DENGELEME HESABI-II
DERS NOTLARI
Jeodezik Ağların Dengelenmesi
Doç. Dr. Temel BAYRAK
2011 - GÜMÜŞHANE
DENGELEME HESABI-II
DERS NOTLARI
Jeodezik Ağların Dengelenmesi
© Bu kitabın her hakkı saklıdır. Yazarın yazılı izni olmaksızın kitabın tamamı
veya herhangi bir bölümü hiçbir şekilde çoğaltılıp yayınlanamaz.
Doç. Dr. Temel BAYRAK
Yazar adresi:
Gümüşhane Üniversitesi
Mühendislik Fakültesi
Harita Mühendisliği Bölümü
Bağlarbaşı Mahallesi
29100 GÜMÜŞHANE
E-mail: [email protected]
Tel: +90 456 2337425 – 6 – 1230
2011 – GÜMÜŞHANE
ISBN: 978-605-61712-1-5
ÖNSÖZ
Dengeleme Hesabı-II ders notu niteliğindeki bu kitap Harita Mühendisliği Bölümü
öğrencilerinin kaynak ihtiyacını gidermek üzere hazırlanmıştır. Bu kitabın öğrenciler için bir
ders aracı olması ana amaç olarak benimsenmiştir. Konular kendiliğinden öğrenmeye uygun
bir biçimde ele alınmış ve kitapta yeterli sayıda uygulama verilmeye çalışılmıştır.
Kitabın yararlı olmasını temenni ederim.
Doç. Dr. Temel BAYRAK
Gümüşhane 2011
İÇİNDEKİLER
İçindekiler
Sayfa No
1.
GİRİŞ
1
2.
DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
1
3.
DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN
13
İNDİRGENMESİ
4.
DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ
18
5.
KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
30
6.
DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
37
7.
NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
45
8.
TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
56
8.1.
Düşey Açılarla Dengeleme
57
8.2.
Yükseklik Farklarına Göre Dengeleme
64
9.
GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
72
10.
GPS NİVELMANI
83
11.
SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
90
12.
MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ
101
13.
İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
105
1. GİRİŞ
2. DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
Matris formatında Fonksiyonel Model
v = A⋅ x − 
 v1   a1
 v  a
 2 =  2
⋅ ⋅ ⋅  ⋅
  
 vn  an
b1
c1
b2
c2
⋅
bn
⋅
cn
⋅  dx    1 
⋅  dy   2 
⋅
−
⋅  ⋅   
    
⋅ du   n 
n ölçü sayısı, mi gözlemlerin duyarlıkları ve rij =
mij
mi ⋅ m j
korelasyon katsayısı olmak üzere
korelasyonlu ve duyarlıkları (ağırlıkları) farklı olan ölçüler için genel bir Varyans-Kovaryans
matrisi aşağıdaki gibi kurulabilir.
 m12

m12
K  =  m13

 ⋅
m
 1n
m12
m22
m23
⋅
m2 n
m13 ⋅ m1n 

m23 ⋅ m2 n 
m32 ⋅ m3n 

⋅ ⋅ ⋅ 
m3n ⋅ mn2 

m12 r12 ⋅ m1 ⋅ m2 r13 ⋅ m1 ⋅ m3

m22 r23 ⋅ m2 ⋅ m3
 r12 ⋅ m1 ⋅ m2
K  =  r13 ⋅ m1 ⋅ m3 r23 ⋅ m2 ⋅ m3
m32

⋅
⋅
⋅

r ⋅ m ⋅ m r ⋅ m ⋅ m r ⋅ m ⋅ m
 1n 1 n 2 n 2 n 3n 3 n
mij = rij ⋅ mi ⋅ m j
⋅ r1n ⋅ m1 ⋅ mn 

⋅ r2 n ⋅ m2 ⋅ mn 
⋅ r3n ⋅ m3 ⋅ mn 

⋅
⋅
mn2 
⋅
Ölçülerin Q  ters ağırlık matrisi ( s02 : öncül varyans olmak üzere)
K  = s02 ⋅ Q 
Q  =
K 
s02
1
q13 ⋅ q1n 
 m12

q23 ⋅ q2 n 
m12
1 
q33 ⋅ q3n  = 2 ⋅  m13
 s0 
⋅ ⋅ ⋅ 
 ⋅
m
qn 3 ⋅ qnn 
 1n
 q11 q12
q
 21 q22
Q  =  q31 q32

⋅
 ⋅
 qn1 qn 2
p12
p22
p32
⋅
pn 2
p13 ⋅
p23 ⋅
p33 ⋅
⋅ ⋅
pn 3 ⋅
m23
⋅
m2 n
−1
Ölçülerin ağırlık matrisi
 p11
p
 21
−1
p  = Q  =  p31

 ⋅
 pn1
m12
m22
p  = Q 
m13 ⋅ m1n 

m23 ⋅ m2 n 
m32 ⋅ m3n 

⋅ ⋅ ⋅ 
m3n ⋅ mn2 
(Stokastik Model)
p1n 
p2 n 
p3n 

⋅ 
pnn 
Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu
−1
v Q  v = v p v = min
T
T
Matris formatında Normal denklemler
A p A ⋅ x − A p = 0


T
T
N
n
Normal Denklem Katsayılar matrisi
N=A pA
Bilinmeyenler Vektörü
x
Sabit terimler
n= A p
T
T
•
Normal denklemler simetriktir.
•
Denklem sayısı bilinmeyen sayısı kadardır.
Normal Denklemlerin Çözümü ve Bilinmeyenlerin Hesabı
−1
(
x = N ⋅n = A ⋅ p⋅ A
T
) ⋅ (A
−1
T
⋅ p⋅
)
bilinmeyenler çözülmüş olur.
2
Bilinmeyenlerin Kesin Değeri
Bilinmeyenlerin yaklaşık değerlerine normal denklemlerin çözümünden elde edilen
dengeleme bilinmeyenleri eklenerek bilinmeyenlerin kesin değerleri elde edilmiş olur.
Bilinmeyenlerin kesin değeri = Bilinmeyenlerin yaklaşık değeri + Dengeleme bilinmeyenleri
x = x0 + dx
 x   x0  dx 
 y   y  dy 
  =  0 +  
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 
     
u  u0  du 
y = y0 + dy
⋅⋅⋅
u = u0 + du
Düzeltmelerin Hesabı
Elde edilen dx, dy, dz,⋅ ⋅ ⋅, du dengeleme bilinmeyenleri, düzeltme denklem eşitliklerinde
yerine konarak düzeltmelerin sayısal değerleri elde edilir.
v = A⋅ x − 
 v1   a1
v   a
 2 =  2
⋅ ⋅
  
v n   a n
b1
b2
c1
c2
⋅
bn
⋅
cn
⋅  dx    1 
⋅  dy   2 
⋅
−
⋅  ⋅   ⋅ 
    
⋅ du   n 
Düzeltmelerin Denetimi
A pv = 0
T
v p v = − p v
T
T
v pv =  p − n x
T
T
T
3
Dengeli ölçüler
Düzeltmeler ölçülere eklenerek dengeli ölçüler hesaplanır. Bu değerler doğrusal olmaları
gerekmeyen ilk düzeltme denklemlerinde yerine konarak aşağıdaki şartı sağladıkları
denetlenir. Bu işlem dengeleme işlemlerinin tümünün hesap hatalarından arındırılmış
olduğunu gösterir.
ˆ =  + v
i
i
i
 ˆ 1    1   v1 
ˆ     
 2  =  2  + v 2 
⋅ ⋅ ⋅
     
ˆ
 n   n  vn 
Li + vi = φi ( x0 + dx, y0 + dy, z0 + dz ,..., u0 + du )
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v pv
n−u
f = n-u fazla ölçü sayısı (serbestlik derecesi)
n: ölçü sayısı
u: bilinmeyen sayısı
Karesel ortalama hata (KOH)
Duyarlıkları farklı gözlemlerin ortalama hatası (standart sapması)
Ortalama hata
Ağırlığı p = 1 olan ölçünün ortalama hatası
Birim ağırlıklı ölçünün standart sapması
RMS (Root Mean Square)
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
qxx
q
−1
T
Q xx = A ⋅ p ⋅ A =  xy
 qxz

 ⋅
(
)
qxy
q yy
q yz
qxz
q yz
qzz
⋅
⋅
⋅
⋅ Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
⋅

⋅
4
Bilinmeyenlerin ortalama hataları
mx = ± m0 q xx
mz = ± m0 q zz
m y = ± m0 q yy
Ölçülerin Ortalama Hatası
Ölçülerin ters ağırlık matrisinden
q13 ⋅ q1n 
q23 ⋅ q2 n 
q33 ⋅ q3n 

⋅ ⋅ ⋅ 
qn 3 ⋅ qnn 
 q11 q12
q
 21 q22
Q  = q31 q32

⋅
 ⋅
qn1 qn 2
Ölçülerin ağırlık matrisinden
 p11
p
p  =  12
 p13

 ⋅
p12
p13
p22
p23
p23
p33
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅

⋅
m i = ± m0 ⋅ Q  
i i
−1
p  = Q 
m i = ±
m0
pii
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A
T
mˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
i
Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
i i
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
5
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
i i
Not: Q vv matrisi kaba hatalı ya da uyuşumsuz ölçülerin araştırılmasında kullanılır.
Örnek: Aşağıda matris formatında bir fonksiyonel model verilmiştir.
Bu modele ait
Stokastik model için veriler tabloda verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata s0 = ± 1.6 mm
olduğuna göre, duyarlıkları farklı olan bu ölçüleri dolaylı ölçüler yöntemine göre
dengeleyiniz.
m1 = ± 0.94 mm
m2 = ± 0.69 mm
m3 = ± 0.90 mm
0.9979
 1.58
 v1  − 0.0639
v  = − 0.9902 − 0.1398 ⋅  dx  − − 3.26
 dy  

 2 
v3   0.9747
0.2232    5.99
Dengeleme kararının verilmesi
Ölçü sayısı n = 3
Bilinmeyen sayısı u = 2
Serbestlik derecesi = fazla ölçü sayısı = f = n – u = 1 > 0 dengeleme var.
Stokastik model Ağırlıklar farklı ve korelasyon var
K 

m12

= r12 ⋅ m1 ⋅ m2
 r13 ⋅ m1 ⋅ m3

r13 ⋅ m1 ⋅ m3 

r23 ⋅ m2 ⋅ m3 
m32 
r12 ⋅ m1 ⋅ m2
m22
r23 ⋅ m2 ⋅ m3

0.94 2 0.8 ⋅ 0.94 ⋅ 0.69 0.8 ⋅ 0.94 ⋅ 0.90


K  = 0.8 ⋅ 0.94 ⋅ 0.69
0.69 2 0.8 ⋅ 0.69 ⋅ 0.90
0.8 ⋅ 0.94 ⋅ 0.90 0.8 ⋅ 0.69 ⋅ 0.90
0.90 2 

0.8836 0.5189 0.6768
K  = 0.5189 0.4761 0.4968
0.6768 0.4968 0.8100
K  = s02 ⋅ Q 
Q  =
K 
m02
6
rij = 0.8
0.8836 0.5189 0.6768
1 
Q  = 2 ⋅ 0.5189 0.4761 0.4968
1.6
0.6768 0.4968 0.8100
0.3452 0.2027 0.2644
Q  = 0.2027 0.1860 0.1941
0.2644 0.1941 0.3164
a1 j
a2 j
a3 j
e1 j
e2 j
e3 j
0.3452
0.2027
0.2644
1
0
0
-1
-0.5872
-0.7659
-2.8969
0
0
0.1860
0.1941
0
1
0
0.0670
0.0388
-0.5872
1
0
-1
-0.5800
8.7673
-14.9309
0
0.3164
0
0
1
0.0914
-0.4254
-0.5800
1
-1
4.5660
6.3487
-10.9460
-10.0255
6.0669
4.6560
− p  =
-18.6130
6.3487
-10.9460
 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
p  = Q  =  − 6.0669 18.6130 − 6.3487 
− 4.6560 − 6.3487 10.9460
−1
Normal Denklemlerinin kurulması ve çözümü
p
 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
 − 6.0669 18.6130 − 6.3487 


− 4.6560 − 6.3487 10.9460
− 0.0639 − 0.9902 0.9747 
 0.9979 − 0.1398 0.2232


T
A
 0.8343 − 24.2240 17.2408
9.8177 − 10.0771 − 1.3171


A ⋅p
T
7
 0.8343 − 24.2240 17.2408
9.8177 − 10.0771 − 1.3171


A

0.9979
− 0.0639
− 0.9902 − 0.1398


 0.9747
0.2232
 1.58
− 3.26


 5.99
40.7380 8.0672
 8.0672 10.9118


183.5611
 40.4737 


n = A p
N = A pA
A ⋅p
T
T
T
a1 j
a2 j
e1 j
e2 j
40.7380
8.0672
1
0
-1
-0.1980
-0.0245
0
10.9118
0
1
9.3143
-0.1980
1
-1
0.0213
-0.1074
-0.0288
0.0213
− Q xx =
-0.1074
183.5611
T
n = A p = 

 40.4737 
 0.0288 − 0.0213
Q xx = N −1 = 
0.1074
− 0.0213
 dx  4.42
x= =
 mm
dy  0.44
Bilinmeyenlerin Kesin Değeri
 x   x0   dx 
 y  =  y  + dy 
   0  
Düzeltmelerin Hesabı v = A ⋅ x − 
4.42
x=

0.44
0.9979
− 0.0639

A = − 0.9902 − 0.1398
 0.9747
0.2232
− 1.42
− 1.18


− 1.58
 0.16  1.58
− 4.44 − − 3.26

 

 4.41  5.99
A⋅ x
v = A⋅ x − 

8
Düzeltmelerin Denetimi
p
v
− 1.42
 − 1.18


 − 1.58
 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
 − 6.0669 18.6130 − 6.3487 


− 4.6560 − 6.3487 10.9460
− 0.0639 − 0.9902 0.9747 
 0.9979 − 0.1398 0.2232


0.00
AT pv = 

0.00
T
A
p
v
− 1.42
− 1.18


− 1.58
 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
 − 6.0669 18.6130 − 6.3487 


− 4.6560 − 6.3487 10.9460
vT = [− 1.42 − 1.18 − 1.58]
v p v = [8.57]
T
v p v = − p v
T
T
p
v
− 1.42
− 1.18


− 1.58
 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
 − 6.0669 18.6130 − 6.3487 


− 4.6560 − 6.3487 10.9460
− T pv = [8.57]
−  = [1.58 − 3.26 5.99]
T
v pv =  p − n x
T
T
p

 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
 − 6.0669 18.6130 − 6.3487 


− 4.6560 − 6.3487 10.9460
 1.58
− 3.26


 5.99
T
−  = [1.58 − 3.26 5.99]
− T p =
T
4.42
x=

0.44
n = [183.5611 40.4737]
T
n x=
T
9
Dengeli ölçüler
ˆ =  + v
i
i
i
 ˆ 1    1   v1 
ˆ     
 2  =  2  + v 2 
ˆ    v 
 3  3  3
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v pv
n−u
=±
8.57
= ±2.93 mm
3− 2
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
 0.0288 − 0.0213
Q xx = N −1 = 
0.1074
− 0.0213
Bilinmeyenlerin ters ağırlık matrisi
mx = ± m0 qxx = ±2.93 0.0288 = ±0.50 mm
Bilinmeyenlerin ortalama hataları
my = ± m0 q yy = ±2.93 0.1074 = ±0.96 mm
Ölçülerin Ortalama Hatası
 10.0255 − 6.0669 − 4.6560
p =  − 6.0669 18.6130 − 6.3487
− 4.6560 − 6.3487 10.9460
m 1 = ±
m0
2.93
=±
= ±9.28 mm
p1
10.0255
m 2 = ±
m0
2.93
=±
= ±12.64 mm
p2
18.6130
m 3 = ±
m0
2.93
=±
= ±9.69 mm
p3
10.9460
m i = ±
10
m0
pi
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A
T
Dengeli ölçülerin kovaryans matrisi
Q xx = N
−1
 0.0288 − 0.0213
− 0.0213
0.1074

T
A
− 0.0639 − 0.9902 0.9747 
 0.9979 − 0.1398 0.2232


0.9979
− 0.0639
− 0.9902 − 0.1398


 0.9747
0.2232
0.0077
0.0017 
0.1097
0.0077
0.0244 − 0.0235

0.0234
0.0017 − 0.0235
A
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A
T
mˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
i
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
i i
mˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ = ±2.93 ⋅ 0.1097 = ±0.97 mm
1
1 1
mˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ
2 2
mˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ
3 3
2
3
ˆ
= ±2.93 ⋅ 0.0244 = ±0.46 mm
ˆ
= ±2.93 ⋅ 0.0234 = ±0.45 mm
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
0.0077
0.0017
0.3452 0.2027 0.2644 0.1097
Q vv = 0.2027 0.1860 0.1941 − 0.0077
0.0244 − 0.0235
0.2644 0.1941 0.3164 0.0017 − 0.0235
0.0234
0.2354 0.1950 0.2626
Q vv = 0.1950 0.1616 0.2176
0.2626 0.2176 0.2930
11
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
i i
mv1 = ± m0 ⋅ Q v v = ±2.93 ⋅ 0.2354 = ±1.42 mm
1 1
mv2 = ± m0 ⋅ Q v v = ±2.93 ⋅ 0.1616 = ±1.18 mm
2 2
mv3 = ± m0 ⋅ Q v v = ±2.93 ⋅ 0.2930 = ±1.58 mm
3 3
12
3. DOĞRULTU AĞINDA YÖNELTME BİLİNMEYENLERİNİN İNDİRGENMESİ
Bir denklem sistemindeki denklemlerin boyutları büyüdükçe, denklemlerin kurulması ve
çözümü için harcanacak zaman denklem boyutlarının küpü ile orantılı olarak artar. Bu
nedenle normal denklemler çözülmeden önce bilinmeyenlerden bir tanesinin bile yok edilmesi
hatırı sayılır bir zaman kazancı sağlar. Bilinmeyenlerin yok edilmesi için çok farklı yöntemler
mevcuttur. Haritacılık uygulamalarında en yaygın olanı Gauss Toplam Denklem Yöntemidir.
Bu yöntemde şart, düzeltme denklemlerinde yok edilecek bilinmeyenin katsayısı bütün
düzeltme denklemlerinde aynı olmalıdır. Doğrultu ağlarında yok edilmek istenen yöneltme
bilinmeyenlerinin katsayıları eşittir. Ayrıca doğrultu ağlarında genellikle her doğrultu için
ağırlıklar eşit olarak alınır. Ağırlıkları eşit düzeltme denklemleri aşağıdaki gibi olsun. Burada
z bilinmeyeni yok edelim.
v1 = a1 x + b1 y + cz −  1
v2 = a2 x + b2 y + cz −  2
⋅⋅⋅
vn = an x + bn y + cz −  n
[v] = [a]x + [b]y + n ⋅ c ⋅ z − [] = 0
Her iki tarafı − n ye bölelim. Burada n sistemdeki
denklem sayısıdır.
−
[a ] x − [b] y − n ⋅ c ⋅ z − [] = 0
n
n
n
n
Bu denklemin katsayılarını düzeltme denklemlerinde yerine yazalım.
[a ]   [b] 
[] 


v1 =  a1 −  x +  b1 −  y + (c − c )z −   1 − 
n  
n 
n


[] 
[a ]   [b] 


v2 =  a2 −  x +  b2 −  y + (c − c )z −   2 − 
n  
n 
n


⋅⋅⋅
[] 
[a ]   [b] 


vn =  an −  x +  bn −  y + (c − c )z −   n − 
n  
n
n


13
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
v1 = a1' x + b1' y −  1'
v2 = a2' x + b2' y −  '2
⋅⋅⋅
vn = an' x + bn' y −  'n
Bu yeni denklem sisteminde aşağıdaki kontroller sağlanmalıdır.
[a ] = 0
'
[b ] = 0
'
[]
− ' = 0
Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki z bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem yöntemiyle
yok ediniz ve yeni denklem sistemini v = A ⋅ x −  matris gösterimi şeklinde yazınız.
v1 = 2 x + y − z − 1
v2 = x + y − z + 2
v3 = x − y − z − 2
v4 = 3 x + 2 y − z + 3
[v] = [a]x + [b]y + n ⋅ c ⋅ z − [] = 0
Burada n = 4 ve c = −1 ( z bilinmeyeninin katsayısı)
7x + 3y − 4z + 2 = 0
Yukarıdaki denklemi − n = −4 e bölelim.
−
7
−4
3
2
x− y−
z− =0
4
4
4
4
14
−
7
3
1
x− y+z− =0
4
4
2
− 1.75 x − 0.75 y + z − 0.5 = 0
v1 = (2 − 1.75) ⋅ x + (1 − 0.75) ⋅ y + (− 1 + 1) ⋅ z + (− 1 − 0.5)
v2 = (1 − 1.75) ⋅ x + (1 − 0.75) ⋅ y + (− 1 + 1) ⋅ z + (2 − 0.5)
v3 = (1 − 1.75) ⋅ x + (− 1 − 0.75) ⋅ y + (− 1 + 1) ⋅ z + (− 2 − 0.5)
v4 = (3 − 1.75) ⋅ x + (2 − 0.75) ⋅ y + (− 1 + 1) ⋅ z + (3 − 0.5)
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
v1 = 0.25 ⋅ x + 0.25 ⋅ y − 1.5
v2 = −0.75 ⋅ x + 0.25 ⋅ y + 1.5
v3 = −0.75 ⋅ x − 1.75 ⋅ y − 2.5
v4 = 1.25 ⋅ x + 1.25 ⋅ y + 2.5
Denklem sistemini v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
0.25
 v1   0.25
 1.5
v  − 0.75

0.25  x   − 1.5
 2 = 
⋅
−
v3  − 0.75 − 1.75  y   2.5
  



1.25
− 2.5
v 4   1.25
Kontrol
[a ] = 0.25 − 0.75 − 0.75 + 1.25 = 0
[b ] = 0.25 + 0.25 − 1.75 + 1.25 = 0
− [ ] = −1.5 + 1.5 − 2.5 + 2.5 = 0
'
'
'
15
Örnek: Aşağıdaki denklem sistemindeki
dz bilinmeyenini Gauss Toplam Denklem
yöntemiyle yok ediniz ve yeni denklem sistemini v = A ⋅ x −  matris gösterimi şeklinde
yazınız.
v1 = −dz − 10
v2 = −dz − 20.65 ⋅ dx21 + 5.12 ⋅ dy21 + 5
v3 = −dz − 21.69 ⋅ dx22 + 1.64 ⋅ dy22 − 4
Öncelikle bu denklemleri düzenleyelim.
v1 = 0 ⋅ dx21 + 0 ⋅ dy21 + 0 ⋅ dx22 + 0 ⋅ dy22 − dz − 10
v2 = −20.65 ⋅ dx21 + 5.12 ⋅ dy21 + 0 ⋅ dx22 + 0 ⋅ dy22 − dz + 5
v3 = 0 ⋅ dx21 + 0 ⋅ dy21 − 21.69 ⋅ dx22 + 1.64 ⋅ dy22 − dz − 4
[v] = [a ]⋅ dx21 + [b]⋅ dy21 + [c]⋅ dx22 + [d ]⋅ dy22 + n ⋅ e ⋅ dz − [] = 0
Burada n = 3 ve e = −1 ( dz bilinmeyeninin katsayısı)
− 20.65 ⋅ dx21 + 5.12 ⋅ dy21 − 21.69 ⋅ dx22 + 1.64 ⋅ dy22 − 3 ⋅ dz − 9 = 0
Yukarıdaki denklemi − n = −3 e bölelim.
6.88 ⋅ dx21 − 1.71 ⋅ dy21 + 7.23 ⋅ dx22 − 0.55 ⋅ dy22 + dz + 3 = 0
v1 = (0 + 6.88) ⋅ dx21 + (0 − 1.71) ⋅ dy21 + (0 + 7.23) ⋅ dx22 + (0 − 0.55) ⋅ dy22 + (−1 + 1) ⋅ dz + (−10 + 3)
v2 = (−20.65 + 6.88) ⋅ dx21 + (5.12 − 1.71) ⋅ dy21 + (0 + 7.23) ⋅ dx22 + (0 − 0.55) ⋅ dy22 + (−1 + 1) ⋅ dz + (5 + 3)
v3 = (0 + 6.88) ⋅ dx21 + (0 − 1.71) ⋅ dy21 + (−21.69 + 7.23) ⋅ dx22 + (1.64 − 0.55) ⋅ dy22 + (−1 + 1) ⋅ dz + (−4 + 3)
z bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
v1 = 6.88 ⋅ dx21 − 1.71 ⋅ dy21 + 7.23 ⋅ dx22 − 0.55 ⋅ dy22 − 7
v2 = −13.77 ⋅ dx21 + 3.41 ⋅ dy21 + 7.23 ⋅ dx22 − 0.55 ⋅ dy22 + 8
v3 = 6.88 ⋅ dx21 − 1.71 ⋅ dy21 − 14.46 ⋅ dx22 + 1.09 ⋅ dy22 − 1
16
Denklem sistemini v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 dx 
7.23 − 0.55  21   7 
 v1   6.88 − 1.71
 ⋅  dy 21  − − 8
v  = − 13.77
−
3
.
41
7
.
23
0
.
55
2
  dx   
  
v3   6.88 − 1.71 − 14.46
1.09  22   1
dy 22 
Kontrol
[a ] = 6.88 − 13.77 + 6.88 = 0
[b ] = −1.71 + 3.41 − 1.71 = 0
[c ] = 7.23 + 7.23 − 14.46 = 0
[b ] = −0.55 − 0.55 + 1.09 = 0
− [ ] = 7 − 8 + 1 = 0
'
'
'
'
'
17
4. DOĞRULTU AĞLARININ DENGELENMESİ
X
Sıfır doğrultusu
P2 ( x2 , y2 )
z1
r12
t12
r12 + v12
t12
x2 − x1
s12
Y
y2 − y1
P1 ( x1 , y1 )
t12 : P1 ve P2 noktaları arasındaki semt (P1P2 )
r12 : P1 den P2 ye ölçülen doğrultu
z1 : P1 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz semtin kendisidir. Fonksiyonel modeli
Semt için yazalım.
 y − y1 

t12 = r12 + v12 + z1 = arctan 2
 x2 − x1 
 y − y1 

r12 + v12 = − z1 + arctan 2
 x2 − x1 
Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin
yaklaşık değerlerini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım.
z1 = z10 + dz1
x1 = x10 + dx1
x2 = x20 + dx2
y1 = y10 + dy1
y1 = y10 + dy1
18
0
0
0
0
 ∂t 
 ∂t 
 ∂t 
 y 0 − y10   ∂t12 
 dx1 +  12  dy1 +  12  dx2 +  12  dy2 = 0
 + 
r12 + v12 = −dz1 − z + arctan 20
0 
x2 − x1   ∂x1 
 ∂y2 
 ∂x2 
 ∂y1 



0
1
0
t12
′
′
(−1) ⋅ − y20 − y10
− x20 − x10 ⋅ y20 − y10
 y 20 − y10 
 0

2
2
0 
x − x1 
x20 − x10
x20 − x10
=  2
=
=
2
2
2
y20 − y10 + x20 − x10
y20 − y10
 y 0 − y10 
1
+

1 +  20
2
2
0 
x20 − x10
x20 − x10
 x2 − x1 
(
 ∂t12 


 ∂x1 
0
(
0
(
)
) (
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
) (
)
)
)
)
2
=
(y − y )
(y − y )
=
(y − y ) + (x − x ) (s )
0
2
0
2
0 2
1
0
1
0
2
0
2
0
1
0 2
1
0
12
=−
(x − x )
(s )
( )
 ∂t 
y 0 − y 0 1 sin t120
a12 =  12  = 2 0 1 ⋅ 0 =
s12
s12
s120
 ∂x1 
200
⋅ 10000
sin t120
π
a12 =
⋅
s120
100
( )
 ∂t12 


 ∂y1 
cc
cm
′
′
(−1) ⋅ x20 − x10
y 20 − y10 ⋅ x20 − x10
 y 20 − y10 
 0

2
2
0 
x −x
x20 − x10
x20 − x10
=  2 1  2 =
=
2
2
y20 − y10 + x20 − x10
y20 − y10
 y 0 − y10 
1
+

1 +  20
2
2
0 
x20 − x10
x20 − x10
 x2 − x1 
(
0
birim =
(
0
)
(
) (
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
) (
)
)
)
)
2
=−
(x − x )
(y − y ) + (x − x )
0
2
0
2
0 2
1
( )
 ∂t 
x0 − x0 1
cos t120
b12 =  12  = − 2 0 1 ⋅ 0 = −
s12
s12
s120
 ∂y1 
200
⋅ 10000
cos t120
π
b12 = −
⋅
s120
100
( )
0
birim =
cc
cm
( )
 ∂t 
sin t 0
− a12 =  12  = − 0 12
s12
 ∂x2 
0
( )
 ∂t  cos t120
− b12 =  12  =
s120
 ∂y1 
Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.
19
0
1
0
2
0 2
1
0
2
0
1
0 2
12
2
0
0
0
0
 ∂t 
 ∂t 
 ∂t 
 y 0 − y10   ∂t12 
 dx1 +  12  dy1 +  12  dx2 +  12  dy2 = 0
 + 
r12 + v12 = −dz1 − z + arctan 20
0 
x2 − x1   ∂x1 
 ∂y2 
 ∂x2 
 ∂y1 



0
1
0
t12
v12 = −dz1 + a12 ⋅ dx1 + b12 ⋅ dy1 − a12 ⋅ dx2 − b12 dy2 + t120 − r12 − z10 = 0
−  12 = t120 − r12 − z10
Olmak üzere doğrusallaştırılmış düzeltme denklemi (Fonksiyonel Model) aşağıdaki gibi yazılabilir.
v12 = − dz1 + a12 ⋅ dx1 + b12 ⋅ dy1 − a12 ⋅ dx2 − b12 ⋅ dy2 −  12
Stokastik Model: Doğrultu ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Ayrıca
doğrultu ölçülerinin ağırlıklarının eşit olduğu da farz edilir.
20
Örnek: Aşağıda verilmiş ağda doğrultu ölçülerine ait düzeltme denklemlerini v = A ⋅ x − 
formatında yazınız.
DN
108
NN
Y (m)
X(m)
Kesin Koordinatlar
765.499
8855.329
100
719.689
7969.933
107
342.246
8404.180
108
Yaklaşık Koordinatlar
21
632.630
8476.102
22
635.211
8426.244
23
638.765
8351.331
BN
100
21
22
23
107
Doğrultu
0.00000
36.57040
47.24520
63.26200
106.47780
100
r1
r2
21
108
r3
r4
22
r5
107
23
Ölçü sayısı
n=5
Bilinmeyen sayısı
u = 6+1 (3 koordinat çifti ve 1 yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 5-7<0
Dengeleme yok.
Koordinat bilinmeyenleri: dx21 , dy21 , dx22 , dy 22 , dx23 , dy 23
Bir yöneltme bilinmeyeni: dz (108 Noktasında doğrultu gözlemleri yapılmış)
21
 y 0 − y10 

t120 = arctan 20
0 
 x2 − x1 
s120 =
200
⋅ 10000
sin t120
a12 =
⋅ π
0
s12
100
( )
DN
108
BN
100
21
22
23
107
(y
0
2
) (
2
− y10 + x20 − x10
)
2
200
⋅ 10000
cos t120
b12 = −
⋅ π
s120
100
( )
z10 =
[t
Doğrultu
ri (g)
tik0 (g)
sik0 (m)
tik0 - ri
0.00000
36.57040
47.24520
63.26200
106.47780
47.96968
84.54332
95.21448
111.22866
154.44796
618.610
299.158
293.795
301.192
575.355
47.96968
47.97292
47.96928
47.96666
47.97016
0
ik
− r1
n
]
−  ik (cc)
0
tik0 - ri - z108
-0.6
31.8
-4.6
-30.8
4.2
aik
bik
cc / cm
cc / cm
7.0412
20.6562
21.6077
20.8088
7.2587
-7.5053
-5.1161
-1.6273
3.7088
8.3511
0
= 47.96974
z108
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
vik = −dzi + aik ⋅ dx1 + bik ⋅ dyi − aik ⋅ dxk − bik ⋅ dyk −  ik
v108−100
v108−21
v108−22
v108−23
v108−107
=
=
=
=
=
−
−
−
−
−
dz108
dz108
dz108
dz108
dz108
+ 7.0412 ⋅ dx108
+ 20.6562 ⋅ dx108
+ 21.6077 ⋅ dx108
+ 20.8088 ⋅ dx108
+ 7.2587 ⋅ dx108
−
−
−
+
+
7.5053
5.1161
1.6273
3.7088
8.3511
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
dy108
dy108
dy108
dy108
dy108
− 7.0412 ⋅ dx100
− 20.6562 ⋅ dx21
− 21.6077 ⋅ dx22
− 20.8088 ⋅ dx23
− 7.2587 ⋅ dx107
+
+
+
−
−
7.5053
5.1161
1.6273
3.7088
8.3511
⋅ dy100
⋅ dy 21
⋅ dy 22
⋅ dy 23
⋅ dy107
− 0.6
+ 31.8
− 4.6
− 30.8
+ 4.2
100, 107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
v108−100
v108−21
v108−22
v108−23
=
=
=
=
−
−
−
−
v108−107
= − dz108
dz108
dz108
dz108
dz108
− 20.6562
− 21.6077
− 20.8088
−
⋅
⋅
⋅
dx21
dx22
dx23
+ 5.1161 ⋅
+ 1.6273 ⋅
− 3.7088 ⋅
dy21
dy22
dy23
− 0.6
+ 31.8
− 4.6
− 30.8
4.2
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim.
v108−100
v108−21
v108−22
v108−23
v108−107
=
=
=
=
=
Toplam
dz108
−1
−1
−1
−1
−1
-5
1
−
dx21
dy21
dx22
dy22
dx23
dy23
0
0
0
0
0
0
− 0.6
0
0
0
0
− 20.6562 5.1161
+ 31.8
0
0
0
0
− 21.6077 1.6273
− 4.6
0
0
0
0
− 20.8088 − 3.7088 − 30.8
0
0
0
0
0
0
+ 4.2
-20.6562 5.1161 -21.6077 1.6273
4.1312 -1.0232
-20.8088 -3.7088
4.3215 -0.3255
4.1618
22
0.7418
0.00
0.00
n = 5 -n = -5 e bölelim
Yöneltme bilinmeyeni denklemi
1 ⋅ dz108 + 4.1312 ⋅ dx21 − 1.0232 ⋅ dy 21 + 4.3215 ⋅ dx22 − 0.3255 ⋅ dy 22 + 4.1618 ⋅ dx23 + 0.7418 ⋅ dy 23 = 0
Bu denklem sistemindeki dz108 yöneltme bilinmeyeninin katsayıları -1 dir. Bu bilinmeyen
dengeleme hesabı işlemine geçilmeden önce Gauss Toplam Denklem yöntemi ile
indirgenmelidir. Yukarıdaki düzeltme denklemlerinden dz108 yöneltme bilinmeyeninin yok
edilmiş halini aşağıya yazalım.
4.3215
− 1.0232
4.0929
4.3215
− 1.0232 − 17.2861
4.3215
− 1.0232
4.3215
− 1.0232
v108−100   4.1312
 
v
 108−21  − 16.5250
 v108−22  =  4.1312
 

 v108−23   4.1312
v108−107   4.1312
 dx21 
4.1618
0.7418 
− 0.3255
 0.6
dy21  
4.1618
0.7418 
− 31.8
− 0.3255
dx22  
1.3019
4.1618
0.7418 ⋅ 
 −  4.6

 dy22  
30.8
− 0.3255 − 16.6470 − 2.9670
 dx23  
4.1618
0.7418 
− 0.3255
  − 4.2
 dy23 
Örnek: Aşağıda verilmiş doğrultu ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
DN
108
NN
Y (m)
X(m)
Kesin Koordinatlar
719.689
7969.933
107
342.246
8404.180
108
Yaklaşık Koordinatlar
23
638.765
8351.331
107
23
r1
108
Doğrultu
0.00000
43.21580
0.00000
32.24480
0.00000
124.53835
BN
23
107
108
23
107
108
r6
23
r5
r2
r3
r4
107
Ölçü sayısı
n=6
Bilinmeyen sayısı
u = 2+3 (1 koordinat çifti ve 3 yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 6-5>0
Dengeleme var.
23
Koordinat bilinmeyenleri: dx23 , dy 23
Üç yöneltme bilinmeyeni: dz23 , dz107 , dz108
(23, 107 ve 108 noktalarında doğrultu gözlemleri yapılmış)
 y 0 − y10 

t120 = arctan 20
0 
 x2 − x1 
s120 =
200
⋅ 10000
sin t120
π
a12 =
⋅
0
s12
100
( )
DN
108
23
107
0
2
) (
2
− y10 + x20 − x10
200
⋅ 10000
cos t120
π
b12 = −
⋅
0
s12
100
( )
Doğrultu
ri (g)
BN
(y
0.00000
43.21580
)
2
z10 =
[t
0
ik
tik0 (g)
sik0 (m)
tik0 - ri
111.22866
154.44796
301.192
575.355
111.22866
111.23216
− r1
n
]
−  ik (cc)
0
tik0 - ri - z108
-18
18
aik
bik
cc / cm
cc / cm
20.8088
7.2587
3.7088
8.3511
0
z108
= 111.23041
108 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım
v108−23
v108−107
= − dz108
= − dz108
+ 20.8088 ⋅ dx108
+ 7.2587 ⋅ dx108
+ 3.7088 ⋅ dy108
+ 8.3511 ⋅ dy108
− 20.8088 ⋅ dx23
− 7.2587 ⋅ dx107
− 3.7088 ⋅ dy 23
− 8.3511 ⋅ dy107
− 18
+ 18
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.
v108−23
v108−107
= − dz108
= − dz108
Toplam
− 20.8088 ⋅ dx23
+
⋅ dx23
0
− 3.7088 ⋅ dy 23
+
⋅ dy 23
0
− 18
+ 18
-2
- 20.8088
-3.7088
0.00
1
10.4044
1.8544
0.00
n = 2 -n = -2
ye bölelim
108 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi
1 ⋅ dz108 + 10.4044 ⋅ dx 23 + 1.8544 ⋅ dy 23 = 0
Düzeltme denklemlerinden dz108 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya
yazalım.
v108−23
v108−107
= − 10.4044 ⋅ dx23
= + 10.4044 ⋅ dx23
− 1.8544 ⋅ dy23
+ 1.8544 ⋅ dy23
− 18
+ 18
24
DN
107
Doğrultu
ri (g)
BN
108
23
0.00000
32.24480
tik0 (g)
sik0 (m)
tik0 - ri
−  ik (cc)
0
ik
0
107
t - ri - z
354.44796
386.68977
575.355
389.889
354.44796
354.44497
15
-15
aik
bik
cc / cm
cc / cm
-7.2587
-3.3890
-8.3511
-15.9727
0
z107
= 354.44647
107 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım
v107−108
v107−23
= − dz107
= − dz107
− 7.2587 ⋅ dx107
− 3.3890 ⋅ dx107
−
8.3511 ⋅ dy107
− 15.9727 ⋅ dy107
+ 7.2587 ⋅ dx108
+ 3.3890 ⋅ dx23
+
8.3511 ⋅ dy108
+ 15.9727 ⋅ dy 23
+ 15
− 15
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.
v107−108
v107−23
= − dz107
= − dz107
Toplam
+
0
⋅ dx23
+ 3.3890 ⋅ dx23
+
0
⋅ dy23
+ 15.9727 ⋅ dy23
+ 15
− 15
-2
3.3890
15.9727
0.00
1
-1.6945
-7.9863
0.00
n = 2 -n = -2
ye bölelim
107 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi
1 ⋅ dz107 − 1.6945 ⋅ dx23 − 7.9863 ⋅ dy 23 = 0
Düzeltme denklemlerinden dz107 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya
yazalım.
v107−108
v107−23
= − 1.6945 ⋅ dx23
= + 1.6945 ⋅ dx23
DN
BN
23
107
108
− 7.9863 ⋅ dy 23
+ 7.9863 ⋅ dy 23
+ 15
− 15
Doğrultu
ri (g)
tik0 (g)
sik0 (m)
tik0 - ri
0.00000
124.53835
186.68977
311.22866
389.889
301.192
186.68977
186.69031
−  ik (cc)
0
tik0 - ri - z107
-3
3
aik
bik
cc / cm
cc / cm
3.3890
-20.8088
15.9727
-3.7088
0
z107
= 186.69004
23 numaralı noktadaki doğrultu gözlemleri için düzeltme denklemlerini yazalım
v23−107
v23−108
= − dz 23
= − dz 23
+ 3.3890 ⋅ dx23
− 20.8088 ⋅ dx23
+ 15.9727 ⋅ dy 23
− 3.7088 ⋅ dy 23
25
− 3.3890 ⋅ dx107
+ 20.8088 ⋅ dx108
− 15.9727 ⋅ dy107
+ 3.7088 ⋅ dy108
− 3
+ 3
107 ve 108 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden yazalım.
v23−107
v23−108
= − dz 23
= − dz 23
Toplam
+
3.3890 ⋅ dx23
− 20.8088 ⋅ dx23
+ 15.9727 ⋅ dy 23
− 3.7088 ⋅ dy 23
− 3
+ 3
-2
-17.4189
12.2639
0.00
1
8.7099
6.1319
0.00
n = 2 -n = -2
ye bölelim
23 noktasındaki yöneltme bilinmeyeni denklemi
1 ⋅ dz 23 + 8.7099 ⋅ dx23 + 6.1319 ⋅ dy 23 = 0
Düzeltme denklemlerinden dz23 yöneltme bilinmeyeninin yok edilmiş halini aşağıya yazalım.
v23−107
v23−108
= + 12.0989 ⋅ dx23
= − 12.0989 ⋅ dx23
+ 9.8407 ⋅ dy23
− 9.8407 ⋅ dy23
− 3
+ 3
− 1.8544 ⋅ dy23
+ 1.8544 ⋅ dy23
− 18
+ 18
Düzeltme denklemleri
v108−23
v108−107
= − 10.4044 ⋅ dx23
= + 10.4044 ⋅ dx23
v107−108
v107−23
= − 1.6945 ⋅ dx23
= + 1.6945 ⋅ dx23
− 7.9863 ⋅ dy 23
+ 7.9863 ⋅ dy 23
+ 15
− 15
v23−107
v23−108
= + 12.0989 ⋅ dx23
= − 12.0989 ⋅ dx23
+ 9.8407 ⋅ dy23
− 9.8407 ⋅ dy23
− 3
+ 3
Düzeltme denklemlerini v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 v108−23  − 10.4044 − 1.8544
 18
  10.4044
v

− 18
1.8544
 108−107  


v107−108   − 1.6945 − 7.9863  dx23  − 15
−
=


⋅
7.9863 dy 23   15
 v107−23   1.6945
 v23−107   12.0989
 3
9.8407
 




 − 3
 v23−108  − 12.0989 − 9.8407
515.0117 303.7773
T
N = A A=

 303.7773 328.1201
N = A A=
T
Q xx = N
−1
cm cc
⋅
= birimsiz
cc cm
− 249.1780
T
n= A =

 227.1338
n= A =
T
 0.0043 − 0.0040
=
0.0067 
− 0.0040
26
cm
⋅ cc = birimi cm
cc
 dx  − 2.0
x = Q xx ⋅ n =  23  = 

dy23   2.5
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
0
  dx23 
 x23   x23
 y  =  0  + dy 
 23   y23   23 
 x23  8351.331 − 2.0 8351.311
 y  =  638.765 +  2.5 =  638.790
 
 

 23  
Düzeltmeler
v = A⋅ x −  =
cc
⋅ cm − cc = birimi cc
cm
 v108−23  − 10.4044 − 1.8544
 18 − 1.75
  10.4044
v

− 18  1.75
1
.
8544
 108−107  

 


v107−108   − 1.6945 − 7.9863 − 2.0 − 15 − 1.75
−
=


=
⋅
7.9863  2.5  15  1.75
 v107−23   1.6945
 v23−107   12.0989
 3 − 1.75
9.8407 
 


 


 − 3  1.75
 v23−108  − 12.0989 − 9.8407 
Dengeli ölçüler
 rˆ1   r1   v108 − 23 

rˆ  r  v
 2   2   108 −107 
 rˆ3   r3  v107 −108 

 = +
rˆ4  r4   v107 − 23 
 rˆ5   r5   v23−107 

    
 rˆ6   r6   v23−108 
rˆi = r i + vi
 rˆ1   0.00000 − 1.75  − 0.000175  0.00000
rˆ   43.21580  1.75  43.215975  43.21615
 2 

 
 
 
 rˆ3   0.00000 − 1.75  − 0.000175  0.00000
=
=
+
=
  

 
 
 
rˆ4   32.24480  1.75  32.244975  32.24515
 rˆ5   0.00000 − 1.75  − 0.000175  0.00000
  

 
 
 
 rˆ6  124.53835  1.75 124.538525 124.53870
Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi
Yöneltme bilinmeyeni denklemleri
1 ⋅ dz108 + 10.4044 ⋅ dx 23 + 1.8544 ⋅ dy 23 = 0
1 ⋅ dz107 − 1.6945 ⋅ dx23 − 7.9863 ⋅ dy 23 = 0
1 ⋅ dz 23 + 8.7099 ⋅ dx23 + 6.1319 ⋅ dy 23 = 0
Matris gösterimiyle
1.8544
 10.4044
 dz108 
dz  = −  − 1.6945 − 7.9863 ⋅ dx 23 
 dy 

 107 
 8.7099
 dz 23 
6.1319  23 
27
1.8544
 10.4044
15.79 
 dz108 
dz  = −  − 1.6945 − 7.9863 ⋅  dx 23  = 16.73  cc
 dy  


 107 
6.1319  23  32.52
 8.7099
 dz 23 
 z102   111.23041 15.79  111.23199
 z  = 354.44647  + 16.73  = 354.44814

 
 
 107  
 z 23  186.69004 32.52 186.69329
 z102   z102   dz108 
 z  =  z 0  + dz 
 107   107   107 
0 
 z 23   z 23
  dz 23 
0
DN
108
107
23
Dengeli doğrultulardan semt
BN
23
107
108
23
107
108
ri (g)
vi (cc)
0.00000
43.21580
0.00000
32.24480
0.00000
124.53835
-1.75
1.75
-1.75
1.75
-1.75
1.75
rˆi = r i + v i
-0.00018
43.21598
-0.00018
32.24498
-0.00018
124.53853
z
111.23199
111.23199
354.44814
354.44814
186.69329
186.69329
tik = rˆi
+
z102
111.23181
154.44796
354.44796
386.69312
186.69312
311.23181
Dengeli
Koordinatlardan
Semt
Fark
tik
111.23181
154.44796
354.44796
386.69312
186.69312
311.23181
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v v
12.25
=±
= ±3.5 cm
n−u
6−5
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q xx = N
−1
 0.0043 − 0.0040
=
0.0067 
− 0.0040
mx = ± m0 q xx = ±3.5 0.0043 = ±0.2
cm
m y = ± m0 q yy = ±3.5 0.0067 = ±0.3
cm
Ölçülerin Ortalama Hatası
m i = ±
m0
pi
Doğrultu ağlarında ağırlıklar eşit olduğu için ölçülerin ortalama hataları karesel ortalama
hataya eşittir.
28
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
0.1667 − 0.1667
0.1667
 0.3333 − 0.3333 − 0.1667
 − 0.3333
0.3333
0.1667 − 0.1667
0.1667 − 0.1667

− 0.1667
0.1667
0.3333 − 0.3333 − 0.1667
0.1667
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 

0
.
1667
−
0
.
1667
−
0
.
3333
0
.
3333
0
.
1667
−
0
.1667

− 0.1667
0.1667 − 0.1667
0.1667
0.3333 − 0.3333


0.1667 − 0.1667 − 0.3333
0.3333
 0.1667 − 0.1667
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
mˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
i
i i
mˆ = ±3.5 ⋅ 0.3333 = ±2.02
cm
i
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
1
0

0
−1
p= p =
0
0

0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0

1
0.1667 − 0.1667
0.1667 
 0.6667 − 0.3333 − 0.1667
 − 0.3333
0.6667
0.1667 − 0.1667
0.1667 − 0.1667 

− 0.1667
0.1667
0.6667 − 0.3333 − 0.1667
0.1667 
Q vv = 

0
.
1667
−
0
.
1667
−
0
.
3333
0
.
6667
0
.
1667
−
0.1667 

− 0.1667
0.1667 − 0.1667
0.1667
0.6667 − 0.3333


0.1667 − 0.1667 − 0.3333
0.6667 
 0.1667 − 0.1667
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
i i
mvi = ±3.5 ⋅ 0.6667 = ±2.86
cm
29
5. KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
Kenar ağlarında yapılan kenar ölçüleri günümüzde genelde Elektronik Uzaklık Ölçerler
(EUÖ, Total Station) ile ölçülerek elde edilirler.
X
P2 ( x2 , y2 )
s12
x2 − x1
P1 ( x1 , y1 )
y2 − y1
Y
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz kenarın kendisidir. Fonksiyonel modeli
kenar için yazalım.
s12 + vs 12 =
(x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
Yukarıdaki fonksiyon doğrusal değildir. Doğrusallaştırma işlemi için bilinmeyenlerin
yaklaşık değerlerini seçelim ve fonksiyonu Taylor serisine açalım.
x1 = x10 + dx1
x2 = x20 + dx2
y1 = y10 + dy1
y 2 = y 20 + dy 2
s12 + vs 12
0
0
0
0
 ∂s 
 ∂s 
 ∂s 
 ∂s 
= x − x + y − y +  12  dx1 +  12  dy1 +  12  dx2 +  12  dy2 = 0


  ∂x1 
 ∂y2 
 ∂x2 
 ∂y1 
s0
(
0
2
) (
0 2
1
0
2
)
0 2
1
12
30
(
)
) + (x − x )
=−
(
)
(y − y ) + (x − x )
=−
2 ⋅ (− 1) ⋅ x20 − x10
0
 ∂s 
a12 =  12  =
 ∂x1 
2⋅
(y
0
2
0 2
1
−y
0
2
0 2
1
2 ⋅ (− 1) y20 − y10
0
 ∂s 
b12 =  12  =
 ∂y1 
2⋅
0 2
1
0
2
0 2
1
0
2
(x
)
birimsiz
(y − y )
(s )
birimsiz
0
2
− x10
s120
0
2
0
1
0 2
12
0
 ∂s12 
 = −a12

 ∂x2 
0
 ∂s12 
 = −b12

 ∂y2 
Bu katsayıları aşağıdaki denklemde yerine koyalım ve düzenleyelim.
s12 + vs 12 =
(x
0
2
) + (y
0 2
1
−x
0
2
)
0 2
1
−y
0
0
0
0
 ∂s 
 ∂s 
 ∂s 
 ∂s 
+  12  dx1 +  12  dy1 +  12  dx2 +  12  dy2 = 0
 ∂x1 
 ∂y1 
 ∂x2 
 ∂y2 
vs 12 = a12 ⋅ dx1 + b12 ⋅ dy1 − a12 ⋅ dx2 − b12 dy 2 + s120 − s12 = 0
−  12 = s120 − s12
v s 12 = a12 ⋅ dx1 + b12 ⋅ dy1 − a12 ⋅ dx2 − b12 dy 2 −  12 = 0
Stokastik Model: Kenar ölçüleri korelâsyonsuz ölçüler olarak kabul edilir. Çünkü kenar
ölçüleri için korelasyon belirlemek oldukça zahmetli bir iştir. Kenar ölçülerinin ağırlıkları
farklıdır. EUÖ için karesel ortalama hata aşağıdaki formül ile hesaplanır. Her EUÖ için
yapımcı firmalar bu bağıntıyı vermektedir. Farklı EUÖ ler için bu bağıntı farklı değerler
alabilir. b ⋅ ppm kısmı, karesel ortalama hatanın uzunluğa bağlı olduğu kısmıdır. ppm
kısmına uzunluğun km cinsinden değeri yazılır.
ms0 = ± (a + b ⋅ ppm )
ppm = 1.000.000 mm = 1 km
31
Örneğin bir EUÖ için karesel ortalama hata bağıntısı aşağıdaki formülle verilmiş olsun.
Sırasıyla 1000, 2000 ve 5000 m lik uzaklıklar için karesel ortalama hataları hesaplayalım.
ms0 = ± (2 mm + 2 ⋅ ppm )
1000 m = 1 km
ms1 = ± (2 mm + 2 ⋅ 1) = ± 4 mm
2000 m = 2 km
ms 2 = ± (2 mm + 2 ⋅ 2 ) = ± 6 mm
5000 m = 5 km
ms3 = ± (2 mm + 2 ⋅ 5) = ± 12 mm
Bir s0 öncül karesel ortalama hata ve ağırlığın tanımından yararlanarak ağırlık matrisini
aşağıdaki şekilde yazabiliriz.
pi =
s02
ms2i
 s02
 2
 ms1

 0
p=

 0


 0

0
0
s02
ms22
0
0
⋅
0
0

0 


0 


0 

s02 

ms2n 
Örnek: Aşağıda kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre dengeleyiniz. Bu
ağda kenar ölçmede kullanılan EUÖ için ms = ± (5 mm + 5 ⋅ ppm ) lik ayar değeri yapımcı
firma tarafından verilmiştir. Öncül karesel ortalama hata s0 = ± 30 mm olarak alınacaktır.
NN
Y (m)
X(m)
Kesin Koordinatlar
101 17246.828 12812.718
102 25084.654 12106.522
5230.407
103 24360.602
6447.904
104 16756.594
Yaklaşık Koordinatlar
23
20058.570
8243.730
DN
23
32
BN
101
102
103
104
Kenar (m)
5364.876
6338.984
5252.410
3758.782
Ölçü sayısı
n=4
Bilinmeyen sayısı
u = 2 (Bir koordinat çifti)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 4-2 = 2 > 0
Dengeleme var
Koordinat bilinmeyenleri: dx23 , dy 23
(y
(x
=−
s120 =
a12
0
2
− y10 + x20 − x10
) (
)
)
0
2
− x10
s120
b12 = −
2
2
(y − y )
(s )
0
2
−  ik = sik0 − sik birimli
0
1
0 2
12
DN
BN
∆x (m)
∆y (m)
sik0 (m)
sik
−  ik (mm)
aik
23
101
102
103
104
4568.988
3862.792
-3013.323
-1795.826
-2811.742
5026.084
4302.032
-3301.976
5364.843
6338.981
5252.389
3758.728
5364.876
6338.984
5252.410
3758.782
-33
-3
-21
-54
-0.8517
-0.6094
0.5737
0.4778
bik
0.5241
-0.7929
-0.8191
0.8785
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
v s 12 = a12 ⋅ dx1 + b12 ⋅ dy1 − a12 ⋅ dx2 − b12 dy 2 −  12 = 0
vs23−101
vs23−102
vs23−103
vs23−104
= − 0.8517
= − 0.6094
= + 0.5737
= + 0.4778
⋅ dx23
⋅ dx23
⋅ dx23
⋅ dx23
+ 0.5241
− 0.7929
− 0.8191
+ 0.8785
⋅ dy 23
⋅ dy 23
⋅ dy 23
⋅ dy 23
+ 0.8517
+ 0.6094
− 0.5737
− 0.4778
⋅ dx101
⋅ dx102
⋅ dx103
⋅ dx104
− 0.5241
+ 0.7929
+ 0.8191
− 0.8785
⋅ dy101
⋅ dy102
⋅ dy103
⋅ dy104
− 33
− 3
− 21
− 54
101, 102, 103 ve 104 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait
katsayıları düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
vs23−101
vs23−102
vs23−103
vs23−104
= − 0.8517
= − 0.6094
= + 0.5737
= + 0.4778
⋅ dx23
⋅ dx23
⋅ dx23
⋅ dx23
+
0.5241 ⋅
− 0.7929 ⋅
− 0.8191 ⋅
+ 0.8785 ⋅
dy23
dy23
dy23
dy23
− 33
− 3
− 21
− 54
Bu denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
vs23−101  − 0.8517
0.5241
33
 
v

 
 s23−102  =  − 0.6094 − 0.7929 ⋅  dx23  −  3


vs23−103   0.5737 − 0.8191 dy 23   21
 


 
0.8785
54
vs23−104   0.4778
33
ms = ± (5 mm + 5 ⋅ ppm )
s0 = ± 30
pi =
s02
ms2i
ms1 = ± (5 mm + 5 ⋅ 5.364876 ) = ±31.82
ms2 = ± (5 mm + 5 ⋅ 6.338984 ) = ±36.69
ms3 = ± (5 mm + 5 ⋅ 5.252410 ) = ±31.26
ms4 = ± (5 mm + 5 ⋅ 3.758782 ) = ±23.79
 30 2
 31.82 2

 0
p=

 0

 0

0
0
30 2
36.69 2
0
0
30 2
31.26 2
0
0


 0.89
0
0
0 
0   0
0
.
67
0
0 
=
  0
0
0.92
0 
0  

0
0
0
1
.
59 

2 
30 
23.79 2 
0
1.5587 0.1608
T
N = A pA = 

0.1608 2.5089
Q xx = N
−1
26.0000
T
n = A p = 

73.5406
 0.6458 − 0.0414
=
0.4012
− 0.0414
dx  14
x = Q xx ⋅ n =  23  =  
dy23  28
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
0
  dx23 
 x23   x23
=
+

y 

0 
 23   y23  dy23 
 x23   8243.730 14  8243.744
 y  = 20058.570 + 28 = 20058.598
   

 23  
Düzeltmeler v = A ⋅ x −  birimi mm
vs23−101  − 0.8517
0.5241
33 − 29.43
 
v

  

 s23−102  =  − 0.6094 − 0.7929 ⋅ 14  −  3 = − 33.74


vs23−103   0.5737 − 0.8191 28  21 − 35.96
 


  

0.8785
54  − 22.41
vs23−104   0.4778
mm
34
sˆi = s i + v s i
Dengeli ölçüler
 sˆ1   s1  vs23−101 

 sˆ   s  v
 2  =  2  +  s23−102 
 sˆ3   s3  vs23−103 

    
 sˆ4   s4  vs23−104 
 sˆ1  5364.876 − 29.43 5364.847
 sˆ  6338.984 − 33.74 6338.950
 2 = 
+
=

 sˆ3  5252.410 − 35.96 5252.374
  
 
 

 sˆ4  3758.782  − 22.41 3758.760
Dengeli kenar ölçülerinin denetimi
DN
23
23
23
23
∆y
∆x
BN
101
102
103
104
Dengeli koordinatlardan
(m)
-4568.974
-3862.778
3013.337
1795.840
2811.770
-5026.056
-4302.004
3302.004
Dengeli kenarlardan
sˆi = s i + v s i
(∆x ) + (∆y )
sˆi =
(m)
2
2
5364.847
6338.950
5252.374
3758.760
5364.847
6338.950
5252.374
3758.760
vs i
(mm)
-29.43
-33.74
-35.96
-22.41
si
5364.876
6338.984
5252.410
3758.782
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v pv
n−u
=±
3519.85
= ±42.0 mm
4−2
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q xx = N
−1
 0.6458 − 0.0414
=
0.4012
− 0.0414
mx = ± m0 q xx = ±42 0.6458 = ±33.7
mm
m y = ± m0 q yy = ±42 0.4012 = ±26.6
Ölçülerin Ortalama Hatası
0
0
0 
0.89
 0

0
.
67
0
0

p=
 0
0
0.92
0 


0
0
1.59 
 0
ms1 = ±
42
= ±44.5
0.89
m s2 = ±
msi = ±
42
= ±51.3
0.67
m0
mm
pi
ms3 = ±
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
0.1537 − 0.5291 − 0.0574
 0.6156
 0.1537
0.4521
0.0330 − 0.4297 
T
Q sˆsˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 
 − 0.5291
0.0330
0.5206 − 0.1163


0.4223
− 0.0574 − 0.4297 − 0.1163
35
42
= ±43.7
0.92
ms4 = ±
(m)
42
= ±33.3
1.59
msˆi = ± m0 ⋅ Q sˆ sˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
i i
msˆ1 = ±42 ⋅ 0.6156 = ±32.91
mm
msˆ2 = ±42 ⋅ 0.4521 = ±28.21
msˆ3 = ±42 ⋅ 0.5206 = ±30.27
msˆ4 = ±42 ⋅ 0.4223 = ±27.26
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q ss − Q sˆsˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p ss − Q sˆsˆ
0
0
0 
1.1253
 0
1.4961
0
0 
−1
p =
 0
0
1.0859
0 


0
0
0.6291
 0
0.5291
 0.5097 − 0.1537
− 0.1537
1
.
0441
−
0
.0330
Q vv = 
 0.5291 − 0.0330
0.5653

0
.
0574
0
.
4297
0.1163

mvi = ± m0 ⋅ Q v v
0.0574
0.4297
0.1163

0.2067
Düzeltmelerin ortalama hataları
i i
mv1 = ±42 ⋅ 0.5097 = ±29.95
mm
mv2 = ±42 ⋅ 1.0441 = ±42.87
mv3 = ±42 ⋅ 0.5653 = ±31.54
mv4 = ±42 ⋅ 0.2067 = ±19.07
36
6. DOĞRULTU-KENAR AĞLARININ DENGELENMESİ
Örnek: Aşağıda doğrultu ve kenar ölçüleri verilmiş ağı dolaylı ölçüler yöntemine göre
dengeleyiniz. Doğrultular için öncül karesel ortalama hatayı
s0 = ±10cc olarak alınız.
NN
Y (m)
X(m)
Kesin Koordinatlar
7849.474
164.526
102
7731.373
608.285
103
Yaklaşık Koordinatlar
107
7969.948
719.676
108
8404.160
342.243
DN
BN
Kenar (m)
ms (mm)
DN
DN
Doğrultu
102
103
107
108
107
108
459.192
263.297
575.324
±3
±5
±4
102
108
107
103
0.00000
66.65613
96.81793
md (cc)
± 10
± 10
± 10
Ölçü sayısı
n = 6 (3 doğrultu ve 3 kenar ölçüsü)
Bilinmeyen sayısı
u = 5 (İki koordinat çifti ve bir yöneltme bilinmeyeni)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 6-5 = 1 > 0
Dengeleme var
Bilinmeyenler: dz102 , dx107 , dy107 , dx108 , dy108
 y 0 − y10 

t120 = arctan 20
0 
 x2 − x1 
200
⋅ 10000
sin t120
π
a12 =
⋅
0
100
s12
( )
DN
102
BN
108
107
103
s120 =
(y
0
2
) (
2
− y10 + x20 − x10
200
⋅ 10000
cos t120
π
b12 = −
⋅
0
100
s12
Doğrultu
ri (g)
0.00000
66.65613
96.81793
( )
)
2
z10 =
[t
tik0 (g)
sik0 (m)
tik0 - ri
19.73894
86.39556
116.55902
582.460
568.072
459.206
19.73894
19.73943
19.74109
0
z102
= 19.73982
37
0
12
− r1
n
]
−  ik (cc)
0
tik0 - ri - z102
-8.8
-3.9
12.7
aik
bik
cc / mm
cc / mm
0.3335
1.0952
1.3397
-1.0409
-0.2377
0.3565
Düzeltme Denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
vik = −dzi + aik ⋅ dx1 + bik ⋅ dyi − aik ⋅ dxk − bik ⋅ dyk −  ik
v102−108
v102−107
v102−103
= − dz102
= − dz102
= − dz102
+ 0.3335 ⋅ dx102
+ 1.0952 ⋅ dx102
+ 1.3397 ⋅ dx102
− 1.0409 ⋅ dy102
− 0.2377 ⋅ dy102
+ 0.3565 ⋅ dy102
− 0.3335 ⋅ dx108
− 1.0952 ⋅ dx107
− 1.3397 ⋅ dx103
+ 1.0409 ⋅ dy108
+ 0.2377 ⋅ dy107
− 0.3565 ⋅ dy103
−
−
8.8
3.9
+ 12.7
102 ve 103 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
v102−108
v102−107
v102−103
= − dz102
= − dz102
= − dz102
− 0.3335
− 1.0952
⋅
dx108
⋅
dx107
+ 1.0409
+ 0.2377
⋅
dy108
⋅
dy107
−
8.8
− 3.9
+ 12.7
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim ve dz102 yöneltme bilinmeyeni yok
edelim.
v102−108
v102−107
v102−103
= − dz102
= − dz102
= − dz102
v102−108
v102−107
v102−103
=
=
=
Toplam
0
+
⋅ dx107
− 1.0952 ⋅ dx107
0
+
⋅ dx107
0
+
⋅ dy107
+ 0.2377 ⋅ dy107
0
+
⋅ dy107
−1
−1
dx108
dy108
−
− 0.3335 1.0409 − 8.8
0
0
− 1.0952 0.2377
− 3.9
0
0
0
0
12.7
-3
-1.0952 0.2377 -0.3335 1.0409
dz102
−1
1
dx107
0
− 0.3335 ⋅ dx108
0
+
⋅ dx108
0
+
⋅ dx108
dy107
0
0.3651 -0.0792
0.00
n = 3 -n = -3 e bölelim
0.1112 -0.3470 0.00
Yöneltme bilinmeyeni denklemi
1 ⋅ dz102 + 0.3651 ⋅ dx107 − 0.0792 ⋅ dy107 + 0.1112 ⋅ dx108 − 0.3470 ⋅ dy108 = 0
dz102 yöneltme bilinmeyeni yok edilmiş düzeltme denklemleri
v102−108
v102−107
v102−103
+ 1.0409 ⋅ dy108
0
+
⋅ dy108
0
+
⋅ dy108
−
dx107
dy107
dx108
dy108
0.3651 − 0.0792 − 0.2223
0.6939 − 8.8
0.1584
0.1112 − 0.3470 − 3.9
= − 0.7301
0.3651 − 0.0792
0.1112 − 0.3470 12.7
=
=
38
− 8.8
− 3.9
+ 12.7
v = A ⋅ x −  formatında doğrultular için düzeltme denklemleri
 dx 
0.6939  107   8.8
v102−108   0.3651 − 0.0792 − 0.2223
dy
 
v
0.1854
0.1112 − 0.3470 ⋅  107  −  3.9
 102−107  = − 0.7301
 dx108 
v102−103   0.3651 − 0.0792
0.1112 − 0.3470 
 − 12.7 
 dy108 
s120 =
a12 = −
(y
(x
0
2
0
2
) (
2
− y10 + x20 − x10
− x10
s120
)
2
)
b12 = −
(y − y )
(s )
0
2
0 2
12
∆y (m)
DN
BN
∆x (m)
102
103
107
103
107
108
-118.101
238.575
434.212
−  ik = sik0 − sik birimli
0
1
443.759
111.391
-377.433
sik0 (m)
sik
−  ik (mm)
aik
459.206
263.298
575.322
459.192
263.297
575.324
13.7
1.3
-1.7
0.2572
-0.9061
-0.7547
bik
-0.9664
-0.4231
0.6560
Düzeltme denklemlerini aşağıdaki formatta yazalım.
v s 12 = a12 ⋅ dx1 + b12 ⋅ dy1 − a12 ⋅ dx2 − b12 dy 2 −  12 = 0
vs102−103
vs103−107
vs107 −108
= + 0.2572 ⋅ dx102
= − 0.9061 ⋅ dx103
= − 0.7547 ⋅ dx107
− 0.9664 ⋅ dy102
− 0.4231 ⋅ dy103
+ 0.6560 ⋅ dy107
− 0.2572 ⋅ dx103
+ 0.9061 ⋅ dx107
+ 0.7547 ⋅ dx108
+ 0.9664 ⋅ dy103
+ 0.4231 ⋅ dy107
− 0.6560 ⋅ dy108
+ 13.7
+ 1.3
− 1.7
102 ve 103 numaralı noktalar dayanak alınan noktalardır. Bu noktalara ait katsayıları
düzeltme denklemlerinden çıkaralım ve denklemleri yeniden yazalım.
vs102−103
vs103−107
vs107 −108
=
= + 0.9061 ⋅
= − 0.7547 ⋅
dx107
dx107
+ 0.4231 ⋅
+ 0.6560 ⋅
dy107
dy107
+ 0.7547
⋅
dx108
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim.
dx107
0
0.9061
dy107
0
0.4321
dx108
0
0
dy108
0
0
−
13.7
1.3
vs102−103
vs103−107
=
=
vs107 −108
= − 0.7547 0.6560 0.7547 − 0.6560 − 1.7
Bu denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 dx 
vs102−103  
0
0
0
0  107  − 13.7 
dy

 
0
0 ⋅  107  −  − 1.3
vs103−107  =  0.9061 0.4321
 dx108 
v s

 107 −108  − 0.7547 0.6560 0.7547 − 0.6560  dy   1.7 
 108 
39
− 0.6560
⋅
dy108
+ 13.7
+ 1.3
− 1.7
Fonksiyonel model
Doğrultular ve kenarlar için yazdığımız v = A ⋅ x −  matrislerini birleştirelim.
0.6939
v102−108   0.3651 − 0.0792 − 0.2223
 8.8
 
v

dx
0.1584
0.1112 − 0.3470  107   3.9
 102−107   − 0.7301
v102−103   0.3651 − 0.0792
0.1112 − 0.3470 dy107  − 12.7 
−
=


⋅
0
0
0
0  dx108  − 13.7 
 vs102−103  


  0.9661
 vs
0.4321
0
0  dy108   − 1.3
 103−107  



0.6560
0.7547 − 0.6560
 1.7 
 vs107 −108  − 0.7547
Stokastik Model: Ağırlık tanımından yararlanarak
ps1 =
s02 10 2
= 2 = 11.11
3
ms21
s02 102
=
=1
md22 102
p s2 =
s02 10 2
= 2 = 4.00
5
ms22
s02 102
=
=1
md23 102
ps3 =
s02 10 2
= 2 = 6.25
4
ms23
pd1 =
s02 102
=
=1
md21 102
pd 2 =
pd 3 =




p=




s02 102
p= 2 = 2
mi
mi
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
birimsiz
0
0
0
0
1
0
0 11.11
0
0
0
0
0
0
0
0
4.00
0
cc/mm
0
0
0

0
0

6.25
3.4745
 7.6438 − 1.7347 − 3.6818
 − 1.7347
3
.
4435
3
.
1210
−
2
.7724
T
N = A pA = 
 − 3.6818
3.1210
3.6342 − 3.3260


3.4122
 3.4745 − 2.7724 − 3.3260
2.2332
0.1166
 0.8078 − 1.5232
 − 1.5232
4
.
2160
5
.
6451
0.5260
−
−
−1
Q xx = N = 
 2.2332 − 5.6451 10.2535
3.1338


3.1338
2.8016
 0.1166 − 0.5260
40
− 17.0137 
 5.7929
T

n = A p = 
 5.1599


 2.1235
dx107  − 10.8
dy   20.1

x = Q xx ⋅ n =  107  = 
 dx108   − 11.1

 

dy108   17.1
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
 x107  7969.948 − 10.8 7969.9372
 y   719.676  20.1  719.6961
 107  = 
+
=

 x108  8404.160  − 11.1 8404.1489

 
 
 

 y108   342.243  17.1  342.2601
0
  dx107 
 x107   x107
 y   0  dy 
y
 107  =  107  +  107 
0 
 x108   x108
 dx108 

  0  

y
 108   y108   dy108 
Düzeltmeler v = A ⋅ x −  birimi mm
0.6939
v102−108   0.3651 − 0.0792 − 0.2223
 8.8  0.00
 
v

0.1584
0.1112 − 0.3470 − 10.8  3.9  0.00
 102−107   − 0.7301
mm
v102−103   0.3651 − 0.0792
0.1112 − 0.3470  20.1 − 12.7   0.00
−
=


=
⋅
0
0
0
0  − 11.1 − 13.7  13.72
 vs102−108  


  0.9661
 vs
0.4321
0
0  17.1  − 1.3  0.00
 103−107  

 


0.6560
0.7547 − 0.6560
 1.7   0.00
 vs107 −108  − 0.7547
Dengeli doğrultu ölçüleri
 rˆ1   r1  v102−108 

rˆ  = r  + v
 2   2   102−107 
 rˆ3   r3  v102−103 
rˆi = r i + vi
 rˆ1   0.00000 0  0.00000
rˆ  = 66.65613 + 0 = 66.65613

   
 2 
 rˆ3  96.81793 0 96.81793
Dengeli doğrultu ölçülerinin denetimi
Yöneltme bilinmeyeni denklemi
1 ⋅ dz102 + 0.3651 ⋅ dx107 − 0.0792 ⋅ dy107 + 0.1112 ⋅ dx108 − 0.3470 ⋅ dy108 = 0
Matris gösterimiyle
dz102
dx107 
dy 
= −[0.3651 − 0.0792 0.1112 − 0.3470]⋅  107 
 dx108 


dy108 
dz102
− 10.8
 20.1
 = 12.70 cc
= −[0.3651 − 0.0792 0.1112 − 0.3470]⋅ 
 − 11.1


 17.1
0
z102 = z102
+ dz102 = 19.74109 + 12.70cc/10.000 = 19.74109
41
DN
Dengeli doğrultulardan semt
BN
102
108
107
103
ri (g)
vi (cc)
0.00000
66.65613
96.81793
0.00
0.00
0.00
rˆi = r i + v i
0.00000
66.65613
96.81793
tik = rˆi
z102
19.74109
19.74109
19.74109
+
z102
Dengeli
Koordinatlardan
Semt
19.74109
86.39722
116.55902
tik
19.74109
86.39722
116.55902
Dengeli kenar ölçüleri
sˆi = s i + v s i
 sˆ1   s1  vs102−108 

 sˆ  =  s  + v
 2   2   s103−107 
 sˆ3   s3  vs107 −108 
 sˆ1  459.192 13.72 459.206
 sˆ  = 263.297  + 
0 = 263.297 
 
 2 
 sˆ3  575.324  
0 575.324 
Dengeli kenar ölçülerinin denetimi
DN
102
103
107
∆y
∆x
BN
103
107
108
(m)
(m)
-118.101
238.564
434.212
443.759
111.411
-377.436
Dengeli koordinatlardan
sˆi =
(∆x ) + (∆y )
2
2
459.206
263.297
575.324
T
m0 = ±
n−u
=±
2092.53
= ±45.7 mm
6−5
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
2.2332
0.1166
 0.8078 − 1.5232
 − 1.5232
4.2160 − 5.6451 − 0.5260
−1
Q xx = N = 
 2.2332 − 5.6451 10.2535
3.1338


0
.
1166
0
.
5260
3
.
1338
2
.8016
−

m x107 = ± m0 q xx107 = ±45.7 0.8078 = ±41.1
sˆi = s i + v s i
459.206
263.297
575.324
Karesel Ortalama Hata
v pv
Dengeli kenarlardan
mm
m y107 = ± m0 q yy107 = ±45.7 4.2160 = ±93.9
mx108 = ± m0 q xx108 = ±45.7 10.2535 = ±146.5
m y108 = ± m0 q yy108 = ±45.7 2.8016 = ±76.6
42
vs i
(mm)
13.72
0.00
0.00
Fark
si
(m)
459.192
263.297
575.324
0.00
0.00
0.00
Ölçülerin Ortalama Hatası




p=




1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
45.7
= ±45.7
1
45.7
mr2 = ±
= ±45.7
1
45.7
mr3 = ±
= ±45.7
1
mr1 = ±
0
0
0
0
1
0
0 11.11
0
0
0
0
0
0
0
0
4.00
0
0
0
0

0
0

6.25
45.7
= ±13.7
11.11
45.7
m s2 = ±
= ±22.9
4.00
45.7
ms3 = ±
= ±18.3
6.25
cc
m0
mm
pi
mi = ±
ms1 = ±
cm
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
 0.6667 − 0.3333 − 0.3333
− 0.3333
0.6667 − 0.3333

− 0.3333 − 0.3333
0.6667
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 
0
0
0


0
0
0

0
0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0.16
0
0
0
0
0.25
0
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
mi = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
mrˆ1 = ±45.7 ⋅ 0.6667 = ±37.4
msˆ1 = ±45.7 ⋅ 0.00 = ±0.0
cc
cm
mrˆ2 = ±45.7 ⋅ 0.6667 = ±37.4
msˆ2 = ±45.7 ⋅ 0.25 = ±22.9
mrˆ3 = ±45.7 ⋅ 0.6667 = ±37.4
msˆ3 = ±45.7 ⋅ 0.16 = ±18.3
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ




−1
p =




1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0 0.09
0
0
0 0.25
0
0
0
0
0
0

0
0

0.16
43
0.3333 0.3333 0.3333
0.3333 0.3333 0.3333

0.3333 0.3333 0.3333
Q vv = 
0
0
0


0
0
0

0
0
0

mvi = ± m0 ⋅ Q v v
0
0
0
0.09
0
0
0
0
0
0
0.00
0
0
0
0

0
0

0.00
Düzeltmelerin ortalama hataları
i i
mv1 = ±45.7 ⋅ 0.3333 = ±26.4
mm
mv2 = ±45.7 ⋅ 0.3333 = ±26.4
mv3 = ±45.7 ⋅ 0.3333 = ±26.4
mv4 = ±45.7 ⋅ 0.0900 = ±13.7
mv5 = ±45.7 ⋅ 0.0000 = ±0.0
mv6 = ±45.7 ⋅ 0.0000 = ±0.0
44
7. NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Bu ağlarda
ölçüler nivo ve miralarla yapılır. Geometrik ve hassas nivelman olmak üzere iki çeşit ölçme
yöntemi vardır. Bir nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm
noktalara yükseklik taşımak için yeterlidir. Ağ üzerindeki okların yönü yükselme yönlerini
gösterir. ∆h gösterimleri iki nokta arasındaki yükseklik farkını temsil eder. İçi dolu daire
olarak gösterilen noktalar yüksekliği değişmez alınan noktalardır. İçi boş olarak gösterilen
noktalar dengeleme ile yüksekliği bulunacak noktalardır.
P1 ( x)
∆h1
∆h5
B
(H B )
∆h2
∆h4
A
(H A )
∆h3
P2 ( y )
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.
Bu problemde yüksekliği bulunacak noktalar bilinmeyen ( x ve y ) noktalar olarak seçilirler.
Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
∆h1 + v1 = H p 1 − H A
∆h1 + v1 = x − H A
v1 = x − H A − ∆h1
∆h2 + v2 = H p 2 − H p1
∆h2 + v2 = y − x
v2 = − x + y − ∆h2
∆h3 + v3 = H p 2 − H A
∆h3 + v3 = y − H A
v3 = y − H A − ∆h3
∆h4 + v4 = H B − H p
∆h4 + v4 = H B − y
v4 = − y + H B − ∆h4
∆h5 + v5 = H B − x
v5 = − x + H B − ∆h5
2
∆h5 + v5 = H B − H p1
45
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık
değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. x ve y bilinmeyenlerini aşağıdaki şekilde
düzenleyelim.
x = x0 + dx
y = y0 + dy
Burada x0 ve y0 yaklaşık değerler dx ve dy bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri yukarıdaki
denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
v1 = x0 + dx − H A − ∆h1
v1 = dx + x0 − H A − ∆h1
v2 = − x0 − dx + y0 + dy − ∆h2
v2 = −dx + dy − x0 + y0 − ∆h2
v3 = y0 + dy − H A − ∆h3
v3 = dy + y0 − H A − ∆h3
v4 = − y0 − dy + H B − ∆h4
v4 = −dy − y0 + H B − ∆h4
v5 = − x0 − dx + H B − ∆h5
v5 = −dx − x0 + H B − ∆h5
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.
v1 = 1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + x0 − H A − ∆h1
−  1 = x0 − H A − ∆h1
v2 = −1 ⋅ dx + 1 ⋅ dy + y0 − x0 − ∆h2
−  2 = y0 − x0 − ∆h2
v3 = 0 ⋅ dx + 1 ⋅ dy + y0 − H A − ∆h3
−  3 = y0 − H A − ∆h3
v4 = 0 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + H B − y0 − ∆h4
−  4 = H B − y0 − ∆h4
v5 = −1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + H B − x0 − ∆h5
−  5 = H B − x0 − ∆h5
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 1 
 v1   1 0
 
v  − 1 1
 2 
  dx   2 
v3  =  0
1 ⋅   −  3 
  
 dy   
v
0
1
−
4
 4 
  

 5 
v5  − 1 0
46
Stokastik Model: Nivelmanda ağırlıklar geçki uzunluğu ile ters orantılıdır.
pi =
0
0
0
0
1 / s1
 0 1/ s
0
0
0
2

pi =  0
0 1 / s3
0
0


0
0 1 / s4
0
 0
 0
0
0
0 1 / s5 
1
si (km)
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
H A = 80.673 m.
P1 ( x)
∆h1
∆h2
∆h5
∆h6
P2 ( y )
∆h3
A
(H A )
∆h4
P3 ( z )
i
∆hi
si (km)
1
2
3
4
5
6
43.156
19.218
33.524
57.440
23.962
14.267
0.65
0.80
1.00
1.40
1.50
1.95
Ölçü sayısı
n=6
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 6-3>0
Dengeleme var.
47
∆h1 + v1 = H p 1 − H A
∆h1 + v1 = x − H A
v1 = x − H A − ∆h1
∆h2 + v2 = H p1 − H p 2
∆h2 + v2 = x − y
v2 = x − y − ∆h2
∆h3 + v3 = H p3 − H p 2
∆h3 + v3 = z − y
v3 = z − y − ∆h3
∆h4 + v4 = H p 3 − H A
∆h4 + v4 = z − H A
v4 = z − H A − ∆h4
∆h5 + v5 = H p 2 − H A
∆h5 + v5 = y − H A
v5 = y − H A − ∆h5
∆h6 + v6 = H p3 − H p1
∆h6 + v6 = z − x
v3 = z − x − ∆h6
Yaklaşık değerler
x = x0 + dx
y = y0 + dy
x0 = H A + ∆h1
y 0 = H A + ∆h5
z0 = H A + ∆h4
v1 = x − H A − ∆h1
v2 = x − y − ∆h2
v3 = z − y − ∆h3
v4 = z − H A − ∆h4
v5 = y − H A − ∆h5
v3 = z − x − ∆h6
z = z0 + dz
x0 = 80.673 + 43.156 = 123.829 m
y0 = 80.673 + 23.962 = 104.635 m
z0 = 80.673 + 57.440 = 138.115 m
v1 = dx + x0 − H A − ∆h1
v2 = dx − dy + x0 − y0 − ∆h2
v3 = − dy + dz + z0 − y0 − ∆h3
v4 = dz + z0 − H A − ∆h4
v5 = dy + y0 − H A − ∆h5
v3 = −dx + dz + z0 − x0 − ∆h6
v1 = dx
v2 = dx − dy − 24
v3 = −dy + dz − 46
v4 = dz
v5 = dy
v3 = −dx + dz + 17
v1 = dx + 123.829 − 80.673 − 43.156
v2 = dx − dy + 123.829 − 104.635 − 19.218
v3 = −dy + dz + 138.115 − 104.635 − 33.524
v4 = dz + 138.115 − 80.673 − 57.440
v5 = dy + 104.635 − 80.673 − 23.962
v3 = −dx + dz + 138.115 − 123.829 − 14.267
Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.
v1 = 1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 0
v2 = 1 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz − 24
v3 = 0 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + 1 ⋅ dz − 46
v4 = 0 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 1 ⋅ dz + 0
v5 = 0 ⋅ dx + 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 0
v3 = −1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 1 ⋅ dz + 17
48
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 v1   1 0
v   1 − 1
 2 
v3   0 − 1
 =
v4   0 0
v5   0
1
  
v6  − 1 0
0
 0
 24

0

dx
  
1    46

 ⋅ dy − 
1    0
 dz 
0    0



1
− 17 
0
0
0
0
0
1 / 0.65

0 1 / 0.80
0
0
0
0


0
0 1 / 1.00
0
0
0
pi = 

0
0
0 1 / 1.40
0
0


0
0
0
0 1 / 1.50
0


0
0
0
0
0 1 / 1.95

0
0
1.54
 0 1.25
0

 0
0 1.00
pi = 
0
0
 0
 0
0
0

0
0
 0
0
0
0
0
0
0
0.71
0
0 0.67
0
0
 3.30 − 1.25 − 0.51
N = A p A =  − 1.25
2.92 − 1.00
− 0.51 − 1.00
2.23
T
Q xx = N
−1
0
0
0

0
0

0.51
 38.72
T
n = A p  = − 76.00
 37.28
0.44 0.26 0.22
= 0.26 0.56 0.31
0.22 0.31 0.64
dx   5.12
x = Q xx ⋅ n = dy  = − 20.94
 dz   8.52
pi =
mm
49
1
si (km)
Bilinmeyenlerin kesin değeri
 x  123.829  5.12 123.834
 y  = 104.635 + − 20.94 = 104.614

 
 
  
 z  138.113  8.52 138.122
 x   x0   dx 
 y  =  y  + dy 
   0  
 z   z 0   dz 
Düzeltmeler v = A ⋅ x − 
 v1   1 0
v   1 − 1
 2 
v3   0 − 1
 =
v4   0 0
v5   0
1
  
v6  − 1 0
0
 0  5.12
 24  2.06

0

 
 5.12 
 46  − 16.54
1 


=
 ⋅ − 20.94 − 
1 
0  8.52
 8.52 
 0 − 20.94
0

 


1
− 17   20.39
∆hˆi = ∆hi + v i
Dengeli ölçüler
 ∆hˆ1   ∆h1   v1 
 ˆ  
  
∆h2  ∆h2  v2 
 ∆hˆ   ∆h3  v3 
 3 = 
+ 
∆hˆ4  ∆h4  v4 
 ∆hˆ   ∆h  v 
 5  5  5
∆hˆ6  ∆h6  v6 
 ∆hˆ1  43.156  5.12  43.161
 ˆ  

 
 
∆h2   19.218  2.06 19.220
 ∆hˆ  33.524  − 16.54 33.507 
 3 = 

=
+
∆hˆ4  57.440  8.52 57.449
 ∆hˆ  23.962 − 20.94  23.941
 5 

 
 
 ∆hˆ6  14.267   20.39 14.287 
Dengeli ölçülerinin denetimi
∆h1 + v1 = H p 1 − H A
43.161 = 43.161
∆h2 + v2 = H p1 − H p 2
19.220 = 19.220
∆h3 + v3 = H p3 − H p 2
33.507 = 33.507
∆h4 + v4 = H p 3 − H A
57.449 = 57.449
∆h5 + v5 = H p 2 − H A
23.941 = 23.941
∆h6 + v6 = H p3 − H p1
14.287 = 14.287
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v pv
n−u
=±
876.79
= ±17.10 mm
6−3
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q xx = N
−1
0.44 0.26 0.22
= 0.26 0.56 0.31
0.22 0.31 0.64
50
m x = ± m0 q xx = ±17.10 0.44 = ±11.28
mm
m y = ± m0 q yy = ±17.10 0.56 = ±12.82
m z = ± m0 q zz = ±17.10 0.64 = ±13.67
Ölçülerin Ortalama Hatası
m∆h1 = 13.78
m∆h4 = 20.23
m∆h2 = 15.29
m∆h5 = 20.94
m∆h3 = 17.10
m∆h6 = 23.87
m i = ±
m0
mm
pi
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
0.17 − 0.04
0.22
0.26 − 0.22
 0.44
 0.17
0.47
0.21 − 0.09 − 0.30 − 0.27 

− 0.04
0.21
0.58
0.33 − 0.25
0.37 
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 

0
.
22
−
0
.
09
0
.
33
0
.
64
0
.
31
0.42

 0.26 − 0.30 − 0.25
0.31
0.56
0.05


0.37
0.42
0.05
0.64
− 0.22 − 0.27
m∆hˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
m∆hˆ = 11.28
m∆hˆ = 13.67 mm
m∆hˆ = 11.78
m∆hˆ = 12.82
m∆hˆ = 12.98
m∆hˆ = 13.67
i
i i
1
2
3
4
5
6
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
0
0
0
0
0
0.65
 0 0.80
0
0
0
0

 0
0 1.00
0
0
0
p −1 = 

0
0
0
1
.
40
0
0

 0
0
0
0 1.50
0


0
0
0
0 1.95
 0
51
0.04
 0.21 − 0.17
− 0.17
0
.
33
−
0.21

 − 0.04 − 0.21
0.42
Q vv = 
0.09 − 0.33
 − 0.22
 − 0.26
0.30
0.25

0.27 − 0.37
 0.22
− 0.22 − 0.26
0.22
0.09
0.30
0.27
− 0.33
0.25 − 0.37

0.76 − 0.31 − 0.42
− 0.31
0.94 − 0.05

− 0.42 − 0.05
1.31
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 = 7.91
mv 4 = 14.91 mm
mv 2 = 9.75
mv5 = 16.56
mv3 = 11.13
mv6 = 19.57
i i
Örnek: Bir yerel sistemde yükseklik koordinatı bilinen 102 noktasına dayalı olarak 103 ve
108 noktalarının yüksekliğini nivelman ağlarının dolaylı ölçüler dengelemesi yöntemi ile
belirleyiniz.
P103 ( x)
Kesin Yükseklik
1034.306
102
Yaklaşık Yükseklik
1069.816
103
1161.352
108
∆h1
∆h3
Ölçüler
DN
102
102
103
BN
103
108
108
∆h (m)
35.510
127.046
91.545
s (m)
581.395
458.715
724.637
P102
∆h2
P108 ( y )
Ölçü sayısı
n=3
Bilinmeyen sayısı
u=2
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 3-2>0
Dengeleme var.
∆h1 + v1 = H p103 − H p102
∆h1 + v1 = x − H p102
v1 = x − H p102 − ∆h1
∆h2 + v2 = H p108 − H p102
∆h2 + v2 = y − H p102
v2 = y − H p102 − ∆h2
∆h3 + v3 = H p108 − H p103
∆h3 + v3 = y − x
v3 = y − x − ∆h3
52
Yaklaşık değerler
x = x0 + dx
y = y0 + dy
x0 = H p102 + ∆h1
x0 = 1034.306 + 35.510 = 1069.816 m
y0 = H p102 + ∆h2
y0 = 1034.306 + 127.046 = 1161.352 m
v1 = x − H p102 − ∆h1
v1 = dx + x0 − H p102 − ∆h1
v2 = y − H p102 − ∆h2
v2 = dy + y0 − H p102 − ∆h2
v3 = y − x − ∆h3
v3 = dy − dx + y0 − x0 − ∆h3
v1 = dx + 1069.816 − 1034.306 − 35.510
v2 = dy + 1161.352 − 1034.306 − 127.046
v3 = dx − dy + 1161.352 − 1069.816 − 91.545
v1 = dx
v2 = dy
v3 = −dx + dy − 0.9
Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir.
v1 = 1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy − 0
v2 = 0 ⋅ dx + 1 ⋅ dy − 0
v3 = −1 ⋅ dx + 1 ⋅ dy − 0.9
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 0
 v1   1 0
v  =  0 1 ⋅  dx  −  0
 dy   
 2 
v3  − 1 1   0.9
0
0

1 /(581.395 / 1000)

pi = 
0
1 /(458.715 / 1000)
0


0
0
1 /(724.637 / 1000)
0
0 
1.72

pi =  0
2.18 0 
 0
0 1.38
53
pi =
1
si (km)
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengelemek için
fonksiyonel ve stokastik modeli yazınız.
P2
Kesin Yükseklikler
508.081
P1
511.769
P2
502.714
P3
Yaklaşık Yükseklik
510.815
P4
P3
∆h2
P1
∆h3
∆h1
i
∆hi (m)
si (m)
1
2
3
2.716
0.934
8.121
210
210
425
P4 ( x)
Ölçü sayısı
n=3
Bilinmeyen sayısı
u=1
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 3-2>0
Dengeleme var.
∆h1 + v1 = H p 4 − H p1
∆h1 + v1 = x − H p1
v1 = x − H p1 − ∆h1
∆h2 + v2 = H p 2 − H p 4
∆h2 + v2 = H p 2 − x
v2 = − x + H p 2 − ∆h2
∆h3 + v3 = H p 4 − H p3
∆h3 + v3 = x − H p3
v3 = x − H p3 − ∆h3
v1 = dx + x0 − H p1 − ∆h1
v2 = −dx + H p 2 − x0 − ∆h2
v3 = dx + x0 − H p3 − ∆h3
v1 = dx + 510.815 − 508.081 − 2.716
v2 = −dx + 511.769 − 510.815 − 0.934
v3 = dx + 510.815 − 502.714 − 8.121
v1 = dx + 1.8
v2 = −dx + 2.0
v3 = dx − 2.0
Yukarıdaki değerler cm mertebesindedir. Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında
yazalım.
 − 1.8
 v1   1
v  = − 1 ⋅ [dx] − − 2.0


 2  
 2.0
v3   1
54
0
0

1 /(210 / 1000)

pi = 
0
1 /(210 / 1000)
0


0
0
1 /(425 / 1000)
pi =
0
0 
4.76

pi =  0
4.76
0 
 0
0
2.35
55
1
si (km)
8. TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
Nivelman ağları günümüzde en çok uygulaması yapılan yükseklik ağlarıdır. Ancak noktalar
arasındaki yükseklik farklarının fazla ve noktalara ulaşımın zor olduğu arazi şartlarında
nivelman yönteminin uygulanması zordur ve ekonomik değildir. Bu tür arazi şartlarında
noktalara yükseklik taşımada Trigonometrik Nivelman yöntemi kullanılır. Trigonometrik
Nivelman yöntemi düşey açı gözlemlerine dayanır. Bu ağlarda ölçüler günümüzde Elektronik
Uzaklık Ölçerler (Total Station) ve reflektörlerle yapılır. Düşey açı gözlemlerine ve yükseklik
farklarına göre olmak üzere iki çeşit değerlendirme yöntemi vardır. Bir Trigonometrik
Nivelman ağında bir noktanın yüksekliğini bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara yükseklik
taşımak için yeterlidir.
Z 1− 2
D1− 2
S1− 2 ⋅ cot Z 1− 2
t
P2
S1− 2
i
P1
Yeryüzü
H2
H1
Jeoid ≅ Deniz Yüzeyi
P1, P2
H1 , H 2
i
t
D1− 2
S1− 2
Z 1− 2
: Durulan Nokta, Bakılan Nokta
: Durulan ve Bakılan noktaların Ortometrik yükseklikleri
: Durulan noktada alet yüksekliği
: Bakılan noktada reflektör yüksekliği
: Eğik uzunluk
: Alet yüksekliğindeki yatay uzunluk
: Düşey açı ölçüsü
56
8.1. DÜŞEY AÇILARLA DENGELEME
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.
Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim. Bu modelde ölçü düşey
açılardır.
H 2 = H 1 + S1− 2 ⋅ cot Z 1− 2 + i − t +
1− k 2
⋅ S1− 2
2⋅r
Burada k ≈ 0.13 refraksiyon katsayısı, r = 6373 km yerin yarıçapıdır. K =
1− k
olarak
2⋅r
düşünelim ve fonksiyonu yeniden yazalım.
H 2 = H 1 + S1− 2 ⋅ cot Z 1− 2 + i − t + K ⋅ S12− 2
cot Z 1− 2 =
1
S1− 2
(
⋅ H 2 − H 1 − K ⋅ S12− 2 − i + t
)
 1

⋅ H 2 − H 1 − K ⋅ S12−2 − i + t 
Z1−2 = arc cot 
 S1−2

(
)
Bu fonksiyon lineer değildir. Doğrusal olmayan denklemleri dengeleme işleminde
kullanabilmek için lineer hale getirmek gereklidir. Bu fonksiyon yaklaşık değerler
kullanılarak Taylor serisine açılır.
H 1 = H 10 + dh1
H 2 = H 20 + dh2
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
 1
 sin 2 Z 10− 2
sin 2 Z 10− 2
⋅ H 20 − H 10 − K ⋅ S12− 2 − i + t  +
⋅ ρ ⋅ dh1 −
⋅ ρ ⋅ dh2
Z 1− 2 + vZ 1− 2 = arc cot 
S1− 2
S1− 2
S1− 2





(
)
Z10− 2
57
vZ 1− 2 =
a=
sin 2 Z 10− 2
sin 2 Z 10− 2
⋅ ρ ⋅ dh1 −
⋅ ρ ⋅ dh2 + Z 10− 2 − Z 1− 2
S1− 2
S1− 2
sin 2 Z 10− 2
⋅ρ
S1− 2
b=−
sin 2 Z 10− 2
⋅ρ
S1− 2
−  = Z 10− 2 − Z 1− 2
Yukarıdaki kısaltmaları kullanarak düzeltme denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
vZ1−2 = a ⋅ dh1 + b ⋅ dh2 − 
Stokastik Model: Bu model için ağırlıklar düşey açı gözlemlerinden elde edilebilir. Ya da
aynı ölçmeci, aynı alet, aynı atmosferik şartlar düşüncesiyle tüm gözlemlerin eşit ağırlıkta
olduğu kabul edilebilir.
Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle
dengeleyiniz.
6
NN
Hi
Kesin Yükseklik
3
1016.253
2
5
6
1117.001
1047.644
1101.859
3
Yaklaşık Yükseklikler
2
5
DN
2
3
5
BN
3
5
6
2
5
6
2
3
Düşey Açı
Alet Yüksekliği
Reflektör Yüksekliği
Z i− j
i
t
1.42
1.42
1.42
1.61
1.61
1.61
1.45
1.45
1.75
1.81
1.76
1.90
1.87
1.83
1.88
1.82
102.92374
102.28561
102.51359
97.08010
98.71777
96.35727
97.70589
101.27326
58
S i− j
2194.193
1924.510
1875.414
2194.200
1562.956
1495.632
1924.500
1562.961
 1
⋅ H 20 − H 10 − K ⋅ S i2− j − i + t
Z i0− j = arc cot 
 S i − j
(
a=
sin 2 Z 10− 2  200

⋅
⋅ 10000 
S1− 2 ⋅ 100  π


)
1− k
1 − 0.13
=
= 0.0000000683
2 ⋅ r 2 ⋅ 63700000
K=

DN
BN
S i− j
H 0j − H i0
K ⋅ Si2− j
i
t
2
3
5
6
2
5
6
2
3
2194.193
1924.510
1875.414
2194.200
1562.956
1495.632
1924.500
1562.961
-100.748
-69.357
-15.142
100.748
31.391
85.606
69.357
-31.391
0.3288
0.2529
0.2402
0.3288
0.1668
0.1528
0.2529
0.1668
1.42
1.42
1.42
1.61
1.61
1.61
1.45
1.45
1.75
1.81
1.76
1.90
1.87
1.83
1.88
1.82
3
5
Ölçü sayısı
n=8
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 8-3>0
Düzeltme denklemlerini yazalım.
(
)
Z i0− j
Z i− j
−  = Z 10− 2 − Z 1− 2 ⋅ 10000
b = −a
102.92100
102.28878
102.51060
97.08010
98.71777
96.35728
97.70083
101.27016
102.92374
102.28561
102.51359
97.08010
98.71777
96.35727
97.70589
101.27326
a (cc/cm)
−  (cc)
2.8953
3.3037
3.3943
2.8953
4.0715
4.2426
3.3037
4.0715
-27.4
31.7
-29.9
0
0
0
-50.6
-31.0
Dengeleme var.
vZ i − j = a ⋅ dhi + b ⋅ dh j − 
vZ 2−3 = 2.8953 ⋅ dh2 − 2.8953 ⋅ dh3 − 27.4
vZ 2−5 = 3.3037 ⋅ dh2 − 3.3037 ⋅ dh5 + 31.7
vZ 2−6 = 3.3943 ⋅ dh2 − 3.3943 ⋅ dh6 − 29.9
vZ 3−2 = 2.8953 ⋅ dh3 − 2.8953 ⋅ dh2 + 0.0
vZ 3−5 = 4.0715 ⋅ dh3 − 4.0715 ⋅ dh5 + 0.0
vZ 3−6 = 4.2426 ⋅ dh3 − 4.2426 ⋅ dh6 + 0.0
vZ 5−2 = 3.3037 ⋅ dh5 − 3.3037 ⋅ dh2 − 50.6
vZ 5−3 = 4.0715 ⋅ dh5 − 4.0715 ⋅ dh3 − 31.0
3 Numaralı nokta ağda sabit alınan noktadır. Bu noktanın koordinatlarına düzeltme
getirilmez. Yukarıdaki denklemlerden 3 numaralı noktaya ait katsayıları atalım.
59
vZ 2−3 = 2.8953 ⋅ dh2 − 27.4
vZ 2−5 = 3.3037 ⋅ dh2 − 3.3037 ⋅ dh5 + 31.7
vZ 2−6 = 3.3943 ⋅ dh2 − 3.3943 ⋅ dh6 − 29.9
vZ 3−2 = −2.8953 ⋅ dh2 + 0.0
vZ 3−5 = −4.0715 ⋅ dh5 + 0.0
vZ 3−6 = −4.2426 ⋅ dh6 + 0.0
vZ 5−2 = 3.3037 ⋅ dh5 − 3.3037 ⋅ dh2 − 50.6
vZ 5−3 = 4.0715 ⋅ dh5 − 31.0
Bu denklemleri bilinmeyenlere göre yeniden düzenleyelim. Birim (cc: saniye)
vZ 2 −3 = 2.8953 ⋅ dh2 + 0 ⋅ dh5 + 0 ⋅ dh6 − 27.4
vZ 2−5 = 3.3037 ⋅ dh2 − 3.3037 ⋅ dh5 + 0 ⋅ dh6 + 31.7
vZ 2−6 = 3.3943 ⋅ dh2 + 0 ⋅ dh5 − 3.3943 ⋅ dh6 − 29.9
vZ 3−2 = −2.8953 ⋅ dh2 + 0 ⋅ dh5 + 0 ⋅ dh6 + 0.0
vZ 3−5 = 0 ⋅ dh2 − 4.0715 ⋅ dh5 + 0 ⋅ dh6 + 0.0
vZ 3−6 = 0 ⋅ dh2 + 0 ⋅ dh5 − 4.2426 ⋅ dh6 + 0.0
vZ 5−2 = −3.3037 ⋅ dh2 + 3.3037 ⋅ dh5 + 0 ⋅ dh6 − 50.6
vZ 5−3 = 0 ⋅ dh2 + 4.0715 ⋅ dh5 + 0 ⋅ dh6 − 31.0
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
0
0
vZ 2−3   2.8953
 27.4
vZ   3.3037 − 3.3037
− 31.7 

0
 2 −5  



vZ 2−6   3.3943
 29.9
0 − 3.3943
 


 dh2  
0
0   
0
vZ 3− 2  =  − 2.8953
⋅  dh5  −
 vZ 3−5  

0 − 4.0715
0
0
 


 dh6  
0
0 − 4.2426
0
vZ 3−6  

vZ  − 3.3037
 50.6
3.3037
0
 5− 2  



0
4.0715
0
 31.10
 vZ 5−3  
 50.1154 − 21.8287
T
N = A A = − 21.8287
54.9834
 − 11.5215
0.0000
− 11.5215
0.0000
29.5212
 − 91.32
n = A  =  398.06
− 101.30
T
60
Q xx = N
−1
 0.0271 0.0107 0.0106
= 0.0107 0.0225 0.0042
0.0106 0.0042 0.0380
dh2   0.74
x = Q xx ⋅ n =  dh5  =  7.53 cm
dh6  − 3.14
Bilinmeyenlerin kesin değeri
0
 H 2   H 2  dh2 
 H  =  H 0  +  dh 
 5  5   5
0
 H 6   H 6  dh6 
 H 2  1117.001  0.74 1117.0084
 H  = 1047.644 +  7.53 = 1047.7193

 
 
 5 
 H 6  1101.859 − 3.14 1101.8276
Düzeltmeler v = A ⋅ x −  Birim (cc: saniye)
0
0
vZ 2−3   2.8953
 27.4 − 25.24
vZ   3.3037 − 3.3037
− 31.7  9.28

0

 2 −5  
 


vZ 2−6   3.3943
 29.9  − 16.70
0 − 3.3943

 

 
  0.74 
0
0 
0  − 2.13
vZ 3−2  =  − 2.8953
=
⋅  7.53 − 
 vZ 3−5  

0 − 4.0715
0
0  − 30.66

 

 
 − 3.14 
0
0 − 4.2426
0  13.36
vZ 3−6  

vZ  − 3.3037
 50.6 − 28.14
3.3037
0

 5− 2  
 


0
4.0715
0
 vZ 5−3  
 31.10  − 0.30
Dengeli ölçüler
 Zˆ 2−3   Z 2−3  vZ 2−3 
ˆ  

 
 Z 2−5   Z 2−5  vZ 2−5 
 Zˆ −   Z 2−6  vZ 2−6 
 2 6 

 
 Zˆ 3−2  =  Z 3−2  + vZ 3− 2 
 Zˆ   Z   vZ 
 3− 5   3− 5   3− 5 
 Zˆ 3−6   Z 3−6  vZ 3−6 
 Zˆ   Z  vZ 
 5− 2   5− 2   5− 2 
 Zˆ 5−3   Z 5−3   vZ 5−3 
Zˆ i − j = Z i − j + vZ i − j
 Zˆ 2−3  102.92374 − 25.24 102.92121
ˆ  

 
 
 Z 2−5  102.28561  9.28 102.28653
ˆ
 Z 2−6  100.51359  − 16.70 100.51192
 


 
 
 Zˆ 3− 2  =  97.08010  +  − 2.13 =  97.07988 
 Zˆ   98.71777   − 30.66  98.71470 
 3− 5  

 
 
 Zˆ 3−6   96.35727   13.36  96.35861 
 Zˆ   97.70589  − 28.14  97.70308 
 5− 2  

 
 
 Zˆ 5−3  101.27326  − 0.30 101.27323
Dengeli ölçülerinin denetimi
Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan
dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.
61
 1

Zˆ i − j = Z i − j + vZ i − j = Zˆ i − j = arc cot 
⋅ H j − H i − K ⋅ S i2− j − i + t 
 S i − j

(
)
102.92121 102.92121
102.28653 102.28653

 

100.51192 100.51192

 

 97.07988  =  97.07988 
 98.71470   98.71470 

 

 96.35861   96.35861 
 97.70308   97.70308 

 

101.27323 101.27323
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v v
2917.60
=±
= ±24.16 cc
8−3
n−u
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q xx = N
−1
 0.0271 0.0107 0.0106
= 0.0107 0.0225 0.0042
0.0106 0.0042 0.0380
m H 2 = ± m0 q xx = ±24.16 0.0271 = ±3.97
cm
m H 5 = ± m0 q yy = ±24.16 0.0225 = ±3.62
m H 6 = ± m0 q zz = ±24.16 0.0380 = ±4.71
Ölçülerin Ortalama Hatası
m i = ±
m0
cc
pi
Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir.
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
 0.23
 0.16

 0.16

− 0.23
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 
 − 0.13

 − 0.13
− 0.16

 0.13
0.16
0.31
0.11
− 0.16
0.16
− 0.09
− 0.31
− 0.16
0.16 − 0.23 − 0.13 − 0.13 − 0.16
0.13
0.11 − 0.16
0.16 − 0.09 − 0.31 − 0.16
0.51 − 0.16 − 0.09
0.40 − 0.11
0.09

− 0.16
0.23
0.13
0.13
0.16 − 0.13
− 0.09
0.13
0.37
0.07 − 0.16 − 0.37

0.40
0.13
0.07
0.68
0.09 − 0.07
− 0.11
0.16 − 0.16
0.09
0.31
0.16

0.09 − 0.13 − 0.37 − 0.07
0.16
0.37
62
mZˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
mZˆ = 11.51
mZˆ = 14.74 cc
mZˆ = 13.36
mZˆ = 19.98
mZˆ = 17.19
mZˆ = 13.36
mZˆ = 11.51
mZˆ = 14.74
i
i i
1
5
2
6
7
3
8
4
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
p −1
1
0

0

0
=
0

0
0

0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
 0.77
 0.16

 0.16

− 0.23
Q vv = 
 − 0.13

 − 0.13
− 0.16

 0.13
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0

0
0

1
0.16
0.16 − 0.23
0.69
0.11 − 0.16
0.11
0.49 − 0.16
− 0.16 − 0.16
0.77
0.16 − 0.09
0.13
− 0.09
0.40
0.13
− 0.31 − 0.11
0.16
− 0.16
0.09 − 0.13
− 0.13 − 0.13 − 0.16
0.16 − 0.09 − 0.31
− 0.09
0.40 − 0.11
0.13
0.13
0.16
0.63
0.07 − 0.16
0.07
0.32
0.09
− 0.16
0.09
0.69
− 0.37 − 0.07
0.16
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 = 21.24
mv5 = 19.14 mm
mv 2 = 20.13
mv6 = 13.58
mv3 = 16.97
mv7 = 20.13
mv 4 = 21.24
mv8 = 19.14
i i
63
0.13
− 0.16
0.09

− 0.13
− 0.37

− 0.07
0.16

0.63
8.2. YÜKSEKLİK FARKLARINA GÖRE DENGELEME
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki yükseklik farkıdır.
Fonksiyonel modeli yükseklik farkları için yazalım ve düzenleyelim.
H 2 = H 1 + S1− 2 ⋅ cot Z 1− 2 + i − t +
H 2 − H1 = S1− 2 ⋅ cot Z1− 2 + i − t +
1− k 2
⋅ S1− 2
2⋅r
1− k 2
⋅ S1− 2
2⋅r
∆H 1− 2 = H 2 − H 1
Bu yöntemde yukarıdaki eşitlikten hesaplanan yükseklik farkları ölçü olarak ele alınır ve
problem nivelman ağlarının dengelenmesi gibi çözülür.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
∆H 1− 2 + v∆H 1− 2 = H 2 − H 1
H 1 = H 10 + dh1
H 2 = H 20 + dh2
∆H 1− 2 + v∆H 1− 2 = H 20 + dh2 − H 10 − dh1
v∆H 1− 2 = −dh1 + dh2 + H 20 − H 10 − ∆H 1− 2
−  = H 20 − H 10 − ∆H 1− 2
Düzeltme denklemleri (Fonksiyonel Model)
v∆H 1− 2 = −dh1 + dh2 − 
64
Stokastik Model: Yükseklik farkları ile çözüm yapılan Trigonometrik Nivelmanda ağırlıklar
geçki uzunluğunun karesi ile ters orantılıdır.
pi =
1
s (km)
2
i
Örnek: Aşağıda verilmiş Trigonometrik Nivelman ağını yükseklik farklarına göre dolaylı
ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz.
6
NN
Hi
z
Kesin Yükseklik
3
1016.253
2
5
6
1117.001
1047.644
1101.859
3
Yaklaşık Yükseklikler
2
x
y
5
DN
2
3
5
BN
3
5
6
2
5
6
2
3
Düşey Açı
Alet Yüksekliği
Reflektör Yüksekliği
Z i− j
i
t
1.42
1.42
1.42
1.61
1.61
1.61
1.45
1.45
1.75
1.81
1.76
1.90
1.87
1.83
1.88
1.82
102.92374
102.28561
102.51359
97.08010
98.71777
96.35727
97.70589
101.27326
Ölçü sayısı
n=8
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 8-3>0
Dengeleme var.
65
S i− j
2194.193
1924.510
1875.414
2194.200
1562.956
1495.632
1924.500
1562.961
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
∆H 2−3 + v∆H 2−3 = H 3 − H 2
∆H 2−3 + v∆H 2−3 = H 3 − x
∆H 2−5 + v∆H 2−5 = H 5 − H 2
∆H 2−5 + v∆H 2−5 = y − x
∆H 2−6 + v∆H 2−6 = H 6 − H 2
∆H 2−6 + v∆H 2−6 = z − x
∆H 3−2 + v∆H 3−2 = H 2 − H 3
∆H 3−2 + v∆H 3−2 = x − H 3
∆H 3−5 + v∆H 3−5 = H 5 − H 3
∆H 3−5 + v∆H 3−5 = y − H 3
∆H 3−6 + v∆H 3−6 = H 6 − H 3
∆H 3−6 + v∆H 3−6 = z − H 3
∆H 5−2 + v∆H 5−2 = H 2 − H 5
∆H 5−2 + v∆H 5−2 = x − y
∆H 5−3 + v∆H 5−3 = H 3 − H 5
∆H 5−3 + v∆H 5−3 = H 3 − y
x = x0 + dx
y = y0 + dy
z = z0 + dz
v∆H 2−3 = H 3 − x − ∆H 2−3
v∆H 2−3 = H 3 − x0 − dx − ∆H 2−3
v∆H 2−5 = y − x − ∆H 2−5
v∆H 2−5 = y0 + dy − x0 − dx − ∆H 2−5
v∆H 2−6 = z − x − ∆H 2−6
v∆H 2−6 = z0 + dz − x0 − dx − ∆H 2−6
v∆H 3−2 = x − H 3 − ∆H 3−2
v∆H 3−2 = x0 + dx − H 3 − ∆H 3−2
v∆H 3−5 = y − H 3 − ∆H 3−5
v∆H 3−5 = y0 + dy − H 3 − ∆H 3−5
v∆H 3−6 = z − H 3 − ∆H 3−6
v∆H 3−6 = z0 + dz − H 3 − ∆H 3−6
v∆H 5−2 = x − y − ∆H 5−2
v∆H 5−2 = x0 + dx − y0 − dy − ∆H 5−2
v∆H 5−3 = H 3 − y − ∆H 5−3
v∆H 5−3 = H 3 − y0 − dy − ∆H 5−3
v∆H 2−3 = −dx + H 3 − x0 − ∆H 2−3
−  1 = H 3 − x0 − ∆H 2−3
v∆H 2−5 = −dx + dy + y0 − x0 − ∆H 2−5
−  2 = y0 − x0 − ∆H 2−5
v∆H 2−6 = −dx + dz + z0 − x0 − ∆H 2−6
−  3 = z0 − x0 − ∆H 2−6
v∆H 3−2 = dx + x0 − H 3 − ∆H 3−2
−  4 = x0 − H 3 − ∆H 3−2
v∆H 3−5 = dy + y0 − H 3 − ∆H 3−5
−  5 = y0 − H 3 − ∆H 3−5
v∆H 3−6 = dz + z0 − H 3 − ∆H 3−6
−  6 = z0 − H 3 − ∆H 3−6
v∆H 5−2 = dx − dy + x0 − y0 − ∆H 5−2
−  7 = x0 − y0 − ∆H 5−2
v∆H 5−3 = −dy + H 3 − y0 − ∆H 5−3
−  8 = H 3 − y0 − ∆H 5−3
66
Yükseklik farkları ∆H ij = S1−2 ⋅ cot Z1−2 + i − t +
K=
1− k
1 − 0.13
=
= 0.0000000683
2 ⋅ r 2 ⋅ 63700000
DN
BN
S i− j
Z i− j
2
3
5
6
2
5
6
2
3
2194.193
1924.510
1875.414
2194.200
1562.956
1495.632
1924.500
1562.961
102.92374
102.28561
102.51359
97.08010
98.71777
96.35727
97.70589
101.27326
3
5
1− k 2
⋅ S1−2 yardımıyla hesaplanır.
2⋅r
S1− 2 ⋅ cot Z1− 2
-100.841
-69.124
-15.130
100.709
31.484
85.673
69.381
-31.264
i
t
K ⋅ Si2− j
H 0j − H i0
∆H i − j
−  (cm)
1.42
1.42
1.42
1.61
1.61
1.61
1.45
1.45
1.75
1.81
1.76
1.90
1.87
1.83
1.88
1.82
0.3288
0.2529
0.2402
0.3288
0.1668
0.1528
0.2529
0.1668
-100.748
-69.357
-15.142
100.748
31.391
85.606
69.357
-31.391
-100.843
-69.261
-15.230
100.748
31.391
85.606
69.204
-31.467
9.4
-9.6
8.8
0
0
0
15.3
7.6
v∆H 2−3 = −dx + 9.4
v∆H 2−3 = −1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 9.4
v∆H 2−5 = −dx + dy − 9.6
v∆H 2−5 = −1 ⋅ dx + 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz − 9.6
v∆H 2−6 = −dx + dz + 8.8
v∆H 2−6 = −1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 1 ⋅ dz + 8.8
v∆H 3−2 = dx + 0.0
v∆H 3−2 = 1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 0.0
v∆H 3−5 = dy + 0.0
v∆H 3−5 = 0 ⋅ dx + 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 0.0
v∆H 3−6 = dz + 0.0
v∆H 3−6 = 0 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 1 ⋅ dz + 0.0
v∆H 5−2 = dx − dy + 15.3
v∆H 5−2 = 1 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 15.3
v∆H 5−3 = −dy + 7.6
v∆H 5−3 = 0 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 7.6
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
v∆H 2−3  − 1 0
v∆H  − 1
1
2 −5 


v∆H 2−6  − 1 0
 

v∆H 3− 2  =  1 0
 v∆H 3−5   0
1
 

0
v∆H 3−6   0
v∆H   1 − 1
5− 2
 

 v∆H 5−3   0 − 1
0
 − 9.5
 9.6

0


 − 8.8
1

  dx  
0   
0
⋅ dy −
0   
0

  dz  
1
0

− 15.3
0



0
 − 7.6
67
 5 −2
N = A A = − 2
4
 − 1
0
Q xx = N
−1
− 6.66
n = A  =  32.52
 − 8.80
− 1
0
2
T
T
0.2857 0.1429 0.1429
= 0.1429 0.3214 0.0714
0.1429 0.0714 0.5714
 dx   1.49
x = Q xx ⋅ n = dy  =  8.87  cm
 dz  − 3.65
Bilinmeyenlerin kesin değeri
 x   x0  dx 
 y  =  y  + dy 
   0  
 z   z0   dz 
 x  1117.001  1.49 1117.0159
 y  = 1047.644 +  8.87  = 1047.7327

 
 
  
 z  1101.859 − 3.65 1101.8225
Düzeltmeler v = A ⋅ x − 
v∆H 2−3  − 1 0
v∆H  − 1
1
2 −5 


v∆H 2−6  − 1 0
 

v∆H 3− 2  =  1 0
 v∆H 3−5   0
1
 

0
v∆H 3−6   0
v∆H   1 − 1
5− 2
 

 v∆H 5−3   0 − 1
0
 − 9.5  7.97 
 9.6 − 2.22

0

 


 − 8.8  3.66
1

 
  1.49 
0 
0  1.49


=
⋅ 8.87  −

0 
0  8.87 

 
 − 3.65 
1 
0  − 3.66

− 15.3  7.93
0

 


0
 − 7.6  − 1.27 
Dengeli ölçüler
∆Hˆ i − j = ∆H i − j + v∆H i − j
 ∆Hˆ 2−3   ∆H 2−3  v∆H 2−3 
 ˆ  

 
∆H 2−5  ∆H 2−5  v∆H 2−5 
∆Hˆ −  ∆H 2−6  v∆H 2−6 
 2 6 

 
 ∆Hˆ 3− 2  =  ∆H 3− 2  + v∆H 3− 2 
 ∆Hˆ   ∆H   v∆H 
3− 5
 3− 5   3− 5  

 ∆Hˆ 3−6   ∆H 3−6  v∆H 3−6 
 Hˆ  ∆H  v∆H 
5− 2
 ∆ 5− 2   5− 2  

ˆ
 ∆H 5−3   ∆H 5−3   v∆H 5−3 
 ∆Hˆ 2 − 3  − 100.843  7.97  − 100.763
 ˆ  

 
 
∆H 2 − 5   − 69.261  − 2.22  − 69.283 
∆Hˆ 2 − 6   − 15.230   3.66  − 15.193 
 


 
 
 ∆Hˆ 3 − 2  =  100.748  +  1.49 =  100.763 
 ∆Hˆ   31.391   8.87   31.480 
 3−5  

 
 
 ∆Hˆ 3 − 6   85.606   − 3.66  85.569 
 Hˆ   69.204   7.93  69.283 
∆ 5 − 2  

 
 
ˆ
 ∆H 5 − 3   − 31.467   − 1.27   − 31.480 
68
Dengeli ölçülerinin denetimi
Dengeli ölçülerden hesaplanan dengeli düşey açılar ve dengeli koordinatlardan hesaplanan
dengeli düşey açılar için aşağıdaki kontrol yapılır.
∆Hˆ i − j = ∆H i − j + v∆H i − j = Hˆ j − Hˆ i
− 100.763 − 100.763
 − 69.283   − 69.283 

 

 − 15.193   − 15.193 

 

 100.763  =  100.763 
 31.480   31.480 

 

 85.569   85.569 
 69.283   69.283 

 

 − 31.480   − 31.480 
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v v
240.58
=±
= ±6.94 cm
8−3
n−u
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q xx = N
−1
0.2857 0.1429 0.1429
= 0.1429 0.3214 0.0714
0.1429 0.0714 0.5714
m x = ± m0 q xx = ±6.94 0.2857 = ±3.71
cm
m y = ± m0 q yy = ±6.94 0.3214 = ±3.93
m z = ± m0 q zz = ±6.94 0.5714 = ±5.24
Ölçülerin Ortalama Hatası
m i = ±
m0
cm
pi
Ağırlılar eşit alındığı için ölçülerin ortalama hatası karesel ortalama hataya eşittir.
69
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
 0.29
 0.14

 0.14

− 0.29
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 
− 0.14

− 0.14
− 0.14

 0.14
m∆Hˆ
i− j
m∆Hˆ
2 −3
m∆Hˆ
2 −5
m∆Hˆ
2−6
m∆Hˆ
3− 2
0.14
0.32
0.07
− 0.14
0.18
− 0.07
− 0.32
− 0.18
0.14 − 0.29 − 0.14 − 0.14 − 0.14
0.14
0.07 − 0.14
0.18 − 0.07 − 0.32 − 0.18
0.57 − 0.14 − 0.07
0.43 − 0.07
0.07

− 0.14
0.29
0.14
0.14
0.14 − 0.14
− 0.07
0.14
0.32
0.07 − 0.18 − 0.32

0.43
0.14
0.07
0.57
0.07 − 0.07
− 0.07
0.14 − 0.18
0.07
0.32
0.18

0.07 − 0.14 − 0.32 − 0.07
0.18
0.32
= ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ Dengeli ölçülerin ortalama hataları
i i
= 3.71
m∆Hˆ
3− 5
= 3.93
m∆Hˆ
3− 6
= 5.24
m∆Hˆ
5− 2
= 3.71
m∆Hˆ
5−3
= 3.93 cm
= 5.24
= 3.93
= 3.93
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
0
0
0

0
0

0
0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1
p −1
1
0

0

0
=
0

0
0

0
Q vv
 0.71
 0.14

 0.14

− 0.29
=
− 0.14

− 0.14
− 0.14

 0.14
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0.14
0.14 − 0.29 − 0.14 − 0.14 − 0.14
0.68
0.07 − 0.14
0.18 − 0.07 − 0.32
0.07
0.43 − 0.14 − 0.07
− 0.14 − 0.14
0.71
0.14
0.18 − 0.07
0.14
0.68
0.43 − 0.07
0.14
0.14
0.07 − 0.18
− 0.07
0.43
− 0.32 − 0.07
0.43
0.07
0.07
0.68
0.07 − 0.14 − 0.32 − 0.07
0.18
− 0.18
0.14
0.07
0.14 − 0.18
70
0.14
− 0.18
0.07 

− 0.14
− 0.32

− 0.07 
0.18

0.68
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 = 5.86
mv5 = 5.71 cm
mv 2 = 5.71
mv6 = 4.54
mv3 = 4.54
mv7 = 5.71
mv 4 = 5.86
mv8 = 5.71
i i
71
9. GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
GPS ağları 3 boyutlu konum ağlarıdır. Bu ağların koordinat sistemi yer merkezlidir
(Jeosantrik). Bu ağlarda ölçüler GPS alıcıları ile yapılır. Bir GPS ağında bir noktanın X, Y, Z
Kartezyen koordinatlarını bilmek o ağdaki diğer tüm noktalara koordinat taşımak için
yeterlidir. GPS ağlarında yüksek doğruluk elde etmek için bağıl konum belirlenir (bazlar
belirlenir). Bir bazı belirlemek demek o bazdaki ∆X , ∆Y ve ∆Z koordinat farklarını
belirlemek demektir.
Z
P2 ( X 2 , Y2 , Z 2 )
∆Z1−2 = Z 2 − Z1
( X 1 , Y1 , Z1 ) P1
Y
∆X 1−2 = X 2 − X 1
∆Y1−2 = Y2 − Y1
X
Fonksiyonel Model: Bu problemde fonksiyonumuz iki nokta arasındaki ölçülen baza ait
koordinat farklarıdır. Fonksiyonel modeli koordinat farkları için yazalım ve düzenleyelim.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
∆X 1−2 + Vx1−2 = X 2 − X 1
Vx1−2 = X 2 − X 1 − ∆X 1−2
∆Y1−2 + Vy1−2 = Y2 − Y1
Vy1−2 = Y2 − Y1 − ∆Y1−2
∆Z1−2 + Vz1−2 = Z 2 − Z1
Vz1−2 = Z 2 − Z1 − ∆Z1−2
72
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık
değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki
şekilde düzenleyelim.
X = X 0 + dX
Y = Y 0 + dY
Z = Z 0 + dZ
Burada X 0 , Y 0 ve Z 0 yaklaşık değerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri
yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
Vx1−2 = X 20 + dX 2 − X 10 − dX 1 − ∆X 1−2
Vx1−2 = −dX 1 + dX 2 + X 20 − X 10 − ∆X 1−2
Vy1−2 = Y20 + dY2 − Y10 − dY1 − ∆Y1−2
Vy1−2 = −dY1 + dY2 + Y20 − Y10 − ∆Y1−2
Vz1−2 = Z 20 + dZ 2 − Z10 − dZ1 − ∆Z1−2
Vz1−2 = −dZ1 + dZ 2 + Z 20 − Z10 − ∆Z1−2
Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.
Vx1−2 = −1 ⋅ dX 1 + 0 ⋅ dY1 + 0 ⋅ dZ1 + 1 ⋅ dX 2 + 0 ⋅ dY2 + 0 ⋅ dZ 2 + X 20 − X 10 − ∆X 1−2
Vy1−2 = 0 ⋅ dX 1 − 1 ⋅ dY1 + 0 ⋅ dZ1 + 0 ⋅ dX 2 + 1 ⋅ dY2 + 0 ⋅ dZ 2 + Y20 − Y10 − ∆Y1−2
Vx1−2 = 0 ⋅ dX 1 + 0 ⋅ dY1 − 1 ⋅ dZ1 + 0 ⋅ dX 2 + 0 ⋅ dY2 + 1 ⋅ dZ 2 + Z 20 − Z10 − ∆Z1−2
−  1 = X 20 − X 10 − ∆X 1−2
−  2 = Y20 − Y10 − ∆Y1−2
−  3 = Z 20 − Z10 − ∆Z1−2
Olmak üzere yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 dX 1 
 dY 
1 
Vx
1
0
0
1
0
0
−
1 
 
 1−2  


dZ
1
 
Vy  =  0 − 1 0 0 1 0 ⋅
 dX  −  2 
 1−2  
Vz1−2   0 0 − 1 0 0 1  2   3 
 dY2 


 dZ 2 
73
Stokastik Model: Bir GPS ağında belirlenen bir baza ait varyans-kovaryans matrisinin
duyarlıkları farklı ve korelâsyonludur.
K1−2
 m∆2X1− 2

=  m∆X1− 2∆Y1−2
m∆X ∆Z
 1−2 1−2
K1−2

m∆2X1− 2

=  r∆X1−2∆Y1−2 ⋅ m∆X1−2 ⋅ m∆Y1−2
r∆X ∆Z ⋅ m∆X ⋅ m∆Z
1− 2
1− 2
 1−2 1−2
m∆X1− 2∆Z1− 2 

m∆Y1−2∆Z1−2 
m∆2Z1−2 
m∆X1− 2∆Y1− 2
m∆2Y1−2
m∆Y1−2∆Z1−2
Q1−2 =
K1−2 = m02 ⋅ Q1−2
r∆X1− 2∆Z1−2 ⋅ m∆X1−2 ⋅ m∆Z1−2 

r∆Y1−2∆Z1−2 ⋅ m∆Y1−2 ⋅ m∆Z1−2 
m∆2Z1−2 
r∆X1− 2∆Y1− 2 ⋅ m∆X1− 2 ⋅ m∆Y1− 2
m∆2Y1−2
r∆Y1−2∆Z1−2 ⋅ m∆Y1−2 ⋅ m∆Z1−2
K1−2
m02
p1−2 = Q1−−12
Ağırlık matrisi
Örnek: Aşağıda verilmiş GPS ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle dengeleyiniz. Birim ölçünün
ortalama hatasını m0 = ±2 cm olarak alınız.
NN
4
7
11
X (m)
Y (m)
Z (m)
Kesin Koordinatlar
3710709.539 3084028.627 4157648.644
3710479.640 3084171.030 4157677.581
Yaklaşık Koordinatlar
3710442.600 3084257.800 4157623.100
DN
DN
∆X (m)
∆Y (m)
∆Z (m)
m∆X (cm)
m∆Y (cm)
m∆Z (cm)
7
4
229.897
-142.404
-28.937
1.2
2.4
1.3
11
4
266.878
-229.233
25.473
2.3
1.5
1.0
Ölçü sayısı
n = 2 baz x 3 (koordinat farkı) = 6
Bilinmeyen sayısı
u = 3 (11 numaralı noktanın koordinatları)
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 6-3>0
Dengeleme var.
74
r∆X∆Y =
r∆X∆Z =
r∆Y∆Z =
0.2
0.4
0.3
∆X 7−4 + Vx7−4 = X 4 − X 7
Vx7−4 = X 4 − X 7 − ∆X 7−4
∆Y7−4 + Vy7−4 = Y4 − Y7
Vy7−4 = Y4 − Y7 − ∆Y7−4
∆Z 7−4 + Vz7−4 = Z 4 − Z 7
Vz7−4 = Z 4 − Z 7 − ∆Z 7−4
∆X 11−4 + Vx11−4 = X 4 − X 11
Vx11−4 = X 4 − X 11 − ∆X 11−4
∆Y11−4 + Vy11−4 = Y4 − Y11
Vy11−4 = Y4 − Y11 − ∆Y11−4
∆Z11−4 + Vz11−4 = Z 4 − Z11
Vz11−4 = Z 4 − Z11 − ∆Z11−4
Yaklaşık değerler
X 4 = X 40 + dX 4
Y4 = Y40 + dY4
Z 4 = Z 40 + dZ 4
X 7 = X 70 + dX 7
Y7 = Y70 + dY7
Z 7 = Z 70 + dZ 7
X 11 = X 110 + dX 11
Y11 = Y110 + dY11
Z11 = Z110 + dZ11
Yaklaşık değerleri yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
Vx7−4 = X 40 + dX 4 − X 70 − dX 7 − ∆X 7−4
Vx7−4 = dX 4 − dX 7 + X 40 − X 70 − ∆X 7−4
Vy7−4 = Y40 + dY4 − Y70 − dY7 − ∆Y7−4
Vy7−4 = dY4 − dY7 + Y40 − Y70 − ∆Y7−4
Vz7−4 = Z 40 + dZ 4 − Z 70 − dZ 7 − ∆Z 7−4
Vz7−4 = dZ 4 − dZ 7 + Z 40 − Z 70 − ∆Z 7−4
Vx11−4 = X 40 + dX 4 − X 110 − dX 11 − ∆X 11−4
Vx11−4 = dX 4 − dX 11 + X 40 − X 110 − ∆X 11−4
Vy11−4 = Y40 + dY4 − Y110 − dY11 − ∆Y11−4
Vy11−4 = dY4 − dY11 + Y40 − Y110 − ∆Y11−4
Vz11−4 = Z 40 + dZ 4 − Z110 − dZ11 − ∆Z11−4
Vz11−4 = dZ 4 − dZ11 + Z 40 − Z110 − ∆Z11−4
−  1 = X 40 − X 70 − ∆X 7−4 = 0.2 cm
−  2 = Y40 − Y70 − ∆Y7−4 = 0.1
−  3 = Z 40 − Z 70 − ∆Z 7−4 = 0.0
−  4 = X 40 − X 110 − ∆X 11−4 = 6.1
−  5 = Y40 − Y110 − ∆Y11−4 = 6.0
−  6 = Z 40 − Z110 − ∆Z11−4 = 7.1
75
4 ve 7 numaralı noktalar sabit noktalardır. Bu noktalara herhangi bir düzeltme getirilmez. Bu
noktalara ait dX 4 , dY4 , dZ 4 ve dX 7 , dY7 , dZ 7 bilinmeyenlerini düzeltme denklemlerinden
atalım ve düzenleyelim.
Vx7−4 = 0.2
Vx7−4 = 0 ⋅ dX 11 + 0 ⋅ dY11 + 0 ⋅ dZ11 + 0.2
Vy7−4 = 0.1
Vy7−4 = 0 ⋅ dX 11 + 0 ⋅ dY11 + 0 ⋅ dZ11 + 0.1
Vz7−4 = 0.0
Vz7−4 = 0 ⋅ dX 11 + 0 ⋅ dY11 + 0 ⋅ dZ11 + 0.0
Vx11−4 = −dX 11 + 6.1
Vx11−4 = −dX 11 + 0 ⋅ dY11 + 0 ⋅ dZ11 + 6.1
Vy11−4 = −dY11 + 6.0
Vy11−4 = 0 ⋅ dX 11 − dY11 + 0 ⋅ dZ11 + 6.0
Vz11−4 = −dZ11 + 7.1
Vz11−4 = 0 ⋅ dX 11 + 0 ⋅ dY11 − dZ11 + 7.1
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında (Fonksiyonel Model) yazalım.
− 0.2
Vx7−4   0 0 0

Vy   0 0 0

 7−4  
 dX 11   − 0.1
 Vz7−4   0 0 0 
  − 0.1
=


 ⋅  dY11  − 
Vx11−4  − 1 0 0  dZ   − 6.1
Vy11−4   0 − 1 0  11  − 6.0
 




 − 7.1
Vz11−4   0 0 − 1
Stokastik Model
K 7−4

m∆2X 7−4

=  r∆X 7−4∆Y7−4 ⋅ m∆X 7−4 ⋅ m∆Y7−4
r∆X ∆Z ⋅ m∆X ⋅ m∆Z
7−4
7−4
 7−4 7−4
K 7−4

1.2 2 0.2 ⋅ 1.2 ⋅ 2.4 0.4 ⋅ 1.2 ⋅ 1.3


2.4 2 0.3 ⋅ 2.4 ⋅ 1.3
= 0.2 ⋅ 1.2 ⋅ 2.4
 0.4 ⋅ 1.2 ⋅ 1.3 0.3 ⋅ 2.4 ⋅ 1.3
1.32 

K 7−4
1.44 0.58 0.62
= 0.58 5.76 0.94
0.62 0.94 1.69
r∆X 7−4∆Y7−4 ⋅ m∆X 7−4 ⋅ m∆Y7−4
m∆2Y7−4
r∆Y7−4∆Z7−4 ⋅ m∆Y7−4 ⋅ m∆Z7−4
76
r∆X 7−4∆Z7−4 ⋅ m∆X 7−4 ⋅ m∆Z7−4 

r∆Y7−4∆Z7−4 ⋅ m∆Y7−4 ⋅ m∆Z7−4 
m∆2Z7−4 
K11−4
5.29 0.69 0.92
= 0.69 2.25 0.45
0.92 0.45 1.00
0
0
0
1.44 0.58 0.62
0.58 5.76 0.94
0
0
0

0.62 0.94 1.69
0
0
0
K  = 

0
0
0
5
.
29
0
.
69
0
.
92


 0
0
0 0.69 2.25 0.45


0
0 0.92 0.45 1.00
 0
Baz sayısının çok fazla olduğu GPS ağlarında bu şekilde oluşturulan stokastik modelin tersini
almak bilgisayar kullanarak bile çok zordur. Bu nedenle bazların kendi içerisinde tersini
alarak ağırlıklar hesaplanır. Köşegen bir blok matrisin tersi, blokların ayrı ayrı terslerine
eşittir. Aşağıdaki formüllerden yararlanarak her baz için ağırlıklar hesaplanır.
K 7−4 = m02 ⋅ Q7−4
Q7−4 =
K 7−4
m02
p7−4 = Q7−−14
Q7−4
0.36 0.14 0.16
1.44 0.58 0.62
= 0.58 5.76 0.94 : 2 2 = 0.14 1.44 0.23
0.16 0.23 0.42
0.62 0.94 1.69
P7−4
 3.33 − 0.15 − 1.15
0.77 − 0.37 
=  − 0.15
 − 1.15 − 0.37
3.00
P11−4
 0.91 − 0.12 − 0.78
1.97 − 0.77 
=  − 0.12
 − 0.78 − 0.77
5.07 
77
Ağırlık matrisi
0
0
0
 3.33 − 0.15 − 1.15

 − 0.15
0
.
77
−
0
.
37
0
0
0


 − 1.15 − 0.37
3.00
0
0
0
P=

0
0
0
0.91 − 0.12 − 0.78


0
0
0 − 0.12
1.97 − 0.77 


0
0
0 − 0.78 − 0.77
5.07 

 0.91 − 0.12 − 0.78
N = A p A =  − 0.12
1.97 − 0.77 
 − 0.78 − 0.77
5.07 
T
Q xx = N
−1
− 0.74
n = A p  =  5.58
 26.57 
T
1.32 0.17 0.23
= 0.17 0.56 0.11
 0.23 0.11 0.25
 dx11   6.1
x = Q xx ⋅ n = dy11  = 6.0
 dz11   7.1
cm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
0
 X 11   X 11  dX 11 
 Y  =  Y 0  +  dY 
 11   11   11 
0
 Z11   Z11   dZ11 
dX 11  3710442.600   6.1 3710442.661
 dY  = 3084257.800  + 6.0 = 3084257.860

   
 11  
 dZ11  4157623.100  7.1  4157623.171
Düzeltmeler v = A ⋅ x − 
− 0.2 0.2
Vx7−4   0 0 0
  
Vy   0 0 0

 7−4  
  6.1  − 0.1  0.1
 Vz7−4   0 0 0    − 0.1 0.0
=
= 

 ⋅ 6.0 − 
Vx11−4  − 1 0 0  7.1  − 6.1 0.0


Vy11−4   0 − 1 0
− 6.0 0.0
 
  



 − 7.1 0.0
Vz11−4   0 0 − 1
Dengeli ölçüler
 ∆Xˆ 7 −4   ∆X 7 −4  Vx7 −4 
 ˆ  

 
 ∆Y7 −4   ∆Y7 −4  Vy7 −4 
 ∆Zˆ   ∆Z 7 −4   Vz 7 −4 
 7−4  = 

+
∆Xˆ 11−4  ∆X 11−4  Vx11−4 
 ∆Yˆ   ∆Y  Vy 
 11−4   11−4   11−4 
 ∆Zˆ11−4   ∆Z11−4  Vz11−4 
 ∆Xˆ 7 −4   229.897 0.2  229.899
 ˆ  

   
 ∆Y7 −4   − 142.404  0.1  − 142.403
 ∆Zˆ 7 −4   − 28.937 0.0  − 28.937 
=


+ =
∆Xˆ 11−4   266.878 0.0  266.878
 ∆Yˆ  − 229.233 0.0 − 229.233
 11−4  

   
 ∆Zˆ11−4   25.473 0.0  25.473
78
Dengeli ölçülerinin denetimi
 ∆X 7−4 + Vx7−4   X 4 − X 7 
 ∆Y + Vy   Y − Y 
7−4 
 4 7 
 7−4
 ∆Z 7−4 + Vz7−4   Z 4 − Z 7 

=

∆X 11−4 + Vx11−4   X 4 − X 11 
 ∆Y11−4 + Vy11−4   Y4 − Y11 

 

 ∆Z11−4 + Vz11−4   Z 4 − Z11 
 229.899  229.899
 − 142.403  − 142.403

 

 − 28.937   − 28.937 

=

 266.878  266.878
− 229.233 − 229.233

 

 25.473  25.473
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v pv
n−u
=±
0.14
= ±0.21 cm
6−3
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Q xx = N
−1
1.32 0.17 0.23
= 0.17 0.56 0.11
 0.23 0.11 0.25
m x = ± m0 q xx = ±0.21 1.32 = ±0.24
cm
m y = ± m0 q yy = ±0.21 0.56 = ±0.16
m z = ± m0 q zz = ±0.21 0.25 = ±0.11
Ölçülerin Ortalama Hatası
m i = ±
m∆X 7−4 = 0.12
m∆X11−4 = 0.22
m∆Y7−4 = 0.24
m∆Y11−4 = 0.15
m∆Z7−4 = 0.12
m∆Z11−4 = 0.09
m0
cm
pi
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
0
0

0
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 
0
0

0
0
0
0

0 0 1.32 0.17 0.23
0 0 0.17 0.56 0.11

0 0 0.23 0.11 0.25
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0
0
0
79
= ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
=0
m∆Xˆ
m∆Yˆ
=0
m∆Yˆ
= 0.16
m∆Zˆ
=0
m∆Zˆ
= 0.11
m∆Xˆ
i− j
m∆Xˆ
7−4
7−4
7−4
i i
11− 4
11− 4
11− 4
= 0.24
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
0
0
0
0.36 0.14 0.16
0.14 1.44 0.23
0
0
0

0.16 0.23 0.42
0
0
0
p −1 = 

0
0 1.32 0.17 0.23
 0
 0
0
0 0.17 0.56 0.11


0
0 0.23 0.11 0.25
 0
0.36 0.14 0.16
0.14 1.44 0.23

0.16 0.23 0.42
Q vv = 
0
0
 0
 0
0
0

0
0
 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
mvi − j = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv7−4 = 0.13
mv11−4 = 0 cm
mv7−4 = 0.25
mv11−4 = 0
mv7−4 = 0.14
mv11−4 = 0
i i
80
Örnek: Şekildeki GPS nirengi ağında;
a) 101-102 bazına ait düzeltme denklemlerini v = A ⋅ x −  formatında yazınız.
b) Birim ölçünün ortalama hatasını m0 = ±2 cm alarak baz vektörüne ilişkin varyanskovaryans matrisini oluşturunuz. r∆X∆Y = r∆X∆Z = r∆Y∆Z = 0.5
P301
P302
NN
101
102
P101
P102
X (m)
Y (m)
Z (m)
Yaklaşık Koordinatlar
3710479.640 3084171.030 4157677.581
3710709.539 3084028.627 4157648.644
DN
101
DN
DN
102
DN
101
102
∆X (m)
229.897
m∆X (cm)
2
∆Y (m)
-142.404
m∆Y (cm)
4
∆Z (m)
-28.937
m∆Z (cm)
3
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
∆X 101−102 + Vx101−102 = X 102 − X 101
Vx101−102 = X 102 − X 101 − ∆X 101−102
∆Y101−102 + Vy101−102 = Y102 − Y101
Vy101−102 = Y102 − Y101 − ∆Y101−102
∆Z101−102 + Vz101−102 = Z102 − Z101
Vz101−102 = Z102 − Z101 − ∆Z101−102
Dengeleme hesabı problemlerinde büyük değerlerle çalışılmaz. Bunun yerine yaklaşık
değerler kullanılarak küçük değerlerle çalışılır. X , Y ve Z bilinmeyenlerini aşağıdaki
şekilde düzenleyelim.
X = X 0 + dX
Y = Y 0 + dY
Z = Z 0 + dZ
Burada X 0 , Y 0 ve Z 0 yaklaşık değerler; dX , dY ve dZ bilinmeyenler olurlar. Bu değerleri
yukarıdaki denklemlerde yerine koyalım ve düzenleyelim.
0
0
Vx101−102 = X 102
+ dX 102 − X 101
− dX 101 − ∆X 101−102
0
0
Vy101−102 = Y102
+ dY102 − Y101
− dY101 − ∆Y101−102
0
0
Vz101−102 = Z102
+ dZ102 − Z101
− dZ101 − ∆Z101−102
81
0
0
Vx101−102 = −dX 101 + dX 102 + X 102
− X 101
− ∆X 101−102
0
0
Vy101−102 = −dY101 + dY102 + Y102
− Y101
− ∆Y101−102
0
0
Vz101−102 = −dZ101 + dZ102 + Z102
− Z101
− ∆Z101−102
Denklemleri bilinmeyenlere göre düzenleyelim.
0
0
Vx101−102 = −1 ⋅ dX 101 + 0 ⋅ dY101 + 0 ⋅ dZ101 + 1 ⋅ dX 102 + 0 ⋅ dY102 + 0 ⋅ dZ102 + X 102
− X 101
− ∆X 101−102
0
0
− Y101
− ∆Y101−102
Vy101−102 = 0 ⋅ dX 101 − 1 ⋅ dY101 + 0 ⋅ dZ101 + 0 ⋅ dX 102 + 1 ⋅ dY102 + 0 ⋅ dZ102 + Y102
0
0
Vx101−102 = 0 ⋅ dX 101 + 0 ⋅ dY101 − 1 ⋅ dZ101 + 0 ⋅ dX 102 + 0 ⋅ dY102 + 1 ⋅ dZ102 + Z102
− Z101
− ∆Z101−102
0
0
−  1 = X 102
− X 101
− ∆X 101−102 = 709.539 − 479.640 − 229.897 = 0.2
0
0
−  2 = Y102
− Y101
− ∆Y101−102 = 4028.627 − 4171.030 − (−142.404) = 0.1
0
0
−  3 = Z102
− Z101
− ∆Z101−102 = 648.644 − 677.581 − (−28.937) = 0.0
Olmak üzere yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 dX 101 
 dY 
101 
− 0.2
Vx101−102  − 1 0 0 1 0 0 
 =  0 − 1 0 0 1 0 ⋅  dZ101  −  0.1
Vy

 dX  
 101−102  
Vz101−102   0 0 − 1 0 0 1  102   0.0
 dY102 


 dZ102 
K1−2
m∆2X101−102

=


K101−102
r∆X101−102∆Y101−102 ⋅ m∆X101−102 ⋅ m∆Y101−102
m∆2Y101−102

2 2 0.5 ⋅ 2 ⋅ 4 0.5 ⋅ 2 ⋅ 3


4 2 0.5 ⋅ 4 ⋅ 3
= 0.5 ⋅ 2 ⋅ 4
 0.5 ⋅ 2 ⋅ 3 0.5 ⋅ 4 ⋅ 3
32 

r∆X101−102∆Z101−102 ⋅ m∆X101−102 ⋅ m∆Z101−102 

r∆Y101−102∆Z101−102 ⋅ m∆Y101−102 ⋅ m∆Z101−102 
m∆2Z101−102 
K101−102
82
4 4 3
= 4 16 6
 3 6 9
10. GPS NİVELMANI
Günümüzde yükseklik belirlemede ağırlıklı olarak nivelman ölçüleri kullanılmaktadır. Ancak
nivelman ölçülerini yapmak zor ve zahmetli bir iştir. GPS nivelman yöntemi ekonomik ve
zaman kazandıran bir yöntem olması nedeniyle nivelman ölçülerine alternatif bir konuma
gelmiştir.
Haritacılık uygulamalarında amaca ulaşma adına birçok yükseklik tanımı yapılmıştır.
Uygulamada geometrik anlamı nedeniyle Ortometrik Yükseklik (H) tercih edilmektedir.
Ortometrik yükseklik ortalama deniz yüzeyi ile çakışan Jeoid’ten yüzeydeki noktaya olan
düşey mesafedir. GPS ten elde edilen yükseklikler (h) ise referans Elipsoidinden yüzeydeki
noktaya olan mesafedir. Bu yükseklik geometrik olarak bize bir anlam ifade etmez. Ancak biz
GPS ten bu yükseklik bilgisini alırız. İki yükseklik sistemi arasındaki geoid ondülasyonu (N)
(dalgalanma) kadar bir fark vardır. İki sistem arasındaki bu fark belirlenebilirse elipsoid
yükseklikleri ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Bu bağlamda belirli bir alanda yeterli
sayıda ortometrik yüksekliği bilinen nokta varsa bu noktalarda GPS ten elde edilen elipsoid
yükseklikleri bir model yardımıyla ortometrik yüksekliklere dönüştürülebilir. Yukarıdaki
şekil bu dönüşüm ilişkisini açıkça göstermektedir.
İki yükseklik sistemi arasındaki dönüşüm için birçok enterpolasyon yöntemi tanımlanmıştır.
Polinomlarla enterpolasyon en çok tercih edilenidir. Genelde çift değişkenli analitik bir yüzey
fonksiyonu bu iş için yeterli görülmektedir.
83
n. dereceden çift değişkenli ( x, y : bağımsız değişkenler) jeoid ondülasyonu için bir
polinomun genel ifadesi aşağıdaki gibi yazılabilir.
N = ∑ aij ⋅ x i ⋅ y j
Derece
0
i
j
0
0
1
0
0
1
2
0
1
1
0
2
3
0
2
1
1
2
0
3
1
2
3
Bu fonksiyonu dereceye göre açalım.
N = ∑ aij ⋅ x i ⋅ y j
N = ∑ a00 ⋅ x ⋅ y
0
0
N = ∑ a10 ⋅ x1 ⋅ y 0
N = ∑ a01 ⋅ x 0 ⋅ y1
N = ∑ a20 ⋅ x 2 ⋅ y 0
N = ∑ a11 ⋅ x1 ⋅ y1
N = ∑ a02 ⋅ x 0 ⋅ y 2
N = ∑ a30 ⋅ x 3 ⋅ y 0
N = ∑ a21 ⋅ x 2 ⋅ y1
N = ∑ a12 ⋅ x1 ⋅ y 2
N = ∑ a03 ⋅ x 0 ⋅ y 3
N
N = a00
N = a10 ⋅ x
N = a01 ⋅ y
N = a20 ⋅ x 2
N = a11 ⋅ x ⋅ y
N = a02 ⋅ y 2
N = a30 ⋅ x 3
N = a21 ⋅ x 2 ⋅ y
N = a12 ⋅ x ⋅ y 2
N = a03 ⋅ y 3
Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. Derece için yazalım.
N = a00 + a10 ⋅ x + a01 ⋅ y + a20 ⋅ x 2 + a11 ⋅ x ⋅ y + a02 ⋅ y 2
Yukarıdaki Analitik Yüzey Fonksiyonunu 2. derece bir polinomdur. Bu polinom açılımında
a00 , a10 , a01 , a20 , a11 , a02 polinom katsayılarıdır. Bu fonksiyonda f ( x, y ) = 0 şartını sağlayan x
ve y değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.
Yukarıdaki fonksiyonu u tane dayanak noktası için yazalım ( i = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅, u )
N i = a00 + a10 ⋅ xi + a01 ⋅ yi + a20 ⋅ xi2 + a11 ⋅ xi ⋅ yi + a02 ⋅ yi2
84
N1 = a00 + a10 ⋅ x1 + a01 ⋅ y1 + a20 ⋅ x12 + a11 ⋅ x1 ⋅ y1 + a02 ⋅ y12
N 2 = a00 + a10 ⋅ x2 + a01 ⋅ y2 + a20 ⋅ x22 + a11 ⋅ x2 ⋅ y2 + a02 ⋅ y22
N 3 = a00 + a10 ⋅ x3 + a01 ⋅ y3 + a20 ⋅ x32 + a11 ⋅ x3 ⋅ y3 + a02 ⋅ y32
N 4 = a00 + a10 ⋅ x4 + a01 ⋅ y4 + a20 ⋅ x42 + a11 ⋅ x4 ⋅ y4 + a02 ⋅ y42
⋅⋅⋅
Haritacılıkta kullanılan koordinatlar büyük değerlerdir. Koordinatlar bu halleriyle matris
hesabında kullanılamaz. Bunun yerine koordinatların normlandırılmış değerleri kullanılır.
x=
x1 + x2 + x3 + ⋅ ⋅ ⋅ + xu
u
ortalama x koordinatı
y=
y1 + y2 + y3 + ⋅ ⋅ ⋅ + yu
u
ortalama y koordinatı
Normlandırılmış (küçültülmüş) koordinatlar
xi′ =
x − xi
1000
yi′ =
y − yi
1000
x1′ =
x − x1
1000
x2′ =
x − x2
1000
x3′ =
x − x3
1000
x4′ =
x − x4
1000
y1′ =
y − y1
1000
y2′ =
y − y2
1000
y3′ =
y − y3
1000
y4′ =
y − y4
1000
N1 = a00 + a10 ⋅ x1′ + a01 ⋅ y1′ + a20 ⋅ x1′2 + a11 ⋅ x1′ ⋅ y1′ + a02 ⋅ y1′2
N 2 = a00 + a10 ⋅ x2′ + a01 ⋅ y2′ + a20 ⋅ x2′2 + a11 ⋅ x2′ ⋅ y2′ + a02 ⋅ y2′2
N 3 = a00 + a10 ⋅ x3′ + a01 ⋅ y3′ + a20 ⋅ x3′2 + a11 ⋅ x3′ ⋅ y3′ + a02 ⋅ y3′2
N 4 = a00 + a10 ⋅ x4′ + a01 ⋅ y4′ + a20 ⋅ x4′2 + a11 ⋅ x4′ ⋅ y4′ + a02 ⋅ y4′2
⋅⋅⋅
85
Bu denklem sistemini düzenlersek
a00 + a10 ⋅ x1′ + a01 ⋅ y1′ + a20 ⋅ x1′2 + a11 ⋅ x1′ ⋅ y1′ + a02 ⋅ y1′2 − N1 = 0
a00 + a10 ⋅ x′2 + a01 ⋅ y2′ + a20 ⋅ x2′2 + a11 ⋅ x2′ ⋅ y2′ + a02 ⋅ y2′2 − N 2 = 0
a00 + a10 ⋅ x3′ + a01 ⋅ y3′ + a20 ⋅ x3′2 + a11 ⋅ x3′ ⋅ y3′ + a02 ⋅ y3′2 − N 3 = 0
a00 + a10 ⋅ x′4 + a01 ⋅ y4′ + a20 ⋅ x4′2 + a11 ⋅ x4′ ⋅ y4′ + a02 ⋅ y4′2 − N 4 = 0
⋅⋅⋅
Denklem sisteminin matris gösterimi A ⋅ x −  = 0 şeklinde
1

1
1

1
⋅

Bu
x1′
x′2
x3′
x4′
y1′
y′2
y3′
y4′
x1′ 2
x′22
x3′2
x4′2
x1′ ⋅ y1′
x′2 ⋅ y2′
x3′ ⋅ y3′
x4′ ⋅ y4′
⋅
⋅
⋅
⋅
denklem
lineer
a00 
y1′ 2     N1 
 a10  
y′22     N 2 
 a01 
y3′2  ⋅   −  N 3  = 0
 a20  
y4′2     N 4 
a11
⋅     ⋅ 
a02 
bir
denklem
sistemidir.
Lineer
a00 + a10 ⋅ xi + a01 ⋅ yi + a20 ⋅ xi2 + a11 ⋅ xi ⋅ yi + a02 ⋅ yi2 − N i = 0
denklem
şartını
sistemi
sağlayan
çözülerek
x
ve
y
değişkeninin değerinin bulunması polinomun çözümü anlamına gelir.
Örnek: Aşağıdaki tabloda noktaların koordinatları, ortometrik yükseklikleri ve jeoid
yükseklikleri verilmektedir. N = a00 + a10 ⋅ x + a01 ⋅ y şeklindeki 1. derece polinom yardımıyla
P5 noktasının ortometrik yüksekliğini hesaplayınız.
NN
P1
P2
P3
P4
P5
Sağa
y
9121.569
4139.007
1965.772
5985.901
6321.854
Yukarı
h
H
N=h-H
x
(m)
(m)
(m)
1060.477 1223.48 1188.61 34.87
749.228 986.84 952.23 34.61
7055.988 929.37 894.80 34.57
9645.566 888.53 853.82 34.71
4938.485 1008.75
?
?
86
Çözüm: Bu problemde verilen 4 nokta için N = a00 + a10 ⋅ x + a01 ⋅ y eşitliği yazılır.
Ölçü sayısı
n=4
Bilinmeyen sayısı
u=3
Serbestlik Derecesi
f = n-u = 4-3>0
Dengeleme var.
N1 = a00 + a10 ⋅ x1 + a01 ⋅ y1
N 2 = a00 + a10 ⋅ x2 + a01 ⋅ y2
N 3 = a00 + a10 ⋅ x3 + a01 ⋅ y3
N 4 = a00 + a10 ⋅ x4 + a01 ⋅ y4
x=
x1 + x 2 + x3 + x 4
= 4627.815
4
ortalama x koordinatı
y=
y1 + y 2 + y 3 + y 4
= 5303.062
4
ortalama y koordinatı
x1′ =
x − x1
= 3.5673
1000
x 2′ =
x − x2
= 3.8786
1000
x3′ =
x − x3
= −2.4282
1000
x 4′ =
x − x4
= −5.0178
1000
y1′ =
y − y1
= −3.8185
1000
y 2′ =
y − y2
= 1.1641
1000
y 3′ =
y − y3
= 3.3373
1000
y 4′ =
y − y4
= −0.6828
1000
N1 = a00 + a10 ⋅ x1′ + a01 ⋅ y1′
34.87 = a 00 + a10 ⋅ 3.5673 + a 01 ⋅ (−3.8185)
N 2 = a00 + a10 ⋅ x2′ + a01 ⋅ y2′
34.61 = a 00 + a10 ⋅ 3.8786 + a 01 ⋅ 1.1641
N 3 = a00 + a10 ⋅ x3′ + a01 ⋅ y3′
34.57 = a 00 + a10 ⋅ (−2.4282) + a 01 ⋅ 3.3373
N 4 = a00 + a10 ⋅ x4′ + a01 ⋅ y4′
34.71 = a 00 + a10 ⋅ (−5.0178) + a 01 ⋅ (−0.6828)
87
a 00 + 3.5673 ⋅ a10 − 3.8185 ⋅ a 01 − 34.87 = 0
a 00 + 3.8786 ⋅ a10 + 1.1641 ⋅ a 01 − 34.61 = 0
a 00 − 2.4282 ⋅ a10 + 3.3373 ⋅ a 01 − 34.57 = 0
a 00 − 5.0178 ⋅ a10 − 0.6828 ⋅ a 01 − 34.71 = 0
Denklem sisteminin matris gösterimi A ⋅ x −  = 0 şeklinde
3.5673 − 3.8185
34.87 
1
a 00  
1

3.8786
1.1641    34.61

=0
⋅ a10 −
1 − 2.4282
3.3373   34.57 

  a 01  

1
5
.
0178
0
.
6828
−
−
 34.71


0
0
4
N = AT A = 0
58.8432 − 13.7842
0 − 13.7842
27.5398
138.76
n = A  =  0.52
 − 1.19
T
Q xx = N
−1
0
0
0.25

=  0 0.0193 0.0096
 0 0.0096 0.0411
a00   34.69
x = N ⋅ n =  a10  = − 0.0014
 a01   − 0.0441
−1
v = A⋅ x −  = 0
3.5673 − 3.8185
 v1  1
34.87  − 0.02
 34.69 
v  1

3.8786
1.1641 
34.61  0.02

 2 = 

=
⋅ − 0.0014 −
 v3  1 − 2.4282
34.57  − 0.02
3.3373 
  
 

  − 0.0441 
 34.71  0.02
v4  1 − 5.0178 − 0.6828
88
Yeni noktanın yüksekliği
x5′ =
x − x5
= −0.3107
1000
y5′ =
y − y5
= −1.0188
1000
N 5 = a00 + a10 ⋅ x5′ + a01 ⋅ y5′
[N 5 ] = [1
x5′
a00 
y5′ ]⋅  a10 
 a01 
[N 5 ] = [34.74]
 34.69
[N 5 ] = [1 − 0.3107 − 1.0188]⋅ − 0.0014
 − 0.0441
H5 = h5 – N5 = 1008.75 – 34.74 = 974.01 m
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v v
0.0017
=±
= ±0.041 m
n−u
4−3
Açıklama: Bu değer yönetmeliğe göre 5 cm yi geçemez.
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
Qxx = N
−1
0
0
0.25

=  0 0.0193 0.0096
 0 0.0096 0.0411
ma00 = ± m0 q xx = ±0.041 0.2500 = ±0.020 m
ma10 = ± m0 q yy = ±0.041 0.0193 = ±0.006
ma01 = ± m0 q zz = ±0.041 0.0411 = ±0.008
89
11. SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
Doğrultu ağlarında doğrultular, kenar ağlarında uzunluklar, doğrultu-kenar ağlarında hem
doğrultular ve hem de uzunluklar, nivelman ağlarında yükseklik farkları, trigonometrik
nivelman ağlarında düşey açılar ya da yükseklik farkları (düşey açılardan hesaplanır), GPS
ağlarında üç boyutlu koordinat farkları (kod, faz ve zaman ölçülerinden) ölçülür. Bu ölçüler
ilgili jeodezik ağın belirli bir koordinat sisteminde yeri, yönü ve ölçeği konusunda hiçbir bilgi
içermezler. Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik ağlara SERBEST ağlar denir.
Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri, ölçeği ve yönü konusunda bilgi
veren parametrelere DATUM parametreleri denir.
a) Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir koordinat sisteminde
tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının yükseklik koordinatı o koordinat
sisteminde bilinmesi gerekir.
b) Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az iki
noktasının koordinatları bilinmelidir.
c) Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az
bir noktasının koordinatları bilinmelidir ve en az bir doğrultusunun yönü
bilinmelidir.
d) Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir
noktasının X, Y ve Z koordinatları o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.
Ağın Türü
d
Datum parametre Türü
Ağın Tanımlayıcıları
Nivelman
1
1 öteleme
1 noktanın yüksekliği
Trigonometrik
1
1 öteleme
1 noktanın yüksekliği
Doğrultu
4
2 öteleme 1 dönüklük 1 ölçek
2 noktanın (x, y) koordinatı
Doğrultu-Kenar
3
2 öteleme 1 dönüklük
1 noktanın (x, y) koordinatı ve bir doğrultunun yönü
GPS Ağı
3
3 öteleme
1 noktanın (x, y, z) koordinatları
d: datum parametre sayısı (datum defekt)
Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak (zorlamasız dengeleme)
koordinatları hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları,
koordinatı değişmez alınan noktalardan etkilenir. Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar
sadece yeni noktaların koordinatlarına dağıtılır. Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken
90
hatalar yeni noktaların konum hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu
datum seçimine bağlı olarak değişir. Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ
dengelemesi (tüm iz minimum yöntemine göre dengeleme) ile dengelenir. Bu yöntemde bir
ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta koordinatlarına dağıtılır.
Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle deformasyon araştırma çalışmalarında kullanılır.
Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan jeodezik ağlarda noktaların koordinatları ve
koordinatların doğrulukları deformasyon analizinde kullanılan giriş değerlerdir. Deformasyon
analizi ve yorumu açısından bu değerlerin serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş olunması
tercih edilmektedir.
Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar bilinmeyen noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle
normal denklem katsayıları matrisinin determinantı sıfır olur. Yani bu matris singüler bir
matristir.
Fonksiyonel Model
Stokastik Model
v = A⋅ x − 
p  = Q 
−1
Ağırlıkları Farklı ve Korelâsyonlu ölçüler için amaç fonksiyonu
−1
v Q  v = v p v = min
T
T
A p A ⋅ x − A p = 0


T
T
N
Matris formatında Normal denklemler
n
Normal Denklem Katsayılar matrisi
N=A pA
Bilinmeyenler Vektörü
x
Sabit terimler
n = A p
T
T
91
{ } = min ve
Determinantı sıfır olan normal denklem katsayıları matrisinin iz N
+
x T ⋅ x = min
şartlarını sağlamak üzere moore-penrose tersi aşağıdaki gibi hesaplanır.
+
(
N = N + GG
)
T −1
− GG
T
Normal denklemlerin çözümü ve bilinmeyenlerin hesabı aşağıdaki gibi yapılır.
+
x = N ⋅n
Yukarıdaki çözüm aşağıdaki eşitlikleri sağlar.
G ⋅x = 0,
T
A⋅G = 0 ,
+
G ⋅n = 0,
N ⋅G = 0
T
Burada G matrisi ağın datumunu belirler. p ağdaki nokta sayısı olmak üzere bazı ağlar için
G matrisleri aşağıdaki gibidir.
Nivelman ve Trigonometrik nivelman ağlarında G matrisinin boyutu ( p , 1) kadardır.
 1
T
G =
 p
1
p
1 

p  (1, p )
⋅
GPS ağlarında G matrisinin boyutu ( 3 p , 3).




T
G =




1
p
0
0
0
1
p
0
0
0
1
p
1
p
0
0
0
1
p
0
1
0
.....
0
.....
0
.....
0
1
p
92
p
0
1
p
0

0 


0 

1 
p  (3,3 p )
Doğrultu ağlarında G matrisinin boyutu ( 2 p , 4) kadardır.






G=







1
p
0
⋅
1
p
0
0
− y1"
1
x1"
p
⋅
⋅
0
− y "p
1
x "p
p

x1" 

" 
y1


⋅ 


x "p 


y "p 
 (2 p , 4 )
Doğrultu-Kenar ağlarında G matrisinin boyutu ( 2 p , 3) kadardır.






G=







1
p
0
⋅
1
p
0
0
1
p
⋅
0
1
p

− y1" 

" 
x1


⋅ 


− y "p 


x "p 
 (2 p ,3 )
Doğrultu ve Doğrultu kenar ağlarında xi" ve yi" normlandırılmış koordinatlardır.
Normlandırma işleminin amacı G matrisinin kondüsyonunun bozulmamasını sağlamaktır.
Bir ağda xi ve y i koordinatlar olmak üzere koordinatların aritmetik ortalaması yani ağırlık
merkezinin koordinatları aşağıdaki gibi hesaplanır.
xg =
[xi ]
p
yg =
[ yi ]
p
93
Koordinat eksenlerinin başlangıcının ağırlık sistemine kaydırılmış koordinatları aşağıdaki gibi
hesaplanır.
xi' = xi − x g
y i' = y i − y g
Normlandırma elemanı
c=
1
(x ) + (y )
' 2
i
' 2
i
Normlandırılmış koordinatlar
xi" = c ⋅ xi'
y i" = c ⋅ y i'
94
Örnek: Aşağıda verilmiş nivelman ağını dolaylı ölçüler yöntemiyle serbest olarak
dengeleyiniz.
P1 ( x)
∆h1
∆h2
∆h5
∆h6
P2 ( y )
∆h3
P4 (k )
∆h4
P3 ( z )
i
∆hi
si (km)
1
2
3
4
5
6
43.156
19.218
33.524
57.440
23.962
14.267
0.65
0.80
1.00
1.40
1.50
1.95
pi
H i (m)
Yaklaşık Yükseklikler
1
123.829
2
104.635
3
138.115
4
80.673
Ölçü sayısı
n=6
Bilinmeyen sayısı
u=3
Datum defekt
d=1
Serbestlik Derecesi
f = n-u+d = 6-3+1>0 Dengeleme var.
∆h1 + v1 = H p − H p4
∆h1 + v1 = x − k
v1 = x − k − ∆h1
∆h2 + v2 = H p1 − H p 2
∆h2 + v2 = x − y
v2 = x − y − ∆h2
∆h3 + v3 = H p3 − H p 2
∆h3 + v3 = z − y
v3 = z − y − ∆h3
∆h4 + v4 = H p 3 − H p4
∆h4 + v 4 = z − k
v 4 = z − k − ∆h4
∆h5 + v5 = H p2 − H p4
∆h5 + v5 = y − k
v5 = y − k − ∆h5
∆h6 + v6 = H p3 − H p1
∆h6 + v6 = z − x
v3 = z − x − ∆h6
1
95
Yaklaşık değerler
x = x0 + dx
y = y0 + dy
x0 = 123.829 m,
v1 = x − k − ∆h1
v2 = x − y − ∆h2
v3 = z − y − ∆h3
v 4 = z − k − ∆h4
v5 = y − k − ∆h5
v3 = z − x − ∆h6
z = z0 + dz
y0 = 104.635 m
k = k 0 + dk
z0 = 138.115 m,
k 0 = 80.673 m
v1 = dx − dk + x0 − k 0 − ∆h1
v2 = dx − dy + x0 − y0 − ∆h2
v3 = − dy + dz + z0 − y0 − ∆h3
v4 = dz − dk + z0 − k 0 − ∆h4
v5 = dy − dk + y0 − k0 − ∆h5
v3 = −dx + dz + z0 − x0 − ∆h6
v1 = dx − dk + 123.829 − 80.673 − 43.156
v2 = dx − dy + 123.829 − 104.635 − 19.218
v3 = −dy + dz + 138.115 − 104.635 − 33.524
v4 = dz − dk + 138.115 − 80.673 − 57.440
v5 = dy − dk + 104.635 − 80.673 − 23.962
v3 = −dx + dz + 138.115 − 123.829 − 14.267
v1 = dx − dk
v2 = dx − dy − 24
v3 = −dy + dz − 46
v4 = dz − dk
v5 = dy − dk
v3 = −dx + dz + 17
Yukarıdaki değerler mm mertebesindedir.
v1 = 1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 0 ⋅ dz − 1 ⋅ dk + 0
v2 = 1 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz + 0 ⋅ dk − 24
v3 = 0 ⋅ dx − 1 ⋅ dy + 1 ⋅ dz + 0 ⋅ dk − 46
v4 = 0 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 1 ⋅ dz − 1 ⋅ dk + 0
v5 = 0 ⋅ dx + 1 ⋅ dy + 0 ⋅ dz − 1 ⋅ dk + 0
v3 = −1 ⋅ dx + 0 ⋅ dy + 1 ⋅ dz + 0 ⋅ dk + 17
Yukarıdaki denklemleri v = A ⋅ x −  formatında yazalım.
 v1   1 0 0 − 1
 0
v   1 − 1 0

0  dx   24
 2 
v3   0 − 1 1 0  dy   46
 =

⋅ −
v
−
0
0
1
1
4
  
  dz   0
 
v5   0
1 0 − 1 dk   0
  



− 17
v6  − 1 0 1 0
96
0
0
0
0
0
1 / 0.65


0
1
/
0
.
80
0
0
0
0



0
0 1 / 1.00
0
0
0
pi = 

0
0
0 1 / 1.40
0
0


0
0
0
0 1 / 1.50
0


0
0
0
0
0 1 / 1.95

0
0
1.54
 0 1.25
0

 0
0 1.00
pi = 
0
0
 0
 0
0
0

0
0
 0
0
0
0
0
0
0
0
 3.30 − 1.25 − 0.51 − 1.54
 − 1.25
2.92 − 1.00 − 0.67 
T
N = A pA = 
− 0.51 − 1.00
2.23 − 0.71


2.92
 − 1.54 − 0.67 − 0.71
1 /

1/
G=
1 /

1 /
0.25
0.25
T
GG = 
0.25

0.25
p  0.5
  
p  0.5
=
p  0.5
  
p  0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
 38.72
− 76.00
T

n = A p = 
 37.28


 0.00
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
 3.55 − 1.00 − 0.26 − 1.29
 − 1.00
3.17 − 0.75 − 0.42
T
N + GG = 
− 0.26 − 0.75
2.48 − 0.46


3.17 
 − 1.29 − 0.42 − 0.46
(N + GG )
T −1
 0.43
0.20
=
0.15

0.22
0.20
0.45
0.19
0.17
0.15
0.19
0.51
0.16
0.22
0.17 
0.16

0.45
 0.18 − 0.05 − 0.10 − 0.03
 − 0.05
0.20 − 0.06 − 0.08
+
T −1
T
− GG = 
Q xx = N = N + GG
− 0.10 − 0.06
0.26 − 0.09


0.20
 − 0.03 − 0.08 − 0.09
(
1
si (km)
0
0
0

0
0

0.51
0.71
0
0 0.67
0
pi =
)
97
 dx   6.95
 dy  − 19.12

x = Q xx ⋅ n =   = 
 dz   10.34
  

dk   1.83
mm
Bilinmeyenlerin kesin değeri
 x  123.829  6.95 123.836
 y  104.635 − 19.12 104.616

 =
+
=
 z  138.113  10.34 138.123
 
 

  
 k   80.673  1.83  80.675
 x   x0   dx 
 y   y   dy 
  =  0 +  
 z   z 0   dz 
     
 k   k 0  dk 
Düzeltmeler v = A ⋅ x − 
 v1   1 0 0 − 1
 0  5.12
v   1 − 1 0

0  6.95  24  2.06
 2 
v3   0 − 1 1 0 − 19.12  46  − 16.54
−
 =

=
⋅
0 1 − 1  10.34  0  8.52
v 4   0


v5   0
1 0 − 1  1.83  0 − 20.94
  

 


− 17  20.39
v6  − 1 0 1 0
Dengeli ölçüler
 ∆hˆ1   ∆h1   v1 
 ˆ  
  
∆h2  ∆h2  v2 
 ∆hˆ   ∆h3  v3 
 3 = 
+ 
∆hˆ4  ∆h4  v4 
 ∆hˆ   ∆h  v 
 5  5  5
∆hˆ6  ∆h6  v6 
∆hˆi = ∆hi + v i
 ∆hˆ1  43.156  5.12  43.161
 ˆ  

 
 
∆h2   19.218  2.06 19.220
 ∆hˆ  33.524  − 16.54 33.507 
 3 = 

=
+
∆hˆ4  57.440  8.52 57.449
 ∆hˆ  23.962 − 20.94  23.941
 5 

 
 
 ∆hˆ6  14.267   20.39 14.287 
Dengeli ölçülerinin denetimi
∆h1 + v1 = H p − H p4
43.161 = 43.161
∆h2 + v2 = H p1 − H p 2
19.220 = 19.220
∆h3 + v3 = H p3 − H p 2
33.507 = 33.507
∆h4 + v4 = H p 3 − H p4
57.449 = 57.449
∆h5 + v5 = H p2 − H p4
23.941 = 23.941
∆h6 + v6 = H p3 − H p1
14.287 = 14.287
1
98
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v pv
n−u + d
=±
876.79
= ±14.81 mm
6 − 3 +1
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası
 0.18 − 0.05 − 0.10 − 0.03
 − 0.05
0.20 − 0.06 − 0.08
+
T −1
T
− GG = 
Q xx = N = N + GG
− 0.10 − 0.06
0.26 − 0.09


0.20
 − 0.03 − 0.08 − 0.09
(
)
m x = ± m0 q xx = ±14.81 0.18 = ±6.27
mm
m y = ± m0 q yy = ±14.81 0.20 = ±6.54
m z = ± m0 q zz = ±14.81 0.26 = ±7.49
m z = ± m0 q zz = ±14.81 0.20 = ±6.64
Ölçülerin Ortalama Hatası
m∆h1 = 11.94
m∆h4 = 17.52
m∆h2 = 13.24
m∆h5 = 18.13
m∆h3 = 14.81
m∆h6 = 20.67
m i = ±
m0
mm
pi
Dengeli Ölçülerin Ortalama Hatası
0.17 − 0.04
0.22
0.26 − 0.22
 0.44
 0.17
0
.
47
0
.
21
−
0
.
09
−
0.30 − 0.27 

− 0.04
0.21
0.58
0.33 − 0.25
0.37 
T
Q ˆ ˆ = A ⋅ Q xx ⋅ A = 

0.33
0.64
0.31
0.42
 0.22 − 0.09
 0.26 − 0.30 − 0.25
0.31
0.56
0.05


−
0
.
22
−
0
.
27
0
.
37
0
.
42
0
.
05
0
.64

m∆hˆ = ± m0 ⋅ Q ˆ ˆ
Dengeli ölçülerin ortalama hataları
m∆hˆ = 9.77
m∆hˆ = 11.84 mm
m∆hˆ = 10.20
m∆hˆ = 11.10
m∆hˆ = 11.24
m∆hˆ = 11.84
i
1
2
3
i i
4
5
6
99
Düzeltmelerin Ortalama Hatası
Q vv = Q  − Q ˆ ˆ
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
−1
Q vv = p − Q ˆ ˆ
0
0
0
0
0
0.65
 0 0.80
0
0
0
0

 0
0 1.00
0
0
0
p −1 = 

0
0 1.40
0
0
 0
 0
0
0
0 1.50
0


0
0
0
0 1.95
 0
0.04
 0.21 − 0.17
− 0.17
0
.
33
−
0.21

 − 0.04 − 0.21
0.42
Q vv = 
0.09 − 0.33
 − 0.22
 − 0.26
0.30
0.25

0.27 − 0.37
 0.22
− 0.22 − 0.26
0.22
0.09
0.30
0.27
− 0.33
0.25 − 0.37

0.76 − 0.31 − 0.42
− 0.31
0.94 − 0.05

− 0.42 − 0.05
1.31
mvi = ± m0 ⋅ Q v v
Düzeltmelerin ortalama hataları
mv1 = 6.85
mv 4 = 12.91 mm
mv 2 = 8.44
mv5 = 14.34
mv3 = 9.64
mv6 = 16.95
i i
100
12. MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ ÖLÇÜLER TESTİ
Dengeleme hesabının Matematik Modeli ölçülerle bilinmeyenler arasındaki Geometrik
(Fonksiyonel model) ve Fiziksel (Stokastik Model) ilişkileri yansıtır. Model hipotezinin
testi ile matematik modelin uygunluğu, modelin oluşturulmasında kullanılan ölçülerin
duyarlıkları ve aralarındaki korelâsyonlar denetlenir.
Dengelemeden önce ölçülerden yararlanarak üçgen kapanmalarından (üçgenlerin iç açıları
toplamı 200g), lup kapanmalarından (nivelmanda gidiş-dönüş ölçülerinden, GPS’te bir
üçgende koordinat farklarının toplamının sıfır olması) vs. bir öncül karesel ortalama hata
( s0 ) elde edilebilir. Dengeleme hesabı sonrası bir soncul karesel ortalama hata ( m0 ) hata
elde ederiz.
Bu değerler kullanılarak bir SIFIR ve bir de SEÇENEK hipotezi kurulur.
{ } { }
Sıfır hipotezi
{ } { }
Seçenek hipotezi
H 0 : E m02 = E s02
H s : E m02 ≠ E s02
Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile
aynı olacağı varsayılır. Bu durumda kurulan dengeleme modeli geçerlidir.
Sıfır hipotezinde soncul ortalama hatanın umulan (beklenen) değerinin öncül ortalama hata ile
aynı olmadığı durumlarda kurulan dengeleme modeli geçerli değildir.
Geçersizliğin nedenleri;
a) Ölçülerde kaba hata (uyuşumsuz ölçü) olabilir.
b) Fonksiyonel model yanlış kurulmuş olabilir.
c) Stokastik model yanlış kurulmuş olabilir.
101
Örnek: Bir nivelman ağında gidiş-dönüş ölçülerinden birim ölçünün ortalama hatası
s0 = ± 2.36 cm ve ölçülerin serbestlik derecesi f s = 10 olarak hesaplanmıştır. Nivelman
ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata m0 = ± 6.67 cm ve dengelemenin
serbestlik derecesi
f m = 2 olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için matematik modelin doğru
kurulup kurulmadığını test ediniz.
Çözüm: Öncelikle model hipotezinin testi için bir test büyüklüğü hesaplarız. Test büyüklüğü
hesabında ortalama hatalardan büyük olanı bölümde üst kısma yazarız.
olduğu için
m0 > s0
T=
m0 üste yazılır.
m02 6.67 2
=
= 7.98
m02 2.36 2
q=F
f m , f s ,1−
α
2
=F
2 ,10 ,1−
0.05
2
Test büyüklüğü
Sınır değer
= F2,10, 0.975 = 5.46
Excel’de
q = FTERS (0,025;2;10) = 5.46
Matlab’da
q = finv(0.975,2,10) = 5.46
T >q
olduğu için
H0
hipotezi geçersizdir.
Hs
hipotezi geçerlidir.
Bu durumda yukarıda belirtilen irdelemeler yapılır.
102
Bir dengeleme hesabı işleminde kurulan matematik model geçerli değilse ölçülerin biri ya da
bir kaçı kaba hatalı olabilir. Kaba hatalı ölçülerin tespiti uyuşumsuz ölçüler testi ile yapılır.
Uyuşumsuz ölçüler testini yapabilmek için dengeleme işlemi sonucunda ölçülere ait
düzeltmelere v ve düzeltmelerin ters ağırlık matrisine Q vv ihtiyaç vardır. Bu değerlerden
yararlanarak bir test büyüklüğü ve bir de sınır değer hesaplarız. Düzeltme değerlerinin negatif
işaretli olabileceği düşüncesiyle düzeltme değerlerinin mutlak değeri kullanılır.
T=
v
Test büyüklüğü
m0 ⋅ Q vv
q=t
f m ,1−
Sınır değer
α
2
Örnek: Bir nivelman ağının dengelenmesi sonucunda soncul ortalama hata m0 = ± 6.67 cm
ve dengelemenin serbestlik derecesi
f m = 2 olarak hesaplanmıştır. Bu ağ için kurulan
matematik modelin geçersiz olduğu görülmüştür. Bu ağdaki ölçülere ait düzeltmeler ve
düzeltmelerin ters ağırlık matrisi aşağıda verilmiştir. Bu ağda uyuşumsuz ölçü olup
olmadığını araştırınız.
 4.52
v =  0.70
10.58
T1 =
T2 =
T1 =
4.52
6.67 ⋅ 1.2254
0.70
6.67 ⋅ 1.6044
10.58
6.67 ⋅ 0.0465
0.0593
 1.2254 − 0.5041

Q vv = − 0.5041
1.6044 − 0.8629
 0.0593 − 0.8629
0.0465
= 0.61
= 0.08
q=t
f m ,1−
α
= t 2, 0.975 = 4.30
2
Excel’de
= 7.35
T1 < q uyuşumlu
103
q = TTERS (0,05;2) = 4.30
T2 < q uyuşumlu
T3 > q uyuşumSUZ
Yorum: Bu durumda üçüncü ölçü dengeleme işleminden atılır ya da ölçü bizim için önemli
ise (atılma durumunda ağın şekli bozuluyorsa) yeniden ölçülür. Ölçüler arasında birden fazla
uyuşumsuz ölçü olabilir. Bu durumda düzeltme değeri en büyük olan ölçü dengeleme
işlemine alınmaz ya da yeniden ölçülür. Dengeleme tekrarlanır. Model hipotezi testi
tekrarlanır. Model hipotezi hala geçersiz ise başka uyuşumsuz ölçülerin varlığı araştırılır.
Uyuşumsuz ölçü kalmayıncaya kadar dengeleme işlemi tekrar edilir.
104
12. İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
Bir koordinat sistemindeki noktaların diğer bir koordinat sistemindeki karşılıklarının
bulunması işlemine koordinat dönüşümü denir. Sistemlerin birbirlerine göre karşılıklarının
bulunması için bir sistemin diğerine göre kaydırılması. döndürülmesi ve belli oranlarda
küçültülmesi ya da büyültülmesi gerekir. Bu işlem iki sistemde de ortak noktaların
bulunmasını
gerektirir.
Benzerlik
dönüşümünde
iki
sistemdeki
geometrik
şekiller
benzerdirler. Ancak şekiller belli bir oranda ya küçülür ya da büyürler. Şekillerdeki açılar bir
değişime uğramazlar.
X
x
x ⋅ sin ε
y ⋅ sin ε
x ⋅ cos ε
Xp
ε
X0
ε
P
y ⋅ cos ε
Y0
Yp
Y
y
( x . y ) sistemindeki bir P noktasının ( X . Y ) sistemindeki koordinatlarını yazalım.
X p = X 0 − λ ⋅ y ⋅ sin ε + λ ⋅ x ⋅ cos ε
Y p = Y0 + λ ⋅ x ⋅ sin ε + λ ⋅ y ⋅ cos ε
a = λ ⋅ cos ε
b = λ ⋅ sin ε
105
a 2 = λ2 ⋅ cos 2 ε
b 2 = λ2 ⋅ sin 2 ε
a 2 + b 2 = λ2 ⋅ cos 2 ε + λ2 ⋅ sin 2 ε
a 2 + b 2 = λ2 (cos 2 ε + sin 2 ε )
cos 2 ε + sin 2 ε = 1
λ2 = a 2 + b 2
λ = a2 + b2
Ölçek katsayısı
b λ ⋅ sin ε
=
a λ ⋅ cocε
tan ε =
b
a
ε = arctan
b
a
Dönüklük açısı
Yukarıdaki denklemleri düzenleyelim.
X p = X0 −b⋅ y + a⋅ x
Y p = Y0 + b ⋅ x + a ⋅ y
Burada X 0 . Y0 . a ve b bilinmeyenlerdir. Dört bilinmeyenin çözümü için her iki sistemde en
az iki ortak noktanın koordinatları bilinmelidir. Bu durumda direk çözüm yapılabilir. Ancak
dengelemeli çözüm için ikiden fazla nokta gereklidir. Benzerlik dönüşümü probleminde X p
ve Y p koordinatları ölçü gibi düşünülür. Düzeltmeler bu koordinatlara getirilir.
Ölçü + Düzeltme = Bilinmeyenlerin Fonksiyonu
X p + VX p = X 0 − b ⋅ y + a ⋅ x
Y p + VY p = Y0 + b ⋅ x + a ⋅ y
106
VX p = X 0 − b ⋅ y + a ⋅ x − X p
VY p = Y0 + b ⋅ x + a ⋅ y − Y p
Bu denklemleri düzenleyelim.
VX p = 1⋅ X 0 + 0 ⋅ Y0 + x ⋅ a − y ⋅ b − X p
VY p = 0 ⋅ X 0 + 1 ⋅ Y0 + y ⋅ a + x ⋅ b − Y p
Bu denklemleri matris formatında yazalım.
X0 
VX p   1 0 x − y   Y0   X p 
⋅
− 
 VY  = 
x   a   Y p 
 p  0 1 y
 
b 
Fonksiyonel Model
Örnek: ED50 koordinat sistemindeki nokta koordinatları tabloda verilen her iki sistemdeki
ortak noktalar yardımıyla ITRF96 koordinat sistemine dönüştürülmek isteniyor. Benzerlik
dönüşümünü uygulayınız ve dönüşüm parametrelerini hesaplayınız. Uyuşumsuz koordinat
(ölçü) olup olmadığını belirleyiniz. Yeni noktaların ITRF96 da ki koordinatlarını
hesaplayınız.
ED50 ( m )
NN
8
9
10
12
Yukarı ( x )
54481.227
54278.188
55203.664
54734.544
Sağa ( y )
56219.662
53056.137
52952.417
53754.865
16
17
18
54350.343
55800.011
54315.160
56110.555
53012.938
53205.945
ITRF96 ( m )
Yukarı ( X )
40727.970
40498.206
41423.028
40960.581
Çözüm:
Ölçü sayısı
n = 4 nokta x 2 = 8
Bilinmeyen sayısı u = 4
Serbestlik derecesi f = 8 - 4 = 4
107
Sağa ( Y )
62084.098
58921.596
58810.095
59616.631
Her nokta (koordinat çifti) için aşağı eşitlikleri yazalım.
VX p = X 0 − b ⋅ y + a ⋅ x − X p
VY p = Y0 + b ⋅ x + a ⋅ y − Y p
VX 8 = X 0 − b ⋅ y8 + a ⋅ x8 − X 8
VY8 = Y0 + b ⋅ x8 + a ⋅ y8 − Y8
VX 9 = X 0 − b ⋅ y9 + a ⋅ x9 − X 9
VY9 = Y0 + b ⋅ x9 + a ⋅ y9 − Y9
VX 10 = X 0 − b ⋅ y10 + a ⋅ x10 − X 10
VY10 = Y0 + b ⋅ x10 + a ⋅ y10 − Y10
VX 12 = X 0 − b ⋅ y12 + a ⋅ x12 − X 12
VY12 = Y0 + b ⋅ x12 + a ⋅ y12 − Y12
VX 8 = 1 ⋅ X 0 + 0 ⋅ Y0 + x8 ⋅ a − y8 ⋅ b − X 8
VY8 = 0 ⋅ X 0 + 1 ⋅ Y0 + y8 ⋅ a + x8 ⋅ b − Y8
VX 9 = 1 ⋅ X 0 + 0 ⋅ Y0 + x9 ⋅ a − y9 ⋅ b − X 9
VY9 = 0 ⋅ X 0 + 1 ⋅ Y0 + y9 ⋅ a + x9 ⋅ b − Y9
VX 10 = 1 ⋅ X 0 + 0 ⋅ Y0 + x10 ⋅ a − y10 ⋅ b − X 10
VY10 = 0 ⋅ X 0 + 1 ⋅ Y0 + y10 ⋅ a + x10 ⋅ b − Y10
VX 12 = 1 ⋅ X 0 + 0 ⋅ Y0 + x12 ⋅ a − y12 ⋅ b − X 12
VY12 = 0 ⋅ X 0 + 1 ⋅ Y0 + y12 ⋅ a + x12 ⋅ b − Y12
− y8 
 X8 
Y 

x8 
 8 
− y9   X 0   X 9 



x9   Y0   Y9 
⋅  −
− y10   a   X 10 

   
x10   b   Y10 
X 
− y12 
 12 

x12 
 Y12 
 VX 8   1
 VY  0
 8 
 VX 9   1
 

 VY9  = 0
VX 10   1
 

 VY10  0
VX   1
 12  
 VY12  0
0
1
0
1
0
1
0
1
 VX 8   1
 VY  0
 8 
 VX 9   1
 

 VY9  = 0
VX 10   1
 

 VY10  0
VX   1
 12  
 VY12  0
0 54481.227 − 56219.662
40727.970
62084.098

1 56219.662
54481.227


0 54278.188 − 53056.137  X 0  40498.206



1 53056.137
54278.188  Y0  58921.596 
−
⋅
0 55203.664 − 52952.417  a   41423.028

   
1 52952.417
55203.664  b  58810.095
 40960.581
0 54734.544 − 53754.865



1 53754.865
54734.544
 59616.631
x8
y8
x9
y9
x10
y10
x12
y12
4
0
218697..623
− 215983.081


0
4
215983.081
218697..623
T
N = A A=
 218697..623 215983.081 23626788659.969
0


0 23626788659.969
− 215983.081 218697..623
108
163609.785


239432.420
T
n= A =
21881060560.514


 4256526110.794
Q xx = N
−1
0
0.00724
− 0.00734
792.49805

0 792.49805
− 0.00724
− 0.00734
=
 − 0.00734 − 0.00724 0.0000001342
0


0 0.0000001342
 0.00724 − 0.00734
 X 0   − 14238.6155
Y  
6311.5841
x = Q xx ⋅ n =  0  = 
 a   1.000212805
  

 b  − 0.0084269763
m
Ölçek katsayısı
λ = a 2 + b 2 = 1.000248303
Dönüklük açısı
ε = arctan = −0 g .5364
b
a
Düzeltmeler v = A ⋅ x − 
 VX 8   1
 VY  0
 8  
 VX 9   1
 

 VY9  = 0
VX 10   1
 

 VY10  0
VX   1
 12  
 VY12  0
0
1
0
1
0
1
0
1
54481.227
56219.662
54278.188
53056.137
55203.664
52952.417
54734.544
53754.865
[ v ] = 0.00
kontrol
− 56219.662
40727.970 − 0.0029
62084.098  − 0.0001

54481.227

 

− 53056.137  − 14238.6155 40498.206  0.0199

 


54278.188 
6311.5841 58921.596  0.0147 
=
⋅
−
− 52952.417  1.000212805  41423.028 − 0.0032

 
 
 
55203.664 − 0.0084269763 58810.095  − 0.0253
 40960.581  − 0.0138
− 53754.865

 


54734.544
 59616.631  0.0107 
m
Dönüştürülmüş Koordinatlar ve Düzeltmeleri
ITRF96 ( m )
NN
8
9
10
12
Yukarı ( X )
40727.970
40498.206
41423.028
40960.581
Sağa ( Y )
62084.098
58921.596
58810.095
59616.631
VX i
(m)
-0.0029
0.0199
-0.0032
-0.0138
VYi
ITRF96
(m)
Yukarı ( X )
-0.0001 40727.967
0.0147 40498.226
-0.0253 41423.025
0.0107 40960.567
109
Sağa ( Y )
62084.098
58921.611
58810.070
59616.642
Dengeli ölçülerinin denetimi
 X 8 + VX 8   1
 Y + VY  0
8 

 8
 X 9 + VX 9   1
 

 Y9 + VY9  − 0
 X 10 + VX 10   1
 

 Y10 + VY10  0
 X + VX   1
12
 
 12
 Y12 + VY12  0
0
x8
1
0
1
0
1
0
1
y8
x9
y9
x10
y10
x12
y12
− y8 
0 

0 
x8 
 
− y 9   X 0  0 

 
x9   Y0  0


=
⋅
− y10   a  0
    
x10   b  0
0 
− y12 

 
x12 
0
Karesel Ortalama Hata
T
m0 = ±
v v
0.0016
=±
= ±0.02 m
n−u
8−4
Bilinmeyenlerin Ortalama Hatası (Duyarlık)
Q xx = N
−1
0
0.00724
− 0.00734
792.49805

0 792.49805
− 0.00724
− 0.00734
=
 − 0.00734 − 0.00724 0.0000001342
0


0 0.0000001342
 0.00724 − 0.00734
m X 0 = ± m0 q xx = ±0.02 792.49805 = ±0.56 m
mY0 = ± m0 q yy = ±0.02 792.49805 = ±0.56
ma = ± m0 q aa = ±0.02 0.0000001342 = ±0.00000728
mb = ± m0 qbb = ±0.02 0.0000001342 = ±0.00000728
Güven Hesabı
r i = ( I − A ⋅ Q xx ⋅ A ) ii
T
 0.081
 0.081


0.610


0.610

ri =
0.566


0.566
0.742


0.742
110
Yorum: Bütün ölçülerin güvenirliği 0.50 nin üzerindedir. Bu durum ortak noktaların helmert
dönüşümü için uygun bir dağılıma sahip olduğunu göstermektedir.
Q vv = I − A ⋅ Q xx ⋅ A
Q vv
T
Düzeltmelerin kovaryans matrisi
0.000
0.020 − 0.1413
0.075
 0.081
 0.000
0
.
081
0
.
143
0
.
020
−
0.131

 0.020
0.143
0.610
0.000 − 0.353

− 0.1413
0.020
0.000
0.610
0.122
=
 0.075 − 0.131 − 0.353
0.122
0.566

0.075 − 0.122 − 0.353
0.000
 0.131
 − 0.177 − 0.012 − 0.277
0.020 − 0.288

0.009
 0.012 − 0.177 − 0.020 − 0.277
Uyuşumsuz ölçü testi
T=
NN
8
9
10
12
v
m0 ⋅ Q vv
VX i
-0.0029
0.0199
-0.0032
-0.0138
− 0.177
− 0.012
− 0.277
0.020
− 0.288
− 0.009
0.742
0.000
TX
VYi
-0.0001
0.0147
-0.0253
0.0107
q=t
TY
q
0.01
0.95
1.69
0.63
2.78
f m ,1−
α
Sınır değer
2
Yeni noktaların koordinatlarının hesaplanması
X 16 = X 0 − b ⋅ y16 + a ⋅ x16
Y16 = Y0 + b ⋅ x16 + a ⋅ y16
X 17 = X 0 − b ⋅ y17 + a ⋅ x17
Y17 = Y0 + b ⋅ x17 + a ⋅ y17
X 18 = X 0 − b ⋅ y18 + a ⋅ x18
Y18 = Y0 + b ⋅ x18 + a ⋅ y18
ED50 ( m )
NN
16
17
18
0.012
− 0.177 
− 0.020

− 0.277 
0.009

− 0.288
0.000

0.742
Yorum: Bütün düzeltmeler uyuşumludur.
Test büyüklüğü
0.52
1.28
0.21
0.81
0.131
0.075
− 0.122
− 0.353
0.000
0.566
− 0.009
− 0.288
ITRF96 ( m )
Yukarı ( x )
Sağa ( y )
Yukarı ( X )
Sağa ( Y )
54350.343
55800.011
54315.160
56110.555
53012.938
53205.945
40596.136
42020.009
40536.468
61976.071
58865.578
59071.139
111
fm = 4
KAYNAKLAR
1.
Abbas BARIŞKANER, Bayram TURGUT, Mevlüt GÜLLÜ, Dengeleme Hesabı
Problemleri ve Çözümleri, Express Yayınları, Konya, 1995.
2.
Aslan Dilaver, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış).
3.
Bruce Raymond HARVEY, Practical Least Squares and Statistics for Surveyors,
Monograph 13, School of Surveying and Spatial İnformation Systems, ISBN 0-73342339-6, 1993
4.
Charle D. Ghilani, Paul R. Wolf, Adjustments Computations: Spatial Data Analysis,
John Wiley and Sons Inc., ISBN 13 978 -0-471-69728, 2006.
5.
Ergün ÖZTÜRK, Dengeleme Hesabı, Cilt I, K.T.Ü. Mühendislik Mimarlık Fakültesi,
K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 119, Fakülte Yayın No: 38, Trabzon, 1991.
6.
Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt II, K.T.Ü.
Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte
Yayın No: 40, Trabzon, 1995.
7.
Ergün ÖZTÜRK, Muzaffer ŞERBETÇİ, Dengeleme Hesabı, Cilt III, K.T.Ü.
Mühendislik Mimarlık Fakültesi, K.T.Ü. Basımevi, Genel Yayın No: 144, Fakülte
Yayın No: 40, Trabzon, 1992.
8.
Hüseyin DEMİREL, Dengeleme Hesabı, Y.T.Ü. İnşaat Fakültesi, Üniversite Yayın No:
YTÜ.İN.DK-05.0735, Yıldız Teknik Üniversitesi Basım-Yayım Merkezi, İstanbul,
2005.
9.
İbrahim Yüksel, MATLAAB İle Mühendislik Sistemlerinin Analizi ve Çözümü, Nobel
Yayın Dağıtım, Yayın No: 672, Teknik Yayınları Dizi No: 43, ISBN 975-591-656-3,
Ankara, 2004.
10. Mualla YALÇINKAYA, Dengeleme Hesabı Ders Notları (Yayınlanmamış).
11. Sebahattin BEKTAŞ, Endirek ve Koşullu Ölçülerle Dengeleme Hesabı, Ondokuz Mayıs
Üniversitesi Yayınları, Yayın No: 118, ISBN 975-7636-54-1, Samsun, 2003.
12. Sebahattin BEKTAŞ, Mühendisler
Örnekleriyle, Samsun, 1998.
İçin
Sayısal
Çözümleme
Basic
Program
13. Wolf, P. R., Ghilani, C. D., 1997, Ghilani: Adjustment Computation : Statistics and
Least Squares in Surveying and GIS, John Wiley and Sons, Inc., ISBN 0-471-16833-5.
TEMEL BAYRAK
Özgeçmiş
1968 yılında Trabzon’da doğdu. İlk, Orta ve Lise öğrenimini Trabzon’da tamamladı. 1992 yılında
Lisans öğrenimini KTÜ Harita bölümünde tamamladı. 1993 yılında NÜ AMF de asistan olarak
göreve başladı. 1996 yılında Harita Yüksek Mühendisi, 2003 yılında Doktora unvanını aldı. 2005
yılında askerlik görevini HGK da tamamladı. 2009 yılında Doçentlik unvanını aldı. 2010 yılından
itibaren Gümüşhane Üniversitesi MF Harita Mühendisliği Bölümünde Lisans ve Yüksek Lisans
programlarında eğitim-öğretim etkinliğini (Dengeleme Hesabı, İstatistik, sayısal Çözümleme,
Jeodezi, , GNSS, Deformasyon izleme, Heyelan izleme) sürdürmektedir. Evli ve üç çocuk babasıdır.
ISBN: 978-605-61712-1-5
Download

Dengeleme Hesabı