Stereometria
1. Nech ABCDEFV je pravidelný šesťboký ihlan s vrcholom V. Koľko hrán (podstavných alebo
bočných) tohto ihlana leží na priamkach mimobežných s priamkou AV?
2. Ak guľa s polomerom r má objem 8 m³, aký objem má guľa s polomerom 2r?
3. Povrch gule je 64π cm². Vypočítajte (v centimetroch) jej polomer.
4. Polomer podstavy rotačného valca je 5 cm, jeho výška je 24 cm. Vypočítajte (v centimetroch)
polomer gule opísanej tomuto valcu.
5. V istom podniku musí podľa bezpečnostných predpisov pripadať na jedného pracovníka
pracujúceho v uzavretej miestnosti aspoň 6 m² podlahovej plochy tejto miestnosti a aspoň
18 m³ z objemu miestnosti. Najviac koľko pracovníkov môže podľa týchto predpisov
pracovať v kancelárii s rozmermi 8 x 5 m a výškou 2,5 m?
6. Základne pravidelného zrezaného ihlana ABCDEFGH sú štvorce so stranami 6 cm a 12 cm,
jeho plášť sa skladá zo štyroch zhodných rovnoramenných lichobežníkov. Vypočítajte výšku
tohto zrezaného ihlana, ak viete, že obsah jeho plášťa sa rovná súčtu obsahov základní.
7. Vyjadrite závislosť povrch S kocky od dĺžky u jej telesovej uhlopriečky.
8. Ak zmenšíme polomer valca o 20 % a zároveň zväčšíme jeho výšku o 50 %, o koľko % sa
zmení jeho objem?
9. V športovej hale tvaru polgule s priemerom 20 m bol na strope vo výške 60 m nad podlahou
umiestnený reflektor. Reflektor bol zle upevnený a spadol. Ako ďaleko od stredu haly
dopadol?
10. Vypočítajte objem a povrch pravidelného 6 – bokého hranola so stranou a = 3 cm a výškou
v = 6 cm. Zistite:
a. o koľko,
b. koľkokrát sa zmení objem, ak sa strana a výška vymenia?
11. Nápoj Kolaloka plnia v závode do plechoviek v tvare valca s priemerom podstavy 8 cm
a výškou 9 cm. Z prieskumu trhu vyplynulo, že lepšie by sa predávali plechovky
s polovičným objemom a priemerom podstavy 6 cm. Akú výšku majú mať plechovky?
12. Ak zmenšíme polomer valca o 20 % a zároveň zväčšíme jeho výšku o 50 % o koľko % sa
zmení jeho objem?
13. Ak v pravidelnom šesťbokom ihlane ABCDEFV označíme X stred hrany CV a Y stred hrany
BC, aký útvar je rezom ihlana ABCDEFV rovinou AXY?
14. Koľko vrcholov a koľko stien má hranol s 33 hranami?
15. Koľko farby potrebujeme na natretie reklamného pútača v tvare valca s polomerom podstavy
0,45 m a výškou 2,5 m (podstavy nenatierame), ak spotreba farby na 1m² je 0,2 kg? Výsledok
uveďte v kilogramoch s presnosťou na dve desatinné miesta.
16. Daný je kváder ABCDEFGH, v ktorom |AB| = 12 cm, |AD| = 3 cm, |AE| = 5 cm. Vypočítajte
(v cm²) obsah rezu tohto kvádra rovinou AFG.
17. Veža kostolíka so štvorcovým pôdorysom so stranou dlhou 10 m má strechu tvaru
pravidelného štvorbokého ihlana s výškou 12 m. Koľko by stálo pokrytie strechy medeným
plechom, ak cena za pokrytie 1m² je 5000,- Sk?
18. Kocka ABCDEFGH má hranu dĺžky 6 cm. Bod M je taký bod polpriamky BA, že |BM| = 8
cm. Bod N je taký bod polpriamky CG, že |CN| = 8 cm. Priamka MN pretína povrch kocky
v bodoch P, Q. Určte dĺžku úsečky PQ.
19. Kocka ABCDEFGH má hranu dĺžky 4 cm. Označme S stred hrany AE. Vypočítajte
v štvorcových centimetroch obsah rezu tejto kocky rovinou BCS. Výsledok uveďte
zaokrúhlený na jedno desatinné miesto.
20. Daná je kocka ABCDEFGH. Bod X leží na hrane DH, pričom platí 4 XH = DH a bod Y je
stred štvorca DCGH. Určte, aký útvar je rezom kocky rovinou AXY.
21. Do rotačného valca s polomerom podstavy 9 cm a výškou 12 cm je vpísaný rotačný kužeľ tak,
že majú spoločnú podstavu. Vypočítajte obsah plášťa Spl tohto kužeľa s prestnosťou na dve
desatinné miesta.
22. Objem V zrezaného rotačného kužeľa počítame pomocou vzorca
1
V = πv (R² + Rr + r²), kde v je vzdialenosť hornej a dolnej
3
podstavy zrezaného kužeľa, R je polomer dolnej podstavy
a r polomer hornej podstavy. Otáčaním lichobežníka
znázorneného na obrázku okolo osi y vznikne zrezaný
rotačný kužeľ. Vypočítajte jeho objem.
22
Pri výpočte použite namiesto π hodnotu
.
7
23. Daný je kváder ABCDEFGH, v ktorom |AB| = 3, |AD| = 4, |AE| = 12. Vypočítajte uhol, ktorý
zvierajú telesové uhlopriečky AG a BH. Výsledok uveďte v stupňoch s presnosťou na dve
desatinné miesta.
24. Bočná hrana pravidelného štvorbokého ihlana má dĺžku 4 cm, jej odchýlka od roviny
podstavy je 45º. Aký je objem ihlana?
25. Vypočítajte vzdialenosť ťažiska trojuholníka ADC od roviny ABC v pravidelnom štvorstene
ABCD, ktorého hrana má dĺžku a.
26. Ak v pravidelnom šesťbokom ihlane ABCDEFV označíme X stred hrany CV a Y stred hrany
BC. Aký útvar je rezom ihlana ABCDEFV rovinou AXY?
27. V kocke ABCDEFGH označme X stred hrany EH a Y stred hrany GH. Ktorý geometrický
útvar je rezom kocky ABCDEFGH rovinou XYC?
28. Obdĺžnik s rozmermi 8 cm a 4 cm otočíme o 360° najprv okolo dlhšej strany, čím vznikne
prvé teleso. Potom obdĺžnik podobne otočíme okolo kratšej strany, čím vznikne druhé teleso.
Určte pomer povrchov prvého a druhého telesa.
29. Pravidelný desaťuholník so stranou a = 2 cm je podstavou kolmého hranola, ktorého steny sú
štvorce. Určte objem hranola v cm3 s presnosťou na dve d.m.
30. V kvádri ABCDEFGH s rozmermi AB = 8 cm, AE = 4 cm a AD = 3 cm určte vzdialenosť
priamky HG od roviny EDC.
31. Veľký drevený dvojdierkový gombík má priemer 2 cm. Veľkosť polomeru oboch dierok je 1
mm. Vyjadrite v percentách odpad materiálu, ktorý vznikne pri výrobe dvoch dierok jedného
gombíka.
32. Kolmý hranol so štvorcovou podstavou a kolmý hranol s podstavou pravidelného trojuholníka
majú rovnakú výšku a rovnakú dĺžku hrany podstavy. Určte pomer objemov väčšieho
a menšieho hranola.
33. Daná je kocka ABCDEFGH, AB = 2 dm. Bod S je stred hrany AB. Vypočítajte uhol priamok
SG a BG. Výsledok uveďte s presnosťou na dve d.m.
34. Nádoba tvaru polgule s vnútorným polomerom 12 cm je plná vody. Celý obsah tejto nádoby
prelejeme do nádoby tvaru valca s vnútorným polomerom 24 cm. Určte v cm, do akej výšky
bude siahať voda v nádobe tvaru valca.
35. Teleso na obrázku je vyrobené z kocky o hrane 4 dm. V strede každej steny je do vnútra
kocky vyrezaný štvorcový otvor 2 dm x 2 dm. Vypočítajte, koľko dm2 tapety potrebujeme na
oblepenie všetkých stien tohto telesa zvnútra i zvonka.
36. Bod K je stred hrany CD a bod L je stred hrany BF v kocke ABCDEFGH. Ktorý z bodov A, L,
H, D, F má od roviny EKG najväčšiu vzdialenosť?
37. Strecha rodinného domu má tvar pravidelného štvorbokého ihlana s výškou 3 m a dĺžkou
hrany podstavy 8 m. Koľko m2 strašnej krytiny je potrebných na pokrytie strechy?
38. Štvorsten ACHF vznikol z kocky ABCDEFGH s hranou dĺžky 6 cm „odrezaním“ štyroch
štvorstenov, zhodných so štvorstenom EAFH. Aký je objem štvorstena ACHF?
39. Vierina váza zo skla sa dá opísať ako rotačné teleso, ktoré vzniklo rotáciou daného
päťuholníka okolo osi x. Vypočítajte objem skla Vierinej vázy.
y
7
5
0
2
29
x
40. Dva pravidelné štvorsteny majú povrchy 884 cm2 a 189 cm2. V akom pomere sú ich objemy?
41. Kocku rozrežeme tromi rôznymi rovinami na menšie kocky. Každá rovina prechádza stredom
kocky a je rovnobežná s niektorou dvojicou rovnobežných stien kocky. Určte pomer súčtu
povrchov všetkých vzniknutých malých kociek a povrchu pôvodnej kocky.
42. Daná je kocka ABCDEFGH. Vypočítajte uhol stenovej uhlopriečky BG a telesovej
uhlopriečky HB. Výsledok zapíšte v stupňoch s presnosťou na dve d.m.
43. Tri plastelínové gule majú polomery r1 = 3 cm, r2 = 4 cm a r3 = 5 cm. Z týchto troch gulí sa
vymodelovala jedna veľká guľa. Vypočítajte v cm polomer vzniknutej gule.
44. Rez kocky ABCDEFGH rovinou ACH je rovnostranný trojuholník s obvodom 18 cm.
Vypočítajte dĺžku hrany kocky. Výsledok zapíšte v cm s presnosťou na dve d.m.
45. Rozmery kvádra sú v pomere 1:4:8. Jeho telesová uhlopriečka má dĺžku 18 cm. Vypočítajte
v cm dĺžku najdlhšej hrany kvádra.
46. Pravidelný štvorboký ihlan má dĺžku bočnej hrany c = 5 cm, jej uhol s rovinou podstavy je
30°. Vypočítajte objem ihlana v cm3.
47. Zrezaný pravidelný štvorboký ihlan má podstavy a1 = 4 cm, a 2 = 2 cm a výšku v = 8 cm.
Vypočítajte jeho objem. Ako sa zmení objem:
a) ak sa výška zväčší dva krát,
b) ak sa obidve podstavy dva krát zmenšia?
48. Bazén tvaru kvádra s hĺbkou 145 cm a rozmermi dna 6 m a 4 m bolo nutné pri jarnej údržbe
vymaľovať. Na maľovanie sa použili 750 ml balenia špeciálnej farby na bazény, ktorej 1 liter
stačí na vymaľovanie 12 m2 plochy bazéna. Najmenej koľko celých balení farby bolo treba
použiť na vymaľovanie celého bazéna trikrát?
49. Kužeľ s polomerom podstavy 12 cm a výškou 15 cm rozdelíme rovinami rovnobežnými
s podstavou na tri telesá. Roviny rozdelia výšku telesa na tri rovnaké časti. Určte pomer
objemov najväčšieho a najmenšieho vzniknutého telesa.
50. Koľkokrát sa zväčší povrch atmosférického balóna tvaru gule, ak sa jeho objem zväčší 8násobne?
51. Daná je kocka ABCDEFGH, AB = 2 dm. Bod S je stred hrany AB. Vypočítajte vzdialenosť
bodu S od priamky DH. Výsledok uveďte v dm s presnosťou na dve d.m.
52. Určte obsah plášťa pravidelného šesťbokého ihlana, ak je dĺžka hrany jeho základne 10 cm
a dĺžka jeho bočnej hrany 13 cm. Výsledok uveďte v cm.
53. Objem daného valca je 5-krát väčší ako objem daného kužeľa, pričom obe telesá majú
rovnakú plochu podstáv. Určte pomer výšky kužeľa a výšky valca.
54. Kváder ABCDEFGH má rozmery AB = 3, AE = 4, AD = 6 . Vypočítajte vzdialenosť bodu
E od roviny ADF.
55. Aký najväčší povrch v cm2 môže mať kocka, ktorá sa vyreže z gule s polomerom 20 cm?
56. Rotačný valec V1 s polomerom podstavy 2 cm má rovnaký objem ako rotačný valec V2
S pl (V1 )
s polomerom podstavy 12 cm. Vypočítajte pomer obsahov plášťov týchto valcov
.
S pl (V2 )
57. Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV s hranou podstavy a = 1 a bočnou hranou b = 1.
Určte v stupňoch odchýlku priamky BV od roviny BCD.
58. Vypočítajte objem kužeľa, ktorý vznikne rotáciou pravouhlého trojuholníka ABC s vrcholmi
A[0; 0], B[6; 8], C [0; 12,5] okolo priamky BC. Výsledok zaokrúhlite na tri d.m.
Download

Stereometria