Axonometria - Rez hranola
Príklad: KA (10, 11, 12). Zostrojte rez hranola s podstavou pravidelný šesťuholník
v pôdorysni. Stred dolnej podstavy S 7, 3, 0 , vrchol podstavy A4, 1, 0 , stred hornej
podstavy S´4, 8, 13 , rezová rovina  , 9, 12 .
Postup:
1. Spodná podstava:
- Najprv narysujeme axonometrický trojuholník XYZ, dolná strana 10 cm, napravo 11 cm,
naľavo 12 cm.
- Narysujeme osi x,y,z ako výšky v tomto trojuholníku.
- Otočíme pôdorysňu do axonometrickej priemetne (Talesova kružnica nad stranou XY (stačí
dolná polkružnica), priesečník predĺženej osi z a kružnice dáva bod OO . Spojíme ho s bodmi
X, Y a dostávame otočené polohy osí xO , y O (bodko-čiarkované).
- Na osi xO , y O nanesieme od bodu OO súradnice bodu S (7cm, 3cm), ktoré doplníme na
obdĺžnik, dostaneme otočenú polohu bodu S 0 . Obdobne zostrojíme otočenú polohu bodu A0 .
Zostrojíme pravidelný šesťuholník A0 B0 C 0 D0 E0 , F0 , ktorý je vpísaný do kružnice so
stredom S 0 a polomerom r  S 0 A0 , strana šesťuholníka je rovná polomeru)
- pomocou osovej afinity s osou = spodná strana axonometrického trojuholníka XY, párom
odpovedajúcich bodov O0 , O  zostrojíme podstavu telesa ABCDEF (už to nebude pravidelný
šesťuholník, ale „sploštený“ s vlastnosťou: protiľahlé strany sú rovnobežné a rovnako veľké),
pričom netreba zobrazovať všetky vrcholy šesťoholníka, stačí zobraziť stred a tri za sebou
idúce vrcholy, zvyšné sú stredovo súmerné.
A
F
S
E
D
B
C
z
Z
z0
O0
D0
C0
E0
O
S0
A
F
B0
Y
x
E
X
B
S
F0
A0
D
y
C
y0
x0
O0
2. Stred hornej podstavy: Na osi x0 , y 0 nanesieme od bodu O0 súradnice bodu S´ 4
cm a 8 cm a redukujeme (kolmice na spodnú stranu axonometrického trojuholníka)
a doplníme na rovnobežník, dostaneme bod S1´ . Na os z 0 nanesieme z ovú súradnicu bodu S´
a redukujeme (kolmica na stranu XZ axonometrického trojuholníka). Redukovanú súradnicu
nanesieme od bodu S1´ na rovnobežku s osou z a dostávame bod S´. (konštrukcia
Axonometria - Obraz bodu).
z
13 cm
Z
S´
z0
O0
O
8 cm
A
F
Y
x X
B
E
y
S
C
D
S´1
y0
4 cm
x0
O0
3. Zostrojíme hranol: vrcholmi spodnej podstavy vedieme rovnobežky s priamkou
S S´ a nanesieme dĺžku úsečky S S´ , dostaneme vrcholy hornej podstavy. Zvýrazníme teleso
s ohľadom na viditeľnosť.
4. Stopy rezovej roviny: súradnice roviny nanesieme na otočené polohy osí xO , y O , z O
a redukujeme (kolmice na príslušné strany axonometrického trojuholníka), dostávame body
X  , Y  , Z  , ktoré pospájame do stôp: X  Y   p  (pôdorysná stopa), X  Z   n  (nárysná
stopa), Y  Z   m  (bokorysná stopa) (ak niektorá súradnica je nekonečno, tak príslušná
z
Zρ
ρ
n
S´
z0
O0
mρ
O
A
F
x
Yρ
B
S
E
y
C
S´1
y0
D
x0
pρ
O0
stopa je s touto súradnicovou osou rovnobežná).
5. Prvý bod rezu: Zostrojíme prienik priamky SS´ (alebo niektorej bočnej hrany
telesa) s rezovou rovinou metódou krycej priamky. Nájdeme k vybranej priamke SS´ prvý
priemet SS1´ . SS1´  b1 , b1  p   P , b1  x  N 1 , rovnobežka s osou z a na nárysnej stope n 
leží nárysný stopník N . (ak jeden zo stopníkov by bol nedostupný, využijeme bokorysný
stopník: b1  y  M 1 , rovnobežka s osou z a na bokorysnej stope m  je bod M). Ich spojnica
b pretne priamku SS´ v bode S*, ktorý už patrí rezu.
6. Ostatné body rezu dostaneme pomocou osovej afinity s osou p  a párom
odpovedajúcich bodov S a S* (napr. spojíme bod F s bodom S, kde spojnica pretne p  je
samodružný bod, ten spojíme s S* a prienik s bočnou hranou vedenou vrcholom F je rezový
bod F*). Všetky body rezového šesťuholníka pospájame s ohľadom na viditeľnosť.
z
nρ
N
S´
b
F*
A*
S*
E*
mρ
O
B*
A
F
N1
D*
x
C*
S
E
B
b1
y
S´1
C
D
p
P
ρ
Poznámka: Ak ide o rez kolmého hranola, postup je rovnaký, ale pri hľadaní bodu S*
priamku b1 zostrojíme ľubovoľne cez bod S.
Axonometria - Rez valca
Príklad: KA (10, 11, 12). Zostrojte rez valca s kruhovou podstavou v pôdorysni. Stred dolnej
podstavy S  4, 5, 0, r  4 , stred hornej podstavy S´4; 8; 10,5 , rezová rovina  4, , 6 . Ľavý
vrchol axonometrického trojuholníka umiestnite 2,5 cm od ľavého okraja.
Postup:
1. Spodná podstava:
- Najprv narysujeme axonometrický trojuholník XYZ, dolná strana 10 cm, napravo 11 cm,
naľavo 12 cm.
- Narysujeme osi x,y,z ako výšky v tomto trojuholníku.
- Otočíme pôdorysňu do axonometrickej priemetne (Talesova kružnica nad stranou XY (stačí
dolná polkružnica), priesečník predĺženej osi z a kružnice dáva bod OO . Spojíme ho s bodmi
X, Y a dostávame otočené polohy osí xO , y O (bodko-čiarkované).
- Na osi xO , y O nanesieme od bodu OO súradnice bodu S (-4 cm, 5cm), ktoré doplníme na
obdĺžnik, dostaneme otočenú polohu bodu S 0 . Narysujeme kružnicu k  ( S0 , r  4) .
- pomocou osovej afinity s osou = spodná strana axonometrického trojuholníka XY, párom
odpovedajúcich bodov O0 , O  zostrojíme obrazy A,B,C,D bodov A0 , B0 , C0 , D0 podľa
obrázka.
2. Stred hornej podstavy: Na osi x0 , y 0 nanesieme od bodu O0 súradnice bodu S´ 4
cm a 8 cm a redukujeme (kolmice na spodnú stranu axonometrického trojuholníka)
a doplníme na rovnobežník, dostaneme bod S1´ . Na os z 0 nanesieme z ovú súradnicu bodu S´
a redukujeme (kolmica na stranu XZ axonometrického trojuholníka). Redukovanú súradnicu
nanesieme od bodu S1´ na rovnobežku s osou z a dostávame bod S´. (konštrukcia
Axonometria - Obraz bodu).
3. Zostrojíme valec: v bode S´ zostrojíme hlavnú a vedľajšiu os elipsy zhodné s osami
spodnej podstavy a naraz vykreslíme pomocou hyperoskulačných kružníc spodnú a hornú
podstavnú elipsu. Bočné obrysové priamky valca sú spoločné dotyčnice ku elipsám. (Valec je
zobrazený bez ohľadu na viditeľnosť).
4. Stopy rezovej roviny: súradnice roviny nanesieme na otočené polohy osí xO , y O , z O
a redukujeme (kolmice na príslušné strany axonometrického trojuholníka), dostávame body
X  , Y  , Z  , ktoré pospájame do stôp: X  Y   p  (pôdorysná stopa), X  Z   n  (nárysná
stopa), Y  Z   m  (bokorysná stopa) (ak niektorá súradnica je nekonečno, tak príslušná
stopa je s touto súradnicovou osou rovnobežná).
5. Prvý bod rezu: Zostrojíme prienik priamky SS´ (prvý priemet SS1´ ) s rezovou
rovinou metódou krycej priamky: SS1´  b1 , b1  p   P , b1  y  M 1 , rovnobežka s osou
z a na bokorysnej stope m  je bod M. (ak jeden zo stopníkov by bol nedostupný, využijeme
nárysný stopník: b1  x  N 1 , rovnobežka s osou z a na nárysnej stope n  leží nárysný stopník
N). Ich spojnica pretne priamku SS´ v bode S*, ktorý je stredom rezovej elipsy.
z
z0
Zρ
S´
O0
M
mρ
S*
nρ
C
O
A
S
ρ
X
b1
b
M1
pρ
x
D
y
S´1=P
y0
x0
O0
B
6. Pomocou osovej afinity s osou v pôdorysnej stope a párom odpovedajúcich bodov
S, S* zostrojíme obrazy hlavných a vedľajších vrcholov podstavnej elipsy. Takto vzniknuté
body určujú združené priemery A*B*, C*D* rezovej elipsy, pomocou Rytzovej konštrukcie
nájdeme jej hlavné a vedľajšie vrcholy a hyperoskulačnými kružnicami vykreslíme rezovú
elipsu (nakreslená je bez ohľadu na viditeľnosť).
z
C*
S´
B*
S*
nρ
C
A*
mρ
O
S
A
B
D*
x
D
pρ
S´1
y
Poznámka: Ak ide o rez rotačného valca (os SS´ je kolmá na pôdoryňu), postup je rovnaký,
ale pri hľadaní bodu S* priamku b1 zostrojíme ľubovoľne cez bod S, napr. b1  AB .
Axonometria - Rez ihlana
Príklad: KA (10, 11, 12). Zostrojte rez ihlana s podstavou pravidelný päťuholník
v pôdorysni. Stred dolnej podstavy S 0, 5, 0 , vrchol podstavy A1, 1, 0 , výška 10 cm, rezová
rovina  10, 13, 6  .
Postup:
1. Spodná podstava:
- Najprv narysujeme axonometrický trojuholník XYZ, dolná strana 10 cm, napravo 11 cm,
naľavo 12 cm.
- Narysujeme osi x,y,z ako výšky v tomto trojuholníku.
- Otočíme pôdorysňu do axonometrickej priemetne (Talesova kružnica nad stranou XY (stačí
dolná polkružnica), priesečník predĺženej osi z a kružnice dáva bod OO . Spojíme ho s bodmi
X, Y a dostávame otočené polohy osí xO , y O (bodko-čiarkované).
- Na osi xO , y O nanesieme od bodu OO súradnice bodu S (0cm, 5cm) a na osi yO dostaneme
otočenú polohu bodu S 0 . Obdobne zostrojíme otočenú polohu bodu A0 . Zostrojíme
pravidelný päťuholník A0 B0C0 D0 E0 , ktorý je vpísaný do kružnice so stredom S 0
a polomerom r  S 0 A0 , vnútorný uhol pravidelného päťuholníka je 360 : 5  72 .
- pomocou osovej afinity s osou = spodná strana axonometrického trojuholníka XY, párom
odpovedajúcich bodov O0 , O  zostrojíme podstavu telesa ABCDE.
z
Z
z0
O0
D0
O
B
A
E0
X
S
C
Y
x
E
S0
x0
y
D
y0
A0
O0
B0
2. Zostrojíme vrchol ihlana: Nanesieme výšku 10 cm na otočenú polohu osi z 0
a redukujeme (kolmica na bočnú stranu axonometrického trojuholníka). Redukovanú výšku
nanesieme od bodu S  V1 na rovnobežku s osou z , dostávame vrchol telesa V. (Ak miesto
výšky sú dané súradnice bodu V, tak body V1 , V zostrojíme pomocou konštrukcie Obraz bodu
v kolmej axonometrii).
3. Zostrojíme ihlan: vrchol telesa V pospájame s vrcholmi podstavy. Zvýrazníme
teleso s ohľadom na viditeľnosť.
4. Stopy rezovej roviny: súradnice roviny nanesieme na otočené polohy osí xO , y O , z O
a redukujeme (kolmice na príslušné strany axonometrického trojuholníka), dostávame body
X  , Y  , Z  , ktoré pospájame do stôp: X  Y   p  (pôdorysná stopa), X  Z   n  (nárysná
stopa), Y  Z   m  (bokorysná stopa) (ak niektorá súradnica je nekonečno, tak príslušná
stopa je s touto súradnicovou osou rovnobežná).
C0
5. Rez telesa: Vyberieme ľubovoľnú bočnú hranu telesa (napr. EV), nájdeme k nej
prvý priemet ( EV1 ). Zostrojíme prienik priamky s rezovou rovinou metódou krycej
priamky: EV1  b1 , b1  p   P , b1  y  M 1 , rovnobežka s osou z a na bokorysnej stope m 
je bod M. (ak jeden zo stopníkov by bol nedostupný, využijeme nárysný
stopník: b1  x  N 1 , rovnobežka s osou z a na nárysnej stope n  leží nárysný stopník N). Ich
spojnica pretne priamku EV v bode E*, ktorý je prvým rezovým bodom. Ostatné body rezu
dostaneme pomocou osovej kolineácie s osou p  , stredom V a párom odpovedajúcich si
bodov E a E*. Všetky body rezového päťuholníka pospájame s ohľadom na viditeľnosť.
V
z
mρ
B*
A*
M
nρ
C*
O
B
A
E*
D*
b
b1
C
S=V1=M1
E
P
pρ
D
y
Download

Rez telesa