ÜÇ DEĞİŞKENLİ MODEL:
Gösterimi,Varsayımları
Karmaşık bir bilim olan iktisadı açıklamak için iki
değişkenli modeller yeterli değildir. Örneğin bir
mala karşı olan talep yalnız o malın fiyatına
değil, başka rakip ya da tamamlayıcı malların
fiyatlarına, tüketicinin gelirine, toplumsal
konumuna vb. bağlı olabilir. Bu nedenle iki
değişkenli regresyon modelini ikiden çok
değişkeni içeren modelleri kapsayacak şekilde
genişletmemiz gerekmektedir.
Olabilecek en basit çoklu regresyon
modeli, bir bağımlı, iki açıklayıcı değişkeni
olan üç değişkenli regresyondur.
Bu basit modelimizde çoklu doğrusal, yani
katsayılarda doğrusal olan regresyon
modellerini ele alacağız.
Bunlar değişkenlerde doğrusal olabilir ya
da olmayabilirler.
İki değişkenli anakütle fonksiyonunu
(ARF) genelleştirerek şöyle yazabiliriz;
Yİ  1   2 X 2 İ  3 X 3İ  ui
Bağımlı
Değişken
Sabit
Terim
Kısmi
Regresyon
Katsayıları
Olasılıklı
Bozucu
Terim
Bağımsız
Değişken
İ’ler ise İ’inci gözlemi ifade etmektedir.
Üç değişkenli modele ilişkin açıklamaları klasik
doğrusal regresyon modeli çerçevesinde sürdürüp,
aşağıdaki varsayımlardan hareket edeceğiz.
ui ‘nin ortalaması sıfırdır:
her bir i için;
E (ui X 2i , X 3i )  0
Ardışık bağımlılık yoktur:
orv (ui , u j )  0
(i  j )
Sabit varyans söz konusudur:
var( ui )  
2
ui ile her bir X değişkeni arasındaki ortak varyanslar
sıfırdır:
orv (ui , X 2i )  orv (ui , X 3i )  0
Model kurma hatası yapılmamıştır.
Model doğru kurulmuştur.
X değişkenleri arasında tam çoklu-doğrusallık yoktur.
X2 ile X3 arasında tam doğrusal ilişki yoktur.
Çoklu regresyon modeli katsayılarla doğrusaldır.
Açıklayıcı değişkenler yinelenen örneklemlerde sabittir.
Açıklayıcı değişkenlerde yeterli değişkenlik vardır.
Çoklu doğrusallık nedir?
Çoklu doğrusallık, açıklayıcı değişkenlerden
hiçbirinin öteki açıklayıcı değişkenlerin
doğrusal bir birleşimi olarak yazılamaması
demektir.
Diyelim ki; Y, X2, X3 sırasıyla tüketim harcamalarını,
geliri, tüketici servetini göstersin. İktisat kuramı, tüketim
harcamalarının gelir ile servete doğrusal bağlı olduğunu
varsayarken, gelir ile servetin tüketim üzerinde birbirinden
bağımsız etkilerinin varlığını kabul eder. Eğer böyle etkiler
yoksa, hem gelir hem servet değişkenini modele
koymanın bir anlamı yoktur. Şayet gelir ile servet
arasında tam doğrusal bir ilişki olduğunu varsayarsak
bizim iki değil bir bağımsız değişkenimiz var demektir. Bu
durumda gelir ile servetin tüketim üzerindeki ayrı ayrı
etkilerini bulmanın bir yolu yoktur.
Bunu basitçe görebilmek için; X  2 X olduğunu varsayalım.
3i
2i
O zaman regresyon fonksiyonumuzu şöyle yazabiliriz.
Yi  1   2 X 2 i   3 ( 2 X 2 i )  ui
Yi  1  (  2  2  3 ) X 2 i  ui
Yi  1  X 2 i  ui
   2  2 3
Yani aslında üç değişkenli değil, iki değişkenli bir regresyonla karşı
karşıyayız. Şayet regresyonu hesaplar da α’yı bulursak, X2 ile
X3’ün Y üzerindeki etkilerini ayrı ayrı gösteren β1 ve β2 katsayılarını
bulamayız. Çünkü α, X2 ile X3’ün Y üzerindeki bileşik etkisini verir.
Çoklu Regresyon Denkleminin Yorumu:
ARF’nin her iki yanında Y’nin koşullu beklenen değerini alırsak;
E (Yi X 2i , X 3i )  1   2 X 2i  3 X 3i
denklemini buluruz. Bu da bize; X2 ile X3 değişkenlerinin
verilmiş ya da sabit değerlerine bağlı olarak Y’nin koşullu ya da
ortalama değerini verir. İki değişkenli durumda olduğu gibi çoklu
regresyon çözümlemesi de, açıklayıcı değişkenlerin değerinin
sabit olması koşuluna bağlı regresyon çözümlemesidir.
Kısmi Regresyon Katsayılarının Anlamı
Kısmi regresyon katsayısını birçok farklı şekilde ifade edebiliriz:
β2, X3 sabit tutulurken, X2’deki bir birimlik değişmeye karşılık
Y’nin beklenen değeri olan E(Y/X2,X3)’teki değişmeyi ölçer.
X3 sabit tutulurken, E(Y/X2,X3)’nin X2’ye göre eğimini verir.
X2’deki bir birimlik değişmenin, Y üzerindeki, X3’ten ayrı “doğrudan”
ya da “net” etkisini gösterir.
Aynı açıklamaları X2’yi sabit tutarak da yapabiliriz.
Kısmi Regresyon Katsayılarının SEK ve EYO ile
Tahmini:
SEK Tahmin Edicileri:
SEK tahmin edicilerini bulmak için;
ÖRF’yi aşağıdaki gibi yazalım:
^
^
^
^
Yi  1   2 X 2i  3 X 3i  ui
Kalıntı Terimi
SEK yöntemi, anakütle katsayılarının bilinmeyen
değerlerini, kalıntı kareleri toplamını (KKT’yi)
olabildiğince küçük kılacak biçimde seçmektir.
Simgelerle gösterirsek;
min
^ 2
u
i
^
^
^
  (Yi  1   2 X 2i   3 X 3i )
2
Kalıntı kareler toplamını en aza indirgeyecek
tahmin edicilere ilişkin denklemleri şöyle
yazabiliriz;
_
^
^ _
^
_
Y  1   2 X 2   3 X 3
Y X
i
Y X
i
^
2i
^
 1  X 2i   2  X 2i   3  X 2i X 3i
^
3i
^
2
^
^
1  X 3i   2  X X 3i   3  X 3i
2i
2
Bu denklemlerden de hareketle sabit terim ve
kısmi regresyon katsayılarının SEK tahmin
edicilerini aşağıdaki gibi yazabiliriz.
^
^
^
_
^
_
1  Y   2 X 2   3 X 3
Örneklem ortalamasından sapmaları küçük harflerle gösterecek olursak;
^
2 
^
2 
( yi x2i )(  x3i )  ( yi x3i )(  x2 i x3i )
2
( x2i )(  x3i )  ( x2i x3i )
2
2
2
( yi x3i )(  x2 i )  ( yi x2i )(  x2i x3i )
2
( x2 i )(  x3i )  ( x2 i x3i )
2
2
2
Görüldüğü gibi üç değişkenli durum iki değişkenli durumun bir uzantısıdır.
SEK tahmin edicilerinin varyansları,
standart hataları:
İki değişkenli regresyon fonksiyonunda olduğu gibi üç
değişkenli regresyon fonksiyonunda da güven aralıklarını
kurmak önsav sınamalarını yapmak için standart hatalara
gerek vardır.
İlgili formülleri şöyle yazabiliriz:
_
1 X2
var( 1 )   
 n
^
2
_
_
x  X x  X
 x  x  ( x
2
3i
2
2
3
2i
2
2i
2
3i
_
X 3  x2i x3i  2
.
2
x )

2 i 3i
2
^
^
sh ( 1 )   var( 1 )
x
)(  x )  ( x
2
^
var(  2 ) 
3i
(  x2 i
2
2
3i
2i
x3i )

2
ya da bunun eşdeğeri olarak,

^
var(  2 ) 
x
2
2i
2
2
(1  r23 )
X2 ile X3
arasındaki
korelasyon
katsayısıdır.
2
^
sh (  2 )  
^
var(  2 )
 x2 i
^
var(  3 ) 
2
( x2 i )(  x3i )  ( x2 i x3i )
2
2
ya da bunun eşdeğeri olarak;

^
var(  3 ) 
^
 x3i (1  r23 )
sh (  3 )  
^
2
2
^
var(  3 )
 r23
^
orv (  2 ,  3 ) 
2
(1  r23 )
2
 x2 i
2
 x3i
2
2
2
2
Bütün bu formüllerde
, anakütle bozucu terimi u i ‘ nin
(sabit) varyansıdır.

2
tahmin edicisi, en kolay aşağıdaki denklem kullanılarak
hesaplanabilir.
u
^2
i
  yi   2  yi x2i  3  yi x3i
2
SEK Tahmin Edicilerinin Özellikleri
1. Üç değişkenli regresyon doğrusu,
_ _ _
Y, X2, X3
ortalamalarından geçer. Bu özellik genellikle
geçerlidir. Dolayısıyla;
Yi  1   2 X 2 i   3 X 3i  ........   k X ki  ui
biçimindeki, k (bir bağımlı, (k-1) bağımsız) değişkenli doğrusal
regresyon modelinde şunu buluruz;
^
_
_
_
_
1  Y   2 X 2   3 X 3  .....   k X k
2. Tahmin edilen Yİ’nin ortalaması, gerçek Yi’nin
ortalama değerine eşittir.
_
^
3.  ui
‘dır.
^
u  0
^
4. u i kalıntıları
X 2i veX 3i
^
^
 ui X 2i   ui X 3i  0 ‘
5.
^
ui
dır.
kalıntıları Yi ile de ilişkisizdir. Yani,
^ ^
u Y
i
ile ilişkisizdir. Yani,
i
 0 ‘ dır.
6. X 2 ile X 3 arasındaki korelasyon katsayısı r23 1’ e
yaklaşırken, 
ile
2
 x2i
2
ya da
 x3i
2
‘ nin verili değerleri
^
için,  2 ile ^3 ‘ ün varyansları da yükselir. Uç noktada
r23  1 iken bu varyanslar sonsuz olur.
7. r23 ile
 x2i
2
ya da
 x3i
2
değerleri veriyken SEK
tahmin edicilerinin varyanslarının 
olduğu, benzer biçimde, 
varyansı
 x2i
2
2
ile doğru orantılı
^
2
ile
r23 veriyken,  2 ‘ nin
ile ters orantılıdır, yani X 2 ‘nin örneklem
^
değerleri ne denli yakınsa  2 ‘ nin varyansı da o denli küçük
olur.
8. Klasik doğrusal regresyon modelinin varsayımları veriyken, kısmi
regresyon katsayılarına ilişkin SEK tahmin edicilerinin yalnızca
doğrusal ve sapmasız değil, aynı zamanda bütün doğrusal sapmasız
tahmin ediciler arasında en küçük varyanslı olduğu da kanıtlanabilir.
EYO Tahmin Edicileri:
Anakütle bozucu terimi ui’ler sıfır ortalama ve sabit
σ² varyans ile normal dağılırlarsa, iki değişkenli modelin
regresyon katsayılarının en yüksek olabilirlik (EYO) tahmin edicileriyle
SEK tahmin edicileri aynıdır. Bu eşitlik herhangi bir sayıda değişkeni
olan modellere de genişletilebilir. Ancak
σ²‘nin tahmin edicisi için aynı şeyi söylemek mümkün
değildir.
ÇOKLU BELİRLİLİK KATSAYISI “R²” İLE ÇOKLU
KORELASYON KATSAYILARI “R”
Çoklu belirlilik katsayısı (R²), üç değişkenli bir modelde
Y’deki bir değişimin X2 ve X3 ile topluca açıklanabilen
oranını verir.
Kavramsal olarak bu değer, iki değişkenli modelde
açıkladığımız r² ile yakından ilişkilidir.
R²’yi türetebilmek için r² türetme yolunu kullanabiliriz.
^
^
^
^
Yi  1   2 X 2 i   3 X 3i  ui
^
^
Yi  Yi  u
i
Y’nin tahmin edilen değeri
Ortalama değerlerden sapmaları göstermek için küçük harfleri
yazdığımızda,
^
^
^
yi   2 x2 i   3 x3i  ui
^
^
y i  yi  u i
Her iki yanın karesini alıp örneklem değerleri üzerinden topladığımızda,
^ 2
y
^
y
i
2
i
^ 2
y
^
y

i
2
i
^ 2
  ui
^ 2
  ui
^
^
 2  yi u i
^² ‘yi denklemde yerine koyarsak;
Daha önce bulduğumuz ∑u
i
y
2
i
^
^
  yi   yi   2  yi x2i   3  yi x3i
^2
^2
2
^
^
AKT   yi   2  yi x2i   3  yi x3i
R 
2
AKT
BKT
^
R 
2
^
 2  yi x2i   3  yi x3i
y
2
i
R² de r² gibi “0” ile “bir” arasındadır.Eğer ‘1’ ise
uydurulan regresyon doğrusu Y’deki değişimin
%100’ünü açıklar. ‘0’ ise, model Y’deki değişimi
hiç açıklayamaz. R² 1’e ne kadar yakınsa
modelin uyumu da o kadar iyidir.
Üç ya da daha çok değişkenden oluşan modelde
değişkenlerin arasındaki ilişkiyi ölçen katsayı ise
çoklu korelasyon katsayısı olarak adlandırılır ve
R ile gösterilir.
‘k’ değişkenli bir regresyon modelinde kısmi regresyon
katsayısının varyansı ile R² arasındaki ilişki ise şöyle
yazılabilir.

^
var(  j ) 
2
 xj
Xj’nin kısmi
regresyon
katsayısı
2
 1

1 R 2
j





Xj ile (k-2) açıklayıcı değişken
arasındaki regresyonun R²’dir.
R² ve Düzeltilmiş R²
R²’nin önemli bir özelliği, modelde bulunan açıklayıcı ya
da bağımsız değişkenlerin azalmayan bir fonksiyonu
olmasıdır. Eklenen bir X, R²’yi azaltmaz.
İki R² karşılaştırılırken, modeldeki X değişkenlerinin sayısı
hesaba katılmalıdır. Aşağıdaki gibi almaşık bir belirlilik
katsayısı tanımlanarak bu işlem kolayca yapılabilir.
_
R
2
u

 1
y
^ 2
i
/( n  k )
2
/( n  1)
i
Düzeltilmiş R²’dir. R²’ye giren
kareler toplamının sd’ye göre
düzeltilmiş olması demektir.
Modeldeki
Katsayıların
sayısı
R² formulünü hatırlayıp, düzeltilmiş R²
denkleminde yerine koyarsak;
R
2

AKT
BKT
R
2
 1
KKT
BKT
R
2
u

 1
y
2
i
2
i
_
R
2
 1  (1  R )
2
n 1
nk
eşitliğini elde ederiz. Bu eşitlikten hareketle de;
1. k>1 olduğunda, düzeltilmiş R²< R²’dir. Bu da, X
değişkenlerinin sayısı arttıkça, düzeltilmiş R²’nin
düzeltilmemiş R²’ye göre daha az arttığı anlamına gelir.
2. R²’nin hiçbir zaman eksi değerli olmamasına karşın
düzeltilmiş R² eksi değerli olabilir. Bir uygulamada
R²’nin değeri eksi çıkarsa sıfır alınır.
İki R2’nin Karşılaştırılması
İki modeli, ister düzeltilmiş, ister düzeltilmemiş, belirlilik
katsayıları temelinde karşılaştırırken örneklem büyüklüğü
“n” ile bağımlı değişkenin aynı olması gereği kesinlikle
gözardı edilmemelidir.
Tahmin edilen modeller arasında seçim yapılırken, R2’si
en yüksek olan, daha da önemlisi, modeldeki açıklayıcı
değişkenlerin sayısını da dikkate alması nedeniyle
düzeltilmiş R2’si en yüksek olan model seçilmelidir.
Ancak bu noktadan hareket bizi her zaman doğru
sonuca götürmeyebilir. Çünkü yüksek düzetilmiş R2 elde
etmek, bazı regresyon katsayılarının istatistik bakımdan
anlamsız ya da ters işaretli bulunması sonucunu
doğurabilir. Bu nedenle iki model arasında seçim
yapılırken açıklayıcı değişkenlerin bağımlı değişkenle
olan mantıksal ya da kuramsal ilişkileri ile onların
istatistiksel anlamlılıkları birlikte değerlendirilmelidir.
KISMİ KORELASYON KATSAYILARI
Basit ve Kısmi Korelasyon Katsayılarının
Açıklanması
İki değişkenli modelde r korelasyon katsayısını, yani iki
değişken arasındaki doğrusal ilişkinin ölçüsünü gösterir.
Üç değişkenli modelde üç korelasyon katsayısı
hesaplanabilir;
r12 : Y ile X2 arasındaki korelasyon katsayısı
r13 : Y ile X3 arasındaki korelasyon katsayısı
r23 : X2 ile X3 arasındaki korelasyon katsayısı
Bu korelasyon katsayılarına brüt ya da basit korelasyon
katsayıları veya sıfırıncı dereceden korelasyon katsayıları
denir.
Diyelim ki r12, üçüncü bir X3 değişkeni her ikisiyle de ilişkideyken, Y
ile X2 arasındaki doğrusal bir ilişkinin derecesini doğru ölçebilir mi?
Genellikle doğru ölçmez. Bu nedenle X3’ün gerek Y, gerek X2
üzerindeki etkilerinden bağımsız bir korelasyon katsayısına
gereksinimimiz vardır. Böyle bir korelasyon katsayısı vardır ve kısmi
korelasyon katsayısı olarak adlandırılır.
r12.3
: X3 sabit tutulurken Y ile X2 arasındaki kısmi
katsayısı
korelasyon
r13.2
: X2 sabit tutulurken Y ile X3 arasındaki kısmi korelasyon
katsayısı
r23.1
: Y sabit tutulurken X2 ile X3 arasındaki kısmi korelasyon
katsayısı
Kısmi korelasyon katsayılarını hesaplamanın bir
yolu;
ru1u2  r12.3
^
ru1u2 
_
^
^
 (u  u_ )(u  u _)
^
^
^
^
 ( (u  u ) (u  u )
^ ^
u u
^
^
u u
1i
1
2i
2
2
1i
ru1u2 
_
^
1
2i
2
2
1i 2 i
2
1i
2
2i
u1=u2=0 olduğu gerçeğinden yararlanılmıştır.
Buradan, X3 sabitken Y ile X2 arasındaki kısmi korelasyon,
Y’nin X3’e göre ve X2’nin X3’e göre regresyonlarından
bulunan kalıntılar arasındaki basit korelasyon
katsayısından başka bir şey değildir.
Kısmi korelasyon katsayılarını daha kolay bir biçimde;
r12.3 
r13.2 
r23.1 
r12  r13r23
2
2
(1  r13 )(1  r23 )
r13  r12 r23
2
2
(1  r12 )(1  r23 )
r23  r12 r13
2
2
(1  r12 )(1  r13 )
Kısmi korelasyon katsayısına, birinci dereceden korelasyon
katsayıları da denir.
ÇOK TERİMLİ REGRESYON MODELLERİ
İktisat ilminde bir malın üretiminin marjinal maliyetinin önce azalan
sonra artan bir özellik taşıdığı bir gerçektir.Bunu açıklayacak
ekonometri modelini;
Y   0  1 X   2 X
2
Bu denklemin olasılıklı biçimini ise şöyle yazabiliriz; Bunu da ikinci
dereceden çok terimli regresyon olarak adlandırırız.
Yi   0  1 X i   2 X i  ui
2
k’inci dereceden çok terimli regresyon ise aşağıdaki gibi yazılabilir.
Yi   0  1 X i   2 X i  .......   k X i  ui
2
k
ÇOKLU REGRESYON
ÇÖZÜMLEMESİ
ÇIKARSAMA SORUNU
Varsayımlar;
Bu bölümda amacımız anakütle parametrelerinin nokta
tahminini yapmanın yanısıra çıkarsama da olduğundan,
ui ‘nin belli bir olasılık dağılımına uyduğu varsayımını
yapmamız gerekmektedir. Bu noktadan haraketle;
ui ‘nin sıfır ortalamalı, sabit σ² varyanslı normal dağılıma
uyduğunu varsayacağız.
ÇOKLU REGRESYONDA ÖNSAV SINAMASI:
Tekil Kısmi Regresyon Katsayılarına İlişkin Önsav
Sınaması
Bilindiği gibi sıfır önsavı, Y’nin açıklayıcı değişken X ile
herhangi bir ilişkisi olup olmadığını bulmaktır.
Sıfır önsavı güven aralığı ile ya da t sınaması
yaklaşımıyla kolayca sınanabilir.
ui ~ N (0 , σ²) varsayımından hareketle, herhangi bir tekil
kısmi regresyon katsayısına ilişkin bir önsavı sınarken t
sınamasını kullanabiliriz.
Örneklem Regresyonunun Bütününün Anlamlılık Sınaması
Varyans Çözümlemesi Yaklaşımı: F Sınaması
Gerçek kısmi eğim katsayılarının aynı anda sıfır olduğu
biçimindeki ortak önsavı sınarken alışıldık t sınamasını
kullanamayız. Bu ortak önsav, varyans çözümlemesi
(VARÇÖZ) tekniği ile sınanabilir. Bu sınama şöyle
gösterilebilir:
^
BKT
=
^
AKT
+
^
KKT
Üç Değişkenli Regresyon İçin VARÇÖZ Çizelgesi
Değişimin
Kaynağı
Regresyondan
doğan (AKT)
Kalıntılardan
doğan (KKT)
Toplam
KT
 2  yi x2i  3  yi x3i
 ui

sd
OKT
2
 2  yi x2i   3  yi x3i
2
n-3
2
2
yi
2
n-1
u


2
i
n3
Aşağıdaki k değişkenli ,
Yi=β1+β2X2İ+β3X3İ+………+βkXki+ui
regresyon modeli veriyken,
H0: β2=β3=………………=βk=0
önsavını (yani bütün eğim katsayılarının aynı anda sıfır
olduğu önsavını)
H1: Bütün katsayıları aynı anda sıfır değildir
önsavına karşı sınamak için,
F
AKT / sd
KKT / sd

AKT /( k  1)
KKT /( n  k )
hesaplanır. Eğer F>Fα(k-1,n-k) ise, H0 reddedilir, aksi halde reddedilmez.
Burada Fα(k-1,n-k), α anlamlılık düzeyinde, payın sd’si k-1; paydanın
sd’si n-k iken eşik F değeridir. Yukarıdaki formülden elde
edilen F’in değeri yeteri kadar düşükse H0 reddedilir.
R² ile F Arasındaki İlişki;
Belirlilik katsayısı R² ile varyans çözümlemesinde kullanılan F
sınaması arasında yakın bir ilişki vardır.
k değişkenli bir durumda, ui bozucuların normal dağıldığını ve sıfır
önsavının,
H0 : β2=β3=…………= βk=0 olduğunu varsayarsak,
AKT/ (k-1)
F= ------------------KKT/ (n-k)
değeri, k-1 ve n-k sd ile F dağılımına uyar. Bu formulü biraz
genişleterek ve R² = AKT/BKT tanımından yararlanarak, F ile R²
ilişkisini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz;
n-k
AKT
F= -------- ----------k-1
KKT
n-k
AKT
= ------- ------------k-1 BKT-AKT
Bu denklem bize F ile R²’nin aynı yönde
değiştiğini göstermektedir.
R² sıfır iken F sırf bu nedenle sıfırdır.
n-k
AKT/BKT
= ------- ----------------k-1 1-(AKT/BKT)
R² büyüdükçe, F de büyür.
n-k
R²
= ------- ---------k-1
1- R²
Limitte R²=1 iken, F sonsuz olur.
R²/ (k-1)
= --------------(1- R²)/(n-k)
Dolayısıyla, tahmin edilmiş regresyonun
bütün olarak anlamlılığının bir ölçüsü
olan F sınaması, aynı zamanda R²’nin
anlamlığının da bir ölçüsüdür.
Üç değişkenli durumda denklemimizi
R²/2
F= ----------------(1- R²)/(n-3)
şeklinde ifade edebiliriz.
Açıklayıcı Bir Değişkenin “Ek” ya da “Marjinal”
Katkısı:
Regresyon modelimize X2 ile X3’ü ardarda kattığımızı düşünelim. Bu
değişkenlerin modele eklenmesinin AKT’yi (böylelikle de R²’yi ) KKT’ye
oranla “anlamlı” bir şekilde artırıp artırmadığı hususu bize açıklayıcı
bir değişkenin ek ya da marjinal katkısını verecektir.
Modelimize yeni bir değişken eklendiğinde karşımıza çıkan soruların
cevaplarını Varyans çözümlemesi tekniği ile bulabiliriz.
X2 ile X3 değişkenlerini ardarda kattığımızda karşımıza çıkan
sorular;
1. X2’nin “AKT”yi anlamlı bir biçimde artırıp artırmadığı,
2. X2 zaten modeldeyken ve Y ile anlamlı bir ilişkisi varken
X3’ü modele kattığımızda, X3’ün modele ek ya da marjinal katkısı
ne kadardır?
3. Bu ek katkı istatistik bakımdan anlamlı mıdır?
4. Bir modele değişkenler hangi ölçüte göre katılır?
Bir/birkaç değişkenin ek katkısını ölçmek için
VARÇÖZ çizelgesi
AKT(Yalnız X2’den
doğan)
AKT ( X3’ün
eklenmesinden doğan)
AKT ( hem X2’den, hem
X3’ten doğan)
KKT
Toplam
Q1=β12²∑x2²
1
Q1/1
Q2=Q3-Q1
1
Q2/1
2
Q3/2
Q4=Q5-Q3
n-3
Q4/n-3
Q5=∑y1²
n-1
^
^
Q3= β2∑yix2İ+ β3∑yix3İ
Modele yeni bir değişken ne zaman eklenmelidir?
Bir değişkenin modele eklenip eklenmemesi kararını vermede F
sınamasından yararlanılır.
Bir değişken, düzeltilmiş R²’yi ne kadar yükseltirse KKT’yi istatistik
anlamında önemli ölçüde azaltmasa da modelde kalır.
Düzeltilmiş R² ne zaman yükselir?
Yeni eklenen değişkenin katsayısının t değeri mutlak olarak
1’den büyükse düzeltilmiş R² yükselir.
Burada t değeri, söz konusu katsayının anakütledeki değerinin
sıfır olduğu önsavı altında hesaplanmıştır.
Bir değişken kümesinin modele eklenmesinde de aynı şeyleri
söyleyebiliriz.
İki Regresyon Katsayısının Eşitliğinin Sınanması
Varsayalım ki;
Yi  1   2 X 2i   3 X 3i   4 X 4i  ui
biçimindeki çoklu regresyon modelinde;
H 0 :  3   4 veya(  3   4 )  0
H 0 :  3   4 veya(  3   4 )  0
önsavlarını, yani iki eğim katsayısı β3 ile β4’ün sıfıra eşit
olduğunu söyleyen önsavları sınayacağız.
Böyle bir sıfır önsavını klasik varsayımlar altında
şöyle sınayabiliriz;
^
t
^
(3   4 )  (3   4 )
^
^
sh (  3   4 )
^
^
sh (  3   4 ) 
^
^
^
sıfır önsavıyla denklemi yerine koyarsak;
^
t
^
3   4
^
^
var(  3 )  var(  4 )  2orv (  3 ,  4 )
^
^
^
var(  3 )  var(  4 )  2orv (  3 ,  4 )
Sınama süreci şu adımlardan oluşur;
^
1. ^
β3 ile β
4 tahmin edilir.
2. Formulün paydasındaki standart hata hesaplanır.
3. t oranı bulunur.
4. Eğer hesaplanan t değeri, belirlenmiş anlamlılık
düzeyinde, belli sd ile eşik t değerinden büyükse, sıfır
önsavı reddedilebilir; aksi halde reddedilmez.
SINIRLI EN KÜÇÜK KARELER:
Doğrusal Eşitlik Sınırlamalarının Sınanması
İktisat kuramı, bir regresyon modelindeki katsayıların bazı doğrusal
eşitlik sınırlamalarını sağlamasını öngerebilir. Mesela Cobb-Douglas
üretim fonksiyonunu ele aldığımızda,
Yi  1 X 2 i
Çıktı
2
X 3i
3
Emek Girdisi
e
ui
Sermaye Girdisi
Logaritma kalıbında yazarsak;
ln Yi   0   2 ln X 2 i   3 ln X 3i  ui
 0  ln 1
‘dir.
Ölçeğe göre sabit getiri söz konu ise;
 2  3  1
geçerlidir ve doğrusal eşitlik sınırlamasına bir örnektir.
Doğrusal eşitlik sınırlamasının geçerli olup olmadığı nasıl anlaşılabilir?
t sınaması yaklaşımı:
β2 ile β3 tahmin edildikten sonra, sınırlamanın saptanması t
sınamasıyla yapılabilir:
^
^
(β  β )  (β  β )
3
2
3
t 2
^
^
sh(β  β )
2
3
^
t
^
^
(β2  β3 )  1
^
^ ^
var (β2 )  var (β3 )  2orv(β2 ,β3 )
Hesaplanan t değeri, seçilmiş anlamlılık düzeyindeki eşik t değerinden
büyükse, ölçeğe göre sabit getiri önsavını reddederiz. Aksi durumda ise
reddetmeyiz.
F Sınaması Yaklaşımı:
Sınırlı En Küçük Kareler
F sınamasında sınırlama denkleme işin başında konulur.
β2=1-β3
ya da
β3=1- β2
Bu iki eşitlikten birini kullanarak logaritmik fonksiyonda yazdığımız
Cobb-Douglas üretim fonksiyonundaki β katsayılarından birini
eleyebilir, kalan denklemi tahmin edebiliriz. β2=1-β3 ‘ü kullanarak
Cobb-Douglas üretim fonksiyonunu şöyle yazabiliriz:
lnYi=β0+(1-β3)lnX2i+β3lnX3i+ui
=β0+lnX2i+β3(lnX3i-lnX2i)+ui
ya da
(lnYi-lnX2i) = β0+ β3(lnX3i-lnX2i)+ui
ln(Yi/X2i) = β0+ β3(lnX3i/lnX2i)+ui
Sınırlamanın geçerli olduğunu nasıl bilebiliriz?
 u sm
u
2
s
2
 sınırlanmamış regresyonun KKT’si,
 sınırlanmış regresyonun KKT’si
m
= doğrusal sınırlama sayısı
k
= sınırlanmamış regresyondaki anakütle
katsayılarının sayısı
n
= gözlem sayısı
ise F sınamasını şöyle yazabiliriz;
F 
( KKTS  KKTSM ) / m
KKTSM /( n  k )
^
F 
^
(  u S   u SM ) / m
2
^
u
2
SM
2
/nk
Yukarıdaki formül R² terimiyle şöyle de yazılabilir;
2
F
2
(R SM  RS ) / m
2
(1 - R SM ) / n  k
GENEL F SINAMASI
F Sınaması, aşağıdaki k değişkenli regrosyon modelinde bir ya
da daha çok anakütle katsayısının sınanması için genel bir
yöntemdir.
Yi  1   2 X 2i  3 X 3i  .......   k X ki  ui
k değişkenli modelin anakütle katsayıları üzerine sınırlama koyan,
H 0 :  2  3
H 0 : 3   4  5  3
gibi önsavlar ya da bazı açıklayıcı değişkenlerin modelde olmadığını
söyleyen,
H 0  3   4  5  6  0
gibi önsavlar F sınamasıyla sınanabilir.
Doğrusal eşitlik sınırlamalarının sınanmasına ilişkin F
sınaması formülünden F hesaplanır ve;
Eğer hesaplanan F, F (m, n-k)’den büyükse sıfır önsavı
reddedilir, aksi halde kabul edilir.
F (m, n-k)

sınırlanmamış
modeldeki sd
sınırlanmış
modeldeki sd
anlamlılık
düzeyindeki
eşik F
değeridir.
Regresyon Fonksiyon Kalıbının Sınanması:
Doğrusal ile Log-Doğrusal Modelleri Arasında
Seçim
Doğrusal bir regresyon modeli ile log-doğrusal regresyon
modeli arasında seçim yapmak üzere MWD sınaması
denilen bir sınamayı kullanabiliriz. Bu sınamayı
açıklamak için şu varsayımları yapalım;
H0: Doğrusal Model: Y, açıklayıcı değişken X’lerin
doğrusal bir fonksiyonudur.
H1: Log-doğrusal Model: lnY, açıklayıcı değişkenler
X’lerin logaritmalarının doğrusal bir fonksiyonudur.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
MWD sınaması şu adımları içerir.
Doğrusal modeli tahmin edip, Y değerlerini kestirin;
bunlara Yf adını verin.
Log- doğrusal modeli tahmin edip lnY değerlerini
kestirin; bunlara da lnf adını verin.
Z1=(lnYf-Yf) değerlerini hesaplayın.
Y’nin X’lere ve 3. adımda bulduğumuz Z1’e göre
regresyonunu hesaplayın. Eğer Z1’in katsayısı bildik t
sınamasıyla istatistik bakımından anlamlı çıkıyorsa H0’ı
reddedin.
Z2=(ters lnf-Yf) değerlerini hesaplayın.
Y’nin logaritmasının, X’lerin ve Z2’nin logaritmalarına
göre regresyonunu bulun. Z2’nin katsayısı bildik t
sınamasıyla istatistik bakımından anlamlı çıkıyorsa H1’i
reddedin.
Hazırlayan:
Nazlı YILMAZ ÖZDEMİR
Download

Power point örnek uygulaması