Bölüm 4
Paranın Zaman Değeri
• Faiz: Paranın
maliyeti
• Ekonomik
Eşdeğerlik
• Faiz Formülleri
• Özel Eşdeğerlik
Hesaplamaları
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
1
Örnek Karar Problemi
 1987 yılında $1.3 milyon
bir piyango ikramiyesi
kazanmış olalım.
İkramiye 20 yılda
$65,277 eşit taksitlerde
ödenecektir. 1995
yılında geriye kalan 9
yıllık ödemenin her yıl
yarısına karşılık
($32,639) bir defada
$140,000 toplu ödeme
tercihi önümüze
sunulmuş olsun.
 Bu tercih seçilmeli midir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
2
Tercihlerin Değerlendirilmesi
Yıl
Taksitler
Yıl
Taksitler
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
$65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
$65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
65.277
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Azalan
Ödeme
$32.639
32.639
32.639
32.639
32.639
32.639
32.639
32.639
32.639
$140,000
toplu
ödeme
(şimdi)
3
Neleri Bilmemiz Gerekiyor?
Bu tür karşılaştırmalar yapabilmek için,
paranın değerini farklı zaman
noktalarında karşılaştırabilmemiz
gerekir.
Bunun için, para giriş ve çıkışlarını tek
bir zaman noktasında değerlendirmemiz
gerekmektedir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
4
Paranın Zaman Değeri
Paranın zaman değeri
vardır, çünkü para
zaman içerisinde daha
fazla para kazandırabilir
(kazanma gücü).
Paranın zaman değeri
faiz oranı cinsinden
ölçülür.
Faiz paranın maliyetidir.
Borç alan için maliyet,
borç veren için ise
kazanç tır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
5
Geri Ödeme Planları
Yıl Sonu
Ödemeler
Plan 1
Plan 2
Yıl 0
$20,000.00
$200.00
$200.00
Yıl 1
5,141.85
0
Yıl 2
5,141.85
0
Yıl 3
5,141.85
0
Yıl 4
5,141.85
0
Yıl 5
5,141.85 30,772.48
P = $20,000, A = $5,141.85, F = $30,772.48
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Borç
6
Nakit Akışı Diyagramı
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
7
Faiz Hesaplama Yöntemleri
• Basit faiz: sadece başlangıçtaki ana paraya
faiz uygulanması
• Birleşik faiz: başlangıçtaki ana paraya ve
önceki ödenmemiş birikimli faize faiz
uygulanması
ÖRNEK:
 $1000 parayı %8 yıllık bileşik faizden
bankaya yatırmış olalım. Yıl sonunda
kazanılan faiz çekilmeyerek faizin birikmesi
düşünülmektedir. Bu şekilde devam
edildiğinde 3 yıl sonunda bankadaki para ne
kadar olur?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
8
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
9
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
10
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
11
Faiz genel olarak “Basit Faiz” ve “Bileşik Faiz “ olarak
ikiye ayrılır. Ancak Pratikte kullanılan faiz hesapları,
bileşik faiz esasına dayanmaktadır. Basit ve bileşik faiz
kavramı aşağıdaki açıklamaya çalışılmıştır.
Belirli bir miktar paranın bugünkü değeri (P) ile n
yıl sonraki değeri(Sn) arasındaki fonksiyonel ilişki;
Sn = P + In
( 1.1)
Şeklindedir. Burada In, n yılın sonunda P ’nin değerindeki
artışı veya borç alıp verme işleminde biriken faiz
miktarını göstermektedir. Paranın Artış miktarı In, P, n ve
yıllık faiz oranı (i) nin fonksiyonudur. In büyüklüğünün
hesabında iki yaklaşım söz konusudur. Birinci yaklaşımda
In ‘in zamana göre lineer bir artış gösterdiği kabul edilir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
12
Enflasyon ve deflasyon etkisi ile paranın
zaman içinde satın alma gücü veya
ekonomik değeri değişmektedir. Enflasyon
nedeni ile paranın satın alma gücü zamanla
azalacaktır. Örneğin bir ülkede yıllık
enflasyon oranı %10 ise bugün 100 TL olan
bir malın fiyatı bir yıl sonra 110 TL
olacaktır. Dolayısı ile bugün kullanılan para
daha sonra kullanılacak aynı miktar paradan
daha değerli ve daha yararlıdır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
13
Kişiler ve kuruluşlar, parasal tasarruflarının
zaman içindeki değer kaybını önlemek. Hatta
değerini artırmak için çeşitli ekonomik
faaliyetlerde bulunurlar. Bu faaliyetlerden birisi
de sahip olunan paranın Başkasına bir kira
karşılığında kullandırılması yani borç
verilmesidir. Önceden kararlaştırılmış olan bu
kiraya “FAİZ” denir. Parayı borç olarak
kullanan kişi veya kuruluş bir yarar, bir kazanç
sağlayacaktır. İşte faiz, ödünç verilen parayı
kullanarak kazanç sağlayan kişi veya kuruluşun
sağladığı bu kazanca, parayı ödünç veren kişinin
bir ölçüde ortak olmasıdır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
14
Günümüzde para piyasası ekonominin önemli bir unsurudur.
Para piyasasının lokomotifi durumundaki mevduat bankacılığı
ise, hareketsiz sermayenin temininde önemli rol oynamaktadır.
Üretken olarak kullanılan bir sermayenin değerlendirilmesinde
ve müteşebbislere kredi yolu ile kiralık sermaye temininde
önemli rol oynamaktadır. Üretken olarak kullanılan bir
sermayenin getirisi en az banka faizine eşit olmalıdır, aksi halde
zarar söz konusudur. Yukarıdaki bilgiler çerçevesinde sonuç
olarak, faiz paranın zaman değerinin bir ölçüsüdür.
denilebilir ve eflasyon etkisini karşılamak üzere önceden
belirlenen faiz oranı yardımıyla, paranın herhangi bir zamandaki
değerini bulmak mümkündür. Faiz oranı yardımıyla paranın
zaman değerinin hesaplanabilmesi, sadece parayı borç alıp
verme işleminde değil, tüm ekonomik faaliyetlerin
değerlendirilmesinde temel teşkil eder.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
15
Şekil 1.5 ‘den görüldüğü gibi
paranın yıllık artış miktarları
sabit bir Pi değerindedir ve n
yıl sonraki toplam artış,
In = P . i . n
(1.2)
Ve n yıl sonunda ulaşılan
parasal değer;
Sn = P [1 + (n . i)]
Şekil 1.5 Basit faiz yaklaşımı
(1.3)
Şeklinde ifade edilir. Bu yaklaşım “Basit Faiz” yaklaşımı
olarak adlandırılmaktadır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
16
Basit Faiz
•
•
•
•
P = ana para
i = faiz oranı
n= periyot sayısı
Örnek:
– P = $1,000
– i = %8
– n = 3 yıl
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Yıl
Sonu
Başlangıç
Bakiye
Faiz
0
Sonuç
Bakiye
$1,000
1
$1,000
$80
$1,080
2
$1,080
$80
$1,160
3
$1,160
$80
$1,240
17
İkinci yaklaşımda, yıllık artışlar veya yıllık faiz,
orijinal paranın üzerine eklenir ve bir sonraki yıl
için faiz hesabına esas orijinal para ile birlikte faiz
miktarı da artacak ve bu aratış, göz önüne alınan n
peryodu boyunca devam edecektir. Örneğin,
bugünkü değeri P olan bir paranın yıllık i faiz
oranıyla kiraya verildiğini veya yıllık geri dönüş
oranı (kar) i olan bir ticari faaliyette kullanıldığını
düşünelim. İlk yılın sonundaki faiz veya kar, P ‘dir.
Ve orijinal yatırım P’den P(1+ i) ve orijinal miktar
P(1+ i)² değerindedir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
18
Bu işlem n yıl için sürdürülürse, ulaşılacak
toplam parasal değer;
Sn = P(1+ i)n
(1.4)
ve n yılın sonundaki parasal artış (faiz veya kar)
In= P [ (1 + i)n - 1]
(1.5 )
şeklinde ifade edilir ve bu yaklaşım “Bileşik faiz“
olarak adlandırılır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
19
Bileşik faiz yaklaşımı aşağıdaki Tablo ‘da daha
açık bir şekilde özetlenmektedir.
Yıl sonu
0
1
2
3
.
.
.
n
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Yıllık Faiz
Geliri (f)
-
f1=P . i
f2= P (1 + i) . i
f3= P (1 + i)2 . i
.
.
.
fn= P (1+ i)n-1 . i
Yıl sonunda Toplam Para (S)
S0 = P
S1 = P + P . i
= P (1+ i)
S2 = P (1 + i) + P(1 + i) . i = P (1+ i)2
S3 = P (1 + i)2 + P(1 + i)2 . i = P (1 + i)3
.
.
.
Sn= P (1+ i)n-1 + P(1+ i)n-1 . i = P(1+ i)n
20
Bileşik faiz yaklaşımında Sn ve In ,basit faiz
yaklaşımında olduğu gibi zamanla lineer artış
değil, exponansiyel bir artış göstermektedir.
J = ln(1+ i) tanımlaması yapılır ve zamana göre
sürekli bir parasal değişim kabul edilirse, (1.4)
ve (1.5) denklemi,
St= P . ej t
(1.6)
It = P ( e j t – 1 )
(1.7)
Ve
şeklini alır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
21
Bileşik faiz yaklaşımında, St ve It büyüklüklerinin
zaman (t) ile fonksiyonel ilişkisini veren (1.6) ve
(1.7) ifadesinin grafik gösterimi ise Şekil-1.6’daki
gibidir.
Şekil-1.6 Bileşik faiz yaklaşımının Grafik gösterimi
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
22
Bileşik Faiz
•
•
•
•
P = Ana para
i = Faiz oranı
n = Vade
Örnek:
– P = $1,000
– i = %8
– n = 3 yıl
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Yıl
Başlangıç
Bakiye
Biriken
Faiz
0
Yıl Sonu
Bakiye
$1,000
1
$1,000
$80
$1,080
2
$1,080
$86.40
$1,166.40
3
$1,166.40
$93.31
$1,259.71
23
Örnek Problem 1.1
Yıllık %6 faiz oranı ile bir bankaya 10
Milyon TL. yatırılmıştır. Bileşik faiz
yaklaşımını kullanarak yıllık faizleri, paranın
her yıl ulaştığı miktarları ve on yıl sonra
bankadan alınacak para miktarlarını hesap
ediniz.
Problemin çözümü Tablo-1.2 ‘de açık bir
şekilde görülmektedir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
24
Örnek Problem 1.1 ’in çözümü
Yıl
Sonu
Yıl sonundaki
Yıllık faiz geliri
Hesaptaki Para,
[fn = P(1+ i)n-1 -1]
[Sn = P (1+ i)n] (TL)
(TL)
n=0
=1
=2
=3
=4
=5
=6
=7
=8
=9
=10
S0 =P = 10 000 000
S1
= 10 600 000
S2
= 11 236 000
S3
= 11 910 160
S4
= 12 624 770
S5
= 13 382 256
S6
= 14 185 191
S7
= 15 036 303
S8
= 15 938 481
S9
= 16 894 790
S10 = 17 908 477
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
f1=600 000
f2=636 000
f3=674 160
f4=714 610
f5=757 486
f6=802 905
f7=851 112
f8=902 178
f9=956 309
f10=1 013 687
Yıl sonu
Geri Ödemesi
(TL)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
17 908 477
25
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
26
Basit ve Bileşik Faiz Karşılaştırması
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
27
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
28
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
29
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
30
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
31
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
32
Örnek Problem 1.4
Bir finans kuruluşunda %60 yıllık nominal
faiz ile alınan 500 milyon TL kadar kredi
için üç yıl sonra ödemesi gereken borç
miktarını ve yıllık efektif faiz oranını, faiz
gerçekleşme periyodu sayısı (m) ile
değişimini inceleyiniz.
(1.8) ve (1.9) denklemleri kullanılarak elde
edilen sonuç tablo 1.3 de görülmektedir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
33
Tablo 1.3. Faiz periyodunun efektif faiz oranına etkisi
Faiz Periyodu
Yıllık (m=1)
6aylık (m=2)
3aylık (m=4)
1aylık (m=12)
Haftalık (m=52)
Günlük (m=365)
Sürekli (m---∞)
Geri ödenecek
Yıllık efektif
Borç (milyon TL) faiz oranı (%)
2048.0
2413.4
2675.1
2895.9
2993.8
3020.4
3024.8
60.0
69.0
74.9
79.6
81.6
82.1
82.2
Tablodan görüleceği üzerine yıllık faiz gerçekleşme periyodu sayısı(m)
arttıkça geri ödenecek para miktarı ve efektif faiz oranı artmaktadır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
34
1.8. FARKLI PARA AKIŞ PROFİLLERİNE
GÖRE PARANIN ŞİMDİKİ VE GELECEK
DEĞERİ ARASINDAKİ BAĞINTILAR
Ekonomik faaliyetlerde para akışları farklı
zamanlarda olduğundan alternatif yatırımların
değerlendirilmesi ve en iyisini seçilebilmesi için
zamana yayılmış para akışlarının referans olarak
seçilen bir zamandaki değerinin bilinmesi
gereklidir. Bu nedenle aşağıda bileşik faiz
yaklaşımı çerçevesinde değişik para akış
profillerine göre paranın şimdiki ve gelecek değeri
arasındaki ana bağıntılar özet olarak verilmektedir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
35
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
36
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
37
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
38
Sn ve P arasındaki ilişki şekil 1.7 ‘de görülmektedir.
Şekil 1.7. Tek Ödeme Durumunda Şimdiki ve Gelecek
Değer arasındaki ilişki
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
39
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
40
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
41
b)Üniform ve Peryodik Ödemeler Serisinin
Gelecek Değeri
Belirli bir n yıllık süre boyunca, her yıl sonunda
yapılan eşit A ödemeleri durumunu göz önüne alalım
(Şekil 1.8).
Şekil -1.8. Üniform ve Peryodik Ödemeler serisinin
Gelecek Değeri
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
42
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
43
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
44
Örnek Problem 1.7
Bir işletme sahip olduğu bir tesis için yeni bir makine
satın alınmıştır. İşletme yöneticileri, 12 Yıllık ekonomik
ömür sonunda makineyi yenileyebilmek amacıyla, şu
andan itibaren her yılın sonunda ayıracağı ve bir finans
kuruluşuna yıllık %8 faiz oranı ile yatıracağı eşit miktar
paralarla 15 yıl sonunda 200 000 $ elde etmek ister. Her
yıl üniform olarak yatırılması gereken para miktarı ne
olmalıdır?
Yıllık Üniform yatırım miktarı (1.20) denkleminden,
A=200 000(A/S, %8, 12)=(200 000)0.08/(1+.08)12-1
= (200 000)(0.0527) =10540 $ olmaktadır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
45
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
46
Tablo -1.4
Yıllık
Üniform
Yatırımların
Gelecek
değeri
(106 TL)
n=10 Yıl
i=%30
Yıl
sonu (t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Yıl sonu
Ödemesi (A)
234.634
“
“
“
“
“
“
“
“
“
(1+i)n-t St=A(1+i) n-t
10.605
8.157
6.275
4.827
3.713
2.816
2.197
1.690
1.300
1.000
S1=2488.294
S2=1913.910
S3 =1472.328
S4 =1132.578
S5 =871.196
S6 =670.115
S7 =515.491
S8 =396.532
S9 =305.024
S10 =234.634
n=10
Sn= ∑ St=10000.102
t=1
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
47
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
48
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
49
Denklemdeki [(1+i)n-1]/[ i(1+i)n] büyüklüğüne üniform
seri şimdiki değer faktörü adı verilir.
Şekil 1.9. Üniform ve periyodik ödemeler serisinin şimdiki
değeri
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
50
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
51
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
52
Tablo 1.5 Ev Kredisi Borç Ödeme Modeli (106 TL)
Yıl
Sonu
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
Faiz
Ödenecek
Borç
10
9.4
8.7
7.9
7.1
6.2
5.2
4.0
2.8
1.5
110.0
103.1
95.5
87.1
77.9
67.8
56.7
44.4
30.9
16.1
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Yıl Sonu
Ödemesi
Ödenen Ana
Para
16.3
16.3
16.3
16.3
16.3
16.3
16.3
16.3
16.3
16.3
6.3
6.9
7.6
8.4
9.2
10.1
11.1
12.3
13.5
14.6
Kalan Borç
100.0
93.7
86.8
79.2
70.8
61.6
51.5
40.4
28.1
14.6
0.0
53
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
54
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
55
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
56
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
57
d) Artan Ödemeler Serisini Şimdiki Değeri
İşletmelerde bazı ödemeler veya masraflar (enerji,
işletme ve bakım masrafları gibi ) enflasyon ve
ekipmanların yıpranması nedeniyle yıldan yıla
artış göstermektedir. Artan bu ödemeler serisinin
şimdiki değerinin hesaplanması işletmenin
ekonomik değerlendirilmesinde önemli olmaktadır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
58
Şekil -1.10 Gradient ödemeler Serisinin Şimdiki Değeri
(a)
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
59
(b)
(c)
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
60
Yıllık ödeme veya masraflar lineer bir artış
gösteriyorsa yani yıllık artışlar sabitse bu
ödemeler serisine ‘’Gradient Ödeme ‘’ adı
verilir. Şekil 1.10 (a) da görülen bir ödeme
serisini göz önüne alalım. Bu ödeme serisinde
yıllık artışlar sabit bir G miktarı kadardır. Böyle
bir ödeme serisi şekil 1.10 (b) deki üniform bir
seri ile şekil 1.10 (c ) de görülen gradient bir
serinin toplamına eşdeğerdir. Dolayısı ile göz
önüne alınan ödeme serisinin şimdiki değeri,
üniform ödeme serisinin şimdiki değeri ile
gradient ödeme serisinin şimdiki değerinin
toplamına eşittir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
61
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
62
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
63
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
64
Bu faktör (p/a1) sembolü ile gösterilirse (1.30)
denklemi,
P= A1(p/a, i, k, n)
(1.31)
Şeklinde eşdeğer bir gösterimle ifade edilebilir.
Örnek Problem 1.14
Bir işletmenin enerji masrafları birinci yıl için
5000 $ olup bu masraflar her yıl 500 $ artmaktadır.
Yıllık faiz oranı % 8 olduğuna göre, 11 yıl
boyunca yapılan enerji masraflarının şimdiki
değeri nedir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
65
Şekil 1.12. Enerji Masraflarının Zamanla Değişimi
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
66
Şekil -1.12 2deki ödeme serisi, A= 5000 $ ’lık
üniform bir ödeme serisi ile G= 500 $ ‘lık gradient
bir ödeme serisinin toplamına eşdeğerdir. Bu
nedenle enerji masraflarının şimdiki değeri;
P= 5000(p/a, % 8,11) +500(p/g,% 8,11)
= (5000 )[((1.08)11-1)/0.08(1.08)11]
+500{1/0.08[(1.08)11-1/0.08(1.08)11(11/(1.08)11)]}
=35694.37 $ +15131.88 $= 50826.25 $
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
67
Örnek Problem 1.15
Bir enerji üretim santralinde bakım- tutum maliyeti
ilk yıl için 2*106 $ olup, her yıl %15 oranında artış
göstermektedir. Yıllık faiz oranı %12 olduğuna
göre santralin 10 yıllık ömrü boyunca bakım- tutum
maliyetinin şimdiki değerini bulunuz?
Şekil -1.13 ‘deki maliyet serisi geometrik bir seri
olup, bu serinin şimdiki değeri,
P = 2*106 (p/a1,%12,%15,10)
=2*106[1-(1.15 )10 ( 1.12 ) -10 / 0.12 – 0.15 ]
= 20.18 *106 $
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
68
ÖZET
ARANAN
VERİLEN
Sn
P
P
Sn
Sn
A
A
Sn
P
A
FAKTÖR
(1+İ )n
P
P
G
(s/p)
(1+i )-n
(p/s)
(1+i )n-1 / i
(s/a)
i / ( 1+i) n-1
( 1+i)n-1 / i( 1+i ) -1
n
A
SEMBOL
i ( 1+i ) /( 1+i
)n-1
1/i [(1+i)n-1 /
i(1+i )n - n/(1+i)n]
(a/s)
(p/a)
(a/p)
(p/g)
ADI
Tek Ödeme Gelecek Değer Faktörü
Tek Ödeme Şimdiki Değer Faktörü
Üniform Seri Gelecek Değer Faktörü
Sinking Fund Factor
Üniform Seri Şimdiki Değer Faktörü
Yatırım İkame Faktörü (Capital
Recovery Factor) veya Amortisman
Faktörü
Gradient Seri Şimdiki Değer Faktörü
k╪ 1 ise,
1-( 1+k )n( 1+i )-n/i-k
P
A1
k=1 ise
n/(1+i)
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
(p/a1)
Geometrik Seri Şimdiki Değer
Faktörü
69
ALTERNATİF BORÇ ÖDEME PLANLARI
Ekonomik faaliyetlerde, kredi almak sureti ile yatırılan sermayenin geliri,
belirli bir zaman içinde kredinin geri ödemesini sağlamalıdır.
Borç ödemenin temel unsuru faiz oranıdır. Bu oran tespit edildikten sonra,
kredinin faizini ve ana parasını adım adım geri ödemek üzere taraflar
arasında bir plan yapılır. Çok sayıda alternatif geri ödeme planları
yapılabilir. Ancak tarafların mutabık kaldıkları plana göre geri ödeme
gerçekleştirilir. Alternatif geri ödeme planlarında, kararlaştırılmış geri
ödeme süresi içinde yapılan ödemelerin şimdiki değeri aynı olan planlara
‘’Eşdeğer geri ödeme Planları‘’ adı verilir.
Tablo 1.7’de yıllık %6 faiz oranı ile alınan 10 Milyon $’lık kredinin 5
yılda geri ödemek üzere alternatif 4 ödeme planı verilmiştir. Plan 1 ‘de her
yılın sonunda ana paranın faizi ödenir ve 5. yılın sonunda o yılın faizi ile
ana paranın tümü ödenerek borç kapatılır. Plan 2’de ana para her yıl eşit
miktarda azaldığından, yıllık faiz miktarları da aynı oranda azalmaktadır.
Plan 3’de, ana para ve faiz toplamı her yıl eşit olarak azaltılmak sureti ile,
5. yılın sonunda borç sıfırlanır. Plan 4’de ise geri ödeme süresi olan 5.
yılın sonuna kadar bir ödeme yapılmamakta ana para ve faiz toplamları 5.
yılın sonunda ödenerek borç sıfırlanmaktadır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
70
Tablo 1.7’deki geri ödeme planlarına göre yapılan yıllık ödemeler şekil 1.14 ‘de
grafik olarak gösterilmiştir. Bu geri ödeme planlarına göre yapılan ödemelerin
şimdiki değeri:
Plan 1 için,
P= ( 600* 103) ( p/a , % 6.5 ) + ( 10* 106) ( p/s , % 6.5 )
= ( 600 * 103) [ ( 1+ 0.06 )5 -1 / 0.06 ( 1+0.06) 5 ]+ ( 10*106 ) ( 1+ 0.06 ) -5
= 10*106 $
Plan 2 için,
P= (2600 * 103 ) ( p/a , % 6.5 ) – ( 120* 103 ) ( p/g , % 6.5 )
=(2600*103)[(1+0.06)5-1/0.06(1+0.06)5] - (120*103){1/0.06[(1+0.06)5 1/0.06(1+0.06)5) – (5 /(1+0.06)5)]} =10*106 $
Plan 3 için,
P=(2373.94*103)(p/a,% 6.5)
=(2373.94*103)[ (1+0.06)5-1)/0.06(1+0.06)5]=10*106 $
Plan 4 için,
P=(13382.26 * 103 ) ( p/s , % 6.5 ) =(13382.26*103)(1+.006)-5 = 10*106 $
olmaktadır.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
71
Tablo 1.7 10 milyon$ Kredinin Yıllık % 6 faiz oranı ile 5 yılda geri
ödeme planları (103 $)
PLAN 1
Yıl sonu
Yıllık Faiz
Ödemeden önceki
Borç
Yıl sonu Ödemesi
0
600
10000
1
600
10600
600
10000
2
600
10600
600
10000
3
600
10600
600
10000
4
600
10600
600
10000
5
600
10600
10600
0
PLAN 2
0
10000
1
600
10600
2600
8000
2
480
8480
2480
6000
3
360
6360
2360
4000
4
240
4240
2240
2000
5
120
2120
2120
0
PLAN 3
0
10000
1
600
10600
2373.94
8226.06
2
493.56
8719.62
2373.94
6345.68
3
380.74
6726.42
2373.94
4352.48
4
261.14
4613.61
2373.94
2239.57
5
134.37
2373.94
2373.94
0.00
PLAN 4
0
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Ödemeden sonraki
Borç
10000
1
600
10600
0
10600
2
636
11236
0
11236
3
674.14
11910.16
0
11910.16
4
714.61
12624.77
0
12624.77
5
757.49
13382.26
13382.26
0
72
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
73
Ekonomik Eşdeğerlik
• Ekonomik eşdeğerlik, iki nakit akışının aynı ekonomik
etkiye sahip olması ve bu yüzden birbiriyle
değiştirilebilmesidir.
• Nakit akışındaki miktarlar ve zamanlar farklı olmasın
rağmen, uygun bir faiz oranı iki nakit akışını birbirine
eşit yapar.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
74
• Eğer P kadar para
şimdi N dönem için i
faizinden yatırılırsa,
N dönem sonra F
kadar para elimize
geçecektir.
• N dönem sonraki F
kadar para şimdiki P
kadar paraya
eşdeğer olmaktadır.
Para kazanma
gücümüz i faiz oranı
ile ölçülmektedir.
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
F
F  P (1  i )
N
0
N
P  F (1  i )
N
P
75
20,000 $ Banka Kredisi Ödeme Planları
Geri ödemeler
Plan 1
Plan 2
Plan 3
Yıl 1
$5,141.85
0
$1,800.00
Yıl 2
5,141.85
0
1,800.00
Yıl 3
5,141.85
0
1,800.00
Yıl 4
5,141.85
0
1,800.00
Yıl 5
5,141.85
$30,772.48
21,800.00
Toplam ödeme
$25,709.25
$30,772.48
$29,000.00
Toplam ödenen
faiz
$5,709.25
$10,772.48
$9,000.00
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
76
Örnek 4.3
• Size bugün için P dolar ödeme veya 5
yıl sonunda 3000 $ ödeme alternatifleri
sunulmuş olsun. Şu anda paraya
ihtiyacınız olmadığı için size verilen P
doları %8 yıllık faizle bankaya yatırmaya
karar vermiş olun. Hangi P miktarı sizin
için bu iki alternatif ödeme planını
eşdeğer yapacaktır?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
77
Örnek 4.3 Eşdeğerlik
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
78
İki Nakit Akışının Eşdeğerliği
• Adım 1: Dönem
sayısını belirleyiniz,
$2,042
örn: 5 yıl.
• Adım 2: Hangi faiz
oranını kullanacağınızı
belirleyiniz.
• Adım 3: Eşdeğerlik
0
değerini hesaplayınız.
$3,000
5
i  6 % , F  $ 2, 0 4 2 (1  0 . 0 6 )  $ 2, 7 3 3
5
i  8 % , F  $ 2, 0 4 2 (1  0 . 0 8 )  $ 3, 0 0 0
5
i  1 0 % , F  $ 2, 0 4 2 (1  0 .1 0 )  $ 3,2 8 9
5
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
79
Örnek 4.4
• Örnek 4.3’de, 5 yıl sonra 3000 $
almanın %8 faiz oranı esas alındığında
şimdi alınan 2,042 $ eşdeğer olduğunu
hesapladık. Bu iki nakit akışı acaba 3.
yılın sonunda da eşdeğer midir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
80
“Eşdeğer Nakit Akışları Herhangi Bir
Zaman Noktasında Eşdeğerdir”
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
81
Örnek 4.5
• Örnek 4.3’de, 5 yıl sonra 3000 $ almanın
%8 faiz oranı esas alındığında şimdi
alınan 2,042 $ eşdeğer olduğunu
hesapladık. Bu iki nakit akışı faiz oranı
%10 olsaydı, hala eşdeğer olur muydu?
F=$2,042(1+0.10)5 = 3,289 $
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
82
Örnek 4.6
•
Bir bankadan %10 yıllık faizle 3 yıl vadeli kredi almış
olun. Banka iki farklı ödeme opsiyonu sunmaktadır:
1. Her bir yılın faiz ödemesini o yılın sonunda yapma
ve ana parayı 2. ve 3. yılın sonunda ödeme
2. Tüm krediyi (faiz ve anapara) 3. yılın sonunda toplu
ödeme.
•
Bu durumda, opsiyonlar için ödeme planları:
Opsiyonlar
Opsiyon 1
Opsiyon 2
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
Yıl 1
$100
$0
Yıl 2
$100
$0
Yıl 3
$1100
$1331
83
Örnek 4.6: Çoklu Ödemeli Eşdeğerlik Hesabı
$100 için F3
n = 1: $100(1  0.10)
3 1
 $121
$100 için F3
n = 2: $100(1  0.10)
3 2
 $110
$100 için F3
n = 3: $100(1  0.10)
33
 $100
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
84
Nakit Akışı Türleri
•
•
•
•
•
Tek nakit akışı
Eş (uniform)
ödeme serisi
Doğrusal artımlı
seri
Geometrik
artımlı seri
Düzensiz
ödemeli seri
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
85
Örnek 4.7
• Eğer $2000 şimdi %10 faizle yatırsanız
8 yıl sonra değeri ne olurdu?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
86
Tek Nakit Çıkışlı Formül
• Tek ödeme, bileşik
faiz, gelecek değer
• Verilen:
i  10%
N  8 ye a rs
F  P (1  i )
F  $ 2, 0 0 0 (1  0 .1 0 )
8
F
F  P ( F / P , i, N )
0
N
P  $ 2 ,0 0 0
• İstenen:
N
P
 $ 2, 0 0 0 ( F / P ,1 0 % ,8 )
 $ 4, 2 8 7 .1 8
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
87
Örnek 4.8
• 5 yıl sonra elimize $1000 geçmiş olsa,
%12 yıllık faiz ile bu paranın bugünkü
değeri nedir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
88
Tek Nakit Girişli Formül
• Tek ödeme, bileşik
faiz, şimdiki değer
• Verilen:
P  F (1  i )
0
N  5 ye a rs
N
F  $ 1, 0 0 0
P  $ 1, 0 0 0 (1  0 .1 2 )
F
P  F ( P / F , i, N )
i  12%
• İstenen:
N
5
P
 $ 1, 0 0 0 ( P / F ,1 2 % ,5 )
 $ 5 6 7.4 0
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
89
Örnek 4.9
• Şimdi $10 aldığınız bir hisse senedini 5
yıl sonra $20’dan satmış olun. Bu
durumda ortalama yıllık geri dönüş
oranı nedir?
F=P(1+i)N
20 = 10(1+i)5
i=%14.87
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
90
Örnek 4.10
XYZ firmasının 100 adet hisse senedini
$60/hisse fiyattan almış olalım. Planımız
hisse senedinin değeri iki katına çıktığında
elimizden çıkarmaktır. Hisse fiyatının yılda
%20 artacağını tahmin edildiğinde, hisseyi
satmak için kaç yıl beklememiz gerekir?
F=P(1+i)N = P(F/P, i,N)
12,000 = 6,000 (1+0.20)N
N=3.80 veya yaklaşık 4 yıl
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
91
Örnek 4.11
• Yıl 1: Müşteri hizmetleri için bilgisayar ve
yazılımları için $25,000
• Yıl 2: Mevcut sistemi yükseltmek için $3000
• Yıl 3: Harcama yok
• Yıl 4: Yazılım yükseltmeler için $5,000
4 yıllık harcamaları karşılamak için ne kadar
para bankaya yatırılmalıdır (faiz oranı %10)?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
92
Düzensiz Ödeme Serisi
P1  $ 2 5, 0 0 0 ( P / F ,1 0 % ,1 )
P2  $ 3, 0 0 0 ( P / F ,1 0 % ,2 )
P4  $ 5, 0 0 0 ( P / F ,1 0 % ,4 )
P  P1  P2  P4
 $ 2 8, 6 2 2
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
93
Örnek 4.12
• Ünlü bir sporcu 2000 yılında 10 yıllığına $252
milyon değerinde (sözleşme imzalandığında
$10 milyon ödeme) bir sözleşme
imzalamıştır. Sözleşme ayrıca 2001-2004
yıllarında yıllık $21 milyon ve 2005-2006
yılları arasında $25 milyon ve 2007-2010
yılları arasında $27 milyon maaş
öngörmektedir. Sözleşme imzalandığında söz
verilen $10 mİlyon 2001-2005 yılları arasında
5 eşit taksitte ödenecektir. Sözleşmenin
bugünkü değeri nedir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
94
Örnek 4.12: Uzun vadeli bir sözleşmenin
şimdiki değerinin hesabı
Periyot
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Sözleşme
Ücreti
2001 $ 21.000.000
2002
21.000.000
2003
21.000.000
2004
21.000.000
2005
25.000.000
2006
25.000.000
2007
27.000.000
2008
27.000.000
2009
27.000.000
2010
27.000.000
Bonus
Ödeme
Toplam
Yıllık Ödeme
$ 2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
$ 23.000.000
23.000.000
23.000.000
23.000.000
27.000.000
25.000.000
27.000.000
27.000.000
27.000.000
27.000.000
P  $23 M ( P / F , 6% ,1)  $23 M ( P / F , 6% ,2 )  . . .  $27 M ( P / F , 6% ,9 )
 $215. 75 M
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
95
Eşit Ödemeli Seri
A
0
1
2
3
4
5
N-1
N
F
P
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
96
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
97
Örnek 4.13
• Her yıl banka hesabınıza 10 yıl boyunca
$3000 yatırmış olun. %10 faiz
oranından hesabınızın 10 yıl sonraki
değeri ne olur?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
98
Eşit Ödemeli Seri – Bileşik Miktar Faktörü
F
0
1
2
F  A
3
N
A
(1  i )
N
1
i
 A( F / A,i, N )
Örnek 4.13:
• Verilen: A = $3,000, N = 10 yıl ve i = %10
• İstenen: F
• Çözüm: F = $3,000(F/A,%10,10) = $47,812.2
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
99
Örnek 4.15
Bir baba çocuğuna 5 yıl sonra $5,000
sahip olma hedefine ulaşması için şimdi
$500 vermeyi teklif etmektedir. Çocuk
ise, kısmi-zamanlı bir işte çalışarak her
yıl sonunda hesaba para yatırmak
istemektedir. Eğer yıllık faiz %10 ise,
her yıl yatırılması gereken para miktarı
nedir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
100
Batan Fon (sinking-fund) Faktörü
F
A F
0
1
2
3
N
A
i
(1  i )
N
1
 F ( A / F ,i, N )
Örnek 4.15:
• Verilen: F = $5,000, N = 5 yıl ve i = 10%
• İstenen: A
• Çözüm: F=500( F/P, %10, 5)= 805.25
• A = $5,000-805.25(A/F,%10,5) = $687.1
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
101
Örnek 4.16
• BioGen, biyoteknoloji alanında çalışan
küçük ölçekli bir firmadır. Firma,
laboratuvar donanımı almak amacıyla
$250,000 kredi almıştır. Kredi yıllık %10
faiz ve 6 yıl eşit ödemeli şeklindedir. Her
yıl ödenmesi gerekli kredi taksiti
miktarını hesaplayınız?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
102
Sermaye Geri Kazanma Faktörü
P
A P
1
2
3
0
N
A
i (1  i )
N
(1  i )  1
N
 P ( A / P ,i, N )
Örnek 4.16:
• Verilen: P = $250,000, N = 6 yıl, i = %10
• İstenen: A
• Çözüm: A = $250,000 (A/P,%10,6) = $57,400
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
103
Örnek 4.18
• Bölümün başlangıcındaki piyango
problemine dönelim. 9 yıl boyunca yılda
$32,639 veya şimdi $140,000 toplu
ödeme şeklinde iki alternatifin olduğunu
hatırlayalım. Eğer parayı %10 faizle
bankaya yatırsak doğru bir karar vermiş
olur muyuz?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
104
Verilen Şimdiki Değer için Eşit
Ödeme Serisi
P
P  A
1
2
3
0
N
A
(1  i )
N
i (1  i )
1
N
 A( P / A,i, N )
Örnek 4.18:
• Verilen: A = $32,639, N = 9 yıl ve i = %10
• İstenen: P
• Çözüm: P = $32,639(P/A,%10, 9) = $187,968 >
140,000 toplu para almayla kaybedilen para
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
105
Doğrusal Artımlı Seriler
P
i (1  i )  iN  1
N
PG
i (1  i )
2
N
 G ( P / G ,i, N )
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
106
Kompozit Seri Olarak Gradyant Seriler
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
107
Örnek 4.20
Bir tekstil firması 5 yıl ekonomik ömrü olan yeni
bir
dokuma
tezgahı
satın
almıştır.
Mühendisler ilk yıl için bakım maliyetinin
$1000 olacağını tahmin etmektedir. Bakım
maliyetlerinin tezgahın geri kalan ömründe
yılda $250 artacağı beklenmektedir. Bakım
maliyetlerinin yıl sonunda oluştuğunu kabul
edelim. Firma yıllık %12 faize sahip bir bakım
hesabı açtırmak istemektedir. Tezgahın tüm
masrafları bu hesaptan karşılanacaktır. Firma
bu hesaba başlangıçta ne kadar para
yatırmalıdır?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
108
Örnek 4.20
$2,000
$1,250 $1,500
$1,750
$1,000
0
1
2
3
4
5
P =?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
109
Yöntem 1:
$2,000
$1,250 $1,500
$1,750
$1,000
0
1
P =?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
2
3
4
5
$1,000(P/F, 12%, 1) = $892.86
$1,250(P/F, 12%, 2) = $996.49
$1,500(P/F, 12%, 3) = $1,067.67
$1,750(P/F, 12%, 4) = $1,112.16
$2,000(P/F, 12%, 5) = $1,134.85
$5,204.03
110
Yöntem 2:
P1  $1, 000 ( P / A ,12% ,5 )
 $3, 604 .80
P2  $250( P / G ,12% ,5 )
 $1, 599 .20
P  $3, 604 .08  $1, 599 .20
 $5,204
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
111
Örnek 4.21
• Joh ve Barbara iki farklı vadeli hesap açtırmış
olsun. Yıllık faiz oranı %10 olsun. John birinci
yılın sonunda hesaba $1000 yatırdıktan sonra
5 yıl için takip eden her yıl için yatırdığı para
miktarını $300 artırmak istemektedir. Barbara
ise 6 yıl boyunca her yıl eşit miktarda para
yatırmak istemektedir. İki yatırımın birbirine
eşdeğer olaması için Barbara’nın düzenli
yatırması gereken para miktarı ne olmalıdır?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
112
Verilen: A1 = $1,000, G=$300, i=%10 ve N=6
İstenen: A
A=$1,000+ $300(A/G, %10, 6)
=$1,667.08
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
113
Örnek 4.22
• Bir bankaya %10 faiz oranı ile her yıl
para yatırılmak istenmektedir. Birinci
yılın sonunda yatırılan para $1200 olup,
sonraki 4 yılda yatırılan para miktarı her
yıl $200 azalacaktır. 5. yılın sonunda
elinizde ne kadar para olur?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
114
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
115
Örnek
$200
$150$150 $150
$100 $100 $100
$50
0
1
2
3
4 5 6 7 8 9
i= 15%
P= ?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
116
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
117
Örnek 4.25
$300 $300 $300
$100 $100
C
C
C
C
=
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4 5
i=%12
5
C=?
P1 = $100(P/A, %12, 2) + $300(P/A, %12, 2) = $743.42
P2 = C(P/A, %12, 5) – C(P/F, %12, 3)
P1=P2  C=$256.97
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
118
Örnek 4.26
Evli bir çift yeni doğan bebeklerinin üniversite masrafları
için bir fon oluşturmayı planlamaktadır. Çift %7 faizle
bir fon oluşturabilmektedir. Çocuklarının 18 yaşında
üniversiteye başlayacağını düşünerek, üniversite
masrafları için 4 yıl boyunca yılda $40,000’lık bir
fonun gerektiği tahmin etmektedirler. Çiftin çocukları
üniversiteye başlayıncaya kadar her yıl düzenli olarak
tasarruf etmeleri gereken parayı hesaplayınız. (İlk
paranın çocugun ilk doğum gününde son
ödemeninde 18. yaş gününde yapılacağını kabul
ediniz. Hesaptan ilk para çekilişi ise, birinci sınıfın
başında, başka bir deyişle 18. yaş gününde
yapılacaktır.)
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
119
Geometrik Gradyant Seriler
1  (1  g ) (1  i )
N
P
A1
ig
N A1 /(1  i ),
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
N
, eğer i  g
e ğer i  g
120
Örnek 4.23
• Bir medikal cihaz üreticisi cihaz üretiminde
basınçlı hava kullanmaktadır. Mevcut basınçlı hava
sistemi verimsiz olup, hava kaçaklarına neden
olmaktadır. Hava kaçaklarından dolayı, kompressor
zamanın %70’in çalışmak durumundadır. Bu durumda,
260 kWh elektrik tüketimi (elektrik fiyatı = $0.05/kWh)
olamaktadır.Fabrika günde 24 saat ve yılda 250 gün
çalışmaktadır. Mevcut sistem kullanıldığında bir sonraki
5 yıl için kompressörün çalışma süresi %7 oranında
artacaktır. Eğer firma eski boruları değiştirmeye karar
verirse, yatırım maliyeti $28,570. Bu durumda
kompressör günde %23 oranında daha az enerji
tüketecektir. Eğer faiz oranı %12 ise, bu yatırımı yapmak
ekonomik midir?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
121
Örnek 4.23: Geometrik Gradyant
• Verilen:
g = %7
i = %12
N = 5 yıl
A1 = $54,440
• İstenen: P
1  (1  0 .07 ) (1  0 .12 )
5
P  $54,440
5
0 .12  0 .07
 $151,109
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
122
Örnek 4.24
• Ahmet, bir bankada emeklilik hesabı
açmak istemektedir. Hedef 20 yılın
sonunda
hesapta
$1,000,000
para
toplamaktır. Yerel bir banka 20 yıl boyunca
%8 yıllık birikimli faiz oranı ile bir hesap
açmayı teklif etmektedir. Ahmet, yıllık
gelirinin her yıl %6 oranında artacağını
tahmi etmektedir. Para yatırma işlem
birinci yılın sonunda başlacak ve her yıl
yatırılan para miktarı % 6 oranında
artırılacaktır. İlk yılda yatırılan para ne
olmalıdır?
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
123
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
124
Örnek 2.4
F= 1,000,000
N=20 yıl
i=%9
g=%6
A1=?
F=A1(F/A1, g, i, N)
1,000,000= A1(F/A1, %6, %8, 20)
1,000,000=A1[ (1+0.08)20-(1+0.06)20]/(0.08-0.06)
A1=$13,757
Bölüm 4: Paranın Zaman Değeri
125
Download

Paranın Zaman Değeri