Funkce
Uzavřené úlohy
1. Železniční koleje rovnoměrně stoupají tak, že ne každých dvou metrech je
převýšení 3cm. Mezi dvěma místy vzdálenými od sebe 1 420m je výškový
rozdíl :
a) 10,7m
b) 21,3m
c) 42,6m
d) 63,9m
e) 85,2m
Definičním oborem funkce
a) 1;2  2; 
f :y
b)  2;2  2; 
x2
je množina :
x  3x  2
c) 1;  
d) 2;  
e) 1;2
2
2. Automobil jedoucí rychlostí 90kmh-1 začne brzdit tak, že jeho klesající
rychlost je lineární funkcí času. Za 2 sekundy sníží svou rychlost na 72kmh -1.
Celková doba od začátku brzdění, za kterou automobil úplně zastaví, je :
a) 6 sekund b) 8 sekund c) 10 sekund d) 12 sekund
e) 14 sekund
3. Je dána funkce f1 : y = 2x – 3. Jestliže jsou grafy funkcí f1 a f2 souměrně
sdružené podle počátku soustavy souřadnic, potom :
a) f2 : y = 2x + 3
b) f2 : y = -2x - 3
c) f2 : y = -2x + 3
d) f2 : y =
1
x+3
2
1
e) f2 : y = - x - 3
2
4. Pro lineární funkci f platí f (-2) = 2
3
4
4
a) b)
c)
5
5
3
f (3) = -1. Hodnota f (1) je rovna :
1
5
d)
e) 5
3
5. Jestliže sin α= - 1 α  0;2  , potom :
a) tangens úhlu α není definován
b) tg α = 0
c) tg α = - 3
d) tg α =
3
3
e) tg α = -1
6. Lineární funkce f nabývá pro x = -2 hodnoty -14, pro x = 5 hodnoty 14.
Hodnoty 28 nabývá pro :
11
17
a) x = 12
b) x =
c) x = 14
d) x =
e) x = 10
2
2
7. Jestliže graf lineární funkce prochází body A 12;7 a B  4;3 , pak prochází
také body :
3
3
1
4 


4 

a) C  ;0 a E 0; 
b) D 1;0 a E 0; 
c) C  ;0 a F 0; 
2
5 
 5
 5
5 

1

d) D 1;0 a F 0; 
2

8. Nejmenší kladné číslo x , pro něž má funkce y = cos x stejnou funkční
5
hodnotu jako pro x = -  , je :
6
1
1
7
7
5
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
4
6
6
4
6
9. Obraz bodu X  4;3 ve středové souměrnosti se středem S  1;1 leží na
parabole :
a) y = 2x2
b) y = -x2 + 3
c) y = -2x2
d) y = x2 + 3
e) y = x2 – x + 1
10. Lineární funkce f , pro kterou platí f(-1) = 7 a f(3) =-5, je dána předpisem :
a) f : y = 3x + 10
b) f : y = x – 7
c) f : y = 3x + 4
d) f : y = -3x + 4
e) f : y = -3x – 4
11. Náramkové hodinky se za 5 hodin opozdí o 7sekund. Počet celých dní, které
by uplynuly, než by se hodinky opozdily o 5 hodin ( za předpokladu, že jdou
stále stejně rychle ), je roven :
a) 5
b) 53
c) 535
d) 5 350
12. Bazén má šest stejných přítokových otvorů. Jsou-li otevřeny tři z nich, naplní
se bazén za 24 hodiny. Funkce, která vyjadřuje závislost počtu y dní, za něž
se bazén naplní, na počtu x otevřených přítokových otvorů, je :
24
a) y=
b) y= 3x, x  {1;2;3; 4; 5; 6}
, x  {1;2;3; 4; 5; 6}
x
72
6
c) y=
d) y= , x  {1;2;3; 4; 5; 6}
, x  {1;2;3; 4; 5; 6}
x
x
e) y= 72 x, x  {1;2;3; 4; 5; 6}
2  3x
je množina :
3  2x
2 3
 2 3
b)   ; 
c)  ; 
3 2
 3 2
13. Definičním oborem funkce
3 3 

a)   ;    ;  
2 2 

2 3 

d)   ;    ;  
3 2 

f : y

2
3 
e)   ;   ;  
3
2 

14. Jestliže proměnná y je nepřímo úměrná proměnné u a proměnná u je
přímosměrná proměnné x, potom :
a) proměnná y je přímo úměrná proměnné x
b) proměnná y je nepřímo úměrná proměnné x
c) proměnná y je není přímo,ani nepřímo úměrná proměnné x
d) proměnná y je přímo a zároveň nepřímo úměrná proměnné x
15. Je dána funkce y = - 3x .Její graf posuneme o jednu jednotku délky ve směru
kladné poloosy x . Získáme tak graf funkce :
1
1
d) y = - x + 3 e) y = - x + 1
3
3
2
16. Průsečíky grafu funkce f : y = x – 2x -2 s osami souřadnic jsou body :
a) y = -3x + 1
b) y = -3x – 3

a)  1;0, 0;2
d)
 1 
c) y = -3x + 3




3;0 ,  1  3;0 , 0;2
e)

c)  1 3;0 , 0;1
b)  1;0, 1  3;0 , 0;2
 1 


3;0 , 1  3;0 , 0;2
17. Jsou dány nerovnice
sin x < 1 ,
sin x  2 ,
tg x < 106 ,
cos x  1 ,
cos x > -1,5 .
Množinou všech řešení :
a) právě jedné z nich je celá množina R
b) právě dvou z nich je celá množina R
c) právě tří z nich je celá množina R
d) právě čtyř z nich je celá množina R
e) všech pěti z nich je celá množina R
18. Kolik čísel z množiny { -2; 0; 1; 4; 5; 7 } patří do oboru hodnot funkce
f : y = -x2 + 4x + 1 ?
a) žádné
b) jedno
c) tři
d) čtyři
e) pět
19. V soudním lékařství se pravděpodobná výška člověka h cm určuje z délky
stehenní kosti s cm. Na základě statistických údajů byl pro ženy stanoven
vzorec h = 61,412 + 2,317 . s
a pro muže vzorec h = 69,089 + 2,238 . s.
Jaká byla pravděpodobná výška ženy, jejíž stehenní kost je dlouhá 39cm, a
pravděpodobná výška muže, jehož stehenní kost měří 54cm ?
a) žena měřila přibližně 154cm, muž měřil přibližně 185cm
b) žena měřila přibližně 152cm, muž měřil přibližně 190cm
c) žena měřila přibližně 156cm, muž měřil přibližně 188cm
d) žena měřila přibližně 159cm, muž měřil přibližně 182cm
e) žena měřila přibližně 163cm, muž měřil přibližně 175cm
20. Maximální hodnota funkce y = tg x . cotg x :
1
a) je 0
b) je 1
c) je 
d) je 
e) neexistuje
2
21. Pražská střední škola pořádá zájezd na jižní Moravu. Pronájem autobusu je
bude stát 5 500Kč, neboť autobusová společnost si účtuje 20Kč za 1km.
Označme x počet účastníků zájezdu a y Kč cestovné, které připadá na
jednoho účastníka. Funkce f vyjadřující závislost y na x je dána předpisem :
a) f : y 
550
.x
20
22. Množina všech
b) f : y  5500  20 x
c) f . y 
5500
x
d) f . y 
x
5500
x  0; 2  , pro která platí sin x > cos x, je :
1 1  5

a)   ;      ;2 
4 2  4

1

b)   ;  
4

1 3  5

c)   ;      ;2 
4 4  4

1 5 
d)   ;  
4 4 
1 3 
e)   ;  
4 4 
23. Funkce f : y = -x2 + 4x + 1 je :
a) rostoucí v intervalu  ; 5 a klesající v intervalu
5;  
b) rostoucí v intervalu  ; 5 a rostoucí v intervalu
5;  
a klesající v intervalu
2;  
a rostoucí v intervalu
2;  
c) rostoucí v intervalu  ; 2
d) klesající v intervalu  ; 2
24. Počet řešení rovnice tg2x = 0 v intervalu
0;2  je :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
25. Obor hodnot funkce
f :y
b)  ; 2
a)  ;3
26. Průsečíky grafu funkce
a)  4;0, 0;2
a)
1
2
b) -
1
2

je :
d)
 3;  
 6;  
e)
4
s osami souřadnic jsou body :
x2
c) 2;0, 0;4
d) 4;0, 0;4
e)  2;0, 0;4
y  2
b) 4;0, 0;4
27. Jestliže cos α =

1
x  22  6
2
c) 2;  
3
, potom číslo sin α e rovno :
2
1
1
1
3
c)
, nebo d)
, nebo
2
2
2
2
e)
3
2
28. Nejvyšší hodnota funkce f : y  5  x 3  x   1 je :
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
29. Oborem hodnot funkce y  1  x 1  x   2 x
a)  ; 0
b)  ; 2
c)
0;  
je interval :
d)
 1;  
e)
 2;  
30. Kvadratická funkce f , jejímž grafem je parabola s vrcholem V 0;5 a pro níž
platí f(-2) = -3 , je dána předpisem :
a) f : y  x 2  5
b) f : y   x 2  5
c) f : y  2 x 2  5
d) f : y  2 x 2  5
e) f : y  3x 2  5
31. Vrchol paraboly, která je grafem funkce f : y = 2x2 – 4x + 7 , leží na kružnici
se středem v počátku soustavy souřadnic a poloměrem :
a) r  2
b) r  26
c) r  5
d) r  4 2
e) r  6,1
Otevřené úlohy
32. Jsou dány funkce f : y = 2x – 4 a g : y = -2x2 + 16 x – 24.
a) Určete definiční obory a obory hodnot funkcí f a g a sestrojte jejich grafy.
b) Vypočtěte souřadnice průsečíků grafů funkcí f a g.
33. Obchodník rozváží zboží po trasách délky do 80km od své prodejny. Rozvoz
pro něj zajišťují dopravci A a B. Dostal od nich tyto cenové nabídky :
A: 12Kč za každý kilometr
B: základní sazba 350Kč za jednu jízdu a navíc 5Kč za každý kilometr
a) Nechť x km je délka jízdy a c Kč cena za dopravu. Funkce vyjadřující
závislost c na x u dopravců A a B označme fA a fB . Sestavte předpisy pro obě
tyto funkce.
b) Sestrojte grafy funkcí fA a fB .
c) Pro jakou délku jízdy jsou cenové nabídky obou dopravců stejné ?
d) Který dopravce je levnější pro dopravu zboží po trase délky 20km, 40km,
60km ?
e) Obchodník se rozhodl využívat služeb obou dopravců – dopravu do každého
místa si objedná vždy u toho z nich, který zboží do tohoto místa dopraví
levněji. Sestrojte graf funkce f vyjadřující závislost c na x .
34. Graf lineární funkce f prochází body K 3;2, L 1;4 .
a) Sestavte předpis pro funkci f .
 1
b) Zjistěte, zda bod M 6;  leží na grafu funkce f .
 2
c) Určete průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic.
d) Určete, pro které hodnoty nezávisle proměnné jsou hodnoty funkce f větší než
2.
35. Určete reálná čísla a a b tak, aby přímka p daná rovnicí
2a
3b
.x  11y 
0
5
2
3
Byla grafem funkce f : y  x  2
4
36. Závislost délky pružiny na hmotnosti závaží, které na ni zavěsíme, je pro
závaží o hmotnosti 0kg až 20kg dána lineární funkcí. Při zatížení závažím o
hmotnosti 2kg má pružina délku 13cm, při zatížení závažím o hmotnosti 10kg
má délku 25cm.
a) Sestavte funkční předpis vyjadřující závislost délky pružiny na
hmotnosti zavěšeného závaží.
b) Určete délku nezatížené pružiny.
c) Sestrojte graf závislosti délky pružiny na hmotnosti zavěšeného závaží.
37. Auto má spotřebu 6 litrů benzinu na 100km. Na začátku jízdy mělo v plné
nádrži 36 litrů benzinu.
a) Vyjádřete závislost počtu litrů benzinu v nádrži na počtu ujetých kilometrů.
b) Závislost z části a) znázorněte graficky.
c) Po kolika kilometrech jízdy zbude v nádrži poslední litr benzinu ?
38. Je dána funkce f : y  3x  2  x  5, x   4; 3 .
a) Sestrojte její graf.
b) Určete obor hodnot funkce f .
c) Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce f s osami souřadnic.
39. Je dána funkce g : y  4 x  3  x 2 , x   4;1 .
a) Sestrojte její graf.
b) Určete obor hodnot Hg funkce g .
c) Vypočtete souřadnice průsečíků grafu funkce g s osami souřadnic .
d) Určete, pro která reálná čísla x platí g x   3 .
40. Pravidelný čtyřboký hranol má délku podstavné hrany x metrů, jeho boční
hrana je o 2cm delší. Délky všech hran se zvětší o 0,5m. Ukažte, že přírůstek
číselné hodnoty :
a) objemu hranolu vyjádřeného v m3 je kvadratickou funkcí proměnné x
b) povrchu hranolu vyjádřeného v m2 je lineární funkcí proměnné x
41. Farmář hodlá část pozemku, který z jedné strany přiléhá k dlouhé zdi, ohradit
plotem tak, aby ohrazená část měla tvar pravoúhelníku. Má k dispozici 80
metrů pletiva. Určete rozměry ohrazeného pozemku tak, aby měla maximální
možnou výměru.
42. a) Napište předpis pro kvadratickou funkci f , jejíž graf protíná osy souřadnic
v bodech 0;5,  1;0, 5;0 .
b) Napište předpis pro kvadratickou funkci g , jejíž graf je souměrný
s grafem funkce f z bodu a) podle :
α) osy x
β) osy y
λ) počátku soustavy souřadnic
43. Plastová židle má prohnuté sedátko. Při zatížení se toto prohnutí zvětší,
přitom prohnutí je lineární funkcí hmotnosti osoby, která na židli usedne. Když
si na židli sedla osoba o hmotnosti 40kg, bylo sedátko prohnuto o 6,2cm,
zatímco při usednutí osoby o hmotnosti 60kg bylo prohnutí sedátka rovno
6,7cm. Jak velké bude prohnutí sedátka, sedne-li si na židli osoba o hmotnosti
90kg?
44. Do funkčního předpisu y = x2 * 4x *5 dosaďte na místa hvězdiček všemi
možnými způsoby znaménka + a - .Pro každý získaný předpis určete vrchol
a průsečíky s osami souřadnic paraboly, která je grafem příslušné funkce ;
parabolu sestrojte.
45. V teorii tenisové hry bylo zjištěno, že počet procent y úspěšných úderů závisí
na relativní četnosti x počtu lobů ( přehozů přes hlavu ) vzhledem k počtu
všech úderů. Tato závislost je popsána funkcí
y  30  40 x  50 x 2 , x  0;1
Určete , při jaké relativní četnosti lobů dosahuje tenista maximálního procenta
úspěšných úderů. Maximální procento úspěšných úderů vypočtěte.
46. Nechť f je lineární funkce.
a) Sestavte předpis zadávající funkci f , jestliže na grafu této funkce leží body
A2;3, B3;2.
b) Zjistěte, zda na grafu funkce f leží bod C5;1.
c) Rozhodněte, zda graf funkce f protíná graf funkce f . y  2 x  1.
d) Určete průsečík grafu funkce f s osou x.
47. Ocelový drát délky 40cm ohneme ve třech místech do pravého úhlu tak, že
z drátu vytvarujeme obdélník s rozměry x cm a y cm o obsahu S cm2.
a) Vyjádřete y jako funkci x .
b) Vyjádřete S jako funkci x .
c) Pro které x má vytvarovaný obdélník obsah 96cm2?
d) Pro které x je obsah vytvarovaného obdélníku největší ?
48. Řešte soustavu rovnic :
x 3
1

y  2  sin x 2  3 
2

49. Ze čtvercového papíru o délce strany a metrů vystřihujeme ve vrcholech
menší čtverce se stranou délky x metrů a ze zbylého papíru skládáme
přehnutím krabice tvaru kvádru bez víka.
a) Napište předpis funkce, která vyjadřuje závislost objemu krabice na proměnné
x.
b) Jak se změní objem krabice, vyrobené popsaným způsobem ze čtvercového
papíru se stranou délky 1m, jestliže výšku krabice zmenšíme z 0,3m na
0,2m?
50. Grafem kvadratické funkce f : y  x 2  6 x  4 je parabola s vrcholem V, která
protíná osu x v bodech A a C a osu y v bodě D.Jednotkou délky na obou
osách souřadnic je 1cm. Určete obsah čtyřúhelníku AVCD.
51. Reálná čísla a a b jsou taková, že graf funkce f : y = a . sin x + b prochází
1

body A  ; 3  1, B ;1 .
3

a) Dokažte, že a = 2, b = -1
b) Najděte všechny průsečíky grafu funkce f s osou x, jejichž x-ové souřadnice
splňují podmínku 0  x  2 .
Download

Funkce - Střední škola EDUCHEM as