PRIMENA DIGITALNE OBRADE
SIGNALA U TELEKOMUNIKACIJAMA
Nastavnik:
dr Milan Sečujski
Asistent:
mr Nikša Jakovljevid
DISKRETNI SIGNALI I SISTEMI
Signal
• Merljiva fizička veličina kojom se prenose
poruke, odnosno, informacije
• S matematičkog stanovišta, signal je isto što i
funkcija
Signal
• Nezavisno promenljiva:
 Vreme, prostorna koordinata ili nešto drugo
 Jedna ili više nezavisno promenljivih
 Kontinualna ili diskretna
x(t): R
R
x(n): Z
x(t)
R
x(n)
t
0
1
• Zavisno promenljiva:
 Skup realnih ili kompleksnih brojeva
 Kontinualna ili diskretna
2
3
4
5
6
7
8
n
Diskretni signali
• Diskretni signali mogu biti
 po prirodi diskretni
 nastali odabiranjem analognog signala
• Teorema o odabiranju definiše pod kojim uslovima je
moguda idealna rekonstrukcija polaznog analognog
signala na osnovu diskretnog
x(t)
x(n)
t [s]
n
• Odabiranje treba vršiti bar 2 puta vedom učestanošdu
nego što je najviša učestanost u spektru polaznog signala
Pojam spektra
• Svaki analogni signal a(t) može se na jedinstven način
rastaviti na zbir prostoperiodičnih signala na
određenim učestanostima
• Ako je a(t) periodičan s periodom T, te učestanosti su
f0=1/T, 2f0, 3f0,... (razvoj u Fourierov red)
• Frekvencijske komponente signala čine spektar
• Kolika je najviša učestanost u spektru signala po pravilu
ima veze s tim koliko je signal brzo promenljiv
 sporo promenljivim signalima po pravilu odgovaraju niske
učestanosti, a brzo promenljivim visoke
Pojam spektra
s1(t)
S1( f )
1
1
t [s]
f [Hz]
1
T1 = 1 s
s2(t)
S2( f )
1
1
t [s]
3
f [Hz]
T2 = 1/3 s
s3(t) = s1(t) + s2(t)
S3( f )
1
1
t [s]
1
3
f [Hz]
Koju učestanost odabiranja koristiti?
PRIMENA
fmax
fs
geofizika
biomedicina
mehanika
govor (telefonija)
audio
video
500 Hz
1 kHz
2 kHz
4 kHz
20 kHz
4 MHz
1 kHz
2 kHz
4 kHz
8 kHz
40 kHz
8 MHz
Kvantizacija amplitude
• Svrha: predstavljanje brojeva s konačnom preciznošdu
• Vrednosti signala mogu biti samo iz unapred
dogovorenog skupa (obično 2m različitih vrednosti)
• Razlika između stvarnih
i kvantizovanih vrednosti
je greška kvantizacije
 Što više nivoa, greška je
manja
• Signal se na ovaj način
priprema za kodovanje
 npr. binarno
Kodovanje
• Svrha: dovođenje signala u oblik pogodan za digitalnu obradu
(npr. na računaru ili DSP procesoru) ili digitalni prenos
• Za kodovanje 2m nivoa kvantizacije potrebno je m bita po odbirku
 Preciznija kvantizacija znači
i vede zauzede memorije ili
vedu količinu podataka koju
treba preneti
 Kvantizaciju, kao i odabiranje,
treba vršiti onoliko precizno
koliko je zaista potrebno
• Primer:
 Koliko minuta muzike
(stereo, 44.1 kHz, 16 bita
po odmerku) može stati na
jedan CD kapaciteta 750 MB?
Zašto digitalno?
• Digitalni signali se teže ošteduju
 mala oštedenja se mogu u potpunosti otkloniti
• Postoje mogudnosti:





detekcije i korekcije greške u prenosu
kriptozaštite
kompresije
vremenskog multipleksa
digitalne obrade signala
Digitalni signali se teže ošteduju
• Analogni signal je osetljiv na smetnje (primer:
gramofonska ploča, audio-kaseta)
• Kod digitalnog signala, ako su oštedenja mala, može se
rekonstruisati kako je tačno izgledao polazni signal
 Digitalni signal je imun na smetnje dovoljno malog
intenziteta
• Ovo se ne odnosi samo na
skladištenje signala, nego
i na prenos
Detekcija i korekcija greške u prenosu
• Bit parnosti (najjednostavnija ideja)
0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 0 0
ZAŠTITA
0+1+0+1+1+0+0=1
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1
ZAŠTITA
0+1+0+1+1+0+0+1=0
0+1+0+1+1+0+0=1
KONTROLA
0 1 0 1 1 0 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1
0+1+0+0+1+0+0+1=1
KONTROLA
ü
Detekcija i korekcija greške u prenosu
• Checksum
• Ciklična provera redundanse (eng. Cyclic
Redundancy Check)
• Kodovi zasnovani na Hammingovom rastojanju
• Hash funkcije
Kriptozaštita
• Cilj: da se poruka prenese a da presretač/prisluškivač
ne otkrije informaciju čak i ako dođe do same poruke
• Simetrična kriptozaštita
 skremblovanje
• Sabiranje po modulu 2 sa fiksnom kodnom reči koja predstavlja ključ
• Asimetrična kriptozaštita
 tajni i javni ključ
• Postoje metode kojima je
cilj da se sakrije i samo
postojanje poruke
Kompresija
• Cilj: očuvanje iste informacije uz smanjenje količine podataka
• Stepen kompresije: odnos veličine komprimovanih i
nekomprimovanih podataka
 Treba da bude što manji od 1, ali ne može biti proizvoljno nizak
• Kompresija može biti:
 bez gubitaka (faksimil, ZIP, RAR...)
 sa gubicima (JPG, MP3...)
• Predajna i prijemna strana
moraju koristiti isti algoritam
komresije/dekompresije
Vremenski multipleks
• Mnogo jednostavniji od frekvencijskog multipleksa
• Koristi se npr. u digitalnoj telefoniji
 na slici je prikazan multipleks na nivou bita
• Još jedan primer: zapis stereo signala u WAV formatu
Digitalna obrada signala
• Obrada = modifikacija signala u skladu sa određenim zahtevima
• Klasična analogna obrada zahteva da se realizuje kolo sa npr. kalemovima,
otpornicima i kondenzatorima
• Digitalna rešenja imaju brojne prednosti:
 Tačnost
• U analognim kolima pogotovo je teško postidi dobru uparenost pojedinih
komponenata
 Stabilnost
• Neosetljivost na spoljne uslove i starenje




Male dimenzije
Cena
Fleksibilnost
Programabilnost
• Mogude je ostvariti vrlo složenu obradu, npr. adaptivno filtriranje (primeri:
EKG signal, eho u telefoniji...)
Digitalna obrada signala (primer)
Neke primene digitalne obrade signala
•
Telefonija i komunikacioni sistemi








•
Personalni računar




•
•
•
Sigurnosni sistemi


Autorizacija
Video-nadzor
Pradenje intenzivne nege
EKG i EEG analiza
Obrada slike u medicini
Digitalni audio






•
Automatska sinteza govora
Automatsko prepoznavanje govora
Automatsko prepoznavanje govornika
Interaktivne govorne mašine
Medicinska elektronika



Obrada zvuka i slike
Multimedija
Modemske komunikacije
Internet telefonija i video
Aktivno ogibljenje
Digitalni audio
Digitalni radio
Komunikacioni sistemi
Govorne tehnologije




Automobilska industrija




•
Kompresija govora
Zaštitno kodovanje
Obrada glasa i podataka
Potiskivanje eha
Potiskivanje šuma
Kriptozaštita
Generisanje i detekcija DTMF cifara
Upravljanje potrošnjom energije
•
CD i DVD
Kompresija zvuka
Stereo i surround zvuk
Digitalni audio-efekti
Uklanjanje šuma iz audio-signala
Elektronska muzika
Digitalna televizija



Obrada zvuka i slike
Video na zahtev
Teletekst
Osobine diskretnih signala
Periodičnost
∃N ∈ N, x(n) x(n N)
x(n)
...
...
_N
0
N
2N
n
Najmanje takvo N je osnovna perioda signala.
Ako takvo N ne postoji, signal je aperiodičan.
Osobine diskretnih signala
Prostoperiodičnost
∃A, ω, φ ∈ R , x(n) A sin( ωn φ)
x1(n)
...
1
...
n
_1
nπ
x1 (n) = sin
4
x2(n)
...
1
...
n
_1
x2 (n) = cos nπ
Osobine diskretnih signala
Ograničenost
∃M ∈ R, x(n) M
x(n)
M
...
...
2N
_M
n
Osobine diskretnih signala
Parnost
Neparnost
∀n, x( n) x(n)
∀n, x( n)
x(n)
x(n)
x(n)
n
n
Svaki diskretni signal x(n) može se na jedinstven način
predstaviti kao zbir jednog parnog i jednog neparnog
Osobine diskretnih signala
Kauzalnost
∀n 0, x(n) 0
x(n)
n
Kauzalnost u širem smislu
∃N1 ∈ Z , ∀n N1 , x(n) 0
x(n)
n
Osobine diskretnih signala
Antikauzalnost
∀n 0, x(n) 0
x(n)
n
Antikauzalnost u širem smislu
∃N1 ∈ Z , ∀n N1 , x(n) 0
x(n)
n
Trajanje diskretnih signala
Konačno
∃N1 , N2 ∈ Z
n N1 ∨ n N2 , x(n) 0
x(n)
...
...
N1
N2
n
Ako je x(N1)≠0 i x(N2)≠0, trajanje signala je jednako N2N1+1.
Beskonačno
∃
∕ N1 , N2 ∈ Z
n N1 ∨ n N2 , x(n) 0
x(n)
...
...
n
Predstavljanje diskretnih signala
Diskretni δ-impuls
1, n 0
0, n 0
δ(n)
δ(n)
1
n
Svaki diskretni signal može se zapisati kao linearna
kombinacija δ-impulsa pomerenih u vremenu
2δ(n−3)
2δ(n−3)+δ(n−5)
2
2
1
3
n
3 5
n
Predstavljanje diskretnih signala
Heavisideova povorka impulsa
u(n)
u(n)
1, n 0
0, n 0
1
...
n
Signali se nekad mogu predstaviti i preko Heavisideove
povorke:
2u(2−n)
2
...
u(n−2)
1
...
2
n
2
n
Predstavljanje diskretnih signala
Nacrtajte sledede signale:
x1 (n) u(n) 2u(n 3)
x2 (n) (n 3)u(n)
x3 (n) sin(nπ / 2)u( n)
x4 (n)
δ(n 3k)
k 0
n
x5 (n) 2 u(3 n)
Predstavljanje diskretnih signala
Kako biste zapisali sledede signale?
x1(n)
3
...
...
1
n
x2(n)
1
_2
n
4
x3(n)
...
1
2
...
_2
n
Konvolucija
Linearna konvolucija
l(n) a(n) b(n)
a(k)b(n k)
k
 Ne mora uvek postojati
 Dovoljan uslov za postojanje je da a(n) i b(n) budu konačnog
trajanja (N1 i N2), tada je trajanje signala c(n) jednako N1+N2−1
 Komutativna operacija, neutralni element je δ(n)
Ciklična konvolucija
N 1
c(n) a(n) b(n)
a(k)b(n k)
k 0
 Nad periodičnim signalima periode N
 Rezultat je takođe prostoperiodični signal periode N
Prostoperiodični signali
• Posmatramo, za početak, jedan signal u
kontinualnom vremenu.
Im
s(t ) cos Ω0t
j sin Ω0t
s(t ) e jΩ0t
sinΩ0t
1
Ω0t
cosΩ0t
1
Re
Osnovna učestanost:
linijska: f0 [Hz]
kružna: Ω0 [rad/s]
Ω0
2πf0
Gde se u obradi kontinualnih
signala susrede signal s(t) e jΩ0t ?
Prostoperiodični signali
• Sada posmatramo isti signal u diskretnom
vremenu.
Broj obrtaja u sekundi: f0 = 1 Hz
Broj opservacija u sekundi: fs = 8 Hz
Period između opservacija: T = 1/fs
Im
n=2
n=3
n=1
ω
1
n=0
n=4
n=5
n=7
n=6
s(nT ) e jnΩ0T
e jω0n
sd (n)
Re
Broj ciklusa između dve opservacije je
učestanost diskretnog signala
ξ = fT = f/fs. [broj ciklusa po 1 opservaciji]
Ugao između dve opservacije je kružna
učestanost diskretnog signala ω = ΩT =
Ω/fs. [broj radijana po 1 opservaciji]
Prostoperiodični signali
• Ovo je, u suštini, odabiranje prostoperiodičnog
signala.
x(t)
1
1
t [s]
Broj obrtaja u sekundi: f0 = 1 Hz
Broj opservacija u sekundi: fs = 8 Hz
Period između opservacija: T = 1/fs
x(t ) cos Ω0t
xd (n) x(nT ) cos Ω0nT cos ω0n
xd(n)
1
1
2
3
4
5
6
7
8
n
Ω0 2πf0 2π rad/s
Ω0 π
ω0 Ω0T
ξ0
fs 4
f0
fs
1
8
0
Pojam učestanosti
• Pojam učestanosti se razlikuje kod kontinualnih
(analognih) i diskretnih signala.
UČESTANOST
LINIJSKA
KONTINUALNI SIGNALI
(perioda T)
DISKRETNI SIGNALI
(perioda N)
f
ξ
1
[Hz]
T
f Ts
f
[ ]
fs
KRUŽNA
Ω
2π
2πf [rad/s]
T
ω ΩTs
Ω
2πξ [rad]
fs
Primeri odabiranja
n=2
n=3
n=1
n=4
n = 0, 8
n=5
n=7
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
1
π
ξ0
ω0
8
4
n=6
x(t)
1
1
2
3
4
8
16
24
32
t [s]
xd(n)
1
n
0
Primeri odabiranja
n = 1, 5
n = 2, 6
n = 0, 4, 8
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
1
π
ξ0
ω0
4
2
n = 3, 7
x(t)
1
1
2
3
4
4
8
12
16
t [s]
xd(n)
1
n
0
Primeri odabiranja
n=6
n=1
n=3
n=4
n = 0, 8
n=7
n=5
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
3
3π
ξ0
ω0
8
4
n=2
x(t)
1
1
2
3
4
t [s]
xd(n)
1
4
8
n
0
Primeri odabiranja
n = 1, 3
5, 7
n = 0, 2
4, 6, 8
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
1
ξ0
ω0 π
2
x(t)
1
1
2
3
4
2
4
6
8
t [s]
xd(n)
1
n
0
Primeri odabiranja
n=2
n=7
n=5
n=4
n = 0, 8
n=1
n=3
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
5
5π
ξ0
ω0
8
4
n=6
x(t)
1
1
2
3
4
t [s]
xd(n)
1
4
n
0
Primeri odabiranja
n = 3, 7
n = 2, 6
n = 0, 4, 8
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
3
3π
ξ0
ω0
4
2
n = 1, 5
x(t)
1
1
2
3
4
t [s]
xd(n)
1
4
n
0
Primeri odabiranja
n=6
n=5
n=7
n=4
n = 0, 8
n=3
n=1
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
7
7π
ξ0
ω0
8
4
n=2
x(t)
1
1
2
3
4
t [s]
xd(n)
1
4
n
0
Primeri odabiranja
n = 0, 1
2, 3, 4, 5
6, 7, 8
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
ξ0 1
ω0 2π
x(t)
1
1
2
3
4
1
2
3
4
t [s]
xd(n)
1
n
0
Primeri odabiranja
n=2
n=3
n=1
n=4
n = 0, 8
n=5
n=7
f0 1 Hz Ω0 2π rad/s
9
9π
ξ0
ω0
8
4
n=6
x(t)
1
1
2
3
4
t [s]
xd(n)
1
1
2
3
n
0
Specifičnost učestanosti diskretnih signala
xd(n)
xd(n)
1
0
8
16
n
ω0 = 3π/2
0
ω0 = π/4
1
xd(n)
16
n
ω0 = 7π/4
0
0
8
xd(n)
16
8
16
8
16
xd(n)
16
n
ω0 = 2π
0
0
8
n
xd(n)
1
1
16
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
8
0
xd(n)
1
0
ω0 = 5π/4
n
1
xd(n)
ω0 = π
8
n
1
1
ω0 = 3π/4
16
xd(n)
1
ω0 = π/2
8
n
Porast ω0 ne znači i porast brzine
promene diskretnog signala!
n
Specifičnost učestanosti diskretnih signala
xd(n)
xd(n)
1
0
8
16
n
ω0 = 3π/2
0
ω0 = π/4
1
xd(n)
16
n
ω0 = 7π/4
0
0
8
xd(n)
16
8
16
8
16
xd(n)
16
n
ω0 = 2π
0
0
8
n
xd(n)
1
1
16
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
8
0
xd(n)
1
0
ω0 = 5π/4
n
1
xd(n)
ω0 = π
8
n
1
1
ω0 = 3π/4
16
xd(n)
1
ω0 = π/2
8
n
Kako ω0 raste od 0 do π, raste i
brzina promene diskretnog signala.
n
Specifičnost učestanosti diskretnih signala
xd(n)
xd(n)
1
0
8
16
n
ω0 = 3π/2
0
ω0 = π/4
1
xd(n)
16
n
ω0 = 7π/4
0
0
8
xd(n)
16
8
16
8
16
xd(n)
16
n
ω0 = 2π
0
0
8
n
xd(n)
1
1
16
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
8
0
xd(n)
1
0
ω0 = 5π/4
n
1
xd(n)
ω0 = π
8
n
1
1
ω0 = 3π/4
16
xd(n)
1
ω0 = π/2
8
n
Na učestanosti π brzina promene
diskretnog signala je najveda.
n
Specifičnost učestanosti diskretnih signala
xd(n)
xd(n)
1
0
8
16
n
ω0 = 3π/2
0
ω0 = π/4
1
xd(n)
16
n
ω0 = 7π/4
0
0
8
xd(n)
16
8
16
8
16
xd(n)
16
n
ω0 = 2π
0
0
8
n
xd(n)
1
1
16
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
8
0
xd(n)
1
0
ω0 = 5π/4
n
1
xd(n)
ω0 = π
8
n
1
1
ω0 = 3π/4
16
xd(n)
1
ω0 = π/2
8
n
Sa daljim porastom učestanosti ω0
brzina promene diskretnog signala
opada.
n
Specifičnost učestanosti diskretnih signala
xd(n)
xd(n)
1
0
8
16
n
ω0 = 3π/2
0
ω0 = π/4
1
xd(n)
16
n
ω0 = 7π/4
0
0
8
xd(n)
16
8
16
8
16
xd(n)
16
n
ω0 = 2π
0
0
8
n
xd(n)
1
1
16
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
8
0
xd(n)
1
0
ω0 = 5π/4
n
1
xd(n)
ω0 = π
8
n
1
1
ω0 = 3π/4
16
xd(n)
1
ω0 = π/2
8
n
Na učestanosti 2π nema promene
diskretnog signala, situacija je ista
kao i na učestanosti 0.
n
Specifičnost učestanosti diskretnih signala
xd(n)
xd(n)
1
0
8
16
n
ω0 = 3π/2
0
ω0 = π/4
1
xd(n)
16
n
ω0 = 7π/4
0
0
8
xd(n)
16
8
16
8
16
xd(n)
16
n
ω0 = 2π
0
0
8
n
xd(n)
1
1
16
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
8
0
xd(n)
1
0
ω0 = 5π/4
n
1
xd(n)
ω0 = π
8
n
1
1
ω0 = 3π/4
16
xd(n)
1
ω0 = π/2
8
n
Nadalje se sve periodično ponavlja,
s periodom 2π.
n
Specifičnost učestanosti diskretnih
signala
• Signali cos(nπ/4) i cos(9nπ/4) su identični:
xd(n)
xd(n)
0
ω0 = π/4
1
8
16
n
ω0 = 9π/4
0
1
8
16
• Isto je i sa bilo koja dva prostoperiodična diskretna signala
čije se učestanosti ω0 razlikuju za celobrojni umnožak 2π
1
e j(ω0
2kπ )n
e jω0ne j2kπn
e jω0n , k ∈ Z
• Kod kontinualnih signala, dve kompleksne sinusoide
različitih učestanosti Ω0 bile su uvek međusobno različite
• Ova razlika postoji jer je kod kontinualnih signala perioda
mogla da bude bilo koji realan broj
n
Odabiranje
• Proces kojim se analogni signal prevodi u diskretan
• Za potpunu digitalizaciju signala mora se obaviti i
kvantizacija, odnosno diskretizacija amplitude
xˆ(t ) x(t )
x(t )
x(t)
δ(t nT )
n
δ(t nT )
t [s]
n
^
x(t)
δ(t )
, t
0, t
0
0
T=1/fs
t [s]
Odabiranje
• Teorema o odabiranju
fs > 2 fmax
Tmin
Ts <
2
• Hardversko ograničenje
fs
fproc
Ts Tproc
PRIMENA
fmax
fs
geofizika
biomedicina
mehanika
govor (telefonija)
audio
video
500 Hz
1 kHz
2 kHz
4 kHz
20 kHz
4 MHz
1 kHz
2 kHz
4 kHz
8 kHz
40 kHz
8 MHz
• Da bi bila moguda digitalna obrada signala uz idealnu
rekonstrukciju analognog signala, mora, dakle, važiti:
2 fmax < fproc
Tmin
> Tproc
2
Spektar signala odbiraka
xˆ(t ) x(t )
x(t )
δ(t nT )
n
δ(t nT )
Xˆ ( f ) F{ xˆ(t )}
xˆ(t )e
j 2 πft
dt
x(nT )δ(t nT )
n
n
Xˆ ( f )
x(nT )δ(t nT )e
j 2 πft
dt
x(nT ) δ(t nT )e
j 2 πft
dt
n
x(t)
Xˆ ( f )
n
t [s]
1
Xˆ ( f )
x(nT )e
j 2 πfnT
x(nT )e
j 2 πfnT
δ(t nT )dt
n
^
x(t)
Xˆ ( f )
T=1/fs
n
t [s]
FOURIEROVA TRANSFORMACIJA
DISKRETNOG SIGNALA
Spektar signala odbiraka
• Uslov konvergencije je Xˆ ( f )
S obzirom da važi:
Xˆ ( f )
x(nT )e
n
j 2 πfnT
za svako f.
1
x(nT ) e
j 2 πfnT
n
x(nT ) ,
n
dovoljan uslov za konvergenciju je
x(nT )
n
• Spektar signala odmeraka je periodičan s periodom fs
Xˆ ( f + kf s ) =
x(nT )e
j 2 π ( f + kfs )Tn
n
1
x(nT )e
n
j 2 πfTn
e
j 2 πkfsTn
Xˆ ( f )
Spektar signala odbiraka
• Spektar signala odbiraka može se dovesti u vezu sa
spektrom polaznog kontinualnog signala X(f)
xˆ(t ) x(t )
x(t )
δ(t nT )
Xˆ ( f )
xˆ(t )e
Xˆ ( f )
x(t )
j 2 πft
dt
n
δ(t nT )
n
1
e j 2 πmf st
Tm
δ(t nT )e
j 2 πft
1
Xˆ ( f )
Tm
x(t )e j 2 πmf st e
j 2 πft
1
Xˆ ( f )
Tm
x(t )e
dt
n
1
ˆ
X( f )
Tm
X( f
j 2 π ( f mf s )t
mf s )
dt
dt
Spektar signala odbiraka
1
ˆ
X( f ) =
Tm
X( f )
−fmax
f
fmax
^
fs > 2fmax
TX( f )
X( f+2fs )
X( f+fs )
X ( f mfs )
images
X( f )
X( f−fs )
X( f−2fs )
...
...
−2fs
fs
− _ −fmax
−fs
fmax _fs
2
fs
2
2fs
^
TX( f )
fs < 2fmax
...
...
−3fs
−2fs
−fs − _fs
2
_fs
2
aliasing
fs
2fs
3fs
f
f
Nyquistov interval
• Osnovna perioda spektra diskretnog signala naziva se
Nyquistov interval
x(t)
X( f )
X(Ω)
t [s]
f
^
x(t)
Ω
^
^
TX( f )
T=1/fs
TX(Ω)
...
t [s]
...
−fs
fs
−_
2
_fs
fs
xd(n)
2
f
fs
...
−Ωs
s
−_
2
Ω
Ωs
TXd(ξ )
n
...
−1
1
−_
2
_1
1
2
Ω
_s
2
Ωs
Ω
TXd(ω)
...
0 1 2 3 4 5 6 7 8
...
1
ξ
...
...
−2π
−π
π
2π
2π
ω
Diskretni sistem
• Transformacija T{} kojom se ulazni signal x(n)
preslikava u izlazni signal y(n):
T{ x(n)} = y(n)
x(n)
T{ }
y(n)
• S matematičkog stanovišta, diskretni sistem je
preslikavanje skupa svih diskretnih signala DR u samog
sebe, definisano operatorom T{}.
Osobine diskretnih sistema
Aditivnost
∀x1 (n), x2 (n) ∈ DR
T{ x1 (n) x2 (n)} T{ x1 (n)} T{ x2 (n)}
Homogenost
∀x1 (n) ∈ DR , ∀a ∈ R,
T{ax1 (n)} aT{ x1 (n)}
Osobine diskretnih sistema
Linearnost
∀x1 (n), x2 (n) ∈ DR , ∀a, b ∈ R,
T{ax1 (n) bx 2 (n)} aT{ x1 (n)} bT{ x2 (n)}
• Ako je sistem aditivan i homogen, on je i linearan. Važi i
obrnuto.
Vremenska nepromenljivost
∀x(n) ∈ DR , ∀k ∈ Z ,
T{ x(n)} y(n) ⇒T{ x(n k)} y(n k)
Osobine diskretnih sistema
Kauzalnost
∀x1 (n), x2 (n) ∈ DR , ∀n0 ∈ Z ,
x1 (n) x2 (n), n n0
y1 (n) y2 (n), n n0
• Ako odziv sistema ni u jednom trenutku n ne zavisi od
vrednosti pobude sistema u nekom od bududih
trenutaka (n+1, n+2,...)
• Svi diskretni sistemi koji vrše obradu u realnom
vremenu ispunjavaju ovaj zahtev
Linearni vremenski nepromenljivi sistemi
• Ovi sistemi predstavljaju klasu od posebnog interesa
y(n) T { x(n)}
T
x(n)
δ(n)
LVN
x(k)δ(n k)
k
y(n)
ADITIVNOST
T { x(k)δ(n k)}
h(n)
k
HOMOGENOST
x(k)T {δ(n k)}
k
VREMENSKA
NEPROMENLJIVOST
x(k)h(n k)
k
y(n) x(n) h(n)
Impulsni odziv
• Odziv na δ-impuls, i ujedno signal koji na jedinstven način
identifikuje LVN sistem
• Signal čije osobine ukazuju na osobine sistema
 Ako je impulsni odziv kauzalan, i LVN sistem je kauzalan
• Od posebnog praktičnog interesa su LVN sistemi kod kojih
su ulaz i izlaz vezani linearnom diferencnom jednačinom sa
konstantnim koeficijentima, tzv. relacijom ulaz-izlaz:
N
M
ai y(n i)
i 0
bi x(n i)
aN
0, a0 1
i 0
• RUI takođe omogudava određivanje bitnih osobina LVN
sistema, kao i njegov grafički prikaz.
Grafički prikaz sistema
• LVN sistem čija je RUI linearna diferencna jednačina sa
konstantnim koeficijentima grafički se predstavlja
preko sabirača, množača i kola za kašnjenje (pomerača)
a(n)
c(n)
b(n)
a(n)
K
b(n)=Ka(n)
c(n)=a(n)+b(n)
b(n)
a(n)
−1
z
b(n)=a(n−1)
b(n)
Blok-šema realizacije sistema
b0
−
−1
z−1
b1
b2
bM
a2
...
...
bM−1
z−1
a1
...
z
y(n)
z−1
z−1
...
x(n)
aN−1
aN
z−1
Blok-šema realizacije sistema
b0
a1
z−1
z−1
z−1
aN−1
aN
b1
b2
bM−1
z−1
z−1
y(n)
bM
...
...
a2
z−1
...
−
...
x(n)
Blok-šema realizacije sistema
b0
x(n)
a1
amax{M,N}−1
amax{M,N}
z−1
z−1
b1
KANONSKA FORMA
BLOK-ŠEME REALIZACIJE
DISKRETNOG SISTEMA
b2
bmax{M,N}−1
bmax{M,N}
...
...
a2
z−1
...
−
y(n)
FIR sistemi (Finite Impulse Response)
• RUI ima sve koeficijente ai jednake 0 (osim a0 = 1)
N
y(n)
0
M
ai y(n i)
i 1
bi x(n i)
i 0
M
y(n)
M
bi x(n i)
i 0
h(n)
bi δ(n i)
i 0
• Koeficijenti bi su upravo vrednosti odbiraka impulsnog
odziva FIR sistema
y(n) h(0)x(n) h(1)x(n 1) ... h(M)x(n M)
• U principu, FIR sistemi su svi sistemi čiji je impulsni odziv
konačnog trajanja, ne mora početi baš u trenutku n=0
Blok-šema realizacije FIR sistema
M
y(n)
bi x(n i)
i 0
b0
x(n)
z−1
z−1
b1
b2
bM
...
...
bM−1
z−1
y(n)
FIR sistemi (Finite Impulse Response)
Odredite RUI sistema čiji je impulsni odziv:
h(n) 2δ(n) 3δ(n 1) 3δ(n 2) 2δ(n 3)
Odredite impulsni odziv sistemâ čije su RUI:
y(n) x(n) 2x(n 1) 3x(n 2)
y(n) x(n) x(n 4)
IIR sistemi (Infinite Impulse Response)
• RUI ima bar jedan koeficijent ai različit od 0 (osim a0)
N
y(n)
M
ai y(n i)
bi x(n i)
i 1
i 0
N
M
h(n)
ai h(n i)
i 1
bi δ(n i)
i 0
• Oblik impulsnog odziva nije mogude dobiti direktno iz
koeficijenata RUI
1) h(n) h(n 1) δ(n)
h(n) u(n)
2) h(n) αh(n 1) δ(n)
h(n) α nu(n)
• U principu, IIR sistemi su svi sistemi čiji je impulsni odziv
beskonačnog trajanja, ne mora početi baš u trenutku n=0
Primeri diskretnih sistema
Ispitajte linearnost, vremensku nepromenljivost i
kauzalnost slededih sistema:
1) y(n) 4 x(n)
8) y(n)
x(n)
2) y(n) x(n) 3x(n 1) 9) y(n) x(n)u(n)
3) y(n) x(n) 1
10) y(n) max{ x(n 1), x(n), x(n 1)}
4) y(n) x(n2 )
11) y(n) nx(n)
5) y(n) x 2 (n)
6) y(n) x(2n)
y 0 (n)
2 1 0 x 0 (n)
y1 (n)
1 2 1 x1 (n)
y2 (n)
0 1 2 x2 (n)
7) y(n) x(n 1)x(n 1)
12)
Download

PDT 1 - Diskretni signali i sistemi.pdf