ˇ AV
´ AN
´ ´I
INVESTICE DO ROZVOJE VZDEL
Rozˇs´ıˇren´ı akreditace uˇcitelstv´ı matematiky a uˇcitelstv´ı deskriptivn´ı geometrie
na PˇrF UP v Olomouci o formu kombinovanou
CZ.1.07/2.2.00/18.0013
Aplikace deskriptivn´ı geometrie
Z´aklady kartografie a cyklografie
´
Lenka JUKLOVA
Oponenti: Mgr. Marie Chodorov´a, Ph. D.
ˇ ep´anov´a, Ph. D.
RNDr. Martina Stˇ
1. vyd´an´ı
c Lenka Juklov´a, 2013
c Univerzita Palack´eho v Olomouci, 2013
Neopr´avnˇen´e uˇzit´ı tohoto d´ıla je poruˇsen´ım autorsk´ych pr´av a m˚uzˇ e zakl´adat obˇcanskopr´avn´ı, spr´avnˇepr´avn´ı, popˇr. trestnˇepr´avn´ı odpovˇednost.
ISBN 978-80-244-3600-5
Obsah
´
Uvod
1
2
5
Kartografie
1.1 Rovinn´e kartografick´e projekce . . . . . . . .
1.1.1 Gn´omonick´e projekce . . . . . . . .
1.1.2 Stereografick´e projekce . . . . . . . .
1.1.3 Sc´enografick´e projekce . . . . . . . .
1.1.4 Ortografick´e projekce . . . . . . . . .
1.2 V´alcov´e kartografick´e projekce . . . . . . . .
1.2.1 Norm´aln´ı v´alcov´a projekce . . . . . .
1.2.2 Neprav´a Lambertova v´alcov´a projekce
1.3 Kuˇzelov´a kartografick´a projekce . . . . . . .
1.3.1 Braunova kuˇzelov´a projekce . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7
9
9
14
20
23
28
28
29
31
31
Cyklografie
33
2.1 Cyklick´y pr˚umˇet bodu, pˇr´ımky a roviny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Mnoˇziny stˇred˚u kruˇznic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
ˇ sen´ı Pappov´ych a Apolloniov´ych u´ loh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Reˇ
Literatura
49
3
´
Uvod
Uˇcebn´ı text je vˇenov´an z´aklad˚um kartografie a cyklografie. Tyto dvˇe discipl´ıny jsou hlavn´ı
n´apln´ı kurzu Aplikace deskriptivn´ı geometrie 2 urˇcen´eho posluchaˇcu˚ m bakal´aˇrsk´eho studia
deskriptivn´ı geometrie.
Prvn´ı kapitola je vˇenov´ana kartografii, tedy zp˚usob˚um zobrazov´an´ı kulov´e plochy do roviny. Nejprve jsou zde vysvˇetleny z´akladn´ı kartografick´e pojmy – sf´erick´e souˇradnice, poledn´ıky a rovnobˇezˇ ky, zemˇepisn´a d´elka a sˇ´ıˇrka apod. D´ale je uvedeno rozdˇelen´ı kartografick´ych projekc´ı na rovinn´e (kulovou plochu prom´ıt´ame pˇr´ımo do vhodn´e roviny z dan´eho
stˇredu), v´alcov´e (kulovou plochu nejprve zobraz´ıme na vhodnou rotaˇcn´ı v´alcovou plochu
a tu pot´e rozvineme do roviny) a kuˇzelov´e (kulovou plochu nejprve zobraz´ıme na vhodnou
rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu a tu pot´e rozvineme do roviny). Rovinn´e kartografick´e projekce
jsou pak dˇeleny na gn´omonick´e (stˇred prom´ıt´an´ı spl´yv´a se stˇredem kulov´e plochy), stereografick´e (stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı na kulov´e ploˇse), sc´enografick´e (pr˚umˇet kulov´e plochy z vlastn´ıho
stˇredu leˇz´ıc´ıho vnˇe kulov´e plochy) a ortografick´e (pravo´uhl´y pr˚umˇet kulov´e plochy). Kaˇzd´a
z v´ysˇe uveden´ych projekc´ı je d´ale jeˇstˇe dˇelena podle vz´ajemn´e polohy pr˚umˇetny a kulov´e
plochy.
Z v´alcov´ych projekc´ı jsou uvedeny dvˇe – norm´aln´ı v´alcov´a projekce (kulovou plochu
prom´ıtne-me na jistou v´alcovou plochu ze stˇredu kulov´e plochy) a neprav´a Lambertova
v´alcov´a projekce (body kulov´e plochy jsou jist´ym zp˚usobem – ne prom´ıt´an´ım – pˇriˇrazeny
bod˚um rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy).
Z´avˇer prvn´ı kapitoly je vˇenov´an Braunovˇe kuˇzelov´e projekci (kulovou plochu prom´ıtneme
z jednoho p´olu na rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu dot´ykaj´ıc´ı se kulov´e plochy pod´el tˇric´at´e rovnobˇezˇ ky opaˇcn´e sˇ´ıˇrky neˇz p´ol, ze kter´eho prom´ıt´ame).
Druh´a kapitola je vˇenov´ana neline´arn´ı zobrazovac´ı metodˇe – cyklografii. V t´eto zobrazovac´ı metodˇe je kaˇzd´emu bodu pˇriˇrazen tzv. cykl, tj. orientovan´a kruˇznice a jej´ı stˇred. Orientace ud´av´a polohu bodu vzhledem k pr˚umˇetnˇe (nad pr˚umˇetnou, pod pr˚umˇetnou), polomˇer
cyklu urˇcuje vzd´alenost bodu od pr˚umˇetny (body leˇz´ıc´ı v pr˚umˇetnˇe jsou tzv. nulov´e cykly,
tj. kruˇznice s nulov´ym polomˇerem) a stˇred cyklu je pravo´uhl´ym pr˚umˇetem dan´eho bodu do
pr˚umˇetny. Je uk´az´ano zobrazen´ı bodu, pˇr´ımky a roviny a tak´e jsou objasnˇeny pojmy – dotyk cykl˚u a dotyk cyklu a paprsku. Kaˇzd´emu bodu v prostoru je pˇriˇrazen tzv. cyklografick´y
kuˇzel, tj. rotaˇcn´ı kuˇzelov´a plocha s vrcholem v dan´em bodˇe a povrchov´ymi pˇr´ımkami, je5
jichˇz odchylka od pr˚umˇetny je 45◦ . S vyuˇzit´ım takto zaveden´ych pojm˚u jsou pak pomoc´ı
prostorov´ych interpretac´ı ˇreˇseny rovinn´e u´ lohy – Pappovy a Apolloniovy u´ lohy.
Uˇcebnice je urˇcena pˇredevˇs´ım posluchaˇcu˚ m bakal´arˇsk´eho dvouoborov´eho studia matematika – deskriptivn´ı geometrie, pokr´yv´a vˇetˇsinu uˇciva pˇredmˇetu Aplikace deskriptivn´ı geometrie 2, mohou ji vˇsak vyuˇz´ıt i studenti jin´ych obor˚u.
Na z´avˇer dˇekuji obˇema recenzentk´am Mgr. Marii Chodorov´e, Ph.D, a RNDr. Martinˇe
ˇ ep´anov´e, Ph.D. za cenn´e rady a pˇripom´ınky.
Stˇ
Autorka
Olomouc, duben 2013
6
Kapitola 1
Kartografie
Kartografie se zab´yv´a zobrazov´an´ım zemsk´eho povrchu. Zemsk´y povrch (geoid) nahrazujeme plochou kulovou a tu zobrazujeme. D´elky zmenˇsujeme v dan´em mˇeˇr´ıtku 1 : m, kde 1 je
jednotka na zobrazen´e kulov´e ploˇse a m je odpov´ıdaj´ıc´ı d´elka na kulov´e ploˇse o polomˇeru
rovn´em pr˚umˇern´emu polomˇeru Zemˇe.
Uvaˇzujme kulovou plochu κ se stˇredem O a polomˇerem r, kter´a nahrazuje zemsk´y povrch. Na kulov´e ploˇse κ zavedeme souˇradnice n´asleduj´ıc´ım zp˚usobem:
Mˇejme d´anu kart´ezskou soustavu souˇradnic. Jej´ı stˇred um´ıst´ıme do stˇredu O kulov´e plochy
κ. Oznaˇcme X = [x0 , y0 , z0 ] libovoln´y bod kulov´e plochy κ, X1 = [x10 , y10 , 0] jeho pr˚umˇet
do roviny urˇcen´e osami x, y. Oznaˇcme ϕ velikost u´ hlu, kter´y sv´ır´a kladn´a poloosa x s polopˇr´ımkou OX1 , a ψ u´ hel, kter´y sv´ıraj´ı polopˇr´ımky OX1 a OX. Aby byl takto jednoznaˇcnˇe
urˇcen bod X kulov´e plochy κ, omez´ıme intervaly, ve kter´ych se mohou pohybovat velikosti
´
u´ hl˚u ϕ, ψ. Uhel
ϕ ∈ −π, π) a u´ hel ψ ∈ − π2 , π2 . Takto zaveden´e souˇradnice se naz´yvaj´ı
sf´erick´e souˇradnice.
Kaˇzd´emu bodu oblasti ∆ = −π, π)× − π2 , π2 je jednoznaˇcnˇe pˇriˇrazen bod X kulov´e plochy
κ, jehoˇz sf´erick´e souˇradnice jsou ϕ, ψ. Body, ve kter´ych ψ = ± π2 nemaj´ı jednoznaˇcnˇe urˇceno
ϕ, oznaˇc´ıme je Ps pro ψ = π2 a Pj pro ψ = − π2 .
Body Ps , Pj naz´yv´ame po ˇradˇe severn´ı a jiˇzn´ı p´ol kulov´e plochy, pˇr´ımku Ps Pj naz´yv´ame
zemsk´a osa. Souˇradnici ψ naz´yv´ame zemˇepisn´a sˇ´ırˇka a souˇradnici ϕ naz´yv´ame zemˇepisn´a
d´elka. Body X kulov´e plochy κ, pro nˇezˇ je souˇradnice ψ pevnˇe zvolena a ϕ probˇehne
cel´y interval, vypln´ı kruˇznici kulov´e plochy κ, kter´a leˇz´ı v rovinˇe rovnobˇezˇ n´e s rovinou xy,
oznaˇcujeme ji ψ r a naz´yv´ame rovnobˇezˇka zemˇepisn´e sˇ´ırˇky ψ. Rovnobˇezˇ ka zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky
0 se naz´yv´a rovn´ık, leˇz´ı v rovinˇe xy jej´ı polomˇer je roven polomˇeru kulov´e plochy κ. Rovnobˇezˇ ky, pro nˇezˇ je ψ z´aporn´e, ud´avaj´ı jiˇzn´ı zemˇepisnou sˇ´ıˇrku, rovnobˇezˇ ky pro kladn´e ψ
ud´avaj´ı severn´ı zemˇepisnou sˇ´ıˇrku.
Body X kulov´e plochy κ, pro nˇezˇ je pevnˇe zvolena souˇradnice ϕ a souˇradnice ψ probˇehne
cel´y interval, vypln´ı hlavn´ı p˚ulkruˇznici kulov´e plochy nad pr˚umˇerem P s P j , oznaˇcujeme ji
ϕ
m a naz´yv´ame poledn´ık zemˇepisn´e d´elky ϕ. Poledn´ık zemˇepisn´e d´elky 0 leˇz´ı v rovinˇe xz
a naz´yv´a se nult´y poledn´ık. Poledn´ıky, pro nˇezˇ je ϕ z´aporn´e, ud´avaj´ı z´apadn´ı zemˇepisnou
7
d´elku, poledn´ıky pro kladn´e ϕ ud´avaj´ı v´ychodn´ı zemˇepisnou d´elku. Sestroj´ıme-li teˇcny poledn´ık˚u v nˇekter´em z p´ol˚u, je zˇrejm´e, zˇ e zemˇepisn´a d´elka ϕ je velikost u´ hlu, kter´y spolu
sv´ıraj´ı teˇcny poledn´ık˚u 0 m a ϕ m.
Rovnobˇezˇ ky a poledn´ıky vytv´aˇr´ı na kulov´e ploˇse pravo´uhlou souˇradnou s´ıt’, kterou naz´yv´ame kartografick´a s´ıt’.
Obr. 1.0.1
Zobrazen´ı zemsk´eho povrchu se naz´yv´a mapa. Mapy vytv´aˇr´ıme bud’ pomoc´ı geometrick´eho
zobrazen´ı, tj. projekc´ı z dan´eho stˇredu do dan´e roviny nebo na danou plochu nebo kartografick´ym zobrazen´ım, tj. pˇredepsan´ym pˇredpisem. Kulovou plochu nelze rozvinout do roviny, protoˇze neexistuje izometrick´e zobrazen´ı, kter´e by zachov´avalo d´elky u´ seˇcek, velikosti
u´ hl˚u apod. Doch´az´ı ke zkreslen´ı kartografick´e s´ıtˇe. Neexistuje ide´aln´ı mapa, tj. mapa, kter´a
by zachov´avala (v dan´em mˇeˇr´ıtku) souˇcasnˇe d´elky oblouk˚u kˇrivek, obsahy ploˇsn´ych u´ tvar˚u,
u´ hly kˇrivek apod. Ovˇsem existuj´ı mapy, kter´e nˇekter´e vlastnosti zachov´avaj´ı bud’ glob´alnˇe
nebo v okol´ı nˇejak´eho bodu. Podle vlastnosti, kter´a se prom´ıt´an´ım zachov´av´a, se mapy dˇel´ı.
Mapy ekvidistantn´ı (d´elkojevn´e) zachov´avaj´ı d´elku oblouku, mapy konformn´ı (´uhlojevn´e) zachov´avaj´ı u´ hly kˇrivek, mapy ekvivalentn´ı (plochojevn´e) zachov´avaj´ı obsah obrazc˚u.
Na mapˇe sestrojujeme nˇekter´e v´yznamn´e kˇrivky, kter´a se pouˇz´ıvaj´ı napˇr. pˇri navigaci.
Nejkratˇs´ı spojnice dvou bod˚u na ploˇse se naz´yvaj´ı geodetick´e kˇrivky, v pˇr´ıpadˇe kulov´e plochy
se jim tak´e ˇr´ık´a ortodromy. Ortodromy jsou cˇ a´ sti hlavn´ıch kruˇznic kulov´e plochy, tj. kruˇznic,
kter´e maj´ı stejn´y stˇred a polomˇer jako kulov´a plocha, na n´ızˇ leˇz´ı. Dalˇs´ı v´yznamn´e kˇrivky,
kter´e se na map´ach uˇz´ıvaj´ı, jsou loxodromy. Loxodromy jsou kˇrivky, kter´e prot´ınaj´ı vˇsechny
poledn´ıky pod konstantn´ım u´ hlem.
Kartografick´e projekce dˇel´ıme podle plochy, na niˇz prom´ıt´ame, a d´ale podle polohy stˇredu
prom´ıt´an´ı a pr˚umˇetny. Prom´ıt´ame-li do roviny, naz´yv´a se projekce rovinn´a, prom´ıt´ame-li na
rotaˇcn´ı v´alcovou plochu, dost´av´ame projekce v´alcov´e, a prom´ıt´an´ım na rotaˇcn´ı kuˇzelovou
plochu obdrˇz´ıme projekci kuˇzelovou. V pˇr´ıpadˇe v´alcov´ych a kuˇzelov´ych projekc´ı dostaneme
8
mapu tak, zˇ e kulovou plochu nejprve prom´ıtneme na danou rotaˇcn´ı v´alcovou cˇ i kuˇzelovou
plochu, a tu pak rozvineme do roviny.
1.1
Rovinn´e kartografick´e projekce
Rovinn´e projekce zobrazuj´ı kulovou plochu pˇr´ımo na rovinu ρ do mapy. Rovina ρ je bud’
teˇcnou rovinou plochy, nebo ji posuneme tak, aby proch´azela stˇredem kulov´e plochy. Pokud
je stˇred S prom´ıt´an´ı r˚uzn´y od stˇredu O kulov´e plochy, vˇzdy vol´ıme rovnu ρ tak, aby pˇr´ımka
SO byla k rovinˇe kolm´a. Rovinn´e projekce d´ale dˇel´ıme podle polohy stˇredu prom´ıt´an´ı vzhledem ke kulov´e ploˇse a podle polohy roviny, do n´ızˇ prom´ıt´ame. Splyne-li stˇred S prom´ıt´an´ı se
stˇredem O kulov´e plochy, dost´av´ame projekci gn´omonickou, leˇz´ı-li stˇred S na kulov´e ploˇse,
naz´yv´a se projekce stereografick´a, leˇz´ı-li stˇred prom´ıt´an´ı vnˇe kulov´e plochy a je vlastn´ı,
naz´yv´a se projekce sc´enografick´a, a pro nevlastn´ı stˇred prom´ıt´an´ı se projekce naz´yv´a ortografick´a. Jestliˇze se rovina ρ, do n´ızˇ prom´ıt´ame, dot´yk´a kulov´e plochy v p´olu, naz´yv´a se projekce p´olov´a, dot´yk´a-li se rovina ρ v bodˇe rovn´ıku, naz´yv´a se projekce rovn´ıkov´a, a dot´yk´a-li
se ρ v obecn´em bodˇe, je projekce obecn´a. Rovinu ρ vˇzdy ztotoˇzn´ıme s n´akresnou.
1.1.1
Gn´omonick´e projekce
Stˇred kulov´e plochy a stˇred kaˇzd´e hlavn´ı kruˇznice leˇz´ıc´ı na t´eto ploˇse spl´yv´a se stˇredem
prom´ıt´an´ı, proto se kaˇzd´a hlavn´ı kruˇznice kulov´e plochy v gn´omonick´ych projekc´ıch zobraz´ı
jako pˇr´ımka. Pr˚umˇety poledn´ık˚u jsou pˇr´ımky a pr˚umˇety ortodrom jsou cˇ a´ sti pˇr´ımek.
P´olov´a gn´omonick´a projekce
Stˇred S prom´ıt´an´ı spl´yv´a se stˇredem O kulov´e plochy, prom´ıt´ame do roviny ρ, kter´a se dot´yk´a
kulov´e plochy v p´olu. Uvaˇzujme rovnobˇezˇ ku zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ leˇz´ıc´ı v rovinˇe α.
Obr. 1.1.1
Spojnice bod˚u t´eto rovnobˇezˇ ky se stˇredem prom´ıt´an´ı vytvoˇr´ı rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu Ω
s osou kolmou k rovinˇe ρ. Stˇredov´y pr˚umˇet ψ rs rovnobˇezˇ ky zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ, je ˇrez rotaˇcn´ı
kuˇzelov´e plochy Ω rovinou α, ψ rs je tedy kruˇznice. Rovn´ık leˇz´ı v rovinˇe, kter´a obsahuje
9
stˇred prom´ıt´an´ı, stˇredovˇe prom´ıtac´ı pˇr´ımka kaˇzd´eho bodu rovn´ıku je rovnobˇezˇ n´a s rovinou ρ,
pr˚umˇetem rovn´ıku je nevlastn´ı pˇr´ımka roviny ρ. Oba p´oly leˇz´ı na t´ezˇ e stˇredovˇe prom´ıtac´ı
pˇr´ımce, zobraz´ı se do jednoho bodu a poledn´ıky se zobraz´ı jako svazek polopˇr´ımek se stˇredem
bodˇe Pss = Pjs . Pr˚umˇetem kulov´e plochy je cel´a rovina ρ.
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Zvol´ıme rovinu λ proch´azej´ıc´ı p´oly a do n´ı pravo´uhle prom´ıtneme vˇsechny rovnobˇezˇ ky.
Rovina λ je kolm´a k rovinˇe ρ, obsahuje stˇred S prom´ıt´an´ı a do roviny ρ se z bodu S prom´ıtne
jako pˇr´ımka λs . Rovinu λ sklop´ıme, sklopen´e pr˚umˇety u´ tvar˚u oznaˇc´ıme doln´ım indexem 2.
Ve sklopen´ı m´ame d´an pravo´uhl´y pr˚umˇet kulov´e plochy κ do roviny λ (v dan´em mˇeˇr´ıtku).
Kulov´a plocha κ se dot´yk´a roviny ρ (pr˚umˇetny) v bodˇe Pj .
Obr. 1.1.2
Rovnobˇezˇ ky se do roviny λ pravo´uhle prom´ıtnou jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky rovnobˇezˇ n´e se
stˇredov´ym pr˚umˇetem roviny λ. Mˇejme d´anu rovnobˇezˇ ku zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ. Krajn´ı body
A2 , B2 u´ seˇcky ψ r2 leˇz´ı na κ2 a jsou to body A, B rovnobˇezˇ ky ψ r, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ. Jejich
stˇredov´e pr˚umˇety As , B s leˇz´ı na λs , urˇc´ıme je ve sklopen´ı, As = λs ∩ S2 A2 . Stˇredov´y pr˚umˇet
ψ s
r rovnobˇezˇ ky ψ r je kruˇznice sestrojen´a nad pr˚umˇerem As B s (viz obr. 1.1.2).
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Pr˚umˇety poledn´ık˚u tvoˇr´ı svazek polopˇr´ımek o stˇredu Pjs . Zvol´ıme nult´y poledn´ık, polopˇr´ımku 0 ms s poˇca´ tkem v bodˇe Pjs . Protoˇze poledn´ıky leˇz´ı v rovin´ach kolm´ych k pr˚umˇetnˇe,
zachov´av´a se velikost u´ hlu, kter´y sv´ıraj´ı roviny poledn´ık˚u. Polopˇr´ımka, kter´a sv´ır´a s polopˇr´ımkou 0 ms u´ hel ϕ, je stˇredov´ym pr˚umˇetem poledn´ıku zemˇepisn´e d´elky ϕ ms (jak ukazuje
obr. 1.1.2).
10
Rovn´ıkov´a gn´omonick´a projekce
Rovina ρ se dot´yk´a kulov´e plochy v bodˇe rovn´ıku. Prom´ıtac´ı pˇr´ımky bod˚u rovnobˇezˇ ek leˇz´ı na
rotaˇcn´ıch kuˇzelov´ych ploch´ach Ω s osou rotace rovnobˇezˇ nou s pr˚umˇetnou ρ. Stˇredov´y pr˚umˇet
rovnobˇezˇ ky ψ r je ˇrez plochy Ω rovinou ρ. Pr˚umˇetem rovnobˇezˇ ky ψ r je tedy hyperbola. Rovn´ık
leˇz´ı v rovinˇe kolm´e k pr˚umˇetnˇe a obsahuj´ıc´ı stˇred prom´ıt´an´ı, jeho stˇredov´ym pr˚umˇetem je
pˇr´ımka 0 rs .
Obr. 1.1.3
Protoˇze je zemsk´a osa rovnobˇezˇ n´a s pr˚umˇetnou, zobraz´ı se p´oly do nevlastn´ıho bodu. Pr˚umˇety
poledn´ık˚u tvoˇr´ı svazek rovnobˇezˇ ek. Stˇredov´ym pr˚umˇetem kulov´e plochy je opˇet cel´a rovina ρ.
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Zvol´ıme rovinu λ proch´azej´ıc´ı p´oly a kolmou k rovinˇe ρ a do n´ı pravo´uhle prom´ıtneme
vˇsechny rovnobˇezˇ ky. Rovina λ obsahuje stˇred S prom´ıt´an´ı, do roviny ρ se z bodu S prom´ıtne
jako pˇr´ımka λs . Rovinu λ sklop´ıme, sklopen´e pr˚umˇety u´ tvar˚u oznaˇc´ıme doln´ım indexem 2.
Ve sklopen´ı m´ame d´an pravo´uhl´y pr˚umˇet kulov´e plochy κ do roviny λ (v dan´em mˇeˇr´ıtku).
11
Obr. 1.1.4
Kulov´a plocha κ se dot´yk´a roviny ρ (pr˚umˇetny) v bodˇe rovn´ıku. Rovn´ık leˇz´ı v rovinˇe kolm´e
k rovinˇe λ, jeho stˇredov´y pr˚umˇet je pˇr´ımka kolm´a k λs proch´azej´ıc´ı bodem dotyku s rovinou ρ. Rovnobˇezˇ ky se do roviny λ pravo´uhle prom´ıtnou jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky kolm´e
ke stˇredov´emu pr˚umˇetu roviny λ. Mˇejme d´anu rovnobˇezˇ ku zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ. Krajn´ı body
A2 , B2 u´ seˇcky ψ r2 leˇz´ı na κ2 a jsou to body A, B rovnobˇezˇ ky ψ r, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ. Jejich
stˇredov´e pr˚umˇety As , B s leˇz´ı na λs , urˇc´ıme je ve sklopen´ı, As = λs ∩ S2 A2 . Stˇredov´y pr˚umˇet
ψ s
r rovnobˇezˇ ky ψ r je hyperbola s vrcholy As , B s . Z Qu´eteletovy-Dandelinovy vˇety v´ıme, zˇ e
vedlejˇs´ı osa t´eto hyperboly je rovna polomˇeru dan´e kulov´e plochy, proto asymptoty hyperboly ψ rs jsou pˇr´ımky rovnobˇezˇ n´e s pˇr´ımkami S2 A2 , S2 B2 .
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Poledn´ıky pravo´uhle prom´ıtneme do roviny σ rovn´ıku a tu sklop´ıme, sklopen´e u´ tvary
oznaˇc´ıme indexem 3. Poledn´ıky se do roviny rovn´ıku pravo´uhle prom´ıtnou jako polomˇery
kruˇznice 0 r3 . Libovoln´y poledn´ık zvol´ıme za nult´y, jeho bod Y leˇz´ıc´ı na rovn´ıku prom´ıtneme
ze stˇredu S do roviny ρ. Stˇredov´y pr˚umˇet poledn´ıku je pˇr´ımka kolm´a k 0 rs proch´azej´ıc´ı
stˇredov´ym pr˚umˇetem bodu Y . Ve sklopen´ı zvol´ıme poledn´ık zemˇepisn´e d´elky ϕ, jeho stˇredov´y
pr˚umˇet sestroj´ıme stejnˇe jako 0 ms .
Obecn´a gn´omonick´a projekce
Pr˚umˇetna ρ se dot´yk´a kulov´e plochy v obecn´em bodˇe. Prom´ıtac´ı pˇr´ımky bod˚u kaˇzd´e rovnobˇezˇ ky ψ r leˇz´ı na rotaˇcn´ı kuˇzelov´e ploˇse Ω, pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky ψ r do rovinyρ je ˇrez kuˇzelov´e plochy Ω rovinou ρ. Zemsk´a osa je v obecn´e poloze vzhledem k pr˚umˇetnˇe, proto jsou
pr˚umˇety rovnobˇezˇ ek, s v´yjimkou rovn´ıku, elipsy, paraboly i hyperboly. Rovina rovn´ıku obsahuje stˇred prom´ıt´an´ı, pr˚umˇetem rovn´ıku je pˇr´ımka. Pr˚umˇetem poledn´ık˚u je svazek pˇr´ımek
se stˇredem v bodˇe Pss = Pjs . Pr˚umˇetem kulov´e plochy je cel´a pr˚umˇetna.
Obr. 1.1.5
12
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Zvol´ıme rovinu λ proch´azej´ıc´ı p´oly a kolmou k rovinˇe ρ a do n´ı pravo´uhle prom´ıtneme
vˇsechny rovnobˇezˇ ky. Rovina λ obsahuje stˇred S prom´ıt´an´ı, do roviny ρ se z bodu S prom´ıtne
jako pˇr´ımka λs . Rovinu λ sklop´ıme, sklopen´e pr˚umˇety u´ tvar˚u oznaˇc´ıme doln´ım indexem 2.
Ve sklopen´ı m´ame d´an pravo´uhl´y pr˚umˇet kulov´e plochy κ do roviny λ (v dan´em mˇeˇr´ıtku).
Kulov´a plocha κ se dot´yk´a roviny ρ v obecn´em bodˇe. Rovn´ık leˇz´ı v rovinˇe kolm´e k rovinˇe
λ, jeho stˇredov´y pr˚umˇet je proto pˇr´ımka kolm´a k λs . Zobraz´ıme bod rovn´ıku leˇz´ıc´ı v rovinˇe
λ, j´ım proch´az´ı 0 rs kolmo k λs . Rovnobˇezˇ ky se do roviny λ pravo´uhle prom´ıtnou jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky. Mˇejme d´anu rovnobˇezˇ ku zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ. Krajn´ı body A2 , B2 u´ seˇcky ψ r2
jsou pravo´uhl´ymi pr˚umˇety bod˚u A, B rovnobˇezˇ ky ψ r, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ. Jejich stˇredov´e
pr˚umˇety As , B s leˇz´ı na λs , urˇc´ıme je ve sklopen´ı, As = λs ∩ S2 A2 . Stˇredov´y pr˚umˇet ψ rs rovnobˇezˇ ky ψ r je regul´arn´ı kuˇzeloseˇcka s vrcholy As , B s (pokud je pr˚umˇetem parabola, je jeden
z tˇechto bod˚u nevlastn´ı). Z Qu´eteletovy-Dandelinovy vˇety v´ıme, zˇ e ohnisko t´eto kuˇzeloseˇcky
je bodem dotyku kulov´e plochy vepsan´e kuˇzelov´e ploˇse a dot´ykaj´ıc´ı se roviny ˇrezu.
Obr. 1.1.6
13
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Poledn´ıky pravo´uhle prom´ıtneme do roviny rovn´ıku a tu otoˇc´ıme do roviny ρ. Pr˚umˇety do
roviny rovn´ıku oznaˇc´ıme doln´ım indexem 3. Pro konstrukci stˇredov´ych pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
vyuˇzijeme afinity s osou 0 rs a smˇerem S3 Pss . Do roviny rovn´ıku se poledn´ıky zobraz´ı jako
polomˇery rovn´ıku. Zvol´ıme nult´y poledn´ık, jeho bod leˇz´ıc´ı v rovinˇe rovn´ıku prom´ıtneme
ze stˇredu prom´ıt´an´ı na 0 rs . T´ımto bodem a pr˚umˇetem p´olu je d´an stˇredov´y pr˚umˇet nult´eho
poledn´ıku. Konstrukce stˇredov´eho pr˚umˇetu ϕ ms poledn´ıku zemˇepisn´e d´elky ϕ je zˇrejm´a.
1.1.2
Stereografick´e projekce
Stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı na kulov´e ploˇse. Prom´ıt´ame z nˇej do roviny ρ proch´azej´ıc´ı stˇredem kulov´e plochy a pˇr´ımka SO, kde O je stˇred kulov´e plochy, je kolm´a na rovinu ρ. Pr˚umˇetem
kulov´e plochy je vˇzdy cel´a rovina ρ. Pro urˇcen´ı typu stereografick´e projekce uvaˇzujeme rovinu ρ rovnobˇezˇ nou s rovinou ρ a dot´ykaj´ıc´ı se kulov´e plochy. Rovina ρ se kulov´e plochy
ˇ
dot´yk´a pr˚useˇc´ıku pˇr´ımky SO s kulovou plochou, kter´y je r˚uzn´y od bodu S. Casto
zobrazujeme jen polokouli leˇz´ıc´ı v opaˇcn´e polorovinˇe neˇz stˇred prom´ıt´an´ı.
Pro stereografick´e projekce si dok´azˇ eme dvˇe vˇety.
Vˇeta 1.1.1 Stereografick´a projekce je projekce konformn´ı (´uhlojevn´a).
D˚ukaz: Necht’ 1f,2f jsou dvˇe kˇrivky na dan´e kulov´e ploˇse prot´ınaj´ıc´ı se pod u´ hlem α. Oznaˇcme 1 t,2 t teˇcny kˇrivek 1f,2f v jejich pr˚useˇc´ıku T .
Obr. 1.1.7
Roviny 1 σ = (1 t, S),2 σ = (2 t, S) prot´ınaj´ı rovinu ρ v pˇr´ımk´ach 1 r,2 r a rovinu τ (teˇcn´a
rovina kulov´e plochy v bodˇe S) v pˇr´ımk´ach 1 t ,2 t . Protoˇze roviny ρ a τ jsou rovnobˇezˇ n´e,
jsou u´ hly β = |1 r,2 r| a β = |1 t ,2 t | stejn´e. Roviny 1 σ,2 σ prot´ınaj´ı tak´e kulovou plochu
14
v kruˇznic´ıch 1 l,2 l, kter´e proch´azej´ı body S, T . Uvaˇzujme rovinu ω, kter´a proch´az´ı stˇredem O
kulov´e plochy kolmo k u´ seˇcce T S.
Tato rovina je rovinou soumˇernosti bod˚u T a S, proto i u´ hly α, β , ve kter´ych se prot´ınaj´ı
kruˇznice 1 l,2 l v bodech T, S, jsou stejn´e. Odtud plyne i rovnost u´ hl˚u α, β.
Vˇeta 1.1.2 Stereografick´y pr˚umˇet kruˇznice neproch´azej´ıc´ı stˇredem prom´ıt´an´ı je opˇet kruˇznice.
D˚ukaz: Uvaˇzujme libovolnou kruˇznici k kulov´e plochy neproch´azej´ıc´ı stˇredem S prom´ıt´an´ı.
Oznaˇcme V vrchol rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy, kter´a se kulov´e plochy dot´yk´a pod´el k. Je-li
A libovoln´y bod kruˇznice k, potom je pˇr´ımka AV kolm´a na teˇcnu t kruˇznice k v bodˇe A.
Podle vˇety 1.1.1 je stereografick´a projekce zobrazen´ı konformn´ı, a proto jsou k sobˇe kolm´e
i stˇredov´e pr˚umˇety ts (teˇcna kˇrivky k s ) a As V s .
Obr. 1.1.8
Stereografick´e pr˚umˇety vˇsech povrchov´ych pˇr´ımek rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy tvoˇr´ı svazek
o stˇredu V s . Vˇsechny pˇr´ımky tohoto svazku jsou kolm´e k teˇcn´am ts kˇrivky k s , proto je k s
kruˇznice o stˇredu V s .
V d˚ukazu vˇety 1.1.2 jsme odvodili i n´asleduj´ıc´ı vˇetu:
Vˇeta 1.1.3 Stˇred V s kruˇznice k s je stereografick´ym pr˚umˇetem vrcholu V rotaˇcn´ı kuˇzelov´e
plochy, kter´a se kulov´e plochy dot´yk´a pod´el kruˇznice k.
Pozn´amka 1.1.1 Z vˇet 1.1.2 a 1.1.3 pˇr´ımo plyne, zˇ e se ortodroma ve stereografick´ych projekc´ıch zobraz´ı jako cˇ a´ st kruˇznice nebo pˇr´ımky.
P´olov´a stereografick´a projekce
Rovina ρ rovnobˇezˇ n´a s rovinou ρ se dot´yk´a kulov´e plochy v p´olu, stˇred prom´ıt´an´ı spl´yv´a
s druh´ym p´olem. Pr˚umˇety rovnobˇezˇ ek jsou ˇrezy rotaˇcn´ıch kuˇzelov´ych ploch rovinami kolm´ymi k zemsk´e ose, kter´a spl´yv´a s osami tˇechto rotaˇcn´ıch kuˇzelov´ych ploch. Rovnobˇezˇ ky
15
se zobraz´ı jako soustˇredn´e kruˇznice. Rovina obsahuj´ıc´ı poledn´ık obsahuje i stˇred prom´ıt´an´ı,
poledn´ıky se zobraz´ı jako svazek polopˇr´ımek. Zobraz´ıme pouze tu polokouli, na kter´e neleˇz´ı
stˇred prom´ıt´an´ı.
Obr. 1.1.9
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Rovn´ık leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe, zobraz´ı se v dan´em mˇeˇr´ıtku. Zvol´ıme rovinu λ proch´azej´ıc´ı p´oly
a do n´ı pravo´uhle prom´ıtneme rovnobˇezˇ ky. Rovinu λ sklop´ıme, sklopen´e u´ tvary oznaˇc´ıme
indexem 2. Rovnobˇezˇ ky se do roviny λ zobraz´ı jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky. Sestroj´ıme stˇredov´y
pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky ψ r. Stˇredov´e pr˚umˇety bod˚u A, B rovnobˇezˇ ky ψ r, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ,
´ cka As B s je pr˚umˇer kruˇznice ψ rs .
leˇz´ı na λs . Useˇ
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Pr˚umˇety poledn´ık˚u sestroj´ıme stejnˇe jako v p´olov´e gn´omonick´e projekci, prom´ıtaj´ı se
jako polopˇr´ımky a velikost u´ hl˚u, kter´e poledn´ıky sv´ıraj´ı, se zachov´av´a.
Obr. 1.1.10
Rovn´ıkov´a stereografick´a projekce
Rovina ρ rovnobˇezˇ n´a s rovinou ρ se dot´yk´a kulov´e plochy v bodˇe na rovn´ıku, stˇred prom´ıt´an´ı
leˇz´ı rovnˇezˇ na rovn´ıku. Rovn´ık, resp. dva poledn´ıky leˇz´ıc´ı v rovinˇe obsahuj´ıc´ı stˇred S prom´ıt´an´ı, se zobraz´ı jako pˇr´ımka, resp. polopˇr´ımky, ostatn´ı rovnobˇezˇ ky, resp. poledn´ıky, se podle
vˇety 1.1.2 zobraz´ı jako kruˇznice, resp. oblouky kruˇznic.
16
Obr. 1.1.11
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Rovnobˇezˇ ky pravo´uhle prom´ıtneme do roviny λ poledn´ıku proch´azej´ıc´ıho stˇredem prom´ıt´an´ı. Rovinu λ sklop´ıme, sklopen´e u´ tvary oznaˇc´ıme indexem 2. Rovnobˇezˇ ky se do roviny
λ zobraz´ı jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky. Sestroj´ıme stˇredov´y pr˚umˇet ψ rs rovnobˇezˇ ky ψ r.
Obr. 1.1.12
Stˇredov´e pr˚umˇety bod˚u A, B rovnobˇezˇ ky ψ r, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ, leˇz´ı na λs , As = A2 S2 ∩λs .
ˇ
´ cka As B s je pr˚umˇer kruˇznice ψ rs . Casto
Useˇ
se jeden z bod˚u As , B s nevejde na n´akresnu a je
tˇreba naj´ıt dalˇs´ı body kruˇznice ψ rs , nejl´epe body leˇz´ıc´ı v pr˚umˇetnˇe ρ, tj. body na obrysov´e
kruˇznici Uvaˇzujme rovinu α rovnobˇezˇ ky ψ r, α protne rovinu ρ v pˇr´ımce nα . Zˇrejmˇe nα je
kolm´a k λs a proch´az´ı pr˚useˇc´ıkem ψ r2 ∩ λs (tj. v pˇr´ıpadˇe rovn´ıkov´e projekce ψ r2 ⊂ nα ).
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Podle vˇety 1.1.1 se velikost u´ hl˚u, kter´e poledn´ıky sv´ıraj´ı, zachov´av´a. Poledn´ıky proch´azej´ı
p´oly, proto stˇredy pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u leˇz´ı na pˇr´ımce 0 rs , kter´a je osou u´ seˇcky Pss Pjs . Zvol´ıme
17
libovoln´y bod pˇr´ımky 0 rs za stˇred pr˚umˇetu nult´eho poledn´ıku a sestroj´ıme poledn´ık 0 ms jako
oblouk kruˇznice se zvolen´ym stˇredem a proch´azej´ıc´ı pr˚umˇety p´ol˚u. V nˇekter´em z pr˚umˇet˚u
p´ol˚u, napˇr´ıklad v bodˇe Pjs sestroj´ıme teˇcnu t kruˇznice, na n´ızˇ leˇz´ı 0 ms . Sestroj´ıme pˇr´ımku q,
kter´a proch´az´ı bodem Pjs a s pˇr´ımkou t sv´ır´a u´ hel ϕ. Pˇr´ımka q je teˇcnou oblouku kruˇznice
ϕ s
m , kter´y je pr˚umˇetem poledn´ıku zemˇepisn´e d´elky ϕ. Pr˚umˇet poledn´ıku ϕ m proch´az´ı p´oly,
v jednom z p´ol˚u je sestrojen´a teˇcna, konstrukce oblouku kruˇznice ϕ ms je zˇrejm´a.
Obecn´a stereografick´a projekce
Rovina ρ se dot´yk´a kulov´e plochy v obecn´em bodˇe. Pr˚umˇetem rovnobˇezˇ ky proch´azej´ıc´ı
stˇredem prom´ıt´an´ı, resp. poledn´ık˚u leˇz´ıc´ıch v rovinˇe obsahuj´ıc´ı stˇred prom´ıt´an´ı, je pˇr´ımka,
resp. polopˇr´ımky, ostatn´ı poledn´ıky a rovnobˇezˇ ky se podle vˇety 1.1.2 zobraz´ı jako kruˇznice.
Obr. 1.1.13
Uvaˇzujme rovinu λ danou p´oly a stˇredem prom´ıt´an´ı a oznaˇcme m poledn´ık leˇz´ıc´ı v rovinˇe λ. Do roviny λ pravo´uhle prom´ıtneme rovnobˇezˇ ky a rovinu sklop´ıme. Sklopen´e u´ tvary
oznaˇc´ıme indexem 2. V rovinˇe λ leˇz´ı prom´ıtac´ı pˇr´ımky SPs , SPj p´ol˚u, pr˚umˇety Pss , Pjs p´ol˚u
jsou po ˇradˇe pr˚useˇc´ıky pˇr´ımek SPs , SPj s pr˚umˇetnou ρ, tj. leˇz´ı na λs .
Obr. 1.1.14
Oznaˇcme L pr˚useˇc´ık pr˚umˇetu rovnobˇezˇ ky r proch´azej´ıc´ı bodem S s λs . Sestrojme v bodˇe
S2 teˇcnu t kruˇznice m2 . Oznaˇcme α u´ hel S2 Ps2 Pj2 . Z pravo´uhl´eho troj´uheln´ıku Ps2 Pj2 S2
18
je vidˇet, zˇ e u´ hel α je rovnˇezˇ u´ hel Pj2 S2 L. Z vlastnost´ı obvodov´ych a u´ sekov´ych u´ hl˚u odvod´ıme, zˇ e α je tak´e u´ hel Pj2 S2 A∞ , kde A∞ je nevlastn´ı bod pˇr´ımky t. Znamen´a to, zˇ e
pˇr´ımky S2 Ps2 , S2 Pj2 jsou osami u´ hl˚u pˇr´ımek S2 L, S2 A∞ . Pˇr´ımky S2 L, S2 A∞ a S2 Ps2 , S2 Pj2
se harmonicky oddˇeluj´ı. Protneme-li tuto cˇ tveˇrici pˇr´ımkou Pss Pjs vytvoˇr´ı pr˚useˇc´ıky harmonickou cˇ tveˇrici, coˇz znamen´a, zˇ e bod L je stˇredem u´ seˇcky Pss Pjs . Stˇredov´y pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky
r proch´azej´ıc´ı bodem S je pˇr´ımka rs kolm´a k pˇr´ımce Pss Pjs a proch´azej´ıc´ı stˇredem u´ seˇcky
Pss Pjs . Na t´eto pˇr´ımce tak´e leˇz´ı stˇredy vˇsech pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u.
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Zvol´ıme kruˇznici kulov´e plochy, kter´a leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe a zobraz´ı se v dan´em mˇeˇr´ıtku.
Rovina λ urˇcen´a p´oly a stˇredem prom´ıt´an´ı je kolm´a k rovinˇe ρ. Prom´ıtneme do n´ı rovnobˇezˇ ku,
rovinu λ sklop´ıme. Sklopen´y stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı na obrysov´e kruˇznici.
Obr. 1.1.15
Podle pˇredchoz´ıho urˇc´ıme pr˚umˇety p´ol˚u a rovnobˇezˇ ky proch´azej´ıc´ı bodem S. Stˇredov´e pr˚umˇety ostatn´ıch rovnobˇezˇ ek jsou kruˇznice. Sestroj´ıme stˇredov´y pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky ψ r. Stˇredov´e
´ cka
pr˚umˇety bod˚u A, B rovnobˇezˇ ky ψ r, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ, leˇz´ı na λs , As = A2 S2 ∩ λs . Useˇ
ˇ
As B s je pr˚umˇer kruˇznice ψ rs . Casto
je jeden z bod˚u As , B s nedostupn´y a abychom naˇsli
stˇred t´eto kruˇznice, sestrojujeme jeˇstˇe body na obryse. Oznaˇcme α rovinu rovnobˇezˇ ky ψ r.
Rovina α prot´ın´a rovinu obrysu (tj. pr˚umˇetnu ρ) v pˇr´ımce nα . Pˇr´ımka nα je kolm´a k λs
a proch´az´ı spoleˇcn´ym bodem rovin λ, α, ρ, tj. pr˚useˇc´ıkem λs s ψ r2 . Spoleˇcn´e body nα a obrysov´e kruˇznice patˇr´ı kruˇznici ψ rs .
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Osa u´ seˇcky Pss Pjs je stˇredov´y pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky proch´azej´ıc´ı stˇredem prom´ıt´an´ı, na t´eto
pˇr´ımce leˇz´ı stˇredy vˇsech pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u. Zvol´ıme libovoln´y poledn´ık za nult´y. Stereogra19
fick´a projekce je u´ hlojevn´e zobrazen´ı, takˇze poledn´ık zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ϕ sestroj´ıme pomoc´ı
teˇcny v jednom z p´ol˚u jako ve stereografick´e rovn´ıkov´e projekci.
Pozn´amka 1.1.2 Ve stereografick´e rovn´ıkov´e i obecn´e projekci tvoˇr´ı stˇredov´e pr˚umˇety rovnobˇezˇ ek a poledn´ık˚u dva sdruˇzen´e svazky kruˇznic.
Pozn´amka 1.1.3 Konstrukce ortodromy ve stereografick´ych projekc´ıch:
Ortodroma je cˇ a´ st´ı hlavn´ı kruˇznice kulov´e plochy. Lze proto jeden z bod˚u, napˇr. B, kter´ym
proch´az´ı, povaˇzovat za p´ol. T´ımto bodem proch´az´ı svazek hlavn´ıch kruˇznic. P´oly proloˇz´ıme
rovinu, tu sklop´ıme, z´ısk´ame druh´y p´ol P (spojnice stˇredu kulov´e plochy s p´oly jsou na sebe
kolm´e). Pr˚umˇet ortodromy je cˇ a´ st´ı kruˇznice urˇcen´e body As , B s , P .
Obr. 1.1.16
1.1.3
Sc´enografick´e projekce
Stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı vnˇe kulov´e plochy a je vlastn´ı. Kulov´e ploˇse lze proto ze stˇredu S
prom´ıt´an´ı opsat dotykovou kuˇzelovou plochu Ω, kter´a se dot´yk´a kulov´e plochy pod´el kruˇznice.
ˇ rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy Ω rovinou ρ je pr˚umˇetem t´eto kruˇznice do roviny ρ a pr˚umˇetem
Rez
cel´e kulov´e plochy je ve vˇsech sc´enografick´ych projekc´ıch kruh, nikoli cel´a pr˚umˇetna jako
v pˇredchoz´ıch projekc´ıch. Abychom dos´ahli jednoznaˇcnosti, tak vˇetˇsinou zobrazujeme jen
kulov´y vrchl´ık, tj. tu cˇ a´ st kulov´e plochy, kter´a je viditeln´a ze stˇredu prom´ıt´an´ı.
20
P´olov´a sc´enografick´a projekce
Stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı na zemsk´e ose, rovnobˇezˇ ky ze stˇredu S prom´ıt´ame rotaˇcn´ımi kuˇzelov´ymi
plochami s vrcholem S. Pr˚umˇety rovnobˇezˇ ek jsou ˇrezy tˇechto ploch rovinou kolmou k ose rotace, proto jsou pr˚umˇety rovnobˇezˇ ek soustˇredn´e kruˇznice. Rotaˇcn´ı kuˇzelov´a plocha Ω opsan´a
kulov´e ploˇse ze stˇredu S se dot´yk´a kulov´e plochy pod´el rovnobˇezˇ ky ψ r, pr˚umˇet ψ rs ohranicˇ uje pr˚umˇet kulov´e plochy. Stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı v rovinˇe kaˇzd´eho poledn´ıku, pr˚umˇety poledn´ık˚u jsou u´ seˇcky (na rozd´ıl od pˇredchoz´ıch projekc´ı, kde se poledn´ıky, jejichˇz rovina
obsahovala stˇred prom´ıt´an´ı, zobrazovaly jako polopˇr´ımky). Roviny poledn´ık˚u jsou kolm´e
k pr˚umˇetnˇe, proto se velikost u´ hl˚u, kter´e spolu roviny poledn´ık˚u sv´ıraj´ı, zachov´av´a.
Obr. 1.1.17
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Zvol´ıme rovinu λ proch´azej´ıc´ı p´oly, do n´ı pravo´uhle prom´ıtneme rovnobˇezˇ ku a rovinu λ
sklop´ıme. Sklopen´e u´ tvary oznaˇc´ıme indexem 2. V rovinˇe λ m´ame zad´an poledn´ık ϕ m
v dan´em mˇeˇr´ıtku a stˇred prom´ıt´an´ı. Obrysovou rovnobˇezˇ ku ψ r urˇc´ıme ve sklopen´ı, krajn´ı
body A2 , B2 pravo´uhl´eho pr˚umˇetu ψ r2 jsou body dotyku teˇcen kruˇznice ϕ m2 veden´ych z S2 .
Obr. 1.1.18
Body A, B leˇz´ı v rovinˇe λ, a proto m˚uzˇ eme pˇr´ımo sestrojit jejich stˇredov´e pr˚umˇety As , B s
leˇz´ıc´ı na λs . Stˇredov´y pr˚umˇet ψ rs je kruˇznice sestrojen´a nad pr˚umˇerem As B s . Stejnˇe urˇc´ıme
21
pr˚umˇet kter´ekoli dalˇs´ı rovnobˇezˇ ky zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ. Zvol´ıme rovnobˇezˇ ku ψ r tak, aby byla
viditeln´a ze stˇredu S prom´ıt´an´ı. Jej´ı pr˚umˇet sestroj´ıme stejnˇe jako v pˇr´ıpadˇe rovnobˇezˇ ky ψ r,
tj. sestroj´ıme pr˚umˇety jej´ıch bod˚u leˇz´ıc´ıch v rovinˇe λ.
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Libovoln´y polomˇer kruˇznice ψ rs zvol´ıme za pr˚umˇet nult´eho poledn´ıku, velikost u´ hl˚u
poledn´ık˚u se v t´eto projekci zachov´av´a.
Rovn´ıkov´a sc´enografick´a projekce
Stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı v rovinˇe rovn´ıku, pr˚umˇetem rovn´ıku je u´ seˇcka, pr˚umˇety ostatn´ıch rovnobˇezˇ ek jsou cˇ a´ sti elips. Zemsk´a osa leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe. Dva poledn´ıky, v jejichˇz rovinˇe leˇz´ı
stˇred prom´ıt´an´ı, se zobraz´ı jako u´ seˇcky. Pr˚umˇety ostatn´ıch poledn´ık˚u jsou elipsy. Dotykov´a
kuˇzelov´a plocha Ω opsan´a kulov´e ploˇse ze stˇredu prom´ıt´an´ı se t´eto kulov´e plochy dot´yk´a
pod´el obrysov´e kruˇznice l.
Obr. 1.1.19
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Rovina λ obsahuj´ıc´ı stˇred prom´ıt´an´ı a zemskou osu protne kulovou plochu ve dvou po
ledn´ıc´ıch, z nichˇz jeden oznaˇc´ıme ϕ m. Do roviny λ pravo´uhle prom´ıtneme rovnobˇezˇ ky a ro
vinu sklop´ıme. Sklopen´e u´ tvary oznaˇc´ıme indexem 2. Ve sklopen´ı m´ame zad´an poledn´ık ϕ m
v dan´em mˇeˇr´ıtku a stˇred prom´ıt´an´ı. Sestroj´ıme stˇredov´y pr˚umˇet ls kruˇznice l, kter´y ohraniˇc´ı
stˇredov´y pr˚umˇet kulov´e plochy. Z bodu S2 vedeme teˇcny k ϕ m2 , body dotyku prom´ıtneme
na λs , pr˚umˇety urˇc´ı pr˚umˇer kruˇznice ls . Rovina rovn´ıku obsahuje stˇred prom´ıt´an´ı, zˇrejmˇe se
rovn´ık zobraz´ı jako pr˚umˇer kruˇznice ls kolm´y k λs . Zvol´ıme libovolnou rovnobˇezˇ ku ψ r. Rovina λ je rovinou soumˇernosti rovnobˇezˇ ky ψ r a proch´az´ı stˇredem prom´ıt´an´ı, proto se body
A, B rovnobˇezˇ ky ψ r leˇz´ıc´ı v rovinˇe λ zobraz´ı jako (vedlejˇs´ı) vrcholy elipsy ψ rs . Pro konstrukci elipsy ψ rs potˇrebujeme zn´at jeˇstˇe dalˇs´ı bod. Urˇc´ıme pr˚useˇc´ıkyM, N kruˇznice ψ r s obrysovou kruˇznic´ı l. V tˇechto bodech se mˇen´ı viditelnost rovnobˇezˇ ky ψ r. Oznaˇcme β rovinu
kruˇznice l a α rovinu rovnobˇezˇ ky ψ r. Na pr˚useˇcnici q = α ∩ β leˇz´ı body rovnobˇezˇ ky ψ r,
v nichˇz se mˇen´ı viditelnost. Rovina α je kolm´a k rovinˇe λ, proto i q je kolm´a k λ, a protoˇze
S ∈ λ, je q s ⊥ λs . Pr˚useˇc´ık X pˇr´ımky q s rovinou λ urˇc´ıme pˇr´ımo ve sklopen´ı, zˇrejmˇe
22
X2 = l2 ∩ ψ r2 a m˚uzˇ eme sestrojit q s a urˇcit M s , N s . Elipsa ψ rs a kruˇznice ls maj´ı v bodech M s , N s spoleˇcn´e teˇcny, elipsa je tak dostateˇcnˇe urˇcena. Je rovnˇezˇ moˇzn´e ji sestrojit
prouˇzkovou konstrukc´ı nebo vyuˇzit´ım pravo´uhl´e afinity.
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Postupujeme podobnˇe jako pˇri konstrukci rovnobˇezˇ ek. Poledn´ıky pravo´uhle prom´ıtneme
do roviny σ rovn´ıku a sklop´ıme. Sklopen´e u´ tvary znaˇc´ıme indexem 3. Poledn´ıky se do roviny
σ prom´ıtaj´ı jako polomˇery kruˇznice 0 r3 . Libovoln´y poledn´ık zvol´ıme za nult´y a sestroj´ıme
stˇredov´y pr˚umˇet obou poledn´ık˚u, kter´e leˇz´ı v t´ezˇ e rovinˇe (v pˇr´ıpadˇe nult´eho poledn´ıku je
◦
◦
to i poledn´ık 180 m). Stˇredov´e pr˚umˇety bod˚u poledn´ık˚u 0 m,180 m leˇz´ıc´ıch v rovinˇe σ jsou
vedlejˇs´ımi vrcholy elipsy, jej´ızˇ polovina je 0 ms . Elipsa, kter´a je pr˚umˇetem obou poledn´ık˚u,
proch´az´ı jeˇstˇe body Pss , Pjs , je tedy dostateˇcnˇe urˇcena. Je vˇsak tˇreba jeˇstˇe urˇcit body, ve
kter´ych se mˇen´ı viditelnost jednoho z poledn´ık˚u. Sestroj´ıme pr˚useˇcnici p roviny σ rovn´ıku
a roviny β obrysov´e kruˇznice l, konstrukce pr˚useˇcnice je podobn´a jako u rovnobˇezˇ ek. Body,
ve kter´ych se mˇen´ı viditelnost, jsou pr˚useˇc´ıky kruˇznice l a pˇr´ımky p, viditeln´a je cˇ a´ st 0 ms
neobsahuj´ıc´ı p´oly.
Obr. 1.1.20
Pozn´amka 1.1.4 Zvol´ıme-li vzd´alenost SO stˇredu prom´ıt´an´ı od stˇredu kulov´e plochy rovnu
trojn´asobku polomˇeru kulov´e plochy, pak se mapa bl´ızˇ´ı mapˇe ekvidistantn´ı.
1.1.4
Ortografick´e projekce
Stˇred prom´ıt´an´ı je nevlastn´ı, a protoˇze spojnice stˇredu kulov´e plochy a stˇredu prom´ıt´an´ı je
kolm´a k pr˚umˇetnˇe, sestrojujeme pravo´uhl´y pr˚umˇet kulov´e plochy. Pr˚umˇetem cel´e kulov´e plochy je kruh, dotykov´a plocha Ω opsan´a kulov´e ploˇse ze stˇredu prom´ıt´an´ı je rotaˇcn´ı v´alcov´a
23
plocha, kter´a se kulov´e plochy dot´yk´a pod´el hlavn´ı kruˇznice. Pro jednoznaˇcnost vˇetˇsinou
zobrazujeme jen jednu polokouli.
P´olov´a ortografick´a projekce
V pr˚umˇetnˇe ρ leˇz´ı rovn´ık 0 r, pod´el kter´eho se souˇcasnˇe dot´yk´a kulov´e plochy dotykov´a
rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha opsan´a kulov´e ploˇse ze stˇredu prom´ıt´an´ı, rovn´ık tvoˇr´ı obrys kulov´e
plochy. Zemsk´a osa patˇr´ı smˇeru prom´ıt´an´ı.
Obr. 1.1.21
Rovnobˇezˇ ky se prom´ıtaj´ı rotaˇcn´ımi v´alcov´ymi plochami Ω, jejich pr˚umˇety jsou soustˇredn´e
kruˇznice. Stˇred prom´ıt´an´ı leˇz´ı v rovinˇe kaˇzd´eho poledn´ıku, pr˚umˇety poledn´ık˚u jsou u´ seˇcky.
Velikost u´ hl˚u, kter´e spolu sv´ıraj´ı roviny poledn´ık˚u se zachov´av´a, protoˇze roviny poledn´ık˚u
jsou kolm´e k pr˚umˇetnˇe.
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
V dan´em mˇeˇr´ıtku je zad´an rovn´ık, kter´y leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe. Zvol´ıme rovinu λ proch´azej´ıc´ı
p´oly, do n´ı pravo´uhle prom´ıtneme rovnobˇezˇ ky a rovinu λ sklop´ıme. Sklopen´e u´ tvary oznaˇc´ıme
indexy 2. Ve sklopen´ı zvol´ıme rovnobˇezˇ ku ψ r2 , jej´ı body leˇz´ıc´ı v rovinˇe λ prom´ıtneme ze
sklopen´eho stˇredu prom´ıt´an´ı. Stˇredov´e pr˚umˇety bod˚u roviny λ leˇz´ı na λs , pro stˇredov´y pr˚umˇet
ψ s
r rovnobˇezˇ ky ψ r jsme sestrojili pr˚umˇer.
Obr. 1.1.22
24
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Poledn´ıky se zobraz´ı jako u´ seˇcky, tvoˇr´ı polomˇery obrysov´e kruˇznice. Libovoln´y polomˇer
zvol´ıme za pr˚umˇet nult´eho poledn´ıku, velikost u´ hl˚u, kter´e poledn´ıky sv´ıraj´ı se zachov´av´a,
konstrukce poledn´ıku zemˇepisn´e d´elky ϕ je zˇrejm´a.
Rovn´ıkov´a ortografick´a projekce
V pr˚umˇetnˇe leˇz´ı zemsk´a osa a dva poledn´ıky, kter´e tvoˇr´ı obrysovou kruˇznici, pod´el kter´e se
dot´yk´a opsan´a rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha ze stˇredu prom´ıt´an´ı. Roviny α rovnobˇezˇ ek obsahuj´ı
stˇred prom´ıt´an´ı, proto se rovnobˇezˇ ky zobraz´ı jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky, kter´e jsou tˇetivami
obrysov´e kruˇznice. Poledn´ıky leˇz´ıc´ı v rovinˇe kolm´e k pr˚umˇetnˇe se zobraz´ı jako u´ seˇcky, ostatn´ı
poledn´ıky se zobraz´ı jako cˇ a´ sti elips.
Obr. 1.1.23
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
V pr˚umˇetnˇe je v dan´em mˇeˇr´ıtku dan´a obrysov´a kruˇznice - dva poledn´ıky leˇz´ıc´ı v pr˚umˇetnˇe
a zemsk´a osa. Rovn´ık se zobraz´ı jako pr˚umˇer obrysov´e kruˇznice kolm´y k zemsk´e ose. Ostatn´ı
rovnobˇezˇ ky se zobraz´ı jako tˇetivy obrysov´e kruˇznice rovnobˇezˇ n´e s rovn´ıkem, zobrazen´ı rovnobˇezˇ ky dan´e zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky je zˇrejm´a (viz obr. 1.1.24).
Obr. 1.1.24
25
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Poledn´ıky pravo´uhle prom´ıtneme do roviny rovn´ıku σ rovn´ıku, kterou sklop´ıme. Sklopen´e u´ tvary oznaˇc´ıme indexem 3. Body poledn´ık˚u leˇz´ıc´ı v rovinˇe σ se zobraz´ı jako vedlejˇs´ı
vrcholy pr˚umˇet˚u tˇechto poledn´ık˚u, hlavn´ı vrcholy jsou pr˚umˇety p´ol˚u. Pr˚umˇetem poledn´ıku je
polovina elipsy nad hlavn´ımi vrcholy Pss Pjs .
Obecn´a ortografick´a projekce
Obecn´a ortografick´a projekce je pravo´uhl´y pr˚umˇet kulov´e plochy do roviny ρ, kter´a nen´ı
kolm´a ani k zemsk´e ose ani k rovinˇe rovn´ıku. V rovinˇe ρ leˇz´ı obrysov´a kruˇznice k, kter´a
nen´ı ani rovnobˇezˇ kou ani neobsahuje poledn´ık. Obecnou ortografickou projekci m˚uzˇ eme tedy
povaˇzovat za zobrazen´ı kulov´e plochy v pravo´uhl´e axononometrii.
Obr. 1.1.25
Pr˚umˇet kulov´e plochy lze sestrojit, aniˇz bychom mˇeli zadanou axonometrii. Rovnobˇezˇ ky i poledn´ıky se zobraz´ı jako elipsy. D´a se uk´azat, zˇ e pro zobrazov´an´ı rovnobˇezˇ ek v obecn´e ortografick´e projekci plat´ı n´asleduj´ıc´ı vˇety. Kulov´a plocha je zad´ana obrysovou kruˇznic´ı a pr˚umˇetem
jednoho p´olu.
Vˇeta 1.1.4 Elipsa, kter´a m´a hlavn´ı osu spoleˇcnou s pr˚umˇetem rovn´ıku a jej´ızˇ vedlejˇs´ı osa je
u´ seˇcka Os Pjs , je (aˇz na p´oly) mnoˇzina hlavn´ıch vrchol˚u pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇek.
Vˇeta 1.1.5 Mnoˇzina ohnisek pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇek je tzv. fok´aln´ı kruˇznice se stˇredem Os a polomˇerem Os Pjs .
S vyuˇzit´ım uveden´ych dvou vˇet jiˇz m˚uzˇ eme sestrojit pr˚umˇet kulov´e plochy v obecn´e
ortografick´e projekci.
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Rovinu λ obsahuj´ıc´ı stˇred prom´ıt´an´ı a p´oly sklop´ıme do pr˚umˇetny, sklopen´e u´ tvary oznacˇ´ıme indexem 2. V rovinˇe λ je v dan´em mˇeˇr´ıtku zadan´a kruˇznice, kter´a po sklopen´ı splyne
s obrysovou kruˇznic´ı, a zemsk´a osa. Rovnobˇezˇ ky se do roviny λ pravo´uhle prom´ıtnou jako
26
u´ seˇcky. V rovinˇe λ je pr˚umˇet 0 r2 rovn´ıku pr˚umˇerem obrysov´e kruˇznice, kter´y je kolm´y
k zemsk´e ose. Stˇredov´ym pr˚umˇetem 0 rs rovn´ıku je elipsa, jej´ı vedlejˇs´ı vrcholy leˇz´ı na λs
a jsou to stˇredov´e pr˚umˇety bod˚u rovn´ıku, kter´e leˇz´ı v rovinˇe λ. Hlavn´ı poloosa elipsy 0 rs je
rovna polomˇeru kulov´e plochy. Body, v nichˇz se mˇen´ı viditelnost rovn´ıku, leˇz´ı na obrysov´e
kruˇznici, v pˇr´ıpadˇe pr˚umˇetu rovn´ıku jsou to hlavn´ı vrcholy elipsy 0 rs . Stˇredov´y pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky ψ r sestroj´ıme s vyuˇzit´ım vˇet 1.1.4, 1.1.5. Vedlejˇs´ı osa elipsy ψ rs je urˇcena stˇredov´ymi
pr˚umˇety bod˚u rovnobˇezˇ ky leˇz´ıc´ımi v rovinˇe λ. Na fok´aln´ı kruˇznici urˇc´ıme ohniska a sestroj´ıme hlavn´ı vrcholy. Sestroj´ıme jeˇstˇe body na obryse. Rovina α rovnobˇezˇ ky prot´ın´a pr˚umˇetnu ρ v pˇr´ımce nα . Zˇrejmˇe nα ⊥ λs a nα proch´az´ı bodem ψ r2 ∩ λs . Pˇr´ımka nα protne obrys
v bodech, ve kter´ych se na elipse ψ rs mˇen´ı viditelnost.
Obr. 1.1.26
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Poledn´ıky pravo´uhle prom´ıtneme do roviny rovn´ıku a tu otoˇc´ıme, otoˇcen´e u´ tvary oznacˇ´ıme indexem 3. Rovn´ık se otoˇc´ı do obrysov´e kruˇznice k s . Do roviny rovn´ıku se poledn´ıky
zobraz´ı jako polomˇery rovn´ıku. Libovoln´y polomˇer A3 Os kruˇznice k s zvol´ıme za sklopen´y
´ cka AO je polomˇer poledn´ıku 0 m, kter´y leˇz´ı v rovinˇe
pr˚umˇet 0 m3 nult´eho poledn´ıku. Useˇ
rovn´ıku a je tedy kolm´y k zemsk´e ose. Protoˇze A je pr˚useˇc´ıkem 0 m a0 r, nalezneme As na
0 s
r , a to prom´ıtnut´ım A3 ve sklopen´ı. Pr˚umˇetem 0 ms nult´eho poledn´ıku je cˇ a´ st elipsy, jej´ızˇ
sdruˇzen´e pr˚umˇery leˇz´ı na pˇr´ımk´ach As Os , Pss Pjs , pˇriˇcemˇz Pss Pjs je pˇr´ımo pr˚umˇer a u´ seˇcka
As Os polovina pr˚umˇeru. Urˇc´ıme jeˇstˇe body na obryse. Hled´ame pr˚useˇcnici nσ roviny σ poledn´ıku s pr˚umˇetnou ρ. V rovinˇe rovn´ıku najdeme pr˚umˇer RQ, kter´y je kolm´y k rovinˇe σ
poledn´ıku. Z vˇety o pravo´uhl´em pr˚umˇetu prav´eho u´ hlu je pak zˇrejm´e, zˇ e pr˚useˇcnice nσ rovin ρ a σ se zobraz´ı jako kolmice k pˇr´ımce Rs Qs . Pˇr´ımku RQ urˇc´ıme v otoˇcen´ı. Zn´ame
polomˇer AB rovn´ıku, kter´y leˇz´ı souˇcasnˇe v rovinˇe σ poledn´ıku a k nˇemu sestroj´ıme kolm´y
pr˚umˇer RQ rovn´ıku. V otoˇcen´ı tedy R3 Q3 sestroj´ıme kolmici na A3 B3 jdouc´ı O3 . Body
27
R3 , Q3 prom´ıtneme na 0 rs a z´ısk´ame pr˚umˇety Rs , Qs . Stˇred kulov´e plochy leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe,
rovina poledn´ıku proch´az´ı bodem O, proto Os ∈ nσ . Pr˚useˇc´ıky nσ a obrysov´e kruˇznice k s
jsou body, v nichˇz se mˇen´ı viditelnost zobrazovan´ych poledn´ık˚u a jsou to hlavn´ı vrcholy
pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u.
1.2
V´alcov´e kartografick´e projekce
Ve v´alcov´ych projekc´ıch je nejprve z dan´eho stˇredu prom´ıt´an´ı prom´ıtnuta kulov´a plocha na
rotaˇcn´ı v´alcovou plochu Ω opsanou kulov´e ploˇse. Mapu z´ısk´ame rozvinut´ım v´alcov´e plochy
Ω do roviny ρ.
1.2.1
Norm´aln´ı v´alcov´a projekce
Kulov´e ploˇse op´ısˇeme pod´el rovn´ıku rotaˇcn´ı v´alcovou plochu Ω. Stˇred S prom´ıt´an´ı ztotoˇzn´ıme se stˇredem O kulov´e plochy. Rotaˇcn´ı plocha v´alcov´a m´a polomˇer r stejnˇe jako plocha
kulov´a, d´elka rovn´ıku, pod´el kter´eho je opsan´a, je 2πr. Ze stˇredu S prom´ıtneme kulovou
plochu na rotaˇcn´ı v´alcovou plochu. Rotaˇcn´ı v´alcovou plochu rozvineme do roviny. Kulov´a
plocha se tak zobraz´ı do rovinn´eho p´asu, jehoˇz sˇ´ıˇrka je 2πr , kde r je polomˇer kulov´e plochy.
Rovnobˇezˇ ky se zobraz´ı jako rovnobˇezˇ n´e shodn´e u´ seˇcky, poledn´ıky se zobraz´ı jako navz´ajem
rovnobˇezˇ n´e pˇr´ımky kolm´e k pr˚umˇet˚um rovnobˇezˇ ek.
Obr. 1.2.1
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
Kulov´a plocha je zad´ana tak, aby zemsk´a osa leˇzela v pr˚umˇetnˇe. V pr˚umˇetnˇe tak leˇz´ı i dva
poledn´ıky (jsou zad´any v dan´em mˇeˇr´ıtku) a povrchov´e pˇr´ımky p, q opsan´e rotaˇcn´ı v´alcov´e
plochy Ω. Pravo´uhl´e pr˚umˇety do pr˚umˇetny oznaˇc´ıme doln´ımi indexy 2. Rovnobˇezˇ ky se do
pr˚umˇetny zobraz´ı jako rovnobˇezˇ n´e u´ seˇcky.
Zvolme rovnobˇezˇ ku zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ. Rovnobˇezˇ ku prom´ıtneme ze stˇredu S na rotaˇcn´ı
v´alcovou plochu Ω. Bod A rovnobˇezˇ ky, kter´y leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe, se prom´ıtne do bodu As ,
kter´y leˇz´ı na povrchov´e pˇr´ımce p plochy Ω. Vˇsechny rovnobˇezˇ ky se prom´ıtnou do kruˇznic
28
rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy Ω, tj. jejich pr˚umˇety budou m´ıt stejnou d´elku. Rotaˇcn´ı v´alcovou plochu Ω rozvineme napˇr. od pˇr´ımky p do pr˚umˇetny. Rovn´ık se po rozvinut´ı zobraz´ı jako u´ seˇcka
s poˇca´ teˇcn´ım bodem Rs , leˇz´ıc´ı na pˇr´ımce kolm´e k pˇr´ımce p, jej´ızˇ d´elka je 2πr. Pr˚umˇet rovnobˇezˇ ky ψ r proch´az´ı bodem As a je rovnobˇezˇ n´y s pr˚umˇetem rovn´ıku.
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Poledn´ıky pravo´uhle prom´ıtneme do roviny σ rovn´ıku a tu sklop´ıme. Sklopen´e pr˚umˇety
u´ tvar˚u oznaˇc´ıme doln´ım indexem 3. Sklopen´e poledn´ıky jsou jako polomˇery kruˇznice 0 r3 .
Libovoln´y poledn´ık vybereme za nult´y a urˇc´ıme jeho bod X leˇz´ıc´ı v rovinˇe σ. Oblouk R3 X3
sklopen´eho rovn´ıku se rozvine na pr˚umˇet rovn´ıku do u´ seˇcky Rs X s , kter´a m´a stejnou d´elku
jako R3 X3 . Poledn´ıky se zobraz´ı jako pˇr´ımky kolm´e k pr˚umˇetu rovn´ıku, proto je 0 ms pˇr´ımka
kolm´a k 0 rs a proch´azej´ıc´ı X s .
Obr. 1.2.2
Pozn´amka 1.2.1 Rotaˇcn´ı v´alcovou plochu opisujeme pod´el rovn´ıku. Kdybychom ji opsali
pod´el libovoln´e hlavn´ı kruˇznice, pak by pr˚umˇetem rovnobˇezˇ ky byla obecnˇe kˇrivka cˇ tvrt´eho
stupnˇe, vznikl´a jako pr˚unik opsan´e rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy a rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy, kterou
se rovnobˇezˇ ka prom´ıt´a.
1.2.2
Neprav´a Lambertova v´alcov´a projekce
Neprav´a Lambertova projekce je zobrazen´ı kulov´e plochy, kter´e nen´ı prom´ıt´an´ım kulov´e
plochy na rotaˇcn´ı v´alcovou plochu. Bod˚um kulov´e plochy jsou pˇredepsan´ym zobrazen´ım
pˇriˇrazeny body rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy Ω opsan´e kulov´e ploˇse pod´el rovn´ıku. Rovnobˇezˇ ce
zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ leˇz´ıc´ı v rovinˇe α pˇriˇrad´ıme kruˇznici rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy Ω leˇz´ıc´ı ve
stejn´e rovinˇe. D´elka obraz˚u vˇsech rovnobˇezˇ ek je opˇet 2πr. Poledn´ıky se sestroj´ı jako mnoˇzina
pr˚useˇc´ık˚u rovin, kter´e poledn´ıky obsahuj´ı, s rovnobˇezˇ kami a zobraz´ı se tedy na cˇ a´ sti povrchov´ych pˇr´ımek plochy Ω jako u´ seˇcky d´elek 2r. Cel´a kulov´a plocha se prom´ıtne na cˇ a´ st
29
rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy j´ı opsan´e, kter´a je ohraniˇcen´a teˇcn´ymi rovinami kulov´e plochy sestrojen´ymi v p´olech. Tato cˇ a´ st rotaˇcn´ı v´alcov´e plochy se rozvine do pr˚umˇetny do obd´eln´ıku,
jehoˇz strany maj´ı d´elky 2r a 2πr.
Obr. 1.2.3
Obsah tohoto obd´eln´ıku je 4πr2 , coˇz je rovnˇezˇ povrch dan´e kulov´e plochy. Tato mapa je
ekvivalentn´ı (plochojevn´a).
(a) Konstrukce obraz˚u rovnobˇezˇ ek
Konstrukce obraz˚u rovnobˇezˇ ek i poledn´ık˚u je podobn´a jako v pˇr´ıpadˇe norm´aln´ı v´alcov´e
projekce. Zvol´ıme zemskou osu v pr˚umˇetnˇe a v dan´em mˇeˇr´ıtku dvojici poledn´ık˚u leˇz´ıc´ıch
v pr˚umˇetnˇe. Opsan´a rotaˇcn´ı v´alcov´a plocha Ω obsahuje povrchov´e pˇr´ımky p, q leˇz´ıc´ı v pr˚umˇetnˇe, do kter´e rozvineme plochu Ω napˇr. od pˇr´ımky p. Obraz rovn´ıku sestroj´ıme tak, zˇ e jej rozvineme do u´ seˇcky d´elky 2πr kolm´e k p. Obraz rovnobˇezˇ ky zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky ψ leˇz´ı ve stejn´e
rovinˇe jako rovnobˇezˇ ka ψ r, konstrukce ψ rs je zˇrejm´a.
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Postupujeme stejnˇe jako v norm´aln´ı v´alcov´e projekci, pr˚umˇetem poledn´ıku je tentokr´at
pouze u´ seˇcka, nikoli cel´a pˇr´ımka.
Obr. 1.2.4
30
1.3
Kuˇzelov´a kartografick´a projekce
V kuˇzelov´ych projekc´ıch je kulov´a plocha nejprve prom´ıtnuta z dan´eho stˇredu prom´ıt´an´ı
na rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu Ω opsanou kulov´e ploˇse. Mapu z´ısk´ame rozvinut´ım kuˇzelov´e
plochy Ω do roviny ρ.
1.3.1
Braunova kuˇzelov´a projekce
Pod´el rovnobˇezˇ ky zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky tˇricet (severn´ı nebo jiˇzn´ı) op´ısˇeme rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu Ω a stˇred prom´ıt´an´ı ztotoˇzn´ıme s p´olem opaˇcn´e zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky neˇz je zvolen´a tˇric´at´a
rovnobˇezˇ ka. Ze stˇredu prom´ıt´an´ı prom´ıtneme kulovou plochu na rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu
Ω a tu potom rozvineme. Rovnobˇezˇ ky se tak zobraz´ı do oblouk˚u soustˇredn´ych kruˇznic a poledn´ıky do polopˇr´ımek.
Obr. 1.3.1
(a) Konstrukce pr˚umˇet˚u rovnobˇezˇ ek
V pr˚umˇetnˇe je d´ana zemsk´a osa a v dan´em mˇeˇr´ıtku dvojice poledn´ık˚u leˇz´ıc´ıch v pr˚umˇetnˇe.
Kulov´a plocha je pravo´uhle prom´ıtnuta do pr˚umˇetny, pravo´uhl´e pr˚umˇety do pr˚umˇetny oznaˇc´ı◦
me doln´ımi indexy 2. Pod´el rovnobˇezˇ ky 30 r severn´ı sˇ´ıˇrky op´ısˇeme rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu
Ω, jej´ızˇ vrchol V leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe. Stˇred prom´ıt´an´ı splyne s jiˇzn´ım p´olem. Do pr˚umˇetny nejprve rozvineme kuˇzelovou plochu Ω (napˇr. od povrchov´e pˇr´ımky p leˇz´ıc´ı v pr˚umˇetnˇe). Sestroj´ıme rozvinut´ı dotykov´e tˇric´at´e rovnobˇezˇ ky, rovinu rovnobˇezˇ ky sklop´ıme, rovnobˇezˇ ku
rozdˇel´ıme na dostateˇcn´y poˇcet d´ılk˚u a ty pˇreneseme na oblouk kruˇznice se stˇredem V s a pro◦
ch´azej´ıc´ı bodem, ve kter´em se pˇr´ımka p a rovnobˇezˇ ka 30 r dot´ykaj´ı. Rovnobˇezˇ ku libovoln´e
zemˇepisn´e sˇ´ıˇrky nejprve prom´ıtneme ze stˇredu S na rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu a potom se◦
stroj´ıme (obdobn´ym zp˚usobem jako u 30 r) rozvinut´y kruhov´y oblouk.
(b) Konstrukce pr˚umˇet˚u poledn´ık˚u
Pr˚umˇety poledn´ık˚u sestrojujeme podobnˇe jako ve v´alcov´ych projekc´ıch. Poledn´ıky pra◦
vo´uhle prom´ıtneme do roviny rovnobˇezˇ ky 30 r severn´ı sˇ´ıˇrky (na rozd´ıl od v´alcov´ych projekc´ı,
31
kde prom´ıt´ame do roviny rovn´ıku) a pˇren´asˇen´e oblouky mˇeˇr´ıme na n´ı ve sklopen´ı. Sklopen´e
u´ tvary znaˇc´ıme doln´ım indexem 3.
Obr. 1.3.2
32
Kapitola 2
Cyklografie
Dosud studovan´e zobrazovac´ı metody zobrazovaly prostorov´e u´ tvary do roviny uˇzit´ım pravou´ hl´eho, koso´uhl´eho nebo stˇredov´eho prom´ıt´an´ı. Bod˚um v prostoru byla vˇzdy jednoznaˇcnˇe
pˇriˇrazena nˇejak´a dvojice (dva body, bod a cˇ´ıslo) v pr˚umˇetnˇe a naopak, z dan´e dvojice bylo
moˇzn´e jednoznaˇcnˇe urˇcit pˇr´ısluˇsn´y bod v prostoru. Napˇr´ıklad v k´otovan´em prom´ıt´an´ı je bodu
v prostoru pˇriˇrazen jeho pravo´uhl´y pr˚umˇet do roviny a jeho k´ota, v Mongeovˇe projekci je obrazem bodu v prostoru dvojice jeho pravo´uhl´ych pr˚umˇet˚u do p˚udorysny a do n´arysny apod.
Tyto metody se naz´yvaj´ı line´arn´ı zobrazovac´ı metody. V t´eto kapitole uk´azˇ eme z´aklady neline´arn´ı zobrazovac´ı metody, kter´a byla poprv´e pops´ana jiˇz v 19. stolet´ı.
2.1
˚ et bodu, pˇr´ımky a roviny
Cyklick´y prumˇ
Uvaˇzujme eukleidovsk´y prostor E3 . V E3 necht’ je d´ana rovina π, do n´ı budeme zobrazovat
body v prostoru. Kaˇzd´emu bodu v prostoru pˇriˇrad´ıme jeho pravo´uhl´y pr˚umˇet A1 do roviny π
a kruˇznici k se stˇredem A1 a polomˇerem |AA1 |. Naopak, je-li d´ana kruˇznice k v pr˚umˇetnˇe,
jej´ımu stˇredu odpov´ıdaj´ı dva body v opaˇcn´ych poloprostorech urˇcen´ych pr˚umˇetnou, jejichˇz
vzd´alenost od pr˚umˇetny je rovna polomˇeru kruˇznice. Tuto nejednoznaˇcnost odstran´ıme t´ım,
zˇ e kruˇznici orientujeme.
Obr. 2.1.1
M´ame-li v prostoru d´anu pravotoˇcivou kart´ezskou soustavu souˇradnic, pak zvol´ıme za pr˚umˇetnu π rovinu xy a pro body s kladnou z-ovou souˇradnic´ı orientujeme kruˇznici proti smˇeru
hodinov´ych ruˇciˇcek (smysl ot´acˇ en´ı je kladn´y) a pro z´apornou z-ovou souˇradnici kruˇznici
33
orientujeme po smˇeru hodinov´ych ruˇciˇcek (smysl ot´acˇ en´ı je z´aporn´y). Orientovanou kruˇznici
se stˇredem A1 a polomˇerem |AA1 | pak znaˇc´ıme (A). Povaˇzujeme-li body P roviny π za
kruˇznice s nulov´ym polomˇerem, tj. (P ) = P1 , pak lze jednoznaˇcnˇe ke kaˇzd´e orientovan´e
kruˇznici v rovinˇe π pˇriˇradit bod v prostoru E3 . M´ame tak d´ano jednoznaˇcn´e zobrazen´ı bod˚u
prostoru E3 na mnoˇzinu orientovan´ych kruˇznic leˇz´ıc´ıch v rovinˇe π. Orientovan´a kruˇznice se
naz´yv´a cykl. Kaˇzd´a kruˇznice roviny π je nositelkou dvou cykl˚u. Dvojici A1 , (A) nazveme cyklick´y pr˚umˇet bodu A a zobrazen´ı, kter´e bod˚um prostoru E3 pˇriˇrazuje jejich cyklick´e pr˚umˇety
se naz´yv´a cyklick´e prom´ıt´an´ı. Studiem cyklick´eho prom´ıt´an´ı se zab´yv´a cyklografie. Nyn´ı
uvaˇzujme vlastn´ı bod A v rozˇs´ıˇren´em Eukleidovsk´em prostoru E¯3 a rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu Φ(A) s vrcholem A, jej´ızˇ povrchov´e pˇr´ımky maj´ı od roviny π odchylku 45◦ . Rovina π
prot´ın´a Φ(A) v nositelce cyklu (A), orientace nositelky z´avis´ı opˇet na z-ov´e souˇradnici bodu
A. Pro vˇsechny vlastn´ı body prostoru E¯3 jsou takto sestrojen´e kuˇzelov´e plochy shodn´e, maj´ı
navz´ajem rovnobˇezˇ n´e povrchov´e pˇr´ımky a vˇsechny takov´e kuˇzelov´e plochy maj´ı spoleˇcnou
kuˇzeloseˇcku c∞ leˇz´ıc´ı v nevlastn´ı rovinˇe ω ∞ prostoru E¯3 . Vˇsem vlastn´ım bod˚um prostoru E¯3
lze takto pˇriˇradit cyklick´y pr˚umˇet do roviny π a naopak, ke kaˇzd´emu cyklick´emu pr˚umˇetu (A)
lze jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit rotaˇcn´ı kuˇzelovou plochu Φ(A). Kuˇzelovou plochu Φ(A) naz´yv´ame
cyklografick´y kuˇzel bodu A a kuˇzeloseˇcku c∞ naz´yv´ame z´akladn´ı kuˇzeloseˇcka. Nad´ale budeme pracovat v rozˇs´ıˇren´em eukleidovsk´em prostoru E¯3 a jeho vlastn´ı body budeme zobrazovat v cyklick´em prom´ıt´an´ı do roviny π.
Mˇejme d´any dva r˚uzn´e body A, B tak, aby bod B leˇzel na cyklografick´em kuˇzeli Φ(A)
bodu A. Pˇr´ımka AB leˇz´ı tak´e na cyklografick´em kuˇzeli Φ(B) bodu B, a proto bod A leˇz´ı na
cyklografick´em kuˇzeli Φ(B) bodu B.
Obr. 2.1.2
Sestrojme cykly (A), (B) bod˚u A, B a cykly (C), (D) bod˚u C, D, jejichˇz nositelky se dot´ykaj´ı.
Orientace cykl˚u (A), (B) je souhlasn´a, coˇz znamen´a, zˇ e se v bodˇe dotyku nemˇen´ı smˇer pohybu (viz obr. 2.1.3 [a]). Orientace cykl˚u (C), (D) je nesouhlasn´a, v bodˇe dotyku nositelek
se mˇen´ı smˇer pohybu (viz obr. 2.1.3 [b]). V prostoru to znamen´a, zˇ e bod A leˇz´ı na cyklografick´em kuˇzeli bodu B a naopak, bod B leˇz´ı na cyklografick´em kuˇzeli bodu A. Bod C neleˇz´ı
na cyklografick´em kuˇzeli bodu D a ani bod D neleˇz´ı na cyklografick´em kuˇzeli bodu C.1
1
Vymodelujte si situaci v prostoru.
34
ˇ ık´ame, zˇ e cykly (A), (B) se dot´ykaj´ı.2 Dotyk cykl˚u tak lze interpretovat vz´ajemnou poloR´
hou u´ tvar˚u v prostoru a toho vyuˇz´ıv´ame pˇri ˇreˇsen´ı nˇekter´ych u´ loh v rovinˇe, kter´e pˇrev´ad´ıme
na ˇreˇsen´ı prostorov´ych u´ loh. S vyuˇzit´ım cyklick´eho prom´ıt´an´ı tak ˇreˇs´ıme pˇrev´azˇ nˇe Pappovy
a Apolloniovy u´ lohy.
Obr. 2.1.3
Cyklick´y pr˚umˇet pˇr´ımky je d´an cyklick´ymi pr˚umˇety jej´ıch bod˚u. Cyklick´y pr˚umˇet pˇr´ımky
naz´yv´ame line´arn´ı rˇada cykl˚u. Pravo´uhl´e pr˚umˇety bod˚u pˇr´ımky a vypln´ı pˇr´ımku a1 , coˇz je
pravo´uhl´y pr˚umˇet pˇr´ımky a do roviny π, pˇr´ımka a1 je mnoˇzina stˇred˚u cykl˚u vˇsech bod˚u
pˇr´ımky a. Na pˇr´ımce r˚uznobˇezˇ n´e s rovinou π existuje bod P leˇz´ıc´ı v π, kter´y, stejnˇe jako
v jin´ych zobrazovac´ıch metod´ach, naz´yv´ame stopn´ık. Stopn´ık je stˇredem stejnolehlosti vˇsech
cykl˚u line´arn´ı ˇrady cykl˚u a. Naz´yv´ame ho tak´e nulov´y cykl ˇrady. Zn´ame-li dva r˚uzn´e cykly
(A), (B) line´arn´ı ˇrady cykl˚u, m˚uzˇ eme sklopit pravo´uhle prom´ıtac´ı rovinu pˇr´ımky a do π
a sestrojit libovoln´y dalˇs´ı cykl ˇrady a. Odchylka pˇr´ımky od roviny π se urˇc´ı stejnˇe jako
v k´otovan´em prom´ıt´an´ı, tj. urˇc´ıme odchylku pravo´uhl´eho pr˚umˇetu a1 od sklopen´e pˇr´ımky
(a).
Obr. 2.1.4
Zˇrejmˇe, je-li odchylka 0 < α < 45◦ , leˇz´ı nulov´y cykl (P ) vnˇe kaˇzd´eho cyklu ˇrady. Je-li
45◦ < α < 90◦ , leˇz´ı (P ) uvnitˇr kaˇzd´eho cyklu ˇrady. Vˇsechny cykly ˇrady, jej´ızˇ odchylka od π
2
Cykly (C) a (D) se nedot´ykaj´ı.
35
je 45◦ , se dot´ykaj´ı v bodˇe (P ). Cykly pˇr´ımky kolm´e k π jsou soustˇredn´e kruˇznice3 se stˇredem
(P ) a cykly pˇr´ımky rovnobˇezˇ n´e s π jsou shodn´e.4
Cyklick´y pr˚umˇet roviny naz´yv´ame cyklick´e pole. Rovinu opˇet zobrazujeme jako mnoˇzinu
jej´ıch cykl˚u. Stopa roviny ρ, tj. pr˚useˇcnice roviny ρ s rovinou π, se naz´yv´a osa cyklick´eho
pole nebo tak´e paprsek. Hlavn´ı pˇr´ımky roviny jsou rovnobˇezˇ n´e se stopou, sp´adov´e pˇr´ımky
jsou kolm´e ke stopˇe pρ roviny ρ. Odchylka roviny od pr˚umˇetny je rovna odchylce jej´ı sp´adov´e
pˇr´ımky od pr˚umˇetny. Ze zobrazen´ı pˇr´ımky vypl´yv´a, zˇ e pohybuje-li se odchylka roviny od
pr˚umˇetny mezi 0◦ a 45◦ , leˇz´ı stopn´ık sp´adov´e pˇr´ımky vnˇe vˇsech jej´ıch cykl˚u, tedy zˇ a´ dn´y cykl
roviny neprot´ın´a osu. Je-li odchylka mezi 45◦ a 90◦ , pak cykly prot´ınaj´ı stopu pod stejn´ym
u´ hlem.5 M´a-li pˇr´ımka odchylku 45◦ stupˇnu˚ , dot´ykaj´ı se vˇsechny cykly osy. Je-li pˇr´ımka kolm´a
k pr˚umˇetnˇe, leˇz´ı na ose stˇredy vˇsech cykl˚u cyklick´eho pole. Rovina rovnobˇezˇ n´a s pr˚umˇetnou
nem´a osu, vˇsechny jej´ı cykly jsou shodn´e.
Obr. 2.1.5
Stopa pρ roviny ρ, kter´a nen´ı kolm´a k π ani s n´ı rovnobˇezˇ n´a, rozdˇeluje pr˚umˇetnu π na dvˇe
poloroviny. V jedn´e polorovinˇe leˇz´ı stˇredy cykl˚u roviny kladnˇe orientovan´ych a ve druh´e
polorovinˇe leˇz´ı stˇredy cykl˚u roviny z´apornˇe orientovan´ych. Osu cyklick´eho pole (paprsek)
m˚uzˇ eme tak´e orientovat. Smˇer paprsku urˇc´ıme tak, aby orientace cykl˚u dan´eho cyklick´eho
pole a paprsku byla souhlasn´a, tj. nemˇenil se smˇer pohybu pˇri pˇrechodu z cyklu na paprsek,
viz obr. 2.1.6.
3
Kaˇzd´a kruˇznice je nositelkou dvou cykl˚u pˇr´ımky kolm´e k pr˚umˇetnˇe.
Ovˇeˇrte.
5´
Uhel, pod kter´ym prot´ın´a pˇr´ımka kruˇznici, se definuje jako u´ hel, kter´y pˇr´ımka sv´ır´a s teˇcnou v pr˚useˇc´ıku
s kruˇznic´ı.
4
36
Obr. 2.1.6
´
Ulohu
v rovinˇe – sestrojte spoleˇcnou teˇcnu dvou dan´ych kruˇznic – m˚uzˇ eme nyn´ı pˇrev´est
na ˇreˇsen´ı prostorov´e u´ lohy. Dan´e kruˇznice orientujeme a hled´ame rovinu, kter´a obsahuje
dan´e cykly a jej´ızˇ odchylka od pr˚umˇetny je 45◦ . Uvaˇzujeme-li obˇe orientace kaˇzd´e kruˇznice,
dostaneme odpov´ıdaj´ıc´ı poˇcet ˇreˇsen´ı.
Pokud v rovinˇe hled´ame kruˇznice prot´ınaj´ıc´ı danou pˇr´ımku pod dan´ym u´ hlem α, pˇrevedeme tuto u´ lohu opˇet na prostorovou u´ lohu. V tomto pˇr´ıpadˇe sestrojujeme pr˚umˇet roviny, jej´ızˇ
odchylka od pr˚umˇetny je ω, pˇriˇcemˇz pro u´ hly α a ω plat´ı cotg ω = cos α (viz obr. 2.1.7).6
Obr. 2.1.7
Pˇr´ıklad 2.1.1 Urˇcete spoleˇcn´y cykl line´arn´ı ˇrady cykl˚u a cyklick´eho pole.
Hled´ame pr˚useˇc´ık pˇr´ımky s rovinou. Prostorov´e ˇreˇsen´ı je zn´am´e, danou pˇr´ımkou p prolozˇ´ıme vhodnou rovinu σ a urˇc´ıme pr˚useˇcnici q roviny σ s danou rovinou ρ. Pr˚useˇc´ık R pˇr´ımky
q s pˇr´ımkou p je hledan´y bod. Rovinu m´ame d´anu tˇremi body M, N, Q a pˇr´ımku stopn´ıkem
´
ˇreˇs´ıme jako v k´otovan´em prom´ıt´an´ı, k´oty bod˚u jsou polomˇery cykl˚u,
P a bodem A. Ulohu
orientace ud´av´a, zda je bod nad cˇ i pod pr˚umˇetnou.
M´ame d´an paprsek pρ1 a u´ hel α. Libovoln´ym bodem Q pˇr´ımky pρ1 vedeme pˇr´ımku q, kter´a sv´ır´a s pˇr´ımkou
u´ hel α. Sestroj´ıme libovolnou kruˇznici k, kter´a se dot´yk´a pˇr´ımky q v bodˇe Q. Stˇredem kruˇznice k proch´az´ı
sp´adov´a pˇr´ımka sρ roviny ρ, jej´ı odchylka od pr˚umˇetny je ω. Uvaˇzujeme-li r˚uzn´e orientace pˇr´ımky pρ1 a kruˇznice
k, dostaneme vˇsechna ˇreˇsen´ı.
6
pρ1
37
Obr. 2.1.8
Sestroj´ıme stopu roviny ρ, kter´a je urˇcena napˇr´ıklad stopn´ıky pˇr´ımek M N a M Q. Pˇr´ımkou p
vhodnˇe proloˇz´ıme rovinu σ. V rovinˇe ρ i σ urˇc´ıme hlavn´ı pˇr´ımky o stejn´ych k´ot´ach.7 Pr˚umˇet
pr˚useˇcnice q rovin ρ a σ je d´an pr˚useˇc´ıkem jejich stop a pr˚useˇc´ıkem pr˚umˇet˚u hlavn´ıch pˇr´ımek.
Spoleˇcn´y bod R pˇr´ımek q, p je hledan´y spoleˇcn´y bod pˇr´ımky a roviny. Jeho vzd´alenost od
pr˚umˇetny urˇc´ı polomˇer cyklu, orientace cyklu je d´ana polohou bodu R vzhledem k pr˚umˇetnˇe.
Pˇr´ıklad 2.1.2 Urˇcete cykl, kter´y se dot´yk´a paprsku pρ , paprsek pσ prot´ın´a pod u´ hlem α
a paprsek pγ pod u´ hlem β.
´
M´ame urˇcit spoleˇcn´y bod R tˇr´ı rovin ρ, σ a γ. Uloha
se opˇet ˇreˇs´ı jako v k´otovan´em
prom´ıt´an´ı. Je vˇsak tˇreba urˇcit hlavn´ı pˇr´ımky vˇsech tˇr´ı rovin o stejn´e k´otˇe z. Pot´e snadno
sestroj´ıme alespoˇn dvˇe pr˚useˇcnice dvou dvojic rovin. Hledan´y bod R je pr˚useˇc´ık tˇechto
pr˚useˇcnic. Sklop´ıme sp´adov´e pˇr´ımky jednotliv´ych rovin. Rovina ρ, jej´ızˇ stopa je pρ , m´a od
pr˚umˇetny odchylku 45◦ , odchylky rovin σ a γ urˇc´ıme pomoc´ı konstrukce v obr. 2.1.7. Body
nad pr˚umˇetnou jsou urˇceny orientac´ı paprsk˚u, takˇze lze jednoznaˇcnˇe urˇcit na sp´adov´ych
pˇr´ımk´ach jednotliv´ych rovin body, jejichˇz k´ota je rovna z a sestrojit poˇzadovan´e hlavn´ı
pˇr´ımky. (Stopy rovin a hlavn´ı pˇr´ımky tvoˇr´ı stejnolehl´e troj´uheln´ıky, stˇred stejnolehlosti je
hledan´y spoleˇcn´y bod.)
Napˇr´ıklad zvol´ıme hlavn´ı pˇr´ımku roviny ρ proch´azej´ıc´ı bodem M a v rovinˇe σ najdeme hlavn´ı pˇr´ımku
o stejn´e k´otˇe. Tato pˇr´ımka proch´az´ı bodem T pˇr´ımky p, kter´y m´a stejnou k´otu jako bod M . K nalezen´ı pr˚umˇetu
bodu T vyuˇzijeme sklopen´ı pˇr´ımky p.
7
38
Obr. 2.1.9
2.2
Mnoˇziny stˇredu˚ kruˇznic
V pˇredchoz´ı kapitole jsme uk´azali, zˇ e se dva cykly dot´ykaj´ı, leˇz´ı-li bod, kter´y se zobraz´ı do
jednoho cyklu, na cyklografick´em kuˇzeli druh´eho cyklu. Tedy, zˇ e mnoˇzina stˇred˚u cykl˚u, kter´e
se dot´ykaj´ı dan´eho cyklu (A), vypln´ı v prostoru cyklografick´y kuˇzel bodu A. V t´eto kapitole
budeme hledat mnoˇzinu stˇred˚u cykl˚u dot´ykaj´ıc´ıch se dvou dan´ych r˚uzn´ych cykl˚u (pˇr´ıpadnˇe
dan´eho cyklu a paprsku).
Cyklografick´y kuˇzel a rovina, kter´a neproch´az´ı vrcholem tohoto kuˇzele, maj´ı spoleˇcnou
regul´arn´ı kuˇzeloseˇcku, naz´yv´ame ji cyklografick´a kruˇznice. Dva r˚uzn´e cyklografick´e kuˇzele
se vˇzdy prot´ınaj´ı. Obecnˇe je jejich pr˚unikov´a kˇrivka cˇ tvrt´eho stupnˇe. Kuˇzele vˇsak maj´ı rovnobˇezˇ n´e povrchov´e pˇr´ımky a dot´ykaj´ı se pod´el nevlastn´ı kuˇzeloseˇcky c∞ , pr˚unik se rozpad´a na dvˇe kuˇzeloseˇcky, jednu vlastn´ı (cyklografick´a kruˇznice) a druhou nevlastn´ı (z´akladn´ı kuˇzeloseˇcka). Cyklografickou kruˇznic´ı tak proch´azej´ı dva cyklografick´e kuˇzele. Obecnˇe
plat´ı, zˇ e dvˇe r˚uzn´e kuˇzeloseˇcky v prostoru, kter´e maj´ı dva r˚uzn´e body spoleˇcn´e, leˇz´ı na
dvou kuˇzelov´ych ploch´ach a spojnice vrchol˚u tˇechto kuˇzelov´ych ploch je pol´arnˇe sdruˇzen´a
s pr˚useˇc-nic´ı rovin dan´ych kuˇzeloseˇcek.
Stˇredy cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı dvou dan´ych r˚uzn´ych cykl˚u (A), (B), leˇz´ı souˇcasnˇe na
cyklografick´ych kuˇzelech Φ(A), Φ(B), tj. patˇr´ı pr˚unikov´e kˇrivce obou kuˇzel˚u. Cykly jsou
39
pr˚umˇety vlastn´ıch bod˚u prostoru E¯3 , takˇze stˇredy hledan´ych cykl˚u vypln´ı cyklografickou
kruˇznici k. Oznaˇcme ρ rovinu cyklografick´e kruˇznice k. Tedy k je kuˇzeloseˇcka, kter´a je ˇrezem
kuˇzel˚u Φ(A), Φ(B) rovinou ρ.
Obr. 2.2.1
Rovina ρ je kolm´a k pravo´uhle prom´ıtac´ı rovinˇe λ pˇr´ımky AB. Pravo´uhl´e pr˚umˇety do roviny
λ oznaˇc´ıme indexem 2, rovinu λ sklop´ıme. V rovinˇe λ leˇz´ı dvˇe povrchov´e pˇr´ımky kaˇzd´eho
kuˇzele. Urˇc´ıme spoleˇcn´e body tˇechto povrchov´ych pˇr´ımek, tj. body kuˇzeloseˇcky k leˇz´ıc´ı
v rovinˇe λ, kter´e oznaˇc´ıme M, N . Pˇr´ımka M2 N2 je pravo´uhl´ym pr˚umˇetem ρ2 roviny ρ do
roviny λ. Podle roviny λ jsou soumˇern´e oba cyklografick´e kuˇzele, proto je podle roviny λ
soumˇern´a i kuˇzeloseˇcka k a v rovinˇe λ leˇz´ı vrcholy kuˇzeloseˇcky k. Body M, N jsou vrcholy
kuˇzeloseˇcky k a kuˇzeloseˇcka nen´ı parabola, protoˇze povrchov´e pˇr´ımky kuˇzel˚u leˇz´ıc´ı v rovinˇe
λ vˇzdy vytvoˇr´ı obd´eln´ık. Jej´ım pr˚umˇetem k2 do roviny λ je cˇ a´ st pˇr´ımky ρ2 , stˇred O2 u´ seˇcky
M2 N2 je pr˚umˇetem stˇredu O kuˇzeloseˇcky k. Rovina λ obsahuje pr˚useˇc´ıky V ∞ , W ∞ roviny
ρ se z´akladn´ı kuˇzeloseˇckou c∞ . Pˇr´ımku V ∞ W ∞ obsahuj´ı i vrcholov´e roviny α, β kuˇzel˚u
Φ(A), Φ(B), kter´e jsou rovnobˇezˇ n´e s rovinou ρ. Roviny α, β jsou pol´arn´ı roviny stopn´ıku
P pˇr´ımky AB vzhledem k Φ(A), Φ(B).8 Stopy pα1 , pβ1 jsou pol´ary stopn´ıku P pˇr´ımky AB
vzhledem k (A), (B). Teˇcny z bodu P1 k cykl˚um (A), (B) jsou stopy spoleˇcn´ych teˇcn´ych rovin kuˇzel˚u Φ(A), Φ(B). Rovina ρ proch´az´ı spoleˇcn´ymi body V ∞ , W ∞ kuˇzel˚u Φ(A), Φ(B),
takˇze stopa pρ1 roviny ρ je chord´ala kruˇznic (A), (B). Typ kuˇzeloseˇcky k urˇc´ıme podle polohy nˇekter´e z vrcholov´ych rovin α, β vzhledem ke kuˇzel˚um. Prot´ın´a-li napˇr. pα1 kruˇznici
8
Cyklografick´e kuˇzele jsou singul´arn´ı kvadriky a pol´arn´ı roviny singul´arn´ı kvadriky vˇzdy obsahuj´ı vrchol
kvadriky.
40
(A) je k hyperbola a rovina α prot´ın´a Φ(A) v rovnobˇezˇ k´ach s asymptotami. Neprot´ın´a-li pα1
kruˇznici (A), je kuˇzeloseˇcka k elipsa. Z Qu´eteletovy-Dandelinovy vˇety v´ıme, zˇ e pravo´uhl´y
pr˚umˇet vrcholu rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy do roviny kolm´e k ose je ohniskem pr˚umˇetu ˇrezu
tohoto kuˇzele. Pr˚umˇet kuˇzeloseˇcky k tak m´ame urˇcen stˇredem, vrcholy, ohnisky a pˇr´ıpadnˇe
asymptotami a kuˇzeloseˇcku jiˇz m˚uzˇ eme sestrojit. Odvodili jsme vˇetu:
Vˇeta 2.2.1 Mnoˇzina stˇred˚u cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı dvou cykl˚u, je elipsa nebo hyperbola,
kter´a m´a stˇredy dan´ych cykl˚u za ohniska.
M˚uzˇ eme tak´e urˇcit mnoˇzinu stˇred˚u cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı dan´eho cyklu a paprsku.
Stˇredy cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı dan´eho paprsku, vypln´ı rovinu, jej´ızˇ odchylka od pr˚umˇetny
je 45◦ . Hled´ame ˇrez cyklografick´eho kuˇzele Φ(A) rovinou ρ rovnobˇezˇ nou s nˇekterou jeho
povrchovou pˇr´ımkou. Postup konstrukce je podobn´y jako pˇri odvozov´an´ı vˇety 2.2.1.
Obr. 2.2.2
Vrcholem cyklografick´eho kuˇzele vedeme rovinu λ kolmou k pr˚umˇetnˇe i k rovinˇe ρ, rovinu
λ sklop´ıme a najdeme vrchol kuˇzeloseˇcky k. Rovina λ protne rovinu ρ ve sp´adov´e pˇr´ımce.
Protoˇze je odchylka roviny ρ od pr˚umˇetny stejn´a jako odchylka povrchov´ych pˇr´ımek cyklografick´eho kuˇzele Φ(A), je kuˇzeloseˇcka k parabola. V rovinˇe λ leˇz´ı jej´ı vrchol. Pravo´uhl´y
pr˚umˇet vrcholu rotaˇcn´ı kuˇzelov´e plochy do roviny kolm´e k ose je ohniskem pr˚umˇetu ˇrezu tohoto kuˇzele. Pr˚umˇet paraboly k m´ame urˇcen vrcholem a ohniskem. Podobnˇe jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇe odvod´ıme vˇetu:
Vˇeta 2.2.2 Mnoˇzina stˇred˚u cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı cyklu a paprsku, je parabola, kter´a m´a
stˇred cyklu za ohnisko.
Hled´ame-li mnoˇzinu stˇred˚u kruˇznic, kter´e se dot´ykaj´ı dvou dan´ych kruˇznic nebo kruˇznice
a pˇr´ımky, ˇreˇs´ıme pˇredchoz´ı u´ lohy, pˇriˇcemˇz uvaˇzujeme veˇsker´e moˇzn´e kombinace orientac´ı
41
ˇ sen´ım jsou pak konfok´aln´ı kuˇzeloseˇcky, tj. kuˇzeloseˇcky se spoleˇcn´ymi ohdan´ych u´ tvar˚u. Reˇ
nisky.
M˚uzˇ eme rovnˇezˇ hledat mnoˇzinu stˇred˚u kruˇznic, kter´e se dot´ykaj´ı dan´e kruˇznice a danou
pˇr´ımku prot´ınaj´ı pod dan´ym u´ hlem α. Potom sestrojujeme ˇrez kuˇzelov´e plochy rovinou, jej´ızˇ
odchylka od pr˚umˇetny je ω, kde ω urˇc´ıme podle obr. 2.1.7.
Obr. 2.2.3
Hledan´ymi mnoˇzinami jsou hyperboly9 a konstrukce je podobn´a jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech. V rovinˇe λ leˇz´ı sp´adov´a pˇr´ımka s roviny ρ i sp´adov´a pˇr´ımka s vrcholov´e roviny ρ ,
kter´e ve sklopen´ı m˚uzˇ eme sestrojit, protoˇze zn´ame jejich odchylky od pr˚umˇetny.
Cviˇcen´ı 2.2.1 Sestrojte mnoˇziny stˇred˚u kruˇznic dot´ykaj´ıc´ıch se dvou dan´ych kruˇznic pro
jejich r˚uzn´e vz´ajemn´e polohy.
Kruˇznice, kter´a prot´ın´a pˇr´ımku p pod u´ hlem α, je nositelkou cyklu roviny ρ se stopou p, kter´a m´a odchylku
od pr˚umˇetny vˇetˇs´ı neˇz 45◦ , tj. vrcholov´a rovina ρ rovnobˇezˇ n´a s rovinou ρ prot´ın´a cyklografick´y kuˇzel ve dvou
povrchov´ych pˇr´ımk´ach.
9
42
Obr. 2.2.4
Cviˇcen´ı 2.2.2 Sestrojte mnoˇziny stˇred˚u kruˇznic dot´ykaj´ıc´ıch se kruˇznice a pˇr´ımky pro jejich
r˚uzn´e vz´ajemn´e polohy.
Obr. 2.2.5
2.3
ˇ sen´ı Pappov´ych a Apolloniov´ych uloh
´
Reˇ
V´ysledk˚u pˇredchoz´ı kapitoly vyuˇzijeme pˇri hled´an´ı mnoˇzin stˇred˚u cykl˚u dot´ykaj´ıc´ıch se tˇr´ı
dan´ych u´ tvar˚u – cykl˚u cˇ i paprsk˚u. Hled´ame napˇr´ıklad vˇsechny cykly, kter´e se dot´ykaj´ı tˇr´ı
r˚uzn´ych cykl˚u nebo cykly, kter´e se dot´ykaj´ı dvou cykl˚u a paprsku apod. Tyto u´ lohy lze opˇet
zobecnit, a to tak, zˇ e kruˇznice povaˇzujeme za nositelky dvou r˚uzn´ych cykl˚u a pˇr´ımky za
stopy dvou r˚uzn´ych rovin a hled´ame stˇredy kruˇznic, dot´ykaj´ıc´ıch se dan´ych u´ tvar˚u. Mezi
cykly samozˇrejmˇe patˇr´ı i nulov´e cykly, tj. body leˇz´ıc´ı v pr˚umˇetnˇe. Jestliˇze uvaˇzujeme vˇsechny
moˇzn´e kombinace zad´an´ı, dost´av´ame tak soubor u´ loh, kter´e naz´yv´ame Apolloniovy u´ lohy.
V pˇr´ıpadˇe, zˇ e se v zad´an´ı vyskytuje kromˇe kruˇznice cˇ i pˇr´ımky i bod (nulov´y cykl), lze kaˇzdou
takovou u´ lohu modifikovat tak, zˇ e bod bude leˇzet na pˇr´ımce cˇ i kruˇznici a hledan´a kruˇznice se
bude dot´ykat pˇr´ımky nebo kruˇznice v dan´em bodˇe. Z´ısk´ame sˇest dalˇs´ıch u´ loh, kter´e naz´yv´ame
Pappovy u´ lohy.
43
I. Pappovy u´ lohy.
1. Sestrojte kruˇznici, kter´a se v dan´em bodˇe T dot´yk´a dan´e kruˇznice k a proch´az´ı
dalˇs´ım bodem B.
2. Sestrojte kruˇznici, kter´a se v dan´em bodˇe T dot´yk´a dan´e kruˇznice k a dot´yk´a se
dan´e pˇr´ımky p.
3. Sestrojte kruˇznici, kter´a se v dan´em bodˇe T dot´yk´a dan´e kruˇznice k a dot´yk´a se
dalˇs´ı kruˇznice l.
4. Sestrojte kruˇznici, kter´a se v dan´em bodˇe T dot´yk´a dan´e pˇr´ımky p a proch´az´ı
dalˇs´ım bodem B.
5. Sestrojte kruˇznici, kter´a se v dan´em bodˇe T dot´yk´a dan´e pˇr´ımky p a dot´yk´a se
dalˇs´ı pˇr´ımky q.
6. Sestrojte kruˇznici, kter´a se v dan´em bodˇe T dot´yk´a dan´e pˇr´ımky p a dot´yk´a se
dan´e kruˇznice k.
II. Apolloniovy u´ lohy.
1. Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ymi body A, B, C.
2. Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ymi body A, B a dot´yk´a se dan´e pˇr´ımky p.
3. Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ymi body A, B a dot´yk´a se dan´e kruˇznice k.
4. Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ym bodem B a dot´yk´a se dan´ych pˇr´ımek p, q.
5. Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ym bodem B a dot´yk´a se dan´e pˇr´ımky p
a dan´e kruˇznice k.
6. Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı dan´ym bodem B a dot´yk´a se dan´ych kruˇznic k, l.
7. Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a dan´ych pˇr´ımek p, q, r.
8. Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a dan´ych pˇr´ımek p, q a dan´e kruˇznice k.
9. Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a dan´e pˇr´ımky p a dan´ych kruˇznic k, l.
10. Sestrojte kruˇznici, kter´a se dot´yk´a dan´ych kruˇznic k, l, m.
Uk´azˇ eme ˇreˇsen´ı nˇekter´ych u´ loh.
ˇ sen´ı Pappovy u´ lohy 3.
Pˇr´ıklad 2.3.1 Reˇ
Zvol´ıme libovolnˇe orientaci kruˇznic. Orientovan´a kruˇznice k je ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou cyklografick´eho kuˇzele s vrcholem A. Kruˇznice l je ˇr´ıd´ıc´ı kruˇznic´ı cyklografick´eho kuˇzele s vrcholem
B. Hled´ame bod X, kter´y patˇr´ı obˇema cyklografick´ym kuˇzel˚um. Jelikoˇz zn´ame bod dotyku
T na kruˇznici k, zn´ame povrchovou pˇr´ımku cyklografick´eho kuˇzele Φ(A), na kter´e bod X
44
leˇz´ı. Na cyklografick´em kuˇzeli Φ(B) leˇz´ı povrchov´a pˇr´ımka BT (T leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe)10 , rovnobˇezˇ n´a s pˇr´ımkou AT . Pˇr´ımka T T je stopou roviny ρ urˇcen´e pˇr´ımkami AT a BT . V rovinˇe
ρ leˇz´ı vrcholy A, B cyklografick´ych kuˇzel˚u Φ(A), Φ(B). Rovina ρ prot´ın´a kuˇzel Φ(B) jeˇstˇe
v povrchov´e pˇr´ımce BU (U leˇz´ı v pr˚umˇetnˇe), kter´a je r˚uznobˇezˇ n´a s pˇr´ımkou AT . Pr˚useˇc´ık
X pˇr´ımek AT a BU je vrchol hledan´eho cyklografick´eho kuˇzele Φ(X). Z´ıskali jsme jedno
ˇreˇsen´ı u´ lohy, zb´yvaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı obdrˇz´ıme r˚uzn´ymi kombinacemi orientac´ı kruˇznic.
Obr. 2.3.1
ˇ sen´ı Apolloniovy u´ lohy 5.
Pˇr´ıklad 2.3.2 Reˇ
Zvol´ıme orientaci kruˇznice i pˇr´ımky. Kruˇznice k je ˇr´ıd´ıc´ı kˇrivkou cyklografick´eho kuˇzele
s vrcholem A, bod B je vrcholem cyklografick´eho kuˇzele Φ(B) a paprsek p je stopou roviny
σ, kter´a m´a odchylku od pr˚umˇetny 45◦ . Stˇredy hledan´ych cykl˚u leˇz´ı souˇcasnˇe na cyklografick´ych kuˇzel´ıch Φ(A), Φ(B) a v rovinˇe σ. Hled´ame body, kter´e leˇz´ı v rovinˇe σ a patˇr´ı
pr˚unikov´e kˇrivce kuˇzel˚u Φ(A) a Φ(B). Kuˇzeloseˇcka, kter´a je cˇ a´ st´ı pr˚uniku kuˇzel˚u Φ(A),
Φ(B), leˇz´ı v rovinˇe ρ. Stopa pρ roviny ρ je chord´ala kruˇznic (A) a (B) (jak je vidˇet v odvozen´ı vˇety 2.2.1). Stˇredy hledan´ych cykl˚u leˇz´ı na pr˚useˇcnici s rovin ρ a σ. Uvaˇzujme vrcholov´e roviny ρ a σ cyklografick´eho kuˇzele Φ(A). Roviny ρ , σ se prot´ınaj´ı v pˇr´ımce s .
Pˇr´ımka s proch´az´ı bodem A a pr˚useˇc´ıkem S p˚udorysn´ych stop pρ , pσ 11 rovin ρ , σ . Pˇr´ımka
s proch´az´ı pr˚useˇc´ıkem S p˚udorysn´ych stop pρ , pσ rovin ρ, σ a je rovnobˇezˇ n´a s pˇr´ımkou s .
Uvaˇzujme rovinu β urˇcenou pˇr´ımkou s a bodem A. V rovinˇe β leˇz´ı i pˇr´ımka s a jej´ı stopa je
pˇr´ımka SS . Rovina β protne cyklografick´y kuˇzel Φ(A) v povrchov´ych pˇr´ımk´ach x, y, kter´e
jsou r˚uznobˇezˇ n´e s pˇr´ımkou s. Pr˚useˇc´ıky X, Y pˇr´ımky s po ˇradˇe s pˇr´ımkami x, y jsou hledan´e
stˇredy cykl˚u. Zb´yvaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı obdrˇz´ıme r˚uzn´ymi kombinacemi orientac´ı kruˇznice a pˇr´ımky.
Poloha T je d´ana volbou orientace cyklu. Jak?
11
Pˇr´ımka pρ1 je spojnice bod˚u dotyku teˇcen veden´ych z B1 k (A) a pσ1 je teˇcna (A) rovnobˇezˇ n´a s pσ1 tak, aby
(A) a pσ1 byly souhlasnˇe orientovan´e.
10
45
Obr. 2.3.2
ˇ sen´ı Apolloniovy u´ lohy 6.
Pˇr´ıklad 2.3.3 Reˇ
Konstrukce je podobn´a jako v pˇr´ıkladˇe 2.3.2. Dan´e u´ tvary nejprve orientujeme. Kruˇznice
k, l jsou po ˇradˇe ˇr´ıd´ıc´ımi kˇrivkami cyklografick´ych kuˇzel˚u Φ(A), Φ(C) a bod B je vrcholem
cyklografick´eho kuˇzele Φ(B).
Obr. 2.3.3
Hled´ame stˇredy cykl˚u, dot´ykaj´ıc´ıch se tˇr´ı dan´ych cykl˚u Φ(A), Φ(B), Φ(C). Podle vˇety 2.2.1
leˇz´ı stˇredy cykl˚u, dot´ykaj´ıc´ıch se vˇzdy dvou z dan´ych tˇrech cykl˚u, v rovinˇe. M´ame tedy vˇzdy
46
pro kaˇzdou dvojici cykl˚u rovinu, v n´ızˇ leˇz´ı stˇredy cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı obou cykl˚u vybran´e
dvojice, tj. tˇri roviny. Tyto tˇri roviny oznaˇc´ıme po ˇradˇe ρ, σ, µ, kde ρ, resp. σ, resp. µ obsahuje
stˇredy cykl˚u, kter´e se dot´ykaj´ı cykl˚u (A), (B), resp. (A), (C), resp.(B), (C). Roviny maj´ı
spoleˇcn´y bod S, kter´ym proch´az´ı pr˚useˇcnice kaˇzd´e dvojice rovin.12 P˚udorysn´e stopy rovin
ρ, σ, µ jsou chord´aly kruˇznic (A), (B), (C), takˇze bod S je potenˇcn´ı stˇred zadan´ych kruˇznic,
pˇriˇcemˇz kruˇznice (B) m´a nulov´y polomˇer. Oznaˇcme ρ rovinu, ve kter´e leˇz´ı pr˚unikov´a kˇrivka
kuˇzel˚u Φ(A), Φ(B) a σ rovinu pr˚unikov´e kˇrivky kuˇzel˚u Φ(A), Φ(C). Pak hledan´e stˇredy
cykl˚u leˇz´ı na pˇr´ımce ρ ∩ σ = s. Nejprve sestroj´ıme pr˚useˇcnici s vrcholov´ych rovin ρ , σ cyklografick´eho kuˇzele Φ(A). Pˇr´ımka s proch´az´ı bodem A a pr˚useˇc´ıkem S p˚udorysn´ych
stop rovin ρ , σ , pˇr´ımka s je rovnobˇezˇ n´a s pˇr´ımkou s a proch´az´ı bodem S. P˚udorysn´a stopa
roviny β obsahuj´ıc´ı pˇr´ımky s, s protne cyklografick´y kuˇzel Φ(A) v povrchov´ych pˇr´ımk´ach
x, y, kter´e po ˇradˇe protnou pˇr´ımku s v bodech X, Y , stˇredech hledan´ych cykl˚u. Dalˇs´ı ˇreˇsen´ı
z´ısk´ame zmˇenou orientace kruˇznic k, l.
Apolloniovy u´ lohy lze jeˇstˇe modifikovat dalˇs´ım zp˚usobem, a to tak, zˇ e dotyk hledan´e
ˇ s´ıme tak napˇr´ıklad mokruˇznice a dan´e pˇr´ımky nahrad´ıme prot´ın´an´ım pod dan´ym u´ hlem. Reˇ
difikovanou Apolloniovu u´ lohu 5.13
Pˇr´ıklad 2.3.4 Sestrojte kruˇznici, kter´a proch´az´ı bodem B, dot´yk´a se dan´e kruˇznice k a danou
pˇr´ımku p prot´ın´a pod u´ hlem α.
Obr. 2.3.4
V Apolloniovˇe u´ loze cˇ .1 jsou stopy rovin osami u´ seˇcek AB, BC, AC, tj. sestrojujeme kruˇznici opsanou
troj´uheln´ıku ABC.
13
Pˇr´ıklad 2.1.2 je modifikac´ı Apolloniovy u´ lohy 7.
12
47
Postup je stejn´y jako v pˇr´ıkladˇe 2.3.2. Kruˇznice k je rˇ´ıd´ıc´ı kˇrivkou cyklografick´eho kuˇzele
s vrcholem A, bod B je vrcholem cyklografick´eho kuˇzele Φ(B) a pˇr´ımka p je stopou roviny
σ, kter´a m´a od pr˚umˇetny odchylku ω, kde velikost u´ hlu ω sestroj´ıme pomoc´ı u´ hlu α podle
obr. 2.1.7. Stˇredy hledan´ych cykl˚u leˇz´ı souˇcasnˇe na cyklografick´ych kuˇzel´ıch Φ(A), Φ(B)
a v rovinˇe σ. Pr˚unikov´a kˇrivka kuˇzel˚u Φ(A), Φ(B) leˇz´ı v rovinˇe ρ. Stopa pρ roviny ρ je
chord´ala kruˇznic (A) a (B), stˇredy hledan´ych cykl˚u leˇz´ı na pr˚useˇcnici s rovin ρ a σ. Vrcholov´e roviny ρ a σ cyklografick´eho kuˇzele Φ(A) se prot´ınaj´ı v pˇr´ımce s . Rovinu σ urˇc´ıme
pomoc´ı sklopen´ı jej´ı sp´adov´e pˇr´ımky a proch´azej´ıc´ı bodem (A). Sklopenou pˇr´ımku lze sestrojit, protoˇze zn´ame odchylku ω rovinu σ od pr˚umˇetny. Pˇr´ımka s proch´az´ı pr˚useˇc´ıkem S
p˚udorysn´ych stop rovin ρ, σ a je rovnobˇezˇ n´a s pˇr´ımkou s . Rovina β obsahuj´ıc´ı pˇr´ımky s, s
prot´ın´a cyklografick´y kuˇzel Φ(A) v povrchov´ych pˇr´ımk´ach x, y, kter´e prot´ınaj´ı pˇr´ımku s po
ˇradˇe v bodech X, Y , tj. stˇredech hledan´ych cykl˚u. Zb´yvaj´ıc´ı ˇreˇsen´ı obdrˇz´ıme r˚uzn´ymi kombinacemi orientac´ı kruˇznice a pˇr´ımky.
Cviˇcen´ı 2.3.1 Vyˇreˇste zb´yvaj´ıc´ı Pappovy a Apolloniovy u´ lohy, volte r˚uzn´e vz´ajemn´e polohy
zadan´ych u´ tvar˚u.
Cviˇcen´ı 2.3.2 Apolloniovy u´ lohy 2, 4, 6, 7, 8, 9 modifikujte tak, aby hledan´a kruˇznice
prot´ınala dan´e pˇr´ımky pod zvolen´ymi u´ hly, a vyˇreˇste je. Volte r˚uzn´e vz´ajemn´e polohy zadan´ych u´ tvar˚u.
48
Literatura
ˇ
´
´ F.: Deskriptivn´ı geometrie I, CSAV
[1] KADERˇ AVEK,
J., KL´IMA, J., KOUNOVSKY,
Praha, 1954.
ˇ
ˇ
´ J., VYCICHLO,
[2] KOUNOVSKY,
F.: Deskriptivn´ı geometrie, CSAV
Praha, 1959.
[3] TALANDA, P.: Deskriptivn´ı geometrie pro obor geodetick´y, VUT Brno, 1988.
ˇ
[4] SEIFERT, L.: Cyklografie, JCMF
Praha, 1949.
´
[5] HATLE,
J.: Cyklografie a jej´ı uˇzit´ı k rˇeˇsen´ı planimetrick´ych u´ loh, diplomov´a pr´ace, PˇrF
UP Olomouc, 2006.
ˇ
´
[6] HAVL´ICEK,
K.: Uvod
do projektivn´ı geometrie kuˇzeloseˇcek, SNTL Praha, 1956.
ˇ
[7] VOJTECH,
J.: Geometrie projektivn´ı. Synthetick´e i analytick´e vyˇsetˇrov´an´ı projektivn´ıch
ˇ
pˇr´ıbuznost´ı a u´ tvar˚u, JCMF
Praha, 1932.
´ B, KEPR, B.: Z´aklady diferenci´aln´ı geometrie s technick´ymi aplikacemi,
[8] BUDINSKY,
SNTL Praha, 1970.
49
RNDr. Lenka Juklov´a, Ph.D.
Aplikace deskriptivn´ı geometrie. Z´aklady kartografie a cyklografie
V´ykonn´y redaktor prof. RNDr. Tom´asˇ Opatrn´y, Dr.
Odpovˇedn´a redaktorka Mgr. Hana Pochmanov´a
Technick´a redakce RNDr. Lenka Juklov´a, Ph.D.
Grafick´e zpracov´an´ı ob´alky Ivana Per˚utkov´a
Publikace neproˇsla redakˇcn´ı jazykovou u´ pravou ve vydavatelstv´ı
Vydala a vytiskla Univerzita Palack´eho v Olomouci
Kˇr´ızˇ kovsk´eho 8, 771 47 Olomouc
www.vydavatelstvi.upol.cz
www.e-shop.upol.cz
[email protected]
1. vyd´an´ı
Olomouc 2013
ISBN 978-80-244-3600-5
Neprodejn´a publikace
VUP 2013/431
Download

Základy kartografie a cyklografie