Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku
RNDr. František Staněk, Ph.D, Ph.D., Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D.,
Doc. Dr. Ing. Michal Lesňák., Mgr. Jana Trojková.
VŠB-TU Ostrava, HGF-Institut fyziky 2012
Učební text byl sepsán za podpory projektu“ FRVŠ2012/1202 Sbírka úloh z fyziky
se zaměřením na oborovou problematiku“.
ISBN 978-80-248-2942-5
1
Vstupní slovo
Soubor příkladů v textu Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku je určen pro
studenty prezenčního i kombinovaného studia na Fakultě hornicko-geologické a Fakultě
bezpečnostního inženýrství VŠB-TU Ostrava.
Sbírka je rozdělena do pěti kapitol. Úvodní část je věnována fyzikálním jednotkám a základům
vektorového počtu, které jsou použity při řešení úloh v textu.
Každá z následujících kapitol resp. podkapitol sestává ze tří částí. V první jsou uvedeny základní
pojmy, zákony a principy potřebné pro řešení daných úloh. V druhé části jsou úlohy řešené a v třetí
části zadané úlohy k řešení s hodnotami vypočtených výsledků.
Řešení předložených úloh vyžaduje znalost středoškolské matematiky a fyziky, vektorové algebry a
základů diferenciálního počtu na úrovni Bakalářské matematiky.
Předkládaný učební text autorsky za redakce RNDr. Františka Staňka, Ph.D. autorsky zpracovali:
Kapitola 1. - kolektiv všech autorů-po vzájemné konzultaci; kapitola 2. Doc. Dr. Ing. Michal Lesňák
a RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 3. Doc. RNDr. Karla Barčová, Ph.D. a RNDr. František Staněk,
Ph.D.; kapitola 4. RNDr. František Staněk, Ph.D.; kapitola 5. Mgr. Jana Trojková, Ph.D. U kapitoly 5 je
patrný větší rozsah teoretických informací. Po vzájemné konzultaci s autorkou jsme z důvodů malého
povědomí o světle, pojali v tomto duchu.
Na formální úpravě textu a nakreslení obrázků se podíleli ing. Igor Hlubina a Bc. Radek Ješko.
Ke konečné úpravě po přečtení a přepočítání příkladů svými náměty a postřehy přispěla Doc. RNDr.
Karla Barčová, Ph.D.
Všem výše jmenovaným za spolupráci upřímně děkuji
Fr. Staněk
Učební text byl sepsán za podpory projektu“ FRVŠ2012/1202 Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na
oborovou problematiku“.
2
OBSAH
STRANA
1.
ÚVOD
1.1
SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,
5
JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ
1.2
5
MATEMATICKÉ MINIMUM, VEKTORY,
DIFERENCIÁLNÍ POČET
9
2.
MECHANIKA
11
2.1
KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU
11
2.2
DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
14
2.3
MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE
32
2.4
GRAVITAČNÍ POLE
43
2.5
DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA
59
2.6
MECHANICKÉ KMITÁNÍ
74
2.7
MECHANICKÉ VLNĚNÍ
89
3.
TEKUTINY A TERMIKA
107
3.1
TEKUTINY
107
3.1.1
TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ
A ATMOSFÉRICKÝ TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA
107
3.1.2
PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY
113
3.2
TERMIKA
119
3.3
KALORIMETRICKÁ ROVNICE,
FÁZOVÉ PŘECHODY
126
3
3.4
STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU,
JEDNODUCHÉ DĚJE
132
3.5
TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON
138
3.6
SDÍLENÍ TEPLA
145
4.
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE
150
4.1
ELEKTROSTATICKÉ POLE
150
4.2
ELEKTRICKÝ PROUD
160
4.3
MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI,
MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
4.4
STŘÍDAVÉ PROUDY
4.5
ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE,
170
180
ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE
194
5.
OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA
205
5.1.
SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ
205
5.2
GEOMETRICKÁ OPTIKA
211
5.3
FOTOMETRIE
223
5.4
VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA
228
5.5
KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA
233
5.6.
STAVBA ATOMU A JEHO JÁDRA
238
LITERATURA
244
4
1.
ÚVOD
1.1
SOUSTAVA FYZIKÁLNÍCH VELIČIN, KONSTANT,
JEDNOTEK A JEJICH PŘEVODŮ
FYZIKÁLNÍ VELIČINY
Fyzikálními veličinami charakterizujeme a popisujeme



vlastnosti fyzikálních objektů
parametry stavů, ve kterých se fyzikální objekty nacházejí
parametry fyzikálních jevů (dějů a procesů), které je možno měřit
Měřením fyzikální veličiny určujeme její hodnotu. Hodnotu (velikost) fyzikální veličiny určujeme
kvantitativním porovnáváním s určitou, předem zvolenou hodnotou veličiny téhož druhu, kterou
volíme za jednotku. Hodnotu fyzikální veličiny X vyjadřujeme její číselnou hodnotou {X} a jednotkou
fyzikální veličiny [X].
Hodnota fyzikální veličiny = číselná hodnota · měřicí jednotka
X = {X} · [X]
Jednotka fyzikální veličiny (měřicí jednotka)je dohodou stanovená hodnota fyzikální veličiny, která je
základem pro měření fyzikálních veličin stejného druhu.
ZÁKONNÉ JEDNOTKY
Zákonné jednotky v ČR jsou: základní jednotky, jednotky doplňkové, odvozené, dekadické násobky a
díly základních a odvozených jednotek a jednotky vedlejší.
Základní jednotky SI
Základní jednotky jsou vhodně zvolené jednotky základních veličin. Každá základní veličina má pouze
jedinou hlavní jednotku, která slouží současně jako základní jednotka. V mezinárodní soustavě
jednotek SI je sedm základních jednotek v dohodnutém pořadí:
Fyzikální veličina
Značka veličiny
Základní jednotka
Značka jednotky
délka
l
metr
m
hmotnost
m
kilogram
kg
čas
t
sekunda
s
elektrický proud
I
ampér
A
termodynamická teplota
T
kelvin
K
látkové množství
n
mol
mol
svítivost
I
kandela
cd
5
Doplňkové jednotky.
Generální konference pro váhy a míry o těchto jednotkách dosud nerozhodla, zda mají být zařazeny
mezi základní jednotky nebo jednotky odvozené.
Fyzikální veličina
Značka veličiny
Základní jednotka
Značka jednotky
rovinný úhel
např. 
radián
rad
prostorový úhel
např. 
steradián
sr
radián-rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního
bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru
steradián-prostorový úhel s vrcholem ve středu kulové plochy, který na této ploše vytíná část s
obsahem rovným druhé mocnině poloměru této kulové plochy
Odvozené jednotky SI.
Tyto jednotky jsou odvozené ze základních jednotek na základě definičních vztahů, v nichž se
vyskytuje násobení. Dělení je v zápise odvozené jednotky obvykle nahrazeno násobením se zápornou
mocninou. Některé odvozené jednotky mají vlastní názvy, převážně podle jmen významných fyziků.
Přehled některých jednotek používaných v mechanice je uveden v následující tabulce:
Fyzikální veličina
Fyzikální rozměr
jednotky
m2
plošný obsah
m2
m3
objem
m3
m-1
vlnočet
m-1
frekvence
s-1
m/s
rychlost
m·s-1
rad/s
úhlová rychlost
rad·s-1
m/s2
zrychlení
m·s-2
rad/s2
úhlové zrychlení
rad·s-2
Jednotka
hertz
Značka jednotky
Hz
newton
N
síla
m·kg·s-2
joule
J
energie, práce, teplo
m2·kg·s-2
watt
W
výkon
m2·kg·s-3
N·m
moment síly
m2·kg·s-2
kg·m2
moment setrvačnosti
m2·kg
kg/m3
hustota
m-3·kg
tlak, napětí
m-1·kg·s-2
pascal
Pa
6
Násobné a dílčí jednotky
Násobné a dílčí jednotky jsou jednotky získané jako násobek nebo díl základní nebo odvozené
jednotky. Jejich název je vytvořen přidáním předpony před základní nebo odvozenou jednotku,
případně před její značku. Výjimkou je jednotka hmotnosti g (gram), která je dílem základní jednotky
kg (kilogram)
Přehled normalizovaných předpon
Předpona
Značka
předpony
Poměr k základní
jednotce
exa-
E
1018
péta-
P
1015
tera-
T
1012
giga-
G
109
mega-
M
106
kilo-
k
103
hekto-
h
102
deka-
da
10
deci-
d
10-1
centi-
c
10-2
mili-
m
10-3
mikro-
μ
10-6
nano-
n
10-9
piko-
p
10-12
femto-
f
10-15
atto-
a
10-18
7
Vedlejší jednotky
Vedlejší jednotky nepatří do soustavy SI, ale norma povoluje jejich používání. Jejich užívání v běžném
praktickém životě je tradiční a jejich hodnoty jsou ve srovnání s odpovídajícími jednotkami SI pro
praxi vhodnější.
K vedlejším jednotkám času a rovinného úhlu se nesmějí přidávat předpony. Předpony nelze také
používat u astronomické jednotky, světelného roku, dioptrie a atomové hmotnostní jednotky.
Lze používat jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších nebo i kombinovaných z
vedlejších jednotek, např. km·h-1 nebo l·min-1 apod. Lze používat poměrových a logaritmických
jednotek (např. číslo 1, procento, bel, decibel, oktáva). Některé vedlejší jednotky uvádí následující
tabulka.
Veličina
Jednotka
Značka Vztah k jednotkám SI
jednotky
délka
astronomická jednotka
parsek
světelný rok
UA
pc
ly
1 UA = 1,49598·1011 m
1 pc = 3,0857·1016 m
1 ly = 9,4605·1015 m
hmotnost
atomová hmotnostní jednotka
tuna
u
t
1 u = 1,66057·10-27 kg
1 t = 1000 kg
čas
hodina
minuta
den
h
min
d
teplota
Celsiův stupeň
rovinný úhel
úhlový stupeň
úhlová minuta
vteřina
'
"
plošný obsah
hektar
ha
1 ha = 104 m2
objem
litr
l
1 l = 10-3 m3
energie
elektronvolt
eV
tlak
bar
b
1 b = 105 Pa
optická mohutnost
dioptrie
D
1 D = 1 m-1
zdánlivý výkon
voltampér
VA
jalový výkon
var
var
0
C
0
8
1 h = 3600 s
1 min = 60 s
1 d = 86400 s
10C=K
1 0 = (π/180) rad
1 ' = (π/10800) rad
1 " = (π/648000) rad
1 eV = 1,60219·10-19 J
MATEMATICKÉ MINIMUM, VEKTORY,
1.2
DIFERENCIÁLNÍ POČET
Skalární a vektorové fyzikální veličin
Veličiny, se kterými se ve fyzice setkáme, dělíme na:


skalární fyzikální veličiny (skaláry)
- jsou zcela určeny jen číselnou hodnotou a měřící jednotkou (patří sem např.
čas t, dráha s, energie E, moment setrvačnosti J apod.)
vektorové fyzikální veličiny (vektory)
- jsou zcela určeny číselnou hodnotou, směrem, orientací a měřící jednotkou
(patří sem např. síla F, rychlost v, moment síly M apod.)
Graficky zobrazujeme vektorovou veličinu orientovanou úsečkou, jejíž délka znázorňuje velikost
vektoru (značí se |X|), její orientace směr vektoru. Počáteční bod vektoru určuje umístění vektoru. V
textu jsou vektorové veličiny vyznačeny tučným písmem nebo šipkou nad veličinou.
S vektory můžeme provádět některé početní operace:
násobení a dělení vektoru skalárem



sčítání a odčítání vektorů (stejného směru, různé orientace)
rozkládání vektoru do dvou daných (různoběžných) směrů
násobení vektorů (skalární a vektorové)
Pravidla pro počítání s vektory:

Definice:
- Každou uspořádanou n – tici čísel (a1,a2,…..an) nazveme n – rozměrným
vektorem. Čísla a1, a2, …. an nazveme složky vektoru. Označení ⃗
-
Vektor ⃗⃗
nazýváme nulový vektor.
Pro počítání s n - rozměrnými vektory ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ platí tato pravidla:
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
komutativní zákon
⃗
asociativní zákon
⃗⃗
distributivní zákon
⃗
⃗⃗
⃗
9
⃗

⃗
Definice:
- Pro dva vektory ⃗
⃗
, ⃗⃗
platí:
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗
pro
mají vektory ⃗⃗ a⃗⃗stejnou orientaci (vektory souhlasně rovnoběžné ⃗⃗
pro
mají vektory⃗⃗ a⃗⃗ opačné orientace (vektory nesouhlasně rovnoběžné ⃗⃗

⃗⃗);
⃗⃗)
Definice:
⃗⃗
-
Jednotkový vektor⃗⃗⃗⃗
-
Skalárním součinem vektorů ⃗
nazýváme číslo:
⃗
a ⃗⃗
⃗ ⃗⃗
-
→
⃗
-
a ⃗⃗
Vektorový součinem vektorů (o třech složkách) ⃗
nazýváme číslo:
⃗⃗
|
→
→
| ; ⃗
Velikost vektoru(o třech složkách) ⃗
10
⃗⃗
√
2.
MECHANIKA
2.1
KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU
Slouží k popisu pohybu hmotného bodu v definované soustavě souřadnic (vztažné soustavě).
Používané pojmy, které je třeba znát
Hmotný bod (HB); vztažné těleso; vztažná soustava; relativnost klidu a pohybu tělesa; kinematický
popis pohybu HB; poloha HB; polohový vektor HB; trajektorie HB; dráha HB; klasifikace pohybů dle
tvaru trajektorie (přímočaré a křivočaré); klasifikace pohybů dle velikosti rychlosti (rovnoměrné a
nerovnoměrné).
Rychlost hmotného bodu
y

r

r1

r2
0
x
z
a) průměrná rychlost:
-
velikost průměrné rychlosti:
-
průměrná rychlost je skalár
b) okamžitá rychlost:
⃗
⃗
⃗
→
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗ ̇
⃗ ̇
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ̇
̇
→
c) velikost rychlosti:
⃗
√
d) směr rychlosti:
-
vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic:
⃗ ⃗
( ⃗ ⃗⃗ )
⃗ ⃗
Okamžitá rychlost je vektor, který má směr tečny k trajektorii v místě, v němž
okamžitou rychlost určujeme, a je orientován ve směru pohybu.
11
e) jednotka:
Zrychlení hmotného bodu

v2

v1

v1
  
v  v2  v1

v2
a) průměrné zrychlení při pohybu přímočarém je skalární veličina:
b) okamžité zrychlení:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗̈
→
⃗⃗
⃗
c) velikost zrychlení: ⃗
d) směr vektoru zrychlení:
⃗⃗
⃗
⃗
-
⃗
⃗̈
⃗ ̈
⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗ ̈
√
vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic:
⃗ ⃗
( ⃗ ⃗⃗ )
⃗ ⃗
e) jednotka:
f) přirozené složky zrychlení (tečné a normálové):
-
velikost tečného (tangenciálního) zrychlení:
rychlosti
-
velikost normálového (dostředivého) zrychlení:
rychlosti
-
celkové zrychlení:
⃗
⃗
⃗
- udává změnu velikosti
- udává změnu směru
√
Grafické vyjádření je na následujícím obrázku a určení směru vektoru zrychlení vzhledem k rychlosti
vyjadřuje úhel .
12
Přímočarý pohyb:
Dělení:
Rovnoměrný přímočarý:
∫
.
Rovnoměrně zrychlený přímočarý:
∫
∫
;
∫
.
Rovnoměrně zpomalený přímočarý:
.
Zastavení:
Nerovnoměrně zrychlený (zpomalený) přímočarý pohyb:
∫
∫
Volný pád: rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb v tíhovém poli Země
=0 ;
∫
.
Kruhový pohyb
Trajektorie je kružnice a zavádějí se úhlové veličiny.
a) Úhlová dráha:(úhel opsaný průvodičem):
13
; jednotka: rad
.
̇;
b) Úhlová rychlost:
; jednotka:
⃗⃗⃗
⃗⃗
-
směr: leží v ose rotace
-
orientace: na tu stranu, ze které vidíme směr otáčení kladně
⃗
⃗⃗
⃗
rychlost ⃗ nazýváme rychlostí obvodovou (postupnou)
⃗⃗⃗⃗
c) Úhlové zrychlení: ⃗
-
⃗⃗⃗
;
jednotka:
směr: totožný se směrem úhlové rychlosti
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
-
tečné zrychlení:
-
normálové zrychlení:
⃗
⃗
⃗⃗
d) Perioda T: čas jednoho oběhu po kružnici
e) Frekvence f: počet oběhů za 1 s;
⃗
⃗
Rovnoměrný pohyb po kružnici:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗
∫
Rovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∫
∫
Nerovnoměrně zrychlený a zpomalený pohyb po kružnici:
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
∫
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
PŘÍKLADY:
14
⃗
; jednotka:
; jednotka:
Dělení:
⃗
⃗⃗
∫
.
2.1-1.
Při silném kýchnutí zavře člověk oči na
. Jakou dráhu urazí auto za tuto dobu
jedoucí rychlostí
, jakou auto pohotovostní záchranné služby jedoucí
rychlostí
a kolik metrů uletí stíhačka pohybující se rychlostí
?
Řešení:
Vztah mezi dráhou, rychlostí a časem je dán definicí rychlosti
,
odtud pro dráhu platí
.
Po dosazení číselných hodnot
Automobil urazí dráhu
, auto záchranné služby
a stíhačka urazila dráhu
.
Automobil projel první třetinu dráhy stálou rychlostí , další dvě třetiny stálou
rychlostí . Jeho průměrná rychlost po projetí dráhy byla
. Jaká byla
rychlost , víte-li že rychlost v druhé části byla
?
2.1-2
Řešení:
?
První třetinu dráhy projel automobil za čas
čas
.
Čas
; čas
; čas
, druhou část za čas
a po úpravě
15
, celou dráhu projel za celkový
odtud pro
:
Po dosazení číselných hodnot
⁄
⁄
⁄
Automobil projel první část dráhy rychlostí
2.1-3
.
Stanovte, za jak dlouho a jakou rychlostí by dopadla těžní klec na dno jámy po
přetržení lana ve výšce h nade dnem jámy v případě, že těžní klec
a) sjíždí konstantní rychlostí
b) vyjíždí konstantní rychlostí
do jámy
z jámy
Řešení:
a)
√
√
b)
√
√
2.1-4
Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru
tak, že pro jeho dráhu
v závislosti na čase platí
. Určete absolutní hodnotu jeho zrychlení
v čase
.
Řešení:
( )
√
√
,
,
16
Zrychlení hmotného bodu ve třetí sekundě je 200,09 m.s-2.
Otáčky setrvačníku klesly z 900 otáček za minutu na 800 otáček za minutu za dobu
. Určete jeho úhlové zrychlení a počet otáček, které za tuto dobu vykonal. Kolik
času uplyne, než se setrvačník zastaví?
2.1-5
Řešení:
(
)
,
,
,
Velikost úhlového zrychlení setrvačníku je 2,09
a za 45 s došlo k jeho úplnému zastavení.
, setrvačník vykonal 70,83 otáček
Vyšetřete pohyb hmotného bodu, jehož polohový vektor ⃗ závisí na čase podle
rovnice ⃗ ⃗
⃗
kde
2.1-6
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Určete vektor rychlosti.
Určete velikost rychlosti.
Určete směr vektoru rychlosti pomocí jednotkového vektoru.
Určete vektor zrychlení a jeho velikost.
Určete přirozené složky zrychlení.
Určete, o jaký pohyb se jedná.
Určete poloměr křivosti R .
( ⃗
⃗
⃗
⃗
)
( ⃗
⃗
[
)
]
17
K tonoucímu v řece ve vzdálenosti
vyráží plavec kolmo k břehu rychlostí
. Rychlost proudu řeky je
. Určete velikost a směr rychlosti
plavce vzhledem k rychlosti vody. Jakou vzdálenost musí plavec uplavat, aby se
dostal k tonoucímu?
2.1-7
[
]
Účastník záchranářského cvičení tvrdil, že dopad kamene na dno propasti Macocha
o hloubce
slyšel za
. Rychlost zvuku je
. Měl pravdu?
2.1-8
[
2.1-9
[
]
Motor vykonal po vypnutí během
a zastavil se. Určete jeho
zpomalení, předpokládáte-li, že bylo rovnoměrné. Stanovte frekvenci otáček
v okamžiku vypnutí.
]
2.1-10 Automobil hmotnosti
jede po zledovatělé vozovce s kopce o klesání
rychlostí
. Ve vzdálenosti
před automobilem vstoupí kolmo do
vozovky chodec. Reakční doba řidiče je
. Určete minimální rychlost automobilu
v místě možného střetu, je-li maximální rovnoměrné zpomalení pohybu automobilu
určeno třecí silou na styku pneumatiky s vozovkou; součinitel tření je
. (Použijte
hodnotu tíhového zrychlení
a výslednou hodnotu uveďte v
zaokrouhleně na jedno desetinné místo).
[
]
18
2.2 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU
Studuje příčiny změn pohybového stavu HB, proč se jeho pohybový stav změnil a za jakých podmínek
se tato změna uskutečnila.
Používané pojmy, které je třeba znát:
Síla: Vektorová veličina charakterizující vzájemné silové působení těles (resp. HB); je určena velikostí,
směrem a působištěm; označuje se ⃗ ; jednotkou je newton:
Hybnost: vektor mající směr totožný se směrem okamžité rychlosti HB; ⃗
hybnosti, je hmotnost HB a ⃗ je vektor okamžité rychlosti; jednotka:
⃗ kde ⃗ je vektor
Skládání sil; Interakce (vzájemné silové působení); Účinky silového působení; Volné těleso; Inerciální
vztažná soustava (IVS).
1. Newtonův pohybový zákon (zákon setrvačnosti)
„Každé těleso setrvává v relativním klidu nebo v pohybu rovnoměrném přímočarém, dokud není
přinuceno silovým působením jiných těles tento svůj pohybový stav změnit.“
Za podmínky, že na HB nepůsobí vnější síly, můžeme tedy tuto formulaci pomocí rovnic zapsat takto:
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗(
⃗
⃗
⃗⃗) ⃗
⃗⃗
Galileův princip relativity:
„Klid a pohyb rovnoměrný přímočarý jsou dva rovnocenné stavy, které lze rozlišit jen relativně (tj. ve
vztahu k okolí).“
„Všechny IVS jsou z mechanického hlediska ekvivalentní, žádným mechanickým pokusem
provedeným uvnitř IVS nelze jednoznačně určit, zda a jakou rychlostí se soustava pohybuje vzhledem
k jiné IVS.“
2. Newtonův pohybový zákon (zákon síly)
„Časová změna hybnosti tělesa je úměrná působící síle.“
Pomocí rovnice zapíšeme jako:
⃗
⃗
.
V případě konstantní hmotnosti tělesa platí:
19
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Mění-li se hmotnost tělesa, tak platí:
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Setrvačná hmotnost:
Je hmotnost tělesa určená na základě zrychlení, které těleso získá po působení určité síly ⃗
⃗
Impulz síly (charakterizuje časový účinek síly):
⃗
Jednotkou je
⃗
∫ ⃗
∫⃗
. V případě konstantní síly platí:
⃗∫
⃗
(resp. ⃗
⃗
).
a dle 2. NPZ platí:
⃗
∫⃗
∫
⃗
∫
[
⃗
⃗]
[
⃗]
[
⃗]
⃗
3. Newtonův pohybový zákon (zákon akce a reakce)
„Síly vzájemného působení dvou těles jsou stejně velké, stejného směru, ale opačné orientace.“
Platí tedy:
⃗
⃗
⃗
⃗
Pozn.: Síly působí na různá tělesa, proto se ve svém účinku neruší (
atd.)
na první a
na druhé těleso,
Zákon zachování hybnosti
Pro izolovanou soustavu obsahující n těles (resp. n HB), které na sebe vzájemně působí (sráží se,
atd.), platí:
∑⃗
20
⃗⃗
tedy:
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
∑⃗
což je zákon zachování hybnosti v izolované soustavě hmotných bodů.
Axiom o nezávislosti silového působení
„Zrychlení tělesa, na které působí současně několik sil, je rovno vektorovému součtu zrychlení, které
tělesu udílejí jednotlivé síly“
Newtonova pohybová rovnice pro HB
Dle 2. Newtonova pohybového zákona je:
⃗
∑⃗
kde ⃗ jsou jednotlivé síly působící na HB v dané vztažné soustavě. Tuto vektorovou rovnici lze
nahradit soustavou tří nezávislých rovnic pro souřadnice, tedy:
ve směru x:
ve směru y:
ve směru z:
Pohybové rovnice pro jednotlivé typy pohybů
Pro přímočarý pohyb:
HB setrvává v pohybu rovnoměrném přímočarém
⃗
⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
HB se pohybuje rovnoměrně zrychleným přímočarým pohybem
⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Pro křivočarý pohyb:
Pro působící sílu použijeme rozklad na tečnou a normálovou sílu, které jsou na sebe
vzájemné kolmé a zapíšeme je jako:
tečná síla:
21
normálová síla:
Normálová složka má směr do středu křivosti trajektorie a proto se také označuje
jako dostředivá síla (síla nutící HB ke křivočarému pohybu); dle 3. NPZ existuje
reakce na tuto sílu, tj. síla odstředivá.
Tíha G a tíhová síla FG
Inerciální vztažné soustavy (IVS)
Soustavy, v nichž platí Newtonovy pohybové zákony; mechanický pohyb se z hlediska různých
vztažných soustav jeví různě; inerciálních vztažných soustav je nekonečně mnoho; vzájemný
mechanický pohyb inerciálních vztažných soustav má nulové zrychlení.
Neinerciální vztažné soustavy (NIVS)
Vztažné soustavy, které se vzhledem k libovolné IVS pohybují s nenulovým zrychlením; působí zde síly
setrvačné nemající původ v reálných tělesech uvnitř NIVS (označujeme je jako síly zdánlivé, fiktivní);
síly setrvačné mají směr proti zrychlení dané soustavy; výsledná síla působící na těleso je rovna
vektorovému součtu sil skutečných a sil setrvačných ( ).
v rotujících soustavách:
PŘÍKLADY:
2.2-1.
Určete velikost a orientaci zrychlení tělesa o hmotnosti
, které se pohybuje bez
tření v horizontální rovině a na něž působí v této rovině síly
síly
a
svírají v daném pořadí se silou
úhly 90° a 180° (obr.
2.2-1.)
22
Obr. 2.2-1
Řešení:
Postupným skládáním sil ⃗ ⃗ ⃗ dostáváme výslednici ⃗ , pro určení její velikosti využijeme
Pythagorovu větu (viz. obr. 2.2-1.):
√
√
Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení
, odtud
a po číselném dosazení
Orientaci určíme z polohy vektorů síly (viz. obr. 2.2-1.):
po dopočítání:
Těleso se pohybuje se zrychlením
úhel
.
2.2-2.
orientovaném ve směru svírajícím se silou
Pojízdná stříkačka o hmotnosti
má být posunuta po vodorovné dráze, jeli tření
tíhové síly. Jaké zrychlení stříkačky dosáhnou dva hasiči, působí-li
každý silou
?
Řešení:
23
Z pohybové rovnice pro konstantní hmotnost určíme velikost zrychlení
kde
Po číselném dosazení
Stříkačka dosáhne zrychlení
2.2-3.
.
Kámen, který padá volným pádem kolem římsy nevyššího patra domu (bod A)
rychlostí
, na parapet okna (bod B) v přízemí dopadne rychlostí
.
Určete vzdálenost mezi sledovanými body a dobu, za kterou kámen tuto vzdálenost
urazí (obr. 2.2-2).
Obr. 2.2-2
Řešení:
Vzdálenost
, to je
24
Pro dráhu volného pádu platí vztah:
Pro rychlost volného pádu platí vztah:
,
odtud pro t:
,
dosazením časů dostaneme:
.
Doba pádu mezi body A-B
.
Vzdálenost mezi sledovanými body je
2.2-4.
a doba pohybu mezi těmito body je
.
S jakým stálým zrychlením se bude rozjíždět autobus o hmotnosti
do svahu
se
a
, jestliže se po vodorovné silnici
stejnou tahovou silou rozjíždí se zrychlením
(obr. 2.2-3)?
Obr. 2.2-3
Řešení:
25
pro úhel stoupání
je dáno
, odtud
Tahová síla po vodorovné silnici:
Proti pohybu při jízdě do svahu působí (obr. 2.2-3) síla
a síla třecí dána vztahem:
,
kde
je tíha autobusu.
Síla udělující zrychlení autobusu
(
)
,
po úpravě:
.
Po dosazení číselných hodnot
;
.
Autobus jede do svahu se stálým zrychlením
2.2-5.
Lyžař sjíždí po svahu s úhlem sklonu
. Z místa, v němž byl lyžař původně
v klidu, se rozjíždí se stálým zrychlením a ujede po svahu dráhu . Potom přejede na
vodorovnou pláň, po které ujede až do zastavení opět dráhu l. Určete součinitel tření
mezi lyžemi a sněhem, odpor vzduchu zanedbejte (obr. 2.2-4).
Obr. 2.2-4
Řešení:
26
Výsledná síla působící na lyžaře při sjezdu je:
,
odtud:
.
Dráha zrychleného pohybu a rychlosti lyžaře na konci svahu je dána vztahy:
po úpravě (vyloučení
√
) dostaneme:
√
Pro zrychlení po pláni
dostaneme:
,
znaménko určuje směr zrychlení, odtud:
√
√
porovnáním rychlostí získáme:
√
upravíme
√
,
, odtud:
Po dosazení číselných hodnot
Součinitel smykového tření mezi skluznicemi lyží a sněhem je 0,087.
2.2-6.
Míč o hmotnosti
narazí na svislou stěnu rychlostí
a odrazí se od
ní rychlostí
. Určete jeho hybnost před dopadem a po odrazu, průměrnou
velikost síly, kterou míč působil na stěnu, víte-li, že doba trvání nárazu byla
.
Řešení:
27
Hybnost je dána vztahem:
.
Hybnost míče při dopadu je:
po dosazení číselných hodnot:
Hybnost míče po odrazu je:
po dosazení číselných hodnot:
Při určení průměrné síly použijeme vztahů pro impulz síly; důsledku 2. N.P.Z.pro tělesa s konstantní
hmotností a zrychlení:
dosazením a úpravou dostaneme:
̅
po dosazení číselných hodnot:
Hybnost před dopadem je
síla je
2.2-7.
, hybnost po odrazu
N (orientace síly je proti orientaci vektoru rychlosti
a průměrná
).
Jak veliká síla působí na střelu o hmotnosti
, která proletěla hlavní délky
(pohyb uvažujeme rovnoměrně zrychlený) a dosáhla rychlosti
? Jakou
rychlost měla puška při zpětném rázu, váží-li puška
?
Řešení:
28
K řešení použijeme následující vztahy mezi veličinami:
po úpravě a dosazení získáme vztah:
po dosazení číselných hodnot:
Zákon zachování hybnosti pro danou úlohu můžeme napsat ve tvaru:
,
po dosazení číselných hodnot:
.
ů
š
.
2.2-8. Konec provazu ležícího na desce je prostrčen otvorem v desce (obr. 2.2-5). Celková
délka provazu je , jeho hmotnost je . V čase
je délka provazu visícího dolů
. Vyšetřete průběh pohybu provazu za předpokladu, že je zanedbáno tření.
29
Obr. 2.2-5
Ř š
:
Hmotnost části provazu délky
pod deskou je:
( )
PZ
Pohybová rovnice má tvar:
po úpravě:
je diferenciální homogenní rovnice, která má řešení ve tvaru:
kde
√ ⁄ Konstanty
určíme z počátečních podmínek:
odtud plyne po dosazení počátečních podmínek:
Dráha
je dána vztahem:
√
√
(√
)
a pro rychlost pohybu provazu dostáváme:
√
(√
).
30
D
rovnice
(√ ⁄ ); rychlost posuvu provazu
(√ ⁄ ) .
√ ⁄
Řidič automobilu o hmotnosti
začne brzdit ve vzdálenosti
od hranice
křižovatky. Třecí síla při brzdění má velikosti
. Určete mezní rychlost, při
které může automobil ještě zastavit na hranici křižovatky.
2.2-9
[
]
2.2-10. Bedna se pohybuje působením vlastní tíhy po nakloněné rovině o sklonu
z bodu A do bodu B. Určete rychlost tělesa v bodě B, je-li vzdálenost bodů
součinitel smykového tření
a rychlost tělesa v bodě A byla nulová.
[
,
]
2.2-11. Auto o hmotnosti
křivosti mostu je
[
se pohybuje po klenutém mostě rychlostí
. Poloměr
Jakou silou auto zatěžuje most při průjezdu jeho vrcholem.
]
2.2-12. Lano vydrží zatížení
S jak velkým zrychlením můžeme zvedat břemeno o
hmotnost
, aniž by se lano přetrhlo.
[
]
2.2-13. Vlak o celkové hmotnosti
stojí na trati. Určete sklon trati, kdy ještě nedojde
k samovolnému rozjetí soupravy, víte-li, že jízdní odpor vlaku je
na jednu tunu
hmotnosti.
[
š
]
2.2-14. Nakreslete schematicky všechny síly, které působí na kabinu výtahu při rozjezdu
výtahu a dojezdu výtahu jak směrem dolů, tak směrem nahoru.
31
2.3
MECHANICKÁ PRÁCE, VÝKON A ENERGIE
Mechanická práce
Děj, který je spojen s přenosem a přeměnou energie je spojen s konáním práce. Mechanická práce je
mírou změny energie. Těleso koná mechanickou práci, jestliže působí silou na jiné těleso, které se
působením této síly přemisťuje po určité trajektorii.“
Mechanická práce charakterizuje dráhový účinek síly;
elementární práce:
⃗
⃗
celková práce:
∫ ⃗
⃗
∫
jednotkou je joule, tj.:
Definice 1 J:
Práce vykonaná tehdy, jestliže silou 1 N přemístíme těleso po dráze 1 m ve směru působící síly.
Výkon
Vyjadřuje “jak rychle se koná práce“;
Průměrný výkon
kde W je celková práce síly v intervalu
.
Okamžitý výkon
→
⃗
⃗
⃗
⃗
jednotkou je watt, tj.:
32
⃗ ⃗⃗⃗
Účinnost
Je podílem užitečné práce (skutečně vykonané) a práce , kterou by stroj měl vykonat na základě
dodané energie. Je tedy podílem užitečného výkonu a dodaného výkonu (příkonu):
Kinetická (pohybová) energie (
)
Je skalární veličina charakterizující pohybový stav HB či tělesa vzhledem ke zvolené IVS. Vyjadřuje
schopnost tělesa konat práci, jestliže se nachází v určitém pohybovém stavu.
Pro hmotný bod:
⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
za zjednodušených podmínek (konstantní síla působící na HB v klidu jej uvádí do pohybu
rovnoměrně zrychleného přímočarého);
Potenciální (polohová) energie
Je polohovou energií tělesa (HB) v silovém poli jiného tělesa (HB). Předpokládáme, že v určité oblasti
prostoru máme v každém bodě definovánu sílu, která působí na těleso v tomto bodě, tj. máme
definováno silové pole.
tíhová potenciální energie:
Zákon zachování mechanické energie
Popisuje, že součet kinetické energie tělesa a potenciální energie tělesa neboli jeho celkové energie,
zůstává konstantní. Rovnicemi jej můžeme zapsat jako:
;
;
(
)
33
Tento zákon platí pro ryze mechanické děje, kdy se neobjevují jiné formy energie; ty však
prakticky neexistují.
Konzervativní síly:
V konzervativním (potenciálovém) silovém poli se zachovává (konzervuje) mechanická energie.
Disipativní síly (nekonzervativní):
Práce vykonaná disipativními silami při pohybu HB je záporná; v poli disipativních sil nastává částečná
přeměna mechanické energie v jiné druhy energie, například síla smykového tření (
)
působící po dráze se mění v teplo; síla valivého odporu (
) působící po dráze se mění v teplo
atd.
Posuvný pohyb tělesa po nakloněné rovině
Pohyb v důsledku vlastní tíhy tělesa. Uvažujeme při něm
působení třecí síly, která vzniká při vzájemném ohybu dvou
těles, která jsou v neustálém styku. Smykové tření je dáno
vztahem:
kde je součinitel smykového tření závisející pouze na materiálu tělesa a podložky a na vyhlazení
obou ploch, je součinitel klidového (statického) tření (
) a je normálová síla. Dále:
∫ d
∫ d
34
PŘÍKLADY:
Hřebík délky
byl zatlučen do trámu pěti údery kladiva o hmotnosti
.
Kladivo mělo dopadovou rychlost
. Jaká je třeba síla k vytažení hřebíku
(tepelnou energii vzniklou třením zanedbáme)?
2.3-1.
Řešení:
ů
Předpokládáme, že třecí síla je přímo úměrná délce hřebíku. Při vytažení hřebíku byla vykonána práce
proti odporové síle trámu:
kde
je maximální odporová síla.
Vykonaná práce je rovna kinetické energii kladiva, tj.:
odtud:
Po dosazení číselných hodnot:
.
K vytažení hřebíku je třeba síly
2.3-2.
.
Hydroelektrárna má výkon
. Objemový průtok vody je
výška přepadu je
. Určete účinnost turbogenerátoru.
Řešení:
35
,
Objemový průtok je
potenciální energie vody při přepadu
Příkon vody
Pro účinný výkon platí vztah
odtud pro :
Po dosazení číselných hodnot
Účinnost turbogenerátorů je přibližně 89,5 %.
2.3-3
Řemenice motoru přenáší řemene tahovou sílu
průměr řemenice je
přičemž motor má 1440 otáček za minutu. Vypočítejte výkon elektromotoru.
Řešení:
⁄
V případě, že síla
⁄
a rychlost mají stejný směr, můžeme výkon vyjádřit vztahem:
36
,
po úpravě a dosazení můžeme psát
Po dosazení číselných hodnot
.
Výkon motoru je
.
Jak veliký příkon musí mít motor hoblovky, je-li délka pracovního zdvihu
čas potřebný na jeden zdvih
, řezná síla
a účinnost
?
2.3-4.
Řešení:
Příkon odvodíme z definičního vztahu pro účinnost
úpravou dostaneme
kde
je dáno vztahem
odtud
Po dosazení číselných hodnot
.
37
,
Motor hoblovky musí mít příkon
2.3-5.
.
Zjistěte, jakou práci musí vykonat motor, aby součástka o hmotnosti
posuvném pásu délky
, zvýšila během pohybu svoji rychlost z
. Odporová síla působící při pohybu je
.
ležící na
na
Řešení:
Na těleso působí dvě síly, síla udělující tělesu zrychlení a síla třecí. Změna kinetické energie je rovna
práci výsledné síly po dráze. Můžeme psát:
.
Síla působící po dráze je úměrná změně rychlosti na této dráze, pro rovnoměrné zrychlení tělesa
můžeme psát
po úpravě můžeme psát
po dosazení a úpravě můžeme psát
.
Po dosazení číselných hodnot
[
]
.
Motor musí vykonat práci
.
38
.
2.3-6.
Lyžař po překonání
výškového rozdílu na
dlouhé sjezdové dráze dosáhl
rychlosti
. Jaká je hodnota součinitele smykového tření pro případ, kdy
neuvažujeme odpor vzduchu?
Řešení:
Dle zákona zachování energie:
.
Dle obr. 3.2-1
,
po dosazení
,
po úpravě
Po dosazení číselných hodnot
.
Součinitel smykového tření je 0,21.
2.3-7.
Jakou maximální rychlostí může jet nákladní auto o celkové hmotnosti
při
stoupání
, jestliže výkon motoru je
? Součinitel smykového tření je
a odpor prostředí zanedbáme.
Řešení:
39
Rychlost vypočítáme dle vztahu
odtud po úpravě
Tažná síla musí překonat sílu pohybovou -
a sílu třecí -
; viz obr. 2.3-1.
Obr. 2.3-1
Výsledná síla
,
dosadíme a dostáváme
Po dosazení číselných hodnot
.
Maximální rychlost auta nemůže být větší než
.
40
Do jaké vzdálenosti by se odkutálelo kolo o hmotnosti
a průměru
,
kdyby se uvolnilo z ložiska při rychlosti
? Moment setrvačnosti kola je
a třecí síla je
.
2.3-8.
Řešení:
Součet kinetických energií translační a rotační se musí rovnat energii, která je shodná s prací třecí síly
po dosazení a úpravě
Po dosazení číselných hodnot
[
]
.
Kolo by se odkutálelo do vzdálenosti
Hmotnost vlaku je 80krát větší než hmotnost letadla. Rychlost letadla je 9krát větší
než rychlost vlaku. Porovnejte navzájem jejich kinetické energie.
2.3-9.
[
.
]
2.3-10. Letadlo hmotnosti
pohybující se konstantní rychlostí, vystoupalo za
4 minuty do výšky
. Vypočítejte výkon motoru, jestliže letadlo potřebuje na
výstup
výkonu motoru.
[
]
41
2.3-11. Vozík rovnoměrně naložený sypkým materiálem 1,2 t pohybující se po kolejích má
čtyři kola o průměru 40 cm. Zjistěte odporovou sílu jednoho kola a práci, kterou je
třeba vykonat při odtlačení vozíku do vzdálenosti 50 m; rameno valivého odporu je
0,5 mm.
[
]
42
2.4
GRAVITAČNÍ POLE
V okolí každého hmotného tělesa existuje gravitační pole, které se projevuje silovým působením na
jiná hmotná tělesa; gravitační pole zprostředkovává silové působení těles, aniž přitom musí dojít
k jejich bezprostřednímu styku; silové působení mezi tělesy je vždy vzájemné (dle 3. Newtonova
pohybového zákona) – tzv. gravitační interakce; vzájemné přitažlivé síly, které jsou mírou gravitační
interakce – tzv. gravitační síly.
Newtonův gravitační zákon
Byl odvozen zobecněním výsledků J. Keplera o kinetice pohybu planet pro dva hmotné objekty. Každé
dvě částice o hmotnostech
a
na sebe vzájemně působí gravitační silou, jejíž velikost je:
kde je vzdálenost mezi částicemi a
hodnota byla zjištěna experimentálně.
je gravitační konstanta, jejíž
„Každé dva hmotné body se přitahují silou, která je přímo úměrná součinu jejich hmotností a
nepřímo úměrná druhé mocnině jejich vzdálenosti.“
Síla ⃗⃗⃗⃗ leží na spojnici hmotných bodů (částic).
Vektorové vyjádření Newtonova zákona
Uvažujme hmotný bod o hmotnosti
v gravitačním poli hmotného bodu o hmotnosti
⃗⃗⃗⃗
kde ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗⁄ Vektor gravitační síly má opačnou orientaci, než polohový vektor (přitažlivá síla).
Intenzita gravitačního pole
Intenzita je vektorová veličina určená podílem gravitační síly, která v daném místě působí na hmotný
bod o hmotnosti a této hmotnosti:
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
43
Intenzita popisuje pole v každém bodě jednoznačně; závisí pouze na poloze uvažovaného bodu a na
hmotnosti tělesa, které pole vytváří. Jednotka je
Je-li pole vytvořeno HB nebo
homogenní koulí o hmotnosti :
Vektorové vyjádření:
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
Směr vektoru intenzity ⃗⃗:
a) do daného hmotného bodu, který je zdrojem tohoto pole
b) do středu stejnorodé koule, která je zdrojem gravitačního pole
... radiální (centrální) gravitační pole.
Gravitační zrychlení
Dle 2. NPZ: gravitační síla při svém působení na tělesa udílí těmto tělesům zrychlení … tzv. gravitační
zrychlení ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Gravitační zrychlení v určitém bodě je rovné intenzitě gravitačního pole v témže bodě (co do
velikosti, směru a orientace):
⃗⃗
⃗
Vektor intenzity gravitačního pole popisuje pole, gravitační zrychlení charakterizuje pohyb
konkrétního tělesa, které se v daném místě pole nachází.
Práce gravitační síly
Hmotný bod o hmotnosti
posuneme o element dráhy
Práce gravitační síly je poté:
44
podél průvodiče .
⃗
⃗
⃗
Celková práce při přemístění HB o hmotnosti
vzdálenosti :
∫
[
⃗
ze vzdálenosti
]
od HB o hmotnosti
(
Gravitační potenciální energie hmotného bodu o hmotnosti
hmotnosti :
(
do
))
v gravitačním poli hmotného bodu o
Práce gravitační síly:
(
)
Gravitační potenciální energie
Skalární veličina, která kvantitativně popisuje chování těles v gravitačním poli jiných těles. Práce
gravitační síly
a tedy gravitační potenciální energie:
∫
kde
je integrační konstanta.
„Potenciální energie je určena prací, kterou vykoná gravitační síla při přenesení hmotného bodu
z daného místa na vztažné místo a nezávisí na cestě, po níž se přenášení děje.“ A tedy:
Potenciál gravitačního pole
Potenciál je skalární veličina charakterizující gravitační pole v určitém bodě závisející pouze na
vlastnostech tohoto pole (nikoli na vlastnostech tělesa v daném bodě umístěného). Potenciál
gravitačního pole v daném bodě prostoru je podíl gravitační potenciální energie, kterou má v tomto
bodě pomocné těleso (HB) o hmotnosti , a této hmotnosti:
Jednotkou je
vztažný bon v nekonečnu, platí:
Pro gravitační pole HB o hmotnosti
45
a zvolíme-li
Gravitační pole Země
Ve vztahu k jiným vesmírným objektům (planety, družice). Zemi považujeme za homogenní kouli o
poloměru
a hmotnosti
(model Země).
Ve skutečnosti má země tvar blízký rotačnímu elipsoidu s hlavní poloosou (rovníkový poloměr) 6378
km a vedlejší poloosou (polární poloměr) 6357 km, není homogenní, její hustota roste směrem od
středu, její hmotnost je
a její střední hustota je
Gravitační zrychlení země
Gravitační zrychlení klesá s nadmořskou výškou (zvětšuje se vzdálenost od země). V nadmořské výšce
je vzdálenost od středu Země
(
)
Pokud je
(
(
)
)
kde
Pozn.: Ve výšce
je gravitační zrychlení jen o 1 promile menší, než při hladině moře (
Potenciální energie těles v zemském gravitačním poli
Mějme těleso o hmotnosti
poloměr , pak
ve vzdálenosti od středu Země. Hmotnost Země označíme
na povrchu země je
a ve výšce
nad povrchem Země:
46
,
).
Práce vnější síly potřebná k vyzvednutí tělesa z povrchu Země do výšky
gravitační síle):
(
Pro
(přemisťujeme proti
)
je práce:
(
)
(
)
Použijeme-li vztah
pak práce vnějších sil je dána jako:
š
Tíhové pole Země
Ve vztahu k tělesům na povrchu resp. v blízkosti povrchu Země. Kromě gravitační síly ⃗ působí na
tělesa o hmotnosti m síla setrvačná ⃗ Ta je dána vztahem:
kde
Tíhové pole Země je složené z gravitačního pole Země a pole setrvačných (odstředivých) sil.
Výslednice sil působících na těleso na Zemi:
⃗
⃗
⃗
kde ⃗ je tíhová síla, ⃗
⃗ kde ⃗ je tíhové zrychlení. Směr tíhové síly definuje svislý směr. Tíhová
síla
klesá s nadmořskou výškou stejně jako tíhové zrychlení . Tíhové zrychlení závisí na
47
nadmořské výšce i zeměpisné šířce. Maximální je na zemských pólech a minimální je na rovníku. Tato
závislost je dána nejen tvarem zemského elipsoidu, ale zejména rotací Země. Tíhové zrychlení je
vektorovým součtem gravitačního zrychlení a zrychlení setrvačného ⃗ ⃗
⃗ .
Pohyby těles v homogenním tíhovém poli země
Pokud jsou parametry trajektorie vrženého tělesa malé ve srovnání s rozměry Země, tíhové zrychlení
je podél celé trajektorie tělesa konstantní.
Pohybová rovnice volného HB:
⃗
⃗
⃗
Vyjádřeno pomocí souřadnic:
Pro soustavu souřadnic volíme počátek v poloze HB a vektor počáteční rychlosti leží v rovině XY. Úhel,
který svírá vektor rychlosti s kladným směrem os X je tzv. elevační úhel (úhel vrhu).
Y

v0

X
O
Souřadnice síly ve zvolené soustavě souřadnic:
48
Dosazením souřadnic síly do pohybových rovnic:
První integrací těchto rovnic získáme souřadnice rychlosti:
kde
jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počátečních rychlostí:
Druhou integrací pohybových rovnic získáme souřadnice polohy HB:
kde
resp.
jsou integrační konstanty odpovídající souřadnicím počáteční polohy HB
pro vodorovný vrh.
Dle počátečních podmínek dostáváme tyto případy:
a)
b)
c)
d)
e)
volný pád
vrh svislý dolů
vrh svislý vzhůru
vrh vodorovný
vrh šikmý vzhůru.
PŘÍKLADY:
2.4-1.
Intenzita gravitačního pole na povrchu Země je cca
. Určete velikost
intenzity ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země od jejího povrchu.
Řešení:
Pro intenzitu gravitačního pole platí vztah
49
Ve výšce
platí:
Úpravou a dosazením dostáváme
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
.
Ve vzdálenosti dvojnásobku poloměru Země je intenzita gravitačního pole
2.4-2.
.
Určete výšku nad povrchem Země, kde je gravitační síla, která působí na těleso,
poloviční
.
Řešení:
Gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem
gravitační síla na povrchu Země je dána vztahem
Dosadíme
po úpravě dostaneme vztah
Kvadratická rovnice má dva kořeny
√
√
50
( √
)
z nichž vyhovuje ten, pro který vyjde
(√
kladné:
).
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
(√
)
Gravitační síla je poloviční ve výšce
2.4-3.
.
Doba oběhu první družice kolem Země na palubě s člověkem byla
. Určete
výšku družice nad povrchem Země za předpokladu, že trajektorií byla kružnice
.
Řešení
Při oběhu kolem Země je dostředivá síla rovna odstředivé a dostředivá síla je síla gravitační
po úpravě
Pro rychlost družice
platí:
po dosazení do rovnice
a úpravě dostáváme
51
√
(
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
√
(
)
.
m.
.
Výška družice nad povrchem Země byla
2.4-4.
km.
Vypočítejte práci, kterou musely vykonat raketové motory, při vynesení rakety o
hmotnosti
do výšky
nad Zemský povrch. Předpokládejme pohyb rakety
v homogenním gravitačním poli s intenzitou
.
Řešení:
Práce raketových motorů
trajektorie.
je rovna gravitační potenciální energii rakety
v nejvyšším bodě
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
Motory vykonaly práci
2.4-5.
.
Jakou rychlostí vystupuje proud vody z požární hubice směrem svisle vzhůru, jestliže
dosahuje výšky
a za jak dlouho po výtoku dopadne na úroveň hubice?
Řešení:
52
Rychlost v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem
,
kde
je počáteční rychlost.
V nejvyšším bodě (v bodě obratu) se voda “zastaví“, proto
odtud vztah pro rychlost:
Dráha (okamžitá výška) v tíhovém poli Země pro směr svislý je dána vztahem
⁄ a úpravě dostaneme pro počáteční rychlost vztah:
po dosazení
.
√
Celková doba než voda dopadne se skládá ze dvou časů: čas pro let nahoru a čas, kdy voda padá
potom platí:
.
Čas
určíme z dráhy, kterou voda vykoná při pádu z maximální výšky, to je z nejvyššího bodu
√
po úpravě pro
⁄ a současně po dosazení za
√
odtud
√
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
53
je
,
√
,
.
√
.
Voda u hubice má rychlost
a dopadne na úroveň hubice za
.
Z vysouvacího požárního žebříku vysokého
stříká hasič vodu vodorovným
směrem, rychlost výtoku vody je
. Za jakou dobu, jakou rychlostí, pod
jakým úhlem s vodorovným směrem a v jaké vzdálenosti od paty kolmice spuštěné
z žebře dopadne voda?
2.4-6.
Obr. 2.4-1
Řešení:
;
Pro vodorovný vrh platí vztahy:
a
,
kde je vzdálenost od paty kolmice (obr. 4.2-1 a),
dopadne na zem (odpor prostředí zanedbáme).
výška žebříku a je doba, za kterou voda
Pro dobu dopadu t úpravou z výše uvedených vztahů dostaneme:
54
√
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
.
Rychlost dopadu je určena vektorovým součtem počáteční rychlosti
volném pádu (obr. 4.2-1 b).
a rychlosti dopadu při
Dle Pythagorovy věty platí
√
kde
,
je velikost rychlosti dopadu z výšky , tj.:
,
√
po dosazení dostáváme:
√
.
Po dosazení číselných hodnot dostaneme
√
,
.
Úhel α, který svírá vektor rychlost
s horizontálním směrem určíme dle obr. 4.2-1b
odtud
Vzdálenost dopadu vody od paty kolmice je
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
.
Voda dopadla za
, rychlostí
, pod úhlem
55
a ve vzdálenosti
.
2.4-7.
Vodorovně vystřelený projektil letí počáteční rychlostí
poklesne projektil od vodorovného směru na vzdálenosti
, o jakou délku
?
Řešení:
Pro vodorovný vrh platí vztahy:
,
kde je vzdálenost od místa výstřelu,
(odpor prostředí zanedbáme).
délka poklesu od vodorovného směru a je doba doletu
Po úpravě první rovnice a dosazení do druhé rovnice dostaneme:
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
.
Vystřelený projektil poklesne na vzdálenosti
2.4-8.
o
od původního vodorovného směru.
Halleyova kometa, která se pohybuje po eliptické trajektorii, se dostává v periheliu
do minimální vzdálenosti
od Slunce. Perioda Halleyovy komety je
roků.
Určete, do jaké největší vzdálenosti od Slunce se dostane.
56
Obr. 2.4-2
Řešení:
Halleyova kometa společně se Zemí obíhají kolem Slunce. Délku velké poloosy
Halleyovy komety (obr. 4.2-2) vypočteme ze třetího Keplerova zákona
odtud
√
je astronomická jednotka, platí:
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
57
eliptické dráhy
√
.
Hledaná maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce podle (obr. 4.2-1) platí:
Maximální vzdálenost Halleyovy komety od Slunce je
km.
2.4-9.
Pod jakým elevačním úhlem musíme vrhnout těleso šikmo vzhůru, aby se výška jeho
výstupu rovnala délce doletu?
[
]
2.4-10. Pohyb dělostřeleckého granátu je popsán rovnicemi;
Určete rovnici trajektorie, dobu letu a délku doletu.
[
.
]
2.4-11. Volně padající těleso má v místě A rychlost
; v místě B má rychlost
. Jaká je vzdálenost mezi body
a jaký čas byl třeba k uražení této
vzdálenosti? Řešte pomocí zákona zachování mechanické energie.
[
]
2.4-12. Jakou počáteční rychlost musíme ve vodorovném směru udělit tělesu, aby délka vrhu
byla rovna n-násobku výšky, ze které bylo těleso vrženo?
[
√
⁄ ]
2.4-13. Určete trajektorii materiálu, který opustí ve výšce
pohybujícího rychlostí .
[
]
58
dopravníkový pás vodorovně se
2.5
DYNAMIKA TUHÉHO TĚLESA
Tuhé těleso je těleso, které nelze nahradit hmotným bodem, jeho rozměry a tvar podstatně ovlivňují
pohybový stav tělesa a jeho tvar ani objem se působením vnějších sil nemění (nedeformovatelné).
a) pohyb posuvný: všechny body tělesa mají v daném okamžiku stejnou rychlost i
zrychlení
b) pohyb otáčivý kolem nehybné osy: všechny body tělesa se pohybují se stejnou
úhlovou rychlostí a opisují soustředné kružnice, roviny kružnic jsou kolmé na osu
otáčení
c) pohyb složený: pohyb složený z translace v prostoru a současné rotace kolem osy
otáčení
Moment síly
Moment síly charakterizuje pohybový účinek síly způsobující otáčivý pohyb tělesa. Závisí na velikosti
síly, jejím směru a působišti. Moment síly je:
kde r je rameno síly (nejkratší vzdálenost vektorové přímky od osy otáčení tělesa),
Těžiště tuhého tělesa (působiště tíhové síly)
∫
pro homogenní těleso
∫
∫
:
∫
∫
59
∫
Má-li těleso střed symetrie, je také těžištěm, má-li osu, nebo rovinu symetrie, leží těžiště na tomto
prvku symetrie.
Posuvný pohyb tuhého tělesa
Rozdělíme si těleso na elementy o hmotnosti
. Hybnost každého elementu je:
⃗
⃗
Kinetická energie každého elementu je:
Celková hmotnost a hybnost tělesa:
∫
⃗
∫ ⃗
⃗
⃗
Celková kinetická energie pohybujícího se tělesa:
∫
∫
Rotační pohyb tuhého tělesa kolem nehybné osy
Elementární části tělesa se pohybují s různou obvodovou rychlostí, mají však stejnou rychlost
úhlovou. Částice tvořící těleso mající vzdálenost od osy otáčení mají v daném okamžiku rychlost:
Kinetická energie každého elementu je:
Celková kinetická energie tuhého tělesa:
∫
kde ∫
∫
∫
∫
je moment setrvačnosti .
60
Pohybová rovnice pro pohyb tělesa kolem pevné osy
Dle 2. impulsové věty:
⃗⃗
⃗⃗⃗
neboť
⃗⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
.
Pro jednotlivé elementy tuhého tělesa:
Pro celé tuhé těleso:
∫
∫
Vektorově:
⃗⃗
⃗⃗
A po dosazení do druhé impulsové věty:
⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗
⃗
Složený pohyb tuhého tělesa
Je složením pohybu translačního s pohybem rotačním. Kinetická energie:
kde
je moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí těžištěm.
Výpočet momentu setrvačnosti
Pro hmotný bod:
Pro soustavu hmotných bodů:
∑
61
Pro tuhé těleso:
∫
Jednotkou momentu setrvačnosti je
Pomocí poloměru setrvačnosti tělesa
pro danou osu:
kde je vzdálenost bodu, ve kterém by musela být soustředěna hmotnost tělesa, aby moment
setrvačnosti byl roven momentu setrvačnosti celého tělesa, tj.:
√
∫
∫
Steinerova věta
Pro stanovení momentu setrvačnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy
těžištěm, kde je její vzdálenost od rovnoběžné osy procházející těžištěm:
62
, která neprochází
moment setrvačnosti vzhledem k ose jdoucí bodem
(zvolíme-li počátek soustavy souřadnic v těžišti):
rovnoběžné s osou jdoucí těžištěm
je
„Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolné ose je roven momentu setrvačnosti hmotného
bodu v těžišti, jehož hmotnost je rovna hmotnosti tělesa, vzhledem k této ose zvětšené o moment
setrvačnosti tělesa vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm.“
Práce a výkon při rotačním pohybu tuhého tělesa
Při pootočení tělesa o elementární úhel
⃗
vykoná tangenciální složka síly práci:
⃗
vektorově:
⃗⃗⃗
⃗⃗
Celková práce:
⃗⃗⃗
∫ ⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗⃗⃗
Výkon:
⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗
Fyzické kyvadlo:
Každé těleso otáčivé kolem osy, která neprochází těžištěm a není svislá.
Setrvačník:
Těleso otáčivé kolem osy, vzhledem k níž má velký moment setrvačnosti.
Osa roztočeného setrvačníku zachovává svůj směr (př. stálý sklon Země).
Volná osa:
Těleso rotující kolem ní ji nenamáhá žádnou silou ani momentem sil.
63
Analogie vztahů pro posuvný a otáčivý pohyb
POHYB POSUVNÝ
dráha: s
rychlost:
v
úhlová dráha: 
úhlová rychlost:   d
dt
ds
dt
2
zrychlení: a  dv  d s
2
dt
hmotnost:
síla:
hybnost:
úhlové zrychlení:
dt
m

F

POHYB OTÁČIVÝ


p  mv

impuls síly: I   F dt
 

d d 2
 2
dt
dt
moment setrvačnosti: J

moment síly: M


moment hybnosti: b  J


impuls momentu síly: L   M dt


práce: dW  M d
výkon: P  dW  M 
dt
práce: dW  F dr

výkon: P  dW  F v
dt
kinetická energie: E  1 mv 2
k
2

pohybová rovnice: F  dp  ma
dt

1. impulsová věta:  dp
F
dt
kinetická energie: E  1 J 2
k
zákon zachování hybnosti:

 
p  konst , pro F  0
zákon zachování momentu hybnosti:

 
b  konst , pro M  0
2

 db

pohybová rovnice: M

 J
dt

2. impulsová věta: M  db
dt
PŘÍKLADY:
2.5-1.
Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu na jeřábu, je-li hmotnost
kontejneru , délky lan po hák a maximální vzdálenost od konce nosného ramene
jeřábu jsou patrny z obrázku (obr. 2.5-1). Hmotnosti lan jsou zanedbatelné.
64
Obr. 2.5-1
Řešení:
Předpokládejme, že těleso je homogenní a těžiště je hmotným bodem. Použijeme rovnoběžníku pro
rozklad sil a tíhovou sílu rozložíme do příslušných směrů.
Z obr. 2.5-1 (délky lan musí být zadány v metrech)
√
√
,
√
.
Z rozkladu rovnoběžníku sil
,
√
√
65
√
√
Lano délky
2.5-2.
√
je napínané silou
a lano délky b silou
Na homogenním trámu hustoty
dvě děti o hmotnosti
houpačka byla v rovnováze?
√
.
délky
a průřezu
se houpou
. Ve kterém místě je třeba trám podepřít, aby
Obr. 2.5-2
Řešení:
K řešení využijeme vztahy pro rovnovážný stav tuhého tělesa, musí platit současně
∑
a
;
∑
;
;
.
.
Zvolíme osu otáčení, přirozený bod otáčení je místo podepření a k ose otáčení vztahujeme velikost
ramene otáčení, u kterého bereme v potaz i orientaci momentu dané síly (obr. 2.5-2.).
66
(
)
,
odtud:
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
.
Trám je třeba podepřít ve vzdálenosti
2.5-3.
od konce s dítětem o hmotnosti
.
Kolem o poloměru a hmotnosti
je třeba překonat překážku výšky , ale menší
než poloměr obr. 2.5-3. Určete minimální sílu v ose kola a současně ve vodorovném
směru, kterou je potřeba k překonání překážky. Úlohu řešte obecně a po té pro
hodnoty
.
Obr. 2.5-3
Řešení:
67
Při překonávání překážky výšky se kolo otáčí kolem nehybné osy O (na překážce). Aby kolo
překonalo překážku, musí být moment působící síly vzhledem k ose O větší než moment síly
vzhledem k téže ose. Pro minimální sílu ve vodorovném směru platí:
.
Rameno síly
můžeme vyjádřit dle obr. 2.5-3
.
Rameno síly
můžeme vyjádřit dle obr. 2.5-3 použitím Pythagorovy věty
odtud:
√
.
Po úpravě a dosazení dostáváme
√
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
K překonání překážky je třeba sílu větší než
2.5-4.
.
Jakou práci musíme vykonat, abychom překlopili přes hranu žulovou krychli, vímeli, že hrana je dlouhá
, hustota žuly
a
.
68
Obr. 2.5-4
Řešení:
Při překlopení tělesa z rovnovážné polohy do polohy vratké zvedneme těžiště tělesa a tím vykonáme
práci rovnou změně potenciální energie, kterou získáme změnou polohy těžiště tělesa (obr. 2.5-4).
(
)
√
odtud po úpravě a dosazení:
(
√
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
(
√
)
.
K překlopení žulové kostky o hraně
je třeba energii
69
.
2.5-5.
Jakou rychlost získá kolo kutálející se z kopce vysokého
. Moment setrvačnosti
kola o hmotnosti
a poloměru vzhledem k ose procházející středem kola, kolmé
⁄ , tíhové zrychlení
na rovinu kola je
. Tření zanedbejte.
Řešení:
Podle zákona zachování mechanické energie se tíhová potenciální energie
ve výšce , přemění na kinetickou energii rotační a translační
, kterou má kolo
( )
kterou má kolo v dolní poloze. Platí tedy:
( )
odtud
√
po dosazení
√
√
Po dosazení číselných hodnot
√
.
Kolo získá rychlost přibližně
.
2.5-6. Určete moment setrvačnosti, víte-li, že otáčky setrvačníku klesly po vykonané práci
z
za minutu na
otáček za minutu.
Řešení:
70
protože úhlová frekvence je
, bude platit:
odtud
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
Moment setrvačnosti setrvačníku je
2.5-7.
.
Setrvačník pohonné jednotky byl roztočen motouzem délky
, na který bylo
působeno silou
. Jakou frekvenci získal setrvačník agregátu s momentem
setrvačnosti
?
Řešení:
Práce, která se vykoná, je rovna kinetické energii otáčivého pohybu
odtud úpravou dostaneme
√
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
.
Setrvačník získal frekvenci
.
71
2.5-8.
Do jaké výšky svahu by vyjelo auto poháněné pouze setrvačníkem s momentem
setrvačnosti
? Setrvačník má frekvenci
otáček za minutu. Hmotnost
automobilu je
. Tření a odpor vzduchu zanedbáme.
Řešení:
?
Platí zákon zachování mechanické energie, který využijeme ve tvaru
,
dosadíme a upravíme, potom
Po dosazení číselných hodnot
.
Auto by vyjelo do výšky
.
2.5-9.
Dělník zvedá za jeden konec trám o délce
a hmotnosti
. Při určité poloze
svírá osa trámu s vodorovným směrem úhel
. Určete velikost síly , kterou
působí dělník na trám v dané poloze. Síla je kolmá k ose trámu.
[
]
2.5-10. Nosník hmotnosti
, délky
spočívá na dvou podpěrách a je zatížen
břemenem o hmotnosti
zavěšeným ve vzdálenosti
od levého okraje.
Určete síly, jimiž působí podpěry na nosník.
[
]
2.5-11. Vypočtěte velikosti sil působících na každé lano závěsu (dle obrázku 2.5-5.), je-li
hmotnost závaží , hmotnosti lan jsou zanedbatelné.
72
Obr.
2.5-5
√
[
√
]
2.5-12. Hnací hřídel automobilu se otáčí s frekvencí
Vypočítejte otáčivý moment, který vyvíjí motor.
[
a přenáší výkon
.
]
2.5-13. Rotor elektromotoru hmotnosti
má moment setrvačnosti
koná
otáček za minutu. Jak velikou má kinetickou energii?
[
a
]
2.5-13. Vozík se pohybuje rychlostí po koleji s poloměrem zakřivení Vypočítejte
funkční závislost pro vzdálenost ve směru vodorovném od přirozené osy otáčení
při překlopení vozíku s materiálem v závislosti na výšce těžiště (těžiště vozíku s
materiálem).
√
[
]
73
2.6
MECHANICKÉ KMITÁNÍ
Je nestacionární děj (děj, jehož charakterizují časově proměnné veličiny).
Dělení:
Pohyb HB (soustavy HB nebo tělesa), při němž bod nepřekročí konečnou vzdálenost od tzv.
rovnovážné polohy. V rovnovážné poloze jsou všechny síly působící na HB navzájem ve statické
rovnováze. Pokud se opakuje průběh kmitavého pohybu po stejném časovém intervalu (periodě)
kmitavý periodický pohyb.
Charakteristické veličiny lze vyjádřit ve tvaru:
kde
.
Harmonické kmity: charakteristické veličiny:
⁄ je frekvence (kmitočet) – udává, kolikrát se kmit nebo jiný periodický děj opakuje za
jednotku času. Jednotka:
Kmitající objekty se nazývají oscilátory. Nejjednodušší jsou
lineární oscilátory, při nichž se HB pohybuje po přímce (např. těleso na pružině).
Volný netlumený harmonický oscilátor
Zdrojem kmitání je harmonický oscilátor = jednoduchý translační elastický oscilátor. Charakteristiky
oscilátoru jsou: hmotnost závaží , tuhost pružiny (předpokládáme, že pružina má zanedbatelnou
hmotnost oproti závaží, které lze považovat za HB).
74
y
l0
l 0  l
l

FP

FP
rovnovážná poloha

FG
0
y
x

FG
a) dynamický popis kmitů – pohybová rovnice:
Dle 2. Newtonova pohybového zákona (pro m=konst.):
⃗
⃗
⃗
pro -nové souřadnice veličin:
vydělíme m a dostaneme:
kde
kde
je vlastní úhlová frekvence oscilátoru:
√
√
b) kinematický popis kmitů – rovnice výchylky
Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice:
kde je okamžitá výchylka, je maximální možná výchylka, tj. amplituda výchylky,
je počáteční výchylka,
je počáteční fáze a
je okamžitá fáze pohybu.
Rychlost kmitů je:
a
je amplituda rychlosti.
75
Zrychlení kmitů je:
a
je amplituda zrychlení.
c) fázový rozdíl
Mezi různými veličinami popisujícími totéž kmitání, nebo mezi stejnými veličinami popisujícími dvě
různá kmitání.
Je-li
stejná fáze (veličin resp. kmitání).
Je-li
opačná fáze (veličin resp. kmitání).
d) grafické vyjádření
Fázor a jeho vlastnosti:
Je to rotující vektor v rovině
mající počátek v počátku soustavy souřadnic. Délka fázoru odpovídá
amplitudě veličiny, kterou představuje. Průmět fázoru do svislé osy
je roven okamžité hodnotě
dané veličiny. Úhel, který svírá fázor s vodorovnou osou je roven okamžité fázi této veličiny.
e) energie kmitů
U harmonických kmitů se periodicky mění kinetická energie v potenciální energii pružnosti a naopak.
Potenciální energie pružnosti je číselně rovna práci, kterou vykonáme při vychýlení oscilátoru
z rovnovážné polohy.
∫
∫
76
U netlumeného oscilátoru platí zákon zachování mechanické energie:
[
]
Tlumený oscilátor
Jeho amplituda kmitů s časem exponenciálně klesá, což odpovídá pohybu v odporujícím prostředí.
Odporová síla prostředí je:
⃗
⃗
a) dynamický popis kmitů – pohybová rovnice:
Dle 2. NPZ:
⃗
⃗
⃗
⃗
pro -nové souřadnice veličin:
vydělíme ⁄
a dostaneme:
tedy:
kde
je vlastní úhlová frekvence oscilátoru a je součinitel tlumení.
b) kinematický popis kmitů – rovnice výchylky
Rovnice výchylky je řešením pohybové rovnice:
kde amplituda výchylky je
. Při řešení dostaneme úhlovou rychlost tlumeného kmitání:
√
77
Nadkritické tlumení (aperiodický děj):
Kritické tlumení (nejrychlejší z aperiodických dějů):
Podkritické tlumení (periodický děj):
c) charakteristické veličiny tlumených kmitů
Útlum (konstantní na čase nezávislá hodnota):
Logaritmický dekrement útlumu:
Relaxační doba amplitudy:
Amplituda klesne na „
“, tj.:
d) perioda tlumených kmitů
78
√
Pro
dostáváme netlumené kmity s periodou
prodlužuje.
. Pokud
doba kmitů se tlumením
Superpozice harmonických kmitů
Tj. skládání kmitů. U oscilátorů s jedním stupněm volnosti lze realizovat jen skládání kmitů téhož
směru. Řešení jsou analytická (početní), grafická či geometrická (pomocí časového, resp. fázorového
diagramu), nebo experimentální. Izochronní kmity jsou kmity stejné frekvence a tedy i periody.
Kyvadla
a) fyzické kyvadlo
Je každé zavěšené těleso o hmotnosti , které je otáčivé kolem vodorovné pevné osy a jeho těžiště
je pod osou otáčení ve vzdálenosti . Moment setrvačnosti vzhledem k této ose je . Je to tzv.
gravitační rotační mechanický oscilátor.
V ideálním případě při malých úhlových výchylkách (do 4,5°) produkuje volné netlumené rotační
harmonické kmity.
Dle pohybové rovnice
dostáváme:
kde zlomek na pravé straně rovnice je vlastní úhlová frekvence
Pohybová rovnice fyzického kyvadla pro malé výchylky je:
Vlastní doba kmitu:
√
b) matematické kyvadlo
79
Je model fyzického kyvadla. Jedná se o hmotný bod hmotnosti
délky .
zavěšený na nehmotném vlákně
√
√
Redukovaná délka fyzického kyvadla je taková délka matematického kyvadla, které má stejnou dobu
kmitu jako dané fyzické kyvadlo.
PŘÍKLADY:
Jaká je doba kmitu harmonického oscilátoru, jestliže zavěšené těleso na pružině má
hmotnost
a síla působící při výchylce
je
?
2.6-1.
Ř š
:
Souvislost mezi dobou kmitu a úhlovou frekvencí je určena vztahem
⁄ . Zároveň platí
⁄ . Pak použitím obou vztahů je
√ ⁄ . Tuhost pružiny je nutno vyjádřit ze vztahu
⁄ dosadíme do jmenovatele předchozího zlomku a
pro sílu pružnosti
. Pak vztah
dostaneme:
√
Po dosazení číselných hodnot
√
.
Harmonický oscilátor má dobu kmitu je
Těleso hmotnosti
koná netlumený harmonický pohyb. Určete jeho dobu
kmitu, víte-li, že při výchylce
působí na těleso síla
.
2.6-2.
Ř š
s.
:
80
Podobně jako u předchozího příkladu
(
)
√
Po dosazení zadaných číselných hodnot je
√
.
Doba kmitu je
K protažení pružiny o
závaží o hmotnosti
závaží po vychýlení.
2.6-3.
Ř š
.
, je třeba vykonat práci
. Na pružinu je zavěšeno
. Určete tuhost pružiny a frekvenci, s jakou bude kmitat
:
Pro práci platí vztah
odtud
kde je velikost výchylky ( ). Síla potřebná k protažení pružiny je dána vztahem
(
)
(
)
Vztah mezi tuhostí pružiny a sílou
kde
je velikost výchylky, odtud
81
(
)
Frekvenci vypočítáme ze vztahu pro úhlovou frekvenci
po dosazení a úpravě dostaneme
√
√
(
)
(
√
)
Po dosazení číselných hodnot dostaneme:
√
(
)
(
)
Tuhost pružiny je
.
Na nehmotné pružině visí závaží o hmotnosti
. Závaží po vychýlení z
rovnovážné polohy o
koná harmonický pohyb s frekvencí
. Určete tuhost
pružiny, sílu, kterou bylo závaží vychylováno a hodnotu kinetické energie závaží.
2.6-4.
Ř š
a frekvence
:
(
)g
cm
(
)
kg
m
Vyjdeme ze základního vztahu pro pohyb tělesa na pružině, jeho úhlovou frekvenci v tíhovém poli
Po dosazení a úpravě dostaneme
82
Pro sílu platí vztah
Po dosazení a úpravě dostaneme
,
.
Pro Energie platí
.
Po dosazení a úpravě dostaneme
Tuhost pružiny je
⁄ π
.
a maximální kinetická energie
Sestavte rovnici harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, víte-li, že
maximální zrychlení je
, perioda
a vzdálenost kmitajícího bodu od
rovnovážné polohy je pro čas
rovna
.
2.6-5.
Ř š
, působící síla
:
Rovnice harmonického kmitavého pohybu je
,
úhlová frekvence je definována jako
K určení amplitudy pohybu využijeme vztahu pro maximální zrychlení
83
odtud
Fázový posuv vypočítáme z počátečních podmínek, dosazením hodnot do rovnice pro harmonický
pohyb
.
Po dosazení a úpravě dostaneme:
,
odtud
,
Po dosazení vypočtených hodnot do rovnice pro harmonický pohyb dostaneme
(
), což je hledaná rovnice.
Hmotný bod (HB) kmitá s amplitudou
. V prvé půlperiodě od počátku v
následném časovém rozmezí
získá dvakrát za sebou hodnotu výchylky
.
S jakou frekvencí hmotný bod kmitá?
2.6-6.
Obr. 2.6-1
Ř š
:
84
Vztah pro frekvenci odvodíme z definičního vztahu pro úhlovou frekvenci
Okamžitá výchylka HB (obr. 2.6-1) je dána rovnicí
.
Pro
platí
pro
,
porovnáním rovnic, úpravou a dosazením dostaneme:
odtud
Pro čas
platí, viz obr. 2.6-1
dostaneme ze vztahu
odtud
po dosazení do první rovnice, úpravě a dosazení dostáváme:
.
Hmotný bod kmitá s frekvencí
Jaký je logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla délky
li jeho počáteční amplituda výchylky z
za minut na
?
2.6-7.
Ř š
.
:
85
, klesne-
Doba kmitu matematického kyvadla je dána vztahem
√
logaritmický dekrement vztahem
kde
je koeficient útlumu,
je doba kmitu tlumeného pohybu:
√
kde
je počáteční úhlová frekvence a pro pokles amplitudy s časem je roven
.
Po dosazení číselných hodnot a úpravách dostaneme:
√
.
.
√(
)
√(
)
.
,
.
Logaritmický dekrement útlumu matematického kyvadla je
86
.
2.6-8.
Mějme matematické kyvadlo o délce (obr. 2.6-2). Je-li hmotnému bodu udělena
v nejnižší poloze rychlost , určete, jak daleko se kyvadlo vychýlí, než se zastaví.
Odpor prostředí neuvažujte.
Obr. 2.6-2
Ř š :
Při řešení tohoto příkladu vyjdeme ze zákona zachování mechanické energie, a to ze závěru, že
maximální energie kinetická se změní v maximální energii potenciální
,
odtud
Pro maximální výchylku kyvadla z Pythagorovy věty viz obr. 2.6-2 plyne:
po úpravě a dosazení za
dostáváme
√
Kyvadlo se vychýlí o
2.6-9.
⁄
√
.
Určete frekvenci harmonického kmitavého pohybu hmotného bodu, jestliže se za
dobu
po průchodu rovnovážnou polohou jeho výchylka rovnala polovině
amplitudy. Počáteční fáze je rovna nule.
87
[
]
2.6-10. Částice kmitá současně dvěma kolmými kmity
dráhu, směr pohybu, rychlost a zrychlení částice v čase
[
]
2.6-11. Logaritmický dekrement útlumu kmitavého pohybu je
Určete frekvenci pohybu, je-li odstraněno tlumení.
[
Určete
a perioda pohybu je
.
]
2.6-12. Jak se změní doba kmitu matematického kyvadla, jestliže jeho délku zkrátíme na
původní délky?
[
]
88
2.7
MECHANICKÉ VLNĚNÍ
Je časově a prostorově proměnný děj v makroskopicky spojitém prostředí. HB se harmonicky nebo
obecně vrací do rovnovážné polohy. Maximální hodnoty výchylek z rovnovážné polohy jsou konečné
a kmitání se šíří v látkovém prostředí, tj. v prostředí obsahujícím částice, které jsou spojeny
vazebnými silami (nelze ve vakuu).
Vznik vlnění: rozkmitáme jednu částici, díky vazbě se kmitavý rozruch šíří postupně řadou částic.
Vlnění dělíme na postupné a stojaté, dále na podélné a příčné.
a) Postupné vlnění
Kmitavá soustava je otevřená (teoreticky nekonečných rozměrů) a nedochází k odrazu vlnění.
Kmitavý rozruch se šíří od zdroje (generátoru) postupně řadou HB.
b) Stojaté vlnění
Probíhá v uzavřených kmitavých soustavách. Je dáno superpozicí dvou postupných vln šířících se proti
sobě.
c) Příčné vlnění (transverzální)
Body kmitají kolmo ke směru, kterým se vlnění šíří. Vzniká v tělesech pružných při změně tvaru a
vyskytuje se tedy u pevných těles a povrchů kapalin.
d) Podélné vlnění (longitudinální)
Body kmitají ve směru šíření vlny a nastává zhušťování a zřeďování kmitajících bodů kolem míst,
v nichž je okamžitá výchylka bodu nulová. Vzniká v prostředí pružném při změně objemu. Vyskytuje
se u pevných látek, kapalin i plynů.
Mechanické postupné vlny v neabsorbujícím prostředí
Zdrojem je každá kmitající mechanická soustava elasticky spřažená s nosným prostředím. Kmitání
každé částice je zpožděno oproti kmitání částice předchozí.
89
Fázová rychlost: Rychlost, kterou se šíří kmitavý rozruch (fáze vlnění) k následujícím bodům kmitavé
soustavy. Značíme ji
a jednotkou je
.
Vlnová délka: Vzdálenost, do které se dostane kmitavý rozruch za dobu jedné periody. Značíme ji a
jednotkou je . Je to také vzdálenost dvou nejbližších bodů řady, které kmitají se stejnou fází.
Platí vztah:
A) Jednorozměrné příčné postupné vlnění
Vlnění (příčné) je dostatečně určeno pomocí (příčné) výchylky v kterémkoliv okamžiku a
v jakémkoliv místě o souřadnici :
kde funkci
nazýváme vlnová funkce.
Odvození vlnové funkce:
90
Zdroj (generátor) vlnění kmitá v počátku zvolené souřadnicové soustavy a jeho rovnice výchylky je ve
tvaru:
Bod M kmitá se zpožděním:
(
(
)
(
(
(
kde
)
)
)
)
⁄ což je fázový rozdíl kmitání bodu prostředí vůči kmitání zdroje vlnění.
Fáze vlnění:
(
)
(
)
Fázový rozdíl pro dva body prostředí ve vzájemné vzdálenosti
91
(
)
x v daném čase t:
B) Jednorozměrné podélné postupné vlnění
Vlnová funkce
má stejný tvar jako pro příčné vlnění.
Vlastnosti postupného vlnění:
Body kmitají se stejnou frekvencí ale různou fází. V neabsorbujícím prostředí kmitají body se stejnou
amplitudou. Dochází k přenosu energie kmitavého pohybu zdroje prostředím, ale nedochází
k přenosu látky!
C) Odraz vlnění
K odrazu dochází na konci bodové řady a to buď na pevném konci (poslední bod nemůže kmitat a
reakcí vznikne síla, která změní výchylku posledního bodu v opačnou), nebo na volném konci
(poslední bod řady se vychýlí a kmitání postupuje zpět se stejnou fází).
a)
b)
D) Interference vln v přímé řadě
Je jev podmíněný skládáním vlnění. Nastává, jestliže se prostředím šíří vlnění ze dvou či více zdrojů,
vlnění postupují prostředím nezávisle a v místech, kde se setkávají, dochází ke skládání jednotlivých
vlnění. Kmitání bodu v daném místě je určeno superpozicí okamžitých výchylek jednotlivých vlnění a
výsledné kmitání je dáno vektorovým součtem jednotlivých fázorů výchylek. Nejjednodušším
případem je koherentní vlnění, tj. vlnění mající stejnou frekvenci a stálý fázový rozdíl
.
Výsledné vlnění můžeme určit:
92
a) graficky
b) algebraicky
V bodě M se skládají izochronní kmitání s různou fází.
Jsou-li tato vlnění koherentní:
a výsledné vlnění obecně charakterizuje funkce:
√
kde
Fázový rozdíl vlnění je:
kde
je dráhový rozdíl.
a) je-li:
93
vlnění se skládá se stejnou fází, tj.:
kde
(dráhový rozdíl je roven celistvému násobku vln)
b) je-li
vlnění se skládá s opačnou fází, tj.:
kde
Stojaté vlnění
Je vlnění vzniklé superpozicí dvou izochronních postupných vln (podélných nebo příčných) šířících se
proti sobě. V ideálním případě mají vlny stejnou amplitudu A (úplně stojaté vlnění).
(
)
(
Výsledná vlnová funkce je algebraickým součtem
94
)
Výsledné vlnění je harmonické, má stejnou frekvenci jako obě vlny a výsledná amplituda
nezávisí na čase, pouze na souřadnici (tj. na poloze daného kmitajícího bodu od počátku
souřadnic).
Šíření vlnění v prostoru
Huygensův – Fresnelův princip:
„Dospěje-li vlnění do nějakého bodu prostoru, tento bod se stává zdrojem elementárního vlnění.“
Výsledná vlnoplocha je obalovou plochou elementárních vlnoploch ve směru šíření vlnění.
Popis vlnění v prostoru:
Uvažujme homogenní (stejnorodé) a izotropní (ve všech směrech stejné fyzikální vlastnosti)
prostředí. Vlnění se šíří ve všech směrech stejnou fázovou rychlostí.
Vlnoplocha: Je plocha tvořená body, do kterých vlnění dospělo za určitý časový interval, tj. množina
bodů kmitajících se stejnou fází
Kulová vlnoplocha: Vlnění pocházející z bodového zdroje a).
Rovinná vlnoplocha: Máme-li rovinný zdroj vlnění, resp. studujeme-li vlnění ve velké vzdálenosti od
bodového zdroje b).
Paprsek: Kolmice k vlnoploše a charakterizuje směr šíření vlny.
95
Energie vlnění
Je energií jednotlivých hmotných elementů prostředí, kdy každý element má energii kinetickou a
energii pružnosti (elastickou). Tato energie se přenáší od zdroje postupně z jednoho elementu
prostředí na druhý ve směru šíření vlny.
Přenos energie vyjadřuje kvantitativně tok energie a intenzita vlnění.
I. Tok energie: (výkon přenášený vlněním) libovolnou plochou velikosti za určitý časový interval:
Je to energie, která projde zvolenou plochou za jednotku času a jednotkou je watt ( ).
II. Intenzita vlnění:
Je to energie, která prošla za jednotku času jednotkovou plochou postavenou kolmo ke směru šíření
vlny a jednotkou je
III. Stanovení intenzity vlnění pro postupnou harmonickou vlnu:
Dle vztahu pro celkovou energii harmonického oscilátoru:
kmitá-li s touto energií při šíření vlnění každý bod prostředí, potom energie objemové jednotky je:
Uvedený vztah vyjadřuje hustotu energie vlnění.
Intenzita vlnění souvisí s akustickým tlakem: Tlak vyvolaný vlněním šířícím se hmotným prostředím,
platí:
Absorpce postupného vlnění
Šíří-li se postupná vlna v hmotném prostředí, pak úbytek její amplitudy
velikosti:
96
je přímo úměrný její
kde
je součinitel absorpce vlnění v homogenním izotropním absorbujícím prostředí.
Řešením této rovnice je:
kde
je amplituda pro
Protože
.
tak:
což je Lambertův zákon absorpce.
Odraz a lom vlnění na rozhraní dvou prostředí
Na rozhraní se část energie dopadajícího vlnění odrazí, část projde do druhého prostředí a část se
absorbuje.
I. Zákon odrazu
II. Snellův zákon lomu
97
kde
a
jsou fázové rychlosti šíření vlnění v 1. a 2. prostředí.
Při přechodu vlnění z prostředí o větší fázové rychlosti do prostředí s menší fázovou rychlostí se
paprsek láme ke kolmici.
Při přechodu vlnění do prostředí o větší fázové rychlosti se paprsek láme od kolmice.
Rovina dopadu:
Je určena paprsky dopadajícího vlnění a kolmicí k rozhraní v místě dopadu. Odražený a lomený
paprsek leží v rovině dopadu.
Úplný odraz (totální reflexe):
Dochází k němu při přechodu vlnění z prostředí s menší fázovou rychlostí do prostředí s větší fázovou
rychlostí (při lomu od kolmice).
Vlna se láme do rozhraní pod úhlem 90°, tj.:
Úhel dopadu, pro který platí:
nazýváme mezním úhlem.
98
Akustické a zvukové vlny
Zvuk:
Je elastické mechanické postupné vlnění vnímatelné lidským sluchovým orgánem. Což odpovídá
mechanickým vlnám s frekvencí 16 Hz – 20 kHz (přibližný rozsah vnímání lidského sluchového
orgánu). Největší amplituda výchylek nuceného kmitání a největší citlivost má lidský sluchový orgán
pro vlnění ve frekvenčním pásmu 500 Hz – 5 kHz. Dolní mez slyšení je dle uvedeného 16 Hz a horní
mez slyšení 20 kHz.
Ucho: Přijímač zvuku reagující na změny akustického tlaku.
Hlasivky: Mechanický zdroj zvuku.
Dutina ústní, nosní, hrtanová a hrudní tvoří rezonanční prostor.
Akustické vlny: Patří mezi ně infrazvuk, zvuk, ultrazvuk a hyperzvuk.
Dopplerův jev
Christian Doppler (objev r. 1842)
Objasňuje vliv pohybu zdroje a přijímače detektoru vlnění na pozorovanou frekvenci zdroje.
„Jestliže se oscilátor, který je zdrojem vlnění a pozorovatel pohybují, pak při vzájemném přibližování
je frekvence přijímaného vlnění vyšší a při vzájemném vzdalování naopak nižší.“
I. Zdroj se pohybuje vzhledem ke klidnému pozorovateli v klidném prostředí:
a) zdroj se přibližuje rychlostí
k detektoru
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
99
b) zdroj se vzdaluje rychlostí
od detektoru
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
II. Detektor se pohybuje vzhledem ke klidnému zdroji v klidném prostředí:
a) detektor se přibližuje rychlostí
ke zdroji
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
b) detektor se vzdaluje rychlostí
od zdroje
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
III. Detektor i zdroj vlnění se pohybují:
Detektor přijímá vlnění s frekvencí:
Poznámka: Všechny vzorce pro frekvenci
přijímanou detektorem lze odvodit ze vztahu:
Dopplerův jev platí pro všechna vlnění nejen akustická
100
Rezonance
Při rezonanci dochází k největšímu přenosu mechanické energie na oscilátor. Proto lze při rezonanci
vyvolat i poměrně malou vnější silou velké amplitudy – např. malou silou rozhoupeme i velmi těžký
zvon, budeme-li tahat za lano od zvonu v pravidelných časových intervalech, odpovídajících frekvenci
jeho vlastního kmitání.
Zvuky reprodukované hudby jsou výrazně zesilovány bednami, v nichž jsou zabudované
reproduktorové soustavy. Mnohem větší praktický význam má rezonance elektrických kmitů, na níž
je založena většina zařízení pro bezdrátovou komunikaci.
Závažný dopad má rezonanční kmitání mostů a vysokých budov, které vzniká větry a zemětřeseními.
Rezonanci velkých budov se věnuje velká pozornost od události zřícení mostu Tacoma Narrows
Bridge 7. listopadu 1940.
V roce 1850 způsobila rezonance dokonce zřícení celého mostu v jednom francouzském městě. Po
mostě tehdy pochodovala vojenská jednotka a její pravidelný krok byl v rezonanci s vlastní frekvencí
mostu. Vojáci svým krokem rozhoupali most natolik, že to jeho konstrukce nevydržela a praskla.
Zahynulo přitom 219 lidí.
V technické praxi se přihlíží k rezonanci např. při konstrukci továrních hal, strojů a jejich podstavců,
trupů letadel, které by se mohly dostat do rezonance s kmitáním vyvolaným chodem motorů apod.
PŘÍKLADY:
2.7-1.
⁄
⁄
Postupné vlnění je popsáno rovnicí
Určete periodu
pohybu libovolného bodu, frekvenci, vlnovou délku a fázovou rychlost.
Řešení:
(
Srovnáním se základní rovnicí postupné vlny
(
)
)
určíme amplitudu, periodu a vlnovou délku, tj.:
Výpočtem určíme frekvenci podle vztahu
Fázovou rychlost stanovíme z rovnice
Perioda pohybu libovolného bodu je
.
; frekvence
101
; vlnová délka
a fázová rychlost
2.7-2.
Napište rovnici postupné vlny, jestliže vlnění má frekvenci
, amplitudu
výchylky
a postupuje rychlostí
. Dále určete okamžitou výchylku
kmitajícího hmotného bodu ležícího ve vzdálenosti
od zdroje vlnění v čase
.
Řešení:
Hz
m
Rovnici postupné vlny určuje vztah
(
)
Jestliže platí
pak
(
Po dosazení dostáváme rovnici ve tvaru
2.7-3.
)
Lidské ucho vnímá frekvence 16 Hz – 20 000 Hz při teplotě 30 C. V jakém
intervalu leží příslušné vlnové délky?
Řešení:
Hz
Hz
°C
Pro rychlost šíření zvuku ve vzduchu platí vztah:
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
,
102
Pro vlnové délky zvuku při daných frekvencích platí:
Příslušné vlnové délky leží intervalu
2.7-4.
až
.
Zvuková vlna se vrací do místa rozruchu jakožto ozvěna od kolmé stěny za
Jaká je vzdálenost stěny od zdroje zvuku, je-li rychlost zvuku
.
Řešení:
Zvuk se šíří v daném prostředí konstantní rychlostí.
Pak
Doba potřebná k uražení dráhy k překážce je
Pak po dosazení úpravě a dosazení je
Stěna je vzdálená
2.7-5.
.
Jaký bude největší úhel dopadu, víme-li, že relativní index lomu je
Řešení:
Vyjdeme ze Snellova zákona:
Největší úhel dopadu bude úhel mezný
, kterému odpovídá úhel lomu
103
, odtud
?
.
,
po výpočtu
.
Největší úhel dopadu, úhel mezný je
2.7-6.
.
Stojaté vlnění vzniklo odrazem postupné vlny s frekvencí 3 kHz o amplitudě 2 mm.
Napište jeho rovnici, víte-li, že vlna se šířila rychlostí 333 m.s-1 a určete jeho
vlnovou délku.
Řešení:
Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou vlnění postupujících proti sobě, které mají stejné frekvence a
amplitudy
kde
(
)
(
)
K úpravě součtu použijeme vztah pro součet sinu úhlů
Po úpravě
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
.
104
.
Vlnovou délku určíme ze vztahu
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
Rovnice stojatého vlnění je
2.7-7.
a vlnová délka je
.
Vlnění o frekvenci
se šíří v nekonečném prostředí. Fázový rozdíl výchylky
dvou bodů nacházející se ve vzdálenosti
jeden od druhého na přímce se
zdrojem rozruch je ⁄
. Určete rychlost vlnění.
Řešení:
Vztah mezi fázovým a dráhovým rozdílem je dán vztahem
,
odtud
Pro rychlost platí
Po dosazení číselných hodnot dostáváme:
⁄
Rychlost vlnění je
.
105
2.7-8.
Zvuková intenzita elektrofonické kytary byla zesílená z
. Kolik decibelů představuje zesílení?
na
Řešení:

Hladiny intenzit zvuku jsou dány vztahy
Pak je rozdíl hladin po úpravě:
Zesílení představuje
2.7-9.
.
Vlny na hladině oceánu pohybují bójkou. Vzdálenost mezi vrcholy vln je
,
sousední vrcholy vln, jenž dorazí k bójce, jsou v časovém rozestupu
. Bójka se
klesá a stoupá, její vertikální poloha se mění v rozsahu
. Určete amplitudu vlnění;
frekvenci vlnění; vlnovou délku; rychlost šíření a počet vln, které dorazí k bójce za
.
[
]
2.7-10. Pod jakým úhlem musí dopadnout zvuková vlna na rozhraní vzduch-mosazná deska,
aby se od desky úplně odrazila? Rychlost zvuku ve vzduch je
a v mosazi
.
[
]
š
2.7-11. Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou protisměrných vlnění s frekvencí
Vzdálenost sousedních uzlů je
. Jaká je rychlost původního vlnění?
[
]
2.7-12. O kolik procent se musí zvýšit intenzita zvuku, aby hladina intenzity stoupla o
[
.
]
106
?
3.
TEKUTINY A TERMIKA
3.1
TEKUTINY
TEKUTINY, TLAK, HYDROSTATICKÝ A ATMOSFÉRICKÝ
TLAK, VZTLAKOVÁ SÍLA
3.1.1
Tekutiny: kapaliny a plyny
Statika kapalin a plynů = Hydrostatika a Aerostatika
Tlak v tekutině
Definice tlaku: p 
dF
, kde dF je kolmá k plošce dS
dS
Jednotka: Pa = pascal, P
mm Hg) = 133,322 Pa = 400/3 Pa
⃗
Tlaková síla:
proměnný:
P (milibar = hektopascal, torr = 1
⃗⃗
⃗ je-li působící tlak všude na ploše stejný:
, je-li tlak
∫
a) tlak vyvolaný vnější silou
Pascalův zákon
„Tlak v tekutině způsobený vnější silou je ve všech místech stejný (tlak se
šíří v tekutině všemi směry, a to rovnoměrně)“
z důvodu nestlačitelnosti kapaliny:
b) tlak vyvolaný vlastní tíhou tekutiny
I. Kapaliny
hydrostatický tlak (kapalina v klidu, v tíhovém poli Země):
kde
je vnější tlak působící na kapalinu a h je hloubka pod volnou hladinou
107
Pascalův hydrostatický paradox
II. Plyny
normální atmosférický tlak:
(při 0° C, na hladině moře na 45° severní zeměpisné
šířky)
barometrická rovnice (závislost atmosférického tlaku na nadmořské výšce): je-li
je tlak a
hustota vzduchu při hladině moře, pak

určování nadmořské výšky (např. letecké výškoměry)
Archimédův zákon:
Rovnováha:
.
PŘÍKLADY:
3.1-1.
Dvě otevřené nádoby tvaru komolého kužele (viz Obr. 3.1-1. A a B), o vnitřních
průměrech
jsou naplněny dostejné výšky
rtutí o
hustotě
a následně vodou o hustotě
.
Určete pro obě kapaliny:
a) hydrostatický tlak
u dna nádoby A,
b) hydrostatický tlak
u dna nádoby B,
c) sílu
, kterou kapalina působí na dno nádoby A,
d) sílu
, kterou kapalina působí na dno nádoby B.
108
Obr. 3.1-1
Řešení:
Výpis veličin:
Hydrostatický tlak je dán vztahem
,
sílu působící na dno nádoby lze odvodit z definičního vztahu pro tlak;
,
, kde
je plocha dna (
resp.
).
Po dosazení:
P ; b)
Rtuť a)
P ; b)
Voda a)
3.1-2.
P ; c)
; d)
P ; c)
.
; d)
.
Čelní betonová stěna požární nádrže má tvar lichoběžníku o rozměrech
a výšce
. Jakou silou působí voda na stěnu, je-li nádrž naplněna do
výše po horní okraj stěny? Předpokládejme, že jedna stěna nádrže je svislá.
Řešení:
Výpis veličin:
Elementární síla dF působící na elementární ploch dS v hloubce x pod hladinou je
,
je hustota vody.
,
je funkcí
(viz obrázek):
.
109
Obr. 3.1-2
Konstanty k a q určíme z okrajových podmínek:
Je-li
=>
je-li
=>
.
Odtud:
Tedy
(
)
a celková síla působící na betonovou stěnu je
∫
(
)
(
).
Po dosazení:
F = 173,72 kN.
Svislá stěna je namáhána silou F = 173,72 kN.
3.1-3.
Těleso ve tvaru válce o průměru podstavy
, výšce
a hmotnosti
plove v kapalině o hustotě . Zcela ponořené a udržované v klidu
je těleso tím, že visí na závěsu v kapalině o hustotě .
Určete:
a) vztlakovou sílu
b) hustotu
, působící na plovoucí těleso,
jestliže tah v závěsu je
.
110
Obr. 3.1-3
Řešení:
Výpis veličin:
d = 4 cm
h = 5 cm
m = 8,8.10-2kg
a) Vztlakovou sílu
,určíme z rovnováhy sil;síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla
vztlaková (tíha vytlačené kapaliny),
Po dosazení:
Vztlaková síla je
.
b) Hustotu určíme z rovnice pro rovnováhu sil; síla tlaková (tíhová síla tělesa)=síla
vztlaková (tíha vytlačené kapaliny) + tahová síla
, kde
vytlačené tělesem=objem tělesa);
,
( )
,
[
(objem kapaliny
( )
]
Po dosazení:
[
(
)
]
Hustota kapaliny pro zadané podmínky je
3.1-4.
.
Cisterna s vodou jela rychlostí
. Řidič začal rovnoměrně brzdit a zastavil
po . Vypočtěte, jaký úhel s vodorovnou rovinou svírala během brzdění hladina
vody v cisterně.
[18º 46´]
111
3.1-5.
Vypočítejte účinnost pohotovostního zvedáku, u něhož při poměru zdvihů 160:1
působí na tlačném pístu síla
a na pracovním síla
.
[0,876]
3.1-6.
Pohotovostní dřevěný vor hustoty
a tloušťce
ve tvaru desky o rozměrech
plove po hladině nádrže.
a) Jaká vztlaková síla působí na vor?
b) Kolik lidí průměrné hmotnosti
chodidla?
může na voru stát, aniž by si namočili
c) Zůstane-li na voru pouze 1 člověk, do jaké hloubky bude vor ponořen?
[5,3 kN;5 lidí; 7,6cm]
3.1-7.
Stanovte
a) jakou hmotnost má vzduch v místnosti,
b) jakou tíhou působí vzduch na podlahu,
c) jakou silou při daném tlaku působí vzduch na podlahu,
víte-li, že hustota vzduchu při tlaku
(tlak vzduchu v místnosti) je
[42,7 kg; 419N; 1,5.106N]
3.1-8.
Trajekt tvaru hranolu má délku
, šířku
a užitnou loubku ponoru
, kde
je ponor trajektu bez nákladu. Zjistěte:
a) kolik vagonů o celkové nosnosti 50 t převeze při maximálním ponoru,
b) jaký bude ponor trajektu s nákladem 120 cisteren jedna o hmotnosti 7 t.
[960 vagonů;
]
Pozn.: Do skript není zařazen příklad k řešení naložení a stability lodi na vodní hladině. Ten
lze řešit pomoci popisu tělesa s proměnnou polohou těžiště. Tento fyzikální případ
však přesahuje rozsah těchto skript.
112
3.1.2
PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY
Dynamika kapalin a plynů =Hydrodynamika a Aerodynamika
Ustálené proudění ideální kapaliny

v2
S2
S1
+

v1
+
Rovnice spojitosti toku (kontinuity)
…… rovnice kontinuity

Objemový tok:
jednotka:
Bernoulliova rovnice

„Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny je stálá a ve všech bodech
trubice stejná.“
p1
S1

v1
h1
S2
p2
h2

v2
kde zleva jednotlivé členy levé strany rovnice vyjadřují hustotu tlakové potenciální
energie proudící kapaliny, hustotu potenciální tíhové energie a hustotu kinetické
energie proudící kapaliny. Z rovnice tedy vyplývá, že:

to vyjadřuje zákon zachování mechanické energie proudící ideální kapaliny (součet
všech mechanických energií obsažených v objemové jednotce kapaliny musí být
stálý)
Rovnice pro vodorovnou trubici:

Pozn.: Jestliže při proudění tekutiny ve vodorovné proudové trubici vzrůstá rychlost
částic tekutiny, pak klesá její tlak a obráceně.
Výtok kapaliny otvorem v nádobě: výtoková rychlost kapaliny je dána Torricelliho vztahem
113
√

výtoková rychlost nezávisí na hustotě kapaliny a je stejná, jako kdyby kapalina
padala volným pádem z výšky h
Ustálené proudění skutečné kapaliny

reálná kapalina není dokonale tekutá, projevuje se vnitřní tření (viskozita), část tlakové
energie se mění postupně podél trubice ve vnitřní energii kapaliny W (zvýší se její
teplota)
Vnitřní tření
síly vnitřního tření mají směr tečen k povrchu jednotlivých vrstev proudící kapaliny

závisejí na druhu kapaliny
kde  je součinitel dynamické viskozity (je funkcí teploty)
jednotka:
P
tečné napětí:
[
kinematická viskozita:

]
[
]
viskozita tekutin je funkcí teploty a tlaku
Proudění laminární a turbulentní
a) nevírové (potenciálové) proudění
b) proudění skutečné kapaliny:

proudění reálné kapaliny charakterizuje bezrozměrná veličina nazývaná Reynoldsovo
číslo pro proudění kapaliny trubicí kruhového průřezu je:
114
kde v je velikost střední rychlosti proudění, d je průměr trubice, je kinematická
viskozita
a) laminární proudění
b) turbulentní proudění
 přechod od laminárního proudění k turbulentnímu je dán překročením kritického
Reynoldsova čísla
, z experimentů bylo stanoveno
̇
.
PŘÍKLADY:
3.1-9.
Vypočítejte, jakou rychlostí proudí voda v potrubí o průměru 20 cm, pro hmotnostní
tok
, víte-li že, hustota vody je
.
Řešení:
Výpis veličin:
Pro hmotnostní tok
a objemový tok
platí vztah
Pro proudovou trubici platí rovnice kontinuity
Po dosazení:
Rychlost vody v potrubí je
.
3.1-10. Trubicí o průměru 12 cm proudí voda rychlostí
vytékat z trysky o průměru1 cm?
Řešení:
Výpis veličin:
Z rovnice kontinuity
plyne:
(
)
115
. Jakou rychlostí bude
Po dosazení:
Rychlost vody vytékající z trysky je
.
3.1-11. Vodorovnou trubicí o průřezu
proudí voda rychlostí
. Tlak vody je
P . Jakou rychlost a jaký tlak má voda v rozšířeném místě trubice, kde má
trubice průřez
. Hustota vody je
. (Vodu považujte za ideální
kapalinu.)
Řešení:
Výpis veličin:
P
Z rovnice kontinuity plyne:
.
Z Bernoulliho rovnice:
Získáme vztah
[
( ) ]
Po dosazení:
[
V rozšířeném místě je rychlost
(
) ]
P
P , rychlost se snížila a tlak zvýšil.
a tlak
116
3.1-12. Nádoba válcového tvaru, jejíž plošný průřez je , je naplněn do výšky h vodou. Ve
dně nádoby je otvor plošného průřezu . Určete čas, za který hladina vody klesne na
. (Vodu považujte za ideální kapalinu.)
Řešení:
Kapalina vytéká rychlostí, která je závislá na výšce její hladiny nad otvorem podle vztahu (Torricelliho
vzorec)
√
kde y je výška hladiny v nádobě, měřeno od výtokového otvoru.
Za čas
vyteče z nádoby otvorem
objem
(viz obr.)
√
Obr. 3.1-12
Tento objem
je roven úbytku kapaliny v nádobě
Pak
√
.
√
Čas, za který klesne hladina o
√
∫
získáme integrací v mezích
√ (√
)
3.1-13. Jaký minimální výkon musí mít motor důlního čerpadla, které při průměru pístu
a zdvihu
má dodávat z hloubky
objem
za minutu? Měrná
hmotnost znečištěné vody je
a účinnost zařízení je
.
[
]
117
3.1-14. Do uzavřené nádrže s otvorem ve dně je čerpadlem vháněna voda pod tlakem
P . Jakou rychlostí musí vytékat voda otvorem ve dně, aby hladina zůstávala
ve výšce
nad dnem?
[
]
3.1-15. V nádobě je voda s hladinou ve výšce
. Jak vysoko nade dnem je třeba umístit
ve stěně nádoby otvor, aby voda stříkala co nejdále na vodorovnou rovinu, na které
je nádoba umístěna?
[
]
118
3.2
TERMIKA
TEPLOTA A TEPLO, ROZTAŽNOST LÁTEK
Teplotní roztažnost látek
a) délková roztažnost pevných látek:
Přírůstek délky
při zahřátí o , kde
druhu látky, uspořádání částic a teploty).
je součinitel teplotní délkové roztažnosti (je funkcí
U homogenních a izotropních látek při malých teplotních rozdílech lze považovat součinitel
[
]
konstantní – délkový rozměr se mění lineárně:
za
b) objemová roztažnost pevných látek:
Pro homogenní a izotropní tělesa je roztažnost ve všech směrech stejná, tj:
kde
Pozn.:Výrazná teplotní změna může způsobit vážné komplikace např. v dopravě při změně rozměrů
ocelových kolejnic (viz př. 3.2.1-8), resp. při průhybu rozžhavených nosníků při požárech budov, což
významně ovlivňuje zásah hasičů. Bylo experimentálně prokázáno, že průhyb nechráněných
prolamovaných ocelových nosníků (na 8 m délky) je při teplotě 480 °C při asi 135 mm, při teplotě 770
°C je to již 378 mm. Průhyb nosníků s vlnitou stojinou potvrzují její větší odolnost: při teplotě 780 °C
průhyb činil 256 mm.
[Zdroj: http://www.tzb-info.cz/5313-zprava-o-pozarni-zkousce-na-experimentalnim-objektu-v-mokrsku]
c) objemová roztažnost kapalin:
Při malých teplotních rozdílech:
kde  je součinitel teplotní objemové roztažnosti kapalin
.
Pro větší teplotní rozdíly vyjadřujeme objem kvadratickou funkcí teploty, tj.:
Pozn.:Anomálie vody
• Při zvyšování teploty vody od 0°C do 3,99°C se objem vody zmenšuje a její hustota se zvyšuje.
• Hustota vody je největší při teplotě 3,99°C.
•
Při zvyšování teploty nad 3,99°C dochází ke zvětšování objemu vody (tj. snižování hustoty
vody).
d) objemová roztažnost plynů:
Při malých teplotních rozdílech a konstantním tlaku:
119
e) závislost hustoty na teplotě u pevných látek:
Předpokládejme lineární objemovou roztažnost
Je-li součin
malý vzhledem k jedné, lze zjednodušit na tvar:
Příklady:
3.2-1. Mějme hliníkové těleso, které má při teplotě
těleso z hliníku stejného objemu při teplotě
hliníku je
.
tíhu
. Jakou hmotnost má jiné
? Součinitel délkové roztažnosti
Řešení:
Výpis veličin:
N
kg
C
C

K

K

Hmotnost teplejšího tělesa je dána
Hmotnost chladnějšího tělesa je analogicky:
, neboť objemy obou těles jsou shodné.
Z těchto rovnic lze vyjádřit objem těles:
Z pravé strany rovnice získáme hledanou hmotnost chladnějšího tělesa:
Při změně teploty tělesa se mění hustota podle přibližného vztahu:
120
Pro zmíněná hliníková tělesa analogicky platí:
Dosaďme vztahy pro závislost hustoty na teplotě do vztahu pro hmotnost
:
Po číselném dosazení je hmotnost chladnějšího tělesa
3.2-2.
Expanzní nádoba v topném okruhu slouží k vyrovnání změn objemu vody. V případě
pokojové teploty
koluje v okruhu
vody. Jak se naplní vyrovnávací
nádoba za provozu ústředního topení při teplotě
? Roztažnost topného systému
při zvýšení teploty zanedbejte. Součinitel objemové roztažnosti vody je
.
Řešení:
Výpis veličin:
kg


C
K
C
K
K
K
Konečný objem vody v oběhovém systému po zahřátí na provozní teplotu je dán vztahem pro
objemovou roztažnost kapalin:
Změna objemu vody vzhledem k původnímu stavu je:
Tento objem vody naplní vyrovnávací expanzní nádobu, po číselném dosazení:
3.2-3.
.
Ve zcela naplněné skleněné baňce s kapilárou je rtuť o objemu
při teplotě
. Po zahřátí skleněné nádoby i s obsahem na
přeteče ven
rtuti. Jaký je
součinitel objemové roztažnosti rtuti, pokut uvážíme i roztažnost skleněné nádoby,
který je označován jako zdánlivý součinitel roztažnosti rtuti. Součinitel objemové
roztažnosti rtuti je
, součinitel objemové teplotní roztažnosti skla je
.
121
Řešení:
výpis veličin:
V0 = 100 cm3 = 1.10-4m3 ... počáteční objem rtuti i skleněné nádoby byl totožný
V = 1 cm3 = 1.10-6 m3
t = 80 °C
T = 80 K
r =2.10-4 K-1
s =36.10-6 K-1
Změna objemu rtuti je:
Změna objemu skleněné nádoby:
Tyto rovnice od sebe odečteme a dostaneme rovnici:
Výraz na levé straně rovnice představuje objem rtuti, která z nádoby po zahřátí přeteče ven, výraz v
závorce na pravé straně (rozdíl skutečných součinitelů obj. roztažnosti) odpovídá hledanému
zdánlivému součiniteli objemové roztažnosti rtuti, tedy:
Vyjádřeme neznámou veličinu:
po číselném dosazení je
3.2-4.
= 1,25.10-4 K-1.
Tenká zinková obruč má při teplotě 0 °C průměr 1,5 m. Jak se změní počet otáček,
pokud tuto obruč kutálíme po vodorovné dráze v délce 200 m při teplotě 50 °C a 50 °C? Teplotní součinitel délkové roztažnosti zinku je 29.10-6 K-1.
Řešení:
Výpis veličin:



122
Nejprve si vyjádříme počet otáček, které obruč vykoná při teplotě
Na dráze délky tedy obruč vykoná
, což určíme z obvodu obruče:
otáček:
Po číselném dosazení:
otáček
Pokud obruč zahřejeme na teplotu
roztažnost:
, změní se obvod obruče podle vztahu pro délkovou teplotní
čímž se změní i počet otáček na stejné dráze délky :
Po číselném dosazení:
méně otáček.
otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu přibližně o
Analogicky stanovíme změnu obvodu a počtu otáček při teplotě
Po číselném dosazení:
3.2-5.
otáček, což je vzhledem k výchozímu stavu o
[
3.2-7.
více otáček.
Homogenní ocelový válec má při pokojové teplotě
průměr podstavy
a
výšku
. Pokud těleso ponoříme do vodní lázně teploty
, o kolik se po
vyrovnání teplot změní obsah jeho podstavy, výška válce, celkový objem? Na jakou
teplotu by bylo nutné zahřát těleso, aby se jeho objem zdvojnásobil? Je to reálné?
Teplotní součinitel délkové roztažnosti oceli je
.
- je to nereálné, teplota je nad
[
teplotou tání oceli]
3.2-6.
:
Základem bimetalového teploměru jsou dva tenké kovové proužky, které jsou pevně
spojeny. Jedná se o proužek ocelový a zinkový, jejichž součinitele teplotní délkové
roztažnosti jsou
a
. Při teplotě
má ocelový pásek
délku
, zinkový
a shodné příčné rozměry. Určete: A) při jaké teplotě
mají stejnou délku, B) při jaké teplotě mají stejný objem?
]
Skleněná nádoba naplněná až po okraj naftou při teplotě
hmotnost
. Zahřejeme-li nádobu i s obsahem na teplotu
123
má celkovou
, část obsahu
kanystru přeteče a výsledná hmotnost je
. Určete součinitel objemové
roztažnosti nafty: A) jestliže zanedbáme změnu rozměrů nádoby, B) uvažujeme-li
teplotní součinitel délkové roztažnosti technického skla
.
[
3.2-8.
]
Ocelová kolejnice má při teplotě
délku
. Jaké bude prodloužení kolejnice
na trati délky
, jestliže se kolejnice v letních měsících zahřeje až na
,
resp. jaké bude její zkrácení v zimě, je-li teplota -10 °C. Teplotní součinitel délkové
roztažnosti oceli
.
[prodloužení o
, zkrácení o
]
3.2 -9.* Železné kyvadlo v hodinách kývá jako fyzické kyvadlo kolem vodorovné osy kolmé
na tyč, procházející jedním koncem. Hodiny fungují správně při teplotě
. Určete,
při jaké teplotě dojde ke zpožďování hodin o
za každých
, je-li
součinitel délkové roztažnosti železa
?
[
]
124
3.3
KALORIMETRICKÁ ROVNICE, FÁZOVÉ
PŘECHODY
Tepelná kapacita. Měrné a molární teplo.
Tepelná kapacita tělesa:
, kde je měrná tepelná kapacita tělesa
d
d
d
d
Celkové teplo, které látka o hmotnosti m přijme (za předpokladu
z teploty na :
) ohřeje-li se
∫ d
Molární tepelná kapacita:
Kalorimetrická rovnice
Pro dvě tělesa, která jsou izolována od okolí a chemicky na sebe nepůsobí (a při tepelné výměně
nedochází ke změně skupenství): 1. těleso …
a 2. těleso …
, kde
-
teplo vydané teplejším tělesem je rovno teplu přijatému tělesem chladnějším
teplota obou těles se vyrovná …
Obecně pro větší počet těles:
Fázové přechody (změny skupenství) - skupenské teplo tání/tuhnutí, sublimace/desublimace,
vypařování/kondenzace:
kde je měrné skupenské teplo daného procesu pro určitou část termodynamické soustavy(TDS).
Potom vždy platí:
Příklady:
125
3.3-1.
Na teploměru ve vzduchu je zobrazena teplota
, po jeho ponoření do vody se
teplota zvýší o
. Určete tepelnou kapacitu teploměru, jestliže měření teploty
vodní lázně probíhá ve vodě o hmotnosti
, jejíž měrná tepelná kapacita je
a teplota vody před měřením byla
.
Řešení:
Výpis veličin:
C
K
C
C
g
K
konečná teplota
kg
C
K
Mezi teploměrem a vodou došlo k tepelné výměně, jejíž energetickou bilanci vyjadřuje kalorimetrická
rovnice – rovnice rovnováhy mezi teplem přijatým teploměrem a teplem, které odevzdala vodní
lázeň:
Teplo odevzdané vodou:
Teplo přijaté teploměrem:
Dosazení do kalorimetrické rovnice:
Vyjádření hledané tepelné kapacity teploměru:
Po číselném dosazení
.
Tepelná kapacita uvedeného teploměru je
3.3-2.
.
Kolik tepla musíme dodat
ledu teploty
, abychom z něj získali právě
vody, přičemž zbytek bude nadále ledem a soustava voda-led bude v tepelné rovnováze?
Měrná tepelná kapacita vody je
, měrná tepelná kapacita ledu je
126
,
měrné
skupenské
teplo
tání
ledu
je
.
Řešení:
Výpis veličin:
Ze zadání vyplývá, že výsledným stavem soustavy bude rovnováha vody a ledu, tedy kapaliny a pevné
fáze, která za normálního tlaku odpovídá teplotě
. Aby k tomu došlo, musí led projít dvěma
procesy:
- veškerý led se musí ohřát na teplotu
- část ledu musí při teplotě
, k čemuž potřebuje teplo:
roztát ve vodu:
Celkové teplo je tedy rovno dílčích tepel
Po číselném dosazení je teplo
.
.
Zadaná měrná tepelná kapacita vody je v tomto příkladu nadbytečná a při řešení příkladu není
potřeba.
Ledu je třeba dodat celkově
3.3-3.
tepla.
Do tepelně izolované nádobě bylo vloženo
vody o teplotě
a
ledu teploty
. Kolik syté páry teploty
je třeba dodat, aby výsledná teplota soustavy po
ustálení rovnováhy byla
? Měrná tepelná kapacita vody je
, měrná
tepelná kapacita ledu je
měrné skupenské teplo tání ledu je
,
měrné skupenské teplo varu vody je
. Tepelnou kapacitu nádoby a výměnu
tepla s okolím zanedbejte.
Řešení:
Výpis veličin:
127
Pro řešení použijeme kalorimetrickou rovnici, která vyjadřuje rovnováhu mezi přijatým a odevzdaným
teplem v termodynamické soustavě.
Teplo odevzdává voda a sytá pára při těchto procesech:
- voda se ochlazuje na výslednou teplotu 12 °C:
- pára kondenzuje při teplotě 100 °C na vodu o téže teplotě:
- voda vzniklá kondenzací páry se ochlazuje na 12 °C:
Součet těchto tepel vyjadřuje celkové odevzdané teplo v systému.
Teplo přijímá led při těchto procesech:
- led se ohřívá na teplotu
:
- led taje při teplotě 0 °C na vodu o téže teplotě:
- voda vzniklá z ledu se ohřívá na teplotu
:
Sestavení kalorimetrické rovnice pro tento případ: Q1 + Q2 + Q3 =Q4 + Q5 + Q6
Po dosazení do kalorimetrické rovnice a vyjádření neznámé veličiny (hmotnost syté páry
dostáváme rovnici:
Po číselném dosazení
.
Aby byla výsledná teplota termodynamické soustavy
3.3-4.
)
, je třeba do systému dodat
syté páry.
Do kalorimetru obsahujícího
vody o teplotě
, přidáme
ledu o teplotě
. A) Určete teplotu soustavy v kalorimetru po ustálení rovnováhy a množství ledu a
128
vody, které budou v rovnováze. B) Jak se změní výsledná teplota a poměr fází v případě, že
tepelné výměny se účastní i kalorimetr o tepelné kapacitě
. Měrná tepelná kapacita
vody je
, měrná tepelná kapacita ledu je
, měrné
skupenské teplo tání ledu je
.
Řešení:
Výpis veličin:
A)
Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na
:
, po číselném dosazení vyjde
Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t0 = 0 °C:
, po číselném dosazení
Rozdíl těchto tepel (odevzdané
kde
a přijaté
) určuje teplo využité na tání ledu:
je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě
Po číselném dosazení
.
.
Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude
systému bude
a množství ledu bude
.
, přičemž celkové množství vody v
B)
Bude-li se tepelné výměny účastnit i nádoba s vodou a ledem, předpokládejme, že její výchozí teplota
bude shodná s teplotou vody v této nádobě, tj.
.
Teplo, které voda odevzdá do soustavy při ochlazení na
129
:
, po číselném dosazení vyjde
Teplo, které potřebuje led, aby se ohřál na teplotu t0 = 0 °C:
, po číselném dosazení
Teplo, které kalorimetr odevzdá do soustavy při ochlazení na
, po dosazení vyjde
:
.
Teplo, které je využito na tání ledu:
kde
je množství ledu, které se roztaví ve vodu při teplotě
Po číselném dosazení
.
.
Výsledná teplota soustavy po ustanovení rovnováhy bude i v případě účasti kalorimetru 0 °C, přičemž
celkové množství vody v systému bude 0, 326 kg a množství ledu bude 0,274 kg.
Do vody o objemu
a teplotě
vložíme dvě rozžhavená tělesa, ocelové a měděné,
jejichž společná teplota je
a celková hmotnost obou těles je
. Jaká bude
výsledná teplota soustavy po ustálení rovnováhy, jestliže proces probíhá v uzavřené nádobě
se zanedbatelnou tepelnou kapacitou. Pokud by bylo do vody vloženo pouze ocelové těleso,
výsledná teplota soustavy by byla
. Měrná tepelná kapacita vody je
,
oceli
, mědi
.
3.3-5.
[
]
V tepelně izolované nádobě jsou
vody o teplotě
. Kolik tepla musíme do
soustavy dodat, aby voda začala vřít a během varu se odpařila třetina vody? Měrná tepelná
kapacita vody je
, měrné skupenské teplo varu vody je
.
Uvažujte, že se a) nádoba neúčastní procesu, b) tepelné výměně podléhá i kalorimetr o
tepelné kapacitě
.
3.3-6.
[
]
Do nádoby s vodou teploty
se teplota soustavy ustálí na
3.3-7.
[
3.3-8.
vložíme
ledu o teplotě
. Po ustálení rovnováhy
. Určete, jaké množství vody bylo na počátku v nádobě.
]
Sada ocelových plátů o celkové hmotnosti
ponořena do olejové kalicí lázně
130
o
byla zahřáta na teplotu
teplotě
. Hustota
a následně
oleje je
, měrná tepelná kapacita oleje
, měrná tepelná kapacita
oceli
.Určete, jaký objem musí mít olejová lázeň, aby konečná teplota
oleje byla
. Uvažujte, že při procesu a) nedochází k tepelným ztrátám, b) dochází k
tepelných ztrát zářením.
[
3.3-9.
[
]
Máte neomezené množství ledu o teplotě
a syté vodní páry o teplotě
. Kolik čeho
potřebujete na přípravu
vody o teplotě
? Měrná tepelná kapacita vody je
,
měrná
tepelná
kapacita
ledu
je
, měrné skupenské teplo varu vody je
, měrné skupenské
teplo tání ledu je
.
]
131
3.4
DĚJE
STAVOVÁ ROVNICE IDEÁLNÍHO PLYNU, JEDNODUCHÉ
Kinetická teorie plynů
Střední kvadratická rychlost molekul plynu:
√
kde
je Boltzmannova konstanta.
Střední energie molekuly jednoatomového plynu:
̅
Tlak ideálního plynu:
Stavová rovnice ideálního plynu:
kde
je molární plynová konstanta,
je Avogadrova konstanta:
Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma stavy plynu v uzavřené nebo izolované soustavě:
resp.
Stavová rovnice reálného plynu:
Van der Waalsova rovnice pro 1 mol plynu:
(
)
132
Van der Waalsova rovnice pro n molů plynu:
(
)
Vratné děje v ideálním plynu:
1) izochorický děj:
d
Charlesův zákon
2) izotermický děj:
ů
d
ů
3) izobarický děj:
ů
d
4) adiabatický děj:
P
ů
.
Příklady:
3.4-1.
V litrové nádobě je stlačený kyslík při teplotě
a tlaku
P . Při jaké teplotě
dojde ke smrštění nádoby o 1/10 původního objemu a tím ke zvýšení tlaku plynu uvnitř o
P ? Jakou hustotu bude mít plyn ve výchozím a koncovém stavu, je-li jeho molární
hmotnost
?
Řešení:
Výpis veličin:
133
P
P
Stavová rovnice pro přechod mezi dvěma rovnovážnými stavy uzavřené soustavy ideálního plynu je
ve tvaru:
Odsud vyjádříme konečnou teplotu
Po číselném dosazení
Stanovení hustoty kyslíku určíme ze stavové rovnice:
Vyjádření hustoty ve výchozím stavu:
analogicky pro konečný stav:
Po číselném dosazení:
3.4-2.
.
V nádobě s vadným ventilem je stlačený vodík. Při teplotě
je výchozí tlak vodíku
P . Plyn je uzavřen v nádobě o objemu
. Po určité době má plyn v nádobě teplotu
při stejném tlaku. Jaké množství plynu muselo mezitím z nádoby uniknout?
Řešení:
Výpis veličin:
P
P
- předpokládejme, že se objem nádoby nemění
- protože se mění počet částic v termodynamické soustavě, nelze použít rovnici pro izochorický děj
Pro každý stav (výchozí a koncový) platí stavová rovnice:
134
Tuto dvojici rovnic je třeba řešit jako soustavu, např. vydělením rovnic:
Za neznámou koncovou hmotnost dosadíme ze stavové rovnice:
Hledaná veličina je tedy dána:
po číselném dosazení
.
Hmotnost kyslíku, která při ději unikla, je dána rozdílem hmotností plynu ve výchozím a konečném
stavu, tedy
, což je číselně
.
3.4-3.
Tlaková nádoba obsahuje
oxidu uhličitého. Po spojení nádoby s evakuovanou
baňkou dojde k poklesu tlaku na čtvrtinu původní hodnoty. Jaký objem musela mít připojená
baňka? Předpokládejte, že při tomto procesu nedošlo k žádné teplotní změně.
Řešení:
výpis veličin:
Po spojení obou nádob bude vnitřní objem
Stavová rovnice pro izotermický děj je ve tvaru:
Úprava rovnice a vyjádření hledané veličiny:
135
Po číselném dosazení:
.
3.4-4. V nádobě smísíme
vodíku a
kyslíku při teplotě
za tlaku
P . Určete, jakou
hustotu bude mít směs plynů v nádobě. Relativní atomová hmotnost vodíku je 1, u kyslíku je
to 16.
Řešení:
Výpis veličin:
P
Stavová rovnice pro rovnovážný stav plynu je dána:
resp.:
Do rovnice dosaďme vztah vyjadřující souvislost mezi hmotností, objemem a hustotou soustavy:
, kde
nádobě, tedy
je celková hmotnost a
úhrnné látkové množství směsi plynů v
,
Dosazení do stavové rovnice:
Vyjádření hledané veličiny:
Po číselném dosazení je hustota směsi 0,235 kg.m-3.
3.4-5.
[
Plyn uzavřený v nádobě s pružnými stěnami expandoval za konstantního tlaku o
svého objemu, přičemž jeho teplota při expanzi dosáhla
. Určete počáteční
teplotu plynu.
]
3.4-6.
Na dně jezera je vzduchová bublina o poloměru
a stoupá z hloubky
Jaký bude mít poloměr na hladině, jestliže teplota u dna je
a na hladině
děje za normálního atmosférického tlaku.
136
k hladině.
. Vše se
[
]
V nádobě tvaru válce s pohyblivým pístem je uzavřen vodík za normálního tlaku. Výška
nádoby je
, při kompresi dojde k posunutí pístu o
směrem do nádoby. Jaký bude
výsledný tlak plynu, jestliže došlou současně k nárůstu teploty o
?
3.4-7.
[
P ]
vzduchu se při teplotě
a tlaku
P adiabaticky komprimuje na pětinu svého
původního objemu. Určete výsledný tlak a teplotu. Poissonova konstanta pro vzduch je
.
3.4-8.
[
P
]
137
3.5
TEPLO, PRÁCE, 1. TERMODYNAMICKÝ ZÁKON
První termodynamický zákon:
Dle zákona zachování energie:
Matematicky lze první termodynamický zákon vyjádřit také ve formě:
Pozn.: Do 1. termodynamického zákona dosazujeme za
včetně znamének:
… práci koná termodynamická soustava
… práci termodynamická soustava spotřebovává (práci konají okolní tělesa)
… přírůstek vnitřní energie
… úbytek vnitřní energie
… teplo dodané soustavě
… teplo odevzdané soustavou okolí
Práce plynu:
Celková práce vykonaná při změně objemu z
na
:
∫
Vnitřní energie soustavy ideálního plynu o molekulách (vnitřní energie je rovna součtu kinetických
energií molekul ideálního plynu):
̅
kde i = 3, 5, 6 pro 1 – atomové, 2 – atomové a 3 a více – atomové molekuly.
Molární tepelné kapacity ideálního plynu
Mayerův vztah:
138
kde
tlaku.
je molární tepelná kapacita při stálém objemu a
je molární tepelná kapacita při stálém
Poissonova konstanta:
Tepelné kapacity:
plyny
cmV
cmp

jednoatomové
3
Rm
2
5
Rm
2
3Rm
5
Rm
2
7
Rm
2
4 Rm
5
3
7
5
4
3
dvouatomové
3 a víceatomové
Změna vnitřní energie:
d
kde
⁄
d
, resp.
První termodynamický zákon:
a) pro 1 mol plynu
b) pro m kilogramů plynu
Vratné děje v ideálním plynu:
1) izochorickýděj:
2) izotermický děj:
∫
139
3) izobarický děj:
Práce plynu:
∫
∫
4) adiabatický děj:
d
d
d
resp.
Kruhové děje (cykly)
Účinnost Carnotova kruhového děje:
Hasicí přístroje (ČSN EN-3) :
a) práškový: Nejuniverzálnější hasicí přístroj se používá v průmyslu, zemědělství,
obchodu, v provozovnách služeb anebo v domácnostech, stejně tak v lékařských
ordinacích a muzeích. Hasicí přístroj obsahuje hasicího prášku ABC. Používá se na
čerpacích stanicích PHM a LPG, v letištních hangárech, rafineriích ropy, skladech
ropných produktů, barev, ředidel apod.
b) sněhový (CO2): Hasicí přístroj obsahuje zkapalněný oxid uhličitý, který se po použití
odpaří a nezanechá žádné zbytky hasicí látky, čímž nedojde k dalším škodám a zničení
zařízení, které nebylo dosud poškozeno požárem (elektrorozvodny, trafostanice,
strojovny výtahů, potravinářské provozy atd.). Za dodržení bezpečnostních podmínek
lze použít i na elektrické zařízení pod napětím až do 110kV. Speciálním druhem je
antimagnetický sněhový prostředek, který je určen k hašení požárů v prostorách s
výskytem magnetického pole (např. magnetická rezonance MRI). Veškeré části
zařízení jsou vyrobeny z nemagnetických materiálů. Hasicí médium je oxid uhličitý,
který při použití nepoškozuje jemnou mechaniku a neznečišťuje okolí.
c) vodní:Hasí pevné organické látky, jako je dřevo, papír, seno, sláma, textil atd.
Tento hasicí přístroj obsahuje potaš (mrazuvzdornou přísadu), díky níž je možné ho
používat při okolní teplotě až do -20 °C. Používá se v archívech, kůlnách, senících a
všude jinde, kde hrozí nebezpečí požáru pevných látek apod. Z bezpečnostních
důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení elektrického zařízení pod
napětím.
d) pěnový: Vhodný pro hašení požárů polárních i nepolárních hořlavých kapalin, jako
např.: benzín, nafta, oleje, ředidla, nátěrové hmoty a líh, dále také na pevné organické
látky, kde kromě ochlazovacího účinku vody, která tvoří více než 90% náplně,
je významný i dusivý účinek vytvořením pěnového „koberce“. Používá se na hašení
140
požárů v drogeriích, lékárnách, příručních skladech hořlavých kapalin apod.
Z bezpečnostních důvodů se nesmí tento hasicí přístroj používat na hašení
elektrického zařízení pod napětím.
Výhřevnost paliv:
Výhřevnost je vlastnost paliva udávající, kolik tepelné energie se uvolní během spálení jedné
jednotky, která je obvykle udávána v kilogramech. Záleží ale na mnoha jiných faktorech, které během
uvolňování tepla působí na výhřevnost. Jde hlavně o vlhkost paliva, vzduchu, místo zdroje a čerpání
paliva. Proti spalnému teplu není v hodnotě zahrnuto měrné skupenské teplo páry, obsažené ve
spalinách. Předpokládá se, že její teplo je nevyužitelné a uniká v plynném stavu se spalinami.
kde
je uvolněné teplo při spalování a m je hmotnost paliva [
]
Příklady:
3.5-1.
Mějme dusík uzavřený v nádobě o objemu
práci plyn vykoná, jestliže za stálého tlaku
. Jak se změní vnitřní energie plynu a jakou
P expanduje na objem
.
Řešení:
Výpis veličin:
P
1. termodynamický zákon je ve tvaru:
vnitřní energie a je práce vykonaná plynem.
, kde
je dodané teplo do soustavy,
změna
Změna vnitřní energie je dána vztahem:
Teploty nejsou dány, ale můžeme je vyjádřit ze stavových rovnic pro počáteční a koncový stav plynu:
Při odečtení těchto rovnic získáme:
Dosaďme do rovnice pro změnu vnitřní energie za výraz
tedy:
141
levou stranu získané rovnice,
Po číselném dosazení je změna vnitřní energie rovna
.
Vykonaná práce při izobarickém ději je dána rovnicí:
Po číselném dosazení je vykonaná práce plynem rovna
3.5-2.
.
Při izotermickém ději za teploty
dochází k expanzi dvou kilomolů ideálního plynu na
třetinový tlak. Jakou práci plyn vykoná?
Řešení:
Výpis veličin:
Elementární vykonaná práce při izotermickém ději je dána rovnicí:
d
d
Celková vykonaná práce je tedy:
∫ d
Za neznámý tlak dosadíme výraz ze stavové rovnice ideálního plynu:
Vykonaná práce:
∫ d
∫
d
∫
d
ln
Poměr objemů výchozího a koncového stavu lze nahradit převráceným poměrem tlaků, což vyplývá
ze stavové rovnice pro izotermický děj:
Vykonaná práce:
ln
ln
Po číselném dosazení je vykonaná práce rovna
ln3
.
142
3.5-3.
Vzduch o hmotnosti
a teplotě
se adiabaticky komprimuje o
objemu. Určete výslednou teplotu a dodanou práci.
původního
Řešení:
Výpis veličin:
Adiabatický děj popisuje Poissonova rovnice:
Vzduch je považován za ideální dvou-atomový plyn, poissonova konstanta pro adiabatický děj je tedy:
V Poissonově rovnice je nutno nahradit neznámé hodnoty tlaků výchozí a konečnou teplotou, které
vyplývají ze stavových rovnic pro oba stavy:
Po dosazení do Poissonovy rovnice
( )
(
:
)
(
)
Po číselném dosazení je konečná teplota 373,4 K
Práce, kterou je nutno dodat pro adiabatické stlačení plynu, je dána:
143
Dosaďme za výrazy v závorce pravé strany stavových rovnic pro výchozí a koncový stav:
Po číselném dosazení je vykonaná práce při adiabatické kompresi rovna
Tepelný stroj, který pracuje na základě ideálního Carnotova cyklu, přijímá během jednoho
cyklu od ohřívací lázně o teplotě
tepla. Jakou maximální práci může plyn
vykonat, jestliže teplota chladicí lázně je
?
3.5-4.
[
]
Kolik tepla je třeba dodat
kyslíku o teplotě
, aby za konstantního normálního
tlaku vykonal práci
? Jaký bude výsledný objem a teplota plynu?
3.5-5.
[
]
Kyslík o hmotnosti
, teplotě
a tlaku
P podléhá adiabatickému stlačení na
polovinu původního objemu a následné izotermické expanzi na původní objem. Určete
konečný tlak, teplotu a objem plynu a práci, kterou plyn při izotermickém ději vykonal.
3.5-6.
[
P
]
Při práci Dieselova spalovacího motoru přijímá pracovní látka od ohřívače teplo
a
chladiči odevzdá teplo
. Teplota ohřívače je
, teplota chladicí lázně
. Určete
skutečnou účinnost motoru a maximální možnou účinnost, jakou by motor mohl mít, kdyby
pracoval na základě ideálního Carnotova cyklu.
3.5-8.
[
]
Jaké množství tuhých paliv je potřeba spálit, aby uvolněným teplem bylo možné ohřát
vody z pokojové teploty
k bodu varu a při této teplotě nechat polovinu vody odpařit,
je-li výhřevnost paliva
a účinnost kotle pro ohřev
. Měrná tepelná kapacita
vody je
, měrné skupenské teplo varu vody je
.
3.5-9.
[
]
Dusík o hmotnosti
izotermicky expanduje, přičemž vykonaná práce při teplotě
činí
. Jaký je poměr výchozího a koncového tlaku plynu?
3.5-7.
[
.
]
144
3.6
SDÍLENÍ TEPLA
A) Vedení tepla:
Tepelný tok je dán vztahem:
d
d
Hustota tepelného toku je:
d
d
d
d d
⃗⃗
d
d d
⃗⃗
Jednorozměrné stacionární vedení tepla homogenní rovinnou stěnou:
B) Přestup tepla (přechod tepla z prostředí, ve kterém se šíří teplo prouděním, do prostředí, ve
kterém se šíří teplo vedením (nebo obráceně):
C)Prostup tepla (tepelná výměna mezi dvěma tekutinami oddělenými stěnou z pevné látky):
D) Teplotní záření:
Zářivý tok:
Zářivost bodového zdroje:
Intenzita vyzařování plošného zdroje:
Záření absolutně černého tělesa:
ů
kde
je Stefan - Boltzmannova konstanta.
ienův posunovací zákon:
145
Příklady:
3.6-1.
Mějme dvě homogenní destičky, které jsou položeny těsně na sebe: hliníková destička
tloušťky
a železná tloušťky
. Předpokládejme, že hustota tepelného toku touto
dvojicí destiček je konstantní, tj. jedná se o stacionární vedení tepla. Tuto izolační dvojvrstvu
je potřeba nahradit destičkou jedinou o celkové tloušťce
. Jaký součinitel tepelné
vodivosti by tato jednoduchá homogenní vrstva musela mít, aby vedla teplo stejně jako
dvojice destiček? Součinitel tepelné vodivosti hliníku je
, železa
.
Řešení:
Výpis veličin:
mm
mm
m
mm
m
m

konst.
(předpokládáme stacionární vedení tepla, hustota tepelného toku je konstantní)
Obr. 3.6-1
Hustota tepelného toku pro vedení tepla je dána vztahem:
Je-li vedení tepla stacionární, platí pro hustotu tepelného toku první a druhou destičkou:
resp.:
,
146
kde je teplota hliníkové destičky z vnější strany, je teplota železné destičky z vnější strany a je
teplota uvnitř, na rozhraní hliníkové a železné destičky.
Teploty vnějších stran destiček jsou neznámé, vyjádří se z předchozích rovnic jako:
a analogicky z druhé části rovnice
Nahradíme-li soustavu jedinou destičkou, musí platit:
Vyjádřené teploty dosadíme do rovnice pro hustotu tepelného toku jedinou destičkou a vyjádříme
hledanou veličinu:
Po číselném dosazení:
.
Jednoduchá homogenní vrstva nahrazující izolační dvojvrstvu musí mít součinitel tepelné vodivosti
.
3.6-2.
Cihlová zeď vnějšího pláště domu propustí každou hodinu určité množství tepla. Tloušťka
zdi je
a její plocha
, přičemž vnitřní teplota vzduchu je
, vnější teplota
. Stanovte teplo, které stěnou uniká a určete teplotu vnitřního a vnějšího povrchu
cihlové
zdi.
Součinitel
tepelné
vodivosti
stěny
je
, součinitel přestupu tepla mezi stěnou a vzduchem uvnitř v místnosti
a venku
.
Řešení:
Výpis veličin:
147

Obr. 3.6-2
Hustota tepelného toku pro vedení tepla stěnou je dána vztahem:
Hustota tepelného toku pro přestup tepla mezi tekutinou a stěnou je dána vztahem:
Zapišme rovnice pro všechny tři procesy postupně:
- přestup vzduch uvnitř/stěna:
- vedení uvnitř stěny:
- přestup vzduch vně/stěna:
Z uvedené trojice rovnic vyjádřeme teplotní rozdíly:
Sečteme tyto rovnice a získáme vztah:
(
)
Odsud vyplývá vztah pro hustotu tepelného toku:
148
Celkové množství tepla, které prostoupí zdí je:
Po číselném dosazení
.
Každou hodinu prostoupí přes cihlovou zeď
Určete intenzitu dopadajícího slunečního záření na Zemi, jestliže střední teplota povrchu
Slunce je
, poloměr Slunce
a vzdálenost Země od Slunce je
.
3.6-3.
[
]
Jaké množství energie vyzáří každou minutou
3.6-4.
[
tepla.
povrchu černého tělesa o teplotě
?
]
Jakou teplotu má rozhraní mezi dvěma vrstvami, které přiléhají těsně na sebe, je-li jedna
vrstva mosazná o tloušťce
a měděná o tloušťce
. Vnější strana mosazi je
udržována na teplotě
a vnější strana skleněné destičky má teplotu
. Součinitel
tepelné
vodivosti
mosazi
je
a
mědi
.
3.6-5.
[
]
3.6-6.
V ledové kostce o teplotě
je zapíchnuta hliníková tyč, jejíž druhý konec je udržován na
teplotě
. Jaké množství ledu roztaje za dobu
? Tyč má délku
, průřez
,
součinitel
tepelné
vodivosti
hliníku
je
, měrné skupenské teplo tání ledu je
.
[
]
3.6-7.
Na tenkou černou destičku umístěnou ve vakuu kolmo ke směru dopadajících slunečních
paprsků dopadá zářivý tok o hustotě
. Určete, jakou teplotu bude destička mít v
ustáleném stavu.
[
]
149
4.
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE
4.1
ELEKTROSTATICKÉ POLE
Náboj
Každý náboj je celistvým násobkem elementárního náboje:
kde
a je celé číslo.
Coulombův zákon
Mezi dvěma náboji působí elektrostatická síla dána vztahem:
Zde
je konstanta úměrnosti, kde je permitivita prostředí.
Pro vakuum je tato konstanta:
,
Pro dielektrikum zavádíme relativní permitivitu
Intenzita elektrostatického pole bodového náboje je dána vztahem:
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
:
Elektrická intenzita v poli bodového náboje je:
Intenzita pole soustavy bodových nábojů:
⃗⃗ ⃗
Gaussův zákon elektrostatiky
∑
⃗⃗

Znění zákona: „Tok vektoru intenzity E libovolnou uzavřenou plochou je úměrný náboji uzavřenému
v této ploše.“ Jeho tvar je tedy:
:
Důsledek: uvnitř nabité kulové plochy je elektrické pole
150
Práce sil elektrostatického pole je obecně:
∫ ⃗⃗
kde ⃗ je dráha pohybu náboje
∮ ⃗⃗
⃗
⃗
v poli ⃗⃗ .
Elektrická potenciální energie bodového náboje je:
kde
je jednotkový testovací náboj.
Změna elektrické potenciální energie je dána vztahem:
(
Elektrický potenciál
Je podíl elektrické potenciální energie
)
a kladného bodového náboje
, tedy:
Potenciál soustavy bodových nábojů je
∑
Potenciál vně vodivé kulové plochy o poloměru se spojitě rozloženým nábojem:
Elektrické napětí
Je rovno rozdílu potenciálů mezi dvěma body
∫ ⃗⃗ ⃗
jednotka napětí a elektrického potenciálu je V (volt):
Elektrostatické pole v látkách
a) látka obsahující volné elektrické náboje – vodič
Pro homogenní pole:
151
kde
⃗⃗
⃗⃗, ⃗⃗ je elektrická indukce
⃗⃗
⃗⃗
b) látka bez volných elektrických nábojů – nevodič (dielektrikum, izolant)
Výsledné pole uvnitř dielektrika:
prostředí (jehož permitivita je
míra zeslabení pole:
), ⃗⃗
⃗⃗
– relativní permitivita
⃗⃗
Kapacita vodiče: bylo experimentálně prokázáno:
kde konstanta úměrnosti senazývá kapacita vodiče
rozměr této jednotky je:
⁄ .Jednotkou kapacity je F (farad) a
Kapacita kondenzátoru:
Kondenzátor tvoří soustava dvou vodičů, které jsou od sebe odděleny nevodivým prostředím
(dielektrikem). Jeho kapacita je dána vztahem:
deskový kondenzátor
Pro deskový kondenzátor platí, že jeho kapacita je:
kde je vzdálenost elektrod a jejich plocha.
Kondenzátory spojené paralelně a sériově
a) Sériové zapojení (za sebou)
Obecně pro zapojených kondenzátorů:
∑
Pro napětí na kondenzátorech platí:
152
b) Paralelní zapojení (vedle sebe)
Napětí na celé skupině kondenzátorů je stejné jako napětí na každém z nich
Pro dvojici kondenzátorů platí:
Obecně pro zapojených kondenzátorů:
∑
Energie elektrostatického pole
,
kde W-odevzdaná práce;
´-přijatá práce.
Pro zvýšení potenciální energie platí:
Energie elektrického pole kondenzátoru:
V homogenním elektrostatickém poli platí:
energie homogenního pole je:
PŘÍKLADY:
4.1-1.
Dvě stejné kuličky, které jsou nabity stejným elektrickým nábojem , jsou zavěšeny na nitích
stejné délky. Nitě spolu svírají úhel 2α (viz Obr. 4.1-1). Vypočítejte hustotu látky, která byla
použita na výrobu kuliček, víte-li, že při ponoření kuliček do benzenu o hustotě
a jeho relativní permitivitě
se úhel nití nezměnil.
Řešení:
Výpis veličin:
153
Na každou kuličku ve vzduchu působí síly:
Tíhová
;
Elektrického odpuzování (Coulombův zákon)
Obr. 4.1-1
Podmínka rovnováhy ve vzduchu (A) je:
=>
Pro ponoření do benzenu (B) přibude vztlaková síla
kde
je hustota benzenu.
Síla elektrického odpuzování v benzenu se zmenší
krát, odtud
Porovnáním obou tangent obdržíme vztah
kde
a
je hustota materiálu kuličky.
Dosazením získáme vztah
Po číselném dosazení
154
.
.
Hustota materiálu každé z kuliček je
4.1-2.
.
Ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o stranách velikosti jsoucího ve vakuu máme
umístěny bodové náboje o velikosti . Jak veliký bodový náboj musíme umístit do středu
tohoto trojúhelníka, aby náboje byly v rovnováze? (viz obr. 4.1-2).
Obr. 4.1-2
Řešení:
Vybereme si např. náboj
⃗
⃗
⃗ , přičemž
v poloze 3, na který působí i náboje
.
v polohách 1 a2 silami
Podmínka rovnováhy:
⃗
⃗
⃗
⃗
.
⃗ je síla, kterou působí náboj umístěný v poloze 4 na náboj
tedy mít opačné znaménko než náboj .
v místě 3. Náboj musí
Z Coulombova zákona a silových relací nábojů v trojúhelníku plyne
√
.
Po dosazení vztahů do podmínky rovnováhy
velikost náboje :
√
a porovnáním rovnicdostáváme hodnotu pro
.
Stejná úvaha platí pro náboje Q v polohách 1 a2.
4.1-3.
Ve vzdálenosti jsou umístěny náboje a
Určete intenzitu a potenciál elektrického pole
obecně (obr. 4.1-3. A), poté pro vzdálenosti od obou nábojů (obr. 4.1-3. B), (náboje jsou
ve vakuu):
a) mají-li oba náboje stejné velikosti i znaménka,
b) mají-li oba náboje stejné velikosti, ale opačná znaménka.
155
Obr. 4.1-3
Řešení:
Pro obecný výpočet položme počátek souřadné soustavy do středu vzdálenosti mezi náboje (obr. 4.13. A) a hledáme potenciál v bodě C:
√
[ (
√(
)
)
]
Intenzitu elektrostatického pole získáme ze vztahu
⃗⃗
.
Intenzita ⃗⃗⃗⃗je funkcí x a y a tedy:
(
)
)
{[(
(
]
)
)
[(
{
] }
}.
[(
)
]
[(
)
]
V případě rovnostranného trojúhelníka (obr. 4.1-3. B) má bod C souřadnice:
√
;
;
;
√
.
156
a)
;
;
√
;
.
Uvážíme-li, že
√
√
;
kde
je velikost intenzity v bodě
buzeného nábojem
.
pole
b)
;
.
Celková intenzita má v případě a) směr osy y v případě b) směr osy x.
4.1-4.
Určete intenzitu a potenciál elektrostatického pole s konstantní plošnou hustotou σ
v nekonečné rovině umístěné ve vakuu.
Obr. 4.1-5
Obr. 4.1-4
Řešení:
Použijeme Gaussovy věty. Uzavřenou plochu volíme ve tvaru válce se základnami S po obou stranách
roviny, které jsou rovnoběžné s rovinou s nábojem (obr. 4.1-4). K celkovému toku intenzity přispívají
jen obě základny. Plášť nepřispívá, neboť všude na něm platí:
⃗⃗
⃗
.
Celkový tok můžeme psát
157
.
Intenzita a potenciál jsou:
;
.
Vypočtěte kapacitu kulového kondenzátoru vytvořeného dvěma soustřednými vodivými
kulovými plochami o poloměrech
a
mezi kulovými plochami je vakuum.
4.1-5.
Řešení:
Napětí mezi kulovými plochami je
∫
∫
.
Kapacita kulového kondenzátoru potom bude
.
Dvě
4.1-6.
stejně
veliké kuličky
. Určete:
nesou
elektrické
náboje
a
a) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, je-li jejich vzdálenost 6 cm.
b) Velikost a směr sil působících mezi kuličkami ve vakuu, když byly předtím uvedeny do
vzájemného styku.
a)
[kuličky se přitahují silou
b)
[kuličky se odpuzují silou
]
]
Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti
V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o
4.1-7.
působí na sebe ve vzduchu silou .
, aby se velikost síly nezměnila?
]
[
Kde na spojnici nábojů a
vzdálených je třeba umístit třetí náboj tak, aby na něj
nepůsobila žádná síla? Ve kterém místě na spojnici daných nábojů bude intenzita pole
nulová?
4.1-8.
[
]
4.1-9.
Elektrické náboje
Stanovte:
jsou umístěny viz. obr. 4.1-5.
a
a) intenzitu elektrostatického pole v bodech A, B, C ,
b) potenciály v bodech A, B, C ,
158
c) potenciální energii bodového náboje
A, B, C .
a)
b)
c)
[
[
[
4.1-10.
;
;
[
]
]
Tři kondenzátory mají kapacitu
a) maximální, b) minimální kapacitu?
[paralelně
4.1-12.
]
;
]
Tři kondenzátory, z nichž jeden má kapacitu
, dávají při paralelním zapojení kapacitu
, při sériovém zapojení
. Jakou kapacitu mají zbylé dva kondenzátory?
[
4.1-11.
;
;
;
, je-li postupně umístěn v bodech
;sériově
,
a
. Při kterém spojení dávají
]
Napětí mezi bouřkovým mrakem a zemí dosáhlo v okamžiku vzniku blesku hodnoty
.
Bouřkový mrak měl náboj
Jaká energie se uvolnila zábleskem při blesku? V jaké
formy se při tom elektrická energie přeměnila?
; světelnou, zvukovou, chemickou, mechanickou, aj.]
159
4.2
ELEKTRICKÝ PROUD
Elektrický proud
Zde
(A).
je náboj, který za dobu
projde průřezem vodiče. Jednotkou elektrického proudu je ampér
Hustota proudu
Proud (skalár) souvisí s vektorem hustoty proudu ⃗ vztahem:
⃗
∫⃗
kde ⃗ je vektor kolmý k elementu plochy o obsahu
a integruje se přes celý průřez vodiče.
Orientace ⃗ je stejná jako orientace intenzity elektrického pole, která vyvolává proud.
Driftová rychlost
Je-li ve vodiči elektrické pole o intenzitě ⃗⃗ , (kladné) nosiče náboje se pohybují driftovou rychlostí
⃗ ve směru intenzity ⃗⃗ . Rychlost ⃗ souvisí s hustotou proudu vztahem:
⃗
kde
⃗
je objemová hustota náboje.
Odpor vodiče
Odpor neboli rezistance
vodiče (součástky) je definován vztahem:
definice odporu
kde
je napětí přiložené na vodič a proud procházející vodičem. Jednotkou je ohm ( ):
Rezistivita
a konduktivita
materiálu jsou definovány jako:
definice
kde je velikost intenzity elektrického pole. Jednotkou rezistivity je
vztahu je vektorová rovnice:
⃗⃗
Odpor
vodiče o délce
⃗
a průřezu určíme podle vztahu:
160
. Zobecněním předchozího
Změna rezistivity s teplotou
Rezistivita většiny materiálů se mění s teplotou. Pro řadu materiálů, včetně kovů, lze závislost
rezistivity na teplotě aproximovat lineárním vztahem:
kde je rezistivita při teplotě
určitém teplotním intervalu).
,
je referenční teplota a
je teplotní součinitel rezistivity (v
Závislost odporu kovu na teplotě
Závislost odporu polovodiče na teplotě:
Ohmův zákon
Pro vodič (součástku) platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho odpor
⁄ nezávisí na přiloženém napětí .
vodiče(
definovaný v rovnici pro odpor
Pro materiál platí Ohmův zákon tehdy, jestliže jeho rezistivita definovaná příslušnou rovnicí (
⁄ ) nezávisí na velikosti a směru elektrické intenzity ⃗⃗ .
Ohmův zákon v diferenciálním tvaru
⃗⃗
⃗
Rezistivita kovů
Za předpokladu volně se pohybujících vodivostních elektronů (jako molekuly v plynu) lze odvodit
vztah pro rezistivitu kovu:
Zde je objemová koncentrace elektronů a je střední doba mezi srážkami elektronu s atomy kovu.
Protože je prakticky nezávislé na , platí pro kovy Ohmův zákon.
Soustava rezistorů zapojených sériově
∑
kde
jsou hodnoty jednotlivých odporů a
je celkový odpor.
Soustava rezistorů zapojených paralelně
161
∑
kde
jsou hodnoty jednotlivých odporů a
je celkový odpor.
Výkon elektrického proudu
Výkon přenosu energie v součástce, na níž je napětí
a kterou prochází proud , je roven:
výkon el. proudu
Disipace energie rezistorem
Je-li součástkou rezistor, lze psát předešlou rovnici pro výkon ve tvaru:
disipace energie rezistorem
V rezistoru je elektrická potenciální energie disipována prostřednictvím srážek nosičů náboje s atomy.
Elektromotorické napětí (
Je-li
práce, kterou zdroj vykoná při průchodu kladného náboje
vnitřkem zdroje od záporného
pólu ke kladnému, je jeho elektromotorické napětí (nebo také , tj. práce vztažená na jednotkový
náboj) rovno:
definice EMN
Jednotkou EMN je volt, tedy stejná jednotka jako napětí. Ideální zdroj EMN má nulový vnitřní odpor.
Napětí na jeho svorkách je stále rovno elektromotorickému napětí . Reálný zdroj EMN má
nenulový vnitřní odpor. Napětí na jeho svorkách je rovno elektromotorickému napětí pouze
v případě, že zdrojem neprochází žádný proud.
Spojování zdrojů elektromotorického napětí:
  1   2
  1   2
Kirchhoffovy zákony
162
Uzlové pravidlo (ze zákona zachování elektrického náboje): Součet proudů
vstupujících do uzlu se rovná součtu proudů z uzlu vystupujících.
∑
Smyčkové pravidlo (ze zákona zachování energie): Algebraický součet úbytků
napětí při průchodu libovolnou uzavřenou smyčkou je nulový.
∑
∑
Jednoduché obvody
Proud v jednoduchém obvodu tvořeném jedinou smyčkou, kde je zapojen rezistor o odporu
elektromotorického napětí s vnitřním odporem , je:
V případě ideálního zdroje EMN (
) přecházi tento vztah do tvaru
a zdroj
⁄ .
Obvody stejnosměrného elektrického proudu
Základní pojmy:
-
uzel: místo vodivého spojení, ve kterém se setkávají alespoň tři vodiče (proud se rozděluje do
jednotlivých větví)
větev: část obvodu mezi dvěma uzly
jednoduchý elektrický obvod
síť (soustava jednoduchých elektrických obvodů)
Zásady a postup výpočtů při řešení stejnosměrných elektrických sítí použitím 1. a 2. Kirchhoffova
zákona:
počet rovnic pro řešení elektrické sítě je dán počtem větví
rovnice vybíráme tak, aby byly nezávislé
zvolit předpokládané směry proudů v jednotlivých větvích (tento směr volíme libovolně,
nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit)
- zvolit směr postupu v jednotlivých vybraných smyčkách (tento směr volíme libovolně,
nesmíme ho však v průběhu řešení obvodu měnit)
- vyznačíme směr od záporného ke kladnému pólu ve zdrojích napětí (tj. ve směru růstu
potenciálu)
EMN a úbytková napětí dosazujeme do rovnic včetně znamének:
-
163
R
 0
 0
I
RI  0
R
I
RI  0
Výkon a elektromotorické napětí
Jestliže reálnou baterií o elektromotorickém napětí
s vnitřním odporem protéká proud , pak
výkon , který dodává baterie prostřednictvím nosičů náboje do zbytku celého zapojení, je:
kde
je napětí na svorkách baterie.
Ztrátový výkon
(uvnitř baterie) je:
Výkon zdroje EMN
(tj. rychlost, s jakou ubývá chemická energie baterie) je roven:
.
Hmotnost látky vyloučené při elektrolýze
kde m je hmotnost vyloučené látky,
je protékající proud a je čas.
je hmotnost iontu vylučované látky,
jeho náboj,
Pozn.:
Krokové napětí je elektrické napětí, které vznikne mezi dvěma došlapy v poli s proměnným elektrickým
potenciálem (spadlý drát vysokého napětí). Nebezpečí spočívá v tom, že elektrický potenciál se
vyrovnává průchodem elektrického proudu přes tělo člověka, který krok učinil.
Elektrický generátor (alternátor) přeměňuje kinetickou energii rotačního pohybu na energii
elektrickou ve formě střídavého proudu.
Elektrický motor je elektrický stroj, který slouží k přeměně elektrické energie na mechanickou práci.
Běžné elektrické přístroje a zařízení: žárovka (15-100) W, napětí 230 V, výbojky, „bílá elektronika“pračky, ledničky, žehličky…, spotřební elektronika televize, audio, video, počítač…, elektromotory…
Snaha o minimální spotřebu (Pozor na pohotovostní polohu!) a maximální užitečnost.
164
PŘÍKLADY:
4.2-1.
Vodičem protéká stálý proud
. Jaký je celkový náboj částic a počet elementárních nábojů,
které projdou průřezem vodiče za
.
Řešení:
Výpis veličin:
Elektrický proud je dán množstvím náboje, který projde vodičem za jednotku času:
Celkový náboj :
po dosazení:
Počet elementárních nábojů
kde
je elementární náboj
Po dosazení
.
.
Vodičem projde celkový náboj
elementárních nábojů.
4.2-2. Když byl spotřebič připojený na napětí
, protékal jim proud
vedení poklesl proud na
. Jaké bylo napětí v síti při poruše?
Řešení:
Výpis veličin:
Odpor spotřebiče je dán vztahem:
; =>
Po dosazení číselných hodnot
.
Při poruše bylo v síti napětí 121 V.
165
. Při poruše elektrického
4.2-3.
Jaké napětí je mezi dvěma body
, protéká-li drátem proud
tlustého měděného drátu, které jsou od sebe vzdáleny
?
Řešení:
Výpis veličin:
Odpor vodiče vypočítáme ze vztahu
, kde
.
Po dosazení
.
Napětí vypočítáme z Ohmova zákona
.
Dosadíme číselné hodnoty:
.
Napětí mezi body vodiče bylo
4.2-4.
.
Akumulátorová baterie má elektromotorické napětí
. Zapnutím přístroje při odběru
proudu
pokleslo svorkové napětí na
. Jakébude svorkové napětí při odběru proudu
?
Řešení:
Výpis veličin:
166
Po zapojení obvodu vznikne úbytek napětí vlivem změny vnitřního odporu akumulátorové baterie.
Důsledkem změny odporu se zmenší svorkové napětí . Úbytek napětí na vnitřním odporu
akumulátorové baterie lze vyjádři vztahem
;
.
Když obvodem poteče proud
vypočítáme podle vztahu
, svorkové napětí bude
, potom svorkové napětí
.
Po dosazení:
.
Při odběru proudu
4.2-5.
bude svorkové napětí
.
Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích elektrického obvodu (Obr. 4.2-1. A; B; C), kde
odpory jsou
;
a
a elektromotorická napětí zdrojů jsou
. Vnitřní
odpory zdrojů zanedbáme.
Obr. 4.2-1
Řešení:
Výpis veličin:
167
Pro zadané zapojení si můžeme schéma libovolně upravit; schéma zapojení na obr. 4.2-1. jsou
rovnocenná pro požadovaný výpočet (zadané schéma si můžeme libovolně překreslovat při
zachování zapojení).
Zvolíme!: a) směr ve smyčkách I. a II.; b)pravděpodobný směr toku proudu
Vyznačíme směry elektromotorických napětí
; c) uzly A a B.
.
Pro uzel A sestavíme rovnici dle 1. Kirchhoffova zákona:
.
(a)
Pro smyčku I. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona:
.
(b)
Pro smyčku II. sestavíme rovnici dle 2. Kirchhoffova zákona:
.
(c)
Poznámka: získali jsme 3 rovnice (a), (b)a (c) pro 3 neznámé
. Znaménko mínus (–) u
neznámé
udává, že orientace toku elektrického proudu je opačná, než jsme zvolili.
Dosadíme numerické hodnoty:
.
.
Z rovnice (b) vyjádříme
(b)
(c)
a z rovnice (c) vyjádříme
:
.
Dosadíme do rovnice (a) a vypočítáme
.
má opačný než námi zvolený
směr.
Proudy
vypočítáme z rovnic (b) a (c), do nichž dosadíme za proud
:
,
(b)
.(c)
Z čehož plyne:
.
Proudy v uzlu A mají tyto hodnoty:
odpovídají původní volbě, proud má opačný směr.
168
, směry proudů
Vodičem o odporu
prošel za minuty náboj
. Kolik elektronů prošlo vodičem, jaké
bylo napětí na koncích vodiče a jaký proud procházel vodičem?
4.2-6.
[
]
Vodičem délky
a průřezu
vodiče, je-li napětí na jeho koncích
4.2-7.
[
. Jak velký je měrný odpor
]
Stanovte vnitřní odpor galvanického článku s napětím naprázdno
odporem
svorkové napětí
.
4.2-8.
[
, má-li při zatížení
]
Žárovka pro napětí
a proud
se má připojit k baterii o napětí
musíme přidat do obvodu, aby se žárovka nezničila?
4.2-9.
[
. Jaký odpor
]
4.2-10.
[
Dva rezistory mají při sériovém zapojení odpor
odpory mají zapojené rezistory?
a při paralelním odpor
. Jaké
]
4.2-11.
[
prochází proud
?
Akumulátor s napětím
dodává v automobilu proud stop – světlům s odporem
,
houkačce s odporem
a reflektoru s odporem
. Jaký proud se bude celkově
z akumulátoru odebírat, jsou-li uvedené spotřebiče zapojeny paralelně?
]
4.2-12.
Stanovte hodnotu odporu
v zapojení podle obr. 4.2-2 tak, aby galvanometrem
neprocházel proud. Hodnoty napětí a odporu jsou
,
a
. Vnitřní
odpory zdrojů můžeme zanedbat.
Obr. 4.2-2
[
]
4.2-13. Vypočítejte: a) proud jdoucí odporem
polaritě napětí .Je dáno
Vnitřní odpory zdrojů zanedbáváme.
169
v síti podle obr. 4.2-3., b)při obrácené
.
Obr. 4.2-3
ů
[
]
4.2-14. V obvodu podle obr. 4.2-4. jsou zapojeny dva články o elektromotorických napětích
a vnitřních odporech
a odpory
Určete celkový proud, proudy ve větvích a svorková napětí
jednotlivých článků a baterie.
Obr. 4.2-4
[
]
4.2-15. Stanovte velikost a směr proudu procházejícího odporem
v zapojení podle obr.
4.2-5.
Hodnoty
odporů
jsou
hodnoty
elektromotorických napětí
. Vnitřní odpory zdrojů zanedbejte.
Obr. 4.2-5
[
]
4.2-16. Elektromotor byl zapojený
, elektroměr ukázal spotřebu
výkon daného elektromotoru při účinnosti
.
170
. Určete
[
]
4.2-17. Při odchodu z domu jste zapomněli vypnout
žárovku. Zbytečně svítila
. Určete hmotnost vody, která by se využitím této energie dala vyčerpat
čerpadlem s účinností
do výšky
.
[
]
4.2-18. Vlákno svítící žárovky o výkonu
při napětí
má teplotu
teplotní koeficient odporu tohoto vlákna, je-li jeho odpor za studena (při
[
. Stanovte
)
]
4.2-19. Kolik kilogramů mědi je zapotřebí k instalaci vedení tvořeného dvěma vodiči délky
, je-li napětí zdroje
, přenášený výkon
a úbytek napětí na vedení
nemá překročit
, když víme, že měrný odpor mědi je
a měrná
hustota
.
[
]
171
4.3 MAGNETICKÉ POLE A JEHO VLASTNOSTI,
MAGNETICKÉ POLE ELEKTRICKÉHO PROUDU
Magnetická indukce
Magnetická indukce ⃗⃗ je definovaná pomocí síly ⃗ působící na zkušební částici s nábojem , která
se pohybuje rychlostí ⃗ v magnetickém poli:
působící síla na částici ⃗
( ⃗
⃗)
.
Jednotkou indukce v soustavě jednotek SI je tesla (T):
Magnetická intenzita a indukce v izotropním prostředí
Vztah mezi magnetickou indukcí a intenzitou magnetického pole v izotropním prostředí je následující:
⃗⃗
⃗⃗
Hallův jev
Umístíme-li do magnetického pole ⃗⃗ vodič průřezu a šířky , kterým protéká elektrický proud ,
usadí se část nosičů náboje na bočních stranách vodiče a tím se vytvoří napětí . Polaritu
určuje
znaménko nosičů náboje. Počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče (koncentrace nosičů
náboje) lze vypočítat ze vztahu:
(síla dostředivá)
koncentrace nosičů náboje
Nabitá částice pohybující se v magnetickém poli
Nabitá částice o hmotnosti s nábojem , která se pohybuje rychlostí kolmou na indukci
homogenního magnetického pole ⃗⃗, koná rovnoměrný pohyb po kružnici. Použijeme-li Newtonova
zákona na případ rovnoměrného pohybu po kružnici, dostaneme:
Odtud můžeme určit poloměr kružnice :
Frekvence , úhlová frekvence
a perioda
pohybu jsou spojeny vztahy:
172
Ampérova síla
Na přímý vodič délky s proudem , nacházející se v homogenním magnetickém poli ⃗⃗, působí síla:
⃗
( ⃗
⃗);
Síla, kterou působí magnetické pole o indukci ⃗⃗ na element ⃗ vodiče protékaného proudem , je:
⃗
( ⃗
⃗)
Směr vektoru ⃗, resp. ⃗, je souhlasný se směrem proudu .
Moment síly působící na cívku s proudem
Na cívku protékanou proudem působí magnetické pole o indukci ⃗⃗ momentem síly ⃗⃗⃗:
⃗⃗⃗
⃗⃗
⃗
Zde ⃗ je magnetický dipólový moment cívky. Jeho směr je dán pravidlem pravé ruky a velikost je
, kde je počet závitů cívky a je obsah plochy jednoho závitu.
Potenciální energie magnetického dipólu
Magnetický dipól s momentem ⃗ má v magnetickém poli ⃗⃗ potenciální energii
orientaci ⃗vůči ⃗⃗:
, která závisí na
⃗ ⃗⃗
kde
je úhel sevřený vektory ⃗a ⃗⃗.
Hopkinsonův zákon:
Magnetický odpor:
Biotův-Savartův zákon
Magnetické pole vodiče, kterým protéká elektrický proud, můžeme určit dle Biotova-Savartova
zákona. Podle něj je magnetická indukce ⃗⃗ vytvořená elementem
ve vzdálenosti od tohoto
elementu dána vztahem:
Biotův-Savartův zákon
Zde ⃗ je vektor, který směřuje od elementu
Veličina
⃗ ⃗
⃗⃗
;
.
⃗ do bodu, v němž určujeme magnetickou indukci.
je permeabilita vakua.
Vztah můžeme přepsat do tvaru pro magnetické pole:
173
⃗ ⃗
⃗⃗
kde
;
,
jejednotkový vektor ve směru polohového vektoru.
Magnetické pole dlouhého přímého vodiče
Velikost magnetické indukce pole přímého dlouhého vodiče ve vzdálenosti
od něj je:
dlouhý přímý vodič
Magnetické pole vodiče ve tvaru kruhového oblouku
Velikost magnetické indukce ve středu kruhového oblouku vodiče se středovým úhlem
poloměrem , kterým protéká elektrický proud je:
a
ve středu kruhového oblouku
Síla působící mezi dvěma rovnoběžnými vodiči, kterými protéká proud
Rovnoběžné vodiče ( a ), kterými protéká souhlasně orientovaný proud, se vzájemně přitahují.
Mají-li proudy opačnou orientaci, vodiče se odpuzují. Velikost síly, která působí na jednotku délky
každého z vodičů, je:
kde
je vzdálenost obou vodičů,
jsou proudy tekoucí vodiči
a .
Ampérův zákon
Vztah mezi elektrickým proudem a magnetickou indukcí vyjadřuje vedle Biotova-Savartova zákona
také Ampérův zákon, který má tvar:
Ampérův zákon ∮ ⃗⃗
⃗
;∮
.
Křivkový integrál počítáme podél uzavřené orientované křivky, která se nazývá Ampérova křivka.
Proud je celkový elektrický proud, obepnutý křivkou (to je celkový proud, který prochází libovolnou
plochou mající za hranici tuto uzavřenou křivku).
Magnetické pole solenoidu a toroidu
Uvnitř solenoidu, kterým protéká elektrický proud I, je v bodech vzdálených od konce solenoidu
velikost magnetické indukce:
ideální solenoid (uvnitř)
kde
je počet závitů připadající na jednotku délky solenoidu.
174
Uvnitř toroidu s
závity je velikost magnetické indukce:
toroid
kde je vzdálenost mezi středem toroidu a bodem, v němž indukci určujeme. Vně toroidu je
magnetická indukce nulová.
Pole magnetického dipólu
Cívka, kterou protéká elektrický proud, tvoří magnetický dipól. V bodě
magnetická indukce:
ležícím na ose cívky je
magnetický dipól
kde ⃗ je dipólový moment cívky a je souřadnice bodu
na ose cívky (závitu).
PŘÍKLADY:
4.3-1.
Volný
elektron
vletí
do
homogenního
magnetického
pole
s
indukcí
rychlostí
. Směr rychlosti je kolmý na směr indukčních čar. Určete
poloměr kruhové dráhy elektronu, víte-li, že náboj elektronu je
a hmotnost
elektronu je
.
Řešení:
Výpis veličin:
Magnetické pole bude na elektron působit silou (Lorencovou), danou vztahem:
.
Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil – magnetické a
dostředivé, které působí na elektron, tj.:
kde
odtud
.
175
Po dosazení číselných hodnot:
.
Poloměr zakřivení dráhy volného elektronu v homogenním magnetickém poli je
4.3-2.
.
Nabitá částice se pohybuje rychlostí
po kružnici o poloměru
v rovině
kolmé na směr indukčních čar magnetického pole o indukci
. Pohybová energie
částice je
. Vypočítejte elektrický náboj částice a hmotnost částice.
Řešení:
Výpis veličin:
Na pohybující se částici v magnetickém poli působí síla
.
Tato síla zakřivuje dráhu elektronu. Poloměr zakřivení určíme porovnáním sil – magnetické a
dostředivé, které působí na elektron
kde
odtud
.
Hmotnost částice vyjádříme pomocí kinetické energie:
Dosadíme číselné hodnoty:
Po dosazení za
do předešlé rovnice určíme náboj :
, číselně
Elektrický náboj částice má hodnotu
.
a hmotnost částice je
176
.
4.3-3.
Vypočítejte, jaký proud poteče vodičem délky
, který je kolmý na indukční čáry
magnetického pole s indukcí
, přičemž magnetické pole působí na vodič s proudem silou
.
Řešení:
Výpis veličin:
Magnetické pole bude působit na vodič silou danou vztahem
Úpravou pro tekoucí proud dostaneme
.
Po dosazení
.
Vodičem poteče proud 25 A.
4.3-4.
Svislým vodičem
dlouhým protéká proud
. Vypočítejte sílu, jakou na vodič
s proudem působí magnetické pole Země. (Horizontální složka magnetické indukce
magnetického pole Země je
).
Řešení:
Výpis veličin:
Síla, kterou magnetické pole působí na vodič je dána vztahem
.
Po dosazení
177
Magnetické pole Země působí na vodič silou
4.3-5.
.
Vypočítejte indukci a intenzitu magnetického pole v okolí dlouhého přímého vodiče
s proudem
v kolmé vzdálenosti
.
Řešení:
Výpis veličin:
Pro indukci magnetického pole v okolí magnetického pole ve vakuu platí vztah:
.
.
Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole je následující:
.
Po dosazení:
.
Indukce sledovaného magnetického pole je
4.3-6.
. Jeho intenzita je
Vypočítejte průměr závitu, kterým protéká proud
středu je
.
Řešení:
Výpis veličin:
Magnetická indukce ve středu závitu je dána vztahem
.
Po úpravě a dosazení
178
.
, víte-li, že magnetická indukce v jeho
.
Průměr závitu bude
.
Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče
s poloměrem
protékaného proudem
.
4.3-7.
Řešení:
Výpis veličin:
,
∫
∫
,
.
Magnetická indukce je
a intenzita magnetického pole je
.
V homogenním magnetickém poli s magnetickou indukcí v horizontálním směru je kolmo na
indukční čáry uložený v horizontálním směru vodič, jehož
má tíhu
a jímž prochází
proud
. Jakou hodnotu musí mít magnetická indukce, aby uvažovaný vodič nepadal, ale
vznášel se?
4.3-8.
Řešení:
Výpis veličin:
,
I
Magnetická indukce musí mít
velikost
179
.
4.3-9.
Určete magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve středu kruhového vodiče
s poloměrem
protékaného proudem
.
[
]
4.3-10.
Dva dlouhé rovnoběžné vodiče jsou od sebe vzdálené
. Jedním prochází proud
a
druhým souhlasně orientovaný proud
. Ve kterém místě na kolmé spojnici obou vodičů
bude magnetická indukce výsledného magnetického pole nulová?
[
]
4.3-11.
Dvěma velmi dlouhými rovnoběžnými vodiči zanedbatelného průřezu umístěnými ve
vzduchu ve vzájemné vzdálenosti
procházejí elektrické proudy se stejnými hodnotami
. Vypočtěte velikost magnetické indukce v bodě, který leží uprostřed mezi vodiči,
a) procházejí-li vodiči proudy stejným směrem,
b) procházejí-li vodiči proudy navzájem opačnými směry.
[
]
180
4.4 STŘÍDAVÉ PROUDY
Obvod s rezistorem
Sériový obvod skládající se ze střídavého zdroje elektromotorického napětí(EMN) a rezistoru. Dle 2.
Kirchhoffova zákona je:
Napětí na rezistoru se mění harmonicky dle vztahu:
Fázový rozdíl pro zátěž skládající se pouze z odporu je
. Z toho vyplývá, že proud a napětí jsou
ve fázi, jejich maxima a minima nastávají ve stejných okamžicích, vztah mezi amplitudami je:
a
jsou netlumené.
Obvod s rezistorem, fázorový a časový diagram:
Odporovou zátěž nazýváme rezistance.
Obvod s kapacitou (kondenzátorem)
Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a kondenzátoru o kapacitě .
Napětí na kondenzátoru je:
kde
je amplituda napětí na kondenzátoru.
Z definice kapacity:
vyplývá, že:
181
Definujme nyní tzv. kapacitanci
kondenzátoru:
[ ]
Nahradíme li funkci
funkcí sinus:
(
)
dostaneme:
(
kde
je amplituda proudu,
předbíhá napětí o čtvrt periody.
)
(
⁄
)
je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Proud tedy
Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je:
Obvod s kapacitou, fázorový a časový diagram:
Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření elektrického pole
kondenzátoru, v další čtvrt periodě elektrické pole mizí a energie se opět do zdroje nezmenšená vrací
(ideální kapacita nezpůsobuje ztráty energie). Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný,
jen s opačnou orientací znamének.
Průměrný výkon proudu v obvodu v jedné periodě je roven nule.
182
Obvod s indukčností (cívkou)
Obvod skládající se z harmonického zdroje EMN a ideální cívky o indukčnosti L (odpor vinutí cívky
→ ).
Napětí na cívce je:
kde
je amplituda napětí na cívce.
Okamžité napětí na cívce , ve které se mění proud s rychlostí
⁄
je:
a z toho vyplývá, že:
Okamžitý proud je roven:
∫
Definujme nyní tzv. induktanci
cívky:
[ ]
Nahradíme-li funkci
funkcí sinus fázově posunutou, dostaneme:
(
kde
je amplituda proudu,
předbíhá proud o čtvrt periody.
)
⁄
(
)
je fázový rozdíl mezi proudem a napětím. Napětí tedy
Vztah mezi amplitudami napětí a proudu je:
Obvod s indukčností, fázorový a časový diagram:
183
Energie dodaná zdrojem se v první čtvrt periodě spotřebuje na vytvoření magnetického pole cívky,
v další čtvrt periodě se opět do zdroje nezmenšená vrací (ideální cívka nezpůsobuje ztráty energie).
Ve zbývajících dvou čtvrt periodách je proces stejný, jen s opačnou orientací znamének.
Průměrný výkon v obvodu v jedné periodě je roven nule (nedochází ke ztrátám energie).
Přehled výsledků řešení jednoduchých obvodů střídavého proudu
PRVEKOBVODU
rezistor
kondenzátor
cívka
SYMBOL
R
C
L
IMPEDANCE
R
FÁZE PROUDU

ve fázi s
předbíhá
o 90°

zpožděna za
⁄
FÁZOVÝ ROZDÍL
VZTAH MEZI
AMPLITUDAMI
Sériový obvod RC
Náboj při nabíjení kondenzátoru:
kde
je ustálený náboj a
je časová konstanta sériového RC obvodu.
Proud při nabíjení kondenzátoru:
Náboj při vybíjení kondenzátoru (přes rezistor):
a proud při jeho vybíjení:
( )
184
⁄
o 90°
Sériový obvod RL
Růst proudu při připojení EMN do obvodu:
kde ⁄ je ustálená hodnota proudu a
⁄ je časová konstanta sériového RL obvodu.
Pokles proudu při odpojení emn od cívky (díky odporu z ustálené hodnoty
Sériový obvod RLC
Obsahuje zdroj EMN
prochází tentýž proud:
):
a sériově zapojený odpor, cívku a kondenzátor. Všemi prvky
a okamžité napětí se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkové napětí v obvodu bylo:
Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v
obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90° (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za
fázorem proudu o 90°) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90° (fázor napětí na cívce předbíhá o
90° před fázorem proudu).
Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C.
Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem.
Dle Pythagorovy věty:
√
kde výraz ve jmenovateli na pravé straně poslední rovnice je celkový odpor série RLC (impedance) a
označujeme jej .
Pro amplitudu proudu z předchozích vztahů platí:
√
(
)
Pozn.: Veškeré vztahy odpovídají ustálenému harmonickému proudu.
Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je:
185
Je-li
má obvod induktivní charakter, je-li
má obvod kapacitní charakter a je-li
obvod je v rezonanci (napěťová rezonance pro sériový RLC obvod).
Sériový RLC obvod, fázorový diagram:
Rezonance:
Amplituda proudu v obvodu je maximální, jestliže:
√
kde
je takzvaná rezonanční úhlová frekvence. Impedance je rovna reaktanci (
).
Pozn.: Rezonanční frekvence odpovídá vlastní úhlové frekvenci (netlumených) kmitů v obvodu LC.
Platí Thompsonův vztah:
√
Paralelní obvod RLC
Obsahuje zdroj EMN
prochází totéž napětí:
a paralelně zapojený odpor, cívku a kondenzátor. Všemi prvky
a okamžitý proud vstupující do obvodu se rozdělí mezi tyto prvky tak, aby celkový proud v obvodu
byl:
186
Na rezistoru jsou napětí a proud ve fázi (fázor napětí na rezistoru má stejný směr jako fázor proudu v
obvodu), na kondenzátoru proud předbíhá napětí o 90° (fázor napětí na kondenzátoru je zpožděn za
fázorem proudu o 90°) a na cívce je proud zpožděn za napětím o 90° (fázor napětí na cívce předbíhá o
90° před fázorem proudu).
Fázor výsledného napětí je roven vektorovému součtu fázorů napětí na jednotlivých prvcích R, L a C.
Fázory na cívce a kondenzátoru mají opačnou orientaci a lze je nahradit jediným fázorem.
Výsledná okamžitá hodnota proudu v paralelním RLC obvodu je:
Amplituda proudu je:
√
(
)
√
(
)
kde výraz s odmocninou
je tzv. admitance.
Fázový rozdíl mezi napětím a proudem je:
(
)
Rezonance:
Admitance nabývá extrémních hodnot pro:
kde
je takzvaná rezonanční úhlová frekvence.
Platí Thompsonův vztah pro rezonanci:
√
Admitance je rovna vodivosti RLC obvodu, tj.:
což je tzv. proudová rezonance.
187
Paralelní RLC obvod, fázorový diagram:
Výkon v obvodech se střídavým proudem
Okamžitý výkon je dán vztahem:
z kterého po dosazení dostaneme vztah:
a tedy výkon mění periodicky svoji velikost i znaménko. Pokud jsou proud a napětí téhož znaménka,
výkon je kladný a do obvodu se přivádí proud, v opačném případě je to naopak.
Efektivní hodnota proudu
√
kde
je amplituda proudu v obvodu.
Efektivní hodnota napětí
√
kde
je amplituda napětí v obvodu.
Efektivní hodnoty jak napětí, tak proudu nám umožňují vyjádřit střední hodnotu ztrát ve střídavém
obvodu v ustáleném stavu a to ve stejném tvaru, jako pro stejnosměrné veličiny. Efektivní hodnota
188
střídavého proudu (napětí) v určitém časovém intervalu je definována jako velikost stálého
stejnosměrného proudu, který vyvine v téže době stejné teplo.
Úprava vztahů pro okamžitý výkon
kde první člen na pravé straně je složka činná, wattová (nezávislá na čase) a druhý člen je pro složku
jalovou, bezwattovou (závislou na čase). Vyjádříme-li předchozí vztah pomocí efektivních hodnot,
nabývá tvaru:
Průměrný (skutečný) výkon střídavého proudu
∫
∫
∫∫
Průměrný výkon střídavého proudu je roven součinu efektivních hodnot proudu a napětí a kosinu
fázového posunu mezi proudem a napětím. Člen
se nazývá účiník, součin
je tzv. zdánlivý
výkon.
Pro střídavé RLC obvody energii dodává generátor střídavého napětí, kdy část energie je uložena
v elektrickém poli kondenzátoru, část v magnetickém poli cívky a část spotřebovává rezistor.
V ustáleném stavu je časová střední hodnota energie v jedné periodě v cívce a kondenzátoru
konstantní. Elektromagnetická energie se přenáší jen od zdroje k rezistoru.
Napětí na rezistoru
̂
̂
Napětí na ideální cívce
̂
̂ ̂
̂ kde
√
̂
̂ ̂
̂ kde
√
Napětí na ideálním kondenzátoru
Ohmův zákon pro obvody střídavého proudu
̂
̂
kde ̂ je tzv. impedance.
189
Soustava prvků zapojených sériově
̂
∑ ̂
kde ̂ je impedance jednotlivých prvků.
Soustava prvků zapojených paralelně
̂
∑
̂
kde ̂ je impedance jednotlivých prvků.
PŘÍKLADY:
4.4-1.
Při otáčení závitu v homogenním magnetickém polije amplituda střídavého napětí
perioda
. Určete hodnotu napětí v časech 0
;
;
;
.
Řešení:
Výpis veličin
Okamžitá hodnota střídavého napětí v čase t je dána vztahem:
kde
.
Po dosazení pro uvedené časy dostáváme:
Okamžité hodnoty napětí jsou
.
190
a
4.4-2.
Ve spotřebitelské síti je efektivní napětí
. Určete amplitudu střídavého napětí.
Řešení:
Výpis veličin:
Mezi amplitudou napětí
a jeho efektivní hodnotou platí vztah:
.
√
Úpravou a po dosazení dostáváme
√
V
V.
Amplituda střídavého napětí v síti je 325 V.
4.4-3.
Ampérmetr je zapojený v obvodu se střídavým proudem a ukazuje hodnotu
hodnota střídavého proudu?
. Jaká je
Řešení:
Výpis veličin:
Mezi amplitudou napětí
√
a jeho efektivní hodnotou platí vztah:
.
Úpravou a po dosazení dostáváme
√
,
Amplituda střídavého proudu je 28,3 A.
4.4-4.
Induktance cívky v obvodě se střídavým proudem o frekvenci
jaké frekvenci bude její indukce
?
Řešení:
Výpis veličin:
191
má hodnotu
. Při
Indukčnost cívky určíme ze vztahu po induktanci
.
Jestliže indukčnost cívky se nemění, porovnáním dostáváme
po úpravě
.
Po dosazení číselných hodnot
Induktance cívky bude
4.4-5.
při frekvenci
.
Vypočítejte kapacitu kondenzátoru, když víme, že v obvodu střídavého proudu o frekvenci
byla jeho kapacitance stejně veliká jako induktance cívky s indukčností
.
Řešení:
Výpis veličin:
Pro kapacitanci
a induktanci
a
platí vztahy
.
Porovnáním dostáváme
a upravíme
.
Po dosazení číselných hodnot.
,
Kapacita kondenzátoru je
4.4-6.
Žárovku se jmenovitými hodnotami napětí a proudu
a
chceme připojit ke zdroji
střídavého napětí
o frekvenci
pomocí tlumivky (cívky) zapojené se žárovkou
do série. Určete indukčnost tlumivky (odpor zanedbejte).
Řešení:
192
Výpis veličin:
Pro napětí v obvodu platí
ž
je napětí na tlumivce.
kde
Induktance tlumivky
√
Odtud
√
Po číselném dosazení
√
Indukčnost tlumivky je
4.4-7.
,
.
Elektrický motor při napětí
a proudu
odebral z elektrické sítě za dobu
hodiny energii
. Určete činný příkon ; účiník
; jalový výkon spotřebiče .
[
]
4.4-8.
[
Jaké musí být hodnoty elektrického odporu , kapacity a vlastní indukčnosti L v sériovém
RLC obvodě, aby se obvod choval jako: a) elektrický odpor
b) ideální
kondenzátor o kapacitě
c) bezodporová cívka s vlastní indukčností
?
→
→ ]
193
ELEKTROMAGNETICKÁ INDUKCE,
4.5
ENERGIE MAGNETICKÉHO POLE
Magnetický indukční tok
Magnetický indukční tok
plochou v magnetickém poli ⃗⃗ je definován vztahem:
magnetický indukční tok
∮ ⃗⃗
⃗
v němž se integruje přes uvažovanou plochu. Jednotka magnetického indukčního toku v jednotkách
SI je weber,
. Je-li pole B kolmé k uvažované ploše a je-li homogenní, zjednoduší se
předešlý vztah na tvar:
⃗⃗
⃗ ⃗⃗je homogenní
Faradayův zákon elektromagnetické indukce
Mění-li se v čase magnetický indukční tok
plochou ohraničenou uzavřenou vodivou smyčkou,
vytvoří se ve smyčce elektromotorické napětí (EMN) a proud. Tento děj se nazývá elektromagnetická
indukce. Indukované elektromotorické napětí má hodnotu:
Faradayův indukční zákon
Nahradíme-li smyčku hustě navinutou cívkou o
závitech, pak indukované EMN je:
indukované EMN v cívce
Kvantitativní vyjádření Faradayova zákona
Uvažujme dva rovnoběžné vodiče připojené k voltmetru v homogenním magnetickém poli kolmo
k indukčním čarám, jejichž vzájemná vzdálenost je . Po těchto vodičích se příčně rychlostí
⃗ pohybuje další vodič a na volné nosiče náboje ve vodiči působí magnetická síla, která způsobuje
pohyb elektronů ve vodiči. Elektrony se ve vodiči tedy pohybují, jako kdyby byly v elektrickém poli o
intenzitě ⃗⃗ Indukuje se tedy elektrické pole. Konfigurace popisovaného děje je na následujícím
obrázku.
Obr. 4-5.0 Konfigurace pro kvalitativní vyjádření Faradayova zákona.
194
Při pohybu vodiče působí na každý volný elektron ve vodiči síla:
⃗
(⃗
⃗⃗)
Toto silové působení je ekvivalentní působení elektrického pole o intenzitě:
⃗⃗
Intenzita
⃗
tohoto indukovaného elektrického pole je rovna potenciálovému spádu:
Z toho vyplývá, že:
Následně mohou nastat dva obecné případy:
a) Vodič se pohybuje stálou rychlostí:
a indukované napětí je tedy:
b) Vodič se pohybuje nerovnoměrnou rychlostí, tj.:
a indukované napětí je tedy:
Což je Faradayův zákon elektromagnetické indukce. Indukované elektromotorické napětí se
tedy rovná (jak již bylo zmíněno výše) časové změně indukčního toku procházejícího plochou
vymezenou obvodem.
Indukovaný proud
Uzavřeným vodičem, na kterém se indukovalo elektromotorické napětí, prochází indukovaný
elektrický proud.
Lenzův zákon (Lenzovo pravidlo)
Indukovaný proud má takový směr, aby jeho magnetické pole brání změně magnetického pole, která
tento proud vyvolává.
Přímý vodič: Flemingovo pravidlo pravé ruky
„Položíme ruku nad vodič tak, aby indukční čáry vstupovaly do dlaně a odchýlený palec ukazoval
směr pohybu vodiče, pak prsty ukazují směr indukovaného proudu.“
195
Indukované elektrické pole
Indukované EMN je vytvořeno v čase se měnícím magnetickým indukčním tokem, a to i když smyčka,
uvnitř níž se tok mění, není skutečný vodič, ale jen myšlená uzavřená křivka. Měnící se indukční tok
indukuje elektrické pole ⃗⃗ v každém bodě takové křivky, a to bez ohledu na to, zda se tento bod sám
nachází v magnetickém poli či nikoli (podstatné je, že se mění tok magnetického pole plochou, na
jejímž obvodu bod leží). Indukované EMN se váže k ⃗⃗ vztahem:
∮ ⃗⃗
⃗;
∮
,
kde se integruje podél myšlené uzavřené křivky. S užitím této rovnice můžeme Faradayův zákon psát
v nejobecnějším tvaru:
Faradayův zákon
∮ ⃗⃗
⃗
Podstata tohoto zákona je, že měnícím se magnetickým indukčním tokem
elektrické pole ⃗⃗ .
⁄
se indukuje
Smyčka v homogenním magnetickém poli
Indukční tok, který prochází plochou smyčky je roven:
kde
je úhel mezi normálou k ploše smyčky a směrem vektoru magnetické indukce.
Při otáčení smyčky se magnetický tok mění, a tedy dochází k indukci EMN dle rovnice:
Pro konstantní
platí:
kde
je maximální hodnota indukovaného elektromotorického napětí – amplituda napětí
vztah můžeme psát ve tvaru:
a
Cívka a indukčnost
Cívka (induktor) je zařízení, kterým můžeme vytvořit magnetické pole v jisté oblasti. Teče-li elektrický
proud každým z N závitů cívky, sčítá se jejich magnetický tok . Indukčnost cívky pak je:
definice indukčnosti
Jednotkou indukčnosti v jednotkách SI je henry (H):
196
Indukčnost připadající na jednotku délky dlouhého solenoidu, který má průřez a
jednotku délky l (to je v oblasti, kde se neuplatní rozptyl na koncích), je:
závitů na
solenoid
Vlastní indukce (samoindukce)
Mění-li se proud v cívce s indukčností , indukuje se v ní EMN. Toto indukované EMN je:
Směr najdeme pomocí Lenzova zákona: indukované elektromotorické napětí brání změně, která
jej vyvolává. Sama velikost proudu nemá vliv na indukované EMN, závisí pouze na rychlosti změny
proudu v cívce. Indukované EMN má opačnou polaritu vzhledem k EMN zdroje.
Vlastní indukčnost jednotlivých cívek závisí na jejich tvaru, rozměrech a magnetických vlastnostech
prostředí.
Vlastní indukčnost solenoidu
Solenoid délky o přůřezu mající
kde
závitů vytvoří při průchodu proudu vinutím indukční tok
je počet závitů na jednotku délky solenoidu.
Jelikož pro pole uvnitř solenoidu platí:
je indukčnost rovna:
Sériový obvod RL
Připojíme-li zdroj konstantního EMN do obvodu s rezistorem o odporu a cívkou o indukčnosti ,
pak proud roste (exponenciálně se blíží) do ustálené (stacionární) hodnoty ⁄ podle vztahu:
⁄
růst proudu
⁄ určuje rychlost růstu proudu a nazývá se časová konstanta -obvodu. Odpojíme-li
kde
zdroj konstantního EMN, klesá (exponenciálně) proud z hodnoty k nule podle vztahu:
pokles proudu
⁄
⁄
197
Jevy vlastní indukce se projevují při zapnutí a vypnutí proudu (sepnutí a přerušení obvodu). Při
sepnutí spínače se nejprve vytváří magnetické pole v okolí vodiče a proud tedy nenabývá okamžitě
své maximální hodnoty. K indukci EMN dochází vlivem vlastní indukce a okamžitá hodnota
elektromotorického napětí v obvodu je:
Vzájemná indukčnost
Jsou-li dvě cívky (označené 1 a 2) blízko sebe, pak proměnný proud v jedné z nich indukuje EMN ve
druhé cívce. Tato vzájemná indukce je vyjádřena vztahy:
kde
(
(měřená v henry) je vzájemná indukčnost daného uspořádání cívek
a proto tedy můžeme rovnice zapsat výše uvedeným způsobem).
Energie magnetického pole
Magnetická energie odpovídá práci nutné ke vzniku magnetického pole, která se při jeho zániku
uvolní. Pokud uvažujeme jednoduchý obvod s cívkou o indukčnosti , tak v důsledku vlastní indukce
se v obvodu indukuje EMN:
Celkové EMN v obvodu tedy je:
Práce elektrického proudu za čas
:
(
)
kde první výraz na pravé straně rovnice je energie dodaná zdrojem a druhý je energie spotřebovaná
na vytvoření mag. pole.
Teče-li cívkou o indukčnosti
proud , má vzniklé magnetické pole celkovou energii:
mag. energie cívky
∫
pro
Vztah neplatí pro cívky s feromagnetickým jádrem, neboť zde je indukčnost funkcí
protékaného proudu (
).
Je-li B velikost magnetické indukce v libovolném bodě, je hustota energie magnetického pole v tomto
bodě rovna:
198
hustota energie mag. pole
(vakuum)
PŘÍKLADY:
4.5-1.
Magnetická indukce homogenního magnetického pole je
. Vypočítejte magnetický
indukční tok kruhovou plochou o poloměru
pro případ, že svírá se směrem
indukce úhel .
Řešení:
Výpis veličin:
Magnetický indukční tok je dán vztahem
,
kde α je úhel, který svírá normála plochy s vektorem magnetické indukce, proto
.
Po úpravě
,
po dosazení číselných hodnot
Magnetický indukční tok danou plochou je
4.5-2.
V homogenním magnetickém poli s intenzitou
se kolmo na indukční čáry
pohybuje vodič délky
rychlostí
. Vypočítejte, jaké napětí se indukuje na
vodiči, víte-li, že
.
Řešení:
Výpis veličin:
199
Indukované napětí je dáno vztahem
.
Vztah mezi indukcí a intenzitou magnetického pole ve vakuu je
Po úpravě
,
a po číselném dosazení
Na vodiči se indukuje napětí
4.5-3.
.
Kolik závitů musíme navinout na papírový válec o průměru
měla indukčnost
Řešení:
Výpis veličin:
Pro jeden závit platí vztah
Pro N závitů je
z toho
.
Do vztahu dosadíme:
, potom
,kde
je plošný obsah průřezu cívky.
Úpravou získáme
200
a délce
, aby cívka
√
,
Dosazením číselných hodnot získáme
√
Musíme navinout 955 závitů.
4.5-4.
Vypočítejte energii magnetického pole válcové cívky, jenž má 500 závitů, délku
poloměr
. Cívkou protéká proud
.
a
Řešení:
Energie magnetického pole je dána vztahem
.
Za
dosadíme vztah
a tím získáme výraz
.
Dosazením číselných hodnot dostáváme
m
m
Energie magnetického pole cívky je
4.5-5.
A
J
.
Vypočítejte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti
velmi dlouhého vodiče, kterým protéká proud
.
201
od
Obr. 4-5.1
Řešení:
Výpis veličin:
Vyjdeme z definice pro magnetickou indukci
⃗⃗
∫
d⃗
⃗
Můžeme uvažovat nekonečně dlouhý vodič viz. obr. 4.5-1.
V souladu s tímto obrázkem, můžeme psát
∫
, odtud
Potom hodnota magnetické indukce je
∫
∫
Po dosazení číselných hodnot dostáváme
Intenzita magnetického pole v místě A bude
202
d
sin
Indukce je
a intenzita magnetického pole je
nákresnu v bodě A jejích orientace je ve směru za nákresnu.
. Jsou kolmé na
Nejnápadněji se jevy vlastní indukce projevují při spojení spínače nebo přerušení proudu.
Vyjádřete matematicky nárůst proudu při zapojení elektromotorického napětí do sériového
obvodu s cívkou o indukčnosti a činném odporu .
4.5-6.
Řešení:
Po zapojení
do obvodu se v cívce vlivem vlastní indukce indukuje elektromotorické napětí
d
d
,
celkové elektromotorické napětí v obvodu bude
.
Při odporu R prochází obvodem proud
Za předpokladu, že
můžeme diferenciál
,
vyjádřit ve tvaru
Proto můžeme psát
.
Po integraci dostáváme
,
kde
je integrační konstanta. Její hodnotu určíme z počátečních podmínek – pro
, tedy
ln
je
ln
Platí tedy
ln
a odtud pro časový průběh proudu vyjádříme
(
).
Po zapojení elektromotorického napětí do obvodu, má proud v obvodu časový průběh daný vztahem
(
).
203
Přímý vodič délky
, kterým protéká proud
je umístěn v magnetickém poli
s indukcí
, kolmo na její směr. Jaká síla působí na vodič?
4.5-7.
[
]
Vodič délky
se pohybuje kolmo na směr homogenního magnetického pole s indukcí
a kolmo na směr své délky rychlostí
. Určete elektromotorické napětí, které
se ve vodiči indukuje?
4.5-8
[
]
Cívkou, která má 100 závitů s vlastní indukčností
indukční tok procházející plochou jednoho závitu.
4.5-9.
[
. Určete
]
4.5-10.
[
, protéká proud
Jak veliká je energie magnetického pole cívky o 2500 závitech s průměrem
při průchodu proudu
?
]
204
a délkou
5. OPTIKA A MODERNÍ FYZIKA
5.1. SVĚTLO JAKO ELEKTROMAGNETICKÉ VLNĚNÍ
Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát:
Světlo je elektromagnetické vlnění o vlnových délkách ve vakuu cca 380–760 nm (viditelných
lidským okem). Jak plyne z Maxwellových rovnic, je to vlnění příčné, v němž vektory ⃗⃗ a ⃗⃗ intenzity
elektrického a magnetického pole jsou vždy kolmé na směr ⃗⃗, kterým se vlnění šíří.
Vakuem se světlo šíří konstantní rychlostí c = 2,99792458108 ms-1. Rychlost světla ve vakuu je
největší mezní rychlostí, kterou se mohou pohybovat hmotné objekty (velikost rychlosti světla ve
vakuu nezávisí na žádné jiné fyzikální veličině, je to tzv. univerzální fyzikální konstanta). Platí obecný
vztah pro souvislost mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny:
. Různé
frekvence světla vnímáme jako různé barvy, bílé světlo vzniká jejich složením.
Frekvence světla je určena zdrojem světla a nezávisí na prostředí, kterým se světlo šíří. V látkovém
optickém prostředí je fázová rychlost světla nižší než ve vakuu a závisí nejen na fyzikálních
vlastnostech tohoto prostředí, ale i na frekvenci světla (disperze). Úměrně tomu se zkracuje i vlnová
délka vlny. Index lomu n daného prostředí definujeme jako podíl fázové rychlosti monofrekvenční
⁄ .
světelné vlny ve vakuu a fázové rychlosti světelné vlny téže frekvence v daném prostředí
Index lomu vzduchu je velmi blízký jedné.
Vektory ⃗⃗ a ⃗⃗ jsou kolmé i na sebe navzájem a ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ a ⃗⃗ tvoří pravotočivý systém. Protože i poměr
velikostí vektorů elektrické a magnetické intenzity je v daném prostředí stálý, obvykle stačí vlnu
reprezentovat jen jedním z těchto dvou vektorů, např. pomocí elektrické intenzity. Rovinnou vlnu
postupující ve směru osy lze zapsat např.
⃗⃗
kde
0
je amplituda elektrické intenzity,
0 ⃗sin
2
0
2 ⁄ a
0
počáteční fáze.
Obr.5.1-1
Tato vlna je tzv. lineárně polarizovaná ve směru osy x, protože vektor elektrické intenzity kmitá stále
v tomto směru (jako na obrázku 5.1-1). Koncový bod vektoru ⃗⃗ se při pohledu ke zdroji pohybuje po
úsečce na ose x. Vlna lineárně polarizovaná ve směru osy y by byla např.
205
⃗⃗
0 ⃗sin
0
Vlna s sebou nese energii, která se přenáší ve směru vektoru šíření ⃗⃗, okamžitou hustotu toku energie
vyjadřuje tzv. Poyntingův vektor ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . Např. pro rovinnou lineárně polarizovanou vlnu ve
vakuu je jeho časová střední hodnota neboli intenzita světla
〈 〉
1
2
2
0 0
To udává průměrný výkon přenesený jednotkovou plochou, jíž vlna prochází. Obecněji bývá světlo
polarizované elipticky (viz obr. 5.1-2), koncový bod vektoru ⃗⃗ při pohledu ke zdroji opisuje elipsu.
Obr. 5.1-2
Obr. 5.1-3
206
Dalším speciálním případem je polarizace kruhová (obr. 5.1-3), kdy opisuje kružnici. Otáčí-li se
vektor ⃗⃗ při pohledu do zdroje ve směru hodinových ručiček, hovoříme o pravotočivé polarizaci,
otáčí-li se v opačném směru, jedná se o polarizaci levotočivou. Světlo může být také nepolarizované,
pokud se směr kmitání ⃗⃗ náhodně mění.
K částečné polarizaci dochází odrazem, přičemž úplně polarizováno je světlo, které dopadá na
⁄
odraznou plochu pod Brewsterovým úhlem (vůči normále k rozhraní), pro nějž platí
B
Odražené světlo je polarizováno tak, že vektor ⃗⃗ kmitá kolmo k rovině dopadu. Při lomu světla
nastává polarizace částečná.
K polarizaci nebo stáčení polarizační roviny dochází i při průchodu některými optickými prostředími
(nerosty, plasty pod mechanickým napětím, cukerný roztok apod.). K cílené polarizaci světla se
používají polarizační filtry. Po průchodu ideálním lineárním polarizačním filtrem je světlo zcela
lineárně polarizováno v daném směru, přičemž pokud na něj dopadá světlo lineárně polarizované
v jiném směru, jeho amplituda a intenzita je dána Malusovým zákonem:
neboli
, kde je úhel mezi oběma polarizačními směry.
Obr. 5.1-4
PŘÍKLADY:
5.1-1. Jako viditelné spektrum se přibližně udává rozsah frekvencí 400–790 THz. Jaké jsou
odpovídající vlnové délky světla ve vakuu a ve skle o indexu lomu přibližně =1,5? Jakou
rychlostí se světlo tímto sklem šíří?
Řešení:
Využijeme vztah mezi fázovou rychlostí, vlnovou délkou a frekvencí vlny:
vlnovou délku máme pro vakuum (a přibližně i vzduch) hodnotu
a pro druhou
207
. Odtud pro první
Viditelné světlo má ve vzduchu vlnové délky v rozmezí od 380 nm (fialová) do 750 nm (červená).
⁄ a ve stejném poměru se zkrátí i vlnová délka
Ve skle se sníží rychlost šíření světla v poměru
⁄ Rychlost šíření světla sklem tedy bude
(frekvence se nemění),
15
a vlnové délky
1
1
750 nm
15
21
500 nm
2
380 nm
15
253 nm
Poznámka: Ve skutečnosti se index lomu pro různé vlnové délky světla mírně liší, tomuto efektu se
budeme věnovat v následující podkapitole.
5.1-2. Jaká je amplituda vektoru elektrické intenzity lineárně polarizovaného paprsku laserového
zaměřovače ve vzduchu, je-li průměr svazku 2 mm a udávaný výkon 2,8 m ? Pro
jednoduchost předpokládejte rovnoměrné rozložení toku energie celým průřezem svazku.
Řešení:
Intenzitu vypočteme podle vztahu
3108 ms-1 a permitivita
⁄ je průřez svazku.
výkon a
Odtud
kde rychlost světla ve vzduchu je přibližně c =
⁄ , kde je
. Současně z definice
√
√
√
a po dosazení
√
0
8 2 8 10
8 85 10
12
3
V m
3 14
1
820 V m
1
Amplituda vektoru elektrické intenzity ve svazku je přibližně
5.1-3. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln o stejné amplitudě
, postupujících ve směru osy , kde
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
(
1
2
)
Řešení:
⃗⃗ V našem případě se jedná
V každém bodě se intenzity obou vln sčítají ⃗⃗ ⃗⃗
o skládání kolmých kmitů - ve směru osy a ve směru osy :
(
)
Vyloučením času, umocněním obou rovnic na druhou a jejich následným sečtením dostaneme
v obou případech rovnici kružnice
. Jedná se tedy o kruhově polarizovanou
vlnu (pro kladné znaménko pravotočivou a pro záporné levotočivou).
208
Poznámka: Kruhové polarizace využívají mimo jiné některá 3D kina a 3D televizory.
Promítají zdvojený obraz, odlišující se polarizací. Bez brýlí vnímáme oba obrazy současně a
místo prostorového vnímání máme spíše dojem rozmazaného snímku. Polarizační brýle pro
tento typ projekce však propouštějí ke každému oku buď pouze levotočivě, nebo pouze
pravotočivě polarizované světlo, každé oko tak vidí jen obraz, který je mu určen, a vzniká tak
prostorový vjem.
5.1-4.* Některá kina či TV technologie pracují s lineárně polarizovaným světlem ve dvou na
sebe kolmých směrech, jiná se světlem kruhově polarizovaným. Ukažte, že při použití
lineárních polarizačních brýlí u 3D televizoru založeného na kruhové polarizaci
nedosáhnete žádného žádoucího efektu.
Řešení:
Pro jednoznačnost předpokládejme šíření ve směru osy . V předchozí úloze jsme viděli, že
kruhově polarizované světlo lze vyjádřit jako součet dvou kolmo na sebe lineárně
polarizovaných vln o stejné amplitudě, fázově posunutých o
. Vzhledem k symetrii lze
tyto dva kolmé směry zvolit v rovině kolmé na směr šíření libovolně. Pro určení intenzity po
průchodu polarizátorem zvolíme osu (směr ⃗ do směru jednoho polarizátoru, třeba toho pro
levé oko, a osu (směr ⃗ do směru druhého, pro pravé oko. Pro pravotočivou vlnu
dostaneme:
⃗⃗
⃗
⃗
(
)
podle Malusova zákona projde levým polarizátorem pouze vlna popsaná první částí výrazu,
protože úhel mezi rovinou kmitu a směrem polarizátoru je pro ni nulový, prošlá vlna bude
popsána rovnicí ⃗⃗
⃗
Pro druhou část je
, takže vůbec neprojde.
Pravým polarizátorem projde naopak pouze druhá část, tj. ⃗⃗
Pro levotočivou vlnu analogicky dostaneme:
⃗⃗
⃗
⃗
(
⃗
(
)
)
Levým polarizátorem v ose projde ⃗⃗
⃗
pravým polarizátorem v ose
projde ⃗⃗
⃗
(
) Pro obě kruhové polarizace budou lineárně
polarizované brýle propouštět k oběma očím stejně, uvidíme „zdvojený“ obraz stejně jako bez
brýlí, pouze temnější.
5.1-5. Jaká je frekvence světla červeného laserového ukazovátka o vlnové délce 633 nm a
zeleného o vlnové délce 532 nm?
[474 THz, 564 THz]
5.1-6. Zvýšení kapacity záznamových médií je podmíněno použitím dostatečně krátké vlnové délky
světla pro jejich čtení. Jaké jsou vlnové délky záření používaného přehrávači CD, DVD a Bluray disků, víte-li, že jejich frekvence jsou 385 THz, 462 THz a 741THz?
[780 nm, 650 nm, 405 nm]
5.1-7. Jakou rychlostí se šíří světlo sodíkové výbojky s vlnovou délkou 589,3 nm destilovanou vodou
o indexu lomu
1 332 a 30% cukerným roztokem o indexu lomu 1,381? Jaká je vlnová
délka tohoto světla, prochází-li jeho paprsek destilovanou vodou a roztokem?
Poznámka: Rozdílného indexu lomu cukerného roztoku v závislosti na jeho koncentraci
využívají mimo jiné i potravinářské refraktometry.
209
[
2 251 108 m s
1
2 171 108 m s
1
442 4 nm
426 7 nm]
5.1-8. Některé laserové měřiče vzdálenosti pracují na principu měření zpoždění paprsku odraženého o
zaměřovaný předmět. Jaké časové zpoždění bude mít puls červeného světla o vlnové délce 660
nm, odrazí-li se o 6 m vzdálený objekt zpět do přístroje? Kolikanásobek své vlnové délky
urazí?
[
,
1,8 107 ]
5.1-9. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy
⃗⃗
, kde ⃗⃗
⃗
⃗
[Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 45° vůči kladné poloose
i ]
5.1-10. Co vznikne složením dvou lineárně polarizovaných rovinných vln, postupujících ve směru osy
, kde
⃗⃗
⃗⃗
⃗
⃗
[Lineárně polarizovaná vlna, skloněná o 90° vůči předchozímu řešení]
5.1-11. Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu
vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu
dopadajícího svazku o úhel 2 ?
[Obě budou nulové]
5.1-12. Jak se změní amplituda a intenzita lineárně polarizovaného laserového svazku po průchodu
vysoce účinným polarizátorem, jehož polarizační rovina je pootočena vůči rovině kmitu
dopadajícího svazku o úhel 4 ?
[
⁄√ a
⁄ ]
5.1-13.* Co pozorujeme, pokud při 3D projekci založené na lineárně polarizovaném světle nakloníme
hlavu s polarizačními brýlemi na stranu o 45 ?
[Podobně jako u příkladu 5.1-4.* zdvojený obraz, s intenzitou poloviční než bez brýlí]
5.1-14. Pod jakým úhlem musí dopadat sluneční paprsky na kaluž na vodorovné silnici, aby odražené
světlo bylo lineárně polarizované v horizontálním směru (tento směr blokují nasazené
polarizační sluneční brýle, viz obrázek 5.1-4)? Index lomu vody je =1,332.
[
53°6 ]
210
Obr. 5.1-4
5.2. GEOMETRICKÁ OPTIKA
Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát:
V geometrické optice nezohledňujeme vlnové vlastnosti světla, v homogenním prostředí
předpokládáme jeho přímočaré šíření reprezentované paprskem. Úhel dopadu paprsku na rozhraní
dvou prostředí měříme vždy mezi dopadajícím paprskem a normálou k rozhraní. Tyto dva směry
určují rovinu dopadu. Dopadající paprsek se částečně odráží a částečně láme do nového prostředí,
přičemž odražený i lomený paprsek leží v rovině dopadu. Úhel odrazu a úhel lomu vztahujeme k téže
normále k rozhraní.
Úhel odrazu
Úhel lomu
kde
1
a
2
je roven úhlu dopadu
je dán Snellovým zákonem
jsou indexy lomu prvního a druhého prostředí.
Je-li 1 < 2 , tj. první prostředí je tzv. opticky řidší než druhé, jedná se o lom ke kolmici,
Je-li
, viz
1 > 2 , tj. první prostředí je tzv. opticky hustší než druhé, jedná se o lom od kolmice,
⁄
obrázek 5.2-1. V tom případě může pro úhly, pro něž
1
nastat tzv. totální odraz
(dopadající paprsek se vůbec nedostává do druhého prostředí a celý se odráží). Úhel m , pro nějž platí
1⁄ , se nazývá mezním úhlem.
m
Obr. 5.2-1
Rozklad světla (disperze) – index lomu světla je mírně závislý také na jeho vlnové délce. Tento jev
se nazývá disperze, protože za určitých podmínek může vést k rozkladu světla na jeho jednotlivé
barevné složky.
211
Při tzv. normální disperzi je index lomu světla o nižší frekvenci nižší než světla vyšší frekvence, např.
paprsek červené barvy se takovým prostředím šíří rychleji než paprsek barvy fialové. Při šikmém
dopadu paprsku bílého světla na rozhraní dvou prostředí se nejméně odchyluje červená barva,
následně pak žlutá, zelená, modrá, indigo a nejvíce barva fialová (viz obrázek 5.2-2). Typickým
příkladem tohoto jevu je duha.
Optické prvky
Obr. 5.2-2
Odrazu a lomu paprsků využívají různé optické prvky. Nejjednodušším je rovinné zrcadlo, pro které
platí jednoduchý zákon odrazu. Totéž platí u kulových zrcadel dutých (konkávních), kde odraznou
plochu tvoří vnitřní část povrchu, a vypuklých (konvexních), kde odraznou plochu tvoří vnější
povrch koule. Jak u zrcadel, tak u čoček budeme uvažovat pouze zobrazení paprsky jdoucími blízko
optické osy (v tzv. paraxiálním prostoru). U čoček budeme dále předpokládat zjednodušený model
tzv. tenké čočky.
Základní pojmy u zrcadel: střed křivosti optické plochy , její poloměr křivosti značíme r;
optická osa – osa procházející středem křivosti, protíná zrcadlo v tzv. vrcholu zrcadla.
Ohnisko předmětové splývá s obrazovým a leží na optické ose v polovině mezi středem a vrcholem
⁄ . Vzdálenost předmětu
zrcadla, jeho vzdálenost od vrcholu nazýváme ohnisková vzdálenost,
od vrcholu zrcadla nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme , vzdálenost obrazu od vrcholu
zrcadla nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme . Velikost předmětu značíme , velikost
⁄ .
obrazu . Zvětšení
Obraz určitého bodu předmětu hledáme jako průsečík jím procházejících význačných
paprsků (viz obr. 5.2-3):
1.
2.
3.
paprsek jdoucí středem křivosti se odráží zpět do středu křivosti,
paprsek jdoucí ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou,
paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do ohniska.
Obr. 5.2-3
212
Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká skutečný (reálný) obraz (lze zachytit na stínítko). Pokud se
neprotnou, prodloužíme je v opačném směru, v jejich průsečíku pak vzniká zdánlivý (virtuální)
obraz (nelze zachytit na stínítko, ale může sloužit jako předmět pro další optické zobrazení).
Pro výpočty používáme následující znaménkovou konvenci:
1.
ohnisková vzdálenost u dutého zrcadla je
, u vypuklého
2.
předmětová a obrazová vzdálenost jsou kladné, jsou-li před zrcadlem, záporné za
zrcadlem,
3.
předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost
obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený,
4.
zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li
převrácený (a reálný).
Při dodržení znaménkové konvence platí Gaussova zobrazovací rovnice
Čočky jsou průhledná, stejnorodá tělesa ohraničená dvěma opticky hladkými plochami, na nichž
dochází k lomu světla. Rozlišujeme spojky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem čočkou mění
na sbíhavý) a rozptylky (rovnoběžný svazek paprsků se průchodem rozptylkou mění na rozbíhavý).
Základní pojmy u tenkých čoček: Průsečík hlavní roviny s optickou osou , předmětové ohnisko
a obrazové ohnisko leží ve stejné ohniskové vzdálenosti od hlavní roviny čočky, tato
vzdálenost je dána tvarem čočky a indexem lomu čočky a okolí. Vzdálenost předmětu od hlavní
roviny čočky nazýváme předmětovou vzdáleností a značíme , vzdálenost obrazu od hlavní roviny
čočky nazýváme obrazovou vzdáleností a značíme . Velikost předmětu značíme , velikost obrazu
⁄
⁄ .
. Zvětšení
Obraz určitého bodu předmětu opět hledáme jako průsečík jím procházejících význačných
paprsků (viz obr. 5.2-4 pro příklad spojné čočky, pro rozptylku by byla poloha ohnisek
opačná):
1.
2.
3.
paprsek jdoucí průsečíkem hlavní roviny a optické osy prochází přímo,
paprsek jdoucí předmětovým ohniskem se odráží rovnoběžně s optickou osou,
paprsek jdoucí rovnoběžně s optickou osou se odráží do obrazového ohniska.
Obr. 5.2-4
Pokud se tyto paprsky protnou, vzniká reálný obraz; pokud se neprotnou, prodloužíme je v opačném
směru, v průsečíku jejich prodloužení pak vzniká zdánlivý obraz. Pro výpočty opět používáme
následující znaménkovou konvenci:
213
1.
ohnisková vzdálenost u spojné čočky je
, u rozptylky
2.
předmětová vzdálenost jekladná před čočkou (v předmětovém prostoru), záporná za
čočkou, obrazová je kladná za čočkou (v obrazovém prostoru), záporná před čočkou.
3.
předmět předpokládáme vzpřímený a jeho velikost bereme jako kladnou, velikost
obrazu je kladná, je-li také vzpřímený, a záporná, je-li převrácený,
4.
zvětšení je tedy kladné, je-li obraz vzpřímený (je současně zdánlivý), záporné, je-li
převrácený (a reálný).
Při dodržení znaménkové konvence opět platí Gaussova zobrazovací rovnice.
Optická mohutnost čočky
⁄ (včetně znaménka, používá se např. v oční optice).
Optické soustavy
Optické soustavy jsou tvořeny několika optickými prvky. Nejběžněji používanými jsou oko a lupa,
případně čočky brýlí, objektiv fotoaparátu či kamery, mikroskop, dalekohled. Oko má čočku
proměnné optické mohutnosti (pro zdravé oko od cca 60 dioptrií pro volné po cca 70 dioptrií pro
maximálně akomodované oko). Při určování zvětšení přístrojů se porovnávají zorné úhly nezvětšeného
objektu a jeho obrazu po zobrazení danou soustavou. U blízkých předmětů se předpokládá jejich
poloha pro porovnání v tzv. zrakové konvenční vzdálenosti
od oka. Úhlové zvětšení
lupy, dalekohledu či mikroskopu γ definujeme pomocí zvětšení zorného úhlu α na úhel α´, tj.
Při pozorování lupou je předmět mezi ohniskem a hlavní rovinou spojné čočky, nebo přímo v
Obr. 5.2-5
ohnisku, vzniká tak zdánlivý zvětšený a přímý obraz (jako na obrázku 5.2-5), který následně oko
promítá na sítnici.
214
Obr. 5.2-6
Za všechny typy dalekohledů uveďme alespoň typ Keplerův, který byl základní součástí prvních
teodolitů a v upravené formě se zde používá dodnes. Sestává ze dvou spojných čoček, přičemž
obrazové ohnisko první čočky splývá s předmětovým ohniskem druhé čočky (Keplerův dalekohled při
zobrazení velmi vzdáleného předmětu, např. hvězd, je na obrázku 5.2-6). Obraz je při pozorování
Keplerovým dalekohledem převrácený.
Mikroskop sestává také ze dvou spojných čoček, přičemž obraz předmětu za objektivem vzniká
v ohnisku okuláru (případně mezi okulárem a jeho předmětovým ohniskem, ovšem velmi blízko
k ohnisku). Okulárem jej pak pozorujeme jako lupou. Optický interval  je vzdálenost mezi
obrazovým ohniskem objektivu a předmětovým ohniskem okuláru (viz obrázek 5.2-7).
Obr. 5.2-7
PŘÍKLADY:
5.2-1. Jaký úhel spolu budou svírat fialový a červený paprsek z okrajů viditelného spektra po
průchodu prvkem tvaru poloviny válce (jako na obrázku 5.2-2), dopadá-li na něj svazek ze
vzduchu pod úhlem
a materiál je tvořen vysoce disperzním sklem SF5, případně
nízko disperzním fluoridem kalcia? Pro SF5 je index lomu při 380 nm:
a pro
215
780 nm:
780 nm:
Pro CaF2 je index lomu při 380 nm:
a pro
Řešení:
Index lomu vzduchu je přibližně roven jedné, index lomu optického prvku označme
zákona lomu bude úhel lomu
arcsin (
Podle Snellova
)
Po dosazení pro SF5 dostaneme:
(
)
(
)
(
)
(
)
takže rozdíl mezi nimi je
takže rozdíl mezi nimi je
neboli 57,9´, obdobně pro CaF2 dostaneme
(
)
(
)
(
)
(
)
neboli 16,8´.
5.2-2. Jak velký obraz vznikne a kde při zobrazení předmětu spojnou čočkou o ohniskové vzdálenosti
, je-li předmět umístěn ve vzdálenosti 16 cm před čočkou a měří 0,5 cm? Řešte
početně i graficky.
Řešení:
Obr. 5.2-8
Podle zadání je
,
. Můžeme ponechat tyto jednotky. Grafické řešení je na
obrázku 5.2-8. Obraz jsme sestrojili pomocí význačných paprsků. Podle Gaussovy zobrazovací
rovnice
Po dosazení (v cm)
Zvětšení
216
Vzniká reálný, převrácený a zvětšený obraz.
5.2-3. Určete zvětšení při zobrazení lupou, je-li její optická mohutnost
D předmět je umístěn
4 cm před lupou a oko je těsně za lupou. Kde vznikne zdánlivý obraz? Jaké by bylo zvětšení,
pokud by předmět byl umístěn přímo v ohnisku?
Řešení:
⁄
Ohnisková vzdálenost lupy je
. Předmětová vzdálenost
Jedná se tedy o podobné uspořádání jako na obrázku 5.2-5, kdy předmět
leží mezi spojnou čočkou a jejím ohniskem. Ze zobrazovací rovnice vyjádříme opět
a velikost obrazu
Tento obraz je pozorován ve vzdálenosti
takže úhlové zvětšení ve srovnání s pozorováním
nezvětšeného předmětu ve zrakové konvenční vzdálenosti bude
Při umístění předmětu přímo do ohniska bude
(obraz vznikne v nekonečnu) a zvětšení
5.2-4. Určete zvětšení jednoduchého Keplerova dalekohledu při pozorování velmi vzdáleného
předmětu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu
a okuláru
. Jaká je
jeho minimální celková délka?
Řešení:
Z obrázku 5.2-6 je zřejmé, že zvětšení Keplerova dalekohledu je za těchto podmínek
Po dosazení (protože se jedná o poměr stejných jednotek, lze ponechat cm):
Celková délka aktivní části dalekohledu bude (opět podle obrázku 5.2-6)
217
Poznámka: Toto zvětšení je obvyklé i u teodolitů, které však bývají doplněny ještě dalšími prvky
(např. hranolem), aby při pozorování byl obraz přirozeně vzpřímený. Také mají možnost zaostřování,
takže jimi lze pozorovat i objekty vzdálené už od jednotek metrů, nikoli pouze v nekonečnu.
5.2-5. Určete zvětšení mikroskopu, jehož optický interval je
, ohnisková vzdálenost
objektivu
a okuláru
. Jak daleko před objektivem musí být umístěn
pozorovaný předmět, aby se zobrazil do předmětového ohniska okuláru (zdánlivý obraz po
zobrazení okulárem pak vzniká v nekonečnu)?
Řešení:
Má-li se obraz po průchodu objektivem vytvořit v ohnisku okuláru, musí podle obrázku 5.2-7
platit:
. Z Gaussovy zobrazovací rovnice
Po dosazení
Předmět musí být umístěn 1,06 cm před objektivem.
Úhlové zvětšení mikroskopu vyjádříme podobně jako u lupy (příklad 5.2-3)
kde jsme za
dosadili výsledek z předchozí části. Po dosazení numerických hodnot (
25 cm
Mikroskop zvětší obraz 100× a bude převrácený.
5.2-6. Blízký bod oka je nejmenší vzdálenost, na jakou ještě oko dokáže zaostřit obraz na sítnici. U
zdravého oka v mládí je cca 10 cm, s věkem se od oka vzdaluje. Pokud se zvětší nad zrakovou
konvenční vzdálenost, pořizují si lidé brýle „na čtení“. Jaké brýle (kolik dioptrií) je třeba
předepsat dalekozrakému člověku, jehož blízký bod je ve vzdálenosti
od oka, aby
mohl zaostřit text ve zrakové konvenční vzdálenosti? Jaké brýle je třeba předepsat
krátkozrakému člověku, který není schopen volným okem zaostřit na nekonečno (normální
tzv. vzdálený bod), ale pouze na vzdálenost 2,5 m?
Řešení:
Dalekozraký člověk potřebuje spojku, která vytvoří k předmětu vzdálenému
před okem zdánlivý (vzpřímený) obraz ve vzdálenosti
před okem
(předpokládáme brýle v zanedbatelné vzdálenosti od oka). Z Gaussovy zobrazovací rovnice
dostaneme
D
Bude tedy potřebovat spojky s optickou mohutností 2 dioptrie.
218
Krátkozraký člověk potřebuje brýle, které promítnou obraz z nekonečna do vzdálenosti, na
kterou je schopen zaostřit (musí být opět vzpřímený a tedy zdánlivý), tj.
,
.
D
Bude potřebovat rozptylky s optickou mohutností -4 dioptrie.
5.2-7*. Je možno zobrazením samotnou rozptylkou získat reálný obraz předmětu? Je možno
získat reálný obraz soustavou rozptylky a spojky, umístěné těsně za ní? Za jakých
podmínek?
Řešení:
Označme předmětovou a obrazovou vzdálenost pro rozptylku
, její ohniskovou
vzdálenost
předmětovou a obrazovou vzdálenost pro případnou spojku
, její
ohniskovou vzdálenost
Jak již jsme si z Gaussovy rovnice
odvodili, platí pro obrazovou a předmětovou vzdálenost vztah
kde
, protože předmět předpokládáme v předmětovém prostoru a ohnisková
vzdálenost rozptylky je záporná. Je-li
je obraz zdánlivý. To ale bude vždy, protože
čitatel zlomku je vždy záporný a jmenovatel kladný. Obraz získaný samotnou rozptylkou je
tedy vždy zdánlivý (nelze zachytit na stínítku).
Tento zdánlivý obraz ale může sloužit jako předmět zobrazovaný spojkou (tou může být i
čočka našeho oka). Bude-li spojka těsně za rozptylkou, bude
. Pro spojku vzniká
reálný obraz, je-li
, přičemž
Dosazením
a využitím první rovnice dostaneme postupně
dostáváme tedy zobrazovací rovnici pro soustavu rozptylky a spojky, kde platí, že
tj. jejich optické mohutnosti se sčítají. Reálný obraz předmětu lze získat, chová-li se soustava
jako spojka, tj.
neboli
. Předmět navíc musí být umístěn ve
vzdálenosti
před soustavou, neboť pak je výraz
kladný.
Poznámka: Podobný výsledek bychom dostali i pro dvojici spojek či složitější systém.
Uvažujeme-li tenké čočky velmi blízko za sebou (vzhledem k jejich ohniskovým
vzdálenostem), jejich optické mohutnosti se sčítají. Např. okuláry moderních mikroskopů jsou
obvykle tvořeny více než jednou čočkou.
5.2-7. Jaká je hloubka rybníka, jeví-li se svislá tyč zapíchnutá do jeho dna a sahající až k jeho
hladině při pozorování pod úhlem 45° dlouhá 1,4 metru (viz obrázek 5.2-9)? Index
lomu vody je
219
[
]
Obr. 5.2-9
Obr. 5.2-10
5.2-8. Jaká plocha je průhledná pro potápěče, který se dívá nad sebe z hloubky
skrz
zcela klidnou hladinu jezera (viz obrázek 5.2-10)? Index lomu vody je
⁄
[
(ale vidí celý poloprostor nad hladinou)]
5.2-9. Mimořádný lesk diamantu je způsoben jednak vhodným tvarem výbrusu (viz obrázek 5.2-11),
ale také jeho vysokým indexem lomu
, díky němuž dochází na spodní straně
vybroušeného diamantu k totálnímu odrazu pro mnohem širší interval úhlů dopadajícího světla
než u stejně řezaného obyčejného skla. Ukažte, že pro paprsek dopadající kolmo na tabuli
diamantu nastává při vrcholovém úhlu pavilionu
(tzv. ideální výbrus) k totálnímu
odrazu na obou spodních ploškách jak pro diamant, tak pro křemenné sklo. Index lomu
křemenného skla je
. Porovnejte rozsah úhlů dopadu na rovinné rozhraní sklo –
vzduch a diamant – vzduch, pro něž nastává na tomto rozhraní totální odraz.
[
57°45´, mezní úhel
MD
24°26
220
MS
40°22 ]
Obr. 5.2-11
Obr. 5.2-12
5.2-10. Totální odraz se využívá také v optických vláknech. Pod jakým úhlem může vstoupit paprsek
do vícevidového optického vlákna, tvořeného jádrem o indexu lomu
a pláštěm o
indexu lomu
, aby se uvnitř odrážel totálním odrazem (viz obrázek 5.2-12)?
[
0
34°5 ]
5.2-11. Jak vysoké musí být rovinné zrcadlo, aby se v něm člověk výšky 190 cm mohl vidět najednou
celý?
[95 cm]
5.2-12. Jaké je zvětšení obličeje ve vydutém kosmetickém zrcadle při pozorování ze vzdálenosti 15
cm, mění-li se ve vzdálenosti 0,5 m pozorovaný obraz z přímého na převrácený?
[
]
5.2-13. Na silnicích se v nepřehledných zatáčkách používají vypuklá zrcadla (nyní již obvykle spíše
parabolická). Jak se zobrazí kulovým zrcadlem automobil ve vzdálenosti 30 m před zrcadlem,
je-li poloměr křivosti plochy zrcadla 2 metry?
[vznikne zdánlivý, vzpřímený, cca 31× zmenšený obraz 0,96 m za zrcadlem]
221
5.2-14. Jaká musí být optická mohutnost oka, má-li obraz vzniknout na sítnici 1,8 cm za čočkou a
pozorovaný předmět je před okem ve vzdálenosti a) 20 cm, b) 2 m, c) 20 m? Jaký obraz
vzniká?
D
[
D
D reálný, převrácený]
5.2-15. Jaká čočka zobrazí předmět ze vzdálenosti
[spojka,
]
do vzdálenosti
.?
5.2-16. Jaký okulár musíme použít u mikroskopu, jehož optický interval je
a
ohnisková vzdálenost objektivu
, abychom pozorovali předmět převrácený a
50× zvětšený?
[spojku,
]
5.2-17. Jaké je zvětšení Keplerova dalekohledu, je-li ohnisková vzdálenost objektivu
okuláru
?
[
]
222
a
5.3. FOTOMETRIE
Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát:
V této podkapitole se budeme zabývat pouze energií přenášenou viditelnou částí
elektromagnetického záření – světelnou energií, nikoli celkovou zářivou energií. Seznámíte se zde
s pojmy, s jakými se setkáváte např. na obalech různých světelných zdrojů (svítivost, světelný tok,
účinnost), případně v normách pro vybavení různých pracovních ploch (intenzita osvětlení). Budete
tak schopni porovnat efektivnost různých světelných zdrojů, navrhnout osvětlení pracoviště nebo třeba
i domácí kuchyňské linky.
Světelný tok
a času :
je výkon světelného záření přenášený danou plochou (podíl přenesené světelné energie
(jednotkou je lumen; lm, zohledňuje i různou citlivost oka na různé barvy).
Svítivost zdroje I je definována jako podíl světelného toku vyzařovaného bodovým zdrojem do
určitého prostorového úhlu a tohoto úhlu
(jednotkou je kandela; cd, základní jednotka SI). Prostorový úhel je část prostoru vymezená oblastí
směrů z pevného výchozího bodu, numericky je roven ploše, jakou tyto směry vytínají na povrchu
koule o poloměru
, pro jiný poloměr jej lze vypočítat jako
(jednotkou je steradián; sr). Účinnost světelného zdroje
vyzářeného světelného toku a příkonu zdroje P
(jednotkou je lm·
; protože
-1
je definována jako podíl celkového
, může být
).
Plošné zdroje světla charakterizujeme veličinou nazvanou jas (jednotkou je nit; nt neboli cd·m-2).
Vyjadřuje podíl svítivosti v daném směru a plošky, která se jeví jako její zdroj (skutečná vyzařující
plocha je , její normála svírá úhel s daným směrem, viz obrázek 5.3-1).
Běžné povrchy obvykle vyzařují jako kosinové zářiče:
jejich jas nemění v závislosti na úhlu .
223
0
(Lambertův zákon). Pak se
5.3-1
Osvětlení (intenzita osvětlení) je podíl světelného toku a plochy, na kterou tento tok dopadá
(jednotkou je lux; lx).
PŘÍKLADY:
5.3-1. Bodové LED stropní svítidlo o příkonu
vyzařuje tak, že z výšky
osvětluje prakticky rovnoměrně pouze kužel o poloměru základny
Intenzita
osvětlení změřená uprostřed podstavy kužele je
Jaká je svítivost a světelná
účinnost tohoto zdroje?
Řešení:
Předpokládáme-li světelný tok
bude pro něj platit
kde
rovnoměrně rozložený do kužele vymezeného prostorovým úhlem ,
je plocha vrchlíku koule o poloměru vymezená daným prostorovým úhlem.
Svítivost zdroje uvnitř kužele pak je
Vně kužele dle zadání je svítivost nulová.
Pro vyjádření světelné účinnosti zdroje potřebujeme znát jeho celkový světelný tok
vyjádříme prostorový úhel , do kterého svítidlo vyzařuje. Pro úhel platí
√
. Nejprve
√
Kužel odpovídá prostorovému úhlu, který lze ve sférických souřadnicích vypočítat prostřednictvím
integrálu (viz obrázek 5.3-2)
224
∫∫
[
∫
]
Obr. 5.3-2
Obr. 5.3-2
Předpokládáme-li světelný tok rovnoměrně rozložený do celého kužele, bude platit
(
√
)
po dosazení
(
)
√
Světelná účinnost zdroje pak je
lm
1
5.3-2. Významnou roli z hlediska světelného komfortu místnosti hraje i odrazivost povrchů (poměr
intenzity odraženého světla k dopadajícímu), zejména stropu a stěn. Pokud do čtverce o ploše
2 m2 na bílou stěnu s odrazivostí 0,7 dopadá světelný tok 400 lm, jaké je osvětlení a jas stěny
za předpokladu, že stěna odráží světlo jako kosinový zářič?
Řešení:
Za předpokladu rovnoměrného rozložení světelného toku
plochu je její osvětlení :
225
dopadajícího na uvedenou
Při odrazivosti 0,7 bude celkový odražený světelný tok
. Za předpokladu platnosti
Lambertova zákona se směrově rozloží do celého poloprostoru tak, že bude platit:
0
Odražený světelný tok tedy bude
⁄
⁄
∫ ∫
⁄
∫
[
⁄
Svítivost stěny v kolmém směru pak
⁄
Jas stěny při pohledu pod úhlem bude (odrážející plocha je totožná s osvětlenou,
0
]
0
07
)
07
5.3-3. Jaká je svítivost 60 žárovky, je-li její světelný tok vyslaný do celého prostoru 720 lm? Jaká je
její světelná účinnost? Jakou kompaktní zářivkou ji můžeme nahradit, předpokládáme-li
přibližně stejné směrové charakteristiky a světelná účinnost udávaná výrobcem těchto zdrojů
je 60 lm· -1?
lm
[
1
´
12
]
Obr. 5.3-3
5.3-4. Při pouličním osvětlení se často používají sodíkové výbojky (mají typické nažloutlé světlo),
jejichž světelná účinnost dosahuje vysokých hodnot cca 180 lm· -1 a vyzařují do širokého
prostorového úhlu. V současnosti jsou někde nahrazovány LED svítidly, která mají nižší
světelnou účinnost kolem cca 80 lm· -1, ale svítí bíle a jen do mnohem menšího prostorového
úhlu. Svítí-li LED svítidlo pouze do kužele o vrcholovém úhlu 1 60° a sodíková výbojka
má 2 330° (obrázek 5.3-3), porovnejte jejich svítivost v ose kužele při stejném příkonu.
Nápověda: pro určení prostorového úhlu můžete použít postup jako v příkladu 5.3-1.
[
LED ⁄ Na
65]
226
5.3-5. Jaký je poměr osvětlení zemského povrchu v Ostravě za jasného dne v hvězdném poledni v den
zimního a letního slunovratu, je-li Slunce v nejvyšším bodě v létě 1 63°37 nad obzorem a
v zimě 2 16°43 nad obzorem (viz obrázek 5.3-4)? Mírně větší vzdálenost Země od Slunce
v létě a vliv atmosféry zanedbejte.
[
z⁄ L
0 32 ]
Obr. 5.3-4
5.3-6. Do jaké výšky nad stolem je třeba pověsit žárovku o svítivosti 60 cd, aby byl střed stejně
osvětlen jako od žárovky se svítivostí 120 cd, visící ve výšce
nad stolem?
[
]
5.3-7. Jakou minimální svítivost musí mít bodový zdroj, aby jej lidské oko ještě bylo schopno
detekovat za tmavé noci na vzdálenost 10 km? Lidské oko registruje nejmenší osvětlení
[
]
5.3-8. Svítivost majáku v určitém směru je
Jak by jím byla osvětlena loď, stojící kolmo ve
směrudopadajících paprsků ve vzdálenosti 2 km? Jaký by byl jas lodi, pokud by difuzně
odrážela polovinu dopadajícího světla (jako kosinový zářič, viz příklad 5.3-2)?
[
]
227
5.4. VLNOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA
Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát:
Optická dráha je vzdálenost, kterou by světlo urazilo ve vakuu za stejnou dobu, jako urazilo svou
dráhu v daném optickém prostředí; jestliže v prostředí o indexu lomu n světlo urazí skutečnou dráhu s,
je jeho optická dráha
.
Interference (skládání) světelného vlnění vzniká za předpokladu jeho časové i prostorové koherence
(fázový rozdíl skládaných vln je v uvažovaném bodě prostoru v čase konstantní). To se realizuje
rozdělením a následným spojením paprsku z jednoho zdroje.
Při interferenci se elektrické a magnetické intenzity skládaných vln sčítají.
1.
Je-li rozdíl optických drah
, kde je vlnová délka světla a celé číslo,
tedy celistvému násobku vlnové délky, sejdou se oba paprsky ve fázi a nastává interferenční
maximum (konstruktivní interference, světlý proužek na stínítku).
2.
Je-li rozdíl optických drah
tj. lichému násobku půlvln, sejdou se
oba paprsky v protifázi a nastává interferenční minimum (destruktivní interference, tmavý
proužek na stínítku).
V ostatních případech se vlny částečně zeslabují nebo zesilují.
Pozor: Při odrazu paprsku na rozhraní s opticky hustším prostředím se jeho fáze mění na opačnou
(jako by se optická dráha změnila o ⁄ )!
Možností realizace uspořádání pro interferenci světla je mnoho, zde se seznámíme pouze s interferencí
na tenké planparalelní a klínové vrstvě, dvojštěrbině a mřížce (zde dochází současně k ohybu světla
(difrakci) mimo oblast přístupnou podle geometrické optiky) a jednoduchým interferometrem.
PŘÍKLADY:
5.4-1. Na klínovou vrstvu tvořenou sklem o indexu lomu
umístěným ve vzduchu dopadá
kolmo k povrchu svazek rovnoběžných paprsků o vlnové délce
. Jaký úhel
svírají stěny klínu, je-li vzdálenost mezi dvěma sousedními světlými (červenými) proužky
?
Obr. 5.4-1
Řešení:
Nápověda: Protože hledaný úhel bude velmi malý, lze zanedbat lom paprsků na rozhraních.
Interferovat budou paprsek odražený hned na prvním rozhraní s paprskem odraženým až na druhém
rozhraní (paprsky vícenásobně odražené mají mnohem menší intenzitu).
228
První paprsek se odráží o prostředí s větším indexem lomu, převrací se tedy fáze, což odpovídá posunu
o ⁄
Dráha druhého paprsku je delší o dvojnásobnou tloušťku klínu v daném místě (prochází tam a zpět),
jeho optická dráha zohledňující index lomu skla je delší o
. Odráží se o opticky řidší
prostředí, jeho fáze se tedy odrazem nemění.
Celkově pro rozdíl optických drah v oblasti n-tého světlého proužku musí platit
Pro
1 proužek bude
Odečtením obou rovnic dostaneme
(
Z obrázku současně plyne, že
)
, takže
(
)
Odtud vrcholový úhel klínu
arctan
(
arctan
)
660
̇
76
(Při výpočtu můžeme využít i toho, že pro velmi malé úhly
vyjádřeno v radiánech.)
5.4-2. Jaká je vlnová délka monochromatického světla použitého u Youngova pokusu (obrázek 5.4-2),
když na stínítku vzdáleném
od štěrbin jsou sousední interferenční maxima od sebe
vzdálena o
? Štěrbiny jsou od sebe vzdáleny o
a vycházejí z nich
koherentní paprsky.
Předpokládáme interferenci světla prošlého první a druhou štěrbinou. Rozdíl optických drah je
√
(
⁄ )
√
(
⁄ )
Lze jej vyjádřit jako
(
⁄ )
⁄ )
(
̇
kde je vzdálenost středu dvojštěrbiny od daného bodu na stínítku a úhel, pod nímž je tento bod
vidět při pohledu od dvojštěrbiny. Využili jsme toho, že
.
229
Obr. 5.4-2
Podmínka pro interferenční maximum tedy bude
stínítku ve vzdálenosti
takže n-té maximum vznikne na
a vzdálenost sousedních maxim bude
Odtud
Bylo použito světlo o vlnové délce 600 nm.
5.4-3. Na vrstvu oleje o tloušťce
, která je na vodě, dopadá kolmo bílé světlo. Která
barva vyhasne a která bude nejsilnějiodražena, je-li rychlost světla v oleji
a ve vodě je větší?
[
]
230
Obr. 5.4-3
5.4-4. Na mřížku se 100 vrypy na 1 mm dopadá kolmo rovnoběžný svazek koherentního červeného
světla o vlnové délce λ = 700 nm. V jaké vzdálenosti od sebe budou první a třetí světlý
proužek na stínítku postaveném ve vzdálenosti
od mřížky? Nápověda: interferenční
maxima vznikají pod stejnými úhly jako u dvojštěrbiny se stejnou vzdáleností štěrbin, jako je
vzdálenost sousedních vrypů mřížky.
[
]
5.4-5. Mřížky s vysokou hustotou vrypů se používají k rozkladu světla ve spektrometrech. Pod jakými
úhly vzniknou první maxima pro jednotlivé čáry rtuťové výbojky o vlnových délkách 436nm
(modrá), 546 nm (zelená) a 578nm (žlutý dublet), má-li mřížka 600 vrypů na mm?
[
]
5.4-6. Interferometry jsou velmi citlivá měřicí zařízení. Mohou sloužit mimo jiné k měření indexu
lomu vzduchu, který se jen velmi málo liší od indexu lomu vakua (1). Předpokládejme, že
interferometr na obrázku 5.4-4 je seřízen tak, že obě ramena jsou stejně dlouhá a je-li v obou
celách stejné prostředí, po průchodu interferometrem tedy interferují první a druhý paprsek
konstruktivně (v praxi se někdy spíše sledují interferenční proužky na malé plošce za
interferometrem). Nyní z první cely vyčerpáme vzduch, takže v ní bude vakuum. Pak pomalu
vpouštíme vzduch zpět, až se tlak vyrovná s okolím. Na výstupu z interferometru se střídají
maxima a minima. Jaký je index lomu vzduchu, jestliže cela je dlouhá
a při
pozorování ve světle He-Ne laseru o vlnové délce
napočítáme při přechodu
z vakua k normálnímu tlaku postupně celkem 44 maxim? Nápověda: rozdíl optických drah
v trubici s vakuem a vzduchem musí odpovídat uvedenému násobku vlnových délek použitého
světla.
[
1 000278 ]
231
Obr. 5.4-4
232
5.5. KVANTOVÉ VLASTNOSTI SVĚTLA
Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát:
Planckova kvantová hypotéza – byla vyslovena při snaze vysvětlit vlastnosti tepelného záření těles a
zní: energie elektromagnetického záření je kvantována, nejmenší kvantum energie
, kde
34
6 626 10 J s je Planckova konstanta a je frekvence. Tato kvanta nazýváme fotony.
V kvantové fyzice se energie se často udává v jednotkách elektronvolt (je rovna kinetické energii,
jakou získá elektron urychlený napětím jednoho voltu):
Uveďme alespoň dva
jevy, kde se kvantování světla projevuje.
1.
Záření zahřátých těles – pro absolutně černé těleso (těleso, které všechno záření na
ně dopadající pohltí a vyzařuje v závislosti pouze na své teplotě jako ideální zářič). Planckova
hypotéza vede na Planckův vyzařovací zákon pro spektrální hustotu vyzařování (vztah
nemusíte znát zpaměti), viz obrázek 5.5-1:
Zde
je Boltzmannova konstanta, je rychlost světla ve vakuu a
termodynamická teplota tělesa (v kelvinech). Má dva důležité důsledky:
a)
Wienův posunovací zákon
je
popisující, jak se posouvá vlnová délka, na níž je vyzařováno maximum energie, s teplotou.
Vysvětluje mimo jiné to, proč se barva vysoce zahřátých těles se změnou teploty mění. Toho
využívají např. barvové pyrometry pro měření vysokých teplot.
b)
Stefanův-Boltzmannův zákon pro celkový výkon (i mimo viditelnou oblast)
vyzařovaný jednotkovou plochou povrchu tělesa (na obrázku odpovídá ploše pod křivkou)
je Stefanova – Boltzmannova konstanta. Umožňuje například vypočítat teplotu Slunce nebo
měřit teplotu těles infračerveným teploměrem či jasovým pyrometrem.
Reálná tělesa nejsou absolutně černá podle výše uvedené definice, část dopadajícího záření
odrážejí, a to spektrálně selektivně, to vnímáme jako jejich různé barvy při běžných teplotách.
Jsou-li zahřáta, vyzařují zase méně energie, než by odpovídalo Planckovu vyzařovacímu
zákonu,
, kde spektrální emisivita
Je-li spektrální emisivita stejná pro
všechny frekvence, mluvíme prostě o emisivitě a těleso označujeme za šedé (většinou lze tuto
aproximaci přijmout pouze v určité oblasti).
2.
Fotoelektrický jev – dopadá-li světlo (resp. obecněji elektromagnetické záření) na
kovový nebo polovodičový vzorek, může být pohlceno elektrony. Při vnitřním
fotoelektrickém jevu elektrony uvnitř polovodiče přecházejí z valenčního do vodivostního
pásu, čímž vzroste vodivost materiálu - tento princip využívají fotodiody a solární články;
pro jeho detailnější pochopení je však třeba určitý základ z oblasti pevných látek, který
přesahuje rámec tohoto učebního textu.
Další možností je vnější fotoelektrický jev, pozorovaný zejména u kovů, záření zde uvolňuje
elektrony ze vzorku do okolí. Elektrony pro opuštění kovu potřebují překonat určitou
potenciálovou bariéru, potřebnou energii označujeme jako výstupní práci . Pro každý kov
existuje mezní frekvence záření (pro každý kov), při níž ještě dochází k uvolňování elektronů
233
(pro nižší frekvence jev nenastává). Hustota fotoelektrického proudu je pak úměrná osvětlení
a kinetická energie uvolněných elektronů (fotoelektronů) roste lineárně s frekvencí světla.
Jev lze vysvětlit jako interakci elektronu s jediným fotonem (a je proto potvrzením Planckovy
kvantové hypotézy), zákon zachování energie při fotoefektu popisuje tzv. Einsteinův vztah:
Obr. 5.5-2
PŘÍKLADY:
5.5-1. Platnosti Planckova vyzařovacího zákona využívají i v současnosti čím dál oblíbenější
bezdotykové infračervené teploměry. Ty nejběžnější snímají celkovou intenzitu vyzařování
v infračervené oblasti v rozpětí typicky cca
Nalezněte hodnoty maxima
vyzařování černého tělesa pro obvykle měřené teploty cca od -50°C do +250°C. Dále ukažte,
že při
je pro všechny vlnové délky spektrální hustota vyzařování 1
2 , tj. křivky
na obrázku 5.5-1 se mimo hodnot
0a
neprotínají a uvedený princip měření je tedy
skutečně možný.
Řešení:
Vyjdeme z
ienova posunovacího zákona, kde jen pro lepší názornost převedeme jednotky:
po dosazení
Pro obě hodnoty leží maximum vyzařování buď přímo ve snímaném intervalu, nebo blízko něj, pro
vyšší teplotu by byl vhodnější interval kratších vlnových délek. Pro odpověď na druhou otázku
použijeme přímo Planckův vyzařovací zákon a vyjádříme podmínku pro případný průsečík křivek
1
2 Dostaneme
2
2
1
5
1
exp
2
2
1
1
5
234
1
exp
2
1
2
odkud je okamžitě zřejmé, že rovnost pro různé teploty nastat nemůže (mimo 0 a
vždy
2 .
1
a skutečně bude
5.5-2. Na 1 m2 zemského povrchu dopadá 1360 J tepelné energie za 1 s. Jakou povrchovou teplotu má
Slunce, pokud pohltivost zemské atmosféry zanedbáme? Poloměr Slunce je
,
Obr. 5.5-3
vzdálenost Země od Slunce
Řešení:
Slunce vyzařuje do celého prostoru podle Stefanova-Boltzmannova zákona výkon
2
4
Země leží na myšlené kulové ploše se středem ve Slunci a poloměrem , na níž je tento výkon
2
rovnoměrně rozložen. Povrch této koule je
Na 1 m2zemského povrchu tedy dopadá za 1
s energie
2
4
2
4
2
2
a povrchová teplota Slunce tedy bude
4
√
2
2
4
√
2
1360
5 67 10
8
2
K ̇ 5780 K
Teplota povrchu Slunce je nejméně 5780 K (vzhledem k tomu, že část záření se rozptýlí v atmosféře).
5.5-3. Výstupní práci elektronů z kovu a Planckovu konstantu lze měřit tak, že fotonku zapojíme
sériově s citlivým ampérmetrem a zdrojem brzdného napětí, působícího proti vylétajícím
fotoelektronům. Teče-li při nulovém brzdném napětí obvodem po osvětlení katody fotonky
proud, postupným zvyšováním brzdného napětí proud klesá, až zcela ustane. Fotonkou
s cesiovou katodou jsme osvětlili téměř monochromatickým zářením o vlnových délkách
a
(modré a zelené laserové ukazovátko) a zjistili, že proud
fotonkou ustane v prvním případě při brzdném napětí
, ve druhém pro
. Na základě těchto výsledků vypočtěte Planckovu konstantu a vyjádřete výstupní práci
pro cesium v elektronvoltech.
Řešení:
Pro oba světelné zdroje musí platit Einsteinova rovnice fotoefektu, kde navíc uvážíme, že proud ustane
pro brzdné napětí, pro něž už fotoelektrony nejsou schopny překonat brzdný potenciál, tj.
kde
235
1 602
je náboj elektronu. Dále využijeme vztah mezi rychlostí světla, jeho vlnovou
délkou a frekvencí
Bude
Odečtením obou rovnic vyloučíme zatím neznámou výstupní práci
1 602
(
)
(
3
)
a po úpravě dostaneme
J
6 63
J
Výstupní práci vyjádříme třeba z prvního vztahu
(
6 63
Planckovu konstantu jsme určili
3
6 63
1 602
J
0 69)
a výstupní práci Cs fotonky
.
5.5-4. Oko je velmi citlivý detektor světla - udává se, že je schopno za optimálních podmínek
detekovat i dopadající světelný výkon cca
přičemž až na sítnici projde jen asi
10% dopadajících fotonů. Kolik fotonů o vlnové délce 500 nm by muselo dopadnout do oka a
kolik na sítnici, aby oko registrovalo záblesk trvající 100 ms?
[asi 100 fotonů do oka a 10 na sítnici]
5.5-5. Kolik energie by v mezihvězdném prostoru ztratil za půl hodiny člověk o povrchové teplotě
35°C, pokud by nebyl dostatečně tepelně izolován skafandrem? Povrch lidského těla je asi 2
m2, záření z okolí neuvažujte.
[
]
5.5-6. Bezpečnostní čidla (tzv. čidla pohybu) obvykle nedetekují samotný pohyb, ale spíše změny
teploty prozrazující výskyt osob ve střežené oblasti. Na jakou vlnovou délku by mělo být
nejcitlivější teplotní bezpečnostní čidlo, předpokládáme-li povrchovou teplotu lidského těla 35
°C?
[
]
5.5-7. Jaká je teplota povrchu Slunce, považujeme-li je za absolutně černé těleso a jeho maximum
monochromatického vyzařování připadá na vlnovou délku
?
[
]
5.5-8. Jaký je příkon elektrického proudu procházejícího wolframovým vláknem klasické žárovky
průměru
a délky
, září-li jako absolutně černé těleso na teplotě
? Ztráty tepelnou vodivostí zanedbejte.
[
]
5.5-9. Jaká je největší kinetická energie a rychlost fotoelektronů emitovaných z povrchu stříbrného
vzorku ozářeného monochromatickým UV zářením o vlnové délce
? Červená
hrana fotoefektu pro tento prvek je
nm.
236
[
]
5.5-10. Osamocená niklová koule je osvětlována monochromatickým zářením o vlnové délce
Na jaký největší potenciál vůči nekonečnu se tímto světlem může díky fotoefektu
nabít, je-li výstupní práce niklu
?
[
]
237
5.6. STAVBA ATOMU A JEHO JÁDRA
Základní pojmy a vztahy, které je třeba znát:
Na úrovni mikrosvěta platí poněkud jiné fyzikální zákony, než na jaké jsme zvyklí ze světa běžných
měřítek. Chování objektů zde popisuje kvantová mechanika, která je však mimo rámec tohoto
učebního textu. Seznámíme se zde tedy pouze s několika nejdůležitějšími skutečnostmi, které mají
přímé makroskopické důsledky.
Atomy jsou tvořeny jádrem, ve kterém se nacházejí protony a neutrony, a elektronovým obalem.
Elektrony nacházející se ve stacionárních stavech v atomu splňují tzv. Bohrovy postuláty
1.
Elektrony ve stacionárních stavech v atomu se mohou nacházet pouze na určitých
energetických hladinách, v těchto stavech nevyzařují energii. Pro vodík je nejnižší energetická
⁄ , kde
hladina
a pro další hladiny platí
je
tzv. hlavní kvantové číslo.
2.
Elektrony vyzařují energii pouze při přechodu mezi dvěma stacionárními hladinami,
pak platí, že energie vyzářeného fotonu je rovna rozdílu energií těchto hladin
.
3.
Ve stacionárních stavech mají elektrony současně kvantovaný i moment hybnosti, ten
je určen vedlejším kvantovým číslem
.
Z kvantové teorie dále vyplývá i kvantování průmětu momentu hybnosti do význačného směru,
odpovídající magnetické kvantové číslo je
, a existence vnitřního magnetického
momentu elektronu, charakterizovaného spinem
1
.
2
Pro atomy s více elektrony (a systémy s více
elektrony obecně) je zásadní Pauliho vylučovací princip, který říká, že v jednom atomu nemohou mít
dva elektrony shodná všechna kvantová čísla – důsledkem je postupné obsazování hladin podle
energetické výhodnosti a velmi rozdílné chování atomů různých prvků podle toho, jak jsou zaplněny
jednotlivé elektronové slupky a podslupky.
Jádro atomu je tvořeno nukleony – protony a neutrony. Prvek je určen počtem protonů v jádře (a
protože atom je za normálních podmínek elektricky neutrální, i elektronů v obalu), počty neutronů se
mohou mírně lišit – prvek má různé izotopy
kde je celkový počet nukleonů v jádře
(nukleonové číslo).
Nukleony v jádře jsou vázány dohromady tzv. vazebnou energií jádra . Ta udává, jakou práci je
třeba vykonat, aby jádro bylo rozloženo na jednotlivé nukleony. Protože platí Einsteinův vztah mezi
hmotností a energií
odpovídá vazebné energii tzv. hmotnostní schodek jádra
– ten
představuje rozdíl mezi celkovou hmotností jednotlivých nukleonů a skutečnou (experimentálně
zjištěnou) hmotností jádra , které je z nich složeno:
[(
)
]
Kde
je hmotnost protonu a
hmotnost neutronu. Vazebná energie připadající na jeden
nukleon
se u různých jader liší, největší je u železa – proto lze získávat energii slučováním
jader lehkých prvků (jaderná syntéza) nebo štěpením jader prvků těžkých.
Některé izotopy jsou přirozeně nestabilní a rozpadají se na izotop jiného prvku, to označujeme jako
přirozenou radioaktivitu. Při rozpadu se mohou uvolňovat další částice:
238
1.
2.
3.
záření - jádra
záření - elektrony
nebo pozitrony
záření - elektromagnetické záření (fotony).
U jaderných reakcí platí zákon zachování energie, zákon zachování protonového a nukleonového
čísla: ∑
a∑
Jaderné přeměny nazýváme podle uvolňovaných částic
 rozpad a  rozpad, přičemž záření oba rozpady provází (jako důsledek zákona zachování
energie).
Při přirozené radioaktivitě je relativní počet rozpadlých radioizotopů za časovou jednotku stálý (jádra
nemají „paměť“). Odtud plyne zákon radioaktivní přeměny
kde je počet dosud nerozpadlých jader v čase
je počet jader v čase
a je rozpadová
konstanta. Přirozené radionuklidy charakterizuje poločas přeměny (rozpadu) , je to doba, za kterou
se rozpadne právě polovina původního počtu jader. Lze snadno ukázat, že platí
.
Při průchodu látkovým prostředím je radioaktivní záření pohlcováno, platí
kde je tzv. součinitel zeslabení pro dané záření (záleží i energii částic) a materiál, je tloušťka
materiálu, je intenzita dopadajícího záření a je intenzita prošlého záření. Pro různé typy záření lze
materiál charakterizovat různou polovrstvou , což je tloušťka materiálu, která intenzitu redukuje na
polovinu. Lze ukázat, že platí
.
Z hlediska ochrany před radioaktivním zářením je důležitá také aktivita radioaktivního zářiče
která udává počet rozpadů za časovou jednotku (jednotkou aktivity je becquerel, Bq, který odpovídá
jedné přeměně za 1s)
Kromě přirozené radioaktivity existují i jaderné reakce vyvolané uměle, ty se neřídí výše uvedeným
rozpadovým zákonem, ale zákony zachování zůstávají v platnosti.
PŘÍKLADY:
5.6-1. Určete vlnové délky spektrálních čar vodíku spadajících do viditelného spektra.
Řešení:
Energie základního stavu atomu vodíku je
obrázek 5.6-1.
, pro další hladiny platí
Energie fotonů viditelného světla 390–760 nm vypočteme podle Planckova vztahu
6 626
min
3
max
239
1⁄
2
, viz
analogicky dostaneme
max
leží v intervalu 〈1 64 3 19〉 eV
Energie fotonů viditelného světla tedy
min
Obr. 5.6-1
Nyní se podíváme, mezi jakými hladinami musí přeskočit elektron, aby uvolněná energie padla do
tohoto intervalu. Při přeskoku na první hladinu je rozdíl energií nejméně
21
2
1
( 2
2
1
1
12
)
1
10 2 eV
tato energie odpovídá ultrafialovému záření. Obdobně můžeme vyloučit emisi fotonu viditelného
světla při přeskoku na třetí či vyšší hladinu, ty odpovídají infračervené oblasti. Při přeskoku na druhou
hladinu (
2 se trefíme do viditelné oblasti pro
3 4 5 6, další čáry jsou již na hranici UV
oblasti. Platí
(
1
1
2)
2
[
1
1
(
1
1
1
2 )]
2
Po dosazení
32
13 605 1 6 10
[
6 626
3
analogicky další čáry
42
486 nm,
52
19
(
1
1
32
22
434 nm
1
)]
62
m
656 10
19
m
656 nm
410 nm.
5.6-2. Pomocí Pauliho vylučovacího principu určete, jaké je nejvyšší atomové číslo prvku, jehož
elektrony v základním stavu obsadí pouze hladiny s
2
Řešení:
K hlavnímu kvantovému číslu přísluší vedlejší kvantové číslo
a k němu
magnetické kvantové číslo
. V každém takto určeném stavu jsou navíc dvě možné
orientace spinu
1
.
2
240
1.
Pro
musí být
(v chemii se tato podslupka označuje jako 1s) a
, na
této hladině tedy mohou být pouze 2 elektrony s opačným spinem.
2.
Pro
může být
(podslupka 2s) nebo
(podslupka 2p). V podslupce 2s
je opět
, mohou tu být opět pouze 2 elektrony s opačným spinem. V podslupce 2p
může být
, celkem zde může být (s uvážením spinu)
elektronů.
Na první hladině mohou být 2 elektrony, na druhé nejvýše 2+6 elektronů, obě tyto slupky bude mít
zaplněny atom s protonovým číslem 10, tedy neon.
Poznámka: Dá se obecně ukázat, že na n-té hladině může být celkem 2
2
elektronů.
5.6-3. Jaká část atomů thoria se rozpadne za 1 sekundu, je-li poločas rozpadu tohoto prvku τ
1017 s?
4 416
Řešení:
Hledáme poměr
0
0
v čase
1 s. Vyjdeme ze zákona radioaktivní přeměny
odkud pro poločas rozpadu plyne
po dosazení v obecném čase
0
4 416 1017
hodnota v exponentu je ale tak malá, že ji běžné kalkulátory neodliší od jedničky. Pomůžeme si tedy
rozvinutím v řadu:
2
1
2
3
3
odkud v našem případě stačí uvažovat první dva členy. Po dosazení
0
(
)
4 416 1017
10
18
nebo také můžeme vyjádřit, z kolika atomů se jeden rozpadne:
4 416 1017
0
6 37 1017
5.6-4. V jaderných elektrárnách se po aktivaci pomalými neutrony štěpí uran v reakci
1
0n
235
U
92
X
Určete neznámý izotop X
241
89
36Kr
3 10n
Řešení:
Musí platit zákon zachování protonového a nukleonového čísla, tedy:
1
0
235
89
3 1
144
92
36
3 0
56
V tabulkách k danému protonovému číslu dohledáme prvek, jedná se o baryum 144
56Ba
5.6-5. Jaké množství energie se uvolní při reakci z předchozí úlohy, je-li hmotnost neutronu n =
1,674 927 ⋅ 10–27 kg a atomové relativní hmotnosti uvedených izotopů uranu U
235 043 930 barya Ba 143 922 953 a kryptonu Kr 88 917 631? Atomová hmotnostní
konstanta u = 1,660 539 ⋅ 10-27 kg.
Řešení:
Energii vypočítáme podle Einsteinova vztahu
kde
představuje rozdíl ve hmotnostech
částic do reakce vstupujících (jeden neutron, uran) a z ní vystupujících (baryum, krypton a tři
neutrony)
,
[
po úpravě:
]
.
Po dosazení numerických hodnot dostáváme výsledek 2,78 J = 174 eV.
5.6-6. Určete vlnovou délku spektrálních čar, které se mohou objevit při přechodu atomu vodíku z
excitovaného stavu, kdy se elektron nachází na třetí kvantové hladině, do základního stavu.
[
31
103nm,
32
659 nm
21
122 nm.]
5.6-7. Pomocí Pauliho vylučovacího principu určete, kolik elektronů v jednom atomu může mít
současně hlavní kvantové číslo
3.
[
18]
5.6-8. V archeologii se k určování stáří organických materiálů používá detekce rozpadů radioaktivního
uhlíku 146C. Ten vzniká ve stratosféře z dusíku vlivem kosmického záření a je součástí
potravního řetězce všech živých organismů. Po dobu jejich života je jeho hladina v organismu
stálá, po smrti už pouze klesá v důsledku přirozeného radioaktivního rozpadu podle vztahu:
14
6C
14
0
→ 7N
e Poločas tohoto rozpadu je 5730 let. O kolik procent je nižší aktivita
1e
stejně velkého vzorku stromu, který odumřel před 2 tisíci lety, ve srovnání se stromem
poraženým dnes?
[o 21,5%]
5.6-9. Po havárii jaderné elektrárny v Černobylu v roce 1986 bylo radioaktivní zamoření detekováno i
na našem území. Ze zdravotního hlediska byl rizikový zejména výskyt jódu 131
53I s poločasem
134
137
rozpadu 8 dní, cesia 55Cs s poločasem rozpadu 2 roky, cesia 55Cs s poločasem rozpadu 30,2
let a stroncia 90
38Sr které se ukládá v kostech a má poločas rozpadu 28,8 let. Porovnejte,
242
kolikrát pokleslo zamoření těmito izotopy v důsledku jejich radioaktivního rozpadu za 25 let
od havárie.
[jod už je (vzhledem k výchozímu počtu jader) dávno zcela rozložen, 134
55Cs 5793×,
1,83×]
5.6-10. Jaký izotop vznikne z
238
92U
137
55Cs
1,77×, 90
38Sr
po dvou rozpadech β a jednom rozpadu α?
[ 234
92U]
208
5.6-11. Konečným produktem radioaktivního rozpadu 232
90Th je 82Pb Kolik α a β částic se při
rozpadu uvolní?
[6α, 4β]
5.6-12. Aktivita radioaktivního vzorku klesla za hodinu z 1 30 108 B na 1 15 108 B
poločas rozpadu materiálu?
[
Jaký je
2 104 s]
5.6-13. Hmotnost deuteria 21D je
3 34447 10 27 kg hmotnost tritia 31T je T
5 00819
27
10
kg. Jedním z perspektivních zdrojů energie je jaderná fúze těchto izotopů vodíku, daná
4
vztahem: 21D 31T → 2He 10n
Je i součástí jaderného řetězce probíhajícího ve Slunci.
Kolik energie se jednou takovou reakcí uvolní? Hmotnost neutronu
= 1,674 927 ⋅ 10–27
kg, 42He helia
= 6,64647 ⋅ 10–27 kg.
[17,6 eV]
5.6-14. Porovnejte vazebnou energii na jeden nukleon u železa 56
26Fe, jehož atomová relativní hmotnost
238
je 55,93494, a uranu 92U jehož atomová relativní hmotnost je 238,05079. Atomová
hmotnostní konstanta u = 1,660 539 ⋅ 10-27 kg, hmotnost protonu
= 1,672 62⋅ 10–27 kg,
hmotnost neutronu
= 1,674 93 ⋅ 10–27 kg
[železo
uran
.]
5.6-15. Nejpronikavější ze tří typů radioaktivního záření je záření . Vypočtěte, jaká by musela být
tloušťka vrstvy betonu a olověné desky, aby intenzita 1MeV gama záření poklesla 1000 jeli polovrstva betonu 45 mm a olova 9 mm.
[cca 45 cm betonu nebo 9 cm olova]
243
Použitá literatura
1.) Friedman, R.: Principles of fire protectiopn chemistery and physics, NFPA Quincy
Massachusetts, 1998, ISBN: 0-87765-440-9
2.) Shackelford, R.: Fire behavior and combustion processes, DELMAR CENGAGE
Learning,2010, ISBN-13: 978-1-4018-8016-3
3.) Kleinbach, H., Hinrichs, A. .: Energy its use and the enviromental (Fifts edition),
BROOKS/COLE GENGAGE Learning 2011, ISBN-13: 978-1-133-10902-0
4.) Monteith, J., Unworth, M.: Principles of enviromental physics (3rd edition), AP
ELSEVIER 2010, ISBN 978-12-505103-3
5.) Syed NAeem, A.: Physics & engineering of readiation detection AP ELSEVIER 2007,
ISBN-13: 978-0-12-045581-2
6.) Halliday, D., Resnick, R., Walker, R.: Fyzika 1.-5. část, (VUT Brno) VUTIUM a
Prometheus Praha, ISBN 80-214-1868-0
7.) Barčová, K., Foukal, J.: Bakalářská fyzika pracovní texty…VŠB-TU Ostrava 2005,
ISBN: 80-76634-45-0
8.) Hajko, V. a kol.: Fyzika v príkladoch, SVTL Bratislava (2. vydanie), SNTL Praha
1962
9.) Hanzelik, F. a kol.: Zbierka riešených úloh z fyziky, Alfa Bratislava, 1989, ISBN 8005 00050-2
10.) Fojtek, A.: Bakalářská fyzika, VŠB-TU Ostrava 2005, ISBN 80-248-0950-8
11.) Fojtek, A.: Sbírka příkladů z bakalářské fyziky, VŠB-TU Ostrava 2006, ISBN 80248-1058-1
12.) Novotný, I., Pištora, J.: Fyzika I, VŠB-TU Ostrava 1981, ISBN 80-7078-834-8
13.) Kolektiv katedry fyziky: Sbírka příkladů z fyziky, VŠB-TU Ostrava 1971
244
Download

Sbírka úloh z fyziky se zaměřením na oborovou problematiku