URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Rastgele Saçılım: Dik Etkime Durumunda Dalga ve Ortam Parametrelerinin
Rastgeleliği Üzerine Bir İnceleme
Salim Çopuroğlu*, Asım Egemen Yılmaz
Ankara Üniversitesi
Elektronik-Elektronik Mühendisliği Bölümü
Ankara
[email protected], Ası m. E ge me n. Yıl maz @en g. a nkar
a. ed u. tr ,
Özet: Bu çalışmada; düzlem sınıra dik etkiyen dalga probleminde; ortam parametreleri ve dalga frekansının belirli
bir dağılıma uyan rastgele değerler alması durumunda, öz empedans, faz sabiti, yansıma katsayısı gibi parametreler
ile iletilen ve yansıyan alanların genlik ve fazlarının nasıl etkilendiği incelenmiştir. MATLAB programı aracılığıyla,
düzlem dalgaların düzlem sınıra dik etkimesine ilişkin eşitlikler kullanılarak yapılan benzetimde; ortam
parametrelerinden bir ya da bir kaçı belirli bir dağılıma uyan rastgele değerler olarak alınmıştır. Daha sonra
Monte Carlo analizi yapılarak, diğer parametreler ile alan değerlerinin genlik ve fazlarına ilişkin hesaplamalar
kaydedilmiş ve bunların hangi dağılımlara uyum gösterdiğinin tespiti için uyum iyiliği testi yapılmıştır.
Abstract: In this work; for the normal incidence of plane waves at plane boundaries problem, when constitutive
parameters and wave frequency are random variables fitted to certain distributions, the effects on parameters such
as intrinsic impedance, phase constant, reflection coefficient, magnitude and phase of the transmitted and reflected
fields are investigated. A simulation was performed through MATLAB using the equations related to the normal
incidence of plane waves at plane boundaries problem. In this simulation, one or several of the constitutive
parameters considered as random parameters fitted to certain distributions. Then the parameters, magnitude and
phase of the fields calculated by Monte Carlo Analysis are stored and analysed using goodness of fit test to assess
which distributions are suited to data-set.
1. Giriş
Elektromanyetik dalgaların yayılım, saçılım ve ters saçılım problemlerine ilişkin çalışmalar genellikle deterministik
olarak yapılmaktadır. Oysaki gerçek dünyada madde ve olaylara ilişkin parametreler çoğu zaman, fabrikasyon
toleransları, yüzey pürüzlülüğü, malzeme heterojenliği gibi nedenlerle rastgelelik içermektedir. Benzer şekilde,
biyolojik dokular da kişiden kişiye, yaşa göre v.b. değişkenlik içermektedir. Elektromanyetik problemlerde; bir
ortamı tanımlayan dielektrik sabiti, manyetik geçirgenlik sabiti, iletkenlik sabiti gibi parametreler malzemenin
doğası gereği beklenilen değerlerden sapmalar gösterecektir.
Çalışma kapsamında MATLAB programı aracılığıyla, düzlem dalganın düzlem sınıra dik etkimesine ilişkin verilen
eşitlikler kullanılarak bir benzetim yapılmıştır. Benzetimde; ortam parametreleri ile dalga frekansından bir ya da bir
kaçı belirli bir dağılıma uyan rastgele değerler olarak alınmıştır. Daha sonra Monte Carlo Analizi (MCA) yapılarak,
diğer parametreler ile alan değerlerinin genlik ve fazlarına ilişkin hesaplamalar kaydedilmiştir. MCA ile elde edilen
veri setlerinin hangi dağılımlara uyum gösterdiğinin tespiti için EasyFit programı yardımıyla uyum iyiliği testi
(goodness of fit) yapılmıştır. Uyum iyiliği testleri sonucunda; her bir parametre ve alan değerlerinin hangi
dağılımlara en iyi uyum gösterdiği ve bu sonuçların belirli anlamlılık seviyelerinde kabul edilebilirliği incelenmiştir.
2. Düzlem Dalganın Düzlem Sınıra Dik Etkimesi
Bilindiği üzere, bir ortamda ilerleyen elektromanyetik dalga değişik öz empedanslı başka bir ortamla etkileştiğinde
yansıma olmaktadır. İkinci ortamın mükemmel iletken olması dışında, gelen gücün bir kısmı ikinci ortama
iletilmekte, bir kısmı ise yansımaktadır. Dolayısıyla, düzlem sınıra dik etkiyen bir düzlem dalga söz konusu
olduğunda Şekil-1’de belirtildiği gibi, hem elektrik hem de manyetik alanlar için etkiyen alan, yansıyan alan ve
iletilen alan olmak üzere üç alandan söz edebiliriz [1].
3. Ortam Özelliklerinin Rastgeleliği ve Monte Carlo Analizi
Ortam özellikleri çoğu zaman üretim toleransları, yüzey pürüzlülüğü, malzeme heterojenliği gibi nedenler ile
rastgelelik içermektedir. Rastgeleliğin söz konusu olduğu durumda; problemin çözümü olarak tek bir değerden
bahsetmek mümkün değildir. Ancak ortalama, varyans gibi istatistiksel özelliklerden bahsedilebilir. MCA,
rastgeleliğin söz konusu olduğu bilim, mühendislik, ekonomi v.b. tüm alanlarda 1940’lardan bu yana kullanılan bir
yöntemdir [2].
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
Er
akr
Yansıyan
Dalga
x
Et
Hr
Ei
Hi
Ht
akt
İletilen
Dalga
Etkiyen
Dalga
aki
1. Ortam
(ε1, µ1)
2. Ortam
(ε2, µ2)
Şekil 1. Dik etkime durumunda oluşan alanlar
MCA kısaca şu şekilde yapılmaktadır:





Girdiler ve istatistiksel özellikler tanımlanır,
İstatistiksel özelliklerine göre rastgele girdiler üretilir,
Üretilen girdiler ile deterministik hesaplamalar yapılır,
Tüm sonuçlar kaydedilir,
Sonuçlar istatistiksel olarak analiz edilir.
MCA’da bilinen analitik ya da nümerik hesaplamaların binlerce kez tekrarlanmasının uzun zaman gerektirdiği ancak
halen istatistiksel analizde çok iyi sonuçlar veren bir yöntem olduğu literatürde belirtilmektedir [3]-[4]. Günümüzde
gelişen bilgisayar teknolojisine paralel olarak MCA için gerekli süre de birçok problem için kabul edilebilir
seviyelere inmiştir.
4. Yöntem ve Bulgular
Şekil-1’de belirtilen problemde, her iki ortamın dielektrik ve manyetik geçirgenlik sabitleri ile etkiyen dalganın
frekansının birlikte ya da ayrı ayrı rastgele olması durumlarından bahsedilebilir. Bu çalışmada; ikinci ortam
dielektrik sabiti, manyetik geçirgenlik sabiti ve dalga frekansının rastgele olması durumları ele alınmıştır. Öncelikle
MATLAB programında, rastgelelik içeren parametrenin normal dağılıma uyum sağladığı varsayılarak bu
dağılımdan rastgele 5000 örnek üretilmiş, daha sonra üretilen her bir örnek ile dik etkime problemine ilişkin bilinen
eşitlikler [1] kullanılarak deterministik hesaplamalar yapılmıştır. Daha sonra kaydedilen sonuçların %5 anlamlılık
seviyesinde hangi dağılımlara en iyi uyum gösterdiği, EasyFit programı kullanılarak, tespit edilmiştir.
Uyum iyiliği testi için literatürde, Ki-Kare (K-K), Anderson-Darling (A-D) ve Kolmogorov-Smirnov (K-S) gibi
yöntemler bulunmaktadır. Yapılan çalışmada, bu yöntemler ile elde edilen sonuçlar birbirine yakın bulunduğundan
ve bu yöntemlerin performans karşılaştırmaları bu çalışmanın konusu olmadığından, sadece A-D yöntemi ile testler
yapılmış ve elde edilen sonuçlar Şekil-2’de sunulmuştur. Çalışmada; ortam parametreleri ile dalga frekansının
birlikte ve ayrı ayrı rastgele olmaları durumları ele alınmış ancak sayfa kısıtlaması nedeniyle sadece ikinci ortam
dielektrik sabitinin normal dağılıma uyması durumunda elde edilen sonuçlara yer verilmiştir.
5. Sonuç
Bu çalışmada, düzlem sınıra dik etkiyen dalga probleminde, ortam parametrelerinin rastgele olması durumunda,
bunlara bağımlı olan diğer parametreler ile alan değerlerinin genlik ve fazlarının hangi da ğılımlara uyum gösterdiği
analiz edilmiştir. Rastgele olduğu kabul edilen parametre için normal dağılımdan üretilen örnekler ile Monte Carlo
analizi yapılarak elde edilen sonuçların uyum iyiliği testi yapılmıştır.
2. ortam dielektrik sabiti normal dağılıma uyan bir rastgele değişken olarak alındığında, sadece 2. ortam faz sabiti
normal dağılıma uyum göstermiş, diğer parametreler ve alanların genlikleri ise farklı dağılımlara uyum göstermiştir.
İletilen alanların fazlarının ise uniform dağılıma yakın oldukları görülmüştür. 2. ortam dielektrik sabiti ve manyetik
geçirgenlik sabitlerinin aynı anda normal dağılıma uymaları halinde, 2. ortam faz sabitinin yanında yansıyan
alanların genlikleri de normal dağılıma uyum göstermiştir. Yansıyan alanların fazları 2. ortam parametrelerinden
bağımsız olduğu için rastgelelikten etkilenmemiştir.
Dalga frekansının rastgele olması, faz sabitinin ve dolayısıyla alanların fazlarının rastgele olmasına sebep
olmaktadır. Bu durumda da alan değerlerinin fazları uniform dağılıma yakın olarak elde edilmiştir. Öz empedans ve
alanların genlikleri frekanstan bağımsız olduğu için, frekansın rastgeleliğinden etkilenmemektedir.
İleride yapılacak çalışmalarda, çok katmanlı yapılar ve biyolojik dokular için de benzer analizler yapılması, yapılan
analizlerde uyum iyiliği testinin yanında, rastgele değişkenin ortalama ve varyans gibi istatistiksel özelliklerindeki
değişim miktarının hesaplanan parametre ve alan değerlerini nasıl etkilediğinin analiz edilmesi planlanmaktadır.
URSI-TÜRKİYE’2014 VII. Bilimsel Kongresi, 28-30 Ağustos 2014, ELAZIĞ
En İyi Uyum Sağladığı Dağılımlar
Değişken
Histogramı
1.
2.
3.
Normal
Dağılıma
Uygunluğu
P robability Density Function
0,26
0,24
0,22
0,2
0,18
f(x
)
Öz
Empedans
0,16
0,14
0,12
Log-Pearson 3
Johnson SU
Pearson 5 (3P)
Hayır
Johnson SU
Log-Pearson 3
Weibull (3P)
Evet
Log-Pearson 3
Pearson 5 (3P)
Pearson 6 (4P)
Hayır
Johnson SB
Kumaraswamy
Generalized
Pareto
Hayır
Johnson SU
Beta
Burr (4P)
Hayır
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
H is togram
Johns on SU
0
0,38
0,5
Probability
0 ,42 Density Function
0,54
x
0,4
0,52
0,24
0,44
0,46
0,48
0,22
0,2
Faz Sabiti
f(x)
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
H is togram
Johns on SU
0
1 ,16E+9
1 ,48E+9
1 ,2E+9
1 ,52E+9
1 ,24E+9P robability1Density
,28E+9
Function
1 ,56E+9
1 ,6E+9
x
0,24
1 ,32E+9
1 ,64E+9
1 ,36E+9
1,68E+9
1 ,4E+9
1 ,44E+9
0,22
0,2
0,18
0,16
f(x)
Gen(Et)
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
His togram
Johns on SU
0
6 ,4
7 ,6
6 ,6
7 ,8
6,8
8 Function
P robability Density
x
7
7,2
7,4
0,088
0,08
0,072
0,064
0,056
f(x)
Faz(Et)
0,048
0,04
0,032
0,024
0,016
0,008
His togram
0
-3 ,2
0 ,8
-2,4
1 ,6
Johns on SB
-1 ,6
2 ,4
P robability Density xFunc tion
-0 ,8
3,2
0
0,24
0,22
0,2
0,18
0,16
f(x)
Gen(Er)
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
His togram
0
2
2,2
3
Johns on SU
2,4
2,6
3 ,2
2,8
3 ,4
3,6
x
Faz(Er)
Yansıyan elektrik alanın fazı 2. ortam parametrelerinden bağımsızdır.
P robability DensityFunction
0,24
0,22
0,2
0,18
f(x)
Gen(Ht)
0,16
0,14
0,12
Johnson SU
Log-Pearson 3
Beta
Hayır
Johnson SB
Kumaraswamy
Generalized
Pareto
Hayır
Johnson SU
Beta
Burr (4P)
Hayır
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
14,6
16
His togram
Johns on SU
15
15 ,2
15,4
16,4
16,6
x Function
ProbabilityDensity
14,8
16,2
15,6
15,8
0,088
0,08
0,072
0,064
0,056
f(x)
Faz(Ht)
0,048
0,04
0,032
0,024
0,016
0,008
0
-3 ,2
0 ,8
H is togram
-1 ,6
2 ,4
x
P robability Density Func tion
-2 ,4
1 ,6
0,24
Johns on SB
-0 ,8
3,2
0
0,22
0,2
0,18
0,16
0,14
f(x)
Gen(Hr)
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
2 ,4
3 ,8
Faz(Hr)
His togram
2 ,8
4 ,2
x
2,6
4
Johns on SU
3
3 ,2
4,4
3,4
3 ,6
Yansıyan manyetik alanın fazı 2. ortam parametrelerinden bağımsızdır.
0,24
ProbabilityDensity Function
0,22
0,2
Johnson SB
Generalized
Gamma (4P)
Gamma (3P)
Hayır
Johnson SB
Gamma (3P)
Generalized
Gamma (4P)
Hayır
Pearson 5 (3P)
Generalized
Extreme Value
Pearson 6 (4P)
Hayır
0,18
0,16
0,14
f(x)
Yansıma
Katsayısı
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
-0 ,34
-0 ,32
-0 ,24
0,24
H is togram
-0 ,3
-0 ,22
x
Beta
-0 ,2
-0,28
-0 ,26
-0,18
P robability Density Func tion
0,22
0,16
0,14
f(x)
İletim
Katsayısı
0,2
0,18
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0 ,66
0,68
0 ,76
0 ,7
His
Beta 0 ,8
0,
78 togram
x
0 ,72
0,74
0,82
P robability Density Func tion
0,32
0,28
0,24
0,2
f(x)
Duran
Dalga
oranı
0,16
0,12
0,08
0,04
0
4 ,8
8 ,4
5,2
8,8
5,6
9 ,2
6
9 ,6
x
His togram
6,4
10
6 ,8
10,4
7 ,2
7,6
8
Lognorm al (3P)
Şekil 2. İkinci ortam dielektrik sabitinin normal dağılıma uyması durumunda diğer değişkenlerin en iyi uyum
sağladığı dağılımlar.
Kaynaklar
[1]. Cheng D.K., Fundamentals of Engineering Electromagnetics. IEEE Press, N.Y, A.B.D., 1995.
[2]. Sadiku M.N.O, Monte Carlo Methods for Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, Florida, A.B.D, 2009.
[3]. Ajayi A., Ingrey P., Sewell P. ve Christopoulos C., “Direct Computation of Statistical Variations in
Electromagnetic Problems”, IEEE Trans. on Electromagnetic Compatibility, 50(2), s.325-332, 2008.
[4]. Smith S. M., Stochastic Finite-Difference Time-Domain. Doktora tezi, University of Utah, Department of
Electrical and Computer Engineering, Utah, A.B.D., 2011.
Download