PŘÍKLADY PRŮBĚHŮ VNITŘNÍCH SIL N,T,M NA NOSNÍCÍCH
1. Prostý nosník zatížený osamělými silami (břemeny)
Vykreslete průběhy vnitřních sil N, T a M.
a,1)
N = 0 v celém úseku
Ta1 = A = T1a
1, 2 )
M a1 = 0
M 1a = A ⋅ a1
N = 0 v celém úseku
T12 = A − F1 = T21
2, 3)
M 12 = M 1a
M 21 = A ⋅ a 2 − F1 ⋅12
N = 0 v celém úseku
T23 = A − F1 − F2 = T32
M 23 = M 21
Obr.1. Průběhy vnitřních sil T a M
M 32 = A ⋅ a3 − F1 ⋅13 − F2 ⋅ 23
b, 3) použit výpočet „zprava (postupuje se od pravé podpory doleva)
Tb3 = A = T3b
M b3 = 0
M 3b = M 32
Podle tabulky 6.4. (viz skripta) pro zatížení nulovým spojitým zatížením střednice:
průběh T je konstantní,
průběh M lineární (prvního stupně).
Poloha nebezpečného průřezu:
funkce posouvající síly T mění znaménko v bodu 2, v tomto místě bude maximální
ohybový moment M max = M 21 = M 23
N = 0 v celém úseku
V místech, kde působí osamělá síla má posouvající síla skok (nespojitost), který se rovná
velikosti působící síly. Ohybový moment má v těchto bodech zlom.
2. Prostý nosník zatížený jedním osamělým břemenem
Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je.
F
Reakce A = B =
2
Vnitřní síly:
a, c ) (úsek končí těsně před působištěm
síly F)
N (x ) = 0
F
F
T (x ) = A =
Tac = = Tca
2
2
M (x ) = A ⋅ x
M ac = 0 pro x = 0
Obr.2. Průběhy vnitřních sil T a M
M ca =
F l Fl
⋅ =
pro x = l / 2
2 2 4
c, b )
N (x ) = 0
T (x ) = A −
F
=F−
F
=−
F
2
2
2
⎛
⎞
l
M (x ) = A ⋅ x − F ⋅ ⎜ x − ⎟
⎜
⎟
2⎠
⎝
Tca =
F
−F =−
F
= Tbc
2
2
F l Fl
M cb = ⋅ =
2 2 4
⎛ l⎞
F
M bc = − F ⋅ ⎜ l − ⎟ = 0
⎜
⎟
2
⎝ 2⎠
pro x = l / 2
pro x = l
Podle tabulky 6.4. (viz skripta) pro zatížení nulovým spojitým zatížením střednice:
průběh T je konstantní,
průběh M je lineární (prvního stupně)
Poloha nebezpečného průřezu:
funkce posouvající síly T mění znaménko v bodu c, v tomto místě bude maximální
ohybový moment M max = M ca = M cb
3. Prostý nosník s rovnoměrným spojitým zatížením
Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je.
Reakce:
A = B = q⋅
l
2
Vnitřní síly:
a, b ) (úsek končí těsně před působištěm reakce B při
výpočtu „zleva“)
N (x ) = 0
T (x ) = A − q ⋅ x =
ql
−q⋅x
2
Tab =
ql
2
= −Tba
M ( x ) = A ⋅ x − qx ⋅
x
=
qlx
−
qx 2
2
2
2
M ab = 0 pro x = 0
Obr.3. Průběh vnitřních sil T
aM
M ba =
ql
2
Pro zatížení konstantním spojitým zatížením střednice:
průběh T je lineární (prvního stupně),
průběh M je kvadratický (druhého stupně)
=
qx
(l − x )
2
⋅ (l − l ) = 0 pro x = l
Poloha nebezpečného průřezu:
nulová posouvající síla
T (x0 ) =
ql
2
− q ⋅ x 0 = 0 ⇒ x0 =
l
je poloha nebezpečného
2
průřezu
maximální ohybový moment v nebezpečném průřezu
qx
q l ⎛ l⎞ 1
M max = 0 (l − x0 ) = ⋅ ⋅ ⎜ l − ⎟ = ql 2
⎜
⎟
2
2 2 ⎝ 2⎠ 8
4. Konzola s rovnoměrným spojitým zatížením
Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je.
Výpočet vnitřních na konzole je nejvhodnější provádět ze
strany volného konce. V tom případě není třeba počítat
reakce ve vetknutí konzoly.
a, b )
N (x ) = 0
T (x ) = −q ⋅ x =
Tab = 0
pro x = 0
Tba = −q ⋅ l
M ( x ) = − qx ⋅
Obr. 4. Průběh vnitřních
sil T a M
x
=−
2
M ab = 0
M ba = −
pro x = l
qx 2
2
ql 2
pro x = 0
pro x = l
2
Pro zatížení konstantním spojitým zatížením střednice:
průběh T je lineární (prvního stupně),
průběh M je kvadratický (druhého stupně)
5. Konzola zatížená osamělým břemenem na konci vyložení
Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je.
V tomto případě, budeme-li provádět výpočet od volného
konce, neboť v místě vetknutí a jsou 3 neznámé složky
reakcí, které bychom museli nejdříve vypočítat, kdybychom
postupovali „zleva“. Budeme tedy postupovat výpočtem
„zprava“, v souřadné soustavě s osou x orientovanou zprava
doleva.
b, a )
Obr.5. Průběh vnitřních
sil T a M
N (x ) = 0
T (x ) = F
po celé délce
M ( x ) = − Fx
M ba = 0
M ba = − F ⋅ l
pro x = 0
pro x = l
Podle tabulky 6.2.ve skriptech pro zatížení nulovým spojitým zatížením střednice:
průběh T je konstantní,
průběh M lineární (prvního stupně)
6. Prostý nosník s trojúhelníkovým spojitým zatížením
Vypočítejte průběhy vnitřních sil jako funkci délky střednice a vykreslete je.
Náhradní břemeno F =
1
f 0 ⋅ l , potom reakci A
2
vypočteme z momentové podmínky rovnováhy
k bodu b:
l
l
1
A ⋅ l − F ⋅ = A ⋅ l − f 0l ⋅ = 0
3
2
3
1
A = f 0l
6
Reakci B můžeme spočítat ze součtové
podmínky rovnováhy:
A+ B − F = 0
1
1
1
B = F − A = f 0l − f 0l = f 0l
2
6
3
Výpočet vnitřních sil:
Náhradní břemeno (obsah zatěžovacího
trojúhelníka o stranách x a f ( x ) )
Obr.6. Průběh posouvající síly a
ohybového momentu
F (x ) =
1
f (x ) ⋅ x =
1
2
2
f0
x
⋅x =
1
2
l
f0
x2
l
Posouvající síla
T (x ) = A − F (x ) =
1
f 0l −
6
Tab = T (0) =
1
f 0l = A
1
2
f0
x2
l
Tba = T (l ) =
pro x = 0
6
Ohybový moment
M (x ) = A ⋅ x − F (x ) ⋅
x
3
M ab = M ba = 0
=
1
6
f 0l ⋅ x −
1
f (x ) ⋅ x ⋅
2
x
3
=
1
6
1
6
f 0l −
f 0l ⋅ x −
1
2
1
2
f0
l2
=−
3
l
f0
x
⋅x⋅
l
1
x
3
=
f 0l = − B
1
6
f 0l ⋅ x −
Z podmínky nulové posouvající síly se určí poloha nebezpečného průřezu:
T (x ) =
1
6
f 0l −
1
2
f0
x02
l
=0
⇒
1 x02
=0
l− ⋅
6 2 l
1
⇒
x=
l2
3
=& 0,577 ⋅ l
pro x = l
1
6
f0
x3
l
Maximální ohybový moment v nebezpečném průřezu
M max = M (0,577l ) =
1
6
f 0 l ⋅ x0 −
1
6
7. Nosník s převislým
koncem 1
f0
x0 3
=
6
l
o
45
1
2
f 0 0,577l −
6
q1=4 kN/m´
1
Vypočtěte a vykreslete průběhy vnitřních sil
u přímého nosníku s převislým koncem (viz obr.7.).
Nalezněte místo a vypočtěte
velikost maximálního ohybového momentu Mmax.
1
2
a
Ay
Ax
1,5
f0
(0,557l )3
= 0,064 f 0l 2
l
F=8 kN
q2=5 kN/m´ M=2 kNm
o
60
2
3
b
B
3
1,5
[m]
N [kN]
-4,00
-5,66
Postup řešení:
-9,56
1) Šikmé spojité zatížení rozložíme na složky spojitého
zatížení ve směru střednice
(s indexem x) a ve směru
kolmém na střednici (s indexem y).
q1x = q1 ⋅ cos 45o =
-5,66
q1 y = q1 ⋅ sin 45 =
= 4,0 ⋅ 0,707 = 2,83 kN/m
5,526
-2,00
M [kNm]
8,68
2) Sestavením podmínek rovnováhy vypočteme reakce
nosníku v podporách a a b.
2,83 ⋅ 2 − Ax − 8 ⋅ cos 60° = 0
Ax = 1,66 kN
2,474
-12,37
-5,66
= 4,0 ⋅ 0,707 = 2,83 kN/m
o
2,63
T [kN]
12,63
Mmax=13,30
Obr.7. Průběhy vnitřních sil na nosníku s převislým
koncem pro dané zatížení
Ay ⋅ 6 − 2,83 ⋅ 2 ⋅ 7 − 8 ⋅ sin 60° ⋅ 4,5 − 5 ⋅ 3 ⋅ 1,5 + 2 = 0
Ay ⋅ 6 − 39,62 − 31,18 − 22,5 + 2 = 0
Ay = 15,22 kN
B ⋅ 6 − 2 − 5 ⋅ 3 ⋅ 4,5 − 8 ⋅ sin 60° ⋅ 1,5 + 2,83 ⋅ 2 ⋅ 1 = 0
B ⋅ 6 − 2 − 67,5 − 10,39 + 5,66 = 0
B = 12,37 kN
Kontrola (nepoužitou součtovou podmínkou rovnováhy ve směru y):
?
Ay + B − q1 y ⋅ 2 − F ⋅ sin 60 o − q2 ⋅ 3 = 0
Pozn.: otazník nad rovnítkem značí,
že se tážeme, zda řešení tuto podmínku rovnováhy, po dosazení vypočtených hodnot reakcí, splňuje.
?
15,22 + 12,37 − 2,83 ⋅ 2 − 8 ⋅ 0,866 − 5 ⋅ 3 = 0
0= 0
3) Výpočet vnitřních sil na mezích intervalů:
1, a
)
N 1a = 0
N a1 = −2,83 ⋅ 2 = −5,66 kN
T1a = 0
Ta1 = −2,83 ⋅ 2 = −5,66 kN
a, 2
)
M 1a = 0
M a1 = −2,83 ⋅ 2 ⋅1 = −5,66 kN
N a 2 = −5,66 + 1,66 = −4 kN = N 2a
Ta 2 = −5,66 + 15,22 = 9,56 kN = T2a
M a 2 = −5,66 kNm
M 2a = −2,83 ⋅ 2 ⋅ 2,5 + 15,22 ⋅1,5 = −14,15 + 22,83 = 8,68 kNm
N 23 = −4 + 8 ⋅ cos 60° = 0 kN = N 32
2, 3
T23 = 9,56 − 8 ⋅ sin 60° = 2,63 kN = T32
M 23 = 8,68 kNm
M 32 = −2,83 ⋅ 2 ⋅ 4 + 15,22 ⋅ 3 − 8 ⋅ sin 60° ⋅1,5 =
3, b
)
= −22,64 + 45,66 − 10,39 = 12,63 kNm
N 3b = N b 3 = 0
T3b = T32 = 2,63 kN
Tb3 = −12,37 kN
M b3 = −2 kNm
M 3b = −2 + 12,37 ⋅ 3 − 5 ⋅ 3 ⋅1,5 = −2 + 37,11 − 22,5 = 12,61 kNm
V úseku
3, b
)
mění posouvající síla znaménko, proto vyhledáme polohu
nebezpečného průřezu z podmínky nulové posouvající síly.
T (x0 ) = Tb3 + 5 ⋅ x0 = −12,37 + 5 ⋅ x0 = 0
x0 =
12,37
= 2,474 m
5
x0 = 8 − 2,474 = 5,526 m
Pro polohu nebezpečného průřezu určíme velikost maximálního ohybového momentu
(postupujeme v tomto případě z pravé strany, protože výpočet je jednodušší):
1
1
M max = − M + B ⋅ x0 − q2 x02 = −2 + 12,37 ⋅ 2,474 − 5 ⋅ 2,474 2 =
2
2
= −2 + 30,60 − 15,30 = 13,3 kNm
q=4 N/m´
Ax
8. Nosník s převislým
koncem 2
Vypočtěte a vykreslete průběhy vnitřních sil N,
T, M u nosníku zatíženého
dle obr.8. Nalezněte místo
s maximálním ohybovým momentem a jeho velikost vypočtěte.
Postup řešení:
1) Výpočet reakcí
z podmínek rovnováhy
Ax + 400 ⋅ cos 30° = 0
Ax = −346,41 N
1
a
Ay
20
N [N]
30o
b
2
F=400 N
30
10
c
B
20
346,41
T [N]
196,67
-3,33
-123,33
M [Ncm]
Ay ⋅ 60 − 400 ⋅ sin 30° ⋅ 40 −
− 4 ⋅ 30 ⋅15 − 2000 = 0
Ay ⋅ 60 − 8000 −
M=2000 Ncm
2000,00
Mmax=3933,40
− 1800 − 2000 = 0
Ay = 196,67 N
3900,00
Obr.8. Rozměry a zatížení nosníku, průběhy
vnitřních sil
B ⋅ 60 − 4 ⋅ 30 ⋅ 45 −
− 400 ⋅ 0,5 ⋅ 20 + 2000 = 0
B ⋅ 60 − 5400 −
− 4000 + 2000 = 0
B = 123,33 N
Kontrola nevyužitou součtovou podmínkou rovnováhy:
?
Ay + B − Fy − q ⋅ 30 = 0
?
196,67 + 123,33 − 400 ⋅ 0,5 − 4 ⋅ 30 = 0
0 =0
2) Výpočet vnitřních sil na mezích intervalů
N a1 = N1a = 346,41 N
a,1 )
[cm]
Ta1 = T1a = 196,67 N
M a1 = 0
M 1a = 196,67 ⋅ 20 = 3933,4 Ncm
N 12 = N 21 = 0
T12 = 196,67 − 400 ⋅ 0,5 = −3,33 N
1,2
T21 = −3,33 N
M 12 = M 1a = 196,67 ⋅ 20 = 3933,4 Ncm
2, b
)
M 21 = 196,67 ⋅ 30 − 400 ⋅ 0,5 ⋅10 = 3900 Ncm
N = 0 v celém intervalu
T2b = −3,33 N
Tb 2 = −3,33 − 4 ⋅ 30 = −123,33 N
M 2b = M 21 = 3900 Ncm
)
M b 2 = 196,67 ⋅ 60 − 400 ⋅ 0,5 ⋅ 40 − 4 ⋅ 30 ⋅15 = 11800,2 − 8000 − 1800 = 2000 Ncm
N = 0 v celém intervalu
výpočet T = 0 v celém intervalu
„zprava“ M = 2000 Ncm v celém intervalu
c, b
3) Posouvající síla mění znaménko v bodu 1. Ohybový moment v tomto bodu byl vyčíslen již
v intervalu a,1 ) . Potom
M max = M 1a = M 12 = 3933,4 Ncm
Download

to get the file