Yrd. Doç. Dr. Kurtuluş Sedar GÖRMÜŞ
 Giriş ve Amaç
 Hata Teorisi, Hata Türleri
 Ölçü ve Hata
 Hata Türleri
 Doğruluk Ölçütleri
 Kovaryans ve Korelasyon
 Hata Yayılma Kuralı
 Ölçülerin Dengelenmesi
 Dolaysız Ölçüler Dengelemesi
 Dolaylı Ölçüler Dengelemesi
 Dengeleme hesabının amacı; gereğinden fazla sayıda
yapılmış ölçülerden hiç birini seçip ayıklamaksızın
bilinmeyenlerin ‘Kesin Değer’ ya da ‘Dengeli Değer’
diye adlandırılan en uygun değerini belirlemek,
ölçülerin kesin değerlerinin ya da duyarlıklarının ve
güvenilirliklerini saptamaktır.
 Bu amaca ulaşabilmek için uygulanan ilke ‘EN KÜÇÜK
KARELER YÖNTEMİ’dir.
 Ölçüler aynı alet, aynı ölçmeci ve aynı koşullar altında
yapılsa bile, geometrik ya da fiziksel büyüklüklerin
ölçülmesi sonucunda elde edilen değerler hata ile
yüklüdür. Söz konusu hatalar;
 1.Ölçme
işini
yapanların
duyu
organlarının
yetersizliğinden,
 2. Ölçü aletlerinin yeterince gelişmiş olmamalarından,
 3. Fiziksel çevre koşullarından kaynaklanabilir.
 Bu nedenle uygulamada gerekli sayıda ölçü ile yetinilmez,
gereğinden fazla ölçü yapılır. Ölçüler arasındaki ilişkileri
görebilmek ve ölçülerle bilinmeyenler arasındaki
fonksiyonel ilişkileri kurabilmek için dengeleme hesabı
yapılır.
 Jeodezi ve Fotogrametri Mühendisleri iyi bilir ki; Ölçme işlemi
aynı kişi, aynı alet ve aynı koşullar altında tekrarlansa bile
sonuçlar birbirinden az ya da çok farklı olur.
 Teorik anlamda hatasız ölçü olmayacağı için gereğinden fazla
ölçüm yapılarak ölçülerdeki hataların olumsuz etkilerinden
kurtulmaya çalışılır.
 Ölçülen büyüklüğün gerçek değeri belirlenemez. Gerçek değeri
kesin olarak belirleyebilmek için sonsuz ölçüm yapmak gerekir.
Bunun yerine DENGELEME HESABI ile ölçüye ait iyi bir kestirim
değeri (Kesin Değer) elde edilebilir.
 Dengeleme Hesabının yapılabilmesi için tek koşul fazla ölçü
sayısının olmasıdır.
 u bilinmeyenli bir problem için (n) adet ölçü verilmişse;
f=n-u : Fazla ölçü sayısı olmak üzere
f>0 ise dengeleme yapılır
f=0 ise cebrik çözüm yapılır
f<0 ise ancak varsayımlara dayalı bir çözümden bahsedilebilir.
 Dengeleme Hesabı ile tüm ölçülerden yararlanarak
bilinmeyenlerin gerçek değer olma olasılığı en yüksek
olan dengeli değer elde edilir.
 ‘Her ölçü hata ile yüklüdür’
 Dengeleme
Hesabının amacı ‘Kesin Değer’ diye
adlandırılan temel değerin bulunmasıdır.
 Bir ölçünün beklenen değerden farkına hata ya da ölçü
hatası adı verilir. Beklenen değer genellikle
bilinmediğinden onun yerine kestirim değeri
kullanılır.
 Gerçek
Değer; Teorik anlamda hatasız ölçü
yapılamayacağı için ölçülerin gerçek değeri bilinemez.
Üçgenin iç açıları toplamı gerçek değerdir…
 Kesin Değer; Gerçek değer olma olasılığı en yüksek
olan ve gereğinden fazla sayıda ölçülerden dengeleme
hesabı ile bulunan değerlerdir.
 Hata=Ölçü-Olması gereken değer
  =−
 Düzeltme ise hatanın ters işaretlisidir.
  =  −  = −
 Ölçü-Gerçek Değer=Gerçek Hata
 − =
 Ölçü-Kesin Değer=Kesin Hata
 − =
  =  −  Gerçek Düzeltme
  =  −  Düzeltme
 Oluşumları bakımından hatalar başlıca 3 gruba ayrılır…
 Kaba Hatalar; Ölçmecinin dalgınlığı ya da yorgunluğu
nedeni ile ortaya çıkan hatalardır. Açı ölçümündeki Grad
hatası, Çelik şerit metre ile ölçümde tam sayı unutulması
vs… Bu hataları ortadan kaldırmak için büyüklükler çok
sayıda tekrarlanır. Ölçü dizisinde diğerlerinden önemli bir
şekilde sapan değerlerden kuşkulanılır.
 Düzenli (Sistematik) Hatalar; Ölçüleri düzenli, çoğunlukla
kurallı bir biçimde etkileyen hatalardır. Örnek olarak
Nivelmanda mira ölçek hatası, Çelik şerit metrede sıfır
noktası hatası vs…Bu hataların en önemli özelliği
değişmeyen şartlar altında eşit büyüklükler olarak ortaya
çıkmalarıdır. Ölçü aletleri ayarlanarak etkileri azaltılabilir.
 Düzensiz (Rasgele, Tesadüfi) Hatalar; Ölçü hatalarının
en önemli sınıfını ve dengeleme hesabının konusunu
oluşturan hata türüdür. Bir ölçünün rasgele hatasının
büyüklüğü ve işareti önceden kestirilemez. Bu hatalar,
ölçme aletlerinin kusursuz olmaması, gözlemcinin
algılama gücünün sınırlı olması, sıcaklık, basınç,
rüzgar gibi dış etkenlerin değişken olmasının doğal
sonucu olarak ortaya çıkar.
 Ölçülerden herhangi birinin ne kadar güvenilebilir olduğu
konusunda bilgi verebilmek için tanımlanmış ölçütlerdir. Aynı
bir büyüklüğün birden çok ölçülmesi sonucunda elde edilen ölçü
dizilerinden yararlanılarak tanımlanır. İşaretlerinin pozitif olma
olasılığı negatif olma olasılıklarına eşit olmalarından dolayı
işaretleri olarak ± alınır.
 Doğruluk gerçek değere olan yaklaşımdır.
 Duyarlık ise birden çok sayıda yapılan ölçmelerin kendi
aralarındaki tutarlılığın bir göstergesidir.
 Bu ölçütler, ölçülerin ne denli güvenilir oldukları konusunda
bilgi vermek için tanımlanmıştır.
 Doğruluk ölçütleri bir aralık tanımladığı için ± işareti ile yazılır.
 Duyarlık olarak ifade edilen sayısal değerin küçüklüğü ölçünün
kalitesini, büyüklüğü ise kalitesizliğini gösterir.
 Gerçek değeri bilinen bir büyüklüğün n kez ölçülmesi
durumunda;
 =  −  (i=1,2,3,….,n)
Gerçek hata=ölçü-Gerçek Değer
Mutlak Hata ise t ile simgelenir
t=±

=1


 Ortalama hata yerine daha çok standart sapma deyimi
kullanılır. Dengeleme hesabında ise ortalama hataya
karesel ortalama hata denilir.
 Bu ölçüt en çok kullanılan ölçüt olup Gauss tarafından
tanımlanmıştır. Ölçü dizisindeki gerçek hataların
karelerinin ortalamasının karekökü olarak hesaplanır.
 =±
 Formüle


bakıldığında hatalar kareleri oranında
ortalama hataya tesir ettikleri için büyük hataların
sonuca etkisi yüksektir. Bu nedenle ortalama hata kaba
hatalı ölçülerden aşırı etkilenir.
 Aynı bir büyüklüğün ölçülmesi sonucunda elde edilen
bir ölçü dizisinin gerçek hataların ya da ölçülerin kesin
değerden farkları olan düzeltmelerin kareleri toplamı
ölçü sayısına bölünür ve hesaplanan bu değerin
karekökü alınarak bulunur.
 Yaygın
olarak kullanılan bir duyarlık ölçütüdür.
Hatalar kareleri oranında ortalama hataya tesir
ettikleri için büyük hataların sonuca etkisi büyüktür.
Bu nedenle ortalama hata kaba ölçülerden aşırı olarak
etkilenir.
 Eğer
ortalama hata gerçek değerlerden (gerçek
değerler her zaman bilinemez) elde ediliyorsa;
 Eğer ortalama hata düzeltme değerlerinden elde ediliyorsa
 Şeklinde
formülüze edilir. Bu formül duyarlıkları
(ağırlıkları) eşit korelâsyonsuz ölçüler için geçerlidir.
 Burada n ölçü sayısıdır. Gerçek değer bilindiği zaman,
bilinmeyen olmadığından dolayı paydaya n yazılır. Gerçek
değer bilinmediği zaman paydaya n-1 yazılır. Buradaki 1
rakamı bilinmeyen sayısını ifade eder.
 Mutlak değer olarak büyüklük sırasına dizilmiş gerçek
hata kümesinin medyanı olası hata değeridir.
 Bir dizinin medyanı eleman sayısı tek ise dizinin
ortasındaki değer, eleman sayısı çift ise ortadaki değerin
aritmetik ortalamasıdır.
 Bağıl Hata; Bir ölçüde yapılan hatanın ölçüye oranıdır.
 ğ  =

Öçü
 Bir uzunluğun gerçek değeri 1385.765 m olarak
verilmiştir. Bu büyüklüğe ait 10 adet ölçü de aşağıda
verildiğine göre;
 Ölçülere ait gerçek hataları
 Karesel ortalama hatayı
 Mutlak hatayı
 Olası hatayı
 Bağıl hatayı bulunuz.
.765
.766
.767
.763
.766
.760
.765
.769
.768
.763
 Uzunluğu 100.000 m olan bir ayar bazı iki ayrı ölçme
ekibince mm birimine kadar okuma yapılarak çelik
şeritle 20’şer kez ölçülmüştür. Her iki ölçme ekibinin
elde ettiği sonuçlar verildiğine göre ölçü dizisi için bir
ölçünün ortalama hatasını, ortalama hatasını ve
olası hatasını hesaplayınız.


100.002
100.000
99.998
99.999
99.995
100.005
100.003
100.007
100.000
99.994
100.003
99.995
100.001
99.997
99.998
100.002
99.998
100.004
100.004
99.998
100.002
99.994
100.001
100.000
99.998
100.002
99.996
100.006
99.999
99.999
99.995
99.994
100.002
100.006
100.002
99.997
100.001
99.997
100.004
100.002
 Bir ölçü çok sayıda tekrarlandığında ortaya çıkan
hatalar incelenirse bunların belirli kurallara uyduğu
görülür;
 (+) işaretli hata sayısı yaklaşık olarak (-) işaretli hata
sayısına eşittir.
 Küçük hata yapma olasılığı büyük hata yapma
olasılığından büyüktür.
 Hataların sıfır civarında yığılmaları en fazladır.
 Gauss’a göre bir (ε) hatasının gerçekleşme olasılığı;
  =
1

0 2
−2
22
0
− ∞ <  < +∞
 0 = 0 ;  öçüü  ℎ
 e= 2.718281…
  =  −  ; Gerçek hata…
 Dengelemenin amacı, fazla ölçülerden yararlanarak
bilinmeyenlerin en uygun, olasılığı en fazla olan
değerlerini elde etmek, ölçülerin ve bilinmeyenlerin
duyarlıkları hakkında bilgi edinmektir.
 Düzeltmeler 1 , 2 , … . .  ile gösterilirse bu
düzeltmelerin olasılıkları;
1
 (1 )=(1 )=
0 2
1
 (2 )=(2 )=
 .
 .
 .
0 2
 ( )=( )=
1
0 2

1 2
− 2
20


 2
− 22
2
0
 2
− 2
20
olur…
 Dengeleme
hesabında bu düzeltme verilerinin
ölçülerin hepsine uygulanması istenir. Bu olayın
olasılığı P(D) ile gösterilirse, olasılık hesabının çarpım
kuralına göre;
 A ve B olasılıkları P(A) ve P(B) olan iki olay ise bu iki
olayın örneklemede birlikte olma olasılıkları;
 P(A B) =P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B) ile hesaplanır
 P(B|A); Koşullu olasılık
P(A B)
P(A B)
 P(B|A)=
, P(A|B)=
olur…
()
()
 ()=(1 )=
1

0 2 2

1 2 +2 2 +……+ 2
−
22
0
olarak bulunur.
 Dengeleme hesabının amacı, olasılığı maksimum olan
değeri elde etmek olduğundan;
 P(D)=Max olması gerekir.
 P(D) maksimum olması için;
1 2 +2 2 +……+ 2
 −
=minimum olması gerekir.
202
 1 2 + 2 2 + … … +  2 =[VV]=  =Min
 Yukarıdaki son eşitlik duyarlıkları eşit ölçülerin En
Küçük Kareler Yöntemine göre dengeleme ilkesi
denilir.
 Duyarlıkları farklı ölçülerin dengelenmesi sonucunda
duyarlığı ±mi olan bir  ölçüsüne  düzeltmesi
getirme olasılığı;
1
 ( )=( )=
 2

 2
− 2
2
i=1,2,….,n
 P(D)=P(1 ) P(2 ) ……. P( )
 Ağırlık Tanımı;  =
1
 2
 Burada P( ) değerleri yerine koyulursa;
 ()=(1 )=

1
2 2 1 .2 …

1 1 2 +2 2 2 +……+  2
−
2
 Burada P(D)=Max olabilmesi için;
2
2
 1 1 + 2 2 2 + … … +   =[PVV]=   = 
 Ağırlıkları farklı gözlemlerin En Küçük Kareler
Yöntemi ile Dengelem İlkesidir.
 Gauss ölçü hatalarına ilişkin yoğunluk fonksiyonunun
çan eğrisi şeklinde olduğunu kanıtlamış ve buna ‘Hata
Eğrisi’ adını vermiştir.
Sıklık
ε (hata)
 Rasgele
Değişken; Rastgele bir örneklemenin
sonucunu gerçel sayılarla gösteren bir fonksiyondur.
(Trafikteki kaza sayısı, Şehirde yaşayan insanların
boyları, yoldan geçen otomobil sayısı vs…)
 Bir X rassal değişkeninin a değerini alma olasılığı P(X=a)
 X’in I(a,b) aralığında olma olasılığı P(a<X<b)
 X’in c’den küçük ya da eşit olma olasılığı P(X≤c)
 X’in -∞ ile +∞ arasında olma olasılığı P(-∞<X< +∞)=1
 X’in c’den büyük olma olasılığı P(X>c)=1- P(X≤c)
Olur…
 Düzgün bir zarla atışta elde edilecek X rastgele
değişkeni durumu…
 P(X=1) , P(X=2)
 P(1<X<2), P(1 ≤X<2)
 P(3 ≤X ≤4), P(1 ≤X<4)
 P(1 ≤X ≤6), P(-∞<X< +∞)
 X rastgele değişkeninin ortalama değer civarındaki
yaygınlığının ölçütüdürler.
 Bir rastgele değişkenin aldığı değerler ortalama değer
civarına ne kadar yığılırsa dağılımın varyansı ( 2 ) ya
da standart sapması () o derece küçük olur.
 Bir dağılımın ortalama ya da ümit değeri  ile
gösterilir.
 =
+∞

−∞
  formülü ile hesaplanır.
1
 f(x)=
6
x=1, 2, ….., 6
 Ümit Değer;  =
1
1.
6
1
+ 2. +
6
1
3. +
6
1
4. +
6
1
1
5. +6.
6
6
=?
 Bu zar ile 1000 atış yapılırsa atılan sayıların toplamının
1000*? Olması beklenir.
 Ölçü hatalarına ilişkin yoğunluk fonksiyonu çan eğrisi
biçimindedir ve buna ‘Normal Dağılım’ ya da ‘Gauss
Dağılımı’ denir.
σ(ε)
()
-
+
ε
 Olasılık fonksiyonu () ’nun -  ile +  sınırları
arasında kalan alanı tüm alanın %68’idir.
 Yani ölçü hatalarının %68’i bu aralıkta yığılmıştır.
Sınırlar
()
1-()
- ile +
0.6827
1/3
-2 ile +2
- ile +
-4 ile +4
0.9546
0.9973
0.9999
1/20
1/400
1/10000
 Yukarıdaki
tablodaki bilgilerden, rasgele ölçü
hatalarının 1/400’ünün başka bir değişle 1000 hatadan
yalnızca 3’ünün mutlak değerce, ortalama hatanın 3
katından büyük olduğu görülmektedir.
 Bu nedenle jeodezik çalışmalarda genellikle ortalama
hatanın 3 katı, hata sınırı olarak kabul edilir ve bundan
daha büyük hatalar kaba hata olarak yorumlanır.
 =
−

Burada X; Rastgele Değişken, μ; Ümit Değer
ve σ; standart sapmadır.
−
)=()

 F(x)=(
 P(1 <  < 2 ) =  2 −  1

2−
1−
=(
)-(
)



= 2 − (1)
  − = 1 − ()
 Bir açı ölçüsünün ortalama değeri 42.6540 grad ve
standart sapması 8 grad saniyesi olarak verilmektedir.
 Ölçülen bir açının 42.6564 graddan büyük olması
 Ölçülen bir açının 42.6530 ile 42.6560 grad aralığında
olma olasılıklarını hesaplayınız…
 Bir açı büyüklüğünü gösteren X değişkeni normal
dağılımlıdır. Beklenen değer μ=400 grad ve standart
sapması σ=2 mgrad’dır. Ölçü değerleri için;
 399.9980 graddan küçük olması
 399.9980 ile 400.0030 grad aralığında olması
 400.0040
graddan
hesaplayınız…
büyük
olması
olasılıklarını
 Kovaryans iki rastgele değişken arasındaki ilişkiyi
gösteren bir parametredir.
 Kovaryans (+), (-) işaretli herhangi bir değer veya sıfır
olabilir.
 x ve y normal dağılımlı iki rastgele değişken ise ikisi
arası kovaryans  ;
  = (  − 
 −  ) biçiminde tanımlanır.
  (+) ise x ve y değişkenler artı korelasyonlu, (-)
işaretli ise eksi korelasyonludur denir.  = 0 ise
korelasyonsuz yani birbirinden bağımsızdır.
 Korelasyon ise kovaryansın standartlaştırılmış halidir.
 x ve y rastgele değişkenleri standartlaştırılırsa bunların
çarpımlarının beklenen değerine Korelasyon
Katsayısı denilir. Korelasyon katsayısı  ;
  =
− −


=

 
dir.
  birimsiz bir büyüklüktür ve -1 ile +1 arası değerler
alır.
 Kovaryans her değeri alabileceğinden uygun bir
korelasyon ölçütü değildir. Bu nedenle korelasyon
ölçütü olarak korelasyon katsayısı kullanılır.
 Korelasyon katsayısı sıfıra ne kadar yakın ise x ve y
değişkeni arasında zayıf, ±1 e yakınsa kuvvetli bir
ilişkiden söz edilir.
 Ölçülen büyüklüklerin gerçek büyüklükleri  , ,
ölçüler ise  ,  olsun;
  =  -  =  -  sapmaları ile varyans ve
kovaryans için;
 2
=
 

,
2
=




,
2

=
 

eşitlikleri geçerli olur
 Ölçülen büyüklüklerin gerçek değerleri bilinmiyorsa
varyanslar ve kovaryanslar düzeltmeler yardımı ile
belirlenir;
 2 =
 
,
−1
2 =
 
−1
2 =
, 
 
−1
  =

 
-1≤ ≤1 olarak hesaplanır.
    ise otokorelasyon katsayılarıdır.
 Örnek; Her ikisi de n elemanlı x ve y kümesinin
standart sapmaları  = 1.11,  =2.22 ve aralarındaki
kovaryans  = −1.25 olduğuna göre korelasyon
katsayısını hesaplayınız…
 Leica TS15 marka uzaklık ölçerin ayarlanması ve bu
aletle
yapılan
uzunluk
ölçüleri
arasındaki
korelasyonların belirlenmesi amaçlanmaktadır. Ülke
nirengi ağının Zonguldak/Merkez bazı bu aletle 30’u
öğleden önce ve 30’u öğleden sonra olmak üzere 60 kez
ölçülmüştür. Bu bazın invar telle ölçülüp indirgenmiş
uzunluğunun 9605.343 m olduğu bilindiğine göre, bu
aletle ölçülen uzunlukların ortalama hatalarını ve
aralarındaki korelasyonları hesaplayınız.
 x1, x2,…..,xn normal dağılımlı rasgele değişkenler (ölçüler)
bir x vektörü altında toplanırsa x vektörüne;
 = 1 2 … .  
değişken adı verilir.
μ = μ1
ise;
μ2 … . μ

normal dağılımlı n boyutlu rasgele
Değişkenin beklenen değerler vektörü
Buna göre xi-µi farkları;
 −  = 1 − 1 2 − 2 . . . . .  − 

olur.
 −   çarpımının beklenen değeri ise nxn
boyutlu bir matristir.
 −
 −   −   = 
Bu matrisin köşegen
elemanlarının beklenen değerlerinin 
rasgele
değişkeninin varyansları;
 
  −  2 = 2
köşegeni dışındaki elemanların
beklenen değerlerinin xi ve xk rasgele değişkenleri
arasındaki kovaryanslar,
  −  ( − ) = 
ve  =  olduğu göze alınırsa
 
12
= 12
1
12
22
2
1
2
2
matrisi elde edilir.
 matrisine x vektörünün varyans-kovaryans matrisi
denilir.
x1, x2,…..,xn rasgele değişkenleri arasında korelasyon yoksa 
kovaryans matrisi köşegen matrise dönüşür.

12
= 0
0
0
22
0
0
0
2
 Bir ölçünün varyansı küçükse doğruluğu yüksek, büyükse
doğruluğu düşüktür denir. Buna göre doğruluk derecesi
varyans büyüklüğü ile ters orantılıdır.
 Bu yüzden doğruluk ölçütü olarak varyanslar yanında
onların tersleriyle orantılı, ağırlık adı verilen başka
büyüklükler de kullanılır.
 Bu tanıma göre ağırlığı büyük olan bir ölçünün doğruluğu
yüksek, ağırlığı küçük olanın doğruluğu düşüktür.
 Varyansı 2 olan bir ölçünün ağırlığı  için;
 =
2
2
(02 :sabit, Birim ağırlıklı varyans) yazılabilir.
1 0 0
 = 0 2 0 matrisine bağımsız ölçüler için
0 0 
ağırlık matrisi denilir.
 Bağımsız ölçülerin Cxx kovaryans matrisi ile bağımsız
ölçülerin Pxx ağırlık matrisi arasında;

12
= 0
0
0
22
0
0
1
0 ,  = 0
0
2
−1
 = 02 
ilişkisi vardır.
0
2
0
0
0

  kovaryans matrisi, birim ağırlıklı varyans ile
bölünürse ağırlık katsayıları (Kofaktör) matrisi;
 =
1

02 
11
= 12
1
12
22
2
1
1
2 ,  = elde edilir.


−1 =  2  −1 ilişkisi ortaya çıkar.
 = 
0 
Hataların Yayılma Kanunu
 Hata yüklü bir ölçüden faydalanılarak hesaplanabilen diğer bir
büyüklük te hata yüklü olacaktır. Hesaplanan büyüklüklerdeki
hataların ölçü hatalarının fonksiyonları biçiminde belirlenmesine
‘Hata Yayılması’ denilir.
 Doğrultu, uzunluk, faz, kod, zaman vb. elemanlar direk gözlenir ve
elde edilmek istenen diğer büyüklükler (genelde koordinatlar) bu
ölçülerin matematiksel fonksiyonları yardımıyla hesaplanır.
 Ölçüler az ya da çok hatalı olduğu için onlardan elde edilen
büyüklükler de hatalı olur. Fonksiyonlardan elde edilen büyüklüklerin
ölçü hatalarından nasıl etkilendiklerini gösteren bağıntıya Hata
Yayılma Kuralı denir.
 Ölçülen büyüklüklerin ortalama hatalarının bilindikleri durumlarda
ölçülerin herhangi bir fonksiyonunun ortalama hatasının
hesaplanması dengeleme hesabının çok sık rastlanan konularındandır.
Hata yayılma kuralı sadece ilk ölçülere uygulanır.
 Deneysel varyansları (karesel ortalama hataları) 
ve  2 , deneysel
kovaryansları m12 olan l1 ve l2 ölçülerinin herhangi iki fonksiyonu;
  =   , 
  =   , 
biçiminde yazılabilir. Bu fonksiyonların ölçülere göre
diferansiyelleri;
  =
  =




+





+  


2
olur. Kısmi türevlerde l1 ve l2’nin ölçülen değerleri yerine
konularak;
 a1=



,

, a2=
b1=

,



b2=
katsayıları hesaplanırsa, x ve y fonksiyonlarının
diferansiyelleri ;
  =   +  
  =   +  
olur. Gerçek hataların (ε) ölçülere göre çok küçük
oldukları göz önüne alınarak diferansiyel artımlar yerine gerçek hatalar
yazılırsa;
  =   +  
  =   +   elde edilir. Bu eşitliklere ‘Gerçek Hataların Yayılma Kuralı’
denilir.
 İlk ölçülerin n sayıda yinelendikleri varsayılırsa bunlar 1 ve 2 vektörlerinde
toplanabilir. Bu durumda 1 ve 2 ’nin fonksiyonları olan x ve y büyüklükleri 
ve  vektörlerini oluşturur.
 Bütün bu sayılan büyüklüklerin gerçek hataları 1 , 2 ,  ,  vektörlerinde
toplanırsa;
  = 1 1 + 2 2
  = 1 1 + 2 2 bağıntıları elde edilir. Bu eşitliklerin her iki tarafının
karesi alınırsa;
   = 12 1 1 + 21 2 1 2 +22 2 2
   = 12 1 1 + 21 2 1 2 +b22 2 2
   = 1 1 1 1 + 1 2 + 2 1 1 1 + 2 2 2 2 olur. Bu eşitliklerin her
iki tarafı ölçü sayısı olan n’ye bölünerek deneysel varyansın tanımından;
 2 = 12 12 + 21 2 12 + 22 22
2 =  2  2 + 2   +  2 2
 
1 2 12
1 1
2 2
  = 1 1 12 + 1 2 + 2 1 12 + 2 2 22 bağıntıları elde edilir. Bu son
bağıntılara ‘Genel Hata Yayılma Kuralı’ denilir.
 İlk ölçülerin (l1, l2) korelasyonsuz oldukları durumlarda 12 = 0 olduğundan karesel
ortalama hata bağıntıları;
 2 = 12 12 + 22 22
2 = 2 2 + 2 2
 
1 1
2 2
  = 1 1 12 + 2 2 22 biçimini alır. İlk ölçülerin herhangi bir fonksiyonu;
  = (1 , 2 , ……………………  ) olarak tanımlanırsa bu fonksiyonun ortalama
hatası;
  = ±
 2 2
1
1
+
 2 2
2
2
+ ⋯……………+
 2 2


biçiminde
yazılabilen ‘Hata Yayılma Kuralı’ bağıntısından hesaplanır.
 Uyarılar;
 Hata yayılma kuralı yalnızca yeterince ölçü varsa uygulanır. Fazla ölçü varsa
Hata Yayılma Kuralı uygulanmaz. Fonksiyonun kesin değeri ve ortalama
hatası dengeleme hesabı yapılarak bulunur.
α açısı
ortalama hataları ile verilmiştir. Ölçüler arasında
korelasyon bulunmadığına göre a kenarı ve karesel
ortalama hatasını hesaplayınız.
 Bir ABC üçgeninin iki kenarı (c, b) ve aralarındaki
b=60.00 m ±2 cm, c=70.00 m ±3 cm,
B
α=65.0000 g ±25cc


c
a
α
A
b
C


 Ölçülerin duyarlıkları (ortalamaları ve ağırlıkları) ve
aralarındaki korelasyonlar konusunda, dengelemeden
önce (öncül, a-priori) elde bulunan bilgilere stokastik
model denilir.
 Fonksiyonel
ve stokastik modeller dengeleme
hesabının temelini oluştururlar. Söz konusu modeller
dengelemeden
önce
kurulurlar.
Ölçüler
ile
bilinmeyenler arasındaki geometrik ve fiziksel ilişkileri
tam olarak yansıtmayan fonksiyonel modeller ile
ölçülerin duyarlıklarını ve aralarındaki korelasyonları
gerçekçi bir biçimde kapsamayan stokastik modeller
‘Model Hataları’ na neden olurlar.
 Model hataları Dengeleme Hesabında en büyük
sistematik hata kaynağıdır.
 n: Ölçülerin sayısı
 u: Bilinmeyenlerin sayısı
 f: n-u; Fazla ölçü sayısı olmak üzere ;
 f>0 ise Ölçüler dengelenerek Kesin Değerler bulunur.
 f=0 ise cebrik çözüm yapılır.
 f<0 ise varsayımlara dayalı çözüm söz konusudur.





 Dolaysız (Direkt) Ölçüler Dengelemesi
 Dolaylı (Endirekt) Ölçüler Dengelemesi
 Koşullu (Şartlı) Ölçüler Dengelemesi






 Bir




tek büyüklüğün belirlenmesi için yapılan
duyarlıkları farklı, ilk bağımsız ve dolaysız gözlemleri
l1, l2, …,ln, bunların ağırlıklarını p1, p2, …,pn, ile
gösterelim. Söz konusu gözlemler ile bunların
duyarlıkları arasındaki ilişkiler;
ölçü+düzeltmesi=bilinmeyenin kesin değeri
 +  = 
 =  −  Küçük sayılarla çalışmak için bilinmeyen
x’e x0 yaklaşık değeri seçilir;
x=x0+dx
 vi=dx-(li-x0)
((li-x0): li ve x0 ‘ın sayısal değerleri ile elde
edilen büyüklüğe ötelenmiş ölçü gözüyle bakılarak;
 (li-x0)= ′ tanımı yapılırsa;
  =  − ′
 1 =  − 1′




2 =  − 2′
.
.
 =  − ′ Düzeltme Denklemleri (Fonksiyonel Model)
 ′ ötelenmiş gözlemlerin ağırlıkları da pi olur ve bunlar
stokastik modeli oluştururlar.
 p1, p2, …….,pn (Stokastik Model)
 Bu durumda Gauss’un en küçük kareler yöntemine
göre dengeleme ilkesi (Amaç Fonksiyonu);
 [pvv]=min. Biçimindedir.
 Düzeltme Denklemleri








 =  − ′
1 =  − 1′
2 =  − 2′
.
.
.
 =  − ′
Ağırlık
pi
p1
p2
.
.
.
pn
(Matematik Model)
 Matematik model bağıntılarında her iki tarafın karesi
alınıp, ilgili ağırlıklarla çarpıldıktan sonra toplamları
oluşturulursa;
  =  2  − 2  ′ +  ′  ′ elde edilir. Amaç
fonksiyonu [pvv]=min. İçin, eşitliğin sağ tarafının dx’e
göre türevi sıfıra eşitlenerek;
 


= 2   − 2  ′ = 0
   −  ′ = 0 Normal Denklem
  =
 ′

Dengeleme Bilinmeyeninin Kesin Değeri
  = 0 +  Kesin Değer
 [pv]=0
  =  ′  ′ −   ′ 1. Kontrol
  =  ′  ′ −
 ′

2
2. Kontrol
 0 = ±
  = ±

−1
Birim Ölçünün Ortalama Hatası
0
Gözlemlerin

0
Ortama Hataları
  = ±
Genel Aritmetik Ortalamanın Ortalama
[]
Hatası
 Nivelman Ölçüleri ile Bir Noktaya Yükseklik Taşıma…
Ölçüler
l'i
Geçki Uzunluğu
(Si)
Ağırlık Düzeltme
157,0480
3,10
157,0520
2,00
157,0550
6,10
157,0490
5,30
157,0420
10,20
Ortalama
Hata
 DOLAYLI ÖLÇÜLER DENGELEMESİ
 NİVELMAN AĞLARININ DENGELENMESİ
 TRİGONOMETRİK NİVELMAN AĞLARININ





DENGELENMESİ
GPS AĞLARININ DENGELENMESİ
GPS NİVELMANI
SERBEST AĞLARIN DENGELENMESİ
MODEL HİPOTEZİNİN TESTİ ve UYUŞUMSUZ
ÖLÇÜLER TESTİ
İKİ BOYUTLU BENZERLİK (HELMERT) DÖNÜŞÜMÜ
 Belirlenmesi istenen, bir tek büyüklük ise Dolaysız
Ölçüler Dengelemesi söz konusudur. Örnek olarak bir
uzunluk ya da bir açı n kez ölçülmüş ise Dolaysız
Ölçüler dengelemesi uygulanır.
 Birden
çok sayıda bilinmeyenin bir kerede
belirlenmesi ya da bilinmeyenler yerine onları
hesaplamaya yarayan büyüklükler ölçülmüş ise,
Dolaylı Ölçüler dengelemesi uygulanır.
 Jeodezide genellikle bulunması istenen büyüklükler
doğrudan ölçülmez. İstenen değer, ölçülen diğer
elemanlar yardımı ile hesaplanır.
 n: Ölçülerin sayısı
 u: Bilinmeyenlerin sayısı
 f: n-u; Fazla ölçü sayısı olmak üzere ;
 f>0 ise Ölçüler dengelenerek Kesin Değerler bulunur.
 f=0 ise cebrik çözüm yapılır.
 f<0 ise varsayımlara dayalı çözüm söz konusudur.
 Dolaylı ölçüler dengelemesinde ilk aşama, bilinmeyenlerin
seçimidir. Bilinmeyenlerin sayısı, problemin geometrik
anlamda çözümü ya da çizimi için gerekli ölçü sayısıdır.
 Hangi büyüklüğün bilinmeyen olarak seçilmesi gerektiği,
çoğu kez önceden bilinir.
 Nokta
kestirmelerinde,
kestirilecek
noktaların
koordinatları, nivelman ağlarında noktaların yükseklikleri
ya da yükseklik farkları gibi….
 Dolaylı ölçüler dengelemesinde tüm ölçüler kullanılarak
bilinmeyenler,
dengeli
ölçüler,
bilinmeyenlerin
fonksiyonları ve bu büyüklüklerin standart sapması
belirlenir.
 Dengelenmiş ölçüler ile bilinmeyenler arasında ;
 l+v=Ax (ölçü+düzeltmesi=bilinmeyenlerin fonksiyonu)
Biçiminde yazılan eşitliklere düzeltme denklemi adı
verilir. Bu denklemlerin sayısı ölçü sayısına eşittir.
  =  −  (Matris formunda fonksiyonel model)
 v= Düzeltmeler vektörü
 A=Katsayılar Matrisi
 x=Bilinmeyenler vektörü
 -l=Sabit Terimler vektörü
 Doğrusal olmayan denklem sistemlerinin direkt olarak
çözümü mümkün değildir.
 Bu amaçla yazılan ilk düzeltme denklemleri
bilinmeyenlerin yaklaşık değerleri alınarak Taylor
açınımı ile doğrusallaştırılır.
 Düzeltme denklemlerinin tümü doğrusal olsa bile,
hesaplama kolaylığı ve yuvarlatma hata etkisinin
azaltılması amacı ile bilinmeyenler yerine genelde
yaklaşık değerleri seçilir.
  =  −  şeklindeki u bilinmeyenli n denklemden x
bilinmeyenlerinin EKK koşulu;    = . Olacak
şekilde belirlenmesi gerekir.
 v yerine konulursa;
    =  −   ( − ) olur.
    minimum olabilmesi için bilinmeyenlere göre
türevi sıfır olmalıdır.
 Normal denklemlerin çözümü bize x bilinmeyenler
vektörünü verir.
   −   = 0 : Normal Denklemler
  = ( )−1   : çözüm, x bilinmeyenler vektörü
 Şekildeki ikizkenar üçgenin eşit kenarları, açıları ve
yüksekliği ölçülmüştür. İkiz kenar ve açılar cinsinden
düzeltme denklemlerini yazınız…
6
1
2
3
4
5
i
1
Li
118.316 m
2
3
4
118.304 m
70.656 m
40.7516 gon
5
6
40.7532 gon
118.4934 gon
 Matris formunda bir fonksiyonel model verilmiştir. Bu
modele ait stokastik model ise tabloda verildiği gibidir.
Öncül karesel ortalama hata s0=±0.90 mm olduğuna
göre duyarlıkları farklı olan bu ölçüleri dolaylı ölçüler
yöntemine göre dengeleyiniz…
v1
v2
v3
=
-0.0854 0.5678
-0.4502 0.1691
0.9116 0.2451
s0 = 0.90 ms1 = 0.65
ms2 = 0.81
ms3 = 0.36
dx23
*
dy23
2.54
-
-1.26
3.27
rij = 0.50
 Bir Referans sisteminin gerçekleştirilebilmesi için o
sistemde koordinatı bilinen noktalara ihtiyaç vardır.
 Referans sistemini gerçekleştirmek amacıyla tesis
edilen noktalara “kontrol noktası”, bu noktaların
meydana getirdiği yapıya da “kontrol ağları” adı verilir.
• Yatay kontrol ağları
• Düşey kontrol ağları
• Üç boyutlu kontrol ağları
Kontrol noktalarının konumunu doğrudan doğruya
belirlemek mümkün değildir; dolaylı gözlemler
yapmak gerekir.
 Yatay kontrol ağları: Kenar, doğrultu ve açıklık açısı
gözlemleri
 Düşey kontrol ağları: Nivelman
 Üç boyutlu kontrol ağları: Kenar, doğrultu, düşey açı
veya GPS baz vektörleri
 Doğrultu
ağlarında doğrultular, kenar ağlarında
uzunluklar, doğrultu-kenar ağlarında hem doğrultular
ve hem de uzunluklar, nivelman ağlarında yükseklik
farkları, trigonometrik nivelman ağlarında düşey açılar
ya da yükseklik farkları (düşey açılardan hesaplanır)
ölçülür.
 GPS ağlarında üç boyutlu koordinat farkları (kod, faz
ve zaman ölçülerinden) ölçülür.
 Bu ölçüler ilgili jeodezik ağın belirli bir koordinat
sisteminde yeri, yönü ve ölçeği konusunda hiçbir
bilgi içermezler.
 Bu ölçüler yardımıyla oluşturulan jeodezik ağlara
SERBEST ağlar denir.
 Kontrol ağları üzerinde gerçekleştirilen gözlemler ağın ancak iç
geometrisini belirler.
 Bir jeodezik ağın tanımlı bir koordinat sistemindeki yeri, ölçeği
ve yönü konusunda bilgi veren parametrelere DATUM
parametreleri denir.
 Bir nivelman veya trigonometrik nivelman ağının bir koordinat
sisteminde tanımlı olabilmesi için en az bir noktasının yükseklik
koordinatı o koordinat sisteminde bilinmesi gerekir.
 Bir doğrultu ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için
en az iki noktasının koordinatları bilinmelidir.
 Bir doğrultu-kenar ağının bir koordinat sisteminde tanımlı
olabilmesi için en az bir noktasının koordinatları bilinmelidir ve en
az bir doğrultusunun yönü bilinmelidir.
 Bir GPS ağının bir koordinat sisteminde tanımlı olabilmesi için en
az bir noktasının X, Y ve Z koordinatları o koordinat sisteminde
bilinmesi gerekir.
 Ağın bir koordinat sisteminde konumlandırılabilmesi
için gerekli olan parametrelere “dış parametreler”
bunların sayısına “datum defekti” adı verilir.
 Kullanılacak ölçme yöntemi ve jeodezik model
 Doğruluk ölçütleri
o Global doğruluk ölçütleri
o Lokal doğruluk ölçütleri
 Güvenirlik
 Ekonomi
Yüksek doğruluk gereksinimleri nedeniyle jeodezik
ölçmelerde noktalar daima bir ağ mantığı içerisinde ele alınır
ve nokta konumları ağ üzerinde gerçekleştirilen ölçülerin bir
dengeleme hesabına tabi tutulmasıyla elde edilir.
 Serbest ağ dengelemesi
 Tüm iz minimum
 Kısmi iz minimum
 Minimuma dayalı (zorlamasız) dengeleme
 Dayalı (zorlamalı) dengeleme
 Bu tür dengelemede hiçbir ağ noktasının koordinatı sabit kabul




edilmez. Bütün nokta koordinatlarının hatalar içerdiği düşünülür.
Bir ağ dengelemesinde ağdaki bazı noktalara dayalı olarak
koordinatları hesaplanan yeni noktaların koordinatları ve
koordinatların doğrulukları, koordinatı değişmez alınan noktalardan
etkilenir.
Çünkü bu ağda yapılan ölçülere ait hatalar sadece yeni noktaların
koordinatlarına dağıtılır.
Sabit alınan noktalardan uzaklaştıkça biriken hatalar yeni noktaların
konum hatalarını büyütür. Bu bağlamda noktaların konum doğruluğu
datum seçimine bağlı olarak değişir.
Bu durumdan etkilenmemek için ağlar serbest ağ dengelemesi (tüm iz
minimum yöntemine göre dengeleme) ile dengelenir. Bu yöntemde
bir ağda yapılan tüm ölçülerden meydana gelen hatalar tüm nokta
koordinatlarına dağıtılır.
 Serbest ağ dengelemesi yöntemi özellikle deformasyon
araştırma çalışmalarında kullanılır.
 Deformasyon izleme amacıyla oluşturulan jeodezik ağlarda
noktaların koordinatları ve koordinatların doğrulukları
deformasyon analizinde kullanılan giriş değerlerdir.
 Deformasyon analizi ve yorumu açısından bu değerlerin
serbest ağ dengelemesiyle elde edilmiş olunması tercih
edilmektedir.
 Serbest ağ dengelemesinde tüm noktalar bilinmeyen
noktalar olarak ele alınır. Bu nedenle normal denklem
katsayıları matrisinin determinantı sıfır olur. Yani bu
matris singüler bir matristir.
 Tüm iz minimum yöntemi, ağın tüm noktalarını içeren
küçültülmüş koordinat bilinmeyenleri vektörünün
normunun (bilinmeyenlerin kareleri toplamı) ve
ağırlık katsayıları matrisinin izinin (Köşegen
elemanları toplamı) en küçük olmasını, başka bir
değişle ağın tüm noktalarının datum tanımına katkıda
bulunmasını sağlar.
 Tüm iz minimum yöntemine göre dengelemenin
doğrusallaştırılmış fonksiyonel modeli, düzeltme
denklemleriyle koordinat bilinmeyenleri arasındaki
koşul denklemlerinden oluşur.
v= −  (Düzeltme Denklemleri)
   = 0 (Koşul Denklemleri)
 =  −  +  (Serbestlik Derecesi) (n : ölçü sayısı, u:
Bilinmeyen sayısı, d: Defekt)
  koordinat bilinmeyenleri vektörü, ağın tüm noktalarını
içerir. Bu çözümde ağın datumu G matrisi ile tanımlanır. Ve
tüm noktalar datum tanımına katılır. Koşul denklemlerinin
sayısı datum parametrelerinin sayısına eşittir.
 Nokta sayısı p ve buna göre koordinat bilinmeyenlerinin
sayısı bir boyutlu ağlarda u=p, iki boyutlu ağlarda u=2p ve
üç boyutlu ağlarda u=3 p ise G matrisinin boyutları uxd’dir.
 Tüm iz minimum yöntemi, ağın tüm noktalarını içeren
küçültülmüş koordinat bilinmeyenleri vektörünün
normunun (Bilinmeyenlerin bir bölümünün kareleri
toplamı) ve ağırlık katsayıları matrisinin buna karşılık
alt matrisinin izinin (köşegen elemanları toplamı) en
küçük olmasını sağlar.
 Başka bir değişle ağın noktalarından yalnızca bir
bölümünün datum tanımına katkıda bulunmasını
sağlar.
 Bu dengelemenin doğrusallaştırılmış fonksiyonel
modelinin ‘Tüm iz minimum yönteminden farkı’ G
matrisi yerine, datumu tanımlayan ve G matrisinden
dönüştürülen bir B matrisinin geçmesidir.
v= −  (Tüm iz Min. Düzeltme Denklemleri)
   = 0 (Tüm iz Min. Koşul Denklemleri)
v= −  (Kısmi iz Min. Düzeltme Denklemleri)
  = 0 (Kısmi iz Min. Koşul Denklemleri)
  = 
−
  =  
= +
 −1
 
 Dengeleme Hesabı (Kitap), Prof. Dr. Sebahattin




BEKTAŞ (Samsun 2002)
Dengeleme Hesabı (Kitap), Hüseyin DEMİREL (YTÜ
2005)
Dengeleme Hesabı Cilt I-II-III (Kitap), Ergün
ÖZTÜRK (Trabzon 1991)
Dengeleme Hesabı Ders Notları, Şenol Hakan
KUTOĞLU (BEUN, 2008)
Dengeleme Hesabı Ders Notları, Temel BAYRAK
(Gümüşhane, 2011)
Download

Dengeleme Hesabı 1