Otevrˇena´ sı´t’partnerstvı´ na ba´zi aplikovane´ fyziky
CZ.1.07/2.4.00/17.0014
´ vod do optiky tenky´ch vrstev
U
Jaromı´r Krˇepelka
Abstrakt. Cı´lem prˇ´ıspeˇvku je poskytnout u´vodnı´ informaci o opticky´ch
vlastnostech soustav tenky´ch vrstev, anizˇ je pozornost veˇnova´na detailnı´mu
matematicke´mu rozboru. Prˇ´ıstup k jejich popisu vycha´zı´ z rˇesˇenı´ Helmholtzovy rovnice pro rovinne´ elektromagneticke´ vlny v po cˇa´stech homogennı´m,
avsˇak obecneˇ anizotropnı´m prostrˇedı´. Je objasneˇn fyzika´lnı´ vy´znam interferencˇnı´ matice transformujı´cı´ tecˇne´ slozˇky intenzity elektricke´ho a magneticke´ho pole jednou a vı´ce tenky´mi vrstvami, prˇenosove´ matice transformujı´cı´ tecˇne´ slozˇky intenzity elektricke´ho pole rozdeˇlene´ho na protibeˇzˇne´
vlny celou soustavou tenky´ch vrstev a matice transformujı´cı´ norma´love´
slozˇky Poyntingova vektoru. S jejich pomocı´ jsou definova´ny amplitudove´
a vy´konove´ odrazivosti a propustnosti jakozˇto meˇrˇitelne´ makroskopicke´
parametry za´visle´ na vlnove´ de´lce, u´hlu dopadu a polarizaci dopadajı´cı´ho
sveˇtla. Jsou diskutova´ny prˇ´ıpady idea´lnı´ch tenky´ch cˇi tlusty´ch vrstev nebo
jejich kombinacı´ a rovneˇzˇ vrstev v cˇa´stecˇneˇ koherentnı´m sveˇtle lezˇ´ıcı´ mezi
teˇmito dveˇma fyzika´lneˇ idea´lnı´mi prˇ´ıpady. Uzˇitı´m prˇedstavy o prostorove´
symetrii je odvozen princip reverzibility platny´ pro tenke´ (absorbujı´cı´ nebo
neabsorbujı´cı´) vrstvy. Text na neˇkolika prˇ´ıklad˚u vy´sledku˚ vesmeˇs numericky´ch vy´pocˇt˚u soustav tenky´ch vrstev, upotrˇebitelny´ch samostatneˇ nebo
jako vy´chozı´ soustavy pro dalsˇ´ı na´vrhy, demonstruje jejich vlastnosti. Je
uveden prˇ´ıklad odrazivosti proste´ho rozhranı´, snı´zˇenı´ odrazivosti podlozˇky
jednou, dveˇma a trˇemi vrstvami ve srovna´nı´ s idea´lnı´ soustavou s maxima´lneˇ
plochy´m pr˚ubeˇhem odrazivosti v okolı´ centra´lnı´ vlnove´ de´lky a prˇ´ıklad na´vrhu periodicke´ soustavy tenky´ch vrstev s potlacˇeny´mi bocˇnı´mi maximy
odrazivosti.
1
´ vod
1 U
Prˇ´ıstupy k teoreticke´mu rˇesˇenı´ ota´zek spojeny´ch s interakcı´ elektromagneticke´ho pole s la´tkou lze zhruba rozdeˇlit do na´sledujı´cı´ch skupin (v za´vorce
jsou uvedeny oblasti jejich pouzˇitı´):
- paprskova´ nebo geometricka´ optika (opticke´ zobrazovacı´ soustavy),
- skala´rnı´ vlnova´ teorie (opticke´ svazky, Fourierova optika, koherentnı´
opticke´ syste´my, holografie),
- vektorova´ vlnova´ teorie (polarizace a disperze sveˇtla, interference,
vlnovody, opticka´ vla´kna),
- kvantova´ teorie (interakce opticke´ho za´rˇenı´ s la´tkou, vznik a detekce
sveˇtla, vlnove´ smeˇsˇova´nı´, frekvencˇnı´ konverze),
- Maxwellovy rovnice formulovane´ v ra´mci obecne´ teorie relativity
(sˇ´ırˇenı´ pole v zakrˇiveny´ch prostorocˇasovy´ch sourˇadnicı´ch, naprˇ. sˇ´ırˇenı´
elektromagneticke´ho pole v gravitacˇnı´m poli cˇerny´ch deˇr).
Elektromagneticke´ pole a prostrˇedı´, v neˇmzˇ se sˇ´ırˇ´ı, lze modelovat r˚uzny´mi
matematicky´mi metodami na za´kladeˇ jejich vlastnostı´, ktere´ mohou do
modelu vstupovat nebo naopak se v neˇm nevyskytovat. Podle vlastnostı´
elektromagneticke´ho pole lze takove´ modely omezit na:
- tvar vlnoplochy (idea´lnı´ prˇ´ıpady: vlna rovinna´, sfe´ricka´, gaussovska´,
hermitovska´, laguerrovska´, besselovska´),
- spektra´lnı´ rozklad (monofrekvencˇnı´, multifrekvencˇnı´), zapocˇtenı´ koherencˇnı´ch a statisticky´ch vlastnostı´ pole.
Podle vlastnostı´ prostrˇedı´ se lze zaby´vat sˇ´ırˇenı´m pole v prostrˇedı´, ktere´
m˚uzˇe by´t:
- linea´rnı´, nelinea´rnı´,
- izotropnı´, anizotropnı´,
- homogennı´, nehomogennı´,
- ztra´tove´, bezeztra´tove´ (dielektricke´),
- pasivnı´, aktivnı´,
- magneticke´, nemagneticke´.
Vy´beˇr vhodne´ metody modelova´nı´ take´ za´lezˇ´ı na rozmeˇrech prostrˇedı´ vzhledem k vlnove´ de´lce a na rychlosti zmeˇn charakteristicky´ch cˇasovy´ch a
prostorovy´ch parametr˚u prostrˇedı´. Matematicke´ rˇesˇenı´ urcˇujı´cı´ sˇ´ırˇenı´ pole
v prostrˇedı´ a jeho interakci s nı´m se neobejde bez znalosti pocˇa´tecˇnı´ch a
okrajovy´ch podmı´nek.
1.1 Vy´chozı´ prˇedpoklady
Opticka´ charakterizace tenky´ch vrstev ve sve´ za´kladnı´ podobeˇ prˇedpokla´da´,
zˇe:
- Prostrˇedı´ je linea´rnı´, po cˇa´stech homogennı´ (vrstevnate´), anizotropnı´
(s tenzory permitivity ǫ, permeability µ a vodivostı´ σ).
- Elektromagneticke´ pole je popsa´no vektorovou vlnovou teoriı´ vycha´zejı´cı´ z Maxwellovy´ch rovnic, ktere´ pro vektory (E, H) intenzity
elektricke´ho a magneticke´ho pole a vektory (D, B) elektricke´ a
magneticke´ indukce lze formulovat ve tvaru platne´m pro prostrˇedı´
bez na´bojovy´ch zdroj˚u ve tvaru
rot E = −
∂B
,
∂t
div B = 0,
rot H =
∂D
+ j,
∂t
div D = 0.
- Interakci elektromagneticke´ho pole s la´tkou popisujı´ materia´love´
vztahy:
D = ǫ E, B = µ H, j = σE.
- Elektromagneticka´ vlna je rovinna´ a monofrekvencˇnı´, tj. platı´ prˇedpoklad
E(r, t) = E(z) exp [i (ωt − (kx x + ky y))] ,
H(r, t) = H(z) exp [i (ωt − (kx x + ky y))] .
(1)
2 Maxwellova-Berremanova rovnice
Smeˇr dopadu rovinne´ elektromagneticke´ vlny necht’urcˇujı´ sfe´ricke´ sourˇadnice ϕ0 a θ0 . Tecˇne´ slozˇky vlnove´ho vektoru jsou
kx =
ω
n0 c x ,
c
ky =
ω
n0 c y ,
c
se smeˇrovy´mi kosiny
cx = cos ϕ0 sin θ0 ,
cy = sin ϕ0 sin θ0 ,
ω je u´hlova´ frekvence sveˇtla, c rychlost sveˇtla ve vakuu, n0 index lomu
vneˇjsˇ´ıho prostrˇedı´ (superstra´tu), z neˇhozˇ sveˇtlo na vrstevnate´ prostrˇedı´ dopada´, r = (x, y, z) polohovy´ vektor, t cˇas. Pro tecˇne´ slozˇky rovinne´ vlny
(pode´lne´ slozˇky jsou linea´rnı´mi kombinacemi tecˇny´ch slozˇek) odvodı´me
z Maxwellovy´ch rovnic
dΨ(z)
ω
= −i DΨ(z),
dz
c
kde Berreman˚uv vektor Ψ obsahuje tecˇne´ slozˇky intenzity elektricke´ho a
magneticke´ho pole kombinovane´ do prvk˚u se stejny´m fyzika´lnı´m rozmeˇrem
 √


Ψ(z) = 

ε
√ 0
µ
√ 0
ε
√0
− µ0
Ex (z)
Hy (z)
Ey (z)
Hx (z)





(2)
a matice D, neza´visla´ pro dane´ homogennı´ prostrˇedı´ na prostorovy´ch sourˇadnicı´ch, ma´ prvky s obecneˇ komplexnı´mi slozˇkami tenzoru permitivity a
permeability
D11
D12
D13
D14
D21
D22
D23
D24
D31
D32
D33
D34
D41
D42
D43
D44
εzx
= − cxεzz
− cyµµzzyz ,
2
= − cεxzzε0 + µµyy0 − µµyzzzµµzy0 ,
εzy
= − cxεzz
+ cxµµzzyz ,
= − cxεczzy ε0 − µµyx0 + µµyzzzµµzx0 ,
c2 µ
− εεxzzzεεzx
,
= − µyzz0 + εεxx
0
0
c
µ
y zy
cx εxz
= − εzz − µzz ,
y µ0
= cxµczz
+ εεxy0 − εεxzzzεεzy0 ,
= cyµµzzzx − cyεεzzxz ,
= cyµµzzxz − cyεεzzzx ,
= − cxεczzy ε0 − µµxy0 + µµxzzzµµzy0 ,
εzy
= − cyεzz
− cxµµzzxz ,
(3)
c2 ε
− µµxzzzµµzx
,
= − εyzz0 + µµxx
0
0
c x c y µ0
εyz εzx
εyx
= µzz + ε0 − εzz ε0 ,
εyz
= − cxεzz
+ cxµµzzzy ,
2µ
0
+ εεyy0 − εεyzzzεεzy0 ,
= − cµxzz
εyz
= − cyεzz
− cxµµzzzx .
ˇ esˇenı´ Maxwellovy-Berremanovy rovnice
2.1 R
Tecˇne´ slozˇky pole lze z Maxwellovy-Berremanovy rovnice zjistit pro kazˇdou k-tou vrstvu, k = 1, . . . , N , rozkladem matice D do soucˇinu Dk =
Tk Lk T−1
ˇ nı´ matice (obsahuje ve sloupcı´ch vlastnı´ vekk , kde Tk je impedanc
tory matice Dk ) a diagona´lnı´ matice Lk ma´ vlastnı´ cˇ´ısla λk,j , j = 1, . . . , 4
lezˇ´ıcı´ na diagona´le matice Dk . Pro transformaci tecˇny´ch slozˇek pole z jedne´
hranice tenke´ vrstvy na druhou pak dostaneme vztah
ω
Ψk = Tk exp i Lk hk T−1
(4)
k Ψk+1 = Mk Ψk+1 ,
c
kde Mk je tzv. interferencˇnı´ matice, hk je tlousˇt’ka vrstvy. Pro transformaci
tecˇny´ch slozˇek pole celou soustavou tenky´ch vrstev vyuzˇijeme podmı´nky
jejich spojitosti na rozhranı´ch, odkud platı´ na´sledujı´cı´ transformacˇnı´ vztah
mezi tecˇny´mi slozˇkami pole na hranicı´ch soustavy tenky´ch vrstev
Ψ0 =
N
Y
k=1
Mk ΨN +1 .
(5)
2.2 Amplitudove´ odrazivosti a propustnosti
Admitancˇnı´ matice substra´tu TN +1 a impedancˇnı´ matice superstra´tu T−1
0
dovolujı´ rozdeˇlit celkove´ elektromagneticke´ pole na jednotlive´ mo´dy, ktery´mi v prˇ´ıpadeˇ izotropnı´ho prostrˇedı´ jsou vlny sˇ´ırˇ´ıcı´ se opacˇny´mi smeˇry
prˇ´ıslusˇne´ s a p polarizacı´m. Transformaci teˇchto cˇtyrˇ mo´d˚u Φj soustavou
tenky´ch vrstev popisuje prˇenosova´ matice ve tvaru





Φ1I
Φ2I
Φ3I
Φ4I


N


Y



 = T−1
M
T
k
N
+1
0


k=1
Φ1II
Φ2II
Φ3II
Φ4II






 = S


Φ1II
Φ2II
Φ3II
Φ4II



,

(6)
s jejı´zˇ pomocı´ se definujı´ amplitudove´ reflexe a transmise, celkem tedy 16
komplexnı´ch velicˇin podle obr. 1.
Obr. 1: Soustava N tenky´ch vrstev, oznacˇenı´ mo´d˚u
Naprˇ´ıklad odrazivost 3. mo´du prˇi dopadu 1. mo´du zleva se definuje
r13 =
Φ3I
, Φ4II = Φ3II = Φ2I = 0.
Φ1I
(7)
Z osmi amplitudovy´ch odrazivostı´ a osmi propustnostı´ lze naopak jednoznacˇneˇ rekonstruovat vsˇechny prvky matice prˇenosu S.
2.3 Princip reverzibility
Ne vsˇechny odrazivosti a propustnosti jsou neza´visle´, jak lze odhalit z principu reverzibility. Ten lze odvodit v r˚uzne´ podobeˇ z ekvivalence p˚uvodnı´
Obr. 2: Soustava N tenky´ch vrstev, oznacˇenı´ mo´d˚u v zrcadloveˇ symetricke´
soustaveˇ
soustavy se zrcadloveˇ symetrickou soustavou (podle obr. 2), ktera´ musı´
vykazovat stejne´ prˇ´ıslusˇne´ amplitudove´ reflexe a transmise.
S uva´zˇenı´m vlastnostı´ inverznı´ch interferencˇnı´ch matic a porovna´nı´m
prvk˚u matice prˇenosu jako funkce index˚u n = (n1 , n2 , . . . , nN ), dostaneme
s11 (n) = s∗22 (n∗ ), s12 (n) = s∗21 (n∗ ).
(8)
Je-li matice prˇenosu
q funkcı´ fa´zovy´ch tlousˇteˇk vrstev ϕ = (ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕN ),
2π
pak ϕk = λ hk n2k − (n0 sin θ0 )2 ,
s11 (ϕ) = s22 (−ϕ), s12 (ϕ) = s21 (−ϕ).
(9)
Zjednodusˇenı´ nastane v prˇ´ıpadeˇ bezeztra´tovy´ch dielektricky´ch vrstev, pro
ktere´
(10)
s11 = s∗22 , s12 = s∗21 .
V prˇ´ıpadeˇ bezeztra´tove´ho prostrˇedı´ se potom pocˇet rea´lny´ch parametr˚u
snı´zˇ´ı na 3 (nebot’ navı´c det S = YN +1 /Y0 ) a matici prˇenosu lze skutecˇneˇ
vyja´drˇit pouze trˇemi rea´lny´mi cˇ´ısly:
S = q
×
1
Y0 /YN +1 (1 − |rR |2 ) exp(iδt )
1
−|rR | exp [i(2δt − δr + π)]
|rR | exp (iδr )
exp(i2δt )
!
,
kde
q
rR = |rR | exp(iδr ), tR = Y0 /YN +1 (1 − |rR |2 ) exp(iδt ),
rL = |rR | exp [i(2δt − δr + π)] , tL = YN +1 /Y0 tR .
Admitance prostrˇedı´ jsou definova´ny jako pomeˇry tecˇny´ch slozˇek intenzity magneticke´ho a elektricke´ho pole. Pro prostrˇedı´ k-te´ izotropnı´ vrstvy
platı´
 q

n2k − (n0 cos θ0 )2 pro s polarizaci,

1 
n2k
(11)
Yk =
q
pro p polarizaci,
Z0 


2
2
nk − (n0 cos θ0 )
q
Z0 = µ0 /ǫ0 je impedance vakua spocˇtena´ z permitivity µ0 a permeability
ǫ0 vakua.
Ekvivalentnı´ vyja´drˇenı´ tohoto principu reverzibility ve tvaru platne´m
pro bezeztra´tova´ prostrˇedı´ je
rR rR∗ + tR t∗L = 1,
rR t∗R + tR rL∗ = 0.
(12)
Pro ztra´tova´ prostrˇedı´ s komplexnı´mi indexy lomu dostaneme formulace s explicitnı´m vyja´drˇenı´m za´vislosti na indexech lomu nebo fa´zovy´ch
tlousˇt’ka´ch vrstev
rR (n)rR∗ (n∗ ) + tR (n)t∗L (n∗ ) = 1,
rR (n)t∗R (n∗ ) + tR (n)rL∗ (n∗ ) = 0.
(13)
rR (ϕ)rR (−ϕ) + tR (ϕ)tL (−ϕ) = 1,
rR (ϕ)tR (−ϕ) + tR (ϕ)rL (−ϕ) = 0.
(14)
Podobne´ vy´razy lze odvodit ze stejne´ho principu i pro anizotropnı´ vrstevnate´ syste´my, naprˇ´ıklad pro matici prˇenosu bezeztra´tovy´ch anizotropnı´ch
vrstev platı´
(SK)∗ = KS,
(15)
kde



K=

0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0



.

Vztahy pro izotropnı´ vrstvy jsou zvla´sˇtnı´m prˇ´ıpadem poslednı´ relace.
(16)
2.4 Vy´konove´ odrazivosti a propustnosti
Pro prˇenos vy´konu (z neˇhozˇ lze usuzovat na absorbci) soustavou tenky´ch
vrstev jsou rozhodujı´cı´ norma´love´ slozˇky Poyntingova vektoru jednotlivy´ch
mo´d˚u, jejichzˇ strˇednı´ cˇasove´ hodnoty se vyja´drˇ´ı z tecˇny´ch slozˇek pole
c
P z (z) = Ψ† (z)S1 Ψ(z),
4
kde matice




S1 = 
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0



.

(17)
(18)
Pro kazˇdy´ mo´d α = 1, . . . , 4 norma´love´ slozˇky Poyntingova vektoru
elektromagneticke´ho pole sˇ´ırˇ´ıcı´ho se prostrˇedı´m superstra´tu a substra´tu platı´
Pz,αI = 4c Φ†αI T†0 S1 T0 ΦαI ,
Pz,αII = 4c Φ†αII T†N +1 S1 TN +1 ΦαII .
(19)
S vyuzˇitı´m tohoto vztahu a ze znalosti transformace tecˇny´ch slozˇek pole
jednotlivy´ch mo´d˚u lze definovat vy´konove´ odrazivosti a propustnosti, tj.
velicˇiny meˇrˇene´ kvadraticky´mi detektory. Celkem zı´ska´me 16 rea´lny´ch
velicˇin, z nichzˇ lze naopak sestavit matici N prˇena´sˇejı´cı´ norma´love´ slozˇky
jednotlivy´ch mo´d˚u.





Pz,1I
Pz,2I
Pz,3I
Pz,4I






 = N


Pz,1II
Pz,2II
Pz,3II
Pz,4II



.

(20)
2.5 Tenke´ versus tluste´ vrstvy
Idea´lnı´ tenke´ vrstvy jsou teoreticky specia´lnı´m prˇ´ıpadem, kdy se vy´sledku
meˇrˇenı´ intenzity sveˇtla (prˇesneˇji norma´love´ slozˇky Poyntingova vektoru)
u´cˇastnı´ dokonale interferujı´cı´ amplitudy vsˇech vnitrˇneˇ odrazˇeny´ch vln. Druhy´m krajnı´m prˇ´ıpadem jsou idea´lnı´ tluste´ vrstvy, kdy vy´sledek meˇrˇenı´
urcˇuje soucˇet intenzit dı´lcˇ´ıch odrazˇeny´ch vln, nebot’ k interferenci v˚ubec
nedocha´zı´. V tomto prˇ´ıpadeˇ transformaci norma´lovy´ch slozˇek Poyntingova
vektoru urcˇuje diagona´lnı´ matice s u´tlumovy´mi faktory
ω
Uj = exp − |Im(λj − λ∗j )|hj
c
ve tvaru


1
0
0
0
 U1



1
 0

0
0
N=
.
(21)
U
2


 0
0 U3 0 
0
0
0 U4
V prˇ´ıpadeˇ kombinace strˇ´ıdajı´cı´ch se soustav tenky´ch a tlusty´ch vrstev
s maticemi prˇenosu norma´lovy´ch slozˇek Poyntingova vektoru lze zı´skat
vy´sledne´ odrazivosti a propustnosti z celkove´ matice jakozˇto soucˇinu matic
prˇenosu norma´lovy´ch slozˇek Poyntingova vektoru dı´lcˇ´ıch prostrˇedı´:
N = N1 N2 . . . N2p+1 .
(22)
Liche´ indexy zde oznacˇujı´ soustavy tenky´ch vrstev, sude´ indexy tluste´
vrstvy. Kazˇda´ z podsoustav m˚uzˇe by´t take´ pra´zdna´, p + 1 je pocˇet soustav tenky´ch vrstev, p je pocˇet tlusty´ch vrstev:
2.6 Vrstvy v cˇa´stecˇneˇ koherentnı´m sveˇtle
Prˇi vy´pocˇtu makroskopicky´ch parametr˚u (odrazivostı´ a reflexı´) lze v prˇ´ıpadeˇ
cˇa´stecˇneˇ koherentnı´ho sveˇtla vyjı´t z pojmu normalizovane´ spektra´lnı´ hustoty
za´rˇenı´ g(ν), ν je frekvence za´rˇenı´, cozˇ je funkce s vlastnostı´
Z
∞
g(ν)dν = 1.
(23)
0
Naprˇ´ıklad vy´slednou vy´konovou odrazivost ρ meˇrˇenou detektorem spektra´lneˇ vsˇude stejneˇ citlivy´m lze pak pocˇ´ıtat ze spektra´lneˇ za´visly´ch odrazivostı´ ρ(ν) va´zˇeny´m integra´lem
ρ=
Z
∞
g(ν)ρ(ν)dν.
(24)
0
Analyticke´ vy´sledky lze najı´t v uzavrˇene´m tvaru pro jednu vrstvu s vyuzˇitı´m
Fourierovy transformace spektra´lnı´ hustoty za´rˇenı´ na vza´jemnou korelacˇnı´
funkci za´rˇenı´ (Wiener˚uv-Chincˇin˚uv teore´m) pro za´rˇenı´ s konecˇnou sˇ´ırˇkou
cˇa´ry lorentzovske´ho nebo gaussovske´ho tvaru nebo za´rˇenı´ absolutneˇ cˇerne´ho teˇlesa.
3 Prˇ´ıklady analy´zy a synte´zy
Na obr. 3 je zna´zorneˇna odrazivost rozhranı´ dvou prostrˇedı´ v za´vislosti na
u´hlu dopadu pro prˇ´ıpad odrazu z prostrˇedı´ opticky rˇidsˇ´ıho (vlevo) a z prostrˇedı´ opticky hustsˇ´ıho (vpravo). Trˇi krˇivky se vztahujı´ k s a p polarizacˇnı´mu
stavu dopadajı´cı´ vlny a nepolarizovane´mu sveˇtlu. V druhe´m prˇ´ıpadeˇ nasta´va´
pro u´hly dopadu veˇtsˇ´ı nezˇ je u´hel tota´lnı´ reflexe.
Odrazivost jednoducheho rozhrani
Odrazivost jednoducheho rozhrani
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.6
modra − s polarizace
cervena − p polarizace
cerna − prumer s a p
0.5
rozhrani indexu lomu 1,00/1,52
0.6
modra − s polarizace
cervena − p polarizace
cerna − prumer s a p
0.5
rozhrani indexu lomu 1,52/1,00
0.7
odrazivost
odrazivost
0.7
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
10
20
30
40
50
θ [o]
0
60
70
80
90
0
0
10
20
30
40
50
60
o
θ0 [ ]
Obr. 3: Odrazivost rozhranı´ dvou izotropnı´ch materia´l˚u v za´vislosti na u´hlu
dopadu
´ cˇinek jedne´ tenke´ vrstvy na odrazivost v za´vislosti na vlnove´ de´lce
U
zna´zornˇuje obr. 4. Vlevo velikost indexu lomu vrstvy lezˇ´ı mezi indexy lomu
substra´tu a superstra´tu a takove´ impedancˇnı´ prˇizp˚usobenı´ snizˇuje odrazivost
pod hodnotu odrazivosti pouhe´ho substra´tu, na rozdı´l od situace vpravo, kdy
naopak docha´zı´ ke zvy´sˇenı´ odrazivosti. Opticka´ tlousˇt’ka vrstvy je uvedena
v na´sobcı´ch jednotkove´ opticke´ tlousˇt’ky ∆.
Tenka´ vrstva v sˇikme´m dopadu ma´ podobne´ chova´nı´, avsˇak rozsˇteˇpene´
podle orientace vektoru intenzity elektricke´ho pole vzhledem k rovineˇ dopadu, jak ukazuje obr. 5. Lze pozorovat, zˇe p polarizovana´ vlna vykazuje
v cele´m rozsahu vlnovy´ch de´lek nizˇsˇ´ı odrazivost.
K zı´ska´nı´ nulove´ reflexe na jedne´ vlnove´ de´lce dveˇma vrstvami s urcˇeny´mi indexy lomu potrˇebujeme spocˇ´ıtat vhodne´ tlousˇt’ky vrstev. V takove´m
prˇ´ıpadeˇ existujı´ dveˇ rˇesˇenı´, jak ukazuje obr. 6 vlevo, z nichzˇ jedno ma´
poneˇkud plosˇsˇ´ı pr˚ubeˇh odrazivosti na vlnove´ de´lce. Vpravo je vy´sledek optimalizace soustavy dvou vrstev s pozˇadavkem na co nejmensˇ´ı odrazivost
v sˇirsˇ´ı oblasti viditelne´ cˇa´sti spektra.
Odrazivost jedne tenke vrstvy v kolmem dopadu
Odrazivost jedne tenke vrstvy v kolmem dopadu
0.34
0.024
0.33
0.022
0.32
nL=1,38, 1/L/1,52, ∆ = 137,5 nm
0.31
odrazivost
odrazivost
0.02
0.018
0.3
n =2,35, 1/H/1,52, ∆ = 137,5 nm
0.29
H
0.28
0.016
0.27
0.014
0.26
0.012
400
450
500
550
λ [nm]
600
650
0.25
400
700
450
500
550
λ [nm]
600
650
700
Obr. 4: Spektra´lnı´ odrazivost jedne´ tenke´ vrstvy
Odrazivost jedne tenke vrstvy v sikmem dopadu
Odrazivost jedne tenke vrstvy v sikmem dopadu
0.06
0.05
0.5
modra − s polarizace
cervena − p polarizace
cerna − prumer s a p
0.45
0.4
odrazivost
odrazivost
0.04
0.03
modra − s polarizace
cervena − p polarizace
cerna − prumer s a p
0.35
0.3
0.02
0.25
0.01
0
400
o
nL=1,38, 1/L/1,52, ∆ = 137,5 nm, θ = 45
450
500
550
λ [nm]
600
0.2
650
700
400
n =2,35, 1/H/1,52, ∆ = 137,5 nm, θ = 45o
H
450
500
550
λ [nm]
600
650
700
Obr. 5: Spektra´lnı´ odrazivost tenke´ vrstvy v sˇikme´m dopadu
S pomocı´ trˇ´ı r˚uzny´ch materia´l˚u lze zı´skat protiodraznou soustavu s daleko plosˇsˇ´ım a sˇirsˇ´ım pa´smem nı´zke´ odrazivosti, jak zna´zornˇuje obr. 7.
Idea´lnı´ trˇetı´ krˇivka s hodnotami odrazivosti hluboko pod jednou desetinou
procenta se ty´ka´ soustavy trˇ´ı λ/4 vrstev s indexy lomu (technologicky zpravidla nedostupny´mi) zajisˇt’ujı´cı´mi co nejplosˇsˇ´ı pr˚ubeˇh odrazivosti v okolı´
zvolene´ pracovnı´ vlnove´ de´lky.
Periodicke´ soustavy tenky´ch vrstev, strˇ´ıdajı´cı´ v nejjednodusˇsˇ´ım prˇ´ıpadeˇ
dva materia´ly s r˚uzny´mi indexy lomu, vykazujı´ (podobneˇ jako vsˇechna
periodicka´ prostrˇedı´) zaka´zane´ pa´smo, to je v opticke´ oblasti pa´smo zvy´sˇene´
odrazivosti, jak lze videˇt z obr. 8 pro soustavu vrstev, jejichzˇ opticke´ tlousˇt’ky
jsou vsˇechny λ/4.
Tento teoreticky´ vy´sledek lze numericky (obvykle metodou nejmensˇ´ıch
Antireflektovani dvema tenkymi vrstvami
Antireflektovani dvema tenkymi vrstvami
0.1
0.1
0.09
modra − n =1,38, n =2,35, 1/0,702L 1,801H/1,52, ∆ = 137,5 nm
0.09
0.08
cervena − n =1,38, n =2,35, 1/1,298L 0,199H/1,52, ∆ = 137,5 nm
0.08
L
H
L
H
0.07
odrazivost
odrazivost
0.07
0.06
0.05
0.06
0.05
0.04
0.04
0.03
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0
400
n =1,38, n =2,35, 1/1,193L 0,125H/1,52, ∆ = 137,5 nm
L
H
450
500
550
λ [nm]
600
650
700
0
400
450
500
550
λ [nm]
600
650
700
Obr. 6: Spektra´lnı´ odrazivost dvou antireflektujı´cı´ch vrstev
cˇtverc˚uv) optimalizovat tak, aby byla vyhlazena bocˇnı´ maxima, jejichzˇ
pocˇet je u´meˇrny´ pocˇtu vrstev. Prˇ´ıklad spektra´lnı´ odrazivost takto vyhlazene´ho filtru ukazuje obr. 9. Zobrazena´ soustava ma´ slozˇenı´ (relativnı´ opticke´
tlousˇt’ky vrstev jsou v na´sobcı´ch jednotkove´ opticke´ tlousˇt’ky 136,3636 nm):
1/0,614L 1,829H 0,150L 0,423H 1,655L 0,225H 1,729L 0,230H 1,720L
0,247H 1,704L 0,266H 1,692L 0,291H 1,683L 0,298H 1,680L 0,295H
1,681L 0,297H 1,677L 0,306H 1,674L 0,307H 1,680L 0,295H 1,690L
0,280H 1,704L 0,274H 1,722L 0,265H 1,742L 0,246H 1,777L 0,211H
1,815L 0,166H 1,848L 0,149H 1,630L/1,52, indexy lomu vrstev nL = 1,38
a nH = 2,35 a podlozˇky ns = 1,52.
4 Metody synte´zy tenky´ch vrstev
Pro synte´zu soustav tenky´ch vrstev lze prˇedevsˇ´ım vyuzˇ´ıt:
- vkla´da´nı´ λ/2 vrstev a tzv. buffer vrstev souvisejı´cı´ch s vnitrˇnı´ antireflexı´, ktere´ nemeˇnı´ makroskopicke´ parametry na pracovnı´ vlnove´
de´lce, avsˇak meˇnı´ je v jejı´m okolı´,
- Herpinova teore´mu o ekvivalenci symetricke´ soustavy tenky´ch vrstev
s jednou vrstvou s efektivnı´m indexem lomu a efektivnı´ fa´zovou
tlousˇt’kou,
- analyticky´ch vy´sledk˚u teorie (naprˇ. antireflektova´nı´ jednou vrstvou,
dveˇma vrstvami, procedura vy´pocˇtu maxima´lneˇ ploche´ antireflexe,
Antireflektovani tremi tenkymi vrstvami
0.05
0.045
0.04
nL=1,38, nH=2,35, nM=1,9, ∆ = 137,5 nm
modra: 1/0,943L 1,649H 0,581M/1,52
odrazivost
0.035
0.03
0.025
cervena: 1/1,065L 0,327H 1,435M/1,52
nA=1,054, nB=1,233, nC=1,442, ∆ = 137,5 nm
zelena: 1/1A 1B 1C/1,52
0.02
0.015
0.01
0.005
0
400
450
500
550
λ [nm]
600
650
700
Obr. 7: Spektra´lnı´ odrazivost trˇ´ı antireflektujı´cı´ch vrstev, srovna´nı´ s maxima´lneˇ plochou antireflexı´
formule pro sˇ´ırˇku pa´sma a velikost potlacˇene´ propustnosti periodicke´
soustavy tenky´ch vrstev apod.),
- aproximativnı´ch rozvoj˚u (Furman˚uv rozvoj aj.),
- numericky´ch metod, vcˇetneˇ optimalizacˇnı´ch metod vesmeˇs zalozˇeny´ch na hleda´nı´ minima cı´love´ funkce vı´ce promeˇnny´ch (simplexova´
metoda, Levenberg˚uv-Marquardt˚uv algoritmus, metoda konjugovane´ho gradientu, metoda promeˇnne´ metriky, Newtonova metoda tecˇny´ch hyperploch, evolucˇnı´ a geneticke´ algoritmy aj.)
5 Souhrn
V prˇ´ıspeˇvku je naznacˇeno, jak
- pocˇ´ıtat amplitudove´ a vy´konove´ odrazivosti a propustnosti libovolne´
soustavy tenky´ch a tlusty´ch vrstev v obecne´m prˇ´ıpadeˇ anizotropnı´ch
prostrˇedı´,
- princip reverzibility omezuje pocˇet volny´ch parametr˚u (zvla´sˇteˇ soustava´m slozˇeny´m z dielektricky´ch materia´l˚uv) pro jednoznacˇne´ urcˇenı´
meˇrˇitelny´ch makroskopicky´ch velicˇin,
Odrazivost periodicke soustavy tenkych vrstev
1
0.9
n =1,38, n =2,35
L
0.8
H
20
1/(0,352L 1,623H)
∆ = 136,3636 nm
0,352L/1,52
odrazivost
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
300
350
400
450
500
λ [nm]
550
600
650
700
Obr. 8: Spektra´lnı´ odrazivost periodicke´ soustavy tenky´ch vrstev
Odrazivost soustavy tenkych vrstev
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
odrazivost
odrazivost
Odrazivost soustavy tenkych vrstev
1
0.5
0.4
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
300
350
400
450
500
λ [nm]
550
600
650
700
modra − s polarizace
cervena − p polarizace
cerna − prumer s a p
0
300
350
400
450
500
λ [nm]
550
600
650
700
Obr. 9: Spektra´lnı´ odrazivost numericky vyhlazene´ho filtru
- se projevı´ interference cˇa´stecˇneˇ koherentnı´ho sveˇtla na meˇrˇeny´ch
makroskopicky´ch parametrech.
Bylo uvedeno neˇkolik prˇ´ıklad˚u aplikace teorie na
- antireflektova´nı´ jednou a vı´ce vrstvami, vcˇetneˇ maxima´lneˇ plochy´ch
antireflexı´,
- na´vrh vysoce odrazny´ch vrstev s potlacˇeny´mi bocˇnı´mi maximy odrazivosti
a nakonec byly v heslovite´ podobeˇ naznacˇeny neˇktere´ prˇ´ıstupy k synte´ze
soustav tenky´ch vrstev.
Literatura
[1] Knittl Z.: Optics of thin films, John Wiley & Sons, London – New
York – Sydney – Toronto 1976.
[2] Krˇepelka J.: Optika tenky´ch vrstev, Univerzita Palacke´ho v Olomouci,
1993
Download

U´vod do optiky tenky´ch vrstev - AF-NET