İÇİNDEKİLER
Dik Koordinat Sistemi ...................................................................................................................... 1
Dik Koordinat Sisteminde Bölgeler .................................................................................................. 2
İki Nokta Arası Uzaklık .................................................................................................................... 3
Orta Nokta ....................................................................................................................................... 4
İki Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları ...................................................... 5
Analitik Düzlemde Paralelkenar ...................................................................................................... 6
Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları ........................................................................................ 7
Üçgenin Alanı .................................................................................................................................. 8
Tekrar Zamanı ................................................................................................................................. 9
Eğim .............................................................................................................................................. 15
Uygulama Zamanı ......................................................................................................................... 16
İki Noktası Bilinen Doğrunun Denklemi ......................................................................................... 17
Doğrusallık Şartı ............................................................................................................................ 18
Eğimi ve Geçtiği Noktası Belli Olan Doğru Denklemi .................................................................... 19
Grafiği Verilen Doğru Denklemi ..................................................................................................... 20
Uygulama Zamanı ......................................................................................................................... 21
Genel Doğru Denklemi .................................................................................................................. 22
ax + by + c = 0 Doğrusunun Grafiği ve Eğimi ................................................................................ 23
Uygulama Zamanı ......................................................................................................................... 24
Özel Doğrular ................................................................................................................................ 25
İki Doğrunun Diklik ve Paralellik Şartı ........................................................................................... 26
İki Doğrunun Kesim Noktası .......................................................................................................... 27
Doğrunun Parametrik Denklemi .................................................................................................... 28
Doğru Demeti ................................................................................................................................ 29
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumları .......................................................................................... 30
Bir Noktanın Bir Doğruya Uzaklığı................................................................................................. 31
Paralel İki Doğru Arasındaki Uzaklık ............................................................................................. 32
Tekrar Zamanı ............................................................................................................................... 33
Bir Noktanın Doğruya En Yakın Noktası ....................................................................................... 39
İki Doğru Arasındaki Açı ................................................................................................................ 40
Açıortay Doğruları ......................................................................................................................... 41
Analitik Düzlemde Dörtgenler-1..................................................................................................... 42
Analitik Düzlemde Dörtgenler-2..................................................................................................... 43
Bir Noktanın Bir Noktaya Göre Simetriği ....................................................................................... 44
Noktanın Eksenlere ve Orijine Göre Simetriği ............................................................................... 45
Noktanın x = a Doğrusuna Göre Simetriği..................................................................................... 46
Noktanın y = a Doğrusuna Göre Simetriği..................................................................................... 47
Noktanın y = x ve y = −x (I. ve II. açıortay) Doğrularına Göre Simetriği ........................................ 48
Noktanın Doğruya Göre Simetriği ................................................................................................. 49
Doğrunun Noktaya Göre Simetriği ................................................................................................ 50
Paralel Doğrularında Simetri ......................................................................................................... 51
Kesişen Doğrularda Simetri........................................................................................................... 52
Bağıntı Simetrisi ............................................................................................................................ 53
Tekrar Zamanı ............................................................................................................................... 54
Geometrik Yer ............................................................................................................................... 60
⏐AK⏐+⏐BK⏐ İfadesinin En Küçük Olması ..................................................................................... 61
⏐⏐AK⏐−⏐BK⏐⏐ İfadesinin En Büyük Olması................................................................................. 62
Eksenler ve Doğrular Arasında Kalan Kapalı Bölgenin Alanı ........................................................ 63
Eşitsizlikler-1 ................................................................................................................................. 64
Eşitsizlikler-2 ................................................................................................................................. 65
Eşitsizlikler-3 ................................................................................................................................. 66
Grafik Yorumlama ......................................................................................................................... 67
Tekrar Zamanı ............................................................................................................................... 68
Konu Testleri .......................................................................................................................... 74-113
Geçmiş Yıllarda Çıkmış Sorular .................................................................................................. 114
Düzlem Geometrileri(Öteleme).................................................................................................... 121
Düzlem Dönüşümleri (Dönme) .................................................................................................... 123
Düzlem Dönüşümleri (Dönme-Öteleme) ..................................................................................... 124
Düzlem Dönüşümleri (Yansıma – Simetri) .................................................................................. 125
Hemoteti ...................................................................................................................................... 126
Pick Teoremi ............................................................................................................................... 127
Fraktalar ...................................................................................................................................... 128
Kaplamalar .................................................................................................................................. 129
Süslemeler .................................................................................................................................. 130
Konu Testi ................................................................................................................................... 131
Konu İle İlgili Çıkmış Sorular ....................................................................................................... 135
Dik Koordinat Sistemi
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(−2, 3), B(−1, −2), C(2, −4), D(4, 1) noktalarını analitik
düzlemde gösteriniz.
y
Birbirine dik iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme dik
koordinat sistemi ve sistemin bulunduğu düzleme koordinat düzlemi ya da analitik düzlem denir.
A
Analitik düzlemde bir nokta A(x, y) ise;
x, noktanın apsisi
A nın koordinatları
y, noktanın ordinatı
y
-4 -3 -2 -1
y
4
3
2
1
O
B
A(x, y)
4
x
-2
-3
C
Çözüm
A noktası, x ekseni üzerinde ise, ordinatı sıfırdır.
3a + 6 = 0 ⇒ a = −2 dir.
B noktası, y ekseni üzerinde ise, apsisi sıfırdır.
2b − 4 = 0 ⇒ b = 2 dir. a + b = 0 bulunur.
3.
y
-4 -3 -2 -1
A(4, 3a − 15) noktası, x ekseni üzerindedir.
Buna göre, B(a + 4, a − 6) noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 8
A
3
2
B
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
1
-1
1
2
3
-2
-3
x
4
D
-4
C
4.
Şekildeki dik koordinat düzleminde verilen A, B, C
ve D noktalarının apsisleri toplamı ordinatları
toplamından kaç fazladır?
C) 3
D) 4
C) 3
D) 4
A(1, −2a + 4) noktası, x ekseni üzerinde,
B(−3, 4b − 12) noktası y ekseni üzerinde olduğuna
göre, a + b toplamı kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
E) 5
A(−3a + 9, 5) noktası y ekseni üzerinde olduğuna
göre, a kaçtır?
B) 2
3
A(−4, 3a + 6) noktası, x ekseni üzerinde, B(2b−4, 4)
noktası y ekseni üzerinde olduğuna göre, a + b kaçtır?
1.
A) 1
2
x
x
O
O(Orijin) başlangıç noktasının koordinatları (0,0) dır.
2.
1
Ordinat
x
y (ordinat) ekseni üzerindeki noktaların apsisleri
sıfırdır. Yani, (0, y) noktası y ekseni üzerindedir.
B) 2
-1
-4
x (apsis) ekseni, üzerindeki noktaların ordinatları
sıfırdır. Yani, (x, 0) noktası, x ekseni üzerindedir.
A) 1
D
1
-4 -3 -2 -1
Apsis
y
-1 O1 2 3 4
-2
-3
-4
3
2
E) 5
5.
A(−3a−3, b + 4) noktası hem x hem de y ekseni
üzerinde ise, a + b toplamı kaçtır?
A) −1
B) −2
1.D
1.
C) −3
2.C
D) −4
3.A
E) −5
4.B
5.E
1
Dik Koordinat Sisteminde Bölgeler
Konu Özeti
ANALİTİK GEOMETRİ
A(−a, b) noktası analitik düzleminin II. bölgesinde ise,
B(a, −b) noktası hangi bölgededir?
Koordinat sistemi düzlemi dört bölgeye ayırır.
y
Çözüm
II. Bölge
x<0
y>0
A ( −a, b ) noktası II. bölgede ise, a > 0 ve b > 0 dır.
I. Bölge
x>0
y>0
−
III. Bölge
x<0
y<0
O halde, B ( a, − b ) olduğundan B noktası IV. bölgededir.
x
O
+
IV. Bölge
x>0
y<0
+
A(a, b) noktasının
x eksenine olan uzaklığı b br dir.
y eksenine olan uzaklığı a br dir.
Eksenlere olan uzaklıkları toplamı ise a + b br
dir.
A(5, a + 2) noktasının x eksenine olan uzaklığı 4 br olduğuna göre, a’nın alacağı değerler toplamı kaçtır?
−
A(−4, a − 2) ve B(b + 2, 3) noktaları aynı bölgede ise
C(a, b) noktası hangi bölgededir?
Çözüm
A ve B noktaları aynı bölgede ise, apsislerinin ve ordinatlarının işaretleri aynı olmalıdır. Yani;
b + 2 < 0 ve a − 2 > 0
b < −2
a>2
C ( a, − b ) olduğuna göre, C noktası IV. bölgededir.
+
−
Çözüm
a + 2 = 4
a+2=4⇒a=2
A(a + 2, a − 3) noktası IV. bölgede ise, a hangi aralıkta
olmalıdır?
a + 2 = −4 ⇒ a = −6
Çözüm
O halde, −6 + 2 = −4 bulunur.
1.
a + 2 > 0 ⇒ a > −2
a−3<0⇒a<3
Buradan −2 < a < 3 aralığındadır.
A(a − 3, 3) noktasının y eksenine olan uzaklığı 4 br
ise,
a’nın alacağı değerler toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
4.
y
II
E) 9
III
2.
A(a, −b) noktası analitik düzlemin IV. bölgesinde
bulunduğuna göre, (a, b) ikilisi aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) (1, −4)
D) (4, 2)
B) (−2, −3)
E) (−5, 1)
C) (0, −4)
5.
A(a, −2b) noktası analitik düzlemde III. bölgede
olduğuna göre, B(−2a, b) noktası hangi bölgededir?
A) I
2
B) II
C) III
D) IV
E) Orijinde
O
x
IV
Şekilde analitik düzlem eksenleri içine almayan dört
bölgeye ayrılmıştır.
K(m − 6, 2 − 2m) noktası III. bölgede olduğuna göre, m yerine yazılabilecek tamsayıların toplamı
kaçtır?
A) 12
3.
I
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A(a, b) noktası analitik düzlemin II. bölgesindedir.
Buna göre, aşağıdaki noktalardan hangisi analitik düzlemin daima III. bölgesindedir?
A) (a . b, −a−b)
C) (b − a, a + b)
E) (−a + b, −a . b)
1.
1.B
B) (a − b, a . b)
D) (a + b, a . b)
2.D
3.A
4.C
5.B
İki Nokta Arası Uzaklık
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(2, 1) ve B(4, k) noktaları arasındaki uzaklık 2 5 br
olduğuna göre, k∈R+ kaçtır?
y
Çözüm
B(x2, y2)
y2
A(x1, y1)
y1
AB =
y2−y1
x1
⇒ 4 + (1 − k)2 = 20
2
2
AB =
2
⇒ (1 − k)2 = 16
1 − k = −4 ⇒ k = 5
k ∈ R+ olduğundan, k = 5 dir.
buradan
( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2
bulunur.
x ekseni üzerinde olan A(2, −3) ve B(−4, −2) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan noktanın apsisi kaçtır?
A(−2, 8) ve B(3, −4) noktaları arasındaki uzaklık kaç
br’dir?
Çözüm
x ekseni üzerinde olan nokta C(a, 0) noktası olsun.
AC=BC ise,
Çözüm
AB =
1 −k = 4 ⇒ k = −3
x
x2
A(x1, y1) ve B(x2, y2) için [AB] doğru parçasının AB
uzunluğuna A ve B noktaları arasındaki uzaklık denir.
ABC dik üçgeninde pisagor teoreminden,
AB = AC + BC
= 2 5 (Her iki tarafın karesi
alınırsa)
x2-x1
O
( 2 − 4 )2 + (1 − k )2
( 2 − a ) 2 + ( −3 ) 2
=
( −4 − a )2 + ( −2 )2
dir.
( −2 − 3 )2 + ( 8 + 4 )2
4 − 4a + a2 + 9 = 16 + 8a + a2 + 4
= 25 + 144 = 13 br
1.
A(2, 5) ve B(−4, −3) noktaları arasındaki uzaklık
kaç br dir?
A) 12
2.
13 − 4a = 20 + 8a ⇒ −7 = 12a ⇒ a = −
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
A(4, 2) ve B(−4, 2) noktaları arasındaki uzaklık
kaç br dir?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
4.
E) 6
A(14, 2) ve B(−1, a) noktaları arasındaki uzaklık 17
br olduğuna göre, a ∈ R− kaçtır?
A) −10
B) −9
C) −8
D) −7
E) −6
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
A(−3, 0) ve B(4, −3) noktalarının orijine olan uzaklıkları toplamı kaçtır?
A) 9
6.
3.
A(−1, 2) ve B(2, 6) ve C(−1, 6) noktalarının tanımladığı üçgenin çevresi kaç br dir?
A) 12
5.
7
bulunur.
12
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
x = 1 doğrusu üzerinde bulunan A(−3, 2) ve
B(3, 1) noktalarına eşit uzaklıkta olan noktanın
ordinatı kaçtır?
A)
15
2
B) 8
1.C
2.C
C)
17
2
3.E
D) 9
4.A
E)
5.B
19
2
6.A
3
Orta Nokta
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(4, a) ve B(b, 9) noktalarının orta noktası
C(−2, 3) olduğuna göre, a + b kaçtır?
y
y
y
y
Çözüm
B(x y )
2 2
2
A(4,a)
C(−2, 3)
B(b, 9)
C(x y )
0 0
0
A(x y )
1 1
1
O
x
2
x
0
x
−2 =
x
3=
1
[AB] doğru parçasının orta noktası C(x0, y0)
x +x y +y 
A(x1, y1) ve B(x2, y2) iken, C  1 2 , 1 2  olur.
2 
 2
4+b
⇒ −4 = 4 + b ⇒ b = −8
2
a+9
⇒ 6 = a + 9 ⇒ a = −3
2
a + b = −11 bulunur.
Köşeleri A(2, 3), B(−1, 3) ve C(3, 1) olan ABC üçgeninde
[BC] kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç br’dir?
A(1, 4), B(5, 6) noktaları veriliyor. A ve B nin orta noktası C(x, y) olduğuna göre, x − y kaçtır?
Çözüm
[BC] kenarının orta
noktası D ise
 −1 + 3 3 + 1 
D
,

2 
 2
D(1,2) bulunur.
Çözüm
A(1,4)
x=
y=
1.
C(x, y)
B(5, 6)
B(−1, 3)
AD=Va=
Buradan, x − y = −2 bulunur.
A(−3, 4) ve B(−1, 12) noktaları veriliyor.
A ve B noktalarının orta noktasının koordinatları
aşağıdakilerden hangisidir?
B) (−2, 8)
E) (−2, 4)
4.
C) (2, −8)
A(4, a) ve B(b, −8) noktaların orta noktası
C(3, 1) olduğuna göre, a +b kaçtır?
B) 11
C) 12
D) 13
A(4, −6), B(2, 10) olmak üzere, [ AB] doğru parçasını çap kabul eden çemberin merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (6, 4)
D) (−2, 3)
4
C(3, 1)
B) (2, 3)
E) (3, 2)
C) (−3, −2)
6.
C) 3
D) 4
E) 5
A(−2, 4) , B(4, 8) ve C(6, 2) noktalarının tanımladığı üçgende [AB] kenarına ait kenarortayın uzunluğu kaç br dir?
A)
E) 14
B) 2
B) 2 10
41
D) 4 2
3.
+ ( 3 − 2)
D
2
A(4, k2 − 4k) ve B(m, 2k − 8) noktaları veriliyor.
[AB] nin orta noktası, x ekseni üzerinde olduğuna
göre, k nın alacağı pozitif değer kaçtır?
A) 1
5.
A) 10
( 2 − 1)
2
Va = 1 + 1 = 2 br dir.
A) (−2, 6)
D) (2, 8)
2.
Va
Buradan;
1+ 5
=3
2
4+6
=5
2
A(2,3)
C) 6
E) 2 7
A(−8, 5) ve B(2, 3) noktaları veriliyor.
[AB] doğru parçasının orta noktasının orijine
uzaklığı kaç br’dir?
A) 5
B) 4
1.B
C) 3
2.C
3.E
D) 2
4.D
E) 1
5.A
6.A
İki Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen
Noktanın Koordinatları
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
Bu tip soruların çözümünde koordinatlar arasındaki değişim orantısal olarak aktarılır. Bunu örnekle açıklayalım.
A(−2, 10), B(4, 1) olmak üzere, [AB] üzerinde alınan C
ve D noktaları için AC=CD=DB olduğuna göre, D
noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Çözüm
A(−1,11)
C(3, 9)
B
9 azalmış
6 artmış
Yukarıdaki şekilde, AC = 2BC olduğuna göre,
B noktasının koordinatları nedir?
A(−2,10)
D
k
Çözüm
2 azalmış
4 artmış
A(−1,11)
B(4,1)
k
k
A ve B nin apsislerinde 3k da 6 artış var. (−2 den 4’e)
C(3, 9)
2k
B
2k’da 4 artar. Yani, D nin apsisi −2 + 4 = 2 olur.
A ve B nin ordinatlarında 3k da 9 azalma var.
(10 dan 1’e)
k
A ve C’nin apsislerinde 2k’da 4 artış var. (−1’den 3’e)
k’da 2 artar.
Yani, C den B ye, B noktasının apsisi 2 + 3 = 5 olur.
A ve C’nin ordinatlarında; 2k’da 2 azalma var ve k da 1
azalır.
Yani, C den B ye B nin ordinatı 9 − 1 = 8 olur.
O halde, B(5, 8) bulunur.
1.
C
A(−2, 4) ve B(6, 0) ve C, [AB] üzerinde bir nokta
AC 1
olmak üzere,
=
olduğuna göre, C noktasıBC 3
2k da 6 azalır.
Yani, D nin ordinatı 10 − 6 = 4 olur.
D(2, 4) olduğundan, koordinatlar toplamı 2 + 4 = 6 bulunur.
3.
A(3, 2), B(4, 5) ve 2AB=BC dir.
B noktası A ve C noktasının arasında olduğuna göre, C(x, y) noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
nın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, 0)
D) (2, 2)
B) (0, 3)
E) (0, −3)
A) (5, 8)
B) (5, 9)
D) (6, 12)
E) (11, 6)
C) (6, 11)
C) (2, 3)
4.
B(−6, 4)
E
2.
A(−6,1)
B
C(4, −14)
Yukarıdaki şekilde, A(−6, 1), C(4, −14) ve
2AB=3BC olduğuna göre, B noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (−2, −8)
B) (2, −8)
D) (0, 8)
E) (0, −8)
C) (1, −6)
A(4, −6)
D
C(12, 7)
Yukarıdaki şekilde, 3AE=2BE ve DE=2DC
olduğuna göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 9
B) 10
C) 11
1.1.B
D) 12
2.E
E) 13
3.C
4.D
5
Analitik Düzlemde Paralelkenar
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
D(-3, 6)
D(x , y )
C(4, 8)
C(x , y )
4 4
3 3
O
A(a, b)
A(x , y )
B(x , y )
1 1
2 2
Şekildeki ABCD paralelkenarında A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Paralelkenarın köşegenleri birbirini ortalar. O noktası,
[AC] ve [BD] nin orta noktası olduğundan, karşılıklı köşeleri apsisleri ve ordinatları toplamı eşittir.
Yani,
x1 + x3 = x2 + x4
Çözüm
Karşılıklı köşeleri koordinatları eşit olduğundan;
A + C = B + D (Köşelerin koordinatları toplamı)
y1 + y3 = y2 + y4 dir.
−3 + 2 = a + 4
6+3=8+b
Aynı durum, özel paralelkenar olan dikdörtgen, kare ve
eşkenardörtgen için de geçerlidir.
1.
ABCD paralelkenarında köşelerinin koordinatları
A(2, −1), B(4, 3), C(1, 5) ve D(a, b) dir.
Buna göre, D noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 4
B) 3
B(2, 3)
C) 2
D) 1
(Apsisler toplamı)
(Ordinatları toplamı)
−1 = a + 4 ⇒ a = −5
9=8+b⇒b=1
a + b = −5 + 1 = −4
bulunur.
3.
B(4, 6)
A(−2, 5)
E) 0
D(a, b)
C(3, 3)
Şekildeki ABCD paralelkenarında uzun köşegen
uzunluğu kaç birimdir?
A)
B) 8
65
C) 2 15
E) 4 3
D) 5 2
2.
D(−1, 2)
C(m, 2)
4.
E
A(−2, 6)
D
F
A(−4, 3)
B(7, k)
B
Yukarıdaki şekilde ABCD paralelkenarının köşelerinin koordinatları verilmiştir.
Buna göre, k + m toplamı kaçtır?
A) 13
6
B) 12
C) 11
D) 10
E) 9
C(7, –3)
Şekilde, ABCD paralelkenar, AE=ED,
A(−2, 6), C(7, −3) olduğuna göre, F noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
1.1.E
D) 6
2.A
E) 7
3.A
4.B
Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
Köşelerinin koordinatları A(3, 4), B(−5, 0) ve C(5, −1)
olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları
nedir?
A(x ,y )
1 1
Çözüm
2k
ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları
G(x0, y0) olsun.
G(xo, yo)
k
2 2
3−5+5
=1
3
y0 =
4 + 0 −1
=1
3
C(x ,y )
D
B(x ,y )
x0 =
3 3
G (x0, y0) ağırlık merkezi,
x + x + x3
x0 = 1 2
3
y1 + y 2 + y 3
y0 =
dir.
3
Yani, G (1, 1) bulunur.
1.
3.
Köşelerinin koordinatları A(−6, 4), B(−3, 6) ve
C(−9, 2) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin
koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (−4, 6)
B) (6, −4)
D) (−6, 4)
E) (4, −6)
A(−2, 5)
C) (−6, 3)
G(-2, 1)
B(3, 6)
C
Şekildeki ABC üçgeninde A(−2, 5), B(3, 6) ve
ağırlık merkezi G(−2, 1) dir.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
A) −17
B) −16
C) −15
D) −14
E) −13
2.
A(10, 6)
G
B(2, −8)
C(3, −1)
Şekildeki ABC üçgeninde A(10, 6), B(2, −8),
C(3, −1) ve ağırlık merkezi G’dir.
Buna göre, AG
 kaç birimdir?
A)
74
B) 6 2
C) 8
4.
Köşeleri A(−3, 5), B(4, −9) ve C olan ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(1, −2) dir.
C noktası 3x + ky + 4 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
A) 1
D) 2 15
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
E) 4 3
1.1.D
2.A
3.C
4.E
7
Üçgenin Alanı
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
Köşelerinin koordinatları A(−
−2, 3), B(4, 1) ve C(0, 6)
olan ABC üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A(x ,y )
1 1
Çözüm
B(x ,y )
A(ABC) =
1
A(ABC) =
2
C(x ,y )
2 2
3 3
3
4
1
x1
y1
12
0
6
1
2
x2
y2
0
−2
3
−
x3
y3
x1
y1
−
−
+
+
+
+
Köşelerinin koordinatları A(0, −2), B(−2, 4) ve
C(2, 6) olan ABC üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A) 12
B) 13
C) 14
−12
−2
24
+
0
22
1
A ( ABC ) =
22 − 0 = 11 br 2 olur.
2
Taban ve yükseklik uzunlukları kolayca belirlenen
üçgenlerde determinant uygulamaya gerek kalmaz.
0
1
A ( ABC ) = x1y 2 + x 2 y 3 + x 3 y1 − ( x 2 y1 + x 3 y 2 + x1y3 )
2
A(ABC) = 0 ise, A, B ve C noktaları doğrusaldır.
1.
−2
D) 15
3.
E) 16
Köşeleri A(−2, 7), B(3, 1) ve C(2, 0) olan üçgenin
alanı kaç br2 dir?
A)
4.
3
2
7
2
B)
C) 5
D) 9
E)
11
2
Ardışık iki kenarı A(−3, 6) ve B(−6, 2) olan ABC
eşkenar üçgeninin alanı kaç br2 dir?
25 3
13 3
A) 6 3
B)
C)
4
2
D)
27 3
2
E) 7 3
2.
y
B(2, 5)
5.
A(5, 3)
8
M(0,4)
L(4,2)
K(8,0)
Şekildeki dik koordinat sisteminde AOB üçgeninin alanı kaç br2 dir?
B)
y
x
O
A) 10
Analitik düzlemde OKLM dörtgeni veriliyor.
K(8,0)
L(4,2)
M(0,4)
19
2
C) 9
D)
17
2
E) 8
O
Şekilde verilenlere göre, A(OKLM) kaç br2 dir?
A) 24
B) 22
C) 20
1.C
1.
2.B
D) 18
3.E
E) 16
4.B
5.E
x
Açıortay Doğruları
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
x − 2 2y + 3 = 0
d2
a1x+ b1y+c1=0
d1
3x − 4y + 2 = 0
doğrularının oluşturduğu açının açıortay denklemlerinin Ox eksenini kestiği noktaların apsisleri toplamı
kaçtır?
Çözüm
( x − 2 2y + 3) = ∓ (3x − 4y + 2)
3 + ( −4 )
1 + ( −2 2 )
2
a2x+ b2y+c2=0
d1 ve d2 verilen doğruların açıortayı olmak üzere
d1, d2 …
a1x + b1y + c1
a12
+ b12
=∓
a2 x + b2 y + c 2
a22
+ b22
= ∓
( 4x + 2y + 1)
2x − y + 7
5
4 2 + 22
 4x + 2y + 1 
= ∓

 2 5

II.
(I)
x − 2 2y + 3
 3x − 4y + 2 
= −

3
5


(II)
5x −10 2y +15 = 9x −12y + 6
Apsisleri toplamı =
2x − y + 7
5
=
4x + 2y + 1
2x − y + 7
2 5
5
4x − 2y + 14 = 4x + 2y + 1
13
y=
4
1.
2.
 4x + 2y + 1 

= −
 2 5



4x − 2y + 14 = −4x − 2y − 1
15
x=−
8
3.
3x − 2y + 1 = 0 ve 2x − 3y + 3 = 0
doğrularının açıortay denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
4.
B) x − 5y + 7 = 0
D) 5x + y + 1 = 0
5x − 10 2y + 15 = −9x + 12y − 6
Ox eksenini kestiği
noktayı bulmak için
y = 0 verelim.
5x + 15 = −9x − 6
14x = −21
3
x=−
2
9 3 3
− =
bulunur.
4 2 4
NOT : Kesişen iki doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu iki doğrunun oluşturduğu açının
açıortay doğrusudur.
3x + 4y + 4 = 0 ve 4x − 3y − 7 = 0
doğrularının açıortay denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + 7y + 7 = 0
B) x − 7y − 11 = 0
C) 7x − y − 3 = 0
D) x + 7y − 13 = 0
E) x − 7y − 13 = 0
A) 5x − 5y + 4 = 0
C) x + 5y + 3 = 0
E) 5x + y + 4 = 0
2
x − 2 2y + 3 3x − 4y + 2
=
3
5
Ox eksenini kestiği
noktayı bulmak için
y=0 verelim.
5x + 15 = 9x + 6
9 = 4x
9
=x
4
Çözüm
( 2x − y + 7 )
2
22 + ( −1)
2
x − 2 2y + 3
 3x − 4y + 2 
= ∓
 ifadesinden iki denklem çıkar
3
5


I.
2x − y + 7 = 0
4x + 2y + 1 = 0
doğrularının oluşturduğu açının açıortay denklemlerini
bulunuz.
2
3x + 4y + 2 = 0, 8x + 6y − 6 = 0
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 6x + 8y − 1 = 0
C) 7x + 7y −1 = 0
E) x − y + 5 = 0
B) 12x − 16y − 5 = 0
D) x + y + 5 = 0
(−2, 0) noktasında kesişen 2x − y + k = 0 ve
x − 2y + m = 0 doğrularının açıortay denklemlerinden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x + y + 2 = 0
B) x − y − 3 = 0
C) 3x − y + 2 = 0
D) 3x + y + 1 = 0
E) x + y − 2 = 0
1.
1.B
2.A
3.C
4.A
41
Analitik Düzlemde Dörtgenler-1
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
y
Bu tip soruların çözümünde köşe koordinatları ve üzerinde bulunduğu doğrunun denklemi sağlamasından faydalanılır.
6
B
Şekilde, d doğrusunun
x y
denklemi + = 1 dir.
4 4
Buna göre, OABC
dikdörtgeninin çevresi kaç br’dir?
y
B
C
O
-4
C
Çözüm
y
B noktası, d doğrusunun üzerinde olduğundan, d doğrusunu sağlar.
x y
a b
+ = 1⇒ + = 1
4 4
4 4
⇒ a + b = 4 bulunur.
Ç(OABC)
=
2 ( a + b ) = 8br dir ⋅
y
4
B(a, b)
b
4
x
A
a
d
1.
Şekildeki OABC
karesinin B köşesi,
d doğrusunun üzerinde olduğuna göre,
B noktasının apsisi
kaçtır?
6
B
C
4
A)
A
12
5
2.
B)
24
5
26
5
C)
A
x
D)
28
5
dir?
42
B) 16
C) 20
 12 36 
Ç ( OABC ) = 2 ⋅  +

 11 11 
96
=
br olur ⋅
11
C
12
k=
11
A
3.
B
36
11
3k =
Şekildeki analitik
düzlemde ABCD
karesinin D köşesi
y = 4x doğrusu
üzerindedir.
Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
d=y=4x
D
C
A
B
A) (15, 12)
D) (18, 15)
4.
B) (12, 12)
E) (15, 18)
D
O
x
d
y
C(10,2)
x
E A
B
C) (12, 15)
Şekildeki analitik
düzlemde ABCD
kare, C(10, 2),
F(0, −6) olduğuna
göre, AE kaç br
dir?
F –6
A) 2
D) 24
x
O
D
E) 6
d : x + 2y − 12 = 0
A) 12
3k
A
O
Şekildeki analitik
düzlemde
d : x + 2y − 12 = 0
ve
OABC karedir.
Buna göre,
A(OABC) kaç br2
B
C
-4
x
y
O
doğrusunun
denklemi;
x y
+ = 1 ⇒ −3x + 2y = 12 dir ⋅
−4 6
(3) (2)
B noktası, II. bölgede olduğundan, B(−3k, k) dır.
B noktası, d doğrusu üzerinde
olduğundan, doğruyu sağlar.
12
−3 ( −3k ) + 2 ⋅ k = 12 ⇒ k =
11
C
k
4
y
O
d
d
6
Çözüm
O
x
O
A
x
A
C
Şekilde, d doğrusunun
grafiği verilmiştir.
AO=3OC olduğuna
göre, OABC dikdörtgeninin çevresi kaç
br’dir?
d
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 32
1.1.A
2.B
3.A
4.A
Analitik Düzlemde Dörtgenler-2
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
Dik koordinat sisteminde OABC dikdörtgen
C(−6, 4) olduğuna göre,
A noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
y
Bu tip soruların çözümünde üçgen benzerliği, pisagor,
öklit gibi geometri bilgilerinden faydalanılır.
B
A
C(–6, 4)
y
C
x
O
B
D(0, 5)
Çözüm
x
A(3, 0)
O
ABCD karesinde A(3, 0), D(0, 5) olduğuna göre, B ve D
noktasının koordinatlarını bulunuz.
DOA ve AEB üçgenleri
eş üçgenlerdir.
Dolayısıyla, B(8, 3)
bulunur.
C
OCB de öklit alırsak,
62 = a . 4 ⇒ a = 9
bulunur.
Buradan, CHB ile OKA
eş üçgenler olduğundan,
A(6, 9) bulunur.
Dolayısıyla, A noktasının koordinatları toplamı
6 + 9 = 15’dir.
B
Çözüm
y
∆
y
α
6
C(–6, 4)
θ
a=9
A
H
4
θ
9
α
6 K
O
x
B
D(0, 5)
5
θ
α
3
α 3
θ
A(3, 0) 5 E
1.
x
y
C
D(x, y)
B(0, 12)
A(–5, 0)
A) −12
B) −7
x
O
Dik
koordinat
düzlemi üzerinde
şekildeki
gibi
ABCD
karesi
yerleştirilmiştir.
Buna göre, D
noktasının
koordinatları
toplamı kaçtır?
3.
y
C
B
D
C) −5
D) 5
x
A
O
E) 7
A) 4
B) 5
4.
C) 6
y
A
2.
ABCD bir kare,
A(ABCD) = 25 br2,
B(4, 0)
Yukarıda verilenlere göre, OC doğrusunun eğimi
kaçtır?
y
D
A
O
7
A) −
4
C
B(4, 0)
4
B) −
7
O
D
x
Şekilde
ABCD
dikdörtgen,
B(−6, k),
2AE=EC dir.
Buna göre,
A(ABCD) kaç br2
dir?
C
x
3
C)
7
E
B
Şekildeki ABCD
karesinde A(4, 0)
ve D(0, 2) dir.
Karenin
köşegenlerinin kesim
noktasından
geçen doğrulardan birinin denklemi
ax + by − 15 = 0
olduğuna göre,
a + b kaçtır?
D) 7
E) 8
4
D)
7
7
E)
4
A) 27 2
B) 32 2
D) 48 2
E) 54 2
1.
1.A
C) 36 2
2.D
3.B
4.E
43
Bir Noktanın Bir Noktaya Göre Simetriği
Konu Özeti
ANALİTİK GEOMETRİ
Analitik düzlemde A(2, 5) noktasının B(4, 1) noktasına
göre simetriği olan noktayı bulunuz.
A(x ,y )
B(a, b)
1 1
C(x ,y )
2 2
A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre simetriği
A’nın B’ye olan uzaklığı kadar ötelenmesidir. Yani, B
noktası, [AC] nin orta noktasıdır.
 x + x 2 y1 + y 2 
B ( a,b ) = B  1
,
2 
 2
x1 + x 2
y +y
, b= 1 2
2
2
2a − x1 = x 2 , 2b − y1 = y2
a=
O halde, A(x1, y1) noktasının B(a, b) noktasına göre
simetriği,
C(2a − x1, 2b − y1) dir.
Çözüm
I. Yol :
A(2, 5)
B(4, 1)
C(x, y)
Orta noktadan;
2+ x
4=
⇒x=6
2
5+y
1=
⇒ y = −3
2
O halde, C(x, y) = C(6, −3) bulunur.
II. Yol :
2 artmış
A(2, 5)
+2 ekle
B(4, 1)
4 azalmış
C(x, y)
–4 ekle
C(x, y) = C(6, −3) olur.
1.
A(4, 10) noktasının B(1, 6) noktasına göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, −2)
B) (−1, 3)
D) (−2, 2)
E) (−2, 1)
4.
C) (−2, 0)
A) −5
5.
2.
3.
A(1, −3) noktasının B(0, 1) noktasına göre simetriği
y + 2x + k = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k
kaçtır?
C) −3
D) −2
E) −1
A(−4, 3) noktasının B(1, 0) noktasına göre simetriği
C(a + 1, b − 2) olduğuna göre, a + b kaçtır?
A(−2, 3) noktasının B(1, 3) noktasına göre simetriği
C noktasıdır.
Buna göre, C noktasının orijine uzaklığı kaç
br’dir?
A) 4
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A(5, −2) noktasının B(1, k) noktasına göre simetriği
x ekseni üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
6.
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
A(2, −4) noktasının B(0, 1) noktasına göre simetriğinin 3x + 4y + 12 = 0 doğrusuna uzaklığı kaç
br’dir?
E) 2
A) 2
44
B) −4
B) 3
1.D
C) 4
2.A
3.B
D) 5
4.C
E) 6
5.B
6.E
Noktanın Eksenlere ve Orijine Göre Simetriği
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(3, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B noktasıdır.
B nin orijine göre simetriği olan noktayı bulunuz.
y
Çözüm
A( 3, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B(3, −2) dir.
B(3, −2) noktasının orijine göre simetriği C(−3, 2) bulunur.
A(x, y)
B(–x, y)
x
O
C(x, –y)
A(1, 2) noktasının orijine göre simetriği ax + 2y − 6 = 0
doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
D(–x, –y)
A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği
B(−x, y) dir.
Çözüm
A(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği
A(1, 2) noktasının orijine göre simetriği B(−1, −2) noktasıdır.
C(x, −y) dir.
A(x, y) noktasının orijine göre simetriği
B(−1, −2) noktası, ax + 2y − 6 = 0 doğrusunu sağlar.
D(−x, −y) dir.
A(−4, 2) noktasının y eksenine göre simetriğini bulunuz.
O halde;
x = −1 ve y = −2 için, −a − 4 − 6 = 0 ⇒ a = −10 bulunur.
Çözüm
A(−4, 2) noktasının y eksenine göre simetriği A′(4, 2) dir.
1.
A(−
−4, 3) noktasının y eksenine göre simetriği
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (− 4, −3)
D) (4, 2)
B) (3, − 4)
E) (4, 3)
4.
A(4, 2) noktasının x eksenine göre simetriği B,
y eksenine göre simetriği C olduğuna göre, ABC
üçgeninin alanı kaç br2 dir?
C) (3, 4)
A) 16
2.
A(−2, 5) noktasının x eksenine göre simetriği B’dir.
B’nin orijine göre simetriği C dir.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
5.
Analitik düzlemde A(2m, −k) noktasının başlangıç
noktasına göre simetriği B(6, −4) olduğuna göre,
m . k kaçtır?
A) −12
B) −8
C) 6
D) 12
C) 24
D) 28
E) 32
Analitik düzlemde A(a, −4) noktasının orijine göre
simetriği olan nokta 2x + 3y − 12 = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, a kaçtır?
A) −2
B) −1
C) 0
D) 1
E) 2
E) 10
6.
3.
B) 18
E) 18
A(−3, 1) noktasının y eksenine göre simetriği B,
B nin x eksenine göre simetriği C dir.
Buna göre, AC
 kaç br’dir?
A) 2 7
B) 4 2
D) 2 10
E) 4 3
1.E
2.B
3.D
C) 6
4.A
5.C
6.D
45
Noktanın x = a Doğrusuna Göre Simetriği
Konu Özeti
ANALİTİK GEOMETRİ
A(2, 1) noktasının x = 3 doğrusuna göre simetriğini bulunuz.
x=a
Çözüm
A(x, y)
B(2a –x, y)
I. Yol :
A(2, 1) noktasının x = 3 noktasına göre simetriği olan
nokta B(2 . 3 −2, 1) = B(4, 1) dir.
II. Yol :
+1 ekle
1 artmış
A(x, y) noktasının x = a doğrusuna göre simetriği noktanın doğruya olan uzaklığı kadar ötelenmesidir.
Buna göre, A(x, y) noktasının x = a doğrusuna göre
simetriği B(2a −x, y) dir.
1.
A(−4, 2) noktasının x = −2 doğrusuna göre simetriği
B dır.
Buna göre, B aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, 2)
B) (2, 0)
D) (1, 2)
E) (4, 0)
4.
B) 5
C) 4
A) (1, −2)
D) (−1, −2)
D) 3
46
B) 2
C) 3
D) 4
C) (−1, 3)
B) 2 5
C) 2 6
D) 5
E) 4 2
E) 2
K(x1, y1) noktasının x + 3 = 0 doğrusuna göre
simetriği M(−5, 4) noktasıdır.
Buna göre, y1 − x1 kaçtır?
A) 1
B) (0, 2)
E) (−2, 1)
K(−4, 1) noktasının x eksenine göre simetriği M,
x =−2 doğrusuna göre simetriği N dir.
Buna göre, MN
 kaç br dir?
A) 4
6.
3.
A(−3, 2) noktasının x = −1 doğrusuna göre
simetriği B; B nin orijine göre simetriği C dir.
Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
C) (0, 4)
A(k, −3) noktasının x = 4 doğrusuna göre simetriği
B(1, m) noktasıdır.
Buna göre, m + k kaçtır?
A) 6
B(4, 1)
Aynen taşı
5.
2.
x=3
A(2, 1)
E) 5
A(−3, 4) noktasının x = 1 doğrusuna göre
simetiği B; B nin (0, 2) noktasına göre simetriği C
dir.
Buna göre, A ve C den geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 2x + 10
C) y = 3x − 4
E) y = 2x + 8
1.A
B) y = 2x − 4
D) y = 3x + 1
2.C
3.E
4.D
5.B
6.A
Noktanın y = a Doğrusuna Göre Simetriği
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
A(3, 2) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetriği olan
noktayı bulunuz.
A(x, y)
Çözüm
I. Yol :
A(3, 2) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetriği olan
nokta,
y=b
B(3, 2.5 − 2) = B(3, 8) olur.
II. Yol :
B(x, 2b–y)
A(x, y) noktasının y = b doğrusuna göre simetriği, noktanın y = b doğrusuna uzaklığı kadar ötelenmesidir.
Buna göre, A(x, y) noktasının y = b doğrusuna göre
simetriği
B(x, 2b − y) noktasıdır.
1.
K(−
−5, 1) noktasının y = 4 doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
A) (5, −7)
D) (4, 7)
B) (−5, 3)
E) (−5, 7)
3 artmış
A(3, 2)
3.
y=5
B(3, 8) dir.
Aynen taşı
4.
A(3, −2) noktasının y = 1 doğrusuna göre
simetriği B, x = 1 doğrusuna göre simetriği C’dir.
Buna göre, BC
 kaç br’dir?
C) (−5, 6)
A) 2 13
B) 4 3
D) 6
E) 4 2
C) 2 10
A(3, 1) noktasının y = 5 doğrusuna göre simetriği B
noktasıdır.
B noktasının x eksenine göre simetriği olan
noktanın koordinatları çarpımı kaçtır?
A(−2, 4) noktasının y = 1 doğrusuna göre
simetriği B; x = −3 doğrusuna göre simetriği C noktasıdır.
Buna göre, köşeleri A, B ve C noktaları olan
ABC üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A) −30
A) 6
5.
2.
+3 ekle
B) −27
C) −24
D) −21
E) −18
P(−2, 4) noktasının y + 2 = 0 doğrusuna göre simetriği 2x + 3y + k = 0 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
6.
B) 28
C) 26
D) 24
C) 10
D) 12
E) 14
Simetri eksenleri x = 1 ve y = 2 doğruları olan
dikdörtgenin bir köşesi D(4, 6) noktası olduğuna göre, dört köşesinin koordinatları toplamı kaçtır?
A) 8
A) 30
B) 8
B) 10
C) 12
D) 16
E) 18
E) 22
1.E
2.B
3.B
4.A
5.A
6.C
47
Noktanın y = x ve y = –x (I. ve II. açıortay)
Doğrularına Göre Simetriği
ANALİTİK GEOMETRİ
Konu Özeti
i)
A(−
−4, 2) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği
olan noktanın orijine uzaklığı kaç br dir?
y = x doğrusuna göre;
y
A(x, y)
Çözüm
y=x
A(−4, 2) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği
B(2, −4) dir.
B’nin O(0, 0) noktasına uzaklığı ise,
BO =
B(y, x)
( 2 − 0 ) 2 + ( −4 − 0 ) 2
= 20 = 2 5 dir.
x
O
A(x, y) nin y = x doğrusuna göre simetriği B(y, x) noktasıdır.
ii)
y = −x doğrusuna göre;
y
y= –x
A(3, −5) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği olan
noktanın x eksenine olan uzaklığı kaç br dir?
A(x, y)
Çözüm
A(3, −5) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği
B(5, −3) dir. Bu noktanın x eksenine olan uzaklığı ise 3 br
olur.
x
O
B(–y, –x)
A(x, y) nin y = −x doğrusuna göre simetriği B(−y, −x)
noktasıdır.
1.
A(−3, 2) noktasının y = x doğrusuna göre
simetriği B, B nin y = −x doğrusuna göre simetriği
C noktasıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
4.
Analitik düzlemde A(−3, −4) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği B noktasıdır.
B noktasının I. açıortay doğrusuna göre simetriği C noktası olduğuna göre, AC
 kaç br’dir?
A) 18
A) (−2, 3)
B) (2, 3)
D) (−3, 2)
E) (−3, −2)
5.
2.
A(4, 2k + 1) noktasının y = −x doğrusuna göre
simetriği B(−5, m−1) olduğuna göre, m + k kaçtır?
A) −1
3.
B) 0
C) 1
D) 2
48
C) −2
D) 10
E) 8
A(−2, k) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği
olan B noktası x + 4y = 5 doğrusu üzerinde olduğuna göre, k aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 1
6.
D) −1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
A(−2k, k) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği B ve B nin orijine göre simetriği C(2, m) tir.
Buna göre, k−m kaçtır?
A) 4
B) −3
C) 12
E) 3
A(−1, 3) noktasının I. açıortay doğrusuna göre
simetriği B noktasıdır. B noktasının ise orijine göre
simetriği C noktasıdır.
Buna göre, C noktasının koordinatları toplamı
kaçtır?
A) −4
B) 15
C) (3, −2)
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
E) 0
1.C
2.A
3.C
4.D
5.C
6.B
9.
2x − y + 5 = 0
x + 2y − 1 = 0
doğrularına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x − 3y + 6 = 0
C) x − 3y + 3 = 0
E) x − 3y − 5 = 0
10.
B) x + 3y + 5 = 0
D) x + 2y + 6 = 0
A) (−1, 2)
B) (1, 2)
D) (−1, −2)
E) (0, −2)
d
B
A
A) x − 3y − 5 = 0
C) x + 3y − 10 = 0
E) x + 3y − 4 = 0
12.
x=
n bir gerçel sayı olmak üzere,
A(n + 2, 3n − 1), B(2n − 1, n + 2) noktaları veriliyor.
[AB] doğru parçasının orta noktasının geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4x + 3y − 2 = 0
C) 8x − 6y − 1 = 0
E) 3x − y − 12 = 0
k ∈ R olmak üzere,
(2k + 1) x − ky + 1 = 0 doğrularının geçtiği sabit
noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
11.
13.
14.
C) (−2, 1)
B) 3x + 2y + 3 = 0
D) 2x + 3y − 3 = 0
m ∈ R olmak üzere,
(m + 1)x − (m − 2) y + m + 7 = 0 doğrularının
kesişim noktasından geçen ve y + 2x − 5 = 0
doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x − 2y + 7 = 0
C) 2x − y − 1 = 0
E) x − 2y − 1 = 0
Şekilde d doğrusu
üzerinde A(−1, 2) ve
B(0, 5) noktalarından
geçen bir çember
çizilmiştir.
Buna göre, A ve B
noktalarından geçen çemberlerin
merkezlerinin
geometrik yeri
aşağıdakilerden
hangisidir?
15.
B) 3x + y − 10 = 0
D) 2x + 3y − 7 = 0
B) 2x − y + 9 = 0
D) x − 2y + 5 = 0
Kapalı denklemi 4x − 3y + 19 = 0 olan doğrunun
parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x = −3 + 4k
y = 3k
B) x = 4 + 3k
y = 4k
C)
x = 3 + 4k
y = 3k − 2
D) x = −4 + 3k
y = 4k + 1
E)
x = 2 + 3k
y = 4k − 1
2t + 3
4
3t + 1
3
Parametrik denklemi ile tanımlı doğrunun Ox
eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
y=
16.
m bir parametre olmak üzere, x = m − 3
y = n . m + 2 doğrusunun eğim açısı 60° olduğuna
göre, n kaçtır?
A) 1
7
A)
12
1.E
2
B)
3
2.D
3
C)
4
3.B
4.B
5
D)
6
5.A
6.E
B)
2
C)
3
D) 2
E) 3
11
E)
12
7.A
8.C
9.A
10.D 11.C 12.A 13.C 14.E 15.D 16.C
95
Konu Testi-12
1.
2.
3.
A(4, 6) noktasının Oy eksenine göre simetriği
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (−6, −4)
B) (−4, −6)
D) (−4, 6)
E) (6, −4)
A) (−3, −4)
B) (4, 3)
D) (−4, 3)
E) (3, −4)
96
B) (−4, 4)
D) (−2, 4)
E) (−4, 2)
6.
C) (−3, 4)
B) (2, −4)
E) (−2, 7)
7.
C) (1, −2)
C) (4, −4)
B) −2
C) 0
D) 2
E) 4
Bir noktanın x− eksenine göre simetriği kendisi ise
aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A)
B)
C)
D)
E)
8.
C) (2, −7)
A(k, m) noktasının x = −4 doğrusuna göre simetriği
B(−6, 4) noktasıdır.
Buna göre, k +m kaçtır?
A) −3
A(4, −2) noktasının Ox eksenine göre simetriği B, B
noktasının C(0, 3) noktasına göre simetriği D dir.
Buna göre, D noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, −4)
Analitik düzlemde A(7, −2) noktasının II. açıortay
doğrusuna göre simetriği olan noktaların koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (7, 1)
D) (2, −5)
M(2, 5) noktasının y − 2 = 0 doğrusuna göre
simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
B) (2, 0)
E) (−2, 1)
5.
C) (4, −6)
M(3, −4) noktasının orijine göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
A) (3, −1)
D) (2, −1)
4.
Simetri-1
Nokta, x− ekseni üzerindedir.
Nokta y− ekseni üzerindedir.
Nokta, y = −x doğrusu üzerindedir.
Nokta, y = x doğrusu üzerindedir.
Nokta, I. bölgededir.
A(−5, 2) noktasının y = 7 doğrusuna göre simetriği
B, B noktasının orijine göre simetriği C noktasıdır.
Buna göre, A(ABC) kaç br2 dir?
A) 50
B) 52
C) 54
D) 56
E) 58
9.
10.
A(3, 2) noktasının B(1, 4) noktasına göre simetriği olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (6, −1)
B) (−1, −6)
D) (−1, 6)
E) (2, 6)
Buna göre, BC
 uzunluğu kaç br dir?
14.
C) 14
D) 15
3
B) −
4
1
C) −
4
1
D)
2
B) 3 5
D) 7
E) 2 13
1.D
2.C
3.D
15.
5.C
6.D
D) 8 2
E) 6 2
16.
B) −3
C) −4
D) −5
E) −6
Dik koordinat sisteminde A(k + 1, 2k) noktasının
B(k, 1) noktasına göre simetriği 2x + 3y − 6 = 0
doğrusu üzerinde olduğuna göre, k kaçtır?
3
2
B) −
1
2
C)
1
2
D)
3
2
E)
5
2
A(2, 5) noktasının B(m, n) noktasına göre simetriği
A′(m + 2, n − 2) noktasıdır.
Buna göre, m + n toplamı kaçtır?
A) 3
7.A
C) 14
K(2, −4) noktasının y = −2 doğrusuna göre simetriği
3x + 2y + k = 0 doğrusu üzerindedir.
A) −
3
E)
4
C) 4 3
4.B
B) 10 2
A) −2
Analitik düzlemde A(−4, 6) noktasının x = −2 doğrusuna göre simetriği olan nokta B, y = 3 doğrusuna
göre simetriği olan nokta C olduğuna göre, BC

uzunluğu kaç br dir?
A) 6
A) 15
Buna göre, k kaçtır?
E) 16
A(4, −2) noktasının x = 0 doğrusuna göre simetriği
B, y + 3 = 0 doğrusuna göre simetriği C noktasıdır.
Buna göre, B ve C noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?
4
A) −
3
12.
B) 13
A(−6, 8) noktasının Ox eksenine göre simetriği B,
y − x = 0 doğrusuna göre simetriği C noktasıdır.
C) (0, 5)
A(−2, 4) noktasının orijine göre simetriği B, B nin
Ox eksenine göre simetriği C dir.
Buna göre, A(ABC) kaç br2 dir?
A) 12
11.
13.
8.A
9.D
10.E
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
11.C 12.E 13.B 14.E 15.B 16.E
97
Konu Testi-13
1.
A(4, −3) noktasının y = −x doğrusuna göre simetriği
K noktası ve y = x doğrusuna göre simetriği L noktasıdır.
Buna göre, KL
 uzunluğu kaç birimdir?
A) 10
2.
Simetri-2
B) 8
C) 6
D) 4
B) 1
C) 2
D) 3
Dik koordinat sisteminde A(3, −4) noktasının
y = 2x doğrusuna göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
A) (−5, 1)
B) (0, 5)
D) (−5, 0)
E) (−3, −5)
6.
Dik koordinat sisteminde A(3, 2) noktasının
3y + 2x + k = 0 doğrusuna göre simetriği kendisi
ise k kaçtır?
E) 4
A) −15
3.
3x + 2y + 3 = 0 denklemi ile verilen doğrunun
A(1, 4) noktasına göre simetriği aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2x + 3y + 19 = 0
C) 3x + 2y − 4 = 0
E) 2x + 3y + 5 = 0
4.
98
7.
B) 3x + 2y − 22 = 0
D) 3x + 2y − 25 = 0
5y − 3x − 15 = 0 doğrusunun orijine göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x − 5y − 15 = 0
C) 3x + 5y + 15 = 0
E) 3x + 5y − 10 = 0
C) (−2, −5)
E) 3
x − 4 = 0 doğrusuna göre simetriği K(7, 2) olan
noktanın apsisi kaçtır?
A) 0
5.
B) 3x + 5y + 10 = 0
D) 3x − 5y − 7 = 0
B) −14
C) −13
E) −11
y = 2x − 1 doğrusunun y = −x doğrusuna göre
simetriğinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x − 2y − 1 = 0
C) 2x − y − 2 = 0
E) 2x + 3y − 1
8.
D) −12
B) x + 2y + 1
D) 2x + y − 3 = 0
A(m, n) noktasının y − k = 0 doğrusuna göre
simetriği olan noktanın ordinatı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2k − n
B) 3k − n
D) 2k − 2n
E) k − n
C) 2k +n
9.
x + y = 5 doğrusunun A(1, 1) noktasına göre
simetriği olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x − 1
B) y = x + 1
D) y = 3 − x
E) y = x + 3
13.
y
-4
C) y = −x − 1
x
Şekilde verilen d
doğrusunun x
eksenine göre
simetriğinin
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
-5
d
A) −5x + 4y − 20 = 0
C) 4x − 5y − 20 = 0
E) 4x + 5y = 0
10.
x y
− = 1 doğrusunun
3 4
A(−1, 2) noktasına göre simetriği aşağıdakilerden hangisidir?
Dik koordinat sisteminde
A) 4x − 3y + 32 = 0
C) 4x + 3y + 16 = 0
E) 4x + 3y + 32 = 0
14.
B) 4x + 3y − 8 = 0
D) 4x − 3y − 8 = 0
Analitik düzlemde 3x + 2y + 6 = 0 doğrusunun
x eksenine göre simetriği ax + by + c = 0 doğrusu
olduğuna göre, a + b + c toplamı aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A) −5
B) −6
M(6, 3) , T(3, −2) ve A(k, 0) noktaları veriliyor.
 toplamının en küçük olması için k
+TA
MA
kaç olmalıdır?
A) 3
15.
11.
B) 5x + 4y + 20 = 0
E) 5y + 4x + 20 = 0
C) −7
D) −8
B) 4
C)
21
5
D)
27
5
E)
16
3
A(3, 7), B(6, 2), C(x, 0) noktaları veriliyor.
 ifadesinin en büyük olması için x
−CB
CA
kaç olmalıdır?
A)
36
5
B)
34
5
C)
32
5
D)
28
5
E)
26
5
E) −9
16.
y
A(–2, 5)
B(3, 4)
y=2
C
x
O
12.
Şekildeki koordinat düzleminde A(−2, 5), B(3, 4) ve
y = 2 doğrusu üzerinde hareketli bir C noktası verilmiştir.
Buna göre, AC
+BC
 toplamının en küçük olması için C noktasının apsisi kaç olmalıdır?
3x + 2y − k = 0 doğrusunun y = x doğrusuna göre
simetriği A(−2, −1) noktasından geçtiğine göre, k
kaçtır?
A) −3
B) −4
1.A
2.B
C) −5
3.D
4.A
D) −6
5.D
6.D
A) −2
E) −7
7.A
8.A
9.C
B) −1
C) 0
D) 1
10.A 11.C 12.E 13.A 14.C 15.A 16.D
E) 2
99
Konu Testi-14
1.
Dik Koordinat Sisteminde Eşitsizlik-1
x > −2 eşitsizliğini aşağıdaki taralı bölgelerden
hangisiyle gösterilmiştir?
A)
y
B)
3.
x ≥ 0, y ≤ 0
eşitsizliklerini sağlayan noktalar kümesi aşağıdaki grafiklerden hangisidir?
y
A)
O
O
x
–2
C)
y
x
O
D)
O
x
x
y
C)
x
O
y
D)
y
x
–2
O
x
x
O
E)
y
–2
y
–2
B)
O
y
E)
x
2
O
y
x
O
2.
−1 < y ≤ 2
eşitsizliğini aşağıdaki taralı bölgelerden hangisiyle gösterilir?
4.
y ≥ 2x − 6 eşitsizliğini sağlayan noktalar kümesi
aşağıdaki grafiklerden hangisinde taranmıştır?
A)
A)
y
B)
y
2
x
x
O
6
–3
3
x
O
O
C)
y
D)
y
D)
y
y
2
x
O
O
–1
3
O
2
y
y
–3
–1
O
2
O
3
–6
–6
E)
100
x
x
–1
E)
x
–1
–1
C)
y
6
2
O
B)
y
O
x
–6
x
x
5.
Şekilde taralı bölgeyi ifade eden eşitsizlik aşağıdakilerden
hangisidir?
y
2
–3
8.
Şekildeki eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?
y
O
4
x
O
x
–2
A) 3y − 2x − 6 ≥ 0
C) 2x − 3y + 6 < 0
E) 3y − 2x − 6 ≤ 0
A) 2x − y − 8 ≥ 0
C) x + y + 4 > 0
E) x − 2y − 4 ≤ 0
B) 3y − 2x − 6 < 0
D) 2x + 3y + 6 < 0
9.
y
6.
Şekildeki
taralı
bölgeyi
ifade
eden
eşitsizlik
sistemi aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
–4
x+y−4<0
eşitsizliğinin analitik düzlemdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
y
4
4
4
O
2
B) x + 2y − 4 < 0
D) x − 2y + 4 ≤ 0
x
x
O
–4
x
O
A) 3x + 2y ≥ 6
−x + 2y > 4
B) 3x + 2y ≤ 6
−x + 2y > 4
C) 3x − 2y ≤ 6
x − 2y > 4
D) 3x + 2y ≤ 6
−x + 2y ≤ 4
C)
y
D)
y
4
4
4
O
E) 3x + 2y ≤ 12
−x + 2y > 4
E)
4
x
O
x
y
O
–4
x
–4
7.
Şekilde eşitsizlik
sistemi aşağıdakilerden hangisi ile
ifade edilir?
y
5
10.
Şekildeki reel
bölge aşağıdaki
eşitsizliklerden
hangisi ile ifade
edilir?
y
3
O
x
3
–3
A) 3x + 5y − 15 > 0
C) 5x − 3y − 15 0
E) 5x + 3y + 15 ≥ 0
B) 5x + 3y − 15 ≥ 0
D) 5x + 3y − 15 ≤ 0
x
O
–1
A) −x + y ≥ 3
−3x + y ≤ 3
B) −x + y ≤ 3
−3x + y ≥ 3
C) −x + y ≤ 3
−3x + y < 3
D) −x + y ≥ 3
−3x + y ≥ 3
E) −x + y > 3
−3x + y < 3
1.
1.D
2.A
3.A
4.D
5.B
6.A
7.B
1.
8.E
9.C
10.A
101
Konu Testi-15
1.
Dik Koordinat Sisteminde Eşitsizlik-2
y ≤ 0, x ≥ −4
eşitsizliklerini sağlayan noktalar kümesi aşağıdaki grafiklerden hangisidir?
3.
x − y − 2 ≤ 0 eşitsizliğini sağlayan bölge aşağıdakilerden hangisidir?
A)
A)
y
B)
y
B)
O
–4
–4
x
D)
2
x
–2
y
D)
y
y
4
x
O
2
O
x
O
2
x
x
O
–2
E)
E)
O
x
–2
C)
y
2
x
O
O
C)
y
y
–2
y
y
x
2
O
x
O
–2
–4
2.
Analitik düzlemde;
y − 2 < 0, −3 ≤ x ≤ 0
eşitsizlik sisteminin
hangisidir?
A)
y
grafiği
aşağıdakilerden
4.
B)
2x + y > 4 eşitsizliğini sağlayan bölge aşağıdakilerden hangisidir?
y
A)
2
x
O
O
–3
B)
4
x
2
O
y
D)
y
4
–3
C)
y
2
2
x
O
x
y
C)
2
y
D)
y
4
2
O
x
–3
O
x
4
2
2
O
E)
y
E)
–3
O
y
4
x
2
–2
O
102
x
x
O
x
5.
2x + 3y < 18, 2x − y − 6 ≥ 0
eşitsizlik sistemini sağlayan taralı bölge aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
7.
Analitik düzlemde x < 2
ifadesinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
y
B)
y
6
6
3
9
9
-6
x
3
O
O
x
O
–2
2
x
–2
2
O
x
-6
y
C)
D)
C)
y
y
D)
y
6
6
O 3
9
x
3
O
–6
9
x
–2
x
O
2
–2
x
O
2
-6
E)
y
E)
y
9
3
–9
x
3
O
–2
8.
6.
y
3
1
3
–2
O
x
Şekildeki koordinat düzleminde
taralı bölgeyi
ifade eden eşitsizlik sistemi
aşağıdakilerden
hangisidir?
2
O
x
Analitik düzlemde; y ≤ x, y ≤ −x − 2
eşitsizlik sisteminin grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
y
B)
y
2
–2 O
O
x
2
–2
A) x + 3y − 3 ≥ 0
−3x + 2y − 6 > 0
B) x + 3y − 3 < 0
3x − 2y − 6 ≤ 0
C) 3x + y − 3 ≤ 0
−2x + 3y − 6 ≥ 0
D) x + 3y − 3 ≤ 0
−3x + 2y − 6 < 0
C)
y
D)
x
y
2
–2
O
x
–2
O
x
–2
E) x + 3y − 3 ≤ 0
−3x + 2y − 6 ≥ 0
E)
y
–2
O
x
–2
1.A
2.D
3.C
4.B
5.C
6.D
7.E
8.E
103
Konu Testi-16
1.
Dik Koordinat Sisteminde Eşitsizlik-3
x > 2, y ≤ 4
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
y
y+x−2≥0, y−x+1≤0
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesi
aşağıdaki grafiklerden hangisidir?
A)
y
4
4
2
O
2
O
D)
4
x
O
y
2
1 2
–1
O
y
O
x
D)
y
2
x
2
O
1
1
–2
x
x
1 2
–1
y
C)
4
2
B)
2
x
y
C)
3.
1
O
1 2
x
x
O
–2
E)
y
E)
y
2
4
O
2.
2
y
B)
y
4.
A)
y
B)
x
4
O
y
D)
–6
x
y
4
O
C)
x
O
y
–4 O
5
x
y
D)
4
–5
O
x
y
5
4
104
x
–6
4
–5
x
–5 O
y
5
–6
x
E)
O
4
–6
5
4
–4
5
4
4
O
–4
y
5
4
E)
x
x − y + 5 ≤ 0, 2x − 3y + 12 ≥ 0
eşitsizlik sisteminin analitik düzlemdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
4
C)
1
O
y − x ≤ 4, y ≥ x
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
–2
x
O
x
–6
4
O
5
x
5.
3x − 4y + 12 ≤ 0, y + x ≤ 3 ve x . y ≤ 0
sisteminin oluşturduğu noktalar analitik düzlemin kaçınca bölgesinde bulunur?
A) I
B) II
C) III
D) IV
8.
Şekildeki grafikte
tanımlanan düzlem
parçasını sağlayan
eşitsizlik sistemi
aşağıdakilerden
hangisidir?
y
x
E) V
O
y = –x
6.
2y − x + 6 ≥ 0
y − 2x + 4 ≤ 0
x.y≥0
eşitsizlik sistemini sağlayan noktalar kümesi
aşağıdaki grafiklerden hangisinde verilmiştir?
A)
y
B)
A) y + x ≥ 0
y≥0
y≥0
B) y + x ≤ 0
x≤0
y≤0
C) y + x ≤ 0
y≤0
x≥0
D) y + x > 0
x≤0
y≤0
E) y + x ≤ 0
y≥0
x≤0
y
4
O
2
3
2
O
C)
x
6
6
–3
x
y
D)
2x + 3y − 12 ≤ 0,
3y − 2x − 12 ≤ 0
y≥0
9.
–4
y
eşitsizliğini sağlayan bölgenin alanı kaç br2 dir?
O
2
6
–3
O
x
–4
E)
2
A) 24
x
6
–3
B) 28
C) 32
D) 36
E) 38
–4
y
4
3
–3
O
2
x
10.
y
y=x
y = –x
A4
A3
x.y < 0
y≥x
x+y≥0
A5
A2
x
A1
7.
3x − 2y − 6 ≤ 0
y≤0
x ≥ −4
eşitsizliğinin sağladığı bölgenin alanı kaç br2
dir?
A) 15
B) 18
C) 21
1.E
D) 24
2.C
3.A
Koşullarının tümünü sağlayan noktalar aşağıdakilerden hangisidir?
A) A1
B) A2
C) A3
D) A4
E) A5
E) 27
4.C
5.B
6.B
7.E
8.C
9.A
10.C
105
Konu Testi-17
1.
Grafik Yorumlama
Bir taksimetrenin açılışı 3 TL, her kilometre için 2
TL yazmaktadır.
Buna göre gidilen yol ile taksimetrenin yazacağı
ücret arasındaki bağıntının grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
Ücret (TL)
8
7
6
5
4
3
2
1
2
0,5
O
1
2
A) 250
1
D)
Ücret (TL)
8
7
6
5
4
3
2
1
2
3 Yol (km)
2
3 Yol (km)
4 Elma (kg)
B) 300
C) 400
2
1
3 Yol (km)
Ücret (TL)
5.
12
8
4
2
Memur Đşçi Esnaf Serbest
meslek
3 Yol (km)
Buna göre, aynı dağılım bir daire grafiği ile gösterilirse serbest meslekte çalışanları gösteren
daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?
A) 144
V(m3)
5
1
O
2
A) 29
t(Saat)
B) 30
B) 150
C) 152
C) 31
D) 32
Şekildeki grafikte bir
öğrencinin çözdüğü
soru sayısının zamana göre değişimini gösteren doğrusal fonksiyonun
grafiği verilmiştir.
Adet
450
Şekildeki grafikte bir A
ağacının boyunun yıllara
göre değişimini göstermektedir.
Buna göre, A ağacı
dikildikten 10 yıl sonra
boyu kaç m olur?
A
k
6
2
A) 10
106
E) 156
E) 33
600
Boy (m)
D) 154
Şekildeki grafik içerisinde
bir miktar su bulunan
havuza zamanla dolan
su miktarını göstermektedir.
Havuz 15 saatte tamamen dolduğuna göre,
havuzun toplam su
kapasitesi kaç m3 tür?
6.
O
E) 600
Şekildeki sütun
grafiğinde bir okuldaki öğrencilerin
velilerinin mesleklere göre dağılımını
göstermektedir.
Kişi sayısı
16
1
3.
D) 500
Ücret (TL)
8
7
6
5
4
3
2
1
2.
3
Şekildeki grafikte
elmanın sıkılmasıyla
elde edilen suyun
miktarını gösteren
fonksiyon verilmiştir.
Buna göre, 1 ton
elmadan kaç lt
elma suyu elde
edilebilir?
8
7
6
5
4
3
2
1
1
E)
1
Ücret (TL)
3 Yol (km)
Elma suyu (lt)
1,5
8
7
6
5
4
3
2
1
1
C)
4.
300
150
1
2
3 Zaman
(Hafta)
Buna göre, öğrencinin 10. haftada çözdüğü soru sayısı kaçtır?
Yıl
4
10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 1500
B) 1650
D) 1800
E) 2000
C) 1700
7.
Yıllık faiz (1000 TL)
10.
Yol (km)
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Süre (Saat)
1 2 3 4 5 6 7
Şekildeki grafik, bir bankanın yıllık vadeli hesaba yıl
sonunda ana paraya göre ödediği faiz miktarını
göstermektedir.
Bu bankaya Çağan 10.000 TL, Altan ise 20.000 TL
yatırmıştır.
Buna göre, Altan’ın faiz geliri, Çağan’ın faiz gelirlerinden ne kadar fazladır?
Şekildeki grafik, yolculuğu sırasında iki defa dinlenen bir bisikletlinin aldığı yolun süreye göre değişimini göstermektedir.
Buna göre, bu bisikletlinin 3. ve 4. saat arasındaki hızı 5. ve 6. saatler arasındaki hızının kaçta
kaçıdır?
A)
2
3
B)
1
2
3
2
C)
D)
5
3
E)
6
5
A) 1000
D) 4000
11.
8.
Anapara
(1000 TL)
5 10 15 20 25 30
8
B) 2000
E) 5000
C) 3000
Tuz miktarı (kg)
Yol (m)
A
0,3
0,2
120
0,1
B
Karışım miktarı (kg)
1 2 3
Şekildeki grafikte, homojen tuz-su karışımının tuz
miktarını gösteren fonksiyon grafiği verilmiştir.
Buna göre, 80 kg lık bir karışımda kaç kg tuz
vardır?
80
Zaman (dakika)
4
O
Şekildeki grafik, iki koşucunun zamana göre koştukları yolu göstermektedir.
Buna göre, kaç dakika sonra aralarındaki fark
500 m olur?
A) 50
B) 51
C) 52
D) 53
A) 8
B) 10
9
4
O
I. ağaç
II. ağaç
1
2
3
4
5
6
B) 3
C) 3,5
Yıl
1.B
2.C
D) 4
3.C
A( 2 , 9 )
4
2
Alış (TL)
Şekildeki doğrusal grafik bir malın maliyeti ile satış
9

fiyatı arasındaki bağıntıyı göstermektedir. A  2, 
4

noktası bu doğru üzerinde olduğuna göre, 27.000
TL’ye satılan bir maldan kaç TL kâr edilir?
Şekildeki grafik, iki ağacın boylarının yıllara göre
değişimini göstermektedir.
Buna göre, II. ağaç dikildikten kaç yıl sonra iki
ağacın boyları eşit olur?
A) 2
E) 16
Satış (TL)
Yükseklik (m)
7
6
5
4
3
2
1
D) 15
E) 55
12.
9.
C) 12
A) 1500
B) 2000
D) 3000
E) 3600
C) 2500
E) 4,5
4.A
5.A
6.B
7.C
8.A
9.A
10.C 11.A 12.D
107
Konu Testi-18
1.
Karma
A(a3, a3b) noktası analitik düzlemin III. bölgesindedir.
Buna göre, K(ba, a − b) noktası analitik düzlemin
hangi bölgesindedir?
A) I
D) IV
A
5.
D(3, –2)
E(–2, 1)
A) 2
y
C(6,8)
O
A) 11
F(7, 5)
B) II
C) III
E) X ekseni üzerinde
B
2.
D, E ve F noktaları
ABC üçgeninin kenarlarının orta noktaları
olduğuna göre,
C köşesinin koordinatları toplamı kaçtır?
B(4,0)
B) 12
Şekilde A(0, 5), B(4, 0)
ve C(6, 8) noktaları
veriliyor.
Buna göre, A(ABC)
kaç br2 dir?
B) 4
C
C) 6
6.
D) 8
E) 10
y
E(0,4)
D
C
x
x
O
C) 17
D) 19
E) 21
A(–4, –5)
B(5, –5)
Şekildeki koordinat sisteminde ABCD paralelkenardır. A(−4, −5), B(5, −5), E (0, −4) olduğuna göre,
A(ABCD) kaç br2 dir?
A) 90
3.
B) 17
C) 16
D) 15
D) 66
E) 54
E) 14
7.
Analitik düzlemde K(−a, a − 5) noktası x ekseni
üzerinde L(b − 3, 3b + 3), y ekseni üzerinde olduğuna göre, K ve L noktaları arasındaki uzaklık
kaç birimdir?
A) 5
B) 13
C) 15
D) 17
E) 26
d1 : 2x + ay + 5 = 0
d2 : bx + 9y − 15 = 0
d1 ve d2 doğrularının en az iki tane ortak noktası
varsa,
A)
108
C) 72
A(−
−2, 4) ve B(3, 3) noktalarından geçen doğrunun Ox eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
A) 18
4.
B) 81
1
2
8.
a
kaçtır?
b
B) 1
C)
3
2
D) 6
E)
9
2
Analitik düzlemde A(−8, 6) noktası ile orijinİ
birleştiren doğrunun eğimi kaçtır?
A) −
3
4
B) −
3
5
C)
3
4
D)
3
2
E)
5
2
x−7 y+5
=
2
3
doğrusunun parametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
9.
A) x = 2t + 7
y = 3t − 5
B) x = 3t − 8
y = 2t + 2
D) x = 3t − 4
y=t+2
E) x = t − 2
y = 3t + 1
13.
A) 4x + 5y − 12 = 0
C) 4x + 5y + 20 = 0
E) 5x + 4y + 14 = 0
C) x = t + 2
y = 2t + 3
14.
10.
Şekilde A, B ve C
doğrusal üç nokta
A(0, 4), B(2, 0) ve
AB=BC dir.
Buna göre, OC

kaç br dir?
y
A(0, 4)
B(2,0)
x eksenini (5, 0), y eksenini (0, 4) noktalarından
kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 4x + 5y − 20 = 0
D) 4x + 5y − 16 = 0
Aşağıdakilerden hangisi 3x − 5y + 6 = 0
ve −6x + 10y − 16 = 0 olan iki doğrudan eşit
uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yerini
gösterir?
A) y = −x
C) 9x − 16y + 6 = 0
E) 5x − 3y + 1 = 0
B) 3x − 5y + 7 = 0
D) 3x − 5y + 5 = 0
x
O
C
A) 4 2
B) 6
D) 2 11
E) 2 13
15.
C) 2 10
A(−2, m), B(0, 2) ve C(3, 0) noktaları doğrudaş
olduğuna göre, m aşağıdakilerden hangisidir?
A)
11.
2
3
B)
5
3
C) 3
D)
10
3
E) 5
A(−2, 3), B(1, −3) noktalarından geçen doğrunun
eğimi ile K(1, 4), L(−2, a) noktalarından geçen doğrunun eğimi eşit olduğuna göre, a kaçtır?
A) −10
B) −6
C) 6
D) 8
E) 10
16.
x + y
 ≤ 4 ifadesinin analitik düzlemdeki gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
y
B)
y
12.
4
4
y
y = –x
4
–4
y=x
O
O
4
x
–4
–4
x
C)
O
–4
y
D)
y
4
Şekildeki analitik düzlemde taralı bölgeyi ifade
eden eşitsizlik aşağıdakilerden hangisidir?
A) y ≤ x
y ≤ −x
x<0
B) y ≥ x
y ≤ −x
y<0
C) y ≥ x
y > −x
x>0
D) y ≤ x
y < −x
x>0
x
4
–4
4
O
4
x
O
x
–4
y
E)
4
–4
–4
O
x
E) y ≤ x
y < −x
x>0
1.D
2.E
3.A
4.A
5.E
6.B
7.B
8.A
9.A
10.A
11.E
12.D
13.B
14.B
15.D
16.B
109
Konu Testi-19
1.
(
3
Karma
)
5.
a3 , a ⋅ b noktası II. bölgede olduğuna göre,
a

B  , − a − b  noktası hangi bölgededir?
b

2.
A) Orijinde
B) I
D) III
E) IV
3.
A) 3x − 2y + 8 = 0
C) 2x + 3y + 5 = 0
E) 2x + 3y + 2 = 0
C) II
3mx + 2my + 5 = 0 doğrusunun K(−1, 2) noktasında
geçmesi için m kaç olmalıdır?
A) −2
B) −3
C) −4
D) −5
Oy eksenini (0, 4) noktasından kesen ve
3x − 2y − 7 = 0 doğrusuna paralel olan doğrunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
6.
x − 2 1− y
3 − x y +1
=
, d2 :
=
4
3
k
2
doğrularının paralel olması içik k kaç olmalıdır?
kx + 2y + 5 = 0 ve 4x − 3y − 3 = 0 doğruları paralel
olduğuna göre, k kaçtır?
A) −
E) −6
B) 3x − 2y − 6 = 0
D) 3x − 2y − 10 = 0
8
3
B) −
7
3
C) −2
D) −
5
3
E) −
4
3
d1 :
A) 3
B)
8
3
C)
7
3
D) 2
E)
7.
B(2,2)
5
3
C
O
A) 2
4.
Şekildeki dik koordinat
sisteminde B(2, 2),
[BC] ⊥ [BA] olduğuna
göre,
A(OABC) kaç br2 dir?
y
A
B) 4
x
C) 6
D) 8
E) 10
y
C
D
A(–3, 0)
B(12, 0)
O
x
Şekildeki koordinat düzleminde A(−3, 0), B(12, 0),
[AC] ⊥ [CB], 2CD=DB dir.
Buna göre, D noktasının koordinatları çarpımı
kaçtır?
8.
(1, a) noktasının 3x − 4y + 9 = 0 doğrusuna uzaklığı
4 birim olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerden biri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 7
A) 14
110
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
Düzlem Dönüşümleri (Yansıma-Simetri)
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Konu Özeti
Dik koordinat düzleminde K(x, y) noktasının;
I.
x−eksenine göre yansıması K′(x, −y)
II.
y−eksenine göre yansıması K′(−x, y)
III. Orijine göre yansıması K′(−x, −y)
IV. x = a doğrusuna göre yansıması K′(2a−x, y)
V.
y = b doğrusuna göre yansıması K′(x, 2b−y)
VI. M(a, b) noktasına göre yansıması K′(2a−x, 2b−y)
VII. d : ax + by + c = 0 doğrusuna göre yansıması aşağıdaki yöntemle bulunabilir.
d : ax + by + c = 0
x1+x2
2
,
y1+y2
2
K′(x2, y2)
MKK′ = −
Çözüm
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
K(x1, y1)
H
A(2, 6) noktasının,
I. x−eksenine göre
II. y−eksenine göre
III. Orijine göre
IV. x = 1 doğrusuna göre
V. y = 3 doğrusuna göre
VI. B(−4, 7) noktasına göre yansımasını (simetriğini)
bulunuz.
x eksenine göre A′(2, −6)
y eksenine göre A′(−2, 6)
Orijine göre A′(−2, −6)
x = 1 doğrusuna göre, A′(0, 6)
y = 3 doğrusuna göre, A′(2, 0)
B(−4, 7) noktaya göre A′(−10, 8)
NOT :
Bu bölüm, analitik geometri konusundaki simetri bölümünde daha detaylı bir şekilde incelenmiştir. Tekrar için
o bölüme bakabilirsiniz.
1
ve K(x1, y1) biliyoruz.
Md
Bir noktası ve eğimi bilinen doğru denklemi yazılır.
Bu denklem, ax + bx + c = 0 denklemi ile ortak çözülür ve
K + K′
H noktası bulunur.
= H denkleminden de K′ noktası
2
bulunur.
1.
A(2, 4) noktasının B(1, −2) noktasına göre yansıması olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (0, −8)
B) (1, 8)
D) (0, 4)
E) (3, −8)
4.
C) (−2, −8)
5.
2.
A(3, 4) noktasının y eksenine göre simetriği B’dir.
B nin orijine göre simetriği C ise, C nin koordinatları toplamı kaçtır?
A) −7
B) −1
C) 1
D) 3
E) 7
6.
3.
Köşeleri A(2, 5), B(−1, 3) ve C(1, 6) olan ABC
üçgeninin y = x doğrusuna göre simetriğinin köşelerinin koordinatlarından biri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (3, −1)
D) (−5, −2)
B) (−2, 5)
E) (−1, 6)
A(−2, 1) noktasının x = 1 doğrusuna göre simetriği
B, y = −1 doğrusuna göre simetriği C ise
BC
 kaç br dir?
A) 6
B) 6 10
D) 4 3
E) 2 13
C) 3 5
A(1, 3) noktasının x + y − 2 = 0 doğrusuna göre
simetriği olan nokta aşağıdakilerden hangisidir?
A) (−1, 3)
B) (−1, 1)
D) (2, 1)
E) (−3, 1)
C) (−1, 0)
2x + y + 1 = 0 doğrusunun A(−1, 2) noktasına
göre simetriği olan doğru aşağıdakilerden hangisidir?
A) y + 2x + 2 = 0
C) y − 2x + 3 = 0
E) y + 2x + 3 = 0
B) y − 2x − 4 = 0
D) y + 2x − 1 = 0
C) (−6, −1)
1.A
2.B
3.A
4.E
5.B
6.D
125
Hemoteti
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Konu Özeti
Bir noktayı merkeze alıp, oranlı şekilde şeklin büyütülüp
küçültülmesine şeklin homotetiği denir. Homotetiğe
merkezil benzerlik de denir. Homoteti dönüşümünde
uzunluklar değişebilirken, açılar daima aynı kalır.
Düzlemde sabit bir M noktası ile herhangi bir P noktasının arasındaki uzaklığı belli bir oranda artırarak ya da
azaltarak MP doğrusu üzerinde yeni bir P′ noktası elde
etme işlemi homoteti dönüşümüdür.
Dik koordinat düzleminde P(2, 4) noktasının M(−2, 3)
merkezli ve k = 3 orantılı homotetiği bulunuz.
Çözüm
P′ = M + k . (P − M)
P′ = (−2, 3) + 3 . (2 + 2, 4 − 3)
P′ = (−2, 3) + (12, 3)
P′ = (10 , 6) bulunur.
P′
⇒ P′ = M + k ⋅ (P − M)
⇒k =
P
P′ − M
P −M
Düzlemde A(x, y) noktasının M(−3, 4) merkezli ve k = 4
orantılı homotetiği A′(21, −16) olduğuna göre A(x, y)
bulunuz.
M
Çözüm
P′ − M
k=
ifadesindeki k oranı için;
P −M
i)
k =1 iken şeklin kendisi
ii)
k > 1 iken şeklin büyütülmüşü
iii) 0 < k < 1 iken şeklin küçültülmüşü elde edilir.
1.
Dik koordinat düzleminde P(4, 6) noktasının M(2, 3)
merkezli ve k = 2 orantılı homotetiği aşağıdakilerden hangisidir?
A) (2, 9)
B) (6, 8)
D) (5, 9)
E) (6, 7)
A′ = M + k (A − M)
(21, −16) = (−3, 4) + 4 . (x + 3, y − 4)
(21, −16) = (−3, 4) + (4x + 12, 4y − 16)
(21, −16) = (4x + 9, 4y − 12) buradan
4x + 9 = 21 ⇒ x = 3
4y − 12 = −16 ⇒ y = −1 dir.
Buradan, A(3, −1) bulunur.
y
4.
A(0,8)
C) (6, 9)
O
A) 25
2.
B) 9
C) 10
D) 12
x
B) 20
C) 18
D) 15
E) 10
E) 15
5.
P(2, 5) noktasının M(1, 3) noktası merkezli homotetiğinin P′(4, 9) olması için k oranı kaç olmalıdır?
A) 2
126
B(6, 0)
A(−1, 3), B(2, −1) olmak üzere [AB] doğru parçasının 3 oranlı homotetiği [A′B′] doğru parçasıdır.
Buna göre, A′B′ kaç br dir?
A) 8
3.
Şekildeki dik koordinat
sisteminde
A (0,8),
B (6, 0) dır.
Buna göre, [AB] doğru
parçasının O(0, 0) mer5
kezli ve k = oranlı
2
homotetiği [A′B′] doğru
parçasının uzunluğu
kaç br dir?
B) 3
C) 4
D) 5
A(−1, −3), B(2, 4), C(2, 5)
noktalarını köşe kabul eden ABC üçgeninin
M(−3, 2) merkezli ve k = 3 oranlı homotetiği olan
A′B′C′ üçgeninin ağırlık merkezi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (6, 2)
D) (9, 2)
B) (9, 0)
C) (1, 2)
E) (9, −1)
E) 6
1.
1.C
2.E
3.B
4.A
5.D
Pick Teoremi
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Konu Özeti
y
y
Şekildeki kapalı
bölgenin alanını
bulunuz.
x
x
Yukarıdaki şeklin alanı bulunurken;
I : Kapalı bölgedeki nokta sayısı
B : Çokgenin sınırlarındaki nokta sayısı hesaplanır.
1
Bu durumda alan; S = I + B − 1 dir.
2
Yukarıdaki şekle göre I = 15, B = 6
S = 15 +
1
⋅ 6 − 1 = 15 + 3 − 1 = 17 br 2
2
Aşağıda verilen kapalı bölgelerin alanlarını bulunuz.
Çözüm
I : Kapalı bölgedeki nokta sayısı = 6
B = Çokgenin sınırlarındaki nokta sayısı = 10
O halde alan ;
1
S = I + B −1
2
1
= 6 + ⋅ 10 − 1 = 6 + 5 − 1 = 10 br 2 bulunur ⋅
2
3.
y
1.
x
2.
4.
1)10,5
1.
2) 15,5
3) 11,5
4) 19
127
Fraktallar
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Konu Özeti
Fraktalar
Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri
ile elde edilen örüntülere fraktal denir.
Fraktalın oluşturulabilmesi için fraktalın başlangıç şeklinin
ve motif oluşturma kuralının verilmesi gerekir.
Aşağıdaki fraktal örneklerini incelmeyelim:
Đlk şekil
1. adım
2. adım
Yukarıdaki şekilde ilk iki adımı verilen fraktalın 5. adımda
kaç tane kare vardır?
Çözüm
İlk şekil : 1 tane kare
I. adım : 5 tane kare
II: adım: 17 tane kare
Görüldüğü gibi, ilk üç adımda belirli bir kural vardır.
Kuralımız, her adımda bir önceki adımın 3 katının 2
fazlası kare oluşmaktadır. O halde,
IV. adım : 3 . 17 + 2 = 53 kare
V. adım : 3 . 53 + 2 = 161 kare bulunur.
1.
2.
Đlk şekil
Başlangıç
1. adım
1. adım
2. adım
3. adım
2. adım
Yukarıdaki şekilde ilk 3 adımı verilen fraktalın 4.
adımı aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
C)
3. adım
D)
128
E)
Yukarıdaki şekilde ilk üç adımı verilen fraktalın
5. adımda kaç tane doğru parçası vardır?
A) 256
B) 512
D) 960
E) 1024
C) 800
1.
1.E
2.E
Kaplamalar
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Bir düzlemsel bölgenin bir figür kullanılarak boşluk kalmayacak ve figürler çakışmayacak şekilde dönüşümler
(yansıma, dönme, ötelemeli ve ötelemeli yansıma) yardımıyla örtülmesine düzgün kaplama denir.
Bir düzlemsel bölgenin birden fazla figür kullanılarak
boşluk kalmayacak ve figürler çakışmayacak şekilde
dönüşümler (yansıma, dönme, öteleme ve ötelemeli
yansıma) yardımıyla örtülmesine yarı düzgün kaplama
denir.
Altın üçgen :
36°
Düzgün kaplama
Q
Q
1
72°
72°
36°
108°
1
36°
1
Q
Tepe açısı 36° ya da 108° olan ikizkenar üçgenlere altın
üçgen denir.
Altın üçgenlerde kaplama :
Yarı düzgün kaplama
36°
Altın Üçgen ile Kaplama
Altın Oran : Doğada sayısız canlı ve cansız varlıkların
şekillerinde veya yapısında bulunan özel bir değerdir.
Yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış, uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve
sayısal bir oran bağıntısıdır.
Doğada en belirgin örnekleri; ideal bir insan vücudunda,
deniz kabuğunda, ağaç dallarında, ayçiçeği, sarmal
galaksi vs. birçok yerde rastlanır.
Q=
1+ 5
oranı altın orandır.
2
(Yaklaşık olarak 1,618’e eşittir)
108°
72°
72°
36°
36°
Farklı ya da aynı altın üçgenler kullanılarak dönüşümler
yardımıyla düzlemde kaplamalar yapılabilir.
Yukarıda, yarı düzgün kaplama, tepe açısı 36° ve 108°
olan altın üçgenlerin izometrik (öteleme, ötelemeli yansıma, yansıma veya dönme) dönüşümleriyle elde edilmiştir.
Yukarıdaki düzgün kaplama, tepe açısı 36° olan altın
üçgenin izometrik dönüşümleriyle elde edilmiştir.
129
Süslemeler
DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
Şerit süslemeleri
Bir motifin belirli bir doğrultu boyunca ötelenmesiyle
oluşan süslemelere şerit süslemeleri denir.
Şerit süslemeleri tarih boyunca birçok uygarlığın kültüründe yer almıştır.
Tarih boyunca insanlar ev, barınak, tapınak, abide gibi
farklı yapıtlarında, süslemelerde ve sanat eserlerinde
şerit süslemeleri kullanmışlardır.
Her bir şerit süslemesinin bir başlangıç motifi vardır.
Başlangıç motifin belirli bir doğrultuda ötelenmesiyle şerit
süslemesi oluşur.
Yukarıda verilen şekle öteleme, ötelemeli yansıma, dikey
yansıma, yatay yansıma ve yarı dönme dönüşümleri
uygulayarak başlangıç motifleri elde edelim.
Bu motiflerin ötelenmesiyle şerit süslemeleri oluşturalım.
Şerit süsleme
Başlangıç motifi
Yukarıdaki şerit süslemelerin başlangıç motifi yatay
yansıma dönüşümü ile elde edildiğine göre, başlangıç
şekli aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Bir şekle aşağıdaki dönüşümlerden biri uygulanarak
başlangıç motifi elde edilebilir.
1.
2.
3.
4.
5.
130
Öteleme
Ötelemeli yansıma
Yatay yansıma
Dikey yansıma
180° lik dönme (yarı dönme)
A)
B)
D)
E)
C)
Çözüm
Yatay yansıma dönüşümü ile elde edildiğine göre, motifimizin başlangıç şekli,
biçimindedir.
Cevap : D
Download

02Analitik Geometri-Arslan