Kmitání jednorozměrných
lineárních kontinuí
Iva Petríková
Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti
Kmitání jednorozměrných lineárních kontinuí
• Kontinuum = homogenní fyzikální model poddajného tělesa se
spojitě rozloženou hmotou
• Jednorozměrné kontinuum – struna, prut, nosník, hřídel (délkový
rozměr převažuje nad příčným)
• Lineární model – aplikujeme při malých deformacích
• Homogenní a izotropní materiály - charakterizovány hustotou ρ
a dvěma materiálovými konstantami G a E příp. konstantami
viskózního tlumení (můžeme zanedbat)
11.6.2014
2
Kmitání nosníku
w = w ( x, t )
• Diferenciální rovnice průhybové čáry
• Dif. rce pro průhyb w závislý na čase t
m1
∂2w
∂t 2
w
IV
( x) =
q ( x)
EJ
∂ 4 w ( x, t ) q ( x )
=
4
∂x
EJ
∂ 2 w ( x, t )
⇒ q ( x, t ) = −m1
∂t 2
∂ 4 w ( x, t ) m1 ∂ 2 w ( x, t )
+
⋅
=0
4
2
∂x
EJ
∂t
Fourierova metoda řešení
• Řešení v separovaném stavu
w ( x, t ) = w1 ( x ) ⋅ w2 ( t )
w ( x, t ) = w1 ( x ) ⋅ ( A cos Ωt + B sin Ωt )
∂ 4 w ( x, t ) d 4 w1 ( x )
=
w2 ( t )
4
4
∂x
dx
∂ 2 w ( x, t )
2
=
−
Ω
w1 ( x ) w2 ( t )
2
∂t
∂t
 d 4 w1 ( x )

2 m1
w1 ( x )  w2 ( t ) = 0
−Ω

4
EJ
 dx

m1
= a4
výraz označíme Ω
EJ
2
Fourierova metoda řešení
 d 4 w1 ( x )

2 m1
−Ω
w1 ( x )  = 0

4
EJ
 dx

w1IV ( x ) − a 4 w1 ( x )= 0
a 4 = Ω2
m1
EJ
w = w ( x, t )
• Diferenciální rovnice 4. řádu
• Řešení:
λ 4 − a4 = 0
λ1,2,3,4 = a, −a, ja, − ja
w1 ( x ) je dán lineární kombinací všech řešení
w1 ( x ) = c1e ax + c2 e− ax + c3e jax + c4 e− jax
w1 ( x ) = c1 cosh ax + c2 sinh ax + c3 cos ax + c4 sin ax
Okrajové podmínky
w1 ( 0 ) = 0
c1 + c3 = 0
w1′′( 0 ) = 0

 c1 = c3 = 0
2
a ( c1 − c3 ) = 0 
w1 ( l ) = 0
c2 sinh al + c4 sin al = 0
w1′′( l ) = 0
( a ≠ 0)
a 2 ( c2 sinh al − c4 sin al ) = 0
• Výpočet vlastních frekvencí:
D=
sinh al sin al
sinh al sin al
D = −2sinh al sin al = 0
sin al = 0
al = 0, π , 2π ,3π ,..., kπ
kπ
ak =
l
1) Soustava rovnic má netriviální řešení ↔ determinant soustavy je roven 0
=0
1)
Vlastní frekvence
Ωk = a
2
k
Ω1 = π
2
EJ
EJ
2
= ( kπ )
m1
m1l 4
EJ
m1l 4
první vlastní frekvence
Poznámka: průhyb
sklon
ohybový moment
posouvající síla
w1
w11′
w1′′ ≈ M
w1′′′ ≈ T
M ( x)
w′′ ( x ) = −
EJ
Download

Kmitání jednorozměrných lineárních mitání jednorozměrných