MAT121 ANALZ I
Problemler 3
1. Verilen
f : [0, ∞) → R
Gösteriniz ki,
2. Verilen
20 Ekim 2014
f
fonksiyonu, her
x ∈ [0, ∞)
için
f (x) =
x−2
x+3
kuralyla verilsin.
fonksiyonu bire bir dir.
a, b , c , d ∈ R
için
ac 6= 0
oldu§unu kabul edelim ve
f (x) =
olsun. Gösteriniz ki,
f
ax + b
cx + d
bire birdir.
3. A³a§da tanmlar verilen fonksiyonlarn tanm bölgelerini bulunuz.
(a)
(b)
(c)
f (x) =
√
x2 − x − 2
x2
1 + sin x
x
h(x) =
sin x + cos x
g(x) =
4. Bu soruda herhangi bir üstel veye logaritmik fonksiyonun
ex
üstel fonksiyonu ile
ln x
logaritmik fonksiyonu cinsinden yazlabildi§inin gösterilmesi amaçlanmaktadr (logaritmik ve üstel fonksiyonlarn, ilgili lisede bildi§iniz genel özellikleri sa§ladklarn kabul
ediyoruz).
(a) Gösteriniz ki, her
x∈R
için
(b) Gösteriniz ki, her
x>0
için
5. Verilen her
x∈R
için,
ax = ex ln a e³itli§i sa§lanr.
ln x
e³itli§i sa§lanr.
loga x =
ln a
sinh(x) =
ex + e−x
ex − e−x
, cosh(x) =
2
2
layalm. Bu fonksiyonlara srasyla,
hiperbolik sinüs ve
fonksiyonlarn tanm-
hiperbolik kosinüs fonksiyonu
denir.
Gösteriniz ki, her
x∈R
için
cosh2 x − sinh2 x = 1
e³itli§ini sa§lar (bu fonksiyonlara bu isimleri vermemizin nedeni yukardaki denklemleri sa§lamalardr: Bir
x ∈ R
için
(sinh(x), cosh(x))
noktas
x2 − y 2 = 1
hiperbolü
üzerindedir).
6. Reel saylarda tanml
S
s(x) = sin x, P (x) = 2x
ve
S(x) = x2
kurallaryla verilen
fonksiyonlarn alalm.
s, P ve S sembollerini kullanmadan
(i)(s ◦ P )(y) (ii)(S ◦ s)(ξ) (iii) (S ◦ P ◦ s)(t) + (s ◦ P )(t)
(a) A³a§daki fonksiyonlar
ifade ediniz.
s, P
ve
(b) A³a§daki fonksiyonlar
s, P
ve
S sembollerini kullanarak ve +, ·, ◦ i³lemleri yardmyla
ifade ediniz.
t
sin y
(i)f (x) = 2sin x (ii) f (t) = 22 (iii) f (u) = sin (2u + 2u ) (iv) f (y) = sin(sin(sin(22
2
(v) f (a) = 2sin (a) + sin(a2 ) + 2
7.
TANIM:
Reel saylarn bir
I
x ∈ I
altkümesi verilsin. E§er her
için
−x ∈ I
ise,
I
kümesine simetrik küme denir.
TANIM:
I simetrik kümesi ve bir f : I → R fonksiyonu alalm. E§er her x ∈ I
için f (−x) = f (x) ise, bu durumda f fonksiyonuna çift fonksiyon denir. E§er her x ∈ I
için f (−x) = −f (x) ise, bu durumda f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
Bir
I
Bir
f , g fonksiyonlarnn çift veya tek olmalarna göre
f + g , f · g ve f ◦ g (bu durumda I , J simetrik kümeler
f : J → R oldu§unu kabul ediyoruz) fonksiyonlarn teklik
simetrik kümesi verilsin. Verilen
olabilecek dört farkl durum için
g:I →J
olmak üzere
ve
ve çiftlik açsndan inceleyiniz.
8. Herhangi bir
f :R→R
fonksiyonu verilsin.
(a) Gösteriniz ki, öyle bir
E
çift fonksiyonu ile,
O
tek fonksiyonu bulmak mümkündür;
öyle ki
f =E+O
olarak yazlr (
R'nin
(b)
f 'in
E 0 çift fonksiyO = O , E = E 0 olur.
bu ³ekilde yazlmnn biricik oldu§unu gösteriniz; yani, verilen
0
onu ile
O
a, b
ve
9. Verilen
simetrik oldu§unu kabul ediyoruz).
tek fonksiyonu için
c
saylar için
a 6= 0
0
f =E+O =E +O
olmak üzere,
0
ise,
f :A→B
0
fonksiyonu
f : x 7→ ax2 + bx + c
ile verilsin.
(a) Diyelim ki
B = R
olsun. Bu durumda
f 'in
bire-bir oldu§u en geni³
A
kümesini
bulun.
(b) Diyelim ki
(c)
f 'in
A = R olsun. Bu durumda f 'in örten oldu§u en geni³ B
hem bire-bir hem de örten olabilece§i en geni³
A
ve
B
kümesini bulun.
kümelerini bulun.
)))
Download

burada - WordPress.com