ÖĞRENCİ ADI
MAK 205
SAYISAL ÇÖZÜMLEME
NO
İMZA
TARİH
28.11.2014
2014-2015GÜZ DÖNEMİ ARASINAVSORULARI
Aşağıdaki 5 sorudan sadece seçtiğiniz 4 adet soruyu çözünüz, Toplam SÜRE = 70 DAKİKA’dır
1. Lineer olmayan bir y = f(x) fonksiyonunun köklerini bulmak için kullanılan Newton-Raphson (Teğet)
yönteminin formülünü şekil (grafik) yardımıyla türetiniz.
2.
3.
+ + = −
− + = Yandaki lineer denklem sistemini Gauss-Eliminasyon
yöntemi ile çözünüz.
− + − = Yandaki lineer denklem sistemini Gauss-Seidel yöntemi ile 2
iterasyon için çözünüz ve yapılan hataları hesaplayınız.
()
= 0 alınız. Burada i = 1,2,3 ve
Başlangıç değerlerini k iterasyon numarasıdır.
− − = − + = − − + = 4. = () = − 10 + 16 = 0 denkleminin büyük kökünü yaklaşık olarak Basit iterasyon (Fonksiyonel
iterasyon ya da Ardışık yaklaşımlar) yöntemini kullanarak 5 adımlık ara işlem ile bulunuz ve hata yüzdesini
(bağıl hatayı) hesaplayınız. Not: Yakınsama şartını sağlayan uygun bir başlangıç koşulunu seçerek çözüme
başlayınız.
5. Orijinde köşesi olmayan serbest dörtyüzlünün (tetrahedron) hacim formülünü adım adım türetiniz.
z
3 (x3 ; y3 ;z3)
V1234=
4 (x4 ; y4 ; z4)
1 (x1 ; y1 ;
2 (x2 ; y2
y
x
CEVAPLAR
Soru 1.Lineer olmayan bir y = f(x) fonksiyonunun köklerini bulmak için kullanılan Newton-Raphson (Teğet)
yönteminin formülünü şekil (grafik) yardımıyla türetiniz.
Çözüm 1:
Soru 2:Yandaki lineer denklem sistemini Gauss-Eliminasyon yöntemi ile çözünüz.
Çözüm 2:Uygun satır işlemleri yapılırsa;
5 −1 1 2
5
−1 
 1 2 5 −1 1 2
12 −1 2 21 ⇒ 0 −25 −58 33 ⇒ 0 −25 −58
33 

 
 
 2 −6 −2 0  0 −10 −12 2  0 0 11.2 −11.2 
Geriye süpürme işlemi uygulanırsa x3 = -1, x2 = 1, x1 = 2 olarak bulunur.
hataları hesaplayınız. Başlangıç değerlerini = 0 alınız. Burada i = 1,2,3 ve k iterasyon numarasıdır.
Soru 3:. Yandaki lineer denklem sistemini Gauss-Seidel yöntemi ile 2 iterasyon için çözünüz ve yapılan
()
Çözüm 3:
1 
10 + 3x(2k ) − 2x3( k )  = 1 + 0.3x(2k ) − 0.2x3( k )
10 
1
= 10 + 4x1( k +1) + 2x3( k )  = 1 + 0.4x1( k +1) + 0.2x3( k )
10
1
= 10 + 2x1( k +1) + 4x(2k +1)  = 1 + 0.2x1( k +1) + 0.4x(2k +1)
10
x1( k +1) =
x(2k +1)
x3( k +1)
Başlangıç değerleri (k=0) ()
1. iterasyon:
= = = 0 şeklinde verilmiş.
()
()
x1(1) = 1 + 0.3x(20) − 0.2x3( 0 ) = 1 + 0.3 × 0 − 0.2 × 0 = 1
x(21) = 1 + 0.4x1(1) + 0.2x(30 ) = 1 + 0.4 × 1 + 0.2 × 0 = 1.4
x3(1) = 1 + 0.2x1(1) + 0.4x(21) = 1 + 0.2 × 1 + 0.4 × 1.4 = 1.76
2. iterasyon:
x1( 2) = 1 + 0.3x(21) − 0.2x3(1) = 1 + 0.3 × 1.4 − 0.2 × 1.76 = 1.068
x(22) = 1 + 0.4x1( 2 ) + 0.2x(31) = 1 + 0.4 × 1.068 + 0.2 × 1.76 = 1.7792
x(32) = 1 + 0.2x1( 2 ) + 0.4x(22) = 1 + 0.2 × 1.068 + 0.4 × 1.7792 = 1.9252
Son iterasyon için yapılan hatalar (H veya % H hesaplanmalı):
x1 için;
H = x1( ) − x1( ) = 1.068 − 1 = 0.068
2
1
x1( ) − x1( )
1.068 − 1
.100 =
.100 = %6.36
( 2)
1.068
x1
2
%H =
1
x2 için;
H = x (2 ) − x (2 ) = 1.7792 − 1.4 = 0.3792
2
1
1.7792 − 1.4
x(2 ) − x(2 )
%H =
.100 =
.100 = %21.31
( 2)
1.7792
x2
2
x3 için;
1
H = x(3 ) − x3( ) = 1.9252 − 1.76 = 0.1652
2
1
x3( ) − x(3 )
1.9252 − 1,76
.100 =
.100 = %8.58
( 2)
1.9252
x3
2
%H =
1
Soru 4: = () = − 10 + 16 = 0 denkleminin büyük kökünü yaklaşık olarak Basit iterasyon
(Fonksiyonel iterasyon ya da Ardışık yaklaşımlar) yöntemini kullanarak 5 adımlık ara işlem ile bulunuz ve
hata yüzdesini (bağıl hatayı) hesaplayınız . Not: Yakınsama şartını sağlayan uygun bir başlangıç koşulunu
seçerek çözüme başlayınız.
Çözüm 4:
= () = − 10 + 16 = ( − 2). ( − 8) = 0 denkleminin büyük kökü 8’dir.
Fonksiyonel (basit) iterasyon yönteminde f(x) = 0 denkleminden x = g(x) şeklinde bir denklem elde edilir ve her
adımda gerçek köke yakınsamanın olması için | g’(x ) | < 1 şartı sağlanmalıdır.
() = − 10 + 16 denkleminden = () = 0.1 + 1.6 şeklinde bir fonksiyon seçilirse
| g’(x) | =| 0.2x |< 1 şartının büyük kök (x=8) için sağlanamadığı görülür. Başka bir alternatif olarak;
= () = 10 − " seçilir ise | $ ()| = %" & % < 1 şartının > √16 = 4 için sağlandığı görülür ve büyük
kökün bulunmasında bu son seçilen g(x) fonksiyonu kullanılabilir.
!
!
x0= 5 gibi bir başlangıç değeri seçilirse (başlangıç değeri yakınsama olabilmesi için > 4 olmalıdır);
1. adım:
x1 = 10 −
16
16
= 10 − = 6.8
x0
5
2. adım:
x2 = 10 −
16
16
= 10 −
= 7.647
x1
6.8
3. adım:
x3 = 10 −
16
16
= 10 −
= 7.9076
x2
7.647
4. adım:
x4 = 10 −
16
16
= 10 −
= 7.9766
x3
7.9076
5. adım:
x5 = 10 −
16
16
= 10 −
= 7.9941
x4
7.9766
Yapılan bağıl hata ( hata yüzdesi % H ise):
%H =
x gercek − x yaklasik
x gercek
.100 =
8 − 7.9941
.100 = 0.07375%
8
Soru 5.Orijinde köşesi olmayan serbest dörtyüzlünün (tetrahedron) hacim formülünü adım adım
türetiniz.
z
3 (x3 ; y3;z3)
z)
V1234=?
4 (x4 ; y4; z4)
1 (x1 ; y1 ;
x
2 (x2 ; y2;
y
Çözüm 5:Alan bulma işlemlerine benzer olarak;
∆
Taban alanı; A123
x1
1
1
= [x1 (y 2 − y 3 ) − x 2 (y 1 − y 3 ) + x 3 (y1 − y 2 )] = x 2
2
2
x3
y1 1
y2 1
y3 1
x1
1
1
V1234 = A123 k z3= k z 3  x1 ( y 2 − y3 ) − x 2 ( y1 − y 3 ) + x 3 ( y1 − y 2 )  = k z 3 x 2
2
2
x3
∆
x1
1
1
V1234 =
z3 x 2
3
2
x3
 x1
y1 1

1 x2
y2 1 = 
6  x3
y3 1

x4
y1
y2
y3
y4
y1 1
y2 1
y3 1
z1 1
z 2 1
olur.
z 3 1

z 4 1
Örnek:Aşağıdaki serbest düzgün dörtyüzlünün (tetrahedron) hacim formülünü determinantla hacim
bulma yöntemi ile adım adım türetiniz.
Çözüm:
z
3 (0 ; y3;z3)
V1234=?
4 (x4 ; y4; z4)
2 (0 ; 2a; a)
(0; a ; a) 1
y
x
4’: 4 ün izdüşümüpozitif bölgede
+, = -, ∗ / ∗ 0olmak üzere; k düzeltme sayısı olup k=ve 1 = yükseklik
-,
= 9
,
,
1
19 olup
1
1 noktasının koordinatları: (
-, =
; √
; √
, 0, )
3 noktasının koordinatları: (0,0,
; √
)
; √
:
0
0
0
; √
0
1
1
1
:
2 noktasının koordinatları: (0,
; √ ; √
, )
4noktasının koordinatları: (0,0,
; √
)
olup / formüle eklenirse;
+,=! : ,
,
/
/
/
/,
1
1
: ve
1
1
; √
=
t olmak üzere;+, =
2. Sütuna göre Laplace açılımı yapılırsa;
>?=- = = ∗ (−1)
@
= =
90 2=
0 =
0 =
= =
0 2=
0 0 =
1
1
: dir.
1
1
1
= =
|-|
= = ∗ 90 0
19olur ve 3. Satırın -2 katı 2.satıra eklenirse
1
0 =
2.Satıra göre Laplace açılımı yapılırsa;
|-| = = ∗ (−1) ∗ (−1)@ %
=
0
:
! 0
; A √
= =
%olup det[A]=t * -1 * -1 *= = = = ,
0 =
1
−19olup
1
Download

Tümen