[1]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[2]
Euklides
Euklidovsky´
prostor
Hlavnı´ dı´lo: Euklidovy Za´klady (ve 13 kapitola´ch). Po Bibli nejvı´ce
publikovane´ dı´lo azˇ do 19. stoletı´.
• Euklidovy Za´klady (pohled do historie)
Pokusil se o prˇesne´ forma´lnı´ vyjadrˇova´nı´, vybudoval geometrii
syste´mem definice, veˇta, du˚kaz. Pokusil se definovat i nedefinovatelne´:
• dnesˇnı´ definice
• bod je to, co nema´ cˇa´sti,
• karte´zsky´ sourˇadnicovy´ syste´m
• krˇivka je de´lka bez sˇ´ırˇky,
• vlastnosti „rovin“ v En
• prˇ´ımka je krˇivka s body, ktera´ lezˇ´ı rovneˇ,
Euklides (jiny´ prˇeklad: Eukleides) byl rˇecky´ matematik (kolem
roku 300 prˇ. n. l.).
• specia´lnı´ vlastnosti v E3 (vektorovy´ soucˇin)
a) eprostor, 16, b) P. Olsˇa´k, FEL CˇVUT, c) P. Olsˇa´k 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)
• rozdeˇlenı´m prˇ´ıme´ho u´hlu na dva stejne´ vznika´ u´hlel pravy´,
• ...
L
. Viz p. d. 4/2010
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[3]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
Euklidovy postula´ty (axiomy)
Otaznı´ky kolem pa´te´ho axiomu
Euklides si uveˇdomil, zˇe neˇktera´ tvrzenı´ nelze doka´zat, je nutne´
je prˇedpokla´dat. Formuloval peˇt tzv. postula´tu˚:
Pa´ty´ axiom je formulova´n slozˇiteˇ, je v geometrii nutny´?
[4]
• Dva body urcˇujı´ jedinou u´secˇku, ktera´ v teˇch bodech koncˇ´ı.
Uka´zalo se, zˇe pa´ty´ axiom je (za prˇedpokladu platnosti prvnı´ch
cˇtyrˇ) ekvivalentnı´ s na´sledujı´cı´mi tvrzenı´mi:
• Kazˇda´ u´secˇka mu˚zˇe by´t prodlouzˇena tak, zˇe vznikne opeˇt u´secˇka.
• Dany´m bodem lze k dane´ prˇ´ımce ve´st jedinou rovnobeˇzˇku.
• Je mozˇne´ nakreslit kruzˇnici s libovolny´m strˇedem a polomeˇrem.
• Troju´helnı´ky majı´ soucˇet vnitrˇnı´ch u´hlu˚ 180◦ .
• Vsˇechny prave´ u´hly jsou si rovny.
• Platı´ Pythagorova veˇta.
• Jestlizˇe prˇ´ımka protı´na´ dveˇ prˇ´ımky tak, zˇe vnitrˇnı´ u´hly na te´zˇe
straneˇ jsou mensˇ´ı nezˇ dva prave´ u´hly, pak se tyto dveˇ prˇ´ımky
protnou na stejne´ straneˇ, na ktere´ jsou u´hly mensˇ´ı nezˇ dva prave´.
Pozdeˇji se uka´zalo (Gauss, Lobacˇevskij, Riemann), zˇe uzˇitecˇna´
je i geometrie bez pa´te´ho axiomu (tzv. neeuklidovska´ geometrie).
Naprˇ´ıklad dvourozmeˇrna´ geometrie na sfe´rˇe: troju´helnı´ky majı´
soucˇet u´hlu˚ veˇtsˇ´ı nezˇ 180◦ , kazˇde´ dveˇ „prˇ´ımky“ (nejkratsˇ´ı spojnice
dvou bodu˚ prodlouzˇene´ na obou koncı´ch) se protı´najı´, tj. neexistuje
rovnobeˇzˇka. Neplatı´ Pythagorova veˇta.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[5]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[6]
Euklidovsky´ prostor dnes
Za´kladnı´ objekty v euklidovske´m prostoru
V euklidovske´m prostoru chceme pracovat s prˇ´ımkami (to umı´me
v afinnı´m prostoru), da´le chceme v rovina´ch vymezit kruzˇnice.
K tomu potrˇebujeme meˇrˇit vzda´lenosti. Potrˇebujeme tedy metricky´ prostor. Metrika musı´ by´t odvozena z Pythagorovy veˇty (jinak by tato veˇta neplatila a neplatil by pa´ty´ Euklidu˚v axiom). Tuto
vlastnost splnˇuje metrika odvozena´ ze skala´rnı´ho soucˇinu. Konecˇneˇ v euklidovske´m prostoru potrˇebujeme meˇrˇit u´hly. K tomu
take´ slouzˇ´ı skala´rnı´ soucˇin. Dnesˇnı´ definice euklidovske´ho prostoru je tedy na´sledujı´cı´:
→
→
→
→
• Prˇı´mka: p = {A + t−
s , t ∈ R}, kde A ∈ X, −
s ∈ V, −
s 6= −
o.
Definice: Euklidovsky´ prostor En je afinnı´ prostor (X, V) dimenze n, prˇitom V je linea´rnı´ prostor se skala´rnı´m soucˇinem. Z tohoto
soucˇinu je odvozena norma a metrika na V. Metrika na X je definova´na takto: vzda´lenost bodu˚ P, Q je rovna velikosti vektoru P−Q.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
Prˇ´ımka je tedy da´na bodem A, ktery´m procha´zı´ a nenulovy´m smeˇ→
rovy´m vektorem −
s . Mu˚zˇe by´t te´zˇ da´na dveˇma body A a B:
p = {A + t (B − A), t ∈ R}.
´ secˇka s koncovy´mi body A, B: u = {A + t (B − A), t ∈ 〈0, 1〉}.
• U
• Kruzˇnice se strˇedem S a polomeˇrem r: k = {X, ρ (S, X) = r}.
Kruzˇnici lze takto definovat jen v E2 (dimenzi 2). Pro veˇtsˇ´ı dimenze
je uvedena´ mnozˇina povrchem n-rozmeˇrne´ koule.
−
→
−
→
→
→
a + u b , t, u ∈ R}, A ∈ X, −
a , b ∈ V jsou LN.
• Rovina: σ = {A + t−
Rovina je da´na bodem a dveˇma neza´visly´mi smeˇry.
→
→
• Zobecneˇna´ rovina (afinnı´ podprostor): τ = A + 〈−
a 1, . . . , −
a k〉,
[7]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
Vztahy mezi prˇı´mkami
Prˇı´klad
→
→
Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t−
s 1 , t ∈ R} a q = {A2 + t−
s 2 , t ∈ R}
→
jsou totozˇne´, pra´veˇ kdyzˇ vektory A2 − A1 a −
s 1 jsou LZ a soucˇasneˇ
→
→
smeˇrove´ vektory −
s 1, −
s 2 jsou LZ.
→
→
Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t−
s 1, t ∈ R} a q = {A2 + t−
s 2, t ∈ R} jsou
−
→
→
rovnobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ nejsou totozˇne´ a vektory s , −
s jsou LZ.
Najdeme parametr a ∈ R takovy´, aby se prˇ´ımky
p = (1, 2, 3) + 〈(2, 2, 5)〉 a q = (4, 3, 7) + 〈(3, a, 1)〉 protı´naly.
1
2
→
→
Dveˇ prˇ´ımky p = {A1 + t−
s 1, t ∈ R} a q = {A2 + t−
s 2, t ∈ R} lezˇ´ı ve
→
→
spolecˇne´ rovineˇ, pra´veˇ kdyzˇ vektory A2 − A1 , −
s 1, −
s 2 jsou LZ.
Dveˇ prˇ´ımky jsou ru
˚ znobeˇzˇky (protı´najı´ se v jednom bodeˇ), pra´veˇ
kdyzˇ lezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ a nejsou totozˇne´ ani rovnobeˇzˇne´.
Dveˇ prˇ´ımky jsou mimobeˇzˇky (mı´jejı´ se v prostoru), pra´veˇ kdyzˇ
nelezˇ´ı ve spolecˇne´ rovineˇ.
Uvedene´ vztahy rozpozna´me algebraicky´mi metodami: vysˇetrˇenı´m linea´rnı´ za´vislosti nebo neza´vislosti vektoru˚.
[8]
ˇ esˇenı´: Prˇ´ımky nejsou rovnobeˇzˇne´ ani totozˇne´, protozˇe jejich smeˇR
rove´ vektory jsou linea´rneˇ neza´visle´. Aby tyto prˇ´ımky byly ru˚znobeˇzˇkami, musı´ by´t vektory (3, 1, 4), (2, 2, 5), (3, a, 1) liena´rneˇ za´visle´, takzˇe kdyzˇ jejich sourˇadnice zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ matice A,
musı´ mı´t tato matice nulovy´ determinant:


3 1 4
det  2 2 5  = −5 − 7a = 0.
3 a 1
5
Takzˇe a = − .
7
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[9]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[10]
Zobecneˇna´ rovina: afinnı´ podprostor
Vza´jemna´ poloha zobecneˇny´ch rovin
→
→
→
Je da´n bod A ∈ X a linea´rneˇ neza´visle´ vektory −
u 1, −
u 2, . . . , −
uk
v afinı´m prostoru (X, V). Mnozˇineˇ
→
→
→
→
→
→
Oznacˇme U = 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k〉 a V = 〈−
v 1, −
v 2, . . . , −
v m 〉. Necht’ A
a B jsou body v afinnı´m prostoru (X, V) a necht’ jsou da´ny dveˇ
zobecneˇne´ roviny M = A + U a N = B + V.
→
→
→
M = A + 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k〉
• M a N jsou totozˇne´, pra´veˇ kdyzˇ U = V a A − B ∈ U.
rˇ´ıka´me zobecneˇna´ rovina. Ma´ dimenzi k.
• M je obsazˇena v N, pra´veˇ kdyzˇ U ⊆ V a A − B ∈ V.
Zobecneˇna´ rovina dimenze 1 je prˇ´ımka.
Dalsˇ´ı pojmy se ty´kajı´ jen zobecneˇny´ch rovin M a N takovy´ch, zˇe
zˇa´dna´ nenı´ obsazˇena v druhe´.
Zobecneˇna´ rovina dimenze 2 je „skutecˇna´“ rovina.
Pojem zobecneˇna´ rovina tedy zahrnuje pojmy prˇ´ımka a rovina dokonce pro linea´rnı´ prostory libovolne´ dimenze n. Zobecneˇna´ rovina
je podprostor v afinnı´m prostoru (X, V).
→
→
→
Prˇesneˇji, prˇi oznacˇenı´ W = 〈−
u ,−
u ,...,−
u 〉 je dvojice (M, W) afinnı´
1
2
k
podprostor: operace afinnı´ho prostoru jsou na mnozˇineˇ M a linea´rnı´m podprostoru W uzavrˇeny.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
• M je rovnobeˇzˇna´ s N, pra´veˇ kdyzˇ U ⊆ V nebo V ⊆ U.
• Zobecneˇne´ roviny M a N se protı´najı´, pra´veˇ kdyzˇ A − B ∈ U ∪ V.
• Zobecneˇne´ roviny jsou mimobeˇzˇne´, pra´veˇ kdyzˇ nejsou rovnobeˇzˇne´ a neprotı´najı´ se.
→
→
• M a N jsou na sebe kolme´, pra´veˇ kdyzˇ −
ui ⋅ −
v j = 0 pro vsˇechna
i ∈ {1, . . . , k} a j ∈ {1, . . . , m}
[11]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[12]
Karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m
Idea analyticke´ geometrie
Necht’ En = (X, V) je euklidovsky´ prostor. Karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m tohoto prostoru je sourˇadnicovy´ syste´m (O, B) afinnı´ho prostoru (X, V) takovy´, zˇe ba´ze (B) je ortonorma´lnı´.
→
Necht’ (x1, x2 , . . . , xn) a (y1, y2, . . . , yn) jsou sourˇadnice vektoru˚ −
x
−
→
a y vzhledem ke karte´zke´mu sourˇadne´mu syste´mu. Pak
Geometricke´ u´lohy lze rˇesˇit algebraicky prˇechodem k sourˇadnicı´m
vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.
−
→
→
x ⋅−
y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn ,
q
→
x21 + x22 + · · · + x2n.
||−
x || =
(a′1 , a′2, . . . , a′n)
Geometricke´ konstrukce pravı´tkem a kruzˇ´ıtkem v rovineˇ sesta´vajı´
z teˇchto elementa´rnı´ch u´konu˚:
• najı´t pru˚secˇ´ık dvou prˇ´ımek (pokud existuje),
• najı´t pru˚secˇ´ık prˇ´ımky s kruzˇnicı´ (pokud existuje),
• najı´t pru˚secˇ´ık dvou kruzˇnic (pokud existuje).
′
Necht’ (a1, a2 , . . . , an) a
jsou sourˇadnice bodu˚ A a A
vzhledem ke karte´zke´mu sourˇadne´mu syste´mu. Pak vzda´lenost
teˇchto bodu˚ se pocˇ´ıta´ „podle Pythagorovy veˇty“:
q
ρ (A, A′ ) = ||A − A′|| =
(a1 − a′1 )2 + (a2 − a′2 )2 + · · · + (an − a′n)2.
Vsˇechny tyto u´koly lze prˇeve´st na vy´pocˇet sourˇadnic hledany´ch
pru˚secˇ´ıku˚ vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadnicove´mu syste´mu,
pokud jsou da´ny sourˇadnice vy´chozı´ch objektu˚ (sourˇadnice bodu a
smeˇrove´ho vektoru prˇ´ımky, sourˇadnice strˇedu a hodnota polomeˇru
kruzˇnice).
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[13]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[14]
Prˇı´klad: pru
˚ secˇı´k prˇı´mek
Prˇı´klad: pru
˚ secˇı´k prˇı´mky a kruzˇnice
V E2 jsou da´ny prˇ´ımky p = (1, 2) + 〈(3, 4)〉 a q = (2, 0) + 〈(1, 3)〉.
Vektory a body jsou da´ny v karte´zsky´ch sourˇadnicı´ch. Najdeme
pru˚secˇ´ık prˇ´ımek p, q.
V E2 je da´na prˇ´ımka p = (1, 2) + 〈(3, 4)〉 a kruzˇnice k se strˇedem
(1, 1) a polomeˇrem 3. Najdeme jejich pru˚secˇ´ıky.
Protozˇe smeˇrove´ vektory (3, 4) a (1, 3) jsou linea´rneˇ neza´visle´,
prˇ´ımky se protı´najı´ (v E2 neexistujı´ mimobeˇzˇky). Pru˚secˇ´ık najdeme
v mı´steˇ, pro ktere´ nasta´va´ rovnost:
(1, 2) + t (3, 4) = (2, 0) + u (1, 3)
To vede na soustavu dvou linea´rnı´ch rovnic s nezna´my´mi t, u. Ta
ma´ rˇesˇenı´ t = 1, u = 2, takzˇe pru˚secˇ´ık je v bodeˇ
P = (1, 2) + 1 ⋅ (3, 4) = (4, 6).
Vzda´lenost strˇedu kruzˇnice od bodu (1, 2) + t (3, 4) na prˇ´ımce je
p
√
f (t) = (1 + 3t − 1)2 + (2 + 4t − 1)2 = 25t2 + 8t + 1
Pru˚secˇ´ık nasta´va´ v mı´steˇ, kde (f (t))2 = 32 , neboli
√
−8 ± 54
,
25t2 + 8t − 8 = 0,
t1,2 =
25
takzˇe jsme nasˇli dva pru˚secˇ´ıky:
√
√
−8 + 54
1 3 54
(1, 2) +
(3, 4) =
+
,
25
25
25
(1, 2) +
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[15]
√
−8 − 54
(3, 4) =
25
√
1 3 54
−
,
25
25
√ !
18 4 54
+
,
25
25
√ !
18 4 54
−
.
25
25
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[16]
Prˇı´klad: pru
˚ secˇı´k dvou kruzˇnic
Nekopı´rovat vzˇdy konstrukci vy´pocˇtem
Jsou da´ny kruzˇnice k1 se strˇedem (1, 1) a polomeˇrem 3 a kruzˇnice
k2 se strˇedem (3, 4) a polomeˇrem 2. Najdeme jejich pru˚secˇ´ıky.
Ne vzˇdy se vyplatı´ postupovat stejneˇ jako prˇi rˇesˇenı´ u´loh pravı´tkem a kruzˇ´ıtkem jen vy´pocˇtem sourˇadnic postupneˇ vznikajı´cı´ch
pru˚secˇ´ıku˚.
Pru˚secˇ´ık ma´ sourˇadnice (x, y), ktere´ vyhovujı´ dveˇma rovnicı´m:
(x − 1)2 + (y − 1)2 = 32
(x − 3)2 + (y − 4)2 = 22
Odecˇtenı´m rovnic dosta´va´me linea´rnı´ rovnici 2x + 3y = 14. Dosazenı´m x = 7 − 23 y do prvnı´ rovnice dosta´ve´me kvadratickou rovnici
13y2 −80y+112 = 0, ktera´ ma´ rˇesˇenı´ y1 = 4, y2 = 28
ˇ itı´m vzorce
13 . Pouz
,
takz
ˇ
e
hledane
´
pru
˚
secˇ´ıky jsou
x = 7 − 23 y dosta´va´me x1 = 1 a x2 = 49
13
49 28
.
,
P1 = (1, 4),
P2 =
13 13
Naprˇ´ıklad sestrojenı´ kolmice na danou prˇ´ımku p procha´zejı´cı´ dany´m bodem P udeˇla´me kruzˇ´ıtkem tak, zˇe zapı´chneme kruzˇ´ıtko
s dostatecˇneˇ velky´m polomeˇrem do P a najdeme pru˚secˇ´ıky na p.
Pak pı´chneme kruzˇ´ıtko do teˇchto pru˚secˇ´ıku˚ se shodny´m polomeˇrem veˇtsˇ´ım nezˇ polovina vzda´lenosti pru˚secˇ´ıku˚ a najdeme pru˚secˇ´ıky kruzˇnic. Jejich spojnice je hledana´ kolmice.
→
→
Analyticky ale stacˇ´ı kolmici vyja´drˇit jako P + 〈−
s ⊥ 〉, prˇicˇemzˇ −
s ⊥ je
vektor kolmy´ na smeˇrovy´ vektor prˇ´ımky p. Kolmy´ vektor k vektoru
⊥
→
→
v rovineˇ −
s = (u, v) je vektor −
s = (−v, u), protozˇe skala´rnı´ soucˇin
teˇchto dvou vektoru˚ je nulovy´.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[17]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[18]
Dva popisy zobecneˇne´ roviny v En, n ≥ 3
Prˇı´klady popisu
˚ prˇı´mky a roviny v E3
Zobecneˇna´ rovina M mu˚zˇe by´t zada´na dveˇma zpu˚soby:
→
→
→
• Bodem a smeˇrovy´mi vektory: M = A + 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k 〉.
→
Prˇı´mka: Je popsa´na bodem a smeˇrovy´m vektorem A + 〈−
s 〉. Cˇasto
se tento popis rozepisuje do sourˇadnic jako
• Soustavou linea´rnı´ch rovnic Bx = b takovou, zˇe sourˇadnice
vsˇech bodu˚ zobecneˇne´ roviny M tvorˇ´ı mnozˇinu jejı´ch rˇesˇenı´. Tuto
soustavu nazy´va´me soustavou zobecneˇne´ roviny M.
Tyto dva popisy umı´me prˇeva´deˇt jeden na druhy´:
• Je-li da´na soustava zobecneˇne´ roviny, pak jejı´ smeˇrove´ vektory
jsou ba´zove´ vektory prˇidruzˇene´ homogennı´ soustavy Bx = o a
bod A je partikula´rnı´ rˇesˇenı´ soutavy.
• Je-li da´na zobecneˇna´ rovina smeˇrovy´mi vektory, pak zapı´sˇeme
jejich sourˇadnice do rˇa´dku˚ matice A a vyrˇesˇ´ıme Ax = o. Ba´zi
rˇesˇenı´ zapı´sˇeme do rˇa´dku˚ matice B a pravou stranu zjistı´me
dosazenı´m sourˇadnic bodu A za nezna´my´ vektor x.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
x = a1 + t s1 ,
y = a2 + t s2,
z = a3 + t s3 ,
t ∈ R.
Prˇ´ımku mu˚zˇeme take´ popsat soustavou dvou rovnic Bx = b. Nenı´
to typicke´, ale prˇedvedeme si to. Ba´zi rˇesˇenı´ soustavy s jednou
rovnicı´ s1 x + s2 y + s3 z = 0 oznacˇ´ıme (u1 , u2 , u3 ), (v1 , v2 , v3 ). Hledana´
soustava ma´ pak matici obsahujı´cı´ tyto dva rˇa´dky a pravou stranu:
b1 = u1 a1 + u2 a2 + u3 a3 ,
b2 = v1 a1 + v2 a2 + v3 a3 .
→
→
Rovina: Je popsa´na dveˇma smeˇrovy´mi vektory A + 〈−
u,−
v 〉. Vyrˇesˇenı´m homogennı´ soustavy dvou rovnic se sourˇadnicemi teˇchto
vektoru˚ v rˇa´dcı´ch matice dosta´va´me ba´zovy´ vektor (n1 , n2 , n3 ). Rovinu pak mu˚zˇeme popsat rovnicı´ roviny
n1 x + n2 y + n3 z = d,
kde
d = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 .
[19]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[20]
Pru
˚ secˇı´ky zobecneˇny´ch rovin
Prˇı´klad: pru
˚ secˇı´k prˇı´mky s rovinou
Dveˇ zobecneˇne´ roviny se mohou protı´nat. Pru˚nik pak tvorˇ´ı bod
nebo zobecneˇnou rovinu. Jak tento pru˚nik nalezneme?
Je da´na prˇ´ımka p = (1, 2, 3) + 〈(2, 2, 1)〉 a rovina
M = (2, 3, 4) + 〈(3, 3, 1), (3, 4, 3)〉 v E3. Najdeme jejich pru˚secˇ´ık.
Sestavı´me soustavu prvnı´ zob. roviny Bx = b a druhe´ zob. roviny
ˇ esˇ´ıme pak soustavu, ktera´ vznikne sloucˇenı´m teˇchto
B′x = b′ . R
dvou soustav. Soustava ma´ rozsˇ´ırˇenou matici
B
b
′
′
B b
Podle prˇedchozı´ stra´nky bychom mohli prˇ´ımku p popsat dveˇma
rovnicemi a rovinu M trˇetı´ rovnicı´ a pak vyrˇesˇit soutavu teˇchto trˇ´ı
rovnic. Ovsˇem v tomto prˇ´ıpadeˇ se veˇtsˇinou postupuje jinak:
a jejı´ rˇesˇenı´ popisuje pru˚nik dany´ch zobecneˇny´ch rovin.
Prˇı´klad: Pru˚nik dvou rovin ax + by + cz = d a a′ x + b′ y + c′z = d′
najdeme jako rˇesˇenı´ soustavy
ax + by + cz = d
a′ x + b′ y + c′ z = d′
Rovnice roviny M ma´ tvar 5x − 6y + 3z = 4 a prˇ´ımka p ma´ parametricke´ vyja´drˇenı´ x = 1 + 2t, y = 2 + 2t, z = 3 + t. Dosadı´me
parametricke´ vyja´drˇenı´ prˇ´ımky do rovnice roviny:
5 (1 + 2t) − 6 (2 + 2t) + 3 (3 + t) = 4.
Tato rovnice s jednou promeˇnnou ma´ rˇesˇenı´ t = 2. Pru˚secˇ´ık je
P = (1, 2, 3) + 2 (2, 2, 1) = (5, 6, 5).
[21]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[22]
Kolmice k zobecneˇne´ rovineˇ v En
Kolmice ve 2D a 3D
Je da´na zobecneˇna´ rovina dimenze k:
Kolmici v En pocˇ´ıta´me rˇesˇenı´m homogennı´ soustavy, jak bylo zmı´neˇno na prˇedchozı´ stra´nce. To je univerza´lnı´ postup.
→
→
→
M = A + 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k 〉.
Kolmice k M vedena´ z bodu B je zobecneˇna´ rovina N dimenze n−k,
kterou lze zapsat ve tvaru
V prˇ´ıpadeˇ E2 a E3 jsou jesˇteˇ jine´ postupy:
• V E2 platı´: 〈(a, b)〉⊥ = 〈(−b, a)〉.
• V E3 platı´ pro lin. neza´visle´ vektory:
→
→
→
→
→
→
N = B + 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k 〉⊥ = B + 〈−
v 1, −
v 2, . . . , −
v n−k 〉.
→
→
→
prˇicˇemzˇ vektory −
v 1, −
v 2, . . . , −
v n−k zı´ska´me na´sledovneˇ: Zvolı´me
karte´zsky´ sourˇadny´ syste´m a sourˇadnice vektoru˚ vzhledem k tomuto sourˇadne´mu syste´mu ztotozˇnı´me s vektory samotny´mi. Vek→
→
→
tory −
v 1, −
v 2, . . . , −
v n−k pak tvorˇ´ı ba´zi rˇesˇenı´ homogennı´ soustavy
→
→
→
Ax = o, kde matice A obsahuje v rˇa´dcı´ch vektory −
u 1, −
u 2, . . . , −
u k.
→
→
→
→
〈−
u,−
v 〉⊥ = 〈−
u ×−
v 〉,
kde symbolem × je oznacˇem vektorovy´ soucˇin. O neˇm si povı´me
vı´ce pozdeˇji.
Prˇı´klady: V euklidovske´m prostoru E3 je kolmice k rovineˇ prˇ´ımka
a kolmice ke prˇ´ımce je rovina.
[23]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[24]
Kolmy´ pru
˚ meˇt bodu do zobecneˇne´ roviny
Kolmy´ pru
˚ meˇt zob. roviny do zob. roviny
→
→
→
Je da´na zobecneˇna´ rovina M = A + 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k 〉 a bod B (typicky mimo M). Najdeme bod B′ ∈ M takovy´, zˇe B − B′ je vektor
kolmy´ na M. Bodu B′ rˇ´ıka´me kolmy´ pru
˚ meˇt bodu B do zobecneˇne´
roviny M.
→
→
→
Bod B′ lze najı´t takto: sestrojı´me kolmici K = B+〈−
u ,−
u ,...,−
u 〉⊥ .
Prˇedstavme si, zˇe naprˇ´ıklad hleda´me kolmy´ pru˚meˇt prˇ´ımky do
roviny. Nebo deˇla´me neˇco podobne´ho ve vı´ce dimenzı´ch. . .
→
→
→
Kolmy´ pru˚meˇt zob. roviny N = B + 〈−
v 1, −
v 2, . . . , −
v m〉 do zob. roviny
−
→
−
→
−
→
M = A + 〈 u , u , . . . , u 〉 spocˇ´ıta´me v na´sledujı´cı´ch krocı´ch:
Pru˚nik M ∩ K obsahuje jediny´ bod B′ .
1
2
k
Jiny´ postup*: skala´rnı´m soucˇinem lze pocˇ´ıtat kolmy´ pru˚meˇt vektoru na vektor. Oznacˇme symbolem pi kolmy´ pru˚meˇt vektoru B − A
→
→
→
na vektor −
u i . Pak je B′ = A + ∑ pi (−
u i /||−
u i||).
Pozorova´nı´: V bodeˇ B′ ma´ zobecneˇna´ rovina M nejmensˇ´ı vzda´lenost od bodu B.
Du˚kaz: Je-li C ∈ M, pak BB′C tvorˇ´ı pravou´hly´ troju´helnı´k a mu˚zˇeme pouzˇ´ıt Pythagorovu veˇtu.
1
2
k
→
→
→
→
→
→
• Najdeme 〈−
u 1, −
u 2, . . . , −
u k〉⊥ = 〈−
w 1, −
w 2, . . . , −
w n−k〉.
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
• Oznacˇme K = B + 〈 v 1, v 2 , . . . , v m , w 1 , w 2, . . . , −
w n−k〉. Je to zobecneˇna´ rovina, ktera´ je nejmensˇ´ı takova´, zˇe obsahuje zobecneˇnou rovinu N a soucˇasneˇ obsahuje smeˇr kolmy´ na M.
• Hledany´ kolmy´ pru˚meˇt je pru˚nik M ∩ K.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[25]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[26]
Prˇı´klad: Kolmy´ pru
˚ meˇt
Determinant meˇrˇı´ objem rovnobeˇzˇnosteˇnu
Je da´na prˇ´ımka p = (1, 2, 3) + 〈(5, 2, 2)〉. Najdeme kolmy´ pru˚meˇt
te´to prˇ´ımky do roviny M = (2, 2, 1) + 〈(1, 3, 4), (3, 2, 6)〉. Sourˇadnice
jsou da´ny vzhledem ke karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.
→
→
→
Necht’ −
v 1, −
v 2, . . . , −
v n jsou vektory, ktere´ tvorˇ´ı hrany pomyslne´ho
n-dimenziona´lnı´ho rovnobeˇzˇnosteˇnu. Vektory tvorˇ´ı jen hrany, ktere´ se potka´vajı´ ve spolecˇne´m vrcholu. Ostatnı´ hrany rovnobeˇzˇnosteˇnu je trˇeba dory´sovat doplneˇnı´m na rovnobeˇzˇnı´ky.
→
Tvrzenı´: Zapı´sˇeme-li do sloupcu˚ matice A sourˇadnice vektoru˚ −
v
ˇ esˇenı´m homogennı´ soustavy s maticı´
R
1 3 4
1 3 4
∼
3 2 6
0 7 6
i
je 〈(10, 6, −7)〉, takzˇe 〈(1, 3, 4), (3, 2, 6)〉⊥ = 〈(10, 6, −7)〉. Kolma´ rovina
k M obsahujı´cı´ p je K = (1, 2, 3) + 〈(5, 2, 2), (10, 6, −7)〉. Rovnice roviny M je 10x + 6y − 7z = 25 a rovnice K je −26x + 55y + 10z = 114.
Hledany´ pru˚meˇt je rˇesˇenı´ soustavy s maticı´
25
25
10
6
−7
10
6 −7
∼
.
−26 55 10
0 353 −41
114
895
Hledany´ pru˚meˇt je p′ = (−524/41, 0, −895/41) + 〈(445, 41, 353)〉.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
vzhledem k ortonorma´lnı´ ba´zi (B), pak absolutnı´ hodnota determinantu matice A je rovna objemu zmı´neˇne´ho rovnobeˇzˇnosteˇnu.
Idea du˚kazu*: Jsou-li vektory LZ, pak je zrˇejmeˇ objem nulovy´ a
→
je det A = 0. Jsou-li −
v i LN, tvorˇ´ı ba´zi a je mozˇne´ ji Schmidtovy´m ortogonalizacˇnı´m procesem upravit na ortonorma´lnı´ ba´zi (C).
→
Napı´sˇeme do sloupcu˚ matice R sourˇadnice −
v i vzhledem k (C).
Pak det R je roven objemu rovnobeˇzˇnosteˇnu (du˚kaz indukcı´, v indukcˇnı´m kroku se pouzˇije vzorec „za´kladna kra´t vy´sˇka“). Matice
prˇechodu od (B) k (C) je ortogona´lnı´ a je tedy
det A = det(PB→C ⋅ R) = det PB→C det R = ±1 ⋅ det R
[27]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[28]
Prˇı´klady
Orientace linea´rnı´ho prostoru
Sourˇadnice uvedeny´ch bodu˚ jsou v teˇchto prˇ´ıkladech vzhledem ke
karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.
V linea´rnı´m prostoru zvolı´me jednu usporˇa´danou ba´zi (B) a prohla´sı´me ji kladneˇ orientovanou. Vsˇechny ba´ze (C), pro ktere´ je
det PB→C > 0, nazveme take´ kladneˇ orientovane´. Vsˇechny ba´ze
(C′), pro ktere´ je det PB→C′ < 0, nazveme za´porneˇ orientovane´.
Plocha rovnobeˇzˇnı´ka s vrcholy (0, 0), (a, b) (c, d), (a + c, b + d) je
rovna
det a b = | ad − bc |,
c d Objem cˇtyrˇstenu s vrcholy (0, 0, 0), (a1 ,a2,a3), (b1 ,b2 ,b3 ), (c1,c2,c3)
je roven


a1 b1 c1 1 det  a2 b2 c2  ,
6 a3 b3 c3 protozˇe cˇtyrˇsteˇn ma´ objem roven jedne´ sˇestineˇ objemu rovnobeˇzˇnosteˇnu.
Sourˇadnice mu˚zˇeme zapsat i do rˇa´dku˚, protozˇe det A = det AT .
Obvykla´ u´mluva pro E2: kladneˇ orientovana´ ba´ze ma´ druhy´ ba´zovy´
vektor smeˇrˇujı´cı´ vlevo od prvnı´ho.
Obvykla´ u´mluva pro E3: kdyzˇ se na ba´zi dı´va´me z vhodne´ho mı´sta,
pak kladneˇ orientovana´ ba´ze ma´ prvnı´ vektor orientovany´ k na´m,
druhy´ doprava od na´s a trˇetı´ nahoru.
Pozorovna´nı´: determinant pouzˇity´ prˇi vy´pocˇtu objemu rovnobeˇzˇ→
→
→
nosteˇnu je za´porny´, kdyzˇ sourˇadnice vektoru˚ −
v 1, −
v 2, . . . , −
v n jsou
zapsa´ny vzhledem ke kladneˇ orientovane´ ortonorma´lnı´ ba´zi a vek→
→
→
tory −
v 1, −
v 2, . . . , −
v n samotne´ tvorˇ´ı za´porneˇ orientovanou ba´zi.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[29]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[30]
Specia´lnı´ vlastnosti v E3
Vektorovy´ soucˇin
• Je mozˇne´ definovat vektorovy´ soucˇin.
→
→
Definice: Vektorovy´ soucˇin dvou vektoru˚ −
u a −
v z E3 znacˇ´ıme
−
→
→
u ×−
v a je to:
→
→
• nulovy´ vektor, pokud jsou −
u a−
v linea´rneˇ za´visle´, jinak:
• Kolmice k rovineˇ je prˇ´ımka, smeˇrovy´ vektor te´to kolmice je norma´lovy´ vektor roviny.
• Norma´lovy´ vektor je mozˇne´ hledat pomocı´ vektorove´ho soucˇinu.
• Rovina je da´na jedinou rovnicı´ se trˇemi nezna´my´mi, koeficienty
te´to rovnice jsou sourˇadnice jejı´ho norma´love´ho vektoru.
→
→
• vektor kolmy´ na rovinu 〈−
u,−
v 〉 s velikostı´ plochy rovnobeˇzˇnı´ka
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
→
mezi u a v . Ba´ze ( u , v , u × −
v ) je kladneˇ orientovana´.
Pozorova´nı´: Vektorovy´ soucˇin je definova´n jednoznacˇneˇ.
→
→
→
→
→
→
u a−
v.
Platı´ ||−
u ×−
v || = ||−
u || ||−
v || sin α , kde α je u´hel mezi vektory −
−
→
→
Veˇta: Jsou-li (u1 , u2 , u3 ) a (v1 , v2 , v3) sourˇadnice vektoru˚ u a −
v
−
→
−
vzhledem ke kladneˇ orientovane´ ortonorma´lnı´ ba´zi, pak u × →
v
ma´ vzhledem k te´to ba´zi sourˇadnice:
u2 u3 , − u1 u3 ,
v
v
v v 2
3
1
Du˚kaz*: technicky´, viz skriptum.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
3
u1
v
1
u2 v2 [31]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[32]
Prˇı´klad: norma´lovy´ vektor roviny
Prˇı´klad: rovina dana´ trˇemi body
Je da´na rovina (2, 2, 2) + 〈(1, 2, 3), (3, 1, 1)〉. Najedeme jejı´ norma´lovy´ vektor. Sourˇadnice jsou uvedeny vzhledem ke kladneˇ orientovane´mu karte´zske´mu sourˇadne´mu syste´mu.
Jsou-li da´ny trˇi body A, B, C, ktere´ nelezˇ´ı ve spolecˇne´ prˇ´ımce, pak
jimi procha´zı´ jedina´ rovina A + 〈(B − A), (C − A)〉. Norma´lovy´ vektor
roviny je (B − A) × (C − A).
Norma´lovy´ vektor je roven vektorove´mu soucˇinu (1, 2, 3) × (3, 1, 1),
protozˇe ten je (podle definice) kolmy´ na oba smeˇrove´ vektory. Podle
veˇty o sourˇadnicı´ch vektorove´ho soucˇinu je
2 3
, − 1 3 , 1 2 = (−1, 8, −5)
(1, 2, 3) × (3, 1, 1) = 1 1
3 1
3 1
Trˇeba jsou da´ny body (1, 1, 2), (2, 3, 5), (4, 2, 3) v karte´zsky´ch sourˇadnicı´ch. Pak rovina je da´na vzorcem:
Rovnice roviny tedy je −x + 8y − 5z = 4.
Jina´ mozˇnost, jak najdeme norma´lovy´ vektor: vyrˇesˇ´ıme homogennı´ soustavu s maticı´
1 2 3
.
3 1 1
(1, 1, 2) + 〈(1, 2, 3), (3, 1, 1)〉
Protozˇe (1, 2, 3) × (3, 1, 1) = (−1, 8, −5), ma´ rovina tento norma´lovy´
vektor. Ma´ tedy rovnici
−x + 8y − 5z = d,
prˇitom d = −1 + 8 ⋅ 1 − 5 ⋅ 2 = −3.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[33]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[34]
Prˇı´klad: vzda´lenost bodu od prˇı´mky
Prˇı´klad: vzda´lenost bodu od roviny
Mu˚zˇeme najı´t kolmy´ pru˚meˇt bodu B do prˇ´ımky (oznacˇ´ıme B′ ) a da´le
spocˇ´ıta´me velikost vektoru B − B′ . Ovsˇem v E3 ma´me vektorovy´
soucˇin a mu˚zˇeme u´lohu rˇesˇit jesˇteˇ jinak (efektivneˇji):
→
Vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky A+〈−
s 〉 je vy´sˇka rovnobeˇzˇnı´ka vyme−
→
zene´ho vektory B − A, s a ta je rovna plosˇe rovnobeˇzˇnı´ka deˇlena´
Mu˚zˇeme najı´t kolmy´ pru˚meˇt bodu B do roviny (oznacˇ´ıme B′) a da´le
spocˇ´ıta´me velikost vektoru B − B′ . Ovsˇem v E3 ma´me vektorovy´
soucˇin a mu˚zˇeme u´lohu rˇesˇit jesˇteˇ jinak (efektivneˇji):
→
→
Vzda´lenost bodu B od roviny A + 〈−
u,−
v 〉 je rovna vy´sˇce rovnobeˇzˇ−
→
−
→
→
→
nosteˇnu se stranami B − A, u , v s podstavou −
u,−
v . Tato vy´sˇka
velikostı´ za´kladny. Vzda´lenost bodu B od prˇ´ımky tedy je
→
|| (B − A) × −
s ||
.
−
→
|| s ||
je rovna objemu tohoto rovnobeˇzˇnosteˇnu deˇleno plocha podstavy.
Vzda´lenost bodu B od roviny tedy je
det A
,
→
→
||−
u ×−
v ||
kde matice A obsahuje v rˇa´dcı´ch (nebo ve sloupcı´ch) sourˇadnice
→
→
vektoru˚ A − B, −
u,−
v vzhledem k neˇjake´ ortonorma´lnı´ ba´zi.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[35]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[36]
Prˇı´klad: vzda´lenost mimobeˇzˇek
Prˇı´klad: kolmice v E3
→
→
Vzda´lenost mimobeˇzˇek A + 〈−
u 〉 a B + 〈−
v 〉 je rovna vy´sˇce rovno→
→
→
→
beˇzˇnosteˇnu vymezene´ho vektory B − A, −
u,−
v se za´kladnou −
u, −
v.
Takzˇe vzda´lenost je rovna objemu tohoto rovnobeˇzˇnosteˇnu deleno
plochou za´kladny:
det A
,
→
→
||−
u ×−
v ||
kde matice A obsahuje v rˇa´dcı´ch (nebo ve sloupcı´ch) sourˇadnice
→
→
vektoru˚ A − B, −
u,−
v vzhledem k neˇjake´ ortonorma´lnı´ ba´zi.
• Kolmice k prˇ´ımce je rovina, ktera´ ma´ norma´lovy´ vektor rovny´
smeˇrove´mu vektoru prˇ´ımky.
• Kolmice k rovineˇ je prˇ´ımka, ktera´ ma´ smeˇrovy´ vektor rovny´
norma´love´mu vektoru roviny.
Rovina dana´ rovnicı´ ax + by + cz = d ma´ norma´lovy´ vektor (a, b, c),
takzˇe prˇechod od roviny ke kolme´ prˇ´ımce nebo od prˇ´ımky ke kolme´
rovineˇ je snadny´.
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[37]
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
´ hly mezi prˇı´mkami a rovinami
U
Prˇı´klad: plocha troju
´ helnı´ka ABC
→
→
´ hel φ mezi vektory −
u a −
v vypocˇ´ıta´me ze vzorce pro skala´rnı´
U
soucˇin
−
→
→
−
→
→
u ⋅−
v
u ⋅−
v
, tj. φ = arccos −
.
cos φ = −
→
−
→
→
→
|| u || || v ||
|| u || ||−
v ||
Troju´helnı´k ma´ plochu polovicˇnı´ plosˇe rovnobeˇzˇnı´ka.
´ hel mezi dveˇma prˇ´ımkami je u´hlel mezi smeˇrovy´mi vektory.
• U
Pokud φ > 90◦ , je hledany´ u´hel 180◦ − φ
(nebo ve vzorci v cˇitateli pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu).
´ hel mezi rovinami je u´hel mezi jejich norma´lovy´mi vektory.
• U
Pokud φ > 90◦ , je hledany´ u´hel 180◦ − φ
(nebo ve vzorci v cˇitateli pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu).
´ hel mezi prˇ´ımkou a rovinou je 90◦ mı´nus u´hel mezi smeˇro• U
vy´m vektorem prˇ´ımky a norma´lovy´m vektorem roviny (ve vzorci
v cˇitateli je trˇeba pouzˇ´ıt absolutnı´ hodnotu).
• V E2 spocˇ´ıta´me plochu rovnobeˇzˇnı´ka jako „objem rovnobeˇzˇnosteˇnu v E2 “, tedy spocˇ´ıta´me absolutnı´ hodnotu determinantu matice A, ktera´ obsahuje ve sloupcı´ch sourˇadnice vektoru˚ B − A,
C − A vzhledem k ortonorma´lnı´ ba´zi.
Prˇı´klad: A = (1, 2), B = (3, 4), C = (5, 8). Plocha troju´helnı´ka je:
1 2 4 S△ = det
=2
2
2 6 • V E3 spocˇ´ıta´me plochu rovnobeˇzˇnı´ka jeko velikost vektorove´ho
soucˇinu vektoru˚ B − A, C − A.
Prˇı´klad: A = (1, 2, 2), B = (2, 3, 4), C = (7, 8, 9).
S△ =
BI-LIN, eprostor, 16, P. Olsˇa´k
[39]
´ vaha*: k-dimensiona´lnı´ objem v En.
U
Jak spocˇ´ıtat naprˇ. plochu rovnobeˇzˇnı´ka v E4? Tam to nenı´ ani
objem rovnobeˇzˇnosteˇnu, ani nema´me mozˇnost pouzˇ´ıt vektorovy´
soucˇin. Odpoveˇd’ najdeme v du˚kazu ze stra´nky [26].
→
→
→
´ loha: Jsou da´ny linea´rneˇ neza´visle´ vektory −
U
v ,−
v ,...,−
v vE ,
1
2
k
n
k ≤ n. Ma´me najı´t k-dimensiona´lnı´ objem v En.
→
→
→
→
ˇ esˇenı´: Vektory doplnı´me na ba´zi −
R
v 1, −
v 2, . . . , −
v k, . . . , −
v n a zapı´sˇeme jejich sourˇadnice do sloupcu˚ matice A. Provedeme QR rozklad A = QR. Matici R „zmensˇ´ıme“ na matici Rk , ktera´ obsahuje
jen prvnı´ch k rˇa´dku˚ a k sloupcu˚. Hledany´ k dimenziona´lnı´ objem
je roven det Rk .
Pozna´mka: doplneˇnı´ na ba´zi nenı´ prakticky potrˇeba deˇlat. Software doka´zˇe prove´st i neu´plny´ QR rozklad obde´lnı´kove´ matice
A = QkRk . Zde matice A obsahuje ve sloupcı´ch jen sourˇadnice
→
→
→
vektoru˚ −
v 1, −
v 2, . . . , −
v k.
[38]
√
1
5 2
1
||(1, 1, 2) × (6, 6, 7)|| = ||(−5, 5, 0)|| =
.
2
2
2
Download

4 - Petr Olšák