1
RАVANSKE REŠETKE
Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju
čvorovi. Rešetke su opterećene koncentrisanim silama koje leže u ravni rešetke i
dejstvuju u njenim čvorovima.
Osnovni element svake ravanske rešetkaste kontrukcije je trougao. Između broja
čvorova n i broja štapova s statički određene ravanske rešetke postoji veza s=2n-3.
Ukoliko je s>2n-3 postoji unutrašnja statička neodređenost rešetke, a ako je s<2n-3
radi se o mehanizmu
Rešetka može biti vezana za podlogu pokretnim zglobom, nepokretnim zglobom, užetom ili lakim štapom. Laki štap koji povezuje rešetku sa osloncima nije
sastavni deo ravanske rešetke, već njena spoljašnja veza.
Proračun rešetke se svodi na određivanje reakcija spoljašnjih veza i sila u štapovima rešetke. Zbog uvedenih pretpostavki sile u lakim štapovima se poklapaju s
pravcima lakih štapova, te oni mogu biti opterećeni na zatezanje ili pritisak.
1.1
Algoritam rešavanja zadataka
Proračun rešetke se može izvršiti na osnovu sledećih koraka:
1. Osloboditi se spoljašnjih veza i uvesti odgovarajuće reakcije veza (otpore
oslonaca).
2. Za rešetku kao celinu pisati jednačine ravnoteže i odrediti reakcije veza.
Naime, kako na rešetku dejstvuje ravanski sistem sila njena ravnoteža će biti ostvarena ako su glavni vektor sistema i glavni moment za proizvoljno izabranu tačku A
jednaki nuli:
(1.1)
Fg = 0, M gA = 0.
Prvi, vektorski uslov se projektovanjem na ose koordinatnog sistema xy svodi na
dve skalarne jednačine, a prethodni uslovi ravnoteže transformišu u sledeći sistem
jednačina ravnoteže1:
n
1. ∑
i =11
+
n
0, 2. ∑
i 1
yi
0, 3. ∑
0,
(1.2)
1
U daljem tekstu će se tokom rešavanja primera izostavljati oznaka za promenu indeksa i=1,..., n sume projekcija svih
sila, ali će se podrazumevati da se ta suma odnosi na sve sile koje dejstvuju na uočeni sistem. Indeks sumiranja će
i u momentnim jednačinama, pri rešavanju primera, biti izostavljan. Na taj način, oznaka
n
k
∑M + ∑M
j
j =1
i =1
Fi
A
+
∑M
A
će podrazumevati
(sumu spegova i momenata sila za izabranu tačku) za naznačen pozitivan smer momenta.
8
RAVANSKE REŠETKE
koji podrazumeva da je suma projekcija svih sila na ose koordinatnog sistema jednaka
nuli, i da je suma momenata svih sila i spregova za proizvoljnu tačku u ravni nula.
Osim jednačina ravnoteže (1.2), mogu se pisati i alternativni oblici jednačina
ravnoteže ([1], str. 52). Jedan od njih se ogleda u pisanju tri momentne jednačine za
tačke A, B i C:
+
+
1. ∑
+
0, 2. ∑
0, 3. ∑
(1.3)
0,
pri čemu su A, B i C nekolinearne tačke.
3. Nakon određivanja otpora oslonaca, vrši se izračunavanje sila u štapovima, što se može izvršiti na dva načina: metodom izdvajanja čvorova i
metodom izdvajanja dela rešetke (metod preseka, Riterov metod).
Ukoliko se primenjuje metod izdvajanja čvorova, polazi se od čvora u
kome se sučeljavaju samo dva štapa. Sile u lakim štapovima, kao unutrašnje
sile, pretpostavljaju se kao zatezne. Osim toga, sile reakcije veze istog lakog
štapa koje dejstvuju na različite čvorove se postavljaju po principu akcije i
reakcije. Pisanjem jednačina ravnoteže za sučeljan sistem sila u ravni:
n
n
i =1
i =1
1. ∑ Fxi = 0, 2. ∑ Fyi = 0.
(1.4)
određuju se sile u štapovima. Sukcesivno, prelazi se sa čvora na čvor, imajući u vidu da broj nepoznatih sila koje dejstvuju u čvoru bude najviše dva.
Dobijeni predznak minus uz intenzitet sile u lakom štapu ukazuje da je taj
štap pritisnut, dok predznak plus ukazuje da je štap zategnut.
Pri primeni metoda izdvajanja dela rešetke vrši se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima je potrebno odrediti sile, tako da broj
presečenih štapova ne bude veći od tri. Zatim se zamenjuje uticaj presečenih
štapova silama koje su im kolinearne i zatezne. Pošto je rešetka na ovaj način podeljena na dva dela, a svaki od njih mora biti u ravnoteži, bira se deo
rešetke za koji će se pisati jednačine ravnoteže. Preporučljivo je posmatrati
onaj deo rešetke na koji dejstvuje manje sila. Takođe, preporučuje se pisanje tri momentne jednačine za tri nekolinearne tačke (1.3), iako je moguće
pisati i druge oblike jednačina ravnoteže, na pr. (1.2).
Ravanske rešetke
9
Primer 1.1 Za rešetku2 prikazanu na Slici 1.1, opterećenu silama intenziteta 2kN, odrediti
reakcije u osloncima i sile u štapovima metodom izdvajanja čvorova. Sile u štapovima
presečenim sa R-R odrediti primenom Riterovog metoda.
Slika 1.1
Rešenje: Pre oslobađanja od spoljašnjih veza, numerisaće se štapovi i čvorovi.
Ukupan broj štapova u ovoj rešetki je 13, a čvorova osam. Štapovi su numerisani arapskim, a čvorovi rimskim brojevima (Slika 1.2). Na osnovu jednakosti broja
štapova i vrednosti koju daje relacija s=2·8-3=13, zaključuje se da ova rešetka poseduje osobinu unutrašnje statičke određenosti. Ova rešetka je u tački A oslonjena na
nepokretni,
a u tački B napokretni oslonac. Dejstvo ovih veza je zamenjeno silama
X A i YA u tački A i silom YB u tački B.
Jednačine ravnoteže rešetke su:
1.∑Fxi = 0 :
X A − F4 = 0,
2.∑Fyi = 0 : YA − F1 − F2 − F3 + YB = 0,
+
3. ∑ M A = 0 : − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 + 4 F4 + 8YB = 0,
pa su vrednosti reakcija oslonaca:
X A = 2kN , YA = 4kN , YB = 2kN .
Sile u štapovima će se najpre odrediti metodom izdvajanja čvorova. Ova metoda, kao što je već rečeno, podrazumeva analizu ravnoteže svakog čvora pojedinačno.
Polazi se od čvora u kom se sučeljavaju najviše dva štapa. U ovom slučaju krenuće se
2
U primerima u kojima nije naznačena jedinica za dužinu, smatra se da je dužina izražena u metrima.
10
RAVANSKE REŠETKE
F4
VII
13
10
F1
R 6
III
y
I
XA
2
YA
2
9
VI 12
V
3
VIII
7
1
A
F2
5
2
11
8
F3
B
YB
2
4
II
2
R
IV
2
x
2
Slika 1.2
od čvora A (numerisanog
rimskim
I). U ovom čvoru dejstvuju komponente reakcije
nepokretnog zgloba X A i YA i sile u štapovima 1 i 2 nepoznatih intenziteta i smerova,
u pravcu štapova. Pogodno je pretpostaviti da su štapovi opterećeni na zatezanje, a
priori. To znači da pri analizi ravnoteže čvora smer sila u štapovima ide od posmatranog čvora ka štapu. Na sledećim slikama prikazani su sistemi sila koji dejstvuju na
čvorove, a pored slike su ispisane jednačine ravnoteže 3:
S2
Čvor I:
I
4.∑ Fxi = 0 :
A
XA
YA
S1
X A + S1 + S 2
5.∑ Fyi = 0 : YA + S 2
2
2
2
2
= 0,
= 0.
Rešavanjem ovih jednačina dobija se da su sile u štapovima S1 = 2kN , S2 = −4 2kN ,
odakle se zaključuje da je štap 1 zategnut, jer je dobijena vrednost za silu u štapu 1
pozitivna. S obzirom da je predznak ispred vrednosti sile u štapu 2 negativan, sledi
da je štap 2 opterećen na pritisak.
Sada se prelazi na čvor II, u kome su vezani štapovi 1, 3 i 4. Nepoznate u jednačinama ravnoteže za ovaj čvor biće sile u štapovima 3 i 4, dok je zbog principa akcije
i reakcije sila u štapu 1 poznatog intenziteta4.
3
Kako u ovom primeru svi kosi štapovi rešetke zaklapaju sa horizontalnim i vertikalnim pravcem uglove od 45°,
vrednosti tih uglova neće biti posebno naznačeni na slikama.
4
Pri rešаvаnju primerа vektori svih sila će se postavljаti jedan u odnosu
na drugi po principu akcije i reakcije,
tе obeležavati istom slovnom oznakom uz dodatak oznake prim ’ (na pr. S1 i S1’ ), pri čemu će se u jednačinama uvek
koristiti jednakost intenziteta tih sila označeno bez prima (S1 = S1’ ).
Ravanske rešetke
11
Čvor II:
S3
,
S1
6.∑ Fxi = 0 : − S1 + S 4 = 0,
II S
4
7.∑ Fyi = 0 : S3 = 0.
Odavde sledi da je štap 3 neopterećen, a sila u štapu 4 je S4 = 2kN , što znači da je
ovaj štap zategnut.
Čvor III:
F1
8.∑ Fxi = 0 : − S 2
S6
, III
S2
,
S3
9.∑ Fyi = 0 : − S 2
S5
2
2
+ S5
2
2
+ S6 = 0,
2
2
− S5
2
2
− S3 − F1 = 0.
Na osnovu napisanih jednačina je S6 = −6kN , S5 = 2 2kN .
Analogno ovoj proceduri izvršiće se analiza ravnoteže preostalih čvorova.
,
S5
Čvor IV:
S7
S8
,
S4
10.∑ Fxi = 0 : − S 4 − S5
11.∑ Fyi = 0 :
IV
S5
2
2
2
2
+ S8
+ S 7 + S8
2
2
2
2
= 0,
= 0.
Dakle, intenzitet sile u štapu 8 je S8 = 4 2kN , dok je S7 = −6kN .
,
S6
F2
V
Čvor V:
S10
S9
12.∑ Fxi = 0 : S10
2
2
+ S9 − S6 = 0,
13.∑ Fyi = 0 : − F2 − S7 + S10
,
S7
2
2
= 0.
Intenziteti sila u štapu 9 i 10 su S9 = −2kN , S10 = −4 2kN .
,
S10
VII
S11
F4
S13
Čvor VII:
14.∑ Fxi = 0 : − S10
15.∑ Fyi = 0 : − S10
2
2
+ S13
2
2
− F4 = 0,
2
2
− S13
2
2
− S11 = 0.
12
RAVANSKE REŠETKE
Rešenja ove dve jednačine su S13 = −2 2kN , S11 = 6kN .
Određivanje sile u štapu 12 moguće je izvršiti samo pisanjem jednačine ravnoteže po horizontalnom pravcu bilo za čvor VI ili VIII. Ovde će to biti urađeno analizom
ravnoteže čvora VIII.
,
S12
Čvor VIII:
,
S13
VIII
16.∑ Fxi = 0 : − S13
B
2
2
− S12 = 0,
YB
te je S12 = 2kN .
Brojne vrednosti sila u štapovima, kao i odgovarajući karakter opterećenja dati
su u sledećim tablicama:
Broj štapa i
1
sila S i (+) [kN ]
2
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
2
3 4
5
6 7
0 2 2 2
6 6
4 2
8
9
10
11 12
6
4 2
2 4 2
13
2
2 2
Na Slici 1.3 prikazano je opterećenje rešetke, gde su sa crvenom bojom obojeni
štapovi opterećeni na pritisak, crnom oni koji su zategnuti (obično se zategnuti štapovi boje plavo, što
F4
ovde zbog tehničkih
VII
razloga nije moguće).
10
13
Neopterećen štap je
11
F2
F1
nacrtan isprekidanom
VIII
6
9
VI 12
linijom. Ovakvo predIII
B
V
5
stavljanje rešetke daje
2
F3
kompletnu sliku opte7
3
8
rećenja njenih štapoI
4
1
A
va usled dejstva aktivIV
II
Slika 1.3
nih sila.
Ravanske rešetke
13
Da bi se odredile vrednosti sila u štapovima 4, 5 i 6 Riterovom metodom, vrši
se zamišljeno presecanje rešetke po štapovima u kojima se žele odrediti sile (Slika
1.4). Zatim se posmatra ravnoteža jednog od delova rešetke. Pogodno je analizirati onaj deo rešetke koji je opterećen
F1
manjim brojem sila. U ovom primeru
S6
III
posmatraće se levi deo rešetke. Uticaj
desnog dela rešetke ulazi preko presečeS5
nih štapova, tj. preko sila u presečenim
2
štapovima za koje je pogodno pretposS4
A
taviti da su zategnuti. Na taj način levi
IV
I
II
2
2
deo rešetke se tretira kao ploča na koju
XA
dejstvuju
YA
komponente
reakcije oslonca
F1 i sile S4 , S5 i S6 .
A,
sila
Slika 1.4
Dalja analiza podrazumeva pisanje jednačina ravnoteže za ravanski sistem proizvoljnih sila, za koji se, kao što je poznato, mogu napisati tri jednačine ravnoteže.
Nepoznate vrednosti sila odrediće se pisanjem tri momentne jednačine kao alternativnog oblika jednačina ravnoteže. Momentne jednačine glase:
+
17. ∑ M IV = 0 : 2 F1 − 4YA − 2 S6 = 0,
+
18. ∑ M III = 0 : 2 X A − 2YA + 2 S 4 = 0,
+
19. ∑ M I = 0 : − 2 F1 − 2 S6 − 2 2 S5 = 0,
a njihovim rešavanjem sledi S6 = −6kN , S4 = 2kN , S5 = 2 2kN , čime se potvrđuju
rešenja dobijena analitički.
Primer 1.2 Rešetkasti
krovni nosač opterećen je
vertikalnim silama kako
je prikazano na Slici 1.5.
Odrediti otpore oslonaca i sile u svim štapovima.
Rešetka je u tački A oslonjena na nepokretni oslonac, a u tački B je horizontalnom zategom vezana za
podlogu. Intenziteti sila su
F1=F4 =10kN , F2 =F3=20kN.
F1
2
B
F2
F3
2
2
F4
A
4
4
4
Slika 1.5
RAVANSKE REŠETKE
14
Rešenje: Na Slici 1.6 prikazana je rešetka sa numerisanim štapovima i čvorovi-
ma, kao i reakcijama oslonaca. Reakcija zatege S je u pravcu zatege i usmerena je
ka njenoj unutrašnjosti. Određivanje reakcija oslonaca izvršiće se pisanjem uslova
ravnoteže za celu rešetku. U tu svrhu uvedene su koordinatne ose, a momentna jednačina pisaće se za tačku A.
Jednačine ravnoteže za ovu rešetku glase:
1.∑Fxi = 0 :
X A − S = 0,
2.∑Fyi = 0 : YA − F1 − F2 − F3 − F4 = 0,
+
3. ∑ M A = 0 :
6S − 4 F2 − 8F3 − 12 F4 = 0,
odakle se dobija da su otpori oslonaca X A = YA = S = 60kN .
Sile u štapovima biće određene metodom izdvajanja čvorova. U daljem tekstu prikazani su pojedinačni čvorovi sa silama koje dejstvuju na njih. Pored svakog
čvora napisane su
y
jednačine ravnoteže.
F1
Najpre je analiziran
S
II
čvor I, budući da se
4
F2
B
u njemu sučeljavaju
2
IV
dva štapa, pa će broj
3
8
F3
mogućih jednačina
2
VI
5
7
2
za sučeljan ravanski
11
F4
9
2
sistem sila biti dovo10
1
I A
III 6
V
VII
ljan da se odrede dve
x
XA
nepoznate sile u šta4
4
4
YA
povima 1 i 2.
Slika 1.6
S2
XA
IA
YA
S1
Čvor I:
4.∑ Fxi = 0 : X A + S1 = 0,
5.∑ Fyi = 0 : YA + S 2 = 0.
Iz ovih jednačina sledi da je S1 = − 60kN i S2 = −60kN , odakle se zaključuje da su oba
štapa pritisnuta.
Ravanske rešetke
15
Prelazi se na čvor II, sada sa poznatom silom u štapu 2. Njen smer se, pri analizi
čvora II nanosi od ovog čvora ka štapu, kao da je štap zategnut, ali se u jednačine
ravnoteže unosi sa negativnim predznakom.
Čvor II:
6.∑ Fxi = 0 : − S + S3 sin β + S 4 cos α = 0,
7.∑ Fyi = 0 : − F1 − S 2 − S3 cos β − S 4 sin α = 0.
Na osnovu geometrije rešetke vrednosti uglova α i β su: sin α = 55 , cos α = 2 5 5
sin β = 2 1313 i cosβ = 3 131 Intenziteti sila u štapovima 3 i 4 iznose S3 = 10 13kN i
S4 = 20 5kN. Zatim se vrši analiza ravnoteže čvora III.
Čvor III:
8.∑ Fxi = 0 : − S1 − S3 sin β + S6 = 0
9.∑ Fyi = 0 :
S3 cos β + S5 = 0,
odakle se dobija da je S5 = −30kN i S6 = −40kN. Znači, ova dva štapa su pritisnuta.
Sada će se preći na čvor VII.
Čvor VII:
10.∑ Fxi = 0 : − S10 − S11 cos α = 0,
11.∑ Fyi = 0 : S11 sin α − F4 = 0,
Rešavanje ovog sistema daje: S10 = −20kN i S11 = 10 5.
Sledeći će se analizirati čvor VI.
Čvor VI:
12.∑ Fxi = 0 : − S8 cos α + S11 cos α = 0,
13.∑ Fyi = 0 : − S9 + S8 sin α − S11 sin α − F3 = 0.
Iz ovog sistema jednačina dobijaju se intenziteti sila u štapovima 8 i 9 i oni su:
S8 = 10 5kN i S9 = −20kN .
16
RAVANSKE REŠETKE
Konačno, piše se jedna jednačina ravnoteže čvora V.
Čvor V:
14.∑Fxi = 0 :
− S6 − S7 cos 45o + S10 = 0,
odakle se dobija da je sila u štapu 7 intenziteta S7 = 20 2kN .
Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima dat je u sledećoj tabeli.
Broj štapa i
1
2
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
3
4
5
6
10 13 20 5
60 60
7
8
9 10
20 2 10 5
11
10 5
30 40
20 20
F6
F5
F4
Slika 1.7
Slika 1.8
Opterećenje konstrukcije predstavljeno je na Slici 1.7.
Primer 1.3 Za rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.8 odrediti otpore oslona-
ca, a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima presečenim sa R-R.
Usvojiti da su intenziteti F1 = F2 = F3 = F6 = 1kN , F4 = F5 = 10kN .
Ravanske rešetke
17
Rešenje: Kod ove rešetke potrebno je uočiti štap koji je vezan za oslonac A. U
uvodu ove sekcije je rečeno da će se ovakav štap koji povezuje rešetku sa osloncima
tretirati kao njena spoljašnja veza, a ne kao sastavni deo rešetke. Na taj način poznat
je pravac reakcije nepokretnog zgloba A, tj. reakcija leži na pravcu ovog štapa. Na
Slici 1.9 prikazana je ova rešetka sa ucrtanim reakcijama veza, kao i sa numerisanim
čvorovima i štapovima.
Otpori oslonaca će se odrediti na osnovu dve momentne jednačine i na osnovu
sume projekcija svih sila po horizontali. Momentne jednačine pisaće se za tačke oslanjanja rešetke za podlogu, tj. za tačke A i B i one glase:
+
1. ∑ M A = 0 :
+
2. ∑ M B = 0 :
4YB − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 − 8F6 − 2, 5F4 − 1, 5F5 = 0,
− hA RA − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 − 8F6 + 1, 5F4 + 2, 5F5 = 0,
gde je hA krak sile RA za tačku B. Na osnovu Slike 1.9 sledi da je tan α = 4 ,
odnosno hA = AB sin α = 161717 . Na osnovu jednačina ravnoteže dobija se da su
YB = 15kN i RA = 5 417 kN. Ostaje da se odredi i komponenta reakcije oslonca B u
horizontalnom pravcu. Suma svih sila po horizontali glasi:
3.∑Fxi = 0 :
odakle je X B =
21
4
RA cos α + F1 + F2 + F3 + F6 − X B = 0,
kN . pri čemu je (Slika 1.9)
F4
2
β
2
α
Slika 1.9
α
0,5
1
0,5
Slika 1.10
18
RAVANSKE REŠETKE
Riterovom metodom treba odrediti sile u štapovima 8, 9 i 10. Zamišljenim presekom po ovim štapovima rešetka će se podeliti na dva dela (Slika 1.10). Posmatraće
se ravnoteža gornjeg dela rešetke. Uticaj donjeg dela je izražen silama u presečenim
štapovima za koje je pretpostavljeno da su opterećeni na zatezanje.
Momentne jednačine pisaće se za čvorove V, VI i VII i one glase:
+
4. ∑ M V = 0 :
+
5. ∑ M VI = 0 :
0, 5F4 + 1, 5F5 − 4 F6 − 2 F3 + h8 S8 = 0,
− 2 F6 − 1F4 − h10 S10 = 0,
+
6. ∑ M VII = 0 : 1F5 − 2 F6 + H 8 S8 + h9 S9 = 0,
pri čemu su: h8 - krak sile S8 za čvor V ( h8 = 2 sin α = 817 m) , h9 - krak sile S9 za čvor
VII ( h9 =1sin β = 54 m) ,H 8 - krak sile S8 za čvor VII, h10 - krak sile S10 za čvor VI ( h10 = H 8 =
4
1sin α = 17
m ). Rešavanjem prethodnih jednačina ravnoteže, sledi da sile u štapovima
iznose: S8 = − 7 417 kN, S9 = − 54 kN i S10 =−3 17 kN. Zaključuje se da su sva tri štapa opterećena na pritisak.
Primer 1.4 Za
rešetkasti nosač prikazan na Slici 1.11
odrediti otpore oslonaca, a zatim Riterovom metodom odrediti sile u štapovima. Usvojiti da je
F1 =F2 =F3 =10kN .
Slika 1.11
Rešenje: Nakon uvođenja odgovarajućih otpora oslonaca, pri čemu je laki horizontalan štap koji spaja zglob B sa rešetkom tretiran kao spoljašnja veza, a njegova
reakcija obeležena sa X B (Slika 1.12), jednačine ravnoteže su:
+
1. ∑ M I = 0 : 2 X B − 2 F1 − 4 F2 − 6 F3 = 0,
2.∑Fxi = 0 :
− X A + X B = 0,
3.∑Fyi = 0 : YA − F1 − F2 − F3 = 0.
Ravanske rešetke
19
Rešavanjem ovog sistema se dobija X B = X A = 60kN , YA = 30kN. S obzirom da sve sile
u štapovima, numerisanim kako je to prikazano na Slici 1.12, treba da se odrede primenom Riterovog metoda, postavljaju se preseci tako da nakon razdvajanja rešetke
na dva dela, te uvođenja reakcija u presečenim štapovima,
na posmatrani deo
R2
R1
rešetke ne dejstvuje
R3
više od tri nepoznate sile. Prvi presek
R 4 - R 4 će se postaviti
R4
tako da seče štapove
R4
2, 3 i 4 (Slika 1.12).
R1 R2
Jednačine ravnoteže
R3
za levi deo presečene
rešetke glase:
Slika 1.12
+
4. ∑ M III = 0 : − 2YA + 2 X B + 2 S 4 = 0,
+
5. ∑ M II = 0 : − 2YA + 2 X A − 2 S 2 = 0,
+
6. ∑ M I = 0 : 2 X B + 2 S3 + 2 S 4 − 2 F1 = 0,
odakle sledi da je S 4 = −30kN , S 2 =30kN i S3 = −20kN .
Sledeći presek je moguće postaviti tako da preseca štapove 4, 5 i 6. Na taj način
se, nakon pisanja dve momentne jednačine, za desni deo rešetke mogu odrediti intenziteti sila u štapovima 5 i 6. Pogodno napisane jednačine su:
+
7.∑ M IV = 0 : − 2 F3 + 2 S6 = 0,
+
8.∑ M V = 0 : − 2 F3 − 2 S 4 − 2 S5 = 0,
te je S6 =10kN , a S5 =20 2kN .
20
RAVANSKE REŠETKE
Jednačine ravnoteže za desni deo rešetke dobijen presecanjem štapova 8, 9 i
10 glase:
+
9.∑ M IV = 0 :
+
10.∑ M VII = 0 :
2 S10 − 2 F3 = 0,
2 S9 = 0,
+
11.∑ M VI = 0 : − 1S8 − 1F3 = 0,
a njihovo rešavanje daje S10 =10 2kN , S9 = 0 i S8 = − 10kN .
Razmatranjem ravnoteže donjeg dela rešetke dobijene postavljanjem preseka
R 4 - R 4 (čija slika neće posebno biti prikazana), te pisanjem jednačina ravnoteže:
+
12.∑ M V = 0 : − 2 F3 + 2 S9 − 2 S5 + 2 F1 − 2 S3 − 2 2 S1 + 2 X B = 0,
+
13.∑ M IV = 0 :
2 S11 − 2 F3 + 2 F1 − 2 S3 − 2 S1 = 0,
+
14.∑ M II = 0 : 2 2 S11 − 4 F3 − 2 F2 + 2 S9 + 2 S7 + 2 S5 = 0,
sledi vrednosti za intenzitete sila u
štapovima 1, 7 i 11.
Tablični prikaz karaktera opterećenja štapova i intenziteta sila u
njima je dat niže, a grafički prikaz
opterećenja je predstavljen na Slici
1.13.
Slika 1.13
Broj štapa i
1
2
3
4
sila S i (+) [kN ] 30 2 30
sila S i (-)[kN ]
5
6
7
8
20 2 10
20 30
9
10
11
0 10 2 10 2
10 10
Ovaj tip rešetke se koristi u konstrukcijama za znatnim prepustima, kod nekih
tipova mostova, kranova i krovnih konstrukcija. Osnovna karakteristika ovakvog
tipa rešetke je da su gornji elementi opterećeni na zatezanje a donji na pritisak.
Ravanske rešetke
21
Primer 1.5 Za rešetku sa zglobom u tački C prikazanu na Slici 1.14 odrediti
otpore oslonaca i sile u štapovima. Intenziteti sila su F1 = 2kN , F2 = F3 =10kN.
Slika 1.14
Rešenje:
Slika 1.15
Ova rešetkasta konstrukcija predstavlja sistem od dve rešetke, sa spoljašnjim
zglobnim vezama u tačkama A i B. Jednačine ravnoteže za sistem kao celinu (Slika
1.15) se mogu napisati u formi:
+
1. ∑ M B = 0 : − 20 F1 + 32 F2 + 16 F3 − 48YA = 0,
+
2. ∑ M A = 0 : − 20 F1 − 16 F2 − 32 F3 + 48YB = 0.
22
RAVANSKE REŠETKE
Da bi se odredile sve četiri spoljašnje reakcije veza, izvršiće se dekompozicija
sistema. Ravnoteža leve rešetke (Slika 1.16) će se ostvariti ukoliko budu zadovoljene
jednačine ravnoteže:
3.∑Fyi = 0 : YA − F2 + YC = 0,
+
4. ∑ M A = 0 : − 20 F1 − 16 F2 + 24YC + 12 X C = 0,
+
5. ∑ M C = 0 : − 8 F1 + 8 F2 − 24YA + 12 X A = 0.
Rešavanjem prethodno napisanih sistema jednačina dobija se YA =
YC = 65 kN , X C = 15kN , X A = 13kN.
55
6
kN , YB =
Posmatrajući rešetku kao
celinu, a na osnovu ravnoteže
svih sila u horizontalnom pravcu, sledi da je X B = 15kN.
Da bi se odredile sile u štapovima, potrebno je posmatrati
svaku rešetku ponaosob i jednom od metoda odrediti tražene
veličine, što se prepušta čitaocu
kao vežba.
Intenziteti i karakter opterećenja štapova za obe rešetke su
prikazani u sledećim tabelama.
Broj štapa i
1
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
3
4
5
6
3,61
2,86
9
10
sila S i (-)[kN ]
0,83
Broj štapa i
15
sila S i (+) [kN ]
19,88
7
1,96
11
3,95
17,39
12
13
0,83
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
2
18,38
8
kN ,
Slika 1.16
3,83
sila S i (+) [kN ]
65
6
14
1,18
14,16
16
17
2,75
0,83
1,18
18
15,83
19
20
0,83
21
3,94
4,72
22
4,17
3,11 21,21
Ravanske rešetke
23
Primer 1.6 Za rešetke sa Slike 1.17 odrediti i diskutovati karakter optereće-
nja štapova. Usvojiti da je F1 = ... = F7 = 2kN, P1 = P2 = P3 = 50kN, Q1 = Q2 = 25kN,
G1 = ... = G11 = 1kN.
-
1
Slika 1.17
Rešenje: Prikazane rešetke predstavljaju neke od osnovnih tipova konstrukcionih
rešenja koja se primenjuju u praksi. Na Slici 1.17a prikazana je tzv. Pratt-ova rešetka,
kao jedna od najzastupljenijih. Projektovali su je Thomas i Caleb Pratt, 1844. godine u SAD. Zbog karakteristika koje poseduje izveden je čitav niz njenih varijacija.
24
RAVANSKE REŠETKE
Konstrukcija ima pored vertikalnih, i dijagonalne elemente koji padaju prema vertikalnoj osi simetrije rešetke. Svi dijagonalni štapovi, osim onih na krajevima, su opterećeni
na zatezanje (Slika 1.18). Zahvaljujući postavljanju vertikalnih štapova, dijagonalni
štapovi su rasterećeniji, samim tim su mogli biti tanji, čime je ostvaren ekonomičniji
dizajn rešetke. Na taj način, izvršen je uspešan
prelaz sa drvenih na metalne konstrukcije. Za prikazano opterećenje, intenziteti i karakteri sila u
štapovima su izračunati i
predstavljeni u sledećoj
tabeli. Preporučuje se čitaocu da, jednom od prethodno opisanih metoda,
potvrdi navedene razulSlika 1.18
tate.
Broj štapa i
sila S i (+) [kN ]
1
3,57
8
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
4
2
10
11
1,23
5,71
0
6,43
15
1
5
6
3,69
3,57
5,71
9
7
1
12
13
14
1,23
5,71
20
21
6,43
16
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
3
6,14
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
2
5,71
17
18
19
3,69
3,57
2
3,57
6,41
Rešetku tipa Howe (Slika 1.17b) patentirao je 1840. godine američki pronalazač William Howe. Ona je slična Pratt-ovoj, ali se dijagonalni elementi penju prema
vertikalnoj osi simetrije rešetke. Vertikalni elementi su opterećeni na zatezanje, dok
su dijagonale pritisnute (Slika 1.19). Stoga je konstrukcija neekonomična za čelične
mostove i u praksi se danas ređe sreće, mada je u prošlosti bila u širokoj upotrebi pri
konstrukciji železničkih mostova. Kod tih mostova obično su vertikale izrađivane
od čelika, a dijagonale od drveta. Upravo zbog takvog karaktera opterećenja i ma-
Ravanske rešetke
25
terijala koji je korišćen za
dijagonalne elemente, ove
konstrukcija su bile vrlo
nepouzdane. One su smatrane uzročnikom velikog
broja rušenja mostova, te
železničkih nesreća.
Sledi tabelarni prikaz
opterećenja štapova ove
rešetke.
Slika 1.19
Broj štapa i
sila S i (+) [kN ]
1
3,57
8
9
5,71
1,23
Broj štapa i
15
16
sila S i (+) [kN ]
3
sila S i (-)[kN ]
4
5
5
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
3
6,14
sila S i (-)[kN ]
Broj štapa i
2
3,57
3,57
3,69
10
11
12
6,43
2
17
3,69
6
7
5,71
3
13
14
6,43
5,71
1,23
18
19
20
5,71
5
21
3,57
6,14
Rešetku tipa Warren (Slika 1.17c), patentirali su 1848. godine James Warren i
Willoughby Monzoni u Velikoj Britaniji. Ona je jedna od najjednostavnijih tipova
rešetki, prepoznatljiva po osnovnim elementima oblika jednakostraničnog trougla.
Ovaj oblik se koristi za premošćenje manjih raspona 50-100m. U praksi se sreću i
varijacije osnovnog oblika sa dodatkom vertikala u cilju ostvarenja većih raspona.
Opadajuće dijagonale (Slika 1.20) su opterećene na zatezanje (kao kod Pratt-ove rešetke), a rastuće na pritisak (kao kod rešetke tipa Howe).
Prikaz intenziteta i karaktera sila u štapovima ove rešetke je dat u narednim
tabelama.
26
RAVANSKE REŠETKE
Slika 1.20
1
Broj štapa i
2
4,04
sila S i (+) [kN ]
4
8,08
8
Broj štapa i
9
6,93
10
11
1,15
sila S i (+) [kN ]
5
5,77
sila S i (-)[kN ]
sila S i (-)[kN ]
3
12
3,46
7
1,15
8,66
3,46
8,66
9,24
6
13
14
15
5,77
4,04
6,93
8,08
Na Slici 1.17d prikazana rešetka sa tzv. K-ispunom. Ona se primenjuje kod visokih rešetkastih
konstrukcija, jer podupiruće dijagonale smanjuju
moguće deformacije vertikalnih štapova. Nekadašnji Varadinski most u
Novom Sadu posedovao
je rešetkastu konstrukciju
Slika 1.21
ovakvog tipa.
Za zadato opterećenje ove rešetke, šematski prikaz opterećenja štapova je prikazan na Slici 1.21, a tabelarni prikaz je dat niže.
Broj štapa i
1
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
130,17
2
3
4
83,33
25
100
5
6
7
72,89
83,33
72,89
Ravanske rešetke
8
9
10
83,33
12,5
37,5
Broj štapa i
sila S i (+) [kN ]
11
145,83
sila S i (-)[kN ]
16
Broj štapa i
17
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
12
13
14
15
24,3
145,83
25
24,3
18
19
20
21
24,3
145,83
12,5
37,5
145,83
24,3
23
24
25
26
27
72,89
83,33
25
100
Broj štapa i
sila S i (+) [kN ]
22
83,33
28
29
83,33
72,89
sila S i (-)[kN ]
27
130,17
Baltimorova
rešetka
12
24
18
6
(Slika 1.17e) je varijacija
Prattove. Osnovna modifi22
7
13
2
28
33
kacija se ogleda u postoja23
17
29
5
11
nju štapova ispune. Na ovaj
način postignuto je skraće1 4 8 10 14 16 19 21 25 27 30 32
3
nje štapova donjeg pojasa i
31
26
20
15
9
B
A
dijagonala, što je od značaja
C
D
kod mostovskih konstrukcija. Karakter opterećenja
G1 G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8 G9 G10 G11
štapova je prikazan na Slici
1.22, odnosno u sledećoj taSlika 1.22
beli. Svi horizontalni štapovi donjeg pojasa su zategnuti, pri čemu intenziteti u štapovima od tačke A do C i D do
B iznose 5,5kN. Intenziteti sila u štapovima od tačke C do D su 8,5kN.
Broj štapa i
1
2
3
Broj štapa i
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
5
1
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
4
7,78
7,07
10
11
6
2
3,54
13
8
14
1,41
1
9
8
4,24
0,71
12
7
0,71
9
1
0,71
15
16
17
1
0,71
0
28
RAVANSKE REŠETKE
Broj štapa i
18
sila S i (+) [kN ]
sila S i (-)[kN ]
9
Broj štapa i
26
sila S i (+) [kN ]
1
sila S i (-)[kN ]
19
20
0,71
1
21
22
0,71
24
1,41
0,71
27
23
28
29
4,24
2
30
25
3,54
1
8
31
32
33
7,78
7,07
1
0,71
Download

01 Resetkasti nosaci.pdf