INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
1. KLASICKÁ MECHANIKA:
-
mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů
Mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů:
1 3
t 2t 2 8t 7,5 , a) jakou dráhu urazí hmotný bod za první tři sekundy svého pohybu, b) jakou má
6
počáteční rychlost a zrychlení, c) ve kterém okamžiku je jeho pohyb rovnoměrný?
D1)
Pohyb hmotného bodu je dán rovnicí s
D2)
Pro rychlost hmotného bodu platí rovnice v 9t 2 8t 3 , a) jakou dráhu urazí hmotný bod mezi druhou a pátou sekundou,
b) kdy je zrychlení nulové a jakou rychlost má hmotný bod v tom okamžiku, c) kdy je hmotný bod v klidu?
D3)
Vypočítejte zrychlení člověka na 40°severní šířky způsobené rotací Země.
D4)
Vlak se rozjíždí z klidu se zrychlením, které rovnoměrně narůstá a to tak, že za 100 s má hodnotu 0,5 m∙s .
Určete rychlost vlaku po 100 sekundách pohybu a dráhu, kterou vlak za tu dobu urazí.
D5)
Hmotný bod se pohybuje se zrychlením, které závisí na čase dle vztahu a = k∙t, kde k = 3m.s-3. Určete dráhu, kterou hmotný bod urazí od konce
druhé do konce šesté sekundy, je-li na počátku pohybu v čase t =0s jeho rychlost 2m.s-2, počáteční dráha je nulová.
112 m
0,0218 m/s2
-2
1. Pohyb hmotného bodu v rovině Oxy je zadán rovnicemi: x
trajektorii bodu a studujte jeho pohyb.
[část paraboly, průsečíky s osou x v časech
perioda 2π, rychlost vx
a cos t , v y
4
a sin t, y
25 m/s; 833 m
2a cos 2t, a > 0 . Určete
, 5 , průsečíky s osou y v časech 0, π, rozsah x=a, maximum y=2a,
4
4a sin 2t ]
2. Pohyb hmotného bodu pohybujícího se v rovině Oxy je popsán rovnicemi x A sin t ,
y B cos t , kde A=0,4m, B=0,2 m, =0,5 rad.s-1.
Určete a) rovnici trajektorie, b) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy x = 0,
c) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy y = 0,
d) poloměr křivosti trajektorie v okamžiku, kdy x = 0 a v okamžiku, kdy y = 0.
[elipsa, střed v počátku SS, poloosy 0,4m a 0,2m, b)0,2 m/s, -0,05 m/s2, c) -0,1m/s, -0,1 m/s2, d) 0,8m, 0,1 m]
3. Z okraje pobřežního útesu ve výšce 10 m nad hladinou moře vyhodíme míček rychlostí 5 m/s
pod úhlem 30° vzhledem k horizontální rovině. V jaké vodorovné vzdálenosti od paty útesu
dopadne míček na hladinu moře? Odpor vzduchu zanedbejte. [7,3 m pro g=10m/s2]
4. Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v nestabilní poloze. Pokud ho vychýlíme z této
polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí
hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého průměru koule dopadne na vodorovnou
podložku, je-li poloměr koule 1,5m?
[0,5 m(rozdíl výšek), 2,18 m]
5. Malá kulička se pohybuje po vodorovné rovině rychlostí v0. Rovina je zakončena válcovou
plochou o poloměru r. Určete rychlost tělesa v závislosti na úhlu, který svírá průvodič bodu
(s počátkem ve středu válcové plochy) se svislým průměrem. Jaká je minimální rychlost kuličky
pro bezpečný průjezd smyčkou? Vlastní rotaci kuličky zanedbejte.
[v
v02 2 gr 1 cos
P1)
Pohybové rovnice částice jsou dány x R cos t , y R sin t , z
P2)
Určete délku dráhy uraženou částicí za dobu t, poloměr křivosti trajektorie a zrychlení částice.
Těleso je vrženo rychlostí v0 pod elevačním úhlem .
Určete a) dobu pohybu, b) délku doletu, c) výšku výstupu, d) úhel, pod kterým je nutno těleso hodit,
aby délka doletu byla maximální, f) rychlost v libovolném bodě dráhy. (odvození)
, v0
5gr ]
k
2
t.
D6) Určete vzdálenost (vodorovnou odlehlost místa), kam je třeba umístit nákladový vozík, aby
materiál dopravovaný rychlostí 2,2 m/s po dopravníkovém pásu dopadal do středu vozíku, je-li
sklon dopravníku 20° od vodorovné roviny a výškový rozdíl konce pásu a ložné plochy vozíku
činí 4m. [2,034m]
Komentář [VO1]: Výsledek platí pro
g=9,81m/s2, materiál na dopravníku stoupá.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
mechanika tuhých těles – výpočet těžiště a momentu setrvačnosti tělesa, rotační pohyby,
Coriolisova síla
-
Dynamika tuhých těles – rotační pohyby, moment hybnosti:
6. Válec o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu . Určete jeho
zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice.
2
[ g sin ]
3
7. Na válci o hmotnosti M a poloměru R je namotáno lanko se závažím o hmotnosti m. Po uvolnění
klesne závaží o dráhu h za čas t. Určete moment setrvačnosti válce a) pomocí zákona zachování
mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice.
gt 2
[ m1 R 2
1 ]
2h
8. Na každém konci provazu vedeném přes kladku je v téže výšce opice. V určitém okamžiku začne
jedna z opic šplhat vzhůru rychlostí v vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se tato opice blíží ke
v
kladce? Co se děje s druhou opicí? Hmotnosti opic jsou stejné.
[u u
]
2
9. Přes pevnou kladku prochází provaz, na jehož koncích jsou opice o stejných hmotnostech. Obě
opice začnou současně šplhat vzhůru, jedna rychlostí v a druhá rychlostí dvojnásobnou
3v
vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se opice blíží ke kladce?
[u u
]
2
D7) Koule o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu . Určete její
zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice.
5
[ g sin ]
7
D8) Na homogenní válec o poloměru 0,4 m a hmotnosti 2000 kg začne působit moment 10 Nm. Za
jakou dobu udělí tento moment válci rychlost, které odpovídá frekvence otáčení 2 Hz? [201s]
P1) Žebřík o hmotnosti m stojí na drsné podlaze opřen o hladkou zeď. Určete velikost působící třecí síly,
znáte-li úhel, který svírá pata žebříku s vodorovnou podlahou. Těžiště žebříku je v jeho polovině.
P2) Dvě koule se mohou pohybovat po vodorovné tyči, jejíž hmotnost je zanedbatelné malá. Koule jsou
udržovány vláknem v symetrické poloze vzhledem k ose otáčení tak, že jsou ve vzdálenosti 0,1m od
osy. Tyč se otáčí kolem svislé osy jdoucí jejím středem s frekvencí 8 Hz. V určitém okamžiku vlákno
přepálíme a koule se posunou na konce tyče do vzdálenosti 0,4 m od osy otáčení. Jaká bude potom
frekvence rotačního pohybu?
Dynamika tuhých těles – výpočet těžiště:
10. Určete těžiště tělesa (viz obrázek) složeného
z krychle o straně a a hranolu o základně a a a
výšce 4a , je-li hustota obou těles shodná.
a
a
a
[
4a
17a 7 a
, ]
10 10
11. Určete těžiště homogenní polokoule o poloměru R a hustotě
.
D9) Určete těžiště plného přímého kužele o výšce v a poloměru základny R .
3R
]
8
3v
[ 0, ]
4
[ 0,
P1) Určete polohu těžiště homogenní desky zanedbatelné tloušťky tvaru půlkruhu o poloměru R.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
Dynamika tuhých těles – výpočet momentu setrvačnosti:
12. Vypočtěte moment setrvačnosti čtverce z tenkého homogenního drátu vzhledem k ose jdoucí
5
jednou stranou čtverce. Strana čtverce má délku a a hmotnost celého čtverce je m . [ ma 2 ]
12
13. Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče vzhledem k ose o, která prochází jedním
1
z jejich konců a svírá s tyčí úhel .
[ ml02 sin 2 ]
3
D10) Určete moment setrvačnosti válce vzhledem k ose jdoucí těžištěm kolmo na osu symetrie.
P1)
Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose kolmé na
tyč procházející a) středem, b) koncovým bodem tyče.
Dynamika tuhých těles – pohybové rovnice, Coriolisova síla:
14. Vypočtěte velikost Coriolisovy síly, která působí na železniční vůz o hmotnosti 10 4 kg, jede-li
vůz v místě na severní zeměpisné šířce 60° rychlostí 20 m/s směrem a) od jihu k severu, b) od
západu k východu.
[25 N doprava (na východ), 29 N (od osy Země)]
15. Na zemském rovníku je z děla vystřelen náboj o hmotnosti 5 kg počáteční rychlostí 600 m/s.
Určete velikost Coriolisovy síly, která působí na náboj v okamžiku výstřelu, je-li vystřeleno
a) vodorovně směrem k severu, b) vodorovně směrem k západu, c) svisle vzhůru,
d) pod úhlem 30° směrem k severu, e) pod úhlem 30°směrem k západu.
Úhlová rychlost rotace země je 7,29.10-5 rad.s-1.
[a)0 N, b) 0,44 N – do středu Země, c) 0,44N – na západ, d) 0,22N – na západ, e) 0,44N]
D11) V místě na 45° severní zeměpisné šířky padá svisle dolů těleso o hmotnosti 10 kg rychlostí 100 m/s.
Určete velikost Coriolisovy síly, která na těleso působí, a porovnejte ji s velikostí síly tíhové.
D12) Na těleso o hmotnosti m pohybující se rychlosti v0 rovnoměrně přímočaře začne v okamžiku
t = 0s působit odporující síla, která je úměrná rychlosti tělesa. Určete časové závislosti
zrychlení, rychlosti a dráhy pohybujícího se tělesa.
P1)
Vztažná soustava se vzhledem k inerciální vztažné soustavě otáčí rovnoměrně zrychleně s úhlovým
zrychlením 2 rad.s-2. V otáčející se soustavě se pohybuje hmotný bod o hmotnosti 1 kg. V okamžiku,
kdy je úhlová rychlost soustavy 2 rad/s je hmotný bod ve vzdálenosti 3 m od osy rotace, jeho rychlost
má vzhledem k otáčející se soustavě velikost 2,5 m/s a směřuje od osy otáčení. Určete velikost
výsledné setrvačné síly působící na hmotný bod.
-
mechanické kmitání – řešení pohybových rovnic harmonického, tlumeného a vynuceného
kmitání, stav rezonance, kyvadla
Mechanické kmitání – netlumené:
16. Jaká je frekvence netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu hmotnosti 2 g, je-li
amplituda pohybu 10 cm a celková energie hmotného bodu je 1 J?
[50,35 Hz]
D13) Kruhová deska uložená v horizontální rovině koná ve svislém směru kmitavý pohyb
s amplitudou 0,75 m. Jaká může být maximální frekvence kmitání desky, aby se předmět
uložený na desku od ní neoddělil?
[0,576Hz]
D14) Hmotný bod kmitá harmonicky s periodou 2s a počáteční fází 60°. Napište rovnici výchylky
tohoto kmitání a určete, za jak dlouho od počátečního okamžiku dosáhne poprvé hmotný bod
výchylky odpovídající jedné pětině amplitudy výchylky.
[0,603s]
D15) Maximální zrychlení harmonického kmitavého pohybu hmotné částice je 49,3 cm.s-2, jeho
perioda 2 s. Zapište rovnici pro okamžitou výchylku tohoto pohybu, je-li v čase t 0 s vzdálenost
kmitající částice od rovnovážné polohy 2,5 cm.
0,05sin t 0,524
D16) Pružina, jejíž hmotnost lze zanedbat, se závažím 20 g prodlouží o 4 cm. Jaké závaží je nutno na
pružinu zavěsit, aby při harmonickém pohybu s amplitudou 15 cm procházelo rovnovážnou
polohou rychlostí 1 m.s-1.
[0,11kg]
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
Mechanické kmitání – tlumené:
17. Pozorováním tlumeného kmitání bylo zjištěno, že po dvou po sobě jdoucích výchylkách na tu
stejnou stranu se amplituda kmitů zmenšila o 6/10 a doba kmitu je 0,5 s. Určete koeficient
útlumu a frekvenci netlumených kmitů, které by probíhaly za jinak stejných podmínek.
[1,83 s-1, 2,02 Hz]
18. Jaký je logaritmický dekrement útlumu tlumeného harmonického kmitání hmotného bodu,
jestliže za 10s trvání pohybu hmotný bod ztratí 50% své mechanické energie, je-li perioda 2s?
[0,0693]
D17) Součinitel útlumu je pro mechanické tlumené kmitání roven 3 s-1. Určete dobu, za kterou klesne
energie kmitů na 20%.
D18) Amplituda tlumeného kmitání je za 10 s od začátku kmitání 1,1 cm, za 21 s od začátku kmitání
0,3 cm. Vypočítejte součinitel tlumení a počáteční amplitudu daného pohybu.
P1) Perioda tlumených kmitů je 0,2 s, přičemž poměr amplitud první a šesté je roven 13. Vypočtěte
rezonanční frekvenci kmitající soustavy.
Mechanické kmitání – vynucené:
19. Jaká je rezonanční amplituda hmotného bodu konajícího nucené harmonické kmity, je-li jeho
hmotnost 100 g, vlastní úhlová frekvence 20 s -1, útlumu 3 s-1, amplituda budící síly 10 N? Určete
rezonanční úhlovou frekvenci.
[84,3 cm, 19,54 s-1]
D19) Na pružinový oscilátor, jehož parametry jsou: hmotnost 0,5kg a tuhost pružiny 9,0 N.m-1,
působí periodicky proměnná síla Fn 2 sin 4t . Součinitel tlumení je 2s-1. Určete
a) amplitudu nuceného kmitání tohoto oscilátoru,
b) rezonanční úhlovou frekvenci a amplitudu kmitů při rezonanci.
Mechanické kmitání – kyvadla:
20. Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného tenkou obručí o poloměru R, kývající kolem
vodorovné osy jdoucí bodem na obvodu obruče kolmo k její rovině.
[ L 2R ]
21. Tíhové zrychlení bylo měřeno pomocí matematického kyvadla s velmi dlouhým závěsem, jeho
délku nebylo možno určit. Při původní délce kyvadla byla doba kyvu 2s, při zkrácení kyvadla
o délku 0,75 m se doba kyvu změnila na 1,8 s. Jaká hodnota tíhového zrychlení byla z těchto
naměřených hodnot stanovena?
[9,74 m/s2]
D20) Určete dobu kmitu a redukovanou délku homogenního disku o poloměru R, který kývá kolem
vodorovné osy procházející ve vzdálenosti R/2 od středu disku kolmo k jeho rovině.
[2
2 g 3R
;
]
3R 2
D21) Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného velmi tenkou homogenní tyčí délky l, která
kývá kolem vodorovné osy jdoucí koncovým bodem tyče.
[
2L
]
3
D22) Mějme reverzní kyvadlo. Poloměr setrvačnosti kyvadla, které kývá kolem osy O1, je 0,5m,
vzdálenost osy od těžiště je a=0,3m. V jaké vzdálenosti x musí procházet druhá osa O 2, aby
doba kmitu kolem obou os byla stejná?
[0,833m]
P1) Fyzické kyvadlo tvoří tenká homogenní tyč délky 35 cm. Určete, v jaké vzdálenosti od těžiště tyče
musíme umístit osu otáčení kyvadla, aby frekvence kmitů byla maximální?
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
-
mechanické vlnění – vlnová rovnice, Dopplerův jev
Mechanické vlnění – vlnová rovnice, Dopplerův jev:
22. Ze zdroje vlnění, který kmitá s periodou 1 ms, se šíří vlnění ve směru přímky. Dva body této
přímky vzdálené od zdroje 12 a 14,7 m kmitají s fázovým rozdílem (3/ 2) rad. Vypočítejte
velikost fázové rychlosti vlnění.
[3600 m/s]
23. Ze zdroje vlnění se šíří vlna ve směru přímky. Bod ve vzdálenosti 0,04 m od zdroje vlnění má
v okamžiku T/6 výchylku rovnu polovině amplitudy. Vypočítejte vlnovou délku vlnění.
[0,48 m]
24. Stojíte ve vzdálenosti D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů stejně. Když se
přemístíte o 50 m blíže, zjistíte, že se intenzita vln zdvojnásobila. Vypočtěte původní vzdálenost D.
[170,7 m]
D23) Dvě ponorky se pohybují proti sobě v přibližně stejné hloubce. První se pohybuje rychlostí
10 m/s a vysílá ultrazvukové vlny s frekvencí 50 kHz, které se ve vodě šíří rychlostí 1408 m/s.
Po odrazu od druhé ponorky detekuje první ponorka odražený signál s frekvencí 52 kHz.
Určete rychlost druhé ponorky.
H1) Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr blížícího se a vzdalujícího se
vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4(velká tercie)? Rychlost zvuku je 340 m/s.
2. RELATIVISTICKÁ MECHANIKA
-
Einsteinovy postuláty a Lorentzova transformace
základy relativistické kinematiky a dynamiky
D24) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k inerciální vztažné soustavě S rovnoměrně přímočaře
rychlostí 0,6c. V soustavě S/ je umístěna tyč o délce 10 m tak, že je rovnoběžná s vektorem
relativní rychlosti obou soustav. Jakou délku této tyče změří pozorovatel v soustavě S? [8m]
D25) Mezon se pohybuje rychlostí 0,8c vzhledem k pozorovateli. Jakou dobu života T mezonu zjistí
pozorovatel, je-li za klidu doba života mezonu 2,4.10-8 s?
[4.10-8 s]
D26) Kosmická loď prolétá kolem sluneční soustavy rychlostí 0,98 c. Na Zemi probíhá určitý děj po
dobu půl hodiny. Jakou dobu trvání tohoto děje zjistí pozorovatel v kosmické lodi?
[2,5 h]
D27) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S/ se pohybuje
částice rychlostí 2c/3. Vektory obou rychlostí jsou stejného směru i orientace. Určete rychlost
částice vzhledem k soustavě S.
[8m]
D28) Vypočítejte klidovou energii elektronu, je-li jeho hmotnost 9,1.10-31 kg. [8,2.10-14 J = 0,51 MeV]
D29) Jaká je hmotnost částice o klidové hmotnosti m, je-li její rychlost 0,99999992c?
[2500m]
25. Jakou rychlost má částice, je-li její kinetická energie rovna energii klidové? [ c 3 ]
4
26. Energie relativistických mionů je 3 GeV. Určete dráhu L, kterou urazí za dobu své existence,
jestliže klidová energie mionu je 110 MeV a doba existence mionu je 2,2.10-6 s.
[17,975 km]
27. Homogenní těleso tvaru krychle o hraně 0,1 m má klidovou hmotnost 6 kg. Vypočtěte hustotu
tělesa a) v soustavě, vzhledem k níž je těleso v klidu, b) v soustavě, vzhledem k níž se těleso
pohybuje rychlostí 0,5 c.
[a) 6000 kg.m-3, b) 8000 kg.m-3]
28. Ve výši 30 km nad povrchem Země vznikl mezon. Jakou musí mít minimální kinetickou energii,
aby dopadl na povrch Země? Doba života mezonu ve vztažné soustavě s ním spojené je 2,15.10-6 s.
Jeho klidová hmotnost je 210 m0e, kde m0e = 9,1.10-31 kg je klidová hmotnost elektronu. (mezon
nepadá volným pádem, ale pohybuje se RPP)
[4,9.109 eV]
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
D30) V urychlovači mají protony kinetickou energii 76 GeV. Určete hmotnost a rychlost
urychlovaných částic, je-li klidová hmotnost protonu 1,6726.10-27 kg.
[299770165km/h]
5
D31) Částice o klidové hmotnosti m 0 má celkovou energii m0 c 2 . Určete hybnost částice. [(4/3)m0c]
3
D32) Podle klasické mechaniky určete potenciální rozdíl potřebný k urychlení elektronu na rychlost
světla. Jakou rychlostí se bude elektron pohybovat ve skutečnosti a jakou bude mít hmotnost?
[0,745c]
P1) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S/ se pohybuje částice
rychlostí c/4 tak, že vektory obou rychlostí jsou stejného směru. Určete rychlost částice vzhledem
k soustavě S, mají-li vektory rychlosti a) stejnou orientaci, b) opačnou orientaci.
P2) Stanovte rychlost částice v případě, že její kinetická energie je rovna polovině klidové energie částice.
P3) Určete celkovou energii a hmotnost částice, která se pohybuje rychlostí v, pomocí její klidové hmotnosti
a hybnosti.
3. TERMODYNAMIKA
- zákony termodynamiky, vnitřní energie, entropie a entalpie termodynamické soustavy
Zákony termodynamiky, vnitřní energie:
D33) Ve skleněné kapiláře na jednom konci zatavené je uzavřen vzduch sloupcem rtuti délky 10 cm.
Je-li kapilára postavena zataveným koncem dolů, má sloupec vzduchu délku 16 cm, je-li kapilára
zataveným koncem nahoru, je délka vzduchového sloupce 21 cm. Určete barometrický tlak.
[98283Pa]
D34) Z bomby se stlačeným vodíkem, o objemu 10 l, uniká vadným ventilem plyn. Při teplotě 7 °C je
tlak vodíku 5.106 Pa, za určitou dobu má plyn při teplotě 17 °C tentýž tlak. Kolik vodíku uniklo?
[1,48g]
29. V uzavřené nádobě stálého objemu 25 m3 je vzduch při počátečním tlaku 9,5.104 Pa a počáteční
teploty 10°C. Dodáním tepla se vzduch ohřál a jeho tlak vzrostl na 23,5.10 4 Pa. Vypočítejte,
kolik tepla jsme plynu dodali a o jakou hodnotu narostla vnitřní energie plynu.
[8,745.106 J, 8,745.106 J]
30. Na kompresi 3 kg dusíku při stálé teplotě 100 °C bylo zapotřebí práce 6,8.105 J. Počáteční tlak
dusíku byl 1.105 Pa. Vypočítejte počáteční objem plynu, výsledný objem plynu, výsledný tlak
a teplo, které je třeba při kompresi plynu odebrat.
[3,32 m3, 0,43 m3, 7,73.105 Pa, -6,8.105 J]
31. Vypočtěte účinnost tepelného oběhu ideálního plynu o látkovém množství n, který je složen
z izobarického, adiabatického a izotermického děje. Tepelný stroj vykonává svůj oběh mezi
teplotami 300 K a 600 K. [30,7%]
D35) Kyslík o objemu 5l a tlaku 1 MPa se rozpíná na trojnásobný objem. Vypočtěte výsledný tlak
a práci, kterou plyn vykoná. Uvažujte, že se plyn chová ideálně a změna stavu probíhá
a) izobaricky, b) izotermicky nebo c) adiabaticky. Molární hmotnost kyslíku je 32.10 -3 kg/mol.
[10kJ; 5,5kJ; 4,5kJ]
D36) Dusík o teplotě 400 K zvětšil svůj objem na pětinásobek při adiabatickém ději, přičemž vnitřní energie
plynu se zmenšila o 4 kJ. Určete hmotnost plynu, je-li molární hmotnost dusíku 28.10-3 kg/mol.
Entropie a entalpie termodynamické soustavy:
32. Určete změnu entropie pro 2 g dusíku, který izobaricky změní svoji teplotu z 0 °C na 30 °C.
[0,216 J/K]
33. Vypočtěte změnu entropie 1 kg vzduchu, který se při stálém tlaku 2.105 Pa ohřeje z teploty
100 °C na teplotu 650 °C.
[909,14 J/K]
34. Stanovte změnu entropie 200 g dusíku, který se ochladí ze 40 °C na 0 °C a) při izochorickém
ději, b) při izobarickém ději.
[a) – 20,2 J/K, b) –28,4 J/K]
35. Vypočítejte, jak se změní entropie vodíku o hmotnosti 5 g, který se při teplotě 20 °C izotermicky
rozepnul z objemu 10 l na 20 l. [14,4 J/K]
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
D37) Určete změnu entropie po smíchání 10 g body o teplotě 100 °C a 20g vody o teplotě 15 °C.
[0,956 J/K]
D38) Dokažte, že pro elementární změnu stavu ideálního plynu platí pro 1 kmol vztah:
dS
CP
dT
T
R
dp
p
D39) Vypočítejte, jak se změní entropie 200 g kyslíku, který se ohřeje z 0 °C na 30 °C a) izochoricky,
b) izobaricky.
[13,54 J/K; 18,95 J/K]
D40) Při zahřívání dvouatomového plynu o látkovém množství 1 mol se termodynamická teplota
zvýšila dvakrát. Určete změnu entropie plynu, jestliže změna probíhá izochoricky resp.
izobaricky.
[14,41 J/K; 20,17 J/K]
P1) Odvoďte výraz pro konečnou změnu entropie 1 kmol ideálního plynu pro děj, jehož počáteční a konečné hodnoty
jsou známy pro a) T1 , T2 ,V1 ,V2 b) T1 , T2 , p1 , p 2 c) V1 , V2 , p1 , p 2 .
- fázové změny
Termodynamika – fázové změny:
36. Vypočtěte teplo potřebné k tomu, aby se led o hmotnosti 1 kg a teplotě –10 °C ohřál na teplotu
tání za normálního tlaku, při této teplotě roztál, vzniklá voda se ohřála na teplotu varu a při této
teplotě se přeměnila v páru. Měrná tepelná kapacita ledu je 2,1 kJ.kg-1.K-1, vody 4,18 kJ.kg-1.K-1,
měrné skupenské teplo tání ledu je 332 kJ.kg-1, měrné skupenské teplo varu vody je 2260 kJ.kg-1.
[3,03 MJ]
37. Do kalorimetru o tepelné kapacitě 0,12 kJ.K-1, obsahujícího 1,2 kg vody teploty 25 °C, vhodíme
0,2 kg ledu teploty 0°C. Když všechen led roztaje, ustálí se výsledná teplota 10,4 °C. Vypočtěte
měrné skupenské teplo tání ledu. [331 kJ/kg]
38. Jakou rychlost musí mít olověná střela, aby se při nárazu na ocelovou desku právě roztavila?
Teplota střely před překážkou je 27 °C, teplota tání olova 327 °C, měrné skupenské teplo tání
olova 22,6 kJ.kg-1 a měrná tepelná kapacita olova je 0,129 kJ.kg-1.K-1. Předpokládejte, že deska
nepřebírá žádné teplo. [350 m/s]
P1) V tepelně izolované nádobě uvedeme do bezprostředního kontaktu vodní páru o hmotnosti m1 o teplotě 100 °C,
vodu o hmotnosti m0 o teplotě t0 a led o hmotnosti m 2 o teplotě 0°C. Po určitém čase se v nádobě vytvoří jediná
kapalná fáze. Jaká bude její teplota? Předpokládejme, že tepelnou kapacitu nádoby lze zanedbat.
- šíření tepla
Termodynamika – šíření tepla:
39. Dvě destičky, měděná o tloušťce 9 mm a železná o tloušťce 3 mm jsou položeny na sebe. Vnější
plocha měděné destičky je udržována na teplotě 50 °C, vnější plocha železné na teplotě 0 °C.
Určete teplotu na rozhraní destiček. Součinitel tepelné vodivosti mědi je 380 W.m -1.K-1, železa
60 W.m-1.K-1.
[33,9 °C]
40. Tři destičky týchž rozměrů jsou položeny na sebe. Prostřední je olověná, obě krajní jsou stříbrné.
Vnější stěnu jedné stříbrné destičky udržujeme na teplotě 100 °C, vnější stěnu druhé stříbrné
destičky na teplotě 0 °C. Vypočtěte teploty na rozhraní olověné destičky s oběma stříbrnými.
Součinitel tepelné vodivosti stříbra je 420 W.m-1.K-1, olova 35 W.m-1.K-1. [93°C, 7,1 °C]
D41) Při velmi nízkých teplotách v blízkosti absolutní nuly závisí měrná tepelná kapacita pevných
látek na termodynamické teplotě vztahem c kT 3 , kde konstanta k závisí na druhu látky.
Určete vztah pro teplo, kterým se těleso o hmotnosti m zahřeje z teploty T1 na T 2 .
D42) Určete teplo, které projde za dobu 1 h cihlovou stěnou o tloušťce 30 cm plochou 16,5 m2, je-li
teplota vzduchu v místnosti 22 °C, teplota vnějšího vzduchu -12 °C. Součinitel přestupu tepla
mezi zdí a vzduchem je uvnitř místnosti 8 W.m-2.K-1, venku 23 W.m-2.K-1.
H2)
H3)
Jeden konec ocelové tyče délky 20 cm a průřezu 3 cm2 udržujeme na konstantní teplotě 300 0C, druhý
konec je uložen do tajícího ledu. Kolik ledu rozpustí tyč za 10 minut, je-li možno zanedbat tepelné
ztráty do okolí?
[40,7g]
Měděná tyč délky 15 cm je připojena k ocelové tyči stejného průřezu a délky 8 cm. Volný konec měděné
tyče udržujeme na konstantní teplotě 150 0C, volný konec ocelové tyče na teplotě 20 0C. Určete hustotu
tepelného toku v tyčích, je-li možno zanedbat ztráty do okolí.
[65,6 kW]
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
Termodynamika - záření černého tělesa:
41. Určete teplotu, na které se ustálí tenká černá destička umístěná ve vakuu kolmo ke směru šíření
slunečních paprsků, je-li hustota zářivého toku, který na ni dopadá, 1330 Wm-2.
[56 °C]
42. Určete, jaké množství energie vyzařuje 1 cm2 povrchu černého tělesa za 1s, je-li známo, že maximální
intenzita vyzařování připadá na vlnovou délku 484 nm.
[7,29.103 J/s]
43. Povrch Slunce považujme za absolutně černé těleso. Vlnová délka maxima vyzařování je 0,5.10-6 m.
Určete a) teplotu slunce, b) energii vyzářenou za 1 s, je-li poloměr Slunce 6,95.108m, c) úbytek hmotnosti
Slunce za 1s, d) průměrnou dobu, za kterou se hmotnost Slunce zmenší zářením o 1% (za předpokladu
konstantní teploty).
[a) 5796 K, b) 3,9.1026 J, c) 4,3.109 kg, d) 1011 a]
D43) Obvykle se udává, že střední hodnota energie, kterou vyzáří plocha o obsahu 1 cm2 zemského povrchu
za dobu 1 min je 0,53 J. Jakou teplotu má černé těleso, které vyzařuje stejně?
D44) Žárovka svítilny potřebuje příkon 1 W. Za předpokladu, že žárovka vyzařuje všemi směry rovnoměrně
záření o vlnové délce 10-6 m, určete počet fotonů, které dopadají za 1s na 1m2 plochy postavené kolmo
k paprskům ve vzdálenosti 10 km od žárovky.
D45) Jsou dvě černá tělesa, teplota jednoho z nich je 2500 K, vlnová délka odpovídající maximu vyzařování
je pro první těleso o 0,5.10-6 m menší, než u druhého tělesa. Určete teplotu druhého tělesa.
D46) Jaký proud prochází kovovým vláknem o průměru 0,1 mm, které je ve vyčerpané baňce, má-li teplotu
2500 K a měrný odpor 2,5.10-4 m. Vlákno září jako černé těleso.
[0,148A]
P1) V žárovce která svítí, má rozžhavené vlákno teplotu 2900 °C. Náhle přestane žárovkou procházet
elektrický proud. Za jakou dobu žárovka zhasne, pokud zhasnutí odpovídá teplota vlákna nižší než
400 °C. Vlákno září jako černé těleso a další ztráty tepla zanedbáváme. Měrná tepelná kapacita
materiálu vlákna je 3,14.10-8 m-2 a hustota je 19300 kg.m-3.
4. KVANTOVÁ MECHANIKA
- zákony tepelného záření látek
- částicová povaha elmg záření, fotoelektrický jev, brzdné RTG záření, Comptonův jev
- vlnové vlastnosti mikročástic, Schrödingerova rovnice
Dualismus vlna-částice:
44. Výstupní práce elektronů z katody fotonky je 3,2.10-19 J. Určete maximální vlnovou délku světla,
které může způsobit fotoefekt. Určete rychlost fotoelektronů emitovaných při dopadu UV záření
o vlnové délce 3,2.10-7 m. (řešte klasicky i z hlediska relativity)
[klas.: 812613 m/s, relat.: 812611 m/s]
45. Určete vlnovou délku elektronu, který má kinetickou energii a) 100 eV, b) 3 MeV.
[a) 0,122 nm; 0,357 pm]
46. Po zvětšení kinetické energie elektronu o 200 eV se jeho vlnová délka zmenšila na polovinu.
Určete původní kinetickou energii a původní vlnovou délku elektronu.
[67 eV, 1,5.10-10 m]
D47) Rychlost elektronů v rentgenové trubici je rovna polovině rychlosti světla ve vakuu. Jaká je minimální
délka spojitého spektra elektromagnetického záření, které vzniká zabržděním těchto elektronů.
H4) Prahová vlnová délka pro fotoelektrickou emisi u wolframu je 230nm. Jaká musí být vlnová
délka použitého světla, aby vyletovaly elektrony s maximální energií 1,5 eV?
[1800Å]
H5) Jakou rychlostí opouští elektron povrch lithia při ozáření světlem vlnové délky 200 nm?
Výstupní práce lithia je 2,4 eV.
[1,2 106 ms-1]
Heisenbergovy relace neurčitosti:
47. Excitovaný atom emituje foton během intervalu 0,01 s, vlnová délka záření je 600 nm. Určete,
s jakou přesností může být určena energie a poloha fotonu.
[1,055 10-26 J; 3 m]
D48) Při pohybu částice podél osy x je možno stanovit rychlost s neurčitostí 1 cm.s-1. Určete neurčitost
stanovení polohy pro a) elektron, b) brownovskou částici o hmotnosti 10-13 g, c) kuličku hmotnosti 0,1 g.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
- částice v potenciálové jámě, tunelový jev
Částice v potenciálové jámě:
D49) Elektron se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l s dokonale tuhými stěnami.
Určete nejmenší rozdíl energií dvou sousedních energetických hladin pro a) l 10 cm,
b) l 10-9 m.
[a) 1,129.10-16 eV, 1,129 eV]
D50) Mějme elektron v základním stavu, který je uvězněn v potenciálové jámě konečné hloubky
s energií E P 0 30 eV a l 100 pm. Elektron se může dostat do vyššího vázaného stavu při
ozáření jámy světlem.
a) Jakou vlnovou délku světlo musí mít, aby ho elektron absorboval?
b) Může elektron v základním stavu absorbovat foton o vlnové délce 100 nm?
c) Jakou vlnovou délku musí mít foton, aby se jeho pohlcením stal elektron volným?
d) Může elektron v základním stavu absorbovat foton s vlnovou délkou 20,2 nm? V jakém stavu
se bude poté nacházet?
[a) 143 nm, 57,6 nm, b) ne, c) 45,9 nm, d) 34,4 eV]
D51) Částice o hmotnosti m se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l . Určete hustotu
energetických linií (počet energetických úrovní na jednotkový interval energie) pro případ
elektronu, je-li l 1cm, n 1010.
- Bohrovy postuláty, Bohrův model atomu
Bohrův model atomu vodíku:
48. Jakou silou se navzájem přitahují jádro a elektron na první dráze v Bohrově modelu atomu
vodíku? Kolikrát je tato síla větší než síla gravitační, kterou na sebe elektron a jádro působí?
[0,0821.10-6 N, 2,26.1043]
49. Určete celkovou energii elektronu na druhé kvantové dráze v Bohrově modelu atomu vodíku.
[-3,4 eV]
50. Určete indukci magnetického pole, které vytváří elektron obíhající v Bohrově modelu atomu
vodíku na první dovolené dráze, uprostřed této dráhy.
[12,4 T]
51. Určete vlnovou délku fotonu, který se vyzáří při přeskoku elektronu ze čtvrté kvantové dráhy na
druhou. (využijte stanovení E2 z př. 53)
[0,485 m]
D52) Vypočítejte poloměr první dráhy elektronu obíhajícího kolem jádra v Bohrově modelu atomu
vodíku a určete rychlost elektronu na této dráze.
D53) Jaký je magnetický moment elektronu vodíkového atomu v základním stavu?
- kvantově-mechanické řešení atomu vodíku, kvantová čísla
- atomy s více elektrony
- pásový model pevných látek, polovodiče
Pásová teorie pevných látek:
D54) Určete maximální hodnotu rychlosti vodivostních elektronů v mědi při teplotě 0K, je-li
Fermiho energie 4,7 eV a koeficient volnosti mědi 0,67.
[10,5.105 m/s]
D55) Jaká je Fermiho energie mědi, jestliže ke koncentraci vodivostních elektronů přispívá každý
atom mědi jediným elektronem, je-li koeficient volnosti mědi 0,67.
D56) Čistý polovodič má při teplotě 20 °C šířku zakázaného pásu 2eV. Určete, kolikrát se zvýší
koncentrace vodivostních elektronů ve vodivostním pásu, jestliže teplota vzroste na
320 °C?
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2013 příklady (částečná korektura výsledků; aktualizace 6. 5. 2013)
6. FYZIKA ATOMOVÉHO JÁDRA
-
složení atomových jader, vazební energie jádra
radioaktivní přeměny jader
zákony zachování při jaderných reakcích
52. -částice s energií 5,3 MeV dopadá čelně na jádro atomu zlata s protonovým číslem 79. Jak blízko ke
středu jádra je -částice v okamžiku, kdy se zastaví a změní směr pohybu? Zpětný ráz jádra zanedbejte.
[42,9 fm]
53. Kolik energie je třeba k oddělení všech nukleonů, které tvoří typické středně hmotné jádro cínu (A=120,
Z=50, N=70), jehož tab. Hmotnost je 119,902199u. Jaká je hodnota vazební energie na 1 nukleon v tomto
nuklidu? Hmotnost vodíkového atomu je 1,007825u, hmotnost neutronu 1,008665u. Atomová hmotnostní
jednotka u=1,661.10-27 kg.
[1021 MeV, 8,51 MeV]
54. Měření vzorku horniny z Měsíce na hmotnostním spektrografu ukázala, že poměr počtu stabilních atomů
argonu 40 Ar k počtu radioaktivních atomů draslíku 40 K je 10,3. Předpokládejme, že všechny argonové
atomy vznikly rozpadem draslíku s poločasem rozpadu 1,25.109 y. Jaké je stáří analyzované horniny?
[4,37.109 let]
55. Vypočtěte, kolikrát se zmenší hmota radioaktivního izotopu za 3 roky, jestliže za 1 rok klesne 4 krát.
[64]
Download

INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury