Jozef Vozár
Maturitné úlohy
Z
Matematiky
Pre gymnázium
I.
(Úlohy s výberom odpovede)
OBSAH
ÚVOD K ÚVODU...................................................................................................................... 4
ÚVOD ....................................................................................................................................... 4
1. ZÁKLADY MATEMATIKY .................................................................................................... 6
1.1 Logika a množiny...................................................................................................................... 6
Požiadavky na vedomosti a zručnosti............................................................................................ 6
1.2 Čísla, premenné a výrazy ....................................................................................................... 12
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 13
1.3 Teória čísel .............................................................................................................................. 20
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 20
1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy.......................................................................................... 21
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 21
Žiak vie ....................................................................................................................................... 21
2. FUNKCIE............................................................................................................................ 31
2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti .................................................................................... 31
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 32
2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť .................................................... 36
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 36
2.3 Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia .............................................. 52
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 53
2.4 Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť ...................................... 67
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 67
2.5 Goniometrické funkcie ........................................................................................................... 77
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 78
2.6 Limita a derivácia, geometrický rad ...................................................................................... 93
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 93
2.7 Integrálny počet ...................................................................................................................... 94
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 95
3. PLANIMETRIA ................................................................................................................... 96
3. 1 Základné rovinné útvary........................................................................................................ 96
Požiadavky na vedomosti a zručnosti.......................................................................................... 97
3.2 Analytická geometria v rovine ............................................................................................. 101
2
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 102
3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie ......................................... 117
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 117
3.4 Zhodné a podobné zobrazenia ............................................................................................ 122
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 123
3.5 Konštrukčné úlohy ............................................................................................................... 124
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 124
4. STEREOMETRIA ............................................................................................................. 126
4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny ........................................................ 126
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 126
4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda ......................................... 126
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 126
4.3 Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy .................................................................... 129
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 129
4.4 Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy...................................................................... 132
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 133
4.5 Telesá .................................................................................................................................... 139
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 139
5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA .......................................... 143
5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť .................................................................................... 143
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 143
5.2 Štatistika ............................................................................................................................... 159
Požiadavky na vedomosti a zručnosti........................................................................................ 159
3
ÚVOD K ÚVODU
Táto zbierka vznikla ako pomôcka pre učiteľa matematiky strednej školy s maturitou ako pomôcka pre prípravvu študentov maturitného ročníka na externú časť maturitnej skúšky. Spracovaná je na
úroveň vedomostí, ktoré by mal mať maturant gymnázia v úrovni A. Ako základ boli zobraté cieľové
poţiadavky na maturitnú skúšku z matematiky zverejnené ŠPÚ, ktoré v nezmenenej podobe uvádzam
na začiatku kaţdej kapitoly.
Ku kaţdej časti uvedených cieľových poţiadaviek je uvedených niekoľko úloh s voľbou odpovede, kde sú pouţité úlohy z predchádzajúcich Monitorov, predchádzajúcich ročníkov maturitných skúšok
a samozrejme mnoţstvo úloh, ktoré sú vytvorené autorom a jeho kolegami. K niektorým kapitolám je
ich viac, v niektorých je menej, to podľa toho s akou frekvenciou sa v externých častiach maturitnej
skúšky vyskytovali. Niektoré oblasti sa v externej časti nevyskytujú vôbec, sú však v zbierke uvedené,
lebo môţu slúţiť aj na cvičenie. V niektorých kapitolách by zaradenie takýchto úloh bolo príliš násilné
i keď moţné. Tam však, kde cieľom kapitoly je naučiť niektorým zručnostiam „nepočítavého „ charakteru – napr. rysovanie by som ani úlohy s výberom odpovede ani nezaraďoval.
ÚVOD
Cieľové poţiadavky z matematiky, rozdelené vo väčšine kapitol na časti Obsah, Poţiadavky na
vedomosti a zručnosti a Príklady.
Text v jednotlivých častiach, ktorý nie je vytlačený tučne, je určený pre základnú úroveň. Pre
vyššiu úroveň je určený celý text, vrátane častí vytlačených tučne (teda rozdiel medzi základnou a vyššou úrovňou predstavujú práve tučne vytlačené časti). Obyčajnou kurzívou sú vytlačené odvolávky,
vysvetlivky a komentáre.
V kaţdej kapitole sú v odseku Obsah (rozdelenom spravidla na 2 menšie časti s názvami Pojmy
a Vlastnosti a vzťahy) vymenované termíny a vzťahy (vzorce, postupy, tvrdenia), ktoré má ţiak ovládať.
Toto ovládanie v prípade pojmov znamená, ţe ţiak
- rozumie zadaniam úloh, v ktorých sa tieto pojmy vyskytujú,
- vie ich správne pouţiť pri formuláciách svojich odpovedí,
- vie ich stručne opísať (definovať).
V prípade vlastností a vzťahov ovládaním rozumieme ţiakovu schopnosť vybaviť si tieto vzťahy v mysli (bez toho, aby mu bolo potrebné pripomínať konkrétnu podobu uvedeného vzťahu, postupu
či tvrdenia) a pouţiť ich pri riešení danej úlohy (pričom spôsob tohto pouţitia špecifikuje časť Poţiadavky na vedomosti a zručnosti, o ktorej hovoríme niţšie). Kvôli prehľadnosti neuvádzame úplné znenie jednotlivých vzťahov so všetkými predpokladmi a podmienkami, ale len takú ich podobu, z ktorej
je jasné, aké tvrdenie máme na mysli.
Pokiaľ sa v zadaniach úloh alebo otázok, ktoré má ţiak riešiť alebo zodpovedať, vyskytnú pojmy, ktoré nie sú uvedené v časti Obsah, bude potrebné ich v texte zadania vysvetliť. Rovnako tak v
prípade, ţe zadanie vyţaduje pouţitie postupu alebo vzťahu, ktorý nie je zahrnutý do časti Obsah, musí
byť ţiakovi k dispozícii opis poţadovaného postupu alebo vzťahu (tento opis však nemusí byť súčasťou
zadania, môţe byť napríklad uvedený vo „vzorčekovníku“, ktorý bude priloţený k celému súboru zadaní). Výnimku z tohto pravidla predstavuje situácia, keď riešením úlohy má byť objavenie alebo odvodenie takého vzťahu, ktorý nebol uvedený v odseku Vlastnosti a vzťahy.
Časť Poţiadavky na vedomosti a zručnosti opisuje v kaţdej kapitole činnosti, ktoré má byť ţiak
schopný správne realizovať. V texte pouţívanú formuláciu „ţiak vie...” pritom chápeme v zmysle „ţiak
má vedieť...”; podobne formulácia “... pokiaľ (ak) ţiak vie...” znamená “... ak je v týchto cieľových
poţiadavkách uvedené, ţe ţiak má vedieť...”. Teda napríklad text „ţiak vie nájsť všetky riešenia nerovnice f ( x) a , pokiaľ vie riešiť rovnicu f ( x) a a súčasne vie načrtnúť graf funkcie f“ (ktorý čitateľ
nájde v kapitole 1.4) treba chápať tak, ţe na inom mieste týchto cieľových poţiadaviek je špecifikované, grafy ktorých funkcií f má ţiak vedieť načrtnúť a pre ktoré funkcie f má ţiak vedieť riešiť rovnicu
f ( x) a . Podobnú úlohu plní odvolávka „pozri...”; napríklad v texte „ţiak vie nájsť definičný obor
danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy)” táto odvolávka upozorňuje, ţe stupeň náročnosti, na ktorom má ţiak zvládnuť určovanie definičného oboru funkcie, je daný náročnosťou rovníc
a nerovníc, ktoré pri tom musí vyriešiť, pričom táto náročnosť je opísaná v časti 1.4. Odvolávka „pozri
tieţ...” upozorňuje čitateľa, ţe uvedený pojem alebo činnosť sa vyskytuje aj na inom mieste tohto textu.
Ţiak by mal byť schopný riešiť úlohy komplexného charakteru, teda úlohy, ktorých riešenie vyţaduje spojenie neveľkého počtu činností opísaných v týchto cieľových poţiadavkách (pritom nevylučujeme spájanie činností opísaných v rôznych kapitolách); napr. pri riešení „klasickej“ slovnej úlohy by
mal ţiak zvládnuť formuláciu príslušného problému v reči matematiky, jeho vyriešenie prístupnými
matematickými prostriedkami a formuláciu odpovede opäť v reči pôvodného slovného zadania. Jednotlivé činnosti uvedené v časti Poţiadavky na vedomosti a zručnosti predstavujú teda len akési „tehličky”
či „základné stavebné kamene”, pričom riešenie jedného konkrétneho zadania môţe vyţadovať i pouţitie a spojenie viacerých takýchto „tehličiek”.
V snahe o ucelenosť jednotlivých kapitol uvádzame tie pojmy a zručnosti, ktoré súvisia
s viacerými kapitolami, v kaţdej z nich. Z toho istého dôvodu sú do textu zaradené i niektoré pojmy,
vzťahy a činnosti, ktoré sú obsahom učiva základnej školy.
5
1. ZÁKLADY MATEMATIKY
1.1 Logika a množiny
Obsah
Pojmy:
výrok, axióma, definícia, úsudok, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia,
konjunkcia, disjunkcia, implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné, kvantifikátor (existenčný, všeobecný, aspoň, najviac, práve), priamy a nepriamy dôkaz, dôkaz sporom, matematická indukcia, mnoţina, prvky mnoţiny, podmnoţina, nadmnoţina, prienik, zjednotenie a rozdiel mnoţín, Vennove diagramy, disjunktné mnoţiny, prázdna mnoţina, doplnok mnoţiny, konečná a nekonečná mnoţina.
Vlastnosti a vzťahy:
Implikácia (výrok) A B je ekvivalentná s implikáciou (výrokom) B
A (výrok z A vyplýva B
platí práve vtedy, keď platí výrok, z negácie B vyplýva negácia A),
výroky A, B sú ekvivalentné, ak platia obe implikácie A B, B
A,
negácia konjunkcie (disjunkcie) je disjunkcia (konjunkcia) negácií,
implikácia a b je nepravdivá práve vtedy, keď je pravdivý výrok a a nepravdivý výrok b,
pravdivosť zloţených výrokov a negácie („tabuľka pravdivostných hodnôt“),
negácia výroku x M platí V(x) je x M , pre ktoré neplatí V(x),
negácia výroku x M , pre ktoré platí V(x) je x M neplatí V(x),
A = B práve vtedy, keď súčasne platí A B, B A ,
pre počty prvkov zjednotenia dvoch mnoţín platí A
B
A
B
A
B,
operácie zjednotenie a prienik sú asociatívne a komutatívne,
( A B) A B , ( A B) A B .
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
rozlíšiť pouţívanie logických spojok a kvantifikátorov vo vyjadrovaní sa v beţnom ţivote na jednej
strane a v rovine zákonov, nariadení, zmlúv, návodov, matematiky na strane druhej,
zapisovať zložené a kvantifikované výroky, relácie a operácie s množinami pomocou dohodnutých značiek a jednotlivých výrokov, resp. množín,
zistiť pravdivostnú hodnotu zloţeného výroku (vytvoreného pomocou negácie, konjunkcie, disjunkcie, implikácie, ekvivalencie) z pravdivostných hodnôt jednotlivých zloţiek (teda napísať pre danú situáciu príslušný riadok „tabuľky pravdivostných hodnôt“),
v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či je výrok negáciou daného výroku, vytvoriť negáciu zloţeného výroku (nie len pomocou „nie je pravda, ţe …“),
v jednoduchých prípadoch zapísať a určiť mnoţinu vymenovaním jej prvkov, charakteristickou
vlastnosťou alebo množinovými operáciami,
v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o konečnosti či nekonečnosti danej mnoţiny,
opísať základné druhy dôkazov (priamy, nepriamy, sporom, matematickou indukciou)
a dokumentovať ich príkladmi,
použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach (pozri 1.3
Teória čísel),
určiť zjednotenie, prienik a rozdiel mnoţín i doplnok mnoţiny A (ak A je podmnoţinou B) vzhľadom na mnoţinu B (intervaly pozri v 1.2 Čísla, premenné a výrazy),
pouţiť vzorec pre počet prvkov zjednotenia 2 mnoţín pri hľadaní počtu prvkov týchto mnoţín,
resp. ich prieniku alebo zjednotenia,
pri riešení úloh o mnoţinách pouţiť ako pomôcku Vennove diagramy (pre 2 – 4 mnoţiny).
Príklady:
1. Nedôverčiví novinári
Majiteľ istej firmy sa chválil: „O kaţdom svojom zamestnancovi môţem zodpovedne vyhlásiť, ţe
ak u nás pracuje viac ako štyri roky, má plat aspoň 15000 korún.“ Novinári mu neverili a vybrali sa
medzi zamestnancov.
Prvý novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje tri roky a má plat 16000 korún.
Druhý novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje dva roky a má plat 12000 korún.
Tretí novinár našiel pracovníka, ktorý vo firme pracuje päť rokov a má plat 14500 korún.
Ktorý z novinárov môţe na základe uvedeného zistenia tvrdiť, ţe majiteľ firmy nehovoril pravdu?
a) ani jeden
b) iba prvý
c) iba druhý a tretí
d) iba tretí
e) všetci traja
2. Slová
Označme T mnoţinu trojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsahujúcich písmeno „A“. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( T S ) A ?
a) JAMKA
b) VIETOR
c) MONITOR
d) BUNKA
e) KLAVÍR
3. Vývoj nezamestnanosti
Na základe grafu na obrázku urobil redaktor v televíznej besede tri závery:
1. V roku 1996 bola nezamestnanosť dvakrát vyššia ako v roku 1995.
2. Medziročný nárast nezamestnanosti má od roku 1995 neustále klesajúcu tendenciu.
3. Počet nezamestnaných prvýkrát prekročil magickú hranicu 1 milión obyvateľov v roku 1998.
Ktorý z týchto záverov bol správny?
a) iba druhý
b) iba prvý a druhý
c) iba prvý a tretí
d) iba druhý a tretí
e) všetky tri
7
4. Konečné a nekonečné množiny
Nech K1, K2 sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré
z uvedených tvrdení je potom nepravdivé?
a) K1 K2 je konečná mnoţina.
c) M K1 je nekonečná mnoţina.
e) M - K1 je nekonečná mnoţina.
b) K1 K2 je konečná mnoţina.
d) M K1 je nekonečná mnoţina.
5. Brigádnik
Istý študent sa obhajoval: „Nie je pravda, ţe som sa na brigáde zúčastnil najviac trikrát.“ Zo študentových slov vyplýva, ţe sa na brigáde
a) zúčastnil vţdy.
d) najviac trikrát nezúčastnil.
b) zúčastnil aspoň štyrikrát.
e) nezúčastnil nikdy.
c) zúčastnil aspoň trikrát.
6. Koláče
Mama sa chystá piecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili tieto ţelania:
Otec: „Upeč makovník alebo orechovník.“
Syn: „Ak upečieš orechovník, tak upeč aj makovník alebo buchty.“
Dcéra: „Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník.“
Mama napokon upiekla len orechovník. Komu splnila ţelanie?
a) Len otcovi a dcére.
c) Len synovi a dcére.
e) Ani otcovi, ani synovi, ani dcére.
b) Len otcovi a synovi.
d) Otcovi, synovi aj dcére.
7. Novinová správa
V tlači sa objavila správa: „Vlani kaţdý študent maturoval aspoň z jedného cudzieho jazyka.“ Na
druhý deň v novinách priznali, ţe došlo k omylu a správa nebola pravdivá. Z toho moţno usúdiť, ţe
vlani
a) kaţdý študent maturoval z viacerých cudzích jazykov.
b) niektorí študenti maturovali práve z jedného cudzieho jazyka.
c) niektorí študenti maturovali z viac ako dvoch cudzích jazykov.
d) niektorí študenti nematurovali z cudzieho jazyka.
e) ţiadny študent nematuroval z cudzieho jazyka.
8.
Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:
( p q) r
je pravdivý práve vtedy keď:
p,q, sú pravdivé a r je nepravdivý
p,r sú pravdivé a q je nepravdivý
q,r sú pravdivé a p je nepravdivý
q,r sú nepravdivé a p je pravdivý
p,r sú nepravdivé a q je pravdivý
8
9. Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:
( p q) r
je nepravdivý práve vtedy keď:
p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý
p,r pravdivé a q nepravdivý
q,r pravdivé a p nepravdivý
p,q nepravdivé a r pravdivý
všetky tri výroky sú nepravdivé
10.
Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:
p q
r
je nepravdivý
p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý
p pravdivé a q,r nepravdivý
q,r pravdivé a p nepravdivý
p,q nepravdivé a r pravdivý
všetky tri výroky sú pravdivé
11.
Negáciou výroku : „Prišli práve traja návštevníci“, je výrok
a. Prišli práve traja návštevníci
b. Prišli aspoň štyria návštevníci
c. Prišli najviac traja návštevníci, alebo aspoň štyria
d. Prišli najviac traja návštevníci.
e. Tento výrok sa nedá negovať
12.
Nech K1, K2 sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré
z uvedených tvrdení je potom nepravdivé?
a.
b.
c.
d.
e.
K1 K2 je konečná mnoţina.
K1 K2 je konečná mnoţina.
M K1 je nekonečná mnoţina.
M K1 je nekonečná mnoţina.
M - K1 je nekonečná mnoţina.
13.
Označme T mnoţinu dvojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsahujúcich písmeno „O“. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( T S ) A ?
a.
b.
c.
d.
e.
JAMKA
VIETOR
MONITOR
BUNKA
KLAVÍR
14.
Pomocou Vennového diagramu zjednodušte zápis mnoţiny
(M N ) N
9
a.
b.
c.
d.
e.
M
prázdna mnoţina
základná mnoţina
N
ţiadna z ostatných moţností nie je správna
15.
Dané sú výrokové formy A(x): x2 < 30, B(x): 2x > 5,, kde x sú prirodzené čísla
Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je :
A. {3,4,5}
B. prázdna mnoţina
C. {1,2,3,4,5}
D. N
E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
16.
Dané sú výrokové formy A(x): x2 < 30, B(x): 2x > 5,, kde x sú prirodzené čísla
Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x)
B(x) je :
a. x > 3
b. prázdna mnoţina
c. {1,2 }
d. N\{1,2 }
e. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
17. Negáciou výroku „Nikto nepodal protest“ je výrok
f. Kaţdý podal protest
g. Aspoň jeden nepodal protest
h. Niekto podal protest
i. Najviac jeden podal protest
j. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
18. Mama sa chystá piecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili tieto ţelania:
Otec: „Upeč makovník alebo orechovník.“
Syn: „Ak upečieš orechovník, tak upeč aj makovník alebo buchty.“
Dcéra: „Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník.“
Mama napokon upiekla len orechovník. Komu splnila ţelanie?
A.
B.
C.
D.
E.
Len otcovi a dcére.
Len otcovi a synovi.
Len synovi a dcére.
Otcovi, synovi aj dcére.
Ani otcovi, ani synovi, ani dcére.
19.
Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:
( p q) r
je pravdivý práve vtedy keď:
A. p,q, sú pravdivé a r je nepravdivý
10
B.
C.
D.
E.
p,r sú pravdivé a q je nepravdivý
q,r sú pravdivé a p je nepravdivý
q,r sú nepravdivé a p je pravdivý
p,r sú nepravdivé a q je pravdivý
20.
Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:
( p q) r
je nepravdivý práve vtedy keď:
A. p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý
B. p,r pravdivé a q nepravdivý
C. q,r pravdivé a p nepravdivý
D. p,q nepravdivé a r pravdivý
E. všetky tri výroky sú nepravdivé
21.
Nech p,q,r sú ľubovoľné výroky. Potom výrok popísaný formulou:
p q
r
je nepravdivý
A. p,q sú pravdivé a r nie je pravdivý
B. p pravdivé a q,r nepravdivý
C. q,r pravdivé a p nepravdivý
D. p,q nepravdivé a r pravdivý
E. všetky tri výroky sú pravdivé
22.
Negáciou výroku : „Prišli práve traja návštevníci“, je výrok
A. Prišli práve traja návštevníci
B. Prišli aspoň štyria návštevníci
C. Prišli najviac traja návštevníci, alebo aspoň štyria
D. Prišli najviac traja návštevníci.
E. Tento výrok sa nedá negovať
23.
Nech K1, K2 sú ľubovoľné dve konečné mnoţiny a M nech je ľubovoľná nekonečná mnoţina. Ktoré
z uvedených tvrdení je potom nepravdivé?
A.
B.
C.
D.
E.
K1 K2 je konečná mnoţina.
K1 K2 je konečná mnoţina.
M K1 je nekonečná mnoţina.
M K1 je nekonečná mnoţina.
M - K1 je nekonečná mnoţina.
24.
Označme T mnoţinu dvojslabičných slov, S mnoţinu šesťpísmenových slov a A mnoţinu slov obsahujúcich písmeno „O“. Ktoré z uvedených slov patrí do mnoţiny ( T S ) A ?
A. JAMKA
B. VIETOR
C. MONITOR
D. BUNKA
11
E. KLAVÍR
25.
Pomocou Vennového diagramu zjednodušte zápis mnoţiny
(M N ) N
A. M
B. prázdna mnoţina
C. základná mnoţina
D. N
E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
26.
Dané sú výrokové formy A(x): x2 < 30, B(x): 2x > 5,, kde x sú prirodzené čísla
Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x) B(x) je :
A. {3,4,5}
B. prázdna mnoţina
C. {1,2,3,4,5}
D. N
E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
27.
Dané sú výrokové formy A(x): x2 < 30, B(x): 2x > 5,, kde x sú prirodzené čísla
Oborom pravdivosti výrokovej formy A(x)
B(x) je :
A. x > 3
B. prázdna mnoţina
C. {1,2 }
D. N\{1,2 }
E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
28.
Negáciou výroku „Nikto nepodal protest“ je výrok
A. Kaţdý podal protest
B. Aspoň jeden nepodal protest
C. Niekto podal protest
D. Najviac jeden podal protest
E. ţiadna z ostatných moţností nie je správna
1.2 Čísla, premenné a výrazy
Obsah
Pojmy: konštanta, premenná, výraz, obor definície výrazu, rovnosť výrazov, hodnota výrazu, mnohočlen, stupeň mnohočlena, doplnenie do štvorca (pre kvadratický mnohočlen), člen mnohočlena, vynímanie pred zátvorku, úprava na súčin, krátenie výrazu, prirodzené (N), celé (Z), nezápor-né N 0 , záporné ( Z ), racionálne (Q), iracionálne (I), reálne (R) čísla, n–ciferné číslo, zlomky (čitateľ, menova12
teľ, spoločný menovateľ, základný tvar zlomku, zloţený zlomok, hlavná zlomková čiara), desatinný
rozvoj (konečný, nekonečný a periodický), číslo e, číslo , nekonečno, číselná os, znázorňovanie čísel,
komutatívny, asociatívny a distributívny zákon, odmocnina (druhá), n-tá odmocnina, mocnina (s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom), exponent a základ mocniny, základ logaritmu, absolútna hodnota čísla, úmera (priama a nepriama), pomer, percento, promile, základ (pre počítanie
s percentami), faktoriál, kombinačné číslo, desiatková a dvojková sústava, dekadický a dvojkový zápis,
interval (uzavretý, otvorený, ohraničený, neohraničený).
Vlastnosti a vzťahy:
x 2 y 2 ( x y ).( x
korene rovnice ax
ax
y
x, y
m n
x
a2
2
y ), x2
bx c
a x . a y , (a x ) y
2 xy
0 (a
a xy , a
x
y2
2
y , ax 2
x
0 ),
1
, (ab) x
x
a
a( x x1 ).( x x 2 ) , kde x1 , x2 sú
bx c
a xb x , c0
1 , a, b 0, c 0 , x, y
Z , resp.
Q,
nm
x,
n
x
m
n
xm ,
n
x .n y
n
xy , pre x , y
0 , m, n
N,
a,
x a je vzdialenosť obrazov čísel x a a na číselnej osi,
sin 2
cos2
1 , cos
2
cos(
)
sin ,
sin
,
tan
cos
ax b
x log a b , a log a x
sin(
sin
)
, sin
cos ,
cos
2
sin 2
, sin(
)
2sin .cos ,
sin
, cos(
cos 2
)
cos2
cos ,
sin 2 ,
x pre a
0, a 1, x 0 ;
x
log a x log a y log a ( xy ) , log a x log a y log a pre a 0, a 1, x, y
y
y
log a ( x ) y log a x pre a 0, a 1, x 0 ;
log a s
log r s
pre a, s, r 0 , r , a 1 ,
log a r
0;
n!=1.2.3. ... .n, pre prirodzené čísla n, 0!=1,
n
n!
pre prirodzené čísla n a nezáporné celé čísla k nie väčšie ako n,
k
k! ( n k )!
práve racionálne čísla majú desatinný periodický rozvoj,
{0} , N Z Q R .
R Q I , Q I {} , Z N Z
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie:
(čísla)
zaokrúhľovať čísla,
upraviť reálne číslo na tvar
a.10n , kde n je celé číslo a a číslo z intervalu 1, 10 ,
vypočítať absolútnu hodnotu reálneho čísla,
zapísať vzdialenosť na číselnej osi pomocou absolútnej hodnoty,
znázorňovať čísla na číselnú os, porovnávať čísla na číselnej osi, odčítať čísla z číselnej osi,
13
pre konkrétne n všeobecne zapísať n–ciferné číslo,
na pribliţný výpočet číselných výrazov a hodnôt funkcií (vrátane log a ) pouţívať kalkulačku, pričom vie
- upravovať číselné výrazy na tvar vhodný pre výpočet na kalkulačke,
- zvoliť vhodný postup, aby mu vyšiel čo najpresnejší výsledok (napr. pri pribliţnom výpočte
20!
),
10!10!
pomocou kalkulačky zistiť ostrý uhol, ktorý má danú goniometrickú hodnotu,
porovnať dve reálne čísla na úrovni presnosti kalkulačky,
vyjadriť zjednotenie, prienik a rozdiel konečného počtu intervalov pomocou najmenšieho počtu
navzájom disjunktných intervalov, jednoprvkových mnoţín a prázdnej mnoţiny,
(výrazy)
určiť hodnotu výrazu (dosadiť) „ručne“ alebo pomocou kalkulačky,
určiť obor definície výrazu (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
odstrániť absolútnu hodnotu rozlišovaním vhodných prípadov (t.j. V ( x) V ( x) pre x, pre ktoré
V (x) 0 a V ( x)
V ( x) pre x, pre ktoré V (x) 0 ),
doplniť kvadratický trojčlen do štvorca (pozri tieţ 2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická
postupnosť),
upravovať mnohočlen na súčin vynímaním pred zátvorku a pouţitím vzťahov pre rozklady výrazov
x 2 y 2 , x 2 2 xy y 2 , ax 2 bx c ,
pouţiť pri úpravách výrazov (číselných alebo výrazov s premennými) rovnosti uvedené v časti
Vlastnosti a vzťahy, roznásobovanie, vynímanie pred zátvorku, krátenie, úpravu zloţeného zlomku
na jednoduchý,
(práca s premennou)
pouţívať percentá a úmeru,
nahradiť premennú vo výraze novým výrazom (substitúcia, pozri tieţ 1.4 Rovnice, nerovnice a ich
sústavy),
pri priamo závislých veličinách vie vyjadriť jednu pomocou druhej (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej
vlastnosti, postupnosti),
vyjadriť neznámu zo vzorca (pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti),
zapísať slovný text algebraicky (matematizácia),
- zapísať vzťahy (v jednoduchom texte) pomocou premenných, čísel, rovností a nerovností
- zapísať, vyjadriť beţné závislosti v geometrii,
- v jednoduchých prípadoch odvodiť zo známych vzťahov niektoré nové vzťahy,
riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a nerovniciam (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a
ich sústavy) a hľadaniu extrémov funkcií (pozri 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad) a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania.
Príklady:
1. Priemerná mzda
Štátny podnik MONITOREX má dva úseky. V úseku výroby pracuje 100 zamestnancov a ich priemerná mzda je 9600 Sk. V úseku odbytu pracuje dvakrát toľko ľudí ako v úseku výroby a ich priemerná mzda je 12000 Sk. Aká je priemerná mzda všetkých pracovníkov MONITOREXu?
14
a) 10 400
b) 10 800
c) 11 200
d) 11 400
e) 11 600
2. Nepriamo úmerné veličiny
O dvoch premenných veličinách a, b sa meraniami zistilo, ţe jedna je nepriamo úmerná druhej.
Ktorý z nasledujúcich vzťahov môţe vyjadrovať ich závislosť?
a)
b
= - 0,6
a
b) a = 13b
b
c) a =
d) a = b - 3
e) a.b = 1,8
3. Cestovné lístky
Silvia sa venuje d dní v mesiaci tréningu gymnastiky. Z domu na tréning aj z tréningu domov cestuje vţdy autobusom. Lístok na jednu cestu stojí 12 korún, mesačný cestovný lístok stojí m korún.
V akom vzťahu musia byť hodnoty m a d, aby bolo pre Silviu výhodnejšie kúpiť si mesačný lístok
neţ pouţívať jednorazové cestovné lístky?
a) m>24d
b) m>
24
d
c) m<12d
d) m<24d
e) m<
d
24
4. Fajčiari
20% všetkých predčasných úmrtí majú na svedomí srdcovo-cievne choroby. 40% obetí týchto chorôb tvoria nefajčiari. Koľko percent predčasných úmrtí tvoria fajčiari, ktorí zomreli na srdcovocievne choroby?
a) 8%
b) 12%
c) 20%
d) 40%
e) 60%
5. Teploty
V Európe sa teplota vzduchu udáva v stupňoch Celzia, v USA v stupňoch Fahrenheita. Keď Európan pricestuje do USA a chce rozumieť predpovedi počasia, musí pouţiť na prevod teplôt vzorec
5. f 32
c=
, kde c je teplota v C a f je teplota v F . Aký vzorec na prevod teplôt by mali pou9
ţívať Američania, keď pricestujú do Európy?
a) f =
9c
- 32
5
b) f =
9. c 32
5
c) f =
9.c 32
5
d) f =
9.c 160
5
e) f =
9.c
+ 160
5
6. Hmotnosť častice
Elementárna častica A má hmotnosť 4.10-28 g. Častica B je 200 – krát ťaţšia. Jej hmotnosť je teda
a) 8.10-26 g.
b) 8.10-30 g.
c) 4.10-26 g.
d) 2.10-26 g.
e) 2.10-30 g.
15
7. Kruhová rýchlosť
Pre veľkosť kruhovej rýchlosti v, ktorou sa pohybuje umelá druţica okolo Zeme, platí vzťah v =
.M
. Z neho pre výšku h nad povrchom Zeme platí
6378 h
6378 .v 2
.M
.
2
v
.M 6378
d) h =
.
v2
a) h =
b) h = κ.M – 6378.v2.
e) h =
c) h =
.M
6378 .v 2
.
v2
v2
.
.M 6378 .v 2
8. Test
Test na prijímacích skúškach obsahuje u úloh. Pätina z nich sa hodnotí jedným bodom, t úloh je
trojbodových, zvyšné úlohy sú dvojbodové. Aký maximálny počet bodov sa dá získať z testu?
1
.u 3.t 2. u t
5
1
4
c) .u 3.t 2. . u t
5
5
1
1
3
e) .u 3. .t 2. .u t
5
5
5
a)
1
4
.u 3.t 2. u t
5
5
1
4
d) .u 3. u t 2. . u t
5
5
b)
9. Prospech študentov
Na kruhovom diagrame je znázornené, koľko percent študentov školy prospelo na konci školského
roka s vyznamenaním, koľko prospelo veľmi dobre, koľko prospelo a koľko neprospelo. Pribliţne
koľko percent ţiakov prospelo s vyznamenaním?
a) 40 %
b) 33 %
c) 25 %
d) 12 %
e) 6 %
10. Väčšie číslo
Koľkokrát je číslo 1,8.10a+1 väčšie ako číslo 7,2.10a-2 ?
a) 250 – krát
b) 250.10a – krát
c)
1
.10a-1 – krát
4
d)
1
- krát
40
e)
1
- krát
250
11. Odmena zamestnancov
Graf znázorňuje, ako boli v istom podniku so 120
zamestnancami rozdelené odmeny. Koľko zamestnancov malo odmenu niţšiu ako bola priemerná
odmena v podniku?
16
a) 28
d) 57
b) 29
e) 91
c) 37
12. Nepriama úmernosť
Ak sú dve veličiny nepriamo úmerné, potom musí byť konštantný
a) ich súčet.
b) ich súčin.
c) ich rozdiel. d) ich podiel. e) súčin ich algoritmov.
13. Vyjadrenie funkcie
Ak predpis funkcie f: y =
1 tg 2 x
, pričom x
1 tg 2 x
;
, vyjadríme pomocou t = cos x, dostaneme
2 2
y=
a)
1 t2
.
1 t2
b)
t2
2 t
2
.
c)
1
2t
2
1
.
d) 1 – 2t2.
e) 2t2 – 1.
14. Vzťah
V prvej sýpke bolo uskladnených x ton obilia, v druhej sýpke trikrát menej. Z prvej sýpky sa denne
expedovalo 8 ton obilia, z druhej sýpky štyrikrát menej. Za d dní bolo v obidvoch sýpkach rovnaké
mnoţstvo obilia. Aký je vzťah medzi x a d?
a) x = 8d
b) x = 9d
c) x = 12d
d) x =
9
d
e) x =
d
12
15. Rozpočet
Na schválenie rozpočtu nadácie sú podľa jej stanov potrebné hlasy aspoň troch pätín členov správnej rady. Na zasadnutie správnej rady sa však dostavili iba štyri pätiny jej členov. Najmenej aká
časť prítomných členov správnej rady musí návrh rozpočtu posporiť, aby bol schválený v súlade so
stanovami nadácie?
a)
4
5
b)
3
4
c)
7
10
d)
3
5
e)
12
25
16. Študenti
Stĺpcový aj kruhový diagram na obrázku znázorňujú počty študentov istej strednej školy, prijatých
na jednotlivé druhy vysokých škôl. Ktorá časť kruhového diagramu zodpovedá počtu študentov prijatých na techniku?
a) časť A
b) časť B
c) časť C
d) časť D
e) časť E
17
17. Prváci
Na istú fakultu sa vlani prihlásilo p dievčat a štyrikrát toľko chlapcov. Po prijímacích skúškach sa
na fakultu dostala štvrtina z dievčat a polovica z chlapcov. Koľko študentov prijali do 1. ročníka
tejto fakulty?
a)
9
p
4
b)
3
p
2
c)
5
p
4
d)
3
p
4
e)
5
p
8
18. Kapacita kondenzátorov
Pre veľkosť výslednej kapacity C dvoch sériovo zapojených kondenzátorov s kapacitami C1, C2 pla1
1
1
tí vzťah
. Potom pre kapacitu C1 platí
C C1 C 2
a) C1 =
C C2
.
C 2 .C
b) C1 =
C2 C
.
C 2 .C
d) C1 =
C 2 .C
.
C2 C
e) C1 =
C 2 .C
.
C C2
c) C1 =
C 2 .C
.
C2 C
19. Priama úmernosť
Veličina V je priamo úmerná veličine t. Pre t = 7 je V = 98. Potom V moţno vyjadriť pomocou t
vzťahom
a)V = 2t2.
b)V = 14t.
c)V =
1
t.
14
d)V = 7t + 49.
e)V=
d) 21002
e) 2
t
+ 97.
7
20. 2?
21000
a) 2501
21000
21001 =
b) 21000
c) 21001
3001
2
21. Kopírovací stroj
Náš kopírovací stroj zväčšuje najviac 2 - krát. Ak chceme napríklad zväčšiť obrázok s rozmermi
15 cm x 15 cm na veľkosť 30 cm x 30 cm, musíme to urobiť na dvakrát: v prvom kroku získame
obrázok s rozmermi 15. 2 cm x 15. 2 cm a ten sa v druhom kroku zväčší na poţadovanú veľkosť 30 cm x 30 cm. Najmenej koľkokrát musíme pouţiť kopírovací stroj, ak chceme obrázok
s rozmermi 5 cm x 5 cm zväčšiť na 40 cm x 40 cm?
a) 4-krát
b) 5-krát
c) 6-krát
d) 7-krát
e) 8-krát
18
22. Prieskum
Istá agentúra uskutočnila prieskum o počte detí na vzorke 1000
rodín. Graf znázorňuje zistené relatívne početnosti rodín
s jednotlivými počtami detí. Aký bol priemerný počet detí
v tejto vzorke 1000 rodín?
a) 1
b) 1,84
c) 1,94
d) 2
e) 2,25
23. Mol
Ak 1 mol látky obsahuje pribliţne 6,023.1023 častíc, potom 100 molov látky obsahuje pribliţne
a) 6,023.1025 častíc.
d) 6,023.100023 častíc.
b) 6,023.10023 častíc.
e) 6,023.102300 častíc.
c) 6,023.10123 častíc.
24. Cena vizitiek
Firma VIZIT, s.r.o. stanovuje cenu za výrobu sady vizitiek podľa vzťahu C = 60 + 4p, kde C je cena
v korunách, 60 (Sk) je základný poplatok a p je objednaný počet kusov vizitiek. Od budúceho mesiaca plánuje firma zvýšiť základný poplatok o pätinu a cenu za kaţdý zhotovený kus o pätinu zníţiť. Podľa akého vzťahu bude firma po úprave stanovovať cenu?
a) C = 48 + 4,8p
d) C = 72 + 3,5p
b) C = 65 + 3,5p
e) C = 72 + 3,2p
25. Úprava výrazu
1
1
x
Výraz
moţno pre všetky čísla x R
1
1
x
a) – x – 1
b) x + 1
c) C = 72 + 0,8p
0;1 upraviť na tvar
c) x – 1
d) – x + 1
e) – 1
26. Stužková slávnosť
Keby sa na stuţkovej slávnosti zúčastnilo všetkých z ţiakov triedy, musel by kaţdý z nich na prenájom miestnosti prispieť sumou k korún. Štyria ţiaci sa však na stuţkovej nebudú môcť zúčastniť,
pretoţe odišli študovať do zahraničia. Akou sumou musí kaţdý zo zvyšných ţiakov triedy prispieť
na prenájom miestnosti?
a)
z
4
k
b)
z 4
z.k
c)
z.k
z 4
d)
z 4 .k
z
e)
k
z
4
19
1.3 Teória čísel
Obsah
Pojmy: deliteľ, násobok, deliteľnosť, najväčší spoločný deliteľ (NSD), najmenší spoločný násobok
(NSN), Euklidov algoritmus, prvočíslo, zloţené číslo, nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad,
prvočiniteľ.
Vlastnosti a vzťahy:
Znaky deliteľnosti:
- posledná cifra: 2, 5, 10,
- posledné dve cifry: 4, 25, 50,
- posledné tri cifry: 8,
- súčet všetkých cifier: 3, 9.
Ak sú čísla s, t deliteľné číslom M, tak aj číslo s t je deliteľné číslom M.
Ak je číslo s deliteľné prvočíslom M aj prvočíslom K, tak je deliteľné aj číslom K M .
Výpočet NSD pomocou delenia so zvyškom (Euklidov algoritmus).
Jednoznačnosť prvočíselného rozkladu.
Prvočísel je nekonečne veľa.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
zistiť bez delenia, či je dané číslo deliteľné niektorým z čísel uvedených v znakoch deliteľnosti,
sformulovať a použiť kritériá deliteľnosti niektorými zloženými číslami, ktoré sú súčinom nesúdeliteľných čísel uvedených v znakoch deliteľnosti (napr. 6, 12, 15),
nájsť NSN, NSD daných čísel,
použiť Euklidov algoritmus,
v jednoduchých prípadoch zistiť, či je číslo (buď konkrétne alebo určené pomocou najviac 1 parametra) prvočíslo,
nájsť celočíselné riešenia úloh, v ktorých moţno jednoduchou úvahou určiť vhodnú konečnú mnoţinu, ktorá hľadané riešenia musí obsahovať (riešenia úlohy potom nájde preverením jednotlivých
prvkov získanej konečnej mnoţiny),
pri riešení jednoduchých úloh vyuţiť pravidelnosť rozloţenia násobkov celých čísel na číselnej osi,
použiť základné druhy dôkazov pri dokazovaní jednoduchých tvrdení o celých číslach..
Príklady:
1. Vhodné číslice
Keď nahradíme hviezdičku v čísle 5 * 7000000000004 vhodnou číslicou, dostaneme číslo deliteľné
troma. Existuje niekoľko číslic. Aký je ich súčet?
a) 15
b) 13
c) 10
d) 7
e) 2
2. Vhodná číslica
Existuje jediná číslica, ktorej doplnením na miesta dvoch hviezdičiek v čísle 234567*765432*
vznikne číslo, ktoré je deliteľné 36 – timi. Ktorá z uvedených mnoţín obsahuje túto číslicu?
20
a) 0,1
b) 2,3
c) 4,5
d) 6,7
e) 8,9
1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy
Obsah
Pojmy: rovnica, nerovnica, sústava rovníc, sústava nerovníc a ich riešenie, koeficient, koreň, koreňový
činiteľ, diskriminant, doplnenie do štvorca, úprava na súčin, substitúcia, kontrola (skúška) riešenia,
(ekvivalentné a neekvivalentné) úpravy rovnice a nerovnice, lineárny, kvadratický člen, koeficient pri
lineárnom (kvadratickom) člene.
Vlastnosti a vzťahy:
diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 bx c 0 D = b 2 4ac ,
b
D
riešením kvadratickej rovnice ax 2 bx c 0 sú x1, 2
,
2a
vzťah medzi diskriminantom a počtom (navzájom rôznych) koreňov kvadratickej rovnice,
ax 2 bx c a( x x1 ).( x x2 ) , kde x1 , x2 sú korene rovnice ax 2 bx c 0 ( a 0 ),
b,
ak x 1 , x 2 sú korene kvadratickej rovnice x 2 bx c 0 , tak x 1 . x 2 c, x 1 x 2
vzťah medzi znamienkom súčinu dvoch výrazov a znamienkom jednotlivých činiteľov.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
(rovnice)
nájsť všetky riešenia lineárnej rovnice ax b 0 a kvadratickej rovnice ax 2 bx c 0 , pričom
pozná vzťah medzi koreňmi kvadratickej rovnice, jej koeficientmi a koreňovými činiteľmi, počtom
riešení,
nájsť všetky riešenia, resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale I (ak sa nedá presne, tak pribliţne s pomocou kalkulačky), rovnice f ( x) A , kde A R a f je funkcia
- x a , b x , log b x ( a Q , b je kladné číslo rôzne od 1),
-
x a,
- sin x , cos x , tgx ,
a vie určiť, koľko riešení má uvedená rovnica (v závislosti od čísla A, čísel a, b, c, resp. intervalu I,
pouţitím danej substitúcie y
(x) upraviť rovnicu zapísanú v tvare f ( ( x)) A na tvar
f ( y) A , špeciálne vie nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc
f (ax b) A , kde f je funkcia x a , b x , log b x , sin x , cos x ,
-
f (ax 2
bx c)
A , kde f je funkcia x a , b x , log b x , x ,
- af 2 ( x ) bf ( x ) c 0 , kde f lineárna, kvadratická funkcia alebo funkcia sin x , cos x ,
nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc zapísaných v tvare
f ( x) g ( x) 0 , kde pokiaľ vie riešiť rovnice f(x)=0, g(x)=0,
nájsť všetky riešenia (resp. všetky riešenia leţiace v danom intervale) rovníc, ktorých riešenie moţno upraviť na niektorý z predchádzajúcich tvarov
- pouţitím úprav jednotlivých strán rovnice, vyuţívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti
funkcií (pozri 1.2 Čísla, premenné a výrazy, 2 Funkcie),
- pripočítaním (špeciálne odpočítaním) a vynásobením (špeciálne vydelením) obidvoch strán rovnice výrazom, umocnením (špeciálne odmocnením) obidvoch strán rovnice,
21
odstránením absolútnej hodnoty v prípade rovníc s jednou absolútnou hodnotou (rozlišovaním
dvoch vhodných prípadov), resp. jednoduchých rovníc s dvoma absolútnymi hodnotami (rozlišovaním 3 – 4 vhodných prípadov),
pričom vie rozhodnúť
- či pouţitá úprava zachová alebo či môţe zmeniť mnoţinu riešení danej rovnice,
- ktoré z koreňov rovnice, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj koreňmi pôvodnej rovnice,
resp. - pri pouţití postupov, ktoré mohli mnoţinu potenciálnych koreňov zmenšiť - o ktorých
číslach ešte treba zistiť, či sú koreňmi pôvodnej rovnice,
na základe vlastností funkcie f (monotónnosť, periodičnosť, súmernosti grafu) - určiť vzťah
medzi číslami x a y, pre ktoré platí f ( x ) f ( y ) , kde f je funkcia x a , b x , log b x , x a , sin x ,
cos x (na základe toho vie riešenie rovnice v tvare f ( g ( x)) f (h( x)) nahradiť riešením rovnice
(alebo rovníc) zapísaných uţ len pomocou funkcií g a h),
riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k rovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku pôvodného zadania,
(sústavy rovníc)
opísať a geometricky interpretovať mnoţinu všetkých riešení jednej a dvoch lineárnych rovníc s 2
alebo 3 neznámymi (pozri 3.2 Analytická geometria v rovine, 4.2 Súradnicová sústava v priestore,
vektory, analytická metóda),
nájsť mnoţinu všetkých riešení sústavy 1 – 3 lineárnych rovníc s 1 – 2, resp. 1 – 3 neznámymi, a to
aj v prípadoch, keď táto sústava má nekonečne veľa riešení (a tieto riešenia aj zapísať) alebo nemá
riešenia,
nájsť všetky riešenia sústavy 2 rovníc s 2 neznámymi, ktorú moţno jednoducho upraviť na tvar
y f (x) g ( x, y) 0 (resp. x f ( y) g ( x, y) 0 ), pokiaľ vie riešiť rovnicu g ( x, f ( x)) 0
(resp. g ( f ( y), y) 0 ),
upravovať sústavy rovníc pouţitím
- úprav jednotlivých strán rovnice, vyuţívajúcich úpravy výrazov a základné vlastnosti elementárnych funkcií (pozri 1.2 Čísla, premenné a výrazy, 2 Funkcie),
- pripočítania (špeciálne odpočítania) a vynásobenia (špeciálne vydelenia) obidvoch strán rovnice
výrazom,
pričom vie rozhodnúť,
- či pouţitá úprava zachová alebo či môţe zmeniť mnoţinu riešení danej sústavy,
- ktoré z riešení sústavy, ktorá vznikla uvedenými úpravami, sú aj riešeniami pôvodnej sústavy,
resp. - pri pouţití postupov, ktoré mohli mnoţinu potenciálnych riešení zmenšiť - o ktorých číslach ešte treba zistiť, či sú riešeniami pôvodnej sústavy,
nahradiť riešenie sústav typu f ( x , y ).h( x , y ) 0 g( x , y ) 0 riešením dvojice sústav
f ( x, y ) 0 g( x, y ) 0 , h( x, y ) 0 g( x, y ) 0 ,
správne použiť nahradenie jednej rovnice sústavy súčtom vhodných násobkov jednotlivých rovníc tejto sústavy, a to aj v prípade nelineárnych sústav,
(nerovnice a ich sústavy)
nájsť mnoţinu všetkých riešení nerovnice
-
-
f ( x) L , kde L je reálne číslo,
je jeden zo znakov nerovnosti , , , a f je niektorá
x
z funkcií (ax b) , b , log b x , x a , resp. mnoţinu všetkých riešení tejto nerovnice leţia-
cich v danom intervale,
-
f ( x) L , kde f je niektorá z funkcií sin x , cos x , tg x a x je prvkom daného ohraničeného intervalu,
22
f ( x)
0 a f ( x) g ( x) 0 , pokiaľ vie riešiť nerovnice f ( x) 0, g ( x) 0 , kde
g ( x)
nosti ,
pri riešení a úpravách nerovníc správne pouţiť
- vynásobenie obidvoch strán nerovnice kladným alebo záporným číslom,
- pripočítanie výrazu k obidvom stranám nerovnice,
- vynásobenie nerovnice výrazom ax b , ax 2 bx c , x a ,
-
je znak nerov-
nájsť všetky riešenia nerovníc, ktorých riešenie moţno uvedenými postupmi nahradiť riešením nerovníc uvedených v predchádzajúcej odráţke,
na základe poznatkov o monotónnosti exponenciálnych a logaritmických funkcií nahradiť riešenie nerovnice f ( g( x )) f (h( x )) , kde je znak nerovnosti a f je logaritmická alebo exponenciálna funkcia, riešením nerovnice g( x ) h( x ) ,
riešiť sústavu nerovníc s jednou neznámou v prípadoch, keď vie vyriešiť samostatne kaţdú z daných nerovníc ( pozri tieţ prieniky a zjednotenia intervalov v 1.2 Čísla, premenné a výrazy),
vyznačiť na x–ovej osi riešenie nerovnice f ( x ) g( x ) , pokiaľ vie načrtnúť grafy funkcií
y = f(x), y = g(x),
v rovine opísať a geometricky interpretovať mnoţinu všetkých riešení jednej nerovnice s dvoma
neznámymi x, y, ktorú moţno zapísať v tvare
- y f (x) alebo x f ( y) (kde je znak nerovnosti) v tých prípadoch, kedy vie načrtnúť graf
funkcie y f (x) , resp. x f ( y) ,
- ax by c 0 ,
- ax 2 bx ay 2 dy m 0 ,
f ( x , y ) 0 , ak vie načrtnúť krivku f ( x , y ) 0
( pozri tieţ 3.3 Mnoţiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie),
riešiť kontextové (slovné) úlohy vedúce k nerovniciam a interpretovať získané riešenia v jazyku
pôvodného zadania.
Príklady:
1. Navzájom „opačné“ nerovnice
Učiteľ riešil na tabuľu nerovnicu x3+2>x2. Správne mu vyšlo, ţe mnoţinou všetkých jej riešení
v obore reálnych čísel je interval 1; . Vzápätí vyvolal Katku a dal jej nájsť všetky reálne riešenia „opačnej“ nerovnice x3 + 2 x 2. Bez toho, aby nerovnicu riešila, Katka ľahko zistila, ţe mnoţinou všetkých jej riešení je interval
a)
; 1
b)
; 1
c)
;1
d)
;1
e)
1;1
2. Filmy a fotografie
Za vyvolanie dvoch filmov a 45 fotografií sme zaplatili 230 korún. Za vyvolanie troch filmov a 70
fotografií sme zaplatili 355 korún. Koľko zaplatíme za vyvolanie štyroch filmov a 100 fotografií?
a) 500 korún
b) 510 korún
c) 525 korún
d) 540 korún
e) 550 korún
3. Nerovnica
Nech M je mnoţina všetkých riešení nerovnice x2<x v obore reálnych čísel. Potom
23
a)M=Ө
b)M=
c)M= 0;1
;1
d)M=
e)M=
1;1
;0
1;
4. Súčet koreňov
Súčet všetkých koreňov rovnice (x + 1).(2x + 1).(1 – x) = 0 je
a)-
3
2
b)-
1
2
c)0
d)
1
2
e)
3
2
5. Absolútna hodnota
Koľko riešení má v obore reálnych čísel rovnica x 1 . x 9 = 15,8 ? (Návod: skúste si načrtnúť
graf funkcie y = x 1 . x 9 .)
a) Ani jedno.
b) Jedno.
c) Dve.
e) Štyri.
d) Tri.
6. Prienik intervalov
Istej nerovnici vyhovujú všetky čísla, ktoré sú z intervalu
4;7 a súčastne nie sú z intervalu
1;12 . Riešením tejto nerovnice sú teda všetky čísla z mnoţiny
a) 7;12 .
b) 1; 7 .
c)
4;1 .
d)
4;1 .
7. Nerovnica
Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice x2
a) P =
; 1
6;
. b) P =
8. Súčet
Pre tri reálne čísla x, y, z platí:
a) 28
b) 20
6;1 . c) P =
e)
7;12 .
4;1
5x + 6 v mnoţine reálnych čísel. Potom
3;2 . d) P =
2;3 . e) P =
1;6 .
2x + y + z = 23
2x + 3z = 2
x + 2z = 3.
Akú hodnotu má súčet x + y + z?
c) 18
d) -20
e) -28
9. Korene rovnice
Koľko koreňov má rovnica cos2x = 1 + 5sin2x v intervale 0;
a) Ani jeden.
b) Jeden.
c) Dva.
5
2
?
d) Tri.
e) Štyri.
24
10. Grafické riešenie sústavy nerovníc
Na ktorom z obrázkov môţe vyšrafovaná oblasť predstavovať tú časť roviny, ktorá je grafickým
riešením sústavy nerovníc y - 2 ≤ 0
x+1≥0
y–x+2≤0?
11.
Daná je nerovnica v mnoţine R
2x2 – 3x + 4 < 0
Počet celých koreňov nerovnice je:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12.
Daná je nerovnica v R
x2 +2x – 2 > 0
Súčet celých koreňov nerovnice je :
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) -2
13.
Daná je nerovnica v R
6x2 – 7x + 2>= 0
Počet celých koreňov nerovnice je:
25
a)
0
b) 1
c) 2
d) 3
e) -2
14.
Daná je nerovnica v R
5x2 – 8x – 4 < 0
Súčet celých koreňov nerovnice je:
a) 45
b) 50
c) -12
d) 5
e) 0
15.
Daná je nerovnica v R
x2 -5x + 4 < 0
Súčet celých koreňov nerovnice je:
a) 5
b) -5
c) 7
d) 0
e) 2
16.
Daná je nerovnica v R
x2 – 8x + 15 >= 0
Ktoré celé číslo nie je koreňom nerovnice:
a) 4
b) 1
c) 3
d) -1
Ktoré prirodzené číslo je koreňom rovnice:
a) 5
b) 1
c) 0
d) -3
d) 0
17.
Daná je rovnica v R
x 2 =3 x 4
d) 4
18.
Daná je nerovnica v R
3x 5 <= 2x + 10
26
Koľko celých čísel je koreňmi nerovnice:
a) 17
c) 19
b) 18
d) 20
e) ţiadne
19.
Daná je nerovnica v R
x + 2 x >= 4
Koľko celých čísel nie je koreňom nerovnice:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
20.
Daná je rovnica v R
5 x - x 3 = 2(x + 1)
Koľko koreňov má rovnica:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
21.
Daná je nerovnica v R
x 6 - 2x >= 3
Koľko kladných celých čísel je koreňom nerovnice:
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
22.
Daná je nerovnica v R
1 2x + 2 3x < 11
Koľko kladných celých čísel je koreňom nerovnice:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
23
Daná je nerovnica v R
27
5 x 1 -3 x 2 >5
Koľko kladných celých čísel nie je koreňom nerovnice:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
24.
Daná je rovnica v R
log2 x + 3log x – 4 = 0
Počet prirodzených koreňov rovnice je:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
25.
Daná je rovnica v R
Log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1
Počet celých koreňov rovnice je :
a)
1
b)
3
c)
5
d)
6
e)
8
Počet koreňov rovnice je:
a) 1
b) 3
c)
5
d)
6
e)
8
26.
Daná je rovnica v R
log3 ( 3x – 8) = 7log7(2 – x)
27.
Daná je rovnica v R
(x + 1)log(x + 1) = 100(x + 1)
Súčet koreňov rovnice je:…………..
a) 98,1
b) 3
c)
54,2
d) 6
e)
81,8
28.
Daná je rovnica v R
28
1 + log2 (x – 1) = log(x – 1) 4
Počet celých koreňov rovnice je:
a) 1
b) 3
c)
5
d)
6
e)
8
c)
5
d)
6
e)
8
29.
Daná je rovnica v R
3x 7 -
x 1 =2
Súčet koreňov rovnice je:
a) 2
b) 3
30.
Daná je rovnica v R
x2
3x - 4 = 0
Súčet koreňov rovnice je:………..
a) -3
b) 3
c)
-5
d)
6
e)
8
31.
Daná je rovnica v R s neznámou x a reálnym parametrom m
(m – 2)x2 + 2(m – 2)x + 2 = 0
Pre koľko celých parametrov m nemá rovnica reálne korene:
a)
2
b)
3
c)
5
d)
6
e)
8
32.
Daná je rovnica v R
log2 x – log x4 + 3 = 0
Súčet koreňov rovnice je: ………………
a) 1010
b) 1003
c) 1005
d)
6
e)
8
29
33.
Daná je rovnica v R
27x – 13.9x 13.3x+1 – 27 = 0
Súčet koreňov rovnice je:
a)
3
b)
1
c)
5
d)
6
e)
8
c)
5
d)
6
e)
8
c)
5
d)
6
e)
8
5
d)
6
e)
8
34.
Daná je rovnica v R
64.9x – 84.12x + 27.16x = 0
Súčet koreňov rovnice je:
a)
3
b)
1
35.
Daná je nerovnica v R
4 x 2 <= x
Počet celých koreňov nerovnice je:
a)
1
b)
3
36.
Daná je nerovnica v R
2
x >x
Počet nezáporných koreňov nerovnice je:
a)
1
b)
3
c)
37.
Daná je nerovnica v R
30
9x – 2.3x < 3
Počet nezáporných koreňov nerovnice je:
a)
1
b)
3
c)
5
d)
6
e)
8
38.
Daná je nerovnica v R
4-x+1/2 – 7.2-x – 4 < 0
Počet záporných celých koreňov nerovnice je:
a)
1
b)
3
c)
5
d)
6
e)
8
c)
5
d)
6
e)
8
d)
6
e)
82
39.
Daná je nerovnica v R
log1/2 (x2 – x – 12) > log1/2 (x +3)
Počet celých koreňov nerovnice je:
a)
0
b)
3
40.
Daná je nerovnica v R
log2 (1 + log1/9 x – log9 x ) <1
Počet celých koreňov nerovnice je: …………
a) 2
b)
3
c)
5
2. FUNKCIE
2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti
Obsah
31
Pojmy: premenná (veličina), „daná premenná je funkciou inej premennej“, funkcia, postupnosť, argument, funkčná hodnota, (n-tý) člen postupnosti, definičný obor a obor hodnôt funkcie, graf funkcie,
rastúca, klesajúca, monotónna funkcia (postupnosť), maximum (minimum) funkcie (postupnosti), lokálne maximum a minimum funkcie, zhora (zdola) ohraničená funkcia (postupnosť), ohraničená funkcia (postupnosť), horné (dolné) ohraničenie; konštantná, prostá, inverzná, zloţená, periodická funkcia;
rekurentý vzťah, postupnosť daná rekurentne.
Vlastnosti a vzťahy:
rastúca (klesajúca) funkcia je prostá,
k prostej funkcii existuje inverzná funkcia,
graf inverznej funkcie f 1 je súmerný s grafom funkcie f podľa priamky y
f f 1( x ) x .
x,
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či niektorá z dvoch daných premenných veličín je funkciou
druhej z nich, a túto závislosť vyjadriť, ak je to moţné urobiť pomocou predpisov funkcií, ktoré pozná,
z daného grafu funkcie
- určiť pribliţne
- jej extrémy,
- intervaly, na ktorých rastie (klesá),
- zistiť, či je zdola (zhora) ohraničená,
nájsť definičný obor danej funkcie, resp. rozhodnúť, či dané číslo patrí do definičného oboru danej
funkcie (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
rozhodnúť, či dané číslo patrí do oboru hodnôt danej funkcie (pozri 1.4 Rovnice a nerovnice),
nájsť funkčnú hodnotu funkcie v danom bode, určiť jej priesečníky so súradnicovými osami, nájsť
priesečníky grafov dvoch funkcií (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
ax b
v prípade konštantnej funkcie a funkcií ax b , ax 2 bx c ,
, x a , a x , log a x , sin x , cos x ,
cx d
tg x
- určiť na danom intervale ich obor hodnôt,
- určiť intervaly, na ktorých sú tieto funkcie rastúce, resp. klesajúce,
- načrtnúť ich grafy,
- nájsť ich najväčšie, resp. najmenšie hodnoty na danom intervale a, b ,
rozhodnúť, ktoré z nich sú na danom intervale I
- prosté,
- zhora (zdola) ohraničené,
určiť na danom intervale obor hodnôt funkcií tvaru f (ax b) , kde f je niektorá z funkcií x a ,
a x , log a x , sin x , cos x , tg x,
načrtnúť grafy funkcií
- ax b , ax b cx d ,
-
-
a f ( x), f (a x),
z grafu funkcie f ,
f ( x), | f ( x) | , ak pozná graf funkcie f , a opísať, ako vznikne uvedený graf
načrtnúť graf inverznej funkcie f
1
, ak pozná graf prostej funkcie f,
32
nájsť inverzné funkcie k funkciám
ax b
- ax b ,
, x a , a x , log a x ,
cx d
2
- ax bx c na vhodnom intervale,
- c f (ax b) d , kde f je niektorá z funkcií x a , a x , loga x ,
v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o existencii riešenia rovnice f (x) 0 (resp. f ( x) a ), pokiaľ vie načrtnúť graf funkcie f,
graficky znázorniť na číselnej osi mnoţinu riešení nerovnice f ( x ) a , kde * je jeden zo symbolov
, , , , pokiaľ vie načrtnúť graf funkcie f,
nájsť všetky riešenia nerovnice f ( x) a , pokiaľ vie riešiť rovnicu f ( x) a a súčasne vie načrtnúť
graf funkcie f,
použiť dané (alebo žiakom objavené) rekurentné vzťahy pri riešení jednoduchých úloh (pozri 5.1
Kombinatorika a pravdepodobnosť),
vypočítať hodnotu daného člena postupnosti danej jednoduchým rekurentným vzťahom,
v jednoduchých prípadoch rozhodnúť, či dve postupnosti, z ktorých jedna je daná rekurentne a
druhá explicitne, sú rovnaké,
v jednoduchých prípadoch rozhodnúť o raste, resp. klesaní postupnosti.
Príklady:
1. Periodická funkcia
Tabuľka zachytáva funkčné hodnoty istej funkcie f pre niektoré hodnoty premennej x. O funkcii f
vieme, ţe je periodická s periódou 12. Bez toho, aby ste zisťovali, o akú funkciu ide, určite jej
hodnotu v čísle x = 29.
X
F(x)
-1
12
a) -1
.....
.....
5
16
b) 9
6
10
c) 10
.....
.....
20
5
.....
.....
d) 13
29
?
e) 16
2. Vlastnosti postupnosti
Postupnosť a n n 1 je definovaná vzťahom an = 8n – 11 pre kaţdé n N. Ktoré z uvedených tvrdení o tejto postupnosti je pravdivé?
a) Niektoré členy postupnosti sú párne čísla.
c) Postupnosť a n n 1 je klesajúca.
e) Postupnosť a n
n 1
b) a100= 811
d) an = 8.an-1 – 11 pre kaţdé n
2.
je zdola ohraničená.
3. Pravda – nepravda
Na obrázku je graf funkcie g: y = x - 1. Ktoré
z tvrdení o funkcii g je nepravdivé?
a) Funkcia g je párna.
33
b) Funkcia g nie je ohraničená.
c) Funkcia g je prostá.
d) Definičným oborom funkcie g sú všetky reálne čísla.
e) V obore x = 0 nadobúda funkcia g minimum.
4. Definičný obor
Nech D je definičný obor funkcie y =
; 2
a) D =
d) D = 2; .
2;
.
x2 4
. Potom
x 2
b) D = 2; .
e) D = R - 2 .
c) D = 0;
.
5. Rekurentná postupnosť
Postupnosť a n n 1 spĺňa rekurentný vzťah an+1 = an – 2n + 5. Ak a6 = 9, tak a4 =
a) 25.
b) 21.
c) 19.
d) 17.
e) 1.
6. Inverzné funkcie
Na ktorom z obrázkov sú znázornené grafy dvoch navzájom inverzných funkcií f a g ?
7. Zložená funkcia
Zloţením vonkajšej funkcie f: y = 3x2 – 2x + 7 a vnútornej funkcie h: y = x – 1 vznikne funkcia
a) y = 3x3 – 5x2 + 7.
c) y = 3x2 – 8x + 8.
e) y = 3x2 – x + 6.
b) y = 3x2 – 8x + 12.
d) y = 3x2 – 2x + 6.
8. ?
Na ktorom z obrázkov je znázornený graf funkcie s definičným oborom
nôt
5; 8 a s oborom hod-
6;4 ?
34
9. Riešenie nerovnice
Nech M je mnoţina všetkých riešení nerovnice
a) M = (-2;2).
d) M =
b) M =
; 2
2;
.
x2
x2
9
4
0 v obore reálnych čísel. Potom
2;2 .
; 2
c) M =
2;
.
e) M = Ө.
10. Nerovnica
Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice
a) P =
3;
b) P = R
.
3.
x2
x 3
c) P = R.
0 v mnoţine reálnych čísel. Potom
d) P =
3;
.
e) P =
; 3
0;
.
11. Obor hodnôt
Nech H je obor hodnôt funkcie f: y = - 3.cos 2x – 1. Potom
a) H =
3;2 .b) H =
2;3 .
c) H =
4;2 .
d) H =
2;4 .
e) H =
2;0 .
12. Inverzná funkcia
Ku ktorej z uvedených funkcií neexistuje inverzná funkcia?
a) f1: y = 2x – 1; x
d) f4: y = log2(x + 4);x
x 1
;x R 0
x
e) f5: y = 2x2 – 2; x R
b) f2: y =
R
0;
c) f3: y = 3x3 + 1; x
R
13. Kladné hodnoty funkcie
Nech P je mnoţina všetkých reálnych čísel x, pre ktoré nadobúda funkcia y =
x2
2x 1
kladné
x 3
hodnoty. Potom
35
a) P = R
d) P =
1;3 .
; 1
b) P = 3;
3;
.
e) P =
.
c) P = 3;
.
1;3 .
2.2 Lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť
Obsah
Pojmy: lineárna a kvadratická funkcia, aritmetická postupnosť, smernica priamky, diferencia aritmetickej postupnosti, dotyčnica paraboly, vrchol paraboly.
Vlastnosti a vzťahy:
grafom lineárnej (kvadratickej) funkcie je priamka (parabola),
lineárna (kvadratická) funkcia je jednoznačne určená funkčnými hodnotami v 2 (3) bodoch,
vzťah medzi koeficientom pri lineárnom člene a rastom, resp. klesaním lineárnej funkcie,
vzťah medzi diferenciou aritmetickej postupnosti a jej rastom, resp. klesaním,
kvadratická funkcia má na R jediný globálny extrém, minimum v prípade kladného koeficientu pri
kvadratickom člene, maximum v opačnom prípade,
parabola (t.j. graf kvadratickej funkcie) je súmerný podľa rovnobeţky s osou y, prechádzajúcej vrcholom paraboly.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej vlastnosti)
riešiť lineárne a kvadratické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), špeciálne vie nájsť priesečníky grafov 2 lineárnych (resp. 2 kvadratických) funkcií alebo lineárnej a
kvadratickej funkcie,
nájsť predpis lineárnej (alebo konštantnej) funkcie, ak pozná
- hodnoty v 2 bodoch,
- hodnotu v 1 bode a smernicu grafu tejto funkcie,
nájsť predpis kvadratickej funkcie, ak pozná
- jej hodnoty v 3 vhodne zvolených bodoch,
- vrchol jej grafu a hodnotu v ďalšom bode,
nájsť intervaly, na ktorých je daná lineárna alebo kvadratická funkcia rastúca, resp. klesajúca,
nájsť - pokiaľ existuje - najväčšiu a najmenšiu hodnotu kvadratickej a lineárnej funkcie na danom
intervale, špeciálne vie nájsť vrchol grafu kvadratickej funkcie, ak pozná jej predpis,
upraviť (napríklad rozlišovaním prípadov pri odstraňovaní absolútnej hodnoty) predpis funkcie
tvaru f ( x) ax b rx s , resp. f ( x) ax 2 bx c rx s na predpisy dvoch lineárnych,
resp. kvadratických funkcií na vhodných intervaloch,
nájsť dotyčnicu kvadratickej funkcie v danom bode jej grafu (pozri 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad),
určiť hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti, ak pozná
- jeden jej člen a diferenciu,
- dva rôzne členy,
pre aritmetickú postupnosť (danú explicitne) napísať zodpovedajúci rekurentný vzťah,
nájsť súčet n (pre konkrétne aj všeobecné n) za sebou nasledujúcich členov danej aritmetickej postupnosti.
Príklady:
36
1. Vrchol paraboly
Aké súradnice má vrchol V paraboly y = x2 + 4x + 1?
a) V
2; 3
b) V
c) V 2;13
3; 2
d) V 2; 3
e) V
2;3
2. Obrázok
Časť grafu znázornená na obrázku patrí funkcii
1
b) y = - x - 2.
2
e) y = 2x + 2.
a) y = -2x + 2.
d) y = 2x - 2.
c) y = -2x - 2.
3. Parabola
Grafom ktorej z uvedených funkcií je parabola s vrcholom v bode 2;7 ?
a) y = x2 - 4x + 7
d) y = x2 + 4x – 5
b) y = x2 - 4x + 11
e) y = x2 + 4x + 7
c) y = x2 - 2x + 7
4. Štadión
V rohu štadióna tvoria počty sedadiel v jednotlivých radoch aritmetickú postupnosť. Vo štvrtom rade je 10 sedadiel, v dvanástom rade je 26 sedadiel. Koľko sedadiel je v dvadsiatom štvrtom rade?
a) 36
b) 40
c) 50
d) 52
e) 58
5. Ktorá z nasledujúcich postupností je aritmetická:
a) 10, 8, 6, 4, 2, ...
b) 2, -2, 2, -2, 2, ...
c) 0,1,2,0,1,2,...
d) 1,1,2,3,5,8 ...
e) 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...
6. Ak viete, ţe v aritmetickej postupnosti prvý člen je tri
a desiaty je 39, určte jej diferenciu:
a) 3
b) 3,6
c) 4
7. 5 + 10 + 15 + 20 + ... + 150 =
a) 2 325
b) 2 350
c) 2 315
8. 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2n =
a)(2n+1 - 1)/2
b) 2n + 1 - 1
c) 2n+1
9. Z troch postupností, definovaných na mnoţine všetkých
37
prirodzených čísel a určených svojím n-tým členom, vyberte
tú, ktorá je ohraničená:
a) 3n + 5
b) 2 - 3n
c) 1/(2 - 3n)
10. K tomu, aby bola postupnosť konvergentná (aby mala limitu), stačí, aby bola
a) rastúca b) rastúca a ohraničená c) ohraničená
11. Vypočítajte
a) 1
b) 2
c) 0
12. Ktorý z nasledujúcich nekonečných radov nemá súčet (nie
je konvergentný)?
a)1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...
b)100 + 10 +1 +0,1 + 0,01 + ...
c)1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
13. Súradnice vrcholu
Aké súradnice má vrchol paraboly y = x2 + 8x + 19?
a) 4; 3
b) 0;19
c)
4;19
d)
8;19
e)
4;3
14. Priesečník
V tabuľke sú uvedené dve hodnoty lineárnej funkcie f. V ktorom z bodov pretína graf tejto funkcie
os y?
a) 0;55
b) 55;0
c) 0;44
d) 44 ;0
e) 0;50
x -4 12
f(x) 60 40
15. Rozmnožovanie baktérií
Štyria vedci skúmali rozmnoţovanie rôznych druhov baktérií. Kaţdé ráno o 8.00 hod. zisťovali
počty baktérií v skúmavkách. Tu sú ich výpovede o tom, čo pozorovali:
Vedec 1: „Počet baktérií A v skúmavke kaţdý deň klesne o 5 % oproti počtu z posledného merania.
Vedec 2: „Počet baktérií B v skúmavke sa kaţdý deň zväčší o 10 000.“
Vedec 3: „Počet baktérií C v skúmavke sa kaţdý deň zväčší na jeden a pol násobok.“
Vedec 4: „Počet baktérií D v skúmavke sa kaţdý deň zmenší o tretinu oproti počtu z posledného
merania.“
Ak by všetci štyria vedci kaţdé ráno zapisovali počty jednotlivých typov baktérií v skúmavkách,
koľkí z nich by tak dostali aritmetickú postupnosť?
a) Štyria.
b) Traja.
c) Dvaja.
d) Jeden.
e) Ani jeden.
16. Priamka AC
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC
má rovnicu:
38
a) y = - 2x – 8
b) y = 2x – 8
c) y = 2x + 8
d) y = - 2x + 8
C
B
e) y = - x - 4
x2
2
A
-8
17. Rovnica priamky
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC
má rovnicu:
a) y = - 4x – 8
b) y = 4x – 8
c) y = 4x + 8
B
C
d) y = - 4x + 8
x2
4
e) y = - x – 4
A
-8
18.
Graf kvadratickej funkcie f: y = - x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC
má rovnicu:
a) y = - 2x – 6
b) y = 2x – 6
c) y = 2x + 6
B
C
2
x2
d) y = - 2x + 6
e) y = - x – 3
A
-6
19. Rovnica AC
Graf kvadratickej funkcie f: y = - x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC
má rovnicu:
39
a) y = - 7x – 28
b) y = 7x – 28
c) y = 7x + 28
d) y = - 7x + 28
B
C
4
x2
e) y = - x – 4
A
-28
20. Obsah trojuholníka
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² 8x + 7 s osou x.
b) – 27
a) 27
c) 15
d) 12
e) 18
21. Trojuholník
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² 6x – 7 s osou x.
a) 64
b) 128
c) 15
d) 55
e) 18
22. Obsah
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² 9 s osou x.
a) 27
b) 54
c) – 27
d) 55
e) 18
23. Obsah trojuholníka
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² +
6x + 5 s osou x.
a) 8
b) 4
c) – 8
d) 5
e) 18
24. Zase trojuholník?
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² +
8x +12 s osou x.
a) 8
b) 4
c) – 8
d) 5
e) 18
25. Trojuholník
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² 8x + 12 s osou x.
40
a) 8
b) 4
c) – 8
d) 5
e) 18
26. Obsah
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² 6x + 5 s osou x.
a) 8
b) 4
c) – 8
d) 5
e) 18
27. Obsah trojuholníka
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² 8x s osou x.
a) 64
b) 128
c) – 64
d) 58
e) 18
28. Trojuholník
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² +
6x s osou x.
a) 27
b) 54
c) - 27
d) 52
e) 18
29. Obsah trojuholníka
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú vrchol a priesečníky grafu funkcie f: y = x² + 2x
- 3 s osou x.
a) 8
b) 4
c) - 8
d) 52
e) 18
22.
41
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = x2 – 6x + 5
f: y = x2 – 6x - 5
f: y = x2 + 6x + 5
f: y =-x2 – 6x + 5
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
23.
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y =│ x2 – 6x + 5│
f: y = │x2 – 6x - 5│
f: y = │x2 + 6x + 5│
f: y = │x2 – 6x + 5│
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
24.
42
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = -x2 – 6x + 5
f: y = -x2 – 6x - 5
f: y = -x2 + 6x + 5
f: y = x2 – 6x + 5
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
25.
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = │x - 1│ - 2
f: y = │x – 1│ + 2
f: y = │x - 1│ - 1
f: y = x - 1
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
43
26.
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = -x2 + 5x - 4
f: y = - x2 – 5x - 4
f: y = -x2 + 5x + 4
f: y = x2 – 5x + 4
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
27.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -x2 + 5x
b) f: y = - x2 – 5x
c) f: y = -x2 + 5x + 4
44
d) f: y = x2 – 5x + 4
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
28.
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = x2 + 5x
f: y = x2 – 5x
f: y = x2 + 5x + 4
f: y = x2 – 5x + 4
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
29.
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = │x2 + 5x│
f: y = │ x2 – 5x │
f: y = x2 + 5x + 4
f: y = x2 – 5x + 4
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
45
30.
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = │x + 1│
f: y = │ x – 1 │
f: y = x + 1
f: y = x - 1
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
46
31.
Graf kvadratickej funkcie f: y = - x7 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má
rovnicu:
A:
B:
C:
D:
E:
y = - 7x - 28
y = 7x - 28
y = 7x + 28
y = - 7x + 28
y= -x -4
32.
A
B
C
4
x2
-28
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = - │x - 1│ + 2
f: y = - │x – 1│ - 2
f: y = -│x - 1│ - 1
f: y = x - 1
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je
správna
A
10
33.
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechábodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovA:
B:
y = - 2x + 10
y = 2x + 10
C:
y = 2x - 10
B
C
2
x2
dza
nicu:
47
D:
E:
y = - 2x – 10
y= -x+5
34.
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má
rovnicu:
A:
B:
C:
D:
E:
y = - 2x + 12
y = 2x + 12
y = 2x - 12
y = - 2x – 12
y= -x+6
8
A
B
C
2
x2
35.
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má
rovnicu:
A:
B:
C:
D:
E:
y = - 2x - 8
y = 2x - 8
y = 2x + 8
y = - 2x + 8
y= -x -4
C
B
x2
2
36.
Graf kvadratickej funkcie f: y = x2 + bx + c, prechádza
bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu:
A:
B:
C:
D:
E:
y = - 2x - 8
y = 2x - 8
y = 2x + 8
y = - 2x + 8
y= -x -4
A
-8
C
B
x2
2
48
A
-8
37.
Graf kvadratickej funkcie f: y = x4 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má
rovnicu:
A:
y = - 4x - 8
B:
y = 4x - 8
C:
y = 4x + 8
D:
y = - 4x + 8
E:
y= -x -4
B
C
x2
4
A
-8
38.
Graf kvadratickej funkcie f: y = - x2 + bx + c, prechádza bodmi A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má
rovnicu:
A:
y = - 2x - 6
B:
y = 2x - 6
C:
y = 2x + 6
D:
y = - 2x + 6
E:
y= -x -3
B
C
2
x2
-6
A
39.
Graf kvadratickej funkcie f: y = - x7 + bx + c, prechádza
A,B,C podľa obrázku. Priamka AC má rovnicu:
A:
B:
bodmi
y = - 7x - 28
y = 7x - 28
B
C
4
x2
49
A
-28
C:
y = 7x + 28
D:
y = - 7x + 28
E:
y= -x -4
40.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (-8,00)x + (7,00) s osou x.
A: 27
B: - 27
C: 15
D: 12
E:
18
41.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (-6,00)x + (-7,00)
s osou x.
A: 64
B: 128
C: 15
D: 55
E:
18
42.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (0,00)x + (-9,00)
s osou x.
A: 27
B: 54
C: -27
D: 55
E:
18
50
43.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (6,00)x + (5,00)
s osou x.
A: 8
B: 4
C: -8
D: 5
E:
18
44.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (8,00)x + (12,00)
s osou x.
A: 8
B: 4
C: -8
D: 5
E:
18
45.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (-8,00)x + (12,00)
s osou x.
A: 8
B: 4
C: -8
D: 5
E:
18
46.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (-6,00)x + (5,00)
s osou x.
A: 8
B: 4
C: -8
D: 5
E:
18
51
47.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (-8,00)x + (0,00)
s osou x.
A: 64
B: 128
C: -64
D: 58
E:
18
48.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (6,00)x + (0,00)
s osou x.
A: 27
B: 54
C: -27
D: 52
E:
18
49.
Vypočítajte obsah trojuholníka, ktorého tri vrcholy sú : vrchol a priesečníky grafu funkcie
f: y = x²+ (2,00)x + (-3,00)
s osou x.
A: 8
B: 4
C: -8
D: 52
E:
18
2.3 Mnohočleny a mocninové funkcie, lineárna lomená funkcia
Obsah
Pojmy: mocnina, n-tá odmocnina, mocnina s prirodzeným, celočíselným, racionálnym exponentom,
polynóm, mnohočlen, mocninová funkcia, koeficient pri n-tej mocnine (v polynomickej funkcii), exponent, lineárna lomená funkcia, asymptoty grafu lineárnej lomenej funkcie.
Vlastnosti a vzťahy:
polynóm stupňa n má najviac n rôznych reálnych koreňov,
s
1
xr s xr xs , xr
x rs , r x r , ( xy) r x r y r , r, s Z , resp. r, s Q ,
x
m n
x
nm
x,
n
x
m
n
xm ,
n
x.n y
n
xy , pre x , y 0 , m, n N ,
52
polynóm nepárneho stupňa má aspoň 1 reálny koreň.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej vlastnosti)
pouţiť rovnosti z časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné, výrazy),
riešiť rovnice a nerovnice s polynomickými, mocninovými a lineárnymi lomenými funkciami (pozri
1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
schematicky načrtnúť a porovnať grafy funkcií y x n pre rôzne hodnoty n Z na intervaloch
, 1 , 1,0 , 0,1 , 1, ,
vypočítať deriváciu a integrál polynomickej funkcie a mocniny s reálnym exponentom (pozri 2.6
Limita a derivácia, geometrický rad, 2.7 Integrálny počet),
na základe výpočtu derivácie načrtnúť graf polynomickej funkcie, zistiť, kde je rastúca, resp.
klesajúca (ak vie vyriešiť nerovnice f ( x ) 0 , pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), a na
základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov
tohto grafu s osou x,
nájsť rovnice asymptot grafu lineárnej lomenej funkcie,
nájsť intervaly, na ktorých je lineárna lomená funkcia rastúca, resp. klesajúca a nájsť k nej inverznú
funkciu,
opísať vlastnosti
- funkcií f ( x ) x n , kde n Z , polynomických funkcií a lineárnej lomenej funkcie pre hodnoty x zväčšujúce sa do
alebo do
,
n
- funkcií f ( x ) x , kde n Z , pre hodnoty x blízke 0,
ax b
d
- lineárnej lomenej funkcie f ( x )
pre hodnoty x blízke číslu
c
cx d
(pozri tieţ 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad).
Príklady:
1. Rovnica
49
Rovnica
14 x
x
0 v mnoţine reálnych čísel
a) nemá ţiadne korene.
b) má jediný koreň, pričom tento koreň je kladný.
c) má jediný koreň, pričom tento koreň je záporný.
d) má práve dva rôzne korene, pričom obidva sú kladné.
e) má práve dva korene, z ktorých jeden je kladný a jeden je záporný.
2. Obsah kruhu
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y = │(x - 1)³ - 1│so súradnicovými osami.
a) 4,43
b) 4
c) – 8
d) 8,86
e) 18
53
3. Graf
Na ktorom z obrázkov je časť grafu funkcie y =
3 x
2
?
4. Obsah
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 2)³ - 2│so súradnicovými osami.
a) 8,85
b) 4
c) - 8
d) 17,7
e) 18
5. Kruh
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 1)³ + 1│so súradnicovými osami.
a) 4,43
b) 4
c) - 8
d) 8,86
e) 1,8
6. Obsah kruhu?
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 2)³ + 2│so súradnicovými osami.
a) 8,85
b) 17,6
c) - 8
d) 8,86
e) 1,8
7. Obsah
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 5)³ + 5│so súradnicovými osami.
a) 22,14
b) 17,28
c) - 8,82
d) 8,86
e) 1,84
8. Kruh
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 4)³ + 4│so súradnicovými osami.
54
a) 17,71
b) 35
c) - 8,82
d) 8,86
e) 8,7
9. Kruhový obsah
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 3)³ + 3│so súradnicovými osami.
a) 13,28
b) 26,56
c) - 8,82
d) 12,84
e) 8,72
10. Obsah kruhu
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 3)³ - 3│so súradnicovými osami.
a) 13,28
b) 26,56
c) - 8,82
d) 12,84
e) 8,72
11. Kruh
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 4)³ - 4│so súradnicovými osami.
a) 17,71
b) 35,2
c) - 35,2
d) 12,84
e) 8,72
12. Obsah
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 5)³ - 5│so súradnicovými osami.
a) 22,14
b) 35,2
c) - 35,2
d) 44,28
e) 8,72
13. Obsah trojuholníka
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 4)4 - 16│je
a) 32
b) 64
c) - 32
d) 58
e) 20
14. Obsah cez extrémy
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 2)4 - 1│je
a) 16
b) 32
c) - 32
d) 5
e) 20
15. Extrémy a obsah
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x + 1)4 - 1│je
a) 1
b) 2
d)- 32
d) 5
e) 20
16. Obsah a extrémy
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 2)4 - 16│je
a) 3
b) 5
c) - 32
d) 5
e) 20
55
17. Extrémy + obsah
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 2)4 - 81│je
a) 243
b) 486
c) - 32
d) 5
e) 20
18. Obsah + extrémy
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 1)4 - 16│je
a) 32
b) 64
c) - 32
d) 5
e) 20
19. Obsah trojuholníka
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 1)4 - 1│je
a) 1
b) 2
c) - 32
d) 5
e) 20
20. Extrémy
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 4)³ - 1│je
a) 1
b) 2
c) - 32
d) 5
e) 20
21. Obsah
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 4)4 - 81│je
a) 243
b) 486
c) - 32
d) 5
e) 20
22. Obsah trojuholníka
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 3)4 - 16│je
a) 32
b) 64
c) - 32
d) 5
e) 20
23. Obsah trojuholníka cez extrémy
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie f: y =│(x - 3)4 - 81│je
a) 243
b) 486
c) – 32
d) 5
e) 20
24. Obsah kruhu
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 3)5 - 3│ je
a) 13,28
b) 26,56
c) 17
d) 34
e) 20
25. Kruh
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 1)5 - 1│je:
a) 4,43
b) 26,56
c) 17
d) 34
e) 20
26. Kruhový obsah
56
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 2)5 - 2│je:
a) 8,85
b) 26,56
c) 17
d) 34
e) 20
27. Obsah
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 4)5 - 4│je:
a) 8,85
b) 26,56
c) 17
d) 34
e) 20
28. Kruh
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x - 5)5 - 5│je:
a) 22,14
b) 44,28
c) 17
d) 34
e) 20
29. Obsah kruhu?
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 1)³ + 1)│je:
a) 4,43
b)8,86
c) 17
d) 34
e) 20
30. Kruhový obsah?
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 2)5 + 2│je:
a) 8,85
b) 17,7
c) 17
d) 34
e) 20
31. Obsah
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 3)5 + 3│je:
a) 13,28
b) 26,56
c) 17
d) 34
e) 20
32. Kruh
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 4)³ + 4│je:
a) 17,71
b) 35,41
c) 17
d) 34
e) 20
33. Obsah
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi
grafu funkcie f so súradnicovými osami f: y =│(x + 5)³ + 5,│je:
a) 22,14
b)44,28
c) 17
d) 34
e) 20
34.
57
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - 1,00)³ - 1,00│
so súradnicovými osami
A: 4,43
B: 4
C: -8
D: 8,86
E:
18
35.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - 2,00)³ - 2,00│
so súradnicovými osami
A: 8,85
B: 4
C: -8
D: 17,7
E:
18
36.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-1,00))³ - (-1,00)│
so súradnicovými osami
A: 4,43
B: 4
C: -8D:
8,86
E:
1,8
37.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-2,00))³ - (-2,00)│
so súradnicovými osami
A: 8,85
B: 17,6
C: -8
D: 8,86
E:
1,8
38.
58
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-5,00))³ - (-5,00)│
so súradnicovými osami
A: 22,14
B: 17,644,28
C: -8,82
D: 8,86
E:
1,84
39.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-4,00))³ - (-4,00)│
so súradnicovými osami
A: 17,71
B: 35
C: -8,82
D: 8,86
E: 8,7
40.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-3,00))³ - (-3,00)│
so súradnicovými osami
A: 13,28
B: 26,56
C: -8,82
D: 12.84
E: 8,72
41.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (3,00))³ - (3,00)│
so súradnicovými osami
A: 13,28
B: 26,56
C: -8,82
D: 12.84
E: 8,72
59
42.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (4,00))³ - (4,00)│
so súradnicovými osami
A: 17,71
B: 35,2
C: -35,2
D: 12.84
E: 8,72
43.
Vypočítajte obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (5,00))³ - (5,00)│
so súradnicovými osami
A: 22,14
B: 35,2
C: -35,2
D: 44,28
E: 8,72
44.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (4,00))4 - (16,00)│
A: 32
B: 64
C: -32
D: 58
E: 20
45.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (2,00))4 - (1,00)│
A: 16
B: 32
C: -32
D: 5
E: 20
46.
60
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (-1,00))4 - (1,00)│
A: 1
B: 2
C: -32
D: 5
E: 20
47.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (2,00))4 - (16,00)│
A: 32
B: 2
C: -32
D: 5
E: 20
48.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (2,00))4 - (81,00)│
A: 243
B: 486
C: -32
D: 5
E: 20
49.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (1,00))4 - (16,00)│
A: 32
B: 64
C: -32
D: 5
E: 20
50.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (1,00))4 - (1,00)│
A: 1
B: 2
C: -32
D: 5
E: 20
61
51.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (4,00))³ - (1,00)│
A: 1
B: 2
C: -32
D: 5
E: 20
52.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (4,00))4 - (81,00)│
A: 243
B: 486
C: -32
D: 5
E: 20
53.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (3,00))4 - (16,00)│
A: 32
B: 64
C: -32
D: 5
E: 20
54.
Obsah trojuholníka, ktorého vrcholy sú extrémy funkcie
f: y = │(x - (3,00))4 - (81,00)│
A: 243
B: 486
62
C: -32
D: 5
E: 20
55.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - (3,00))5 - (3,00)│ je
A: 13,28
B: 26,56
C: 17
D: 34
E: 20
56.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - 1,00)5 - 1,00│
je:
A: 4,43
B: 26,56
C: 17
D: 34
E: 20
63
57.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - 2,00)5 - 2,00│
je:
A: 8,85
B: 26,56
C: 17
D: 34
E: 20
58.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - 4,00)5 - 4,00│
je:
A: 8,85
B: 26,56
C: 17
D: 34
E: 20
59.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
64
f: y = │(x - 5,00)5 - 5,00│
je:
A: 22,14
B: 44,28
C: 17
D: 34
E: 20
60.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - (-1,00))³ - (-1,00)│
je:
A: 4,43
B: 8,86
C: 17
D: 34
E: 20
61.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - (-2,00))5 - (-2,00)│
je:
A: 8,85
65
B: 17,7
C: 17
D: 34
E: 20
62.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - (-3,00))5 - (-3,00)│
je:
A: 13,28
B: 26,56
C: 17
D: 34
E: 20
63.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - (-4,00))³ - (-4,00)│
je:
A: 17,71
B: 35,41
C: 17
D: 34
66
E: 20
64.
Obsah kruhu, ktorého hraničná kruţnica prechádza stredom súradnicovej sústavy
a priesečníkmi grafu funkcie f so súradnicovými osami
f: y = │(x - (-5,00))³ - (-5,00)│
je:
A: 22,14
B: 44,28
C: 17
D: 34
E: 20
2.4 Logaritmické a exponenciálne funkcie, geometrická postupnosť
Obsah
Pojmy: exponenciálna a logaritmická funkcia, základ exponenciálnej a logaritmickej funkcie, číslo e,
logaritmus, prirodzený logaritmus, geometrická postupnosť, kvocient geometrickej postupnosti.
Vlastnosti a vzťahy:
a r s a r . a s , (a r ) s a rs pre a 0, a 1, r , s R ,
1
a x
,
ax
ax b
x log a b pre a 0, a 1, b 0, x R ,
r
log a r log a s log a (rs ) , log a r log a s log a pre a
s
s
log a (r ) s log a r pre a 0, a 1, r 0, s R ,
log a s
log r s
pre a, s, r 0 , a , r 1 ,
log a r
a log a x
x pre a
0, a 1, x
0, a 1, r , s
0,
0.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej vlastnosti)
(exponenciálna funkcia)
67
pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné,
výrazy),
riešiť exponenciálne rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie a x v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funkcie
s vyznačením jeho „význačných“ bodov (t.j. (0,1), (1,a)),
rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola funkcie a x na danom intervale,
vyjadriť n–tý člen geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné n) pomocou jej prvého
(alebo iného neţ n–tého) člena a kvocientu q,
nájsť súčet n za sebou nasledujúcich členov geometrickej postupnosti (pre konkrétne aj všeobecné
n),
rozhodnúť o raste, resp. klesaní geometrickej postupnosti v závislosti od jej prvého člena a kvocientu,
opísať správanie sa funkcií f ( x ) a x , kde a 1 , pre hodnoty x zväčšujúce sa do
alebo
(pozri tieţ 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad),
(logaritmická funkcia)
pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úpravách výrazov (pozri 1.2 Čísla, premenné, výrazy),
riešiť logaritmické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
rozhodnúť o raste, resp. klesaní funkcie log a x v závislosti od čísla a a vie načrtnúť graf tejto funkcie s vyznačením jeho „význačných“ bodov (t.j. 1, 0 , a, 1 ),
rozhodnúť o ohraničenosti zhora, resp. zdola logaritmickej funkcie na danom intervale,
vyriešiť jednoduché príklady na výpočet úrokov,
opísať správanie sa funkcií f ( x ) log a x , kde a 1 , pre hodnoty x zväčšujúce sa do
alebo
blížiace sa k 0 (pozri tieţ 2.6 Limita a derivácia, geometrický rad).
Príklady:
1. Exponenciálna rovnica
Rovnica 4x = 8 má jediné reálne riešenie. V ktorom z uvedených intervalov sa nachádza?
a) 1 ; 1,2
b) 1,2 ; 1,4
c) 1,4;1,6
d) 1,6;1,8
e) 1,8;2
c) b = (2a)10.
d) a = 100b.
e) b = 100a.
d) c = 2b – a.
e) c = b2 – a.
2. Logaritmus
Ak platí 2a = log b, potom
a) b = 2.10a.
b) a = (2b)10.
3. Logaritmy
Ak a = log 2, b = log 7, c = log 2 49, potom
a) c =
2b
.
a
b) c =
a
.
2b
c) c =
b.b
.
a
68
4. Geometrická postupnosť
O geometrickej postupnosti kladných reálnych čísel b n
n 1
vieme, ţe b1+b2= 320, b9 =
1
.b7.
16
Čomu sa rovná b8?
a)
1
256
b)
1
64
c)
5
192
d) 0
e) 256
5. Krivka
Krivka na obrázku môţe predstavovať časť grafu funkcie
1 x
a) y = 6x + 1.
b) y =
+ 1.
c) y = log6 x + 1.
6
1
d) y = log x + 1.
e) y = log6(x + 1).
6
6. Riešenie nerovnice
Nech P je mnoţina všetkých riešení nerovnice 3 + log0,5 x > 0 v obore reálnych čísel. Potom
a)P = 0;
1
.
8
b)P = 0;8 .
c)P =
1
;8 .
8
d)P = 8;
.
e)P=
1
;
8
.
7. Kladné riešenia
Mnoţinou všetkých kladných riešení nerovnice x20 > 3900.x5 je interval
a) (3885;∞).
b) (3225;∞).
c) (360;∞).
d) (0;360).
e) (0;3225).
8. Kladné funkčné hodnoty
Ak M je mnoţina všetkých x
R, pre ktoré nadobúda logaritmická funkcia f: y = log
kladné funkčné hodnoty, tak M =
a) (0;0,5).
b) (0,25;0,5).
c) (0,25;∞).
0,2(4x
– 1)
d) (0,3;∞).
e) (0,5;∞).
d) – 26.
e) – 27.
9. Dekadický logaritmus
Dekadický logaritmus čísla 0
,
000
01 sa rovná
...


26 núl
a) 27.
b)
1
.
26
c) -
1
.
27
10. Polčas rozpadu
Nuklid uhlíka 14C má polčas rozpadu 5560 rokov. Za tento čas sa rozpadne polovica daného mnoţstva uhlíka 14C , za ďalších 5560 rokov sa rozpadne polovica zvyšného mnoţstva atď. Aká časť pôvodného mnoţstva uhlíka 14C zostane po 33 360 rokoch?
a)
1
64
b)
1
32
c)
1
16
d)
1
8
e)
1
4
69
11. Koreň
Rovnica 92x-3 =
a)
2; 1 .
1
má v mnoţine reálnych čísel jediný koreň, ktorý leţí v intervale
81
b)
1;0 .
c) 0;1 .
d) 1;2 .
e) 2;3 .
c) T = pq2 – r
d) T = p + q2 – r
e) T =
12. Logaritmus
Ak platí log T = log p + 2.log r, tak
a) T = p + 2q – r
b) T =
2 pq
r
pq 2
r
13. Postupnosť
V istej geometrickej postupnosti je 10. člen 9 – krát väčší ako 8. člen. Koľkokrát je v tejto postupnosti 8. člen väčší ako 4. člen?
a) 18 – krát
b) 27 – krát
c) 36 – krát
d) 54 – krát
e) 81 – krát
14. Množina M
Nech M je mnoţina všetkých reálnych čísel x, pre ktoré platí log(x + 3) = log x + log 3. Potom
a) M = 3; .
prázdna mnoţina.
b) M je jednoprvková mnoţina.
e) M = 3; .
c) M = 0;
.
d)
M
je
15. Súčet členov postupnosti
Rozdiel medzi štvrtým a prvým členom istej geometrickej postupnosti je 52. Súčet prvých troch
členov postupnosti je 26. Potom súčet prvých šiestich členov tejto postupnosti je
a) 242
e) 1212
b) 486
c) 728
d) 960
16.
70
Na obrázku je graf funkcie:
a)
b)
c)
d)
e)
f: y = 2x-1 - 2
f: y = 2x-1 + 2
f: y = 2x+1 - 2
f: y = 2x-1 - 1
ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
17.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = │2x-1 - 2│
b) f: y = │2x-1 + 2│
71
c) f: y = │2x+1 - 2│
d) f: y = │2x-1 - 1│
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
18.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = │1/2x-1 - 2│
b) f: y = │1/2x-1 + 2│
c) f: y = │1/2x+1 - 2│
d) f: y = │1/2x-1 - 1│
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
19.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = log(x – 1) - 2
b) f: y = log(x – 1) + 2
c) f: y = log(x + 1) - 2
d) f: y = log(x + 1) + 2
72
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
20.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = log(x – 1) - 2
b) f: y = log(x – 1) + 2
73
c) f: y = log(x + 1) - 2
d) f: y = log(x + 1) + 2
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
21.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = - (log(x – 1) – 2)
b) f: y = -( log(x – 1) + 2)
c) f: y = -( log(x + 1) – 2)
d) f: y = -(log(x + 1) + 2)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
22.
74
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y =log0,5(x – 1) – 2
b) f: y = log0,5(x + 1) – 2
c) f: y = log0,5(x + 1) + 2
d) f: y = log0,5(x – 1) + 2
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
23.
75
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = - (log0,5(x – 1) – 2)
b) f: y = - (log0,5(x + 1) – 2)
c) f: y = - (log0,5(x + 1) + 2)
d) f: y = - (log0,5(x – 1) + 2)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
24.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = │(log0,5(x – 1)) │
b) f: y =│ (log0,5(x + 1)) │
c) f: y = │ (log0,5(x + 1) + 2) │
d) f: y = │ (log0,5(x – 1) + 2) │
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
76
25.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -│(log0,5(x – 1)) │
b) f: y = -│ (log0,5(x + 1)) │
c) f: y = -│ (log0,5(x + 1) + 2) │
d) f: y = - │ (log0,5(x – 1) + 2) │
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
2.5 Goniometrické funkcie
Obsah
Pojmy: π, goniometrická funkcia, sínus, kosínus, tangens, (najmenšia) perióda.
Vlastnosti a vzťahy:
hodnoty goniometrických funkcií pre uhly 0,
, , , ,
6 4 3 2
vzorce pre sínus a kosínus dvojnásobného uhla,
sin
sin , sin
cos , sin(
cos2
1 , cos
tg
, sin 2
2
2
cos
cos(
)
cos , sin( x)
sin x , cos( x) cos x , tg(–x) = –tg(x), sin 2
2
2
cos 2
cos
sin
,
graf funkcie kosínus vznikne posunutím grafu funkcie sínus,
periodickosť a najmenšie periódy jednotlivých goniometrických funkcií,
osi a stredy súmerností grafov goniometrických funkcií.
)
sin ,
2 sin cos ,
77
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie (pozri tieţ 2.1 Funkcia a jej vlastnosti)
pouţiť rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy pri úprave goniometrických výrazov (pozri 1.2
Čísla, premenné, výrazy),
nájsť pomocou kalkulačky riešenie rovnice f ( x) a , kde f je goniometrická funkcia, a to aj
v prípade, ţe na kalkulačne niektoré goniometrické alebo inverzné goniometrické funkcie nie sú
(pozri tieţ 1.2 Čísla, premenné, výrazy),
riešiť goniometrické rovnice a nerovnice (pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
vyjadriť hodnoty goniometrických funkcií pre uhly
0,
2
ako pomery strán pravouhlého troj-
uholníka,
pouţiť goniometrické funkcie pri výpočte prvkov pravouhlého trojuholníka (pozri tieţ 3.1 Základné
rovinné útvary),
vyjadriť (na základe znalosti súmerností a periodičnosti grafov goniometrických funkcií)
sin , cos , tg α pre
R ako sínus, kosínus alebo tangens vhodného uhla
0,
,
2
nájsť hodnoty všetkých goniometrických funkcií pre daný argument, ak pre tento argument pozná
hodnotu aspoň jednej z nich,
načrtnúť grafy funkcií sin, cos, tg, určiť hodnoty v bodoch 0,
, , , , určiť najmenšie periódy
6 4 3 2
týchto grafov a ich osi a stredy súmernosti,
určiť podintervaly daného ohraničeného intervalu, na ktorých sú funkcie sin, cos, tg rastúce, resp.
klesajúce,
rozhodnúť o ohraničenosti funkcie tg x na danom intervale,
načrtnúť grafy funkcií k ( f ( x )), f (kx), f (ax b) , kde k , a, b R a f je niektorá
z goniometrických funkcií, určiť priesečníky týchto funkcií s x–ovou osou a ich periódu a
v prípade f ( x ) sin x alebo f ( x ) cos x aj najmenšie a najväčšie hodnoty.
Príklady:
1. Graf funkcie
Na obrázku je časť grafu funkcie
a) y = 2.sin 2x
4
c) y = 2.cos 2 x + 2
x
e) y = 2.cos
+2
2
+2
b) y = 2.sin 2x
4
d) y = 2.cos 2x 2
+2
2. Sínus
Na ktorom z nasledujúcich obrázkov je časť grafu funkcie y = sin x, pre x
;
3
2
?
78
3. Obsah obdĺžníka
Na obrázku je časť grafu funkcie y = 3. cos
x
. Aký obsah má vyfarbe2
ný obdĺţnik?
a) 3 π
b) 6 π
c) 12 π
d) 18 π
e) 24 π
4. Kosínus
Na obrázku je časť grafu funkcie
a) y = - 2sin x + 2.
b) y = cos x + 2.
d) y = 3cos x.
e)y = - 3sin x.
c) y = 2cos x + 1.
5. Graf
Na obrázku je časť grafu funkcie
a) y = 2 + sin x.
d) y = 3 + cos x
b) y = 2 + cos x
e) y = 3.cos x
c) y = 3 + sin x
6. Graf funkcie kosínus
Na ktorom z obrázkov by mohla byť časť grafu funkcie y = cos x?
79
7. Riešenie rovnice
Rovnica sin x - 3 cos x = 0 má v intervale (0;π) jediné riešenie. Ktorá z uvedených mnoţín obsahuje toto riešenie?
a)
7 1 4
;
;
3 6 3
b)
7 3 1
;
;
3 4 3
c)
5 7 1
;
;
3 6 2
8. Rovnica
Rovnica sin x + 3 cos x = 0 má v intervale 3 ;4
obsahuje toto riešenie?
a)
8 17 10
;
;
3 6
3
b)
15 7 11
;
;
6
4 3
c)
7 23 13
;
;
3
6
3
d)
11 5 4
;
;
6 2 3
e)
5 5 2
;
;
6 4 3
jediné riešenie. Ktorá z uvedených mnoţín
d)
11 7 7
;
;
6 2 3
e)
5 15 14
;
;
6 4
3
9.
80
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = sin( x – π/4) – 1/2
b) f: y = sin( x + π/4) – 1/2
c) f: y = sin( x – π/4) + 1/2
d) f: y = sin( x + π/4) + 1/2
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
10.
81
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -( sin( x – π/4) – ´)
b) f: y = -(sin( x + π/4) – 1/2)
c) f: y = -(sin( x – π/4) + 1/2)
d) f: y = -(sin( x + π/4) + ´)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
11.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = │( sin( x – π/4) – ´)│
b) f: y = │(sin( x + π/4) – 1/2) │
c) f: y =│ (sin( x – π/4) + 1/2) │
d) f: y = │ (sin( x + π/4) + ´)│
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
82
12.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -│( sin( x – π/4) – ´)│
b) f: y = -│(sin( x + π/4) – 1/2) │
c) f: y = -│(sin( x – π/4) + 1/2) │
d) f: y = -│ (sin( x + π/4) + ´)│
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
13.
83
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -│(cos( x – π/4) – ´)│
b) f: y = -│(cos( x + π/4) – 1/2) │
c) f: y = -│(cos( x – π/4) + 1/2) │
d) f: y = -│ (cos( x + π/4) + ´)│
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
14.
84
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y =│(cos( x – π/4) – ´)│
b) f: y =│(cos( x + π/4) – 1/2) │
c) f: y =│ (cos( x – π/4) + 1/2) │
d) f: y = │ (cos( x + π/4) + ´)│
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
15.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = (cos( x – π/4) – ´)
b) f: y =(cos( x + π/4) – 1/2)
c) f: y = (cos( x – π/4) + 1/2)
d) f: y = (cos( x + π/4) + ´)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
85
16.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = - (cos( x – π/4) – ´)
b) f: y = - (cos( x + π/4) – 1/2)
c) f: y = - (cos( x – π/4) + 1/2)
d) f: y = - (cos( x + π/4) + ´)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
17.
86
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = tg( x – π/4)
b) f: y = tg( x + π/4)
c) f: y = tg( x – π/2)
d) f: y = tg( x + π/2)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
18.
87
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = - tg( x – π/4)
b) f: y = - tg( x + π/4)
c) f: y = - tg( x – π/2)
d) f: y = - tg( x + π/2)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
19.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = │ tg( x – π/4) │
b) f: y = │ tg( x + π/4) │
c) f: y = │ tg( x – π/2) │
d) f: y = │ tg( x + π/2) │
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
88
20.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -│ tg( x – π/4) │
b) f: y = -│ tg( x + π/4) │
c) f: y = -│ tg( x – π/2) │
d) f: y = -│ tg( x + π/2) │
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
21.
89
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -│cotg( x – π/4) │
b) f: y = -│ cotg( x + π/4) │
c) f: y = -│ cotg( x – π/2) │
d) f: y = -│ cotg( x + π/2) │
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
22.
90
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = │cotg( x – π/4) │
b) f: y = │ cotg( x + π/4) │
c) f: y = │ cotg( x – π/2) │
d) f: y = │ cotg( x + π/2) │
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
23.
91
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = cotg( x – π/4)
b) f: y = cotg( x + π/4)
c) f: y = cotg( x – π/2)
d) f: y = cotg( x + π/2)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
24.
Na obrázku je graf funkcie:
a) f: y = -cotg( x – π/4)
b) f: y = -cotg( x + π/4)
c) f: y = -cotg( x – π/2)
d) f: y = -cotg( x + π/2)
e) ani jedna z predchádzajúcich moţností nie je správna
92
2.6 Limita a derivácia, geometrický rad
Obsah
Pojmy: limita postupnosti a funkcie, nevlastná limita, spojitá funkcia, derivácia funkcie, dotyčnica
ku grafu funkcie v danom bode, stacionárny bod funkcie, druhá derivácia funkcie, geometrický rad,
kvocient geometrického radu, konvergentný a divergentný geometrický rad.
Vlastnosti a vzťahy:
1
lim n
0 , lim n q n 0 pre q
n
a
aq n
pre q 1 ,
1 q
n 0
aq n (kde a
geometrický rad
1,
0 ) diverguje pre q
1,
n 0
derivácia funkcie f v bode a je smernicou dotyčnice ku grafu funkcie f v bode a , f (a ) ,
ak má funkcia f v každom bode intervalu I kladnú deriváciu, tak je na I rastúca,
vzťah medzi existenciou maxima (minima) funkcie a nulovosťou jej derivácie.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
opísať jednoduché limitné procesy (napr. výpočet plochy pod grafom funkcie f ( x) x 2 na intervale 0,1 na základe explicitného vyjadrenia pre súčet 12 2 2  n 2 , výpočet smernice dotyčnice ku grafu funkcie y f ( x ) v danom bode tohto grafu),
vypočítať deriváciu polynomickej funkcie a mocninových funkcií a nájsť v danom bode rovnicu
dotyčnice k týmto funkciám,
na základe výpočtu derivácie nájsť intervaly, na ktorých polynomická funkcia rastie, resp. klesá
a načrtnúť jej graf (pokiaľ vie riešiť nerovnice f ( x ) 0 , pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy), na základe znamienok funkčných hodnôt v bodoch lokálnych extrémov zistiť počet priesečníkov tohto grafu s osou x,
v prípade jednoduchých slovných úloh na extrémy nájsť predpis funkcie, ktorej extrém treba
nájsť,
použitím derivácií nájsť v jednoduchých prípadoch extrémy funkcií na uzavretom ohraničenom
intervale,
opísať správanie sa
- polynómov pre x
a x
,
d
ax b
- lineárnej lomenej funkcie y
pre x
a x
, x
,
cx d
c
- funkcií y x n , kde n N , y log a x pre hodnoty x blížiace sa k 0,
-
funkcie y
tan x pre hodnoty x blížiace sa k
,
2
rozhodnúť, či je daný geometrický rad konvergentný,
nájsť súčet konvergentného geometrického radu.
Príklady:
93
1. Internet
Analytici skúmali, ako sa vyvíja počet počítačov pripojených na Internet. Zistili, ţe v Slovutánii ich
počet z roka na rok rastie ako geometrická postupnosť. Tabuľka obsahuje údaje z rokov 1997, 1998
a 1999. Ak sa trend nezmení, pribliţne aký počet počítačov bude v Slovutánii pripojených na Internet v roku 2000?
1997
40 000
a) 130 000
1998
60 000
b) 135 000
c) 140 000
1999
90 000
d) 145 000
2000
?
e) 150 000
2. Prvá derivácia
Na obrázku je časť grafu funkcie y = f(x). Prvá derivácia
funkcie f je
a) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 kladná
b) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 záporná
c) v bode x = -1 kladná, v bode x = 3 kladná, v bode x = 5 záporná
d) v bode x = -1 nulová, v bode x = 3 záporná, v bode x = 5
kladná
e) v bode x = -1 záporná, v bode x = 3 nulová, v bode x = 5
kladná
3. Dotyčnica
V ktorom z uvedených bodov má graf funkcie f: y = 3x2 + 2x + 1 dotyčnicu rovnobeţnú s priamkou
y = 2 – 4x?
a)
1;2
b) 1;6
c) 2;10
d)
2;9
e) 0; 1
2.7 Integrálny počet
Obsah
Pojmy: neurčitý integrál, integračná premenná, integračná konštanta, plocha ohraničená grafmi
funkcií, (Riemannov) určitý integrál, Newtonov-Leibnizov vzorec.
Vlastnosti a vzťahy:
94
Newtonov-Leibnizov vzorec pre výpočet určitého integrálu (tj. vzťah medzi primitívnou funkciou
k funkcii f a integrálom
b
a
f ( x )dx ), špeciálne vzťah medzi veľkosťou plochy ohraničenej gra-
fom nezápornej funkcie f a primitívnou funkciou k tejto funkcii,
ak F ( x ) f ( x ) aj G ( x ) f ( x ) , tak F a G sa líšia o konštantu (integračná konštanta)
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
na základe znalostí derivácií funkcií nájsť
f ( x )dx , ak f je polynóm alebo niektorá z funkcií
b ) r a pre tieto funkcie vie použitím Newtonovho–Leibnizovho vzorca vypočítať
(ax
b
a
f ( x )dx ,
v jednoduchých prípadoch pomocou integrálu vyjadriť veľkosť plochy
x , y R 2 , x [a , b] f ( x ) y g ( x ) ,
resp. plochy ohraničenej grafmi dvoch spojitých funkcií (ak vie nájsť priesečníky týchto dvoch
funkcií, pozri 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
opísať limitné procesy používané pri výpočte veľkosti plôch (napr. vypĺňanie, ohraničovanie zhora a zdola).
Príklady:
1. Obsah útvaru
Aký obsah má vyšrafovaný útvar na obrázku, ohraničený osou x,
priamkou x =
a)
2
4
a grafom funkcie f : y = cos x?
2
b)
2
d)
2
2
1
2
c)
e)2 -
1
3
2
2. Obsah obrazca
Pre obsah S vyšrafovaného obrazca ohraničeného parabolami y = x2 a y = - x2
+ 4x platí
a) S =
4
0
4
0
4xdx.
b) S =
2
0
4xdx.
c)
S
=
4 x 2 x 2 dx.
d) S =
2
0
4 x 2 x 2 dx.
e) S =
2
0
2x2
4 x dx.
95
3. PLANIMETRIA
3. 1 Základné rovinné útvary
Obsah
Pojmy:
a) Lineárne útvary.
Bod, priamka, polpriamka, úsečka, stred úsečky, deliaci pomer, polrovina, rovnobeţné a rôznobeţné
priamky, uhol (ostrý, pravý, tupý, konvexný, priamy a nekonvexný uhol), susedné, vrcholové, súhlasné
a striedavé uhly, os úsečky, os uhla, uhol dvoch priamok, kolmé priamky, kolmica, vzdialenosť (dvoch
bodov, bodu od priamky, rovnobeţných priamok).
b) Kruţnica a kruh.
Stred, polomer (ako číslo i ako úsečka), priemer, tetiva, kruţnicový oblúk, dotyčnica, sečnica
a nesečnica, stredový a obvodový uhol, obvod kruhu a dĺţka kruţnicového oblúka, kruhový výsek
a odsek, medzikruţie, obsah kruhu a kruhového výseku, spoločné (vonkajšie, vnútorné) dotyčnice
dvoch kružníc.
c) Trojuholník.
Trojuholník (ostrouhlý, pravouhlý, tupouhlý, rovnoramenný a rovnostranný trojuholník), vrchol, strana
(ako vzdialenosť, ako úsečka), výška (ako vzdialenosť, ako úsečka i ako priamka), uhol, ťaţnica, ťaţisko, stredná priečka, kruţnica trojuholníku opísaná, kruţnica do trojuholníka vpísaná, obvod a plošný
obsah trojuholníka, trojuholníková nerovnosť, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová
veta.
d) Štvoruholníky a mnohouholníky.
Vrchol, strana (ako vzdialenosť, ako úsečka), uhlopriečka, uhol, konvexný štvoruholník, rovnobeţník,
kosoštvorec, obdĺţnik, štvorec, lichobeţník, rovnoramenný lichobeţník, základňa a rameno lichobeţníka, výška rovnobeţníka a lichobeţníka, plošný obsah rovnobeţníka a lichobeţníka, konvexné, nekonvexné a pravidelné mnohouholníky, obsah mnohouholníka.
Vlastnosti a vzťahy:
a) Lineárne útvary
Súhlasné uhly pri dvoch rovnobeţkách sú rovnaké,
striedavé uhly pri dvoch rovnobeţkách sú rovnaké,
súčet susedných uhlov je 180 ,
vrcholové uhly sú rovnaké.
b) Trojuholník
Trojuholníková nerovnosť,
súčet uhlov trojuholníka,
oproti väčšej (rovnakej) strane leţí väčší (rovnaký) uhol, oproti rovnakým stranám leţia rovnaké
uhly,
delenie ťaţníc ťaţiskom,
priesečník osí strán je stred opísanej kruţnice, priesečník osí uhlov je stred vpísanej kruţnice,
vyjadrenie obsahu trojuholníka pomocou
- dĺţky strany a k nej príslušnej výšky,
- dvoch strán a sínusu uhla týmito stranami zovretého,
Pytagorova veta, goniometria pravouhlého trojuholníka (pozri 2.5. Goniometrické funkcie),
vyjadrenie kosínusov uhlov trojuholníka pomocou dĺţok strán (kosínusová veta),
a
b
c
=2r, kde r je polomer opísanej kružnice (sínusová veta),
sin
sin
sin
vyjadrenie polomeru vpísanej kružnice pomocou jeho obsahu a obvodu,
zhodné a podobné trojuholníky, vety o zhodnosti (sss, sus, usu, Ssu) a podobnosti (sss, sus, uu)
trojuholníkov, Euklidove vety,
vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch trojuholníkov a
- dĺţkami odpovedajúcich si úsečiek,
- veľkosťami odpovedajúcich si uhlov,
- ich plošnými obsahmi.
c) Kruţnica a kruh
Kruţnica je jednoznačne určená stredom a polomerom, resp. tromi svojimi bodmi,
ţiadne tri body kruţnice neleţia na priamke,
kolmosť dotyčnice k príslušnému polomeru kruţnice,
Talesova veta, vzťah medzi stredovým uhlom a obvodovými uhlami príslušnými k danej tetive,
závislosť vzájomnej polohy kruţnice a priamky na polomere kruţnice a vzdialenosti jej stredu
od priamky,
dotykový bod dvoch kruţníc leţí na spojnici stredov kruţníc, závislosť vzájomnej polohy dvoch
kruţníc od vzdialenosti stredov kruţníc a ich polomerov,
vzťahy pre výpočet obvodu a obsahu kruhu, dĺţku kruţnicového oblúka a obsahu kruhového výseku.
d) Štvoruholníky a mnohouholníky
Rovnobeţnosť a rovnaká veľkosť protiľahlých strán rovnobeţníka,
rozpoľovanie uhlopriečok v rovnobeţníku,
rovnosť protiľahlých vnútorných uhlov v rovnobeţníku,
súčet susedných uhlov rovnobeţníka,
súčet vnútorných uhlov lichobeţníka priľahlých k jeho ramenu,
uhlopriečky kosoštvorca sú na seba kolmé a rozpoľujú vnútorné uhly,
zhodnosť uhlopriečok obdĺţnika a štvorca,
súčet vnútorných uhlov konvexného n-uholníka,
rovnobeţník je stredovo súmerný,
obdĺţnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán,
kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok,
rovnoramenný lichobeţník je súmerný podľa osi základní,
pravidelnému n-uholníku sa dá vpísať a opísať kruţnica,
v rovnoramennom lichobeţníku sú rovnaké uhlopriečky a rovnaké uhly pri základni,
obsah rovnobeţníka vyjadrený pomocou strany a príslušnej výšky, resp. pomocou susedných
strán a uhla medzi nimi,
obsah lichobeţníka vyjadrený pomocou výšky a veľkosti základní.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
pribliţne vypočítať obvod a obsah narysovaných trojuholníkov, n-uholníkov, kruhov a ich častí,
vypočítať v trojuholníku, jednoznačne určenom jeho stranami, resp. stranami a uhlami, zvyšné strany a uhly, dĺţky ťaţníc, výšok, polomer vpísanej a opísanej kružnice, obvod a obsah,
rozhodnúť, či sú dva trojuholníky zhodné alebo podobné,
vlastnosti zhodnosti a podobnosti pouţiť vo výpočtoch a dôvodeniach,
vypočítať obvod a obsah kruhu a kruhového výseku,
97
rozhodnúť o vzájomnej polohe
- priamky a kruţnice,
- dvoch kruţníc, ak pozná ich polomery a vzdialenosť stredov,
vypočítať plošný obsah rovnobeţníka, lichobeţníka, resp. rozkladom na trojuholníky aj obsah iných
mnohouholníkov,
vypočítať uhol medzi uhlopriečkami, resp. medzi uhlopriečkou a stranou, v pravidelnom mnohouholníku.
Príklady:
1. Prútkari
Dvaja prútkari hľadali na lúke pred chatou vodu. Prvý vyrazil od chaty smerom na východ a po 400 metroch zahol na sever. Po ďalších 500 metroch
mu prútik ukázal, ţe sa nachádza nad bohatým zdrojom vodu. Druhý prútkar
vyrazil z chaty na západ a po 100 metroch zahol na juh. Ktorá z uvedených
hodnôt je najbliţšie ku vzdušnej vzdialenosti miest, na ktorých prútkari našli
vodu?
a) 1250
b) 1275
c) 1300
d) 1325
e)1350
2. Súčiastka
Z kusa plechu tvaru polkruhu sa vyrába súčiastka vyrezaním menšieho
polkruhu s obsahom 2 dm2. Vyrezaný polkruh má dvakrát menšie rozmery ako pôvodný plechový polkruh. Koľko dm2 plechu tvorí finálnu
súčiastku? (Súčiastka je na obrázku tmavá.)
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
3. Lichobežník
Na obrázku je trojuholník ABC so strednou priečkou EF. Ak obsah lichobeţníka ABFE je 24 cm2, potom obsah trojuholníka EFC je
a) 5 cm2
b) 6 cm2
c) 7 cm2
d) 8 cm2
e) 12 cm2
4. Stúpanie
Cesta z údolného parkoviska ku chate v priesmyku je dlhá 10 km, je priama a rovnomerne stúpa
pod uhlom 7 . Výškový rozdiel v medzi chatou a parkoviskom moţno vypočítať zo vzťahu
a) v = 10.sin 7
b) v = 10.cos 7
c) v = 10.tg 7
d) v =
10
sin 7
e) v =
10
cos7
5. Maľovanie
Miestnosť s rozmermi 5m x 4m, výškou 2,4 m, s jedným oknom s rozmermi 1m x 1,2 m
a s jednými dverami s rozmermi 1m x 2m treba vymaľovať. Koľko by stálo vymaľovanie stien
a stropu, ak jeden meter štvorcový maľovky stojí 20 korún?
a)800 korún
b)864 korún
c)1200 korún
d)1264 korún
e)1600 korún
98
6. Opísaná kružnica
Na obrázku je rovnostranný trojuholník ABC. Vrcholy A, B
leţia na osi x a vrchol C má súradnice 0;3 . Akú rovnicu
má kruţnica opísaná tomuto trojuholníku?
a) x2 + (y – 1)2 = 4
c) (x – 1)2 + y2 = 4
e) x2 + (y + 1)2 = 2
b) x2 + (y + 1)2 = 4
d) (x + 1)2 + y2 = 4
7. Uhly
Akú veľkosť má uhol φ ma obrázku?
a) 30˚
b) 35˚
c) 40˚
e) 50˚
d) 45˚
8. Trojuholník
Trojuholník ABC má dĺţky strán AB = 6 cm, BC = 7 cm a CA = 8 cm. Potom kosínus najväčšieho uhla v tomto trojuholníku má hodnotu
a) -
1
4
b)
1
4
c)
17
32
d) -
17
32
e)
77
112
9. Stúpanie schodištia
Pod akým uhlom (zaokrúhlenom na desatiny stupňa) stúpa schodište, ktorého schody sú 28 cm široké a 15 cm vysoké?
a) 61,8˚
b) 57,6˚
c) 43,5˚
d) 32,4˚
e) 28,2˚
10. Polomer opísanej kružnice
Trojuholník ABC má strany s dĺţkami AB = 11 cm, BC = 7 cm a AC = 8 cm, D je päta výšky
na stranu AB. Aký polomer má kruţnica opísaná trojuholníku DBC?
a) 8 cm
b) 7 cm
c) 5,5 cm
d) 4 cm
e) 3,5 cm
11. Desaťuholník
Daný je pravidelný desaťuholník so stranou s = 2 cm. Ktoré z uvedených čísel najpresnejšie udáva
jeho obsah?
a) 32,90 cm2
b) 31,84 cm2
c) 30,78 cm2
d) 20 cm2
e) 9,51 cm2
99
12. Obsah medzikružia
Rovnostrannému trojuholníku sme vpísali aj opísali kruţnicu. Ak r je polomer vpísanej kruţnice,
potom pre obsah S medzikruţia platí
a) S = 3πr2.
b) S =
5
2
r2.
c) S = 2πr2.
d) S =
3
2
r2.
e) S = πr2.
13. Uhol dotyčníc
Bod V je vzdialený 25 cm od stredy kruţnice k, ktorá má polomer 10 cm. Bodom V môţeme viesť
dve dotyčnice ku kruţnici k. Akú veľkosť (s presnosťou na stotiny stupňa) má uhol α, ktorý zvierajú tieto dotyčnice?
a) α = 132,84˚
b) α = 66,42˚
c) α = 47,16˚
d) α = 43,60˚
e) α = 23,58˚
14. Koryto rieky
Na obrázku je prierez regulovaným korytom rieky. Na jednom brehu je ukazovateľ výšky hladiny
rieky. Ako ďaleko od seba sú nakreslené rysky označujúce výšku hladiny 2 m a 5 m?
b) 3 3 m
a) 6 m
c)
3 3
m
2
d) 2 3 m
e)
3
m
2
15. Obvod pozemku
Na obrázku je pozemok v tvare štvoruholníka s rozmermi
AB = 40 m, BC = 30 m, CD = 120 m. Aký obvod má
tento pozemok?
a) 220 m
b) 230 m
c) 310 m
d) 320 m
e) 370 m
16. Reflektor
V športovej hale tvaru polgule s priemerom 200 m bol na strope vo výške 60 m nad podlahou upevnený reflektor. Reflektor bol zle upevnený a spadol. Ako ďaleko od stredu haly dopadol?
a) 40 m
b) 60 m
c) 65 m
d) 80 m
e) 85m
17. Let lietadla
Lietadlo, ktoré malo pôvodne letieť priamočiaro z Bratislavy do Paríţa vzdialeného 800 km, sa pri
štarte muselo kvôli zlému počasiu odchýliť od priameho kurzu o 60˚. Aţ po 300 km mohol pilot
lietadlo nasmerovať priamo na Paríţ. O koľko kilometrov sa takto predĺţila dráha letu?
a) O 61 km.
b) O 173 km.
c) O 200 km.
d) O 242 km.
e) O 570 km.
18. Najväčší uhol
Označme γ veľkosť najväčšieho uhla trojuholníka ABC, ktorého strany majú dĺţky a = 4 cm, b = 5
cm a c = 7 cm. Potom platí
a)
135 ;180 . b)
90 ;135 . c)
60 ;90 . d)
30 ;60 . e)
0 ;30 .
100
19. Stred kružnice
Do uhla veľkosti 60˚ chceme vpísať kruţnicu s polomerom 5 cm. Ako ďaleko od vrcholu uhla musí
byť stred kruţnice?
a) 10 3 cm
b) 10 cm
c)
10
3 cm
3
d)
5
3 cm
3
e) 5 cm
20. Uhly
Na obrázku sú dve rovnobeţné priamky p, q a priamka r, ktorá je s nimi rôznobeţná, ale nie je na ne
kolmá. Pre uhly α, β na obrázku platí
a) sin α = sin β a súčasne cos α = - cos β.
b) sin α = sin β a súčasne cos α = cos β.
c) cos α = cos β a súčasne sin α = - sin β.
d) tg α = tg β a súčasne sin α = - sin β.
e) tg α = tg β a súčasne cos α = - cos β.
21. Všeobecný trojuholník
Na obrázku je všeobecný trojuholník ABC. Body P, Q, R sú
stredy jeho strán. Potom pre dĺţky úsečiek AS, ST a TR platí
AS : ST : TR =
a) 3 : 1 : 2
d) 5 : 1 : 3
b) 4 : 1 : 2
e) 5 : 2 : 3
c) 4 : 1 : 3
22. Stredový uhol
Do kruţnice k so stredom S sú vpísané dva trojuholníky (pozri obr.).
Aká je veľkosť uhla α?
a) 30˚
d) 50˚
b) 40˚
e) 60˚
c) 45˚
3.2 Analytická geometria v rovine
Obsah
Pojmy: (karteziánska) súradnicová sústava na priamke (číselná os) a v rovine, súradnice bodu, všeobecná rovnica priamky, smernica priamky, smernicový tvar rovnice priamky, rovnica kruţnice; vektor,
umiestenie vektora, súradnice vektora, vektor opačný k danému vektoru, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, násobok vektora číslom, dĺžka vektora, skalárny súčin vektorov, parametrické
rovnice priamky, smerový a normálový vektor priamky.
Vlastnosti a vzťahy:
vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc,
vzťah medzi smernicami dvoch rovnobeţných, resp. kolmých priamok,
101
vzťah medzi koeficientmi všeobecných rovníc dvoch rovnobeţných, resp. kolmých priamok,
aspoň jeden vzťah alebo postup pre výpočet
- uhla dvoch priamok (napr. pomocou skalárneho súčinu, kosínusovej vety alebo smerníc),
- vzdialenosti bodu od priamky,
geometrická interpretácia súčtu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym číslom a ich vyjadrenie pomocou súradníc daných vektorov,
body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B – A a C – A je násobkom druhého
vzťah medzi smerovými vektormi dvoch rovnobežných priamok ,
vzdialenosť dvoch bodov ako dĺžka vektora,
kolmosť dvoch priamok a jej vzťah so skalárnym súčinom ich smerových vektorov,
vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjadrenie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou ich súradníc,
vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice priamky a normálovým vektorom priamky.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súra dnice daných bodov,
vypočítať súradnice stredu úsečky, resp. bodu, ktorý úsečku rozdeľuje v danom pomere,
napísať analytické vyjadrenie priamky (pozri tieţ 3.3 Množiny bodov daných vlastností a
ich analytické vyjadrenie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia)
- prechádzajúcej dvoma danými bodmi,
- daným bodom rovnobeţne s danou priamkou,
- prechádzajúcej daným bodom kolmo na danú priamku,
určiť vzájomnú polohu dvoch priamok (ak sú dané ich rovnice) a nájsť súradnice ich prípa dného priesečníka,
vypočítať
- vzdialenosť 2 bodov,
- vzdialenosť bodu od priamky,
- vzdialenosť dvoch rovnobeţných priamok,
- obsah trojuholníka určeného jeho vrcholmi,
- uhol dvoch priamok,
napísať rovnicu kruţnice (pozri tiež 3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie a 3.4 Zhodné a podobné zobrazenia)
- ak pozná jej stred a polomer,
- v tvare x 2 ax y 2 by c 0 , ak pozná tri body, ktorými kruţnica prechádza,
určiť z rovnice kruţnice jej stred a polomer,
opísať v súradnicovej sústave pomocou rovníc a nerovníc úsečku, kružnicu a jej časti, polrovinu
a kruh,
rozhodnúť o vzájomnej polohe
- priamky a kruţnice,
- dvoch kruţníc,
ak pozná ich rovnice,
napísať rovnicu dotyčníc kružnice z daného bodu, resp. rovnobežných s daným smerom,
pri riešení planimetrických úloh používať analytickú metódu, t.j. vie
- vhodne si zvoliť súradnicovú sústavu a algebraicky spracovať zadanie,
- pomocou vedomostí z algebry a poznatkoch o vektoroch algebraicky vyriešiť úlohu,
102
-
algebraický výsledok ”preložiť” do geometrického kontextu úlohy
Príklady:
1. Spoločné body
Označme A, B spoločné body grafu funkcie y = (x – 2)2 so súradnicovými osami. Rovnica
priamky p, ktorá prechádza bodmi A, B je
a)y = -2x + 2
b)y = 2x + 4
c)y = -2x + 4
d)y = 2x – 4
e)y = -2x - 4
2. Uhol
V rovine s pravouhlou súradnicovou sústavou, je daná priamka p, ktorej všeobecná rovnica
je 4x + 3y + 11 = 0. Ak α je ostrý uhol, ktorý táto priamka zviera s osou x, potom tg α =
a) -
11
3
b) -
4
3
c) -
3
4
d)
3
4
e)
4
3
3. Mimobežky?
Priamka p má parametrické vyjadrenie x = 1 + t, y = 2t, z = -t, t R, priamka q má parametrické vyjadrenie x = 2r, y = 3 – 4r, z = 1 + 2r, r R. Priamky p, q sú
a) mimobeţné, ale nie kolmé.
d) rôznobeţné kolmé.
b) mimobeţné kolmé.
e) rovnobeţné.
4. Číslo p
Ako treba zvoliť číslo p R, aby body A 4; p , B 3; 2 , C
a) p = 10
b) p = 1
c) p = -
5
3
c) rôznobeţné, ale nie kolmé.
1; 14 leţali na jednej priamke?
d) p = -
7
3
e) p = -5
3. Kružnica
Na ktorom z obrázkov je znázornená kruţnica daná rovnicou x 2 + y2 + 2x = 0?
103
4. Priamka p
Na obrázku sú dve rovnobeţné priamky p, q. Ktorou
z uvedených rovníc je daná priamka p?
a) y =
d) y =
2
x 10
3
3
x 15
2
b) y =
e) y =
2
x 15
3
3
x 10
2
c) y =
3
x 10
2
5. Rovnica kružnice
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 5)³ - 5│so súradnicovými osami je:
a) (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = 50
c) (x - 2,5)² + (x + 2,5)² = 50
e) (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = - 50
b) (x - 2,5)² - (x - 2,5)² = 50
d) (x + 2,5)² + (x - 2,5)² = 50
6. Kružnica
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 4)³ - 4│so súradnicovými osami je:
a) (x - 2)² + (x - 2)² = 32
d) (x - 2)² - (x - 2)² = 32
b) (x - 2)² + (x + 2)² = 32
e) (x - 2)² + (x - 2)² = - 32
c) (x + 2)² + (x - 2)² = 32
7. Rovnica
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 3)³ - 3│so súradnicovými osami je:
a) (x -1,5)² + (x - 1,5)² = 18
c) (x - 1,5)² - (x - 1,5)² = 18
e) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18
b) (x - 1,5)² + (x - 1,5)² = 25
d) (x - 1,5)² + (x - 2,5)² = 18
8. Kružnica?
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 3)³ + 3│so súradnicovými osami je:
a) (x - 1,5)² + (x - 1,5)² = 18
c) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18
e) (x + 1,5)² - (x - 1,5)² = 18
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
d) (x - 1,5)² + (x - 2,5)² = 18
9. Kružnicová rovnica
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 4)³ + 4│so súradnicovými osami je:
a) (x - 2)² + (x - 2)² = 32
d) (x + 2)² + (x - 2)² = 32
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18
c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32
104
10. Rovnica kružnice
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 5)³ + 5│so súradnicovými osami je:
a) (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = 50
d) (x - 2,5)² - (x - 2,5)² = 50
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18
c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32
11. Kružnica
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x + 2)³ + 2)│so súradnicovými osami je:
a) (x - 1)² + (x - 1)² = 8
d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18
c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32
12. Rovnica
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 2)³ - 2│so súradnicovými osami je:
a) (x - 1)² + (x - 1)² = 8
d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18
c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32
13. Kružnica?
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 1)³ - 1│so súradnicovými osami je:
a) (x - 0,5)² + (x - 0,5)² = 2
d) (x - 1)² - (x - 1)² = 8
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
e) (x - 2)² - (x - 2)² = 18
c) (x - 2)² + (x - 3)² = 32
14. Rovnica kružnice
Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so
súradnicovými osami f: y =│(x +5)³ + 5│je:
a) (x +2,5)² + (x + 2,5))² = 50
c) (x + 2,5)² - (x - 2,5)² = 50
e) (x + 2,5)² - (x + 2,5)² = 25
b) (x - 2,5)² + (x + 2,5)² = 50
d) (x +2,5)² + (x + 2,5)² = 250
15. Rovnica
Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so
súradnicovými osami f: y =│(x + 4)³ + 4│je:
a) (x + 2)² + (x + 2)² = 32
d) (x + 2)² - (x + 2)² = 32
b) (x - 2)² + (x + 2)² = 32
e) (x + 2)² + (x + 2)² = 16
c) (x + 2)² + (x - 2)² = 32
16. Kružnica
Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so
súradnicovými osami f: y =│(x + 3)³ + 3│je:
a) (x + 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
c) (x + 1,5)² + (x - 1,5)² = 18
e) (x + 1,5)² + (x + 1,5)² = 9
b) (x - 1,5)² + (x + 1,5)² = 18
d) (x + 1,5)² - (x + 1,5)² = 18
105
17. Kružnicová rovnica
Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so
súradnicovými osami f: y =│(x + 2)³ + 2│je:
a) (x + 1)² + (x + 1)² = 8
c) (x + 1)² + (x - 1)² = 8
e) (x + 1)² + (x + 1)² = 16
b) (x - 1)² + (x + 1)² = 8
d) (x + 1)² - (x + 1)² = 8
18. Rovnica kružnice
Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie f so
súradnicovými osami f: y =│(x + 1)³ + 1│je:
a) (x + 0,5)² + (x + 0,5)² = 2
c) (x + 0,5)² + (x - 0,5)² = 2
e) (x + 0,5)² + (x + 0,5)² = 4
b) (x - 0,5)² + (x + 0,5)² = 2
d) (x + 0,5)² - (x + 0,5)² = 2
19. Kružnica
Rovnica kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a priesečníkmi grafu funkcie
f so súradnicovými osami
f: y = │(x - 5,00)³ - 5,00│
je:
A:
B:
C:
D:
(x-2,50)² + (x - 2,50)² = 50
(x +2,50)² + (x - 2,50)² = 50
(x-2,50)² + (x + 2,50)² = 50
(x-2,50)² - (x - 2,50)² = 50
E: (x-2,50)² + (x - 2,50)² = 250
20.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (4,00))³ - (4,00)│
so súradnicovými osami je:
A: (x-2,00)² + (x - 2,00)² = 32
B: (x-2,00)² + (x + 2,00)² = 32
C: (x +2,00)² + (x - 2,00)² = 32
D: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 32
106
E: (x-2,00)² + (x - 2,00)² = -32
21.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (3,00))³ - (3,00)│
so súradnicovými osami je:
A: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 18
B: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 25
C: (x-1,50)² - (x - 1,50)² = 18
D: (x-1,50)² + (x - 2,50)² = 18
E: (x+1,50)² + (x - 1,50)² = 18
22.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-3,00))³ - (-3,00)│
so súradnicovými osami je:
A: (x-1,50)² + (x - 1,50)² = 18
B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18
C: (x+1,50)² + (x - 1,50)² = 18
D: (x-1,50)² + (x - 2,50)² = 18
E: (x+1,50)² - (x - 1,50)² = 18
23.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-4,00))³ - (-4,00)│
107
so súradnicovými osami je:
A: (x-2,00)² + (x - 2,00)² = 32
B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18
C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32
D: (x+2,00)² + (x - 2,00)² = 32
E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18
24.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-5,00))³ - (-5,00)│
so súradnicovými osami je:
A: (x-2,50)² + (x - 2,50)² = 50
B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18
C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32
D: (x-2,50)² - (x - 2,50)² = 50
E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18
25.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - (-2,00))³ - (-2,00)│
so súradnicovými osami je:
A: (x-1,00)² + (x - 1,00)² = 8
B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18
C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32
D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8
108
E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18
26.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - 2,00)³ - 2,00│
so súradnicovými osami je:
A: (x-1,00)² + (x - 1,00)² = 8
B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18
C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32
D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8
E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18
27.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie
f: y = │(x - 1,00)³ - 1,00│
so súradnicovými osami je:
A: (x-0,50)² + (x - 0,50)² = 2
B: (x-1,50)² + (x + 1,50)² = 18
C: (x-2,00)² + (x - 3,00)² = 32
D: (x-1,00)² - (x - 1,00)² = 8
E: (x-2,00)² - (x - 2,00)² = 18
28.
Dané sú 2 body v trojrozmernom priestore
A[1;2;3]
B[4;8;5]
109
Parametrická rovnica priamky AB je :
a):
b)
p:
x = 1 +4t
y = 2 + 6t
z = 3 + 2t
p:
,tεR
x = 1 + 3t
y = 2 + 7t
z = 3 + 2t
,tεR
c)
d)
p:
x = 1 + 3t
y = 2 + 6t
z = 3 + 3t
,tεR
x = 1 + 3t
y = 2 + 6t
z = 3 - 2t
,tεR
p:
x = 1 - 3t
y = 2 + 6t
z = 3 + 2t
,tεR
e)
p:
29.
Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore
A[2;1]
B[3;4]
Parametrická rovnica priamky AB
je :
p:
a)
p:
c)
p:
d)
p:
e)
p:
b)
x = 2 + 1t
y = 1 + 3t
,tεR
x = 2 + 1t
y = 1 + 3t
,tεR
x = 2 + 1t
y = 1 + 3t
,tεR
x = 2 + 1t
y = 1 + 3t
,tεR
x = 2 + 1t
y = 1 + 3t
,tεR
110
30.
Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore
A[2;5]
B[3;4]
Všeobecná rovnica priamky AB je:
a) x + y
b) x - y
c) x + y
d) x - y
e) x + y
-7=0
-7=0
+7=0
-7=0
-8=0
31.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[1;4]
B[4;8]
C[8;4]
Obvod trojuholníka ABC má veľkosť:
a) 17,65685
(12+4*√(2) )
b) 15,3
c) 18,25
d) 22
e) taký trojuholník neexistuje
32.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[2;4]
B[5;8]
C[9;4]
Obsah trojuholníka ABC má veľkosť:
111
a) 14
b) 15
c) 17
d) 13
e) to nie je trojuholník
33.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[3;5]
B[6;9]
C[10;5]
Veľkosť uhla ACB v stupňoch je :
a) 45°
b) 38°
c) 90°
d) 22,5°
e) 84°
34.
Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore
A[-2;5]
B[3;-3]
Parametrická rovnica priamky AB je :
a)
p: x = -2 + 5t
y = 5 + -8t
,tεR
b)
p: x = -2 + 5t
y = 5 + -8t
,tεR
c)
p: x = -2 + 5t
y = 5 + -8t
,tεR
d)
p: x = -2 + 5t
y = 5 + -8t
,tεR
e)
p: x = -2 + 5t
y = 5 + -8t
,tεR
35.
112
Dané sú dva body v dvojrozmernom priestore
A[-2;5]
B[3;-3]
Všeobecná rovnica priamky AB je:…………………………………
a)
p: 8x + 5y + -9 = 0
b)
p: 8x + 5y + -9 = 0
c)
p: 8x + 5y + -9 = 0
d)
p: 8x + 5y + -9 = 0
e)
p: 8x + 5y + -9 = 0
36.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[-2;7]
B[1;11]
C[5;7]
Výška na stranu b trojuholníka ABC má dĺţku:
a)
b)
c)
d)
e)
4
5
6
3
7
37.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[1;4]
B[4;8]
C[8;4]
Obvod trojuholníka ABC má veľkosť:
a) 17,65685 (12+4*√(2) )
b) 15,3
c) 14,38
d) 17
e) 22,3697
113
38.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[-1;-3]
B[1;11]
C[5;-7]
Obsah trojuholníka ABC má veľkosť:
a) 14
b) 15
c) 16
d) 13
e) 23
39.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[-1;7]
B[1;11]
C[5;7]
Veľkosť uhla ACB v stupňoch je
a)
b)
c)
d)
e)
45°
22,5°
82°
90°
12°
40. Označme A, B spoločné body grafu funkcie y = (x – 2)2 so súradnicovými osami.
Rovnica priamky p, ktorá prechádza bodmi A, B je
A: y = -2x + 2
B: y = 2x + 4
C: y = -2x + 4
D: y = 2x – 4
E: y = -2x - 4
41. V rovine s pravouhlou súradnicovou sústavou, je daná priamka p, ktorej všeobecná rovnica je 4x + 3y + 11 = 0. Ak α je ostrý uhol, ktorý táto priamka zviera
s osou x, potom tg α =
114
11
3
4
3
3
4
3
4
4
3
A: B:
C:
D:
E:
42. Priamka p má parametrické vyjadrenie x = 1 + t, y = 2t, z = -t, t R, priamka q má
parametrické vyjadrenie x = 2r, y = 3 – 4r, z = 1 + 2r, r R. Priamky p, q sú
A: mimobeţné, ale nie kolmé.
B: mimobeţné kolmé.
C: rôznobeţné, ale nie kolmé.
D: rôznobeţné kolmé.
E: rovnobeţné.
43. Dané sú body A[1;7;3], C[6;2;3], F[6;7;8], H[1;2;8]. Pre vektory H-A, F-C platí, ţe ich
skalárny súčin je rovný:
A: 7
B: 0 C: 12 D: -4 F: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
44. Dané sú body A[1;7;3],E[1;7;8],G[6;2;8],H[1;2;8]. Pre vektory E-A, H-G platí, ţe:
A: sú lineárne závislé
B: sú na seba kolmé
C: sú rovnobeţné
D: majú uhol π/4
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
45. Dané sú body B[6;7;3],C[6;2;3],D[1;2;3],E[1;7;8]. Vektory B-C, D-E majú uhol:
A: 0 rad
B: Π rad
C: π/4 rad
D: π/3 rad
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
46. Dané sú body A[1;7;3],B[6;7;3],C[6;2;3],H[1;2;8] . Priamky AB, HC sú navzájom
A: rovnobeţné
B: totoţné
C: rôznobeţné
115
D: mimobeţné
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
47. Dané sú body A[1;7;3],B[6;7;3],G[6;2;8],H[2;2;8]. Priamky AB, GH sú navzájom
A: rovnobeţné
B: totoţné
C: rôznobeţné
D: mimobeţné
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
48. Rovnica roviny, ktorá je rovnobeţná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a má od začiatku súradnicpvej sústavy vzdialenosť√3, je:
A: x + y + y + 3 = 0
B: x + y + y - √3 = 0
C: x + y + y - 3 = 0
D: x + y + y + 5 = 0
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
49. Pre odchýlku rovín 3x - 2y + z - 1 = 0, x + 2y - 3z + 13 = 0 platí,
cos α =:
A: ´
B: 2/7
C: -2/7
D: -1/2
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
50. Rovnica roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín x - y + 1 = 0, 2x + y + z = 0 a je
kolmá na rovinu 2x + y + z + 3 = 0, je
A: 4x - 7y - z + 6 = 0
B: 4x - y - 7z + 6 = 0
C: 4x - 7y + z + 6 = 0
D: 4x - y - 7z + 6 = 0
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
51. Vzájomná poloha priamky AB, A[3;0;-1],B[0;2;1] a priamky p: x = t, y = 1 - 2t, z = 3,
tεR je:
A: mimobeţné
B: totoţné
C: rôznobeţné a kolmé
D: rôznobeţné, ale nie kolmé
E: rovnobeţné, rôzne
52. Rovina α: 2x - y - z + 4 = 0 a priamka p: x =3 + t, y = 2 - 2t, z = 2 + t, tεR majú uhol:
A: 30°
B: 60°
C: 45°
D: 0°
E: 90°
116
3.3 Množiny bodov daných vlastností a ich analytické vyjadrenie
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
geometricky opísať, načrtnúť a nájsť (v danej alebo vhodne zvolenej súradnicovej sústave) analytické vyjadrenie mnoţiny bodov s konštantnou vzdialenosťou od
- bodu,
- priamky,
- kruţnice,
geometricky opísať a načrtnúť mnoţiny bodov
- z ktorých vidieť danú úsečku pod daným uhlom,
- ktoré majú rovnakú vzdialenosť od
- dvoch bodov,
- dvoch rovnobeţných priamok,
- dvoch rôznobeţných priamok,
geometricky opísať a načrtnúť mnoţiny bodov, ktoré majú
- od daného bodu vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo,
- od danej priamky vzdialenosť menšiu (väčšiu) ako dané kladné číslo,
- od jedného bodu väčšiu vzdialenosť ako od druhého bodu,
- od jednej danej priamky väčšiu vzdialenosť ako od druhej danej priamky,
opísať v jednoduchých prípadoch mnoţinu bodov daných vlastností
- pomocou uhlov, častí priamky, kruţnice a kruhu,
- pomocou zhodných a podobných zobrazení,
- vo vhodne zvolenej súradnicovej sústave analyticky pomocou jednoduchých rovníc
a nerovníc,
znázorniť mnoţinu bodov x, y , pre ktoré platí
- y* f(x), kde * je jeden zo znakov , , , a f je predpis funkcie, ktorej graf vie ţiak znázorniť
(pozri 2.1 Funkcia a jej vlastnosti),
- ax + by + c * 0,
- ax 2 bx ay 2 dy m 0 ,
f ( x , y ) 0 , ak vie načrtnúť krivku f ( x , y ) 0
a v jednoduchých prípadoch aj mnoţinu bodov x, y , ktorá je opísaná sústavou dvoch z predchádzajúcich nerovníc (pozri tieţ 1.4 Rovnice, nerovnice a ich sústavy),
tieto mnoţiny bodov pouţiť pri riešení jednoduchých konštrukčných úloh (pozri 3.5 Konštrukčné
úlohy).
117
Príklady:
1. Napíšte rovnicu paraboly, ktorá má vrchol v začiatku
súradnicovej sústavy a ohnisko v bode F= [0;-1].
a) y2 = 4x b) y2 = - 4x c) x2 = - 4y d) x2 = 4y
2. Kaţdá parabola, ktorá má vrchol v bode V = [m,n] a os
rovnobeţnú s osou x, má rovnicu:
a) (x - m)2 = 2p(y -n)
b) (y -n)2 = 2p(x - m)
c) (x - m)2 = 2p(y - n) alebo (x - m)2 = - 2p(y - n)
d) (y - n)2 = 2p(x - m) alebo (y - n)2 = - 2p(x - m)
3. Určte polohu priamky 2x + 2y + 5 = 0 vzhľadom na parabolu y2 = 10x.
Daná priamka je
a) dotyčnica
b) sečnica
c) nesečnica
d) rovnobeţná s osou paraboly
4. Napíšte rovnicu elipsy so stredom v počiatku súradnicovej sústavy a hlavnou osou leţiacou na osi y, keď a = 5,
b = 3.
c) 25 x2 + 9y2 = 225
d) 25 x2 + 9y2 + 225 = 0
5. Napíšte rovnicu kruţnice, ktorá má stred v začiatku
súradnicovej sústavy a prechádza bodom A = [ -3; 4 ].
a) x2 + y2 = 25
b) x2 + y2 = 16
c) x2 + y2 = 9
d) x2 + y2 = 5
6. Zistite, či rovnica 9x2 + 25y2 - 54x - 100y - 44 = 0
je rovnicou elipsy.Ak áno, nájdite jej stred, určte polohu
osí a veľkosť polosí:
a)rovnica nie je rovnicou elipsy
b)S = [3;2], a = 5, b = 3, a || x
c)S = [2;3], a = 5, b = 3, a || x
d)S = [-3;-2], a = 5, b = 3, a || x
7. Ktoré z bodov K = [1;3],L = [3;0],M = [-1;0], N = [1;-3]
leţia na elipse 9x2 - 18x + 4y2 - 27 = 0? Sú to body:
a) K, L, M
b) L, M, N
c) K, L, M, N
d) ani jeden z bodov K, L, M, N
8. Určte aR také, aby priamka 3x + 4y + a = 0 bola dotyčnicou kruţnice x2 + y2 = 25.
a) a = 252
b) a = -25
c) a = 25
d) a = ± 25
118
9. Kruţnica x2 + y2 = 9 a elipsa
majú práve
a) dva spoločné body
b) tri spoločné body
c) štyri spoločné body
d) nula spoločných bodov
10. Priamka y - 2x = 0 je voči hyperbole 9x2 - 16y2 = 144
a)sečnicou, ktorá má s hyperbolou 2 spoločné body
b)dotyčnicou
c)sečnicou, ktorá má s hyperbolou 1 spoločný bod
d)nesečnicou.
11.
Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu funkcie f: y =│(x - 5)³ - 5│so súradnicovými osami je:
a. (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = 50
b. (x - 2,5)² - (x - 2,5)² = 50
c. (x - 2,5)² + (x + 2,5)² = 50
d. (x + 2,5)² + (x - 2,5)² = 50
e. (x - 2,5)² + (x - 2,5)² = - 50
12. Daná je všeobecná rovnica elipsy E: x² + 9 y² - 6x - 18y + 9 = 0.
Napíš kanonickú rovnicu hyperboly H, ktorá má hlavné vrcholy v ohniskách elipsy E a ohniská
v hlavných vrcholoch elipsy E.
a. (x -1)²/8 - (y - 6)²/9 = 1
b. (x -1)²/8 + (y - 6)²/9 = 1
c. (x -1)²/8 - (y + 6)²/9 = 1
d. (x -1)²/8 - (y - 6)²/9 = 0
e. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
13. Daná je všeobecná rovnica hyperboly H.
Napíš kanonickú rovnicu kruţnice K, ktorá má stred v strede hyperboly a prechádza hlavnými
vrcholmi hyperboly.
H: x² - 9 y² - 6x + 18y + 9 = 0
a. (x - 3)² + (y - 1)² = 9
b. (x - 3)² - (y - 1)² = 9
119
c. (x - 3)² + (y - 1)² = 81
d. (x - 3)² + (y + 1)² = 9
e. Ţiadna z ostatných odpovedí nie je správna
14. Daná je všeobecná rovnica hyperboly H.
Napíš kanonickú rovnicu kruţnice K, ktorá má stred v strede hyperboly a prechádza ohniskami
hyperboly.
H: x² - 9 y² - 6x + 18y + 9 = 0
a. (x - 3)² + (y - 1)² = 10
b. (x - 3)² - (y - 1)² = 10
c. (x - 3)² + (y - 1)² = 100
d. (x - 3)² + (y + 1)² = 10
e. Ţiadna z ostatných odpovedí nie je správna
15. Rovnica elipsy, so stredom v začiatku súradnicovej sústavy a osami rovnobeţnými so
súradnicovými osami , ktorá prechádza priesečníkmi grafu funkcie
f: y = (x - 5)³ - 1
so súradnicovými osami je:
A: 25x² + 1y² = 25
B: 25x² - 1y² = 25
C: 5x² + 1y² = 25
D: 5x² - 1y² = 25
E: 5x² + 1y² = 5
16. Rovnica elipsy, so stredom v začiatku súradnicovej sústavy a osami rovnobeţnými so
súradnicovými osami , ktorá má ohniská v priesečníkoch grafu funkcie
f: y = (x - 5)² - 4
120
so súradnicovou osou x a prechádza priesečníkom tejto funkcie s osou y je:
A: 16x² + 41y² = 656
B: 16x² - 41y² = 656
C: 16x² + 41y = 656
D: 16x + 41y² = 656
E: 5x² + 4y² = 20
17. Rovnicou kruţnice, ktorá prechádza stredom súradnicovej sústavy a spoločnými bodmi grafu
funkcie
f: y = │(x - 2,00)³ - 2,00│
so súradnicovými osami je:
A: (x-1)² + (x - 1)² = 8
B: (x-1,5)² + (x + 1,5)² = 18
C: (x-2)² + (x - 3)² = 32
D: (x-1)² - (x - 1)² = 8
E: (x-2)² - (x - 2)² = 18
18. Kanonická rovnica paraboly
P: y² + 10y - 20x + 50 = 0 je:
A: (y + 4)2 = 16(x - 2)
B: (y + 4)2 = 16(x + 2)
C: (y - 4)2 = 16(x - 2)
D: (y - 4)2 = 16(x + 2)
E: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
19. Napíš stredovú rovnicu kruţnice, ktorá má stred vo vrchole danej paraboly a dotýka sa jej riadiacej priamky
P: y² - 4y - 8x + 20 = 0
121
A: (x - 2)² + (y - 2)² = 4
B: (x + 2)² + (y - 2)² = 8
C: (x - 2)² + (y + 2)² = 4
D: (x + 2)² + (y + 2)² = 8
F: Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
20. Napíš stredovú rovnicu kruţnice, ktorá má stred v ohnisku danej paraboly a dotýka sa jej riadiacej priamky
P: y² - 4y - 12x + 40 = 0
A: (x - 6)² + (y - 2)² = 36
B: (x - 6)² + (y + 2)² = 6
C: (x + 6)² + (y - 2)² = 36
D: (x + 6)² + (y + 2)² = 6
Žiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
3.4 Zhodné a podobné zobrazenia
Obsah
Pojmy: zhodné zobrazenie, osová súmernosť, os súmernosti, posunutie, stredová súmernosť, stred súmernosti, otočenie, stred otočenia, orientovaný uhol a jeho veľkosti, uhol otočenia, osovo a stredovo
súmerný útvar; rovnoľahlosť, stred a koeficient rovnoľahlosti, samodružný bod, skladanie zobrazení,
inverzné zobrazenie.
Vlastnosti a vzťahy:
stredová súmernosť je jednoznačne určená stredom súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si
bodmi,
osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi,
otočenie je jednoznačne určené stredom a uhlom otáčania,
posunutie je jednoznačne určené vektorom posunutia, resp. dvoma odpovedajúcimi si bodmi,
vzťah medzi orientovaným uhlom a jeho veľkosťami,
rovnobeţník je stredovo súmerný,
obdĺţnik a štvorec sú súmerné podľa osí strán,
kosoštvorec je súmerný podľa uhlopriečok,
rovnoramenný lichobeţník je súmerný podľa osi základní,
nech A,B sú dva osovo súmerné body podľa priamky p, potom AB je kolmá na p a stred AB leţí na
p,
priamka a jej obraz v posunutí sú rovnobeţné,
rovnoľahlosť je jednoznačne určená stredom a koeficientom rovnoľahlosti, dvoma vhodne zvolenými dvojicami odpovedajúcich bodov
122
dve rovnoľahlé priamky sú rovnobežné,
každé dve nerovnaké rovnobežné úsečky sú rovnoľahlé (dvoma spôsobmi),
každé dve kružnice s rôznym polomerom sú si podobné (sú rovnoľahlé),
vonkajšie (vnútorné) spoločné dotyčnice dvoch kružníc sa pretínajú v strede rovnoľahlosti,
vzťah medzi pomerom podobnosti dvoch útvarov a
- dĺţkami zodpovedajúcich si úsečiek,
- veľkosťami zodpovedajúcich si uhlov,
- ich plošnými obsahmi.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
zobraziť daný útvar v danom zhodnom alebo podobnom zobrazení,
rozhodnúť, či je daný útvar osovo (stredovo) súmerný,
napísať súradnice bodu (rovnicu priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti), ktorý je obrazom daného bodu (danej priamky, úsečky, kružnice alebo jej časti),
- v súmernosti podľa začiatku súradnej sústavy, resp. podľa daného stredu,
- v súmernosti podľa niektorej súradnej osi, alebo podľa priamky rovnobežnej so súradnou
osou, alebo podľa priamky y = x (pozri tieţ inverznú funkciu v 2.1 Funkcia a jej vlastnosti, postupnosti),
- v posunutí,
opísať zobrazenie, ktoré vznikne zložením dvoch osových súmerností,
určiť inverzné zobrazenie k danému zhodnému alebo podobnému zobrazeniu,
zostrojiť
- stredy rovnoľahlosti dvoch daných kružníc,
- obraz daného útvaru v danom zhodnom zobrazení alebo v rovnoľahlosti, resp. útvar podobný
s daným útvarom, pri danom pomere podobnosti,
zhodné zobrazenia a rovnoľahlosť (resp. podobnosť) použiť
- v konštrukčných úlohách (pozri 3.5 Konštrukčné úlohy),
- pri zisťovaní množiny bodov daných vlastností (pozri 3.3 Mnoţiny bodov daných vlastností
a ich analytické vyjadrenie).
Príklady:
1. Podobný trojuholník
Na obrázku je rovnoramenný trojuholník ABC so základňou AB = 8 cm
a ramenom BC = 10 cm. Na ramene AC leţí bod D. Trojuholník ABC je podobný s trojuholníkom DAB. Potom AD =
a) 6,4 cm.
b) 6 cm.
c) 5 cm.
d) 3,6 cm.
e) 2 cm.
2. Osová súmernosť
Ak zostrojíme obraz grafu funkcie y = 2x+3 v osovej súmernosti podľa osi o: x = 0, dostaneme graf
funkcie
a) y = 2x-3.
b) y = 2-x+3.
c) y = 2-x-3.
d) y = log2(x + 3).
e) y = log2 x – 3.
3. Rotácia trojuholníka
123
V ktorom z nasledujúcich prípadov vznikne rotáciou trojuholníka okolo osi o rotačný kuţeľ?
4. Osemuholník
Nech o je počet osí súmernosti osemuholníka a nech s je počet stredov súmernosti zoho istého osemuholníka. Akú najväčšiu hodnotu môţe nadobudnúť súčet o + s?
a) 3
b) 5
c) 7
d) 9
e) 11
3.5 Konštrukčné úlohy
Obsah
Pojmy: rozbor, náčrt, konštrukcia, postup konštrukcie.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
zdôvodniť postup konštrukcie, t. j. urobiť rozbor jednoduchých konštrukčných úloh, pričom vie
pouţiť
- nasledujúce základné konštrukcie (na ktoré sa môţe pri opise postupu zloţitejších konštrukčných úloh odvolávať bez toho, aby ich podrobne rozpisoval):
- rovnobeţku s danou priamkou daným bodom,
- rovnobeţku s danou priamkou v predpísanej vzdialenosti,
- os úsečky, os uhla,
- priamku, ktorá prechádza daným bodom a zviera s danou priamkou daný uhol,
ab
- úsečku dĺţky
(pomocou podobnosti), ab (pomocou Euklidových viet), kde a, b, c sú
c
dĺţky narysovaných úsečiek,
- rozdeliť úsečku v danom pomere,
- trojuholník určený:
- tromi stranami,
- dvoma stranami a uhlom,
- dvoma uhlami a stranou,
- kruţnicu
- trojuholníku opísanú,
- do trojuholníka vpísanú,
- dotyčnicu kruţnice
124
- v danom bode kruţnice,
- z daného bodu leţiaceho mimo kruţnice,
- rovnobeţnú s danou priamkou,
- stredy rovnoľahlosti dvoch kružníc a spoločné dotyčnice dvoch kružníc,
- obraz daného bodu, úsečky, priamky, kruţnice a jej častí v danom zhodnom zobrazení, resp.
v rovnoľahlosti (pozri 3. 4 Zhodné a podobné zobrazenia),
- mnoţiny bodov daných vlastností,
- vhodné zhodné zobrazenie alebo rovnoľahlosť, resp. podobnosť,
pri kreslení náčrtu pri rozbore úlohy rozlíšiť jednotlivé moţnosti zadania (napr. „výška leţí
v trojuholníku“ a „výška je mimo trojuholníka“),
na základe vykonaného (daného) rozboru napísať postup konštrukcie,
uskutočniť konštrukciu danú popisom,
rozhodnúť (aj na základe pomocných výpočtov) o medzných hodnotách vstupných údajov,
určiť počet riešení v prípade číselne zadaných úloh.
125
4. STEREOMETRIA
4.1 Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny
Obsah
Pojmy: premietanie (voľné rovnobeţné premietanie), priemet priestorového útvaru do roviny.
Vlastnosti a vzťahy :
voľné rovnobeţné premietanie zachováva deliaci pomer a rovnobeţnosť.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
pouţiť vlastnosti voľného rovnobeţného premietania pri zobrazovaní kocky, pravidelných hranolov
a pravidelných ihlanov.
4.2 Súradnicová sústava v priestore, vektory, analytická metóda
Obsah
Pojmy: (karteziánska) sústava súradníc v priestore, bod a jeho súradnice, vzdialenosť bodov, vektor,
umiestenie vektora, súradnice vektora, opačný vektor, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov,
násobok vektora číslom, smerové vektory (priamky a roviny), parametrické rovnice priamky a roviny,
skalárny súčin vektorov, dĺžka vektora, kolmosť a uhol dvoch vektorov, normálový vektor roviny,
všeobecná rovnica roviny.
Vlastnosti a vzťahy:
body A, B a C ležia na jednej priamke, ak jeden z vektorov B – A, C – A je násobkom druhého,
body A, B, C a D ležia v jednej rovine, ak jeden z vektorov B – A, C – A, D – A je lineárnou kombináciou (súčtom násobkov) ostatných,
vyjadrenie vzdialenosti dvoch bodov pomocou ich súradníc,
súradnice a geometrická interpretácia súčtu a rozdielu dvoch vektorov a násobku vektora reálnym číslom,
vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou dĺžok vektorov a kosínusu ich uhla (resp. vyjadrenie kosínusu uhla dvoch vektorov pomocou ich skalárneho súčinu a ich dĺžok), vyjadrenie skalárneho súčinu vektorov pomocou ich súradníc,
vzťah medzi kolmosťou vektorov a ich skalárnym súčinom,
vzťah medzi koeficientmi všeobecnej rovnice roviny a normálovým vektorom roviny.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
zostrojiť (v danej súradnicovej sústave) obrazy bodov, ak pozná ich súradnice, a určiť súradnice daných bodov (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy a 4.4 Lineárne útvary v priestore – metrické úlohy),
zostrojiť lineárnu kombináciu (súčet násobkov) daných vektorov a vie nájsť jej súradnice,
určiť súradnice stredu úsečky a súradnice bodu, ktorý delí danú úsečku v danom pomere,
určiť analytické vyjadrenie (pozri tiež 4.3 Lineárne útvary v priestore – polohové úlohy)
priamky určenej dvoma bodmi, bodom a smerovým vektorom,
roviny určenej troma bodmi, priamkou a bodom, dvoma priamkami, bodom a normálovým
vektorom,
rozložiť vektor na súčet násobkov daných vektorov,
z parametrických rovníc roviny určiť jej všeobecnú rovnicu a naopak,
vhodnou voľbou súradnicovej sústavy algebraizovať geometrický problém, špeciálne vo vhodne
zvolenej súradnicovej sústave opísať vrcholy daného kvádra,
geometricky interpretovať výsledok získaný algebraickými prostriedkami.
-
-
Príklady :
1. Vektory
Ktorý z vektorov a, b, c, d, e na obrázku musíme pripočítať
k vektorom v1 a v2, aby súčtom všetkých troch vektorov bol
nulový vektor?
a) vektor a
e) vektor e
b) vektor b
c) vektor c
2. Najkratšia strana
V rovine sú dané tri body A
uholníka ABC?
a) 8
d) vektor d
3; 5 , B 3; 3 , C 8; 5 . Pribliţne akú dĺţku má najkratšia strana troj-
b) 9,4
c) 10
d) 11
e) 13,6
3. Uhlopriečka štvorca
Štvorec KLMN má stred v bode S 0;0 . Vrchol K má súradnice 2; 2 . Akú dĺţku má uhlopriečka
štvorca KLMN?
a) 16
c) 4 2
b) 8
e) 2 2
d) 4
4. Krajný bod úsečky
Krajný bod A úsečky AB má súradnice 30;90 , stred úsečky AB má súradnice
súradnice druhého krajného bodu B sú
a)
80;20 .
b) 10;50 .
c)
130 ;50 .
d)
10;80 .
50;70 . Potom
e) 110 ;110 .
5. Prvý kvadrant
Nech M je mnoţina všetkých takých bodov X x; y prvého kvadrantu, ktorých vzdialenosť od bodu
0;0 sa rovná dvojnásobku ich x-ovej súradnice. Potom M je
a) polpriamka y =
3 x; x
x
3 ; x 0.
3
d) parabolický oblúk x = 3y2; y
0.
c) polpriamka y = 0; x 0.
e) parabolický oblúk y = 3x2; x
b) polpriamka y =
0.
0.
127
6. Vektor CA
Označme Y stred strany BC rovnobeţníka ABCD. Potom vektor CA moţno vyjadriť v tvare
a) CA = 2.CY + AB b) CA = AB + 2.YC c) CA =AB – 2.YC
d) CA = 2.YC – AB e) CA = 2.CY - AB
7. Obsah štvorca
Aký obsah má štvorec ABCD, ktorého vrcholy A a C majú súradnice A
a) 29
b) 20
c) 13
4;7 a C
d) 10
2;3 ?
e) 8
8. Dané sú vektory c = [3;4;-5] a d = [-6;y;10]. Určte y
také, aby vektory c, d boli navzájom kolmé.
a) y = -8
b) y = -2
c) y = 8
d) y = 17
9.Rozhodnite, či body A = [4;5;1],B = [2;3;4],C = [6;0;-2]
ležia na jednej priamke
a) ležia
b) neležia
10.Určte rovnicu roviny, ktorá prechádza bodom A = [6;0;4]
a je kolmá na priamku BC, kde B = [2;5;3], C = [3;1;4].
a) x - 4y +z +10 = 0
b) 5x - 4y +z + 34 = 0
c) x - 4y + z - 10 = 0
d) 5x - 4y +z - 34 = 0
11.Dané sú body A,B a priamka p, A = [3;-1],B = [4;9], p...
...3x - 4y +19 = 0. Zistite polohu bodov A,B vzhľadom
na priamku p.
a) A p, B p
b) A polr pB
c) A polr pB
d) A p, B p
12.Z nasledujúcich
nie je 13:
a) [0;0;13]
vektorov vyberte
b) [3;4;12]
ten, ktorého
veľkosť
c) [13;13;13]
13.Analytické vyjadrenie polroviny, ktorej hraničná priamka
prechádza bodmi A = [1;0], B = [0;1] a ktorá obsahuje
počiatok súradnicovej sústavy, je:
a) x + y - 1
0
b) x + y - 1
0
c) x - y - 1
0
14.V rovnici priamky 3x + 4ay - 2 = 0 určte koeficient a
taký, aby táto priamka prechádzala priesečníkom priamok
x -y +1 = 0, 2x + y + 5 = 0.
a) a = 2
b) a = 0
c) a = -2
d) a = 1
15.Dané sú body A = [3;2;7],B = [4;1;6], C = [4;1;7]. Určte
odchýlku
vektorov B - A a C - A.
a) cos
=
b) cos
=
c) cos
=
128
d) cos
=
16.Dané sú body A = [ 3; 2;-5 ], B = [ 3+ 2;0;-3 ],
K = [3+ 2;0;-5], L = [3+ 2;0;-4]. Určte odchýlku priamok
AB, KL.
a)
= 60
b)
= 120
c)
= 45
d)
= 135
17.Určte vzdialenosť m rovnobežných rovín daných rovnicami
11x - 2y - 10z + 15 = 0, 11x - 2y - 10z + 14 = 0.
a) m = 1 b) roviny nie sú rovnobežné
c) m = 1/2 d) m = 1/15
4.3 Lineárne útvary v priestore - polohové úlohy
Obsah
Pojmy: bod, priamka a rovina v priestore, rovnobeţné, rôznobeţné a mimobeţné priamky, rovnobeţnosť a rôznobeţnosť priamky a roviny, rovnobeţné a rôznobeţné roviny, priesečnica dvoch rovín, rez
telesa rovinou, súmernosť podľa bodu.
Vlastnosti a vzťahy:
rovnobeţné (rôznobeţné) priamky leţia v jednej rovine, mimobeţné priamky neleţia v jednej rovine,
rovnobežné priamky majú rovnaké smerové vektory,
rovnobežné roviny majú rovnaké normálové vektory,
smerový vektor priamky rovnobežnej s rovinou je aj smerovým vektorom roviny,
priesečnice roviny s dvoma rovnobeţnými rovinami sú rovnobeţné,
priamky (roviny) súmerné podľa bodu sú rovnobežné.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
opísať moţnosti pre vzájomné polohy ľubovolných dvoch lineárnych útvarov,
rozhodnúť o vzájomnej polohe dvoch lineárnych útvarov daných súradnicami bodov, rovnicami
priamok a rovín, alebo pomocou ich obrazu vo volnom rovnobeţnom premietaní,
určiť súradnice spoločného bodu alebo rovnicu spoločnej priamky použitím analytickej metódy
alebo voľného rovnobežného premietania,
súradnicami určiť bod, ktorý je súmerný k danému bodu podľa daného bodu,
parametrickými rovnicami opísať priamku, ktorá je súmerná k danej priamke podľa daného
bodu,
rovnicou opísať rovinu
- prechádzajúcu daným bodom rovnobežne s danou rovinou,
129
- súmernú s danou rovinou podľa daného bodu,
zostrojiť vo voľnom rovnobeţnom priemete jednoduchého telesa (kocky, resp. hranola) priesečník
priamky (určenej 2 bodmi leţiacimi v rovinách stien kocky, resp. hranola) s rovinou steny daného
telesa,
zostrojiť rovinný rez kocky, kvádra, pravidelného hranola a pravidelných ihlanov rovinou určenou tromi bodmi leţiacimi v rovinách stien, z ktorých aspoň dva leţia v tej istej stene daného telesa.
Príklady:
1. Najvzdialenejší bod
Bod K je stredom hrany CD kocky ABCDEFGH, bod L je stredom
jej hrany BF. Ktorý z uvedených bodov má od roviny EKG najväčšiu
vzdialenosť? (Návod: predstavte si kocku pri pohľade zo smeru
kolmého na rovinu BFHD.)
a) A
b) H
c) L
d) D
e) F
2. Rovnica kružnice
Daná je kruţnica k: x2 + y2 + 4x = 0. Akú rovnicu má kruţnica so stredom v bode S 1; 3 a s rovnakým polomerom ako kruţnica k?
a) (x – 1)2 + (y – 3)2 = 4
d) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 2
b) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 4
e) (x + 1)2 + (y – 3)2 = 4
c) (x – 1)2 + (y + 3)2 = 2
3. Štvorboký ihlan
Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV. Koľko hrán tohto ihlana lena priamkach mimobeţných s priamkou AD?
a) Ani jedna.
d) Tri.
b) Jedna.
e) Štyri.
ţí
c) Dve.
4. Mnohosten
Aký mnohosten vznikne odrezaním štvorstenov EBGF a ACHD z kocky
ABCDEFGH?
a) štvorsten
d) desaťsten
b) šesťsten
e) dvanásťsten
c) osemsten
5.
Dané sú body
A [2;7;4]
B [5;7;4]
C [5;3;4]
Pre vektory B-A, B-C platí, ţe ich skalárny súčin je rovný:
A. 7
B. 0
C. 12
D. -4
130
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
6.
Dané sú body
A [2;7;4]
B [5;7;4]
C [5;3;4]
V [3,5;5;4]
. Pre vektory C-A, V-B platí, ţe:
A. sú lineárne závislé
B. sú na seba kolmé
C. sú rovnobeţné
D. majú uhol π/4
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
7.
Dané sú body
A [2;7;4]
B [6;3;4]
C [4;5;4]
D [4;5;4]
Vektory B-A, D-C majú uhol:
A. 0 rad
B. Π rad
C. π/2 rad
D. π/3 rad
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
8.
Dané sú body
A [2;7;4]
B [6;7;4]
C [6;3;4]
D [4;5;4]
Priamky AB, DC sú navzájom
A. rovnobeţné
B. totoţné
C. rôznobeţné
D. mimobeţné
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
9.
Dané sú body
A[2;7;4], B[6;7;4],C[6;3;4],D[2;3;4]
Priamky AB, GH sú navzájom
A. rovnobeţné
B. totoţné
C. rôznobeţné
D. mimobeţné
131
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
10.
Rovnica roviny, ktorá je rovnobeţná s rovinou x + y + z - 6 = 0 a prechádza bodom A[2;3;4] sústavy
vzdialenosť√3, je:
A. 2x + 2y + 2z - 18 = 0
B. 2x + 3y + 4z - √3 = 0
C. 3x + 3y + 3z - 3 = 0
D. 5x + 5y + 5z + 5 = 0
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
11.
Pre odchýlku rovín x - 2y + 2z - 1 = 0, 2x + 2y + 1z + 13 = 0 platí, cos α =:
A. ´
B. 0
C. -2/7
D. -1/2
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
12.
Rovnica roviny, ktorá prechádza priesečnicou rovín x - y + 1 = 0, 2x + y + z = 0 a je kolmá na rovinu
2x + y + z + 3 = 0, je
A. 4x + 7y - z + 6 = 0
B. 4x + y - 7z + 6 = 0
C. 4x + 7y + z + 6 = 0
D. 4x + y + 7z + 6 = 0
E. Ţiadna z predchádzajúcich odpovedí nie je správna
13.
Vzájomná poloha priamky AB, A[3;-5;3],B[0;2;1] a priamky p: x = t, y = 1 - 2t, z = 3, tεR je:
A. mimobeţné
B. totoţné
C. rôznobeţné a kolmé
D. rôznobeţné, ale nie kolmé
E. rovnobeţné, rôzne
14.
Rovina α: 2x + y + z + 4 = 0 a priamka p: x =3 + t, y = 2 + 2t, z = 2 - t, tεR majú uhol:
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 0°
E. 90°
4.4 Lineárne útvary v priestore - metrické úlohy
Obsah
Pojmy: uhol dvoch priamok, kolmosť priamok a rovín, priamka kolmá k rovine, uhol dvoch rovín,
kolmý priemet bodu a priamky do roviny, vzdialenosť dvoch lineárnych útvarov (dvoch bodov, bodu od
roviny, bodu od priamky, vzdialenosť rovnobeţných a mimobežných priamok, priamky a roviny s ňou
132
rovnobeţnej, vzdialenosť rovnobeţných rovín), uhol priamky s rovinou, súmernosť bodov podľa
priamky a roviny.
Vlastnosti a vzťahy:
vyjadrenie uhla dvoch priamok pomocou ich smerových vektorov,
vzťah medzi uhlom dvoch rovín a uhlom ich normálových vektorov,
vzorec alebo postup výpočtu vzdialenosti bodu od roviny,
určenie uhla (špeciálne kolmosti) priamky a roviny pomocou smerového vektora priamky
a normálového vektora roviny,
ak je priamka kolmá na dve rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na rovinu.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
na zobrazených telesách označiť
- úsečky, ktorých skutočná veľkosť predstavuje vzdialenosť daných lineárnych útvarov,
- uhly, ktorých skutočná veľkosť predstavuje uhol daných lineárnych útvarov,
vypočítať, alebo v jednoduchých prípadoch graficky určiť (t.j. narysovať v skutočnej veľkosti)
- uhol (špeciálne pravý),
- vzdialenosť
lineárnych útvarov daných svojimi rovnicami alebo obrazom vo voľnom rovnobežnom premietaní,
súradnicami určiť bod,
- ktorý je kolmým priemetom daného bodu do danej roviny,
- súmerný k danému bodu podľa danej roviny.
Príklady:
1. Priamka kolmá na rovinu
Kocka ABCDEFGH na obrázku má dĺţku hrany 1. Jej telesová uhlopriečka DF je kolmá na rovinu
a) x – y + z = 0
d) x + y + z – 2 = 0
b) x + y – z + 2 = 0
e) – x – y + z = 0
c) x – y – z = 0
2. Najmenšia vzdialenosť
V rovine je daný bod M 4;8 a kruţnica k: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9. Aká najmenšia môţe byť vzdialenosť medzi bodom M a bodom kruţnice k?
a) 1
b) 2
c) 4
d) 7
e) 10
3. Bod
Ktorý z uvedených bodov leţí na priamke p: x – 2y + 6 = 0 a súčastne je rovnako vzdialený od obidvoch súradnicových osí?
a) A 3;3
b) B
2;2
c) C 2;4
d) D
4. Priamka q
Priamka q kolmá na priamku p: x + 2y + 4 = 0 a prechádzajúca bodom
8; 8
e) E 4;5
2;3 má rovnicu
133
a) 2x – y + 1 = 0.
b) 2x – y + 7 = 0.
c) x – 2y + 8 = 0.
d) x – 2y + 1 = 0.
e) 2x + y + 1 = 0.
5.
Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore
A[5;7;3]
B[1;5;3]
C[6;2;8]
Parametrická rovnica roviny ABC je:…………………………………….
a)
α: x = 5 -4t + 1s
x = 7 + -2t + -5s
x = 3 + 0t + 5s
b)
α: x = 5 + 4t + 1s
x = 7 + -2t + -5s
x = 3 + 0t + 5s
c)
α: x = 5 + 4t - 1s
x = 7 + -2t + -5s
x = 3 + 0t + 5s
d)
α: x = 5 + -4t + 1s
x = 7 -2t -5s
x = 3 + 0t - 5s
e)
α: x = 5 + -4t + 1s
x = 7 + 2t + -5s
x = 3 + 0t + 5s
t,sεR
t,sεR
t,sεR
t,sεR
t,sεR
6.
Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore
A[3;7;3]
B[1;4;3]
C[6;2;5]
Všeobecná rovnica roviny ABC je:…………………………………….
134
A) -6x + 4y + 19z -67 = 0
b) -6x + 4y + 19z -67 = 0
c) 6x + 4y + 19z -67 = 0
d) -6x - 4y + 19z -67 = 0
e) -6x + 4y + 19z + 67 = 0
7.
Dané sú tri body v dvojrozmernom priestore
A[2;3]
B[5;7]
C[9;3]
Výška na stranu b trojuholníka ABC má dĺţku: …………………….
f)
4
b) 6
c) 8
d) 5
e) 4
8.
Dané sú 2 body v trojrozmernom priestore
A[-1;3;5]
B[3;-5;1]
C[4;-8;-4]
Parametrická rovnica priamky AB je :
a)
p: x = -1 + 4t
y = 3 + -8t
z = 5 + -4t
,tεR
b)
p: x = -1 + 4t
y = 3 + 8t
z = 5 + 4t
,tεR
c)
p: x = -1 + 4t
y = 3 + -8t
z = 5 -4t
,tεR
d)
p: x = -1 + 4t
y = 3 + 8t
z = 5 + -4t
,tεR
e)
p: x = -1 + 4t
135
y = 3 + -8t
z = -5 + -4t
,tεR
9.
Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore
A[-3;7;3]
B[1;2;3]
C[-5;2;5]
Parametrická rovnica roviny ABC je:
a)
α: x = -3 + 4t + -2s
x = 7 + -5t + -5s
x = 3 + 0t + 2s
b)
α: x = -3 + 4t + -2s
x = 7 + -5t + -5s
x = 3 + 0t + 2s
c)
α: x = -3 + 4t + -2s
x = 7 + -5t + -5s
x = 3 + 0t + 2s
d)
α: x = -3 + 4t + -2s
x = 7 + -5t + -5s
x = 3 + 0t + 2s
e)
α: x = -3 + 4t + -2s
x = 7 + -5t + -5s
x = 3 + 0t + 2s
t,sεR
t,sεR
t,sεR
t,sεR
t,sεR
10.
Dané sú 3 body v trojrozmernom priestore
A[-3;7;3]
B[1;2;3]
C[-5;2;5]
Všeobecná rovnica roviny ABC je
a) -5x -4y -15z + 58 = 0
136
b)
c)
d)
e)
-5x -4y -15z + 58 = 0
-5x + 4y + -15z + 58 = 0
5x -4y + -15z + 58 = 0
-5x -4y + -15z - 58 = 0
11.
Dané sú roviny
φ: 2x + 3y + 2z + 5 = 0
ε: 4x + -6y + 5z + 2 = 0
Veľkosť uhla rovín v radiánoch je:
a) 1,57079633 (90°)
b) 0,78537981 (45°)
c) 3,141592
(180°)
d) 0
(0°)
e) nemá zmysel
12.
Dané sú roviny
φ: x + y + 5 = 0
ε: 4x + 2 = 0
Veľkosť uhla rovín v stupňoch je:
a)
b)
c)
d)
e)
45°
90°
135°
0°
27,5°
13.
Dané sú roviny
φ: x + y + z + 5 = 0
ε: 4x + 2y + z + 2 = 0
Veľkosť uhla rovín v stupňoch je:
a) 28,12551°
b) 45°
c) 90°
d) 22,5°
e) 7°
14.
Daná je priamka p a rovina φ
p:
x=
2+3t
137
y=
z=
2+2t
2+2t
tεR
φ: 2x + 2y + 2z + 5 = 0
Uhol priamky a roviny v stupňoch je:
a) 78,57825°
b) 45°
c) 0°
d) 90°
e) 32,233°
15.
Daná je priamka p a rovina φ
p:
x=
y=
z=
1+-3t
2+1t
3+2t
tεR
φ: 2x + 2y + 2z + 5 = 0
Uhol priamky a roviny v stupňoch je:
a) 0°
b) 45°
c) 32,4°
d) 90°
e) 13°
16.
Daná je priamka p a rovina φ
p:
x=
-3+2t
y=
1+4t
z=
2+6t
φ: 3x + 2y + 4z + 5 = 0
tεR
Uhol priamky a roviny v stupňoch je:
a) 70,55374°
b) 37,34581°
c) 0°
d) 42°
e) 7,35795°
17.
Dané sú priamky p,q v E3
138
p:
q:
x=
y=
z=
2+3t
2+2t
2+2t
tεR
x=
y=
z=
1+3l
2+5l
3+4l
lεR
Uhol priamok p,q v stupňoch je:
a) 22,16635°
b) 22,5°
c) 45°
d) 65,23458°
e) 90°
4.5 Telesá
Obsah
Pojmy: teleso, mnohosten, vrchol, hrana, stena, kocka, sieť kocky, hranol, kolmý a pravidelný hranol,
kváder, rovnobeţnosten, ihlan, zrezaný ihlan, štvorsten, pravidelný štvorsten, podstava, výšky
v štvorstene, pravidelné mnohosteny, guľa a jej časti, valec, kuţeľ, objemy a povrchy telies a ich častí.
Vlastnosti a vzťahy:
vzorce pre výpočty objemov a povrchov telies a ich častí.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
rozhodnúť, či daná sieť je sieťou telesa daného obrazom vo voľnom rovnobeţnom premietaní,
načrtnúť sieť telesa daného obrazom vo voľnom rovnobeţnom premietaní,
riešiť úlohy, ktorých súčasťou je výpočet objemu, resp. povrchu kocky, kvádra, pravidelného kolmého hranola, rovnobežnostena, pravidelného ihlana, (aj zrezaného), gule a jej častí, valca, kuţeľa a
telies zložených z týchto telies a vie pri tom nájsť a aktívne pouţiť vzorce pre výpočet objemov a
povrchov telies potrebné pre vyriešenie úlohy.
Príklady:
1. Hranol
Pravidelný 10-boký hranol má
a) 10 vrcholov a 10 hrán
d) 20 vrcholov a 20 hrán
b) 10 vrcholov a 30 hrán
e) 20 vrcholov a 30 hrán
c) 20 vrcholov a 10 hrán
2. Strecha
Strecha rodinného domu zobrazená na obrázku má tvar pravidelného štvorbokého ihlana s výškou 3m. Koľko m2
139
nej krytiny je potrebných na pokrytie strechy?
a) 80 m2
b) 96 m2
c) 112 m2
d) 144 m2
e) 192 m2
3. Odrezané štvorsteny
Štvorsten ACHF vznikol z kocky ABCDEFGH
s hranou dlhou 6 cm „odrezaním“ štyroch štvorstenov,
zhodných so štvorstenom EAFH. Aký je objem štvorstena ACHF?
a) 72 cm3
d) 144 cm3
b) 108 cm3
e) 162 cm3
c) 135 cm3
4. Teleso ABCK
Daná je kocka ABCDEFGH s hranou dĺţky 1. Bod K je vnútorným bodom
hrany EF. Aký objem má teleso ABCK?
1
1
1
1
b)
c)
d)
6
4
3
2
e) Objem telesa ABCK sa z uvedených údajov nedá určiť.
a)
5. Moderná socha
Na obrázku je moderná socha, ktorá vznikla vyrezaním kvádra z kusu kameňa, ktorý mal tvar kocky. Objem kamennej kocky bol 512 dm3. Aký povrch má socha?
a) 320 dm2
b) 336 dm2
c) 384 dm2
d) 468 dm2
e) Bez ďalších údajov nemoţno povrch sochy určiť.
6. Ťažidlo
Duté sklenené ťaţidlo na spisy má tvar pravidelného ihlana so štvorcovou podstavou. Podstava ťaţidla má rozmery 6 cm x 6 cm, výška ťaţidla je 6 cm. Hrúbku skla zanedbávame. Keď ťaţidlo stojí
na svojej štvorcovej podstave, je presne do polovice svojej výšky naplnené farebnou tekutinou.
Koľko cm3 tekutiny obsahuje?
a) 189 cm3
b) 63 cm3
c) 60 cm3
d) 54 cm3
e) 36 cm3
7. Kolaloka
Nápoj Kolaloka plnia v závode do plechoviek v tvare valca s priemerom podstavy 8 cm a výškou 9
cm. Z prieskumu trhu vyplynulo, ţe lepšie by sa predávali plechovky s polovičným objemom
a priemerom podstavy 6 cm. Akú výšku majú mať nové plechovky?
a) 6,75 cm
b) 7 cm
c) 8 cm
d) 10,25 cm
e) 12 cm
8. Telesová uhlopriečka
Ktorý z uvedených vzťahov správne vyjadruje závislosť povrchu kocky S od dĺţky u telesovej uhlopriečky?
140
a) S = 6.u2
b) S =
2 .u 2
2
c) S = 3.u2
d) S =
3 .u2
e) S = 2.u2
9. Objem
Ak guľa s polomerom r má objem 8 m3, potom guľa s polomerom 2r má objem
a) 16 m3.
b) 24 m3.
c) 64 m3.
d) 96 m3.
e) 128 m3.
10. Hranol
Koľko vrcholov a koľko stien má hranol s 33 hranami?
a) 11 vrcholov a 13 stien
d) 22 vrcholov a 22 stien
b) 11 vrcholov a 33 stien
e) 22 vrcholov a 13 stien
c) 13 vrcholov a 22 stien
Ihlan
11. Urči povrch pravidelného štvorbokého ihlana, keď je daný jeho objem V = 120 a uhol bočnej
steny s rovinou podstavy je α = 42°30´.
a) 200,7
b)
c)
d)
e)
12. Urči objem pravidelného osembokého ihlana, ktorého výška v = 100 a uhol bočnej hrany s rovinou podstavy je α = 60°. (314300)
a)
b)
c)
d)
e)
13. Podstava kolmého ihlana je obdĺţnik s obsahom P = 180; súčet obsahov bočných stien je 384 a
objem ihlana V = 720. Urči rozmery telesa. (18; 10)
a)
b)
c)
d)
e)
a)
14. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má dĺţky hrán: AB=10, AV=13. Urči povrch.
b)
c)
d)
e)
15. Pravidelný štvorboký ihlan ABCDV má obsah podstavy rovný 16 a objem rovný 16/3. Aká je
dĺţka hrany AV?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
16. Pravidelný trojbojý ihlan ABCV má dĺţky hrán: AB=6, AV=5. Jeho povrch je…
b)
c)
d)
e)
17. Ihlan ABCDV má dĺţky strán: AB=4, AV=7. Aká je jeho výška?
a)
b)
c)
d)
e)
Zrezaný ihlan
18. Jama má tvar pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana. Hrany podstáv majú dĺţky a1=14m,
a2=10m. bočné steny majú sklon 45°. Koľko m3 zeminy sa vykopalo? (2; 290,7)
141
a)
b)
c)
d)
e)
19. Pravidelný šesťboký zrezaný ihlan má podstavné hrany a1=65, a2=25 a bočnú hranu b=85. Vypočítaj objem telesa. a) 420560
b)
c)
d)
e)
20. Zrezaný pravidelný štvorboký ihlan má objem V = 1281cm3, výšku v = 7cm a obsah dolnej základne je o 81 cm2 väčší ako obsah hornej základne. Urči obsah hornej základne.
a) 144
b)
c)
d)
e)
Kuţeľ
21. Urči objem telesa, ktoré vznikne rotáciou trojuholníka okolo strany a, keď je dané: b = 25, α =
78°, γ = 48°.
(2 5;15;5;12)
a)
b)
c)
d)
e)
22. Rotačný kuţeľ má výšku v = 6; jeho plášť má číselne toľko m2 , koľko m3 jeho objem. Urči
uhol φ pri vrchole v osovom reze kuţeľa. ()
a) 60°
b)
c)
d)
e)
23. Urči objem šikmého kuţeľa, ktorého podstava má polomer r = 10, najdlhšia strana zviera s rovinou podstavy uhol α = 42°10´, najkratšia strana uhol β = 115°20´. (1327; 3321)
a)
b)
c)
d)
e)
24. Kuţeľ má objem 34. Ak polomer podstavy zmenšíme na jeho polovicu a výšku zväčšíme na jej
dvojnásobok, objem nového kuţeľa bude…
a)
b)
c)
d)
e)
Zrezaný kuţeľ
25. Povrch zrezaného rotačného kuţeľa so stranou s = 13 cm je S = 510π cm2. Urči polomery podstáv, keď ich rozdiel dĺţok je 10cm. ()
a) 15; 5
b)
c)
d)
e)
a)
26. Rotačný kuţeľ rozdeľ rovinou rovnobeţnou s podstavou na dve časti s rovnakým povrchom.
b)
c)
d)
e)
27. Zrezaný rotačný kuţeľ má podstavy s polomermi r1 = 8 cm, r2 = 4 cm a výšku v = 5 cm.Aký je
objem kuţeľa, z ktorého zrezaný kuţeľ vznikol?
a) 670,22
b)
c)
d)
e)
142
5. KOMBINATORIKA, PRAVDEPODOBNOSŤ A ŠTATISTIKA
5.1 Kombinatorika a pravdepodobnosť
Obsah
Pojmy: (kombinatorické) pravidlo súčtu, (kombinatorické) pravidlo súčinu, permutácie, variácie a variácie s opakovaním, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, binomická veta,
pravdepodobnosť, doplnková pravdepodobnosť, „geometrická“ pravdepodobnosť, náhodný jav, nezávislé javy.
Vlastnosti a vzťahy:
n! = 1.2.3. … . n, 0! = 1,
n
n
n!
n!
, Ck (n)
, V k ( n)
, Pn n! ,
(n k )!
k
k
k! (n k )!
n
n
n
n
n 1
,
,
k
n k
k
k 1
k 1
binomická veta,
pre pravdepodobnosť P udalosti A platí 0 P( A) 1 ,
P( A) P( A ) 1 , kde A je doplnková udalosť k udalosti A,
pravdepodobnosť istej udalosti je 1,
P( A B) P( A) P( B) , ak A, B sú nezávislé javy.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
riešiť jednoduché kombinatorické úlohy
- vypisovaním všetkých moţností, pričom
- vie vytvoriť systém (strom logických moţností) na vypisovanie všetkých moţností (ak sa
v tomto strome vyskytujú niektoré moţnosti viackrát, vie určiť násobnosť ich výskytu),
- dokáţe objaviť podstatu daného systému a pokračovať vo vypisovaní všetkých moţností,
- na základe vytvoreného systému vypisovania všetkých moţností určiť (pri väčšom počte
moţnosti algebraickým spracovaním) počet všetkých moţností,
- pouţítím kombinatorického pravidla súčtu a súčinu,
- vyuţitím vzorcov pre počet kombinácií, variácií, variácií s opakovaním a permutácií,
- použitím rekurentného prístupu,
pouţiť pri úprave výrazov rovnosti uvedené v časti Vlastnosti a vzťahy (pozri 1.4 Čísla, premenné,
výrazy),
pre konkrétne n a k nájsť koeficient pri mocnine a k b n k v mnohočlene (a b ) n ,
rozhodnúť
- o závislosti javov A, B, ak pozná P( A), P( B) a P( A B) ,
- v jednoduchých prípadoch o správnosti pouţitia rovnosti P( A B) P( A) P( B) ,
riešiť úlohy na pravdepodobnosť, zaloţené na
-
-
hľadaní pomeru všetkých priaznivých a všetkých moţností, resp. všetkých nepriaznivých a
všetkých priaznivých moţností, ak vie tieto počty určiť riešením jednoduchých kombinatorických úloh,
doplnkovej pravdepodobnosti,
využití „geometrickej“ pravdepodobnosti
Príklady:
Kombinatorika
1. Koľko 5-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 0, 1, 3, 4, 7?
a) 96
b) 95
c) 97
d) 128
e) 1
d) 120
e) 256
2. Koľko párnych 5-miestnych čísel bez opakovania?
a) 32
b) 33
c) 34
3. Koľko 6-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla majú
začínať číslicou 4
a) 120
b) 240
c) 4
d) 24
e) 40
4. Koľko 6-miestnych čísel bez opakovania moţno zostaviť z číslic: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ak sa čísla majú
začínať číslicou 4 alebo 5?
a) 240
b) 120
c) 4
d) 24
e) 40
5. Koľko jedno- aţ 4-miestnych čísel moţno zostaviť z číslic: 0, 2, 4, 6?
a) 49
b) 50
c) 58
d) 12
e) 24
d) 800
e) 100
6. Koľko je všetkých trojciferných prirodzených čísel?
a) 900
b) 500
c) 1200
7. Koľko prvkov máme daných, keď variácií tretej triedy utvorených z prvkov je 5-krát viac neţ variácií druhej triedy?
a) 7
b) 49
c) 9
d) 34
e) 5
d) 256
e) 150
8. Koľko prvkov dá 32 220 variácií druhej triedy?
a) 180
b) 92
c) 128
9. Keď sa zväčší počet prvkov o 1, zväčší sa počet kombinácií tretej triedy o 21. Koľko je daných prvkov?
a) 7
b) 6
c) 8
d) 5
e) 9
144
10. Koľko prvkov treba vziať, aby počet variácií 3.triedy utvorených z týchto prvkov bez opakovania sa
rovnal počtu kombinácií 3.triedy zväčšenému o 5-násobok počtu prvkov?
a) 4
b) 5
c) 3
d) 6
e) 2
11. Koľko prvkov dá o 441 kombinácií 3.triedy s opakovaním viac neţ bez opakovania?
a) 21
b) 22
c) 19
d) 20
e) 16
12. Koľko rôznych signálov moţno utvoriť z piatich zástaviek rôznych farieb, ak vedľa seba stoja tri
zástavky(trikolóry)
a) 60
b) 54
c) 38
d) 48
e) 18
13. Koľko rôznych signálov moţno utvoriť z piatich zástaviek rôznych farieb, ak vedľa seba stoja 2
zástavky(bikolóry) ?
a) 20
b) 30
c) 18
d) 26
e) 12
13. Koľkými spôsobmi moţno odmeniť 1., 2. a 3. cenou 13 účastníkov športovej súťaţe?
a) 1716
b) 1534
c) 3
d)13
e) 9
14. Koľkými priamkami moţno spojiť 10 bodov, keď tri z nich leţia na jednej priamke?
a) 43
b) 10
c) 100
d) 21
e) 7
15. V koľkých bodoch sa pretína 9 priamok, z ktorých sú 4 navzájom rovnobeţné?
a) 30
b) 32
c) 34
d) 36
e) 38
16. V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3
zástupcov, ak to majú byť samí chlapci
a) 4896
b) 2448
c) 120
d) 18
e) 32
17. V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3
zástupcov, ak to majú byť samé dievčatá
a) 2184
b) 1092
c) 18
d) 120
e) 32
145
18. V triede je 18 chlapcov a 14 dievčat. Koľkorakým spôsobom moţno zvoliť do triedneho výboru 3
zástupcov, ak to majú byť 2 chlapci a jedno dievča?
19. a) 4284
b) 2142
c) 18
d) 120
e) 32
20. Učiteľ má 20 geometrických a 30 aritmetických príkladov. Na úlohu má vybrať 1 geometrický a 2
aritmetické. Koľko má moţností zostaviť rôzne úlohy?
a) 17400
b)8700
c) 3
d) 50
e) 15
21. Na maturitnom večierku je 24chlapcov a 15 dievčat. Koľko rôznych párov môţu vytvoriť?
a) 360
b) 24
c) 15
d) 180
e) 39
22. Koľkými spôsobmi môţeme usadiť za stôl 5 hostí?
a) 120
b) 25
c) 20
d) 240
e) 256
23. V lavici sedí 5 ţiakov, z ktorých dvaja sú kamaráti. Koľkými spôsobmi ich môţeme posadiť,
aby kamaráti sedeli vedľa seba?
a) 48
b) 24
c) 5
d) 7
e) 12
24. V obchode majú 9 druhov pohľadníc. Koľkými spôsobmi moţno kúpiť 14?
a) 319770
b) 14
c) 2500
d) 924
e) 23
25. Na poličke treba zostaviť vedľa seba 3 zelené, 2 červené a 2 ţlté hrnčeky, koľko rôznych spôsobov rozostavenia môţe vzniknúť?
a) 210
b) 320
c) 420
d) 7
e) 24
26. Na poličke treba zostaviť vedľa seba 3 zelené, 2 červené a 2 ţlté hrnčeky, koľko rôznych spôsobov rozostavenia môţe vzniknúť, ak hrnčeky rovnakej farby stoja vedľa seba?
a) 6
b) 5
c)7
d) 256
e) 128
27. Chcete zasadiť 6 okrasných stromčekov vedľa seba. Máte k dispozícií stromčeky A, B, C, D, E,
F rôzneho druhu. Tri stromčeky musia byť zasadené za pravom okraji poradí A, B, C. urči koľkorakým spôsobom to moţno urobiť, keď
a) 6
b) 5
c) 8
všetky zasadené stromčeky sú rôzne
d) 256
e) 128
146
28. Zamestnávate 10 pracovníkov. Vytvárate štvorčlenné pracovné skupiny. Štyria pracovníci chcú
pracovať v tej istej skupine. Zistite, koľkými spôsobmi môţete skupiny vytvoriť, ak poţiadavku
4 pracovníkov nerešpektujete.
a) 210
b) 105
c) 240
d) 128
e) 256
29. Zamestnávate 10 pracovníkov. Vytvárate štvorčlenné pracovné skupiny. Štyria pracovníci chcú
pracovať v tej istej skupine. Zistite, koľkými spôsobmi môţete skupiny vytvoriť, ak poţiadavku
4 pracovníkov rešpektujete.
a) 16
b) 14
c) 12
d) 24
e) 128
30. Chcete zasadiť 6 okrasných stromov. Máte k dispozícií 8 rôznych typov stromov. Dva stromy
A,B musia byť zasadené na ľavom okraji. Koľkorakými spôsobmi to môţete urobiť, ak všetky
zasadené stromčeky musia byť rôzne?
a) 120
b) 240
c)16
d) 32
e) 48
31. V aleji chcete zasadiť 4 okrasné stromy rôzneho typu z piatich druhov A, B, C, D, E. Zistite,
koľkorakým spôsobom to môţete urobiť.
a) 120
b) 240
c) 16
d)
32
e) 48
32. V aleji chcete zasadiť 4 okrasné stromy rôzneho typu z piatich druhov A, B, C, D, E. Zistite,
koľkorakým spôsobom to môţete urobiť, ak strom A je na ľavom okraji
a) 24
b) 12
c) 120
d) 240
e) 48
33. Koľko 4-ciferných čísel s rôznymi ciframi moţno zostaviť z cifier 0,1,2,3,4,5,6?
a) 720
b) 360
c) 120
d) 240
e) 48
34. Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo chlapcov, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat?
a) 21
b) 42
c) 36
d)15
e) 30
35. Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo dievčat, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat?
a) 56
b) 42
c) 36
d) 15
e) 30
36. Koľkými spôsobmi môţete zostaviť 5-členné basketbalové druţstvo5-členné druţstvo s dvomi
chlapcami a tromi dievčatami, ak máte k dispozícií 7 chlapcov a 8 dievčat?
147
a) 1176
b) 2332
c) 36
d) 15
e) 30
37. Koľko rôznych 5-ciferných čísel moţno napísať z číslic 1,2,3,4,5 tak, aby sa kaţdá číslica vyskytovala len raz?
a) 120
b) 240
c) 36
d) 15
e) 30
38. Koľko rôznych 5-ciferných čísel deliteľných štyrmi moţno napísať z číslic 1,2,3,4,5 tak, aby sa
kaţdá číslica vyskytovala len raz?
a) 24
b) 36
c) 5
d) 25
e) 45
39. Koľko rôznych 5-miestnych čísel moţno zostaviť z číslic 3,4,4,4,2?
a) 20
b) 24
c) 5
d) 25
e) 45
40. Koľkými spôsobmi moţno rozdať 32 kariet dvom hráčom tak, aby kaţdý dostal práve dve esá?)
a) 240699600
b) 32
c)64
d) 128
e) 4
41. Koľkými spôsobmi moţno zostaviť druţstvo obsahujúce troch chlapcov a tri dievčatá z triedy, v
ktorej je 15 chlapcov a 10 dievčat?
a) 54600
b) 25
c) 5
d) 128
e) 256
42. V rade sedí 5 dievčat, medzi nimi sú dve sestry. Koľkokrát môţeme dievčatá presadiť, aby sestry sedeli vedľa seba?
a) 48
b) 5
c) 7
d) 128
e) 14
43. Súčet kombinácií tretej triedy z "n" prvkov a druhej triedy z "n" prvkov je 15-násobkom čísla
"n-1". Vypočítaj n.
a) 9
b) 8
c) 6
d) 4
e) 7
44. Pomer variácií "k"-tej triedy a kombinácií "k"-tej triedy z "n" prvkov je 120. Vypočítaj "k".
a) 5
b) 4
c) 6
d) 12
e) 120
Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,2,3,4 a pre ktoré
platí súčasne ešte táto podmienka: v kaţdom čísle sa kaţdá číslica vyskytuje najviac raz
a) 24
b) 25
c) 900
d) 128
e) 48
148
45. Nájdi počet všetkých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zostaviť z číslic 1,2,3,4 a
pre ktoré platí súčasne ešte táto podmienka: na mieste "jednotiek" je jedna z číslic 1,3,4, na
mieste "stovák" číslica 4 alebo 2.
a) 10
b) 20
c) 30
d) 50
e) 60
46 .Do školskej rady zvolili sedem ţiakov. Koľkými spôsobmi sa dá z nich vybrať predseda, podpredseda, tajomník a pokladník?
a) 840
b) 420
c) 210
d) 128
e) 256
46. Koľko dvojjazyčných slovníkov treba vydať, aby sa zabezpečila moţnosť priameho prekladu
ľubovoľného z piatich jazykov do ktoréhokoľvek iného z nich?
a) 20
b) 5
c) 17
d) 34
e) 40
47. Koľko je takých prirodzených štvorciferných čísel, v ktorých sa kaţdá z cifier 3,4,5,6 vyskytuje
práve raz?
a) 24
b) 12
c) 4
d) 1
e) 48
48. Zisti, koľko je párnych prirodzených čísel, v ktorých zápise sa vyskytujú iba cifry 2, 3, 4, 5, a
pritom kaţdá najviac raz.
a) 32
b) 4
c) 12
d) 1
e) 48
49. Koľko je nepárnych prirodzených čísel, v ktorých sa vyskytujú iba cifry 2, 3, 4, 5, a to kaţdá
najviac raz?
a) 32
b) 4
c) 12
d) 1
e) 48
50. Koľko prirodzených čísel väčších ako 5000 moţno utvoriť z cifier 1, 3, 5, 7, ak naviac poţadujeme, aby sa ani jedna cifra neopakovala?
a) 12
b) 32
c) 4
d) 12
e) 48
51. Zisti, koľko je 8-ciferných prirodzených čísel, ktoré majú všetky cifry navzájom rôzne.
a) 1632960
b) 164
c) 8
d) 256
e) 44235
52. Zisti, koľko rozličných 6-ciferných čísel sa dá zostaviť s cifier 2,3, ak sa má v kaţdom z nich
cifra 2 vyskytovať 4-krát a cifra 3 dvakrát.
a) 15
b) 6
c) 7
d) 2
e) 56
149
53. Osem študentov má pripravené ubytovanie na internáte v troch izbách - dve sú 3-posteľové,
jedna 2-posteľová. Koľko je spôsobov rozdelenia študentov do jednotlivých izieb?
a) 560
b) 8
c) 14
d) 280
e) 1276
54. V rýchlikovej vlakovej súprave sú dva batoţinové vozne, jeden jedálensky vozeň, štyri lôţkové
vozne a tri leţadlové vozne. Koľkými spôsobmi moţno zoradiť vozne súpravy? (12 600)
a) 12600
b) 10
c) 280
d) 126
e) 1276
55. Uchádzač o prijatie na vysokú školu musí urobiť 4 skúšky. Za kaţdú úspešne urobenú skúšku
dostane 2, 3 alebo 4 body; na prijatie stačí dosiahnuť 13 bodov. Koľkými spôsobmi môţe uchádzač urobiť skúšku, aby bol prijatý?
a) 31
b) 13
c) 62
d)26
e) 7
56. V osudí je 35 lístkov označených číslami 1 aţ 35. Postupne z nich vytiahneme päť, ale lístky do
osudia nevraciame späť. pritom záleţí na poradí vytiahnutých čísel. Urči počet všetkých pätíc
čísel, ktoré sa môţu vytiahnuť. (38 955 840)
a)38955840
b) 35
c) 5
d) 100148
e) 256
57. Koľko je takých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zapísať iba pouţitím cifier 2, 4,
6, 8?
a) 64
b) 32
c) 16
d) 128
e) 256
58. Koľko je takých trojciferných prirodzených čísel, ktoré sa dajú zapísať iba pouţitím cifier 2, 4,
6, 8 a majú všetky cifry navzájom rôzne?
a) 24
b) 4
c) 12
d) 16
e) 48
59. Koľko je takých šesťciferných čísel, ktoré moţno zostaviť z číslic 0, 1, …, 9?
a) 900000
b) 45
c) 90
d) 128
e) 100000
d) 128
e) 100000
60. Koľko z týchto čísel má všetky cifry navzájom rôzne?
a) 136080
b) 45
c) 90
61. Zo siedmich ţiakov treba vybrať štyroch, ktorí budú na brannom cvičení zastávať funkciu
hliadky. Koľkými spôsobmi ich moţno vybrať?
a) 35
b) 70
c) 11
d) 7
e) 4
150
62. Koľko je 6-ciferných prirodzených čísel , ktoré moţno zostaviť z cifier 1, 3, 6, 9?
a) 4096
b) 2048
c) 6
d)11
e) 28
63. Zisti, koľko „ešpézetiek“ by sa dalo zostaviť za týchto predpokladov: prvú časť tvorí skupina
dvoch alebo troch písmen (k dispozícií máme 28 písmen) a druhú časť tvorí 4-členná skupina
číslic.
a) 227360000
b) 28
c) 16
d) 100256
e) 924
64. Na tanečný večierok príde 12 dievčat a 15 chlapcov. Koľkými spôsobmi z nich moţno vybrať 4
tanečné páry?
a) 16216200
b) 12
c) 15
d) 27
e) 100256
Pravdepodobnosť
1. Parádivá Eva
Eva si vţdy oblieka blúzku so sukňou alebo pulóver s nohavicami. Má štyri bläzky a sedem sukní,
pričom kaţdá sukňa sa jej hodí ku všetkým blúzkam Má tri pulóvre a dvoje nohavice, pričom kaţdé
nohavice sa jej hodia ku všetkým pulóvrom. Koľkými rôznymi spôsobmi sa Eva môţe obliecť?
a) 16
b) 28
c) 34
d) 55
e) 168
2. Miss Matura
Do finále súťaţe Miss Matura postúpilo 6 maturantiek, medzi nimi aj Lucia. Porota určí poradie na
všetkých šiestich miestach, pričom ţiadne dve kandidátky neobsadia rovnaké miesto. Koľko existuje
takých výsledných poradí finalistiek, v ktorých sa Lucia umiestni na niektorom z prvých troch miest?
a) 3!
b) 5!
c) 5.3!
d) 3.5!
e)5!.3!
3. Dve družstvá
Desať dievčat a dvaja chlapci sa chcú rozdeliť na dve šesťčlenné volejbalové druţstvá tak, aby
v kaţdom druţstve bol jeden chlapec. Koľkými rôznymi spôsobmi to môţu spraviť?
a)
12
6
b)
10
5
c)
12 12
.
6 6
d)
10
2
5
1
e) 2.
10
2
5
1
4. Tri udalosti
Nech m je pravdepodobnosť, ţe keď hodíme 5 korunových mincí, všetky dopadnú znakom nahor.
Nech k je pravdepodobnosť, ţe keď hodíme dve beţné hracie kocky, padne na oboch šestka. Nech
c je pravdepodobnosť, ţe keď náhodne zvolíme dvojciferné číslo, bude mať rôzne číslice. Potom
platí:
a) m>k>c
b) m>c>k
c) c>k>m
d) k>c>m
e) k>m>c
151
5. Parlament
S pripomienkami k prerokúvanému zákonu chcú v parlamente okrem poslancov Klima a Lacha vystúpiť ešte ďalší štyria poslanci. Predsedajúci schôdze určil náhodne poradie diskutujúcich. Aká je
pravdepodobnosť, ţe poslanec Klimo vystúpi ihneď po poslancovi Lachovi?
a)
1
12
b)
1
6
c)
1
4
d)
1
3
e)
1
2
6. Cestovné lístky
Koľko rôznych kombinácií môţeme nastaviť na dierkovači cestovných
lístkov, ak dierkovač vydierkuje štyri alebo päť z číslic 1 aţ 9?
a) 126
b) 252
c) 2 880
d) 15 876
e) 18 144
7. Chlapec alebo dievča?
Predpokladajme, ţe pravdepodobnosť narodenia chlapca aj dievčaťa
v rodine je rovnaká. Aká je pravdepodobnosť, ţe v rodine s piatimi deťmi je najmladšie aj najstaršie
dieťa chlapec?
a)
1
8
b)
1
4
c)
2
5
d)
1
2
e)
2
3
8. Baktérie
V skúmavke bolo večer 615 baktérií. Pridaním antibiotík sa do rána ich počet o tretinu zmenšil.
Koľko baktérií zostalo v skúmavke?
a) 615 - 215
b) 615 - 65
c) 4.614
d) 610
e) 415
9. Falošná kocka
Pre istú falošnú kocku platí, ţe číslo 6 na nej padá dvakrát častejšie ako číslo 1 a číslo 1 na nej padá
dvakrát častejšie ako kaţdé zo zvyšných štyroch čísel. Aká je pravdepodobnosť, ţe po hode touto
kockou padne na nej číslo 6?
a)
1
3
b)
1
4
c)
4
9
d)
2
5
e)
2
3
10. Zahraničný zájazd
Na zahraničný zájazd cestuje v autobuse 46 cestujúcich, z toho 26 muţov a 20 ţien. Colníci chcú
podrobiť dôkladnej osobnej prehliadke 5 náhodne vybraných muţov a 5 náhodne vybraných ţien
z autobusu. Koľkými spôsobmi môţu vybrať týchto 10 cestujúcich?
a)
26!
5!
20!
5!
b)
26! 20!
.
5! 5!
c)
46
10
d)
26
5
.
20
5
e)
26
20
5
5
11. Trojciferné čísla
152
Koľko existuje trojciferných prirodzených čísel, vytvorených len z párnych číslic, v ktorých je prostredná číslica väčšia ako obidve krajné?
a) 240
b) 100
c) 38
d) 30
e) 20
12. Maturita
V triede s 30 ţiakmi bude prebiehať maturita 5 dní. Kaţdý deň budú maturovať traja ţiaci doobeda
a traja poobede. Poradie ţiakov sa určí náhodne. Petrovi astrológ vypočítal, ţe najlepší výsledok
dosiahne, ak bude maturovať v stredu poobede. Aká je pravdepodobnosť, ţe Peter bude maturovať
práve vtedy?
a)
1
4
b)
1
5
c)
4
9
d)
1
10
e)
1
30
13. V krabici je 26 ţiaroviek s príkonom 40W, 24 ţiaroviek s príkonom 60W a 30 ţiaroviek s príkonom 75W. aká je pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná ţiarovka má príkon
60W,
Pravdepodobnosť vyjadri v percentách.
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 57
14. V krabici je 26 ţiaroviek s príkonom 40W, 24 ţiaroviek s príkonom 60W a 30 ţiaroviek s príkonom 75W. aká je pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná ţiarovka má príkon
60W alebo 75W?
a) 67,5 b) 72
c) 45
d) 54
e) 77
15. V zásielke obsahujúcej 80 ţiaroviek sú 4 ţiarovky pokazené. Aká je pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná ţiarovka je pokazená? Pravdepodobnosť vyjadri v percentách.
a) 5
b) 7
c) 9
d) 10
e) 12
16. V klobúku je 20 červených, 16 modrých a 12 ţltých guličiek. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná gulička je
ţltá,
a) 25
b) 27
c) 29
d) 32
e)41
17. 17. V klobúku je 20 červených, 16 modrých a 12 ţltých guličiek. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraná gulička je
ţltá alebo modrá?
a) 58,3
b) 67
c) 54
d) 38
e) 60
18. Na tácke je 24 kusov koláčov. Z toho 6 má slivkovú náplň, 10 tvarohovú a zbytok orechovú náplň. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný kus koláča má
slivkovú náplň,
a) 25
b) 26
c) 50
d) 34
e) 22
153
19. 19. Na tácke je 24 kusov koláčov. Z toho 6 má slivkovú náplň, 10 tvarohovú a zbytok
orechovú náplň. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný kus koláča
má orechovú náplň,
a) 33,3
b) 44,4
c) 55,5
d) 66,6
e) 77,7
20. Na tácke je 24 kusov koláčov. Z toho 6 má slivkovú náplň, 10 tvarohovú a zbytok orechovú náplň. Vyjadri v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný kus koláča má
tvarohovú alebo orechovú náplň.
a) (75
b) 76
c) 74
d)73
e) 77
21. Na šachovom turnaji školy sa zúčastnia: 7.ročník s počtom hráčov 5, 8.ročník s počtom
hráčov 6 a 9 hráčov z 9.ročníka. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe vylosovaný súper bude z 8.ročníka,
a) 30
b) 35
c)40
d) 45
e) 50
22. Na šachovom turnaji školy sa zúčastnia: 7.ročník s počtom hráčov 5, 8.ročník s počtom
hráčov 6 a 9 hráčov z 9.ročníka. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe vylosovaný súper nebude zo 7.ročníka.
a) 75
b) 70
c) 65
d) 60
e)55
23. Z 32 ţiakov jednej triedy malo v matematike výborný prospech 6 ţiakov, chválitebný 10
ţiakov, dobrý 12 ţiakov, dostatočný 4 ţiaci a nikto nemal nedostatočnú. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak tejto triedy bol hodnotený klasifikačným stupňom výborný,
a) 18,75
b) 20
c)22,5
d)2,2
e) 27
24. Z 32 ţiakov jednej triedy malo v matematike výborný prospech 6 ţiakov, chválitebný 10
ţiakov, dobrý 12 ţiakov, dostatočný 4 ţiaci a nikto nemal nedostatočnú. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak tejto triedy bol hodnotený klasifikačným stupňom chválitebný alebo dobrý
a) 68,75
b) 71
c) 72,25
d) 60
e) 53
25. Z 32 ţiakov jednej triedy malo v matematike výborný prospech 6 ţiakov, chválitebný
10 ţiakov, dobrý 12 ţiakov, dostatočný 4 ţiaci a nikto nemal nedostatočnú. Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak tejto triedy bol hodnotený klasifikačným stupňom lepším neţ dobrý.
a) 50
b) 55
c)56
d) 60
e)63,5
26. V triede je 36 ţiakov. Triedna učiteľka zistila, ţe anglický časopis odoberá 12 ţiakov,
nemecký 15 ţiakov a 12 ţiakov neodoberá ani jeden časopis. Urči pravdepodobnosť, ţe
náhodne vybraný ţiak odoberá anglický časopis,
a) 1/4
b)0,3
c) 0,4
d)0,35
e)0,45
27. V triede je 36 ţiakov. Triedna učiteľka zistila, ţe anglický časopis odoberá 12 ţiakov,
nemecký 15 ţiakov a 12 ţiakov neodoberá ani jeden časopis. Urči pravdepodobnosť, ţe
náhodne vybraný ţiak odoberá nemecký časopis
a) 1/3
a)
b) 0,4
c)0,42
d) 0,2
e)0,25
28.V triede je 36 ţiakov. Triedna učiteľka zistila, ţe anglický časopis odoberá 12 ţiakov,
nemecký 15 ţiakov a 12 ţiakov neodoberá ani jeden časopis. Urči pravdepodobnosť, ţe
náhodne vybraný ţiak odoberá oba časopisy súčasne?
1/12
b) 0,3
c) 0,24
d) 0,8
e)0,1
154
29.Zberový referent oznámil, ţe v rámci zberu liečivých bylín 15 ţiakov triedy zbieralo
podbeľ lekársky. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8 ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len kvet podbeľu
a) 1/3
b) 0,2
c)0,4
d)0,44
e)0,38
30. Zberový referent oznámil, ţe v rámci zberu liečivých bylín 15 ţiakov triedy zbieralo podbeľ lekársky. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8 ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len kvet
a) 7/15
b) 0.3
c) 0,2
d) 0,9
e)0,1
31. Zberový referent oznámil, ţe v rámci zberu liečivých bylín 15 ţiakov triedy zbieralo podbeľ
lekársky. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8 ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral kvet aj listy podbeľu?
a) 1/5
b) 0,1
c) 0,3
d) 0,4
e)0,5
32. Zo 40 ţiakov jednej triedy zbieralo podbeľ lekársky 15 ţiakov. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8
ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len kvet podbeľu
a) 12,5
b) 14
c) 16,5
d) 17
e) 10
33. Zo 40 ţiakov jednej triedy zbieralo podbeľ lekársky 15 ţiakov. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8
ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral len listy podbeľu
a) 17,5
b) 13
c) 15
d) 24
e) 10
34. Zo 40 ţiakov jednej triedy zbieralo podbeľ lekársky 15 ţiakov. Pritom kvet podbeľu zbieralo 8
ţiakov a listy podbeľu zbieralo 10 ţiakov. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak z tých, ktorí zbierali podbeľ zbieral zbieral kvet aj listy podbeľu?
a) 7,5
b) 8,2
c) 5
d)10
e) 4
35. Z 20 chlapcov hrajúcich futbal alebo hádzanú hraje futbal 16 chlapcov a 9 chlapcov hádzanú.
Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný chlapec hrá len futbal,
a) 55
b) 44
c) 33
d) 48
e) 30
36. Z 20 chlapcov hrajúcich futbal alebo hádzanú hraje futbal 16 chlapcov a 9 chlapcov hádzanú.
Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodne vybraný chlapec hraje len hádzanú,
a) 20
b) 25
c) 15
d) 30
e) 47
37. Z 20 chlapcov hrajúcich futbal alebo hádzanú hraje futbal 16 chlapcov a 9 chlapcov hádzanú.
Urči v percentách pravdepodobnosť, ţe náhodným výberom chlapec hraje futbal aj hádzanú.
a) 25
b) 20
c) 15
d)30
e)40
38. Kaţdý z 25 pracovníkov jedného pracoviska ovláda aspoň jeden z jazykov: francúzština, angličtina. Pritom francúzsky hovorí 19 pracovníkov a anglicky 13 pracovníkov. Vypočítaj pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný pracovník ovláda len francúzštinu,
155
a) 48
b) 45
c) 38
d) 12
e) 35
39. Kaţdý z 25 pracovníkov jedného pracoviska ovláda aspoň jeden z jazykov: francúština, angličtina. Pritom francúzsky hovorí 19 pracovníkov a anglicky 13 pracovníkov. Vypočítaj pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný pracovník ovláda len angličtinu
a) 20
b) 25
c) 30
d) 35
e) 40
40. Kaţdý z 25 pracovníkov jedného pracoviska ovláda aspoň jeden z jazykov: francúština, angličtina. Pritom francúzsky hovorí 19 pracovníkov a anglicky 13 pracovníkov. Vypočítaj pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný pracovník ovláda obidva jazyky.
a) 25
b) 20
c) 30
d) 35
e) 40
41. Turistický krúţok usporiadal v máji dva výlety. Z 24 ţiakov tohoto krúţku sa zúčastnilo prvého
výletu 21 ţiakov, druhého 20 ţiakov. Jeden ţiak sa nezúčastnil ani na jednom výlete. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak sa zúčastnil len prvého výletu,
a) 12,5
b) 7,5
c) 10
d) 35
e) 28
42. Turistický krúţok usporiadal v máji dva výlety. Z 24 ţiakov tohoto krúţku sa zúčastnilo prvého
výletu 21 ţiakov, druhého 20 ţiakov. Jeden ţiak sa nezúčastnil ani na jednom výlete. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak sa zúčastnillen druhého výletu,
a) 8,3
b) 10
c) 35
d) 2
e)7,5
43. Turistický krúţok usporiadal v máji dva výlety. Z 24 ţiakov tohoto krúţku sa zúčastnilo prvého
výletu 21 ţiakov, druhého 20 ţiakov. Jeden ţiak sa nezúčastnil ani na jednom výlete. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybraný ţiak sa zúčastnil oboch výletov.
a) 75
b) 70
c) 55
d) 66
e) 14
44. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme jednociferné
číslo,
a) 36
b) 34
c)30
d) 12
e)45
45. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme prvočíslo,
a) 36
b) 34
c) 30
d) 12
e) 45
46. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme číslo deliteľné dvomi alebo tromi,
a) 64
b) 68
c) 72
d) 25
e) 55
47. V osudí sú guličky s číslami od 1 aţ po 25. S akou pravdepodobnosťou vytiahneme číslo deliteľné dvomi a zároveň tromi?
a) 16
b) 24
c) 32
d) 55
e)
48. Pri losovaní Matesa sú v osudí čísla od 1 aţ po 35. Zisti pravdepodobnosť, ţe pri ťahaní prvého
čísla bude vylosované číslo 7
a) 1/5
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/6
e)1/12
156
49. Pri losovaní Matesa sú v osudí čísla od 1 aţ po 35. Zisti pravdepodobnosť, ţe pri ťahaní prvého
čísla bude vylosované číslo deliteľné 7
a) 1/7
b) 2/7
c) 1/6
d) 1/8
e) 1/12
50. Pri losovaní Matesa sú v osudí čísla od 1 aţ po 35. Zisti pravdepodobnosť, ţe pri ťahaní prvého
čísla bude vylosované jednociferné číslo
a) 9/35
b) 7/35
c) 3/35
d) 4/35
e) 6/35
51. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybrané číslo zo všetkých dvojciferných prirodzených čísel
je väčšie ako 90
a) 0,1
b) 0,2
c) 0,33
d) 0,28
e)0,39
52. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybrané číslo zo všetkých dvojciferných prirodzených čísel
je deliteľné 5
a) 0,2
b) 0,3
c) 0,4
d) 0,5
e) 0,6
53. Urči pravdepodobnosť, ţe náhodne vybrané číslo zo všetkých dvojciferných prirodzených čísel
je číslo deliteľné 5 a zároveň 3
a) 1/15
b) 1/16
c) 1/17
d) 1/99
e) 1/90
54. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo 6,
a) 1/6
b) 1/5
c) 1/4
d) 1/25
e) 2/3
55. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo párne,
a) 1 /2
b) 1/6
c) 2/6
d) 2/3
e) 1/4
56. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo nepárne,
a) 1/2
b) 1/6
c) 1/3
d)2/3
e)1/4
57. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo deliteľné 2 alebo 3.
a) 2/3
b) 1/6
c) 1/3
d) 1/2
e) 1/4
58. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne číslo väčšie ako 4
a) 1/3
b) 1/6
c) 2/3
d) 1/2
e)1/4
59. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne prvočíslo
a) 1/2
b) 1/6
c) 1/3
d)2/3
e)1/4
60. Urči pravdepodobnosť, ţe pri hode hracou kockou padne zloţené číslo
(1/3)
a) 1/3
b) 1/6
c) 2/3
d) 1/2
e)1/4
61. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybrané číslo z čísel 1 aţ 125 je deliteľné 5,
a) 20
b) 22
c) 24
d) 26
e) 27
157
62. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybrané číslo z čísel 1 aţ 125 má ciferný súčet
deliteľný 9,
a) 10,4
b) 11,2
c) 12,1
d) 7
e) 9
63. Urči pravdepodobnosť v percentách, ţe náhodne vybrané číslo z čísel 1 aţ 125 je deliteľný 3 a
zároveň 7.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 9
64. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 2 kockami padne súčet 3
a) 1/18
b) 1/9
c) 1/10
d) 2/7
e) 3/8
65. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 2 kockami padne súčet menší neţ 3
a) 1/36
b) 1/27
c) 1/10
d) 2/7
e) 3/8
66. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 2 kockami padne súčet menší neţ 5?
a) 5/6
b) 1/27
c) 1/12
d) 10/12
e) 3/8
67. Koľkokrát je treba hodiť kockou, aby pravdepodobnosť, ţe aspoň raz padne šestka bola väčšia
ako 0,7?
a) aspoň 7-krát
b) najviac 7x
c) najviac 2x
d) práve 7x
e) aspoň 2x
68. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri hode 6 hracích kociek padnú práve 4 rovnaké čísla?
a) 0,048
b) 0,8
c) 0,48
d) 0,1
e) 0,001
69. V debne s 30 výrobkami sú 3 chybné, urči pravdepodobnosť toho, ţe medzi 5 náhodne vybranými je najviac jeden chybný.
a) 0,936
b) 0,8
c) 0,48
d) 0,1
e) 0,001
70. V prvom klobúku je 5 bielych a 2 čierne guľky. V druhom klobúku sú 3 biele a 7 čiernych. Náhodne zvolíme jeden z klobúkov a vytiahneme z neho guľku. Aká je pravdepodobnosť, ţe bude
biela?
a) 0,507
b) 0,67
c) 0,1
d) 0,001
e) 0,8
71. Desať ľudí sa posadí okolo okrúhleho stola. Aká je pravdepodobnosť, ţe určitá dvojica ľudí bude sedieť vedľa seba?
a) 2/9
b) 1/9
c) 4/9
d) 2/7
e) 3/5
72. Študent dostane test z 10 otázok, ku kaţdej sú moţné 4 odpovede. Aká je pravdepodobnosť, ţe
odpovie správne na polovicu otázok, ak volí odpovede náhodne?
a) 0,05836
b) 0,345
c) 0,2768
d) 0,112
e) 0,7684
73. Za dlhým stolom sedí vedľa seba 6 ţiakov. Aká je pravdepodobnosť, ţe pri vyvolaní dvoch to
budú susedia?
a) 1/3
b) 2/3
c) 4/9
d) 2/7
e) 3/5
158
5.2 Štatistika
Obsah
Pojmy: diagram – graf (stĺpcový, obrázkový, kruhový, lomený, spojitý, histogram), základný súbor,
výberový súbor, rozdelenie, modus, medián, aritmetický , geometrický, harmonický priemer (aj viac
ako dvoch čísel), stredná hodnota, smerodajná odchýlka, rozptyl, triedenie.
Vlastnosti a vzťahy:
vzťahy medzi aritmetickým a geometrickým priemerom, vrátane toho, kedy nastáva rovnosť,
vzťah pre výpočet rozptylu.
Požiadavky na vedomosti a zručnosti
Ţiak vie
vypočítať aritmetický, geometrický a harmonický priemer daných čísel,
získavať informácie z rôznych tabuliek (napr. autobusová tabuľka) a diagramov,
spracovať údaje do vhodných diagramov,
zistiť v danom súbore modus, medián, strednú hodnotu, priemery, rozptyl, smerodajnú odchýlku
a uviesť štatistickú interpretáciu získaných výsledkov,
uviesť príklad súboru s poţadovanými podmienkami na modus, medián, strednú hodnotu, priemery,
rozptyl, smerodajnú odchýlku (pozri príklad 1),
znázorniť a vyhodnotiť namerané hodnoty,
urobiť triedenie a znázorniť ho.
Príklady
1. Pri meraní 63 ţiakov boli zistené tieto údaje o výške v centimetroch a príslušnom počte ţiakov.
Výška počet Výška počet Výška počet Výška počet
159
1
165
2
170
5
175
2
161
1
166
3
171
6
177
1
162
2
167
2
172
7
178
4
163
1
168
4
173
9
179
2
164
2
169
3
174
5
181
1
Urči aritmetický priemer znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.
a) 170,8
b)171,1
c) 172,7
d)175
e) 178
2. Pri meraní 63 ţiakov boli zistené tieto údaje o výške v centimetroch a príslušnom počte ţiakov.
Výška počet Výška počet Výška počet Výška počet
159
1
165
2
170
5
175
2
161
1
166
3
171
6
177
1
162
2
167
2
172
7
178
4
163
1
168
4
173
9
179
2
164
2
169
3
174
5
181
1
Urči modus znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.
a) 173
b) 174
c)
169
d) 171
e) 174
159
3. Pri meraní 63 ţiakov boli zistené tieto údaje o výške v centimetroch a príslušnom počte ţiakov.
Výška počet Výška počet Výška počet Výška počet
159
1
165
2
170
5
175
2
161
1
166
3
171
6
177
1
162
2
167
2
172
7
178
4
163
1
168
4
173
9
179
2
164
2
169
3
174
5
181
1
Urči medián, ktorým je výška uvedených ţiakov.
a) 171
b)172
c)168
d)169
e) 174
4. Pri meraní 63 ţiakov boli zistené tieto údaje o výške v centimetroch a príslušnom počte ţiakov.
Výška počet Výška počet Výška počet Výška počet
159
1
165
2
170
5
175
2
161
1
166
3
171
6
177
1
162
2
167
2
172
7
178
4
163
1
168
4
173
9
179
2
164
2
169
3
174
5
181
1
Urči rozptyl znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.
a) 21,87
b)22,1
c)17,9
d)18,2
e) 13,6
5. Pri meraní 63 ţiakov boli zistené tieto údaje o výške v centimetroch a príslušnom počte ţiakov.
Výška počet Výška počet Výška počet Výška počet
159
1
165
2
170
5
175
2
161
1
166
3
171
6
177
1
162
2
167
2
172
7
178
4
163
1
168
4
173
9
179
2
164
2
169
3
174
5
181
1
Urči smerodajnú odchýlku znaku, ktorým je výška uvedených ţiakov.
a) 4,7
b)3,7
c)5,2
d)2,9
e) 4
6. Vypočítaj aritmetický priemer súboru, x1, x2, . . . , x15, ak sa v ňom číslo 2 vyskytuje 5-krát, číslo 7
sa vyskytuje 8-krát a číslo 10 a12 raz.
a) 5,86
b)6,42 c) 5,12
d) 7,31
e) 2,67
7. Vypočítaj modus súboru, x1, x2, . . . , x15, ak sa v ňom číslo 2 vyskytuje 5-krát, číslo 7 sa vyskytuje
8-krát a číslo 10 a12 raz.
a) 7
b)2
c)8
d) 10
e) 12
8. Vypočítaj medián súboru, x1, x2, . . . , x15, ak sa v ňom číslo 2 vyskytuje 5-krát, číslo 7 sa vyskytuje
8-krát a číslo 10 a12 raz.
a) 7
b)2
c) 8
d)10
e) 12
9. Vypočítaj koeficient korelácie znakov x a y zadaných tabuľkou:
x/y 2
1
1
3
1
4
6
3
2
160
5
a) 0,21067
3
b)0,11954
c)0, 24689
d)0, 29648
e) 0,135642
161
Download

Zbierka maturitných úloh s výberom odpovede