax −


EI  2
2 
1. bölge
y '2 =
1  qbx 2
qb2 x qx3 
− qbax −
−


EI  2
2
6 
y2 =
1  qbx 3 qbax 2 qb2 x 2 qx 4 
−
−
−


EI  6
2
4
24 
2. bölge
y1 =
1  qbx 3 qbax 2 qb2 x 3 
−
−


EI  6
2
6 
51
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
P
Örnek 1.18: Şekilde yükleme durumu kirişinde,
A
a. ϕA=?
B
c
ϕB=?
b
a
L
b. Kirişin c noktasındaki [δ
δc=?] deplasmanın belirlenmesi
Çözüm: Mesnet tepki kuvvetleri bulunarak moment alanı çizilir ve kiriş 2 bölgeye ayrılır.
1. Bölge
y1" = −
M 1  Pb 
=
−
x
EI EI  L 
2. Bölge
y"2 =
0≤x≤a
Pb
M1 =
x
L
a≤ x≤L
1  Pax

− Pa 

EI  L

Sabitlerin bulunması
y1' =
M2 =
y '2 =
P
c
A=

1  Pbx 2
+ C1 
−
EI  2L

Pb
x − p[x − a]
L
y1 =
y2 =
b
a
L

1  Pbx 3
+ C1x + C2 
−
EI  6L

[b = (L − a) ise]

1  Pax 2
− Pax + D1 

EI  2L

Pb
L
M2 = Pa −
Pab
L
Pax
L

1  Pax 3 Pax 2
−
+ D1x + D2 

EI  6L
2

x = 0 ise y = 0 ⇒ C2 = 0 − − − − x = L ise y = 0 ⇒
PaL2 PaL2
−
+ D1L + D2
6
2
A: 1. bölge için x=a daki çökme 2. bölge için x=b’deki çökmeye eşit
y1[a] = y 2 [b]
PaL2 PaL2
Pba3
−
+ D1L + D2 = −
+ C1a...................................1
6
2
6L
B: 1. bölge için x=a daki dönüş 2. bölge için x=b’deki dönüşe eşit
y1' [a] = y '2 [b]
Pa3
Pba2
− Pa2 + D1 = −
+ C1....................................................2
2L
2L
1 ile 2’nin ortak çözümünden, C2 = 0
C1 =
Pab
[2b + a ]
6L
D1 =
Pa
[2 +
6L
a2
]
L2
D2 = −
Pa 3
6
Sabitler bulunduktan sonra her iki bölge için elastik eğri bağıntıları aşağıdaki şekilde olur.
Pb
Pa  x 3 x 2
x  2
a2  
2
+
0≤x≤a
y1 =
[ − x 3 + ax [2b + a]] − − − − − a ≤ x ≤ L
y2 =
 −
 2L + a −  
6LEI
6EI  6L 2 6L 
6 
δc = y1[a] =
Pb
Pb
Pa2b2
[ − x 3 + ax [2b + a]] =
[ −a3 + aa[2b + a]] =
6LEI
6LEI
3LEI
ϕA = y1' [0] =
 Pab
1  Pbx 2 Pab
+
[2b + a]  =
[2b + a]
−
EI  2L
6L
 6LEI
ϕB = y '2 [L] =
1  PaL2
Pa
a2  1  Pa3 Pa PaL 
− PaL +
[2 + 2 ] =  3 +
−


EI  2L
6L
3L
2 
L  EI  6L
a = b = x = L / 2 ise ϕB =
1  PL2 


EI  16 
a = b = x = L / 2 ise δc =
52
PL3
48EI
http://mizan.ogu.edu.tr.
B=
Pa
L
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
ÖRNEK: Şekilde yüklemesi verilen kirişin elastik eğri denkleminin bulunması.
q
A
B
a
b
L
Çözüm: Kirişin önce mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır ve bir x başlangıç noktası belirlenir.
q
A qa2
qa −
B
qa2
2L
2L
x
Kiriş yük bulunan ve yüksüz kısım olmak üzere iki bölgeye ayrılır her bölge için denklemler ayrı
ayrı elde edilir.

qa2 
qx 2
1. Bölge 0 ≤ x ≤ a
M1 =  qa −
x−
2L 
2

y1" = −
y1 =
M 1  qx 2 
qa2  
= 
−  qa −
 x
EI EI  2
2L  

y1' =

1  qx 3 
qa 2  x 2
− qa −
+ C


EI  6
2L  2



1  qx 4 
qa2  x 3
−
qa
−
+ Cx + D 



EI  24 
2L  6

2. Bölge
y"2 = −

qa 2 
a  qa2 qa2 x

−
M2 = qa −
 x − qa  x −  =
2L 
2
2
2L


a≤ x≤L
1  qa2 qa 2 x 
−


EI  2
2L 
y '2 =


1  qa2 x 2 qa 2 x
1  qa 2 x 3 qa 2 x 2
−
+ E  y2 = 
−
+ Ex + F 

EI  4L
2
EI  12L
4


Sabitlerin bulunması
x = 0 y1 = 0 D = 0
EL + F =
x=a
x=a
x = L y2 = 0 0 =

1  qa2L3 qa2L2
−
+ EL + F 

EI  12L
4

EL + F =
1  qa2L2 qa 2L2 
−


EI  4
12 
1  qa 2L2 

 :::::::::::: 1
EI  6 
1  qa 4 qa3 qa3 
1  qa 4 qa3 
y1' = y '2 (Süreklilik denklemi) →→→ 
+
−
−
+C = 
+E
EI  4L
6
2 
EI  4L
2 
1  qa3 
C−E = − 
 ..................2
EI  6 
y1 = y 2 (Süreklilik denklemi)
1  qa 4 
qa2  a3
− qa −


EI  24 
2L  6

1  qa5 qa 4 
−
 + Ca = 
 + Ea + F
EI  12L
4 

53
 qa 4 
 ......................3
 8EI 
(C − E ) a − F = − 
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
(C − E) = −
EL + F =
qa3
6EI
−
qa2L2
6EI
(C − E) = −
EL −
Bölüm1
qa3
qa 4
qa 4
−F = −
→→→ F = −
6EI
8EI
24EI
qa4
qa2L2
=
→→
24EI
6EI
E=
qa 4 qa2L
+
24EI 6EI

qa 4 qa 2L 
qa 3
1  qa 4 qa2L qa3 
C
−
(
+
)
=
−
>>>>>
C
=
+
−




24EI 6EI 
EI  24
6EI
6
6 

qa3
6EI
Bulunan sabitler yerine yazılırsa elastik eğri denklemi aşağıdaki şekilde elde edilmiş olur.
y1 =
1  qx 4 
qa2  x 3  qa 4 qa 2L qa3  
−  qa −
+
+
−


 x
EI  24 
2L  6  24L
6
6  
y2 =
1  qa2 x 3 qx 2a2  qa2L qa 4 
qa 4
−
+
+
x
−


EI  12L
4
24L 
24
 6



x = 0 deplasman = 0
y1 =
1  qx 4 
qa 2  x 3  qa 4 qa2L qa3  
− qa −
+
+
−


x
EI  24 
2L  6  24L
6
6  
a = L ise
y1 =
1  qx 4 
qL2  x 3  qL4 qL2L qL3  
− qL −
+
+
−


 x
EI  24 
2L  6  24L
6
6  
KONTROL
q
y1 =
1  qx 4 qx3L qxL3
−
+

EI  24
12
24
 qL4  x 4 2x 3 x 
=
 4 − 3 + 
L
L
 24EI  L
L
1  qx 4 qLx 3 qL3 x 
−
+


EI  24
12
24 
ÖRNEK: Şekilde yüklemesi verilen kirişin elastik eğri denklemini ve x=4 m deki düşey
7
2
-5
4
deplasmanın hesaplanması. (E=2.10 kN/m I=1.10 m )
y=
2 kN/m
2 kN/m
A
B
m
A
6.222
m
4
5
B
1.778
Çözüm: Verilen kirişin önce mesnet tepki kuvvetleri hesaplanır.
0 ≤ x ≤ a y1 =
1  qx 4 
qa2  x 3  qa4 qa2L qa3  
− qa −
+
+
−


 x

EI  24 
2L  6  24L
6
6  
x = 4m →→ y1 =
71.111
71.111
=
= 0.356 m
EI
2.107 x1.10−5
ÖRNEK: Şekilde yüklemesi verilen kirişin elastik eğri denkleminin bulunması.
q
q
A
B
a
A
qa qa2
−
2
6L
b
L
54
B
qa2
6L
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Çözüm: Sistemin mesnet tepki kuvvetleri ve sonra bir x başlangıç noktası alınarak şekil
değiştirme hesaplanır. Kiriş yüklü ve yüksüz olan kısım olmak üzere iki bölgeye ayrılır.
0≤x≤a
y1" = −
 qa qa2 
q(a − x) x.x qx x 2x qax qa 2 x qx 2 qx 3
−
−
+
M1 = 
−
x
−
−
=

2
6a
6L 
a
2
a 2 3
2
6L
2
M 1  qax qa2 x qx 2 qx3 
= −
+
+
−

2
6a 
EI EI  2
6L
x
1.Bölge
q

1  qax 2 qa2 x 2 qx 3 qx 4
+
−
+ C
y = −
+
EI 
6
24a
4
12L

'
1
y1 =
A
qa qa2
−
2
6L
q [a − x ]
a
B

1  qax 3 qa2 x 3 qx 4
qx 5
+
+
−
+ Cx + D 
−
EI  12
36L
24 120a

a≤ x≤L
 qa qa2 
qa 
a
qa2 x qa2
M2 = 
−
x
−
=
−
+
x −
6L 
2 
3 
6
6L
2
y′′2 =
1  qa2 x qa2  1  qa2 x qa2 
+
−
−
= 

EI  6L
6  EI  6L
6 
y′2 =

1  qa2 x 2 qa2 x
−
+ E

EI  12L
6

2. Bölge
x
q
A
qa qa2
−
2
6L

1  qa2 x3 qa2 x 2
y2 = 
−
+ Ex + F 
EI  36L
12

B
qa2
6L
Sabitlerin hesaplanması
x = 0 ' da y1 = 0 D = 0 olur.
x = L ' de y 2 = 0
x = a ' da
qa2 x 3 qa2 x 2
−
+ EL + F = 0
36L
12
y1 = y 2 −
EL + F =
qax 3 qa2 x 3 qx 4
qx 5
qa2 x3 qa2 x 2
+
+
−
+ Cx + [D = 0] =
−
+ Ex + F
12
24 120a
36L
36L
12
[E − C]a + F =
x = a ' da
y1′ = y′2
−
qa2L2
− − − − − − −1
18L
qa 4
− − − − − − − −2
30
qax 2 qa2 x 2 qx 3 qx 4
qa2 x 2 qa2 x
+
+
−
+C =
−
+ E ⇒⇒
6
24a
4
12L
12L
6
[E − C] =
qa3
− − − − − − − −3
24
Denklem 3, denklem 2’de yerine yazılarak gerekli işlemler yapılırsa,
[E − C] =
F=−
qa3
−−−−−3
24
[E − C]a + F =
qa 4
−−−−−2
30
qa 4
denklem 1' de yerine yazılırsa
120
EL −
55
qa 4
qa 4
+F =
24
30
qa 4 qa 2L2
=
120
18
E=
F=−
qa 4
120
qa2L qa 4
+
18
120L
http://mizan.ogu.edu.tr.
qa2
6L
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
E=
Bölüm1
qa2L2 qa4
qa2L2 qa4
qa3
+
denklem 3 ' de yerine yazılırsa,
+
−C =
18
120L
18
120
24
y1' =
Dönüş
C=
qa2L2 qa4 qa3
+
−
18
120L 24
1  qax 2 qa2 x 2 qx3 qx 4 qa2L2 qa4 qa3 
+
+
−
+
+
−
−

EI 
4
12L
6
24a
18
120 24 
1.Bölge
Deplasman y1 =
1  qax3 qa2 x 3 qx 4
qx 5
qa2L2 x qa 4 x qa3 x 
+
−
+
+
−
+
−

EI  12
36L
24 120a
18
120
24 
Dönüş
y ′2 =
1  qa2 x 2 qa2 x qa2L2 qa 4 
−
+
+


EI  12L
6
18
120 
Deplasman
y2 =
1  qa2 x 3 qa2 x 2 qa2Lx qa 4 x qa4 
−
+
+
−


EI  36L
12
18
120 120 
2. Bölge
KONTROL
x = 0 y1 = 0 olmalı
y1 =
a = L x = a yB = 0 olmalı
1  qax 3 qa2 x 3 qx 4
qx 5
qa2Lx qa 4 x qa3 x 
−
+
+
−
+
+
−

=0
EI  12
36L
24 120a
18
120L
24 
yB =
1  qa 4 qa5 qa 4
qa5
qa 4
qa5
qa 4 
−
+
+
−
+
+
−

=0
EI  12 36L 24 120a 18 120a 24 
−
qa4 qa4 qa 4
+
+
=0
12 36L 18
0=0
3. Sıcaklık değişimi
∆dL= α . t . dl
3.1. Eşit sıcaklık değişimi,
t >0
α: birim ısı değişimindeki birim boy değişimi
∆dL
dL
3.2. Farklı ısı değişimi
tü
tü
d
d
∆t
tort
dϕ
ta
dL
∆ t = ta – tü > 0
dL
tort = (ta + tü ) /2
tort
ta
αtort dL α∆tdL
∆t
∆dl α ∆t dl
dϕ =
=
d
d
4. Rötreden dolayı oluşan şekil değiştirme
∆dr = εr dl
t >0
dL
56
∆dr
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Yapı elemanlarında sıcaklık azalması gibi hesaplanabilen rötre, zamana bağlı olarak meydana
gelen boy değişimidir. Malzemelerin rötre katsayısı (εr) deneysel olarak bulunmuş ve
-4
standartlarda verilmiştir. Betonun rötre katsayısı εr =6.10 .,
5. Sünmeden dolayı oluşan şekil değiştirme
P3>P2
ε
P2>P1
EA
L
P1>0
εt
εo
t
P
Yapı elemanları yükler altında uzun süre kaldığı için şekil değiştirmesinde etkili olan parametrelerden biriside süredir,
yani zaman. Bu zaman içinde yapı elemanlarının boylarında meydana gelen artışa sünme denir. Sünme malzemenin
yapısına bağlı olup deneylerle belirlenir. Yukarıdaki şeklin incelenmesinden de görülebileceği gibi yük arttıkça ilk sünme
değeri (εo) artmakta ve sünme zamanı (0-t aralığı) azalmaktadır. Betonda normal hava şartlarında sünme olurken çelikte
ise 300-400oC derecede sünme olmaktadır.
57
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
Basit Kirişlerde Yükleme Durumlarına Göre Dönüş Açıları ve Deplasmanlar
Kirişin Yükleme Durumu
y
Eğim
P
i
θi
k
δmax θk
PL2
16EI
θi = −
x
Deplasman
δ max = −
L/2
L/2
i
P
y
θi
θi = −
x
k
θk
b
a
PL2
16EI
θk =
L
θk =
L
Pab[L + b ]
16EIL
δa = −
Elastik Eğri Denklemi
PL3
48EI
y=−
y=−
Pab 2
[L − b2
6EIL
Pab[L + a ]
16EIL
PL3
[3L2 − 4x 2 ]
48EI
PL3 2
[L − x 2 − b 2 ]
6EIL
0≤x≤a
y
q
i
θi
δmax
k
θk
qL3
24EI
θk = θi = −
x
δ max = −
5qL4
384EI
y=−
qx
[ x 3 − 2Lx 2 + L3 ]
24EI
L
y
− qx
[16x 3 − 24Lx 2 + 9L3 ]
384EI
0 ≤ x ≤ L/2
y=
3
q
i
θi
k
δmax θk
L/2
θi = −
x
L/2
θk =
L
y
q
i
θi
k
θk
7qL3
384EI
θi = −
qa 2 [2L − a ]2
24EIL
θi = −
qa 2 [2L2 − a2 ]
24EIL
6.563qL4
1000EI
x = 0.4598L
δ max = −
− qx
[8x 3 − 24Lx 2 + 9L2 x − L3
384EI
L / 20 ≤ x ≤ L
y=
x
b
a
3qL
128EI
L
y
θi = −
q
i
θi
k
θk
θi
L/2
k
δ max = −
θk =
L/2
θi
k
θk
x
θk =
y
i
θi = −
M’
θk
θi
L/2
L/2
L
k
M' L
3EI
δ max =
L
δmax
5qL3
192EI
θi = −
M’
[ x = 0.5193 ]
5qL3
192EI
x
y
i
qL3
45EI
θi = −
θk
0.00652qL4
EI
y=
θk =
q
i
δ max =
x
L
y
7qL3
360EI
M' L
6EI
M' L2
243EI
y=
qx  x 4 Lx 2 5L3 
+
−
−

EI  15
6
48 
y=
M' L 2
[ x − 3Lx + 2L2 ]
6EIL
M' L2
36 12EI
δmax
x
2
θk =
qL4
120EI
qx
[3x 3 − 10L2 x 2 + 7L4 ]
360EI
M' L
M' L
=
24EI
y=
M' x
[ 4x 2 − L2 ]
24EIL
0 ≤ x ≤ L/2
36 12EI
58
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
KONSOL Kirişlerde Yükleme Durumlarına Göre Dönüş Açıları ve Deplasmanlar
Kirişin Yükleme Durumu
Eğim
Deplasman
Elastik Eğri Denklemi
y
q
θk = −
k
δmax
i
L
x
θmaxx
qL3
6EI
δ max = −
qL4
8EI
k
δmax
i
θmaxx
b
a
x
qa 3
θk = −
6EI
q
[ 4ax 3 − 6a2 x 2 − x 4 ]
24EI
0≤x≤a
y=−
δ max = −
qa 3
[ 4L − a ]
24EI
θk = 0
L
qa 3
[a − 4x ]
24EI
a≤x≤L
y=−
y
k
δmax
i
L/2
qx 2 2
[ x − 2Lx + 1.5L2 ]
24EI
0 ≤ x ≤ L/2
y=−
3
q
x
θmaxx
L/2
Px 2 2
[ x − 4Lx + 6L2 ]
24EI
θk = 0
y
q
y=−
θk = −
qL
48EI
δ max = −
7qL4
384EI
qL3
[ 4x − 0.5L ]
192EI
0 ≤ x ≤ L/2
y=−
θk = 0
L
y
P
k
δmax
i
θk = −
x
θmaxx
L
PL2
2EI
δ max = −
PL3
3EI
y=−
Px 2
[3L − x ]
6EI
θk = 0
y
P
k
δmax
i
L/2
x
2
θk = −
PL
8EI
3
δa = −
5PL
48EI
θmaxx
L/2
y=−
Px 2
[1.5L − x ] 0 ≤ x ≤ L / 2
6EI
y=−
PL2
[3x − 0.5L ] L / 2 ≤ x ≤ L
24EI
L
y
P
k
δmax
i
θk = −
Pa
2EI
y=−
P
[ x 3 − 3ax 2 ] 0 ≤ x ≤ L / 2
6EI
y=−
Pa 2
[ a − 3x ] a ≤ x ≤ L
6EI
2
δa = −
Pa
[3L − a ]
6EI
θmaxx
b
a
x
2
L
y q
θk = −
k
δmax
i
x
 x 4 
qL3 
1−   
 L  
24EI 

δ max = −
θk = 0
qL4
30EI
y=−
qx 2
[10L3 − 10L2 x + 5Lx 2 − x 3 ]
120EIL
θmaxx
L
y
q
k
δmax
i
x
θmaxx
L
y
M’
k
δmax
i
L
x
θmax =
M′L
EI
δ max =
M′L2
2EI
y=
Px 2
[ x − 3L ]
6EI
θmaxx
59
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
TESĐR ÇĐZGĐSĐ ÖRNEKLERĐ
Yapı sistemlerinin maruz kaldığı temel yükler sabit ve hareketli yüklerdir. Sabit yükler için
çözümler önceki konularda yapılmıştır. Hareketli yükler için çözümlerde ise yükün şiddeti kadar
etkime noktası da önemlidir. Bilindiği üzere sabit bir kirişte yükün ortada ve kenarda olması şekil
değiştirmeyi etkilediği gibi hareketli yükünde sistem üzerinde konumu sistemin davranışını
etkiler. Özellikle hareketli yükün yoğun olduğu köprülerde bu etki daha büyüktür. Köprüler bu
etkilere göre boyutlandırılır. Đzostatik sistemlerin tesir çizgisi etkileri doğrusaldır. Hiperstatik
sistemlerin tesir çizgileri etkisi ise eğrilerden oluşur. Burada izostatik sistemlerin tesir çizgilerine
ait örnekler yapılmıştır.
Örnek: Verilen hareketli yük ve basit kiriş durumu için c ve e kesitlerindeki en büyük momenti
oluşturacak yükleme durumunu ve bu durumlara ait moment değerlerinin hesaplanması.
Pa
60 20 80 kN
60 20 80P
0.5m 1m
c
A
e
m
B
0.5m 1m
2m
60 40
2m P b
Pb=0
60 20 80 60 40P
Pa 0.5m 1m 2m 2m
m
m
4
Pa
Pa
Pb
3
2
Çözüm: Bilindiği üzere c ve e kesitlerinde maksimum momentleri oluşturacak yükleme durumu
hareketli yüklerden bir tanesinin kesitin tam üzerine gelmesiyle oluştuğu için bu hareketli
yüklerden
herhangi
birisinin
maksimum
momenti
aranan
o
kesite
geleceği
Pc = ? ⇒
Ra
Rb
< a ve
< b bağıntıları ile kontrol edilir. Bu bağıntıların her ikisinin birlikte
P + Rb b
P +R a a
sağlaması gerekir.
60 20 80 kN
0.5m 1m
c
A
a
4m
e
Pc = 80 ⇒
B
b
Ra
<a
P + Rb b
80 <
4
80 + 0 5 sağlamaz
Rb
0 < 5
<b
P +R a a 80 + 80 4sağlar
3m
2m
Yukarıdaki yükleme durumunda e kesitinde Pc=80 kN için bağıntılar sağlamadığından dolayı P
değiştirilerek yeniden bir yükleme durumu aşağıdaki şekilde seçilmiştir.
60 20 80 kN
0.5m 1m
A
c
Ra
<a
P + Rb b
Pc = 20 ⇒
B
e
60 < 4
20 + 80 5 sağlar
Rb
< b 80 < 5
P +R a a 20 + 80 4 sağlar
1.78
1.67
4⋅5 = 2.222
9
Mc =1.67⋅60 + 2.22⋅20 +1.78⋅80 = 287.04kNm
e kesiti için maksimum momentin bulunması için Pe=80 kN alınarak aşağıdaki yükleme durumu elde
edilerek gerekli kontroller yapılır.
60 20 80 kN
0.5m 1m
c
A
e
4m
Pe = 80 ⇒
B
Ra
<a
P +Rb b
80 < 6
80 + 0 3 sağlar
Rb
0 < 3
<b
P +R a a 80 + 80 6 sağlar
3m
2m
Yukarıdaki yükleme durumunda e kesitinde Pc=80 kN için bağıntılar sağladığı görülmektedir. Bu duruma
göre maksimum moment değeri hesaplanır.
60 20 80 kN
0.5
A
m
c
1.5 1.67
1
m
Me =1.67 ⋅20 + 2⋅80 +1.5⋅60 = 283.4kNm
B
e
6⋅3 = 2
9
60
http://mizan.ogu.edu.tr.
Bölüm1
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Örnek: Şekilde verilen hareketli yük durumunun verilen kirişte oluşturabileceği maksimum
yükleme durumunu ve yerini bulunuz.
60 20 80 kN
0.5m 1m
B
A
9m
Bileşke kuvvet ® ve etkime noktası bulunur.
0.813
0.813
R=160
60 20 80 kN
60 20 80 kN
0.5
m
1
R=160
0.5
m
1
m
m
B
A
B
c
A
9m
0.157
0.313/2=0.157
4.5m
Bileşke kuvvetin c noktasına uzaklığı=[20x0.5+80x1.5]/160=0.813
4.5m
orta
Not: Bileşke R ile kabul edilen P kirişin tam ortasına getirilerek denklemler kontrol edilir.
Pc = 20 ⇒
Ra
<a
P + Rb b
60 < 4.5 − 0.157 = 4.343
9 − 4.343 sağlar
20 + 80
Rb
< b 80 < 9 − 4.343
P +R a a 20 + 80 4.343 sağlar
0.813
R=160
60 20 80 kN
0.5m 1m
B
A
1.765
1.988
4.343 i 4.657 = 2.247
9
maxMmax =1.988⋅60 + 2.247 ⋅20 +1.765⋅80 = 305.42kNm
Not: Aynı kirişte bulunan c ve e kesitlerindeki moment maxMmax = 305.42kNm moment
değerinden daha küçüktür.
ÖRNEK: Verilen hareketli yüklerin sağdan ve soldan etkimeleri için maxMmax bulunması
400 400
1m
200 400 kN
4m
400 200
2m
2
8
m
8m
8m
8
m
400 400 kN
4
m
1
m
m
Bileşke kuvvetin etkime noktası bulunur.
e sol = [Pi ⋅ x i ]/Rbileşke = [ 400 ⋅1+ 200 ⋅5 + 400 ⋅7 ]/1400 = 3m e sağ = [ 400 ⋅1+ 200 ⋅5 + 400 ⋅7 ]/1400 = 3m
esol=3
esağ=3m
m
R=1400 kN
400 400 200P 400 kN
1m
4m
R=1400 kN
400 200 400 400 kN
2m
2
m
m
1
m
1 1
1 1
8m
4
8m
8m
61
8m
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Pe = 200 ⇒
Ra
<a
P + Rb b
Bölüm1
800 <
9
200 + 400 7sağlamaz
Pe = 400 ⇒
Ra
<a
P + Rb b
400 < 7
400 + 600 9sağlar
Rb
600 < 9
<b
P +R a a 400 + 400 7sağlar
Rb
400 < 7
<b
P +R a a 200 + 800 9 sağlar
R=1400 kN
400 400 kN
400 200
esol=3m
2m
R=1400 kN
200 400 kN
400 400P
1m
4m
4m 1 m
1 1
2m
8
m
8m
1 1
m
Pe = 400 ⇒
8R
<a
P + Rb b
a
8
m
400 < 7
400 + 600 9sağlar
Pe = 200 ⇒
1
R=1400 kN
200 400 kN
m
4
m
2
800 <
9
200 + 400 7sağlamaz
Rb
400 < 9
<b
P + Ra a 200 + 800 7sağlar
Rb
600 < 9
<b
P +R a a 400 + 400 7sağlar
400 400P
Ra
<a
P +Rb b
R=1400 kN
400 200 400 400 kN
m
2m
4m
1m
1 1
1.75
3.375
2.19
orta 3.063
3.063
orta 7x9/16=3.94
7x9/16=3.94
R=1400 kN
maxMmax = ( 3.94 + 3.375 +1.75 )⋅400 + 2.19 ⋅200 = 4064 kNm
or
1 1
3.94
3.94
maxMmax = 3.063⋅Rbileşke = 3.063 ⋅1400 = 4288.2 kNm
soldan
sağdan
orta
ÖRNEK: Verilen hareketli yüklerin sağdan ve soldan etkimeleri için maxMmax bulunması
200 300
1m
400 100 kN
4m
200 300
2m
1
8m
400 100 kN
4
e=3
2m
8m
m
m
2
m
m
R=1000 kN
200 300
1m 4m
e = [Pi ⋅ x i ]/Rbileşke = [ 300 ⋅1+ 400 ⋅5 +100 ⋅7 ]/1000 = 3m
Ra
<a
P + Rb b
2m
e=3m
8m
Pe = 400 ⇒
400 100 kN
1 1
8
m
Rb
100 < 7
<b
P + Ra a 400 + 500 9 sağlar
500 < 9
400 +100 7 sağlar
e = [Pi ⋅ x i ]/Rbileşke = [ 300 ⋅1+ 400 ⋅5 +100 ⋅7 ]/1000 = 3m
R=1000 kN
200 300
400 100 kN
1m
2m
m
m m 4
1 1
e=3m
8m
2m
8m
62
http://mizan.ogu.edu.tr.
2m
Bölüm1
Pc = 300 ⇒
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Ra
<a
P + Rb b
Rb
500 < 9
<b
P +R a a 300 + 200 7 sağlar
200 < 7
300 + 500 9 sağlar
1
A
2m
2m
2
3
G
m
6m
G
6m
B
8m
M1
2x3/5=1.2
0.4
T1
0.4
200 300
400 100 kN
1m
2m
m
m m 4
1 1
0.6
M2
R=1000 kN
1
1
0.5
T2
8
m
1.17
8m
2
0.5
1
m
0.25
1.94
3.00
B mesnet tepkisi
orta
7 ⋅9
= 3.94
16
1
0.40
A mesnet tepkisi
1
1.25
ÖRNEK: Verilen hareketli yüklerin sağdan ve soldan etkimeleri için maxMmax bulunması
60
240
240 kN
4.25m
22.45m
9m
3.53m R=540 kN
60
240
240 kN
3.53m R=540 kN
60
240
m
11.225m
4.25
11.225m
3.53/2=1.765
9.46m
240 kN
m
9
3.53/2=1.765
12.99m
3.53m R=540 kN
60
240
240 kN
1.681
3.015
(9.46x12.99)/22.45=5.474
m
9.46
12.99m
maxMmax = 60 ⋅3.015 + 240 ⋅5.474 + 240 ⋅1.681=1898.10kNm
63
http://mizan.ogu.edu.tr.
Đzostatik-Hiperstatik-Elastik Şekil Değiştirme
Bölüm1
ÖRNEK: Verilen hareketli yüklerin sağdan ve soldan etkimeleri için maxMmax bulunması
60
240
m
4.25
240 kN
m
4.25
22.45m
1.42m R=540 kN
1.42m R=540 kN
60
240
60
240 kN
240
240 kN
m
m
4.25
11.225m
4.25
11.225m
1.42/2=0.71
1.42/2=0.71
10.515m
11.935m
1.42m R=540 kN
60
240
240 kN
3.599
3.331
m
11.935m
10.515
(10.515x11.935)/22.45=5.59
maxMmax = 60 ⋅3.331+ 240 ⋅5.59 + 240 ⋅3.599 = 2405.22 kNm
ÖRNEK: Verilen hareketli yüklerin sağdan ve soldan etkimeleri için maxMmax bulunması
60
240
m
4.25
240 kN
m
4.25
60
m
240 240 kN
m
2
4.25m
4.25
22.45m
10.92m
60
240
240 kN
R=1080 kN
60
10.92m
60
240 240 kN
240
m
4.25
11.225m
60
0.42/2=0.21
11.435m
240 kN
m
4.25
60
m
2
240 240 kN
m
4.25
4.25m
11.225
11.015m
240
240 kN
m
0.42/2=0.21
10.92m
R=1080 kN
R=1080 kN
60
240 240 kN
0.262
1.439
2.427
4.591
11.015m
3.525
11.435m
(11.015x11.435)/22.45=5.61
maxMmax = 60 ⋅0.262 + 240 ⋅2.427 + 240 ⋅ 4.591+ 60 ⋅5.61+ 240 ⋅3.525 + 240 ⋅1.439 = 3228 kNm
64
http://mizan.ogu.edu.tr.
Download

BÖLÜM 1