Kapitola 10
Pouˇzit´ı derivac´ı (optimalizaˇcn´ı ulohy)
´
Motivace
Uˇzit´ı diferenci´aln´ıho poˇctu je velmi sˇ irok´e a zasahuje nejen do oblasti matematiky, ale tak´e fyziky, che˚ eh chov´an´ı urˇcit´e veliˇciny, napˇr. nalezen´ı extr´emu˚ cˇ i
mie a dalˇs´ıch discipl´ın, kde je nutn´e zkoumat prubˇ
´
okamˇzitych
vyuˇz´ıvaj´ı znalosti derivace funkce v bodˇe. Pˇredevˇs´ım z
´ zmˇen v cˇ ase. Optimalizaˇcn´ı ulohy
praxe se d´a usoudit, zˇ e pomoc´ı derivac´ı lze snadno vyˇreˇsit probl´emy, kter´e by se jinak rˇ eˇsili heuristicky
(zkusmo).
Pˇr´ıklad 10.0.5. Pro motivaci uvedeme dva pˇr´ıklady.
• Probl´em plechovek
˚ Zamˇerˇ ujeme se vyhradnˇ
Pˇredstavte si, zˇ e jsme vyrobci
nealkoholickych
e na plechovkov´e
´
´ n´apoju.
´
balen´ı a plechovky si sami vyr´ab´ıme. Jedin´e, co mus´ıme nakoupit, je plech na jejich vyrobu.
V´ıme,
´
zˇ e nejl´epe se prod´avaj´ı plechovky o objemu 0,5 litru. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejme v´alcovy´
tvar plechovky a plechovka bude n´apojem naplnˇena aˇz po okraj. Urˇcitˇe jako dobˇr´ı obchodn´ıci
nechceme vynakl´adat zbyteˇcn´e pen´ıze za nakupovany´ plech. Poˇzadujeme tedy plechovku, kter´a
bude m´ıt za dan´eho objemu V = 0, 5 l = 0, 5 dm3 = 50 cm3 co nejmenˇs´ı povrch. Jak tedy zvolit
rozmˇery plechovky tak, abychom spotˇrebovali co nejm´enˇe plechu?
• Probl´em vstupenek
Zmˇenili jsme povol´an´ı a z vyrobce
plechovek pro n´apoje jsme se stali prodejci vstupenek na hu´
debn´ı koncert. Objednali jsme s´al pro 800 lid´ı. V´ıme, zˇ e hudebn´ıci, tisk vstupenek a celkov´a reˇzie
˚ o koncert.
n´as bude st´at 20000 $. Zbyv´
´ a zvolit, za kolik $ budeme vstupenky prod´avat z´ajemcum
Ze zkuˇsenosti v´ıme, zˇ e pokud budeme prod´avat jednu vstupenku za 40 $, urˇcitˇe vyprod´ame cely´
˚ M´ame urˇcit, o kolik
s´al. D´ale v´ıme, zˇ e kaˇzdy´ dolar nad tuto cenu sn´ızˇ ´ı prodej vstupenek o 10 kusu.
dolaru˚ je tˇreba navyˇ
´ sit cenu tak, aby n´asˇ zisk byl maxim´aln´ı.
Pozn´amky k postupu
´
Neˇz zaˇcneme ulohy
rˇ eˇsit, zopakujme si nˇekter´e poznatky z pˇredchoz´ı kapitoly.
1. M´a-li re´aln´a funkce v bodˇe x0 kladnou derivaci, pak je v tomto bodˇe rostouc´ı.
2. M´a-li re´aln´a funkce v bodˇe x0 z´apornou derivaci, pak je v tomto bodˇe klesaj´ıc´ı.
˚ ze, ale nemus´ı nabyvat
3. M´a-li re´aln´a funkce v bodˇe x0 derivaci rovnu nule, pak v tomto bodˇe muˇ
´
extr´emn´ı hodnoty (nutn´a podm´ınka existence extr´emu).
˚
Vyˇ
´ se zm´ınˇen´e poznatky n´am postaˇc´ı pro vyˇreˇsen´ı obou uvedenych
´ pˇr´ıkladu.
92
Obr´azek 10.1: Grafick´e vyznaˇcen´ı monotonie
ˇ sen´ı: 10.0.5. Probl´em plechovek
Reˇ
V naˇsem pˇr´ıpadˇe je plechovka dokonaly´ v´alec, jehoˇz velikost povrchu S spoˇc´ıt´ame podle vzorce
S = 2πr2 + 2πrv, kde r je polomˇer podstavy a v je vyˇ
´ ska plechovky. D´ale v´ıme, zˇ e pro objem v´alce plat´ı
50
vztah V = πr2 v = 50 cm3 . Odtud pro vyˇ
´ sku je v = 2 · Dosad´ıme do vztahu pro povrch:
πr
S(r) = 2πr2 + 2πr ·
50
πr
2
= 2πr2 +
100
·
r
´
T´ım jsme dostali velikost povrchu plechovky jako funkci polomˇeru jej´ı podstavy. Naˇs´ım ukolem
je naj´ıt
takov´e r, pro nˇezˇ bude S extr´emn´ı. Nutnou podm´ınku pro existenci extr´emu jsme jiˇz uvedli; pouˇzijme
ji:.
100
S 0 (r) = 4πr − 2 = 0.
r
˚ zeme r2 celou rovnici vyn´asobit a po
Pro polomˇer je r > 0 (nekladny´ polomˇer je nepˇr´ıpustny),
´ proto muˇ
´
upravˇ
e dost´av´ame:
s
r=
3
25
·
π
Odtud po dosazen´ı
v=
π·
50
s
=
2
25
3
s
200
·
π
π2
Naˇsli jsme tedy hodnoty nezn´amych
´ veliˇcin, pro kter´e by mohl m´ıt povrch plechovky extr´emn´ı hodnotu. St´ale jeˇstˇe nev´ıme, zda tam opravdu extr´em nastane, ale je jist´e, zˇ e pokud ne tam, tak nikde jinde
˚
(duvodem
je nutn´a podm´ınka pro existenci extr´emu). Pro kontrolu, zda
sjde opravdu o minim´aln´ı po-
25
vrch, zjist´ıme, jak se funkce S = S(r) chov´a v okol´ı naˇs´ı hodnoty r = 3
· Ta n´am rozdˇelila re´alnou
π
s !
s
!
25
25
osu na dva intervaly (obr´azek ??): 0, 3
a 3
, ∞ , z nichˇz v prvn´ım funkce kles´a a v druh´em
π
π
s
25
musela dos´ahnout sv´e minim´aln´ı hodnoty. Pˇr´ıklad je tedy vyˇreˇsen.
roste. Zˇrejmˇe pak v bodˇe r = 3
π
˚
V pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe jsem si uk´azali zpusob,
jak poznat, zda v dan´em bodˇe dosahuje funkce sv´e
maxim´aln´ı, resp. minim´aln´ı hodnoty. K jej´ımu urˇcen´ı jsme museli zn´at znam´enkov´e zmˇeny prvn´ı deri˚ ze byt
vace v okol´ı stacion´arn´ıho bodu. Toto zjiˇst’ov´an´ı znam´enkovych
´ zmˇen muˇ
´ v nˇekterych
´ pˇr´ıpadech
komplikovanˇejˇs´ı. Uk´azˇ eme si nyn´ı, jak se t´eto nepˇr´ıjemnosti vyhnout pomoc´ı druh´e derivace. To je samozˇrejmˇe vyhodn´
e jen tehdy, pokud je vypoˇ
´
´ cet druh´e derivace jednoduchy.
´
93
Obr´azek 10.2: Grafy funkce a jej´ıch derivac´ı
Pozn´amka 10.0.2. Druh´a derivace je prvn´ı derivace prvn´ı derivace.
1
Pro funkci danou pˇredpisem f (x) = x3 − x2 + 3 jsou na obr´azku ?? graf funkce f (x), graf jej´ı prvn´ı
6
1
derivace f 0 (x) a graf druh´e derivace f 00 (x). M´ame f 0 (x) = x2 + 2x a f 00 (x) = x − 2. Z grafu funkce f 0 (x)
2
˚ zeme snadno odeˇc´ıst, kde f 0 (x) nabyv´
muˇ
resp. z´apornych
´ a kladnych,
´
´ hodnot a kde je rovna nule. Na
˚ zeme uˇcinit z´avˇery o monotonnosti
´
z´akladˇe toho si muˇ
funkce f (x), resp. o jej´ıch extr´emn´ıch hodnot´ach.
N´as vˇsak zaj´ım´a graf druh´e derivace f 00 (x) = x − 2. Z obr´azku vid´ıme, zˇ e f 00 (x) > 0 v intervalu (2, ∞)
a f 00 (x) < 0 v intervalu (−∞, 2). Druh´a derivace je tedy z´aporn´a i v bodˇe, ve kter´em m´a funkce lok´aln´ı
maximum, resp. kladn´a i v bodˇe relativn´ıho minima. Nyn´ı vyslov´ıme vˇetu, kter´a bude zobecnˇen´ım
´
naˇsich pˇredchoz´ıch uvah
a z´arovenˇ je postaˇcuj´ıc´ı podm´ınkou pro existenci extr´emu.
Vˇeta 10.0.1. Necht’ f 0 (x0 ) = 0 a necht’ v bodˇe x0 existuje druh´a derivace.
Je-li f 00 (x0 ) < 0, m´a funkce f (x) v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı maximum,
je-li f 00 (x0 ) > 0, m´a funkce f (x) v bodˇe x0 ostr´e lok´aln´ı minimum.
Je-li f 00 (x0 ) = 0, nelze o existenci lok´aln´ıho extr´emu rozhodnout a je tˇreba zjistit znam´enkov´e zmˇeny prvn´ı
derivace.
Zkusme pomoc´ı novˇe z´ıskan´eho poznatku spoˇc´ıtat druhy´ motivaˇcn´ı pˇr´ıklad.
ˇ sen´ı: 10.0.6. Probl´em vstupenek
Reˇ
´ u˚ sestavit funkci zisku Z. Zisk bude urˇcitˇe z´aviset na cenˇe vstupenky a na
Nejprve je nutn´e z udaj
poˇctu prodanych
´ vstupenek. Zisk se bude rovnat poˇctu prodanych
´ vstupenek kr´at hodnota jedn´e vstu˚ kterym
penky m´ınus n´aklady na uspoˇra´ d´an´ı koncertu. Pokud oznaˇc´ıme x poˇcet dolaru,
´ navyˇ
´ s´ıme cenu
˚ zeme ps´at:
vstupenky nad z´akladn´ı cenu 40 $, muˇ
Z(x) = (40 + x) · (800 − 10x) − 20000,
94
kde prvn´ı z´avorka je cenou vstupenky a druh´a pˇredstavuje poˇcet prodanych
´ vstupenek (za kaˇzdy´ jeden $ se prod´a o 10 vstupenek m´enˇe). Z´ıskali jsme tedy funkci jedn´e promˇenn´e a hled´ame jej´ı maximum:
urˇc´ıme
Z 0 (x) = (12000 + 400x − 10x2 )0 = −20x + 400.
Podle nutn´e podm´ınky pro existenci extr´emu˚ mus´ı byt
´ prvn´ı derivace funkce rovna 0. To je splnˇeno pro
˚ Cena vstupenky by v optim´aln´ı pˇr´ıpadˇe mˇela byt
˚ Zda se jedn´a
x = 20 dolaru.
´ 40 + 20 = 60 dolaru.
opravdu o hodnotu, v kter´e funkce nabyv´
´ a maxima zjist´ıme podle 2. derivace Z 00 (x) = −20 < 0. Z
pˇredchoz´ı vˇety plyne, zˇ e se jedn´a o lok´aln´ı maximum.
˚ zete zkusit, napˇr. pomoc´ı grafu Z(x), zˇ e pˇri zˇ a´ dn´e jin´e cenˇe vstupenky nebude n´asˇ zisk
Sami si muˇ
vˇetˇs´ı.
Postup rˇeˇsen´ı
´
Jak je vidˇet, optimalizaˇcn´ı ulohy
se rˇ eˇs´ı podle stejn´eho postupu. Ten lze vyj´adˇrit jako sled
˚
n´asleduj´ıc´ıch kroku:
1. najdeme popis nebo vyj´adˇren´ı veliˇciny, kter´a m´a dosahovat extr´emu (povrch plechovky, zisk, ...)
2. zjist´ıme, zda tuto veliˇcinu lze vyj´adˇrit jako funkci jedn´e, cˇ i dvou nebo v´ıce promˇennych
´
˚ zeme okamˇzitˇe hledat prvn´ı derivaci (viz: vstupenky)
3. pokud jde o funkci jedn´e promˇenn´e, muˇ
4. pokud jde o funkci dvou (v´ıce) promˇennych,
cˇ asto je v zad´an´ı uvedena nˇejak´a podm´ınka nebo
´
˚ ze za jednu promˇennou dosadit; t´ım dostaneme funkci pouze jedn´e promˇenn´e
vztah, ktery´ pomuˇ
(viz: objem plechovky)
5. spoˇc´ıt´ame prvn´ı derivaci t´eto veliˇciny jako funkce jedn´e promˇenn´e a tuto derivaci poloˇz´ıme rovnu
nule
6. nalezneme hodnoty, pro kter´e by mohla funkce nabyvat
extr´emu˚
´
7. pomoc´ı druh´e derivace dok´azˇ eme existenci extr´emu
V n´asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe budeme postupovat podle uveden´e ”kuchaˇrky”.
Optimalizaˇcn´ı uloha:
´
tr´am s nejvˇetˇs´ı nosnost´ı
˚ rezem o polomˇeru r se m´a vytesat tr´am co nejvˇetˇs´ı
Pˇr´ıklad 10.0.6. Z v´alcovit´eho kmenu s kruhovym
´ pruˇ
nosnosti. Nosnost tr´amu je urˇcena vztahem y = k · s · v 2 , kde k je materi´alov´a konstanta dan´eho druhu
˚ rezu tr´amu a v je vyˇ
˚ rezu tr´amu. Jak´e rozmˇery s a v m´a m´ıt tr´am, aby jeho
dˇreva, s je sˇ´ırˇ ka pruˇ
´ ska pruˇ
nosnost byla maxim´aln´ı?
ˇ sen´ı: 10.0.7. Na obr´azku ?? je vyznaˇcen pruˇ
˚ rez dan´eho tr´amu. Budeme postupovat v kroc´ıch.
Reˇ
1. V prvn´ım kroku je nutn´e si uvˇedomit, kter´a veliˇcina m´a nabyvat
extr´emn´ı hodnoty. V naˇsem
´
pˇr´ıpadˇe je to nosnost - oznaˇcme ji jako y.
2. Nosnost je urˇcena vztahem
y = k · s · v2 ,
(10.1)
˚ zeme tˇret´ı krok ”kuchaˇrky”pˇreskoˇcit.
tedy je funkc´ı dvou promˇennych
´ s a v a my muˇ
˚ av´a r, coˇz n´am napov´ıd´a, zˇ e pomoc´ı n´ı by se dala jedna
3. Jedinou zn´amou hodnotou v zad´an´ı zust´
˚ rezem tr´amu
nezn´am´a (tˇreba v) vyj´adˇrit pomoc´ı s. Vyjdeme z obr´azku ?? a za pˇredpokladu, zˇ e pruˇ
˚ zeme vyuˇz´ıt Pythagorovy vˇety: (2r)2 = v 2 + s2 , odkud plyne
je obd´eln´ık, muˇ
v 2 = 4r2 − s2 .
Dosad’me za v 2 do vztahu pro ??. Z´ısk´ame vztah pro nosnost tr´amu v z´avislosti na jedn´e promˇenn´e
˚ rezu tr´amu:
s, a to sˇ´ırˇ ce pruˇ
y = k · s · (4r2 − s2 ) = 4k · s · r2 − k · s3 ,
nebot’ k je konstanta a r je pevnˇe d´ano polomˇerem pouˇzit´eho kmenu.
95
˚ rez tr´amem
Obr´azek 10.3: Pruˇ
4. Pouˇzijeme nutnou podm´ınku pro existenci extr´emu: funkci nosnosti derivujeme a derivaci klademe rovnou nule:
dy
y0 =
= 4k · r2 − 3k · s2 = 0.
ds
s
5. Pˇredchoz´ı rovnici vyhovuj´ı pouze hodnoty s = ±
4k · r2
˚ zeme vy, ale z´apornou hodnotu muˇ
3
˚
louˇcit z duvodu
vyznamu
d´elky strany s.
´
6. Pro druhou derivaci dost´av´ame: y 00 = −6s < 0 pro vˇsechna pˇr´ıpustn´a s, tedy i pro naˇsi hodnotu. Z´aporn´e znam´enko hodnoty druh´e derivace v bodˇe s znaˇc´ı, zˇ e naˇse funkce nabyv´
´ a maxim´aln´ı hodnoty, neboli nosnost tr´amu pro nalezenou hodnotu je nejvˇetˇs´ı. K t´eto hodnotˇe je nutn´e
dopoˇc´ıtat ze vztahu v 2 = 4r2 − s2 hodnotu veliˇciny s a t´ım budou rozmˇery tr´amu maxim´aln´ı
nosnosti urˇceny. ♣
Pozn´amka 10.0.3. V tˇret´ım kroku jsme mohli vyj´adˇrit i s, ale pˇredpis pro funkci nosnosti by byl komplikovanˇejˇs´ı.
Optimalizaˇcn´ı uloha:
´
nejmenˇs´ı vzd´alenost
Pˇr´ıklad 10.0.7. Pˇr´ıstavy A, B (viz obr. ??) jsou od sebe vzd´aleny 145 km. Z pˇr´ıstavu A vyjede parn´ık ve
smˇeru urˇcen´em sˇ ipkou a souˇcasnˇe ve stejn´em okamˇziku z pˇr´ıstavu B vyjede jachta (ve smˇeru urˇcen´em
sˇ ipkou). Jejich rychlosti jsou st´al´e, a to pro parn´ık vp = 40 km/h, pro jachtu vj = 16 km/h. V jak´em cˇ ase
bude jejich vz´ajemn´a vzd´alenost nejmenˇs´ı?
ˇ sen´ı: 10.0.8. Oznaˇcme polohy parn´ıku a jachty po t hodin´ach plavby z pˇr´ıstavu˚ A a B p´ısmeny P a J.
Reˇ
Pak d´elky drah parn´ıku AP a jachty BJ v cˇ ase t hodin od zaˇca´ tku pohybu jsou:
AP = 40 · t km,
BJ = 16 · t km.
Pro vzd´alenost P J parn´ıku a jachty v kilometrech v tomto cˇ ase t (v hodin´ach) plat´ı podle Pythagorovy vˇety
q
p
2
2
P J = BP + BJ = (145 − 40t)2 + (16t)2 .
96
Obr´azek 10.4: Parn´ık a jachta
Odtud
PJ =
p
1856t2 − 11600t + 21025.
Tato odmocnina nabyde nejmenˇs´ı hodnoty pˇri t´emˇze t, pˇri nˇemˇz bude m´ıt veliˇcina pod odmocninou
z(t) = 1856t2 − 11600t + 21025
nejmenˇs´ı hodnotu. Hledejme tuto nejmenˇs´ı hodnotu: poˇc´ıtejme
z 0 (t) = 3712t − 11600 = 0,
odkud plyne
t=
11600
= 3, 125 hodin.
3712
Pomoc´ı druh´e derivace lze uk´azat, zˇ e extrem´aln´ı hodnota je minimem. Tedy parn´ık a jachta budou
m´ıt vz´ajemnou vzd´alenost nejmenˇs´ı za 3 hodiny 7 minut a 30 sekund po jejich vyplut´ı z A, resp. z B. ♣
Optimalizaˇcn´ı uloha:
´
v´alec s nejvˇetˇs´ım objemem
Pˇr´ıklad 10.0.8. Do kuˇzele o polomˇeru podstavy r = 4 m a vyˇ
´ sce v = 6 m je veps´an v´alec, ktery´ m´a m´ıt
co nejvˇetˇs´ı objem. Vypoˇc´ıtejme ten nejvˇetˇs´ı moˇzny´ objem.
ˇ sen´ı: 10.0.9. Na obr´azku ?? je naznaˇcen pruˇ
˚ rez danym
Reˇ
´ kuˇzelem. Potˇrebujeme naj´ıt objem tohoto v´alce,
tud´ızˇ hled´ame velikost polomˇeru x jeho podstavy a vyˇ
´ sky y.
´
´
Vyuˇzijeme trojuheln´
ıky 4AB 0 C 0 a 4ABC, kter´e jsou podobn´e: podobnost dvou trojuheln´
ıku˚
znaˇc´ıme 4AB 0 C 0 ∼ 4ABC. Z podobnosti pro vz´ajemn´e pomˇery odpov´ıdaj´ıc´ıch stran plyne
y
v
(r − x)v
= =⇒ y =
·
r−x
r
r
Pro objem v´alce m´ame
V = πx2 y = πx2
(r − x)v
(4 − x) · 6
3π
= πx2
=
(4x2 − x3 ) = V (x).
r
4
2
Tud´ızˇ objem je funkc´ı jedn´e promˇenn´e, a tedy poˇc´ıt´ame prvn´ı derivaci a klademe ji rovnou nule:
V 0 (x) =
x1 =
3π
(8x − 3x2 ) = 0 =⇒ x(3x − 8) = 0
2
8
´
, nulovy´ koˇren x2 = 0 ned´av´a smysl pˇro rˇ eˇsen´ı ulohy;
3
97
˚ rez kuˇzelem
Obr´azek 10.5: Pruˇ
3π
(8 − 6x), V 00
V (x) =
2
00
tedy pro x =
10.1
8
3
!
3π
=
·
2
8
8−6·
3
!
< 0,
8
128π 3
m je objem v´alce maxim´aln´ı a jeho hodnota cˇ in´ı Vmax =
m .♣
3
9
Dalˇs´ı vyuˇzit´ı derivac´ı
V minul´e kapitole jsme si uvedli, zˇ e derivaci lze interpretovat jako rychlost nebo m´ıru (tempo) zmˇeny.
Nyn´ı si uk´azˇ eme, jak pˇri poˇc´ıt´an´ı tuto vˇedomost aplikovat.
Aplikace derivace: padaj´ıc´ı zˇ ebˇr´ık
ˇ r´ık dlouhy´ 13 m se jedn´ım koncem A op´ır´a o zed’ a druhym
Pˇr´ıklad 10.1.1. Zebˇ
´ koncem B o podlahu (viz
ˇ r´ık zaˇcne uj´ızˇ dˇet, a to tak, zˇ e bod B se od zdi vzdaluje rychlost´ı 1,6 m/min.
obr´azek se zˇ ebˇr´ıkem). Zebˇ
Zjistˇeme, jakou rychlost´ı se pohybuje bod A, kdyˇz je bod B vzd´alen ode zdi 5 m.
ˇ sen´ı: 10.1.1. Nejprve si ujasnˇeme, co chceme vypoˇc´ıtat. Zavedeme souˇradnicovy´ syst´em podle
Reˇ
obr´azku. V´ıme, zˇ e rychlost bodu B pohybuj´ıc´ıho se ve smˇeru osy ox je zn´ama. Pokud oznaˇc´ıme jako
˚ zeme pro rychlost tohoto bodu
x(t) velikost dr´ahy, kterou uraz´ı bod B v cˇ ase t od zaˇca´ tku pohybu, muˇ
jako pro derivaci veliˇciny x(t) podle cˇ asu napsat
x0 (t) = 1, 6 m/min
a analogicky, pro rychlost (v cˇ ase t od zaˇca´ tku pohybu) bodu A pohybuj´ıc´ıho se ve smˇeru osy oy piˇsme
´
y 0 (t). Naˇsim ukolem
je naj´ıt y 0 (t) pr´avˇe v tom okamˇziku, kdy bod B uraz´ı 5 m. Z obr´azku je vidˇet, zˇ e
podle Pythagorovy
vˇety se spln´ı v kaˇzd´em cˇ asov´em okamˇziku takov´em, zˇ e x2 (t) + y 2 (t) = 132 , odtud
p
plyne y(t) = 169 − x2 (t). Proto
98
ˇ r´ık
Obr´azek 10.6: Zebˇ
y 0 (t) =
dy
− 2x(t) · x0 (t)
− 5 · 1, 6
2
= p
=p
= − m/min.
2
2
dt
3
2 169 − x (t)
169 − 5
Pˇri vyj´adˇren´ı derivace y 0 plat´ı: d´elka dr´ahy bodu B ve smˇeru osy ox je funkc´ı cˇ asu a vzhledem k tomu,
zˇ e derivujeme podle t, je nutn´e br´at funkci x2 (t) jako funkci sloˇzenou. Jej´ı derivace podle t je souˇcinem
derivace vnˇejˇs´ı funkce (kvadratick´e) a derivace samotn´e funkce x(t), o kter´e nev´ıme, jaky´ je jej´ı pˇredpis,
v´ıme vˇsak, zˇ e jej´ı derivace m´a hodnotu 1,6 m/min, neboli x0 (t) = 1, 6. (Z´aporn´a hodnota y 0 vyjadˇruje
smˇer pohybu zkouman´eho bodu B.) ♣
99
Download

Kapitola 10 Pouˇzitı derivacı (optimalizaˇcnı ´ulohy)