http://www.kutanis1.sakarya.edu.tr/lectures/Ekon/index.html
PARANIN ZAMAN DEĞERİ -2
Time value of Money
‰ Eğimli Nakit Akışları
ƒ Doğrusal Eğimli Seriler (Arithmetic Gradient)
ƒ Geometrik Eğimli Seriler (Geometric Gradient)
‰ Nominal ve Efektif (Reel) Faiz Oranları
‰ Faiz Faktörleri Arasındaki İlişkiler
Doğrusal eğimli nakit akışı
• Doğrusal eğimli nakit akışı, düzenli bir şekilde artan
veya eksilen nakit akışı serileridir. Artan veya azalan
miktar eğim (gradient) olarak adlandırılır ve sembolü de
G ile gösterilir. Eğim, G, “harcama veya kazanç
miktarındaki yıllık matematiksel değişim miktarı”
olarak tanımlanabilir. Eğim, G, pozitif ( +) veya negatif
(-) olabilir.
Bazı ekonomik analiz problemlerinde her periyotta artan veya
azalan sabit bir miktar (amount) veya oranda (rate) harcama
veya gelirlerin değiştiği görülür. Örnek olarak, inşaat
ekipmanlarının bakım ve onarım giderleri verilebilir.
Harcama ve gelirlerin belirli bir eğimle azalıp çoğaldığı nakit
akışları:
• Doğrusal eğimli seriler (arithmetic gradient series)
• Geometrik eğimli seriler (geometric gradient series)
olmak üzere iki grupta incelenecektir.
$20000
$15000
(+)
$10000
0 1
2
(+)
$5000
3
$5000
4
0 1
(-)
2
3
(-)
$50000
• Doğrusal eğimlerin
formülasyonunun geliştirilmesinde
veya tabloların hazırlanmasında ,
ilk yılın sonunda oluşacak
ödemenin bir eğim içermeyeceği,
ancak taban miktar olarak
nitelendirilebilecek bir ödemenin
(A1) oluşacağı kabul edilir
$20000
$15000
$10000
$50000
A1+(N-1)G
A1+3G
A1+2G
A1+G
A1
0
1
2
3
4
i % =efektif faiz oranı
N Periyot, Yıl
4
Toplam nakit akış diyagramı
taban eşit miktar ödemesi
A1+(N-1)G
eğim içeren ödeme
A1+3G
(N-1)G
A1+2G
2G
2G
A1 A1 A 1 A1
A1+G
3G
A1
2G
A1
G
0
0
0
P
N
N
+
0
N
= (ikiye bölünebilir)
P1
P2
i % = efektif faiz oranı
i % = efektif faiz oranı
Taban eşit miktar ödemesi
P1
A 1 A 1 A 1 A1
A1
eğim içeren ödeme ise
A1 A1 A 1 A1
A1
3G
0
N
0
N
0
P1 = A1(P/A, i ,N) ile
eşdeğer şimdiki değeri veya
F1 = A1(F/A, i ,N) ile
eşdeğer gelecek değeri
hesaplanabilir.
veya eşit serili ödeme olarak da
kalabilir.
F1
0
G
(N-1)G
A2 A2 A2 A2
2G
G
N
0
A1 A1 A 1 A1
A2=G (A/G, i%, N)
0
N
eşdeğer eşit serili ödeme miktarına
DÖNÜŞTÜRÜLEBİLİR. VEYA;
A2
N
Tekdüze Eğim Şimdiki Değer Faktörü (uniform
gradient present worth factor)
eğim içeren ödeme ise
P2
F2
3G
0
G
(N-1)G
2G
G
0
N
0
P2=G (P/G, i%, N)
eşdeğer şimdiki değeri
hesaplanabilir. VEYA;
G
2G
G
(N-1)G
3G
G
0
N
F2=G (F/G, i%, N)
eşdeğer gelecek değeri
hesaplanabilir.
Tekdüze Eğim Şimdiki Değer Faktörü bağıntısı
düzenlenir,
N
G 1 i 1
N P i i 1 i N 1 i N bağıntısında
N
1 1 i 1
N (P/G, i%, N) = i i 1 i N 1 i N terimi tekdüze eğim şimdiki değer faktörüdür
Doğrusal eğimli serinin şimdiki değeri:
P=G·(P/G, i%, N) dir
Tekdüze Eğim Gelecek Değer Faktörü
(uniform gradient future worth factor)
• köşeli parantez içindeki terim faiz faktörleri ile ifade edilirse:
P
P
,
i%,
N
N
,
i%,
N
A
F
P G i
elde edilir.
N
G 1 i 1
F N
i i
bağıntısında
N
1 1 i 1
N
(F/G, i%, N) = i
i
terimi, tekdüze eğim gelecek değer faktörüdür
Doğrusal eğimli serinin gelecek değeri:
F=G·(F/G, i%, N) dir.
Tekdüze Eğim Yıllık Değer Faktörü-2
(uniform gradient annual worth factor)
Tekdüze Eğim Yıllık Değer Faktörü-1
(uniform gradient annual worth factor)
G eğim serisine eşdeğer tekdüze yıllık seri:
(N-1)G
A=G(P/G, i, N)(A/P, i%, N)
N
G 1 i 1
N ·(A/P, i%, N)
A i i 1 i N
1 i N VEYA
A=G(F/G, i, N)(A/F, i%, N)
N
G 1 i 1
N · (A/F, i%, N)
A i i
bağıntılarından elde edilebilir
Örnek
• Yıllık %5 bileşik faizin ödendiği bir tasarruf
hesabında, her yıl birer adet senet biriktirilecektir. İlk
değeri 200$ olan senet, her yıl 100$’lık bir artış
göstermektedir. Yapılan altı tasarrufun hemen sonunda
hesapta ne kadar para birikmiş olacaktır?
• Çözüm
• Önce nakit akış diyagramını çizelim.
=
2G
G
A=?
0
t=0
1
2
3
i%
N-1
N
1
2
3
N-1
i%
1
N
A G VEYA
N
i 1 i 1 A
G N G A
A
, i% ,N G , i% ,N i
i
G
F
N
• Nakit akış serisi (bileşik seri): 200$ lık eşit seri (A) ile G=100$
lık bir eğim serisi toplamıdır.
• Eğimli seriyi, eşit ödemeler serisine dönüştürelim:
• A=G·(A/G, i%, n) = G· (A/G, 5, 6)
• A=100·(2.36) = 236$
• Burada eğim serisinde sadece 5 (+) nakit akışı olmasına karşın,
n=6 dır
• (İlk yılın sonunda oluşacak ödemenin bir eğim içermeyeceği,
ancak taban miktar olarak nitelendirilebilecek bir ödemenin
(A1) oluşacağı kabul edilir).
Örnek
• Aşağıdaki şekilde verilen nakit akışının
sağlanabilmesi için, tasarruf hesabına bugün
nekadar para yatırılmalıdır? Yıllık %10 bileşik
faiz uygulanmaktadır.
• Çözüm
• Önce nakit akış diyagramını çizelim.
• Nakit akışı serisi:
• A=200$+236$=436$ lık eşit miktarlı bir nakit akışı
serisine eşdeğerdir.
• Bu eşit seriyi gelecek değere dönüştürelim:
• F=A·(F/A, i%, n)
• = 436· (F/A, 5, 6)=436·6.8019=2965.63$
• Yani, 6. tasarruf sonunda hesapta birikecek paranın
değeri: 2965.63$ dır.
•
•
•
•
•
Şimdiki değer P =Eşit seri- Eğimli seri
P=PA-PG
P=1000$·(P/A, 10, 5)-100$·(P/G, 10, 5)
P=1000·(3.7908)-100·(6.860)
=3790.8-686.0= 3104.8$ olur.
Eğimli Nakit Akışları
Geometrik Eğimli Seri Nakit Akışları
Geometric Gradient Series
Geometrik Eğimli Seri Nakit Akışları
Geometrik Eğimli Seri
• Nakit akışı artışının veya azalışının, bir zaman
periyodundan diğerine sabit bir yüzde (%) ile
değiştiği nakit akışı serisidir.
A1(1+g)N1
0
1
2
3
4
i % = efektif faiz oranı
N
Periyot
• Belirli bir yatırımın yıllık ödemeleri, zamanla
sabit bir oranda artar veya azalır. Eğimdeki
değişim, sabit bir değer yerine sabit bir orana
(%) sahip olduğunda nakit akışı, GEOMETRİK
nakit akışı olarak adlandırılır.
• Geometrik eğimli bir serinin şimdiki değeri
aşağıdaki eşitlikle hesaplanabilir:
P
A1 P
, ir , N 1 g A
Burada
A1= İlk yılın sonundaki ödeme miktarı
g = Ödemelerin yıllık büyüme (+) veya
küçülme (-) oranı, %
ir= düzeltilmiş faiz oranıdır ve
ir • (P/A, ir, N) = Geometrik eğim serisi faktörüdür.
N
1 ir 1
(P/A,ir , N) N
ir 1 ir 1 i
1
1 g
bağıntısıyla hesaplanır.
• Örnek
• Bir inşaat şirketi iş makinaları için bir atölye binası
yatırımı düşünmektedir. Bu yatırıma yönelik
ödemelerin 4 yıl boyunca her yıl %5 oranında artacağı
tahmin edilmektedir. İlk ödeme miktarı 10,000$ ve faiz
oranı %8 olarak alınırsa, bu seriye eşdeğer şimdiki
değeri hesaplayınız?
• Çözüm:
i=%8 (faiz oranı)
g=%5 (ödemelerin yıllık artışı (+))
ir= düzeltilmiş faiz oranı=?
1 0.08
1
ir 1 0.05
ir= 1.028-1=0.0285 veya ir=2.85%
Geometrik eğim serisi faktörü :
P 1 i r 1
1 0.02854 1
A i r 1 i r N 0.0285 1 0.02854
N
P
=3.7306
A1 P
, ir , N =(10,000/1.05)·(3.7306)
1 g A
P=35,529.52$
Geometrik Seri Şimdiki Değeri
• Geometrik seri, genellikle enflasyon veya ekonomik
durgunluk (recession) nedeniyle, giderlerin ve
gelirlerin büyümesini (+g) veya küçülmesini (-g)
göstermek için kullanılmaktadır.
• Meselâ: işgücü giderleri her yıl %20 oranında artarsa,
işgücü giderlerini gösteren seri, geometrik bir seri
olacaktır.
• Geometrik nakit akışı serisinin şimdiki değeri:
Geometrik Seri Şimdiki Değeri
1 1 g N 1 i N P A1 i
g
P
N A1
1 i
ig
ig
veya P=A1·(P/A1, i, g, N)
(P/A1, i, g, N) faktörü,
Geometrik seri şimdiki değer faktörü olarak bilinir.
Geometrik Seri Gelecek Değeri
• g0 ve ig durumu için:
F
P
,
i,
N
,
g,
N
1
F
P
P A1 i-g
• Örnek:
• Bir inşaat firmasının insan gücü giderleri yıllık %20
oranında bir artış gösteriyor. Bu firma, gelecek 4
yıldaki işgücü giderlerini karşılamak üzere bir fon
oluşturmak istemektedir. Firmanın gelecek yıldaki
işgücü giderinin 500,000$ olacağı beklenmektedir.
Paranın %6 oranında faiz getirdiği düşünülerek, bugün
fona ne kadar para yatırılması gerektiğini belirleyiniz?
• Çözüm:
• Bir geometrik serinin gelecek değer eşdeğeri;
geometrik serinin, şimdiki değer faktörü ile
(F/P, i, n) faktörünün çarpılmasıyla elde edilir.
1 i N 1 g N F A1 ig
ig
F= N·A1·(1+i)N-1
i=g
veya
F=A1·(F/A1, i, g, N)
Burada (F/A1, i, g, N) faktörü, Geometrik seri gelecek
değer faktörü dür.
A1=500,000$
g=%20
i=%6
n=4 yıl
Geometrik seri şimdiki değer eşdeğeri:
P=A1·(P/A1, i, g, n) = A1·(P/A1, 6, 20, 4)
= 500,000·(4.7045)
=2,352,250$ (fona yatırılması gereken para)
Nominal ve
Efektif (Reel) Faiz Oranları
DR.M.KUTANİS
42
Nominal ve Efektif Faiz Oranları
• Şimdiye kadar basit ve bileşik faiz oranlarına ilişkin esaslar ile
gelir veya giderlerin 1 yıllık periyotlarda yapılması
durumundaki nakit akışları hesaplarına ilişkin esaslar
anlatılmıştır.
• Ancak, ME hesaplamalarında 1 yıllık periyotların yanı sıra 1
yılın altında faiz dönemleride kullanılmaktadır.
• Nominal ve efektif faiz oranları, basit ve bileşik faiz oranlarına
benzemektedir. Nominal, sözde veya görünen anlamındadır.
Efektifin kelime anlamı ise etkili, etkin veya gerçektir.
DR.M.KUTANİS
43
• “Nominal faiz oranı” uygulamasında, basit faiz
hesabında olduğu gibi, paranın zaman değeri göz ardı
edilmektedir.
• Periyotluk faiz oranlarından hareketle yıllık faiz
oranının hesaplanmasında; bileşik faiz oranında olduğu
gibi, paranın zaman değeri dikkate alınırsa, elde edilen
yıllık faiz oranı “Efektif faiz oranı” olarak adlandırılır.
• Nominal faiz oranı ( r ) =dönem başına faiz oranı ( i ) ·
dönem sayısı ( m )
• r=i·m
DR.M.KUTANİS
44
•
•
•
•
•
Nominal oranlar:
Aylık hesaplanmış %12 nominal faiz = %1/ay
Aylık hesaplanmış %18 nominal faiz = %1.5/ay
Günlük hesaplanmış %8 nominal faiz = %0.0219178/gün
Aylık % 1.5 oranında faiz uygulanan bir giyim mağazasında yıllık
% faiz oranı şu şekilde hesaplanır:
• i=%0.015
• m=12 ay
• r = i · m =0.015·12 = 0.18=%18
DR.M.KUTANİS
45
Önemli not:
DR.M.KUTANİS
46
Örnek:
• Faiz hesaplarında kullanılan formüller genellikle 1 yıllık faiz
periyodunu esas almaları nedeniyle, bu yıllık bileşik faiz oranı
NOMİNAL FAİZ ORANI olarak isimlendirilir.
• Hesaplama periyodu (faiz uygulaması) 1 yıldan daha az
olduğunda (6 aylık, 3 aylık, aylık, haftalık, günlük, veya sürekli),
daha sık hesaplama yapılacağından, gerçek veya EFEKTİF FAİZ
ORANI, nominal faiz oranından daha fazla olur.
• Şimdi bir örnekle bu iki faiz arasındaki farkı görelim.
DR.M.KUTANİS
• Not: yıllık % oran hesaplamasında, yıl içinde oluşan
faize faiz uygulanmadığı için, elde edilecek değer,
efektif faiz oranından daha düşük olacaktır.
• Nominal faiz oranı ( r ) ve Efektif faiz oranı ( ie ) ,
Faiz periyodu bir yıldan daha kısa bir süreyi
kapsadığında kullanılan faiz oranlarıdır.
• Aksi belirtilmedikçe, faizin belirleneceği hesaplama
periyodu için kullanılacak faiz oranı, efektif faiz
oranıdır. Periyodun bir seneden küçük olması
(dönem) halinde ise, ilgili periyodun faiz oranı, yıllık
faiz oranını dönem sayısına bölmek suretiyle bulunur.
Mesela; faiz oranı %5 ise, altı aylık faiz oranı, dönem
sayısının 2 olmasından dolayı, 5/2=2.5 (%2.5)
olacaktır.
47
• Bir tasarruf hesabında bulunan 1000$ a, %10
nominal faiz ödemesi yapılacaktır. Faiz
uygulaması yarıyıllıktır (6 ay). Paranın gelecek
değerini hesaplayınız.
• Çözüm
• yarıyıllık dönem faiz oranı=?
DR.M.KUTANİS
48
• r =i · m 0.10=i·2
• Faiz yarı yıllık olarak hesaplanırsa, gelecek
değer; ilk periyotta kazanılan faizin de faizini
içermelidir. Yarıyıllık hesaplanan ve yıllık %
10 olan faiz oranının anlamı; bankanın yılda iki
kez, her altı ayda bir %5 oranında faiz ödemesi
yapmasıdır.
• Dönem faiz oranı: i=0.05=%5
• İlk altı ayda faiz
: I=1000$·0.05=50$
• İkinci altı aylık periyot başında sahip olunan toplam para:
1000+50=1050$
• İkinci altı ayda faiz : I=1050$·0.05=52.5$
• Toplam Faiz
: 50$+52.5$=102.5$
• Toplam para
: 1000+102.5=1102.5$
• 1 yıllık periyotta uygulanan gerçek faiz (efektif):
(1102.5/1000)·100=%10.25
• F = P·(1+igerçek)N = 1000 · (1+0.1025)1 = 1102.5$
DR.M.KUTANİS
49
• Efektif faiz oranı (daima yıllıktır !),
m
r
m
ie 1 i 1 1 1
m
DR.M.KUTANİS
50
• Bu eşitlik, YILLIK EFEKTİF FAİZ ORANI
genel eşitliği olarak bilinir. Burada;
• i : Dönem faiz oranı,
• r : Nominal (daima yıllıktır!) faiz oranı,
• m : Yıl içindeki dönem sayısı ve
• ie : Yıllık efektif faiz oranı'dır.
• Efektif faiz oranı hesaplamasında Yıl sonundaki para
miktarı:
• F= P·(1+i)m
• Yıl sonunda alınan faiz ise:
• Yıllık nominal faiz oranından yararlanarak efektif
faiz oranının hesaplanmasını sağlayan eşitlik aşağıda
verilmiştir.
F r
ie , , m 1
P m DR.M.KUTANİS
• I= P·(1+i)m −P
51
DR.M.KUTANİS
52
• Örnek: 100 YTL %6 faiz oranı üzerinden bir bankaya
yatırıldığı ve faiz dönemi 6 ay olduğu takdirde, bir yıl sonunda
elde edilecek meblağ ne olacaktır?
•
•
•
•
•
•
•
ÇÖZÜM
i=6/2=3 (6 aylık faiz oranı)
dönem faiz oranı i=%3
Fakat dönem sayısı 2’ ye çıkmıştır.
F= P(1+i)m=100(1+0.03)2 =106.09 YTL
ie=(1+0.03)2 -1=%6.09 olarak bulunur.
F= P(1+ ie)N=100(1+0.0609)1 =106.09 YTL
DR.M.KUTANİS
Örnek:
Bir yatırımcı, aylık %1 faizle bir yıl vadeli 1,000YTL borç aldığı
takdirde yıl sonunda ödeyeceği toplam meblağ;
a.Nominal faiz oranıyla,
b.Gerçek faiz oranıyla ne olacaktır?
ÇÖZÜM
1 yıllık nominal faiz oranı, r =12%1=%12
F= P(1+r)N=1000(1+0.12)1 =1,120 €
Gerçek faiz olursa;
F= P(1+i)m= 1000(1+0.01)12 = 1,126.83 YTL
ie=(1+0.01)12 -1 =%12.68
F= P(1+ie)N= 1000(1+0.1268)1=1,126.83 YTL
53
DR.M.KUTANİS
54
Yarı yıllık hesaplama için: (1/2 yıl=6 aylık)
2
r
ie 1 1
2
• Yıl içindeki ödeme periyodu (dönem) sayısı m, dönem faiz
oranı i, efektif faiz oranı ie , ve nominal faiz oranı r ise;
r
F P 1 2
2 N
Çeyrek yıllık hesaplama için: (1/4 yıl=3 aylık)
F = P · (1+ie
ie 1 i m
4
r
ie 1 1
4
)N
m
r
1 1 1
m
F P 1 i N m
r
P 1 m
r
F P 1 4
4 N
Aylık hesaplama için: (1/12 yıl=1 aylık)
N m
DR.M.KUTANİS
12
r ie 1 1
12
55
r F P 1 12
DR.M.KUTANİS
12 N
56
Haftalık hesaplama için: (1/52 yıl=1 hafta)
52
r ie 1 1
52
r F P 1 52
52 N
Günlük (1/365 yıl=1 gün) hesaplama için:
r ie 1 365
365
1
r F P 1 365
365 N
Sürekli hesaplama (yıl içinde periyot sayısı sonsuz) için:
ie = er – 1 (burada e, exponansiyel sabiti =2.71828182)
F = P · (1+ie)N = P·( er )N = P·erN
DR.M.KUTANİS
57
DR.M.KUTANİS
58
•
Örnek:
100$, 10 yıllığına bir tasarruf hesabına yatırılmıştır. % 6 faiz
oranı çeyrek yıllık hesaplanmaktadır. 10. yılda hesapta ne
kadar para birikir?
Nominal ve Efektif Faiz Oranları İlişkisi
Nominal
oran
• Örnek 3-18:
• Bir inşaat şirketi 100,000€ lık borç almıştır. Bu borç üç yıl sonra
geri ödenecektir. % 8 nominal faiz oranında yarı yıllık, çeyrek
yıllık, aylık, haftalık, günlük ve sürekli hesaplama koşullarında
geri ödenecek toplam para miktarını ve bu koşullardaki efektif
faiz oranlarını hesaplayınız?
• Çözüm:
Yarı yıllık hesaplama: ie =0.0816
F=100,000·(1+0.0816)3 =126,531.90€
Çeyrek yıllık hesaplama: ie = 0.08243
ie = 100,000·(1+0.08243)3 = 126,824.18€
Aylık, ie = 0.08299
F =127,020.36€
Haftalık, ie = 0.08322
F =127,101.30€
Günlük, ie = 0.0832775 F =127,121.56€
Sürekli, ie= 0.083287
F =127,125.00€
Efektif Faiz oranı, ie
r
Yıllık
Yarı Yıllık
Aylık
Günlük
Sürekli
5
5.0000
5.0625
5.1162
5.1268
5.1271
10
10.0000
10.2500
10.4713
10.5156
10.5171
15
15.0000
15.5625
16.0755
16.1798
16.1834
20
20.0000
21.0000
21.9391
22.1336
22.1403
DR.M.KUTANİS
59
•
Çözüm:
1.yol:
r = i·m bağıntısından, dönem faizi = 6/4 = %1.5 ve,
10 yılda toplam m=10·4 = 40 dönem hesaplanır.
F=P·(F/P, %1.5, 40)=100·(1.814)=181.4$
2.yol:
ie = 0.06136 hesaplanır. ie =%6.136, N=10 periyot için:
F=P·(F/P, %6.136, 10)=100·(1.814) =181.4$
bulunur.
DR.M.KUTANİS
60
(P/F, i%, N) 1
F / P , i%, N (A/P, i%, N) FAİZ FAKTÖRLERİ ARASINDAKİ
İLİŞKİLER
1
P / A , i%, N (A/F, i%, N) 1
F / A , i%, N (F/A, i%, N) (P/A, i%, N) (P/F, i%, N)
N
(P/A, i%, N) P / F , i%, k k 1
N -1
(F/A, i%, N) F / P , i%, k k 0
(A/F, i%, N) (A/P, i%, N) - i
Bilinmeyen faiz periyodu hesabı
F P 1 i N
eşitliğin her iki tarafı P’ ye
bölünür:
F
N
1 i her iki tarafın log u alınır:
P
F
N
log log 1 i ve yeniden düzenlenirse:
P
F
log F
log N log1 i burada
P
N
P
log1 i n:
elde
edilir.
Bilinmeyen faiz oranı hesabı
F P 1 i F
N
1 i P
N
N
eşitliğin her iki tarafı P’ ye
bölünür
yeniden
düzenlenirse
F N
N
1 i P
iN
F
1
P
elde
edilir.
2-Oct-14
DR. MUSTAFA KUTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖLÜMÜ
SLIDE 65/
Download

Sunum 3 (14/10/2014) : Paranın zaman değeri