Dengeleme Hesabı I
Dengeleme Hesabı II
Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ
Ders Akışı….
• Giriş ve Amaç
• Hata Teorisi, Hata Türleri
–
–
–
–
–
Ölçü ve Hata
Hata Türleri
Doğruluk Ölçütleri
Kovaryans ve Korelasyon
Hata Yayılma Kuralı
• Ölçülerin Dengelenmesi
– Dolaysız Ölçüler Dengelemesi
– Dolaylı Ölçüler Dengelemesi
Giriş ve Amaç
• Dengeleme hesabının amacı; gereğinden fazla
sayıda yapılmış ölçülerden hiç birini seçip
ayıklamaksızın bilinmeyenlerin ‘Kesin Değer’
ya da ‘Dengeli Değer’ diye adlandırılan en
uygun değerini belirlemek, ölçülerin kesin
değerlerinin ya da duyarlıklarının ve
güvenilirliklerini saptamaktır.
• Bu amaca ulaşabilmek için uygulanan ilke ‘EN
KÜÇÜK KARELER YÖNTEMİ’dir.
• Ölçüler aynı alet, aynı ölçmeci ve aynı koşullar altında
yapılsa bile, geometrik ya da fiziksel büyüklüklerin
ölçülmesi sonucunda elde edilen değerler hata ile
yüklüdür. Söz konusu hatalar;
• 1.Ölçme işini yapanların duyu organlarının yetersizliğinden,
• 2. Ölçü aletlerinin yeterince gelişmiş olmamalarından,
• 3. Fiziksel çevre koşullarından kaynaklanabilir.
• Bu nedenle uygulamada gerekli sayıda ölçü ile yetinilmez,
gereğinden fazla ölçü yapılır. Ölçüler arasındaki ilişkileri
görebilmek ve ölçülerle bilinmeyenler arasındaki
fonksiyonel ilişkileri kurabilmek için dengeleme hesabı
yapılır.
• Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisleri iyi bilir ki; Ölçme işlemi aynı
kişi, aynı alet ve aynı koşullar altında tekrarlansa bile sonuçlar
birbirinden az ya da çok farklı olur.
• Teorik anlamda hatasız ölçü olmayacağı için gereğinden fazla ölçüm
yapılarak ölçülerdeki hataların olumsuz etkilerinden kurtulmaya
çalışılır.
• Ölçülen büyüklüğün gerçek değeri belirlenemez. Gerçek değeri
kesin olarak belirleyebilmek için sonsuz ölçüm yapmak gerekir.
Bunun yerine DENGELEME HESABI ile ölçüye ait iyi bir kestirim
değeri (Kesin Değer) elde edilebilir.
• Dengeleme Hesabının yapılabilmesi için tek koşul fazla ölçü sayısının
olmasıdır.
• u bilinmeyenli bir problem için (n) adet ölçü verilmişse;
f=n-u
: Fazla ölçü sayısı olmak üzere
f>0 ise dengeleme yapılır
f=0 ise cebrik çözüm yapılır
f<0 ise ancak varsayımlara dayalı bir çözümden bahsedilebilir.
• Dengeleme Hesabı ile tüm ölçülerden
yararlanarak bilinmeyenlerin gerçek değer
olma olasılığı en yüksek olan dengeli değer
elde edilir.
Hata Kuramı
• ‘Her ölçü hata ile yüklüdür’
• Dengeleme Hesabının amacı ‘Kesin Değer’
diye adlandırılan temel değerin bulunmasıdır.
• Bir ölçünün beklenen değerden farkına hata ya
da ölçü hatası adı verilir. Beklenen değer
genellikle bilinmediğinden onun yerine
kestirim değeri kullanılır.
Temel Tanımlar
• Gerçek Değer; Teorik anlamda hatasız ölçü
yapılamayacağı için ölçülerin gerçek değeri bilinemez.
Üçgenin iç açıları toplamı gerçek değerdir…
• Kesin Değer; Gerçek değer olma olasılığı en yüksek olan
ve gereğinden fazla sayıda ölçülerden dengeleme
hesabı ile bulunan değerlerdir.
– Hata=Ölçü-Olması gereken değer
•  =−
– Düzeltme ise hatanın ters işaretlisidir.
•  =  −  = −
– Ölçü-Gerçek Değer=Gerçek Hata
• − =
• Ölçü-Kesin Değer=Kesin Hata
–− =
–  =  −  Gerçek Düzeltme
–  =  −  Düzeltme
Hata Türleri
• Oluşumları bakımından hatalar başlıca 3 gruba ayrılır…
• Kaba Hatalar; Ölçmecinin dalgınlığı ya da yorgunluğu
nedeni ile ortaya çıkan hatalardır. Açı ölçümündeki Grad
hatası, Çelik şerit metre ile ölçümde tam sayı unutulması
vs… Bu hataları ortadan kaldırmak için büyüklükler çok
sayıda tekrarlanır. Ölçü dizisinde diğerlerinden önemli bir
şekilde sapan değerlerden kuşkulanılır.
• Düzenli (Sistematik) Hatalar; Ölçüleri düzenli, çoğunlukla
kurallı bir biçimde etkileyen hatalardır. Örnek olarak
Nivelmanda mira ölçek hatası, Çelik şerit metrede sıfır
noktası hatası vs…Bu hataların en önemli özelliği
değişmeyen şartlar altında eşit büyüklükler olarak ortaya
çıkmalarıdır. Ölçü aletleri ayarlanarak etkileri azaltılabilir.
Hata Türleri…
• Düzensiz (Rasgele, Tesadüfi) Hatalar; Ölçü
hatalarının en önemli sınıfını ve dengeleme
hesabının konusunu oluşturan hata türüdür.
Bir ölçünün rasgele hatasının büyüklüğü ve
işareti önceden kestirilemez. Bu hatalar,
ölçme aletlerinin kusursuz olmaması,
gözlemcinin algılama gücünün sınırlı olması,
sıcaklık, basınç, rüzgar gibi dış etkenlerin
değişken olmasının doğal sonucu olarak ortaya
çıkar.
Duyarlık Ölçütleri
• Ölçülerden herhangi birinin ne kadar güvenilebilir olduğu
konusunda bilgi verebilmek için tanımlanmış ölçütlerdir. Aynı bir
büyüklüğün birden çok ölçülmesi sonucunda elde edilen ölçü
dizilerinden yararlanılarak tanımlanır. İşaretlerinin pozitif olma
olasılığı negatif olma olasılıklarına eşit olmalarından dolayı işaretleri
olarak ± alınır.
• Doğruluk gerçek değere olan yaklaşımdır.
• Duyarlık ise birden çok sayıda yapılan ölçmelerin kendi aralarındaki
tutarlılığın bir göstergesidir.
• Bu ölçütler, ölçülerin ne denli güvenilir oldukları konusunda bilgi
vermek için tanımlanmıştır.
• Doğruluk ölçütleri bir aralık tanımladığı için ± işareti ile yazılır.
• Duyarlık olarak ifade edilen sayısal değerin küçüklüğü ölçünün
kalitesini, büyüklüğü ise kalitesizliğini gösterir.
1- Mutlak Hata
• Gerçek değeri bilinen bir büyüklüğün n kez
ölçülmesi durumunda;
 =  −  (i=1,2,3,….,n)
Gerçek hata=ölçü-Gerçek Değer
Mutlak Hata ise t ile simgelenir
t=±

=1


2- Ortalama Hata (Karesel Ortalama
Hata KOH, Standart Sapma, RMS)
• Ortalama hata yerine daha çok standart sapma deyimi
kullanılır. Dengeleme hesabında ise ortalama hataya
karesel ortalama hata denilir.
• Bu ölçüt en çok kullanılan ölçüt olup Gauss tarafından
tanımlanmıştır. Ölçü dizisindeki gerçek hataların
karelerinin ortalamasının karekökü olarak hesaplanır.
– =±


• Formüle bakıldığında hatalar kareleri oranında
ortalama hataya tesir ettikleri için büyük hataların
sonuca etkisi yüksektir. Bu nedenle ortalama hata kaba
hatalı ölçülerden aşırı etkilenir.
Ortalama Hata (Karesel Ortalama
Hata KOH, Standart Sapma, RMS)
• Aynı bir büyüklüğün ölçülmesi sonucunda elde edilen
bir ölçü dizisinin gerçek hataların ya da ölçülerin kesin
değerden farkları olan düzeltmelerin kareleri toplamı
ölçü sayısına bölünür ve hesaplanan bu değerin
karekökü alınarak bulunur.
• Yaygın olarak kullanılan bir duyarlık ölçütüdür. Hatalar
kareleri oranında ortalama hataya tesir ettikleri için
büyük hataların sonuca etkisi büyüktür. Bu nedenle
ortalama hata kaba ölçülerden aşırı olarak etkilenir.
• Eğer ortalama hata gerçek değerlerden
(gerçek değerler her zaman bilinemez) elde
ediliyorsa;
• Eğer ortalama hata düzeltme değerlerinden elde ediliyorsa
• Şeklinde formülüze edilir. Bu formül duyarlıkları (ağırlıkları)
eşit korelâsyonsuz ölçüler için geçerlidir.
• Burada n ölçü sayısıdır. Gerçek değer bilindiği zaman,
bilinmeyen olmadığından dolayı paydaya n yazılır. Gerçek
değer bilinmediği zaman paydaya n-1 yazılır. Buradaki 1
rakamı bilinmeyen sayısını ifade eder.
3-Olası Hata
• Mutlak değer olarak büyüklük sırasına dizilmiş
gerçek hata kümesinin medyanı olası hata
değeridir.
– Bir dizinin medyanı eleman sayısı tek ise dizinin
ortasındaki değer, eleman sayısı çift ise ortadaki
değerin aritmetik ortalamasıdır.
• Bağıl Hata; Bir ölçüde yapılan hatanın ölçüye
oranıdır.
– ğ  =

Öçü
Örnek;
• Bir uzunluğun gerçek değeri 1385.765 m
olarak verilmiştir. Bu büyüklüğe ait 10 adet
ölçü de aşağıda verildiğine göre;
Ölçülere ait gerçek hataları
Karesel ortalama hatayı
Mutlak hatayı
Olası hatayı
Bağıl hatayı bulunuz.
.765
.766
.767
.763
.766
.760
.765
.769
.768
.763
Örnek 2
• Uzunluğu 100.000 m olan bir ayar bazı iki
ayrı ölçme ekibince mm birimine kadar
okuma yapılarak çelik şeritle 20’şer kez
ölçülmüştür. Her iki ölçme ekibinin elde
ettiği sonuçlar verildiğine göre ölçü dizisi
için bir ölçünün ortalama hatasını,
ortalama hatasını ve olası hatasını
hesaplayınız.


100.002
100.000
99.998
99.999
99.995
100.005
100.003
100.007
100.000
99.994
100.003
99.995
100.001
99.997
99.998
100.002
99.998
100.004
100.004
99.998
100.002
99.994
100.001
100.000
99.998
100.002
99.996
100.006
99.999
99.999
99.995
99.994
100.002
100.006
100.002
99.997
100.001
99.997
100.004
100.002
Hata Kuramı
• Bir ölçü çok sayıda tekrarlandığında ortaya
çıkan hatalar incelenirse bunların belirli
kurallara uyduğu görülür;
– (+) işaretli hata sayısı yaklaşık olarak (-) işaretli
hata sayısına eşittir.
– Küçük hata yapma olasılığı büyük hata yapma
olasılığından büyüktür.
– Hataların sıfır civarında yığılmaları en fazladır.
• Gauss’a göre bir (ε) hatasının gerçekleşme
olasılığı;
•  =
1

0 2
−2
22
0
− ∞ <  < +∞
• 0 = 0 ;  öçüü  ℎ
• e= 2.718281…
•  =  −  ; Gerçek hata…
Gauss’un En Küçük Kareler Yöntemi ile Dengeleme İlkesi
• Dengelemenin amacı, fazla ölçülerden yararlanarak
bilinmeyenlerin en uygun, olasılığı en fazla olan
değerlerini elde etmek, ölçülerin ve bilinmeyenlerin
duyarlıkları hakkında bilgi edinmektir.
• Düzeltmeler 1 , 2 , … . .  ile gösterilirse bu
düzeltmelerin olasılıkları;
– (1 )=(1 )=
1
0 2
– (2 )=(2 )=
» .
» .
» .
1
0 2
– ( )=( )=
1
0 2

1 2
− 2
20

2 2
− 2
20

 2
− 2
20
olur…
• Dengeleme hesabında bu düzeltme verilerinin
ölçülerin hepsine uygulanması istenir. Bu olayın
olasılığı P(D) ile gösterilirse, olasılık hesabının
çarpım kuralına göre;
– A ve B olasılıkları P(A) ve P(B) olan iki olay ise bu iki
olayın örneklemede birlikte olma olasılıkları;
• P(A B) =P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B) ile hesaplanır
– P(B|A); Koşullu olasılık
P(A B)
P(A B)
» P(B|A)= () , P(A|B)= () olur…
– ()=(1 )=
1

0 2 2

1 2 +2 2 +……+ 2
−
22
0
olarak bulunur.
– Dengeleme hesabının amacı, olasılığı maksimum olan
değeri elde etmek olduğundan;
• P(D)=Max olması gerekir.
• P(D) maksimum olması için;
–
–
1 2 +2 2 +……+ 2
−
=minimum olması gerekir.
2
20
1 2 + 2 2 + … … +  2 =[VV]=  =Min
• Yukarıdaki son eşitlik duyarlıkları eşit ölçülerin
En Küçük Kareler Yöntemine göre dengeleme
ilkesi denilir.
• Duyarlıkları farklı ölçülerin dengelenmesi sonucunda
duyarlığı ±mi olan bir  ölçüsüne  düzeltmesi getirme
olasılığı;
– ( )=( )=
1
 2

 2
− 2
2
i=1,2,….,n
– P(D)=P(1 ) P(2 ) ……. P( )
• Ağırlık Tanımı;  =
1
 2
– Burada P( ) değerleri yerine koyulursa;
• ()=(1 )=

1
2 2 1 .2 …

1 1 2 +2 2 2 +……+  2
−
2
• Burada P(D)=Max olabilmesi için;
• 1 1 2 + 2 2 2 + … … +   2 =[PVV]=   = 
• Ağırlıkları farklı gözlemlerin En Küçük Kareler Yöntemi
ile Dengelem İlkesidir.
Hata Eğrisi…
• Gauss ölçü hatalarına ilişkin yoğunluk
fonksiyonunun çan eğrisi şeklinde olduğunu
kanıtlamış ve buna ‘HataSıklık
Eğrisi’ adını vermiştir.
ε (hata)
Olasılık Dağılımları
• Rasgele Değişken; Rastgele bir örneklemenin
sonucunu gerçel sayılarla gösteren bir
fonksiyondur. (Trafikteki kaza sayısı, Şehirde
yaşayan insanların boyları, yoldan geçen otomobil
sayısı vs…)
– Bir X rassal değişkeninin a değerini alma olasılığı
P(X=a)
– X’in I(a,b) aralığında olma olasılığı P(a<X<b)
– X’in c’den küçük ya da eşit olma olasılığı P(X≤c)
– X’in -∞ ile +∞ arasında olma olasılığı P(-∞<X< +∞)=1
– X’in c’den büyük olma olasılığı P(X>c)=1- P(X≤c)
Olur…
Örnek
• Düzgün bir zarla atışta elde edilecek X rastgele
değişkeni durumu…
– P(X=1) , P(X=2)
– P(1<X<2), P(1 ≤X<2)
– P(3 ≤X ≤4), P(1 ≤X<4)
– P(1 ≤X ≤6), P(-∞<X< +∞)
Varyans ve Standart Sapma
• X rastgele değişkeninin ortalama değer
civarındaki yaygınlığının ölçütüdürler.
• Bir rastgele değişkenin aldığı değerler
ortalama değer civarına ne kadar yığılırsa
dağılımın varyansı ( 2 ) ya da standart sapması
() o derece küçük olur.
Ümit (Ortalama) Değer
• Bir dağılımın ortalama ya da ümit değeri  ile
gösterilir.
–=
+∞

−∞
  formülü ile hesaplanır.
Düzgün bir zarla atışta elde edilecek sayı X rasgele
değişkeni ile gösterilirse, bu rasgele değişkenin olasılık
fonksiyonu;
•
1
f(x)=
6
x=1, 2, ….., 6
• Ümit Değer;  =
1
1
5. +6.
6
6
=?
1
1. +
6
1
2. +
6
1
3. +
6
1
4. +
6
• Bu zar ile 1000 atış yapılırsa atılan sayıların
toplamının 1000*? Olması beklenir.
Normal Dağılım
• Ölçü hatalarına ilişkin yoğunluk fonksiyonu çan
eğrisi biçimindedir ve buna ‘Normal Dağılım’ ya
da ‘Gauss Dağılımı’ denir. σ(ε)
()
-
+
ε
• Olasılık fonksiyonu ()’nun - ile + sınırları
arasında kalan alanı tüm alanın %68’idir.
• Yani ölçü hatalarının %68’i bu aralıkta yığılmıştır.
Sınırlar
()
1-()
- ile +
0.6827
1/3
-2 ile +2
- ile +
-4 ile +4
0.9546
0.9973
0.9999
1/20
1/400
1/10000
• Yukarıdaki tablodaki bilgilerden, rasgele ölçü
hatalarının 1/400’ünün başka bir değişle 1000 hatadan
yalnızca 3’ünün mutlak değerce, ortalama hatanın 3
katından büyük olduğu görülmektedir.
• Bu nedenle jeodezik çalışmalarda genellikle ortalama
hatanın 3 katı, hata sınırı olarak kabul edilir ve bundan
daha büyük hatalar kaba hata olarak yorumlanır.
Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu
Normal Dağılımın Dağılım Fonksiyonu
−

• =
Burada X; Rastgele Değişken, μ; Ümit
Değer ve σ; standart sapmadır.
•
−
F(x)=(
)=()

• P(1 <  < 2 ) =  2 −  1
•
•
2−
1−
=(
)-(
)


= 2 − (1)
•  − = 1 − ()
1- 0.7088
Örnek
• Bir açı ölçüsünün ortalama değeri 42.6540
grad ve standart sapması 8 grad saniyesi
olarak verilmektedir.
– Ölçülen bir açının 42.6564 graddan büyük olması
– Ölçülen bir açının 42.6530 ile 42.6560 grad
aralığında olma olasılıklarını hesaplayınız…
Örnek
• Bir açı büyüklüğünü gösteren X değişkeni
normal dağılımlıdır. Beklenen değer μ=400
grad ve standart sapması σ=2 mgrad’dır. Ölçü
değerleri için;
– 399.9980 graddan küçük olması
– 399.9980 ile 400.0030 grad aralığında olması
– 400.0040 graddan büyük olması olasılıklarını
hesaplayınız…
Kovaryans ve Korelasyon
• Kovaryans iki rastgele değişken arasındaki ilişkiyi
gösteren bir parametredir.
• Kovaryans (+), (-) işaretli herhangi bir değer veya sıfır
olabilir.
– x ve y normal dağılımlı iki rastgele değişken ise ikisi arası
kovaryans  ;
•  = (  −   −  ) biçiminde tanımlanır.
•  (+) ise x ve y değişkenler artı korelasyonlu, (-)
işaretli ise eksi korelasyonludur denir.  = 0 ise
korelasyonsuz yani birbirinden bağımsızdır.
• Korelasyon ise kovaryansın standartlaştırılmış halidir.
• x ve y rastgele değişkenleri standartlaştırılırsa
bunların çarpımlarının beklenen değerine
Korelasyon Katsayısı denilir. Korelasyon katsayısı
 ;
–  =
− −


=

 
dir.
•  birimsiz bir büyüklüktür ve -1 ile +1 arası
değerler alır.
• Kovaryans her değeri alabileceğinden uygun bir
korelasyon ölçütü değildir. Bu nedenle korelasyon
ölçütü olarak korelasyon katsayısı kullanılır.
• Korelasyon katsayısı sıfıra ne kadar yakın ise x ve y
değişkeni arasında zayıf, ±1 e yakınsa kuvvetli bir
ilişkiden söz edilir.
• Ölçülen büyüklüklerin gerçek büyüklükleri  , ,
ölçüler ise  ,  olsun;
–  =  -  =  -  sapmaları ile varyans ve
kovaryans için;
–
2
=
olur
 

,
2
=




,
2

=
 

eşitlikleri geçerli
• Ölçülen büyüklüklerin gerçek değerleri
bilinmiyorsa varyanslar ve kovaryanslar
düzeltmeler yardımı ile belirlenir;
– 2 =
 
,
−1
2 =
 
−1
2 =
, 
 
−1
Deneysel (Çapraz)Korelasyon Katsayısı
•  =

 
-1≤ ≤1 olarak hesaplanır.
–    ise otokorelasyon katsayılarıdır.
• Örnek; Her ikisi de n elemanlı x ve y kümesinin
standart sapmaları  = 1.11 ,  =2.22 ve
aralarındaki kovaryans = −1.25 olduğuna
göre korelasyon katsayısını hesaplayınız…
Örnek
• Leica TS15 marka uzaklık ölçerin ayarlanması ve
bu aletle yapılan uzunluk ölçüleri arasındaki
korelasyonların belirlenmesi amaçlanmaktadır.
Ülke nirengi ağının Zonguldak/Merkez bazı bu
aletle 30’u öğleden önce ve 30’u öğleden sonra
olmak üzere 60 kez ölçülmüştür. Bu bazın invar
telle ölçülüp indirgenmiş uzunluğunun 9605.343
m olduğu bilindiğine göre, bu aletle ölçülen
uzunlukların ortalama hatalarını ve aralarındaki
korelasyonları hesaplayınız.
Kovaryans-Kofaktör ve Ağırlık
Matrisleri
• x1, x2,…..,xn normal dağılımlı rasgele değişkenler
(ölçüler) bir x vektörü altında toplanırsa x vektörüne;
 = 1 2 … . 
değişken adı verilir.
μ = μ1 μ2 … . μ
vektörü ise;


normal dağılımlı n boyutlu rasgele
Değişkenin
beklenen
Buna göre xi-µi farkları;
 −  = 1 − 1 2 − 2 . . . . .  − 

olur.
değerler
•  −   −   çarpımının beklenen değeri ise
nxn boyutlu bir matristir.
•   −   −   =  Bu matrisin köşegen
elemanlarının beklenen değerlerinin  rasgele
değişkeninin varyansları;
  −  2 = 2 köşegeni dışındaki elemanların
beklenen değerlerinin xi ve xk rasgele değişkenleri
arasındaki kovaryanslar,
  −  ( − ) = 
ve  =  olduğu göze alınırsa
• 
12
= 12
1
12
22
2
1
2
2
matrisi elde edilir.
 matrisine x vektörünün varyans-kovaryans matrisi denilir.
x1, x2,…..,xn rasgele değişkenleri arasında korelasyon yoksa 
kovaryans matrisi köşegen matrise dönüşür.

12
= 0
0
0
22
0
0
0
2
• Bir ölçünün varyansı küçükse doğruluğu yüksek,
büyükse doğruluğu düşüktür denir. Buna göre doğruluk
derecesi varyans büyüklüğü ile ters orantılıdır.
• Bu yüzden doğruluk ölçütü olarak varyanslar yanında
onların tersleriyle orantılı, ağırlık adı verilen başka
büyüklükler de kullanılır.
• Bu tanıma göre ağırlığı büyük olan bir ölçünün
doğruluğu yüksek, ağırlığı küçük olanın doğruluğu
düşüktür.
• Varyansı 2 olan bir ölçünün ağırlığı  için;
2
2
 =
(02 :sabit, Birim ağırlıklı varyans)
yazılabilir.
1 0 0
 = 0 2 0 matrisine bağımsız ölçüler için
0 0 
ağırlık matrisi denilir.
• Bağımsız ölçülerin Cxx kovaryans matrisi ile
bağımsız ölçülerin Pxx ağırlık matrisi arasında;

12
= 0
0
0
22
0
0
1
0 ,  = 0
0
2
−1 ilişkisi vardır.
 = 02 
0
2
0
0
0

•  kovaryans matrisi, birim ağırlıklı varyans ile
bölünürse ağırlık katsayıları (Kofaktör) matrisi;
 =
edilir.
1

2
0
11
= 12
1
12
22
2
1
1
2 ,  = elde


−1
−1
 = 
= 02 
ilişkisi ortaya çıkar.
Dengeleme Hesabı
Hataların Yayılma Kanunu
Tanım
• Hata yüklü bir ölçüden faydalanılarak hesaplanabilen diğer bir büyüklük
te hata yüklü olacaktır. Hesaplanan büyüklüklerdeki hataların ölçü
hatalarının fonksiyonları biçiminde belirlenmesine ‘Hata Yayılması’ denilir.
• Doğrultu, uzunluk, faz, kod, zaman vb. elemanlar direk gözlenir ve elde
edilmek istenen diğer büyüklükler (genelde koordinatlar) bu ölçülerin
matematiksel fonksiyonları yardımıyla hesaplanır.
• Ölçüler az ya da çok hatalı olduğu için onlardan elde edilen büyüklükler
de hatalı olur. Fonksiyonlardan elde edilen büyüklüklerin ölçü
hatalarından nasıl etkilendiklerini gösteren bağıntıya Hata Yayılma Kuralı
denir.
• Ölçülen büyüklüklerin ortalama hatalarının bilindikleri durumlarda
ölçülerin herhangi bir fonksiyonunun ortalama hatasının hesaplanması
dengeleme hesabının çok sık rastlanan konularındandır. Hata yayılma
kuralı sadece ilk ölçülere uygulanır.
•
Deneysel varyansları (karesel ortalama hataları)  2 ve  2 , deneysel kovaryansları m12
olan l1 ve l2 ölçülerinin herhangi iki fonksiyonu;
–  =   , 
–  =   ,  biçiminde yazılabilir. Bu fonksiyonların ölçülere göre diferansiyelleri;








–  =  +  
–  =  +   olur. Kısmi türevlerde l1 ve l2’nin ölçülen değerleri yerine
konularak;

– a1= 







, a2=  , b1=  , b2= 
katsayıları hesaplanırsa, x ve y fonksiyonlarının
diferansiyelleri ;
–  =   +  
–  =   +   olur. Gerçek hataların (ε) ölçülere göre çok küçük oldukları göz
önüne alınarak diferansiyel artımlar yerine gerçek hatalar yazılırsa;
–  =   +  
–  =   +   elde edilir. Bu eşitliklere ‘Gerçek Hataların Yayılma Kuralı’ denilir.
•
İlk ölçülerin n sayıda yinelendikleri varsayılırsa bunlar 1 ve 2 vektörlerinde
toplanabilir. Bu durumda 1 ve 2 ’nin fonksiyonları olan x ve y büyüklükleri  ve 
vektörlerini oluşturur.
•
Bütün bu sayılan büyüklüklerin gerçek hataları 1 , 2 ,  ,  vektörlerinde
toplanırsa;
–  = 1 1 + 2 2
–  = 1 1 + 2 2 bağıntıları elde edilir. Bu eşitliklerin her iki tarafının karesi
alınırsa;
–   = 12 1 1 + 21 2 1 2 +22 2 2
–   = 12 1 1 + 21 2 1 2 +b22 2 2
–   = 1 1 1 1 + 1 2 + 2 1 1 1 + 2 2 2 2 olur. Bu eşitliklerin her iki
tarafı ölçü sayısı olan n’ye bölünerek deneysel varyansın tanımından;
– 2 = 12 12 + 21 2 12 + 22 22
– 2 = 12 12 + 21 2 12 + 22 22
–  = 1 1 12 + 1 2 + 2 1 12 + 2 2 22 bağıntıları elde edilir. Bu son
bağıntılara ‘Genel Hata Yayılma Kuralı’ denilir.
•
İlk ölçülerin (l1, l2) korelasyonsuz oldukları durumlarda 12 = 0 olduğundan karesel
ortalama hata bağıntıları;
– 2 = 12 12 + 22 22
– 2 = 12 12 + 22 22
–  = 1 1 12 + 2 2 22 biçimini alır. İlk ölçülerin herhangi bir fonksiyonu;
–  = (1 , 2 ,…………………… ) olarak tanımlanırsa bu fonksiyonun ortalama hatası;
–  = ±
 2 2
1
1
+
 2 2
2
2
+ ⋯……………+
 2 2


biçiminde
yazılabilen ‘Hata Yayılma Kuralı’ bağıntısından hesaplanır.
•
•
Uyarılar;
Hata yayılma kuralı yalnızca yeterince ölçü varsa uygulanır. Fazla ölçü varsa Hata
Yayılma Kuralı uygulanmaz. Fonksiyonun kesin değeri ve ortalama hatası
dengeleme hesabı yapılarak bulunur.
Matris Gösterimi ile HYK
Örnek
• Bir ABC üçgeninin iki kenarı (c, b) ve aralarındaki
α açısı ortalama hataları ile verilmiştir. Ölçüler arasında
korelasyon bulunmadığına göre a kenarı ve karesel
ortalama hatasını hesaplayınız.
•
•
b=60.00 m ±2 cm, c=70.00 m ±3 cm,
B α=65.0000 g ±25cc
c
a
α
A
b
C
Dengeleme Hesabının Konusu ve Ana İlkeleri
Dolaysız (Direk) Ölçüler Dengelemesi
Dengeleme Hesabı Türleri

Fonksiyonel Model
Stokastik Model
• Ölçülerin
ağırlıkları)
konusunda,
priori) elde
denilir.
duyarlıkları
(ortalamaları
ve
ve aralarındaki korelasyonlar
dengelemeden önce (öncül, abulunan bilgilere stokastik model
• Fonksiyonel ve stokastik modeller dengeleme
hesabının temelini oluştururlar. Söz konusu
modeller dengelemeden önce kurulurlar. Ölçüler
ile bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel
ilişkileri tam olarak yansıtmayan fonksiyonel
modeller ile ölçülerin duyarlıklarını ve
aralarındaki korelasyonları gerçekçi bir biçimde
kapsamayan stokastik modeller ‘Model Hataları’
na neden olurlar.
• Model hataları Dengeleme Hesabında en büyük
sistematik hata kaynağıdır.
Bir Dengeleme Probleminde;
• n: Ölçülerin sayısı
• u: Bilinmeyenlerin sayısı
• f: n-u; Fazla ölçü sayısı olmak üzere ;
– f>0 ise Ölçüler dengelenerek Kesin Değerler
bulunur.
– f=0 ise cebrik çözüm yapılır.
– f<0 ise varsayımlara dayalı çözüm söz konusudur.

Bağımsız Ölçüler Dengelemesi
Korelasyonlu Ölçüler Dengelemesi
Gauss, yapılan gözlemlerin özelliklerine göre
aşağıdaki dengeleme türlerini ortaya koymuştur.
• Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dengelemesi
• Dolaylı (Endirekt) Ölçüler Dengelemesi
• Koşullu (Şartlı) Ölçüler Dengelemesi
Dolaysız Ölçüler Dengelemesi
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
Denetim İşlemleri
Duyarlık Hesapları
Ağırlıkları Farklı Olan Dolaysız (Direkt)
Ölçülerin Dengelenmesi
• Bir tek büyüklüğün belirlenmesi için yapılan
duyarlıkları farklı, ilk bağımsız ve dolaysız
gözlemleri l1, l2, …,ln, bunların ağırlıklarını p1,
p2, …,pn, ile gösterelim. Söz konusu gözlemler
ile bunların duyarlıkları arasındaki ilişkiler;
• ölçü+düzeltmesi=bilinmeyenin kesin değeri
•  +  = 
•  =  −  Küçük sayılarla çalışmak için
bilinmeyen x’e x0 yaklaşık değeri seçilir;
• x=x +dx
• vi=dx-(li-x0) ((li-x0): li ve x0 ‘ın sayısal değerleri ile
elde edilen büyüklüğe ötelenmiş ölçü gözüyle
bakılarak;
• (li-x0)= ′ tanımı yapılırsa;
–  =  − ′
– 1 =  − 1′
– 2 =  − 2′
–.
–.
• ′ ötelenmiş gözlemlerin ağırlıkları da pi olur
ve bunlar stokastik modeli oluştururlar.
• p1, p2, …….,pn (Stokastik Model)
• Bu durumda Gauss’un en küçük kareler
yöntemine göre dengeleme ilkesi (Amaç
Fonksiyonu);
• [pvv+=min. Biçimindedir.
• Düzeltme Denklemleri
Ağırlık
•
 =  − ′
pi
•
1 =  − 1′
p1
•
2 =  − 2′
p2
•
.
.
•
.
.
•
.
.
•
 =  − ′
pn
•
(Matematik Model)
• Matematik model bağıntılarında her iki tarafın
karesi alınıp, ilgili ağırlıklarla çarpıldıktan sonra
toplamları oluşturulursa;
•  =  2  − 2 ′ + ′ ′ elde
edilir. Amaç fonksiyonu *pvv+=min. İçin,
eşitliğin sağ tarafının dx’e göre türevi sıfıra
eşitlenerek;
•
 

= 2   − 2 ′ = 0
•   − ′ = 0 Normal Denklem
•  =
 ′

Dengeleme Bilinmeyeninin Kesin
Denetim İşlemleri
• [pv]=0
•  = ′ ′ −  ′ 1. Kontrol
•  = ′ ′ −
2
′


2. Kontrol
Duyarlık Hesapları
• 0 = ±
•  = ±
•  = ±

−1
Birim Ölçünün Ortalama Hatası
0
Gözlemlerin

0
[]
Ortama Hataları
Genel Aritmetik Ortalamanın
Ortalama Hatası
Örnek
• Nivelman Ölçüleri ile Bir Noktaya Yükseklik
Taşıma…
Ölçüler
l'i
Geçki Uzunluğu (Si) Ağırlık
157,0480
3,10
157,0520
2,00
157,0550
6,10
157,0490
5,30
157,0420
10,20
Düzeltme
Ortalama
Hata
Dengeleme II
• DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
• NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
• TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ
DENGELENMESİ
• GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
• GPS NİVELMANI
• SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
• MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ
ÖLÇÜLER TESTİ
• İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT)
Dolaylı Ölçüler Dengelemesi
• Belirlenmesi istenen, bir tek büyüklük ise
Dolaysız Ölçüler Dengelemesi söz konusudur.
Örnek olarak bir uzunluk ya da bir açı n kez
ölçülmüş ise Dolaysız Ölçüler dengelemesi
uygulanır.
• Birden çok sayıda bilinmeyenin bir kerede
belirlenmesi ya da bilinmeyenler yerine onları
hesaplamaya yarayan büyüklükler ölçülmüş
ise, Dolaylı Ölçüler dengelemesi uygulanır.
• Jeodezide genellikle bulunması istenen
büyüklükler doğrudan ölçülmez. İstenen
Dengeleme Yapılabilmesi için;
• n: Ölçülerin sayısı
• u: Bilinmeyenlerin sayısı
• f: n-u; Fazla ölçü sayısı olmak üzere ;
– f>0 ise Ölçüler dengelenerek Kesin Değerler
bulunur.
– f=0 ise cebrik çözüm yapılır.
– f<0 ise varsayımlara dayalı çözüm söz konusudur.
• Dolaylı ölçüler dengelemesinde ilk aşama,
bilinmeyenlerin seçimidir. Bilinmeyenlerin sayısı,
problemin geometrik anlamda çözümü ya da
çizimi için gerekli ölçü sayısıdır.
• Hangi büyüklüğün bilinmeyen olarak seçilmesi
gerektiği, çoğu kez önceden bilinir.
• Nokta kestirmelerinde, kestirilecek noktaların
koordinatları, nivelman ağlarında noktaların
yükseklikleri ya da yükseklik farkları gibi….
• Dolaylı ölçüler dengelemesinde tüm ölçüler
kullanılarak bilinmeyenler, dengeli ölçüler,
bilinmeyenlerin fonksiyonları ve bu büyüklüklerin
Düzeltme Denklemlerinin Kurulması
• Dengelenmiş ölçüler ile bilinmeyenler arasında
;
• l+v=Ax (ölçü+düzeltmesi=bilinmeyenlerin fonksiyonu)
Biçiminde yazılan eşitliklere düzeltme denklemi
adı verilir. Bu denklemlerin sayısı ölçü sayısına
eşittir.
•  =  −  (Matris formunda fonksiyonel
model)
• v= Düzeltmeler vektörü
Düzeltme Denklemlerinin Doğrusallaştırılması
• Doğrusal olmayan denklem sistemlerinin
direkt olarak çözümü mümkün değildir.
• Bu amaçla yazılan ilk düzeltme denklemleri
bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri alınarak
Taylor açınımı ile doğrusallaştırılır.
• Düzeltme denklemlerinin tümü doğrusal olsa
bile, hesaplama kolaylığı ve yuvarlatma hata
etkisinin azaltılması amacı ile bilinmeyenler
yerine genelde yaklaşık değerleri seçilir.
Normal Denklemler
•  =  −  şeklindeki u bilinmeyenli n
denklemden x bilinmeyenlerinin EKK koşulu;
   = . Olacak şekilde belirlenmesi
gerekir.
• v yerine konulursa;
–    =  −   ( − ) olur.
•    minimum olabilmesi için bilinmeyenlere
göre türevi sıfır olmalıdır.
• Normal denklemlerin çözümü bize x
bilinmeyenler vektörünü verir.
•   −   = 0 : Normal Denklemler
Matris Formunda Dolaylı Ölçüler
Dengelemesi
Örnek:
• Şekildeki ikizkenar üçgenin eşit kenarları,
açıları ve yüksekliği ölçülmüştür. İkiz kenar ve
açılar cinsinden düzeltme denklemlerini
i
Li
yazınız…
1
118.316 m
6
2
118.304 m
1
2
3
70.656 m
3
4
40.7516 gon
4
5
5
40.7532 gon
6
118.4934 gon
Örnek
• Matris formunda bir fonksiyonel model
verilmiştir. Bu modele ait stokastik model ise
tabloda verildiği gibidir. Öncül karesel
ortalama hata s0=±0.90 mm olduğuna göre
duyarlıkları
farklı
bu
ölçüleri
dolaylı
v1
2.54
-0.0854
0.5678olan dx
23
ölçüler
göre* dengeleyiniz…
= -0.4502 0.1691
- -1.26
v2 yöntemine
dy23
v3
0.9116 0.2451
s0 = 0.90 ms1 = 0.65
ms2 = 0.81
ms3 = 0.36
3.27
rij = 0.50
Nivelman Ağlarının Dengelemesi
GNSS Ağları Dengelemesi
MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve
UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ
Jeodezik Kontrol Ağları
• Bir Referans sisteminin gerçekleştirilebilmesi
için o sistemde koordinatı bilinen noktalara
ihtiyaç vardır.
• Referans sistemini gerçekleştirmek amacıyla
tesis edilen noktalara “kontrol noktası”, bu
noktaların meydana getirdiği yapıya da
“kontrol ağları” adı verilir.
Jeodezik kontrol ağları üç grupta ele
alınabilir:
• Yatay kontrol ağları
• Düşey kontrol ağları
• Üç boyutlu kontrol ağları
Kontrol noktalarının konumunu doğrudan doğruya
belirlemek mümkün değildir; dolaylı gözlemler
yapmak gerekir.
 Yatay kontrol ağları: Kenar, doğrultu ve açıklık açısı
gözlemleri
 Düşey kontrol ağları: Nivelman
 Üç boyutlu kontrol ağları: Kenar, doğrultu, düşey açı
veya GPS baz vektörleri
• Doğrultu
ağlarında
doğrultular,
kenar
ağlarında uzunluklar, doğrultu-kenar ağlarında
hem doğrultular ve hem de uzunluklar,
nivelman
ağlarında
yükseklik
farkları,
trigonometrik nivelman ağlarında düşey açılar
ya da yükseklik farkları (düşey açılardan
hesaplanır) ölçülür.
• GPS ağlarında üç boyutlu koordinat farkları
(kod, faz ve zaman ölçülerinden) ölçülür.
• Bu ölçüler ilgili jeodezik ağın belirli bir
koordinat sisteminde yeri, yönü ve ölçeği
konusunda hiçbir bilgi içermezler.
• Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik
Kontrol Ağlarının Datumu
• Kontrol ağları üzerinde gerçekleştirilen gözlemler ağın
ancak iç geometrisini belirler.
• Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri,
ölçeği ve yönü konusunda bilgi veren parametrelere
DATUM parametreleri denir.
– Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir
koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir
noktasının yükseklik koordinatı o koordinat sisteminde
bilinmesi gerekir.
– Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı
olabilmesi için en az iki noktasının koordinatları
bilinmelidir.
– Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı
olabilmesi için en az bir noktasının koordinatları
bilinmelidir ve en az bir doğrultusunun yönü bilinmelidir.
– Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi
Defekt Kavramı
• Ağın
bir
koordinat
sisteminde
konumlandırılabilmesi için gerekli olan
parametrelere “dış parametreler” bunların
sayısına “datum defekti” adı verilir.
Jeodezik Ağların Tasarımını Etkileyen
Faktörler
• Kullanılacak ölçme yöntemi ve jeodezik model
• Doğruluk ölçütleri
o Global doğruluk ölçütleri
o Lokal doğruluk ölçütleri
• Güvenirlik
• Ekonomi
Yüksek doğruluk gereksinimleri nedeniyle jeodezik
ölçmelerde noktalar daima bir ağ mantığı içerisinde
ele alınır ve nokta konumları ağ üzerinde
Dış parametrelerin belirlenmesine
göre dengeleme türleri
• Serbest ağ dengelemesi
 Tüm iz minimum
 Kısmi iz minimum
• Minimuma dayalı (zorlamasız) dengeleme
• Dayalı (zorlamalı) dengeleme
Serbest Ağ Dengelemesi
• Bu tür dengelemede hiçbir ağ noktasının koordinatı sabit kabul edilmez.
Bütün nokta koordinatlarının hatalar içerdiği düşünülür.
• Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak koordinatları
hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları,
koordinatı değişmez alınan noktalardan etkilenir.
• Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar sadece yeni noktaların
koordinatlarına dağıtılır.
• Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken hatalar yeni noktaların konum
hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu datum
seçimine bağlı olarak değişir.
• Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ dengelemesi (tüm iz
minimum yöntemine göre dengeleme) ile dengelenir. Bu yöntemde bir
ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta
koordinatlarına dağıtılır.
Serbest Ağ Dengelemesi
• Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle
deformasyon araştırma çalışmalarında kullanılır.
• Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan
jeodezik ağlarda noktaların koordinatları ve
koordinatların
doğrulukları
deformasyon
analizinde kullanılan giriş değerlerdir.
• Deformasyon analizi ve yorumu açısından bu
değerlerin serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş
olunması tercih edilmektedir.
• Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar
bilinmeyen noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle
normal
denklem
katsayıları
matrisinin
Tüm İz Minimum Yöntemine Göre
Dengeleme
• Tüm iz minimum yöntemi, ağın tüm
noktalarını içeren küçültülmüş koordinat
bilinmeyenleri
vektörünün
normunun
(bilinmeyenlerin kareleri toplamı) ve ağırlık
katsayıları
matrisinin
izinin
(Köşegen
elemanları toplamı) en küçük olmasını, başka
bir değişle ağın tüm noktalarının datum
tanımına katkıda bulunmasını sağlar.
• Tüm
iz
minimum
yöntemine
göre
dengelemenin doğrusallaştırılmış fonksiyonel
Tüm İz Minimum Koşul Denklemleri
v= −  (Düzeltme Denklemleri)
   = 0 (Koşul Denklemleri)
 =  −  +  (Serbestlik Derecesi) (n : ölçü sayısı,
u: Bilinmeyen sayısı, d: Defekt)
•  koordinat bilinmeyenleri vektörü, ağın tüm
noktalarını içerir. Bu çözümde ağın datumu G
matrisi ile tanımlanır. Ve tüm noktalar datum
tanımına katılır. Koşul denklemlerinin sayısı
datum parametrelerinin sayısına eşittir.
• Nokta sayısı p ve buna göre koordinat
Kısmi İz Minimum Yöntemi
• Tüm iz minimum yöntemi, ağın tüm
noktalarını içeren küçültülmüş koordinat
bilinmeyenleri
vektörünün
normunun
(Bilinmeyenlerin bir bölümünün kareleri
toplamı) ve ağırlık katsayıları matrisinin buna
karşılık alt matrisinin izinin (köşegen
elemanları toplamı) en küçük olmasını sağlar.
• Başka bir değişle ağın noktalarından yalnızca
bir bölümünün datum tanımına katkıda
bulunmasını sağlar.
• Bu dengelemenin doğrusallaştırılmış
fonksiyonel modelinin ‘Tüm iz minimum
yönteminden farkı’ G matrisi yerine, datumu
tanımlayan ve G matrisinden dönüştürülen bir
B matrisinin geçmesidir.
v= −  (Tüm iz Min. Düzeltme Denklemleri)
   = 0 (Tüm iz Min. Koşul Denklemleri)
v= −  (Kısmi iz Min. Düzeltme Denklemleri)
−
•  =  = 
•  =  
 −1
+  
Kaynaklar
• Dengeleme Hesabı (Kitap), Prof. Dr. Sebahattin
BEKTAŞ (Samsun 2002)
• Dengeleme Hesabı (Kitap), Hüseyin DEMİREL
(YTÜ 2005)
• Dengeleme Hesabı Cilt I-II-III (Kitap), Ergün
ÖZTÜRK (Trabzon 1991)
• Dengeleme Hesabı Ders Notları, Şenol Hakan
KUTOĞLU (BEUN, 2008)
• Dengeleme Hesabı Ders Notları, Temel
BAYRAK (Gümüşhane, 2011)
Download

Dengeleme Hesabı 1