MATEMATIKA
uxbenik za ~etvrti razred osnovne {kole
sa zadacima za ve`bawe
2. deo
[ta sadr`i ova kwiga
SKUP PRIRODNIH BROJEVA
POVR[INE
[email protected] I DEQEWE
U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–83
Mno`ewe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . 4–39
Deqewe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . 40–64
Izvodqivost operacija mno`ewa i deqewa
u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65–66
Svojstva operacija mno`ewa i deqewa . . . . . . . . . . . . 67–81
KVADAR I KOCKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84–109
Osobine kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87–92
Mre`a povr{i kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93–100
Povr{ina kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101–107
[ta smo nau~ili u ~etvrtom razredu . . . . . . . . . . . . 149–159
[ta smo nau~ili . . . . . . . . . . 82–83, 108–109, 123, 147–148
[ta smo nau~ili – re{ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160–162
MATEMATI^KI IZRAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110–123
Prosti i slo`eni izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112–114
Vrednost izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115–116
Re{avawe zadataka pomo}u izraza . . . . . . . . . . . . . . 117–122
I ovo je matematika . . . 11, 29, 34, 56, 70, 92, 100, 107, 122
I ovo je matematika – re{ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Istra`iva~ki zadatak . . . . . . . . . . . . . . . . 56, 64, 92, 95, 121
Da li zna{ . . . . 50, 54, 57, 61, 63, 85, 90, 100, 107, 122, 148
JEDNA^INE I NEJEDNA^INE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124–148
Jednostavnije jedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126–132
Jednostavnije nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133–138
Re{avawe slo`enijih jedna~ina i nejedna~ina . . . 139–146
Iz istorije matematike . . . . . . . . . . . . . . 37, 68, 85, 122, 148
Za qubiteqe kompjutera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29, 54, 70, 99
Prilozi
3
[email protected] I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA
Mno`ewe u skupu prirodnih brojeva
•
•
•
•
•
kako se prirodan broj mno`i i deli dekadnom jedinicom
da mno`i{ i deli{ prirodne brojeve
koja su svojstva operacija mno`ewa i deqewa u skupu prirodnih brojeva
da primeni{ svoje znawe u raznim zadacima
utvrdi}e{ svoje znawe o operacijama mno`ewa i deqewa
Svakog minuta u svetu se rode 153 bebe.
Koliko beba se rodi za jedan sat? ........... • ...........
Koliko za 2 sata? (........... • ...........) • ...........
Koliko za jedan dan? (........... • ...........) • ...........
U tre}em razredu nau~io si da mno`i{ trocifrene brojeve jednocifrenim.
Nakon ovog poglavqa mo}i }e{ da izra~una{ proizvod bilo koja dva broja.
1.
Predstavi u obliku proizvoda slede}e zbirove:
a) 7 + 7 + 7 + 7 + 7+ 7+ 7+ 7 = ..............................
b) 99 + 99 + 99 + 99 + 99 = .......................................
v) 215 + 215 + 215 + 215 = ........................................
2.
Predstavi proizvode u obliku zbira jednakih sabiraka:
a) 3 • 100 = .............................................................................................................................................................
b) 9 • 27 = ................................................................................................................................................................
v) 4 • 4 = ...................................................................................................................................................................
4
0
0
50
50
50
0
50
50
50
50
50
20
50
10
2 00
0
2 00
20
0
5.
Popuni tabelu i pro~itaj je:
Miodrag .........................................
Popuni tabelu i pro~itaj je:
prvi ~inilac
21
170
200
deqenik
72
240
1 000
drugi ~inilac
6
3
4
delilac
9
8
2
koli~nik
Bez izra~unavawa upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, > ili =):
a) 18 • 4
b) 10 • 36
7.
50
Aleksa .........................................
proizvod
6.
50
0
4.
10
780
50
50
50
.............................................
1 00
0
1 00
2 00
10
1 00
10
1 00
0
2 00
20
Koji od de~aka ima
dovoqno novca da
kupi teniski reket?
20
3.
18 • 8
5 • 36
v) 100 • 5
5 • 100
d) 144 : 9
144 : 3
g) 180 : 4
180 : 5
|) 810 : 9
270 : 9
Popuni tabelu i saznaj ne{to vi{e o `ivotiwama i o broju mladunaca koje donose na svet:
`enka
`ivotiwe
broj
broj legala
mladunaca
u toku 1 godine
po leglu
broj mladunaca
u toku 1. godine
`ivota
•
du`ina
`ivota
u godinama
ukupan broj
mladunaca
•
= .........
3
.........
8
.....................................
2
.....................................
1 leglo
na 2 godine
1
1 mladun~e
na 2 godine
70
.........
1 leglo
na 2 godine
1
1 mladun~e
na 2 godine
90
.....................................
hr~ak
9
10
zec
6
slon
kit
ubica
.........
.........
•
.........
.........
= .........
= .........
5
Mno`ewe broja dekadnom jedinicom
1.
Izra~unaj i zapi{i proizvode:
a) 3 • 10 = .........
67 • 10 = .........
b) 3 • 100 = .........
7 • 10 = .........
85 • 10 = .........
7 • 100 = .........
Broj mno`imo sa 10
tako {to mu zdesna
dopi{emo ............................
2.
3.
Dopi{i broj koji nedostaje, tako da jednakost bude ta~na:
a) 5 • ............ = 50
b) 5 • ............ = 500
9 • ............ = 90
9 • ............ = 900
57 • ............ = 570
93 • ............ = 930
Broj mno`imo sa 100
tako {to mu ...........................
dopi{emo ............................
Podseti se: 1 m = ............ dm = ............ cm
1 dm = ............ cm = ............ mm
Popuni prazna poqa:
2 m = ............ dm
4.
1 m = ............ cm
4 dm = ............ cm
2 dm = ............ mm
a) Koji broj je 10 puta ve}i od broja 73? .........................................................................
b) Koji broj je 100 puta ve}i od broja 8? .........................................................................
5.
Pove`i iste brojevne vrednosti.
600
110
6 • 10
6
60
6 • 100
86
86 • 10
860
1 • 100
100
Podseti se: Brojeve 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000 ... nazivamo dekadne jedinice.
1.
Pomno`i slede}e brojeve:
a) 7
•
1 000 = 7 H = 7 000
14
•
1 000 = 14 H = 14 000
324
•
1 000 = 324 H = 324 ..... ..... ......
1 942
•
1 000 = ..................... = ........................................
b) 15
•
10 000 = 15 DH = 800 000
627
•
10 000 = 627 DH = 6 27.....
1 356
•
10 000 = ..................... = ........................................
...... ...... ......
Broj mno`imo sa 1 000 tako {to mu zdesna
Broj mno`imo sa 10 000 tako {to
dopi{emo ................... nule.
........................................................................................................... .
v) 8
•
100 000 = 8 SH = 800 000
23
•
100 000 = 23 SH = 2 300 000
137
•
100 000 = 137 SH = 13 7..... .....
5 342
•
100 000 = ..................... = ........................................
...... ...... ......
................................
g) 62
•
1 000 000 = 62 M = 62 000 000
458
•
1 000 000 = 458 M = 458
1 356
•
1 000 000 = ..................... = ........................................
...... ...... ...... ...... ...... ......
Broj mno`imo sa 100 000 tako {to .................................
Broj mno`imo sa 1 000 000 tako {to ...........................
.............................................................................................................. .
........................................................................................................... .
2.
Pomno`i slede}e brojeve dekadnim jedinicama:
a)
8 • 10 = ...........
b)
384 • 10 000 = ................................................
91 • 100 = 9 100
3 704 • 1 000 = ................................................
123 • 1 000 = 123 000
5 • 1 000 000 = ................................................
4 • 10 000 = 40 000
78 • 100 000 = ................................................
25 • 100 000 = ............................................
432 • 1 000 000 = ............................................
453 • 100 000 000 = ................................................
54 789 • 1 000 = ................................................
Prirodan broj mno`imo dekadnom jedinicom tako {to mu zdesna dopi{emo onoliko nula
koliko ih ta dekadna jedinica ima.
7
1.
Upi{i izostavqeni ~inilac.
a) 7 • .................................... = 7 000
b)
39 • .................................... = 390 000
.................
81 • .................................... = 81 000 000
.................
159 • .................................... = 15 900 000
2.
35 • 10 000
5.
8
•
100 = 5 600
1 000 = 750 000
10 000 = 500 000
1 000 000 = 100 000 000
4 • 1 000
756 • 100 000
856 • 10 000
350 • 1 000
45 • 1 000 000
41 • 1 000 000
1 hl = ................. l
Dopi{i brojeve:
1 kg = ................. g
a) 6 m = ...................................... cm
1 t = ................. kg = ................. g
4.
.................
•
•
•
Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, > ili =).
3 • 1 000
3.
.................
b) 135 hl = ...................................... l
16 km = ...................................... m
78 kg = ...................................... g
28 km = ...................................... dm
236 t = ...................................... kg
143 km = ...................................... cm
89 t = ...................................... g
a) Koji broj je 1 000 puta ve}i od broja 324?
b) Koji broj je 100 000 puta ve}i od broja 23 456?
............................................................................................................
...............................................................................................................
Izra~unaj vrednosti slede}ih izraza:
a) 1 000 • 1 000 = ......................................
b) 100 • 10 000 = ......................................
v) 10 • 100 000 = ......................................
g) 1 • 1 000 000 = ......................................
Mno`ewe broja vi{estrukom dekadnom jedinicom
1.
Napi{i sve:
a) dekadne jedinice do 1 000 000: 1, 10, 100, ................................................................................................................
b) vi{estruke desetice do 100: 20, 30, ..............................................................................................................................
v) vi{estruke stotine do 1 000: 200, ...................................................................................................................................
g) vi{estruke hiqade do 10 000: ............................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
d) vi{estruke milione do 10 000 000: ................................................................................................................................
.....................................................................................................................................................................................................................
2.
Koliko pribli`no (ne ra~unaju}i prestupne godine) ima dana u:
a) jednoj deceniji?
........................................................................................................................
b) jednom veku?
........................................................................................................................
v) jednom milenijumu?
........................................................................................................................
9
1.
Primeni svojstvo zdru`ivawa ~inilaca u ra~unawu proizvoda:
a) 2 • 30 = 2 • (3 • 10) = (2 • 3) • 10 = 6 • 10 = ...............
b) 8 • 200 = 8 • (2 • 100) = (8 • 2) • ............ = ..............................................
v) 2 • 6 000 = 2 • (6 • 1 000) = (............ • ............) • ............. = ..............................................
2.
Primeni svojstva zamene mesta ~inilaca i zdru`ivawa ~inilaca u ra~unawu proizvoda:
a) 70 • 4 = 4 • 70 = 4 • (7 • 10) = (........... • ...........) • ........... = ........... • ........... = ...........
b) 300 • 5 = 5 • ........... = .......................................................................................................................................................
3.
Dovr{i zapo~eto ra~unawe:
a) 5 • 70 000 = (5 • 7) • 10 000 = ........... • .................... = .............................
b) 9 • 4 000 000 = (........... • ...........) • ............................. = .................................................................................
v) 600 000 • 3 = .............................................................................................................................................................
4.
Izra~unaj napamet i zapi{i proizvod:
a) 6 • 40 = .............................
b) 30 • 7 = .............................
5 • 7 000 = .............................
9 000 • 3 = .............................
4 • 3 000 000 = .............................
4 000 000 • 8 = .............................
Prirodan broj mno`imo vi{estrukom dekadnom jedinicom tako {to taj broj pomno`imo brojem dekadnih
jedinica, a zatim tom proizvodu dopi{emo zdesna onoliko nula koliko ih ima ta dekadna jedinica.
5.
Izra~unaj vrednosti proizvoda:
a) 14 • 30 = 14 • (3 • 10) = (14 • 3) • 10 = 42 • 10 = .................
b) 24 • 50 000 = (24 • 5) • 10 000 = ......................................................
v) 37 • 5 000 000 = (.......... • ..........) • ............................... = ...........................................
6.
Dopuni jednakosti:
a) 20 • 60 = (2 • 10) • (6 • 10) = (2 • 6) • (10 • 10) = 12 • 100 = .................
b) 500 • 6 000 = (........ • ........) • (........... • ...........) = .....................................................
v) 7 000 • 3 000 000 = .........................................................................................................
10
Kako se mno`e vi{estruke
dekadne jedinice?
Brojevi dekadnih jedinica
se pomno`e i proizvodu
se zdesna dopi{e onoliko
nula, koliko ih ukupno
imaju vi{estruke dekadne
jedinice.
1.
Izra~unaj proizvode kao {to je pokazano:
43 • 20 = 43 • (2 • 10) = (43 • 2) • 10 = 86 • 10 = ...........
51 • 20 = (51 • 2) • 10 = 102 • ........ = ..................................................................................
Koliko nula }e{
ispisati ako
napi{e{ sve
brojeve od 1 do 100?
32 • 50 = ............................................................................................................................................
................................................
9 • 30 = 9 • (........ • ........) = .........................................................................................................
26 • 60 = ............................................................................................................................................
................................................
Koje si pravilo primenio(primenila)? ......................................................................
2.
Dopuni jednakosti tako da budu ta~ne:
a) 2 • 5 = 10
2 • ........... = 100
b) ........... • 60 = 180
...........
3.
•
7 = 420
6 • 5 = ...........
6 • 7 • 1 = ...........
3 • 0 • 4 = ...........
60 • ........... = 300
6 • 70 • ........... = 420
30 • 0 • 40 = ...........
40 • 20 = ...........
50 • ........... = 1 500
70 • 8 • ........... = 560
25 • 20 = ..............
Izra~unaj proizvode:
a) 20 • 40 = (2 • 10) • (4 • 10) =(2 • 4) • (10 • 10) = 8 • 100 = ...............
30 • 70 = .........................................................................................................................
40 • 60 = .........................................................................................................................
60 • 90 = .........................................................................................................................
b) 20 • 20 = (2 • 2) • 100 = ...............
Koliko cifara treba
da upotrebi{ da bi
ispisao sve brojeve
od 1 do 1 000?
50 • 50 = ........... • ........... • ........... = ...............
................................................
70 • 70 = ........... • ........... • ........... = ...............
................................................
90 • 90 = ........... • ........... • ........... = ...............
v) 300 • 20 = (3 • 2) • (100 • 10) = 6 • 1 000 = ...............
400 • 50 = .........................................................................................................................
60 • 700 = .........................................................................................................................
70 • 900 = .........................................................................................................................
800 • 90 = .........................................................................................................................
11
4.
5.
Izra~unaj proizvode:
25 • 1 000 = ............................
25 • 2 000 = 25 • (2 • 1 000) = (25 • 2) • 1 000 = .................................
34 • 1 000 = ............................
34 • 2 000 = ................................................................................................................
Dopi{i ~inilac koji nedostaje tako da jednakosti budu ta~ne.
a) 100 = ............ • 2
100 = ............ • 20
b) 1 000 = ............ • 2
1 000 = ............ • 125
v) 5 • 7 = 35
5 • ............... = 35 000
6.
5
10
12
100 = ............ • 5
100 = ............ • 10
100 = ............ • 25
100 = ............ • 50
100 = ............ • 100
1 000 = ............ • 100
1 000 = ............ • 250
1 000 = ............ • 200
1 000 = ............ • 10
8 • 4 = ............
9 • 3 = ............
800 • 400 = ..................
............
•
6 • 7 = ............
300 = 27 000
6 • 7 000 = ..................
5
2
Popuni prazna poqa kao {to je zapo~eto.
2
7.
100 = ............ • 4
10
8
3
10
4
5
3
10
50
U fotokopirnici su istaknute cene:
Koliko novca }e Milena izdvojiti za kopirawe:
Broj strana
Cena po strani
a) 10 strana kwige? ................................................................
1 – 10
6 din.
b) 90 strana kwige? ................................................................
11 – 50
5 din.
51 – 100
4 din.
101 – 500
3 din.
501 – 1 000
2 din.
g) Ako Milena kopira polovinu kwige za sebe i svojih
9 drugarica, da li }e to biti jeftinije nego da svaka kopira
posebno? Obrazlo`i odgovor. .......................................................................
preko 1 000
1 din.
...............................................................................................................................................
v) polovine kwige, ako cela kwiga ima 200 strana?
...............................................................................................................................................
Mno`ewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem
Izra~unaj proizvode brojeva na pokazani na~in.
2.
1. na~in („usmeno“)
1.
413 • 2 = (400 + 10 + 3) • 2 =
= 400 • 2 + 10 • 2 + 3 • 2 =
= 800 + ........... + ........... =
Mno`imo prvo stotine,
zatim desetice
i na kraju jedinice.
Ili usmeno, zapisivawem, proizvod
zapisujemo i ra~unamo na slede}i na~in:
4 1 3
4 0 0
1 0
3
•
•
•
•
2
2 = 8 0 0
2=
..........
2=
......
= ...........
................
2. na~in („pismeno“)
3.
Trocifrene brojeve mo`emo da pomno`imo i pismenim putem.
413 • 2 = (4 • 100 + 1 • 10 + 3 • 1) • 2 =
= (4 • 2) • 100 + (1 • 2) • 10 + (3 • 2) • 1 =
= 8 • 100 + 2 • 10 + 6 • 1 =
= ........... + ........... + ........... =
= ...........
Ili kra}e,
kori{}ewem
tabele mesnih
vrednosti:
S
4
D
1
J
3
........
........
6
•
2
Ra~unamo:
2 • 3J = 6J
2 • ....... D = ....... D
2 • ........... = ...........
Ili, jo{ kra}e,
potpisivawem:
413 • 2
..........6
Mno`imo prvo jedinice, zatim desetice i na kraju stotine.
4.
Izra~unaj proizvod brojeva 215 i 3.
Kori{}ewem tabele mesnih vrednosti:
S
D
J
1
2
1
5
........
........
5
•
3
Ra~unamo:
3 • 5 J = 15 J = 1 D + 5 J
3 • ......D + 1 D = ......D + 1 D = ......D
3 • ........ = ........
Ili kra}e, potpisivawem:
1
215 • 3
.........5
13
5.
Izra~unaj proizvod brojeva 172 i 4.
Ili kra}e, potpisivawem:
Kori{}ewem tabele mesnih vrednosti:
S
D
J
2
6.
1
7
2
........
8
8
8.
4
7.
11
265
....95
•
•
3
2
Ra~unamo:
4 • 2J = 8J
4 • 7 D = 28 D = 2 S + 8 D
4 • ........ + ........ = ........ + ........ = ........
Ra~unamo:
3 • 5 J = 15 J = 1 D + ........J
3 • 6 D + 1 D = 18 D + 1 D = 19 D = 1 S + ........ D
3 • ........ + ........ = ........ + ........ = ........
172
....88
2
205
....20
•
4
.............................................
Izra~unaj „usmeno“ proizvod brojeva 405 i 2.
..............................................................................................................................................................................................................
Izra~unaj „pismeno“
1. na~in
na dva na~ina, proizvod
S
D
brojeva 195 i 4.
2. na~in
J
•
Ra~unamo:
14
4
4
Ra~unamo:
4 • 5 J = 20 J = 2 D + 0 J
4 • 0 D + ......... = ..........
..............................................................................................................................................................................................................
9.
•
Postupak mno`ewa brojeva ve}ih od 1 000 ne razlikuje se od postupka mno`ewa koji si dosad ve} nau~io.
1.
Izra~unaj proizvod brojeva 2 318 i 4.
1. na~in („usmeno“)
Proizvod ra~unaj usmeno primewuju}i svojstvo mno`ewa zbira brojem:
2 318 • 4 = (2 000 + 300 + 10 + 8) • 4 =
= 2 000 • 4 + 300 • 4 + 10 • 4 + 8 • 4 =
= 8 000 + 1 200 + ........ + ........ =
= ................
Vi{ecifrene brojeve usmeno mno`imo jednocifrenim brojem
isto kao {to smo mno`ili trocifrene brojeve: zdesna ulevo.
2. na~in („pismeno“)
Kori{}ewem tabele mesnih vrednosti:
H
1
S
D
3
J
2
3
1
8
........
2
7
2
Ili, jo{ kra}e,
potpisivawem:
•
4
Ra~unamo:
4 • 8 J = 32 J = 3 D + 2 J
4 • 1D + 3D = 4D + 3D = 7D
4 • 3 S = 12 S = 1 H + 2 S
4 • 2 H + 1 H = 8 H + 1 H = ........H
1
3
2318
....2 7 2
•
4
Vi{ecifrene brojeve pismeno mno`imo jednocifrenim brojem isto kao {to smo pismeno
mno`ili trocifrene brojeve: zdesna ulevo, prvo jedinice, zatim desetice, stotine, hiqade...
15
1.
Izra~unaj proizvode brojeva:
„usmeno“
„pismeno“
H
2.
S
a) 3 957 i 2
b) 5 043 i 9
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
...............................................................................................
1. kori{}ewem tabele:
D
J
U tabeli su dati podaci
o nekim `ivotiwama
selicama. Izra~unaj
koliki put u toku
godine pre|e u selidbi
svaka od `ivotiwa:
Koja `ivotiwa prevali
najdu`i put?
.....................................................
16
DH
H
2. potpisivawem:
S
D
J
`ivotiwa
du`ina puta u jednom
smeru u km
leptir monarh
5 000
morska korwa~a
4 000
sivi kit
10 000
bela roda
5 500
tuqan krzna{
4 500
arkti~ka lasta ili ~igra
20 000
slepi mi{
2 000
jeguqa
3 000
kraqevski pingvin
1 500
krznasta foka
7 000
losos
320
bizon
1 300
ukupna du`ina puta
u oba smera
3.
Popuni tabelu:
•
2
3
4
2 153
1 440
1 503
4.
Re{i zadatke. Upi{i u prazna poqa odgovaraju}e slogove iz kqu~a. Dobi}e{ re{ewe zagonetke.
Korice ima – no` nije;
Listove ima – drvo nije;
Najvi{e zna, najmawe govori.
a) Dati su brojevi 352 006 i 9. Izra~unaj wihov proizvod.
b) Izra~unaj na lak{i na~in:
14 074 + 14 074 + 14 074 + 14 074 + 14 074 + 14 074 – (9 773 + 9 773 + 9 773 + 9 773) =
..................................................................................................................................................................................................
5.
NO
PO
KWI
KAN
ZVO
GA
3 248 004
46 252
3 168 054
5 822
83 260
45 352
Prona|i gre{ke u ra~unu i ispravi ih.
1 477
2 944
•
2
4 169
12 508
•
3
3 007
•
2
9 051
17
6.
a) Milan ima 9 godina i 16 dana. Jovan je pre tri dana proslavio trihiqaditi dan svog `ivota.
Ko je stariji – Milan ili Jovan? (Ra~unaj da godina ima 365 dana.) ..........................................
b) Koliko dana je pro{lo od tvog ro|ewa? .............................................................................................................................
7.
Koliko dana pro|e od po~etka jedne prestupne
godine do po~etka slede}e prestupne godine?
........................................................................................................
8.
U~enici IV razreda skupqali su novac za kwige za {kolsku biblioteku. Skupqeno je 15 000 din.
Za biblioteku je potrebno kupiti pet kompleta {kolske lektire, tri enciklopedije i jedan CD
Istorija Srbije i znamenite li~nosti. U tabeli su date cene. Unesi ostale podatke.
a) Koliko }e novca biti potrebno za kupovinu?
izdawe
Komplet {kolske lektire za IV razred
cena po komadu
u dinarima
broj komada
cena po poruxbini
u dinarima
2 078
Enciklopedija
957
CD Istorija Srbije i znamenite li~nosti
830
ukupno din.
18
b) Da li je mogu}e kupiti vi{e kwiga i CD-ova nego {to je bilo planirano? ..........................................................
9.
Sanela iz Novog Pazara putuje u Beograd na oktobarski sajam kwiga. Cena karte u jednom smeru
je 758 dinara, a cena povratne karte 1416 dinara. Koja karta je jeftinija i za koliko?
...................................................................................................................................................................................................................................
10.
Proizvodwa mleka pro{le godine u Vojvodini iznosila je 316 miliona litara.
U celoj Republici Srbiji ona je 5 puta ve}a nego u Vojvodini.
a) Kolika je proizvodwa
mleka u Republici Srbiji?
.............................................................
11.
b) Kolika je proizvodwa mleka
u centralnoj Srbiji?
.............................................................
Malo pozori{te „Du{ko Radovi}“
Predstava Mala Sirena
termin
cena karte
Pogledaj dati repertoar za pozori{nu predstavu.
a) Koliko }e platiti karte tata i wegova }erka ako idu
da gledaju predstavu od 12 h?
....................................................................................................................
12 h
za odrasle 350 din
za decu 300 din.
17 h
za odrasle 400 din
za decu 350 din.
b) Tata sa troje dece je karte platio 1 450 din.
U kom su terminu oni gledali predstavu?
....................................................................................................................
19
12.
Margitini mama i tata planiraju da na novogodi{wem va{aru kupe poklone: po par cipela i jaknu
za Margitu i wenog brata; po par rukavica i {al za baku i dedu. Cena jedne jakne je 2 107 din., jednog
para cipela 2 356 din., a jednog kompleta {ala i rukavica je 553 din. Ako su Margitini roditeqi
za kupovinu poklona odvojili 10 000 dinara, da li }e imati dovoqno novca da kupe poklone?
Odgovor: ........................................................................................................................................................................................................
13.
Ne ra~unaju}i vrednosti proizvoda, pove`i karton~i}e sa istom brojnom vredno{}u.
289 • 3
5 512
1 378 • 4
6 240
995 • 5
4 975
780 • 8
867
Na osnovu ~ega }e{ povezati karton~i}e?
.............................................................................................................
.............................................................................................................
.............................................................................................................
321 • 2
14.
642
.............................................................................................................
4 231
U sredi{tu lavirinta nalazi
se broj 108 640, koji je
proizvod nekih od navedenih
brojeva. Prona|i put do
sredi{ta lavirinta.
Prolaskom kroz vrata dati
brojevi postaju ~inioci.
Kroz koja vrata }e{ pro}i
da bi stigao do sredi{ta
lavirinta?
25
35
3 104
108 640
5 142
35
21
5 287
20
Mno`ewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem
1.
Izra~unaj proizvode brojeva koriste}i znawa o mno`ewu brojeva vi{estrukim deseticama.
a) 78 • 30 = 78 • (3 • 10) = (78 • 3) • 10 = 234 • .......... = ...................
b) 349 • 50 = 349 • (5 • ..........) = (349 • 5) • .......... = .......... • .......... = .....................
v) 1 374 • 40 = 1 374 • (.......... • ..........) = (1 374 • ..........) • .......... = ........................................................................
g) 23 541 • 70 = .............................................................................................................................................................................
2.
Izra~unaj proizvode brojeva predstavqaju}i drugi ~inilac kao zbir vi{estruke desetice
i jedinica.
a) 32 • 24 = 32 • (20 + 4) = 32 • 20 + 32 • 4 = (32 • 2) • 10 + 128 = 64 • 10 + 128 = 640 + 128 = .............
b) 26 • 25 = 26 • (20 + 5) = 26 • 20 + 26 • ........ = (26 • 2) • .......... + .......... = .................................................................
3.
Koji broj je 38 puta ve}i od broja 34?
..................................................................................................................................................................................................................................
4.
@enka iguane (ili malog zmaja) godi{we polo`i
25 jaja. Iguane mogu da `ive 25 godina. Koliko
ukupno jaja `enka polo`i za to vreme?
......................................................................................................................
......................................................................................................................
21
1.
Izra~unaj pismenim postupkom proizvod brojeva 146 i 23. Mo`emo mno`iti na dva na~ina.
1. na~in
Prvo mno`imo deseticama, pa onda jedinicama.
146 • 23 = 146 • (20 + 3) =
= 146 • 20 + 146 • 3 =
= 146 • (2 • 10) + 146 • 3 =
= (146 • 2) • 10 + 146 • 3
1
Prvi korak pri izra~unavawu proizvoda svodi se na
dva mno`ewa jednocifrenim brojem: 146 • 2 i 146 • 3.
11
146
•
2
146
....9 2
•
3
....3 8
Drugi korak – prvi proizvod pomno`i jo{ sa 10 i dobijene proizvode saberi.
Prvi proizvod: 292 • 10 = ..........
Drugi proizvod:
Zbir je:
438
Pazi kako potpisuje{: jedinice ispod jedinica,
desetice ispod desetica, stotine ispod stotina ...
..........
Kra}e to zapisujemo na slede}i na~in:
H
2
+
........
S
1
D
4
J
6
9
2
0
4
3
8
........
........
8
•
23
Ra~unamo:
146 • 20 = (146 • 2) • 10
146 • 3
po{to 0 u prvom sabirku ne uti~e na zbir,
mo`e da se izostavi, kao u slede}oj tabeli:
H
2
+
........
22
S
1
D
4
J
6
9
2
4
3
8
........
........
8
Ili, jo{ kra}e:
•
23
pomerawe za
jedno mesto ulevo
1 4 6
2 9 2
+ 4 3 8
.... .... ....8
•
2 3
2. na~in
Prvo mno`imo jedinicama, pa onda deseticama.
146 • 23 = 146 • (20 + 3) =
= 146 • (3 + 20) =
= 146 • 3 + 146 • 20 =
= 146 • 3 + 146 • (2 • 10) =
= 146 • 3 + (146 • 2) • 10
Prvi korak pri izra~unavawu proizvoda svodi se na dva mno`ewa jednocifrenim brojem:
146 • 3 i 146 • 2. Wih smo ve} izra~unali ranije. 146 • 3 = 438 i 146 • 2 = 292
Drugi korak – drugi proizvod pomno`i jo{ sa 10 i dobijene proizvode saberi.
Prvi proizvod:
438
Drugi proizvod: 292 • 10 = ..........
Zbir je:
..........
Pazi kako potpisuje{: jedinice ispod jedinica,
desetice ispod desetica, stotine ispod stotina ...
Kra}e to zapisujemo na slede}i na~in:
H
+
S
1
D
4
J
6
4
3
8
2
9
2
0
........
........
........
8
•
23
Ra~unamo:
146 • 3
146 • 20 = (146 • 2) • 10
Po{to nula u drugom sabirku ne uti~e na zbir,
mo`e da se izostavi, kao u slede}oj tabeli:
H
+
S
1
D
4
J
6
4
3
8
2
9
2
........
........
........
8
Ili, jo{ kra}e:
•
23
Pomerawe za
jedno mesto ulevo
1 4 6
4 3 8
2 9 2
•
2 3
.... .... ....8
23
1.
Pomno`i brojeve 4 056 i 38:
a) mno`e}i prvo
deseticama,
pa jedinicama
DH
H
S
D
ili kra}e:
J
•
+
b) mno`e}i prvo
jedinicama,
pa deseticama
DH
H
S
D
ili kra}e:
J
•
+
2.
Izra~unaj proizvod brojeva 2 873 i 46. Sam odaberi na koji na~in }e{ mno`iti (prvo jedinicama,
pa deseticama ili prvo deseticama, pa jedinicama):
a) u tabeli
DH
H
b) ili kra}e, potpisivawem
S
D
J
•
3.
24
Prvi broj Politikinog zabavnika iza{ao je po~etkom
1939. godine. Da je svake godine iza{lo 52 broja,
koliko bi brojeva Politikinog zabavnika iza{lo
do po~etka ove godine? .........................
4.
a) Kolika je pribli`na vrednost proizvoda brojeva 187 i 51?
Proizvod mo`e{ pribli`no izra~unati na slede}i na~in:
200 • 50 = 10 000
U svakodnevnom `ivotu ~esto je potrebno pribli`no proceniti proizvod brojeva.
U {koli ti procena poma`e u proveri ta~nosti ra~unawa.
Izra~unaj na sli~an na~in pribli`nu vrednost proizvoda slede}ih brojeva:
223 i 97; ra~unamo 200 • 100 = .................. 438 i 53 ................................................
142 i 38 ................................................
b) Izra~unaj ta~an rezultat mno`e}i pismeno.
Koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata?
5.
10 000 – ............ = ......................
Ta~an rezultat: ......................
Razlika: ......................
...........................................................
Ta~an rezultat: ......................
Razlika: ......................
...........................................................
Ta~an rezultat: ......................
Razlika: ......................
...........................................................
Ta~an rezultat: ......................
Razlika: ......................
Upi{i broj u prazno poqe, tako da jednakost bude ta~na:
Proveri ra~unawem.
15 873 • 7 = 111 111
15 873 • 14 = 222 222
15 873 • 21 = 333 333
15 873 •
= 444 444
25
6.
Uo~i{ pravilo. Nastavi da pi{e{.
12 345 679 • 9 = 111 111 111
12 345 679 • 18 = 222 222 222
12 345 679 • 27 = 333 333 333
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
.............................................................................................................................
12 345 679 • 81 = 999 999 999
26
7.
Za novogodi{we osvetqewe Beograda upaqeno je 1 455 crvenih sijalica na 57 mesta,
2 867 `utih na 32 mesta i 953 zelene sijalice na 49 mesta. Koliko je ukupno sijalica
upaqeno u gradu za Novu godinu?
8.
Izra~unaj proizvod najve}eg ~etvorocifrenog
i najve}eg dvocifrenog broja.
9.
^ovekovo srce napravi 75 otkucaja u minuti. Koliko }e otkucaja srce napraviti za:
a) 1 sat:
Odgovor:
v) 1 sedmicu:
Odgovor: ...................................................................
...................................................................
b) 1 dan:
Odgovor:
10.
g) 1 mesec (ra~unaj da mesec ima 30 dana):
.
Odgovor: ...................................................................
...................................................................
Voza~i Formule 1 na trci u Monaku obilaze 78 krugova.
Svaki krug je du`ine 3 330 m. Krug u Monci je du`i za 2 470 m,
a obilazi se 53 kruga.
a) Koliki put pre|e Formula 1 na stazi u Monci? .........................
b) Gde voza~i pre|u du`i put, u Monci
ili Monaku? ....................................................
Monako
11.
Monca
Neke cifre na tabli su izbrisane. Pogodi koje cifre treba
da upi{e{ umesto * da bi re{ewe bilo ta~no.
a)
2
*
1
*
3
*
* * *
2
*
*
1
4
8
*
•
*
3
b)
5
3
6
1
•
* *
5
* * * *
* * * * 4
* * * * * *
27
12.
Najve}a zastava na svetu ima du`inu 46 m i {irinu 25 m.
Koliko je materijala utro{eno za {ivewe te zastave?
Odgovor: .............................................................................................................
13.
U {kolskom dvori{tu nalazi se odbojka{ki teren. Kolika je povr{ina dvori{ta van tog terena?
..........................................................................................
..........................................................................................
..........................................................................................
40 m
9m
..........................................................................................
18 m
60 m
14.
Izmeri du`ine stranica: lista svoje sveske, korica ove kwige, gorwe povr{i klupe, predwe povr{i
{kolske table i izra~unaj wihove povr{ine.
list sveske: ....................................................
korica kwige: ...............................................
povr{ klupe: .................................................
{kolska tabla: .............................................
28
Na kra}i na~in mo`e{ da pomno`i{ dva dvocifrena broja ~ije su cifre desetica iste,
a zbir cifara jedinica im je 10.
Na primer, pomno`imo brojeve 38 i 32.
1. Broj 3 pomno`imo wegovim sledbenikom:
3 • 4 = 12
2. Prve dve cifre proizvoda brojeva 38 i 32 bi}e 12, tj. dobi}emo broj 12...........
3. Pomno`imo sada brojeve 8 i 2:
8 • 2 = 16.
4. Posledwe dve cifre proizvoda brojeva 38 i 32 bi}e 16, tj. dobi}emo broj .........16.
5. Proizvod brojeva 38 i 32 je 1 216.
Proveri rezultat pismeno, mno`e}i brojeve 38 i 32.
Sada sam poku{aj na novom primeru.
Na Internetu }e{ na}i zanimqive zadatke u vezi sa razli~itim na~inima mno`ewa:
http://mathforum.org/k12/mathtips/two2digit.multiply.html
29
Mno`ewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem
1.
Izra~unaj proizvod brojeva 4 273 i 256.
Kao i kod mno`ewa vi{ecifrenog broja dvocifrenim, drugi ~inilac rastavi
na zbir mesnih vrednosti.
1. na~in
Mno`i prvo stotinama, zatim deseticama i na kraju jedinicama.
4 273 • 256 = 4 273 • (200 + 50 + 6) =
= 4 273 • 200 + 4 273 • 50 + 4 273 • 6 =
= 4 273 • (2 • 100) + 4 273 • (5 • 10) + 4 273 • 6
= (4 273 • 2) • 100 + (4 273 • 5) • 10 + (4 273 • 6)
Prvi korak u izra~unavawu proizvoda 4 273 • 256 su tri mno`ewa jednocifrenim brojem:
4 273 • 2, 4 273 • 5 i 4 273 • 6.
1
2
4 2 7 3
.... 5 4 6
•
1
2
3
1
4 2 7 3
1 3 6 5
....
•
2
1
....
4 2 7 3
5 6 3 8
5
4
1
•
6
Drugi korak – pomno`i proizvode sa 100 i 10 i saberi ih.
Prvi proizvod: (4 273 • 2) • 100 = 8 546 • 100 = ....................
Drugi proizvod: (4 273 • 5) • 10 = 21 365 • 10 = .....................
Tre}i proizvod:
25 638
Zbir je:
.....................
Pazi kako potpisuje{:
jedinice ispod jedinica,
desetice ispod destica,
stotine ispod stotina...
Ili kra}e:
M
SH
30
H
S
D
J
4
2
7
3
8
5
4
6
0
0
2
1
3
6
5
0
2
5
6
3
8
........
........
........
........
8
+
........
DH
........
Ili, jo{ kra}e:
•
256
Ra~unamo:
(4 273 • 2) • 100
(4 273 • 5) • 10
4 273 • 6
4 2 7 3
8 5 4 6 0 0
+ 2 1 3 6 5 0
2 5 6 3 8
.... .... .... .... .... ....
8
•
2 5 6
2. na~in
Mno`i prvo jedinicama, zatim deseticama i na kraju stotinama.
4 273 • 256 = 4 273 • (200 + 50 + 6) =
= 4 273 • (6 + 50 + 200) =
= 4 273 • 6 + 4 273 • 50 + 4 273 • 200 =
= 4 273 • 6 + 4 273 • (5 • 10) + 4 273 • (2 • 100) =
= 4 273 • 6 + (4 273 • 5) • 10 + (4 273 • 2) • 100
Prvi korak u izra~unavawu proizvoda 4 273 • 256 su tri mno`ewa jednocifrenim brojem:
4 273 • 6, 4 273 • 5 i 4 273 • 2. Wih smo ranije izra~unali.
Drugi korak je mno`ewe sa 10 i 100 i sabirawe. To smo, tako|e, ranije izra~unali.
Prvi proizvod: 4 273 • 6 = 25 638
Drugi proizvod: (4 273 • 5) • 10 = ....................
Tre}i proizvod: (4 273 • 2) • 100 = ....................
Zbir je:
....................
Ili kra}e:
M
+
........
SH
DH
H
S
D
J
4
2
7
3
2
5
6
3
8
2
1
3
6
5
0
8
5
4
6
0
0
........
........
........
........
........
8
Po{to nule ne uti~u na zbir,
mo`emo ih izostaviti u zapisu:
Ili, jo{ kra}e:
•
256
4
2 5
2 1 3
+ 8 5 4
Ra~unamo:
4 273 • 6
(4 273 • 5) • 10
(4 273 • 2) • 100
4 2 7 3
7
3
5
0
.... .... .... .... .... ....
3
8
0
0
8
•
2 5 6
2 5 6
2 5 6 3 8
+ 2 1 3 6 5 0
8 5 4 6 0 0
.... .... .... .... .... ....
2
6
6
6
•
4
2 5
2 1 3
+ 8 5 4
.... .... .... ....
8
2 7 3
6 3 8
6 5
6
.... .... 8
•
2 5 6
31
1.
Pomno`i brojeve 368 i 473 mno`e}i:
a) prvo stotinama,
pa deseticama
i na kraju
jedinicama
SH
DH
H
S
D
Ili kra}e:
J
•
+
b) prvo jedinicama,
pa deseticama
i na kraju
stotinama
SH
DH
H
S
D
J
•
Ili kra}e:
+
2.
Ponovo pro~itaj zadatak sa strane 2 o tome koliko se beba rodi svakog minuta u svetu.
a) Koliko beba se rodi tokom jednog sata, ako se svakog minuta ra|a isti broj? ......................
b) Koliko svakog dana? ......................
v) Koliko se beba rodi sedmi~no? ......................
g) Koliko mese~no (ra~unaj za mesec od 30 dana)? ......................
d) Koliko za jednu kalendarsku (prostu) godinu? ......................
32
3.
Pomno`i brojeve vi{estrukim dekadnim jedinicama:
a) 236 • 400 = 236 • (4 • 100) = (236 • 4) • 100 = 944 • 100 = ...................................
b) 3 924 • 300 = ........................................................................................................................................................................................
v) 27 368 • 500 = ........................................................................................................................................................................................
4.
Pogledaj ova zanimqiva mno`ewa i sabirawa. Uo~i{ pravilo.
Nastavi da pi{e{ bez ra~unawa.
1•1=1
a)
b) 143 • 7 • 111 = 111 111
11 • 11 = 121
143 • 7 • 222 = 222 222
111 • 111 = 12 321
143 • 7 • 333 = 333 333
1 111 • 1 111 = 1 234 321
.........................................................................................
............................................................................................................
.........................................................................................
............................................................................................................
.........................................................................................
............................................................................................................
.........................................................................................
11 111 111 • 11 111 111 = 123 456 787 654 321
111 111 111 • 111 111 111 = 12 345 678 987 654 321
v)
1•8+1=9
g)
.........................................................................................
143 • 7 • 999 = 999 999
1 • 9 + 2 = 11
d)
9 • 9 + 7 = 88
12 • 8 + 2 = 98
12 • 9 + 3 = 111
98 • 9 + 6 = 888
123 • 8 + 3 = 987
123 • 9 + 4 = 1 111
987 • 9 + 5 = 8 888
1 234 • 8 + 4 = 9 876
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
...........................................................................
98 765 432 • 9 + 0 = 888 888 888
123 456 789 • 8 + 9 = 987 654 321
123 456 789 • 9 + 10 = 1 111 111 111
987 654 321 • 9 – 1 = 8 888 888 888
33
5.
Me|u 10 najboqe prodavanih filmova svih vremena nalaze
se i crtani filmovi. Za svaki od tih crtanih filmova dat
je broj prodatih video-kaseta: Pepequga 7 600 000, Ninxa
Korwa~e 8 800 000, Bambi 10 500 000, Mala Sirena 9 000 000
i Petar Pan 7 000 000.
a) Koji crtani film je najprodavaniji? ......................
b) Pore|aj nazive crtanih filmova po~ev{i od
onog koji je najprodavaniji.
................................................................................................................
................................................................................................................
v) Ako je cena jedne video-kasete 450 dinara,
koliko novca je ukupno potro{eno za kupovinu
najprodavanijeg crtanog filma?
Odgovor: ................................................................................................
Svakom znaku odgovara jedna cifra. De{ifruj jednakosti i izra~unaj proizvode.
+
–2=
+
**
34
+
=
=
9–
*
2+
=8
=
=
* **
•
•
= ...................................................
•
*
= ..............................................
= .......................................................
6.
U tabeli su dati podaci o tome koliko hrane dnevno mogu da pojedu neke `ivotiwe. Izra~unaj
koliko je to hrane za jednu kalendarsku godinu, a koliko za `ivotni vek svake `ivotiwe.
(Ra~unaj za godinu od 365 dana.)
koli~ina
hrane
`ivotiwa
za 1 dan
za 1 godinu
du`ina `ivota
u godinama
slon
200 kg zelene mase
70
orka
100 kg ribe
95
nilski kow
40 kg hrane
54
2 kg ribe
20
1 000 va{i
3
20 punoglavaca
20
15 lososa
35
10 pu`eva gola}a
60
pelikan
buba-mara
`uta belou{ka
mrki medved
slepi}
za ceo `ivot
35
7.
Ispod slika na{ih velikih matemati~ara su date
godine ro|ewa i smrti rimskim ciframa.
Napi{i te godine arapskim ciframa.
Mihailo Petrovi} Alas: .........................................
Milutin Milankovi}: ...............................................
I
1
8.
V
5
X
10
L
50
C
100
D
500
M
1 000
Mihailo Petrovi} Alas
MDCCCLXVIII-MCMXLIII
Milutin Milankovi}
MDCCCLXXIX-MCMLVIII
Kolika je pribli`na vrednost proizvoda brojeva 148 i 995?
Proizvod mo`e{ pribli`no da izra~una{ na slede}i na~in:
150 • 1 000 = ..................
Izra~unaj ta~an rezultat pismeno mno`e}i.
Koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata? .................... – .................... = ....................
9.
Kolika je pribli`na vrednost proizvoda brojeva:
a) 602 i 195 = ...................................
b) 897 i 496 = ...................................
v) 299 i 398 = ...................................
Izra~unaj ta~ne rezultate pismeno mno`e}i. Koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata?
Za koliko si pogre{io u proceni za svaki proizvod?
36
a) Ta~an rezultat: ......................
....................
– .................... = ....................
Razlika: ......................
b) Ta~an rezultat: ......................
....................
– .................... = ....................
Razlika: ......................
v) Ta~an rezultat: ......................
....................
– .................... = ....................
Razlika: ......................
U IX veku arapski matemati~ar Muhamed ibn Musa al Horezmi izmislio je jednostavan
na~in za mno`ewe brojeva. Ovaj na~in nazvao je metodom re{etki.
Na|imo proizvode slede}ih brojeva:
a) 45 i 86
b) 194 i 27
v) 502 i 348
Svaki kvadrat na kvadratnoj mre`i podeqen je na dva dela. U gorwi deo upisuje se broj
desetica, a u dowi jedinica broja koji se dobija mno`ewem odgovaraju}ih cifara.
Na kraju se sve cifre saberu po dijagonalama i dobije se tra`eni proizvod.
4
5
3
4
2
2
0
3
4
3
8
1
7
0
9
4
5
1
8
8
8
6
6
2
7
5
0
45 • 86 = 3870
2
3
3
8
2
1
2
5
0
6
0
0
8
0
0
2
7
4
8
194 • 27 = 5 238
0
1
7
4
6
1
9
6
3
4
8
6
502 • 348 = 174 696
Proveri re{ewa pismeno mno`e}i. Sada ti
poku{aj metodom re{etke da na|e{ proizvod
brojeva 3 256 i 274.
3
2
5
6
2
7
4
37
10.
Ponekad se u ra~unawu mo`e{ slu`iti olak{icama. To je mogu}e kada su neke cifre ~inioca nule.
a) Posledwe cifre nekog ~inioca su nule:
•
mno`ewe bez olak{ice
+
....
4 6 9
0 0 0
1 4 0 7
9 3 8
.... .... .... 7 0
•
•
mno`ewe sa olak{icom s pomerawem udesno
2 3 0
+
....
4 6 9
1 4 0 7
9 3 8
.... .... .... 7 0
•
2 3 0
Ne zapisuje{ proizvod sa nulama.
Proizvodu samo dopi{e{ nulu.
b) neke cifre jednog ~inioca su nule:
•
mno`ewe bez olak{ice, mno`e}i prvo stotinama
5 4 8
1 0 9 6
+
0 0 0
2 1 9 2
.... .... .... .... 9 2
•
•
2 0 4
Pomno`i brojeve na kra}i na~in
(koriste}i olak{icu):
a) 1 240 i 311
b) 8 627 i 107
v) 1 608 i 3 200
g) 47 200 i 601
d) 267 000 i 1 050
38
2 0 4
5 4 8
1 0 9 6
+
2 1 9 2
.... .... .... .... 9 2
•
2 0 4
Ne zapisuje{ proizvod sa nulama.
Proizvod sa jedinicama
potpisuje{ ispod jedinica.
i mno`e}i prvo jedinicama
5 4 8
2 1 9 2
+
0 0 0
1 0 9 6
.... .... .... .... 9 2
11.
•
5 4 8
2 1 9 2
+ 1 0 9 6
.... .... .... .... 9 2
•
2 0 4
Ne zapisuje{ proizvod sa nulama.
Proizvod sa stotinama
potpisuje{ ispod stotina.
12.
Pogledaj u tabeli date podatke o najve}im potro{a~ima ~okolade na svetu.
Unesi ostale podatke o ukupnoj potro{wi ~okolade:
zemqa
potro{wa ~okolade
po stanovniku u kg
broj stanovnika
[vajcarska
11
7 200 000
Norve{ka
8
4 300 000
Belgija
7
10 100 000
ukupna potro{wa
~okolade u zemqi u t
Koja `emqa je najve}i
potro{a~ ~okolade na svetu? ........................................................
13.
Umesto * upi{i izostavqene cifre:
1
*
*
* *
* *
3
*
7
* 3 0 *
* * *
* *
* * * 3
•
4
3
*
4
* 0 0 1
* * 5 * * *
* * * *
* * * * * 3
* * * * * * 9 *
•
* *
0
39
Deqewe u skupu prirodnih brojeva
Deqewe broja dekadnom jedinicom
1.
Izra~unaj koli~nike i zapi{i ih:
a) 40 : 10 = ........, jer je ........ • 10 = 40
70 : 10 = ........ , jer je ........ • 10 = 70
Broj koji se zavr{ava nulom delimo
sa 10 tako {to mu zdesna bri{emo
jednu nulu.
Broj koji se zavr{ava dvema nulama
delimo sa 100 tako {to mu zdesna
...................................... nule.
470 : ........ = 47 , jer je 47 • ........ = ........
830 : ........ = 83 , jer je 83 • ........ = ........
b) 400 : 100 = ........ , jer je ........ • 100 = 400
600 : ........ = 6 , jer je 6 • ........ = ........
2.
Pove`i jednake brojevne vrednosti.
3.
1 000 mm = ........ cm 180 cm = ........ dm
6
60
70
200 dm = ........ m
700 : 10
100 cm = ........ m
600 : 100
4.
32
Popuni prazna poqa:
320 : 10
a) Koji broj je 10 puta mawi od broja 730?
...................................................................................................
320
100 : 10
b) Koji broj je 100 puta mawi od broja 800?
10
5.
a) Koliki je deseti deo od 1 m? .......................
Koliki je deseti deo od 61 m? .......................
40
...................................................................................................
b) Koliki je stoti deo od 1 m2? .......................
Koliki je stoti deo od 61 m2? .......................
1.
Podeli slede}e brojeve:
a) 8 000 : 1 000 = 8
16 000 : 1 000 = 16
129 000 : 1 000 = 12....
2 500 000 : 100 000 = 25
1 985 000 : 1 000 = ............
64 300 000 : 100 000 = 6.... ....
b) 170 000 : 10 000 = 17
830 000 : 10 000 = 83
2.
v) 800 000 : 100 000 = 8
99 900 000 : 100 000 = ............
g) 62 000 000 : 1 000 000 = 62
13 560 000 : 10 000 = 13.... ....
971 000 000 : 1 000 000 = 97....
99 990 000: 10 000 = ............
2 354 000 000 : 1 000 000 = ............
Podeli slede}e brojeve dekadnim jedinicama:
98 000 000 : 10 000 = ............
2 300 000 : 100 000 = ............
5 600 : 100 = ............
98 000 000 : 1 000 = ...............
2 300 000 : 10 000 = ............
56 000 : 1 000 = ............
Prirodan broj koji se zavr{ava nulama delimo dekadnom jedinicom tako {to mu
s desne strane izostavimo onoliko nula koliko ih ima ta dekadna jedinica,
pod uslovom da deqenik nema mawe nula od delioca.
3.
Upi{i izostavqeni delilac:
a) 8 000 : ............ = 8
b) 7 980 340 : ............ = 798 034
43 000 : ............ = 43
3 458 020 : ............ = 345 802
356 000 : ............ = 3 560
43 980 000 : ............ = 4 398
2 569 000 : ............ = 25 690
92 760 430 000 : ............ = 9 276 043
41
4.
a) Koji broj je 1 000 puta mawi od broja 630 000? ...................................................................
b) Koji broj je 100 000 puta mawi od broja 23 000 000? ...................................................................
5.
1.
Napi{i brojeve tako da jednakosti budu ta~ne:
54 000 g = ............ kg
7 500 l = ............ hl
70 000 kg = ............ t
785 100 a = ................ ha
3 200 cm= ............ m
450 000 m2 = ............ ha
Popuni tabelu:
cm
2.
7 800 000
m
5 000
km
5
43 000
370
Re{i jedna~ine:
a) 10 • x = 450
x = 45, jer je 10 • 45 = 450
42
1hl = ................ l
1 a = ................ m2
1 ha = ................ a = ................ m2
v) x • 1 000 = 78 000
...................................................................................
b) 100 • x = 2 900
g) 100 • x = 37 900
...................................................................................
...................................................................................
3.
Brojeve 3 000, 76 000 i 3 450 000 umawi:
a) 10 puta
4
b) 100 puta
v) 1 000 puta
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
...................................................................
Izra~unaj:
a) proizvod najve}eg petocifrenog
i najmaweg trocifrenog broja ..............................................................................................................
b) koli~nik najmaweg {estocifrenog
i najmaweg ~etvorocifrenog broja ..............................................................................................................
5.
UNICEF je za novogodi{we praznike prodao 638 420 ~estitki.
Koliko novca je prikupqeno ako jedan paket od 10 ~estitki
ko{ta 65 dinara?
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
6.
Jedan kamion je pre{ao 2 100 km puta. Na svakih 100 km tro{io
je 16 l benzina. Koliko je litara benzina kamion potro{io na
ovom putu?
..............................................................................................................................................
..............................................................................................................................................
43
Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem
1.
Izra~unaj koli~nike brojeva na pokazani na~in.
1. na~in („usmeno")
846 : 2 = (800 + 40 + 6) : 2 =
= 800 : 2 + 40 : 2 + 6 : 2 =
= 400 + ......... + ......... =
= ............
Ili koli~nik zapisujemo
i ra~unamo na slede}i na~in:
Delimo prvo stotine,
zatim desetice
i na kraju jedinice.
8 4 6
8 0 0
4 0
6
:
2
: 2 = 4 0 0
: 2 =
..........
: 2
................
2. na~in („pismeno")
Kori{}ewe tabele:
S
8
D
4
S
J
6
Ili kra}e:
:2=
4
D
2
J
....
8
0
4
–
4
....
6
....
....
Delimo prvo stotine, zatim desetice
i na kraju jedinice.
Ra~unamo:
8 S : 2 = 4 S, 4 S • 2 = 8 S
8 S – 8 S = 0 Ostatak je 0.
Spu{tamo 4 D.
4 D : 2 = 2 D, 2 D • 2 = 4 D
4 D – 4 D = 0 Ostatak je 0.
Spu{tamo 6 J.
6 J : 2 = 3 J, 3 J • 2 = 6 J
6 J – 6 J = 0 Ostatak je 0.
8 4 6 : 2 = 4 2
– 8
0 4
– 4
.... 6
– ....
....
Proveri ta~nost
deqewa mno`ewem!
Deqewe je zavr{eno.
4 2 3
...............
44
•
2
....
2.
Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 648 i 4.
Kori{}ewem tabele:
S
D
J
6
4
8
:4=
S
D
J
1
6
....
4
–
2
4
2
4
....
8
–
....
Ra~unamo:
6 S podeqeno sa 4 je 1S
i ostatak je 2 S.
6S – 4 • 1S = 2S
Spu{tamo 4 D.
2 S + 4 D = 20 D + 4 D = 24 D
24 D : 4 = 6 D, 6 D • 4 = 24 D
24 D – 24 D = 0 Ostatak je 0.
Spu{tamo 8 J.
8 J : 4 = 2 J, 2 J • 4 = 8 J
8 J – 8 J = 0 Ostatak je 0.
....
Deqewe je zavr{eno.
3.
Ili kra}e:
6 4 8 : 4 = 1 6
– 4
2 4
– 2 4
.... 8
– ....
....
....
Provera:
1 6 2
•
4
...............
Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 798 i 7.
Kori{}ewem tabele:
S
D
J
7
9
8
7
–
0
9
7
....
8
–
....
....
:7=
S
D
J
1
1
....
Ra~unamo:
7 S : 7 = 1 S, 1 S • 7 = 7 S
7 S – 7 S = 0 Ostatak je 0.
Spu{tamo 9 D.
9 D podeqeno sa 7 je 1 D
i ostatak je 2 D.
9D – 7 • 1D = 2D
Spu{tamo 8 J.
2 D + 8 J = 20 J + 8 J = 28 J
28 J : 7 = 4 J, 4 J • 7 = 28 J
28 J – 28 J = 0 Ostatak je 0.
Deqewe je zavr{eno.
Ili kra}e:
7 9 8 : 7 = 1 1
– 7
0 9
– 7
.... 8
– ..........
....
....
Provera:
1 1 4
•
7
.... .... ....
45
4.
Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 852 i 3:
Kori{}ewem tabele:
S
D
J
8
5
2
:3=
6
–
2
5
....
....
2
–
....
....
5.
S
D
J
2
8
....
Ra~unamo:
8 S podeqeno sa 3 je 2 S
i ostatak je 2 S.
8S – 3 • 2S = 2S
Spu{tamo 5 D.
2 S + 5 D = 20 D + 5 D = 25 D
25 D podeqeno sa 3 je 8 D
i ostatak je 1 D.
25 D – 3 • 8 D = 1 D
Spu{tamo 2 J.
1 D + 2 J = 10 J + 2 J = 12 J
12 J : 3 = 4 J, 4 J • 3 = 12 J
12 J – 12 J = 0 Ostatak je 0.
Deqewe je zavr{eno.
Pismeno izra~unaj koli~nik brojeva 861 i 7:
1. Kori{}ewem tabele:
Ili kra}e:
8 5 2 : 3 = 1 8
– 6
2 5
– ..........
.... 2
– ....
....
Provera:
2 8 4
3
.... .... ....
2. Na kra}i na~in, potpisivawem:
: ..... =
Provera:
46
•
....
1.
H
6
– 6
0
–
–
^etvorocifreni brojevi dele se jednocifrenim brojem na isti na~in kao i trocifreni brojevi.
Slede}i primer to pokazuje: izra~unaj koli~nik brojeva 6 429 i 3.
Ili kra}e:
Ra~unamo:
H S D J
S D J
6 4 2 9 : 3 = 2 1 4
6 H : 3 H = 2 H, 2 H • 3 = 6 H
4 2 9 : 3 = 2 1 4 ....
– 6
6 H – 6 H = 0, ostatak je 0.
0 4
Spu{tamo 4 S.
– 3
4
1 2
4 S podeqeno sa 3 je 1 S
–
i ostatak je 1 S
.... ....
3
9
• 1 S = 1 S.
4
S
–
3
1 2
– ....
Spu{tamo 2 D.
....
.... ....
1 S + 2 D = 10 D + 2 D = 12 D
9
....
12 D : 3 = 4 D, 4 D • 3 = 12 D
Provera:
12
D – 12 D = 0, ostatak je 0
....
9 J: 3 J = 3 J, 3 J • 3 = 9 J
9 J – 9 J = 0, ostatak je 0.
Deqewe je zavr{eno.
....
2.
2 1 4 3
Izra~unaj koli~nik brojeva 1 981 i 7.
S
1
9
– 1
4
–
–
3
.... .... .... ....
Kori{}ewem tablice:
H
•
....
D
8
5
8
5
6
....
J
1
2
1
2
1
0
:7=
S
D
J
2
8
....
Ra~unamo:
1 H ne mogu da podelim sa 7, pa
1 H + 9 S = 10 S + 9 S = 19 S
19 S podeqeno sa 7 je 2 S i ostatak je 5 S.
19 S – 7 • 2 S = 5 S
Spu{tamo 8 D.
5 S + 8 D = 50 D + 8 D = 58 D
58 D podeqeno sa 7 je 8 D i ostatak je 2 D.
58 D – 7 • 8 D = 2 D
Spu{tamo 1 J.
2 D + 1 J = 20 J + 1 J = 21 J
21 J : 7 = 3 J, 3 J • 7 = 21 J
21 J – 21 J = 0 Ostatak je 0.
Ili kra}e:
1 9 8 1 : 7 = 2 8 3
– 1 4
5 8
– 5 6
2 1
– 2 1
0
Provera:
2 8 3
•
7
.... .... ....
Deqewe je zavr{eno.
47
1.
Izra~unaj koli~nike brojeva na dva na~ina.
a) 6 112 i 8
b) 42 648 i 6
1.
1.
: .... =
2.
2.
48
: .... =
2.
Izra~unaj koli~nike brojeva na na~in koji sam odabere{.
a) 17 488 i 4
b) 25 806 i 3
v) 142 905 i 7
3.
Koji broj je 9 puta mawi od broja 71 019?
4.
5.
Najve}i fudbalski stadion na svetu, Marakana
u Rio de @aneiru, mogao je 1990. godine da primi
205 000 qudi. Na{ najve}i stadion, Marakana
u Beogradu, je tada primao dva puta mawe qudi.
Izra~unaj koliko qudi je mogla da primi na{a
Marakana.
6.
Nekada davno na Zemqi je `iveo dinosaurus po imenu seizmosaurus. Wegovo ime zna~i
„dinosaurus koji trese zemqu“. Wegova du`ina dostizala je do 40 m. Isto toliku du`inu
ima najve}i avion, erbas. Najmawa ptica na svetu, kolibri, duga je svega oko 5 cm. Koliko
bi kolibrija trebalo pore|ati u kolonu da bi wena du`ina bila kao du`ina erbasa ili
seizmosaurusa?
Matica p~ela za 4 godine svog `ivota polo`i
oko 1 460 000 jaja, iz kojih se izlegu p~ele
radilice. Ako se svake godine izlegne isti
broj, koliko se p~ela izlegne za godinu dana?
..............................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................
7.
Umesto * upi{i cifre tako da jednakost bude ta~na:
6
–
* *
*
3
3 6
–
* *
*
: 4 =
* *
8
Provera:
–
–
* *
: 7 =
* *
0
Provera:
*
* 4
* *
0
49
Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem
1.
2.
Koliko puta je broj 1 295 ve}i od broja 7?
Odgovor: .....................................................................
3.
Polovina nekog broja je 1 743.
Kolika je wegova tre}ina?
Odgovor: .................................................
4.
Odgovor: .....................................................................
Veverica za zimu skupqa razne {umske plodove.
Tokom svog `ivota, dugog 9 godina sakupi oko 6 480 kg
plodova. Koliko kilograma veverica sakupi za jednu
zimu, ako svake zime sakupi istu koli~inu?
Odgovor: .................................................
... da je kawon Tare najdubqi kawon u Evropi, a drugi po
dubini u svetu, posle Velikog kawona na reci Kolorado
u Sjediwenim Ameri~kim Dr`avama? Dubina kawona
Tare je 1 300 m, a Velikog kawona 1 400 m.
U na{oj zemqi nalazi se jo{ jedan duboki kawon.
To je kawon na reci Drini – dubine 1 000 m.
U kawon Tare mo`e da se smesti devet Avalskih torweva
postavqenih jedan na drugi, a u kawon Drine sedam.
50
Koliko puta je broj 7 mawi od broja 1 295?
Postupak deqewa vi{ecifrenog broja jednocifrenim primeni}emo i na deqewe vi{ecifrenog
broja dvocifrenim brojem.
1. Izra~unaj koli~nik brojeva 6 312 i 24.
Ra~unamo:
H
6
– 4
1
– 1
S
3
8
5
4
–
D
1
J
2
1
4
7
2
....
....
:24=
S
2
D
6
J
6 H ne mogu da podelim sa 24, pa
6 H + 3 S = 60 S + 3 S = 63 S
63 S podeqeno sa 24 je 2 S i ostatak je 15 S.
63 S – 24 • 2 S = 15 S
....
Spu{tamo 1 D.
15 S + 1 D = 150 D + 1 D = 151 D
151 D podeqeno sa 24 je 6 D i ostatak je 7 D.
151 D – 24 • 6 D = 7 D
....
Ili kra}e:
6
– 4
1
1
3 1 2 : 2 4 = 2 6
8
5 1
4 4
7 2
– .... ....
....
Spu{tamo 2 J.
7 D + 2 J = 70 J + 2 J = 72 J
72 J : 24 = 3 J, 3 J • 24 = 72 J
72 J – 72 J = 0 Ostatak je 0.
Proveri
mno`ewem:
2 6 3
•
2 4
Deqewe je zavr{eno.
....
2.
a) Izra~unaj koli~nik brojeva 3 180 i 20:
3
– 2
1
– 1
–
1
0
1
0
1
8 0 : 2 0 = 1 5
....
Proveri
mno`ewem:
8
0
8 0
.... .... ....
....
3 1 8 : 2 = 1 5
– 2
1 1
– 1 0
1 8
– .... ....
....
Proveri
mno`ewem:
....
Uporedi koli~nike prema dobijenom rezultatu (upi{i odgovaraju}i znak <, > ili =): 3 180 : 20 ........ 318 : 2
b) Ne ra~unaju}i, upi{i odgovaraju}i znak:
39 200 : 80 ........ 3 920 : 8
365 130 : 90 ........ 36 513 : 9
Kada se deqenik zavr{ava nulom, a delilac
je vi{estruka desetica, onda mo`e{ i kod
deqenika i kod delioca izbrisati jednu nulu.
Npr. 348 000 : 60 = 348 000 : 60 = 34 800 : 6
51
1.
Izra~unaj koli~nike brojeva na oba na~ina:
a) 5 685 i 15
H
S
D
b) 671 741 i 49
S
J
D
J
SH DH H
: ........ =
Odgovor: ..................................................
52
S
J
D
J
Kra}e:
Provera:
Koliko je puta broj 75 544 ve}i
od broja 71?
D
: ........ =
Kra}e:
2.
S
Provera:
3.
Jedan broj je trebalo podeliti sa 53, ali je on gre{kom
pomno`en tim brojem. Dobijeni proizvod iznosi 95 506.
Koji broj je trebalo dobiti deqewem?
Odgovor: .........................................................................................................
4.
Na 38 ha po`weveno je 183 160 kg kukuruza. Koliki je prinos
kukuruza po jednom hektaru?
Odgovor: .........................................................................................................
5.
Direktor zoo-vrta nam saop{tava da je krokodil Kraka
star 1 020 meseci. Koliko krokodil Kraka ima godina?
Odgovor: .........................................................................................................
6.
U poznatoj kwizi Put oko sveta za 80 dana glavni junak je Filijas
Fog. Ukupna du`ina pre|enog puta iznosi 40 080 km. Ako se zna
da je svakog dana prelazio put iste du`ine, koliko je on iznosio?
Odgovor: .........................................................................................................
7.
Milan i Sava mno`ili su isti broj. Milan je mno`io brojem 64, a Sava brojem 16.
Sava je dobio proizvod 10 416. Koji proizvod je dobio Milan?
Odgovor: .........................................................................................................
53
8.
Na Zemqi su nekada davno `iveli dinosaurusi. Neki od wih
su bili veoma veliki, kao tiranosaurus reks, ~iju sliku vidi{.
Masa tiranosaurus reksa dostizala je i do 90 t. Ako je tvoja
masa, na primer, 36 kg, izra~unaj koliko puta je masa ovog
dinosaurusa ve}a od tvoje mase?
Odgovor: .........................................................................................................
Da bi saznao ne{to vi{e o dinosaurusima, wihovoj masi, du`ini i visini tela i zanimqivom na~inu ishrane
i `ivota, idi na sajt:
http://www.astronomija.co.yu/suncsist/planete/zemlja/dinosaurusi/dinosaurusi.htm
9.
Golub pismono{a preleti 72 km za
jedan sat. Koliko metara preleti:
[ta zna~i izreka
„Podeli, pa vladaj“?
a) za 1 minut? ...............................
....................................................
b) za 1 sekundu? ...........................
....................................................
10.
Izra~unaj koje cifre je Sima obrisao sa table i dopi{i ih:
6
–
* *
1
–
1
3
4
4
* * *
1
–
4
4
:*
*=
2
5
6
–
–
4
7
* *
9
* *
4
–
0
–
54
1
9
2
Provera:
* * *
*
*
* * *
*
2
0
3
*
6
:*
*=
2
Provera:
3
6
7
7
2
2
0
* * *
11.
Za 75 godina `ivota ~ovek pojede pribli`no
6 375 kg hleba, 7 500 kg krompira, 3 225 kg mesa
i 16 125 kg drugih namirnica: povr}a, vo}a, jaja,
slatki{a, testa itd.
a) Koje koli~ine od ovih namirnica ~ovek
pojede tokom jedne godine?
hleb: ............................
krompir: ...........................
meso: ...........................
ostalo: ................................
b) Kolika je masa namirnica koje ~ovek
pojede za jednu godinu `ivota, ako svake
godine jede istu koli~inu? ...........................
12.
Bioskop Dom sindikata – repertoar
Cene karata:
Film
Termin
3D avanture ajkule de~aka i lava devoj~ice u 15.30
termin od 15.30h i 16 h
termin od 18 h . . . . . . . . . . . . . . . . 250 din
Letopisi Narnije: lav, ve{tica i ormar
termin od 20 h . . . . . . . . . . . . . . . . 300 din
Zatura – svemirska avantura
u 15.30
u 16 h i 18 h
Hari Poter i vatreni pehar
u 16 h
King Kong
u 18 h i 20 h
.....
200 din
a) Koliko }e platiti karte 60 u~enika IV razreda, ako
`ele da gledaju film Hari Poter i vatreni pehar?
...................................................................................................................
b) film King Kong gledalo je 58 u~enika III razreda.
U kom terminu su gledali film ako su za karte
potro{ili 14 500 din.?
...................................................................................................................
v) Da li su u~enici III razreda za isti novac mogli da
pogledaju i neki drugi film sa ovog repertoara?
...................................................................................................................
55
13.
Igra Dva broja
Zamisli i napi{i bilo koji trocifreni broj. ....................
U istom redu dopi{i iste te cifre,
tako da dobije{ {estocifreni broj. ....................
Taj broj podeli sa 13. ............................................................................
Dobijeni rezultat podeli sa 11. .....................................................
A zatim rezultat podeli sa 7. ...........................................................
Koju cifru je potrebno upisati
na mestu stotina, koju na mestu
desetica, a koju na mestu jedinica
da bi zapis bio ta~an?
+
[ta si dobio kao kona~an rezultat? ....................
Odigraj igru jo{ jednom.
* * *
* * 2 2
6 3 *
7 7 4 *
•
4 9
Popuni tabelu i sazna}e{ ne{to vi{e o ku}nim qubimcima.
Mo`da }e{ se tako lak{e odlu~iti da i sam nabavi{ jednog.
podaci
pas
ma~ka
cena hrane za dnevne potrebe
nimfa (papagaj)
40 din.
mese~ni tro{kovi za hranu (za
mesec od 30 dana)
1 500 din.
mese~ni tro{kovi za ostale
potrebe: vitamini, vo}e, ~etke
za dlaku, {amponi i sl.
10 puta mawi
6 puta mawi od mese~nih 3 puta mawi od mese~nih
od mese~nih
tro{kova za hranu
tro{kova za hranu
tro{kova za hranu
vreme u toku jednog dana
potrebno za negu
30 minuta ili 1 h
30 din.
2
vreme u toku jednog meseca
potrebno za negu
potreban prostor
ku}ica dimenzija
120 cm, 60 cm i 15 cm
450 minuta
600 minuta
ku}ica dimenzija 90 cm,
60 cm i 15 cm
kavez dimenzija
80 cm, 40 cm, 50 cm
za par – kavez dimenzija:
150 cm 50 cm, 80 cm
du`ina `ivota
12 godina = ................ dana 18 godina = ................ dana 20 godina = ............... dana
(ra~unaj za godinu od 365 dana)
56
14.
U tabeli su dati podaci o tome koliko koja od ptica sa slike zamahne krilima za 20 sekundi.
Mnoge ptice to zaista brzo rade. Ve}ina odraslih qudi mo`e da zamahne rukama samo
oko 40 puta za 20 sekundi. Koliko svaka od ovih ptica napravi zamaha krilima u 1 sekundi?
ptica
zamah krilima
za 20 sekundi
~apqa
40
golub
120
~vorak
140
bubamara
zamah krilima
za 1 sekundu
1 700
senica
540
kolibri
1 400
Kolibri zamahne krilima 10 puta br`e od jedne vrste ptica? Koje? ....................
... da se na planini Tari mogu na}i biqke koje se retko
sre}u u Evropi?
Jedna od wih je drvo omorika, koje raste na Tari i nigde
vi{e. Omoriku je otkrio ~uveni biolog Josif Pan~i}
i ona je po wemu nazvana Pan~i}eva omorika.
Visina drveta dosti`e otprilike 40 m. Kada bi 27 dece,
pribli`no tvoje visine, stalo jedno na drugo to bi
odgovaralo visini Pan~i}eve omorike.
Na Tari `ivi beloglavi sup, za{ti}ena i veoma retka
ptica, poznata pod nazivom „~ista~ prirode“. Raspon
wegovih krila mo`e da bude 3 m.
Kada bi desetoro dece stalo jedno pored drugog, to bi
pribli`no odgovaralo rasponu wegovih krila.
57
Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem
1.
Postupak deqewa vi{ecifrenog broja dvocifrenim primeni}emo i na deqewe vi{ecifrenog
broja trocifrenim brojem.
Izra~unaj koli~nik brojeva 60 456 i 132.
Tabelom:
–
DH
H
S
D
J
6
0
4
5
6
5
2
8
7
6
5
6
6
0
1
0
5
6
....
....
....
....
: 132 =
....
Ili kra}e:
6 0 4
– 5 2 8
7 6
– 6 6
1 0
– .... ....
5 6 : 1 3 2 = 4 5 8
5
0
5 6
.... ....
....
Proveri mno`ewem!
4 5 8
•
1 3 2
S
D
J
4
5
....
Ra~unamo:
6 DH ne mogu da podelim sa 132, pa
6 DH + 0 H = 60 H + 0 H = 60 H
60 H ne mogu da podelim sa 132, pa
60 H + 4S = 600 S + 4 S = 604 S
604 S podeqeno sa 132 je 4 S i ostatak je 76 S
604 S – 132 • 4 S = 76 S
Spu{tamo 5 D.
76 S + 5 D = 760 D + 5 D = 765 D
765 D podeqeno sa 132 je 5 D i ostatak je 105 D.
765 D – 132 • 5D = 105 D.
Spu{tamo 6 J.
105 D + 6 J = 1050 J + 6 J = 1 056 J
1 056 J : 132 = 8 J, 8 J • 132 = 1 056 J
1 056 J – 1 056 J = 0 Ostatak je 0.
Deqewe je zavr{eno.
58
1.
Izra~unaj koli~nike brojeva na oba na~ina, pomo}u tabele i skra}eno:
a) 33 640 i 232
DH
H
S
D
b) 21 882 i 521
S
J
D
J
DH
H
: ........... =
S
D
D
J
J
: ........... =
Kra}e:
Provera:
2.
Popuni tabelu.
a
b
a:b
9
388
231 490
5
17 244
5 748
4
1 064
59
3.
Popuni ukr{tenicu tako da u svaki kvadrat upi{e{ po jednu cifru.
Koristi na~in deqewa koji ti je lak{i. Sva ra~unawa uradi u svesci.
k
a
m
l
d
`
4.
r
e
z
Vodoravno:
a) 756 • 98
b) 7 752 : 38
v) 259 720 : 430
g) 13 075 : 523
d) 244 460 : 719
e) 395 200 : 5 200
`) 480 710 – 479 841
z) 600 000 – 599 825
kolibri
jazavac
jelen
vuk
divqa sviwa
mrki medved
lisica
du`ina `ivota du`ina `ivota
u danima
u godinama
1 825
5 475
7 300
5 475
10 950
14 600
4 380
Kolika je pribli`na vrednost koli~nika brojeva:
a) 19 502 i 98? .................................
b) 136 808 i 698? .................................
Koli~nik mo`e{ pribli`no izra~unati na slede}i na~in:
20 000 : 100 = ....................
To ti poma`e u proveri ta~nosti rezultata.
Izra~unaj rezultate pismeno dele}i.
Za koliko se tvoja procena razlikuje od ta~nog rezultata?
a) Ta~an rezultat: ..................... Razlika: 200 – .......... = ..........
60
Uspravno:
b) 234 264 : 908
k) 40 242 : 706
l) 101 344 – 58 905
m) 807 750 : 8 975
n) 37 726 + 45 875
p) 312 000 : 6 500
r) 216 600 : 456
Sima je u De~joj enciklopediji znawa prona{ao podatke o tome koliki je `ivotni vek nekih `ivotiwa
mogu da `ive izra`eno u danima. Izra~unaj `ivotni vek svake od ovih `ivotiwa izra`eno u godinama:
`ivotiwa
5.
n
v
b
g
p
b) Ta~an rezultat: ..................... Razlika: .......................................
6.
Na Zemqi je 2003. godine `ivelo
6 402 721 050 stanovnika. Ako u Srbiji
ima 850 puta mawe stanovnika, koliko
je to stanovnika?
7.
Koliko Beograd ima stanovnika ako se zna da u wemu `ivi 10 puta mawe stanovnika nego u Meksiko
Sitiju? Po podacima iz 2005. godine, najve}i svetski grad je Meksiko Siti sa 17 500 000 stanovnika.
Odgovor: .........................................................................................................................................................................................................
8.
a) U 2003. godini na svetu je bilo 320 000 000
automobila i oko 6 400 000 000 stanovnika.
Koliko je to stanovnika po jednom automobilu?
Odgovor: ..........................................
b) Uporedi koli~nike i upi{i odgovaraju}i
znak (>, <, =):
6 400 000 000 : 320 000 000
126 000 000 : 180 000
640 : 32
12 600 : 18
6 400 000 000 : 320 000 000
= 6 400 000 000 : 320 000 000
= 640 : 32 = ...........
126 000 000 : 180 000
= 126 000 000 : 180 000
= 12 600 : 18 = ...........
Kada se deqenik i delilac zavr{avaju nulama,
onda kod oba mo`emo izbrisati isti broj nula.
Najdu`a `eleznica u Srbiji i Crnoj Gori ima du`inu oko 500 km. Najdu`a `eleznica na svetu
prote`e se od Moskve do Vladivostoka na Tihom okeanu i wena du`ina je 10 000 km.
Koliko puta je najdu`a `eleznica na svetu
du`a od najdu`e `eleznice u na{oj zemqi?
................................................................................................
Vladivostok
Moskva
61
9.
Sigurno si ~esto nailazio na podatak da u nekom gradu ili dr`avi `ivi odre|en broj qudi na
povr{ini od 1 km2. Taj broj se naziva gustina naseqenosti. Dobije se kada povr{inu neke dr`ave
podeli{ brojem wenih stanovnika. Na primer, u jednoj od najmawih dr`ava na svetu, San Marinu,
2005. godine `ivelo je svega 23 058 stanovnika na povr{ini od 61 km2. U najve}oj dr`avi, Kini,
te godine je `ivelo 1 290 073 500 stanovnika na povr{ini od 9 556 100 km2. Izra~unaj koliko je
stanovnika na 1 km2 `ivelo u Kini, a koliko u San Marinu.
Kina: ......................................
San Marino: ......................................
Koliko stanovnika na 1 km2 `ivi na Zemqi ako je broj stanovnika 6 556 000 000, a wena povr{ina
149 000 000 km2? ......................................
10.
U tabeli su dati podaci o kretawu broja stanovnika u najve}im gradovima u Srbiji i Crnoj Gori.
Izra~unaj podatke koji nedostaju i sazna}e{ koliko je stanovnika u navedenim gradovima `ivelo
1921, a koliko 1991. godine:
grad
Kragujevac
18 000
Podgorica
8 000
Pri{tina
15 000
broj
stanovnika
1991. godine
8
120 000
7
Zrewanin
3
81 000
Pan~evo
4
73 000
Smederevo
62
broj
toliko puta
stanovnika
se uve}a broj
1921. godine stanovnika
9 000
7
11.
Jedna ~etvoro~lana porodica letovala je ove godine na Tari. Sedmodnevno letovawe
celu porodicu je ko{talo 28 350 din. Ako se zna da je na letovawu:
1. svakog dana tro{en isti iznos novca;
2. bilo dvoje odraslih i dvoje dece;
3. cena punog pansiona duplo ve}a za odrasle nego za decu,
kolika je dnevna cena letovawa za svakog ~lana porodice?
Dnevna cena za dete:
........................................................
Dnevna cena za odraslog:
........................................................
12.
Proizvod tri broja iznosi 176 400. Proizvod prvog i drugog je 4 200,
a proizvod prvog i tre}eg je 3 150. Koji su to brojevi?
13.
Koje cifre treba upisati umesto * ?
1 0
–
–
*
0
*
2 :
* 0 * 8
1 3 5 7
*
* * * * *
0
Provera:
* * * *
= 2 3
Ajfelova kula u Parizu je najpose}enija gra|evina na svetu i jedno
od najve}ih graditeqskih ~uda.
Podignuta je davne 1889. godine.
Samo tokom jedne godine Ajfelov
toraw je posetilo 6 405 750 qudi.
Koliko je qudi dnevno pose}ivalo
toraw ako je svaki dan dolazio
isti broj qudi?
.............................................................................
63
14.
Ne ra~unaju}i vrednosti koli~nika,
pove`i iste brojne vrednosti.
5 012 : 358
6
5 076 : 846
14
41 535 : 923
8
4 256 : 532
45
Prema Ginisovoj kwizi rekorda najve}i globus
na svetu ima masu od 2 700 kg. Zemqa ima masu
od 5 972 000 000 000 000 000 000 000 kg.
Izra~unaj koliko je puta masa ovog globusa
mawa od mase Zemqe.
Na osnovu ~ega }e{ povezati
vrednosti? .........................................................
...................................................................................
...................................................................................
Jankovo odeqewe
priprema se za karneval.
Janko je zadu`en da
nabavi materijale
za {ivewe kostima.
U prodavnici je dobio
ra~un.
RA^UN
cena u din du`ina potrebnog
po 1 m
materijala u m
jednobojna tkanina
karirana tkanina
trake za ukra{avawe
lasti{
430
516
172
86
ukupno u din.
28
30
45
26
ukupno:
U~enici su za kupovinu materijala skupili nov~anice: 8 od 5 000 din., 3 od 1 000 din., 3 od 500 din.,
3 od 200 din. i 3 od 100 din. Da li Janko mo`e da plati ra~un nov~anicama koje ima? Izra~unaj
i u tabeli popuni prazna poqa. Da li }e ti ostati kusur? ................................................................................................
U odeqewu ima 25 u~enika. Pored materijala, Janko treba da za 400 din. kupi karnevalske kape,
a za 200 din karnevalske maske. Koliko komada kapa, a koliko maski mo`e da kupi?
.............................................................................
Uporedi svoj odgovor sa odgovorima svojih drugara iz u odeqewa. (Sva ra~unawa uradi u svesci.)
64
Izvodqivost operacija mno`ewa i deqewa u skupu
prirodnih brojeva
Nau~io si da mno`i{ sve prirodne brojeve.
1.
a) Izra~unaj proizvode:
2•4=8
8 • 6 = 48
20 • 5 = 100
2 • 10 = ............
8 • 25 = ............
20 • 30 = ............
2 • 90 = ............
8 • 120 = ............
20 • 99 = ............
2 • 123 = ............
8 • 500 = ............
20 • 250 = ............
2 • 1 000 000 = ...............................
8 • 1 000 = ..............
20 • 1 000 000 000 = ..................................
Da li su proizvodi koje si dobio prirodni brojevi? ..............
Proizvod bilo koja dva prirodna
broja uvek je prirodan broj.
Po{to je proizvod bilo koja dva prirodna broja
prirodan broj, ka`emo da je operacija mno`ewa
UVEK IZVODQIVA u skupu prirodnih brojeva.
Do prethodnog zakqu~ka mo`e{ da do|e{ koriste}i operaciju sabirawa.
Dopuni jednakost:
35 + 35 + 35 + 35 = ...... • 35
4
Za bilo koja dva prirodna broja a i b va`i:
b + b + b + ... + b = a • b
a
[ta je zbir bilo koja dva prirodna broja? Zbir je ..................................... broj.
Da li je operacija sabirawa uvek izvodqiva u skupu prirodnih brojeva? ..........
Budu}i da je mno`ewe ponovqeno sabirawe i da je operacija sabirawa uvek izvodqiva u skupu
prirodnih brojeva, i mno`ewe je UVEK IZVODQIVA operacija u skupu prirodnih brojeva.
65
2.
a) Izra~unaj slede}e koli~nike:
b) Izra~unaj i odgovori na slede}a pitawa.
36 : 2 = 18
150 : 3 = .......
22 : 2 = ..........
36 : 3 = .......
150 : 5 = .......
Da li je dobijeni koli~nik brojeva prirodan broj? ...........
36 : 4 = .......
150 : 10 = .......
20 : 2 = ..........
36 : 6 = .......
150 : 50 = .......
Da li je dobijeni koli~nik brojeva prirodan broj? ...........
v) Re{i jedna~inu: 6 • x = 40
Re{avawe prethodne jedna~ine svodi se na tra`ewe koli~nika brojeva 40 i 6,
to jest x = ....... : ........
Jedna~inu mo`e{ da re{i{ i pomo}u tabele. Popuni slede}u tabelu.
Da li je 40 : 6 prirodan broj?
x
1
2
6•x
6
12
3
Operacija deqewa
izvodqiva je u skupu
prirodnih brojeva
pod uslovom da je
deqenik deqiv deliocem.
Tada je wihov koli~nik
prirodan broj.
66
4
5
6
7
36
42
8
Re{ewe koje tra`imo jeste broj
koji je izme|u brojeva 6 i 7, to jest
6 < x < 7. To nije prirodan broj!
6 • x = 40
36 < 40 < 42
6 • 6 < 40 < 6 • 7
Broj 40 nije deqiv brojem 6,
jer ne postoji prirodan broj
koji pomno`en sa 6 daje broj 40.
1.
Kojim brojem su deqivi svi prirodni brojevi? ......................................
2.
Proveri da li je vrednost
nepoznate x prirodan broj:
a) x • 6 = 1 416
b) 15 • x = 82 515
v) 4 823 : x = 7
Po{to koli~nik bilo koja dva
prirodna broja nije uvek
prirodan broj, ka`emo da je
operacija deqewa delimi~no
ili da NIJE UVEK IZVODQIVA
u skupu prirodnih brojeva.
Svojstva operacija mno`ewa i deqewa
Za brojeve ve}e od 1 000 sa kojima sada ra~una{ va`e ista svojstva kao i za brojeve
s kojima si ra~unao u 3. razredu.
Zamena mesta ~inilaca
1. a) 14 • 2 = 2 • 14 =
............
Proizvod se ne mewa ako ~inioci zamene mesta.
b) 250 • 4 = 4 • ............ = ............
Za bilo koja dva prirodna broja a i b va`i:
a•b=b•a
v) 700 • 2 = ............ • ............ = ............
2.
a) 28 • 3 • 6 = (28 • ............) • ............ = ............ • (3 • ...........) = .................................................
b) 4 • 5 • 2 = 4 • (5 • 2) = 4 • 10 = ...................
v) 50 • 2 • 14 = (50 • 2) • 14 = ............ • 14 = ...................
g) 25 • 4 • 5 = (25 • ............) • ............ = ............ • ............ = ...................
d) 63 • 8 • 125 = 63 • (............ • ............) = 63 • ............ = ...................
Zdru`ivawe ~inilaca
Proizvod se ne mewa ako se mewa redosled
zdru`ivawa ~inilaca.
Za bilo koja tri prirodna broja a, b i c va`i:
a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)
3.
Na osnovu svojstva zamene mesta
i zdru`ivawe ~inilaca va`i:
a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c) = (a • c) • b
Da li je 0 prirodan broj? ...................
Podseti se {ta se de{ava sa proizvodom kada je jedan od ~inilaca 1 ili 0.
Izra~unaj proizvode i zaokru`i one koji su prirodni brojevi:
a) 6 789 900 • 0 = ........................
v) 0 • 1 000 = .................................................
b) 999 999 • 1 = ...........................
g) 1 000 • 1 = ........................
0 kao ~inilac
Proizvod 0 i bilo kog prirodnog broja
jednak je 0. Za bilo koji prirodan broja a va`i:
0•a=0
a•0=0
d) 1 • 1 = .... ............................
1 kao ~inilac
Proizvod 1 i bilo kog prirodnog broja jednak je tom
prirodnom broju. Za bilo koji prirodan broj va`i:
1•a=a
a•1=a
67
4.
Izra~unaj koli~nike:
a) 98 : 1 = ............, jer je ............ • 1 = 98
243 : 1 = ............, jer je ............
b) 356 : 356 = ............ , jer je ............ • 356 = 356
9 420 : 9 420 = ............, jer je ............
v) 1 : 1 = ............ , jer je ............ • 1 = 1
g) 0 : 2 = ............, jer je ............ • 2 = 0
0 : 743 = ............, jer je ............
d) Sima mo`e sam da pojede kola~. Mo`e da ga podeli sa drugarom, tako da svako
dobije polovinu kola~a. Da li kola~ mo`e da podeli na nula delova?
1 kao delilac ili koli~nik
Deqewe bilo kog prirodnog broja samim sobom daje 1. Deqewe bilo kog
prirodnog broja sa 1 daje isti taj broj. Za bilo koji prirodan broj a va`i:
a:a=1
a:1=a
a:0
Ne mo`e{ da
deli{ sa 0.
0 kao deqenik
Pri deqewu 0 bilo kojim prirodnim brojem dobije se 0.
Za bilo koji prirodan broj a va`i:
0:a=0
Pojam mno`ewe poti~e od latinske re~i productum,
producere i koristi se u nauci od XIII veka. Za operaciju
mno`ewa dugo se koristio znak
, koji je zna~io da se
merni broj povr{ine pravougaonika dobije mno`ewem
mernih brojeva du`ina wegovih susednih stranica.
Tako se sve do XVII veka koristila re~ pravougaonik
umesto re~i proizvod.
Slovo M je dugo kori{}eno kao znak za mno`ewe (od engleske re~i Multiplication), kao i znak „ד.
U nekim zemqama i danas se koristi znak „ד. Znak „•“ uvodi se kasnije i mi ga i danas koristimo.
68
1.
3.
a
4
60
3
b
15
25
500
a • b = ......
4 • 15 = 60
b • a = ......
15 • 4 = ......
Bez izra~unavawa vrednosti izraza upi{i
znak <, > ili =:
a) 9 + 9
2+2+2+2+2+2+2+2+2
b) 7 + 7
2+2+2+2+2
v) 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2
6+6
Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak <, > ili =.
a) 36 084 • 7
4.
2.
Popuni tabelu:
36 084 • 5
g) (3 027 • 7) • 6
3 027 • (7 • 6)
b) 40 204 • 23
23 • 40 204
d) 20 402 • 3 • 20
20 402 • 60
v) 800 050 • 7
7• 800 000
e) 80 000 • 2 • 27
27 • 160 000
Izra~unaj proizvode koriste}i svojstva mno`ewa.
a) 36 • 75 = (4 • 9) • (3 • 25) = (9 • 3) • (4 • 25) = 27 • 100 = ..........
b) 32 • 75 = (8 • 4) • (3 • 25) = ..........................................................................
v) 28 • 25 = (7 • 4) • 25 = 7 • (........ • ........) = ...............................................
g) 36 • 25 = ..................................................................................................................
d) 28 • 75 = ..................................................................................................................
e) 24 • 75 = ..................................................................................................................
5.
Na ovaj na~in ~inioci postaju
podesniji za ra~unawe.
Dobija{ dekadnu jedinicu
ili neki drugi podesan broj!
^emu je jednak koli~nik ako je:
a) delilac jednak 1? ........................................................ Navedi primere: .....................................................................................
b) deqenik jednak 0? ........................................................ Navedi primere: .....................................................................................
v) delilac jednak deqeniku? ...................................... Navedi primere: .....................................................................................
69
6.
Primenom svojstava zdru`ivawa ~inilaca izra~unaj proizvod:
a) 125 • 8 • 568 = (125 • 8) • 568 = 1 000 • .......... = ......................
b) 680 • 2 • 50 = 680 • (2 • 50) = .......... • .......... = ......................
v) 5 789 • 100 • 1 000 = 5 789 • (.......... • ..........) = .......... • ...................... = ......................
g) 50 • 2 • 8 124 = ................................................................................................................................
d) 6 523 • 500 • 2 = .............................................................................................................................
7.
Na osnovu svojstava zamene mesta ~inilaca i zdru`ivawa ~inilaca izra~unaj proizvode:
a) 4 • 954 • 25 = 4 • 25 • 954 = (4 • 25) • 954 = .......... • 954 = ...............................
b) 125 • 1 567 • 8 = ......................................................................................................................
v) 250 • 20 • 4 = .............................................................................................................................
g) 80 • 25 • 500 = ...........................................................................................................................
d) 250 • 178 • 4 • 20 • 50 = .......................................................................................................
Na internetu }e{ na}i zanimqive zadatke u vezi sa mno`ewima:
http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_192_g_2_t_1.html
Mogu}e je da „pogodi{„ kada je nekome ro|endan. Tra`i od druga ili drugarice da zapi{e dan
i mesec kada je ro|en, a da ti to ne ka`e. Na primer, 75 (kada je neko ro|en 7. maja)
• Taj broj neka pomno`i sa 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 • 2 = 150
• Zatim neka dobijeni broj pomno`i sa 5: . . . . . . . 150 • 5 = 750
• Neka dobijeni broj sabere sa 20: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750 + 20 = 770
• Sada dobijeni broj neka pomno`i sa 10: . . . . . . . 770 • 10 = 7 700
• Dobijenom proizvodu neka doda redni
broj meseca svog ro|ewa, u na{em slu~aju 5: . . . 7 700 + 5 = 7 705
Zatim tra`i da ti ka`e koji je broj dobio i sada mo`e{ da pogodi{ dan i mesec wegovog ro|ewa.
• U broju koji ti ka`e, zanemari posledwe dve cifre i oduzmi broj 2: 7 705 – 2 = 77 – 2 = 75
Tvoj drug je ro|en 7. maja.
70
Mno`ewe i deqewe zbira i razlike brojem
1.
Dara i Steva su u De~joj enciklopediji pro~itali da je najvi{e drvo na svetu visoko kao tri
Pan~i}eve omorike. Wena visina je 37 m. Dara i Steva se pitaju koliko je visoko najvi{e drvo na
svetu. Zbog radoznalosti brzo ra~unaju.
Evo kako je Dara ra~unala:
37 • 3 = (30 + 7) • 3 = 30 • 3 + 7 • 3 = ........... + ........... = ...........
Steva je ra~unao ovako:
37 • 3 = (40 – 3) • 3 = 40 • 3 – 3 • 3 = ............ – ........... = ...........
Koliko je visoko najvi{e drvo na svetu? ...................................
Steva je pro~itao da je to tako|e visina ~uvene svemirske
letilice Apolo.
2.
Sekvoja se nalazi u Nacionalnom
parku Redvud u Sjediwenim
Ameri~kim Dr`avama
a) Ra~unaj na dva na~ina:
(100 + 4) • 5 = 104 • 5 = ............
(100 + 4) • 5 = 100 • 5 + 4 • 5 = ............ + ............ = ............
Kako se zove pravilo koje si primenio u re{avawu ovih zadataka? ........................................................................
Zbir mno`imo brojem tako {to sabirke saberemo i dobijeni zbir pomno`imo tim brojem.
Ili zbir mno`imo brojem tako {to svaki sabirak pomno`imo tim brojem, pa dobijene
proizvode saberemo.
Za bilo koja tri prirodna broja a, b i c va`i:
(a + b) • c = a • c + b • c
71
b) Izra~unaj na dva na~ina:
(100 – 4) • 5 = 96 • 5 = ............
(100 – 4) • 5 = 100 • 5 – 4 • 5 = ............ – ............ = ............
Kako se zove pravilo koje si primenio u re{avawu zadataka? ..................................................................................
Razliku mno`imo brojem tako {to od umawenika oduzmemo umawilac i dobijenu razliku
pomno`imo tim brojem. Ili razliku mno`imo brojem tako {to umawenik i umawilac pomno`imo tim brojem i dobijene proizvode oduzmemo.
Za tri prirodna broja a, b i c kada je a > b ili a = b, va`i:
(a – b) • c = a • c – b • c
3.
Izra~unaj na dva na~ina:
(96 + 39) : 3 = 135 : 3 = ............
(96 + 39) : 3 = 96 : 3 + 39 : 3 = ............ + ............ = ............
Prvi sabirak, 96, i drugi sabirak, 39, su deqivi sa 3.
Pravilo koje si primenio jeste pravilo deqewa ............................. brojem.
Zbir brojeva delimo brojem tako {to saberemo sabirke i dobijeni zbir podelimo tim
brojem. Ili zbir brojeva delimo brojem tako {to svaki sabirak podelimo tim brojem
i dobijene koli~nike saberemo.
Za tri prirodna broja a, b i c, pri ~emu su a i b deqivi sa c, va`i:
(a + b) : c = a : c + b : c
4.
Izra~unaj na dva na~ina:
(96 – 39) : 3 = 57 : 3 = ............
(96 – 39) : 3 = 96 : 3 – 39 : 3 = ............ – ............ = ............
Umawenik 96 i umawilac 39 deqiva su sa 3.
Pravilo koje si primenio jeste pravilo deqewa ............................. brojem.
Razliku brojeva delimo brojem tako {to od umawenika oduzmemo umawilac i dobijenu
razliku podelimo tim brojem. Ili razliku brojeva delimo brojem tako {to umawenik
i umawilac podelimo tim brojem i od prvog koli~nika oduzmemo drugi.
Za tri prirodna broja a, b i c, pri ~emu je a > b ili a = b, a i b su deqivi sa c, va`i:
(a – b) : c = a : c – b : c
72
1.
Izra~unaj vrednost izraza na dva na~ina.
a) (59 + 41) • 5 = ......... • 5 = .........
b) (900 – 3) • 4 = 900 • 4 – 3 • 4 = ..............................
(59 + 41) • 5 = 59 • ......... + ......... • 5 = ......... + ......... = .........
2.
3.
4.
(900 – 3) • 4 = ..............................
Pored ta~ne jednakosti napi{i T, a pored neta~ne N.
a) (120 + 10) • 9 = 120 • 9 + 9
............
v) (34 + 87) • 8 = 34 • 8 + 87 • 8
............
b) (538 – 67) • 3 = 538 • 3 – 67 • 3
............
g) (721 – 178) • 6 = 721 • 6 – 178
............
Popuni tabelu.
a
b
a:3
b:3
a : 3 + b : 3 = .......
a+b
(a + b) : 3 = .......
243
51
81
17
81 + 17 = 98
294
294 : 3 = .......
90
801
573
27
a•c
b•c
Popuni tabelu i uporedi rezultate u obojenim kolonama.
a
b
c
a+b
(a + b) • c = .......
100
2
153
102
102 • 153= 15 606
4 000
70
9
a • c + b • c = .......
73
5.
Popuni tabelu primewuju}i nau~ena pravila:
a
1 234
12 345
123 456
123 456
12 345 678
12 345 678
b
0
1
7
17
39
139
a•b
6.
Rapelov sup je ptica koja leti veoma visoko. Leti na
visini od 11 km, na kojoj leti i avion. Kada se obru{i
na svoj plen, sup se spusti na visinu od 150 m. Koliki
put pre|e kada leti na visini od 11 km, pa hvata plen na
visini od 150 m i na kraju se vrati na visinu od 11 km?
(............ – ............) • 2 = ............................... – ............................... = .....................................................................................................
7.
a) Broj 108 predstavqen je u obliku zbira i razlike kako bi izra~unao koli~nik brojeva 108 i 9:
108 : 9 = (81 + 27) : 9 = ......... : 9 + ......... : ......... = ......... + ......... = .........
108 : 9 = (180 – 72) : 9 = ......... : 9 – ......... : ......... = ......... – ......... = .........
b) Izra~unaj koli~nik brojeva 144 i 3 primewuju}i svojstvo deqewa zbira ili razlike brojem.
Koji od ponu|enih zbirova ili razlika nisu pogodni za primenu tog svojstva?
Ra~un:
74
Odgovor:
1) 120 + 24 ...............................................................................................................................
..........................................................
2) 130 + 14 ...............................................................................................................................
..........................................................
3) 150 – 6 ..................................................................................................................................
..........................................................
4) 160 – 16 ...............................................................................................................................
..........................................................
8.
Napi{i izraz u obliku proizvoda i izra~unaj:
a) 127 • 37 – 27 • 37 = (127 – 27) • 37 = 100 • 37 = 37 • 100 = .....................
b) 46 • 12 + 46 • 8 = ..................................................................................................................................................................
v) 170 • 140 – 170 • 100 = .....................................................................................................................................................
g) 23 • 309 – 23 • 9 = .................................................................................................................................................................
9.
Ako je Stevina visina 138 cm, izra~unaj visine stabala na slici. Kleka je 2 puta vi{a od Steve,
hrast 4, a breza 5 puta vi{a od Steve. Stabla su stara pribli`no kao i Steva tj. 10 godina.
kleka: 138 • 2 = (130 + 8) • 2 = ......... • 2 + ......... • ......... = ......... + ......... = .........
hrast: 138 • 4 = (......... – .........) • 4 = ...................................................................
breza: ......... • 5 = (......... + .........) • 5 = ...................................................................
visine:
10.
Steva
138 cm
kleka
..............cm
hrast
..............cm
breza
..............cm
Dovr{i mno`ewa:
a) 306 • 9 = (300 + 6) • 9 = .....................................................................................................................................................
b) 110 • 29 = ....................................................................................................................................................................................
11.
U~enici jednog odeqewa odlu~ili su da okre~e u~ionicu. Za kre~ewe im je potrebno 72 kg bele
farbe, a za ukra{avawe zidova 48 kg `ute farbe. U akciji u~estvuje 24 u~enika.
a) Koliko farbe svaki u~enik treba da donese?
( ......... + .........) : ......... = ......... : ......... + ......... : ......... = ............. + ............. = .............
Odgovor: .........................................................................................................................................................................
b) Koliko je bele, a koliko `ute farbe potrebno da donese svaki u~enik?
Odgovor: .........................................................................................................................................................................
75
12.
Marko i Milo{ skupqaju sli~ice. Marko ima 41 sli~icu „Jugio" i 29 sli~ica fudbalera.
Milo{ ima isto toliko sli~ica. Koliko sli~ica ukupno imaju?
( ......... + .........) • ......... = .....................................................................................................................................................
Odgovor: ................................................................................................................................................................................
13.
U {umi se u 9 redova nalazi po 87 stabala. Drvose~a je posekao po 17 stabala iz svakog reda.
Koliko stabala je ostalo u {umi?
.....................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ................................................................................................................................................................................
14.
Dva brata su za xeparac od bake i deke dobila 200 dinara, a od mame i tate 180. Dobijeni
novac su ravnopravno podelili. Koliko novca je dobio svaki brat?
.....................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ................................................................................................................................................................................
15.
U magacin je jednog dana dovezeno 950 vre}a bra{na. Svaka vre}a ima masu 50 kg. Slede}eg
dana pekarima je odvezeno 370 vre}a. Koliko je tona bra{na ostalo u magacinu?
.....................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ................................................................................................................................................................................
16.
Koje brojeve treba upisati da bi se dobila
ta~na jednakost.
a) 7 • 9 + ......... = 8 • 9
b) 9 • 7 = ......... • 9 + 9
18.
Dara je mno`e}i dva broja dobila proizvod
1 360. Kada je jedan od ~inilaca pove}ala
za 5, a drugi ostavila nepromewen, dobila
je proizvod 2 720. Koje brojeve je Dara
mno`ila?
......................................................................................................
17.
76
Re{i jedna~inu koriste}i pravilo mno`ewa
zbira brojem: 43 • x + 27 • x = 280.
......................................................................................................
.......................................................................................................
......................................................................................................
.......................................................................................................
......................................................................................................
.......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca
1.
a) Steva ma{ta o tome da jednog dana postane poznati biciklista. Na {kolskom programu video je
kako se jedan biciklista sprema za biciklisti~ku trku. Brzinomer je pokazivao da bicikl
prelazi put du`ine 12 km za 1 sat vo`we. Kolika je bila
du`ina puta nakon 3 sata vo`we?
12 • 3 =36
Du`ina puta je 36 km.
Steva se zapitao kako bi se biciklista mogao {to boqe pripremiti za trku. Biciklista
je pove}ao brzinu 2 puta, a vreme je ostalo isto (3 sata). Koliku du`inu puta }e pre}i
nakon 3 sata vo`we?
(12 • 2) • 3 = 24 • 3 = 72 = 36 • 2
Ako bi biciklista pove}ao brzinu 2 puta a vreme vo`we
ostalo isto, pre{ao bi i 2 puta du`i put, to jest 72 kilometra.
Ako biciklista smawi vreme vo`we tri puta koliki }e put pre}i?
12 • (3 : 3) = 12 • 1 = 12 = 36 : 3
Ako biciklista smawi vreme vo`we 3 puta a brzina vo`we ostane
ista, onda }e pre}i 3 puta kra}i put, to jest 12 kilometara.
Steva je uo~io da je lako ra~unati proizvod brojeva ako se jedan ~inilac pove}a ili smawi
nekoliko puta.
b) Izra~unaj i dopuni:
4 • 7 = 28
(4 • 2) • 7 = 8 • 7 = 56 = 28 • 2
4 • 7 = 28
4 • (7 • 3) = 4 • 21 = 84 = 28 • 3
U drugom izrazu prvi ~inilac je pove}an 2 puta.
Vrednost drugog izraza je pove}ana ........ puta.
U drugom izrazu drugi ~inilac je pove}an 3 puta.
Vrednost drugog izraza je pove}ana ........ puta.
(4 • 5) • 7 = 20 • 7 = 140 = 28 • 5
(4 • 10) • 7 = 40 • 7 = ........................
4 • (7 • 8) = 4 • 56 = 224 = 28 • 8
4 • (7 • 14) = 4 • 98 = ........................
Za prirodne brojeve a, b, n i m va`i:
ako se jedan ~inilac pove}a nekoliko puta, tada se i proizvod pove}a isto toliko puta.
a•b=c
(a • n) • b = c • n
a • (b • m) = c • m
77
v) Izra~unaj i dopuni:
24 • 18 = 432
(24 : 2) • 18 = 12 • 18 = 216 = 432 : 2
24 • 18 = 432
24 • (18 : 3) = 24 • 6 = 144 = 432 : 3
U drugom izrazu prvi ~inilac je smawen 2 puta.
Vrednost drugog izraza je smawena ........ puta.
U drugom izrazu drugi ~inilac je smawen 3 puta.
Vrednost drugog izraza je smawena ........ puta.
(24 : 3) • 18 = 8 • 18 = 144 = 432 : 3
24 • (18 : 6) = 24 • 3 = 72 = 432 : 6
24 • (18 : 9) = 24 • 2 = ........................
(24 : 12) • 18 = 2 • 18 = ........................
Za prirodne brojeve a, b, n i m va`i:
ako se jedan ~inilac smawi nekoliko puta tada se i proizvod smawi isto toliko puta.
a•b=c
(a : n) • b = c : n, a i c deqivi sa n
a • (b : m) = c : m, b i c deqivi sa m
2.
Biciklista i daqe vozi brzinom 12 kilometara za 1 sat vo`we. Vozi 3 sata. Za ovo vreme prelazi
put du`ine 36 kilometara. Steva se pitao kako bi du`ina puta mogla da ostane ista dok se biciklista priprema se za trku. Da li biciklista mo`e da smawi brzinu? Onda bi se i du`ina puta
smawila. A da pove}a vreme vo`we? Onda bi se i du`ina puta
pove}ala. A {ta ako smawi brzinu a vreme pove}a isti broj puta?
Usporio sam,
Ili pove}a brzinu, a vreme smawi isti broj puta?
ali }u voziti
a) Koliki }e put biciklista pre}i ako brzinu smawi 2 puta,
du`e!
a vreme pove}aisto toliko puta, to jest 2 puta?
12 • 3 = 36
(12 : 4) • (3 • 4) = 3 • 12 = 36
Du`ina puta je nepromewena ako biciklista brzinu smawi 2 puta, a vreme pove}a 2 puta.
b) Ili, ako brzinu pove}a 3 puta, a vreme smawi isti broj puta?
12 • 3 = 36
(12 • 3) • (3 : 3) = 36 • 1 = 36
Steva je zakqu~io da }e du`ina ostati NEPROMEWENA
ako biciklista pove}a brzinu 3 puta, a smawi vreme vo`we
isto broj puta, to jest 3 puta.
Steva je uo~io da je lako ra~unati proizvod brojeva ako se
jedan od ~inilaca pove}a, a drugi smawi isti broj puta.
78
Ubrzao sam,
ali }u voziti
kra}e!
v) Izra~unaj i uporedi rezultate:
18 • 6 = 108
(18 : 2) • (6 • 2) = 9 • 12 = 108
24 • 16 = 384
(24 • 4) • (16 : 4) = 96 • 4 = 384
Vrednost prvog i drugog izraza su .........................
U drugom izrazu prvi ~inilac je smawen 2 puta,
a drugi ~inilac je ........................ 2 puta.
Vrednost prvog i drugog izraza su .........................
U drugom izrazu prvi ~inilac je pove}an 4 puta,
a drugi ~inilac je ........................ 4 puta.
(18 : 3) • (6 • 3) = 6 • 18 = ..............
(24 • 8 ) • (16 : 8) = 192 • 2 = ..............
(24 • 16) • (16 : 16) = 384 • 1 = ..............
(18 : 6) • (6 • 6) = 3 • 36 = ..............
Za prirodne brojeve a, b, n i m, takve da je a deqivo sa m va`i:
ako se jedan ~inilac smawi nekoliko puta, a drugi pove}a isti broj puta,
proizvod ostaje nepromewen.
a•b=c
•
•
(a : n) (b n) = c, a je deqivo sa n
(a • m) • (b : m) = c, b je deqivo sa m
1.
Koriste}i jednakost 37 • 75 = 2 775, napi{i koliko je:
a) (37 • 2) • 75 = .........................................
2.
b) 37 • (75 • 5) = .........................................
Jedan ~inilac u proizvodu smawen je 6 puta. [ta treba uraditi sa drugim ~iniocem da bi proizvod
ostao nepromewen?
............................................................................................................................................................................................................................
3.
Koriste}i jednakost 12 • 18 = 216 napi{i koliko je:
a) 24 • 9 = ..............
b) 36 • 6 = ..............
v) 6 • 36 = ..............
g) 4 • 54 = ..............
d) 3 • 72 = ..............
|) 2 • 108 = ..............
79
4.
Primewuju}i svojstvo nepromenqivosti (stalnosti) proizvoda, izra~unaj proizvode na lak{i na~in:
a) 250 • 24 = (250 • 4) • (24 : 4) = 1 000 • 6 = .................
b) 48 • 125 = (48 : 8) • (125 • 8) = 6 • 1 000 = .................
v) 24 • 750 = (24 : 4) • (750 • 4) = 6 • 3 000 = .................
g) 64 • 250 = (64 : .........) • (250 • .........) = 16 • ......... = .................
d) 56 • 25 = (......... : .........) • (......... • .........) = ......... • ......... = .................
|) 160 • 75 = .................................. = ..................................................................
e) 842 • 5 = ...........................................................................................................
`) 428 • 50 = ..........................................................................................................
z) 56 • 500 = ..........................................................................................................
Na ovaj na~in prvi ili drugi
~inilac postaju podesniji za
ra~unawe. Dobije{ dekadnu
jedinicu ili neki drugi podesan
broj. Tako sebi olak{ava{
ra~unawe.
5.
Kolika je vrednost proizvoda a • b ako je (a • 3) • (b : 3) = 7 200, b je deqivo sa 3?
Odgovor: a • b = ....................
6.
Napi{i i izra~unaj proizvod najve}eg trocifrenog i najve}eg jednocifrenog broja.
..............................................................................................................................................................................................
Izra~unaj prethodni proizvod ako mu se jedan ~inilac
– smawi 9 puta ..........................................................................................................
– smawi 111 puta, a drugi pove}a isto toliko puta ..........................................................................................................
7.
Prvi ~inilac je 5, drugi ~inilac je 7. Proizvod je ............. • ............. = .............. Koliko }e se puta
pove}ati proizvod ako:
a) pove}amo samo prvi ~inilac 2 puta? ..........................................................................................................
b) pove}amo samo drugi ~inilac 2 puta? ..........................................................................................................
v) i prvi i drugi ~inilac pove}amo 2 puta? ..........................................................................................................
8.
Jedna stambena zgrada ima 25 spratova. Na svakom spratu ima 8 stanova. Svaki stan ima 4 sobe.
Koliko soba ima u toj zgradi? Izra~unaj na dva na~ina.
...................................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ..............................................................................................................................................................................................
80
9.
Ako je m • n = 360, odredi x iz jednakosti:
a) (m • x)
•
(n : 2) = 360, x = ..............
b) (m • 10) • (n : x) = 360, x = ..............
10. Izra~unaj proizvod:
42 • 30 = ..............
a zatim odredi x koriste}i svojstva proizvoda:
a) (42 • x) • 30 = 1 260 • 2,
x = ..............
g) 42 • (30 : x) = 1 260 : 6, x = ..............
b) (42 : x) • 30 = 1 260 : 10, x = ..............
d) 42 • 60 = 1 260 • x,
x = ..............
v) 42 • (30 • 5) = 1 260 • x,
|) 7 • 30 = 1 260 : x,
x = ..............
x = ..............
11. a) Odredi a i c u proizvodu a • b = c ako je:
(a : 5) • (15 • 5) = 150,
a = .............. i c = ..............
b) Odredi b i c u prizvodu 25 • b = c ako je:
(25 • 4) • (b : 4) = 400,
12.
c = .............. i b = ..............
Nastavi da re{ava{ zadatke kao {to je zapo~eto. Primeni olak{icu u tra`ewu proizvoda:
a) 16 • 45 = (2 • 8) • (5 • 9) = (2 • 5) • (8 • 9) = 10 • 72 = 72 • 10 = ............
16 • 45 = (20 – 4) • 45 = 20 • 45 – 4 • 45 = (2 • 10) • 45 – 4 • 45 = (2 • 45) • 10 – 4 • 45 = 900 – 180 = ...........
b) 12 • 55 = (2 • ............) • (5 • ............) = ...............................................................................................................................................
12 • 55 = (10 + 2) • 55 = .......................................................................................................................................................................
v) 19 • 45 = .........................................................................................................................................................................................................
g) 99 • 48 = ..........................................................................................................................................................................................................
d) 26 • 15 = .........................................................................................................................................................................................................
81
e
1.
Popuni ukr{tenicu.
Sva ra~unawa
f
uradi u svesci.
b
v
g
a
d
g
h
Uspravno:
a) 46 760 : 56
b) 10 500 000 – 6 374 264
v) 230 291 465 + 95 723 915
g) 52 282 200 – 46 254 895
d) 584 892 – 583 989
Vodoravno:
e) 296 380 : 406
f) 520 • 6 090
g) 37 080 • 8 509
h) 732 • 7 300
i) 496 296 : 549
i
2.
U tabeli su dati podaci o broju putnika u `elezni~kom saobra}aju na pruzi Beograd – Bar.
Unesi ostale podatke koji se tra`e. Ra~unaj za godinu 365 dana.
godina
1994
ukupan broj
putnika
broj putnika
po jednom danu
4 321 235
1995
cena karte
po putniku u dinarima
godi{wi prihod
u dinarima
236
13 362
7 843 494
1996
3 407 640
9 149 280
1997
2 914 525
8 815 440
ukupno:
3.
Na {kolsku ekskurziju po{lo je 60 u~enika jednog IV razreda i potro{eno je 147 000
din. Ako se zna da je ekskurzija trajala jednu sedmicu i da je svaki dan tro{en isti
iznos novca, koliko je svaki u~enik dnevno tro{io?
..................................................................................................................................................................................................
4.
82
Najvi{i planinski vrh na svetu je Mont Everest. Visok je 8 847 m. Najvi{i vrh kod nas je
\eravica, visoka 2 655 m. Ako je visina ~oveka 180 cm, koliko puta je svaki od ovih vrhova
vi{i od ~oveka?
Mont Everest: ..............................................................................................................................................................................
^a|evica: .......................................................................................................................................................................................
5.
Otvarawe Olimpijskih igara u Atini 2004. godine pratilo je 4 milijarde gledalaca. Da su se dr`ali
za ruke, napravili bi lanac duga~ak kao 100 obima Zemqe.
a) Koliko qudi u lancu ~ini obim Zemqe? ..............................................................................................
b) Ako jedan ~ovek u lancu zauzima 1 m, koliki je obim Zemqe u kilometrima? .....................................................
6.
7.
Upi{i odgovaraju}i znak (<, > ili =):
a) 30 875 • 6 ........ 6 • 30 875
d) 567 • (10 – 1) ........ 567 • 10 - 567
b) 297 • (5 • 3) ........ (297 • 5) • 3
|) (560 – 80) : 8 ........ 70 – 10
v) 635 • (5 + 9) ........ 635 • 6 + 635 • 9
e) 330 • (3 • 10) ........ 3 300 • 3
g) 8 078 • 6 ........ 8 078 • 4
`) (420 + 30) : 3 ........ 140 + 30 : 3
Izra~unaj koriste}i svojstva mno`ewa i deqewa:
8.
a) 198 • 3 = ..............................................................................................
Na osnovu jednakosti 242 • 844 = 204 248
odredi proizvode bez izra~unavawa:
b) 5 • 496 = ..............................................................................................
a) (242 • 4) • (844 : 4) = .............................
v) 511 : 7 = ...............................................................................................
b) 484 • 422 = ..................................................
g) 344 : 4 = ...............................................................................................
9.
Koriste}i zamenu mesta i zdru`ivawe ~inilaca izra~unaj:
a) 12 • 4 • 3 • 25 = ............................................................................................
b) 2 • 378 • 5 = ...................................................................................................
v) 6 • 5 • 3 • 20 = ...............................................................................................
10. Izra~unaj proizvode.
a) 45 • 654 • 0 • 13 = ..........................
b) (32 + 120) • 1 = ...............................
11. Koriste}i stalnost proizvoda kao olak{icu izra~unaj:
a) 148 • 50 = ........................................................................................................
b) 125 • 72 = ........................................................................................................
12. Jedan od ~inilaca pove}an je 5 puta. [ta treba u~initi sa drugim ~iniocem da bi proizvod bio:
a) pove}an 50 puta? ................................................................................................................................................................................
b) nepromewen? .........................................................................................................................................................................................
83
KVADAR I KOCKA
10 cm
U ovom poglavqu nau~i}e{
osobine geometrijskih tela
kvadra i kocke. Nau~i}e{
ova
i kako se odre|uje wiho
povr{ina.
15 cm
1.
m
5c
Sima je upakovao poklon u kutiju dimenzija
datih na slici. Kolika je povr{ina papira
potrebna Simi za umotavawe poklona? Koliko
je ukrasne trake Simi potrebno za ukra{avawe
poklona ako je za samu ma{nu utro{io 2 dm?
Odgovor na ova pitawa }e{ prona}i
na slede}im stranama.
Prepoznaj na slici i napi{i koji od junaka iz bajke ^arobwak iz Oza ima telo sastavqeno
od razli~itih modela geometrijskih tela: ................................................. Napi{i koja su to tela:
.................................................................................................................................................................................................................
Oboj sve delove wegovog tela:
a) oblika kvadra
plavom bojom,
b) oblika kocke
crvenom bojom.
2.
Posmatraj sliku i odgovori:
a) kog oblika je telo `ute boje? ................................................
b) kog oblika je telo zelene boje?
......................................................................................
v) koja tela se kriju iza tela zelene boje?
......................................................................................
84
3.
Sima je slagao kocke kako to slike pokazuju.
(1) Koliko je kocki Sima upotrebio za slagawe svakog od tela na slikama?
a)
Broj kocki:
b)
..........
v)
..........
g)
..........
d)
..........
..........
(2) Koliko bi jo{ trebalo dodati istih kocki pa da od tela na slici nastane telo oblika kocke?
a) ..........
b) ..........
Naziv kocka poti~e od stare gr~ke re~i κυβοξ {to zna~i
kost za igrawe. Bila je to kockica za bacawe u raznim
igrama. Kako je prva kost za bacawe imala taj oblik, sve
ostale su po woj dobile naziv kocka.
Ovaj naziv se koristio jo{ pre 2 600 godina. Prvi su ga
koristili gr~ki matemati~ari Pitagora i Euklid.
Da li je „kockica“ ~okolade oblika kocke? .................................................................................................................................
Da li je ispravno re}i „sveska na kocke“? ......................... Kako treba re}i? ................................................................
85
4.
Napi{i pored slike nazive ozna~enih
elemenata pravougaonika.
........................
........................
........................
........................
Koliko stranica ima pravougaonik? .................
Koliko temena ima pravougaonik? .................
5.
Napi{i pored slike nazive ozna~enih
elemenata kvadrata.
Koliko stranica ima kvadrat? .................
Koliko temena ima kvadrat? .................
6.
Kakve su po du`ini du`i AB i CD sa slike? ......................................
A
B
C
D
Ka`emo jo{ i da su AB i CD podudarne stranice. Simbolima to zapisujemo: AB
Da li na ovoj slici ima jo{ podudarnih du`i? Koje su to du`i? ..............
7.
CD
..............
Koriste}i slike iz zadataka 4 i 5 odgovori:
a) Kakve su naspramne stranice pravougaonika po du`ini? ......................................
b) Da li susedne stranice pravougaonika mogu da budu podudarne? ......................................
v) Kakve su naspramne stranice kvadrata po du`ini? ......................................
g) Da li su susedne stranice kvadrata podudarne? ......................................
86
Osobine kvadra i kocke
Na slici je predstavqeno geometrijsko telo oblika kvadra.
teme
ivica
Sve strane kvadra
su pravougaonici.
strana
1.
H
G
Koristi model kvadra i odgovori na slede}a pitawa:
E
Koliko strana ima kvadar? ................
F
Koliko temena ima kvadar? ................ To su: A, B, ................
Koliko ivica ima kvadar? ................ To su: AB, ................................................................
D
C
.........................................................................
Ovaj kvadar imenujemo kao kvadar ABCDEFGH.
A
B
Iz materijala Priloga uxbenika napravi model kvadra.
Na modelu mo`e{ lako da uo~i{ da su naspramne (nesusedne) strane kvadra podudarne.
Po me|usobnom polo`aju one su paralelne.
Na modelu koji si napravio oboj istom bojom podudarne strane kvadra. Koliko razli~itih boja
ti je potrebno? ................
Posmatraj sliku i zapi{i parove podudarnih strana:
ABCD
EFGH , BCGF
................ i ................
................ .
87
2.
Iz svakog temena kvadra polaze po
3 razli~ite ivice. Iz temena B to su ivice:
U svakom temenu sastaju se i 3 razli~ite strane
kvadra. U temenu B sastaju se strane:
BA, .............. i ...............
BCDA, .............. i ..............
Du`ine ivica koje polaze iz istog temena
(sastaju se u istom temenu) predstavqaju tri
dimenzije kvadra: du`inu, {irinu i visinu.
Ivice kvadra mogu da se razvrstaju u 3 grupe
po 4 ivice. U svakoj grupi ivice su me|usobno
paralelne i podudarne (jednake po du`ini).
Oboji ivice na slici tako da jedna grupa ivica
bude iste boje (koristi sliku i boje sa slike).
H
E
G
F
1. Grupa obojena crvenom bojom:
visina
BA D CD D FE D .......... i BA
C
na
ri
i
{
B
FE
GH
2. Grupa obojena plavom bojom:
D
A du`ina
CD
BC D AD D .......... D .......... i BC
AD
..........
3. Grupa obojena zelenom bojom:
BF D .......... D .......... D .......... i ..........
..........
..........
Kvadar ima 6 strana. Sve strane kvadra su pravougaonici.
Naspramne strane kvadra su podudarne i paralelne.
Kvadar ima 12 ivica i 8 temena. Iz svakog temena polaze po 3 razli~ite ivice.
Ivice kvadra razvrstavamo u 3 grupe po 4 ivice koje su podudarne i paralelne.
88
..........
..........
Na slici je predstavqeno telo oblika kvadra ~ije su sve ivice jednake. Takav kvadar naziva se kocka.
teme
ivica
Sve strane kocke
su kvadrati.
strana
3.
P
Koristi model kocke i odgovori na slede}a pitawa:
O
Koliko strana ima kocka? ................
Koliko temena ima kocka? ................ To su: I, J, ........................................................... M
Koliko ivica ima kocka? ................ To su: IJ, ................................................................
N
L
K
......................................................................
Ovu kocku imenujemo kao kocku IJKLMNOP.
I
J
Iz materijala Priloga uxbenika napravi model kocke.
Uporedi sve strane jedne kocke na modelu.
Da li su one me|usobno podudarne? ................
Koliko ti je boja potrebno da bi obojio podudarne strane modela kocke? ................
Uporedi ivice kocke po du`ini na modelu. Odgovori kakve su one. ......................................................
Koliko ti je boja potrebno da bi obojio podudarne ivice kocke? ................ Uradi to na slici.
Kvadar je geometrijsko telo ograni~eno sa 6 pravougaonika.
Kocka je kvadar ograni~en sa 6 kvadrata.
89
H
1.
G
Posmatraj kvadar sa slike i odgovori:
a) temena koja pripadaju gorwoj strani kvadra su: .........., .........., .......... i ..........;
E
F
b) ivice koje polaze iz temena A su: .........., .......... i ..........;
v) ivica AE je podudarna i paralelna sa ivicama: .........., .......... i ..........;
D
C
g) strana paralelna i podudarna strani BCGF je strana ............................
A
2.
B
Pro~itaj sa slike i dopi{i:
a) dimenzije kvadra: du`ina a;
{irina ..........;
visina ..........;
c
d
b) dimenzije kocke: du`ina ..........;
{irina ..........;
visina ...........
d
b
a
d
Kod kog geometrijskog tela su sve tri dimenzije iste, a kod kog su razli~ite?
Iste su kod ................................, a razli~ite kod .................................
3.
Dovr{i zapo~eto crtawe kocke i kvadra:
[ta zna~i izreka: „Staviti se na ne~iju
stranu“?
.............................................................................................
.............................................................................................
90
4.
a) [ta su strane ovog kvadra?
Strane ovog kvadra su ......... pravougaonika i ......... kvadrata.
Plavom bojom obojeni su ..............................., a crvenom bojom ................................
Koliko strana kvadra na slici vidimo? .............
Koliko strana kvadra ne vidimo? .............
b) Mogu li kod kvadra, koji nije kocka, samo dve strane biti kvadrati? ...............................
v) Mogu li dve susedne strane kvadra, koji nije kocka, biti kvadrati? ...............................
5.
a) Koliko kvadara istih dimenzija treba dodati kvadru
na slici ~ija je du`ina 1 cm, {irina 4 cm i visina
4 cm da bi dobio kocku? ..................
b) Koliko kvadara dimenzija 8 cm, 4 cm i 4 cm treba da
upotrebi{ da bi slo`io telo oblika kocke? ..................
6.
Ukupna du`ina svih ivica kocke je 84 cm. Izra~unaj kolika je du`ina wene ivice.
a
...........................................................................................................................................................................................
a
7.
a
Goran je oblepio sve ivice akvarijuma oblika kvadra za{titnom trakom. Koliko mu je trake bilo
potrebno ako je visina akvarijuma 15 cm, du`ina 43 cm i {irina 30 cm. (Akvarijum nema poklopac.)
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
...........................................................................................................................................
91
8.
Na slici su date kocke. Koliko razli~itih kvadara mo`e{ da sastavi{ od svih kocki? ....................
9.
Koliko najmawe jednakih kvadrata treba da sastavi{ da bi dobio novi kvadrat? ....................
Koliko ti je jednakih kocki potrebno da bi sastavio novu kocku? ....................
Na slici je telo sastavqeno od kocki posmatrano sa dve strane. Koji je najmawi
broj kocki od kojih je sastavqeno ovo telo? .........................................................................
Pogled spreda
na slo`ene kocke
Pogled sa strane
na slo`ene kocke
Napravi model kvadra i kocke.
Potreban materijal:
Da bi napravio ivice kvadra i kocke upotrebi plasti~ne slam~ice u boji, a za temena iskoristi
malo plastelina. Koristi makaze, lewir i olovku.
Uputstvo za pravqewe modela:
1. razmisli koliko ti je slam~ica potrebno za ivice, a koliko loptica plastelina za temena;
2. razmisli o du`inama slam~ica;
3. slam~ice istih du`ina neka budu jedne boje;
4. koliko razli~itih boja }e ti biti potrebno:
a. za model kvadra;
b. za model kocke?
92
Mre`a povr{i kvadra i kocke
1.
Na slici je prikazan model kvadra. Zamisli da makazama se~e{ model du` wegovih
ivica, tako da povr{ kvadra bude iz jednog komada.
Postupak je prikazan na slici:
Na ovaj na~in dobio si mre`u povr{i kvadra.
Od kartona na kome je nacrtana mre`a povr{i kvadra (iz Priloga uxbenika) savijawem
du` isprekidanih linija i lepqewem mo`e{ da sastavi{ model kvadra.
2.
a) Podudarne pravougaonike na mre`i povr{i kvadra oboji istom bojom.
Koliko razli~itih boja ti je potrebno? ...........
b) Oboji istom bojom podudarne stranice pravougaonika.
Koliko razli~itih boja ti je potrebno? ...........
Mre`a povr{i kvadra mo`e imati i druga~ije
oblike kao {to je, na primer, ova na slici.
93
3.
Da li mre`e na slici mogu da budu
mre`e povr{i kvadra? ...........................
a)
b)
Obrazlo`i svoj odgovor. .........................................
..................................................................................................
..................................................................................................
4.
Na slici je prikazan model kocke. Zamisli da makazama se~e{ model du` wegovih
ivica tako da povr{ kocke bude iz jednog komada.
Postupak je prikazan na slici:
Na ovaj na~in dobio si mre`u povr{i kocke.
Od kartona na kome je nacrtana mre`a povr{i kocke (iz Priloga uxbenika) savijawem
du` isprekidanih linija i lepqewem mo`e{ da sastavi{ model kocke.
5.
94
a) Podudarne kvadrate na mre`i povr{i
kocke oboji istom bojom. Koliko boja
ti je potrebno? ...........
b) Oboji istom bojom podudarne stranice
kvadrata. Koliko boja ti je potrebno? ...........
6.
Koja mre`a na slici je mre`a povr{i kocke? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
a)
b)
v)
g)
Od kartona napravi kutijicu bez poklopca u koju }e{ ostavqati svoje olovke na radnom stolu.
Pazi da dimenzije budu tako odabrane da u kutiju mo`e{ da smesti{ olovke.
Koliko tvoja kutijica treba da ima strana?
Prvo napravi mre`u povr{i kvadra. Sklapawem mre`e dobi}e{ kutijicu.
Od materijala koristi: mek{i karton, makaze, lewir i olovku. Nakon pravqewa kutijicu
mo`e{ da oja~a{ lepqewem selotejp-trakom.
1.
Bojewem kvadrata dopuni slike tako da dobije{ mre`e povr{i kocke.
95
2.
a) Na kvadratnoj mre`i nacrtaj tri razli~ite mre`e povr{i kocke~ija je ivica 1 cm.
b) Kolika je povr{ina mre`e kocke ivice 1 cm? ..................
v) Uporedi povr{ine nacrtanih mre`a kocki iz zadatka.
Kakve su one me|usobno? .......................................
3.
96
Mre`a povr{i kocke data na
slici odgovara samo jednoj
kocki. Koja je to od ponu|enih?
Zaokru`i je.
Povr{ina kvadrata ~ija je stranica
1 cm je ............. cm2.
Mre`a povr{i kocke ima ............. takvih
kvadrata.
4.
Zaokru`i slovo kod onih mre`a koje predstavqaju mre`u kocke.
a)
b)
v)
g)
d)
|)
5.
Na slici je predstavqena mre`a povr{i kocke. Radi se
o kocki za igru. Za wu va`i slede}e pravilo: zbir brojeva
ta~aka na naspramnim stranama kocke uvek je 7. Docrtaj
ta~ke na mre`i tako da va`i navedeno pravilo.
6.
Dovr{i crtawe zapo~ete mre`e povr{i kvadra.
97
7.
Na kvadratnoj mre`i nacrtaj mre`u povr{i kvadra ~ije su dimenzije:
du`ina 3 cm, {irina 2 cm i visina 1 cm.
8.
Na slici su date mre`e povr{i kocke i dva kvadra Ako je data jedinica mere 1 cm2,
uporedi povr{ine kocke i kvadara.
1 cm2
A
B
98
PA = ............ cm2,
PB = ............ cm2 i PC = ............ cm2
C
PA < ............ < ............
9.
Koja mre`a odgovara kvadru na slici?
Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
a)
10.
b)
v)
Koji od slede}ih kvadara imaju mre`u kao na
slici? Zaokru`i slovo ispred ta~nog odgovora.
v)
g)
a)
b)
g)
Odgovor: ............
Na slede}oj internet adresi na}i }e{ zanimqiv zadatak: http://www.figurethis.org/challenges/c55/challenge.htm
Re{i ga.
99
11.
Nacrtaj mre`u povr{i:
a) kocke dimenzije 1 cm 5 mm;
b) kvadra dimenzija 1 cm, 2 cm i 4 cm.
a)
b)
Na dva najudaqenija temena kockice za igru stoje
muva i pauk. Koji je najkra}i put kojim pauk mo`e
da stigne do muve i ulovi je?
Prvo na mre`i povr{i kocke ucrtaj ta~ke, zatim
mesta gde stoje muva i pauk. To }e ti pomo}i da
ucrta{ du` koja je najkra}i put kojim }e pauk
sti}i do muve.
A
B
[ta zna~i kada se neko stavi na ne~iju stranu?
......................................................................................................................................................................................................................................
100
Povr{ina kvadra i kocke
Kako izra~unavamo povr{inu pravougaonika ~ije su stranice a i b? ....................................................................
Kako izra~unavamo povr{inu kvadrata ~ija je stranica a? ..........................................................................................
Kojim mernim jedinicama se izra`ava povr{ina? ............................................................................................................
Na slici je model kvadra. Zamisli da makazama se~e{ model.
Na taj na~in dobio bi mre`u povr{i kvadra datu na slici.
15 cm
a
c
b
5c
m
10 cm
Povr{ kvadra sastoji se iz ....... pravougaonika, od kojih su
naspramni pravougaonici podudarni i obojeni istom bojom.
Izra~unaj kolika je povr{ina `uto obojenog, plavo obojenog
i crveno obojenog pravougaonika:
P
=a•b
Na mre`i povr{i kvadra ima 2 crveno obojena
pravougaonika.
P
= a • .......
Na mre`i povr{i kvadra ima 2 `uto obojena
pravougaonika.
P
= ....... • .......
Na mre`i povr{i kvadra ima 2 plavo obojena
pravougaonika.
Mre`a povr{i kvadra sastoji od 3 para podudarnih pravougaonika.
Povr{inu kvadra ra~unamo na slede}i na~in:
P=2•P
+2•P
+2•P
P = 2 • a • b + 2 • a • c + 2 • b • c ili P = 2 • (a • b + a • c + b • c)
Sada se vrati na zadatak na strani 84 i pomozi Simi da izra~una kolika mu je povr{ina papira
potrebna da bi upakovao poklon. Potrebna mu je onolika povr{ina papira kolika je povr{ina
tog kvadra dimenzija 15 cm, 5 cm i 10 cm.
P = 2 • (15 • 10 + 15 • 5 + 10 • 15) cm2 = 2 • .................................... cm2 = ............................ cm2 = ............... cm2
Sima }e utro{iti ............................ ukrasnog papira za uvijawe poklona.
101
Ako bi Simin poklon bio upakovan u kutiju oblika kocke, koliko
bi mu tada ukrasnog papira bilo potrebno? Ivica kocke je 17 cm.
Da bi to saznao, koristi model kocke.
Postupak dobijawa mre`e povr{i kocke isti je kao i za mre`u
povr{i kvadra.
17 cm
Posmatraj kvadrat ~ija je stranica du`ine a. Svaki deo mre`e
kocke je ............................., ~ija je stranica du`ine .......... Svaki od
6 kvadrata ima stranicu koja je po du`ini jednaka ivici kocke.
Povr{ina svakog kvadrata iznosi: P = a • .......
a
a
Mre`a povr{i kocke sastoji se od 6 kvadrata. Povr{inu kocke ra~unamo na slede}i na~in:
P=6•a•a
Koliko papira je Simi potrebno za uvijawe poklona oblika kocke ~ija je ivica 17 cm?
P = 6 • ....... • ....... cm2 = ...................................... = ......................
Sima }e utro{iti ...................... ukrasnog papira za umotavawe ovog poklona.
1.
Kolika je povr{ina kocke ~ija je ivica 6 dm?
......................................................................................................................................................................................................................................
2.
Kolika je povr{ina kvadra ~ije su ivice a = 1 dm 5 cm, b = 4 cm i c = 1 dm.
......................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................
102
3.
Povr{inu kvadra ~ije su ivice a, b i c izra~unavamo na slede}i na~in:
P = 2 • a • b + ....... • ....... • ....... + ....... • ....... • ....... ili P = ....... • (....... • ....... + ....... • ....... + ....... • .......)
[ta ovde predstavqaju:
a) brojevi a, b i c? ....................................................................................................................................................................................
b) proizvodi brojeva:
a i b ...............................................................................................................................................................................................................
a i c ...............................................................................................................................................................................................................
b i c ...............................................................................................................................................................................................................
v) Za{to pomenute proizvode mno`imo sa 2? ..........................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................................................
4.
Povr{inu kocke izra~unavamo na slede}i na~in: P = 6 • ....... • .......
[ta ovde predstavqa:
a) broj a? ..........................................................................................................................................................................................................
b) proizvod a • a? .......................................................................................................................................................................................
v) Za{to proizvod a • a mno`imo brojem 6? .............................................................................................................................
5.
Ako je povr{ina kocke 96 cm2, kolika je wena ivica?
6 • a • a = 96 cm2 ............................................................................................................................................................
a = ................ cm
6.
Koliko kartona ti je potrebno da bi oblo`io otvorenu posudu oblika kocke ~ija je ivica 53 cm?
.................................................................................................................................................................................................................................
7.
Obim jedne strane kocke je 64 cm. Kolika je povr{ina te kocke?
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
103
8.
Na slici su date mre`e povr{i kocke i kvadra. Odredi dimenzije kvadra i kocke i izra~unaj
wihove povr{ine.
1 cm2
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
........................................................................................
9.
Mirka od kartona pravi 3 kutijice oblika kocke u koje }e odlagati svoje olovke, bojice
i flomastere. Svaka kutijica ima svoj poklopac. Ivica svake kocke je 15 cm. Koliko je kartona
Mirki potrebno da bi napravila ove kutijice? (Na otpatke prilikom rezawa kartona po
svakoj kutijici ode 900 cm2.)
......................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................
10.
U jednom razrednom akvarijumu oblika kocke prime}eno je da voda isti~e, jer su o{te}ene wegove ivice.
U~enici su odlu~ili da ih oja~aju za{titnom trakom. Ukupno je utro{eno 2 m 6 dm 4 cm trake. Za ukra{avawe istog akvarijuma u~enici su kupili samolepqivi papir. Izra~unaj povr{inu papira koji }e
u~enici utro{iti za ukra{avawe akvarijuma ne ukra{avaju}i wegovo dno (akvarijum je bez poklopca).
......................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................................
104
11.
Kolika je povr{ina platna potrebna za {ivewe putne torbe oblika kvadra, ako su wene dimenzije:
visina 30 cm, du`ina 50 cm i {irina 20 cm?
....................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................
12.
Koliko stakla je potrebno za pravqewe akvarijuma bez poklopca oblika kocke ~ija je ivica 8 dm, ako je:
a) dno stakleno? ..............................................................................................................................................................................................
b) dno metalno? ..............................................................................................................................................................................................
13.
Podrum ku}e du`ine 10 m, {irine 6 m i visine 3 m treba okre~iti. Kre~e se
zidovi i plafon. Vrata prostorije su {iroka 1 m, a visoka 2 m. Prostorija ima
i prozor du`ine 3 m i visine 1 m. Izra~unaj povr{inu zidova koje treba okre~iti.
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
14.
Magacin oblika kvadra, dimenzija: du`ina 17 m, {irina 6 m i visina 4 m treba
spoqa okre~iti. Magacin ima 6 prozora {irokih po 5 dm i visokih po 10 dm
i jedna vrata {iroka 1 m i visoka 2 m. Izra~unaj kolika je povr{ina magacina
koju je potrebno okre~iti.
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
15.
Bazen oblika kvadra treba poplo~ati plo~icama kvadratnog oblika dimenzija
1 dm. Ivice bazena su: du`ina 4 m 5 dm, {irina 3 m i dubina 2 m. Koliko je
plo~ica potrebno za poplo~avawe bazena?
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
105
16.
Kartonska kutija za staklene ~a{e ima dimenzije 22 cm, 15 cm i 10 cm. Koliko se ovakvih kutija
mo`e napraviti od 10 m2 kartona ako 6 dm2 budu ukupni otpaci pri radu?
....................................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................................
17.
^etiri kutije oblika kvadra nalepqene su {irom stranom jedna za drugu,
kao na slici. Kolika je povr{ina tako dobijenog kvadra ako su dimenzije
jedne kutije : a = 8 cm, b = 6 cm 5 mm, c = 4 cm.
b
a
..................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................
c
..................................................................................................................................................................
18.
Sima je slagao kocke kao na slici. Sve kocke su jednakih ivica: 1 cm.
Odredi povr{ine slo`enih tela.
a)
b)
v)
a) ........................................................................................
b) ........................................................................................
v) ........................................................................................
g) ........................................................................................
g)
d)
|)
d) ........................................................................................
|) ........................................................................................
Koja tela imaju jednake povr{ine? ..........................................................
Koja tela su sastavqena od jednakog broja kocki? ..........................................................
Koja tela s jednakim brojem kocki imaju razli~ite povr{ine? ..........................................................
106
19.
a) Ako se ivica kocke dimenzije 1 m udvostru~i, kolika je
povr{ina novonastale kocke?
..............................................................................................................................................
b) Da li je povr{ina novonastale kocke ve}a ili mawa u odnosu
na povr{inu prvobitne? Koliko puta je ona ve}a (mawa)?
..............................................................................................................................................
20.
Ako su 21 cm2, 28 cm2 i 12 cm2 povr{ine nekih strana kvadra, mo`e{ li da izra~una{ wegovu
povr{inu?
................................................................................................................................................................................................................................
21.
Od kocki dimenzije 1 cm sastavqeno je telo prikazano na slici. Izra~unaj povr{inu dela tela
sastavqenog od kocki plave boje. Kocke koje ne vidi{ su plave boje.
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................
Mo`e li se jednim potezom (ne di`u}i vrh
olovke sa papira i ne idu}i dva puta istim
putem) nacrtati ova figura (mre`a kocke)?
........................................
Poku{aj da je nacrta{.
Pauk ima svoju mre`u ispletenu od niti
tankih kao niti svile.
Ako bi pauk pleo
mre`u od niti
debqine
olovke kojom
pi{e{, ona bi
se pokidala
od te`ine tek
kad bi niti
dostigle du`inu
od 70 km.
107
1.
Popuni tabelu:
Slika modela
geometrijskog
tela
2.
Broj grupa
Naziv
Broj
Broj
Broj u koje su ivice
geometrijskog
strana temena ivica
svrstane
tela
po du`ini
Dopuni re~enice:
a) Geometrijsko telo ograni~eno sa 6 pravougaonika nazivamo ...............................
b) Geometrijsko telo ograni~eno sa 6 kvadrata nazivamo ...............................
3.
a) [ta je potrebno izmeriti da bi izra~unao povr{inu datog kvadra?
........................................................................................................................................................
b) [ta je potrebno izmeriti da bi izra~unao povr{inu date kocke?
........................................................................................................................................................
4.
108
Pove`i svaku sliku modela
kvadra i kocke sa wihovim
mre`ama. Oboji svaku od mre`a
kao {to su im obojene strane.
Formula za povr{inu
5.
Koliko najvi{e kockica za igru (ivice 1 cm) mo`e da stane u kutiju oblika kvadra ~ija je du`ina
10 cm, {irina 1 cm i visina 2 cm?
................................................................................................................................................................................................................................
6.
8.
Kolika je povr{ina kocke ~ija je ivica
1 cm 5 mm? Nacrtaj wenu mre`u.
7.
Kolika je povr{ina kvadra ~ije su dimenzije
2 cm, 1 cm 5 mm i 1 cm? Nacrtaj wegovu mre`u.
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
..................................................................................................
Ponovo se vrati na zadatak na strani 84 i izra~unaj koliko je ukrasne trake Simi bilo potrebno
za ukra{avawe poklona.
..............................................................................................................................................................................................................................
9.
Izra~unaj koliko je potrebno kartona da se naprave korice za herbarijume u odeqewu koje ima
25 u~enika. Dimenzije jednog herbarijuma date su na slici.
20 cm
....................................................................................................................
....................................................................................................................
28 cm
....................................................................................................................
4 cm
109
MATEMATI^KI IZRAZI
•
•
•
{ta su prosti i slo`eni izrazi
da izra~unava{ vrednost slo`enog izraza
da re{ava{ zadatke pomo}u izraza
Kolike su visina, du`ina i masa najkrupnije kopnene
`ivotiwe na svetu – afri~kog slona?
Odgovor na ovo pitawe dobi}e{ kada re{i{ jedan
od narednih zadataka u ovom poglavqu.
1.
U kvadrati}e iznad znakova ra~unskih operacija pi{i redosled wihovog izvo|ewa:
2. 1.
a) 240 + 90 • 7
b) 1 800 : 20 – 2
g) 28 • 16 + 17 • 19
2.
v) 250 : 25 – 160 • 3
d) 162 • 13 + 600 • 2 + 8 000 : 20
Upi{i redosled izvo|ewa ra~unskih operacija.
a) (240 + 90) • 7
1. sabirawe, 2. mno`ewe
.........................................................................................................
b) 1 800 : (20 – 2) .......................................................................................................
v) (260 + 10) • (623 – 8) ..........................................................................................
g) (1 200 : 12) • 8 .........................................................................................................
d) (600 : 30) • (450 + 9) ...........................................................................................
|) (80 + 40) : 3 – 50 • 20 .........................................................................................
110
U izrazima bez zagrada
najpre obavqamo mno`ewe
i deqewe, pa tek onda
sabirawe i oduzimawe,
idu}i sleva nadesno.
U izrazima sa zagradama
najpre ra~unamo
vrednosti izraza
u zagradama, a zatim
se postupa kao sa izrazima
bez zagrada.
3.
U oblasti reke Amazon `ivi najve}a zmija na svetu. Ona je ja~a od krokodila, a masa joj je ve}a
od 200 kg. Da bi otkrio weno ime treba da izra~una{ vrednosti datih izraza i da u tablicu,
ispod odgovaraju}e vrednosti, upi{e{ odgovaraju}e slovo.
425 + 8 • 60 = ....................................................................................................................................
A
90 : 3 + 3 = ..........................................................................................................................................
D
43 • 6 + 63 : 7 = ................................................................................................................................
K
62 • 7 – 120 : 4 = ..............................................................................................................................
N
20 + 3 • (400 – 900 : 3) = ............................................................................................................
O
905
4.
404
905
320
404
33
905
Napi{i zagrade tako da zapisi budu ta~ni.
24 + 36 : 2 • 3 = 30
5.
267
24 + 36 : 2 • 3 = 90
24 + 36 : 2 • 3 = 126
Izra~unaj vrednost izraza 3 • m • (2 • n + l), ako je m = 3, n = 15, l = 6.
3 • m • (2 • n + l) = ...................................................................................................................
6.
Nastavi da sastavqa{ izraz onako
kako je prikazano na „drvetu izraza“.
25
3
8
24
+
:
•
(....... + .......) • (....... : .......)
111
Prosti i slo`eni izrazi
1.
Napi{i u obliku izraza:
a) Zbir brojeva:
4 121 i 270 .....................................; a i 45 678 .....................................; a i b .....................................
b) Razliku brojeva:
823 i 671 .....................................; 1 236 i a .....................................; a i b .....................................
v) Proizvod brojeva:
15 i 2345 .....................................; x i 23 .....................................; x i y .....................................
g) Koli~nik brojeva
3 600 i 36 ....................................., a i 48 ....................................., a i b .....................................
Izrazi u kojima se javqa samo jedna ra~unska operacija nazivaju se prosti izrazi.
Prosti izrazi koji sadr`e promenqivu nazivaju se prosti izrazi sa promenqivom.
2.
Napi{i u obliku izraza:
a) zbir broja 340 i proizvoda brojeva 23 i 40 ............ + ............ • ............
b) razliku proizvoda brojeva b i 3 i broja 18 ............ • ............ – ............
v) proizvod zbira brojeva p i 45 i broja 8 (............ + ............) • ............
g) koli~nik broja 1 200 i razlike brojeva 18 i 8 ............ : (............ – ............).
U prethodnim izrazima, ra~unskom operacijom smo vezivali jedan broj i jedan prost izraz.
d) proizvod razlike i zbira brojeva m i n: (............ – ............) • (............ + ............)
|) koli~nik zbira brojeva m i 6 i proizvoda brojeva a i b: (............ + ............) : (............ • ............)
U primerima d) i |) ra~unskom operacijom vezivali smo dva prosta izraza.
e) zbir proizvoda brojeva 16 i 18, a i b, 12 i c: ............ • ............ + ............ • ............ + ............ • ............
`) proizvod broja b i zbira koli~nika brojeva 12 i a i broja 16. ............ • (............ : ............ + ............)
Izrazi sa dve ili vi{e ra~unskih
operacija nazivaju se slo`eni izrazi.
112
U primerima e) i `) ra~unskim operacijama
vezivali smo vi{e prostih i slo`enih izraza.
1.
2.
Pove`i jednake izraze:
12 • 144 – a : b
zbir koli~nika brojeva a i 12 i koli~nika brojeva 144 i 12
a : 12 + 144 : 12
proizvod razlike brojeva 144 i a i zbira brojeva 12 i b
144 • 12 – a • b
razlika proizvoda brojeva 12 i 144 i koli~nika brojeva a i b
(144 – a) • (12 + b)
razlika proizvoda brojeva 144 i 12 i proizvoda brojeva a i b
Zapi{i re~ima slede}e slo`ene izraze, kao {to je zapo~eto:
a) 16 • 9 + 14
zbir proizvoda brojeva 16 i 9 i broja 14
b) (12 + a) • (b • 13) proizvod zbira brojeva i ...........................................................................................................................
3.
v) a : b – c
razlika ...................................................................................................................................................................
g) b • d + x • y
zbir ..........................................................................................................................................................................
d) (m – n) + b • c
......................................................................................................................................................................................
|) 16 : b + (c – 19)
......................................................................................................................................................................................
e) a : k – (c + d)
......................................................................................................................................................................................
Sastavi izraz
prema {emi:
12
5
30
•
.......
.......
•
+ ....... • .......
m
2
+
.......
n
7
–
2+m
(....... + .......) : (....... – .......)
113
4.
Napravi drvo izraza za:
b) (m – n) • (144 + a)
a) (64 : 32) • (12 : 4)
5.
Upi{i u prazna poqa znak nejednakosti (< ili >) tako da zapisi budu ta~ni:
a + 85
6.
75 + a
b – 30
b – 35
e • 12
21 • e
86 + c
86 – c
Sastavi i zapi{i re~ima:
a) dva prosta izraza
..............................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................
b) slo`en izraz sa dve operacije
..............................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................
v) slo`en izraz sa ~etiri operacije
..............................................................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................................................
114
Vrednost izraza
1.
Nastavi kao {to je zapo~eto.
izraz
25 • 2 + 13 • 3 =
2.
ra~unawe
vrednost izraza
50 + 39
= 89
936 – 240 : 8 =
............
– ............
= ............
1 230 + 20 • 60 =
............
+ ............
= ............
(620 + 900) • (450 – 50) =
............
•
............
= ............
123 • 10 + 450 : 50 =
............
+ ............
= ............
a) Izra~unaj vrednost izraza 25 • x + 40 • y,
kada je x = 2, y = 3.
............
•
b) Popuni tabelu:
2 + ............ • 3 = ............ + ............ = ............
Vrednost izraza ................................ je .............
Vrednosti izraza u kojima se javqaju
promenqive mo`emo izra~unati ako
promenqive zamenimo datim brojevima.
1.
Kada obavimo sve ra~unske
radwe koje se javqaju u izrazu,
dobijamo vrednost izraza.
Na primer, vrednost izraza
25 • 2 + 13 • 3 je 89.
a
1
5
6
3
b
10
50
60
30
10 – a
20 + b
(10 – a) • (20 + b)
Koliki je zbir broja 1 260 i wegove polovine?
Izraz: .................... + .................... : ....................
Ra~unamo: .................... + .................... = ....................
Vrednost izraza je: ....................
Odgovor: Zbir broja 1 260 i wegove polovine je .....................
115
2.
Koliki je zbir polovine, tre}ine i {estine broja 720?
Izraz: .................... : .................... + .................... : .................... + .................... : ....................
Ra~unamo: .................... + .................... + .................... = ....................
Vrednost izraza je: ....................
Odgovor: Zbir polovine, tre}ine i {estine broja 720 je .....................
3.
Izra~unaj proizvod zbira i razlike brojeva 1 200 i 400.
(.................... + ....................) • ( .................... – ....................) = .................... • .................... = ....................
Odgovor: ..........................................................................................................................................................................................................
4.
Ako postavi{ izraz i izra~una{ wegovu vrednost, dobi}e{ visinu, du`inu i masu afri~kog
slona. To je odgovor na pitawe sa strane 110.
• 100
– 60
125
•
Izraz:
–
...............
•
+ 25
125 • 4 – (....... + .......)
Ra~unamo:
Vrednost:
4
.......
– ...............
6.
116
+
.......
..................... cm
+ 60
+ (....... + .......)
...............
+ ...............
..................... cm
visina
5.
•
5
du`ina
– 2 000
+
– 5 000
(.......... – ..........) + (.......... – ..........)
...............
+ ...............
..................... cm
masa
Odredi vrednost izraza:
a) 96 : x + 1 230, za x = 32
96 : x + 1 230 = 96 : 32 + 1 230 = .............................................................
b) 130 • x + 2 100 : 70, za x = 50
......................................................................................................................................
v) (x - y) • (x + y), za x = 2 232, y = 1 232
......................................................................................................................................
Bez izra~unavawa uporedi vrednosti
izraza i upi{i odgovaraju}i znak (<, >, =):
362 • 6
a) 362 • 2 + 362 • 3
b) 700 : 10 + 50 : 10
750 : 10
7.
U prazna poqa upi{i a) (9
znake ra~unskih
b) (9
operacija, tako da
zapisi budu ta~ni:
v) (9
9
9)
9 = 810
9
9)
9 = 18
9
9)
9 = 243
Re{avawe zadataka pomo}u izraza
1.
U jednom vo}waku radnici su prvog dana nabrali 1 200 kg jabuka. Drugog dana nabrali su
jo{ 5 prikolica i u svakoj po 300 kg jabuka. Koliko jabuka su radnici nabrali za 2 dana?
Izraz: .................... + .................... • .................... = ................................................................................................................................
Odgovor: Radnici su za 2 dana nabrali .................... kg jabuka.
2.
Na pijacu je doneto 2 270 kg krompira. Prodato je 120 xakova sa po 15 kg u xaku.
Koliko je krompira ostalo?
Izraz: .................... – .................... • .................... = ................................................................................................................................
Ostalo je
3.
....................
kg krompira.
U ~etvrtom razredu jedne {kole ima 63 de~aka i 71 devoj~ica. Dogovorili su se da svaki
de~ak sakupi po 30 kg stare hartije, a svaka devoj~ica po 20 kg. Koliko }e hartije sakupiti
ako ostvare plan?
Izraz: .................... • .................... + .................... • .................... = .......................................................................................................
Odgovor: ......................................................................................................................................................................................................
4.
[kola ima 32 odeqewa i u svakom odeqewu po 30 u~enika. Na ekskurziju je krenulo 20 odeqewa
sa svim u~enicima. Koliko u~enika je ostalo u {koli?
Izraz: .................... • .................... – .................... • .................... = ......................................................................................................
ili
Izraz: (.................... – ....................) • .................... = ..............................................................................................................................
Odgovor: .......................................................................................................................................................................................................
5.
Prodavac za 12 pari papu~a, po ceni od 3 000 dinara, dobija isto novca kao za 9 pari cipela.
Koliko ko{ta par cipela?
Izraz: (.................... • ....................) : .................... = ....................................................................................................................
Odgovor: Par cipela ko{ta .................... dinara.
117
6.
Lasta mese~no pojede 2 200 insekata, a senica dva puta vi{e. Koliko insekata pojedu zajedno
za godinu dana?
Izraz: ........................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ..................................................................................................................................................................................................
7.
Vojnici iz tri gradske kasarne podeqeni su u 5 jednakih grupa i poslati u poplavqena sela
da pomognu me{tanima. Prva kasarna dala je 350 vojnika, druga 1 235, a tre}a 720. Koliko
vojnika je bilo u svakoj grupi?
Izraz: ........................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ..................................................................................................................................................................................................
8.
Mlin je isporu~io pekari 250 xakova od po 60 kg bra{na. Pekara je odmah potro{ila 7 380 kg
bra{na. Koliko xakova bra{na je jo{ ostalo u pekari?
Zadatak mo`e{ da uradi{ na dva na~ina:
I (250 • .................... – ....................) : .................... = .........................................................................................................................
II 250 – .................... : .................... = ...................................................................................................................................................
Odgovor: ..................................................................................................................................................................................................
9.
Na jednoj polici nalaze se 62 kwige, na drugoj 2 puta vi{e, a na tre}oj 35 kwiga mawe nego
na drugoj. Koliko kwiga ima na ove tri police?
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
10.
Na jednoj farmi koko{ke su za 3 meseca snele 23 000 jaja. U prvom mesecu snele su 5 600 jaja,
u drugom dva puta vi{e nego u prvom. Koliko jaja su snele u tre}em mesecu?
......................................................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................................................
118
11.
Na gradili{tu se nalazi 100 t cementa. Prvog
dana utro{eno je 700 xakova od po 50 kg,
a drugog 830 xakova iste mase. Koliko je xakova
cementa ostalo na gradili{tu?
700
50
...........................................................................................................
...........................................................................................................
kg
830
...........................................................................................................
...........................................................................................................
12.
Sa jedne planta`e ubrano je 640 t jabuka, a sa druge 10 kamiona od po 8 t. Sve jabuke sme{tene
su u 4 hladwa~e. Koliko jabuka ima u svakoj hladwa~i?
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
13.
Povr{ina igrali{ta pravougaonog oblika je 50 000 m2, a wegova du`ina je 200 m.
Koliki je obim igrali{ta?
Izraz: 2 • (.................... : .................... + ....................) = .........................................................
...............................................................................................................................................................
14.
Petrova baka `ivi u mestu koje je 240 km udaqeno od mesta u kome `ivi Petar. Da bi stigao
do bake, Petar najve}i deo puta ide autobusom, a ostatak pe{ke. Autobus pre|e 59 kilometara za
1 ~as. Putuje se 4 ~asa. Ako Petar pe{a~i brzinom od 4 km za 1 sat, koliko vremena treba da
pe{a~i do bake?
..................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................
119
15.
Posle dana provedenog na skijawu Aca i Boba upore|ivali su du`inu staza pre|enih na skijali{tu.
Aca, koji je boqi skija{, pre{ao je tri puta stazu Karaman greben, duga~ku 1 440 m, dva puta stazu
Pan~i}ev vrh, duga~ku 1 600 m i jedanput stazu Malo jezero, duga~ku 410 m. Boba je pre{ao stazu
Malo Jezero 4 puta i po jedanput staze Pan~i}ev vrh i Karaman greben. Za koliko metara je Aca
pre{ao vi{e od Bobe?
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................................................................................................
16.
U fabrici ode}e sa{iveno je 2 310 pari pantalona
i 3 218 haqina. Za jedne pantalone utro{eno
je 180 cm, a za haqinu 3 m tkanine. Od jednih
pantalona zarada je 700 dinara, a od haqine 1200.
Koliko je ukupno platna potro{eno? ...........................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
Kolika je ukupna zarada? .....................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
..............................................................................................................
17.
Dat je izraz 1 800 – 45 • 12. Sastavi zadatak koji odgovara datom izrazu, koriste}i podatke:
ukupan broj u~enika, broj autobusa, broj u~enika u autobusu.
Tekst zadatka: ................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
120
.................................................................................................................................................................................................................................
18.
Na osnovu izraza 25 • 3 + 40 • 12 sastavi zadatak.
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
19.
Sam sastavi zadatak i re{i ga pomo}u izraza.
Tekst zadatka: ................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................................................
Izraz: .................................................................................................................................................................................................................
Izra~unavawe vrednosti izraza: ......................................................................................................................................................
Izra~unaj vrednost izraza (2 • a – 63 • 4) : 2, kada a uzima redom vrednosti iz skupa
{141, 144, 130, 139, 136}. Uz dobijene vrednosti izraza upi{i slovo ~iji je redni broj u azbuci
jednak tom rezultatu.
M
•
•
(2 141 – 63 4) : 2 = .................................................................................... = 15
..........................................
= .................................................................................... = .............
..........................................
= .................................................................................... = .............
..........................................
= .................................................................................... = .............
..........................................
= .................................................................................... = .............
Ako si ta~no odredio sve vrednosti, ~itaj u smeru strelice i dobi}e{ ime junaka
iz poznatog de~jeg romana. Napi{i ime tog romana.
Ime romana je ......................................................................................................................
121
^etiri znaka + rasporedi izme|u brojeva
1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7 tako da dobije{ izraz
~ija je vrednost 73.
Izme|u pet ~etvorki rasporedi znake
operacija i zagrade, tako da dobije{ izraze
~ije su vrednosti 0, 1, 2, 3, 4, 5. Ukoliko
bude{ vredan, mo`e{ dobiti i izraze ~ije
su vrednosti 6, 7, ..., 16.
(4 – 4) : 4 + 4 – 4 = 0
4
4
4
4
4=1
4
4
4
4
4=2
4
4
4
4
4=3
4
4
4
4
4=4
4
4
4
4
4=5
[ta zna~i kada ka`emo da na nekog mo`emo da ra~unamo? ..................................................................................................
Dana{wi znaci + i – prvi put su upotrebqeni 1489. godine u Ra~unici
nema~kog matemati~ara Johana Vidmana. Nije ta~no utvr|eno kako
su ovi znaci nastali. Po jednoj pretpostavci koristili su ih trgovci
vinom. Kada su prodavali vino, na buretu su zapisivali crtu „–“
do one koli~ine koja je ostala u buretu. Dakle, crta je predstavqala
oduzimawe. Kada je vino dodavano u isto bure, na horizontalnu crtu
dopisivana je vertikalna i tako je nastao znak „+“ (dodavawe).
122
1.
Izra~unaj vrednost izraza:
a) 293 621 + 29 440 : 80 = ...............................................................................................................................................................
b) 41 + 365 • 12 – 500 : 10 – 40 : 8 + 3 628 = ......................................................................................................................
2.
Izra~unaj:
a) (2 365 + 455) : 2 = .........................................................................................................................................................................
b) 150 : (90 : 3) + (6 • 8 – 10) • 26 = .........................................................................................................................................
3.
Izra~unaj vrednost izraza:
m • 2 365 – 1 000 : m, ako je m = 25
........................................................................................
........................................................................................
5.
4.
Popuni tabelu.
x
0
2
5
40
100
(2 + x) • 1 000
10 • x + 60 : 6
Za koje vrednosti promenqive x iz skupa {10, 20, 30} su jednake vrednosti izraza:
1 800 : x i 150 - x • 3? ...............................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
(x : 1 0) • 80 i 40 + 4 • x? ...............................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................
6.
U bazenu ima 500 000 litara vode. Pumpa izbacuje po 5 000 litara na sat. Ako prvog dana radi
7 sati, a drugog 10 sati, koliko }e litara vode ostati u bazenu?
Izraz: ....................................................................................................................................................................................................
Izra~unavawe vrednosti izraza: .........................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ...............................................................................................................................................................................................
123
JEDNA^INE I NEJEDNA^INE
•
Noj mo`e da pretr~i x metara
za 6 sekundi. Koliko je x ako je
1000 m pretr~ao za minut?
da re{ava{ razli~ite
jedna~ine i nejedna~ine
• da primeni{ svoje znawe
u razli~itim zadacima, kao
{to je zadatak o noju
1.
a) Ako sa x ozna~i{ visinu ~lanova
porodice Petrovi}, upi{i koje
vrednosti mo`e uzimati slovo x.
Ostavi re{avawe ovog zadatka
za kasnije!
porodica
Petrovi}
Visina u cm
Pavle Vladimir Aleksandra Tawa Milan
126
134
156
172
196
Uzimati vrednost iz skupa zna~i
da se x mo`e zameniti bilo kojom
vredno{}u iz tog skupa.
Slovo x mo`e uzimati bilo koju od vrednosti iz skupa {126, .........., .........., .........., .........., ..........}
b) Ozna~imo sa x visinu u~enika u tvom odeqewu.
Upi{i koje vrednosti mo`e uzimati slovo x.
Slovo x mo`e uzimati bilo koju od vrednosti iz skupa
{.........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., .........., ................................................................................................
................................................................................................................................................................................................................................. }
124
2.
a) Ozna~imo sa x rastojawe od Beograda
do izabranog grada. Upi{i koje vrednosti
mo`e uzimati slovo x.
Slovo x mo`e uzimati bilo koju od vrednosti
iz skupa {143, .........., .........., .........., .........., ..........}.
Slovo x ozna~ava promenqivu koja mo`e
uzimati vrednosti iz datog skupa brojeva.
grad
rastojawe od Beograda
u kilometrima
^a~ak
143
Jagodina
135
[abac
90
Smederevo
39
Pri{tina
355
Kru{evac
195
b) Steva je iz jednog od mesta navedenih u tabeli poslao pismo drugu u Prag.
x
0
1 250
Beograd
Prag
1 445 km
v) Opi{i put pisma jedna~inom, a zatim odredi iz kojeg je mesta Steva poslao pismo.
x + ................ = ................
x = ................ – ................
x = ................
Steva je poslao pismo iz .....................................................
Jednakost s nepoznatom nazivamo JEDNA^INA.
125
Jednostavnije jedna~ine
Dopuni jednakosti
koriste}i slede}u
brojevnu sliku.
100
40
60
40 + 60 = ..........
100 – 40 = ..........
70
70
70
210 : 3 = ..........
210 – .......... = ..........
100 – .......... = ..........
1.
3 • 70 = ..........
210
Prikazane brojevne slike predstavi jednakostima.
Odre|uju}i vezu izme|u elemenata jednakosti, izra~una}e{ nepoznatu x.
a)
x + 600 = ..........
1 400
x
600
1 400 – x = ..........
Nepoznati sabirak na}i }e{ tako {to
}e{ od zbira oduzeti poznati sabirak.
x+a=b
x=b–a
Nepoznati umawenik na}i }e{ tako
{to }e{ sabrati umawilac i razliku.
x–a=b
x=a+b
Nepoznati umawilac na}i }e{ tako {to
}e{ od umawenika oduzeti razliku.
a–x=b
x=a–b
1400 – 600 = ..........
b)
720 + 6 080 = ..........
x
720 6 080
x – 720 = ..........
x – 6 080 = ..........
v)
500 + x = ..........
2 750
500
x
2 750 – 500 = ..........
2 750 – x = ..........
2.
Re{i jedna~ine.
a) 5 040 – x = 2 040
126
b) x – 3 200 = 2 000
x = ................. – .................
x = ................. + .................
x = .................
x = .................
Provera:
Provera:
5 040 – ................. = .................
........................................................
Re{ewe se proverava
zamenom na|ene vrednosti
promenqive u polaznoj
jedna~ini.
3.
Prikazane brojevne slike izrazi jednakostima.
x
5•x=
100
x
x
x
60 60
x
100 : x = ..........
x
8 • 60 =
......
60 60
......
..........
x : 8 = ..........
Nepoznati ~inilac izra~una}e{ tako {to a • x = b
}e{ proizvod podeliti poznatim ~iniocem. x = b : a
Nepoznati deqenik izra~una}e{ tako {to
}e{ koli~nik pomno`iti s deliocem.
x:a=b
x=b•a
Nepoznati delilac izra~una}e{ tako {to
}e{ deqenik podeliti koli~nikom.
a:x=b
x=a:b
x : 60 = ..........
x • 30 =
9 000
30 30
x
4.
100 : 5 = ..........
5
8
30 30
..........
..........
9 000 : x = ..........
9 000 : 30 = ..........
Upi{i u kru`i} odgovaraju}i znak i odredi vrednosti nepoznate x.
a) 14 • x = 1 078
x = 1 078
b) x : 45 = 810
14
x = 810
v) 6 741 : x = 21
45
x = 674
21
x = ............
x = ............
x = ............
Provera : 14 • ............ = ............
Provera: ...........................................
Provera: ...........................................
127
1.
Odredi re{ewa jedna~ina.
a) 540 + x = 2 800
v) 4 930 – b = 3 030
b) a – 2 800 = 5 400
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
g) x + 644 = 2 521
.................................................................
Oboj poqa s re{ewima iz zadataka
1, 2 i 3 da bi otkrio skriveni simbol. To je: .............
13
333
2 408
171
381
242
2 260
58
125
1 654
49 667
5 060
170 644
898
17
645
56
341
156
768
899
22 455
17 338
72
7
9 000
1 200
998
670
67
641
420
8 200
546
319
760
111 925
721
551
42 000
1 877
646
1 900
70
8 164
6 888
1 238
170 655
1
.................................................................
2.
Re{i jedna~ine:
a) x • 14 = 1 750
.................................................................
.................................................................
b) 720 • x = 9 360
128
v) 13 • x = 8 333
g) x • 271 = 15 176
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
3.
Odredi re{ewe jedna~ine i proveri ta~nost re{ewa.
a) x : 55 = 2 035
v) x : 37 = 4 612
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
g) 8 421 : x = 1 203
4.
b) 1 248 : x = 8
d) 7 642 • x = 7 642
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
Re{i jedna~ine za a = 3 668 i b = 14.
a) x + b = a
Pri re{avawu jedna~ina va`no
je proveriti ta~nost re{ewa.
b) x – b = a
v) a – x = b
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
Provera: ...........................................
Provera: ...........................................
Provera: ...........................................
a) x : a = b
b) x • b = a
v) a : x = b
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
Provera: ...........................................
Provera: ...........................................
Provera: ...........................................
129
5.
Kada re{i{ slede}i zadatak, dobi}e{ sliku sazve`|a koje se naziva Mali edved ili Mala kola.
Sastavi i re{i jedna~inu u kojoj je:
a) ~inilac 720,
a proizvod 9 360
b) drugi sabirak 1 400,
a zbir 1 750
v) umawenik 3030,
a razlika 520
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
g) deqenik 1 248,
a koli~nik 8
d) drugi ~inilac 641,
a proizvod 8 333
|) ~inilac 271,
a proizvod 15 176
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
.................................................................
e) delilac 37,
koli~nik 4 612
9 624
3 150
.................................................................
170 644
.................................................................
.................................................................
7 218
56
`) umawilac 1 203,
umawenik 8 421
.................................................................
13
156
407
.................................................................
.................................................................
Pove`i zvezde uz koje su re{ewa jedna~ina,
vode}i ra~una o redosledu zadataka
i dobi}e{ izgled Malog Medveda.
130
351
350
2 510
370
a) 13 500 jaja
b) 33 396 jaja
Jedna~ina: ...............................................................................
Jedna~ina: ...............................................................................
Re{ewe: ....................................................................................
Re{ewe: ....................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
Odgovor: ..................................................................................
Odgovor: ..................................................................................
0
c∈{...............................................................................................}
77
{ik
k
a) Milena je kupila jednu od stvari iz izloga.
Ako sa c ozna~imo koliko je novca potro{ila,
odredi koje vrednosti bi mogla imati
promenqiva c.
{i
7.
Na jednom poqoprivrednom dobru jednog dana upakovano je n kutija i u svakoj je bilo po 12 jaja.
Koliko je kutija upakovano ako je ukupno tog dana upakovano:
{ik
6.
330
1 20
0
250
b) Milena je imala 800 dinara kad je po{la u kupovinu.
Koliko je novca moglo da joj ostane?
Mileni je moglo da ostane: 800 – 250 = 550, 800 – ............. = ............., 800 – ............. = .............
Odgovor: {550, ............. , .............}
v) Kad je prebrojala novac, utvrdila je da joj je ostalo 470 dinara. [ta je kupila Milena?
Jedna~ina: ..........................................................................................
Re{ewe: ...............................................................................................
Odgovor: ..............................................................................................
8.
Za koje je vrednosti x iz skupa {0, 1, 2 , 3, . . . , 10} zbir 421 + x paran broj.
.............................................................................................................................................................................................................................
Odgovor: ........................................................................................................................................................................................................
131
9.
Obimi pravougaonika A i B su jednaki. Du`ina provougaonika A je 12 cm. Kolika je
{irina pravougaonika A ako su stranice pravougaonika B du`ine 18 cm i 20 cm?
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
x
A
10.
20 cm
18 cm
.......................................................................................
.......................................................................................
B
12 cm
Povr{ine pravougaonika A i B su jednake. Du`ina pravougaonika A je 12 centimetara. Kolika je
{irina pravougaonika A ako su stranice pravougaonika B du`ine 18 cm i 20 cm? Ako nacrta{
sliku, lak{e }e{ re{iti zadatak.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
11.
Za poplo~avawe dve terase oblika pravougaonika potro{en je isti broj plo~ica. Dimenzije prve
terase su 35 dm i 40 dm, a druga terasa je duga~ka 5 m. Kolika je {irina druge terase? Ako nacrta{
sliku, lak{e }e{ re{iti zadatak.
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
.......................................................................................
132
Jednostavnije nejedna~ine
Re{avawe nejedna~ine proverom izabranih vrednosti za promenqivu
1.
grad
rastojawe od Beograda
Kraqevo
172
Loznica
143
Sombor
177
Pe}
432
Kragujevac
120
U`ice
204
a) Ako sa d ozna~i{ rastojawe od Beograda do nekog grada iz tabele,
tada d∈{172, .......................................................................................}.
b) Dara je putovala mawe od 200 kilometara od Beograda do bake koja `ivi u jednom od navedenih
gradova. To zna~i da }e nam skup re{ewa nejedna~ine d < 200 dati odgovor u kojem bi od navedenih
gradova mogla da `ivi Darina baka.
Skup re{ewa nejedna~ine je: {172, 143, ............, ............}.
Darina baka bi mogla da `ivi u:
............................................................................................................................................................................................................
133
2.
Steva je iz Beograda krenuo u posetu bratu koji `ivi u jednom od gradova navedenih u tabeli
u prvom zadatku. Kada je pre{ao 100 kilometara, ostalo mu je mawe od 50 kilometara do tog
grada. Gde bi mogao da `ivi wegov brat?
Re{avawem odgovaraju}e nejedna~ine do}i }e{ do odgovora.
d – 100 < ..............................
Nejednakost s nepoznatom nazivamo NEJEDNA^INA.
Re{iti nejedna~inu zna~i odrediti skup vrednosti koje mo`e
uzeti promenqiva a da dobijena nejednakost bude ta~na.
d = 172,
172 – 100 < 50 (N)
Nejednakost nije ta~na. Zna~i 172 nije re{ewe nejedna~ine.
d = 143,
143 – 100 < 50 (T)
Nejednakost je ta~na. Zna~i 143 je re{ewe nejedna~ine.
Proveravamo da li nejedna~ina ima jo{ re{ewa.
d = 177,
.........
– 100 < 50 (.....)
Nejednakost ............... ta~na. Zna~i 177 ............... re{ewe nejedna~ine.
d = 432,
.........
– 100 < 50 (.....)
Nejednakost ............... ta~na. Zna~i 432 ............... re{ewe nejedna~ine.
d = 120,
.........
– 100 < 50 (.....)
Nejednakost ............... ta~na. Zna~i 120 ............... re{ewe nejedna~ine.
d = 204
.........
– 100 < 50(.....)
Nejednakost ............... ta~na. Zna~i 204 ............... re{ewe nejedna~ine.
Stevin brat bi mogao da `ivi u Loznici, .......................................................................................................................................
134
Re{avawa nejedna~ine preko re{avawa odgovaraju}e jedna~ine, zakqu~ivawem na osnovu svojstava operaci
ija
3.
\ur|a je imala 1 200 dinara u kasici. Kada je dobila novac od roditeqa, jo{ uvek nije mogla da
kupi Veliku enciklopediju koja ko{ta 1 500 dinara. Koliko je novca mogla da dobije od roditeqa?
1200 + x < 1500
1. korak
Re{avawe nejedna~ine
1. korak: Re{i odgovaraju}u jedna~inu.
2. korak: Odredi skup re{ewa nejedna~ine na osnovu:
a) izvodqivosti operacije
b) svojstava operacija sabirawa i oduzimawa.
1200 + x = 1500
x = 1500 – 1200
= ...............
2. korak
Na osnovu zavisnosti zbira od promene sabiraka: Vrednost izraza
1 200 + x opada kada x opada, pa je re{ewe mawe od 300.
Odavde mo`e{ da zakqu~i{ da su re{ewa nejedna~ine x < 300,
to jest x = 299, x = 298 ... ili x = 1.
Re{avawa nejedna~ina pomo}u tabele:
4.
Seqanka je na pijaci prodala u jednom danu mawe od 100 jaja. Odredi koliko je kutija jaja
prodala ako je u svakoj bilo po 12 jaja.
12 • x < 100
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
...
12 • x
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
...
Na osnovu tablice mo`e{ da vidi{ da za x = 9, 12 • x = 104, 104 > 100
Zna~i x = 9 nije re{ewe nejedna~ine.
Koja su re{ewa nejedna~ine? x∈{...........................................................................................}
5.
Steva je u kasici imao 1000 dinara. Kupio je ka~ket i utvrdio da sada u nov~aniku ima
dovoqno para da kupi i kwigu koja ko{ta 370 dinara, ali ne dovoqno da kupi kwigu koja
ko{ta 600 dinara. Koliko je mogao da ko{ta ka~ket?
370 < 1000 – x < 600
x
1
2
3
...
399
400
401
...
629
630
631
...
1000 – x
999
998
997
...
601
600
599
...
371
370
369
...
Vrednosti x iz skupa {401, 402 , . . . , 629} su re{ewa nejedna~ine.
135
6.
Odredi skup re{ewa nejedna~ine na dva na~ina.
a) 2 900 + a < 3 000
Prvi na~in – preko tablice
a
1
2 900 + a 2 901
2
...
99
100
101
...
2 902
...
2 999
3 000
3 001
...
Na osnovu tabele mo`e{ da zakqu~i{ da su re{ewa date nejedna~ine a < ................. .
Drugi na~in – preko re{avawa jedna~ine
2 900 + a < 3 000
2 900 + a = 3 000
a = 3 000 – 2 900
a = 100
Na osnovu zavisnosti zbira od promene sabiraka: vrednost izraza
2 900 + a opada kad a opada. Na osnovu toga mo`e{ da zakqu~i{
da su re{ewa nejedna~ine a < 100, to jest
a∈{ .....................................................................}.
b) x – 450 > 1000
Prvi na~in – preko tablice
Operacija oduzimawa izvodqiva je u skupu prirodnih brojeva za x > 451 pa
tabelu po~iwemo da popuwavamo od vrednosti x = 451.
x
451
452
...
1 449
1 450
1 451
...
x - 450
1
2
...
999
1 000
1 001
...
Na osnovu tabele skup re{ewa je { .....................................................................}
Drugi na~in – preko re{avawa jedna~ine
x – 450 = 1 000
x = 1 000 + 450
x = ...............
136
Na osnovu zavisnosti razlike od promene umawenika: vrednost
izraza x – 450 raste kad x raste. Na osnovu toga mo`e{ da
zakqu~i{ da su re{ewa nejedna~ine: x > ................................; to jest
x∈{ .....................................................................}.
v) 7 200 – x > 7 000
Prvi na~in – preko tablice
Operacija oduzimawa izvodqiva je u skupu prirodnih brojeva za x mawe od 7 200,
pa i tabelu pravimo samo do te vrednosti x.
x
1
2
...
199
200
201
...
7 200 – x
7 199
7 198
...
7 001
7 000
6 999
...
Na osnovu tabele skup re{ewa je { .....................................................................}
Drugi na~in – preko re{avawa jedna~ine
7 200 – x = 7 000
x = 7 200 – 7 000
x = ...............
Na osnovu zavisnosti razlike od promene umawioca, vrednost
izraza 7200 – x raste kada x opada. N osnovu mo`e{ da
zakqu~i{ da su re{ewa nejedna~ine: x < ................................, to jest
x∈{ .....................................................................}.
g) x • 24 < 600
Prvi na~in – preko tablice
x
1
2
...
24
25
26
...
x • 24
24
48
...
576
600
624
...
Na osnovu tabele skup re{ewa je { .....................................................................}
Drugi na~in – preko re{avawa jedna~ine
x • 24 = 600
x = 600 : 24
x = ...............
Na osnovu zavisnosti proizvoda od promene ~inioca: vrednost
izraza x • 24 opada kada h opada. Na osnovu toga mo`e{ da zakqu~i{
da su re{ewa nejedna~ine x < ................................, to jest
x∈{ .....................................................................}.
137
1.
2.
Zaokru`i one od navedenih vrednosti promenqive koje su re{ewe nejedna~ine u skupu
prirodnih brojeva.
a) 3 000 + x < 4 000
512
3 044
1 000
1 001
999
b) 2 400 – a > 2 000
400
1 000
200
2 000
0
10
399
v) c – 527 > 600
1 000
528
5 000
1 126
1 227
1 129
400
Odredi skup re{ewa nejedna~ine pomo}u tablice:
a) 2 100 • a < 21 000
b) 3 570 – b > 510
a
b
2100 • a
3.
Odredi skup re{ewa nejedna~ine re{avawem jedna~ine:
a) x • 60 > 4 800
4.
b) 3 700 – x < 3 000
v) x – 26 000 < 40 000
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
Dimitrije je u nov~aniku imao 1 480 dinara Odlu~io je da kupi jednu
stvar iz izloga, a hteo je da mu ostane bar 500 dinara.
a) Izra~unaj koliko bi Dimitrije mogao da potro{i para.
Jedna~ina: ........................................................................................................
no
vo
novo
490
1 900
Re{ewe: .............................................................................................................
Odgovor: ............................................................................................................
b) Zapi{i cene robe koju bi Dimitrije mogao da kupi u ovoj radwi.
........................................................................................................................................
138
14
00
120
320
65
0
Re{avawe slo`enijih jedna~ina i nejedna~ina
Poznavawe svojstava operacija, kao i veza sabirawa i oduzimawa i mno`ewa i deqewa,
omogu}i}e ti lak{e re{avawe jedna~ina i nejedna~ina.
1.
Du{ica sakupqa slike omiqenih peva~a. Kada bi sakupila jo{ dva puta toliko slika koliko ih sada
ima, nedostajala bi joj jo{ jedna, pa da ima 100 slika. Koliko slika ima Du{ica?
Du{ica sada ima x slika. Ozna~imo sa x broj Du{i~inih slika.
x + 2 • x + 1 = 100 (x se javqa na dva mesta u jedna~ini)
3 • x + 1 = 100 (grupi{emo delove jedna~ine u kojima se javqa nepoznata, a zatim vr{imo jedna~ewe)
3 • x = 100 – 1
3 • x = .........
x = .................
x = .........
Du{ica ima 33 slike.
Provera (zamenom u polaznu jedna~inu):
33 + 2 • 33 + 1 = 33 + 66 + 1 = 100
2.
Ranko, Miroslav i Jelena sakupqaju sli~ice za zajedni~ki album. Miroslav je sakupio 22 sli~ice
vi{e od Ranka, a Jelena dva puta vi{e od Ranka. Koliko je sli~ica sakupio svako od wih ako
u albumu ima mesta za 100 sli~ica, a ostalo im je jo{ 14 nepopuwenih mesta?
Nepoznati broj sli~ica koje je sakupio Ranko ozna~imo sa x. Tada:
Ranko ima:
x
Re{avawe jedna~ine
Miroslav ima: x + 22
1. korak
Uo~i delove jedna~ine u kojima se javqa
Jelena ima:
2•x
nepoznata.
Mo`e{ sastaviti jedna~inu:
2. korak
Sastavi izraz grupi{u}i delove izraza
•
x + (x + 22) + 2 x + 14 = 100
u kojima se javqa nepoznata.
3. korak
Izvr{i jedna~ewe.
139
1. korak
U jedna~ini x + (x + 22) + 2 • x + 14 = 100 delovi izraza s nepoznatom su: x, x + 22, i 2 • x.
2. korak
Primenom svojstava zdru`ivawa sabiraka i zamene mesta sabiraka:
x + (x + 22) + (2 • x) + 14 = (x + x + 2 • x) + (22 +14) = 4 • x +36
3. korak
4 • x + 36= 100
4 • x = 100 – 36
4 • x = .........
x = ................
x = .........
Ranko je sakupio ......... sli~ica. Na osnovu poznate vrednosti x, mo`e{ izra~unati
koliko su sli~ica sakupili Miroslav i Jelena.
Za x = .........,
x + 22 = ......... + 22 = ................ Miroslav je sakupio ................ sli~ica.
2 • x = 2 •......... = ................ Jelena je sakupila ................ sli~ica.
3.
Odredi skup re{ewa nejedna~ine:
3 • x – 1 < 20
3 • x – 1 = 20
3 • x – 1 = 20
Re{avawe nejedna~ine
1. korak
Re{ava{ odgovaraju}u jedna~inu.
2. korak
Koriste}i poznata svojstva operacija,
odre|uje{ skup re{ewa.
3 • x = 20 + 1
3 • x = ................
x = ................
x = ................
Sre|ena nejedna~ina (u kojoj su grupisani delovi nejedna~ine s nepoznatom): 3 • x – 1 = 20, nepoznat
je bio umawenik. Znaju}i da razlika opada kada umawenik opada zakqu~ujemo da je skup re{ewa skup
prirodnih brojeva mawih od ......... (na|enog re{ewa jedna~ine.) Skup re{ewa je: {1, 2,.......................................}
140
4.
Odredi skup re{ewa nejedna~ine:
2 • x + (240 + 6 • x) + 12 < 500
1. korak – re{avawe jedna~ine:
2 • x + (240 + 6 • x) + 12 = 500
Uo~i delove izraza u kojima se javqa nepoznata.
2 • x + (240 + 6 • x) + 12
Grupi{i delove izraza u kojima se javqa nepoznata.
2 • x + (240 + 6 • x) + 12 = 2 • x + 240 + 6 • x + 12
= 2 • x + 6 • x + 240 + 12 =
= 8 • x + 252 =
= 8 • x + 252
Izvr{i jedna~ewe. (Nepoznati sabirak se dobija kada se od zbira oduzme poznati sabirak.)
= 500
8 • x + 252
8 • x = 500 – 252
8 • x = ..........
x = .......... : ..........
x = ........................
2. korak – Odre|uje{ skup re{ewa nejedna~ine
koriste}i poznavawe svojstava operacija.
2 • x + (240 + 6 • x) + 12 < 500
8 • x + 252 < 500
x ................
Na osnovu zavisnosti zbira
od promene sabiraka
vrednost izraza 8 • x + 252
opada kad sabirak 8 • x opada,
odnosno kada x opada.
Kona~no mo`e{ da zakqu~i{ da je skup re{ewa nejedna~ine x∈{.................................................................}
141
1.
Za promenqive iz skupa {0, 1, 2, ................} odredi skup re{ewa jedna~ina:
a) (4 438 + k) + 5 122 = 10 000
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
b) (s + 8 807) + 2 691 = 11 111
d) 1 305 + (56 902 + j) < 75 367
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
v) (a – 408) + 4 008 = 5 008
2.
g) (6 719 – x) + 6 097 > 7 111
|) 102 354 + (o + 799 501) = 1 000 000
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
Dimitrije je u nov~aniku imao 2 350 dinara, a nakon kupovine 3 CD-a ostalo mu je 880 dinara
u nov~aniku. Koliko ko{ta jedan CD?
......................................................................................................................................................................................................................
3.
Brod je putovao od luke do ostrva tri dana. Prvog dana pre{ao
je 175 kilometara, a drugog dva puta vi{e nego prvog dana.
a) Predstavi put broda na brojevnoj polupravoj.
250
b) Postavi jedna~inu, a zatim izra~unaj
koliko je kilometara brod pre{ao
tre}eg dana ako je ukupno pre{ao 750
kilometara do ostrva.
Jedna~ina: ..................................................................................................
Re{ewe: .......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
142
.......................................................................................................
4.
Re{i nejedna~inu.
a) 500 – 5x > 100
5.
U skupu parnih brojeva re{i nejedna~inu.
a) 4 • (x – 20) < 200
6.
b) 60 + 3x < 100
Re{i nejedna~inu.
a) 10 – (14 – x) • 2 < 20
7.
b) 40 • (x + 10) < 400
b) 50 < 15 • x + 5 < 100
Iskoristi svojstvo operacije mno`ewa. Re{i jedna~ine.
a) 100 • (40 • x) = 2 000 • 8
v) 7 089 – (124 + 3 • x) = 2 363
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
b) 840 • (7 • x) = 120 • 49
g) (892 + x) • 65 = 114 465
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
............................................................................
143
8.
a) Letovawe za jedno dete ko{ta 15 030. Mese~na
rata iznosi 3 520 dinara. Za koliko meseci }e
biti ispla}eno letovawe?
Odgovor: ...........................................................................................
9.
U prodavnici igra~aka jedan automobil
ko{ta isto koliko i {est raketa.
Koliko ko{ta raketa, ako automobil
ko{ta 426 dinara?
...........................................................................................
...........................................................................................
...........................................................................................
b) Kolika }e biti posledwa rata?
Odgovor: ...........................................................................................
v) Kolika bi bila mese~na rata ako bi ukupna
suma morala da bude ispla}ena u 9 rata?
Odgovor:
...........................................................................................
...........................................................................................
Odgovor: ...........................................................................................
10.
Broj 34 657 dobija se kada se od jednog broja oduzme broj koji je 16 puta ve}i od 5 047.
Odredi nepoznati broj.
Jedna~ina: ..................................................................................................
Re{ewe: .......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
.......................................................................................................
11.
144
Jedan broj podeqen sa 6 daje koli~nik
koji je za 200 mawi od proizvoda
brojeva 16 i 28.
12.
Kada neki broj uve}a{ 105 puta,
a zatim umawi{ za 903, dobi}e{
3 612. Odredi nepoznati broj.
............................................................................
............................................................................
............................................................................
13.
U 26 novinarnica isporu~uje se isti broj novina. U jednom danu u svakoj od novinarnica prodali
su po 301 primerak. Uve~e izdava~u je vra}eno 182 primerka. Koliko se novina isporu~uje u svaku
od novinarnica?
Jedna~ina: ............................................................................
Re{ewe: .................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
Odgovor: .............................................................................................................................................................................................
14.
Kada se pravi slatko od jagoda na svaki kilogram vo}a stavqa se po 1 500 g {e}era i 200 grama
limuna. Doma}ica je od 6 kg jagoda napravila 27 tegli od po 600 g slatka.
a) Koliko {e}era ide na kilogram vo}a? ...............................
b) Ako bi sve slatko stalo u 24 tegle, koliko bi slatka trebalo da stane u jednu teglu? ...............................
Jedna~ina: ............................................................................
Re{ewe: .................................................................................
.................................................................................
.................................................................................
Odgovor: .............................................................................................................................................................................................
15.
Qubica ima 1 200 dinara, a Ogwen 700 dinara. Koliko Qubica treba da dâ Ogwenu da bi oboje imali isto?
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
Odgovor: .............................................................................................................................................................................................
145
16
Dara je svakog meseca od xeparca ostavqala po 50 dinara u kasicu. Dobila je i 500 dinara od bake
i dede i 200 dinara od ujaka. Od ukupne sume novca koju ima potro{ila je 720 dinara. Koliko meseci
sakupqa novac ako sada u kasici ima 330 dinara?
Jedna~ina: ..........................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................
17.
a) U godini koja nije prestupna jesen je nakra}e godi{we doba. Zima i prole}e su za dva dana du`i od
jeseni, a leto je za pet dana du`e od jeseni. Postavi i re{i jedna~inu, a zatim odredi du`inu trajawa svakog godi{weg doba.
365 = ........................................ + ........................................ + ........................................ + ........................................
Odgovor:
..........................
..........................
..........................
..........................
b) Postavi jedna~inu za prestupnu godinu. ...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
Koje godi{we doba traje dan du`e u prestupnoj godini? ...................................................................................................
18.
U ba{ti je zasa|en isti broj stabqiki paradajza
i boranije. Boranija je zasa|ena u sedamnaest
redova po 18 stabala. Paradajz je zasa|en
u 12 du`ih redova i 6 kra}ih redova, tako
da je u kra}im redovima po 3 stabqike mawe.
Koliko je stabqika paradajza zasa|eno u du`im,
a koliko u kra}im redovima?
19.
Povr{ina slike, ukqu~uju}i i ram, iznosi
4800 cm2. Ram slike je {irine 10 cm.
Ako je {irina slike bez okvira 40 m,
kolika je wena du`ina?
......................................................................................................
......................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
........................................................................................................
146
40 cm
10 cm
1.
2.
Za a = 1 120 i b = 14 odredi re{ewe jedna~ine.
a) a – x = b
b) b • x = a
........................................
........................................
........................................
........................................
Data je nejedna~ina r + 800 > 1 244
a) Zaokru`i brojeve koji su re{ewa nejedna~ine.
244
1 000
10 000
443
445
b) Odredi sva re{ewa nejedna~ine. ...............................................................................
3.
Re{i jedna~ine:
a) 7 + 14x = 203
v) 1 000 • (25 • x) = 400 • 5
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
b) 2 800 + (x – 300) > 3 800
g) 14 756 – (490 + 7x) < 3 500
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
...............................................................................
147
4.
S jedne wive dobijeno je 12 vagona povr}a. U svaki od vagona utovarena je ista koli~ina paradajza, po
400 kilograma krompira i 300 kilograma {argarepe. Ako je ukupno dobijeno 12 tona povr}a, koliko
je bilo paradajza u svakom vagonu.
...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................
5.
Vawa, Sandra i \ura imaju 10 000 dinara. Kupili su po par rolera za svakog i nekoliko kaciga.
Roleri su ko{tali 2 470 dinara, a kacige 1 200 dinara. Koliko su kaciga mogli da kupe?
...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................................................
[ta zna~i izreka: Ko tra`i ve}e, izgubi iz vre}e? ..................................................................................................
Diofant je ~uveni aleksandrijski matemati~ar iz III veka. Na wegovom nadgrobnom
spomeniku stoji epitaf na kojem je u brojkama opisan wegov `ivot:
Jednu {estinu `ivota proveo je u bezbri`nom detiwstvu. A kad mu prote~e jo{
dvanaestina `ivota, pokri se brada wegova maqama mu`evnim. Jednu petinu `ivota
provede u braku bez dece. A kada prote~e jo{ pet godina, sre}nim ga u~ini ro|ewe
prekrasnog prvenca sina, kome je zla sudbina dala samo polovinu godina `ivota,
a {ta je to naspram godina prekrasnog zemaqskog `ivota o~evog? A u dubokoj `alosti
starac zemnog `ivota do~eka kraj, pro`ivev{i ~etiri godine po{to izgubi sina.
Ako sa x predstavi{ broj godina Diofantovog `ivota, probaj da sastavi{ jedna~inu
koja opisuje wegov `ivot.
................................................................................................................................................................................................
Ovakve jedna~ine nau~i}e{ da re{ava{ kasnije!
148
[TA SMO NAU^ILI U ^ETVRTOM RAZREDU
1.
2.
Uo~i zakonitost re|awa brojeva i produ`i nizove:
a) 12, 24, 36, 48, ........, ........, ........
b) 0, 21, 42, 63, ........, ........, ........
v) 1, 2, 7, 8, 13, 14, ........, ........, ........
g) 1 , 2 , 4 , 8 ,
2 4 8 16
,
,
,
Zapi{i re~ima broj 89 260 000 309 ..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
a) Koliko taj broj ima klasa? ................
Navedi imena tih klasa:.............................................................................................................................................................................
b) Koja cifra stoji na mestu jedinica .........., stotina .........., stotina hiqada ..........,
desetica miliona .........., milijardi ..........?
v) Odredi mesne vrednosti cifre 9 u zapisanom broju: ................................, .................................
3.
Napi{i ciframa slede}e brojeve.
a) osamsto devet hiqada deset ................................................,
b) dvesta hiqada trideset dva ................................................,
v) osam miliona osam hiqada osamsto ................................................,
g) sto tri milijarde trideset miliona jedanaest hiqada ................................................,
d) najve}i osmocifreni broj ................................................,
|) najmawi desetocifreni broj .................................................
4.
Napi{i ciframa i re~ima broj predstavqen u vidu zbira.
a) 300 + 10 + 7 = 317 trista sedamnaest,
b) 900 + 40 = ...........
............................................................,
v) 100 000 + 3 000 + 400 + 9 = .........................................
g) 9 000 000 + 70 000 + 200 + 50 =
....................................................................................................................
.........................................
...........................................................................................................
149
5.
Upi{i u prazna poqa znake nejednakosti (< ili >) tako da zapisi budu ta~ni.
4 790
4 709
8 700 000
6.
32 456
7 800 000
234 123 079
11
Koliko su jedinica na brojevnoj polupravoj udaqeni slede}i brojevi od broja 15.
b) 22 ..............
v) 6 ..............
g) 102 ..............
Uporedi brojeve na brojevnoj polupravi i upi{i u prazna poqa odgovaraju}e znake nejednakosti.
a
a
d
b
c
d
b
c
c
a
d
b
Pove`i linijama uokvirene tekstove sa odgovaraju}im ta~kama na delu brojevne poluprave.
1990
2000
po{ao sam u {kolu
zavr{i}u VIII razred
150
10 000 000 100
1 23 * 986 < 1 234 986 {..............}
6
0
10.
1 046 287 932
4 7 * 1 > 4 761 {..............},
1
a) 12 ..............
9.
234 120 399
99 999
Nacrtaj sve ta~ke i napi{i brojeve na brojevnoj polupravoj do broja 13.
0
8.
222 222
Za svaku nejednakost odredi skup cifara tako da, kada se te cifre napi{u umesto *, ona bude ta~na.
* 89 < 389 {..............},
7.
32 465
2010
ro|en sam
po{ao sam u IV razred
2020
moj 10. ro|endan
11.
Upi{i u prazna poqa izostavqene cifre i proveri.
a)
Provera:
+
7
6
4 6 8
7 7
3 3
Provera:
–
0 0
6 3
6 8
9
2
3 2 4
2 8
b)
12.
13.
–
+
Pore|aj vrednosti izraza od najve}e ka najmawoj i dobi}e{ ime matemati~ara iz stare Gr~ke,
koji je `iveo u VI veku pre na{e ere.
A
506 712 – 98 436 = ........................................................................................................
..............................
E
601 054 – 206 176 = .....................................................................................................
..............................
S
6 000 408 – 5 940 429 = ...............................................................................................
..............................
L
356 928 + 784 + 41 564 = ..........................................................................................
..............................
T
475 + 24 016 + 3 847 511 = ......................................................................................
..............................
a) [ta se de{ava sa zbirom:
– ako jedan sabirak pove}a{ za neki broj? ......................................................................................
– ako jedan sabirak smawi{ za neki broj? .......................................................................................
– ako jedan sabirak pove}a{ za neki broj, a drugi sabirak smawi{ za isti broj?
................................................................................................................................................................................................
b) [ta se de{ava s razlikom:
– ako umawilac pove}a{ za neki broj? .......................................................................................
– ako umawilac smawi{ za neki broj? ........................................................................................
– ako umawenik pove}a{ za neki broj? .......................................................................................
– ako umawenik smawi{ za neki broj? ........................................................................................
– ako i umawenik i umawilac pove}a{ (ili smawi{) za isti broj?
................................................................................................................................................................................................
151
v) Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, > ili =):
a + 46
a + 53
c – 86
89 + b
b + 89
98 567 – k
(a – 100) – (b – 100)
14.
15.
a–b
c – 68
99 563 – k
(a + 10) + (90 – 10)
111– m
77 – m
p – 234
p – 980
a + 90
Pore|aj vrednosti izraza od najmawe ka najve}oj i dobi}e{ ime jednog od najve}ih matemati~ara.
@iveo je u staroj Gr~koj u III veku pre na{e ere.
D 82 830 • 250
I 2 272 186 : 238
E 7 008 • 761
A 144 920 : 2 030
M 376 • 907
R 5 437 441 : 967
H 4 737 954 : 834
...........
...........
...........
...........
...........
...........
a) [ta se de{ava s proizvodom:
– ako se jedan od ~inilaca pove}a nekoliko puta? ...........................................................
– ako se jedan od ~inilaca smawi nekoliko puta?
...........................................................
– ako jedan ~inilac pove}amo, a drugi smawimo isti broj puta? ...........................................................
b) Upi{i u prazna poqa odgovaraju}i znak (<, >, =).
50 • a
16.
(a : 2) • 50
50 • (a : 30)
50 • a
Izra~unaj i upi{i vrednost izraza.
43 • 0 = .........
4 879 : 4 879 = .........
0 • 0 = .........
24 567 – 0 = .........
1 • 2 345 = .........
0 : 100 = .........
0 • 1 = .........
1 258 – 1 258 = .........
345 : 1 = .........
0 : 1 = .........
0 + 78 =
152
25 • a 50 • a
.........
...........
17.
Svojstva sabirawa i mno`ewa
a) Kako nazivamo svojstva sabirawa i mno`ewa
zapisana s leve strane?
a+b=b+a
(a + b) + c = a + (b + c)
a•b=b•a
(a • b) • c = a • (b • c)
(a + b) • c = a • c + b • c
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
......................................................................................................
b) Koriste}i navedena svojstva, izra~unaj vrednost izraza na lak{i na~in.
42 + 26 + 54 + 48 = ......................................................................................................................................................................
7 + 172 + 493 + 328 = .................................................................................................................................................................
2 • 7 • 5 • 9 • 2 • 5 = ..........................................................................................................................................................................
25 • 49 • 4 • 5 • 20 = ........................................................................................................................................................................
2 457 • 926 + 74 • 2 457 = ...........................................................................................................................................................
v) Navedi u op{tem obliku jo{ neka svojstva ra~unskih operacija.
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................................................................
18.
a) Kako nazivamo slede}a svojstva?
.....................................................................................................................................
(a + b) : c = a : c + b : c
(a – b) : c = a : c – b : c
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
b) Koriste}i navedena svojstva, izra~unaj vrednost izraza na lak{i na~in.
808 : 4 = (800 + 8) : 4 = .....................................................................................................................................
597 : 3 = (600 – 3) = ............................................................................................................................................
6 012 : 3 = ..................................................................................................................................................................
8 400 : 8 = ..................................................................................................................................................................
5 994 : 6 = ..................................................................................................................................................................
153
19.
Popuni tabelu
x + 958 = 79 256
1
x = .................... – ..............
x = ..............
........................................................................................................................................................
Re{ewe je ..............
........................................................................................................................................................
y – 54 = 1 234
2
y = ....................
........................................................................................................................................................
Re{ewe je .....................
........................................................................................................................................................
z = ....................
........................................................................................................................................................
Re{ewe je .....................
........................................................................................................................................................
a = ....................
........................................................................................................................................................
Re{ewe je .....................
........................................................................................................................................................
154
Nepoznati deqenik
b = .................... • ..............
b = ....................
........................................................................................................................................................
Re{ewe je .....................
........................................................................................................................................................
5 000 : c = 50
6
Nepoznati ~inilac
a = ....................................
b : 124 = 80
5
Nepoznati umawilac
z = .................... – ..............
10 • a = 1 000
4
Nepoznati umawenik se izra~unava kada
y = ....................................
2 789 – z = 1 983
3
Nepoznati sabirak se izra~unava kada se od
Nepoznati delilac
c = .................... : ..............
c = ....................
........................................................................................................................................................
Re{ewe je .....................
........................................................................................................................................................
20.
Re{i slede}e jedna~ine i proveri re{ewa:
a) 2 356 + x = 8 980 ...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
y + 234 = 20 346 ...................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................
b) a – 34 = 4 890 ......................................................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................................
8 798 – b = 5 891
................................................................................................................................................................................
................................................................................................................................................................................
v) y • 50 = 3 500 ...........................................................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................................................
120 • k = 9 360 ........................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
g) a : 64 = 24 .................................................................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................................................................
38 : b = 2 ...................................................................................................................................................................................................
...................................................................................................................................................................................................
21.
Sastavi jedna~inu i odredi weno re{ewe
a) Kom broju treba dodati 2 345 da bi se dobio broj 8 002?
...................................................................................................................................................................................................
b) Od kog broja treba oduzeti 45 890 da bi se dobio broj 12 000?
...................................................................................................................................................................................................
155
22.
Rasadnik cve}a pravougaonog oblika, ~ije su du`ine
stranica 27 m i 43 m, podeqen je na 4 jednake parcele,
kao na slici. Izme|u parcela i oko celog rasadnika
nalaze se staze {irine 1 m. Kolika je povr{ina svake
parcele i kolika je ukupna povr{ina staza?
27 m
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
23.
43 m
Kuhiwa, du`ine 5 m 4 dm, a {irine 3 m 6 dm, treba
da se poplo~a plo~icama kvadratnog oblika, ~ija je
stranica 2 dm. Koliko }e se platiti za plo~ice,
ako je cena jedne plo~ice 50 dinara?
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
24.
Povr{ina dvori{ta kvadratnog oblika je 225 m2. Koliko }e se platiti za `i~anu
ogradu ako metar te ograde staje 150 dinara?
...................................................................................................................................................................................................
25.
Sastavi 4 jednakosti na osnovu slike. Re~ima objasni formulu.
a•b=
P
a
156
b
..........................................................................................................................
•
=
.................................................................................................................
:
=
.................................................................................................................
:
=
.................................................................................................................
26.
Izra~unaj vrednost izraza.
a) 687 : 687 + (319 • 0 + 7) • (14 – 8) + 0 : 2 145
........................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................
b) 25 120 – 13 • 26 – (12 931 + 24 605) : (302 – 299) + 890 • (3 000 : 30)
........................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................
27.
Izra~unaj vrednost izraza a + b : c, ako je a = 248, b = 300, c = 30.
........................................................................................................................................................................................................................
28.
Sastavi izraz i izra~unaj wegovu vrednost.
a) Zbir brojeva 23 456 i 6 783 umawi za proizvod brojeva 30 i 128.
........................................................................................................................................................................................................................
b) Zbir brojeva 7 890 345 i 2 3456 umawi za wihovu razliku.
........................................................................................................................................................................................................................
29.
Dragan je pro~itao kwigu za 3 dana. Kwiga je imala 253 strane. Prvog dana pro~itao je 66 strana,
a drugog dana dva puta vi{e. Koliko je Dragan pro~itao strana tre}eg dana?
.............................................................................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................................................
157
30.
U tabelu zapi{i razlomcima obojene i neobojene delove figura.
A
B
E
F
C
figura
D
A
B
C
D
E
F
4
9
31.
U prazna poqa upi{i razlomke od najmaweg ka najve}em i dobi}e{ ime i prezime na{eg velikog
nau~nika, poznatog u celom svetu.
8
9
6
9
9
9
3
9
7
9
4
9
4
4
4
7
4
6
4
9
4
5
L
K
A
N
O
I
A
E
S
T
L
3
9
N
32.
158
Odredi tra`enu vrednost i upi{i je u prazno poqe pored re~i. Ako pore|a{ vrednosti od najmawe
ka najve}oj, dobi}e{ poznatu poslovicu, koju treba da upi{e{ na crtu.
4
7
7
9
2
5
3
8
od 154 000
qubav
od 117
~ist
od 5 550
ra~un
od 24 800
duga
91
....................................................................................................................................
33.
Ako bismo `eleli da napravimo prikazane
kutije, za koju bismo utro{ili najvi{e kartona?
1 1 dm
5 dm
4 dm
4 dm
4 dm
P = ...................................
34.
3 dm
4 dm
P = ...................................
2 dm
2 dm
P = ...................................
Kojoj od numerisanih kocaka pripada mre`a? ...................................
159
[ta smo nau~ili – re{ewa
Strana 82
1.
e
7
b
4
f
3 1
a
6
2
8
g
3
1
5
5
5
3
5
4
6
i
160
2.
3
2
0
6
8
g
0
7
h
v
9
1
6
0
godi{wi
prihod
u dinarima
1994
4 321 235
11 839
236
2 794 004
1995
4 877 130
13 362
587
7 843 494
1996
3 407 640
9 336
980
9 149 280
1997
2 914 525
7 985
1 104
8 815 440
godina
d
9
7 2
0
5
3
3
3 6
0
8
5
0
cena karte
po putniku
u dinarima
0
2
3
ukupan broj
putnika
broj
putnika
po jednom
danu
0
4
ukupno:
3.
Svaki u~enik je dnevno tro{io po 350 dinara.
5.
a) 40 000 000 qudi b) 40 000km
7.
a) 5 • 496 = 5 • (500 – 4) = 5 • 500 – 5 • 4 = 2 500 – 20 = 2 480
b) 511 : 7 = (490 + 21) : 7 = 490 : 7 + 21 : 7 = 70 + 3 = 73
Napomena: mogu}e je do re{ewa do}i i na druga~iji na~in.
9.
a) 12 • 4 • 3 • 25 = (12 • 3) • (4 • 25) = 36 • 100 = 3 600
b) 2 • 378 • 5 = 378 • (2 • 5) = 378 • 10 = 3 780
v) 6 • 5 • 3 • 20 = (6 • 3) • (5 • 20) = 18 • 100 = 1 800
10.
a) 45 • 654 • 0 • 13 = 0
b) (32 + 120) • 1 = 32 + 120 = 152
11.
a) 148 • 50 = (148 : 2) • (50 • 2) = 74 • 100 = 7 400
b) 125 • 72 = (125 • 8) • (72 : 8) = 1 000 • 9 = 9 000
Napomena: mogu}e je do re{ewa do}i i na druga~iji
na~in!
12.
a) Drugi ~inilac treba pove}ati
10 puta.
b) Drugi ~inilac treba smawiti
5 puta.
6.
4.
Mont Everest: 4 915
\eravica: 1 475
a) = b) = v) < g) > d) = |) = e) = `) =
8.
a) (242 • 4) • (844 : 4) = 204 248
b) 484 • 422 = 204 248
Strana 108
1.
2.
broj grupa
slika modela
naziv
broj
broj
broj u koje su ivice
geometrijskog geometrijskog
strana temena ivica
svrstane
tela
tela
po du`ini
formula za povr{inu
kvadar
6
8
12
3 grupe
po 4 ivice
P = 2 • (a • b + b • c + a • c)
kocka
6
8
12
1 grupa sa 12
podudarnih
ivica
P=6•a•a
a) kvadar b) kocka
3.
a) 3 dimenzije: du`inu, {irinu i visinu
b) 1 dimenziju: du`inu ili {irinu ili visinu
5.
20 kockica za igru.
6.
P = 1 350 mm2, sam nacrtaj mre`u.
7.
P = 13 cm2, sam nacrtaj mre`u.
9.
P = 308 dm
4.
8.
Du`ina cele trake s ma{nom iznosi 90 cm.
161
Strana 123
1.
4.
6.
2.
a) 293 989
b) 7 994
3.
a) 1410
b) 993
59 085
5.
x
0
2
5
(2 + x) • 1 000
2 000
4 000
7 000
10 • x + 60 : 6
10
30
60
40
100
a) x = 20
b) x = 10
42 000 102 000
410
1 010
Izraz:
500 000 – (7 • 5 000 + 10 • 5 000)
500 000 – (35 000 + 50 000) =
500 000 – 85 000
Odgovor: 415 000
Strana 147
162
1.
a) x = 1 116
b) x = 80
2.
3.
a) x =14
b) x = 8
4.
Utovareno je 300 kg paradajza.
a) 1 000, 10 000, 445
v) x > 1 300
5.
b) r∈{444, 445, ...............}
g) x > 1 538
x < 3. Mogli su da kupe 2 kacige.
I OVO JE MATEMATIKA – RE[EWA
Strana 100
Strana 11
1. 2 893 cifre
2. 11 nula
A
B
Strana 34
*
=0
=7
=6
=5
=3
=4
3 533 • 660 = 2 331 780
5 604 • 473 = 2 650 692
767 • 504 = 386 568
Strana 56
Dobi}e{ isti trocifreni broj koji
si na po~etku zamislio i zapisao.
Strana 107
Mo`e se nacrtati mre`a kocke
iz jednog poteza.
Strana 122
a) 12 + 3 + 45 + 6 + 7 = 73
b) (4 – 4) : 4 + 4 – 4 = 0
(4 – 4) : 4 + 4 : 4 = 1
4 – 4 + (4 + 4) : 4 = 2
Strana 92
4–4:4+4–4=3
(4 + 4 + 4 + 4) : 4 = 4
Telo je sastavqeno od 11 kocki.
4+4:4+4–4=5
163
Sadr`aj
[email protected] I DEQEWE U SKUPU PRIRODNIH BROJEVA . . . . . . . . . . . . . . .4
Mno`ewe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Mno`ewe broja dekadnom jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
Mno`ewe broja vi{estrukom dekadnom jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Mno`ewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . .13
Mno`ewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . .21
Mno`ewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem . . . . . . . . . . . . .30
Deqewe u skupu prirodnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Deqewe broja dekadnom jedinicom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
Deqewe vi{ecifrenog broja jednocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . .44
Deqewe vi{ecifrenog broja dvocifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . . .58
Deqewe vi{ecifrenog broja vi{ecifrenim brojem . . . . . . . . . . . . . . .58
Izvodqivost operacija mno`ewa i deqewa u skupu prirodnih brojeva .65
Svojstva operacija mno`ewa i deqewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
Mno`ewe i deqewe zbira i razlike brojem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
Zavisnost proizvoda od promene ~inilaca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
KVADAR I KOCKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
Osobine kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
Mre`a povr{i kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
Povr{ina kvadra i kocke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101
MATEMATI^KI IZRAZI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
Prosti i slo`eni izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112
Vrednost izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
Re{avawe zadataka pomo}u izraza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
165
JEDNA^INE I NEJEDNA^INE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .124
Jednostavnije jedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126
Jednostavnije nejedna~ine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
Re{avawe slo`enijih jedna~ina i nejedna~ina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .139
[TA SMO NAU~ILI U ^ETVRTOM RAZREDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
[TA SMO NAU^ILI – RE[EWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
I ovo je matematika – re{ewa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
166
MATEMATIKA
uxbenik za ~etvrti razred osnovne {kole – 2. deo
autori prof. dr Mirko Deji}, dr Jasmina Milinkovi} i mr Olivera \oki}
ilustrovala Neda Doki}
recenzenti prof. dr Arif Zoli}
Vesna Rikalo, nastavnik razredne nastave
urednik Svjetlana Petrovi}
lektor Aleksandra Markovi}
grafi~ko oblikovawe Du{an Pavli}
priprema za {tampu Qiqana Pavkov
izdava~ Kreativni centar
Gradi{tanska 8
Beograd
Tel./faks: 011/ 38 20 464, 38 20 483, 24 40 659
www.kreativnicentar.co.yu
za izdava~a mr Qiqana Marinkovi}
copyright © Kreativni centar, 2006
Download

matematika 4 II a.qxp