INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
1. KLASICKÁ MECHANIKA:
-
mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů
Mechanika hmotných bodů - kinematika a dynamika křivočarých pohybů:
D1)
Pohyb hmotného bodu je dán rovnicí
s=
1 3
t − 2t 2 + 8t − 7,5 , a) jakou dráhu urazí hmotný bod za první tři sekundy svého pohybu,
6
b) jakou má počáteční rychlost a zrychlení, c) ve kterém okamžiku je jeho pohyb rovnoměrný?
D2)
Pro rychlost hmotného bodu platí rovnice v = 9t − 8t + 3 , a) jakou dráhu urazí hmotný bod mezi druhou a pátou sekundou,
b) kdy je zrychlení nulové a jakou rychlost má hmotný bod v tom okamžiku, c) kdy je hmotný bod v klidu?
D3)
Vypočítejte zrychlení člověka na 40°severní šířky způsobené rotací Země.
D4)
Vlak se rozjíždí z klidu se zrychlením, které rovnoměrně narůstá a to tak, že za 100 s má hodnotu 0,5 ms-2.
Určete rychlost vlaku po 100 sekundách pohybu a dráhu, kterou vlak za tu dobu urazí.
D5)
2
a = kt , kde k = 3m.s-3. Určete dráhu, kterou hmotný bod urazí od
t = 0s jeho rychlost 2m.s-2, počáteční dráha je nulová.
Hmotný bod se pohybuje se zrychlením, které závisí na čase dle vztahu
konce druhé do konce šesté sekundy, je-li na počátku pohybu v čase
1. Pohyb hmotného bodu v rovině Oxy je zadán rovnicemi: x = a sin t , y = 2a cos 2t , a f 0 . Určete
trajektorii bodu a studujte jeho pohyb.
[parabola]
2. Pohyb hmotného bodu pohybujícího se v rovině Oxy je popsán rovnicemi x = A sin ωt ,
y = B cos ωt , kde A=0,4m, B=0,2 m, ω=0,5 rad.s-1.
Určete a) rovnici trajektorie, b) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy x = 0,
c) rychlost a zrychlení hmotného bodu v okamžiku, kdy y = 0,
d) poloměr křivosti trajektorie v okamžiku, kdy x = 0 a v okamžiku, kdy y = 0.
[elipsa, střed v počátku SS, poloosy 0,4m a 0,2m, b)0,2 m/s, -0,05 m/s2, c) –0,1m/s, -0,1 m/s2, d) 0,8m, 0,1 m]
3. Objekt A je v přímé vzdálenosti d od pozorovatele P, který jej vidí pod úhlem ϕ. Pod jakým
úhlem α musíme vystřelit projektil s počáteční rychlostí v0, abychom zasáhli objekt A, který
začne volně padat současně s výstřelem? Předpokládejme, že střela zasáhne padající objekt
v nejvyšším bodě své trajektorie.
[α = ϕ]
4. Na vrcholu dokonale hladké koule je hmotný bod v nestabilní poloze. Pokud ho vychýlíme z této
polohy, bude se pohybovat nejprve po povrchu koule. V jaké vzdálenosti od vrcholu koule opustí
hmotný bod její povrch a v jaké vzdálenosti od svislého průměru koule dopadne na vodorovnou
podložku, je-li poloměr koule 1,5m?
[0,5 m(rozdíl výšek), 2,18 m]
5. Malá kulička se pohybuje po vodorovné rovině rychlostí v0. Rovina je zakončena válcovou
plochou o poloměru r. Určete rychlost tělesa v závislosti na úhlu, který svírá průvodič bodu
(s počátkem ve středu válcové plochy) se svislým průměrem. Jaká je minimální rychlost kuličky
pro bezpečný průjezd smyčkou? Vlastní rotaci kuličky zanedbejte.
[v =
v02 − 2 gr (1 − cos ϕ ), v0 = 5 gr ]
ωk
t.
2π
P1)
Pohybové rovnice částice jsou dány x = R cos ωt , y = R sin ωt , z =
P2)
Určete délku dráhy uraženou částicí za dobu t , poloměr křivosti trajektorie a zrychlení částice.
Těleso je vrženo rychlostí v0 pod elevačním úhlem α.
Určete a) dobu pohybu, b) délku doletu, c) výšku výstupu, d) úhel, pod kterým je nutno těleso hodit,
aby délka doletu byla maximální, f) rychlost v libovolném bodě dráhy. (odvození)
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
mechanika tuhých těles – výpočet těžiště a momentu setrvačnosti tělesa, rotační pohyby,
Coriolisova síla
-
Dynamika tuhých těles – rotační pohyby, moment hybnosti:
6. Válec o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu α. Určete jeho
zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice.
2
[ g sin α ]
3
7. Na válci o hmotnosti M a poloměru R je namotáno lanko se závažím o hmotnosti m. Po uvolnění
poklesne závaží o dráhu h za čas t. Určete moment setrvačnosti válce a) pomocí zákona
zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice.
⎞
⎛ gt 2
[ m1 R 2 ⎜⎜
−1⎟⎟ ]
⎠
⎝ 2h
8. Na každém konci provazu vedeném přes kladku je v téže výšce opice. V určitém okamžiku začne
jedna z opic šplhat vzhůru rychlostí v vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se tato opice blíží ke
v
kladce? Co se děje s druhou opicí? Hmotnosti opic jsou stejné.
[ u = u′ = ]
2
9. Přes pevnou kladku prochází provaz, na jehož koncích jsou opice o stejných hmotnostech. Obě
opice začnou současně šplhat vzhůru, jedna rychlostí v a druhá rychlostí dvojnásobnou
3v
vzhledem k provazu. Jakou rychlostí se opice blíží ke kladce?
[ u = u′ = ]
2
D6) Koule o hmotnosti m a poloměru R se pohybuje po nakloněné rovině o úhlu α. Určete její
zrychlení a) pomocí zákona zachování mechanické energie, b) pomocí pohybové rovnice.
5
[ g sin α ]
7
P1) Na homogenní válec o poloměru 0,4 m a hmotnosti 2000 kg začne působit moment 10 Nm. Za jakou
dobu udělí tento moment válci rychlost, které odpovídá frekvence otáčení 2 Hz?
P2) Dvě koule se mohou pohybovat po vodorovné tyči, jejíž hmotnost je zanedbatelné malá. Koule jsou
udržovány vláknem v symetrické poloze vzhledem k ose otáčení tak, že jsou ve vzdálenosti 0,1m od
osy. Tyč se otáčí kolem svislé osy jdoucí jejím středem s frekvencí 8 Hz. V určitém okamžiku vlákno
přepálíme a koule se posunou na konce tyče do vzdálenosti 0,4 m od osy otáčení. Jaká bude potom
frekvence rotačního pohybu?
Dynamika tuhých těles – výpočet těžiště:
10. Určete těžiště tělesa (viz obrázek) složeného z krychle o straně a a hranolu o základně a× a a
výšce 4a , je-li hustota obou těles shodná.
a
[
a
17a 7a
, ]
10 10
a
4a
11. Určete těžiště homogenní polokoule o poloměru R a hustotě ρ .
D7) Určete těžiště plného přímého kužele o výšce v a poloměru základny R .
[ 0,
3R
]
8
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
P1) Určete polohu těžiště homogenní desky zanedbatelné tloušťky tvaru půlkruhu o poloměru R.
Dynamika tuhých těles – výpočet momentu setrvačnosti:
12. Vypočtěte moment setrvačnosti čtverce z tenkého homogenního drátu vzhledem k ose jdoucí
jednou stranou čtverce. Strana čtverce má délku a a hmotnost celého čtverce je m .
5
[ ma 2 ]
12
13. Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče vzhledem k ose o, která prochází jedním
z jejich konců a svírá s tyčí úhel α.
1 2
[ ml 0 sin 2 α ]
3
D8) Určete moment setrvačnosti válce vzhledem k ose jdoucí těžištěm kolmo na osu symetrie.
P1) Vypočtěte moment setrvačnosti tenké homogenní tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose
kolmé na tyč procházející a) středem, b) koncovým bodem tyče.
Dynamika tuhých těles – pohybové rovnice, Coriolisova síla:
14. Vypočtěte velikost Coriolisovy síly, která působí na železniční vůz o hmotnosti 104 kg, jede-li
vůz v místě na severní zeměpisné šířce 60° rychlostí 20 m/s směrem a) od jihu k severu, b) od
západu k východu.
[25 N doprava, 29 N od středu Země]
15. Na zemském rovníku je z děla vystřelen náboj o hmotnosti 5 kg počáteční rychlostí 600 m/s.
Určete velikost Coriolisovy síly, která působí na náboj v okamžiku výstřelu, je-li vystřeleno
a) vodorovně směrem k severu, b) vodorovně směrem k západu, c) svisle vzhůru,
d) pod úhlem 30° směrem k severu, e) pod úhlem 30°směrem k západu.
Úhlová rychlost rotace země je 7,29.10-5 rad.s-1.
[a)0 N, b) 0,44 N – do středu Země, c) 0,44N – na západ, d) 0,22N – na západ, e) 0,44N]
D9) V místě na 45° severní zeměpisné šířky padá svisle dolů těleso o hmotnosti 10 kg rychlostí 100 m/s.
Určete velikost Coriolisovy síly, která na těleso působí, a porovnejte ji s velikostí síly tíhové.
P1) Na těleso o hmotnosti m pohybující se rychlosti v0 rovnoměrně přímočaře začne v okamžiku t = 0s
působit odporující síla, která je úměrná rychlosti tělesa. Určete časové závislosti zrychlení, rychlosti
a dráhy pohybujícího se tělesa.
P2) Vztažná soustava se vzhledem k inerciální vztažné soustavě otáčí rovnoměrně zrychleně s úhlovým
zrychlením 2 rad.s-2. V otáčející se soustavě se pohybuje hmotný bod o hmotnosti 1 kg. V okamžiku,
kdy je úhlová rychlost soustavy 2 rad/s je hmotný bod ve vzdálenosti 3 m od osy rotace, jeho rychlost
má vzhledem k otáčející se soustavě velikost 2,5 m/s a směřuje od osy otáčení. Určete velikost
výsledné setrvačné síly působící na hmotný bod.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
-
mechanické kmitání – řešení pohybových rovnic harmonického, tlumeného a vynuceného
kmitání, stav rezonance, kyvadla
Mechanické kmitání – netlumené:
16. Jaká je frekvence netlumeného harmonického pohybu hmotného bodu hmotnosti 2 g, je-li
amplituda pohybu 10 cm a celková energie hmotného bodu je 1 J?
[50,35 Hz]
Určete, s jakou periodou bude kmitat kámen vhozený do šachty provrtané skrze střed země (ze
severního na jižní pól) a jakou rychlostí proletí středem Země. Zanedbejte odpor prostředí a
Zemi považujte za homogenní plnou kouli o poloměru 6378 km.
[5066 s, 7910 m/s]
D10) Kruhová deska uložená v horizontální rovině koná ve svislém směru kmitavý pohyb
s amplitudou 0,75 m. Jaká může být maximální frekvence kmitání desky, aby se předmět
uložený na desku od ní neoddělil?
Mechanické kmitání – tlumené:
17. Pozorováním tlumeného kmitání bylo zjištěno, že po dvou po sobě jdoucích výchylkách na tu
stejnou stranu se amplituda kmitů zmenšila o 6/10 a doba kmitu je 0,5 s. Určete koeficient
útlumu a frekvenci netlumených kmitů, které by probíhaly za jinak stejných podmínek.
[1,83 s-1, 2,02 Hz]
18. Jaký je logaritmický dekrement útlumu tlumeného harmonického kmitání hmotného bodu,
jestliže za 10s trvání pohybu hmotný bod ztratí 50% své mechanické energie, je-li perioda 2s?
[0,0693]
D11) Součinitel útlumu je pro mechanické tlumené kmitání roven 3 s-1. Určete dobu, za kterou klesne
energie kmitů na 20%.
P1) Perioda tlumených kmitů je 0,2 s, přičemž poměr amplitud první a šesté je roven 13. Vypočtěte
rezonanční frekvenci kmitající soustavy.
Mechanické kmitání – vynucené:
19. Jaká je rezonanční amplituda hmotného bodu konajícího nucené harmonické kmity, je-li jeho
hmotnost 100 g, vlastní úhlová frekvence 20 s-1, amplituda budící síly 10 N? Určete rezonanční
úhlovou frekvenci.
[84,3 cm, 19,54 s-1]
D12) Na pružinový oscilátor, jehož parametry jsou: hmotnost 0,5kg a tuhost pružiny 9,0 N.m-1,
působí periodicky proměnná síla Fn = 2 sin 4t . Součinitel tlumení je 2s-1. Určete a) amplitudu
nuceného kmitání tohoto oscilátoru, b) rezonanční úhlovou frekvenci a amplitudu kmitů při
rezonanci.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
Mechanické kmitání – kyvadla:
20. Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného tenkou obručí o poloměru R, kývající kolem
vodorovné osy jdoucí bodem na obvodu obruče kolmo k její rovině.
[ L = 2R ]
21. Tíhové zrychlení bylo měřeno pomocí matematického kyvadla s velmi dlouhým závěsem, jeho
délku nebylo možno určit. Při původní délce kyvadla byla doba kyvu 2s, při zkrácení kyvadla
o délku 0,75 m se doba kyvu změnila na 1,8 s. Jaká hodnota tíhového zrychlení byla z těchto
naměřených hodnot stanovena?
[9,74 m/s2]
D13) Určete dobu kmitu a redukovanou délku homogenního disku o poloměru R, který kývá kolem
vodorovné osy procházející ve vzdálenosti R/2 od středu disku kolmo k jeho rovině.
D14) Vypočtěte redukovanou délku kyvadla tvořeného velmi tenkou homogenní tyčí délky l, která
kývá kolem vodorovné osy jdoucí koncovým bodem tyče.
D15) Mějme reverzní kyvadlo. Poloměr setrvačnosti kyvadla, které kývá kolem osy O1 je 0,5m,
vzdálenost osy od těžiště je a=0,3m. V jaké vzdálenosti x musí procházet druhá osa O2, aby
doba kmitu kolem obou os byla stejná?
[0,533m;0,3m]
O1
T
O2
P1) Fyzické kyvadlo tvoří tenká homogenní tyč délky 35 cm. Určete, v jaké vzdálenosti od těžiště tyče
musíme umístit osu otáčení kyvadla, aby frekvence kmitů byla maximální?
-
mechanické vlnění – vlnová rovnice, Dopplerův jev
Mechanické vlnění – vlnová rovnice, Dopplerův jev:
22. Ze zdroje vlnění, který kmitá s periodou 1 ms, se šíří vlnění ve směru přímky. Dva body této
přímky vzdálené od zdroje 12 a 14,7 m kmitají s fázovým rozdílem (3/ 2)π rad. Vypočítejte
velikost fázové rychlosti vlnění.
[3600 m/s]
23. Ze zdroje vlnění se šíří vlna ve směru přímky. Bod ve vzdálenosti 0,04 m od zdroje vlnění má
v okamžiku T/6 výchylku rovnu polovině amplitudy. Vypočítejte vlnovou délku vlnění.
[0,48 m]
24. Stojíte ve vzdálenosti D od zdroje vysílajícího zvukové vlny do všech směrů stejně. Když se
přemístíte o 50 m blíže, zjistíte, že se intenzita vln zdvojnásobila. Vypočtěte původní vzdálenost D.
[170,7 m]
D16) Dvě ponorky se pohybují proti sobě v přibližně stejné hloubce. První se pohybuje rychlostí
10 m/s a vysílá ultrazvukové vlny s frekvencí 50 kHz, které se ve vodě šíří rychlostí 1408 m/s.
Po odrazu od druhé ponorky detekuje první ponorka odražený signál s frekvencí 52 kHz.
Určete rychlost druhé ponorky.
H1) Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr blížícího se a vzdalujícího se
vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4(velká tercie)? Rychlost zvuku je 340 m/s.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
2. RELATIVISTICKÁ MECHANIKA
- Einsteinovy postuláty a Lorentzova transformace
- základy relativistické kinematiky a dynamiky
D17) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k inerciální vztažné soustavě S rovnoměrně přímočaře
rychlostí 0,6c. V soustavě S/ je umístěna tyč o délce 10 m tak, že je rovnoběžná s vektorem
relativní rychlosti obou soustav. Jakou délku této tyče změří pozorovatel v soustavě S?
D18) Mezon se pohybuje rychlostí 0,8c vzhledem k pozorovateli. Jakou dobu života T mezonu zjistí
pozorovatel, je-li za klidu doba života mezonu 2,4.10-8 s?
D19) Kosmická loď prolétá kolem sluneční soustavy rychlostí 0,98 c. Na Zemi probíhá určitý děj po
dobu půl hodiny. Jakou dobu trvání tohoto děje zjistí pozorovatel v kosmické lodi?
D20) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S/ se pohybuje
částice rychlostí 2c/3. Vektory obou rychlostí jsou stejného směru i orientace. Určete rychlost
částice vzhledem k soustavě S.
D21) Vypočítejte klidovou energii elektronu, je-li jeho hmotnost 9,1.10-31 kg.
D22) Jaká je hmotnost částice o klidové hmotnosti m, je-li její rychlost 0,99999992c?
25. Jakou rychlost má částice, je-li její kinetická energie rovna energii klidové?
[c 3 ]
4
26. Energie relativistických mionů je 3,6 GeV. Určete dráhu L, kterou urazí za dobu své existence,
jestliže klidová energie mionu je 110 MeV a doba existence mionu je 2,2.10-6 s.
[17,988 km]
27. Homogenní těleso tvaru krychle o hraně 0,1 m má klidovou hmotnost 6 kg. Vypočtěte hustotu
tělesa a) v soustavě, vzhledem k níž je těleso v klidu, b) v soustavě, vzhledem k níž se těleso
pohybuje rychlostí 0,5 c.
[a) 6000 kg.m-3, b) 8000 kg.m-3]
28. Ve výši 30 km nad povrchem Země vznikl mezon. Jakou musí mít minimální kinetickou energii,
aby dopadl na povrch Země? Doba života mezonu ve vztažné soustavě s ním spojené je 2,15.10-6
s. Jeho klidová hmotnost je 210 m0e, kde m0e = 9,1.10-31 kg je klidová hmotnost elektronu.
(mezon nepadá volným pádem, ale pohybuje se RPP)
[4,9.109 eV]
D23) V urychlovači mají protony kinetickou energii 76 GeV. Určete hmotnost a rychlost
urychlovaných částic, je-li klidová hmotnost protonu 1,6726.10-27 kg.
5
D24) Částice o klidové hmotnosti m0 má celkovou energii m0 c 2 . Určete hybnost částice.
3
D25) Podle klasické mechaniky určete potenciální rozdíl potřebný k urychlení elektronu na rychlost
světla. Jakou rychlostí se bude elektron pohybovat ve skutečnosti a jakou bude mít hmotnost?
P1) Soustava S/ se pohybuje vzhledem k soustavě S stálou rychlostí 0,5c. V soustavě S/ se pohybuje
částice rychlostí c/4 tak, že vektory obou rychlostí jsou stejného směru. Určete rychlost částice
vzhledem k soustavě S, mají-li vektory rychlosti a) stejnou orientaci, b) opačnou orientaci.
P2) Stanovte rychlost částice v případě, že její kinetická energie je rovna polovině klidové energie částice.
P3) Určete celkovou energii a hmotnost částice, která se pohybuje rychlostí v pomocí její klidové hmotnosti a
hybnosti.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
3. TERMODYNAMIKA
- zákony termodynamiky, vnitřní energie, entropie a entalpie termodynamické soustavy
Zákony termodynamiky, vnitřní energie:
D26) Ve skleněné kapiláře na jednom konci zatavené je uzavřen vzduch sloupcem rtuti délky 10 cm.
Je-li kapilára postavena zataveným koncem dolů, má sloupec vzduchu délku 16 cm, je-li
kapilára zataveným koncem nahoru, je délka vzduchového sloupce 21 cm. Určete barometrický
tlak.
D27) Z bomby se stlačeným vodíkem, o objemu 10 l, uniká vadným ventilem plyn. Při teplotě 7 °C je
tlak vodíku 5.106 Pa, za určitou dobu má plyn při teplotě 17 °C tentýž tlak. Kolik vodíku
uniklo?
[1,48g]
29. V uzavřené nádobě stálého objemu 25 m3 je vzduch při počátečním tlaku 9,5.104 Pa a počáteční
teploty 10°C. Dodáním tepla se vzduch ohřál a jeho tlak vzrostl na 23,5.104 Pa. Vypočítejte,
kolik tepla jsme plynu dodali a o jakou hodnotu narostla vnitřní energie plynu.
[8,745.106 J, 8,745.106 J]
30. Na kompresi 3 kg dusíku při stálé teplotě 100 °C bylo zapotřebí práce 6,8.105 J. Počáteční tlak
dusíku byl 1.105 Pa. Vypočítejte počáteční objem plynu, výsledný objem plynu, výsledný tlak a
teplo, které je třeba při kompresi plynu odebrat.
[7,75.105 Pa, 3,32 m3, 0,43 m3, -6,8.105 J, ]
31. Vypočtěte účinnost tepelného oběhu ideálního plynu o látkovém množství n, který je složen
z izobarického, adiabatického a izotermického děje. Tepelný stroj vykonává svůj oběh mezi
teplotami 300 K a 600 K. [30,7%]
D28) Kyslík o objemu 5l a tlaku 1 MPa se rozpíná na trojnásobný objem. Vypočtěte výsledný tlak a
práci, kterou plyn vykoná. Uvažujte, že se plyn chová ideálně a změna stavu probíhá a)
izobaricky, b) izotermicky nebo c) adiabaticky. Molární hmotnost kyslíku je 32.10-3 kg/mol.
D29) Dusík o teplotě 400 K zvětšil svůj objem na pětinásobek při adiabatickém ději, přičemž vnitřní
energie plynu se zmenšila o 4 kJ. Určete hmotnost plynu, je-li molární hmotnost dusíku 28.10-3
kg/mol.
Entropie a entalpie termodynamické soustavy:
32. Určete změnu entropie pro 2 g dusíku, který izobaricky změní svoji teplotu z 0 °C na
30 °C.
[0,216 J/K]
33. Vypočtěte změnu entropie 1 kg vzduchu, který se při stálém tlaku 2.105 Pa ohřeje z teploty 100
°C na teplotu 650 °C.
[909,14 J/K]
34. Stanovte změnu entropie 200 g dusíku, který se ochladí ze 40 °C na 0 °C a) při izochorickém
ději, b) při izobarickém ději.
[a) –-20,2 J/K, b) –28,4 J/K]
35. Vypočítejte, jak se změní entropie vodíku o hmotnosti 5 g, který se při teplotě 20 °C izotermicky
rozepnul z objemu 10 l na 20 l. [14,4 J/K]
D30) Určete změnu entropie po smíchání 10 g body o teplotě 100 °C a 20g vody o teplotě 15 °C.
D31) Dokažte, že pro elementární změnu stavu ideálního plynu platí pro 1 kmol vztah:
dT
dp
dS = c P
−R
T
p
D32) Vypočítejte, jak se změní entropie 200 g kyslíku, který se ohřeje z 0 °C na 30 °C a) izochoricky,
b) izobaricky.
D33) Při zahřívání dvouatomového plynu o látkovém množství 1 mol se termodynamická teplota
zvýšila dvakrát. Určete změnu entropie plynu, jestliže změna probíhá izochoricky resp.
izobaricky.
P1) Odvoďte výraz pro konečnou změnu entropie 1 kmol ideálního plynu pro děj, jehož počáteční a konečné hodnoty
jsou známy pro a) T1 , T2 , V1 , V2 b) T1 , T2 , p1 , p 2 c) V1 , V2 , p1 , p 2 .
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
- fázové změny
Termodynamika – fázové změny:
36. Vypočtěte teplo potřebné k tomu, aby se led o hmotnosti 1 kg a teplotě –10 °C ohřál na teplotu
tání za normálního tlaku, při této teplotě roztál, vzniklá voda se ohřála na teplotu varu a při této
teplotě se přeměnila v páru. Měrná tepelná kapacita ledu je 2,1 kJ.kg-1.K-1, vody 4,18 kJ.kg-1.K-1,
měrné skupenské teplo tání ledu je 332 kJ.kg-1, měrné skupenské teplo varu vody je 2260 kJ.kg-1.
[3,03 MJ]
37. Do kalorimetru o tepelné kapacitě 0,12 kJ.K-1, obsahujícího 1,2 kg vody teploty 25 °C, vhodíme
0,2 kg ledu teploty 0°C. Když všechen led roztaje, ustálí se výsledná teplota 10,4 °C. Vypočtěte
měrné skupenské teplo tání ledu.
[332 kJ/kg]
38. Jakou rychlost musí mít olověná střela, aby se při nárazu na ocelovou desku právě roztavila?
Teplota střela před překážkou je 27 °C, teplota tání olova 327 °C, měrné skupenské teplo tání
olova 22,6 kJ.kg-1 a měrná tepelná kapacita olova je 0,129 kJ.kg-1.K-1. Předpokládejte, že deska
nepřebírá žádné teplo.
[350 m/s]
P1) V tepelně izolované nádobě uvedeme do bezprostředního kontaktu vodní páru o hmotnosti m1 o teplotě 100 °C,
vodu o hmotnosti m0 o teplotě t0 a led o hmotnosti m2 o teplotě 0°C. Po určitém čase se v nádobě vytvoří jediná
kapalná fáze. Jaká bude její teplota? Předpokládejme, že tepelnou kapacitu nádoby lze zanedbat.
- šíření tepla
Termodynamika – šíření tepla:
39. Dvě destičky, měděná o tloušťce 9 mm a železná o tloušťce 3 mm jsou položeny na sebe. Vnější
plocha měděné destičky je udržována na teplotě 50 °C, vnější plocha železné na teplotě 0 °C.
Určete teplotu na rozhraní destiček. Součinitel tepelné vodivosti mědi je 380 W.m-1.K-1, železa
60 W.m-1.K-1.
[33,9 °C]
40. Tři destičky týchž rozměrů jsou položeny na sebe. Prostřední je olověná, obě krajní jsou stříbrné.
Vnější stěnu jedné stříbrné destičky udržujeme na teplotě 100 °C, vnější stěnu druhé stříbrné
destičky na teplotě 0 °C. Vypočtěte teploty na rozhraní olověné destičky s oběma stříbrnými.
Součinitel tepelné vodivosti stříbra je 420 W.m-1.K-1, olova 35 W.m-1.K-1.
[93°C, 7,1 °C]
D34) Při velmi nízkých teplotách v blízkosti absolutní nuly závisí měrná tepelná kapacita pevných
látek na termodynamické teplotě vztahem c = kT 3 , kde konstanta k závisí na druhu látky.
Určete vztah pro teplo, kterým se těleso o hmotnosti m zahřeje z teploty T1 na T2 .
D35) Určete teplo, které projde za dobu 1 hod cihlovou stěnou o tloušťce 0,3 m plochou 16,5 m2 , jeli teplota vzduchu v místnosti 22 °C, teplota vnějšího vzduchu –12°C. Součinitel přestupu tepla
mezi zdí a vzduchem je uvnitř místnosti 8 W.m-2.K-1, venku 23 W.m-2.K-1.
H2) Jeden konec ocelové tyče délky 20 cm a průřezu 3 cm2 udržujeme na konstantní teplotě 300 0C,
druhý konec je uložen do tajícího ledu. Kolik ledu rozpustí tyč za 10 minut, je-li možno
zanedbat tepelné ztráty do okolí?
H3) Měděná tyč délky 15 cm je připojena k ocelové tyči stejného průřezu a délky 8 cm. Volný
konec měděné tyče udržujeme na konstantní teplotě 150 0C, volný konec ocelové tyče na
teplotě 20 0C. Určete hustotu tepelného toku v tyčích, je-li možno zanedbat ztráty do okolí.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
Termodynamika - záření černého tělesa:
41. Určete teplotu, na které se ustálí tenká černá destička umístěná ve vakuu kolno ke směru šíření slunečních
paprsků, je-li hustota zářivého toku, který a ni dopadá, 1330 Wm-2.
[56 °C]
42. Určete, jaké množství energie vyzařuje 1 cm2 povrchu černého tělesa za 1s, je-li známo, že maximální
intenzita vyzařování připadá na vlnovou délku 484 nm.
[7,29.103 J/s]
43. Povrch Slunce považujme za absolutně černé těleso. Vlnová délka maxima vyzařování je 0,5.10-6 m.
Určete a) teplotu slunce, b) energii vyzářenou za 1 s, je-li poloměr Slunce 6,95.108m, c) úbytek hmotnosti
Slunce za 1s, d) průměrnou dobu, za kterou se hmotnost Slunce zmenší zářením o 1% (za předpokladu
konstantní teploty).
[a) 5796 K, b) 3,9.1026 J, c) 4,3.109 kg, d) 1011 a]
D36) Obvykle se udává, že střední hodnota energie, kterou vyzáří plocha o obsahu 1 cm2 zemského povrchu za dobu 1
min je 0,53 J. Jakou teplotu má černé těleso, které vyzařuje stejně?
D37) Žárovka svítilny potřebuje příkon 1 W. Za předpokladu, že žárovka vyzařuje všemi směry rovnoměrně záření o
vlnové délce 10-6 m, určete počet fotonů, které dopadají za 1s na 1m2 plochy postavené kolmo k paprskům ve
vzdálenosti 10 km od žárovky.
D38) Jsou dvě černá tělesa, teplota jednoho z nich je 2500 K, vlnová délka odpovídající maximu vyzařování je pro
první těleso o 0,5.10-6 m menší, než u druhého tělesa. Určete teplotu druhého tělesa.
D39) Jaký proud prochází kovovým vláknem o průměru 0,1 mm, které je ve vyčerpané baňce, má-li teplotu 2500 K a
měrný odpor 2,5.10-4 Ωm. Vlákno září jako černé těleso.
P1) V žárovce která svítí, má rozžhavené vlákno teplotu 2900 °C. Náhle přestane žárovkou procházet elektrický proud.
Za jakou dobu žárovka zhasne, pokud zhasnutí odpovídá teplota vlákna nižší než 400 °C. Vlákno září jako
černé těleso a další ztráty tepla zanedbáváme. Měrná tepelná kapacita materiálu vlákna je 3,14.10-8 m-2 a
hustota je 19300 kg.m-3.
4. KVANTOVÁ MECHANIKA
-
zákony tepelného záření látek, částicová povaha el. mag. záření, fotoelektrický jev,
brzdné rtg. záření, Comptonův jev
- vlnové vlastnosti mikročástic, Schrödingerova rovnice
Dualismus vlna-částice:
44. Výstupní práce elektronů z katody fotonky je 3,2.10-19 J. Určete maximální vlnovou délku světla,
které může způsobit fotoefekt. Určete rychlost fotoelektronů emitovaných při dopadu UV záření
o vlnové délce 3,2.10-7 m. (řešte klasicky i z hlediska relativity)
[klas.: 8,12.106 m/s, relat.: 8,13.105 m/s]
45. Určete vlnovou délku elektronu, který má kinetickou energii a) 100 eV, b) 3 MeV.
[a) 0,122 nm ]
46. Po zvětšení kinetické energie elektronu o 200 eV se jeho vlnová délka zmenšila na polovinu.
Určete původní kinetickou energii a původní vlnovou délku elektronu.
[67 eV, 1,5.10-10 m]
D40) Rychlost elektronů v rentgenové trubici je rovna polovině rychlosti světla ve vakuu. Jaká je minimální délka
spojitého spektra elektromagnetického záření, které vzniká zabržděním těchto elektronů.
H4) Prahová vlnová délka pro fotoelektrickou emisi u wolframu je 230nm. Jaká musí být vlnová
délka použitého světla, aby vyletovaly elektrony s maximální energií 1,5 eV?
1800Å
H5) Jakou rychlostí opouští elektron povrch lithia při ozáření světlem vlnové délky 200 nm?
Výstupní práce lithia je 2,4 eV.
1,2⋅106 ms-1
Heisenbergovy relace neurčitosti:
Stanovte v procentech minimální hodnotu neurčitosti hybnosti elektronu s energií 1 keV, je-li jeho xová souřadnice stanovena s neurčitostí 0,1 mm.
[0,6.10-5 %]
47. Excitovaný atom emituje foton během intervalu 0,01 µs, vlnová délka záření je 600 nm. Určete
s jakou přesností může být určena energie a poloha fotonu.
[3 m]
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
D41) Při pohybu částice podél osy x je možno stanovit rychlost s neurčitostí 1 cm.s-1. Určete neurčitost stanovení
polohy pro a) elektron, b) brownovskou částici o hmotnosti 10-13 g, c) kuličky o hmotnosti 0,1 g.
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
- částice v potenciálové jámě, tunelový jev
Částice v potenciálové jámě:
D42) Elektron se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l s dokonale tuhými stěnami.
Určete nejmenší rozdíl energií dvou sousedních energetických hladin pro a) l = 10cm,
b) l = 10-9 m.
[a) 1,129.10-16 eV, 1,129 eV]
D43) Mějme elektron v základním stavu, který je uvězněn v potenciálové jámě konečné hloubky
s energií E P 0 = 30 eV a l = 100 pm. Elektron se může dostat do vyššího vázaného stavu při
ozáření jámy světlem. a) Jakou vlnovou délku světlo musí mít, aby ho elektron absorboval? b)
Může elektron v základním stavu absorbovat foton o vlnové délce 100 nm? c) Jakou vlnovou
délku musí mít foton, aby se jeho pohlcením stal elektron volným? d) Může elektron
v základním stavu absorbovat foton s vlnovou délkou 20,2 nm? V jakém stavu se bude poté
nacházet?
[a) 143 nm, 57,6 nm, b) ne, c) 45,9 nm, d) 34,4 eV]
D44) Částice o hmotnosti m se nachází v 1-rozměrné potenciálové jámě o šířce l . Určete hustotu
energetických linií (počet energetických úrovní na jednotkový interval energie) pro případ
elektronu, je-li l = 1cm, n = 1010.
- Bohrovy postuláty, Bohrův model atomu
Bohrův model atomu vodíku:
48. Jakou silou se navzájem přitahují jádro a elektron na první dráze v Bohrově modelu atomu
vodíku? Kolikrát je tato síla větší než síla gravitační, kterou na sebe elektron a jádro působí?
[0,0821.10-6 N, 2,26.1043]
49. Určete celkovou energii elektronu na druhé kvantové dráze v Bohrově modelu atomu vodíku.
[-3,4 eV]
50. Určete indukci magnetického pole, které vytváří elektron obíhající v Bohrově modelu atomu
vodíku na první dovolené dráze, uprostřed této dráhy.
[12,4 T]
51. Určete vlnovou délku fotonu, který se vyzáří při přeskoku elektronu ze čtvrté kvantové dráhy na
druhou. (využijte stanovení E2 z př. 53)
[0,485 µm]
D45) Vypočítejte poloměr první dráhy elektronu obíhajícího kolem jádra v Bohrově modelu atomu
vodíku a určete rychlost elektronu na této dráze.
D46) Jaký je magnetický moment elektronu vodíkového atomu v základním stavu?
- kvantově-mechanické řešení atomu vodíku, kvantová čísla
- atomy s více elektrony
- pásový model pevných látek, polovodiče
Pásová teorie pevných látek:
D47) Určete maximální hodnotu rychlosti vodivostních elektronů v mědi při teplotě 0K, je-li
Fermiho energie 4,7 eV a koeficient volnosti mědi 0,67.
[10,5.105 m/s]
D48) Jaká je Fermiho energie mědi, jestliže ke koncentraci vodivostních elektronů přispívá každý
atom mědi jediným elektronem, je-li koeficient volnosti mědi 0,67.
D49) Čistý polovodič má při teplotě 20 °C šířku zakázaného pásu 2 eV. Určete, kolikrát se zvýší
koncentrace vodivostních elektronů ve vodivostním pásu, jestliže teplota vzroste na
320 °C?
INŽENÝRSKÁ FYZIKA 2011 příklady (bez korektury výsledků)
6. FYZIKA ATOMOVÉHO JÁDRA
-
složení atomových jader, vazební energie jádra
radioaktivní přeměny jader
zákony zachování při jaderných reakcích
52. α-částice s energií 5,3 MeV dopadá čelně na jádro atomu zlata s protonovým číslem 79. Jak blízko ke
středu jádra je α-částice v okamžiku, kdy se zastaví a změní směr pohybu? Zpětný ráz jádra zanedbejte.
[42,9 fm]
53. Kolik energie je třeba k oddělení všech nukleonů, které tvoří typické středně hmotné jádro cínu (A=120,
Z=50, N=70), jehož tab. Hmotnost je 119,902199u. Jaká je hodnota vazební energie na 1 nukleon v tomto
nuklidu? Hmotnost vodíkového atomu je 1,007825u, hmotnost neutronu 1,008665u. Atomová hmotnostní
jednotka u=1,661.10-27 kg.
[1021 MeV, 8,51 MeV]
54. Měření vzorku horniny z Měsíce na hmotnostním spektrografu ukázala, že poměr počtu stabilních atomů
argonu 40 Ar k počtu radioaktivních atomů draslíku 40 K je 10,3. Předpokládejme, že všechny argonové
atomy vznikly rozpadem draslíku s poločasem rozpadu 1,25.109 y. Jaké je stáří analyzované horniny?
[4,37.109 let]
55. Vypočtěte, kolikrát se zmenší hmota radioaktivního izotopu za 3 roky, jestliže za 1 rok klesne 4 krát.
[64]
Download

1. KLASICKÁ MECHANIKA: