BÖLÜM 5: AĞIRLIK MERKEZI-ATALET MOMENTĐ
5.1. AĞIRLIK MERKEZĐ HESABI [ALANIN BĐRĐNCĐ MOMENTĐ]
Ağırlık, bir cisme uygulanan kütle çekim kuvvetidir. Dinamometre ile ölçülür. Dünya'da bir cismi ele alırsak yükseğe
çıkıldıkça ağırlık azalır, kutuplara gidildikçe ağırlık fazlalaşır, ekvatora gittikçe ağırlık azalır, dünyanın merkezine inildikçe
ağırlık azalır. Ağırlık birimi Newton'dur ve kısaca N ile gösterilir. Yatay bir taban üzerine konan bir cismin, o taban üzerine
yaptığı basınca ya da bir noktaya asılı bir cismin, o noktaya uyguladığı yer çekimi kuvvetine verilen ad. Bu bakımdan,
ağırlığın yönü, yer çekimi kuvvetinin yönündedir. Bu da, cismin kütlesine ve o yerin ivmesine bağlıdır. Đvme, yeryüzünde
cismin bulunduğu yere göre değişebildiğine göre, kütlesi sabit olan bir cismin mutlak ağırlığı, küre üzerinde bulunduğu yere
göre değişebilir.
Ağırlık Merkezi; Bir cismin parçacıkları üzerine etki eden yerçekimleri bileşkesinin uygulama noktasına verilen ad. Boşluğa
bırakılan her cisim, yerçekiminin etkisi altında kalarak düşer. Yerçekimi, cismin yere düşmesini, dolayısıyla bir ağırlığı
olmasını sağlar. Yerçekimi kuvveti, kütlesi (m) olan bir nokta gibi tasarlanan cismin parçacıklarına ayrı ayrı etki yapar. Bir
cismin ağırlık merkezi, o cismin meydana gelmesini sağlayan noktalar sisteminin, o noktada toplanmış ve yerçekimi kuvveti o
noktaya etki ediyormuş gibi olan halidir.
A: Alanın ağırlık merkezi: Statik; hareketsiz haldeki cisimlerin dengesini inceleyen mekaniğin bir bölümüdür. Buna göre
cisimlerin denge denklemlerini elde etmek için ağırlık merkezlerini bilmek gerekir. Çünkü bazı cisim ve sistemlerin dengesi
ancak sistemin ağırlık merkezinin bilinmesiyle mümkün olabilir. Örneğin düzgün olmayan bir yayılı yüklü kirişin denge
denklemlerini yazabilmek için yayılı yükün bileşkesini dolaysıyla ağırlık merkezinin bilmekle mümkün olur. Ağırlık merkezi
cisimlerin durumlarına göre,
1.
2.
3.
4.
5.
Alanın [kalınlığı ihmal edilebilir]
Telin
Hacmin
Kütlenin
Yukarıdakilerin karışımı
olarak hesaplanır. Yukarıdakilerin her birinin kendine göre özellikleri mevcuttur. Düzgün olmayan eşit kalınlıklı ve homojen bir
levha şekildeki gibi alınarak üzerinde bir elementer parça alınır.
y
A
x
dx
x
dA=dx.dy
dy
y
y
A-A kesiti
x
Küçük parçacığın kütlesi=dV γ =dA t γ = dx dy t γ = ∆Gi
[γγ=birim hacim ağırlığı]
167
http://mizan.ogu.edu.tr.
Cismin tamamının bu şekilde [dA=dx dy] n adet küçük parçaya ayrıldığı düşünülürse,
n
x = xg =
∑ [dx dy t γ ] x i = ∆Gi x i = x ∑ Gi
i=1
t γ ∑ dx dy x i
∑ dx dy x i ∑ x i dA
=
=
t γ ∑ dx dy
∑ dx dy
∑ dA
t γ ∑ dx dy yi
∑ dx dy yi
∑ yi dA
=
=
t γ ∑ dx dy
dx
dy
∑
∑ dA
y = yg =
bağıntıları yazılır. Cisim geometrisi bilinmeyen bir şekilde olması halinde yani fonksiyonel ise;
x = xg =
∫ x dA
∫ dA
y = yg =
∫ y dA
∫ dA
bağıntıları ile hesaplanır.
F1
B: Kuvvetlerin ağırlık merkezi
F4
y
x1
F3
F2
y1
∑F = F1 + F2 + F3 + F4 +........FN
x
∑ xF =x1F1 + x 2 F2 + x 3 F3 + x 4 F4 + ........ x n FN
x = xg =
∑ yF =y1F1 + y 2 F2 + y 3 F3 + y 4 F4 + ........ y n FN
y = yg =
∑ xF
∑F
∑ yF
∑F
Bağıntıları ile hesaplanır.
C: Eğrinin [ TEL: boyu>>>genişlik ] ağırlık merkezi; eğrilerin eşit kalınlıklarında olmalarından dolayı boyları etkilidir. Eğer
eğriler eşit kalınlıkt olmayı değişik kalınlıkta olmaları durumunda aşağıdaki bağıntılar geçerli değildir.
∑L = L1 + L 2 + L 3 + L 4 +........LN
∑ xL =x1L1 + x 2 L 2 + x 3 L 3 + x 4 L 4 + ........ xn LN
x = xg =
∑ yL =y1L1 + y 2 L 2 + y 3 L 3 + y 4 L 4 + ........ yn LN
y = yg =
∑ xL
∑L
∑ yL
∑L
y

a Œ
a
Ž
2a

3a
x
a
Bağıntıları ile hesaplanır.
D: Hacmin ağırlık merkezi
x = xg =
∑ xV
∑V
y = yg =
∑ yV
∑V
z = zg =
∑ zV
∑V
168
V1
V2
V3
http://mizan.ogu.edu.tr.
Birimlerin FONSĐYONEL olması durumunda ağırlık merkezi.
x = xg =
Alan
Kuvvet
x = xg =
∫ xdA
∫ dA
∫ ydA
∫ dA
y = yg =
∫ xdF
y = yg =
∫ dF
∫ ydF
z = zg =
∫ zdF
z = zg =
∫ dF
∫ zdA
∫ dA
∫ dF
x = xg =
∫ xdL
∫ dL
y = yg =
∫ ydL
∫ dL
z = zg =
∫ zdL
∫ dL
Hacim x = x g =
∫ xdv
∫ dv
y = yg =
∫ ydv
∫ dv
z = zg =
∫ zdv
∫ dv
∫ xdm
Kütle x = x g =
∫ dm
y = yg =
∫ ydm
∫ dm
Eğri
z = zg =
∫ zdm
∫ dm
ÖRNEK 5.1. Üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması.
y
y
y
dA=[h/b]xdx
h
h
h
⊗
x
1
h
3
y=[1/2][h/b]x
x
x
b
dx
1
b
3
x
b
y
b
h  x3 
h
 b h 2 
 
∫ x  x dx 
∫  x  dx
b  3 0 2
∫ x dA 0  b
 = 0 b 
x = xg =
= b
=
= b
bh
2 b
h
3
∫ dA


h
x
∫ x dx
∫ x dx


0b
0b
b  2 0
b
dA=b[h-y]/h]dx
h
2
x
 1 h  h
 1 h   x  b
x   x dx 
   
∫ y dA 0  2 b   b
 = 2 b   3  = 1 h
y = yg =
=
b
bh
3
∫ dA
h  x2 
∫ x dx
 
0b
b  2 0
b
3
dy
∫
y
h
veya
x [h − y ]
=
b
h
x=
b[h − y ]
h
y = yg =
∫ y dA
∫ dA
169
=
x
b
 b[h − y ] 
 dy
h

∫ y 
0
h
 b[h − y ] 
 dy
h

0
∫ 
=
1
h
3
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.7. Şekilde verilen taralı alanın ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
2
y=kx
x =a k = b
y =b
a2
b
x
a
a
a
a
 b
y=
b 2
x
a2
x=
a
dA = ydx
y =k x2
y 0.5
b 0.5
a

 b x4 
 a 2 4 
0
a2 b
∫ x dA = 0
0
0
4 3
x = xg =
=
=
=
=
= a
a
a
a
a
ab 4
3
 b 2
b
∫ dA y dx y dx
x

∫
∫
∫  2 x  dx  2 3 
3
a
0
0
0
0 a
∫ x dA ∫ x y dx ∫ x  a 2 x 2 dx
y
2
y=kx
a
x
y/2
x
dx
a
a
2
5
1  b 2
a b2
x  dx  b x 
∫



2
4
y
dA
20a

2 a 5  0 10 3
∫
0
y = yg =
=
=
=
=
= b
a
a
a b 10
3 a
b
∫ dA
x

∫ y dx
∫ y dx
 a 2 3 
3
0
0
0
b
y
2
a
y
∫ y 2 dx
dA=ydx
y
b
2 2
b 2
b
1 2 a y 
a+ x
a − x2
1  2 a2 
a y−
[ a − x ] dy ∫
dy
a
−
y
dy


∫
∫
2
2b  0 3
2
2 0 
b 
∫ x dA = 0 2
0
x = xg =
=
=
=
= a
b
b
b
4
[ay −]
∫ dA
∫ [ a − x ]dy
∫ [ a − x ]dy
∫ [ a − x ]dy
b
0
0
2
y=kx
b
dA=[a-x]dy
x
0
dy
[a+x]/2
y
a
b
y = yg =
∫ y dA
∫ dA
=
b
 

a
∫ y [ a − x ] dy ∫ y a − b1/2 y1/2 
0
a
∫ y dy
0
=
0
a
b
dy
=


a
∫ ay b1/2 y 3/2 
0
a
 b x3 
 a2 3 
0
∫ ydx
0
2
dy a b
10 3
=
= b
a b 10
3
ÖRNEK 5.8. x=y -9 fonksiyonun [ x = ? y = ?] ağırlık merkezinin koordinatlarının hesabı.
2
Yatay bir dilim alınarak sınırlar şekildeki gibi x=0 ise y=3 y=0 ise x=9 yazılır
y
y
3
x=y2-9
x=y2-9
x
x/2
dy
y
x
9
170
x
http://mizan.ogu.edu.tr.
x
Alınan parçanın (dilimin) alanı dA = x dy
x=
∫ x dA
∫ dA
=
∫ x xdy
∫ x dy
13 2
2
∫ [y − 9] dy
20
=
3
∫ [y
2
13 4
2
∫ [y − 18y + 81]dy
20
=
3
∫ [y
− 9] dy
0
2
=

1  y5 18y3
+ 81y 
 −
2 5
3

y

 − 9y 
3

3
− 9] dy
0
3
0
3
1  243
81
+ 243 − 

2 5
2
= 
= 3.6
[9 − 27]
0
3
y 4 9 y 2 
81 81
[ y 3 − 9 y ] dy  −

∫
2  0  4 + 2 
y dA ∫ y [ xdy ] 0
4
∫
0
y=
=
=
=
=
=
=1.125
3
[9 − 27]
∫ dA ∫ x dy 3 [ y 2 − 9 ]dy 3 [ y 2 − 9 ]dy y 3

∫
∫
 − 9 y
0
0
3
0
x=y2-9
3
∫ y [ y 2 − 9 ] dy
3
y
3
x
y
y/2
Alınan parçanın (dilimin) alanı dA= y dx
x
9
9
9
y 5 18 y 3 81y
243 243

+
+ 81] dy  −

6
2  0  10 + 2 − 81
10
=
=
= 3.6
3
9
3
[9 − 27]
y


2
∫ [ y − 9 ]dy
 − 9 y
0
3
0
9
[ x( x − 9 )] dx ∫
x dA ∫ x y dx 0∫
∫
0
x=
=
=
=
9
dA
x
dy
∫
∫
∫ [ y 2 − 9 ]dy
dx
[ y4
0
−18 y 2
ÖRNEK 5.9. Şekildeki alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] hesabı.
y
y
4
y=4-x
2
y=4-x
2
y
x
y/2
x
x
dx
2
Alınan parçanın (dilimin) alanı dA = y dx
2
2
x=
∫ x dA
∫ dA
=
∫ x y dx
∫ x dx
=
∫ x [4 − x ]dx
2
2
0
2
=
∫ [4x − x ]dx
0
∫ [4 − x ]dx
2
0
y=
∫ y dA
∫ dA
y
=
∫ y 2 dx
∫ y dx
=
 2 x4 
2x − 
4 0

3
2
=
∫ [4 − x ]dx
0
12
[4 − x 2 ]2 dx
2 0∫
2
2
∫ [4 − x ]dx
0
=
12
[16 − 8x 2 + x 4 ] dx
2 0∫
2
2

x 
 4x − 3 

0
3
2
2
∫ [4 − x ]dx
0
171
=
12
16
2
=
3
1
8x
x5 
+ 
16x −
2 
3
5 
0
2

x3 
 4x − 
3

0
 128 
 15 
= 8
=
5
16 
3
 
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.10. Đki fonksiyon arasındaki alanın ağırlık merkezinin [xg yg] hesaplanması.
y
y
[1,1]
y1=x
y1=x
P1[x,y]
y2=x
2
y2=x
2
y2-y1
P2[x,y]
x
y=[x+x2]/2
x
x
dx
1
 x2 x3 
1
dA = ∫ [y1 − y 2 ]dx = ∫ [x − x ]dx =  −  =
0
0
3 0 6
2
1
1
2
  x 3 x 4 1 
 −  
1 x dA
1 x [x − x 2 ]
1 [x 2 − x 3 ]
4 0  1
 3
i
i
x=∫
=∫
dx = ∫
dx = 
=
2
2
3 1 
0 dA i
0 [y1 − y 2 ]
0 [x − x ]
2
x − x  

  2

3 0 

  x 3 x 5 1 
x2 − x4
 −  
1 y dA
1 [[x + x 2 ] / 2][x − x 2 ]
1
  6 10  0  2
2
y=∫
dx = ∫
dx = 
=∫
=
2
2
2
3 1 
0 dA
0
0 [x − x ]
5
[x − x ]
x − x  


 2
3  0 

2
2
ÖRNEK 5.11. Şekildeki iki fonksiyon [y =x, 8y=-x ] arasında kalan alanın ağırlık merkezinin
koordinatlarının hesaplanması.
x
x
y=
1
x2 
 x−

2
8 


x
2
y =x
[4-2]
dx
2
-8y=x2
y
y =x
y
4
dA = ∫  x −
8
0
x2
 dx = 8

3
-8y=x2
x2 

24
x x− 
1 x dA 4 
8

5 9
x=∫
=∫
dx = =
2
dA
8
5
x

0
0
 x − 8 
3
172
4 y dA
y=∫
0
dA
4
=∫
0
1
x2 
x
−
2 
8 
 12
− 5 
9
dx = 
 =−
10
8
 x − x2 





 3 
8 
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.12. Đki fonksiyon arasındaki alanın ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
y
x
dy
2
y =2ax
b
b2 
, b

 2a 
b
2
y =2ax
y
x
x
b
b  y2 
b3
dA = ∫ xdy = ∫   dy =
6a
0
0
 2a 
2
 x2 
1  y2 
b5
 
 
b x dA
b [x / 2][xdy]
b  2 
b 2  4a 
2
3b2
x=∫
=∫
= ∫   dy = ∫   dy = 40a
=
dA
20a
0 dA
0
0  y2 
0  y2 
b3
 
 
6a
 2a 
 2a 
b
y dA b y[xdy]
=∫
2
0 dA
0 y 
 
 2a 
y=∫
  y 2     b4  
 y      
b   2a  
 =   6a   = b
= ∫ 
 3 
2 
0 y  
 b 
  2a     6a  
     
ÖRNEK 5.2. Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması.
Çözüm: verilen şekil geometrisi bilinen 2 şekle aşağıdak şekilde ayrılır.
y
y
6
y
Cisim geometrisi
bilinen parçalara
ayrılır.
1
1
4
4
x
9
x = xg =
y = yg =
∑ x i dA
∑ dA
∑ y i dA
∑ dA
=
=
∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ]
∑ [ A1 + A 2 ]
∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ]
∑ [A1 + A2 ]
4
2
6
=
=
xg
yg
3
x
2
3
6
∑ [3 x 6 x 4 + [6 + (1 / 3) x3] 3 x 0.5 x 4 ]
∑ [ 6 x 4 + 3 x 0.5 x 4 ]
∑ [2 x 6 x 4 + (4 x 1/ 3) x3 x 0.5 x 4 ]
∑ [ 6 x 4 + 3 x 0.5 x 4 ]
173
x
= 3.80
= 1.86
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.3. Taralı alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının [ x = ? y = ?] bulunması.
y
6m
8m
14m
x
y
12m
12m
8m
x
8m
Çözüm: Şekil geometrisi bilinen bir dikdörtgen ve bir üçgene ayrılarak aşağıdaki bağıntılarla ağırlık
merkezinin koordinatları hesaplanır.
x = xg =
∑ x i dA ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] ∑ [ 4 x 8 x 12 + [(1 / 3) x 6 + 8] x 0.5 x 6 x 12]
=
=
= 5.64
∑ dA
∑ [ 8 x 12 + 6 x 12 x 0.5 ]
∑ [ A1 + A 2 ]
y = yg =
∑ yi dA ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] ∑ [6 x 8 x 12 + [(2 / 3) x 12] x 0.5 x 6 x 12]
=
=
= 6.55
∑ dA
∑ [ 8 x 12 + 6 x 12 x 0.5 ]
∑ [A1 + A2 ]
174
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.3.1. Şekilde verilen alanın ağırlık merkezi koordinatlarının hesaplanması.
y
y
y
x
15
15
15
y
[b]
50
[a]
50
[c]
50

30
Ž

x
15
25
15
25
30
yg
x
x
15
15
‘
20
30
xg
30
15
25
20
30
15
20
30
Çözüm: Şekil geometrisi bilinen şekillere [b] ayrılarak tablo halinde aşağıdaki şekilde hesaplanır.
Parça No
Ai
600
1200
375
Œ

Ž


‘
xi
-5
7.5
-8.33
30
32.26
20
900 [30x30 kare]
-706 [1/4 daire]
1350
3719
Toplam
yi
87.5
40
10
15
17.26
-7.5
Ai xi
-3000
9000
-3124
27000
-22776
27000
34100
Ai yi
52500
48000
3750
13500
-12186
-10125
95439
Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
xg
xg = x =
∑ Ai xi
∑ Ai
=
yg
34100
= 9.17
3719
yg = y =
∑ Ai yi
∑ Ai
=
95439
= 25.66
3719
ÖRNEK 5.3.2. Şekilde verilen alanın ağırlık merkezinin koordinatlarının hesaplanması.
y
y
y
5
5
1.5
1
2.5
1
2.5
2.5
3
2
4
3
2
xg=0.36
3
2
4
yg=4.75
4
4
2
2
2
2
2
4
x
x
7
7
2
4
6
6
x
2
1.5
1.5
2
2
175
2
2
2
2
2
http://mizan.ogu.edu.tr.
Parça
1
2
3
4
5
6
7
Σ
Ai
xi
0
0
-3.15
3.15
0
-2.67
-2
8x6=48
16
-3.14
-3.14
-3
4
6.28
65
Ağırlık merkezinin
koordinatları
xg =
Ai xi
0
0
9.89
-9.89
0
-10.68
-12.56
-23.24
∑ A i x i −23.24
=
= −0.36
65
∑ Ai
yi
Ai yi
(6/2)+4=7
48x7=336
2
4.85
4.85
9.5
1.33
-0.85
32
-15.23
-15.23
-28.5
5.32
-5.33
309.03
yg =
∑ A i yi 309.03
=
= 4.75
65
∑ Ai
ÖRNEK 5.3.3. Şekilde verilen alanın, [dairenin yarıçapı r=2]
1.
2.
3.
Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentlerinin [Ix Iy] hesabı.
y
y
8
8
3
x
x
4
4
4
5
5
4
1
5
4
8
Ağırlık merkezinin koordinatları
Parça
Ai
1
24
2
32
3
50.24
4
-6.28
5
30
129.96
Σ
xg =
xi
1.33
4
3.4
6
4
2
Ai xi
-31.92
128
170.82
-37.68
120
8
yi
0
-2
3.4
-0.85
-5.67
Ai yi
0
-64
170.82
5.34
-170.1
349.22
∑ A i x i 349.22
= 2.69
=
129.96
∑ Ai
y
[xg yg]
8
4
3
1
xg
yg
G
2
-57.94
5
5
yg =
∑ Aiyi −57.94
= −0.45
=
129.96
∑ Ai
176
4
4
8
http://mizan.ogu.edu.tr.
x
Cisim Tel Gibi Sabit Bir Kalınlıkta Çubuk Şeklinde olması durumunda
y
A
A
n
∑ [dL] x i
A-A kesiti
i =1
x
dL
x
∑ x i dL ∫ x dL
=
∑ dL
∫ dL
x = xg =
y
y = yg =
y
x
ÖRNEK 5.4. Yarım dairenin x
= x ∑ dL
∑ y i dL ∫ y dL
=
∑ dL
∫ dL
ekseni ile olan ağırlık merkezinin hesaplanması.
π/2
y
∫ dL =
y
dL=rdθ
θ
∑ xidL =
x = xg =
∑ dL
dθ
r
θ
x
∫r
dθ = [rθ ] −ππ/ 2/ 2 = π r
−π / 2
π/ 2
π/2
−π / 2
π/2
−π / 2
∫ x dL
=
π/2
∫ rdθ
∫ dL
x
∫ [r cos θ]rdθ
−π / 2
−π / 2
x=rcosθ
x = xg =
[r 2 sin]π−π/ 2/ 2
2r
=
π/2
[rθ]−π / 2
π
ÖRNEK 5.5. Şekildeki daire parçasının x ekseni ile ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
y
dL=rdθ
θ
α
∫ dL = ∫ r dθ =
[rθ ]α− α
= 2α r
−α
α
∫ x dL
∑ xidL = −α
x = xg =
=
2αr
∑ dL
dθ
r
α
α
∫ [r cos θ]rdθ [r 2 sin]α
−α
−α
2αr
=
2αr
177
r sin α
=
α
α
θ
x
x=rcosθ
http://mizan.ogu.edu.tr.
x
2
ÖRNEK 5.6. y=x fonksiyonunun [1,1] noktasına kadar olan kısmın ağırlık merkezinin hesabı.
 dy  2
dy
= 2x dL = 1 + 4x dx
dL = dx 2 + dy 2 = 1 +   dx
 dx 
dx
y
x=0
y
ise y=0
x=0.5 ise y=0.25
Toplam boy L
2
y=x
2
y=x
x=1
ise y=1
1
dL
∫
dy
x = xg =
dx
x
1
∫x
x dL
0
1
=
0
1
∫ dL
x
1 + 4 x dx
∫
0
= 0.574
1 + 4 x dx
0
ÖRNEK 5.13. Şekildeki gibi 5 parçadan oluşan telin ağırlık merkezinin hesaplanması.
y
L3
r=10
2r/π
r
L4
6
L2
r
2r/π
L1
L5
x
45o
Eleman
1
2
3
4
5
2r/π
r
r
12
y
30o
x
ELEMANLARIN
L
x
[17/2]cos45=6.01
17cos45=12.02
17cos45+10=22.02
17cos45+20=32.02
24/2cos30+20+17cos45=42.41
L1=17
L2=6
L3=31.42
L4=6
L5=24
x=
SĐSTEMĐN
y=
y
[17/2]sin45=6.01
17sin45+3=15.02
17sin45+6+2r/π
π=24.39
17sin45+3=15.02
24/2sin30=6
L i x i 17 x 6.01 + 6 x 12.02 + 31.42 x 22.02 + 6 x 32.02 + 24 x 42.41
=
= 24.59
17 + 6 + 31.42 + 6 + 24
∑ Li
L i yi 17 x 6.01 + 6 x15.02 + 31.42 x 24.39 + 6 x 15.02 + 24 x 6
=
= 14.13
17 + 6 + 31.42 + 6 + 24
∑ Li
178
http://mizan.ogu.edu.tr.
5.2. PAPPUS-GULDINUS TEOREMLERĐ
Paul Guldin, 1577-1643, Đsviçreli Matematik, Astronomi
Guldin kuraları (dönel simetrik cisimlerin manto alanı ve hacminin basit
hesabı).
Not: Guldin kuralı MS 300 yıllarında Đskenderiyeli Pappus(Pappos) tarafından
verilmiştir. Bu nedenle Pappus veya Pappus-Guldin kuralları olarak da anılır.
Guldin kuraları:
1.Kural: Bir düzlem eğrinin bir eksen etrafında dönmesi sonucu oluşan cismin manto(yüzey) alanı
aşağıdaki basit yolla hesaplanır. Amanto=2 π L d1
L: eğrinin uzunluğu
d1 :Eğrinin ağırlık merkezinin eksene mesafesi
2.Kural: Bir düzlem alanın bir eksen etrafında dönmesi sonucu oluşan cismin hacmi aşağıdaki basit yolla hesaplanır.
V=2 π A d2
A: düzlem cismin alanı
d2 : alanın ağırlık merkezinin eksene mesafesi
Örnek: Yarım çemberin eksen etrafında dönmesi ile küre oluşur:
d
Bir çember veya dairenin eksen etrafında
dönmesi ile torus oluşur:
R
L=π r (yarım çember uzunluğu)
d=d1=2r/π (çemberin ağırlık merkezinin eksene
mesafesi)
2
Ayüzey =2π (π r) (2 r/π) =4π r (kürenin yüzeyi)
Yarım dairenin eksen etrafında dönmesi ile küre
oluşur:
2
A=πr /2 (yarım dairenin alanı)
d=d2=4r/3/π (yarım dairenin ağırlık merkezinin eksene
mesafesi)
2
3
V=2π (πr /2) (4r/3/π) =4π r /3
(kürenin hacmi)
2
Ayüzey = 2π Ld1=2π (2πr) (R)= 4 π r R
(Torus yüzey alanı)
2
2 2
V=2π (πrr ) (R) =2π r R (Torus
hacmi)
1. Bir eğrinin kendi düzlemi içinde ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında döndürülmesiyle
oluşan dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile dönme esnasında eğrinin ağırlık merkezinin
kat ettiği uzunluğun çarpımına eşittir. [A= L . açı (radyan) . yg]
179
http://mizan.ogu.edu.tr.
L
G
L
yg
G
yg
x
x
yg
x
yg
yg
L boylu bir eğrinin şekildeki
dönmesi halinde oluşan alan
o
90 dönüş A=L x 0.5π x yg
o
180 dönüş A=L x π x yg
o
270 dönüş A=L x 1.5π x yg
o
360 dönüş A=L x 2π x yg
Profilden
görünüş
2. Bir yüzeyin [alanın] kendi düzlemi içinde ve kendini kesmeyen bir eksen etrafında
döndürülmesiyle oluşan dönel yüzeyin hacmi, yüzeyin alanı ile dönme esnasında alanın ağırlık
merkezinin katettiği uzunluğun [0-2π] çarpımına eşittir. [V= A . açı (radyan) . yg]
3. Verilen bir alanın bir eksene göre hacminin hesaplanması,
a. Verilen alanın ağırlık merkezi koordinatı bilinen bir yöntem ile hesaplanır.
b. Ağırlık merkezi ile eksen arasındaki mesafe bulunur. [y=yg+x”]
c. Bu durumda bakış yönü çok önemlidir.
Üstten bakış
Önden bakış
x
A
G
A
xx
A
x
G
A
yg
x’
x x
x
x”
x’
x
Verilen alana üstten ve profilden bakış görüntüleri verilerek hacmin nasıl hesaplandığı aşağıdaki şekil
üzerinde anlatılmıştır [yg aralık olarak alınmalı]
A alanlı bir düzlemin şekildeki gibi
G
A
o
[270 -1.5π] dönmesi ile oluşan hacim
G
yg
x
yg
x
yg
yg
yg
Profilden
bakış
o
Dönüş
ekseni
90 dönüş
V=A x 0.5π
π x yg
o
180 dönüş V=A x π x yg
yg
270 dönüş V=A x 1.5π
π x yg
G
360 dönüş V=A x 2π
π x yg
o
o
x
180o dönüş
NOT: Pappus-Guldinus teoremleri bazı geometrik şekillerin ağırlık merkezlerinin bulunmasında da
uygun bir yöntemdir.
180
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.14. Şekildeki dörtte bir daire çemberinin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması.
y
y
r
y
r
G
yg
G
y
x
x
x
y
xg
G
x-x ekseni boyunca Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
π . (2π
πr/4) . yg=π
π2 r yg
A=2π
π . L . yg=2π
x
2
Şeklin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucu yarım küre oluşur ve bunun alanı A=2π
πr dir.
2 π r 2 = 2 π . L. y g
2 π r 2 = 2π [0.5 π r ] y g
ise
yg =
y-y ekseni boyunca Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
2r
π
2
A=2π
π . L . yg=π
π r yg
2r
π
ÖRNEK 5.15. Şekildeki yarım daire çemberinin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması.
2 πr 2 = 2π [ 0.5 πr ] x g
xg =
ise
y
y
G
r
r
yg
x
x
r
A=2π
π . L . yg
Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
2
Şeklin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucu küre oluşur ve bu kürenin alanı A=4π
πr dir.
4 π r 2 = 2π [ π r ] y g
ise
yg =
2r
π
y-y ekseni boyunca dönmesi sonucu dörtte bir dairenin aynısı olur.
Pappus-Guldinus teoremi gereği alan,
A=2π
π . L . yg
2π
πr2 =2π
πL . yg
y
2 π r 2 = 2 π [0.5 π r ] x g
ise
xg =
2r
π
r
x
ÖRNEK 5.16. Şekilde verilen yarım daire alanın x-x ekseni etrafından dönmesinden yararlanarak
yarım dairenin ağırlık merkezi koordinatının [yg] hesabı.
y
y
G
r
yg
r
x
x
r
181
http://mizan.ogu.edu.tr.
V=A x 2π
π x yg
V=A yg= 2π
π [πr2/2] . yg =2π
π[0.5 π r2] yg
2
A=π
πr /2
Yarım dairenin x-x ekseni etrafında dönmesi sonucunda küre oluşur. Kürenin hacmi
V=
4 π r3
3
4 π r3
= 2 π x 0.5 π r 2 y g
3
yg =
4r
3π
2
xg yi bulmak için V=A yg= 2π
π[0.5 π r ] xg
2
Yarım dairenin y-y ekseni etrafında dönmesi simetrik olması sonucu dörtte bir dairenin [A=0.25π
πr ]
dönmesine eşit olur ve bunun sonucunda yarım küre oluşur. Yarım kürenin hacmi
V=
2 π r3
3
2 π r3
= 2 π x 0.25 π r 2 x g
3
xg =
4r
Veya yarım dairenin alanı A=0.5π
πr2
3π
y
Yarım daire π kadar dönerse yarım küre tamamlanır. Buna göre xg,
V=
2 πr3
3
2πr3
= π x 0 .5 π r 2 x g
3
xg =
4r
3π
G
ÖRNEK 5.17. Şekilde verilen eğrinin,
xg
x
a. Verilen eksenlere göre ağırlık merkezini [a=12 cm]
o
b. c-c ve y-y ekseni etrafında [360 ] dönmesi ile oluşan yüzeyin alanının hesaplanması
y
c
a
c
Œ
2.83a

3a
x

Ž
a
4a
a
2a

Parça
Œ

Ž


Li
a
3a
πa/2
2π
πa
xi
0
1.5a
3a+2a/π
π
6a
Li xi
0
2
4.5a
2
5.7a
2
37.6a
2a 2
7a
19.8a
∑
14.98a
yi
a/2
0
-[a-2a/π
π]
-[a+4a/π
π]
Li yi
2
a /2
0
[aπ
π/2][-a-4a/π
π]
[2aπ
π][-a-4a/π
π]
0
0
2
a 2 πa 2 π2a 2
−
− π2a 2 − 8a 2
+
2
2
2π
67.6a2
a=12 cm için
2
xg =
2
67.7 a
67.6 [12 ]
= 54.15 cm
=
14.67 a
14.98 [12 ]
a2 πa2 π2a2
− π2a2 − 8a2
−
+
2
2
2
π
yg =
= −12.12 cm
14.98 a
c-c ekseni
A=2π x 14.98a x (a+1.01a)=2π x 14.98 [12] x 2.01[12]=27242.71 cm
2
y-y ekseni
A=2π x 14.98a x 4.51a=2π x 14.98 [12] x 4.51[12]=61095.68 cm
182
2
http://mizan.ogu.edu.tr.
y
c
c
a
Œ
2.83a

3a
1.01a+a=2.01a
x

Ž
yg=1.01a
a
a
4a
54.15/12=4.512a
2a

ÖRNEK 5.18. Şekilde verilen madenlerin kütle merkezinin hesaplanması.
y
m
2
m
2
Çelik [800 kN/m3]
4
m
4
2
m
m
Kurşun [980 kN/m3]
1
2
m
m
Altın [600 kN/m3]
1
m
4
m
x
Eleman
Çelik
Kurşun
Altın
Σ
SĐSTEMĐN
ELEMANLARIN
m kütlesi [kN]
x
1
2x2x4x800=12800
2x1x4x980=7840
[2+2]=4
1x2x4x600=4800
[2+4+1]=7
25080
x=
mi x i
∑ mi
x=
xm
12800
31360
33600
77760
77760
= 3.10 m
25080
183
y
2
1
0.5
y=
ym
25600
7840
2400
35840
35840
= 1.43 m
25080
z
1
0.5
2
z=
zm
12800
3920
9600
26320
26320
= 1.05 m
25080
http://mizan.ogu.edu.tr.
y
x
r
y
O
O
x
Alan
x
y
I [ağırlık merkezine göre]
πr 2
4
4r
3π
4r
3π
π
4 
Ix = Iy = r  −

 16 9 π 
πr 2
2
0
4r
3π
πab
4
4a
3π
4b
3π
4
Polar
Jo =
πr 4
8
πr 4
πr 4 Jo =
Iy =
4
8
π
8 

Ix = r 4  −
 8 9π 
y
x
G
Ix = I y =
πr 4
4
Jo =
πr 4
2
Jo =
πab
[
4
y
b
G
a
Ix =
x
184
πab 3
4
Iy =
πb 3
4
http://mizan.ogu.edu.tr.
5.3. STATĐK MOMENT [ALANIN BĐRĐNCĐ MOMENTĐ]
Yapı elemanlarının şekil değiştirmelerinin hesabında özellikle kesme kuvvetinden dolayı oluşan kayma
gerilmelerinin hesaplanmasında kullanılan,
S x = ∫ y dA
S y = ∫ x dA
y
x
dA
ρ
y
x
bağıntısıyla hesaplanan değere alanın birinci statik momenti denir. Verilen bağıntıda V:kesitteki kesme
kuvveti, I:atalet momenti ve b:kesit genişliği olmak üzere bir kesitin kayma gerilmesi [ττ] aşağıdaki
bağıntı ile hesaplanır.
τ=
V Sx
V [ y A]
=
Ib
Ib
h
b
Verilen şekilde m noktasındaki kayma gerilmesi için gerekli olan Sx alanın statik momenti,
A Gm
m
m
Sx = y A
Gm: m noktası üzerinde
y
h
h
G
kalan alanın ağırlık
merkezi
G:Şeklin tamamının
ağırlık merkezi
b
b
olarak hesaplanır. Sistemin ağırlık merkezindeki statik momenti SIFIRDIR [çünkü y=0].
ÖRNEK 5.19. Verilen şeklin,
a. x-x ve y-y eksenlerine göre statik momentlerinin [Sx Sy]
b. m noktasındaki kayma gerilmesine esas olan statik momentin hesabı.
y
y
14m
8m
6m
y
8m
x
12m
12m
m
8m
x
x
8m
Çözüm a: Önce eksenlere göre statik momentler hesaplanır.
185
http://mizan.ogu.edu.tr.
S x = ∑ x i dA = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] = ∑ [ 4 x 8 x 12 + [(1 / 3) x 6 + 8 ] x 0.5 x 6 x 12] = 744.48 m 3
S y = ∑ y i dA = ∑ [ y 1A 1 + y 2 A 2 ] = ∑ [6 x 8 x 12 + [(2 / 3) x 12] x 0.5 x 6 x 12] = 864.60 m 3
Çözüm b: Sistemin ağırlık merkezi koordinatları hesaplanır. Bu şeklin ağırlık merkezi koordinatları
y = y g = 6.55 olarak hesaplanmıştı.
yukarıda x = x g = 5.64
6m
y
x
G2
G1
12m
3.67
2.275
8m
G
6.55
m
8m
S x = ∑ x i dA = ∑ [ x 1A 1 + x 2 A 2 ] = ∑ [5.45 x 8 x 2.275 + [(2x8 + 4x8x0.5) x3.67] = 216.63 m 3
5.4. ATALET MOMENTĐ [ALANIN ĐKĐNCĐ MOMENTĐ (I)]
Eylemsizlik kuvveti, cisimlere ivmesi oranında etkiyen kuvvettir. Eylemsizlik kuvveti sistemin ivmesiyle zıt yönde oluşur.
Eylemsizlik kuvveti yoktan var edilemez. Var olan enerjiyi cisim yine kendi halini yani hareketsiz haline dönmek için kendi
hareket yönüne zıt bir kuvvet oluşturup kullanır... evrende madde her zaman ilk hareketlerini korumak ister, yani duruyorsa
durmak hareket halindeyse o hızda hareke devam etmek ister. Cisme bir kuvvet uygulandığında cisim harekete ters yönde
cevap vererek ilk halini korumak isteyecektir. işte bu kuvvet eylemsizlik kuvvetidir. Bir cisme uygulanan hiçbir kuvvet yoksa
ya da cisme uygulana kuvvetlerin bileşkesi 0 ise cisim ya hareketsiz kalır ya da düzgün doğrusal hareket yapar. Örneğin sıra
üzerinde duran bir kitaba dışarıdan bir kuvvet uygulanmadıkça sonsuza kadar bırakıldığı yerde kalır. Başka bir cisme eşit
büyüklükte zıt yönde iki kuvvet uygulanırsa kuvvetler birbirini yok edeceğinden cisim hareket etmez. Sürtünmesiz bir ortamda
bir misketi harekete geçirdiğimizde misket düzgün doğrusal hareket yapar. Duran bir otobüste ayaktaki yolcuların haberi
olmadan otobüs aniden hareket ederse yolcular arkaya doğru itilir. Hareket halindeki bir otobüsün aniden fren yapması
sonunda ayaktaki ve oturan yolcuların öne fırlamaları yolcuların bulundukların durumları korumak istemelerinden
kaynaklanır. Trafik kazalarında arabaların ön koltuklarında oturanların ani fren sonunda kafalarını cama çarpmamaları için
emniyet kemeri takmaları zorunludur. Duran bir cismi herhangi bir kuvvet etkilemedikçe sürekli durur. Hareket halindeki bir
cismi hareketini engelleyecek bir kuvvet etki etmedikçe hareketine devam eder. Bu özelliğe eylemsizlik denir. Eylemsizlik
Momenti; veya atalet momenti (SI birimi kilogram metrekare - kg m²), dönme hareketi yapan bir cismin dönme
eylemsizliğidir.
Yapı elemanlarının,
1. Eğilme
2. Burulma hesabında
3. Kesitlerde
186
http://mizan.ogu.edu.tr.

My

Gerilme σ =

I 

5 qL4 
Deplasman  y =
384 EI 


1 qL3 
Dönüş φ =
48 EI 


I 
Diğer R =
A 

Hesaplarında kullanılan ve Ii ile gösterilen matematik bağıntıya alanın ikinci momenti veya atalet
momenti denir. Mühendislikte olmazsa olmaz özelliklerden biridir.
y
∫
I x = y 2 dA
x
dA = dx dy
Ix =
y
dA
x
∫y=0 ∫x =0 ∫
y 2 dxdy =
xy 3
3
ρ
y
x
Bundan dolayı atalet momentine alanın 2. momenti denir.
y
∫
y’
I x = y 2 dA
x eksenine göre atalet momenti
dx
G
∫
I y = x dA
y eksenine göre atalet momenti
x’
2
dρ
dy
∫
I xy = xy dA
Çarpım atalet momenti
x
0
J = ρ 2 dA = [ x 2 + y 2 ]dA = I x + I y
Polar atalet momenti
ÖRNEK 5.20. Şekilde verilen dikdörtgenin,
a. Tabandan geçen eksene göre
b. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentinin bulunması.
y
y
b
y’
b
dA=b dy
h/2
dy
y
x’
x’
h
h
dA=b dy
h/2
dy
y
x
y
x
x
x
y
Tabandan geçen eksene göre [x-x]
b/2
b/2
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre
187
http://mizan.ogu.edu.tr.
bh3
I x = ∫ y dA = ∫ y b dy =
3
0
2
h
bh3
I x = ∫ y dA = ∫ y b dy =
12
−h / 2
2
h/2
2
Tabandan geçen eksene göre[y-y]
2
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre
[şerit h’ya paralel alınır]
b
Iy = ∫ x 2 dA = ∫ x 2 hdx =
0
hb3
3
b/2
Iy = ∫ x 2 dA = ∫ y 2 h dx =
−b / 2
y
hb3
12
y’
3
Iy =
hb
3
7bh3
Ix '' =
48
Iy ' =
x’’
h/4
x’’
h/4
x’
x’
Ix ' =
h/2
bh3
12
Ix =
x
b/2
bh3
12
bh3
3
x
b/2
b
y
dx
2 h
x
2 b
x
y
b2h2
Çarpım atalet momenti Ixy = ∫ xydA = ∫ ∫ xy(dxdy) =  ⋅  =
2  2 
4
00
0
0
hb
dy
h
y
x
x
y
ÖRNEK 5.21. Şekilde verilen üçgenin atalet momentinin,
a. Tabandan [Ix]
b. Ağırlık merkezinden geçen eksene [Ix’] göre bulunması
y
y
y
dA=xdy
h
dy
h
G
dy
x
y
b
x
x
[a]
Tabandan geçen eksene göre atalet momenti [a]
188
2h
3
x
1
h
3
b
[b]
y
x’
x
http://mizan.ogu.edu.tr.
dIx = y 2 dA
dA = x dy
y
y’
x’’
x h− y
h− y
=
ise x = b
b
h
h
dA = b
h− y
dy
h
Iy =
bh3
12
Ix '' =
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti [b]
dIx = y 2 dA
hb3
Iy ' =
36
dA = b
b
hb3
Iy '' =
4
[2 / 3]h − y
dy
h
2/3h
b 2/3h
bh3
 [2 / 3]h − y 
2
3
Ix′ = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b
dy
=
[[2
/
3]hy
−
y
]dy
=
∫

h
h −h/3
36
− h/3


2
ÖRNEK 5.22. y=kx fonksiyonun x eksenine göre atalet momentinin hesaplanması.
y
2
y=kx
dA=ydx
b
y
x
y/2
dx
a
x
b 2
x
a2
y =k x2
a 0.5
x=
y
b 0.5
y=
x =a k = b
y =b
a2
1
dA = y dx
3
A=
ab
3




ab3
 Ix =
21
a 
3
a 1  bx 2 
 1  b3 x 7   
1 a  b3 x 6 
∫ dIx = ∫  2  dx = ∫  6  dx =   6   
30  a 
03  a 
 3  a 7   0 
3
3
1  bx 2 
1
 y
dIx = y dA = y  ydx  =
dx =  2  dx
3 a 
3
 3
2
2

2
1  bx 2  
1
 x y
dIy = x dA = x  ydx  =
dx = x  2  dx
3
3 a  
3


ba3
I
=
y
5

a
4
5
a 1  bx 
 1  bx  

∫ dIy = ∫  2  dx =   2  

03  a 
 3  a 5   0

2
2
189
bh3
36
x’
x’
dA = x dy
x [2 / 3]h − y
[2 / 3]h − y
=
ise x = b
b
h
h
Ix ' =
h
h
h
h
 h− y
b
b  by3 y 4 
bh3
 dy = ∫ [hy 2 − y3 ]dy = 
Ix = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b
−  =

h 
h0
h  3
4 
12
0
0
bh3
4
http://mizan.ogu.edu.tr.
Ix =
x
y’’
bh3
12
2
ÖRNEK 5.22. y=kx fonksiyonun x eksenine göre atalet momentinin hesaplanması.
y
2
y=kx
x =a k = b
y =b
a2
b
dA=[a-x]dy
x
dy
[a+x]/2
y
b 2
x
a2
y =k x2
a 0.5
x=
y
b 0.5
y=
1
dA = y dx
3
A=
ab
3
x
a

b
b
b
a
a b


Ix = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 [a − x ] dy = ∫ y 2 a − 1/ 2 y1/ 2  dy = ∫ y 2 dy − 1/2 ∫ y 5/2 dy 

0
0
0
b
b 0





b
b
ay 3 
a  2y 7/ 2  
ab3

Ix =
 =
 − 1/2 

3  0 b  7   0
21

Uygulama. Şekildeki fonksiyonun x eksenine göre atalet momentinin [Ix] hesaplanması.
y
y
y2=16x
y2=16x
x
dy
100-x
30
x
x
10
10
dA = [10 − x ]dy
y 2 =16 x → x = y 2 /16
Ix = ∫ y 2 dA
30
30
30
0
0
0
Ix = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 [10 − x ]dy = ∫ y 2 10 − y 2 /16  dy = ∫ 10 y 2 − y 4 /16 dy = 213750br 4
Đntegrasyon için seçilen diferansiyel alan elemanı, y eksenine paraleldir. Eleman dx kalınlığına sahiptir ve eğriyi bir (x,y)
noktasında kesmektedir. Elemanın bütün parçaları x ekseninden aynı mesafede bulunmamaktadır, bu nedenle elemanın bu
eksene göre atalet momentini belirlemek için paralel eksen teoremi kullanılarak aşağıdaki şekilde elde edilir.
y
3
bh3 dx i y
Dikdörtgen şeritin dIx' =
=
12
12
dIx = dIx' + dA ( y / 2 )2 =
dx i y 3
dx i y 3
+ [dx ⋅ y ]( y / 2 )2 =
12
3
y
10 dx i y 3
∫ dIx' = ∫ dIx = ∫
0
3
2
y =16x
x
y
x’
2
dx i (16 x )3/2
=∫
= 213750br 4
3
0
y/2
10
190
dx
x
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.23. Şekildeki fonksiyonun [Iy] atalet momentini ve jirasyon yarıçapının [R] hesaplanması.
y
y
2
y=16-x
y
16
16
y=16-x2
2
y=16-x
y
dy
x
4 x
4
x
dx
dA = ydx
4 x
4
4
4
4
4
−4
−4
−4
0
Iy = ∫ x 2 dA = ∫ x 2 [ ydx ] = ∫ x 2 [16 − x 2 ] dx = [ 2 ] ∫ x 2 [16 − x 2 ] dx = 273.07
Bir dikdörtgen alanın bir kenara göre atalet momenti, dikdörtgenin alanı ile diğer kenarının
uzunluğunun karesi çarpımın 1/3’e eşittir.
h
Tabandan geçen bir eksene göre atalet momenti Ix = ∫ y 2 dA = ∫ y 2 b dy =
0
dA = xdy
16
16
bh3
3
9
16
1
2
2 x4
Iy = 2 ∫ x 2 dA = 2 ∫ x 2 [ xdy ] = ∫ x 3 dy =   = 273.07
3
30
3  4 0
0
0
A = 2x[ 4 x9 ][ 2/ 3 ] = 48 mm 2 cm 2 m 2
R=
Ix 273.07
=
= 2.39 mm 2 cm2 m 2
A
48
5.5. PARALEL EKSEN TEOREMĐ (düzlem)
x eksenine göre atalet momenti
I x = I xg + A d 2y
I x = I xg + A d 2y
y eksenine göre atalet momenti
I y = I yg + A d 2x
I y = I yg + A d 2x
Çarpım atalet momenti
I xy = I x g I yg + A d x d y
Polar atalet momenti
J o = J g + Ad ρ2
y
yg
I xy = I xgI yg + A d x d y
yg
y
A
x’
x
A [alanı]
dA
y’
dx
⊗ G [ağırlık merkezi]
xg
⊗
xg
G
dρ
x
y
dy
x
Ağırlık merkezinden xg ve yg geçen eksene göre ağırlık merkezi koordinatları,
191
http://mizan.ogu.edu.tr.
x' = x g =
∫ x' dA
∫ y' dA
A
A
y' = y g =
∫ dA
∫ dA
A
A
x’ ve y’ değerleri sistemin tamamını dikkate alınca “sıfır” olur (sistemin tamamının ağırlık merkezi ile
çakışacağından yani GEOMETRĐK MERKEZ). Buna göre xg ve yg eksenlerine göre ağırlık merkezi
koordinatları,
x' = x g =
∫ x' dA
∫ "0" dA
A
A
=
∫ dA
A
∫ dA
0
=
=0
A
y' = y g =
∫ y' dA
∫ "0" dA
A
A
∫ dA
A
=
∫ dA
A
=
0
=0
A
A
olur. Verilen alanın x ve y eksenlerine göre atalet momenti, olarak bulunur. Aşağıdaki şekilde özet
olarak verilmiştir.
y
y’
y’
y
Gağırlık merkazi
x’
Gağırlık merkazi
+
x’
y’
=
G
y
y
dy
G y
y
G
x
y
G
I x′
+
y2 A
=
Ix



Ix = ∫ y2dA

A



y = [y'+ dy]



2
2
Ix = ∫ [y'+ dy] dA
Ix = Ix' + Ady
A



ağırlık mer.

Ix = ∫ y'2 dA + 2dy ∫ y' dA + dy2 ∫ dA 
A
A
A



2
2
Ix = ∫ y' dA + 000 + dy ∫ dA

A
A

Iy
x
Iy
Iy
Iy



= ∫ x 2 dA

A



= [x '+ dx]



2
2
= ∫ [x '+ dx] dA
 Iy = Iy ' + Adx
A



ağırlık mer.

= ∫ x '2 dA + 2dx ∫ x ' dA + dx 2 ∫ dA 
A
A
A



2
2
= ∫ x ' dA + 000 + dx ∫ dA

A
A

z
y
Üç boyutlu olması durumunda;
dA
x
y
r
x
192
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.24. Şekilde ağırlık merkezi ile birlikte verilen dikdörtgenin tabandan geçen eksene göre
atalet momentinin paralel eksen teoreminden yararlanarak bulunması.
y’
h/2
G
x’
x’
G
x’
h/2
h/2
x
b
x
Yukarıda ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti I x′ =
bh 3
olduğu bulunmuştu. Buna
12
2
göre, Ix = Ix′ + A d2y =
bh3
bh3
h
+ bh   =
olarak bulunur.
12
3
2
ÖRNEK 5.25. Üçgenin tepesinden geçen eksene göre atalet momentinin hesabı.
y
y
dy
x
h
h
y
z
z
b
b
Iz =
Çözüm: Üçgenin ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti,
bh 3
36
olarak
bulunmuştu. Üçgenin alanı A=bh/2 ve ağırlık merkezinin z-z eksenine mesafesi d=2h/3 olduğuna
göre üçgenin z-z eksenine göre atalet momenti,
2
I z = I xg + A d 2 =
bh 3  2 
bh bh 3
=
+  h x
36
2
4
3 
olarak bulunur.
ÖRNEK 5.26. Şekilde verilen birleşik kesitin ağırlık merkezine ve z-z eksenine göre atalet
momentini [Ix] ve jirasyon [atalet] yarıçapını [R] hesaplayınız.
yg
y
z
8
2
⊗
x
2
1.98
3
3
4.48
8
⊗
6
y
z
0.48
xg
G
y
8.50
1.98
⊗
2
x
3.52
2.52
⊗
z
2
x
11
193
http://mizan.ogu.edu.tr.
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
xg
yg
1
2
3
16
1
16
9
144
12
1
12
5
60
22
5.5
121
1
22
∑ Ax i = 149 = 2.98
50
∑A
∑ Ayi = 226 = 4.52
50
∑A
∑50
Ağırlık merkezine göre Ig
Ağırlık merkezi
Çözüm: Şekil üç tane dikdörtgen elemana ayrılarak işlemler tablo halinde aşağıda yapılmıştır.
∑149
Ix = I x1 + Ix2 + Ix3
Iy = Iy1 + Iy 2 + Iy 3
Ix
=
A
z-z ekseni
R=
∑226
1 nolu parça
2 nolu parça
3 nolu parça
3
3
3
8x2
2
x
6
11x
2
=
+ 16 x 4.48 2 +
+ 22 x 3.52 2 = 645.144 mm 4 cm 4 m 4
+ 12 x 0.48 2 +
12
12
12
1 nolu parça
3 nolu parça
2 nolu parça
3
3
3
2x8
6x2
2 x 11
=
+ 16 x 1.98 2 +
+ 12 x 1.98 2 +
+ 22 x 2.52 2 = 583.59 mm 4 cm 4 m 4
12
12
12
645.144
= 3.59 mm 2 cm 2 m 2
50
1 nolu pa rça
Iz = Iz1 + Iz2 + Iz 3 =
2 x 83
3
nolu parça
3 nolu parç a
2
6 x 23
2x11 3
+
+ 12 x 4 2 +
+ 22 x 8. 5 2 = 2127 mm 4 cm 4 m 4
12
12
Jirasyon yarıçapı [R] Ix = AR 2 R =
Iy
Ix
Iz
Iy = AR 2 R =
Iz = AR 2 R =
A
A
A
ÖRNEK 5.27. Şekilde verilen koninin xg ağırlık merkezinin koordinatının hesaplanması.
2
r x 
dx kalınlığındaki kısmın hacmi dV = π   dx
h
y
z
h
r
y
x
dV
z
h
x
h
2
x 4r 2
 rx 
x
π
dx
xdV
∫
∫
h
4h 2 0
3h
0
 
V
xg =
=
=
=
2
h
h
3 2
dV
4
∫
 rx 
πx r
V
∫ π   dx
0
h
3h 2 0
h
y
rx/h
dx
r
r
x
x
x
194
dx
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.28. Kütlesi verilen çubuğun atalet momentinin hesaplanması aşağıdaki örnek üzerinde
yapılmıştır [M=çubuğun toplam kütlesi].
r
r
dm
2
L/2
M
I x = ∫ r 2 dm
dm =
0
L/2
M
M
dr
L
I x = ∫ r 2 dm
dm =
0
M
dr
L
L
L
M
M r 3  2
ML2
I = ∫ r 2 dr =   =
L
L  3  −L
12
−L / 2
M
M r 3  2
ML2
I= ∫ r
dr =   =
L
L  3  −L
12
−L / 2
Tabandan geçen eksene göre
Ağırlık merkezinden geçen eksene
göre
L/2
L/2
2
2
2
2
ML2
ML2
 L
+ M  =
3
3
2
Paralel eksen teoremi ile tabandan geçen
eksene göre
Paralel eksen teoremi
Ib = I a + M x 2 =
b
a
x=L/2
dm
2
L/2
L/2
ÖRNEK 5.29. Şekilde verilen alanın,
a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını [xg yg]
b. Bu alanın x ekseni etrafında 2π
π kadar dönmesiyle oluşan hacmi bulunuz.
y
y
y
40
40
40
x
x
xg
y
y
Ž
Ž
75
75
75
yg
[a]
40
x
x
x
40
[c]
[b]
40
40
40
40
Çözüm: Şekil geometrisi bilinen şekillere [b] ayrılarak tablo halinde aşağıdaki şekilde yapılır.
195
http://mizan.ogu.edu.tr.
Parça No
Œ

Ž
Toplam
Ai
xi
yi
Ai xi
Ai yi
2513
3000
1500
7013
40
20
53.33
91.97
37.50
50
100520
60000
79995
240515
231121
112500
75000
418621
Ağırlık merkezinin koordinatları
[xg yg]
xg
xg = x =
yg
∑ A i x i 240515
= 34.29
=
7013
∑ Ai
PAPUS-GOLDEN TEOREMĐ
yg = y =
∑ A i y i 418621
= 59.69
=
7013
∑ Ai
Vx = 2π A y g = 2 π x 7013 x 59.69 = 2630179 cm 3 m 3
ÖRNEK 5.30. Şekilde verilen dairenin eksenel atalet momentinin hesaplanması.
y
y
dy
dA
x
y
x
x
r
r
Çözüm: Daire üzerinde alınan bir dA diliminin alınır.
Ix = ∫ y 2 dA
dA = 2x dy
r
r
0
0
Ix = 2 ∫ y 2 [2x dy] = 4 ∫ y 2 r 2 − y 2 dy =
πr4
4
Tam daire için
Ix = Iy =
πr4
4
ÖRNEK 5.31. Şekilde verilen silindirin,
a. Yoğunluğunun homojen olması durumunda silindirin,
1. Kütlesini [m=?]
2. Ağırlık merkezi koordinatını [xg=?]
y
b. Yoğunluğunun homojen olmayıp ρ = ρ x [1 + x / L ] olması durumunda silindirin,
y 1. Kütlesinin[m=?]
2. Ağırlık merkezi koordinatını [xg=?]
z
hesaplanması.
dV
z
A
x
L
y
x
dx
x
x
L
x
196
dx
http://mizan.ogu.edu.tr.
Silindirin hacmi V = A L
dx parçacığının hacmi dV = A dx
L
L
[a.1.] Silindirin, yoğunluğu homojen ise kütlesi m = ∫ ρ dV = ∫ ρ A dx =ρ A x 0 =ρ AL
V
0
L
∫ x ρdV ∫ x ρ Adx
xg = V
[a.2.] Silindirin, yoğunluğu homojen ise
∫ ρ dV
V
= 0L
=
∫ ρ Adx
L
2
0
L
[b.1.] Silindirin, yoğunluğu homojen değil ise kütlesi m = ∫ ρ dV = ∫ [ ρ x (1+ x /L )]A dx =
V
3 ρ x AL
0
2
[b.2.] Silindirin, yoğunluğu homojen değil ise ağırlık merkezi koordinatı
L
∫ x ρdV ∫ x[ ρx (1+ x/L)]Adx
Silindirin kütlesi x g = V
∫ ρdV
= 0L
∫ [ ρx (1+ x/L)]A dx
V
=
9L
5
0
ÖRNEK 5.32. Verilen şeklin
1. x ve y eksenlerine göre
[
2. Ağırlık merkezinden geçen eksene göre x = x g = 5.64 y = y g = 6.55
atalet momentlerinin ve atalet yarıçapının bulunması.
y
y
14m
8m
]
6m
y
x
12m
12m
x
8m
8m
x
Ix − x = Ix 1 + Ix 2 =
8 x123 6 x123 6 x12 2
bh3 bh3
+
+ Ad22 =
+
+
8 = 7200m 4
3
36
3
36
2
Iy − y = Iy 1 + Iy 2 =
12x8 3 12x 6 3 6 x12 2
bh3 bh3
+
+ Ad22 =
+
+
10 = 5720m 4
3
36
3
36
2
Çözüm 1.
Polar Ip = Ix − x + Iy − y = 7200 + 5720 = 12920m4
Ix =Ix 1 + Ix 2 ==
Çözüm 2. Iy =Iy 1 + Iy 2 =
R=
8 x123
12
+
6 x123
36
Atalet yarıçapı R =
12920
= 9.89m
[12 x 8 + 12 x 6 / 2]
+ [12x8]x 0.55 2 + [12x6 x0.5 ]x1.45 2 =1544.73 cm4
12x8 3 12x6 3
+
+ [12x8]x1.64 2 + [12x6 x0.5 ]x 4.36 2 =1526.55cm 4
12
36
Ix 1544.73
=
= 3.42 mm2 cm2 m2
A
132
197
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.33. Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentlerinin ve atalet yarıçapının bulunması.
x
r=15
x
x
r=15
x
x
y
25cm
Ix−x = Ix1 − Ix2 =
25cm
 50 x 253  π x15 4
bh3 πr 4
−
−
= 2 
= 90447 c m4

12
4
12
4


Atalet yarıçapı R =
Ix−x
=
A
90447
[50 x 25 − π x 15 2 ]
= 12.90 cm
ÖRNEK 5.34. a: Verilen şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması [xg, yg]
b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması [Ixg, Iyg]
c: x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
y
y
cm
5
9.00
cm
5
Ž
cm
cm

r=2
cm
1
4.67
y
cm
3
1
x
3
r=2
cm
cm
1
cm
5
x
cm
5
1
x
cm
5
cm
5
Çözüm a: Kolaylık olması ve karışmaması için sistem parçalara ayrılarak tablo şeklinde hesap yapılmıştır.
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
1
2
3
4
25
18
15
-6.28
∑51.72
2.5
8
9
8
62.5
144
135
-50.24
∑291.26
-2.5
1.5
4.67
0.85
-62.5
27
70.05
-5.34
∑29.21
198
xg
xg =
∑ Axi
∑A
yg =
=
291.26
= 5.63 cm
51.72
∑ Ayi = 29.21 = 0.56cm
∑ A 51.72
http://mizan.ogu.edu.tr.
y
y
9-5.63=3.37
cm
5
Ž
(3-0.56)+(5/3)=4.11
y
cm

0.56
3
r=2
cm
cm
1
x
cm
5
Ž
y
5.63
(5+6x2/3)=9
1
5.63
x
cm

0.56
3
r=2
cm
cm
1
cm
5
x
cm
5
1
x
cm
5
cm
5
Çözüm b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre Ix aşağıdaki şekilde tabloda hesaplanmıştır.
Parça
2
Ix
3
Ad
2
1
2
5x5 /12
3
6x3 /12
+
+
5x5x(3.06)
2
6x3x(0.94)
3
4
6x5 /36
2 ((π/8)-(8/9π)
3
+
-
6x5x0.5x(4.11)
2
2
(πx2 /2)x(0.29)
4
2
=
=
Ixg
286.17
29.40
=
=
274.22
-2.25
∑587.51
Parça
2
Iy
3
Ad
2
1
2
5x5 /12
3
3x6 /12
+
+
5x5x(3.13)
2
6x3x(2.37)
3
4
5x6 /36
4
(πx2 /8
3
+
-
6x5x0.5x(3.37)
2
2
(πx2 /2)x(2.37)
2
=
=
Iyg
297.01
155.10
=
=
200.35
-41.55
∑610.91
Çözüm c: Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
 πr 4
bh3 bh3  bh3
+
+
+ Ad32  −
3
3
8
 36

2
5 x 53 6 x 33 6 x 53  6 x 5 
5   π x 24
3 +   −
=
+
+
+
= 603.55 cm4


3
3
36
2
3
8


 
Ix−x = Ix1 + Ix2 + Ix3 − Ix4 =
X-X
Ix−x
Iy−y = Iy1 + Iy2 + Iy3 − Iy4 =
Y-Y
Iy−y =
bh3 bh3
bh3
πr 4
+
+ Ad22 +
Ad22 +
+ Ad22
3
12
36
8
5 x 53
3 x 63
5 x 63  6 x 5 2   π x 24 π x 22 2 
+ 5x5x2.52 +
+ [3 x 6 x 82 ] +
+
9 − 
+
8 
 2
  8
3
12
36
2


Iy−y = 208.33 + 1206 + 1245 − 408.2 = 2251.13 cm4
199
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.35. a: Verilen şeklin ağırlık merkezinin koordinatlarının bulunması [xg, yg]
b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerinin bulunması [Ixg, Iyg]
c: x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
y
y
30cm
30cm
x

20cm
20cm
cm
r=20
Ž

r=20
4cm
cm
x
16cm
4
cm
16cm
Çözüm a: Kolaylık olması ve karışmaması için sistem parçalara ayrılarak tablo şeklinde hesap
yapılmıştır.
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
1
2
30x24/2=360
2880
5760
30
10
10800
4800
3
-314.16
-2667.22
8.49
-2667.22
4
320
∑845.84
8
12
8.4
9
32
10240
∑16212.78
10
3200
∑16132.78
480
xg
∑ Axi
∑A
∑ Ayi
yg =
∑A
xg =
=
16212.78
= 19.17 cm
845.84
=
16132.78
= 19.07cm
1474.16
y
cm
30
x
19.17

cm
20
Ž

19.07
cm
r=20
cm
x
cm
4
16
Çözüm b: Ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri aşağıdaki şekilde tablo
üzerinde hesaplanmıştır.
Parça
Ix
Ad
2
3
+
+
24x30x0.5(10+0.93)
2
20x24x(19.07-10)
4
+
+
-(π
πx20 /4) x (19.07-(4x20)/3π
π)
2
16x20 x(19.07-10)
1
2
24x30 /36
3
24x20 /12
3
4
-(π
πx20 /16)
3
16x20 /12
Ixg
2
2
2
=
=
61007.36
54487.15
=
=
-66593.30
62324.77
∑111225.98
200
http://mizan.ogu.edu.tr.
x
Parça
Iy
Ad
3
1
2
30x24 /36
3
20x24 /12
3
4
(π
πx20 /16)
3
20x16 /12
4
2
Iyg
2
+
+
24x30x0.5(19.17-10)
2
20x24x(19.17-10)
+
+
-(π
πx20 /4) x (19.17-(4x20)/3π
π)
2
16x20 x(32-19.17)
2
2
=
=
41792.00
63402.67
=
=
-67261.43
59501.52
∑97434.76
Çözüm c: Verilen şeklin x eksenine göre atalet momentleri ve yarıçapının bulunması.
Ix−x = Ix1 + Ix2 − Ix3 + Ix4 =
Ix−x =
24 x 303  24 x 30 2  24 x 203 π x 20 4 16 x 203
+
30  +
−
+
= 417250.74 cm4
36
3
16
3
 2

Iy−y = Iy1 + Iy2 − Iy3 + Iy4 =
Iy−y =
bh3
bh3 πr 4 bh3
+ Ad22 +
−
+
36
3
16
3
bh3 bh3 πr 4 bh3
+
−
+
+ Ad22
12
3
16
12
30 x 243 20 x 243 π x 20 4 20 x163 
+
−
+
+  20 x16 x 322  = 429810.74 cm4


12
3
16
12
ÖRNEK 5.36. Taralı alanın a: O noktasına göre kutupsal atalet momentini bulunuz
b: Ağırlık merkezinden geçen eksene göre [Ixg=? Iyg=?]
1m
πr 4
π 14
=
= 1.5708m4
2
2
1. Yol: 1 m yarıçaplı daire için Jo =
0.6m
0.6 m yarıçaplı daire için Jo = Jc + Ad =
2
π (0.6)4
+ π (0.6)2 (0.3)2 = 0.3054 m4
2
0.3m
Taralı alanın atalet momenti Jo = 1.5708 − 0.3054 = 1.2654m4







 J = I + I = 1.2654 m4
 o
x
y


4
4
4
4

πr
πr
π
(1)
π
(0.6)
Iy =
−
− Ad2 =
−
− π (0.6)2 (0.3)2 = 0.5818m4 


4
4
4
4


IX =
2. YOL:
π r4 π r4
π (1)4 π (0.6)4
−
=
−
= 0.6836m4
4
4
4
4
xg =
Ağırlık merkezine göre b: Ixg
=
Iyg =
π (1)2 x 0 − π (0.6)2 x 0.3
π (1)2 − π (0.6)2
= −0.1688
yg = 0
π (1)4 π (0.6)4
−
= 0.6836 m4
4
4
π (1)4
π (0.6)4
+ π (1)2 (0.1688)2 −
− π (0.6)2 (0.3 + 0.1688)2 = 0.5246 m4
4
4
201
http://mizan.ogu.edu.tr.
Uygulama: Verilen şeklin [ Ixg=? Iyg=? ]ağırlık merkezine göre atalet momentlerinin hesaplanması
y
y
5
1.5
1.5
1
2.5
2.5
Çözüm: Şekil geometri özelliği
bilinen basit geometrik
şekillere ayrılır.
2
4
3
2
2
4
4
6
x
x
7
2
2
2
Parça
1
2
3
4
5
6
7
Σ
Ai
48
16
-3.14
-3.14
-3
4
6.28
65
2
2
xi
0
0
-3.15
3.15
0
-2.67
-2
xg =
Parça
Ai xi
0
0
9.89
-9.89
0
-10.68
-12.56
-23.24
∑ A i x i −23.24
=
= −0.36
65
∑ Ai
yi
7
2
4.85
4.85
9.5
1.33
-0.85
yg =
d2=[xg-xi]2
Ai
2
2
2
Ai yi
336
32
-15.23
-15.23
-28.5
5.32
-5.33
309.03
∑ A i yi 309.03
=
= 4.75
65
∑ Ai
Ix
1
48
2.25
3
2

8 ⋅ 6  / 12 + 48 ⋅ 2.25 = 387
2
16
4.75-2=[2.75]2
4 4 / 12 + 16 ⋅ 2.75 2 = 142.33
3
-3.14
[4r/3π+4-4.75=0.1
4
-3.14
[4r/3π+4-4.75=0.1
5
-3
[1+4.5-0.75]=4.752
6
4
[4x1/3-4.75]=3.422
7
6.28
[4r/3π+4.75]=5.602
Σ
65
Parça
2
−r 4  π / 16 − 4 / (9 ⋅ π) + 3.14 ⋅ 0.12  = −0.91


−r 4  π / 16 − 4 / (9 ⋅ π) + 3.14 ⋅ 0.12  = −0.91


−   4 ⋅ 1.53  / 36 + 3 ⋅ 4.752  = −68.06



2 ⋅ 43  / 36 + 4 ⋅ 3.422 = 50.34


r 4  π / 8 − 8 / (9π) + 6.28 ⋅ 5.62  = 198.70


708.49
Ai
d2=[xg-xi]2
Iy
 6 ⋅ 83  / 12 + 48 ⋅ 0.36 2 = 262.22


2
1
48
0.36
2
16
0.362
3
-3.14
[r-4r/3π+[2-0.36]]2
4
-3.14
[r-4r/3π+[2-0.36]]2
5
-3
0.362
6
4
[2-0.36+[2/3]]
7
6.28
[r-0.36]
Σ
65
4 4 / 12 + 16 ⋅ 0.36 2 = 23.41
− r 4 [ π / 16 − 4 / (9π)] + 3.14x2.79 2  = −25.32


− r 4 [ π / 16 − 4 / (9π)] + 3.14x2.79 2  = −25.32


−  1.5 ⋅ 43  / 48 + 3x0.362 = −2.39 = −2.39


 4 ⋅ 23  / 36 + 4 ⋅ 2.312 = 22.23


2
  π ⋅ 24  / 8 + 6.28 ⋅ 1.642 = 23.17

 

2
278.00
202
http://mizan.ogu.edu.tr.
ÖRNEK 5.37. Şekilde verilen alanın, [dairenin yarıçapı r=2]
1. Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
2. Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
o
3. Şeklin m-m ve n-n ekseni etrafında 180 dönmesi sonucu oluşan hacmin
4. Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentlerinin [Ix Iy] hesabı.
y
y
n
8
8
12
0
x
4
4
m
m
5
n
3
x
4
Çözüm: Şekil geometri özelliği bilinen
basit geometrik şekillere ayrılır.
1
2
5
5
4
8
4
8
Verilen x ve y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
No
d2=[xg-xi]2
Ai
Ix
Iy
1
24
0
 4 ⋅ 123  / 36 = 192
2
32
0
8 ⋅ 43  / 3 = 170.67
 4 ⋅ 83  / 3 = 682.67


3
50.24
0
 π ⋅ 8 4  / 16 = 804.25
 π ⋅ 8 4  / 16 = 804.25
4
-6.28
0
−  π ⋅ 24  / 8 = −6.28


−  6.28 ⋅ 6 2  = −232.36


5
30
[4+5/3]=5.67
3
2

12 ⋅ 5  / 36 + 30 ⋅ 5.67 = 1006.13
3
2

12 ⋅ 5  / 36 + 30 ⋅ 4 = 720
Σ
129.96
2166.77
2038.56
y
Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
Parça
1
2
3
4
5
Σ
xg =
Ai
24
32
50.24
-6.28
30
129.96
∑ Ai x i
∑ Ai
xi
1.33
4
3.4
6
4
=
12 ⋅ 43  / 12 = 64
Ai xi
-31.92
128
170.82
-37.68
120
349.22
349.22
= 2.69
129.96
yi
0
-2
3.4
-0.85
-5.67
Ai yi
0
-64
170.82
5.34
-170.1
-57.94
yg =
∑ Ai yi
∑ Ai
=
−57.94
= −0.45
129.96
8
4
3
xg
1
x
yg
4
G
2
5
5
4
8
PAPUS-GOLDEN TEOREMĐ
Vm−m = π A yg = π x129.96 x 0.45 = 183.73mm3 cm3m3
Vn−n = π A x g = π x 129.96 x [12 + 2.69] = 5993.57 cm3m3
Ağırlık merkezinden geçen eksenlerine göre atalet momentleri [Ix Iy]
No
Ai
2
2
d =[xg-xi]
2
1
24
0.45
2
32
1.55
3
50.24
3.85
2
2
Ix
Iy
4x123
+ 24x0.45 2 = 196.86
36
3
2

8 ⋅ 4  / 12 + 32 ⋅ 1.55 = 119.55
 4

4 
2
r  π
 8  16 − 9π  + 50.24x3.85  = 969.47




203
12 x 43
+ 24 x 4.022 = 409.18
36
3
2

 4 ⋅ 8  / 12 + 32 ⋅ 1.31 = 2255.58
 4

4 
2
r  π
 8  16 − 9π  + 50.24x0.71  = 249.78




http://mizan.ogu.edu.tr.
2
4
-6.28
0.4
5
30
5.22
r4  π

8 
 + 6.28x0.42  = −2.76
−   −
 2  8 9π 

 π x 24

− 
+ 6.28x3.312  = −75.09
 8

12x53
+ 30x5.222 = 859.12
36
5x123
+ 30x1.312 = 291.48
36
2142.24
1100.93
2
Σ 129.96
y
x
r
y
O
O
x
Alan
x
y
I [ağırlık merkezine göre]
πr 2
4
4r
3π
4r
3π
4 
π
Ix = Iy = r 4  −
16
9
π 

πr 2
2
0
πab
4
4a
3π
4r
π 8 
I = r4  −

3π x
 8 9π 
Iy =
Polar
πr 4
8
Jo =
πr 4
8
Jo =
πr 4
4
Jo =
πr 4
2
y
x
G
4b
3π
Ix = I y =
πr 4
4
ÖRNEK 5.38. Değişik metallerden oluşan şeklin kütle merkezi koordinatlarının hesaplanması.
y
y
3
Çap 40
∅4
∅4
5
40
40
50
30
6
∅2
∅2
30
x
20
z
x
4
z
80
60
8
10
2
5
1
80
Ağırlık merkezinin koordinatları [xg yg]
Parça
1
2
3
4
5
6
Σ
B.ağırlık [N/cm3]
mi
xi
mi xi
yi
mi yi
zi
mi z i
0.008
0.004
0.004
0.004
0.008
0.008
192
204,8
20,11
-10,05
4,02
1,01
30
-4
-4
-4
20
60
5760
-819,2
-80,44
40,21
80,42
60,29
-47,5
-10
-34,24
-10
30
30
-9120
-2048
-688,57
100,5
120,6
30,30
-10
-10
-10
-10
-10
-10
-1920
-2048
-201,1
100,5
-40,2
-10,1
411.89
5041.28
∑ mixi = 5041.28 = 12.24
xg =
411.89
∑ mi
zg =
∑ mixi
∑ mi
-11605.2
-4118.9
∑ mixi = −11605.2 = −28.18
yg ==
411.89
∑ mi
=
−4118.9
= −10
411.89
204
http://mizan.ogu.edu.tr.
Örnek: Verilen şeklin ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentlerinin [Ixg, Iyg] bulunuz.
y
y
Üçgen 2x2
Üçgen 2x2
2
2
4
1
3
2
5
Üçgen 2x2
Yarıçap r=1
2
Üçgen 2x2
Yarıçap r=1
2
2
6
r=1
r=1
2
1
r=2
2
2
r=2
x
x
6
6
πx12 4x1 πx12 
4x1  2x2 
1  2x2  1 
6 x 8 x 3−
−
6−
−
6−2 −
(1)2 (1 + 1)



2 3  − π
4
3
π
2
3
π
2
3
2






Tamamı=144
Tam daire=6.283
xg =
1/4daire =0.333
1/2daire =8.758
2
6x8−
6 x 8 x 4 − πx12
yg =
3nolu üçgen=10.667
4nolu üçgen=1.333
πx1 πx1 2x2 2x2
−
−
−
− π(1)2
4
2
2
2
2
=
116.626
= 3.029
38.502
1 4x1
1
2x2 
2  2x2 
4
− πx12 (1) −
4+ −
6 +  − π(1)2 (5)
150.388
4 3π
2
2 
3
2 
3
=
= 3.906
2
2
πx1 πx1 2x2 2x2
38.502
6x8−
−
−
−
− π(1)2
4
2
2
2
2
Ixg =
6 ⋅ 83
2 ⋅ 23 2 ⋅ 2 
2  2 ⋅ 23 2 ⋅ 2 
2

+ 6 ⋅ 8 ⋅ (4 − 3.906)2 −
−
⋅  3.906 −  −
−
⋅ 4 + − 3.906 
12
36
2 
3
36
2 
3

π ⋅ 14 π ⋅ 22
4  π ⋅ 22 1 
4 
2
 π
−
⋅ ( 5 − 3.906 ) − 14 ⋅ 
−
⋅ ⋅  3.906 −
−

4
4
4 4 
3π 
 16 9 π 
2
2
 π 8  π⋅2 1
−14 ⋅  −
−
⋅ ⋅ ( 3.906 − 1) = 205.896

8
9
π
4
2


2
2
−
2
Iyg =
8 ⋅ 63
2 ⋅ 23 2 ⋅ 2 
2  2 ⋅ 23 2 ⋅ 2 
2
+ 6 ⋅ 8 ⋅ (3 − 3.029)2 −
−
⋅  3.029 −  −
−
⋅ 6 − 3.029 − 
12
36
2 
3
36
2 
3
−
π ⋅ 14 π ⋅ 22
4  π ⋅ 22 1 
4 
2
 π
−
⋅ ( 3.029 − 2 ) − 14 ⋅ 
−
⋅ ⋅  3.906 −
−

4
4
4 4 
3π 
 16 9 π 
−
π ⋅ 14 π ⋅ 22 1 
4

−
⋅ ⋅ 6−
− 3.029  = 101.296
8
4 2 
3π

2
2
2
205
http://mizan.ogu.edu.tr.
Örnek: Şekilde verilen sistemin,
a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.
b. Ağırlık merkezinin geçen eksenlere göre atalet momentini bulunuz.
c. a-b eksenine göre atalet momentini bulunuz.
y
a
y
2
1
1
3
2
1
1
3
3.5
3.5
5
2
9
9
10
10
3
9
9
1
3.5
3.5
4
4
4
2
1.5
5
3
2
3
2
1
5
b
2
1.5 1
2
2
x
x
Ağırlık merkezinin koordinatları (x-y eksenlerine göre)
Parça
TÜM
1
2
3
4
5
Σ
Ai
12.5x10
-14
-14
-15
-13.5
-13.5
55
xi
12.5/2+2=8.25
5
5
7.75
10.5
12.5
Ağırlık merkezinin
koordinatları
xg =
∑ A i xi
∑ Ai
Ai xi
1031.25
-70
-70
-116.25
-141.75
-168.75
464.50
=
yi
5+2=7
4.75
9.25
7
5
9
464.5
= 8.45
55
yg =
Ai yi
875
-66.50
-129.50
-105
-67.5
-121.50
385
∑ A i yi
∑ Ai
=
385
= 7.00
55
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti
x-x (yg=7.00 için geçerli)
y-y (xg=8.45 için geçerli)
2
Parça
bh3 /12
Axd
TÜM
12.5 ⋅10 3 /12 = 1041.67
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
- 1.5 ⋅10 3 /12 = −125
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
766.59
10x12.5x02=000
-
Boşluklar “ “
1
2
3
4
5
∑
2
-3.5x4x2.25 =-70.875
-3.5x4x2.252=-70.875
-1.5x10x02=0.000
-9x3x0.5x22=-54.00
-9x3x0.5x22=-54.00
-249.75
516.84
∑
Axd
hb3 /12
2
bh3 /12
Axd
TÜM
12.5 ⋅10 3 /12 = 1041.67
10x12.5x62=4500
-
Boşluklar “ “
1
2
3
4
5
∑
∑
2
10x12.5x0.22=5.00
-3.5x4x3.452=-166.635
-3.5x4x3.452=-166.635
-1.5x10x0.72=-7.35
-9x3x0.5x2.052=-56.734
-9x3x0.5x4.052=-221.434
10 ⋅12.5 3 /12 = 1627.604
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
- 10 ⋅1.5 3 /12 = −2.81
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
1573.957
-613.788
960.169
a ve b eksenlerine göre atalet momenti
a-a
Parça
2
b-b
2
hb3 /12
Axd
10 ⋅12.5 3 /12 = 1627.60
10x12.5x7.252=6570.31
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
-3.5x4x8.25 =-952.875
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
-3.5x4x10.52=-1543.50
- 4 ⋅3.5 3 /12 = −14.29
-3.5x4x3.752=-196.875
- 3.5 ⋅ 4 3 /12 = −18.67
-3.5x4x10.52=-1543.50
2
- 1.5 ⋅10 3 /12 = −125
-1.5x10x6 =-540
- 10 ⋅1.5 3 /12 = −2.81
-1.5x10x7.752=-900.94
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
-9x3x0.5x82=-864
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
-9x3x0.5x52=-337.5
- 3 ⋅9 3 /36 = −60.75
-9x3x0.5x42=-216
- 9 ⋅3 3 /36 = −6.75
-9x3x0.5x32=-121.5
1730.25
1573.95
766.59
2496.84
2123.37
3697.32
206
http://mizan.ogu.edu.tr.
Örnek: Verilen şekillerin ağırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini bulunuz.
58
16
30
30
10
2
25
40
40
10
30
3
30
25
25
40
KÜÇÜK
Ai
1
Aixi
yi
Aiyi
65
726700
43
480740
1
130x86=11180
15
-11250
2
-25x30= -750
33.33 -4166,67
3
-10x25x0.5=- 125
25x30=-750 117.5 -88125
15 -11250
10x25x0.5=-125 121.67 -15208,33 33.33 -4166,67
4
5
2
-25x30= -750 12.5 -9375
3
-10x25x0.5=- 125 8.33 -1041,67
4
5
6
65x16=-1040 97.5 -101400
8390
xg =
78
511550
-81120
Ai
3
Aiyi
65
726700
43
480740
12.5
-9375
15
-11250
8.33
-1041,67
33.33 -4166,67
15 -11250
33.33 -4166,67
97.5
-101400
78
368786,7 7
42x65=2730(ek)
32.5
88725
107 292110
xg =
-81120
600275
660896.7
= 53.98 y g =
= 59.43
11120
11120
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre I
BÜYÜK
bh3/12
3
13x8.6 /12=689.06
2x2.5x33/12=11.25 2x2.5x3x2.8962=125.80 -137,05
2x2.5x33/12=11.25 2x2.5x3x4.4432=296.10 -307,35
3
2x2.5x13/36=0.14 2x2.5x1x.5x1.062=2.809 -2,949
2x2.5x13/36=0.14 2x2.5x1x.5x2.612=17.03 -17,17
4
6.5x1.6 /12=2.22
6.5x1.6x3.404 =120.51
13x8.6 /12=689.06
I
2
2
2
690,09
bhd2
1
3
13x8.6x0.096 =1.03
yi
65x16=-1040
I
2
Aixi
25x30=-750 117.5 -88125
10x25x0.5=-125 121.67 -15208,33
Ağırlık merkezinden geçen eksene göre I
KÜÇÜK
bhd2
xi
6
600275
660896.7
= 53.98 y g =
= 59.43
11120
11120
bh3/12
25
BÜYÜK
xi
130x86=11180
40
6.5x1.63/12=2.22
-122,73
3
∑I 427,361 6.5x4.2 /12=40.131
13x8.6x1.643 =301.80
990,86
6.5x1.6x1.8572=35.86
-38,08
6.5x4.2x4.7572=617.77
657,90
∑I
207
1286,16
http://mizan.ogu.edu.tr.
Örnek: Verilen şekillerin mukavemet ve atalet momentlerinin hesaplanması.
350
3.nolu ek
2.nolu ek
1.nolu ek
150x150x15
15
1100
1124
1100
1124
150x150x15
15
150x150x15
12
150x150x15
350
12
1.nolu ek
2.nolu ek
3.nolu ek
350
Weksiz = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅( 550 / 2 )⋅ 2adet + 12 ⋅350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet =17877150mm3
W1. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅( 550 / 2 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 22648350mm3
Mukavemet momenti (x-x)
W2. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅ 550 ⋅( 550 / 2 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 27520350mm3
W3. ek = A i ⋅ x i =15 ⋅550 ⋅( 550 / 2 )⋅ 2adet + 12 ⋅ 350 ⋅ 556 ⋅ 2adet
+ 15 ⋅150 ⋅( 550 − 75 ) ⋅ 4 adet + 15 ⋅135 ⋅( 550 − 7.5 ) ⋅ 4adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 6 ) ⋅ 2a det + 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 6 )⋅ 2adet
+ 12 ⋅ 350 ⋅( 550 + 12 + 12 + 12 + 6 ) ⋅ 2adet = 32493150mm3
Ieksiz =
Atalet momenti (x-x)
350 ⋅1124 3
135 ⋅10703
15 ⋅800 3
− 2adet
− 2adet
=1.2571010 mm 4
12
12
12
350 ⋅123

I1. ek =Ieksiz + 2adet 
+ 350 ⋅12 ⋅568 2  =1.5281010 mm 4
 12

350 ⋅123

I2. ek =I1. ek + 2adet 
+ 350 ⋅12 ⋅580 2  =1.81061010 mm 4
 12

350 ⋅123

I3. ek =I2. ek + 2adet 
+ 350 ⋅12 ⋅5922  = 2.1051010 mm 4
 12

208
http://mizan.ogu.edu.tr.
Uygulama: Verilen şeklin eksen takımına göre,
a. Ağırlık merkezinin koordinatlarını
b. X-x ve y-y eksenlerine göre atalet momentlerini bulunuz.
24
24
3
16
16
28
28
18
18
36
11
36
11
1
24
7
24
4
24
24
5
2
4
10
2
6
16
16
3
12
12
2
4
2
6
2
2
3
12
12
2
6
Çözüm: Verilen şekil yukarıdaki gibi geometrisi bilinen basit şekillere ayrılır.
Ağırlık merkezinin koordinatları (x-y eksenlerine göre)
Parça
TÜM 1
2
3
4
5
6
7
Σ
Ai
36x43
-80
-80
-198
-144
-144
-336
566
xi
43/2+4=25,5
4+2+3,33
4+2+3,33
4+15-11/3
4+17+12/3
4+17+12+2x12/3
4+24/2+17
Ağırlık merkezinin
koordinatları
xg =
∑ A i xi
∑ Ai
=
Ai xi
39474
-746,4
-746,4
3036
-3600
-5904
-11088
20425,2
yi
36/2+6=24
6+5,33
36-16/3+6
36/2+6
6+24/3
6+24/3
6+36-28/3
20425,2
= 36,09
566
yg =
∑ A i yi
∑ Ai
Ai yi
37152
-906,67
-2933,33
-4752
-2016
-2016
-10976
13552
= 13552 = 23,94
566
x ve y eksenlerine göre atalet momenti
x-x
Parça
TÜM1
-
Boşluklar “ “
2
3
4
5
6
7
∑
∑
bh3
/12
43 ⋅36 3 /12 = 167184
y-y
Axd
2
hb3
2
36x43x24 =891648
2
/12
Axd
2
2
36 ⋅ 43 3 /12 = 238521
36x43x25.5 =1006587
- 12 ⋅16 3 / 36 = −1365.33
-12x16x0.5x11.33 =-12330.67
- 16 ⋅123 / 36 = −768
-12x16x0.5x9.332=-8356.69
- 12 ⋅16 3 / 36 = −1365.33
-12x16x0.5x36.672=-129066.67
- 16 ⋅123 / 36 = −768
-12x16x0.5x9.332=-8356.69
2
- 11⋅18 3 / 36 = −1782
-11x18x0.5x18 =-32076
- 18 ⋅113 / 36 = −665.5
-11x18x0.5x15.332=-23276
- 11⋅18 3 / 36 = −1782
-11x18x0.5x302=-89100
- 18 ⋅113 / 36 = −665.5
-11x18x0.5x15.332=-23276
- 12⋅24 3 /36 = −4608
-12x24x0.5x14 =-28224
- 24 ⋅123 /36 = −1152
-12x24x0.5x252=-90000
- 12⋅24 3 /36 = −4608
-12x24x0.5x142=-28224
- 24 ⋅123 /36 = −1152
-12x24x0.5x412=-242064
- 12 ⋅ 28 3 / 36 = −7317.33
-12x28x0.5x32.672=-115271.52
- 28 ⋅123 / 36 = −1344
-12x28x0.5x292=-141288
- 28 ⋅123 / 36 = −1344
230662
-12x28x0.5x372=-229992
239977.62
- 12 ⋅ 28 3 / 36 = −7317.33
144356.01
2
2
-12x28x0.5x32.67 =-115271.52
458819.12
209
http://mizan.ogu.edu.tr.
5.6. ÇARPIM ATALET MOMENTĐ
Çarpım atalet momenti,
a. Alanı A olan bir elemanın [A] [Şekil 8a]
b. Bu A alanı çok küçük dA parçalarına ayrılsın [dA]
c. Bu küçük dA alanının eksenlere olan uzaklıkları olan x ve y çarpılsın [xy dA]

d. c’deki çarpım işlemi A alanın tüm dA parçaları için integre ederek Ixy =


∫ xy dA 

A
bağıntısıyla bulunan atalet momentine çarpım atalet momenti denir. Bu şeklin dışındaki bir eksene
göre çarpım atalet momenti aşağıdaki bağıntılarla bulunur.
y
y
y’
[a]
x
x
[b]
x’
x
dA
dA
y’
G
y
x’
y
x
O
y
A
A
x
Ixy = ∫ xy dA = ∫ [x '+ x] [y '+ y] dA = ∫ x ' y ' dA + y ∫ x ' dA +x ∫ y ' dA + x y ∫ dA
A
A
G ağırlık merkezine göre atalet momentinde x' = 0 y' = 0
I xy =
∫ x' y' dA + y ∫ x' dA +x ∫ y' dA + x y ∫ dA = 0I
x'y'
+ 0 x I x + 0 x I y + xy dA = xy dA
NOT: Buna göre bir düzlemin ağırlık merkezine [xg yg] göre çarpım atalet momenti [Ix’y’=0] sıfırdır.
[
]
ÖRNEK 5.41. Şekildeki kesitin ağırlık merkezi x g = 2.98 m y g = 4.52 m olduğuna göre,
a. Çarpım atalet momentini [Ixy]
yg
y
8
2
⊗
x
2
1.98
3
3
4.48
⊗
6
1.98
0.48
xg
G(2.98-4.52)
y
y
⊗
2
x
3.52
2.52
⊗
z
2
x
11
Çözüm: Şekil üç tane dikdörtgen elemana ayrılarak işlemler tablo halinde aşağıda yapılmıştır.
210
http://mizan.ogu.edu.tr.
Ağırlık merkezi
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
xg
yg
1
2
3
16
1
16
9
144
12
1
12
5
60
22
5.5
121
1
22
∑ Ax i = 149 = 2.98
50
∑A
∑ Ayi = 226 = 4.52
50
∑A
∑50
∑149
Ağırlık merkezine göre Ig
Ix = I x1 + Ix2 + Ix3
Iy = Iy1 + Iy 2 + Iy 3
∑226
1 nolu parça
2 nolu parça
3 nolu parça
3
3
3
8x2
2
x
6
11x
2
=
+ 16 x 4.48 2 +
+ 12 x 0.4 8 2 +
+ 22 x 3.52 2 = 645.144 mm 4 cm 4 m 4
12
12
12
2 nolu parça
3 nolu parça
1 no lu parça
3
3
3
2x8
6x2
2 x 11
=
+ 16 x 1.98 2 +
+ 12 x 1.9 8 2 +
+ 22 x 2.52 2 = 583.59 mm 4 cm 4 m 4
12
12
12
Ixy = I xy1 + Ixy 2 + I xy 3
Ixy
1 nolu pa rça
2 nolu pa rç a
3 nolu parça
3
3
3
6x2
2 x 11
2x8
+ 16 ⋅ ( − 1.98) ⋅ 4.48 +
+ 12 ⋅ ( − 1.98) ⋅ 0 .48 +
+ 22 ⋅ 2.52 ⋅ ( − 3.5 2 ) = 348 .4 8 m 4
=
12
12
12
ÖRNEK 5.39. Şeklin çarpım atalet momentinin [Ixy=?] hesabı.
y
y
dA=[h/b]xdx
h
h
x
[1/2][h/b]x
x
b
x
dx
Çözüm: Şekildeki gibi genişliği dx olan bir dilim alınır.
Ixy = ∫ xydA =
[ h/b ] x
∫
b
[ h/b ] x
0
0
xydxdy = ∫ xdx
0
∫
y 2 
ydy = ∫ xdx  
0
2
b
[ h/b ] x
b
b 2 3
2 4
h2 b 2
= ∫ h x dx = h x  =
bulunur.
2
2
8
 8b 
0 2b
Uygulama: Ix = 1544.73 cm4 Iy = 1526.55cm4 ve  x = 5.64 y = 6.55 ise,


a. I xy = ?
b. Imax=? Imin=? hesaplanması.
y
y
14m
8m
6m
y
x
12m
12m
8m
x
x
8m
211
http://mizan.ogu.edu.tr.
2
4
4
parça
dx [m]
dy [m]
A [m ]
Ix’y’ [m ]
dx.dy.A[m ]
1
1.64
0.55
96
0
86.59
2
4.36
1.45
36
0
227.59
 2Ixy 

2 x 314.18
 = tan−1 
 = 88.34o
2θ = tan−1 


Ix − Iy
I
−
I
1544.73
−
1526.55


 x y 
Asal atalet momentleri,
tan2θ = −
Imax,min =
2Ixy
4
ΣIxy [m ]
314.18
θ = 44.17o
2
Ix + Iy
2
Ix −Iy 
1544.73 +1526.55 ± 1544.73 −1526.55 + 314.18 2 = I
2
4
4
± 
max = 1849.95m Imin = 1221.33 m
 +Ixy =




2
2
2
 2 
Özellik 1: Verilen sistemin [elemanın] eksenlerden herhangi biri veya her ikisi de simetrik ise yani x=0
veya y=0 ise çarpım atalet momenti sıfır [Ixy=0] olur.
y
y
y
x
x
x
Her iki eksene
göre simetrik
y eksenine
göre simetrik
x eksenine
göre simetrik
Özellik 2: Sistemin [elemanın] eksenlerine göre çarpım atalet momenti negatif veya pozitif olabilir.
y
y
+Ixy
x
x
-Ixy
212
http://mizan.ogu.edu.tr.
5.7. ASAL EKSEN VE ATALET MOMENTĐ
Bir A alanının x-y eksenlerine göre atalet momentleri [Ix, Iy, Ixy] daha önce hesaplanmıştı. Şimdi bu
atalet momentlerini [Ix, Iy, Ixy] kullanarak x’-y’ eksenine göre atalet momentinin hesaplanması
düşünülmektedir. Bunun için aşağıdaki sistem çizilir.
y
y’
ANALĐZ
dA
y
y’
y’ y
x’
dA
dA
x’
θ
y
Đstenen (x’ y’)
x’
Verilen
x
y sinθ
x cosθ
x
y sinθ
x sinθ
θ
x
O
x
x-y eksenlerine göre
x’-y’ eksenlerine göre
x eksenine göre atalet momenti
Ix = ∫ y 2 dA
x’ eksenine göre atalet momenti
?
y eksenine göre atalet momenti
Iy = ∫ x 2 dA
y’ eksenine göre atalet momenti
?
Çarpım atalet momenti
Ixy = ∫ xy dA
Çarpım atalet momenti
?
Polar atalet momenti
J = ∫ ρ dA
Polar atalet momenti
?
2
x-y ile x’-y’ eksenleri arasındaki açı θ kadar olduğuna göre dA parçacığını
1. x-y ile x’-y’ eksenleri arasındaki açı θ olsun
2. dA parçacığının y’ eksenine olan dik uzaklığı x’=x cosθ
θ + y sinθ
θ
3. dA parçacığının x’ eksenine olan dik uzaklığı y’=y cosθ
θ - x sinθ
θ
4. x’ ekseni için Ix ′ = ∫ y ' 2 dA bağıntısında değerler yerine yazılırsa
2
2
2
2
Ix ′ = ∫ y '2 dA =∫ [y cosθ − x sinθ]2 dA = ∫ x
2 sin2 θ dA − ∫ xy
sin 2θ dA + ∫ y
cos θ dA = Ix′ = Iy sin θ − Ixy sin 2θ + Iy co s θ
Iy
Ixy
Ix
5. y’ ekseni için Iy ′ = ∫ x ' 2 dA bağıntısında değerler yerine yazılırsa
2
2
2
2
Iy ' = ∫ x '2 dA =∫ [x cosθ + y sinθ]2 dA = ∫ x
2 cos2 θ dA + ∫ xy
sin2θ dA + ∫ y
sin θ dA = Iy ' = Iy cos θ + Ixy sin2θ + Iy sin θ
Iy
Ixy
Ix
6. Çarpım atalet momenti için Ix ' y' = ∫ x' y' dA bağıntısında yerine yazılırsa
Ix ' y ' = ∫ x ' y ' dA =∫ [x cosθ + y sinθ][ y cosθ − x sinθ ] dA =
7.
cos2 θ =
1
1
[1 + cos 2θ ] ve sin2 θ = [1− cos 2θ ]
2
2
1
I − I  sin 2θ + Ixy cos 2θ
2  x y 
olur.
olmasından dolayı yukarıda bulunan değerler
213
http://mizan.ogu.edu.tr.
Ix' =
Ix + Iy
2
+
Ix − Iy
2
cos2 θ−Ixy sin2 θ
Iy' =
Ix + Iy Ix −Iy
−
cos2 θ+ Ixy sin2 θ
2
2
Ix'y' =
Ix − Iy
2
sin2 θ+ Ixy cos2 θ
olur.
Ix' =
Ix + Iy
2
+
8.
Ix'y' =
Ix − Iy
2
2
Ix − Iy
Ix + Iy  Ix −Iy


cos2 θ−Ixy sin2 θ Ix' −
cos2 θ−Ixy sin2 θ
 =
2
2   2


Ix −Iy

sin2 θ+ Ixy cos2 θ
Ix'y'  2 = 
 2

sin2 θ+ Ixy cos2 θ
2
2
9. 8. maddedeki değerleri taraf tarafa toplanırsa [θ açısından bağımsız değerler elde edilmiş olur]
2
2

Ix + Iy 

 Ix − Iy 
2
2
2
Ix ' −
 + Ix ' y ' = 
 + Ixy  
2
2
2 
 [Ix ' − Iort ] + Ix ' y ' = R

 2 
 

 2
2
2
2
2
Ix + Iy 

 Ix − Iy 
  x + y = R
2
2
Ix ' −
 + Ix ' y ' = 
 + Ixy 
2 

 2 

[sin2 θ+ cos2 θ=1]
bu bağıntı orjini “O” Iort ve çapı R olan bir dairenin denklemidir. Bu daireyi elde etmek için verilen
sistemin ağırlık merkezine göre Ix ve Iy atalet momentleri ile çarpım atalet momentinin [Ixy] bilinmesi
durumunda aşağıdaki adımlar izlenerek elde edilir.
a. Yatay ekseni Ix- Iy ve düşey ekseni Ixy olan eksen sistemi çizilir [Şekil 7a].
b. Koordinatları Ix ve Ixy olan
P[ Ix , Ixy] noktası işaretlenir [Şekil 7a].
c. Koordinatları Iy ve -Ixy olan
R[ Iy , -Ixy] noktası işaretlenir [Şekil 7a].
d. P ve R noktaları birleştirilerek yatay ekseni [Ix] kestiği
olmak
“O” noktası bulunur. “O” noktası merkez
üzere Ixy=OP=OR yarıçaplı daire çizilir [Şekil 7b]. Bu daireye bulan kişinin adıyla MOHR
[Alman-Otto Mohr 1835-1918] dairesi denir
e. Çizilen dairenin yatay ekseni [Ix] kestiği,
A noktasına maksimum asal atalet momenti [Imax],
B noktasına minimum asal atalet momenti [Imin] denir.
2

I −I
f. Bu Mohr dairesinin yarıçapı, R =  x y  + I2xy

g. “O” noktasının yeri Iort =
h. θ açısını bulmak için
2

olarak da bulunur.
Ix + Iy
2
Ix ' y ' =
Ix − Iy
2
sin 2θ + Ixy cos 2θ
bağıntısı sıfıra eşitlenirse, tan2θ = −
2Ixy
Ix − Iy
o
olarak
o
bulunur. Bu bağıntı birbirinden 180 farklı 2θ değerini tanımlar ve iki θ değerleri birbirinden 90 farklı
olduğunu gösterir. Birinci değer Imax ve ikinci değer Imin olup “0” noktasından geçen ve asal eksen
denen düşey eksene göre asal atalet momentlerini tanımlar. Buna göre,
Imax=Iort+R
Imin=Iort –R
olur. Burada çarpım atalet momenti sıfırdır.
ı. Bir alanın asal atalet momentinin maksimum ve minimum değerleri hesap yolu ile,
214
http://mizan.ogu.edu.tr.
Imax,min =
Ix + Iy
2
 Ix − Iy  2 2
 + Ixy
± 

 2 
bağıntısıyla bulunur.
Ixy
Ix
Ix
[a]
A
[b]
A
P[Ix,Ixy]
P[Ix,Ixy]
R
Ix’y’
Ix-y
-Ixy
Imin
A
O
Ixy
2θ
θ
B
Ix − I y
-Ixy
2
Iy
Iy
R[Iy,Ixy]
R[Iy,Ixy]
Imax
NOT: Mohr dairesi asal atalet momentlerinin çizim yoluyla bulunmasını sağlar.
ÖRNEK 5.24. Şekilde ağırlık merkezi ile birlikte verilen dikdörtgenin tabandan geçen eksene göre
atalet momentinin paralel eksen teoreminden yararlanarak bulunması.
y’
h/2
x’
G
x’
G
x’
h/2
b
h/2
x
x
Yukarıda ağırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti I x′ =
bh 3
olduğu bulunmuştu. Buna
12
2
göre, Ix = Ix′ + A d2y =
3
bh3
 h  bh
+ bh   =
olarak bulunur.
12
3
2
215
http://mizan.ogu.edu.tr.
[
]
ÖRNEK 5.41. Şekildeki kesitin ağırlık merkezi x g = 2.98 m y g = 4.52 m olduğuna göre,
b. Çarpım atalet momentini [Ixy]
c. Asal atalet momentini hesap yöntemiyle
d. Çizim yöntemiyle [Mohr dairesinde] yapılması.
yg
y
8
⊗
x
2
2
1.98
3
3
4.48
8
⊗
6
1.98
0.48
xg
G(2.98-4.52)
y
3.52
y
2
⊗
8.50
2.52
z
⊗
x
2
x
11
Ağırlık merkezi
Çözüm: Şekil üç tane dikdörtgen elemana ayrılarak işlemler tablo halinde aşağıda yapılmıştır.
Parça
A
xi
A xi
yi
A yi
xg
yg
1
2
3
16
1
16
9
144
12
1
12
5
60
22
5.5
121
1
22
∑ Ax i = 149 = 2.98
50
∑A
∑ Ayi = 226 = 4.52
50
∑A
∑50
∑149
Ağırlık merkezine göre Ig
Ix = I x1 + Ix2 + Ix3
Iy = Iy1 + Iy 2 + Iy 3
∑226
1 nolu parça
2 nolu parça
3 nolu parça
3
3
3
8x2
2
x
6
11x
2
=
+ 16 x 4.48 2 +
+ 12 x 0.4 8 2 +
+ 22 x 3.52 2 = 645.144 mm 4 cm 4 m 4
12
12
12
3 nolu parça
1 no lu parça
2 nolu parça
3
3
3
6x2
2 x 11
2x8
=
+ 16 x 1.98 2 +
+ 12 x 1.9 8 2 +
+ 22 x 2.52 2 = 583.59 mm 4 cm 4 m 4
12
12
12
Ixy = I xy1 + Ixy 2 + I xy 3
Ixy
1 nolu pa rça
2 nolu pa rç a
3 nolu parça
3
3
3
2x8
6x2
2 x 11
=
+ 16 ⋅ ( − 1.98) ⋅ 4.48 +
+ 12 ⋅ ( − 1.98) ⋅ 0 .48 +
+ 22 ⋅ 2.52 ⋅ ( − 3.5 2 ) = 348 .4 8 m 4
12
12
12
Parça
1
2
3
Çözüm a:
dx [m]
-1.98
-1.98
2.52
Çözüm b: Imax,min =
Çarpım atalet momenti, Ixy = Ixy+dxdyA
A [m2]
dx.dy.A [m4]
Ix’y’ [m4]
dy [m]
4.48
0.48
-3.52
Ix + Iy
2
16
12
22
0
0
0
ΣIxy [m4]
-1.98x4.48x16=-141.93
-11.40
-195.15
-348.48
2
Ix − Iy 
2
± 
 + Ixy
2


216
http://mizan.ogu.edu.tr.
tan2 θ=−
2Ixy
Ix − Iy
; tan2 θ=−
2( −348.48 )
=11.323 ⇒ 2 θ= 84.95 ⇒ θ= 42.48o
645.14 − 583.59
Imax =
645.14 + 583.59
+
2
 645.14 − 583.59  2

 + 348.482 = 964.201cm4


2
Imin =
645.14 + 583.59
−
2
 645.14 − 583.59  2

 + 348.482 = 264.529 cm4
2


Ixy
Çözüm c:
Ixy=-348.48 cm
4
Iy=583.59 cm
Iy=583.59cm4
4
Ixy=348.48cm4
R
4
Imin=264.53cm
O
A
B
Imax − I2θ
min
θ=84o.95
2
Ix Iy
Ixy=-348.48 cm4
IX=645.14 cm
4
Ixy=-348.48 cm
4
IX=645.14 cm
4
Imax=964.20cm4
Ixy
Ixy=-348.48 cm
4
Iy=583.59 cm
Iy=583.59cm4
4
Ixy=348.48cm4
R
4
Imin=264.53cm
O
A
Imax − Imin
2θ
θ=84o.95
2
B
Ix Iy
Ixy=-348.48 cm4
IX=645.14 cm
4
Ixy=-348.48 cm
4
IX=645.14 cm
4
Imax=964.20cm4
217
http://mizan.ogu.edu.tr.
Download

samsun valiliği tebrikata giriş sırası