TELESÁ
Obsah:
teleso, mnohosten, vrchol, hrana, stena, kocka, sieť kocky, hranol, kolmý a pravidelný hranol, kváder,
rovnobežnosten, ihlan, štvorsten, pravidelný štvorsten, podstava, výšky v štvorstene, guľa, valec, kužeľ,
základné prvky telies, objemy a povrchy telies, Cavallieriho princíp
• Odvoďte vzorec pre výpočet dĺžky telesovej uhlopriečky kocky s hranou dĺžky a.
• Vyjadrite veľkosť telesovej výšky pravidelného štvorstena pomocou dĺžky jeho hrany a.
• Dokážte, že vzore V  π.v.r12  r1r2  r22 c platí pre výpočet objemu zrezaného rotačného kužeľa s výškou
1
3
v a polomermi podstáv r1 , r2 .
Príklady:
1. Z obdĺžnikového kartónu s rozmermi d cm x 20 cm sme urobili škatuľu s objemom
1 000 cm3 tak, že z každého jeho rohu sme vystrihli štvorec so stranou 5 cm a
zvyšné okraje sme zahli. Vypočítajte číslo d. (30)
2. Aký najväčší povrch (v cm2) môže mať kocka, ktorá sa vyreže z gule s polomerom 20 cm? (3 200)
3. Rotačný valec V1 s polomerom podstavy 2 cm má rovnaký objem ako rotačný valec V2 s polomerom podstavy
S pl V1 
12 cm. Vypočítajte pomer obsahov plášťov týchto valcov, t. j. hodnotu
. (6)
S pl V2 
4. Nádoba tvaru polgule s vnútorným polomerom 12 cm je plná vody. Celý obsah tejto nádoby prelejeme do
nádoby v tvare valca s vnútorným polomerom 24 cm. Určte v centimetroch, do akej výšky bude siahať voda v
nádobe tvaru valca. (2)
5. Teleso na obrázku (obr.1) je vyrobené z kocky o hrane 4 decimetre. V strede každej steny je do vnútra kocky
vyrezaný štvorcový otvor 2 dm × 2 dm. Vypočítajte koľko d m 2 tapety potrebujeme na oblepenie všetkých stien
tohto telesa zvnútra i zvonka. (120)
obr. 1
obr. 2
6. Vierina váza zo skla sa dá opísať ako rotačné teleso, ktoré vzniklo rotáciou vyfarbeného päťuholníka (obr. 2)
okolo osi x. Vypočítajte objem skla Vierinej vázy. (1 196π)
7. Veľký drevený dvojdierkový gombík má priemer 2 cm. Veľkosť polomeru
oboch dierok je 1 mm. Vyjadrite v percentách odpad materiálu, ktorý
vznikne pri výrobe dvoch dierok jedného gombíka. (2)
8. Obdĺžnik s rozmermi 8 cm a 4 cm otočíme o 360º najprv okolo dlhšej strany, čím vznikne prvé teleso. Potom
obdĺžnik podobne otočíme okolo kratšej strany, čím vznikne druhé teleso. Určte pomer povrchov prvého a
druhého telesa. (0,5)
9. Pravidelný desaťuholník so stranou a = 2 cm je podstavou kolmého hranola, ktorého bočné steny sú štvorce.
Určte objem hranola v cm3 s presnosťou na dve desatinné miesta. (61,55)
10. Kolmý hranol so štvorcovou podstavou a kolmý hranol s podstavou pravidelného trojuholníka majú rovnakú
4
výšku a rovnakú dĺžku hrany podstavy. Určte pomer objemov väčšieho a menšieho hranola. (
)
3
11. Rozmery kvádra sú v pomere 1 : 4 : 8. Jeho telesová uhlopriečka (pozrite obrázok) má
dĺžku 18 cm. Vypočítajte v centimetroch dĺžku najdlhšej hrany kvádra. (16)
12. Pravidelný štvorboký ihlan (pozrite obrázok) má dĺžku
bočnej hrany c = 5 cm, jej uhol s rovinou podstavy je 30°.
Vypočítajte objem ihlana v cm3. (31,25)
13. Bazén tvaru kvádra s hĺbkou 145 cm a rozmermi dna
6m a 4m bolo nutné pri jarnej údržbe vymaľovať. Na
maľovanie sa použili 750 ml balenia špeciálnej farby na bazény, ktorej 1 liter stačí na
vymaľovanie 12 m2 plochy bazéna. Najmenej koľko celých balení farby bolo treba použiť na
vymaľovanie celého bazéna trikrát? (17, resp. 18)
14. Kužeľ s polomerom podstavy 12 cm a výškou 15 cm rozdelíme rovinami
rovnobežnými s podstavou na tri telesá. Roviny rozdelia výšku kužeľa na tri rovnaké
časti. Určte pomer objemov najväčšieho a najmenšieho vzniknutého telesa. (19)
15. Koľkokrát sa zväčší povrch atmosférického balóna tvaru gule, ak sa jeho objem zväčší
8-násobne? (4)
16. Daná je kocka ABCDEFGH s hranou dĺžky 1. Bod K je vnútorným bodom hrany
1
EF. Aký objem má teleso ABCK? ( )
6
17. Do jednej cisterny tvaru valca sa zmestí najviac 700 hl vody. Najviac koľko
hektolitrov vody sa zmestí do druhej cisterny, ktorá má rozmery dvakrát väčšie
ako prvá cisterna? (5 600)
18. Na obrázku je pravouhlý trojuholník PRS. Rotáciou tohto trojuholníka okolo jeho strán dostaneme tri
rotačné telesá. Objem telesa, ktoré vzniklo rotáciou okolo odvesny PR s dĺžkou 80 cm, je 96 000π cm3. Určte
objem telesa, ktoré vzniklo rotáciou okolo prepony RS. Výsledok (v cm3) uveďte v tvare násobku čísla π. (76 800
π)
19. Rozdiel medzi objemom kocky do nej vpísanej je 1m3. Určte objem gule. (1,58m3)
20. Vnútorný polomer vodnej nádrže tvaru rotačného valca je 2 m. O koľko metrov stúpne hladina vody
v nádrži, ak do nej natečie 31,4 m3 vody? Pri výpočte použite hodnotu  = 3,14. (2,5)
21. Pravidelný ihlan ABCDV so štvorcovou podstavou má výšku 8 cm. Bočné hrany AV, BV, CV a DV majú dĺžku 10 cm.
Určte v centimetroch vzdialenosť vrcholu A od bočnej hrany CV. (9,6)
22. Pravidelný ihlan so štvorcovou podstavou rozrežeme rovinou rovnobežnou s podstavou na dve časti. Objem
vzniknutého menšieho ihlana tvorí 20 % objemu pôvodného ihlana. Podstava vzniknutého menšieho ihlana má obsah 10
cm2. Určte v centimetroch štvorcových obsah podstavy pôvodného ihlana. (29,24)
23. Nádrž tvaru kvádra má vnútorné rozmery vodorovného dna uvedené na obrázku. Hladina
vody v nádrži siaha do výšky 980 cm. Koľko metrov kubických vody je v nádrži? (78,4)
24. Obsah plášťa kužeľa je 4 cm2, obsah podstavy kužeľa je 2 cm2. Určte v stupňoch uhol
(odchýlku) strany kužeľa a roviny podstavy kužeľa.
(Strana kužeľa je úsečka spájajúca vrchol kužeľa s ľubovoľným bodom kružnice
podstavy. Všetky strany kužeľa tvoria plášť kužeľa.) (60)
Download

TELESÁ.pdf