TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU
BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI
ULUSAL MATEMATİK OLİMPİYATI -2014
BİRİNCİ AŞAMA DENEME SINAVI
Soru kitapçığı türü
A
17 Mart 2014 Pazartesi, 00.00-03.00
ADI – SOYADI
T.C. KİMLİK NO.
OKULU
SINAVA GİRDİĞİ İL
:
:
:
:
SINAVLA İLGİLİ UYARILAR:
• Bu sınav çoktan seçmeli 36 sorudan oluşmaktadır.
• Cevap kağıdınıza size verilen soru kitapçığının türünü gösteren harfi işaretlemeyi unutmayınız.
• Her sorunun sadece bir doğru cevabı vardır. Doğru cevabınızı cevap kâğıdınızdaki ilgili kutucuğu tamamen
karalayarak işaretleyiniz.
• Her soru eşit değerde olup, dört yanlış cevap bir doğru cevabı götürecektir.
• Sınavda herhangi bir yardımcı materyal, pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yardımcı araçlar kullanılması yasaktır. Soru kitapçığındaki boşlukları karalama yapmak için kullanabilirsiniz.
• Sınav süresince görevlilerle konuşulması ve soru sorulması, öğrencilerin birbirlerinden kalem, silgi vb. şeyler
istemeleri yasaktır.
• Sorularda bir yanlışın olması düşük bir olasılıktır. Böyle bir şeyin olması durumunda sınav akademik
kurulu gerekeni yapacaktır. Bu durumda size düşen en doğru olduğuna karar verdiğiniz seçeneği işaretlemenizdir.
Ancak, sınava giren aday bir sorunun yanlış olduğundan emin ise, itiraz için sınav soruları ve
cevap anahtarı TÜBİTAK'ın internet sayfasında (http://www.tubitak.gov.tr) yayınlandıktan sonra 5 iş günü
içerisinde kanıtları ile birlikte TÜBİTAK 'a başvurmalıdır. Bu tarihten sonra yapılacak başvurular işleme
konmayacaktır. Sadece sınava giren adayların sorulara itiraz hakkı vardır; üçüncü kişilerin sınav sorularına
itirazı işleme alınmayacaktır.
• Ulusal Matematik Olimpiyatı - 2014 Birinci Aşama Sınavı'nda sorulan soruların üçüncü kişiler tarafından
kullanılması sonucunda doğacak olan hukuki sorunlardan TÜBİTAK ve Olimpiyat Komitesi sorumlu
tutulamaz. Olimpiyat komitesi bu tür durumlarda sorular ile ilgili görüş bildirmek zorunda değildir.
• Sınav sırasında kopya çeken, çekmeye teşebbüs eden ve kopya verenlerin kimlikleri sınav tutanağına yazılacak
ve bu kişilerin sınavları geçersiz sayılacaktır.
• Sınav başladıktan sonraki ilk yarım saat içinde sınav salonundan ayrılmak yasaktır.
• Sınav süresince sınava giriş belgenizi ve resimli bir kimlik belgesini masanızın üzerinde bulundurunuz.
• Sınav salonundan ayrılmadan önce cevap kağıdınızı görevlilere teslim etmeyi unutmayınız.
Haz: L. GÖKÇE
NOT: Metin içinde kullanılan bazı gösterimlerin anlamları aşağıda verilmiştir.
AB
[AB]
AB
(
m ABC
)
A ve B noktalarından geçen doğru
A ve B noktalarını birleştiren doğru parçası
[AB] nin uzunluğu
ABC açısının ölçüsü
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
1. AB = 6 , BC = 10 , CD = 9 , DA = 5 olan dışbükey ABCD dörtgeninde DAB ve ABC
açılarının açıortayları O noktasında kesişiyor. O noktasının [AB] kenarına uzaklığı 3 ise
ABCD dörtgeninin alanı nedir?
a) 44
b) 45
c) 46
d) 48
e) 50
2. 0 ≤ x ≤ 2014 ise x3 − x 2 + 2 x + 17 ifadesinin 25 ile bölünebilmesini sağlayan kaç x tamsayısı vardır?
a) 81
b) 401
c) 402
d) 403
e) Hiçbiri
3. a a − 9a − 13 a + 69 = 0 denklemini sağlayan a gerçel sayılarının toplamı nedir?
a) 98
b) 99
c) 100
d) 102
e) Hiçbiri
4.
{1, 2,3,… , 20}
kümesinin bir A = {a1 , a2 , a3 , a4 } alt kümesinde her 1 ≤ i < j ≤ 4 için
a j − ai ≡ m(mod 20) , 3 ≤ m ≤ 17 oluyorsa A ya iyi küme diyelim. Kaç tane iyi küme vardır?
a) 725
b) 750
c) 775
1
d) 800
e) 825
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
5. m( ABC ) = 72o , m( ACB) = 42o olan ABC üçgeninin iç bölgesinden m( ABP) = 24o ,
m( BCP) = 18o olacak şekilde bir P noktası alınıyor. m(CAP) kaç derecedir?
a) 48
b) 45
c) 42
d) 39
e) 36
6. n nin her pozitif tamsayı değeri için n5 − 5n 2 + 4n ifadesini bölen kaç asal sayı vardır?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) Hiçbiri
7. x, y, z > 0 olmak üzere x 2 + y 2 = 169 , y 2 + 3 yz + z 2 = 196 , z 2 + zx + x 2 = 225 denklemleri veriliyor. 2 xy + yz + 3 zx ifadesinin değeri nedir?
a) 300
b) 324
c) 336
d) 348
e) 360
8. {1, 2,3, 4,5, 6, 7} kümesindeki rakamlar kullanılarak yazılabilecek 9 basamaklı sayıların
kaçında herhangi ardışık iki basamakta çift rakamlar bulunmaz?
3 ⋅ 69 − 29
5 ⋅ 69 − 29
9 ⋅ 69 + 2 9
7 ⋅ 69 + 29
a)
b)
c)
d)
e) Hiçbiri
4
8
8
4
2
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
9. Dar açılı bir ABC üçgeninde [BC] çaplı çember [AC], [AB] kenarlarını sırasıyla D, E noktalarında kesiyor. [BD] ile [CE] nin kesişimi H olmak üzere AH doğrusu [BC] kenarını F noktasında kesiyor. m( AFD) = 15o ve AB = 4 3 ise ABD üçgeninin alanı nedir?
a) 12
b) 6 3
c) 4 3
d) 8
e) 6
10. Aşağıdaki sayılardan hangisi, her n pozitif tamsayısı için 3160 n + 4 + 5160 n +3 + 7160 n + 2 ifadesiyle bölünebilir?
a) 33
b) 35
c) 119
d) 255
e) Hiçbiri
11. x 4 + 2 y 2 + x 2 + 2 xy + 4 = 2 x 2 y + 4 x + 4 y eşitliğini sağlayan kaç ( x, y ) gerçel sayı ikilisi
vardır?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) Sonsuz çoklukta
12. 6 kişinin isimleri birer davetiyeye yazılıyor ve zarflara konuluyor. Zarflar bu kişilere rastgele dağıtıldığında 2 kişinin kendi isminin bulunduğu zarfı almış olma olasılığı nedir?
5
3
1
2
1
a)
b)
c)
d)
e)
18
16
4
9
12
3
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
13. AB = 8 , BC = 7 , CA = 9 olan ABC üçgeninde [BC] çaplı çember A köşesinden geçen
yükseklik doğrusunu A1 noktasında kesiyor. [CA] çaplı çember B köşesinden geçen yükseklik
doğrusunu B1 noktasında, [AB] çaplı çember C köşesinden geçen yükseklik doğrusunu C1
noktasında kesiyor. Alan( A1 BC ) 2 + Alan( B1CA)2 + Alan(C1 AB ) 2 toplamının değeri nedir?
a) 720
b) 700
c) 672
d) 648
e) 630
14. x 2 + 6 x = 3 y denklemini sağlayan kaç ( x, y ) tamsayı ikilisi bulunur?
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
15. x +
a) 6
1
5 +1
2
=
ise 3 x 2015 − 2010 + 1 ifadesinin değeri nedir?
x
2
x
b) 4
c) 0
d) −4
e) 1
e) −2
16. n ≥ 3 olmak üzere {1, 2,3,… ,60} kümesinin n elemanlı bir alt kümesi nasıl seçilirse seçilsin, bu alt kümedeki sayılardan 3 tanesi bir üçgenin kenar uzunlukları olabildiğine göre en
küçük n değeri nedir?
a) 13
b) 12
c) 11
d) 10
e) 9
4
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
AK
CL
A
1
olacak şekilde [AB] ve [CD] üstünden sıraBK
DL 3
sıyla K, L noktaları alınıyor. [BL] ile [CK] nın kesişimi M; [AL] ile [DK] nın kesişimi de N
dir. Alan( ADN ) = 15 , Alan( BCM ) = 18 ise Alan( KMLN ) nedir?
a) 29
b) 30
c) 31
d) 32
e) 33
17. ABCD dışbükey dörtgeninde
=
=
18. 3 x3 − 7 y 2 = 2015 denklemini sağlayan kaç ( x, y ) tamsayı ikilisi bulunur?
a) 0
b) 2
c) 4
d) 6
e) Hiçbiri
19. x1 = 95 , x2 = 129 , x3 = 318 ve n ≥ 1 için ( xn ) dizisi xn +3 = xn + 2 − xn +1 + xn bağıntısını sağladığına göre x2015 + x2016 toplamının değeri nedir?
a) 486
b) 554
c) 602
d) 678
e) 720
20. Bir ABCD dikdörtgeninin alanını 1 / 3 oranında alanlara sahip iki dörtgensel bölgeye ayıran doğrulardan n tane çiziliyor. Bu çizim nasıl yapılırsa yapılsın doğrulardan en az 6 tanesinin aynı noktadan geçmesini temin etmek için n en az kaç olmalıdır?
a) 22
b) 21
c) 20
d) 19
e) 18
5
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
21. AB = 21 , AC = 14 olan ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünden AD = 12 olacak şekilde
bir D noktası alınıyor. m( BAD) = 2α ve m(CAD) = 90o − α ise m( ADC ) nin α türünden
eşiti nedir?
5α
a) 30o + 3α
b) 4α
c) 15o + 3α
d) 3α
e)
2
22. 18! sayısının 437 ile bölümünden kalan nedir?
a) 436
b) 401
c) 361
d) 297
e) Hiçbiri
23. 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 için x 2 y − y 2 x ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı nedir?
a) −1
b) −
1
2
c) −
1
4
d) −
1
8
e) Hiçbiri
24. 487 kişilik bir okulda herhangi üç öğrenciden en az ikisi arkadaştır. Bu okulda en çok arkadaşa sahip olan öğrencilerden birinin arkadaş sayısı en az kaç olabilir?
a) 240
b) 241
c) 242
d) 243
e) Hiçbiri
6
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
25. Kenarlarından ikisinin uzunluğu 5 ve 8 olan bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı 5 ise
üçüncü kenarın uzunluğunun alabileceği en büyük ve en küçük değerin farkı nedir?
a) 8 3
b) 6 3
c) 10
d) 8
e) 6
1 1 1 2
+ + = denklemini sağlayan kaç ( x, y, z ) pozitif tamsayı üçlüsü vardır?
x y z 3
a) 45
b) 42
c) 39
d) 36
e) Hiçbiri
26.
2015
x3
2015 − n
ve
x
=
için
f ( xn ) toplamının değeri nedir?
∑
n
3x 2 − 3x + 1
2015
n =1
a) 1006,5
b) 1007
c) 1007,5
d) 1008
27. f ( x) =
e) 1008,5
28. Her terimi A = {1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9,10} kümesinin bir alt kümesine eşit olan ve aşağıdaki
koşulları sağlayan B1 ,… , BK dizisi oluşturuyoruz. i ≠ j ⇒ Bi ≠ B j ve her i, j ∈ {1, 2,… , K }
için Bi ∩ B j ≠ ∅ ise K nın alabileceği en büyük değer nedir?
a) 500
b) 512
c) 518
7
d) 524
e) Hiçbiri
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
29. m( ABC ) = 36o olan ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünde AB = CD ve AD = BD olacak şekilde bir D noktası alınıyor. m(CAD) kaç derecedir?
a) 48
b) 54
c) 72
d) 108
e) Hiçbiri
30. x3 − y 3 = 3 xy + 17 denklemini sağlayan kaç ( x, y ) tamsayı ikilisi vardır?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) 6
31. P ( x) = x 4 − 5 x 3 + 7 x 2 + 3 x + 4 polinomunun grafiğini 4 farklı noktada kesen y = mx + n
doğrusu çiziliyor. Kesim noktalarının apsislerinin toplamı nedir?
a) 8
b) 7
c) 6
d) 5
e) Hiçbiri
32. 3 AB = 4 BC ve m( ABC ) = 60o olan bir ABC üçgeninin iç bölgesinden rastgele alınan
bir noktanın C köşesine, B köşesinden daha yakın olma olasılığı nedir?
a) 3/5
b) 2/3
c) 5/7
d) 4/5
e) 5/8
8
22. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınavı
A
33. AB = 9 , BC = 7 , AC = 12 olan ABC üçgeninin [BC] kenarı üstünde bir D noktası alınıyor. m( BAD) = 2 ⋅ m(CAD) − 15o ise m( ADB) kaç derecedir?
a) 65
b) 64
c) 63
d) 62
e) 60
34. 1001 den küçük kaç n pozitif tamsayısı için, n yi bölen en küçük asal sayı p olmak üzere
p 2 − p + 2 sayısı n yi böler?
a) 375
b) 350
c) 320
d) 280
e) 250
35. xi , yi > 0 , (i = 1, 2,… , n) olmak üzere x1 + x2 + ⋯ + xn = 6 ve y1 + y2 + ⋯ + yn = 3 ise
xn 2
x12
x2 2
+
+⋯ +
ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?
x1 + y1 x2 + y2
xn + yn
a) 9
b) 8
c) 6
d) 4
e) Hiçbiri
36. a, b, c, d harfleri kullanılarak yazılabilen 6 harfli kelimelerin kaçında hem ilk ve son harfler farklı olup hem de herhangi ardışık iki harf farklıdır?
a) 732
b) 729
c) 725
d) 718
e) Hiçbiri
9
Download

olimpiyat_denemesi_1[1]