FAST, LS 2011/12, FYZIKA – ÚLOHY DO CVIČENÍ
I. Úvod – matematický aparát
I/1. Loď vyplula z domovského přístavu v Porto Alegre (ostrov Svatý Tomáš, u afrického pobřeží
v blízkosti rovníku). Plula 50 km jižně, pak 30 km v kurzu SSW (jiho-jihozápad), poté 50 km NW
(severozápad) a nakonec 30 km NNE (severo-severovýchod). Jak daleko pak byla od domovského
přístavu?
Řešte
a) graficky,
b) využitím komutativního a asociativního zákona a sinové věty,
c) pomocí kartézského souřadného systému.
[38,3 km]
I/2. Vrcholy trojúhelníka ∆ABC tvoří body A[1;1;0], B[0;2;-1] a C[1;0;-2]. Vypočítejte
a) délky jednotlivých stran
b) velikosti jeho vnitřních úhlů
× c) vektor d) obsah trojúhelníka ABC
[a) || = √3, || = 5, || = √6,b) = 75°2′, = 61°52 , = 43°5 , c) (-3, -2,1),
d)√14/2]
I/3. Jsou dány body A[-2;5], B[1;y] a C[4;-1]. Určete y, aby platilo:
⊥ a) ∥ b) [a) y = 8, b) y = 2]
I/4. Určete, jaké úhly svírají dvě tělesové úhlopříčky v krychli.
[70°32′ a109°28′]
1
I/5. Využitím vyjádření vektorů v kartézském souřadném systému
dokažte Thaletovu větu. Na kružnici k: ! " + $ " = % " , zvolte body
A [-R, 0], B [R, 0] a ukažte, že pro libovolný bod V ∈ ( je úhel AVB
pravý.
I/6. Rozložte vektor zrychlení na jeho tečnou a normálovou složku (tj. vypočtěte jeho průmět
do směru rychlosti a do roviny kolmé na vektor rychlosti).
) = *1; 2; 1,m·s-2, - = *3; −4; 0, m·s-1
5 7
: ;
3"
[)/ = −1m ∙ s 3" , )
/ = 4− 6 , 6 , 08 m ∙ s 3" , )9 = √5m ∙ s 3" , )
9 = 46 , 6 , 18 m ∙ s ]
II. Kinematika hmotného bodu
II/1. Hmotný bod se pohybuje tak, že jeho dráha roste v čase podle vztahu: s = t 3 − 6t 2 + 12t
(m,s). Napište vztah pro velikost jeho okamžité rychlosti v závislosti na čase. Jaká je jeho
průměrná rychlost v časovém intervalu < ∈ 〈1, 2〉s? Kdy bude hmotný bod v klidu?
[ v = 3t 2 − 12t + 12 , (m.s-1, s),〈-〉 = 1m ∙ s 3? , < = 2s]
II/2. Hmotný bod se pohybuje po přímce.
Na obrázku je nakreslen graf závislosti
rychlosti hmotného bodu na čase.
a) Jak velké je zrychlení hmotného bodu
během prvních dvou sekund pohybu?
b) Jak velké je zrychlení hmotného bodu
v čase t = 3 s?
c) Jak velké je zrychlení hmotného bodu
v čase t = 6 s?
[a) 3 m.s-2, b) 0 m.s-2, c) 2/3 m.s-2]
II/3. Vlak, který má rychlost 72 km.h-1, lze použitím brzd zastavit za dvě minuty. V jaké
vzdálenosti od cílové stanice je třeba začít brzdit, aby se vlak v cílové stanici zastavil? Pohyb
vlaku považujte za rovnoměrně zpomalený.
[1,2 km]
II/4. Dešťové kapky padají stálou rychlostí svisle dolů a dopadají na okno vagónu, který se
pohybuje vodorovným přímým směrem. Kapky zanechávají na okně vagónu stopu, která svírá
se svislým směrem úhel 60°. Velikost rychlosti vagónu je 54 km.h-1. Určete velikost rychlosti
dopadajících kapek a) vůči zemi, b) vůči vagónu.
[31,2 km.h-1, 62,4 km.h-1]
2
II/5. Trajektorie hmotného bodu je zadána těmito parametrickými rovnicemi: x = 2 sin 3t ,
y = 2 cos 3t (m; s). Napište obecnou rovnici trajektorie. Dále určete souřadnice vektoru
rychlosti a vektoru zrychlení jako funkce času, velikosti těchto vektorů, zrychlení tečné a
normálové. Načrtněte polohu hmotného bodu a vektory jeho rychlosti a zrychlení pro čas
@
@
<? = s a pro čas <" = s.
?"
"
[rovnice kružnice: x + y = 4 ; -A = 6 cos 3< , -D = −6 sin 3< , - = 6m. s3? , )A =
−18 sin 3< , )D = −18 cos 3< , )/ = 0 m.s-2, )9 = ) = 18 m.s-2; -A? = 3√2m. s 3? , -D? =
−3√2m. s 3? , )A? = )D? = −9√2m. s 3" ; -A" = 0m. s 3? , -D" = 6m. s 3? , )A" =
18m. s3" , )D" = 0m. s 3" ]
2
2
r
r
r
r
II/6. Poloha hmotného bodu je dána polohovým vektorem r = 3t 2 i + 2 j − 6 k . Určete vektor
rychlosti a zrychlení tohoto hmotného bodu, velikosti vektorů rychlosti a zrychlení, zrychlení
tečné a normálové. Všechny výsledky uveďte nejprve obecně, pak pro čas < = 3s. Co je
trajektorií hmotného bodu?
3" 3?
)/ , [- = 6<Hm. s 3? , ) = 6Hm. s 3" = )
9 = 0m. s , -*3, = 18Hm. s ,přímka]
II/7. Pohyb hmotného bodu je popsán rovnicemi x = 3 sin 2t ,
y = 3 cos 2t (m; s),
z = 40t − 8t 2 , kde t je čas (vše v základních jednotkách SI). Určete velikost rychlosti a
zrychlení hmotného bodu v čase 2 s od začátku pohybu. Určete tečné a normálové zrychlení
v tomto okamžiku. Charakterizujte pohyb.
[v = 10 m.s-1, a = 20 m.s-2, at= -12,8 m.s-2, an= 15,4 m.s-2]
II/8. Pohyb HB v rovině je popsán parametrickými rovnicemi x = A sin ωt , y = B sin ωt , kde
A = 0,3 m, B = 0,4 m, ω = 10 rad.s-1 a t je čas. Určete a) obecnou rovnici trajektorie hmotného
bodu a jeho největší vzdálenost od počátku soustavy souřadnic, b) velikost rychlosti a
zrychlení v čase 0 s, c) maximální velikost rychlosti a zrychlení.
2
2
+ y max
= 0,5
[a) 4 x − y = 0 , tj. přímka procházející počátkem soustavy souřadnic, r = xmax
3
m, b) v0 = 5 m.s-1, a0 = 0 m.s-2, c) vmax = 5 m.s-1, amax = 50 m.s-2 ]
II/9. Hmotný bod se pohybuje po kružnici poloměru 5 m, přičemž velikost jeho rychlosti se
mění podle rovnice: v = t 2 + 1 (m.s-1, s). Určete velikost normálového zrychlení, tečného a
celkového zrychlení na konci druhé sekundy od začátku pohybu.
[5 m.s-2, 4 m.s-2, 6,4 m.s-2]
II/10. Určete úhlovou rychlost otáčení Země kolem vlastní osy vzhledem k okolním hvězdám
(hvězdný den trvá 23 hodin 56 minut a 4 sekundy). Jakou obvodovou rychlost mají body na
rovníku a jakou v Ostravě? (Zeměpisná šířka Ostravy je cca 49° 50'.)
[7,2 10-5 s, 465 m·s-1, 300 m·s-1]
3
II/11. Rychlost bodů, které leží na obvodu rotujícího kotouče, je 6 m.s-1. Rychlost bodů, které
leží o 20 cm blíže ose otáčení, je 4 m.s-1. Určete úhlovou rychlost kotouče.
[10 rad.s-1]
II/12. Setrvačník o průměru 1 m koná 1000 otáček za minutu. Vypočtěte dráhu, kterou urazí
bod na obvodu setrvačníku za čas 20 s, a jeho obvodovou rychlost.
[1047,4 m, 52,3 m.s-1]
II/13. Dokažte, že jestliže se těleso roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením ε kolem
pevné osy, dostředivé zrychlení libovolného bodu tělesa je přímo úměrné úhlu φ, o který se
těleso otočilo.
[)I = 2JK%]
II/14. Ventilátor se otáčí s frekvencí 15 Hz. Za jakou dobu od vypnutí motoru se zastaví,
vykoná-li ještě 75 otáček a je-li jeho pohyb rovnoměrně zpomalený?
[10 s ]
III. Statika a dynamika translačního pohybu
III/1. Vagónu o hmotnosti 16 t byla udělena počáteční rychlostí 36 km.h-1, poté se vagón
pohyboval rovnoměrně zpomaleně až do úplného zastavení, přičemž urazil dráhu 0,5 km.
Určete velikost stálé brzdící síly, která působila proti směru jeho pohybu.
[1,6.103 N]
III/2. Chlapec tlačí po vodorovné podlaze bednu o hmotnosti 40 kg. Na bednu působí třecí
síla o velikosti 80 N.
a) Jak velký je součinitel smykového tření mezi bednou a podlahou?
b) Jak velkou vodorovnou silou působí chlapec na bednu, pohybuje-li se bedna rovnoměrně
zrychleně se zrychlením o velikosti 0,5 m.s-2?
[a) 0,2, b) 100 N ]
III/3. Na těleso hmotnosti 2 kg, které je na počátku v klidu, začne působit síla o velikosti
F = 4t + 1 (N, s), jejíž směr je konstantní.
a) Jaká je rychlost tohoto tělesa ve čtvrté sekundě?
b) Jaká je rovnice závislosti zrychlení tohoto tělesa na čase?
c) Jakou dráhu urazí těleso za tři sekundy od začátku působení síly?
[ a) 18 m.s-1, b) a = (2t+0,5) m.s-2, c) 11,25 m]
III/4. Dvě tělesa o hmotnostech 2 kg a 3 kg se nacházejí na vodorovné dokonale hladké
podložce a jsou spojena nehmotným lanem. Tělesa jsou tažena vodorovnou silou 10 N. Určete
a) jaké zrychlení síla tělesům udílí,
b) jakou silou je napjato lano mezi tělesy,
pokud
I) táhneme za první nebo
II) táhneme za druhé těleso.
F
m2
m1
= 2 m.s-2, TI =
F = 6 N, TII =
F =4N]
[ a I = a II =
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
4
III/5. Na těleso o hmotnosti 10 kg působí v jednom bodě dvě stálé síly, které jsou vzájemně
kolmé a mají velikosti 3 N a 4 N. Určete výsledné zrychlení tělesa, působí-li tyto síly
současně.
[0,5 m.s-2]
III/6. Automobil v zatáčce na
opuštěné silnici sjel z kluzké vozovky
a uvízl na rozbahněné krajnici. Řidič
se jej rozhodl vyprostit pomocí
pevného lana, jež napnul mezi auto a
strom u krajnice a pak je uprostřed
příčně napínal (viz obrázek). Byl-li
schopen táhnout maximální silou F =
500 N a lano se přitom odklonilo od
přímého směru o úhel 10°, jakou
silou působilo lano na auto?
[1440 N]
III/7. Předpokládejte, že všechna lana a kladky na obrázku se mohou pohybovat bez tření a
jejich hmotnosti jsou zanedbatelné (zakreslené síly nejsou v měřítku). Určete tahovou sílu,
jakou je třeba působit na volný konec lana, aby systém byl v klidu.
[G, G/2, G/(2sinα)]
5
III/8. Na otočné rovinné desce leží
v klidu kostka o hmotnosti 100 g. Úhel
náklonu α desky začneme postupně
zvětšovat, až po ní při náklonu
= 35°kostka začne klouzat. Jaký je
statický součinitel klidového tření
mezi kostkou a nakloněnou rovinou?
Jaký je dynamický součinitel
smykového tření, pohybuje-li se pak
(při tomtéž úhlu náklonu) se
zrychlením 1,6 m.s-2? Jaký by musel být úhel náklonu β, aby se kostka opět pohybovala
rovnoměrně? Jak velkou statickou třecí silou působila podložka na kostku pro úhel β při
zvedání nakloněné roviny, kdy se kostka vůči ní ještě nepohybovala?
P QRS T3U
[LM = tan =0,7;LO = PVWQ T = 0,5; = arctan LO = 26°34 ,Y/M = Z[ sin =
0,44\(pozor, nikoli Z[LM cos !)]
III/9. Po nakloněné rovině dlouhé 5 m s úhlem sklonu 30° klouže směrem dolů těleso o
hmotnosti 2 kg. Jakou rychlost těleso získá na úpatí nakloněné roviny, je-li součinitel
smykového tření mezi tělesem a podložkou 0,05?
[6,7 m.s-1]
III/10. V uspořádání na obrázku leží na
nakloněné rovině závaží hmotnosti m1 = 6
kg a přes kladku je spojeno lankem
zanedbatelné
hmotnosti
s
druhým
závažím, jehož hmotnost m2 neznáme.
Určete, v jakém intervalu muže ležet
neznámá hmotnost m2, aby byl celý systém
rovina
svírá
v klidu.
Nakloněná
s vodorovným směrem úhel 30° a statický
součinitel smykového tření mezi závažím
a touto rovinou je µS = 0,5.
[Z" ∈ 〈Z? *sin − μ_ cos ,;Z? *sin + μ_ cos ,〉 =〈0,4; 5,6〉kg ]
III/11. V nejvyšším bodě nakloněné roviny o délce 1,2 m a výšce 0,3 m je upevněna kladka.
Na jednom konci nitě vedené přes kladku je upevněno těleso o hmotnosti 0,5 kg, které se
pohybuje po nakloněné rovině, na druhém konci visí těleso o hmotnosti 140 g (dle obrázku).
Určete zrychlení těles a sílu, kterou je napínána nit.
Tření neuvažujte, hmotnost kladky a niti zanedbejte.
m gh
m2 g − 1
l = 0,23 m.s-2, F = ma = 1,34 N]
[ a=
m1 + m2
III/12. Kvádr o hmotnosti 0,5 kg leží na vodorovném
stole a je uváděn do pohybu závažím o hmotnosti 0,2 kg,
které je k němu připevněno nití vedenou přes kladku dle
6
obrázku. Součinitel
initel smykového tření
t ení mezi kvádrem a povrchem stolu je 0,2. Určete
Ur
zrychlení
kvádru a závaží a velikost síly, kterou
kterou je napínána nit. Hmotnost kladky a niti zanedbejte.
[1,4 m.s-2, 1,68 N ]
III/13. Ve výtahu stojí na osobní váze muž hmotnosti 800 kg. Jaké hodnoty bude váha
ukazovat a) přii rozjezdu vzhůru,
vzhů
b) při rovnoměrné jízdě vzhůru,
ru, c) při
př brzdění po jízdě
vzhůru, d) při rozjezdu dolů,
ů, e) při
p rovnoměrné jízdě dolů, f) při brzdění
ění po jízdě
jízd dolů, je-li
-2
rozjezdové a brzdné zrychlení kabiny 0,98 m·s
m a ustálená rychlost výtahu 2 m·s
m -1?
Situaci popište
a) v inerciálním vztažném systému spojeném se zemí
b) v systému spojeném s kabinou výtahu. Kdy je tento
systém inerciální a kdy neinerciální?
[a)) 99 kg, b) 90 kg, c) 81 kg, d) 81 kg, e) 90 kg, f) 99 kg,
kg
výtah je inerciální v klidu nebo rovnoměrném
rovnom
pohybu]
III/14. Zatáčku velodromu o poloměru
polom
50 m projíždějí
-1
závodníci rychlostí až 70 km.
m.h . O jaký úhel by musela
být pro tuto rychlost dráha ideálně
ideáln dráha nakloněna (tj. aby
ji mohli projet i bez tření)? Jakou silou pak působí
p
na 70
kg cyklistu kolo?
Situaci popište
a) v inerciálním systému spojeném se zemí
b) v neinerciálním systému spojeném s cyklistou.
bc
[ = arctan Pd 37°38 , 867
867N]
III/15. Na stolku v americké limuzíně
limuzín stojí
sklenice, statický součinitel tření
ení mezi ní a
stolkem je µ = 0,5. Limuzína
ína se rozjíždí z klidu
neklopenou zatáčkou o poloměru r = 200 m a
přitom rovnoměrně zrychluje se zrychlením 2,5
m·s−2. Jak dlouho vydrží sklenice v klidu vůči
v
stolku?
[Vede na rovnici *L[," )/" # 4
Uhc / c
d
"
8 ,odkud t = 11,6 s]
III/16. Na náledí se čelněě srazí osobní automobil o celkové hmotnosti m1 = 1 t a naložená
dodávka o celkové hmotnosti m2 = 5 t. Předpokládejte,
edpokládejte, že kabiny nárazu odolají a řidiči jsou
pevně spojeni s vozidly. Vyjádřete
Vyjád
poměr zrychlení, jimž jsou během
hem nárazu vystaveni řidič
menšího a řidič většího
tšího vozidla.
U
f
[Ue fc 5]
c
e
III/17. Určete,
ete, jakou rychlostí se začne
za
pohybovat střelec,
elec, který stojí na velmi hladké ledové
kře, po výstřelu z pušky vodorovným směrem.
sm
Hmotnost střelce s puškou je 75 kg, hmotnost
střely 10 g, počáteční
ní rychlost střely
st
je 400 m.s-1.
[0,053 m.s-1]
7
III/18. Na vozíku hmotnosti 10 kg stojí chlapec o hmotnosti 45 kg. Vozík se pohybuje
rychlostí 2 m.s-1. Chlapec během jízdy vyhodí z vozíku kámen o hmotnosti 0,6 kg ve směru
jízdy pod elevačním úhlem 30° rychlostí 10 m.s-1 vzhledem k Zemi. Jaká bude po vyhození
kamene rychlost vozíku i s chlapce? Tření a odpor vzduchu zanedbejte.
[ nápověda: řešte pomocí zákona zachování hybnosti. 1,93 m.s-1 v původním směru]
IV. Práce, energie, výkon
IV/1. Jak velkou práci je zapotřebí vykonat, abychom
odtáhli za provaz bednu o hmotnosti 50 kg po vodorovné
podlaze do vzdálenosti 6 m? Provaz svírá se směrem
posunutí úhel 30°. Součinitel smykového tření mezi
bednou a podlahou je 0,3.
µ mgs
[ W = F1s =
, po číselném dosazení 0,77 kJ]
1 + µ tgα
IV/2. Jak velkou práci musíme vykonat, chceme-li vytáhnout bednu o hmotnosti 200 kg po
nakloněné rovině délky 5 m do výšky 3 m
a) pokud je tření mezi deskou a bednou zanedbatelné,
b) pokud je součinitel smykového tření 0,4?
[a) 5,9 kJ; 9,0 kJ]
IV/3. Jaký je průměrný výkon jeřábu, který zvedá břemeno o hmotnosti 10 t do výšky 6 m za
dobu 2 min?
[4,9 kW ]
IV/4. Ze střechy budovy vysoké 60 metrů spadla cihla o hmotnosti 4,5 kg.
a) Jakou rychlost má cihla 10 m pod střechou?
b) Jak velkou kinetickou energii má cihla při dopadu na zem?
c) Za jak dlouho cihla dopadne na zem?
[ a) 14 m.s-1, b) 2600 J, c) 3,5 s ]
IV/5. Hokejista vystřelí puk hmotnosti 170 g po ledě rychlostí 140 km.h-1. Je-li součinitel
smykového tření mezi pukem a ledem 0,15, jakou rychlostí narazí na mantinel vzdálený 50
m? Jakou dráhu by urazil, kdyby v cestě neměl překážku? Pokud by puk zamířil vzhůru do
publika, do jaké výšky by mohl vyletět? Proveďte výpočet pomocí souvislosti mezi
vykonanou prací brzdné síly a změnou energie tělesa. Odpor vzduchu neuvažujte.
[133 km.h-1, 514 m, 77 m]
IV/6. Jaká práce je třeba k urychlení nákladního auta o hmotnosti 4 t při pohybu na vodorovné
silnici z rychlosti z 12 m.s-1 na 72 km.h-1? Jaká síla tuto práci koná?
[5,12.105 J ]
8
IV/7. Malé těleso klouže bez tření po nakloněné
rovině, která na konci přechází ve svislou
válcovou plochu o poloměru R. Určete, z jaké
výšky musíme těleso vypustit, aby těleso vykonalo
celou obrátku. Nápověda: vyjděte ze zákona
zachování mechanické energie; kritickým bodem
pohybu je bod na vrcholu válcové plochy.
[5/2 R]
IV/8. Těleso táhneme vzhůru po nakloněné rovině dlouhé 9 m s úhlem sklonu 30°. Součinitel
smykového tření je 0,2. S jakou účinností pracujeme (tj. jaký je poměr mezi nárůstem
potenciální energie tělesa a prací, kterou na něm vykonáme při rovnoměrném pohybu
vzhůru)?
W
η= 0=
[
W
mgssinα
sinα
=
= 0,743
mg sinα + µ cosα s sinα + µ cosα


]
IV/9. K určení rychlosti střely lze užít balistické kyvadlo
- třeba špalek zavěšený na dvojici závěsů (aby se
neotáčel), v němž střela uvízne, viz obrázek. Jaká byla
rychlost diabolky o hmotnosti m = 0, 536 g, vystřelené
ze vzduchové pistole, když vychýlila špalek o hmotnosti
M = 50 g do výšky h = 0,2 m?
fij
[- = f 2[ℎ = 187m. s3? ]
V. Statika tuhého tělesa
V/1. Homogenní tyč o délce 0,8 m a hmotnosti 6 kg je zavěšena na
dvou vláknech o stejné délce 0,5 m (dle obrázku). Určete tahové síly,
kterými vlákna působí na tyč.
[ F=
1
l
mg = 50 N]
2 l 2 − (a 2)2
V/2. Žulový čtyřboký pravidelný hranol má podstavnou hranu 60 cm
a výšku 80 cm. Jakou práci musíme vykonat, abychom hranol
překlopili z rovnovážné polohy stálé do rovnovážné polohy vratké,
stojí-li na vodorovné rovině čtvercovou stěnou? Hustota žuly je 2500
kg.m-3.
[720 J]
9
V/3. Určete souřadnice těžiště suché molitanové houby
tvaru kvádru, pokud ji lze považovat za homogenní (viz
obrázek, a = 10 cm, b = 8 cm, c = 20 cm). Jak se výsledek
změní, bude-li houba mokrá a její hustota bude klesat
s výškou podle vztahu l = *900 − 4000m, kg.m-3? Jaká
je pak hmotnost houby?
[T[4;5;10] cm; T´[4;5;7,33] cm, m = 0,8 kg ]
V/4. Určete těžiště sněhuláka, tvořeného koulemi o
poloměrech R, 2R a 3R, postavenými od největší po nejmenší jedna na druhé (viz obrázek
vlevo). Předpokládejte, že hustota sněhu je ve všech částech stejná.
[13R/3]
V/5. Kde je třeba umístit jedinou nohu designové stolové desky (určete y-ovou souřadnici),
která je tvořena homogenní kruhovou deskou o poloměru 2R, z níž je vyříznuta deska o
poloměru R (viz obrázek vpravo)? Nápověda: uvažujte, že plná deska o poloměru 2R je
tvořena vyřínutou deskou o poloměru R a zbylou částí. Jaký je vztah mezi jejich těžišti?
[7R/3]
V/6. Jaký musí být součinitel statického tření mezi
válcem o průměru d a výšce h a nakloněnou rovinou
s proměnným úhlem náklonu, aby se při zvětšování
náklonu válec překlopil, aniž by začal klouzat?
[L > o/ℎ]
V/7. Určete namáhání závěsu kladky a úhel α, víte-li, že
pomocí kladky (zanedbatelné hmotnosti) zvedáme těleso o
hmotnosti m = 50 kg a síla, kterou lano táhneme, svírá se
svislicí úhel β = 60°.
[R = 2mgcos α = 850 N, α = 30° ]
10
V/8. Určete namáhání závěsu a opory nosníku (viz obrázek).
Hmotnost nosníku je m = 30 kg, sklon závěsu α = 30°, délka
nosníku l = 2 m.
fP
fP
[p =
= 294N, Y9 = p cos = 255N, Y/ =
=
" QRS T
"
147N]
V/9. Žebřík o hmotnosti m stojí na drsné (tj. s nenulovým
součinitelem smykového tření) podlaze opřen o hladkou (tj.
s nulovým součinitelem smykového tření) zeď (viz obrázek
vlevo). Určete velikost působící třecí síly Ft, znáte-li úhel α.
Těžiště žebříku je v jeho polovině.
fP
[Y/ = " qrS T]
V/10. Na desce o hmotnosti m = 40 kg a délky l = 3 m se
houpají dvě děti o hmotnostech m1 = 30 kg a m2 = 50 kg (viz
zjednodušený náčrt na obrázku vlevo dole). Jak daleko od
prvního dítěte by měla být ideálně podepřena?
[x =1,75 m]
V/11. Určete reakce podpěr nosníku (viz obrázek vpravo nahoře). Hmotnosti zátěží jsou m1 =
25 kg, m2 = 100 kg, hmotnost nosníku je 80 kg. Střed nosníku je v polovině mezi podpěrami,
umístění zátěží je zřejmé z obrázku.
[R1 = 869 N, R2 = 1142 N]
VI. Dynamika tuhého tělesa
VI/1. Určete moment setrvačnosti obruče z tenkého drátu, hmotnosti m a poloměru R,
vzhledem k ose kolmé na rovinu obruče procházející a) jejím těžištěm, b) procházející obručí.
[a) mR2, b) 2mR2]
VI/2. Vzdálenost jader vodíku a chlóru v molekule HCl je l = 0,127.10-9 m. Hmotnosti vodíku
a chloru jsou mH = 1,01u a mCl = 35u, kde u je atomová hmotnostní jednotka, u = 1,66.10-27kg.
11
a) Určete x-ovou souřadnici xT hmotného středu T molekuly (jádro vodíku je v poloze x = 0,
jádro chlóru leží na kladné poloose x)
b) Vypočtěte moment setrvačnosti JT vzhledem k ose, která prochází hmotným středem T
soustavy kolmo na spojnici jader.
[ a) xT = 0,123.10-9 m b) JT = 2,63.10-47 kg·m2 ]
VI/3. Rotuje-li molekula z předchozí úlohy kolem dané osy s úhlovou rychlostí ω = 4,30.1012
rad s-1, vypočtěte kinetickou energii Ek molekuly při rotaci.
[Ek = 2,43.10-21 J]
VI/4. Setrvačník s momentem setrvačnosti 50 kg.m2 se roztáčí z klidu. Za jakou dobu dosáhne
frekvence 10 Hz, působí-li na něj moment síly o velikosti 314 N.m?
[10 s ]
VI/5.
S jakým zrychlením bude do studny padat okov s vodou, je-li jeho hmotnost 20 kg a lano
(jeho hmotnost neuvažujte) je navinuto na volně otočném rumpálu poloměru 10 cm a
momentu setrvačnosti 0,5 kg·m2?
fs c
[) = [ tifsc = 2,8 m·s 3"]
VI/6. Do jaké výšky by vystoupalo auto jedoucí vzhůru do kopce, které je poháněné pouze
setrvačníkem s momentem setrvačnosti 10 kg.m2? Setrvačník vykonává na začátku 3600
otáček za minutu. Hmotnost auta je 600 kg. Valivé tření a odpor vzduchu zanedbáváme.
[118,4 m ]
VI/7. Moment setrvačnosti homogenní koule hmotnosti m a poloměru R vzhledem k ose
jdoucí těžištěm je 2mR2/5. Určete moment setrvačnosti této koule vzhledem k ose, která se
koule dotýká.
[7mR2/5]
VI/8. Vypočítejte kinetickou energii válce hmotnosti 10 kg, který se valí po vodorovné
rovině. Těžiště válce se pohybuje rychlostí 10 m/s, tření neuvažujte, Jo = 0,5 m.r2.
[0,75 kJ ]
VI/9. Dutý válec se valí bez podkluzování a bez
ztrát valivým odporem nebo odporem vzduchu
dolů po nakloněné rovině, která přechází ve
vodorovnou rovinu. Jakou rychlost získá,
poklesne-li jeho výška o h?
[- = [ℎ]
VI/10. Svislý homogenní sloup o malém konstantním průřezu a výšce h byl podřezán u země
a složil se na bok. Určete a) jakou rychlostí dopadl na zem koncový bod sloupu, b) který bod
sloupu bude mít v okamžiku dopadu na zem stejnou rychlost, jako kdyby padal ze své výšky
volným pádem.
[ v=
2
3 gh , bod ve výšce h1 = h ]
3
12
VI/11. Dlouhé pravítko opřeme jedním koncem shora o desku stolu, druhý konec podepřeme
rukou tak, aby pravítko bylo zhruba vodorovné. Na pravítko položíme minci. Poté rukou o
kousíček prudce klesneme a pravítko znovu zachytíme. Kam musíme minci položit, aby po
zachycení o pravítko ťukla?
[do vzdálenosti větší než 2/3 l od podepřeného konce]
VII. Tíhové pole
VII/1. Kámen padá volným pádem do propasti o hloubce 122,5 m. Za jakou dobu uslyšíme
dopad kamene, je-li rychlost zvuku ve vzduchu 340 m.s-1?
[5,36 s]
VII/2. Těleso je vrženo svisle dolů do hloubky 90 m počáteční rychlostí 15 m.s-1. Za jakou
dobu a jakou rychlostí dopadne? Řešení proveďte dvěma způsoby: pomocí kinematických
pohybových rovnic a využitím zákona zachování mechanické energie a průměrné rychlosti.
[v = 44,6 m·s-1; t = 3,02 s ]
VII/3. Při natáčení akčního filmu má kaskadér na motocyklu za úkol najet na zbytek
odstřeleného mostu a přeskočit řeku. Vzhledem ke stavu mostu může dosáhnout nejvýše
rychlosti v = 130 km· h−1, výška mostu nad terénem je H = 10 m, šířka řeky D = 52 m. Může
úkol zvládnout?
"x
[ne, délka doletu o ≤ -w P < z]
VII/4. Z věže byl vržen kámen rychlostí 30 m.s-1 vodorovným směrem a dopadl na
vodorovný povrch Země za 4 s. Odpor vzduchu zanedbejte. Z jaké výšky byl kámen vržen?
V jaké vzdálenosti od svislé osy věže kámen dopadl? Jak velká je svislá složka rychlosti
kamene v okamžiku dopadu? Jak velká je vodorovná složka rychlosti kamene v okamžiku
dopadu?
[80 m, 120 m, 40 m.s-1, 30 m.s-1]
VII/5. Dokažte, že délka doletu při šikmém vrhu v homogenním tíhovém poli je stejná, pokud
@
@
hodíme tělísko stejnou počáteční rychlostí pod elevačním úhlem ∈ 〈0, " 〉nebo " − (tj.
pod stejným úhlem vůči svislému nebo vodorovnému směru).
[plyne ze vztahu, který odvodíme pro délku doletu: z =
13
"b c
P
sin cos ]
VII/6. Jakou počáteční rychlostí a pod jakým elevačním úhlem musíme hodit kámen,
abychom ho právě přehodili přes řeku širokou 35 m tak, že let trvá 1 s? Mohl by let trvat i
jinou dobu?
[7°58´, 35,4 m.s-1, ano]
VII/7. Kulová puma ohňostroje je připravena tak, že po výletu z odpalovacího zařízení na
vrcholu své dráhy, ve výšce h nad počátkem souřadné soustavy, exploduje tak, že její kousky
se v okamžiku exploze rozprsknou do všech směrů stejnou rychlostí v. Pokud by bylo možno
zanedbat odpor vzduchu, kde by se nacházely v libovolném pozdějším okamžiku?
?
"
[! " + $ " + 4m − ℎ + [< " 8 = - " < " ]
"
VIII. Mechanické kmitání a vlnění
VIII/1. Těleso koná netlumený harmonický pohyb s amplitudou výchylky 3 m, frekvencí 4
Hz. V čase t = 0 s se nachází ve vzdálenosti 1,5 m od rovnovážné polohy. Napište rovnici pro
okamžitou výchylku tělesa.
[ Nejprve určíme počáteční fázi z rovnice pro okamžitou výchylku y = A sin  ω t + ϕ 0  ,


π
π

ϕ 0 = rad . Pak dosadíme zadané hodnoty y = 3 sin 8π t +  (m, s).]
6
6

VIII/2. Těleso hmotnosti 4 kg koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice
y = 0,2 sin (0,5π t ) (m, s). Určete velikost síly, která působí na toto těleso při výchylce 0,1 m.
[ Sílu určíme podle vztahu F = k y = m ω 2 y = 4.(0,5π ) .0,1 = 0,98 N .]
2
VIII/3. Kmitající soustava pružina + těleso má mechanickou energii 1 J. Kmitání probíhá
s amplitudou výchylky 10 cm a maximální rychlost tělesa je 1,2 m/s.
a) Určete tuhost pružiny.
b) Určete hmotnost tělesa.
c) Určete frekvenci kmitání.
[ a) k=200 N.m-1, b) m = 1,39 kg, c) f = 1,9 Hz]
VIII/4. Uvažujte tlumené kmity, jejichž logaritmický dekrement útlumu je 0,2. Jaký je útlum,
tj. poměr dvou krajních výchylek následujících po sobě na tutéž stranu?
[ λ = eδ = 1,2 .]
VIII/5. Součinitel útlumu je b = 3 s-1. Určete dobu, za kterou klesne energie tlumených kmitů
na 20%.
1
ln 0,2
2 − 2b t
⇒ E = E e −2b t , 0,2 = e −2b t ,
= t = 0.27 s ]
[ E = k A0 e
0
− 2b
2

x
VIII/6. V homogenním prostředí se šíří vlna u = 0,5 sin 20π  t −  (m,s). Vypočítejte její
 30 
14
a) vlnovou délku,
b) frekvenci,
c) fázovou rychlost,
d) největší rychlost kmitajících částic,
e) největší zrychlení kmitajících částic
[ λ = 3 m, f = 10 Hz, v = 30 m.s-1, umax. = 31,4 m/s, amax. = 1974 m.s-2 ]
VIII/7. Struna, po níž se šíří vlny rychlostí 400 m/s, je na obou koncích v bodech x = 0 a
x = d uchycena v pevných svorkách. Strunu rozkmitáme tak, že kmitá s frekvencí 600 Hz a
vzniklá stojatá vlna má čtyři maxima o amplitudě 2 mm.
a) Jaká je vzdálenost mezi svorkami?
b) Napište rovnici výchylky jednotlivých částic struny jako funkci polohy částic a času.
[ d = 4/3 m, u = 2.10 −3 sin (3π x ) sin (1200 π t + ϕ 0 ) (m,s) ]
VIII/8. Určete vzdálenost dvou sousedních uzlů stojatého vlnění, které vzniklo interferencí
dvou vln periody 2.10-2 s, postupujících rychlostmi 1208 m/s proti sobě.
[ d = 12,08 m]
VIII/9. Dvě sinusové vlny o stejné vlnové délce postupují současně stejným směrem
v napnuté struně. Jejich amplitudy jsou 4 mm a 7 mm, fázové konstanty mají hodnotu 0 a 0,8
π rad. Jaká je amplituda výsledné vlny?
[ A = 4,44 mm]
IX. Akustika
IX/1. Pravidlo pro určení vzdálenosti v kilometrech od místa, kde udeřil blesk, doporučuje
počítat sekundy od chvíle, kdy je vidět blesk, až do chvíle, kdy je slyšet hrom a pak počet
sekund vydělit třemi. Vysvětlete toto pravidlo.
[rychlost zvuku]
IX/2. Vypočtěte vlnové délky odpovídající hranicím slyšitelného spektra cca 16 Hz – 20 kHz
pro rychlost 340 m.s-1.
[21 m, 17 mm]
{|
IX/3. Rychlost zvuku v plynech je dána vztahem- = w , kde κ je Poissonova konstanta
}
(poměr izobarické a izochorické tepelné kapacity), pro vzduch κ = 1,4. Vypočtěte rychlost
zvuku ve vzduchu za tzv. normálních podmínek, tj. pro t = 0 °C a p = 101,325 kPa, kdy ρ
=1,29 kg.m-3.
[332 m.s-1]
IX/4. Zohledněním souvislosti mezi tlakem, hustotou a teplotou lze ze vztahu v předchozí
úloze odvodit, že pro závislost rychlosti suchého zvuku na teplotě platí vztah - =
*331,57 + 0,607<, m.s-1. Jaká bude podle něj pro t1= -20 °C, t2= 0 °C a pro t3= 30 °C?
[319,43 m.s-1, 331,57 m.s-1, 349,78 m.s-1]
IX/5. Hladina intenzity (hlasitost) zvuku zvětšíme o 30 dB. Kolikrát se zvýší jeho intenzita?
[1000× ]
15
IX/6. Bodový zdroj výkonu 1 W izotropně vysílá zvukové vlny. Za předpokladu, že energie
vln se zachovává, jaká je intenzita zvuku ve vzdálenosti 1 m od zdroje?
P
[I =
= 0,08 W.m-2.]
2
4π r
IX/7. Rychlost zvuku v ledu je 3300 m.s-1. Vypočítejte modul pružnosti v tahu ledu, je-li jeho
hustota 9.102 kg.m-3. Nápověda: Rychlost podélných vln v pevné látce je dána vztahem
E
v=
.
ρ
[E = 9,8.109 Pa.]
IX/8. Vypočítejte modul pružnosti v tahu mědi, rozšíří-li se podélné vlnění v mědi do
vzdálenosti 1000 m za dobu 0,269 s. Hustota mědi je 8 960 kg.m-3.
[ E = 1,22.1011 Pa]
IX/9. Rychlost šíření podélných vln v oceli je v1= 5100 m.s-1. Jaká je rychlost šíření příčných
vln, jestliže Poissonovo číslo (udávající poměr relativních deformací v příčném a podélném
směru vzhledem k působící síle) je µ = 0,32? Nápověda: Pro rychlosti šíření podélných v1 a
E
G
E
příčných vln v2 platí vztahy v1 =
a v2 =
, kde modul pružnosti v torzi G =
.
2 ( µ + 1)
ρ
ρ
[ v2 = v1
1
= 3139 m ⋅ s-1 .]
2(µ + 1)
IX/10. Rychlost šíření příčných kmitů napjatou strunou je dána vztahem v =
σ
, kde σ je
ρ
napětí struny a ρ její hustota. Jakou silou je napínána struna odpovídající komornímu a na
houslích, kde je volná délka struny l = 22,5 cm, průřez struny 0,2 mm2, hustota 7800 kg.m-3?
[61 N]
X. Tekutiny
X/1. Na menší kruhový píst s obsahem S1 hydraulického lisu
působí kapalina silou F1. Spojovací trubka vede kapalinu k pístu
o podstatně větším obsahu S2. Písty jsou ve stejné výšce.
a) Jak velkou silou F2 působí kapalina na větší píst?
b) Jak velká síla F1 působící na malý píst vyváží tíhu předmětu
o hmotnosti 2 tuny ležícího na velkém pístu? Malý píst má
průměr 4 cm a velký 56 cm.
FS
[ F2 = 1 2 , F1 = 102 N ]
S1
X/2. Jaký hydrostatický tlak působil na rekordmana ve volném potápění Herberta Nitsche,
který se roku 2006 stylem no-limits ponořil do hloubky 183 metrů pod mořskou hladinu?
Hustota mořské vody je přibližně 1020 kg · m-3.
[1,83 MPa]
16
X/3. Největší přehradou světa je přehrada vodní elektrárny Tři soutěsky na Dlouhé řece (Jangc´-tiang) v Číne. Celková délka železobetonové hráze je 2309 metrů, její výška 185 m,
zaplavena vodou je do výšky h = 175 m. Jak velkou horizontální silou voda působí na hlavní
část hráze o délce l = 2092 m? Hráz pokládejte za obdélníkovou.
[3 · 1011 N]
X/4. Jaký objem zaoceánské dopravní lodě Freedom of the Seas je pod mořskou hladinou,
má-li při plném naložení výtlak 158 tisíc tun? Hustota mořské vody je přibližně 1020 kg · m-3.
[1,55 · 105 m3]
X/5. Vzducholoď LZ 129 Hinderburg, která shořela při nehodě v roce 1937, byla plněna
vodíkem. Hmotnost vzducholodě s nákladem byla až 240 tun (z toho 112 tun bylo užitečné
zatížení). Hustotu vzduchu uvažujte přibližně 1, 29 kg · m-3, vodíku 0, 09 kg · m-3 (obojí je při
0 °C). Jaký byl objem vodíkové náplně? Objem pevných částí vzducholodi neuvažujte.
[2 · 105 m3]
X/6. Při povodních roku 1954 zachránila Prahu před zaplavením právě dokončená, ale dosud
prázdná Slapská přehrada. Přehrada pojme až 0, 27 km3 vody, maximální průtok při povodni
byl 2900 m3 · s−1 (25-ti letá voda; při povodních v roce 2002 byl průtok téměř dvojnásobný).
Jak dlouho by trvalo, než by se přehrada při tomto průtoku zaplnila, nevypouštěla-li by vodu
žádnou? Jak dlouho by to trvalo při průměrném celoročním průtoku 90 m3 · s−1?
[Asi 26 hodin, téměř 35 dní]
X/7. Voda protéká hadicí o průřezu S1 = 3 cm2 rychlostí v1 = 2 m · s−1. Jakou rychlostí vytéká
ze zúženého nátrubku na konci hadice, jehož průřez je S2 = 1, 5 cm2? Jak dlouho trvá, než se
dostatečně zalije trávník, který potřebuje celkem 360 litrů vody?
[ v = 4 m.s-1, t =10 min]
X/8. Obsah průřezu aorty člověka je typicky 3 cm2 a krev jí proudí rychlostí 30 cm·s-1.
Vlásečnice mají průměr asi 6 µm a krev jimi proudí rychlostí cm·s-1. Kolik je v lidském těle
vlásečnic?
[cca 6·109]
X/9. Desetilitrové umyvadlo napouštíme ustáleným proudem vody
z kohoutku. Předpokládejte, že neobsahuje žádné vzduchové bublinky.
V místě výtoku je obsah kolmého průřezu proudu vody S1 = 2 cm2. O h
= 5 cm níže je pouze S2 = 0, 9 cm2. Za jak dlouho se naplní celé
umyvadlo?
17
[
, t = 100 s]
X/10. Zařízení na obrázku (Venturiova
trubice) umožňuje měřit rychlost proudící
kapaliny z rozdílu výšky výstupu kapaliny
v manometrických trubicích. Znáte-li tento
údaj a průřezy trubic, určete rychlost
proudění v1.
[
]
X/11. Ideální kapalina hustoty 103 kg.m-3 vytéká pouze působením své tíhy otvorem ve dně
průřezu S = 10-4 m2. Kolik m3 kapaliny za sekundu musíme do nádoby dodat, aby hladina
byla v konstantní výšce h = 2 m?
[Q=6,32.10-4 m3]
X/12. Ideální kapalina vytéká z otevřené nádoby malým otvorem účinkem své tíhy.
V okamžiku, kdy je výška hladiny nad výtokovým otvorem h, je výtoková rychlost v. Jaká
bude výtoková rychlost v okamžiku, kdy hladina klesne na h/2?
[v =
v
]
2
XI. Nauka o teple
XI/1. Mosazná tyč má při teplotě 20 °C délku 135 cm. O kolik procent bude delší při teplotě
90 °C? Součinitel teplotní délkové roztažnosti mosazi je 19⋅10-6 K-1.
[0,13 %]
XI/2. Kolik tepla potřebujete k ohřátí 2 kg vody z 0 °C na 100 °C? Ztráty neuvažujte, měrná
tepelná kapacita vody je 4,2⋅103 J⋅kg-1⋅K-1
[8,4⋅105 J]
XI/3. Určete vnitřní energii 2 molů a) jednoatomového a b) dvouatomového ideálního plynu
při teplotě 250 K. Určete v obou případech molární tepelnou kapacitu při stálém objemu a
tlaku. Molární plynová konstanta R=8,3145 J⋅K-1⋅mol-1.
[ a) 6,2 kJ; CmV = 12,47 J⋅K-1⋅mol-1; Cmp = 20,8 J⋅K-1⋅mol-1 b) 10,4 kJ; CmV = 20,8 J⋅K-1⋅mol-1;
Cmp = 29,1 J⋅K-1⋅mol-1]
18
XI/4. Odhadněte rozdíl hmotnosti vzduchu v nevytápěném sále o objemu 50 m3 v letním a
zimním období, jestliže budeme předpokládat letní teplotu 30 °C a zimní 0 °C. Tlak vzduchu
bude normální, tj. 1,01325⋅105 Pa.
[6,4 kg]
XI/5. Jakou práci vykoná ideální plyn při izotermické expanzi na 70 l, jestliže jeho počáteční
objem je 50 l a tlak 2⋅105 Pa? Přijal nebo odevzdal plyn teplo okolí?
[3 365 J]
XI/6. Do soustavy dodáme teplo při konstantním tlaku p = 105 Pa. Objem plynu se změní z V1
= 1 m3 na V2 = 10 m3. Určete velikost práce, kterou plyn vykoná.
[ A = 0,9 MJ]
V1
naftového motoru je 20. Píst při kompresi stlačuje vzduch
V2
z původního tlaku 105 Pa a teploty 20°C. Určete výslednou teplotu a tlak vzduchu na konci
komprese, jestliže stlačování je adiabatické. Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4.
[6,63⋅106 Pa; 698,6°C ]
XI/7. Kompresní poměr
XI/8. Kyslík má počáteční teplotu <1 = 200 °C a koná ideální Carnotův kruhový děj. Nejprve
expanduje izotermicky na dvojnásobek objemu, poté expanduje adiabaticky na trojnásobek
počátečního objemu, aby byl stlačen izotermicky na takový objem, který umožní následnou
adiabatickou kompresí uzavřít celý cyklus. Kyslíku je 2000 mol.
a) Nakreslete pV diagram tohoto cyklu
b) Určete pracovní teploty T12 a T34, mezi nimiž děj probíhá.
c) Určete objem V4.
d) Vypočtěte teplo dodané ohřívačem, chladičem a práci kyslíku vykonanou za celý
cyklus.
e) Odvoďte vztah pro účinnost daného kruhového děje a vypočtěte ji.
Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4.
~
[b) T12 = 473 K, p57 = p?" 4~c 8

{3?
= 402 K, c) ze soustavy rovnic pro 2 izotermické a 2
adiabatické děje snadno dostaneme €7 =
~c
~e ~
~c
5
= " €? , d) ohřívač dodá ?" = ?" =
~
~
‚%p?" ln ~ =5,45 MJ, chladič dodá:57 = 57 = ‚%p57 ln ~„ = −‚%p57 ln ~c = -4,63 MJ,
e

e
celková práce = ?" + "5 + 57 + 7? , protože ale celková změna vnitřní energie za
jeden cyklus je nulová, musí být "5 + 7? = ∆†"5 + ∆†7? = 0, odtud: = ?" + 57 =
12+34= 0,82 MJ , d) Š=12=1−p34p12=15%]
XI/9. Uvažujte tyč průřezu S a délky l, která je z materiálu, jehož součinitel tepelné vodivosti
je λ. Konce tyče udržujeme na konstantních teplotách T1 a T2. Libovolným průřezem tyče S
projde za dobu τ teplo Q. Vezmeme-li tyč průřezu S1 = S/2, jaké teplo projde libovolným
průřezem tyče S1?
[ Q/2]
19
XI/10. Jaký musí mít výkon elektrická kamna, jestliže má být v místnosti trvale teplota
20 °C? Za okny je přitom mráz –22 °C. Stěny mají obsah 33 m2, tloušťka stěn je 80 cm,
součinitel tepelné vodivosti stěny 8,36⋅10-3 J⋅K-1⋅s-1⋅cm-1, součinitel přestupu tepla na rozhraní
stěna-vzduch je na obou stranách stejný a má hodnotu 1,05⋅10-3 J⋅K-1⋅s-1⋅cm-2.
t1′ − t2′
2
l 
τ = α Sτ ( t2′ − t2 ) , t1 − t2 = Q 
+

l
 α Sτ λ Sτ 
S ( t1 − t2 )
P=
Q
2 l
Protože výkon je P = , tak
+
[ Q = α Sτ ( t1 − t1′ ) = λ S
τ
α
λ
P == 1207,93 W ≅ 1,2 kW ]
XI/11. V bytovém domě tvoří okna 45% plochy fasády. a) Jak se sníží tepelné ztráty fasádou,
budou-li stará okna se součinitelem prostupu tepla U1= 3,4 W⋅m-2⋅K-1 vyměněna za nová, kde
U’1= 1,2 W⋅m-2⋅K-1? Původní zeď má U2= 1,4 W⋅m-2⋅K-1. b) Jak se sníží tepelné ztráty
fasádou, bude-li dům současně zateplen, takže pro zdi bude nově U’2= 0,3 W⋅m-2⋅K-1?
[a) o 43% b) o 69%]
XII. Optika
XII/1. Silný třpyt diamantu je způsoben malým mezným
úhlem 24o36´. Vypočítejte index lomu diamantu.
nD sin α m = n sin 90 0
[2,402]
XII/2. Vypočítejte, jakou minimální výšku musí mít rovinné
zrcadlo na svislé stěně, aby pozorovatel výšky H = 180 cm
v něm mohl vidět celou svou postavu.
[H/2]
XII/3. Předmět a jeho obraz mají od ohniska dutého zrcadla vzdálenosti x = 50 cm, x´= 32
cm. Vypočítejte ohniskovou vzdálenost zrcadla.
[ f = x ⋅ x´ ⇒ f = 40cm ]
XII/4. Poloměr vypuklého zrcadla je 20 cm. Ve vzdálenosti 30 cm od zrcadla je umístěn
předmět velikosti 1 cm. Vypočítejte, kde vznikne obraz a jak bude veliký.
af
b=−
⇒ b = −7,5cm
a+ f
yb
y´= −
⇒ y´= +0, 25cm
a
[
( b < 0 ) , přímý ( y′ > 0) , zmenšený ( y′ < y ) ]
Atributy obrazu: virtuální
20
XII/5. Tenká čočka zobrazí předmět vzdálený 0,75 m od čočky do vzdálenosti 0,35 m za ní.
Vypočítejte předmětovou ohniskovou vzdálenost čočky.
ab
f =
⇒ f = 0, 24m
a+b
[
]
XII/6. Předmět je umístěn 8 cm před rozptylkou ohniskové vzdálenosti 24 cm. Vypočítejte
polohu obrazu a příčné zvětšení obrazu.
af
b=−
⇒ b = −6cm
a+ f
b
Z = − ⇒ Z = +0, 75
a
[
( b < 0 ) , přímý ( y′ > 0) , zmenšený ( Z < 1) .]
Atributy obrazu: virtuální
XII/7. Vypočítejte, jaký světelný tok dopadá na plochu 20x30 cm2, jestliže ji osvětlíme kolmo
z bodového světelného zdroje o svítivosti 80 cd ze vzdálenosti 2,4 m.
∆S
∆Φ = I 2 ⇒ ∆Φ = 0,83 lm
r
[
]
XII/8. Vypočítejte, jaká je svítivost 100 W žárovky, jestliže je její světelný tok vyslaný do
celého prostoru 1260 lm, a jaká je světelná účinnost.
∆Φ
I=
⇒ I = 100 cd
4π
Φ
K = ⇒ K = 12, 6 lm ⋅ W -1
P
[
]
XII/9. Na rýsování je požadováno osvětlení přibližně 250 lx. Vypočítejte osvětlení pro 100 W
žárovku o svítivosti 138cd, která visí 1,5 m kolmo nad plochou stolu.
E=
[
I
⇒ E ′ = 61 lx
r2
S ohledem na doporučované osvětlení rýsovací plochy je zapotřebí zvolit žárovku s větší
svítivostí (asi 563cd), anebo zmenšit kolmou vzdálenost žárovky od roviny stolu (asi na
0,74m).]
XII/10. Na čtení je požadováno osvětlení přibližně 50 lx. Vypočítejte, v jaké výšce nad
stolem je třeba zavěsit lampu o svítivosti 50 cd, abychom dosáhli předepsaného osvětlení
v místě kolmo pod lampou, a rovněž vypočítejte osvětlení pro čtenáře, pro kterého
osvětlovaná plocha není kolmá na směr šíření světla, ale paprsky na ni dopadají pod úhlem
450.
I
E ′ = 2 cos α ⇒ E ′ = 35, 4 lx
r
[
S ohledem na předepsané osvětlení je pro 1. čtenáře zapotřebí zavěsit lampu do výšky 1m
kolmo nad pracovní stůl. Pro 2. čtenáře, který sedí u téhož stolu 1m od 1. čtenáře, by však toto
osvětlení bylo nedostatečné.]
21
XII/11. Viditelná oblast záření (světlo) je v intervalu vlnových délek 380nm-760nm.
Vypočítejte k tomuto intervalu elektromagnetického spektra odpovídající frekvence.
c
υ1 = ⇒ υ1 = 7, 5 ⋅1014 Hz
λ1
υ2 =
c
⇒ υ2 = 4, 3 ⋅1014 Hz
λ2
[
]
XII/12. Na promítací stěně vzdálené 5m od clony se dvěma štěrbinami vznikly interferenční
proužky o vzdálenosti 3mm. Vypočítejte, jaká je vlnová délka světla použitého pro osvětlení
clony, jsou-li štěrbiny od sebe vzdáleny 1mm.
bx
λ=
⇒ λ = 6 ⋅10 −7 m
dm
]
[
XII/13. Vypočítejte, jakou energii má foton vlnové délky 470nm.
hc
E=
⇒
E = 4, 2 ⋅10 −19 J = 2, 6eV ]
λ
[
XIII. Jaderná fyzika
235
XIII/1. Vypočítejte vazebnou energii izotopu 92 U ; mj = 235,043925mu
mu = 1, 66 ⋅10 −27 kg
; c = 3⋅108m⋅s-1, m = 1,007825m m = 1,008665m
H
u,
N
u
−10
[ E = 2,8611295 ⋅10 J = 1800MeV ]
XIII/2. Kinetická energie α částice, která opouští jádro atomu
rozpadu, je 4,78 MeV. Vypočítejte rychlost α částice.
v=
[
2 Eα K
( Zm + ( A − Z ) m ) m
H
N
226
Ra při radioaktivním
⇒ v = 1,51⋅107 m ⋅ s −1
u
]
XIII/3. Vypočítejte poločas radioaktivního rozpadu radioaktivní látky, víme-li, že během
120 s se zmenší rozpadem její hmotnost o 20%.
N0
ln 2
= N 0 e −λ⋅T ⇒ λ =
T
[ 2
N = N 0e
−
ln 2
⋅∆t
T
, T = 371s ]
XIII/4. Vypočítejte věk dřevěných egyptských starožitností, u kterých byla naměřena aktivita
14
uhlíku 6 C jen 60% v porovnání s aktivitou čerstvého dřeva. Podle MFCh tabulek lze určit
poločas přeměny uhlíku na 5568 let.
T
A
ln 2
−
t
t=−
ln
⇒ t = 4104 let
T
A
=
A
e
ln
2
A
0
0
[
,
]
22
Použitá literatura:
Barčová K. a kol.: Sbírka úloh z fyziky, VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2006
Trojková J.: Základy fyziky, VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2007
Trojková J., Ciprian D.: Sbírka úloh z fyziky I, VŠB - Technická univerzita Ostrava, 2007
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Fyzika 1 – 5, Vutium Brno a Prometheus Praha, 2000
23
Download

t - Institut Fyziky - VŠB