Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť
Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ
Technické kreslenie
učebné texty
pre 1. a 2. ročník študijných odborov
8260 6 propagačné výtvarníctvo
8261 6 propagačná grafika
Mgr. Jitka Pukšová
marec 2012
Stredná umelecká škola Ladislava Bielika,
Vajanského 23, Levice
Nitriansky samosprávny kraj
Obsah
ÚVOD ............................................................................................................................... 4
1. ROČNÍK ........................................................................................................................ 5
1 TECHNICKÉ PÍSMO ...................................................................................................... 5
1.1 VÝZNAM TECHNICKÉHO KRESLENIA A ZÁKLADNÉ MATERIÁLY A POMÔCKY POTREBNÉ PRE TECHNICKÉ
KRESLENIE ................................................................................................................................................... 6
1.2 ZÁSADY KRESLENIA OD RUKY A KRESLENIE NÁČRTU................................................................................ 7
1.3 DRUHY ČIAR V TECHNICKOM KRESLENÍ ................................................................................................... 8
1.4 TECHNICKÉ PÍSMO .................................................................................................................................. 8
2 ZÁKLADY RYSOVANIA ................................................................................................ 11
2.1 NORMALIZÁCIA V TECHNICKOM KRESLENÍ ............................................................................................ 12
2.2 DRUHY TECHNICKÝCH VÝKRESOV ......................................................................................................... 13
2.3 FORMÁTY VÝKRESOV............................................................................................................................. 14
2.4 SKLADANIE VÝKRESOV .......................................................................................................................... 15
2.5 ROZMNOŽOVANIE VÝKRESOV ................................................................................................................ 16
2.6 MIERKY ZOBRAZOVANIA NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH ........................................................................ 17
3 TECHNICKÝ VÝKRES .................................................................................................. 18
3.1 ÚPRAVA VÝKRESOVÉHO LISTU ............................................................................................................... 19
3.2 TITULNÝ BLOK VÝKRESOV ..................................................................................................................... 22
4 JEDNODUCHÉ TELESÁ ............................................................................................. 24
4.1 JEDNODUCHÉ TELESÁ ........................................................................................................................... 25
4.2 SIETE MNOHOSTENOV .......................................................................................................................... 25
4.3 SIETE VALCOV A KUŽEĽOV .....................................................................................................................30
4.4 SIETE N-BOKÝCH HRANOLOV A IHLANOV .............................................................................................. 31
4.5 SIETE ZREZANÝCH TELIES ..................................................................................................................... 32
4.6 ZAUJÍMA VÁS? ...................................................................................................................................... 34
5 PREMIETANIE ............................................................................................................ 36
5.1 PRAVOUHLÉ PREMIETANIE NA NIEKOĽKO PRIEMETNÍ ............................................................................ 37
6 MONGEOVO PREMIETANIE ...................................................................................... 39
6.1 PRIEMETY BODOV .................................................................................................................................40
6.2 PRIEMETY PRIAMKY .............................................................................................................................. 44
6.3 PRIEMETY ROVINY, STOPY ROVINY ........................................................................................................ 50
6.4 SKUTOČNÁ VEĽKOSŤ ÚSEČKY ................................................................................................................ 56
7 KÓTOVANIE NA TECHNICKÝCH VÝKRESOCH .......................................................... 59
7.1 KÓTOVANIE A PRVKY KÓTOVANIA ..........................................................................................................60
7.2 KÓTOVANIE POLOMEROV, PRIEMEROV, UHLOV, ZAOBLENÍ .................................................................... 65
7.3 SPÔSOBY KÓTOVANIA ............................................................................................................................ 69
8 TECHNICKÉ KRIVKY .................................................................................................. 71
8.1 TECHNICKÉ KRIVKY, ROZDELENIE ......................................................................................................... 72
8.2 ELIPSA ................................................................................................................................................. 73
8.3 METÓDY KONŠTRUKCIE ELIPSY ............................................................................................................. 74
8.4 INÉ TECHNICKÉ KRIVKY ........................................................................................................................ 78
2. ROČNÍK ..................................................................................................................... 82
9 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE ....................................................................................... 82
9.1 NÁZORNÉ ZOBRAZOVANIE .....................................................................................................................83
9.2 KOSOUHLÉ PREMIETANIE ..................................................................................................................... 85
9.3 PRAVOUHLÁ AXONOMETRIA .................................................................................................................86
9.4 ZAUJÍMA VÁS? ......................................................................................................................................89
10 OSVETLENIE TELIES ................................................................................................ 92
10.1 OSVETĽOVANIE TELIES ........................................................................................................................ 93
10.2 KONŠTRUKCIA VLASTNÉHO A VRHNUTÉHO TIEŇA ............................................................................... 95
11 PERSPEKTÍVNE ZOBRAZOVANIE .............................................................................97
11.1 PERSPEKTÍVA .......................................................................................................................................98
11.2 HISTÓRIA PERSPEKTÍVNEHO ZOBRAZOVANIA ....................................................................................... 99
11.3 ZÁKLADNÉ POJMY ..............................................................................................................................113
11.4 DRUHY PERSPEKTÍV ........................................................................................................................... 115
11.5 KONŠTRUKCIA PERSPEKTÍVY ...............................................................................................................119
11.6 ANAMORFÓZA A NESKUTOČNÁ PERSPEKTÍVA ..................................................................................... 122
ZOZNAM POUŽITEJ LITERATÚRY .............................................................................. 128
Úvod
Milí študenti,
prichádza k vám učebný text, ktorý si kladie vysoký cieľ, a to uľahčiť vám
zoznamovanie sa so základnými informáciami predmetu Technické kreslenie. Je
určený všetkým vám, ktorí ste sa rozhodli svoje stredoškolské štúdium zasvätiť
odborom propagačná grafika a propagačné výtvarníctvo na pôde Strednej umeleckej
školy Ladislava Bielika v Leviciach.
Veríme, ţe ste sa uţ s technickým kreslením stretli aj na ZŠ a ţe chápete, akým
prínosom pre váš odborný rast a vašu profesiu
do budúcnosti tento odborný
vyučovací predmet je. Veď grafik či výtvarník je často zároveň aj technikom, ktorý
svoj nápad a inšpiráciu aj správne navrhne, zakreslí, narysuje, premietne, okótuje,
a samozrejme aj zrealizuje.
Technické kreslenie je medzinárodným dorozumievacím jazykom všetkých
technikov a ostatných odborníkov. Rozvíja chápanie vzťahov medzi skutočnými
priestorovými objektami a ich zobrazením, buduje priestorovú predstavivosť a
schopnosť čítať a vytvárať technické výkresy,
Veríme, ţe sa tento učebný text stane na dva roky vaším sprievodcom na ceste
za zdokonalením vašich teoretických vedomostí aj praktických zručností a ţe sa
stanete kvalitnými odborníkmi vo svojej profesii.
Prajeme vám veľa trpezlivosti a najmä úspechov pri štúdiu
Mgr. Jitka Pukšová
4
1. ročník
1 Technické písmo
1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály
a pomôcky potrebné pre technické kreslenie
1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu
1.3 Druhy čiar v technickom kreslení
1.4 Technické písmo
5
1.1 Význam technického kreslenia a základné materiály
a pomôcky potrebné pre technické kreslenie
Kaţdý technik musí mať veľa trpezlivosti, svedomitosti, presnosti
a dokonalých znalostí z oblasti, ktorá úzko súvisí s jeho budúcou
profesiou. Študenti študijných odborov propagačná grafika,
propagačné výtvarníctvo a priemyselný dizajn musia ovládať
základy technického kreslenia, zdokonaľovať vytváranie priestorovej predstavy
a budovať medzipredmetové vzťahy s odbornými predmetmi technológia, prax, či
navrhovanie.
Technické kreslenie a jeho význam:
vypestovanie predstavivosti
nadobudnutie zručnosti a vôľových vlastností v technickom kreslení, ako pri
popisovaní, tak aj pri zhotovovaní výkresov, náčrtov...
schopnosť kresliť náčrty od ruky
vyuţívanie technických noriem a ich aplikácia
čítanie výkresov a inej technickej dokumentácie
Pomôcky a materiály:
rysovacie dosky
príloţník – základné pravítko na kreslenie vodorovných čiar
trojuholníky
ceruzky – tuha 6-8 mm, pri kreslení 75º
kruţidlo – začíname kresliť akoby na číslici 8 na ciferníku hodín v smere
pohybu hodinových ručičiek
nulovacie kruţidlo – malé
priemery
tuhy
liner-graphic
guma – najlepšie z plastov
uhlomer
krividlá
Obr. 1 Súprava technických pier
6
šablóny
rysovací papier
pauzovací papier
Obr.2 Rysovacie pomôcky
1.2 Zásady kreslenia od ruky a kreslenie náčrtu
Pri kreslení od ruky dbáme na to, aby sme pohybom ruky a pomôckami nerozotierali
čiary po výkrese. Krátke čiary kreslíme pohybom ruky od zápästia, dlhé čiary
kreslíme pohybom celej ruky.
Najprv kreslíme kruţnice a oblúky, potom k nim pripájame priamky. Vyťahovať
začíname vľavo hore a postupujeme vpravo dolu.
Náčrt slúţi pre prvotné vyjadrenie myšlienky zrozumiteľným obrázkom.
Pri kreslení náčrtu pouţívame mäkkú ceruzku.
Postup pri kreslení náčrtu:
súčiastku si dobre prezrieme a rozhodneme koľko priemetov potrebujeme na
úplné zobrazenie
zvolíme veľkosť obrázkov
pri súmerných rotačných súčiastkach nakreslíme všetky osi
obrysy a hrany súčiastok nakreslíme tenkými plnými čiarami
vytiahneme viditeľné hrany a obrysy hrubými čiarami a neviditeľné obrysy
čiarkovanými čiarami
nakreslíme pomocné a kótovacie čiary, šípky, tapíšeme kóty
vyšrafujeme plochy rezu a prierezu
napíšeme názov súčiastky, materiál ...
7
1.3 Druhy čiar v technickom kreslení
Na zobrazovanie na výkresoch sa pouţíva niekoľko druhov čiar.
Podľa grafického vyhotovenia sa čiary rozdeľujú na :
pravidelné
- plné alebo prerušované,
nepravidelné - obyčajne kreslené voľnou rukou.
Podľa vzájomného pomeru hrúbok delíme čiary na tenké a hrubé a veľmi hrubé.
Hrúbka čiar sa volí z geometrického radu, ktorý je odstupňovaný pribliţne s činiteľom
√2: 0,13-0,18-0,25-0,5-0,7-1,0-1,4-2,0 mm.
Pre technické výkresy sa pouţívajú čiary so vzájomne odlišnými pomermi hrúbok.
Obr. 3 Druhy čiar
1.4 Technické písmo
Technickým písmom sa v technike popisuje technická dokumentácia – výkresy,
tabuľky, kóty, poznámky – podľa STN ISO 3098 (01 3115)
Na popisovanie výkresov sa pouţíva prednostne písmo veľkej abecedy a arabské
číslice. Výnimku tvoria zápisy meracích jednotiek, kde sa pouţívajú písmená malej
abecedy – napr. kg, mm...
8
Písmo je charakterizované:
tvarom – býva určený vzorovým predpísaním v tabuľke
veľkosťou – je určená výškou písmen veľkej abecedy v mm
šírkou
hrúbkou = hrúbka čiary
sklonom: kolmé, šikmé 75
Veľkosť písma: (1,8) 2,5 3,5 5,0 7,0 10,0 14,0 (20,0) mm
Typ:
-
kolmé a šikmé písmo typu A: výška = 14 × hrúbka
-
kolmé a šikmé písmo typu B: výška = 10 × hrúbka
Prednostne sa má pouţívať kolmé písmo abecedy typu B:
Obr. 4 Typy písma
9
Zadanie technickej dokumentácie
1. Do predpísanej šablóny doplňte technické písmo
2. Na výkres narysujte podľa vzoru rôzne druhy čiar a technickým písmom ich
popíšte.
Obr. 5 Technická dokumentácia - druhy čiar
10
2 Základy rysovania
2.1 Normalizácia v technickom kreslení
2.2 Druhy technických výkresov
2.3 Formáty výkresov
2.4 Skladanie výkresov
2.5 Rozmnožovanie výkresov
2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch
11
2.1 Normalizácia v technickom kreslení
Normalizácia je usmernenie ľudskej činnosti z hľadiska hospodárnosti, materiálu,
kvality a vymeniteľnosti výrobkov podľa určitých zásad. Súčasne umoţňuje zvyšovať
produktivitu práce, dosahovať úspory materiálu, lepšie vyuţívať výrobné prostriedky
a zaisťovať bezpečnosť a ochranu zdravia pri práci.
Tvorbu a vydávanie noriem riadi Slovenský ústav technickej normalizácie pomocou
Technických normalizačných komisií vytvorených pre jednotlivé odbory.
Slovenské technické normy (STN)
sa označujú podľa toho, aká je ich zhoda
s medzinárodnými normami.
Značku STN XX XXXX majú normy platné len na Slovensku.
Značku STN ISO YYY ( XX XXXX ) majú slovenské technické normy, v ktorých
sú zapracované medzinárodné normy ISO čísla YYY. Číslo v zátvorke (XX XXXX) je
triediace číslo danej normy v sústave STN a má význam:
Obr. 6 Slovenská technická norma
1.
trieda normy, ktorá označuje názov odboru pre ktorý norma platí
2.
skupina normy
3.
podskupina normy
4.
poradové čislo
5.
doplnkové číslice
Značku STN EN ISO YYY (XX XXXX) majú slovenské technické normy platné
ako európske normy EN a medzinárodné normy ISO čísla YYY
12
Technická normalizácia

umoţňuje sériové, hromadnú a plynulú výrobu, a tým ju urýchľuje a zlacňuje

zvyšuje
produktivitu
práce,
poskytuje
výhody
národnému
hospodárstvu
i spotrebiteľom

zabezpečuje kvalitu výrobkov

dáva predpoklady na dokonalejšie vyuţitie energie, materiálu a surovín, zniţuje
hmotnosť výrobkov

rieši pracovné a ţivotné prostredie
2.2 Druhy technických výkresov
Základom technickej dokumentácie je technický výkres, ktorý je nositeľom technickej
myšlienky a zároveň dorozumievacím prostriedkom medzi technikmi.
Delenie výkresov:
• podľa obsahu a určenia
o výkresy jednotlivých súčiastok čiţe detailné výkresy
o výkresy zmontovaných súčiastok čiţe výkresy zostáv
Obr. 7 Druhy technických výkresov
13
• podľa spôsobu vyhotovenia
o náčrt (škica) - väčšinou sa kreslí ceruzkou voľnou rukou, nemusí sa
kresliť v mierke a udávajú sa v ňom iba základné kóty,
o originál (základný výkres alebo matrica) - kreslí sa ceruzkou alebo tušom,
najčastejšie na pauzovacom papieri. Originál je určený na zhotovenie
kópie a archivuje sa,
o kópia sa zhotovuje z originálu rozmnoţovaním. Kópia sa pouţíva ako
pracovný výkres pre výrobu a montáţ.
2.3 Formáty výkresov
Výkresy kreslíme na papieri určitej veľkosti čiţe formátu. Základným formátom
skupiny A je obdĺţnik plochy 1 m2 s pomerom strán 1: 2 , (1: 1,414). Tento formát
označujeme A0. Ostatné formáty vznikajú postupným delením väčších formátov na
menšie: A1, A2, A3, A4.

Formáty výkresov skupiny A
Obr. 8 Formáty výkresov

Základný formát je A0, má plochu 1m² a strany v pomere 1: 2

Rozmery základných formátov sú v tabuľke

Formáty výkresov sú leţaté (v horizontálnej polohe), iba formát A4 sa prednostne
pouţíva vo vertikálnej polohe (stojatý formát)
14
Tab. 1 Formáty výkresov
Formát
a (mm) b (mm)
A4
210
297
A3
297
420
A2
420
594
A1
594
841
A0
841
1189
Predĺžené formáty

V osobitých prípadoch môţeme pouţiť predĺţené formáty. Ich pouţitiu sa však
treba vyhýbať.

Predĺţené formáty sa tvoria kombináciou rozmerov kratšej strany formátov radu A
(napr. A3) s rozmermi dlhšej strany nasledujúcich väčších formátov radu A (napr.
A1). Výsledkom je nový formát, napríklad s označením A3.1.
2.4 Skladanie výkresov
STN 01 3111 určuje spôsoby skladania kópii všetkých druhov technických výkresov.
Výkresy originálov a matíc sa neskladajú.
Kópie výkresov sa môţu skladať na :

voľné zaraďovanie do súboru (zloţiek),

priame zviazanie (zošitie a pod.),

zviazanie (zošitie a pod.) s pásikom na zachytenie.
Skladanie výkresov:

skladanie na formát A4,

skladanie harmonikovite v oboch smeroch,
15

titulný blok má byť vpredu dole.
Obr. 9 Skladanie výkresov
2.5 Rozmnožovanie výkresov
Originály sú veľmi dôleţité tak pre výrobu, ako aj pre dokumentáciu. Preto sa pre
výrobu priamu nepouţívajú, ale ukladajú sa do archívu. V praxi sa pouţívajú kópie,
ktoré môţu byť negatívne, pozitívne, prípadne transparentné.
Pri rozmnoţovaní výkresovej dokumentácie sa dnes pouţívajú rozličné techniky
a spôsoby reprografie.
Diazografia (nesprávne nazývaná svetlotlač) je technika vyuţívajúca na vytvorenie
obrazu vlastnosti diazozlúčeniny (čpavok).
Elektrografia je technika vyuţívajúca vlastnosti fotopolovodičov na vytvorenie
latentného nábojového obrazu, ktorý počas vyvolávacieho procesu púta pigment.
(Xerografia názov podľa prístroja Rank Xerox).
Mikrofilmová technika pouţíva zvitok alebo pásik filmu s mikrozáznamami. Plocha
mikroštítku je 600-krát menšia neţ plocha výkresu A0. Z mikroštítku sa premieta
zväčšený obraz na reprodukčný materiál.
16
2.6 Mierky zobrazovania na technických výkresoch
Mierky, ich veľkosť a zapisovanie na všetkých druhoch technických výkresov sa zvolí
podľa :

účelu a obsahu výkresu,

zloţitosti a hustoty kresby zobrazeného predmetu,

poţiadaviek na čitateľnosť a presnosť kresby.
Úplnosť označenia mierky pozostáva zo slova
MIERKA (alebo jeho ekvivalentu
v jazyku pouţitom na výkrese a za ním sa uvedie označenie pomeru, napríklad :
MIERKA 1:1
pre skutočnú veľkosť,
MIERKA X:1
pre zväčšenie,
MIERKA 1:X
pre zmenšenie.
Ak nemôţe dôjsť k nedorozumeniu, slovo MIERKA sa nemusí uviesť.
Označenie mierky pouţitej na výkrese sa zapisuje do titulného bloku výkresu.
Ak nie je obraz kreslený v mierke, napíše sa v titulnom bloku v rubrike Mierka
písmeno N ako skratka NIE JE.
Mierky zmenšenia: 1:2 1:5 1.10 1:20 1:50 1:100 ...
Mierky zväčšenia: 2:1 5:1 10:1 20:1 50:1
17
...
3 Technický výkres
3.1 Úprava výkresového listu
3.2 Titulný blok výkresov
18
3.1 Úprava výkresového listu
Výkresový list technického výkresu musí byť orezaný.
Lem – plocha medzi rámikom kresliacej plochy a okrajom orezaného listu
Šírka lemu:
hore, dole, vpravo 10 mm
vľavo kvôli väzbe 20 mm
Rámik kresliacej plochy – súvislá hrubá čiara hrúbky 0,7 mm
Strediace úsečky:
sú štyri,
umiestňujú sa na koncoch dvoch osí súmernosti orezaného listu,
kreslia sa súvislou čiarou hrúbky 0,7 mm,
začínajú sa na leme orientačnej mrieţky a presahujú 5 mm za rámček
plochy na kreslenie.
Obr. 10 Úprava výkresového listu
19
Orezávacie značky:
umiestňujú sa v rohoch výkresového listu
majú tvar prekrývajúcich sa obdĺţnikov s rozmermi 10x5 mm
Obr. 11 Orezávacie značky
Sústava orientačnej mriežky:
podľa normy STN ISO 3098-1,
5 mm od lemu po všetkých stranách,
pri formáte A4 sa robí len na hornej a pravej strane,
dĺţka polí je 50 mm,
delenie začína vţdy od strediacich značiek,
počet polí závisí od formátu,
polia sa označujú zhora nadol veľkými zvislými písmenami (okrem I a O)
po oboch stranách,
polia sprava doľava sa označujú zvislými číslicami,
výška písmen a číslic má byť 3,5 mm,
čiary sústavy orientačnej mrieţky sa kreslia súvislou čiarou hrúbky 0,35
mm.
20
Obr.12 Sústava orientačnej mrieţky
Obr. 13 Technický výkres
21
3.2 Titulný blok výkresov
Výrobný výkres je dorozumievacím prostriedkom medzi konštrukciou a výrobou.
Musí spĺňať poţiadavky noriem a podľa toho musí obsahovať titulný blok.
Titulný blok:
podľa STN ISO 7200 (01 3250)
umiestňuje sa v pravom dolnom rohu
obsahuje:
o identifikačné pole
o doplňujúce polia:

informatívne údaje

technické údaje

administratívne údaje
Informatívne údaje:
Metóda zobrazenia
Hlavná mierka
Dĺţkové jednotky – ak sú iné ako milimetre
Technické údaje:
Spôsob značenia drsnosti povrchu
Tolerancie
Technické normy – materiál, druh, tvar, rozmer
Administratívne údaje:
Formát výkresového listu
Dátum vydania prvého výkresu
Mená a podpisy zodpovedných osôb
22
Obr. 14 Titulný blok
Obr. 15 Titulný blok
23
4 Jednoduché telesá
4.1 Jednoduché telesá
4.2 Siete mnohostenov
4.3 Siete valcov a kužeľov
4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov
4.5 Siete zrezaných telies
4.6 Zaujíma vás?
24
4.1 Jednoduché telesá
Telesá moţno rozdeliť podľa rôznych kritérií.
Jedno možné rozdelenie telies do dvoch skupín je nasledovné:

Mnohosteny,
kde
patria
napr.
kocka,
hranol,
kváder,
štvorsten,
rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan.

Všetky ostatné, kde patria napr. rotačný a šikmý valec, rotačný a šikmý
kuţeľ, zrezaný kuţeľ, guľa a jej časti.
V škole budeme pouţívať najčastejšie rozdelenie telies na nasledujúce dve hlavné
skupiny:

Mnohosteny, ktoré sa rozdeľujú do dvoch podskupín:
1) hranoly - hranol, kocka, pravidelný n-boký hranol, kváder...
2) ihlany – ihlan a zrezaný ihlan, pravidelný n-boký ihlan a pravidelný zrezaný
n-boký ihlan, štvorsten a pravidelný štvorsten...

Rotačné telesá: kolmý (kruhový) valec, kolmý (kruhový) kuţeľ a zrezaný
kolmý (kruhový) kuţeľ, guľa a jej časti
4.2 Siete mnohostenov
Pravidelný mnohosten musí spĺňať kritériá:
1. konvexnosť – musí byť konvexný, t. j. kaţdá jeho strana má šancu byť
zvolená, „padnúť“
(napr. konvexný je štvrťkruh, nekonvexný je
trištvrtekruh),
2. steny musia byť pravidelné n-uholníky – najmenší je rovnostranný
trojuholník, teleso je štvorsten,
3. pri kaţdom vrchole musí byť zoskupený rovnaký počet stien (inak by
nebol pravidelný).
25
4. dá sa opísať aj vpísať guľa, t. j. existuje guľová plocha, ktorá obsahuje
všetky vrcholy a guľová plocha dotýkajúca sa všetkých stien zvnútra.
Mnohosteny, ktoré spĺňajú tieto podmienky sú: pravidelný štvorsten,
pravidelný
šesťsten,
pravidelný
osemsten,
pravidelný
dvanásťsten
a
pravidelný dvadsaťsten.
Medzi počtom stien, hrán a vrcholov konvexného mnohostena platí vzťah
(známy asi dvetisíc rokov ), ktorý dostal pomenovanie po matematikovi, ktorý ho
dokázal.
Eulerova veta o mnohostenoch
V kaţdom konvexnom mnohostene, v ktorom označíme s počet stien, h počet hrán,
v počet vrcholov, platí rovnosť
s+v = h+2, resp s+v -h = 2
Mnohosteny
 pravidelný štvorsten (tetraéder), steny sú rovnostranné trojuholníky,
 pravidelný šesťsten (hexaéder) - kocka, steny sú štvorce,
 pravidelný osemsten (oktaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky,
 pravidelný dvanásťsten (dodekaéder), steny sú pravidelné päťuholníky,
 pravidelný dvadsaťsten (ikosaéder), steny sú rovnostranné trojuholníky.
Obr. 16 Mnohosteny
26
Sieťou telesa [sieťou mnohostena] sa nazýva súvislý rovinný útvar, ktorý je
zjednotením častí [mnohouholníkov] zhodných s časťami hranice telesa [so stenami
mnohostena], rozloţených v rovine tak, ţe ich opätovným zloţením dostaneme
hranicu telesa [mnohostena]. V prípade mnohostena dotýkajúce sa hraničné
mnohouholníky majú spoločnú celú stranu.
Rozloţiť hranicu telesa (mnohostena) do roviny je moţné viacerými spôsobmi,
ale len niektoré z nich budú jeho sieťami, a teda vhodnými na vytvorenie
(papierového) modelu.
Vytvoriť (takýto) model telesa teda znamená:
 zostrojiť sieť telesa (mnohostena),
 umiestniť vhodne záloţky na zlepenie.
Najdôležitejšie vlastnosti pravidelných mnohostenov týkajúcich sa počtu
stien, vrcholov a hrán uvedieme prehľadne v nasledujúcej tabuľke:
Tab.2 Dôleţité číselné údaje o pravidelných mnohostenoch.
Počet
Názov
Počet hrán/strán
jedného
jednej
vrchola
steny
h
m
n
4
6
3
3
6
8
12
3
4
osemsten (oktaéder)
8
6
12
4
3
dvanásťsten (dodekaéder)
12
20
30
3
5
dvadsaťsten (ikosaéder)
20
12
30
5
3
stien
vrcholov
hrán
s
v
štvorsten (tetraéder)
4
šesťsten (hexaéder) –
pravidelného mnohostena
kocka
27
Na nasledujúcom obr.17 sú ukáţky sietí všetkých pravidelných mnohostenov (aj
so záloţkami). Nakreslite ďalšie siete pravidelných mnohostenov a zostrojte si
modely týchto telies.
Obr. 17
Siete pravidelných mnohostenov - platónskych telies aj so záloţkami:
štvorstena, šesťstena, osemstena, dvanásťstena, dvadsaťstena
28
Na obr. 18 je ukáţka hranového a stenového modelu konvexného mnohostena,
mnohostena s čiastočne rozloţenou sieťou a jeho siete
a)
b)
c)
d)
Obr. 18 Konvexný mnohosten
29
4.3 Siete valcov a kužeľov
Hranica valcov a kuţeľov je zjednotením ich plášťov a podstáv. Z toho vyplýva
výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P (ak budú dve, pridáme k
písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom Q.
Hranicu rotačného valca tvorí plášť a dve kruhové podstavy. Aby sme zostrojili
sieť valca, rozvinieme plášť do roviny. Preto plášť „rozstrihneme“ pozdĺţ jednej
tvoriacej úsečky a vznikne obdĺţnik. Dĺţky strán tohto obdĺţnika sú určené výškou
valca a obvodom podstavného kruhu.
k
r
k
S
S
s
v
r
v
S
2r
k
Z
k
r
S
r
r
S
30°
X r O
k
r
r
Y
Obr. 20 Rotačný valec a jeho sieť, rektifikácia kruţnice
Hranicu rotačného kuţeľa tvorí plášť a kruhová podstava. Plášť kuţeľa môţeme
tieţ „rozstrihnúť“ pozdĺţ tvoriacej úsečky s dĺţkou s a rozvinúť do roviny. Vznikne
kruhový výsek s polomerom s  r 2  v 2 (obr. 14b), pričom dĺţka oblúka sa rovná
dĺţke obvodu kruhovej podstavy l = 2πr. Stredový uhol kruhového výseku má veľkosť
  sl 
2 πr a obsah kruhového výseku, t.j. obsah plášťa je Q  πs 2
2π
s
30

πs 2 2 πr  πrs .
2π s
V
V

s
s
v
r
S
r
k
S
k
Obr. 21 Rotačný kuţeľ a jeho sieť
4.4 Siete n-bokých hranolov a ihlanov
V tejto časti sa budeme zaoberať vzťahmi, pomocou ktorých vypočítame povrch
jednoduchých hranatých telies, a to hranolov a ihlanov (vrátane zrezaných
ihlanov) a sieťami týchto telies.
Zjednotenie všetkých bočných stien hranola, ihlana alebo zrezaného ihlana
tvorí ich plášť. Hranica kaţdého z týchto telies je zjednotením jeho plášťa
a podstáv. Z toho vyplýva výpočet ich povrchov. Obsah podstavy telesa značíme P
(ak budú dve, pridáme k písmenu P indexy), obsah plášťa budeme značiť písmenom
Q.
C

a
C
A
C

A

A
C
B
v
B
B
C C
v
C
a
w
a
a
A
B
a
C
Obr. 22 Pravidelný 3-boký hranol a jeho sieť
31
C
B
a
A
Sieť ihlana z obr. 23 tvorí zjednotenie štyroch rovnoramenných zhodných
trojuholníkov so základňou a, výškou w (w je stenová výška) a jedného štvorca so
stranou dĺţky.
A
V
D
D
C
a
A
V
w
v
P
S
B
A
w
A
a
B
C
P
a
B
Obr. 23 Pravidelný 4-boký ihlan a jeho sieť
4.5 Siete zrezaných telies
Hranicu zrezaného rotačného kužeľa tvorí plášť a dve kruhové podstavy.
Pretoţe plášte rotačných kuţeľov sú kruhové výseky, plášť zrezaného kuţeľa sa
rozvinie do výseku medzikruţia – výseku kruhového pásu (ako rozdiel kruhových
výsekov
-
plášťov
pôvodného
a odrezaného
kuţeľa)
so
stranou
dĺţky
s  (r1  r2 )2  v2 , za predpokladu, ţe poznáme polomery podstáv a výšku
zrezaného rotačného kuţeľa. Obsah plášťa zrezaného rotačného kuţeľa je
Q  π(r1  r2 )s .

r2
s
2r
S2
2
2r
1
r1
S1
Obr. 24 Zrezaný kuţeľ a jeho sieť
32
Príklad konkrétnej konštrukcie siete a znázornenie zrezaného pravidelného
šesťbokého ihlana a jeho sieť vidíme na nasledujúcom obr. 25
Obr. 25 Zrezaný pravidelný šesťboký ihlan
33
4.6 Zaujíma vás?
Pravidelné mnohosteny alebo platónovské či Platónove telesá, sú špecifické
mnohosteny. Ich názov naznačuje, ţe boli známe matematikom uţ v starovekom
antickom Grécku. Napriek názvu neobjavil ich samotný Platón (ţil asi v rokoch 428347 pred n.l.), ale venoval sa len ich štúdiu v súvislosti s filozofiou. Pravidelné
mnohosteny boli opísané Euklidom (ţil asi v rokoch 365-300 pred n.l.) v 13. knihe
(kapitole) jeho Základov. Pravidelných mnohostenov je len päť typov a tento fakt bol
dokázaný aţ v 18. storočí. Podľa Platóna štvorsten predstavuje oheň, kocka zem,
osemsten vzduch, dvanásťsten éter, materiál, z kt. sú nebo a hviezdy, dvadsaťsten
vodu. Štvorsten, osemsten, dvadsaťsten patria do početnejšej skupiny telies, pretoţe
ich steny sú zhodné rovnostranné trojuholníky, nazývame ich deltaédry (z gréckeho:
stena = éder)..
Platónovské
telesá
sú
geometrickým
modelom
viacerých
(súmerných)
prírodných štruktúr. V chémii sa napr. študuje stavba molekúl a kryštálových mrieţok,
v mineralógii sa podobne študuje geometria kryštálov. Je všeobecne známe, ţe
chlorid sodný (NaCl – kuchynská soľ) kryštalizuje v kockách, ale asi uţ menej, ţe
napr. bór v dokonalých dvadsaťstenoch. Podľa najnovších objavov v biológii aj
mnohé vírusy, o ktorých sa predpokladalo, ţe majú guľovitý tvar, by mali mať tvar
pravidelného dvadsaťstena, napr. vírus detskej obrny a iné. Pravidelné mnohosteny
(ich rovinné grafy) sa študujú aj v teórii grafov.
Ku kaţdému konvexnému mnohostenu sa dá zostrojiť duálny mnohosten tak,
ţe za vrcholy duálneho mnohostena zvolíme stredy stien pôvodného. Potom vzniknú:
- duál štvorstenu = opäť štvorsten
- duál kocky = osemsten
- duál osemstenu = kocka
- duál dvanásťstenu = dvadsaťsten
- duál dvadsaťstenu = dvanásťsten
34
Worling - teória skladania papiera do geometrických tvarov, napr. štvorec,
obdĺţnik, trojuholník, päťuholník, šesťuholník a pod. Popis: Papier A4 - máme štyri
vrcholy, dva susedné, dva protiľahlé, spojte dva protiľahlé vrcholy, stisnite papier,
nechajte preloţené, spojíme dva najvzdialenejšie vrcholy, preloţíme tak, aby vznikla
stredová os, potom narovnáme naspäť, dve protiľahlé najkratšie strany priloţíme na
stredovú os a vznikne päťuholník (moţno).
Stella octangula - Je to hviezdicový mnohosten, ktorý je zloţený z dvoch do
seba prenikajúcich štvorstenov, tak vytvára hviezdu. Všetky steny sú zhodné
rovnostranné trojuholníky. Prienikom dvoch štvorstenov je pravidelný osemsten.
Obr. 19 Stella octangula
Projekt
Siete jednoduchých telies – Poďme sa hrať
Navrhnite a vytvorte model hračky pre deti alebo darčekového predmetu pre
dospelých zloţený z jednoduchých a zrezaných telies. Prezentujte svoj model formou
albumu fotografií.
35
5 Premietanie
5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko
priemetní
36
5.1 Pravouhlé premietanie na niekoľko priemetní
Pre zobrazenie predmetu do rovinnej plochy pouţívame rôzne
druhy premietania. Ak chceme zobraziť celkový tvar predmetu na
jednu plochu, tzv. priemetňu, pouţívame názorné obrazy telesa,
ktoré vyuţívajú tieto druhy premietania: pravouhlá axonometria
a šikmé premietanie. S týmito druhmi premietania sa budeme zaoberať neskôr.
Druhy premietania podľa sklonu premietacích lúčov:

Stredové premietanie: je také, ak premietané lúče vychádzajú z jedného
centra

Kosouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú navzájom rovnobeţné
a dopadajú na premietaciu rovinu šikmo

Pravouhlé premietanie: je také, ak premietacie lúče sú rovnobeţné a kolmé
na premietaciu plochu
Na dokonalé technické určenie tvaru telesa nestačí jeho názorný obraz. Vidíme len
obmedzený počet hrán a stien telesa. Preto v technickom kreslení zobrazujeme
predmety presnejším spôsobom, tzv. pravouhlým premietaním.
Rovinu, na ktorej zobrazujeme teleso, nazývame priemetňou. Samotný obraz je
priemet. Spôsob, akým teleso zobrazujeme, nazývame premietaním.
Pre technické zobrazovanie je typické, ţe zobrazovaný predmet umiestnime
vzhľadom na priemetne do priečelnej polohy
Priemetňa - rovina, na ktorú premietame

Nárysňa - označenie X,Z . Zobrazuje teleso pri pohľade spredu - 1

Bokorysňa - označenie Z,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zľava - 2

Pôdorysňa - označenie X,Y Zobrazuje teleso pri pohľade zhora - 3

ľavý bokorys

spodný pohľad

zadný pohľad
37
Obr. 26 Uloţenie priemetní
Obr. 27 Pravouhlé premietanie
Obr. 28 Zdruţené priemetne a priemety
38
6 Mongeovo premietanie
6.1 Priemety bodov
6.2 Priemety priamok
6.3 Priemety roviny, stopy roviny
6.4 Skutočná veľkosť úsečky
39
6.1 Priemety bodov
Mongeova projekcia (premietanie) je zobrazovacia metóda, v
ktorej priestorové objekty kolmo premietame do dvoch vzájomne
kolmých priemetní a potom tieto priemetne zdruţíme, t.j. jednu
otočíme okolo ich spoločnej priesečnice o uhol veľkosti 90° .
Zdruţením priemetní získame jedinú rovinu, tzv. nákresňu, v ktorej
máme obidva priemety zobrazovaných priestorových objektov.
Dve navzájom kolmé roviny π, υ v trojrozmernom euklidovskom priestore:
prvá priemetňa – rovina π; v technickej praxi pôdorysňa
druhá priemetňa – rovina υ; υ technickej praxi nárysňa
základnica x – priesečnica rovín π, υ
Obr. 29 Navzájom kolmé priemetne
Kolmé premietanie bodu A:
prvý priemet bodu A – pôdorys A1
Obr. 30 Pôdorysný priemet bodu A
druhý priemet bodu A – nárys A2
Obr. 31 Nárysný priemet bodu A
40
Obr. 32 Priemety bodu A
Združenie priemetní – otočenie O priemetne π okolo priamky x do priemetne υ tak,
aby kladná polrovina roviny π sa otočila do zápornej polroviny roviny υ.
Obr. 33 Zdruţené priemety
združené priemety bodu A (pôdorys, nárys) – usporiadaná dvojica bodov A1, A2
(ozn. [A1, A2])
ordinála bodu – spojnica bodov A1 A2 kolmá na základnicu x
Orientácia polpriestorov:
+
+
I. kvadrant (π , υ )
+
-
-
-
-
+
II. kvadrant (π , υ )
III. kvadrant (π , υ )
IV. kvadrant (π , υ )
Obr. 34 Rozmiestnenie kvadrantov
41
I. kvadrant: bod A (x, y>0, z> 0)
Obr. 35 Obraz bodu A v I. kvadrante
II. kvadrant: bod B (x, y <0, z >0)
Obr. 36 Obraz bodu A v II. kvadrante
42
III. kvadrant: bod C (x, y <0, z <0)
Obr. 37 Obraz bodu A v III. kvadrante
IV. kvadrant: bod D (x, y >0, z <0)
Obr. 38 Obraz bodu A v IV. kvadrante
43
6.2 Priemety priamky
Obraz priamky v Mongeovom premietaní je určený prvým a druhým priemetom
priamky.
Stopník priamky je priesečník priamky s priemetňou. Pôdorysný stopník P je
priesečník priamky s pôdorysňou, hľadáme preň prvý a druhý priemet - P P .
1
2
Obdobne nárysný stopník N je priesečník priamky s nárysňou a hľadáme preň N
1
N
2.
Niektorý stopník aj nemusí existovať, prípadne priamka leţí v niektorej súradnicovej
rovine a preto má nekonečne veľa stopníkov. Nech priamka a je vo všeobecnej
polohe vzhľadom k priemetniam a základnici.
združené priemety priamky – usporiadaná dvojica priamok [a1,a2]
a1 – pôdorys priamky a
a2 – nárys priamky a
Obr. 39 Zdruţené priemety priamky
44
Významné body priamky:
a
pôdorysný stopník priamky P – priesečník priamky a s priemetňou π (ak existuje);
a
P =a∩π
a
nárysný stopník priamky N – priesečník priamky a s priemetňou υ (ak existuje);
a
N =a∩υ
Niektoré špeciálne polohy priamky vzhľadom k priemetniam a základnici, určenie
stopníkov, ak existujú:
Priamka a je kolmá na pôdorysňu
Obr. 40 Priamka kolmá na pôdorysňu
Priamka a je kolmá na nárysňu
Obr. 41 Priamka kolmá na nárysňu
45
Priamka a leţí v rovine kolmej na pôdorysňu a nárysňu
Obr. 42 Priamka v rovine kolmej na obe priemetne
a || π
Obr. 43 Priamka rovnobeţná s pôdorysňou
a || υ
Obr. 44 Priamka rovnobeţná s nárysňou
46
a || x
Obr. 45 Priamka rovnobeţná s oboma priemetňami
Obraz bodu na priamke
Bod A leţí na priamke a práve vtedy, keď pôdorys bodu A1 leţí na pôdoryse priamky a1,
nárys bodu A2 leţí na náryse priamky a2.
Obr. 46 Obraz bodu na priamke
47
Obraz dvojice priamok
Priamky a, b sú vo všeobecnej polohe vzhľadom k rovinám π , υ a základnici x.
rovnobežné priamky: a||b
Obr. 47 Rovnobeţné priamky
Obr. 48 Obraz rovnobeţných priamok
48
rôznobežné priamky: axb
Obr. 49 Rôznobeţné priamky
mimobežné priamky: a,b
Obr. 50 Mimobeţné priamky
49
6.3 Priemety roviny, stopy roviny
Rovina je určená zdruţenými priemetmi určujúcich prvkov. Môţu to byť:

tri nekolineárne body

priamka a bod, ktorý na nej neleží

dve rovnobežné rôzne priamky

dve rôznobežné priamky
Obr. 51 Priemet roviny
α
p - pôdorysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou π, ak existuje,
α
p =α∩π
α
n - nárysná stopa roviny – priesečnica roviny s priemetňou υ, ak existuje,
α
n =α∩υ
Zápis roviny: α = (a, b, c) = [X(a,0,0) Y(0,b,0) Z(0,0,c)]
Obr. 52 Stopy roviny
50
Špeciálne roviny:
prvá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu π
Obr. 53 Rovina kolmá na pôdorysňu
druhá premietacia rovina – rovina kolmá na priemetňu υ
Obr. 54 Rovina kolmá na nárysňu
51
rovina rovnobežná so základnicou x, λ || x;
Obr. 55 Rovina rovnobeţná so základnicou
Obraz bodu a priamky v rovine
Bod leží v rovine práve vtedy, keď leží na priamke
roviny.
Obr. 56 Bod v rovine
Priamka v rovine určenej stopami: pôdorysný stopník priamky leţí na pôdorysnej
stope roviny a nárysný stopník priamky na jej nárysnej stope.
Obr. 57 Priamka a stopy roviny
52
Významné priamky roviny (rovina nemá špeciálnu polohu):
-
hlavné priamky
-
spádové priamky
Hlavné priamky sú priamky rovnobežné so stopami roviny
I
hlavná priamka I. osnovy – priamka h roviny rovnobeţná s priemetňou π;
I
h = α ∩ π’, π’||π
Obr. 58 Hlavná priamky I. osnovy
II
hlavná priamka II. osnovy – priamka h roviny rovnobeţná s priemetňou υ;
II
h = α ∩ υ’, υ’||υ
Obr. 59 Hlavná priamky II. osnovy
53
Spádové priamky sú priamky kolmé na stopy roviny (kolmé na hlavné priamky
roviny)
I
spádová priamka I. osnovy – priamka s roviny kolmá na hlavné priamky prvej
I
osnovy h ;
II
spádová priamka II. osnovy – priamka s roviny kolmá na hlavné priamky druhej
II
osnovy h ;
Obr. 60 Spádová priamka I. osnovy
Obraz dvojice rovín
Dve roviny a ich združené priemety:
rovnobežné roviny
α||β
Obr. 61 Rovnobeţné roviny
54
rôznobežné roviny
α ∩ β = r – priesečnica
Obr. 62 Rôznobeţné roviny
55
6.4 Skutočná veľkosť úsečky
Obr. 63 Sklopené body A,B
Obr. 64 Sklopené body A,B
56
Cvičenia
1. Bod A leţí v rovine ρ. Zostrojte chýbajúci prvý priemet bodu A.
Obr. 65 Zadanie a riešenie úlohy
Obr. 66 Iné riešenie úlohy
2. Daným bodom A veďte priamku a rovnobeţnú s danou priamkou b.
Obr. 67 Zadanie a riešenie úlohy
57
3. Daným bodom A veďte priamku a rôznobeţnú s danou priamkou b, ak poznáte
prvý priemet priamky a1.
Obr. 68 Zadanie a riešenie úlohy
4. Zostrojte stopy roviny ρ, ktorá je určená bodom A a priamkou b.
Obr. 69 Zadanie a riešenie úlohy
5. Daný je obraz trojuholníka ABC ⊂ ρ. Zostrojte trojuholník zhodný s trojuholníkom
ABC.
Obr. 70 Zadanie a riešenie úlohy
58
7 Kótovanie na technických
výkresoch
7.1 Kótovanie a prvky kótovania
7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení
7.3 Spôsoby kótovania
59
7.1 Kótovanie a prvky kótovania
Patrí k najzodpovednejšej práci pre kreslení, uľahčuje čítanie výkresov, výrobu
a montáţ.
Kótovanie je určovanie rozmerov súčiastky, jej tvaru a vzájomnej polohy tvarových
prvkov na súčiastke
Prvky kótovania:

kótovacia čiara

ukončenie kótovacej čiary

predlţovacia čiara (pomocná)

odkazová čiara

kóta
Obr. 71 Prvky kótovania
Kótovacia čiara

je to tenká súvislá neprerušovaná čiara

nesmie ju nič kriţovať

výnimočne kreslíme kótovaciu čiaru neúplnú

kótovacia čiara je:
o
priamka, ak kótujeme lineárne rozmery
o
oblúk, ak kótujeme uhly alebo oblúky a má stred vo vrchole uhla alebo
v strede oblúka
o
polpriamka, ak kótujeme polomery, začína v strede kótovaného
polomeru.
60
Ukončenie kótovacej čiary
a) šípkami

otvorené

uzatvorené

uzatvorené a plné (obr. 79)
b) bodkami, krátkymi úsečkami pod uhlom 45º
Obr. 72 Moţnosti kótovania
Obr. 73 Rôzne kótovanie
Predlžovacia (pomocná) čiara

je tenká súvislá čiara

väčšinou je kolmá na kótovaný obrys

môţe sa kresliť aj šikmo, ale v tom prípade musí byť odpovedajúca dvojica
rovnobeţná

kreslí sa vţdy za kótovaciu čiaru 1- 2mm

môţe prechádzať obrysmi, pretínať iné čiary a môţeme ju prerušiť
61
Odkazová čiara

tenká súvislá čiara

kreslí sa vţdy šikmo a na konci môţe byť zalomená vodorovne alebo zvislo

začína bodkou alebo šípkou, prípadne je bez začiatku
o
bodkou začína na ploche
o
šípkou na hrane
o
bez začiatku na kótovacej čiare

vţdy sa vynášajú mimo obraz

ak prechádzajú šráfovaním, musí sa ich sklon výrazne meniť od sklonu
šráfovania
Obr. 74 Odkazové čiary
Obr. 75 Pouţitie odkazových čiar
62
Kóta

je číselný údaj, ktorý udáva rozmer v milimetroch

výška čísla závisí od veľkosti obrázku

písmo - typ B - podľa formátu, hrúbky čiar

kóta sa píše vţdy nad kótovaciu čiaru a vţdy tak, aby sa výkres dal čítať zdola
nahor a sprava doľava

kóta nesmie byť rozdelená ţiadnou čiarou
Obr. 76 Vpisovanie kót
Obr. 77 Vpisovanie kót
Obr. 78 Vpisovanie kót
63
Ďalšie vlastnosti prvkov kótovania
-
pri kótovaní sa môţe medzi obrysovou a pomocnou čiarou vynechať medzera
-
kótovacia čiara je od obrysovej najmenej 7 mm vzdialená
-
kótovacie čiary sa musia ukončovať šípkami
-
veľkosť šípok je najmenej 2,5 mm
-
pri krátkych kótach môţe byť namiesto šípok úsečka sklonená pod uhlom 45º vpravo
-
kóta sa umiestňuje nad súvislou kótovacou čiarou vo vzdialenosti 1 mm
-
kóta, ktorá nezodpovedá nakreslenému rozmeru sa musí podčiarknuť
-
kóty sa uvádzajú v milimetroch, jednotky dĺţky sa neuvádzajú
-
uhly sa uvádzajú v stupňoch, minútach a sekundách
-
ak pretína šípka obrysovú čiaru, musí sa čiara prerušiť
-
kaţdý rozmer kótujeme iba raz
Obr. 79 Šípky a kótovacie čiary
64
7.2 Kótovanie polomerov, priemerov, uhlov, zaoblení
Kótovanie polomerov

pred kótu sa dáva značka "R" (Rádius)
Obr. 80 Kótovanie polomerov
Obr. 81 Rôzne druhy kótovania polomerov
65
Kótovanie priemerov

pred kótu dávame značku ϕ
Obr. 82 Kótovanie priemerov
Obr. 83 Kótovanie priemerov
Obr. 84 Kótovanie priemerov
Obr. 85 Kótovanie priemerov
66
Kótovanie uhlov
Obr. 86 Kótovanie uhlov
Obr. 87 Kótovanie uhlov
Kótovanie oblúkov

Stredový uhol

Dĺţkou tetivy

Dĺţkou oblúka
Obr. 88 Stredový uhol
Obr. 89 Dĺţka tetivy
Obr. 90 Dĺţka oblúka
Kótovanie skosení

vonkajšie skosenie
Obr. 91 Vonkajšie skosenie
67

vnútorné skosenie
Obr. 92 Vnútorné skosenie
Kótovanie zaoblení hrán

polomer zaoblenia

stred polomeru nevyznačujeme
Obr. 93 Kótovanie zaoblenia
Kótovanie opakujúcich sa prvkov

kótujú sa zjednodušene tak, ţe zakótuje sa
jeden pomocou značky násobenia.

na odkazovaciu čiaru sa uvedie celkový počet
prvkov
Obr. 94 Kótovanie opakujúcich sa prvkov
Kótovanie závitov
1. zobrazenie profilu závitu
2. vonkajší priemer
3. stúpanie iba ak je iné ako v STN
4. dĺţka závitu
Obr. 95 Kótovanie závitov na skrutke
68
7.3 Spôsoby kótovania
-
reťazcové kótovanie
-
kótovanie od jednej základne – je najpouţívanejšie
-
zmiešané kótovanie
Obr. 96 Reťazcové kótovanie
Obr. 97 Kótovanie od jednej základne
Obr. 98 Zmiešané kótovanie
Zadanie technickej dokumentácie
Narysujte podľa vzoru dva technické výkresy na výkres a na pauzovací papier:
-
hriadeľ
-
skrutka M12 x 1,5 dĺţky 50 mm
69
Obr. 99 Skrutka M12
Obr.100 Hriadeľ
70
8 Technické krivky
8.1 Technické krivky, rozdelenie
8.2 Elipsa
8.3 Metódy konštrukcie elipsy
8.4 Iné technické krivky
71
8.1 Technické krivky, rozdelenie
Názov „kuţeľosečky“ pomenováva moţnosť ich vytvorenia ako
prieniku rotačnej kuţeľovej plochy a príslušnej roviny rezu.
Kuţelosečky:

elipsa

kruţnica

hyperbola

parabola
Obr. 101 Kuţelosečky
Iné technické krivky:

evolventa

Archimedova špirála

skrutkovica
72
8.2 Elipsa
Elipsa je rovinná krivka, ktorá patrí do triedy kuţeľosečiek. Elipsu moţno definovať
ako mnoţinu všetkých bodov roviny, ktoré majú od dvoch pevných bodov F1 a F2
konštantný súčet vzdialeností, ktorý je väčší ako vzdialenosť týchto bodov.
Body F1, F2 sa nazývajú ohniská, priamka prechádzajúca bodmi F1, F2 sa nazýva
hlavná os elipsy, body A, B v ktorých os elipsy pretína elipsu sú hlavné vrcholy
elipsy, stred úsečky F1, F2 je stred elipsy a priamka kolmá na hlavnú os elipsy
prechádzajúca jej stredom je vedľajšia os elipsy a body C, D, v ktorých vedľajšia os
elipsy pretína elipsu sú vedľajšie vrcholy elipsy.
Obr. 102 Elipsa
Obr. 103 Elipsa
73
8.3 Metódy konštrukcie elipsy

trojuholníková

priečková metóda

metóda oskulačných kruţníc

pásikové metódy
Trojuholníková metóda
Obr. 104 Trojuholníková metóda
Obr. 105 Trojuholníková metóda
Priečková metóda
Obr. 106 Priečková metóda
74
Prúžková metóda
rozdielová
Obr. 107 Prúţková metóda rozdielová
súčtová
Obr. 108 Prúţková metóda súčtová
Prúžková konštrukcia elipsy
Majme dĺţky hlavnej a vedľajšej poloosi a, b. Na prúţok papiera si vyznačíme bod X
na jednom konci, bod 1 vo vzdialenosti b a bod 2 vo vzdialenosti a. Keď teraz
budeme pohybovať prúţkom tak, ţe bod 2 sa bude pohybovať po vedľajšej osi a bod
1 zasa po hlavnej osi elipsy, krajný bod X nám opíše hľadanú elipsu. Táto
konštrukcia má svoj názov odtiaľ, ţe na prúţku papiera máme naznačený rozdiel |12|
=a–b
75
Metóda hyperoskulačných rovníc
Obr. 109 Metóda hyperoskulačných rovníc
Metóda hyperoskulačných kružníc
Kvôli presnejšej konštrukcii krivky v jej jednotlivých bodoch pouţívame tzv. oskulačné
kruţnice, ktoré v okolí bodu nahrádzajú oblúk krivky. Oskulačná kruţnica má v bode
krivky tzv. trojbodový dotyk.
Pre konštrukciu krivky kuţeľosečiek v jej vrcholoch vyuţívame tzv. hyperoskulačné
kruţnice, ktoré majú v okolí vrcholov aţ štvorbodový dotyk.
Zostrojíme obdĺţnik SBS´C a jeho uhlopriečku CB. Z bodu S´ zostrojíme kolmicu na
uhlopriečku CB, ktorá pretne osi elipsy v hľadaných stredoch hyperoskulačných
kruţníc SB a SC pre vrcholy B a C (polomer je |SBB| a |SCC|). Stredy SA a SD pre
hyperoskulačné kruţnice pre vrcholy A a D sú symetrické podľa stredu S elipsy so
stredmi SB a SC (pre polomery platí: |SAA| = |SBB|, |SDD| = |SCC|).
76
Kužeľosečky v praxi
Obr. 110 Hyperbola
Obr. 112
Obr. 111 Parabola
Obr. 113 Parabolický hyperboloid
Elipsa
Obr. 114 Rotačný hyperboloid
77
8.4 Iné technické krivky
Evolventa - krivka, ktorá vzniká valením priamky h po kruţnici p, bod pevne spojený
s priamkou h opíše evolventu.
Postup:
Obvod kruţnice rozdelíme na určitý počet rovnakých dielov, oblúk prislúchajúci
jednému dielu zretifikujeme a nanesieme na dotyčnice vedené ku kruţnici v deliacich
bodoch
Obr. 115 Konštrukcia evolventy
Obr. 116 Konštrukcia evolventy
Obr. 117 Evolventa
78
Archimedova špirála – rovinná krivka vytvorená rovnomerným pohybom bodu po
sprievodiči, ktorý sa rovnomerne otáča okolo pólu.
Postup konštrukcie:
Ak sa otočí sprievodič o uhol 2π , bude sa vzdialenosť bodu A od začiatku rovnať r0.
Uhol 2π rozdelíme na n rovnakých dielov a tieţ úsečku r0, na jednotlivé sprievodiče
nanesieme od začiatku postupne dĺţky r0/n, 2r0/n...
Obr. 118
Archimedova špirála
Obr. 119 Archimedova špirála
Obr. 120 Archimedova špirála
Obr. 121 Archimedova špirála
79
Skrutkovica – priestorová krivka, ktorú opíše bod A rovnomerným otáčaním okolo
osi o a súčasným rovnomerným posuvom v smere tejto osi – pravotočivé
a ľavotočivé
Obr. 122 Skrutkovica
Postup konštrukcie
Obvod kruhovej podstavy valca, na ktorom má byť skrutkovica vytvorená, rozdelíme
na vhodný párny počet rovnakých dielov (napr.12) a rozvinieme ho do priamky. Ak
sa otočí bod o 2π, posunie sa súčasne v smere osi o veľkosť stúpania s. Veľkosť
stúpania s vynesieme na kolmicu v koncovom bode rozvinutého obvodu podstavca
valca. Vznikne tak základný tvoriaci trojuholník, ktorého prepona po navinutí na
valec vytvorí hľadanú skrutkovicu.
80
Obr. 123 Skrutkovica
Obr. 124 Skrutkovica
Obr. 125 Skrutkovica
81
2. ročník
9 Názorné zobrazovanie
9.1 Názorné zobrazovanie
9.2 Kosouhlé premietanie
9.3 Pravouhlá axonometria
9.4 Zaujíma vás?
82
9.1 Názorné zobrazovanie
Na zobrazovanie predmetov na technických výkresoch sa pouţívajú rôzne metódy
premietania normalizované v technických normách ISO 5456-1 aţ 4.
Tieto metódy moţno rozdeliť na dve základné skupiny:

metódy 3D, ktoré poskytujú trojrozmerný pohľad na predmet - názorné
zobrazovanie,

metódy 2D, ktoré zobrazujú predmet dvojrozmernými obrazmi - kolmé
premietanie – zobrazovanie.
V technickej literatúre a v technickej praxi sa často snaţíme vytvoriť
obrazom ţiadúcu predstavu o skutočnom tvare predmetu.
Pouţívame pritom premietanie na jednu plochu, tzv. priemetňu.
Zobrazovanie priestoru do roviny sa uskutočňuje teda špecifickým spôsobom.
Existujú dva základné druhy premietania:
-
stredové premietanie (SP)
-
rovnobežné premietanie (RP).
Obr. 126 Stôl s kompozíciou v RP a SP
Stredové premietanie nie je zobrazovacou metódou. Špeciálnym prípadom je
lineárna perspektíva, ktorá sa pouţíva hlavne v technickej praxi (v architektúre
a stavebníctve - návrhy projektov stavieb a pod.).
83
Rovnobežné premietanie je zobrazenie, ktoré spĺňa poţiadavku názornosti,
príslušná teória aj praktické zostrojovanie rovnobeţných priemetov sú jednoduché
a pochopiteľné pre študentov stredných škôl.
Názorné zobrazovanie je také zobrazenie predmetov, z ktorého je z jedného
obrázka zrejmý celkový tvar predmetu.
Názorné obrázky zostrojujeme spravidla týmito druhmi
premietania:
-
kosouhlé premietanie (šikmé premietanie)
-
pravouhlá axonometria
84
rovnobežného
9.2 Kosouhlé premietanie
Najjednoduchším spôsobom názorného zobrazovania tvaru telies je kosouhlé
premietanie. Priemetom čelnej steny je obraz jej skutočnej veľkosti i tvaru. Šikmé
priemety hrán bočnej steny sú skrátené. Pri skosení priemetu na 45º sa rozmer
bočnej steny skráti na ½ (k).

kosouhlé premietanie – uhol medzi osami x,y = 135º, k=0,5
Ak k = 1 - kavalierna alebo kavalierska perspektíva
Ak je izometrický na vodorovnú priemetňu – vojenská perspektíva
Obr.127 a) vojenská perspektíva, b) kavalierna perspektíva, c) kosouhlé premietanie
Vojenská perspektíva je zobrazenie vhodné na technické výkresy pouţívané v
urbanizme pri návrhu sídlisk a zostrojovaní priemetov objektov s komplikovaným
pôdorysom a zloţitou stavbou. Priemety súradnicových osí x a y sú kolmé, a platí
p : q : r = 1 : 1 : 1, čiţe jx = jy = jz
Kavalierna perspektíva je šikmé premietanie, v ktorom sa premieta do roviny
rovnobeţnej s nárysňou alebo bokorysňou. Pouţívala sa uţ v 16. a 17. storočí pri
zhotovovaní plánov (tzv. vedút) dôleţitých miest a sídlisk. Priemety súradnicových
osí x a z, príp. y a z sú kolmé, a p : q : r = 1 : 1 : 1, jx = jy = jz.
Obe spomenuté zobrazenia sa pouţívali na vojenské účely, praktickosť konštrukcií
prevládala nad dobrou názornosťou.
85
9.3 Pravouhlá axonometria
V praxi sa pouţívajú dva druhy axonometrického premietania:
a) izometria – uhly osí x, y, z = 120º, k = 1
b) technická dimetria – uhly osí x, z = 97º, uhly osí z, y = 131º, k = 0,5
Obr. 128 Izometria
Obr. 129 Dimetria
V izometrii pri zobrazení kocky sú priemety kruţníc zhodné elipsy, ktorých
osi sú zhodné s uhlopriečkami kosoštvorcov, do ktorých sa premietajú steny kocky.
86
Ak je skutočná veľkosť strany kocky s a ak nanášame rozmery neskrátene, potom
dĺžky osí elíps sú:
2a = 1,226.s
2b = 0,707.s
V dimetrii sa kruţnice vpísané do stien kocky zobrazia ako elipsy e 1, e2, e3. Elipsa e1
v priečelnej stene blíţi kruţnici a elipsy e2 a e3 sú zhodné a platí:
2a1 = 2a2 = 2a3 = 1,06.s
2b = 0,955.s
Zobrazovanie predmetov na jednu priemetňu je obtiaţne najmä pri rotačných
tvaroch, kde treba kresliť elipsy. To je jedna z hlavných príčin, prečo sa názorné
priestorové zobrazovanie pouţíva na technických výkresoch len zriedkavo. Kosouhlé
a axonometrické obrazy pouţívame iba ako doplnok k technickým výkresom
v kolmých pravouhlých priemetoch.
Obr. 130 Vyuţitie izometrie
87
Obr. 131 Názorné zobrazenie
88
9.4 Zaujíma vás?
Snaha človeka zobraziť rôzne priestorové objekty do roviny
vznikla
z praktických
potrieb.
Niektoré
prvky
zobrazovania
trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny boli známe uţ
pomerne dávno pred naším letopočtom (napr. náčrt mestského plánu
Nippuru, starého kultového sumerského strediska, asi 15. storočie pred n.l.). Metódy
na zobrazenie priestoru do roviny sa rozvíjali postupne a veľmi dlho, boli podmienené
prvotnou snahou umelcov o verné zobrazenie okolitého sveta. Po kolmom premietaní
(plány miest) to bola lineárna perspektíva, ktorú objavili aţ renesanční umelci (14.16. storočie) a bola pouţívaná a rozvíjaná ako názorná metóda veľmi blízka
ľudskému vnímaniu očami okrem maliarov zo začiatku aj architektmi a staviteľmi pri
navrhovaní stavieb. Ciele zobrazovania však boli a sú u maliarov aj architektov a
staviteľov rôzne. Technický obraz priestorového útvaru musí byť nielen názorný, ale
aj presný a mal by sa dať jednoducho zostrojiť, a na druhej strane z obrazu
v nákresni by sa mali dať určiť niektoré vlastnosti priestorového útvaru, ako napr.
tvar, rozmery a pod. Z týchto dôvodov sa v technických aplikáciách vyuţívajú metódy
zobrazovania priestoru do roviny, ktorých základom je rovnobeţné premietanie. Tieto
presné metódy skúma samostatná matematická a technická disciplína - deskriptívna
geometria. Jej teoretické základy vypracoval dôsledne aţ na konci 18. storočia
francúzsky matematik, geometer a fyzik Gaspard Monge (1746-1818) vo svojej
knihe „Géométrie descriptive“.
89
Zadanie technickej dokumentácie
Zobrazte kocku
-
v kosoúhlom premietaní
-
v izometrii
Obr. 132 Kocka v kosoúhlom premietaní
90
Obr. 133 Kocka v izometrii
91
10 Osvetlenie telies
10.1 Osvetľovanie telies
10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého
tieňa
92
10.1 Osvetľovanie telies
Kaţdý predmet, ktorý pozorujeme v priestore je osvetlený.
Dôleţitým sprievodným javom osvetľovania je tieň. Niektoré steny sú vţdy odvrátené
od zdroja svetla a sú teda vo vlastnom tieni. Nepriehľadné teleso súčasne bráni
priechodu svetla na podloţku a okolité objekty a vytvára tak vrhnutý tieň.
Podľa zdroja svetla rozlišujeme osvetľovanie:

rovnobežné - svetelné lúče sú rovnobeţné (zdroj svetla je nekonečne
vzdialený - slnečné lúče)

stredové - svetelné lúče vychádzajú z jedného bodu ( zdroj svetla je bodový
napr. osvetlenie ţiarovkou)
Skonštruovaním vrhnutých a vlastných tieňov predmetov vyvoláme dokonalý
priestorový dojem.
Pri osvetľovaní v technickom kreslení pracujeme so zidealizovanými podmienkami:

osvetlenie je rovnobeţné (svetelné lúče sú rovnobeţné, podobne ako je to
pribliţne pri slnečných lúčoch)

osvetľované útvary sú nepriehľadné a neodráţajú slnečné lúče
Osvetľovanie v mongeovej projekcii:

Vrhnutý tieň bodu na rovinu je priesečník svetelného lúča vedeného týmto
bodom so záchytnou rovinou (priemetňou).

Rovinný útvar leţiaci v rovine rovnobeţnej s priemetňou a jeho vrhnutý tieň sú
útvary zhodné, vzájomne posunuté v smere svetla.

Vrhnutý tieň kruţnice v rovine rovnobeţnej s priemetňou je opäť kruţnica,
posunutá do priemetne v smere svetla.
93
Technické osvetľovanie

často sa pouţíva pri osvetľovaní fasády budov. Šírka tieňa v oknách a
dverách udáva hĺbku ich zapustenia

rovnobeţné
osvetľovanie,
svetelné
lúče
sú
rovnobeţné
uhlopriečkou kocky, zvierajú so základnicou uhol 45 stupňov.
Obr. 134 Osvetľovanie telies
Obr. 135 Vrhnutý tieň
94
s telesovou
10.2 Konštrukcia vlastného a vrhnutého tieňa
Obr. 136 Vlastný a vrhnutý tieň telesa
Obr. 137 Vlastný a vrhnutý tieň ihlanu
95
Obr. 138 Vlastný a vrhnutý tieň telesa
Obr. 139 Vlastný a vrhnutý tieň kuţeľa
96
11 Perspektívne zobrazovanie
11.1 Perspektíva
11.2 História perspektívneho zobrazovania
11.3 Základné pojmy
11.4 Druhy perspektív
11.5 Konštrukcia perspektívy
11.6 Anamorfóza a neskutočná perspektíva
97
11.1 Perspektíva
Kaţdý, kto sa pustí do kreslenia zátišia alebo krajiny, narazí na
problém zobrazenia hĺbky priestoru. Vynorí sa otázka, ako zobraziť
trojrozmerný priestor na ploche papiera. Na preštudovanie zákonov
perspektívy je nutné venovať trochu viac času, ale my sa pokúsime
tento problém zjednodušiť a poukázať iba na to, čo je pre nás najdôleţitejšie.
Perspektíva je vlastne spôsob, akým naše oči vnímajú priestorové vzťahy
medzi predmetmi. Povedané inými slovami a veľmi jednoducho – čím sú predmety
vzdialenejšie, tým sa nám zdajú menšie. Ilustrujme si túto vetu na veľmi známom
príklade – predstavte si, ţe stojíte na koľajniciach a očami hľadáte ich neviditeľný
koniec. Bude sa Vám zdať, ţe koľaje sa v diaľke zbiehajú do jedného bodu, hoci
viete, ţe v skutočnosti sú rovnobeţné. Človek, stromy a vôbec všetky predmety
stojace v diaľke sa vám budú zdať menšie ako sú naozaj.
Keď sa postavíte pod vysokú budovu, ktorá má rovnobeţné strany, tieto sa vám
budú javiť akoby sa do výšky zbiehali. Keby ste strany budovy predĺţili, priamky by
sa stretli v jednom bode. Na pochopenie tohto javu si musíme objasniť niekoľko
dôleţitých pojmov: pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a ktoré sa
nám zdajú zbiehavé, sa volajú úbežníky. Stretávajú sa v bode, ktorý nazývame
úbežníkový bod.
Samozrejme, tento bod v skutočnosti neexistuje, pouţívame ho len ako pomôcku
pri konštruovaní perspektívneho zobrazovania. Keď kreslíme, je dôleţité vedieť, kde
sa vlastne tento bod nachádza. Nachádza sa na horizonte, a to je rovina presne vo
výške našich očí. Pozor – tento horizont nie je totoţný s horizontom krajiny! Keď je
pozorovaný predmet vo vyššej pozícii ako pozorovateľ, úroveň jeho očí – a teda
horizont – bude zníţený. Takémuto zobrazovaniu hovoríme aj ţabia perspektíva.
Keď kreslíme predmety z vysokého stanovišťa, povieme, ţe kreslíme z vtáčej
perspektívy.
98
11.2 História perspektívneho zobrazovania
Staroveký Egypt
Uţ Egyptskí výtvarníci pozorovali, ţe postavy v ich blízkosti sú veľké a naopak
s rastúcou vzdialenosťou od pozorovateľa sa zmenšujú aţ sa nakoniec úplne
"stratia". Na kresbách, ktoré znázorňovali akýsi dej, bol vţdy ústrednou postavou
faraón, jeho kňazi a úradníci. Faraón však vynikal svojou veľkosťou v popredí, kňazi
boli menší, vojaci ešte menší a úplne najmenší
kreslené
boli radoví ľudia. Postavy sú
mimoriadne realisticky, avšak len z profilu a bez pouţitia perspektívy.
Jedná sa teda o významovú perspektívu, čo znamená, ţe Egypťania zdôrazňovali
veľkosťou hodnosť alebo moc kaţdej postavy, preto je faraón najväčším.
Obr. 140 Egyptská perspektíva
Staroveký Rím
Prvú zmienku o perspektíve nájdeme v Ríme a to u rímskeho architekta a
staviteľa Vitruvia Pollia. Ten tvrdil: "Potom, čo určíme stredový bod, musia sa čiary
ako v prírode zbiehať v projekčnom bode zorných paprskov tak, ţe mnohé časti sa
zdajú ustupovať dozadu, zatiaľ čo iné vystupujú dopredu."
Slovo perspektíva však nemá rovnaký význam po celú dobu ľudstva. V
minulosti sa slovo perspektíva pouţívalo k označeniu súboru poučiek z geometrickej
optiky. Tieto poučky dnes môţeme nájsť v Euklidových spisoch, v ktorých ide o
zdôraznenie priamočiareho šírenia svetla. Euklides ale objavil omnoho viac pre
deskriptívu. Skúmaním optiky zistil, ţe náš vizuálny obraz sa skladá z priamok, ktoré
99
vychádzajú z oka a tvoria kuţeľ. A tak sa objavujú prvé pokusy o perspektívne
zobrazenie predmetu. Nakoľko však rímska ríša zaniká, vývoj sa spomaľuje.
Zopakujme si
Ako by ste definovali jednoduchými slovami pojem perspektíva?
Čo platí pre znázorňovanie blízkych a vzdialených predmetov v perspektíve?
Ako sa nazývajú pomyselné čiary, ktorými predlţujeme rovnobeţné línie a zdajú sa
nám zbiehavé?
V akom bode sa tieto priamky zbiehajú?
Čo chápeme v perspektíve pod pojmom horizont?
Kde sa nachádza horizont v porovnaní s pozorovaným predmetom pri ţabej a kde pri
vtáčej perspektíve ?
Ako sa nazýva perspektíva pouţívaná v umení Starovekého Egypta?
Aký je princíp perspektívy pouţívanej v Starovekom Egypte?
Ako sa volal rímsky architekt, ktorý ako jeden z prvých začal vyuţívať perspektívu?
100
Renesancia
14. storočie, obdobie renesancie, najlepšie charakterizuje nová architektúra,
ktorá pouţitím jednoduchých geometrických tvarov a symetrie usiluje o jasné
definovanie a ovládnutie priestoru. O to sa snaţí aj maliarstvo. Od prvých nesmelých
pokusov sa v priebehu krátkej doby jedného storočia podarilo prevaţne florentským
maliarom nájsť všetky dôleţité zákonitosti lineárnej perspektívy. Jej pouţitie im
umoţňovalo maľovať úplne bezchybné perspektívne obrazy. Pritom toto hľadanie
nestavalo na znalostiach matematiky a geometrie, ale bolo prevaţne intuitívne,
odvodené od priameho pozorovania a pokusov.
V tomto období sa objaví muţ menom Giotto, ktorý vysloví nesúhlas so
svetskou byzantskou abstrakciou. Tento maliar ako prvý do svojej tvorby zahrňuje
perspektívu. Príklad jeho chápania perspektívy je vidieť na obrázku Giottovej fresky
Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi (okolo 1325, obr.141), ktorá sa nachádza v
kostole Santa Croce vo Florencii. Giotto uţ vedel, ţe na vyvolanie ilúzie
rovnobeţných čiar treba namaľovať čiary, zbiehajúce sa k spoločnému úbeţníku. Na
druhej strane však úbeţník priamok prislúchajúcich miestnosti ako celku a úbeţník
priamok prislúchajúcich baldachýnu, sú rôzne. Zdá sa preto, ţe obraz má dva hlavné
body
(t.j.
úbeţníky
priamok idúcich do hĺbky)
a aj dva horizonty. To
znamená, ţe u Giotta je
perspektíva
"lokálna",
akoby
rôzne
prvky
architektúry sú zakreslené
v rôznych pohľadoch.
Obr. 141 Giotto, Zjavenie bratovi Augustínovi a biskupovi
Ďalším intuitívnym perspektívcom
bol Amerogio Lorenzetti. Jeho obraz
Zvestovanie (1344) uţ prináša do maliarstva úplne novú hodnotu. Všetky hĺbkové
priamky, ktoré sú kolmé na rovinu obrazu, sa zbiehajú v jedinom úbeţníkovom bode.
Z geometrického hľadiska je na obraze zaujímavá dlaţba, pomocou ktorej Lorenzetti
101
vyvoláva ilúziu hĺbky priestoru. Bočné hrany dlaţdíc sa zbiehajú do jediného bodu,
ktorý je súčasne aj hlavným bodom obrazu (t.j. obraz je maľovaný vo frontálnom
pohľade). To je v súlade s geometrickými princípmi. Keď si však do siete dlaţdíc
zakreslíme uhlopriečky, zistíme, ţe tieto tvoria krivku. Z geometrického hľadiska je to
nesprávne,
lebo
v
skutočnosti
je
diagonálou priamka, a pri stredovom
premietaní sa táto musí zobraziť opäť
na
priamku.
Preto
čiara
tvorená
uhlopriečkami dlaţdíc na obraze by
mala
byť
priamkou.
Otázka,
ako
správne zobraziť dlaţbu predstavovala
váţny technický problém. Lorenzetti uţ
vie, ţe dlaţdice na obraze sa musia
postupne zmenšovať, ale ešte nevie
podľa akého pravidla. Pravidlo, ako sa
majú na obraze zmenšovať dlaţdice
objavil aţ Alberti.
Obr. 142 Lorenzetti, Zvestovanie
V renesancii perspektíva opäť oţíva aj vďaka architektovi menom Filippo
Bruneleschi, ktorý je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie
perspektívy.. Pri stavbe florentského domu vytvoril systém vyuţívajúci pôdorys i
nárys, čo umoţňovalo pomocou priesečníkov rovnobeţiek nakresliť perspektívne
zobrazenie. Jeden jeho priateľ maliar, architekt a historik Vassari o ňom povedal:
"Vynález perspektívy uspokojil Filippa natoľko, ţe rýchlo namaľoval Plaza de San
Giovanni a reprodukoval krásu čiernobielych mramorových dlaţdíc, ktoré ubiehali do
vnútra chrámu."
Vďaka jeho technike namaľoval Masaccio svoju Najväčšiu trojicu. Vassari sa
k tejto freske opäť vyjadruje: "Ale to najkrásnejšie, keď opomenieme postavy, je
perspektívny obraz tabuľovej valenej klenby pri pohľade zdola. Optické skrátenie je
tak skvele namaľované, ţe strop pôsobí ako reliéf".
102
Obraz
znázorňuje
imaginárnu
architektúru,
výklenok, v ktorom je Kristus na kríţi a pod ním kľačia
modliace sa postavy donátorov (obrazy tých, ktorí dielo
financovali), ďalej pod nimi akoby zo steny vystupuje
Adamov
hrob
s
kostrou,
ako
symbol
ľudskej
pominuteľnosti v kontraste s večnosťou Najsvätejšej
trojice. Po odhalení diela boli údajne súčasníci
zaskočení
jeho
dokonalosťou.
Vraj
v prvých
okamţikoch pri vstupe do chrámu verili, ţe vidia
skutočný výklenok alebo dokonalý reliéf.
Obr. 143 Masaccio, Najsvätejšia trojica
Ďalším významným architektom, ktorý sa zaoberal hĺbkovou perspektívou bol
Leon Battista Alberti. Vo svojej knihe O maliarstve uvádza vzorec na zistenie
vzdialenosti medzi opakujúcimi sa tvarmi v hĺbke. Výtvarníci túto vzdialenosť len
odhadovali a väčšinou dosť nepresne.
Na
Albertiho
nadviazal
taliansky
maliar
Andrea
Mantegna.
Jeho
vynachádzavé narábanie s perspektívou a iluzionistickými efektmi spôsobuje, ţe svet
jeho obrazu akoby prekračoval
svoje hranice a vnucuje sa do
priestoru diváka. Na jeho obraze
Oplakávanie
pouţíva
mŕtveho
dramaticky
perspektívu.
Divák
Krista
skrátenú
má
pocit,
akoby nohy Krista vystupovali
z obrazu a keď sa vzďaľuje od
obrazu, zdá sa, ţe ho postava
sleduje.
Obr. 144 Andrea Mantegna, Oplakávanie mŕtveho Krista
103
V 15. storočí bola Albertiho metóda ešte zdokonalená maliarom Pierom della
Franceskom. V tejto
dobe bola perspektíva
prvýkrát
v
umenia
povaţovaná
za
umenie
dejinách
riadnej
výstavby obrazu.
Obr.145 Piero della Francesca, Bičovanie Krista
Veľmi významným renesančným perspektívcom bol Leonardo da Vinci, ktorý
vo svojej knihe uvádza: "Perspektíva je ako pohľad
na teleso, ktoré leţí za
sklenenou tabuľou a v nej sa odráţa". Objavil dvojstredovú
atmosférickú
perspektívu. Jeho vyspelú perspektívu je vidieť na obrazoch ako sú: Klaňanie troch
kráľov, Posledná večera, Madona v skalách.
Obr. 146 Leonardo da Vinci, Posledná večera
104
Okrem podrobného štúdia perspektívy zistil Da Vinci a Raffaello aj nedostatky
perspektívneho zobrazovania. V rohoch obrazu vo veľkej vzdialenosti od hlavného
bodu sú obrazy extrémne skreslené. Ak si divák prezerá obraz z rôznych stanovíšť
a ak je plátno široké, môţe sa stať, ţe v určitých pohľadoch vidíme nevýhody
lineárnej perspektívy. Toto skreslenie sa môţe prejaviť tým viac, čím väčší zorný
uhol obrazu zvolíme. Typickými príkladmi sú diela Klaňanie troch kráľov od Leonarda
a Aténska škola od Raffaella.
Obr.147 Leonardo da Vinci, Klaňanie troch kráľov
Obr. 149 Raffaelo Santi, Aténska škola
105
Obr. 148 Leonardo da Vinci, Madona v skalách
Okrem Leonarda da Vinci sa štúdiom perspektívy v renesancii veľmi podrobne
zaoberal aj nemecký maliar Albrecht Dürer. Bol to maliar s veľkým talentom, ktorý
bol obdarený fantáziou a ohromným pozorovacím talentom. Mal pocit, ţe umenie by
malo mať správne teoretické základy. Navštívil Bolognu, aby sa naučil umeniu
„tajnej perspektívy“, ktorej zákonitosti podrobne študoval a prakticky overoval. Svoje
vedomosti uverejnil vo svojej práci Pojednanie o meraní.
Obr. 150 Dürerove štúdie
Obr. 151 Dürerove štúdie
V renesancii tieţ Quido Ubaldo del Monte uskutočnil dôkaz o tom, ţe sa
rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu. Tento dôkaz sa nazýva punctu
concursuum.
106
Perspektíva, podobne ako iné veľké myšlienky svojej doby, bola ohromne
precenená. Nebola vţdy chápaná ako jedna zo zloţiek správneho maliarstva, ale ako
jeho podstata. Niektoré maliarske diela sa zvrhli v akúsi geometrické cvičenia, i keď
krásne. Príkladom je Zvestovanie so
svätým Emidiom od Carla Crivelliho
z roku 1486. Kvalita perspektívnej
kompozície
bola
chápaná
ako
merítko umeleckej hodnoty diela.
Vlastná
myšlienka
obrazu
ustupovala do pozadia.
Obr. 152 Carl Crivelli, Zvestovanie so svätým Emidiom
107
často
Zopakujme si
Ako sa volal taliansky renesančný maliar, ktorý ako prvý do svojej tvorby zahrňuje
princípy perspektívy a ktorá freska je typickým príkladom jeho chápania perspektívy?
Aká chyba perspektívy je na obraze Lorenzettiho Zvestovanie?
Ktorý renesančný architekt je povaţovaný za objaviteľa a vynálezcu konštrukcie
perspektívy?
V čom je prínos dokonalej perspektívy na Massaciovej freske Najsvätejšia trojica?
V akej knihe sa Alberti venoval výpočtom vzdialeností v perspektíve?
Ako sa volá obraz Andrea Mantegnu, na ktorom perfektne pouţil dramaticky skrátenú
perspektívu?
Uveďte tri najdôleţitejšie diela Leonarda da Vinci, na ktorých je najviac vidieť jeho
vyspelú perspektívu.
Uveďte dvoch maliarov a názvy ich diel, ktoré sú typickými príkladmi nevýhody
lineárnej perspektívy, ktorá má priveľký zorný uhol.
Ako sa volal renesančný nemecký maliar, ktorý podrobne aj prakticky študoval
perspektívu a spracoval jej teoretické zákonitosti v knihe Pojednanie o meraní?
Ako sa volá dôkaz o tom, ţe sa rovnobeţky v perspektíve zbiehajú do jedného bodu?
Uveďte jeden príklad maliara, ktorého perspektíva sa stala takmer geometrickým
cvičením na úkor myšliebky obrazu?
108
Baroko
Zobrazované figúry majú v tomto období expresívne gestá, často sú
deformované, bez ohľadu na anatómiu, len aby dobre vyjadrili náboţenský záţitok
a odovzdanie. Perspektíva z obrazu zmizla. Prejavuje sa len na postavách a vo
výzdobe interiérov. Znalosť perspektívy totiţ umoţňovala efektnú iluzionistickú
výzdobu, imaginárne pokračovanie priestoru. Z maliarov tohto
obdobia vyuţíval
intuitívne zásady perspektívy holandský maliar Jan van Eyck (1441). Jeho obrazy
vynikali takmer fotografickou presnosťou, neskôr bolo jeho oko nazývané teleskopom
a mikroskopom zároveň.
Dôkazom
je
jeho
dokonalý
naturalistický portrét Portrét manţelov
Arnolfiniovcov (1434). Takmer sa nechce
veriť,
ţe
Eyck
geometrickú
nepoznal
konštrukciu
správnu
lineárnej
perspektívy. Ak si však predĺţime línie
spárov podlahy, stropu a okna, vidíme, ţe
sa
pretínajú
v niekoľkých
rôznych
úbeţníkoch. Sú však veľmi blízko seba,
takţe dojem priestoru je vynikajúci.
Obr. 153 Jan van Eyck, Portrét manţelov Arnolfiniovcov
Iným maliarom – perspektívcom v období baroka bol v katolíckom Španielsku
pôsobiaci Diego Veláquez (1599 - 1660), a to priamo na kráľovskom dvore. Bol
veľkým priaznivcom perspektívy, geometrie a optiky. Na obraze Las Meninas (1656)
zobrazuje princeznu, dvorné dámy a tieţ seba ako kreslí kráľa a kráľovnu. Tí sa
odráţajú v zrkadle na protiľahlej strane miestnosti. Perspektíva Veláquezovho
ateliéru je jednoduchá a bezchybná. Všetko sa zbieha k jedinému
109
úbeţníku
zvýraznenému svetlou plochou otvorených dverí. Perspektíva však nepôsobí
prehnane, je zmäkčená tmavým pozadím a krivkou postáv v prednom pláne.
V nasledujúcich umeleckých obdobiach uţ od konca 16. storočia je perspektíva ako
výrazový prostriedok takmer nepouţívaná. Mnoho umelcov ju zavrhuje ako otrockú
a zväzujúcu
priestoru
metódu.
je
umeleckými
Zobrazenie
nahradené
prostriedkami
inými
–
hrou
tieňov, svetla a farieb. Často sa však
maliari
dopúšťajú
a priestupkov
proti
hrubých
jej
chýb
zákonom.
Paradoxne, keď maliarstvo lineárnu
perspektívu
a matematici
opustilo,
ju
teoreticky
geometri
povýšili.
Z umeleckých smerov dodrţiavajúcich
zásady perspektívy bol výraznejší len
impresionizmus.
Obr. 154 Diego Veláquez, Las Meninas
Impresionizmus
Vynález
fotografie (Francúz Nicephon Niepce roku 1827 zhotovil prvú
neumelú fotografiu a Luis Daguerre predviedol svoj objav daguerrotypie 1839) bol
jedným z najvýraznejších vplyvov na maliarstvo a zavŕšení znalostí perspektívy
v 19.storočí.
Najviac boli fotografiou ovplyvnení impresionisti. Pouţívali ju ako vzor
k presvedčivému zobrazeniu pohybu. Fotografia im umoţnila doslova "vidieť"
perspektívu a dokonale ju pochopiť. Impresionisti sa tak stávajú najlepšími, ale, ako
sa potvrdí neskôr, tieţ poslednými plnými perspektívcami.
110
Obr. 155 Monet, Most v d'Argenteuil
Obr. 156 Alfred Sisley, Bridge at Hampton Court
Keď na konci 18. storočia uzrela svetlo sveta deskriptívna geometria, ktorej
tvorcom bol Gaspard Monge, dostalo sa i na perspektívu a jej vedecký podklad.
Dnes sa s perspektívnym zobrazením stretávame takmer na kaţdom kroku.
111
Zopakujme si
V čom sa prejavuje perspektíva v období baroka?
Ktorý holandský maliar vyuţíval aţ fotograficky presnú perspektívu?
Ktoré jeho dielo je typickým príkladom správneho pouţitia perspektívy?
Kto zo španielskych barokových maliarov bezchybne vyuţíval perspektívu?
Akým vynálezom boli najviac ovplyvnení impresionisti k perspektívnemu
zobrazeniu?
Uveďte príklad aspoň dvoch maliarov impresionizmu.
Kto bol zakladateľom deskriptívnej geometrie?
112
11.3 Základné pojmy
Perspektíva vznikla z latinského slova perspicere, čo znamená pozretie sa skrz
niečo. Je to jeden z prostriedkov, ktorými sa zobrazuje na dvojrozmernej ploche
trojrozmerný predmet. Perspektíva zachováva priestor, objekty a ich vzťahy, tak ako
ich vidí oko. To znamená, ţe vzdialenejšie objekty sú menšie, bliţšie väčšie.
Lineárna perspektíva je stredové premietanie, ktoré vyhovuje podmienkam
minimálnej dištancie a maximálneho uhla zorného kuţeľa.
Lineárna perspektíva berie do úvahy iba časť priestoru, ktorý je naše oko schopné
dostatočne ostro pozorovať bez pohybu hlavy. Je to priestor ohraničený kuţeľovou
plochou s vrcholovým uhlom asi 45 stupňov a nazýva sa zorným kužeľom.
Obr. 157 Zorný kuţeľ
kz – zorná kruţnica, ktorá vzniká pretnutím zorného kuţeľa s priemetňou
H – hlavný bod, stred zornej kruţnice
z – základnica
h – horizont
v – hlavná vertikála
d – dištancia, vzdialenosť nášho oka S od priemetne
kd – dištančná kruţnica, jej vrcholový uhol = 90 stupňov
Pomer zornej kruţnice r a dištancie d sa pouţíva najčastejšie vo vzťahu 2r=d
113
Priemety rovnobeţných priamok, ktoré nie sú rovnobeţné s priemetňou sa zbiehajú
do bodu u - úbežníka leţiaceho na horizonte.
Všetky priamky kolmé na priemetňu majú úbeţník v hlavnom bode H a nazývame ich
hĺbkovými priamkami.
Lineárna perspektíva je vhodne upravené stredové premietanie dané hlavným
bodom H , horizontom h a dištanciou d.
V lineárnej perspektíve volíme dištanciu d = |HS| vo vzťahu ku polomeru r zornej
kruţnice tak, aby platilo r ≤ d ≤ 3r.
V lineárnej perspektíve sa rovnobeţné línie zbiehajú na horizonte. Bod, v ktorom sa
tieto línie zbiehajú na horizonte sa nazýva úbeţník. Môţe byť jeden alebo dva, tri.
Pojem úbeţník bude pouţívaný pre priamky, na ktorých leţia úsečky súvisiace s
prvkami objektov. Stručne ich budeme nazývať napr. úbeţník strany, hrany,
uhlopriečky a pod.
Perspektívny obraz bodu A ,ozn. Ap určíme zásadami stredového premietania,
jeho jednoznačné určenie v priestore získame doplnením o Ap
1 – perspektívny obraz pôdorysu bodu A.
Perspektívny obraz priamky:
● vo všeobecnej polohe je určený perspektívnymi obrazmi aspoň dvoch jej bodov,
● spoločný úbeţník všetkých hĺbkových priamok (priamok kolmých na priemetňu) je
hlavný bod H ; pre určenie takej priamky stačí poznať perspektívny obraz ešte
jedného jej bodu,
● spoločný úbeţník všetkých priamok leţiacich v základnej (alebo horizontálnej)
rovine a zvierajúcich s priemetňou 45°, je bod D, ktorý voláme dištančník (ľavý,
pravý); pre určenie takej priamky stačí poznať perspektívny obraz ešte jedného jej
bodu,
● Z vlastností stredového premietania vyplýva, ţe vo zvislej perspektíve úbeţník
kolmíc na základnú rovinu (a horizontálne roviny) je nevlastný bod, takţe tieto
kolmice, tzv. priečelné priamky sa zobrazia navzájom rovnobeţne, kolmé na horizont
h.
114
11.4 Druhy perspektív
Lineárna perspektíva sa delí:

jednoúbeţníková – priečelná,

dvojúbeţníková - nároţná perspektíva - zachováva stredovú os, od ktorej je
jeden úbeţník vpravo, druhý vľavo,

vojenská perspektíva (zachováva pôdorys, ale skracuje ľubovoľné výšky,
pouţíva sa predovšetkým pri znázornení miest, vojenských situácií apod.),

trojúbeţníková - vtáčia perspektíva (zobrazenie z vysokého nadhľadu, ktorý
umoţňuje zobrazovať aj to, čo u iných perspektív nie je vidieť napr. strechy
budov, vyuţíva sa hlavne v architektúre),

trojúbeţníková - ţabia perspektíva (zobrazuje objekt naopak z extrémneho
podhľadu = vysoko poloţený horizont),

obrátená perspektíva (úbeţník leţí pred plochou obrazu),

výtvarná (atmosférická) perspektíva zachytáva tieţ farby predmetov a ich
odtieň, ktoré sú spôsobené rôznou vzdialenosťou predmetov od maliara.
Blízke objekty sú maľované sýtymi a teplými farbami, vzdialené studenými a
rozmazanými farbami.
Jednoúbežníková – priečelná perspektíva
Obr. 158 Jednoúbeţníková perspektíva
Obr. 159 Jednoúbeţníková perspektíva
115
Túto perspektívu pouţívame, ak sa dívame na objekt priamo čelom. Často sa tak
zobrazujú rôzne tunely, chodby atď.
Dvojúbežníková - nárožná perspektíva
V tejto perspektíve máme dva úbeţníky a obidva leţia na horizonte. Vzniká, keď
pozorujeme objekt akoby cez roh. V tomto prípade máme dva „typy“ úbeţníc.
Vertikálne línie sa javia
ako vertikálne (sú rovnobeţné) a horizontálne línie sa
zbiehajú do jedného z dvoch úbeţníkov.
Obr. 160 Nároţná perspektíva
Príkladom môţe byť Vermeerov obraz Hodina hudby. V tejto perspektíve sú
stavané napr. dlaţdice alebo modrá stolička. Obidva úbeţníky sú mimo obraz. Keď
spojíme priesečníky
úbeţníc,
výsledné
priamky
sa nám
spoja v hlavnej časti
obrazu –
dievčaťa
hrajúceho na piáno.
Za povšimnutie tieţ
stojí odraz v zrkadle.
Obr. 161 Vermeer, Hodina hudby
My vidíme svet z tejto perspektívy najčastejšie, a preto je to tieţ najpouţívanejšia
forma perspektívy v maliarstve.
116
Perspektíva s tromi úbežníkmi
Pokiaľ sa začneme dívať hore (ţabia perspektíva) alebo dole (vtáčia), objaví sa nám
tretí úbeţník, ktorý je väčšinou mimo plátno. Ďalšie dva úbeţníky sú na horizonte.
To znamená, ţe uţ ţiadne línie na obraze nebudú rovnobeţné, všetky smerujú do
nejakého bodu.
Obr. 162 Vtáčia perspektíva
Ako príklad poslúţi fotografia
dnes
uţ
neexistujúceho
World Trade Center. Červené
línie sa stretávajú v treťom
úbeţníku
Ţlté
a
(mimo horizont).
zelené
v
dvoch
samostatných úbeţníkoch, a
keď nimi pretneme priamku,
vytvoria nám horizont.
Obr. 163 Ţabia perspektíva
117
Atmosférická perspektíva
Objekty vzdialené od pozorovateľa – kopce – sa javia mierne namodralé
a svetlé. To je tým, ţe vzduch nie je 100% priehľadný. Tomu sa hovorí atmosférická
perspektíva a je účinným nástrojom k zdôrazneniu hĺbky.
Nádherne
je
romantickom
to
obraze
vidieť
na
Caspara
Davida Friedricha – Pútnik nad
morskou hmlou
Obr. 164 Friedrich, Pútnik nad morskou hmlou
118
11.5 Konštrukcia perspektívy
Pokiaľ chceme, aby bol predmet správne zobrazený pomocou perspektívneho
premietania, musí leţať vnútri zorného kuţeľa a jeho priemet musí leţať v zornom
poli. To však nestačí. Je potrebné, aby vzdialenosť bola aspoň 20 aţ 25 cm. Menším
vzdialenostiam sa ľudské oko nedokáţe prispôsobiť. Pokiaľ sa stane, ţe dištancia je
menšia ako 20 cm, predmet sa na papieri zdá skreslený alebo nezreteľný. Naopak
príliš veľká dištancia spôsobuje, ţe vzniknutý obraz pôsobí plocho a vzdialené
úbeţníky sťaţujú konštrukciu. Princíp rysovania v lineárnej perspektíve alebo
kreslenia v maliarskej perspektíve je takmer rovnaký. Ako prvé si musíme určiť
pomyselný horizont a na ňom si označiť úbeţný bod alebo body. Pokiaľ pouţijeme
jeden úbeţný bod, predmet pozorujeme priamo spredu. Dva úbeţníky sa pouţívajú
tam, kde je predmet pozorovaný tak, ţe vidíme viac neţ jednu jeho hranu. A konečne
trojúbeţníkové premietanie sa pouţíva vtedy, ak vidíme predmet z viac neţ jednej
strany a naviac zhora alebo zospodu.
Záleţí tieţ na umiestnení horizontu. Ak chceme predmet znázorniť z veľkého uhla,
umiestnime horizont k hornému okraju papiera a naopak z malého uhla bude
horizont pri spodnom okraji.
Daný objekt môţeme v perspektíve zobraziť buď s vyuţitím inej zobrazovacej
metódy, potom sa lineárna perspektíva nazýva viazaná, alebo s vyuţitím metód
stredového premietania, potom sa perspektíva nazýva voľná.
Perspektívne metódy:
1. Priesečníková
v Mongeovom
metóda
premietaní
- je veľmi jednoduchá. Daný predmet zobrazíme
pôdorysom
a nárysom.
Umiestnime
vhodne
stred
premietania i zvislú perspektívnu priemetňu, aby predmet leţal v zornom kuţeli
a potom zostrojíme perspektívne obrazy jednotlivých bodov.
2. Vrstevnicová metóda – potrebujeme narysovaný pôdorys daného objektu a výšky
zobrazovaných bodov. Pri konštrukcii postupujeme systematicky – od najspodnejšej
vrstvy j najvyššej.
119
3. Zárezová metóda – spočíva v tom, ţe stredom premietania vedieme osový kríţ
z,y,z tak, aby os z bola zvislá a osi x,y boli tovnobeţné s hlavnými smermi
zobrazovaného telesa.
4.Priame metódy – pri priamej konštrukcii perspektívy zostrojíme najprv
k pôdorysom predmetov ich perspektívu, teda perspektívny pôdorys a zvislo potom
nanášame perspektívy výšok.
5. Metódy sietí – veľmi dobrým pomocníkom pri zostrojovaní perspektív priečelných
objektov môţe byť štvorcová sieť (pavimento). Do tejto siete môţeme znázorniť
napríklad perspektívu kocky, zakresľovať exteriér i interiér.
6. Úbežníkové konštrukcie
Obr. 165 Priesečníková metóda
Obr. 166 Vrstevnicová metóda
Obr. 167
120
Metóda sietí
Zopakujme si
Čo je lineárna perspektíva z geometrického hľadiska?
Akú časť priestoru je naše oko schopné ostro pozorovať?
Ako definujeme hlavný bod?
Čo je dištancia?
Aký je najčastejší pomer zornej kruţnice r a dištancie d?
Ako môţeme definovať dištančník?
Aké základné druhy perspektívy poznáme? Vymenujte aspoň štyri.
Aké druhy trojúbeţníkovej perspektívy poznáte?
Aké metódy konštrukcie perspektívy môţeme pouţiť? Vymenujte aspoň 3.
121
11.6 Anamorfóza a neskutočná perspektíva
Anamorfóza je zámerné zdeformovanie obrazu perspektívnym zobrazením,
ktoré počíta s bočným uhlom pohľadu v blízkosti priemetne. Keď sa na obraz
pozeráme priamo, je takmer nerozpoznateľný a len z istého uhla pohľadu odrazu
nadobudne normálny vzhľad. Anamorfóza sa často pouţívala ako vtipné cvičenie,
trik s perspektívou. Po čase ju však viacerí maliari pouţívali racionálnejšie na
utajenie duchovného alebo politického posolstva svojich diel. Typickým príkladom je
obraz Hansa Holbeina ml. Veľvyslanci.
Na mozaikovej dláţke Holbeinovho obrazu sa
rozprestiera ako nejaká
čudesná mesačná krajina silne zdeformovaná lebka. Divák, ktorý sa pozerá na obraz
musí objaviť ten málo pravdepodobný bod pozorovania – pribliţne 2 m vpravo od
okraja obrazu v úrovni očí veľvyslancov a vtedy odhalí tajomstvo zobrazenej lebky
a jej symbolický význam.
Obr. 168 Holbein, Veľvyslanci
122
Obr. 169 Julian Beever
Neskutočná perspektíva
Konvenčná perspektíva, ktorá vláka diváka do sveta, ktorý je zrkadlovo presným
zobrazením skutočnosti a potom ho postaví pred absurdné zobrazenia. Divák je
potom zaskočený a nútený pochybovať o svojej schopnosti vnímať, pretoţe veci nie
sú také, ako ich vidí.
Takýmito dvojznačnosťami sa zaoberal aj holandský grafik M.C.Escher a Američan
Adelbert Ames ml.. Ich diela sa zakladajú na účinku perspektívneho klamu.
Obr. 170 Amesova miestnosť
123
Obr. 171 Skutočná miestnosť
Obr. 172 Escher, Belveder
124
Zopakujme si
Definujte anamorfózu.
Uveďte príklad maliara a jeho diela vyuţívajúceho anamorfózu.
Aké súčasné moderné maľby vyuţívajú anamorfózu?
Čo chápeme pod pojmom neskutočná perspektíva?
Ktorí umelci vyuţívali perspektívu na dvojznačné zobrazenie, teda perspektívny
klam?
125
Zadanie technickej dokumentácie
1. Narysujte v perspektíve štvorcovú sieť, ak d= 22 cm a stranou štvorca a=3 cm
v mierke 1:2.
Obr. 173
126
2. Narysujte v nároţnej perspektíve stolík, ak hrúbka nohy stolíka je 3 cm, výška je 6
cm a šírka stolíka je 9 cm.
Obr. 174
127
Zoznam použitej literatúry
COLEOVÁ, A. 1995. Perspektíva. Bratislava, Perfekt,a.s., ISBN 80-85261-76-6
HORÁK, S.1972. Technické kreslenie 1. Alfa, Bratislava, 1972
LEINVEBER, J., ŠVERCL, J. 2003. Technické kreslenie pre SPŠ nestrojnícke. Alfapress, Bratislava, ISBN 80-89004-66-0
Webové stránky:
Burjan o škole, http://www.burjanoskole.sk/?p=377
ČVUT, Lineární perspektiva,
http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/files/webskriptum/perspektiva/line
arni_perspektiva.html
Gymnazium Cheb, stránky studentu,
http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html
Katedra konštruovania častí strojov, http://www.konstruovanie1.uniza.sk/
Lineární perspektiva,
http://deskriptiva.webzdarma.cz/studimatr/linearni_perspektiva.pdf
Manipulačná geometria http://pep1c.webz.cz/dokumenty.html
Mendelova univerzita v Brne, http://user.mendelu.cz/tihlarik/linearniperspektiva.html
Naše škola – Gymnázuim Telč, http://naseskola.somt.cz/?q=node/221
Palaj,V. Algoritmizácia konštrukcií v Mongeovom zobrazení, diplomová práca
http://fractal.dam.fmph.uniba.sk/~kg/palaj/pub/7_Diplomovka%202004.pdf
Referaty – seminarky.cz, http://referaty-seminarky.cz/perspektiva/
128
SPŠ Nitra, http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/kotovanie.html
Šafařík,J. http://vyuka.safarikovi.org/fce/doc/ba03.prednaska.07-perspektiva.pdf
Technické kreslenie, http://tek.chytrak.cz/
Tomiczková, S. Lineární perspektiva,
http://home.zcu.cz/~lavicka/subjects/GVS/texty/L6_lin_persp.pdf
Vrankova, E. (2006). Elektronická učebnica stereometrie pre stredné školy s vyuţitím
programu Cabri geometria II Plus, MŠ SR
http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/
Základní pojmy a typy lineární perspektivy,
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/StudOpory/Geometrie/ZobrazovaciMetody/LinearniPerspek
tiva/PojmyTypy/PojmyTypy.html
Zrod a uţití lineární perspektívy v malířství,
http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/lp_malirstvi/index.html
http://www.km.sjf.stuba.sk/data/Geometria/PREDNASKY/prednaska3.htm
http://malik8.borec.cz/web/tek/mongeovo_premietanie.pdf
http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/prilohy/11922170723usi_1112_2.pdf
129
Zdroje obrázkov
Obr. 1 http://www.hargita.sk/technicke-rysovacie-potreby-kruzitko-technicke-kreslenie-technicke-pera/
Obr. 2 http://www.edushop.sk/lista.php?tmi=300
Obr. 3 vlastný archív autorky
Obr. 4 http://www.fce.vutbr.cz/PST/kolar.r/BH02.htm
Obr. 5 vlastný archív autorky
Obr. 6 – 9 Leinveber, J., Švercl, J. 2003. Technické kreslenie pre SPŠ nestrojnícke. Alfa-press,
Bratislava, ISBN 80-89004-66-0
Obr. 10 – 12 http://aladin.elf.stuba.sk/Katedry/KMECH/vzdelavanie/new_prednasky/k3.pdf
Obr. 13 http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/vyucba/dk/d/pk1_z2.htm
Obr. 14 http://www.designtech.cz/c/plm/autodesk-inventor-15-dil.htm
Obr. 15 http://www.kkcs.uniza.sk/sites/default/files/studenti/cad_sablony/sablony.htm
Obr. 16 – 25 http://pdfweb.truni.sk/elskripta/vrankova/
Obr. 26 http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/druhy-premietania.html
Obr. 27 - 28
http://aladin.elf.stuba.sk/Katedry/KMECH/slovakversion/Predmety/UI/prezentacie/Zobrazovanie.pdf
Obr. 29 – 64 http://malik8.borec.cz/web/tek/mongeovo_premietanie.pdf
Obr. 65 – 70 http://vyuka.safarikovi.org/mzlu/index.html
Obr. 71 http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/kotovanie.html
Obr. 72 –79 http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/prilohy/11922170723usi_1112_2.pdf
Obr. 80 http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/kotovanie.html
Obr. 81 http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/prilohy/11922170723usi_1112_2.pdf
Obr. 82 http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/kotovanie.html
Obr. 83 – 87 http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/prilohy/11922170723usi_1112_2.pdf
Obr. 88 http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/kotovanie.html
Obr. 89 http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/prilohy/11922170723usi_1112_2.pdf
Obr. 90 – 95 http://strojarstvo.depi.sk/predmety/technicke-kreslenie/kotovanie.html
Obr. 97 – 98 http://www.sjf.tuke.sk/kkdal/prilohy/11922170723usi_1112_2.pdf
Obr. 99 – 100 vlastný archív autorky
Obr.101 www.km.sjf.stuba.sk/data/Geometria/skripta/Kuzeloseckyw.htm
Obr.102 http://leccos.com/index.php/clanky/elipsa
Obr.103 http://mdg.vsb.cz/wiki/index.php/Elipsa_(ku%C5%BEelose%C4%8Dka)
Obr. 104 – 108
http://www.km.sjf.stuba.sk/data/Geometria/skripta/Kuzeloseckyw.htm#doc
Obr.10 9 vladimirkapala.wz.cz/diplomawork.doc
Obr. 110 – 114 http://duef.uniza.sk/index.php?go=prednasky&prednaska=47
Obr. 115 http://cs.wikibooks.org/wiki/Geometrie/Evolventa
Obr. 116 http://jhamernik.sweb.cz/Ozubeni.htm
130
Obr.117
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Evolvent_of_circle.
jpg
Obr. 118 http://duef.uniza.sk/index.php?go=prednasky&prednaska=47
Obr. 119 http://www.automatizace.cz/article.php?a=2487
Obr. 120-121 http://duef.uniza.sk/index.php?go=prednasky&prednaska=47
Obr. 122 http://www.km.sjf.stuba.sk/data/Geometria/PREDNASKY/prednaska3.htm
Obr. 123 http://forum.valka.cz/viewtopic.php/t/84636
Obr. 124-125 http://duef.uniza.sk/index.php?go=prednasky&prednaska=47
Obr. 126 http://tek.chytrak.cz
Obr. 127 http://www.km.sjf.stuba.sk/data/Geometria/PREDNASKY/axon.htm
Obr. 128 http://tek.chytrak.cz
Obr. 129 http://rodkovar.webzdarma.cz/2011/10/Axonometricke-promitani.html
Obr. 130 http://tek.chytrak.cz
Obr. 131 http://tek.chytrak.cz
Obr. 132 vlastný archív autorky
Obr. 133 vlastný archív autorky
Obr. 134 – 139 www.tek.chytrak.cz
Obr. 140 http://naseskola.somt.cz/?q=node/221
Obr. 141 http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/lp_malirstvi/index.html
Obr. 142 http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/lp_malirstvi/index.html
Obr. 143 http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/lp_malirstvi/index.html
Obr. 144 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Andrea_Mantegna_-_The_Dead_Christ.jpg
Obr. 145 http://sk.wikipedia.org/wiki/Piero_della_Francesca
Obr. 146 http://www.penwith.co.uk/artofeurope/da_vinci.htm
Obr. 147 http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Leonardo_da_Vinci_-_Virgin_of_the_Rocks__WGA12694.jpg
Obr. 148 http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/lp_malirstvi/index.html
Obr. 149 http://www.burjanoskole.sk/?p=377
Obr. 150 http://naturalpigments.com/detail.asp?PRODUCT_ID=655-DURTT
Obr. 151 http://virtualterritory.wordpress.com/category/durer/
Obr. 152 http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/lp_malirstvi/index.html
Obr. 153 http://sk.wikipedia.org/wiki/Jan_van_Eyck
Obr. 154 http://en.wikipedia.org/wiki/Las_Meninas
Obr. 155 http://picasaweb.google.com/lh/photo/CsWZUdYPrctg7Y-1r6en8g
Obr. 156 http://www.canvasreplicas.com/Sisley.htm
Obr. 157 http://tek.chytrak.cz/perspektiva.htm
Obr. 158 http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html#perp
131
Obr. 159
http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/files/webskriptum/perspektiva/linearni_perspektiva.
html
Obr. 160 http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html#perp
Obr. 161
http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/files/webskriptum/perspektiva/linearni_perspektiva.
html
Obr. 162 http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html#perp
Obr. 163
http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/files/webskriptum/perspektiva/linearni_perspektiva.
html
Obr. 164
http://www.fd.cvut.cz/department/k611/PEDAGOG/files/webskriptum/perspektiva/linearni_perspektiva.
html
Obr. 165 http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html#pru
Obr. 166 http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html#pru
Obr. 167 http://absolventi.gymcheb.cz/2006/kasparla/perspektiva/perspektiva.html#pru
Obr. 168
http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Hans_Holbein_the_Younger_-_The_Ambassadors__Google_Art_Project.jpg
Obr. 169 http://www.flickr.com/photos/rllayman/113110660/
Obr. 170 http://pcl.tuke.sk/kopco/kui337/kui337p9zrak2.pdf
Obr. 171 http://pcl.tuke.sk/kopco/kui337/kui337p9zrak2.pdf
Obr. 172 http://luc.devroye.org/fonts-51985.html
Obr. 173 - 174 vlastný archív autorky
132
Download

1.3 Druhy čiar v technickom kreslení