www.matematikolimpiyathazirlik.wordpress.com (Cenk ÇAÇAN)
Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları
1.)
1 1 1
1
, , , … … . , 2010
1 2 3
sayıları tahtaya yazılıyor. Burak x ve y gibi iki sayı seçip bunları siliyor ve
x+y+xy sayısını yazıyor. Burak bu işleme tahtada tek sayı kalana kadar devam ediyor. Buna
göre tahtada kalan son sayı kaç olur?
,
Bu şekilde devam ettirdiğimizde sonuç 2010 olarak karşımıza çıkar.
2.) İki asal sayının farkı veya iki asal sayının toplamı şeklinde yazılabilen tüm asal sayları bulunuz.
Asal sayılardan biri çift olmazsa iki tek asal sayının toplamı veya farkı çift olacağından istenen
şart sağlanmamış olur. 2 ise iki asal sayının toplamı şeklinde yazılmaz.O halde
p-2,p,p+2 sayıları mod 3 te incelendiğinde p-2=3 olmalı p=5 sağlayan tek değerdir.
3.)
 2 −  − 580 = 0 denkleminin iki tam sayı kökü olmasını sağlayan tüm p asal sayılarını
bulunuz.
Denklemin kökleri a ve b olsun vieta’dan a+b=p ve a.b=-580p =-4.5.29.p olur. pIa veya pIb
olur. Aynı zamanda pIa+b olduğundan p asal sayısı hem a yı hem de b yi böler.Dolayısıyla p
asal sayısı 2,5 veya 29 olabilir. Bu sayılar denendiğinde p=29 olması gerektiği görülür.
4.) 4 + 52 + 9 ifadesinin 5 ile tam bölünmesini sağlayan 2013 ten küçük kaç tane n pozitif
tam sayısı vardır?
ise 4 + 52 + 9 ifadesi 5 in katı olur. Dolayısıyla 2013 ten
küçük 5 in katı olan sayılar hariç tüm pozitif tam sayılar istenen şartı sağlar.
2012-402=1610 cevabımız olur.
www.matematikolimpiyathazirlik.wordpress.com (Cenk ÇAÇAN)
5.) 0,1,2,3,4,5,6,7 rakamlarından oluşan,rakamları tekrarsız 3 ün katı olan üç basamaklı kaç sayı
vardır?
0 kalanını veren sayılar {0,3,6}
1 kalanını veren sayılar {1,4,7}
2 kalanını veren sayılar {2,5 }
Aynı kalanı veren sayılardan oluşuyorsa 6+4= 10 tane
Farklı kalanlardan oluşuyorsa ve 0 kullanılmayacaksa 3.2.2.6=72 tane
Farklı kalanlardan oluşuyorsa ve 0 kullanılıyorsa 3.2.1.4=24 tane olur.
Toplamda 106 sayı yazılabilir.
6.) 2007 özdeş bilye N kutuya eşit sayıda dağıtıldığında 5 bilye artıyor. N sayısı 200 ile 300
arasında olduğuna göre N kaçtır?
2007-5 = 2002 = 2 x 7 x 11 x 13 olur. Soruda verilen aralığa uygun tek sayı
2 x 11 x 13 = 286 dır.
7.) Herhangi bir rakamı silindiğinde kalan 7 basamaklı sayının 7 ile bölünmesini sağlayan kaç
tane 8 basamaklı doğal sayı vardır?
Sayımız
olsun Örneğin d ve e rakamları silindiğinde elde edilen sayılar için
ve
olur. Buradan
olur.
elde edilir.
olduğundan a,b,c,..,h sayıları 0 veya 7
olabilir.
a= 0 olamayacağından diğer rakamlarlar için 2 şer seçenek olduğundan toplam 64 sayı
yazılabilir.
8.)
5 − 5 − 4 < 0,01 eşitsizliğini sağlayan en küçük n pozitif tam sayısı kaçtır?
olduğundan soru
eşitsizliğini sağlayan en küçük n pozitif tam sayısını bulmaya dönüşür.
eşitliğini sağlayan yaklaşık değer 8000 olur.
. ve
. Olur
Cevabımız 8001 olur
www.matematikolimpiyathazirlik.wordpress.com (Cenk ÇAÇAN)
9.)
ifadesinin değerini bulunuz.
özdeşliğini kullanırsak
sonucuna ulaşılır.
10.) Konveks ABCD dörtgeninde ,
,
nin uzantıları
noktasında kesişiyorlar.
ve
nin uzantıları
kesişiyorlar. Buna göre
değeri kaçtır?
ve
Bu yüzden
olsun. O zaman
. Sonuç olarak
, dir.
ve
noktasında
olur
elde edilir.
Açıortay teoreminden
elde edilir.
www.matematikolimpiyathazirlik.wordpress.com (Cenk ÇAÇAN)
11.)
, denklemlerini sağlayan
ve
p değerleri ile aşağıdaki denklemlerden hangisinin kökleri aynıdır?
İkinci denklemden
olduğu görülür.
ifadesi ilk denklemde yerine yazılırsa p değerlerinin 3 ve -2
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
12.) 1 on bir basamaklı sayı 99 ile tam bölünüyor. Buna göre  +  kaçtır?
ise
elde edilir.
olduğundan a+b=7 veya 16 olur.
Benzer şekilde
ise
olur.
olduğundan
veya
Fakat b-a=-9 için a+b=9 olur ki bu da yanlış olur. O halde a ve b nin arasındaki fark 2 olur.
Dolayısıyla a+b =16 olmak zorunda
13.) ABC eşkenar üçgeninde AB=30 dur. ABC üçgeni AB ve AC kenarlarından geçen bir t doğrusu
boyunca katlanıyor öyle ki A köşesi BC kenarı üzerindeki bir X noktasına düşüyor. BX=6 ve
şekildeki doğru parçasının uzunluğu  ise k kaçtır?
www.matematikolimpiyathazirlik.wordpress.com (Cenk ÇAÇAN)
ve
üçgenlerinde kosinüs teoremi uygulanırsa
ve
. Elde edilir.
üçgeninde kosinüs uygulanırsa k=343 bulunur.
14.)
İfadesinin değeri kaçtır?
, eşitlikleri kullanılırsa
ve
bulunur.
15.) 1 , 2 , … … , 30 pozitif tam sayılar olmak üzere 1 + 2 + … … + 30 = 2002 eşitliğini
sağlanıyor. 1 , 2 , … … , 30 saylarının en büyük ortak böleni d ise d nin en büyük değeri
kaçtır?
olduğundan
söyleyebiliriz.
edilmiş olur.
olduğunu söyleyebiliriz.
için
ve
elde edilir. Ayrıca
en büyük d değeri o0lduğunu
alınırsa istenen sayılar elde
Download

Singapur Matematik Olimpiyatı Soruları 1 Çözümler