5/26/2014
Rastgele Değişkenler ve Olasılık
Yrd. Doç. Dr. Ümit Deniz Uluşar
Doğum Günü Problemi




Rastgele seçilen n kişiden
en az iki tanesinin doğum
günleri aynı olma olasılığı.
n 367 ise %100
n 57 ise %99
n 23 ise %50
1
5/26/2014
Matlab: Doğum Günü
Öğrenme Amaçlarınız







Kesikli rastsal değişkenin dağılım fonksiyonundan ve
sürekli değişkenlerin olasılık dağılım fonksiyonundan
olasılıklarını belirleme.
Birikimli dağılım fonksiyonunu kullanma.
Kesikli ve sürekli rastsal değişkenlerin ortalamasını ve
varyansını hesaplama.
Çeşitli olasılık dağılım türlerinin varsayımlarını anlama.
Bir uygulamada kullanılmak üzere uygun olasılık dağılımını
seçmek.
Normal dağılımı tablo ve ya yazılım yardımıyla kullanmak.
İstatistiği ve merkezi limit teorisini anlamak.
2
5/26/2014
Olasılık Teorisi ve İstatistik



Olasılık teorisi ve istatistik, gerçekleşmesi kesin olmayan
(belirsiz) olayların gerçekleşme olasılıklarının tahmin
edilmesinde temel oluşturur.
Bu sayede olası riskler kötü sonuçlar yaratabilecek riskler
göz önünde bulundurularak rasyonel kararlar vermemize
imkan sağlar.
Olasılık teorisine göre bir mühendislik problemindeki
risklerin olasılıklarını olasılık modelleriyle (rastgele
değişkenler ve rastgele prosesler) modelleyebiliriz.
Mühendislik ve İstatistik

Karar vermede mühendisliğin görevi insan, maliyet ve
çevre faktörlerini göz önünde bulundurarak verilecek
karar için temel oluşturmaktır.



Örnek olarak sel baskınını engellemek için yapılacak setin
yüksekliği.
Setin yüksekliği arttıkça sel baskınını önlemek mümkün
olacaktır. Fakat suyun doğası gereği seviyesi beklenen
yükseklikten daha fazla olabilir.
Mühendislik istatistik en uygun yüksekliği belirlememiz
için gerekli olan teoriyi bize öğretir.
3
5/26/2014
Prairies, Kanada, 2011
Çaycuma,Zonguldak,Türkiye, 2012
4
5/26/2014
ABD'nin Oklahoma eyaleti meteorolojik felaketin hedefi oldu. Eyalet merkezini ve
çevresini vuran hortumda ölenlerin sayısı 91'e ulaştı.Yaklaşık 800 metre çapında olan
hortum saatte 320 kilometre hızla ilerlerken üzerinden geçtiği evleri yerle bir etti.
5
5/26/2014
Rastgele Deneyler


Aynı şekilde tekrarlansa bile farklı
sonuçlar veren deneylere rastgele
deneyler denir.
Burada farklılığı yaratan rastgele
bileşendir.

Ör: Bir makine için: Titreşim, Sıcaklık, İşleten
farklılığı, Kalibrasyon farklılığı, Kesim
parçalarının zamanla aşınması, Saf
maddedeki farklılıklar.
Ör: Ohm Kanunu
Voltaj (V) = Akım (I) x Direnç (R)
Fiziksel Sistem
Model
Kontrol Edilen Değişkenler
Girdi
Fiziksel Sistem
Çıktı
Gürültü Değişkenleri
6
5/26/2014
Rastgele Değişkenler
Rastgele değişken gerçekleştirilen rastgele deneylerde ölçüm
sonuçları değişebilen değişkendir.
Genellikle büyük harflerle gösterilirler. Ör: X
Deney gerçekleştirildiğinde elde edilen deney sonucu
genellikle küçük harfle gösterilir Ör: x=70 mili amper
Sürekli (Continuous) rastgele değişkenler bir aralıktaki
herhangi bir değeri alabilen değişkenlerdir.





Ör: Elektriksel akım, uzunluk, basınç, sıcaklık, zaman, voltaj, ağırlık
Kesikli (Discrete) rastgele değişkenler sadece sınırlı sayıda bir
reel sayı setinden değerleri alabilir.


Ör: Bir yüzeydeki çizik sayısı, Gözlemlenen 1000 parçadan sorunlu
parça sayısı, hatasız şekilde transfer edilen bit sayısı
Olasılık


Rastgele değişkenler bir olayın sonucunu
tanımlamak için kullanılırlar.
Olasılık bir olayın sonucunun belirli bir değer
setinin içine düşme şansını belirten bir sayıdır.


Ör: Üretilen bir parçanın uzunluğunun 10.8 ile 11.2
milimetre arasında olma olasılığı %25.
Olasılık genellikle rastgele değişkenler kullanılarak
gösterilir.

P(Xϵ[10.8, 11.2])=0.25 yada P(10.8≤X≤11.2)=0.25
7
5/26/2014
Olasılık
Gerçekleşme İhtimalinin Artması
Olasılık:
0
Bu olayın
gerçekleşme
ihtimali
düşük.
.5
Gerçekleşme
ihtimali en az
gerçekleşmeme
ihtimali kadar.
1
Gerçekleşme
ihtimali
neredeyse
kesin.
Sonuç Uzayı - Olayların Sonuçları


Bir rastgele değişken için bütün olası sonuçların
oluşturduğu sete sonuç uzayı denir.
Para atışı:


Zar atışı:


S:{1,2,3,4,5,6}
Yeni doğan bir çocuğun cinsiyeti:


S : { Yazı , Tura }
S:{erkek, kız}
3 defa atılan paranın sonuç uzayı:

S:{YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TYT,TTY,TTT}
8
5/26/2014
Özellikler - Ayrık Setler
1.
2.
3.
P(XϵR)=1, R reel sayılar seti
0≤P(XϵE)≤1 herhangi bir E seti için
Eğer E1, E2, … En ayrık setlerse,
P(Xϵ E1  E2 …..  Ek ) = P(Xϵ E1) + …. + P(Xϵ Ek)
İlk özelliğe göre olasılığın maksimum değerinin 1.
İkinci özelliğe göre olasılık hiçbir zaman negatif olamaz.
E1 , E2 …. En setlerinin ölçümlerinin oranlarının toplamı eğer
setler birbirinden ayrıksa setlerin birleştirilince elde
edilecek orana eşittir.
Özellikler

3. özelliği kullanarak alttaki durumu yazmak mümkündür.
P(X ≤ 10) = P(X ≤ 0) + P(0<X ≤ 5) + P(5<X ≤ 10)

Bir setin tersinin olasılığını bulmak içinde kullanılabilir.

AC bir setin komplementi (tersi) olsun. A ve AC bağımsız

olaylar olduğu için
A U AC =R, 1=P(XϵR) = P(Xϵ A U AC)=1
ve sonuç olarak
P(Xϵ AC)=1-P(Xϵ A)
P(A) + P(AC) = 1
9
5/26/2014
Ör:


P(X ≤ 5000) = 0.1, P(5000<X ≤ 6000) = 0.3 ,
P(X > 8000) = 0.4 olduğuna göre
P(X ≤ 6000) değeri nedir?


0.4
P(X > 6000)

= 1 - P(X ≤ 6000) = 1 - 0.4 = 0.6
Örnek Uzay: S={E1,E2,….,Ek}
Örnek Uzay
Basit Olaylar
Bütün olası sonuçların
listesi
Bir şans deneyinden
elde edilen olası
sonuçların topluluğuna
OLAY denir ve
yalnızca tek bir
sonuçtan oluşan olaya
BASİT OLAY denir.
Tek olayları basit olay
olarak kabul ediyoruz
Olay
Olay bir yada daha çok basit
olayın toplamı.
Amacımız P(A), A
olayın , gerçekleşme
ihtimalini belirlemek.
20
10
5/26/2014
Ör: Örnek Uzay

3 defa atılan paranın sadece bir defa yazı gelmesi


A:{YTT, TYT, TTY}
3 defa atılan paranın en az 1 defa yazı gelmesi

A:{YYY,YYT,YTY,YTT,TYY,TYT,TTY}
Olasılıkları Atamak

P(A) A olayın gözlemlendiği olay sayısının oranı.
P(A)=
A daki toplam olaylar
____________________
S deki toplam olaylar

Ör: 52 kartlık desteden as çekme olasılığı nedir?
11
5/26/2014
Bir Olayın Gerçekleşme Olasılığının
Belirlenmesi




Verilen bir örnek uzayında S={e1, e2, … en} altta P(ei) için
belirtilen özelliklerin bulunması gerekir:
0≤P(ei) ≤1 her i değeri için
Σ P(ei) = 1
Bir olayın olasılığı: Bir olayın gerçekleşme olasılığı P(A)
olayı gerçekleştiren basit olayların toplamıdır.
Kesişme

A ve B olaylarının kesişmesi A ve B olayları
gerçekleştiğinde olur.
A ve B olaylarının kesişmesi A  B şeklinde gösterilir.

A ve B’nin ortak (joint) olasılığı P(A ve B) yada

P( A  B)
şeklinde gösterilir.
12
5/26/2014
Birleşim

A ve B olaylarının birleşimi A ya da B olayının ya da ikisinin
aynı anda oluşması anlamına gelir.

En azından bir olayın olması gerekir.

“A yada B” ya da AB şeklinde gösterilir.

Ör: 52 kartlık desteden çekilen bir kartın as ya da papaz
gelme olasılığı.
2/13
VENN DİYAGRAMI
1
AB
S
1
A
2
B
4
A
3
6
5
4
C
2
1
B
6
AB
A
22
4
B
6
AC = A ve C ayrık setler
13
5/26/2014
Ör:

6 seçenekli zar atıldığında gelen sonuç.



Gelenin en fazla iki olma olasılığı. P(X≤2)=2/6
Gelenin çift sayı olma olasılığı. P(X ϵ [2 4 6])=3/6
6 gelme olasılığı.
P(X=6)=1/6
Toplama Kuralı

Herhangi iki A ve B olayı için
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

Ör: 52’lik oyun kartı destesinden çekilen kartın papaz, as,
sinek valesi veya maça kızı olma olasılığı nedir?
P(O1)=4/52 P(O2) = 4/52 P(O3)=1/52 P(O4) =1/52
P(O1 veya O2 veya O3 veya O4) = P(O1)+P(O2)+P(O3)+P(O4)
=4/52+4/52+1/52+1/52=5/26
14
5/26/2014
Ör:

Hastaneye gelen hastaların dağılımı alttaki tabloda
gösterilmektedir. A 1 numaralı hastaneyi ziyaret eden hastaları
göstersin ve B muayene edilmeden ayrılan hastaları göstersin.
A B = ?
195
AC = ?
6991+5640+4329=16690
AUB=?
5292+953-195=6050
Sürekli Olasılık Dağılım


Rastgele değişkenler sürekli değişkenler ve kesikli
değişkenler olarak iki gruba ayrılabilir.
Olasılık dağılım fonksiyonu yada rastgele değişkenin
dağılımı, rastgele değişken X in alabileceği değerlerin
olasılık değerlerini gösterir.
15
5/26/2014
Sürekli Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Genellikle
matematiksel bir
formülle gösterilir.
Bütün
x, ve
f(x)
Frekans
Değerleri Gösterir
(Değer, Frekans)
frekanslar , f(x)
f(x)
olasılık değildir
Özellikler
 f ( x)dx  1
a
f ( x)  0, a  x  b
b
x
Değer
Sürekli Rastsal Değişken Olasılığı
d


Genellikle soru olan konu
bir değişkenin belirli bir
aralıkta olma olasılığı yada
belli bir değerden küçük
olma olasılığıdır.
Ör: x in c ile d arasında
olma olasılığı.
P (c  X  d ) 
 f ( x)dx
c
f(x)
c
d
X
16
5/26/2014
Ör:

İnce bakır telden geçen akımın
miliamper cinsinden ölçümünü
gösteren rastsal değişken X olsun. X
in değer aralığı [0, 20 mA] ve
olasılık dağılım fonksiyonu f(x)=0.05.
Bir akım ölçümünün 10
miliamperden az olma olasılığı
nedir?

Ör: 3-2
Bir manyetik diskin başlangıcından ilk hataya kadar olan
mesafeyi gösteren rastsal değişken X olsun. Geçmişe
dönük veriler X in olasılık dağılım fonksiyonu

İlk hatanın 1000 mikrometreden daha uzun olduğu
disklerin toplam disklere oranı nedir?

İlk hatanın1000 ve 2000 mikrometre arasında olduğu
disklerin oranı nedir?
17
5/26/2014
Birikimli Dağılım Fonksiyonu

Olasılık dağılımlarını göstermenin bir diğer yöntemi de
birikimli dağılım fonksiyonudur.
X rastsal değişkeninin olasılık dağılım fonksiyonu

Sürekli rastsal değişken X için, tanım F(x)=P(X<x)


Ör: 3-3
Bir manyetik diskin başlangıcından ilk hataya kadar olan
mesafeyi gösteren rastsal değişken X olsun. Geçmişe
dönük veriler X in olasılık dağılım fonksiyonu

Bu durumda birikimli dağılım fonksiyonu

P(X<1000)
18
5/26/2014
Ortalama ve Varyans Değeri

Olasılık dağılımlarının varyans ve ortalama değeri de
bulunmaktadır.
Örneklem verisi için ortalama değer

Ortalama µ ve beklenen X değeri E(X) değeri

Varyans Değeri

Örneklemin varyans değeri

Olasılık dağılım fonksiyonu için varyans değeri
19
5/26/2014
Varyans

İntegralin özellikleri kullanılarak

formülü elde edilir
Ör:

Bakır telden geçen akım örneği için
20
5/26/2014

Ör: Manyetik disk örneği için
Önemli Sürekli Dağılımlar






Düzgün Dağılım
Normal Dağılım
Lognormal Dağılım
Gama Dağılımı
Weibull Dağılımı
Beta Dağılımı
21
5/26/2014
Düzgün Dağılım
Benzer
sonuçların gözlendiği durumlarda kullanılır.
Olasılık
Dağılım Fonksiyonu
f ( x) 
1
d c
1
d c
Ortalama & Standard Sapma

cd
2
f(x)
 
c
d
x
Ortalama
Medyan
d c
12
Olasılık Dağılım Fonksiyonunun Ortalaması
ve Standart Sapması
f ( x) 
1
d c
22
5/26/2014
Ör: Düzgün Sürekli Dağılım
Siz
bir içecek kutulama firmasının
üretim müdürüsünüz. 12 litre
Doldurması gereken bir
makinenin, gerçekte 11.5 ile 12.5
litre arasında dolum yaptığını
görüyorsunuz. Bu dolumun
dağılımının düzgün dağılım
olduğunu farz edersek, 11.8
litreden düşük dolum olma
olasılığı nedir?
SODA
Düzgün Dağılım Çözümü
f(x)
1.0
1
1

d  c 12.5  11.5
1
  1.0
1
P(11.5

11.5 11.8
12.5
x
 X  11.8)
= (Taban)(Tavan)
= (11.8 - 11.5)(1) = 0.30
23
5/26/2014
Normal Dağılım

Birçok doğada gerçekleşen rastgele olayı tarif eder.

Süreksiz Olasılık Dağılımı Tahmini İçin Kullanılır


Örnek: Binomial
Klasik İstatistiksel Sonuç İçin Temel
Normal Dağılım
‘Çan
Eğrisi’ &
Simetrik
f(X)
Ortalama,Medyan,
Mod eşit
X
Ortalama Yayılma
1.33 
Ortalama
Medyan
Mod
24
5/26/2014
Normal Dağılımın Olasılık Dağılım
Fonksiyonu
1  x 

 
 
1
f ( x) 
e 2
 2
f(x)


x

=
=
=
=
=
2
,  x  
Olasılık dağılım fonksiyonu
Standard sapma
3.14159; e = 2.71828
Rastgele değişken değeri (- < x < )
Ortalama
Parametrelerin ( & ) Değiştirilmesinin
Etkisi
25
5/26/2014
Matlab – Normal Dağılım
x=[-2:0.01:8]; % x in deger araligi -2 ile 8 arasinda 0.1 artan seklinde
sigma=1;
% normal dagilimin standart sapmasi 1
mu=2;
% dagilimin ortalama degeri 2
y=1./(sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((x-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
plot(x,y,'k.')
hold on
YY = normpdf(x,mu,sigma) % Matlab in hazır fonksiyonunu kullanarak
plot(x,YY,'g')
mu=0;
sigma=0.5;
y=1./(sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((x-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
plot(x,y,'r')
26
5/26/2014
f ( x) 
1  x 

 
 
1
e 2
 2
2
,  x  
Normal Dağılımın Olasılığı
Olasılık Eğrisinin
Altındaki Bölge
d
P(c  X  d )   f ( x) dx
c
f(x)
c
d
x
27
5/26/2014
Normal Dağılımda Standart Sapma

P( µ -  ≤ X ≤ µ +  )  0.6827

P( µ - 2 ≤ X ≤ µ + 2 )  0.9545

P( µ - 3 ≤ X ≤ µ + 3 )  0.9973
Standart Normal Dağılım



Standart Normal Dağılım, normal dağılımı µ = 0 ve   1
durumudur.
Standart Normal Dağılım değişkeni Z ile gösterilir.
Eğer X normal rastgele değişkense ve E(X)= µ ve V(X)= 2 ise
Z=( X- µ )/  rastsal normal değişkendir ve E(Z)=0 V(Z)=1 dir.
X 
Z

Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
=1


X
= 0
Z
28
5/26/2014
Örnek Standartlaştırma
Z
X 


6.2  5
 .12
10
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
 = 10
=1
= 0 .12
= 5 6.2 X
Z
Standart Normal Dağılım Tablosu
z
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0
0,5
0,5398278
0,5792597
0,6179114
0,6554217
0,6914625
0,7257469
0,7580363
0,7881446
0,8159399
0,8413447
0,8643339
0,8849303
0,9031995
0,9192433
0,9331928
0,9452007
0,9554345
0,9640697
0,9712834
0,9772499
0,9821356
0,9860966
0,9892759
0,9918025
0,9937903
0,9953388
0,996533
0,9974449
0,9981342
0,01
0,5039894
0,5437953
0,5831662
0,6217195
0,659097
0,6949743
0,7290691
0,7611479
0,7910299
0,8185887
0,8437524
0,8665005
0,8868606
0,9049021
0,9207302
0,9344783
0,9463011
0,9563671
0,9648521
0,9719334
0,9777844
0,9825708
0,9864474
0,9895559
0,9920237
0,9939634
0,9954729
0,9966358
0,9975229
0,9981929
0,02
0,5079783
0,5477584
0,5870644
0,6255158
0,6627573
0,6984682
0,7323711
0,7642375
0,7938919
0,8212136
0,8461358
0,8686431
0,8887676
0,9065825
0,9221962
0,9357445
0,9473839
0,9572838
0,9656205
0,9725711
0,9783083
0,982997
0,9867906
0,9898296
0,9922397
0,9941323
0,9956035
0,9967359
0,9975988
0,9982498
0,03
0,5119665
0,5517168
0,5909541
0,6293
0,6664022
0,701944
0,7356527
0,7673049
0,7967306
0,8238145
0,848495
0,8707619
0,8906514
0,9082409
0,9236415
0,9369916
0,9484493
0,9581849
0,966375
0,9731966
0,9788217
0,9834142
0,9871263
0,9900969
0,9924506
0,9942969
0,9957308
0,9968333
0,9976726
0,9983052
0,04
0,5159534
0,55567
0,5948349
0,6330717
0,6700314
0,7054015
0,7389137
0,77035
0,7995458
0,8263912
0,85083
0,8728568
0,8925123
0,9098773
0,9250663
0,9382198
0,9494974
0,9590705
0,9671159
0,9738102
0,9793248
0,9838226
0,9874545
0,9903581
0,9926564
0,9944574
0,9958547
0,996928
0,9977443
0,9983589
0,05
0,5199388
0,5596177
0,5987063
0,6368307
0,6736448
0,7088403
0,7421539
0,7733726
0,8023375
0,8289439
0,8531409
0,8749281
0,8943502
0,911492
0,9264707
0,9394292
0,9505285
0,9599408
0,9678432
0,9744119
0,9798178
0,9842224
0,9877755
0,9906133
0,9928572
0,9946139
0,9959754
0,9970202
0,997814
0,9984111
0,06
0,5239222
0,5635595
0,6025681
0,6405764
0,6772419
0,7122603
0,7453731
0,7763727
0,8051055
0,8314724
0,8554277
0,8769756
0,8961653
0,913085
0,927855
0,9406201
0,9515428
0,9607961
0,9685572
0,9750021
0,9803007
0,9846137
0,9880894
0,9908625
0,9930531
0,9947664
0,996093
0,9971099
0,9978818
0,9984618
0,07
0,5279032
0,5674949
0,6064199
0,6443088
0,6808225
0,7156612
0,7485711
0,7793501
0,8078498
0,8339768
0,8576903
0,8789995
0,8979577
0,9146565
0,9292191
0,9417924
0,9525403
0,9616364
0,9692581
0,9755808
0,9807738
0,9849966
0,9883962
0,991106
0,9932443
0,9949151
0,9962074
0,9971972
0,9979476
0,998511
0,08
0,5318814
0,5714237
0,6102612
0,6480273
0,6843863
0,7190427
0,7517478
0,7823046
0,8105703
0,8364569
0,8599289
0,8809999
0,8997274
0,9162067
0,9305634
0,9429466
0,9535213
0,962462
0,969946
0,9761482
0,9812372
0,9853713
0,9886962
0,9913437
0,9934309
0,99506
0,9963189
0,9972821
0,9980116
0,9985588
0,09
0,5358564
0,5753454
0,6140919
0,6517317
0,6879331
0,7224047
0,7549029
0,7852361
0,8132671
0,8389129
0,8621434
0,8829768
0,9014747
0,9177356
0,9318879
0,9440826
0,954486
0,963273
0,970621
0,9767045
0,9816911
0,9857379
0,9889893
0,9915758
0,9936128
0,9952012
0,9964274
0,9973646
0,9980738
0,9986051
29
5/26/2014
Olasılığı Elde Etmek
Standart Normal Dağılım
z
0
0,01
0,02
0
0,5
0,5039894
0,5079783
0,1
0,5398278
0,5437953
0,5477584
Örnek P(5  X  6.2) σ=10 μ = 5
Gölge Alan ?
 = 10
= 5 6.2 X
30
5/26/2014
Örnek P(5  X  6.2) σ=10 μ = 5
z
0
0,01
0,02
0
0,5
0,5039894
0,5079783
0,1
0,5398278
0,5437953
0,5477584
Gölge Alan ?
 = 10
=1
.0478
= 5 6.2 X
= 0 .12
Z
Örnek P(3.8  X  5) σ=10 μ = 5
Z
X   3.8  5

  .12

10
Normal Dağılım
Gölge Alan ?
 = 10
=1
.0478
3.8  = 5
X
-.12  = 0
Z
31
5/26/2014
Örnek P(2.9  X  7.1) σ=10 μ = 5
X 
2.9  5
  .21

10
X   7.1  5
Z

 .21
Normal Dağılım

10
Z

 = 10
=1
.1664
.0832 .0832
2.9 5 7.1 X
-.21 0 .21
Z
Gölgeli Alan
Örnek P(X  8) σ=10 μ = 5
Z
X 


85
 .30
10
Normal Dağılım
 = 10
=1
.5000
.1179
=5
8
X
=0
.3821
.30 Z
Gölgeli Alan
32
5/26/2014
Örnek P(7.1  X  8) σ=10 μ = 5
X 
7.1  5
 .21

10
X   85
Z

 .30

10
Z

Normal Dağılım
 = 10
=1
.1179
.0832
=5
7.1 8
=0
X
.0347
.21 .30 Z
Gölgeli Alan
Örnek: Bir işletmede üretilen vidaların çaplarının uzunluğunun
ortalaması
10
mm
ve
standart
sapması
2 mm olan normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Buna göre
rastgele
seçilen
bir
vidanın
uzunluğunun
8,9mm ‘den az olmasının olasılığını hesaplayınız.

P( X  8,9)  ?
X ~ N ( 10 , 4 )
 x   8,9  10 
P( X  8,9)  P

  P( z  0,55)
2 
 
f(z )
P( z  0,55)  0,5  0,2088
 0,2912
-0,55
0
z
33
5/26/2014

Ör: Depolama sürücüsündeki şaftın yarıçaplarının
ortalaması 0.2508 inç ve standart sapması 0.0005 inç olan
normal dağılıma uygun olduğu bilinmektedir. Şaftın
üstündeki spesifikasyonlar 0.25+0.0015 inç olarak
belirtilmektedir. Üretilen şaftların nekadarlık kısmı
spesifikasyonda belirtilen standartları sağlamaktadır ?
0.91924
Bilinen Olasılıklar için Z Değerleri
Bulunması
Z kaçtır
P(Z) = .1217?
.1217
Standart Normal Dağılım
Tablosu
=1
z
 = 0 0,3
?
1
Z
0
0,01
0,02
0
0,5000 0,5040 0,5080
0,1
0,5398 0,5438 0,5478
0,2
0,5793 0,5832 0,5871
0,3
0,6179
0,4
0,6554 0,6591 0,6628
0,621
7 0,6255
34
5/26/2014
Bilinen Olasılıklar için X Değerleri
Bulunması
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
 = 10
=1
.1217
=5
?
X
.1217
 = 0 .31
Z
Bilinen Olasılıklar için X Değerleri
Bulunması
Normal Dağılım
Standart Normal Dağılım
 = 10
=1
.1217
=5
?
X
.1217
 = 0 .31
Z
X    Z *   5  0.31*10  8.1
35
5/26/2014
Vize Konuları Buraya Kadar
Log-Normal Dağılım

Olasılık teorisinde log-normal dağılım logaritması
alındığında normal dağılım gösteren X rastsal
değişkeninin dağılımıdır.

X’in ortalama değeri ve varyansı
36
5/26/2014


























x=[0.001:0.0001:3]; % x in deger araligi
mu=0;
% dagilimin ortalama degeri 2
figure
sigma=0.125;
y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
plot(x,y,'k')
hold on
sigma=0.25;
y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
hold on
plot(x,y,'r‘)
sigma=0.5;
y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
hold on
plot(x,y,'b')
sigma=1;
y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
hold on
plot(x,y,'g')
sigma=1.5;
y=1./(x.*sigma.*sqrt(2*pi)).*exp(-((log(x)-mu).^2)./(2.*sigma.^2));
hold on
plot(x,y,'y')
legend('0.125','0.25','0.5','1','1.5')
xlabel('x')
ylabel('f(x)‘)
37
5/26/2014
Log-Normal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu
Ör: Log-Normal Dağılım

Yarıiletken lazerin ömrü θ=10 ve ω=1.5 saat olan lognormal dağılım şeklindedir. Ömrünün 10.000 saati geçme
olasılığı nedir.

Hangi yaşam süresi lazerlerin %99 tarafından geçilir.
saat
38
5/26/2014

Ortalama değerinin ve standart sapmasını hesaplayınız.

X’in standart sapması 197,661.5 saat.
Gama Dağılımı
39
5/26/2014
Üstel Dağılım
teorisinde üssel dağılım meydana gelen iki olay
arasındaki geçen süre veya bir başka ifadeyle ilgilenilen
olayın ilk defa ortaya çıkması için geçen sürenin dağılışıdır.
Olasılık
Örnek:
 Bir bankada veznede yapılan işlemler arasındaki geçen
süre,
 Bir taksi durağına gelen müşteriler arasındaki süre,
 Bir hastanenin acil servisine gelen hastaların arasındaki
geçen süre,
 Bir kumaşta iki adet dokuma hatası arasındaki uzunluk
(metre).
Üstel Dağılım
Olasılık Dağılım Fonksiyonu
e  x
f x )  
0
,x 0
diger durumlarda
 = 2.0
Birikimli Dağılım
Fonksiyonu:
3
2,5
 = 0.5
Üstsel Dağılım Lamda 2
Üstsel Dağılım Lamda =0,5
2
1,5
λ birim zamanda olayın
gerçekleşme sayısı
1
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
2,2
2,4
2,6
2,8
3
3,2
3,4
3,6
3,8
4
4,2
4,4
4,6
4,8
F(x) =1ex, x0
40
5/26/2014
Üstel Dağılım

Üstel dağılımın olasılık :





P(X > a) = e–a.
P(X < a) = 1 – e –a
P(a< X < b) = e – a) – e – b)
Hafızasız olma özelliği !!!!!!!!!!
0 veya daha büyük tüm s ve t değerleri için:
P(X > s+t | X > s) = P(X > t)
ispatı
Ör: Üstel Dağılım

Bir bilgisayar sisteminin saniye cinsinden cevap verme
süresi λ = 1/3 parametreli üssel dağılıma uygun şekilde
gerçekleşmekte olduğu gözlemlenmiştir. (Ortalama üç
saniyede 1 cevap verme söz konusu).
 Ortalama süreden daha uzun cevap verme olasılığı:
 P(X > 3) = 1-(1-e-3/3) = e-1 = 0.368
 2 ile 3 saniye arasında olma olasılığı:
 P(2 <= X <= 3) = F(3) – F(2) = 0.145
 2.5 saniye geçmiş olduğu halde 1 saniye daha
cevap vermeme olasılığı:
 P(X > 3.5 | X > 2.5) = P(X > 1) = e-1/3 = 0.717
41
5/26/2014
Ör: (Üstel Dağılım): Bir taksi durağına bir saatlik zaman dilimi
içerisinde gelen taksilerin geliş sayısı Poisson dağılışına uygun
bir şekilde gerçekleşmektedir. Durağa saatte ortalama 24 adet
taksinin geldiği bilindiğine göre durağa gelen bir yolcunun en çok 5
dakika beklemesi olasılığı nedir?
Saatte ( 60 dakikada ) 24 adet taksi geliyorsa,
1 dakikada 24/60 adet taksi gelir (yani λ=1/2.5). P ( x ≤ 5 ) = ?
 1  2x.5
e
,x 0

f x )   2.5
0
diger durumlarda


P( x  a)   e x dx  e a

1
5
HESAPLAMA KOLAYLIĞI
a
1
5

1  2,5 x
1  2,5 x
P( X  5)  
e
dx  1  
e
dx  1  e 2,5  1  e 2
2,5
2,5
0
5

Ör: Büyük bir şirketin bilgisayar ağında bilgisayara girişler
(log-on) Poisson dağılışına uygun bir şekilde
gerçekleşmektedir. Ortalama saatte 25 giriş
gerçekleştiğine göre 6 dakikalık bir aralıkta hiç giriş
olmama olasılığı nedir.

X ilk giriş için gereken zamanın saat cinsinden gösterimi olsun.
Soru P(X>0.1) = ? ve λ=25 giriş/saat.

P( X  0.1)   25e 25x dx
e

25*0.1
0.1
 0.082
Bir sonraki girişin gerçekleşmesi ortalama olarak
E(X)=1/25=0.04 saat yani 2.4 dakikadır. Aynı şekilde standart
sapması da 2.4 dakika olur.
42
5/26/2014
Üssel Dağılımın Ortalama ve Varyansı

Eğer X bir üssel rastsal değişken ve λ paremetresiyse.

Ortalama ve Standart Sapma
E ( X )  1 ,   1
Kesikli Olasılık Dağılımları
43
5/26/2014
Kesikli Rastsal Değişkenler

Eğer bir rastgele değişken olan X sadece
sonlu sayıda değerler alırsa (x1,x2…. xn) X kesikli rastsal
değişkendir ve kesikli bir dağılımı vardır.

Ör: Bir sesli iletişim terminalinin 48 dış hattı vardır. Belirli
bir zamanda bu hatların kaç adetinin kullanıldığı
gözlemlenmiştir. Rastgele değişken X kaç hattın
kullanıldığını belirsin.

X in alabileceği değerler 0 ile 48 arasında bir tamsayıdır.
Olasılık Dağılımı




Kesikli rastgele değişken X’in olasılık yoğunluk fonksiyonu
X in alabileceği bütün değerlerin gerçekleşme olasılığını
gösterir ve alttaki gibi tanımlanır.
fx(x) = P(X=x)
Eğer {x1,x2,….} X in muhtemel değerlerinin kümesi ise, o
zaman herhangi bir xϵ {x1,x2,….} için olasılık yoğunluk
fonksiyonu fx(x)≥0 dır.
Ör: Para için P(X=tura) = 1/2
44
5/26/2014
Ör:
Ör:Transfer edilen 4 sinyalde
hata olma olasılığı
Ör: Çubuk üstündeki yükün
dağılımı
Ör: Zar


Rastsal değişken X bir adil zarın yüzündeki sayı olsun bu
durumda bütün tam sayılar 1, 2, …, 6 gelme şansı eşittir. Bu
durumda dağılım kesikli düzğün dağılımdır.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (pmf) f(x)
1
, x  x1 , x2 ,.....xk 

f x )   k

diger durumlarda
0
45
5/26/2014
Birikimli Dağılım Fonksiyonu

Kesikli rastsal değişkenin birikimli olasılık yoğunluk
fonksiyonu

Ör: Transfer edilen 4 sinyalde hata olma olasılığı için
birikimli dağılım fonksiyonu.
Ortalama ve Varyan Değeri



X kesikli rastsal değişkeninin olası değerleri {x1,x2,…xn}
olsun. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=P(X=x)
olsun.
Olasılık dağılımının ortalama µ ve beklenen X değeri E(X)
değeri
Ve varyans değeri
46
5/26/2014
Ör:
Ör:Transfer edilen 4 sinyalde
hata olma olasılığı
Bernoulli Olayı




Bir deneyde iki olası sonuç varsa bu Binom dağılımının
altyapısını oluşturur ve bu tür deneylere Bernoulli
denemesi denir.
Genellikle burada her denemenin birbirinden bağımsız
olduğu varsayılır.
Ayrıca her denemede başarılı olma olasılığı sabit olduğu
varsayılır.
Ör: 4 şıklı bir test sorusunun cevabını atarak doğru
tahmin etme. Cevabı doğru bilme olasılığı 1/4 olacaktır.
47
5/26/2014
Binom Dağılım





Sadece iki sonuç (0,1 veya başarı, başarısızlık) alabilen deneyin,
n farklı denemede x kere başarılı olma olasılığını verir.
Denemeler bağımsızdır.
Her denemede sadece iki olası sonuç bulunur, başarılı ve
başarısız.
Burada p başarılı olma olasılığını göstermektedir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x):
f ( x) 
n!
p x (1  p) ( n x )
x!(n  x)!
Ör: Binom Dağılımı

Bir makine 1% bozuk parça üretmektedir. X=üretilen 25
parçadan 1 tanesinin bozuk olma olasılığıysa X nedir.

Örnek alınan bir havanın 10% olasılıkla özel bir molekül
içerme olasılığı vardır. X = analizi yapılan 18 hava
örneğinde ilgili molekülün görülme olasılığı nedir.

Hastanede gerçekleşecek olan 20 doğumda X=kız çocuk
sayısını gösteren rastsal değişken olsun. X in 5 olma
olasılığı nedir.
48
5/26/2014
Binom Dağılımı

Ör: 20 defa atılan paranın n defa (yatay eksen) tura gelme
olasılığı (düşey eksen)
0,2
0,18
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
49
5/26/2014
Binom Dağılımının Ortalama Değeri ve
Varyansı

Eğer X bir binomial rastsal değişken ve n ve p
paremetreleriyse.

Ortalama
  E ( X )  np

Varyans
 2  V ( X )  np(1  p)
Matlab

prob = binocdf(3,25,0.2);

prob2 = sum(binopdf(0:3,25,0.2));
50
5/26/2014
Poisson Dağılımı


Kesikli olasılık dağılımı olup bir olayın belli bir sabit zaman
birim aralığında meydana gelme sayısının olasığını ifade
eder.
Ör: Elektronik posta servisi veren bir sisteme gelen
elektronik postaların belirli bir zaman aralığında gelişleri
rastgelelik taşır. Olayın gerçekleşme sayısı (gelen posta)
kesikli bir olasılık dağılımı gösterir ve genellikle Poisson
dağılımıyla modellenir.
Aralık
Olay
Poisson Dağılımı


Poisson dağılımının, λ > 0 için, olasılık yoğunluk ve birikimli
dağılım fonksiyonları:
E(X)=V(X)=λ
 e   x
, x  0,1,2,...

f ( x)   x!

0 , diger durumda

e   x
F ( x)  
x!
51
5/26/2014
Örnek: Poisson Dağılımı




Bilgisayar tamir elemanının saatteki çağrı sayısının yaklaşık
2 olduğu verilmişse (saatte λ = 2).
Önümüzdeki saat içinde elemanın 3 çağrı alma olasılığı:
p(3) = e-223/3! = 0.18
veya, p(3) = F(3) – F(2) = 0.857-0.677=0.18
1-saatlik periyotta 2 veya daha fazla çağrı alma olasılığı:



p(2 veya üstü) = 1 – p(0) – p(1)
0,3
= 1 – F(1)
0,25
= 0.594
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
52
5/26/2014
Ör: Matlab







λ = 2 ve x = 0 için
p = poisspdf(0,2)
p = 0.1353
Ör: Kalite kontrol departmanı harddiskler üstünde rasgele testler
uygulamaktadır. Politikalarına göre üretim bandını harddiskte 4
bozuk kısımdan daha fazla bozuk kısım gözlemlerlerse kapatmaları
gerekmektedir. Ortalamada 2 bozuk kısım gözlemlediklerine göre
üretim bandını kapatma olasılıkları nedir?
olasilik= 1-poisscdf(4,2)
olasilik = 0.0527
Yaklaşık olarak 5% gözlemde normal üretim bandı 4 den fazla hatalı
harddisk üretmektedir.
Ör: Matlab




Ortalama hata sayısı (λ) 4 e çıkarsa bir harddiskte 5 den
az hata bulma olasılığımız nedir?
olasilik= poisscdf(4,4)
olasilik =
0.6288
53
5/26/2014
Birden Çok Rastsal Değişken ve
Bağımsızlık
Birleşik Olasılık Dağılımı

Genellikle, X ve Y rastsal iki değişken, bu iki değişkenin
birlikte gerçekleştirdikleri davranışın olasılık dağılım
fonksiyonuna birleşik olasılık dağılımı denir.

Ör: X: {Antalya da derece cinsinden hava sıcaklığı}, Y:{
Antalya da cm cinsinden yağış miktarı}. Biz :
P(X<25 ve 1<Y<10)

54
5/26/2014
Birleşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu

İki rastsal değişkenin birleşik olasılık dağılım fonksiyonu

Birleşik olasılık dağılım fonksiyonunun altında kalan alan 1dir.
Ör: Altta yatay eksen çapı düşey eksen kalınlığı göstersin.

Serpilme Diyagramı
Birleşik Olasılık Dağılım Fonksiyonu
Kalınlık
Çap
Olasılığın Değeri
Birleşik Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu


Birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu iki olayın aynı anda
gerçekleşme olasılığını gösterir ve P(X=x, Y=y) şeklinde
belirtilir.
X ve Y rastsal değişkeninin birleşik olasılık yoğunluk
fonksiyonu alttaki özellikleri sağlar
55
5/26/2014
Matlab






%İkili standart normal dağılımı gösteren grafiği
oluşturmak için ilk olarak bir grid yaratırız
[x,y] = meshgrid(-3:.1:3,-3:.1:3);
% Gridde bulunan her değer için olasılık değerini alttaki
formülle hesaplarız.
z = (1/(2*pi))*exp(-0.5*(x.^2+y.^2));
% sonucu ekrana yüzey olarak gösteririz.
surf(x,y,z)
56
5/26/2014
Bağımsızlık


Eğer iki ve daha çok değişken birbirinden bağımsız rastsal
değişkense:
P(X1=x1, X2=x2,.. Xn=xn)= P(X1=x1) P(X2=x2).. P(Xn=xn)

Ör: Z standart normal değişken olsun
P(-3.2 < Z < 3.2)P(-2.5 < Z < 2.5)P(-1.25 < Z < 1.25)
değeri nedir ?

(0.99862)(0.98758)(0.78870) =0.7778


Seri Sistemler


Birden çok bağımsız parçadan oluşan sistemlerde eğer
sistemin çalışıyor olması için bir yolla belirtilen güzergah
üstündeki her parçanın çalışıyor olması gerekiyorsa bu
sistemler seri sistemlerdir.
Ör: Alttaki örnekte C1 parçasının çalışır durumda olma
olasılığı 0.9 C2 parçasının çalışıyor durumda olma olasılığı
0.95 ise sistemin çalışıyor olma olasılığı nedir?
57
5/26/2014
Örnek:

Bir kişisel bilgisayar bir ekran, bir sabit disk ve bir kasadan
oluşuyor.




E1 =satın alınan ekranın arızasız olma olasılığı
E2=satın alınan sabit diskin arızasız olma olasılığı
E3=satın alınan kasanın arızasız olma olasılığı
Olsun. Bu üç olay birbirinden bağımsızsa ve P(E1)=0.99,
P(E2)=0.90 ve P(E3)=0.95 ise bilgisayarın sorunsuz olma
olasılığı nedir.
Paralel Sistemler



Birden çok bağımsız parçadan oluşan sistemlerde eğer
sistemin çalışıyor olması için bir yolla belirtilen güzergah
üstündeki herhangi parçanın çalışıyor olması yeterliyse bu
sistemler paralel sistemlerdir.
Ör: Alttaki örnekte C1 parçasının çalışır durumda olma
olasılığı 0.9 C2 parçasının çalışıyor durumda olma olasılığı 0.95
ise sistemin çalışıyor olma olasılığı nedir?
Burada sistemin çalışmaması için iki parçanın da aynı anda
çalışmaması gerekmektedir. Bir parçanın çalışmama olasılığı
1-çalışma olasılığıdır. Bu durumda sistemin çalışma olasılığı
P(C1 veya C2) = 1 - P(C1’, C2’) = 1- P(C1’)P(C2’) = 1 - (0.1)(0.05) = 0.995
58
5/26/2014
Ör:

Sistem altta belirtilen şekilde modellendiğine göre
sistemin çalışma olasılığı nedir ?

Çözüm: Sistemi iki kısımda çözebiliriz. İlk bloğun olasılığı
1- (0.1)(0.2)(0.1) =0.998
İkinci bloğun olasılığı 1- (0.1)(0.05)=0.995
Bütün sistemin güvenilirliği (çalışma olasılığı)
(0.998)(0.995)(0.99) = 0.983




Rastgele Değişkenlerin Fonksiyonları


Çoğu zaman bir rastsal değişken başka rastsal
değişkenlerin bir fonksiyonu olarak tanımlanabilir.
Y= X + c
Burada X bir rastgele değişken be c sabit bir değer olsun.
Yeni tanımlanan Y rastsal değişkeninin beklenen değeri ve
varyansı
E(Y)= E(X) + c = µ+c
V(Y) = V(X) + 0 = σ2
59
5/26/2014
Rastgele Değişkenlerin Fonksiyonları

Eğer bir sabit değer eklemek yerine bir sabitle çarparsak
Y=cX

Bu durumda yeni tanımlanan Y rastsal değişkeninin
beklenen değeri ve varyansı
E(Y)= E(cX) = cµ
V(Y) = V(cX) = c2σ2

olur.
Rastgele Değişkenlerin Lineer Fonksiyonları
Eğer X1, X2, ….. Xn rastgele değişkenlerse, E(Xi)= µi ve
V(Xi) = σi2 ise ve rastgele değişken Y
Y  c1 X 1  c2 X 2  ....  cn X n
ise
E (Y )  c11  c2 2  ....  cn n

V (Y )  c12 12  c22 22  ....  cn2 n2
dir.
 Eğer X1, X2, ….. Xn ve bağımsız normal rastgele
değişkenlerse Y de bağımsız normal rastgele değişken
olur.
60
5/26/2014
Ör:

X1 ve X2 nin üretilen bir çerçevenin enini ve boyunu
belirttiğini varsayalım. E(X1)= 2 cm ve X1 in standart
sapması 0.1 cm , E(X2)= 5 cm ve X2 nin standart
sapması 0.2 cm. X1 ve X2 bağımsız ve normal dağılıma
uygun değişkenlerse üretilen parçanın çevre uzunluğunun
X1
14,5 cm yi geçme olasılığını belirleyin.
Y=2X1+2X2 -> E(Y)=14 cm
X2
V(Y)=22 (0.1) 2+22(0.2)2=0.2 ve σ=0.447
X2
X1
P(Y>14,5)=P(Z>1.12)=0.13
Ör: U Şeklinde Parça



Bir U şeklinde parça üç farklı borudan yapılmaktadır. Borulara A,B,C
dersek, A’nın uzunluk ortalaması 10 mm standart sapması 0.1 mm , B
ve C’nin ortalama uzunluğu 2mm ve standart sapması 0.05 mm dir.
Bütün parçaların dağılımının bağımsız ve normal dağılıma uygun
olduğunu varsayarsak.
A) Aradaki D boşluğunun ortalama değerini ve standart sapmasını
belirleyin.
B) Bu boşluğun 5.9mm den küçük olma olasılığını hesaplayın.
Y=1X1+(-1) X2 +(-1) X3 -> E(Y)=6 mm
D
B
C
V(Y)=12 (0.1) 2+(-1)2 (0.05)2+(-1)2 (0.05)2=0.015 ve σ=0.1225
A
P(Y<5,9)=P(Z<-0.8164)=0.2072
61
5/26/2014
Ör:
1.
Galvanizleme işlemi sırasında yüzey bitirme işlemi hatası ortalaması 40 saat olan
üssel dağılıma uygun şekilde gerçekleşmektedir. Bir fabrika 3 adet birbirinden
bağımsız galvanizleme hattı bulundurmaktadır.
 40 saatlik çalışma süresinde hiçbir hattın yüzey bitirme işlemi hatası yaşamama
olasılığı nedir ?

İşleme başladıktan 20 ve 40 saatleri arasında bütün bu üç hattın hepsinin de iki
yüzey bitirme işlemi hatası yaşama olasılığı nedir?
Rastgele Örnekler, İstatistik ve
Merkezi Limit Teoremi
62
5/26/2014
Rastgele Örnekler, İstatistik ve Merkezi
Limit Teoremi



Rastgele Örneklem : Aynı anakütleden elde edilen x1, x2, x3,
... xn rastsal değişkenlerin oluşturduğu kümedir.
İstatistik : bu örneklemin bir fonksiyonudur. Ör:
Ortalama
Eğer ana kütlenin ortalaması µ ise, örneklemin
ortalamasının da µ olması beklenir. (Rastsal değişkenlerin lineer
fonksiyonu)

Bir istatistiğin olasılık dağılım fonksiyonu örneklemin
dağılımıdır.

Ör: Normal dağılıma sahip bir ana kütleden n tane örnek
alıp bir örneklem oluşturduk. Bu örneklemin ortalaması x
ve varyansı V( x ) olsun.
X

X 1  X 1  ...  X 1
n
ve
V (X ) 
 2   2 ......   2
n2

2
n
63
5/26/2014
Ör:

Kutu içecek doldurma makinesinin ortalama doldurma
miktarı 12.1 cl ve standart sapması 0.05 cl ise10 kutudan
oluşan bir rastgele örneklemin ortalama doluluk
miktarının 12 cl den az olma ihtimali nedir.
E ( X )  12.1

V (X ) 
0.052
 0.00025
10
Sonuçta
P( X  12)  P(Z  6.32)  0
Merkezi Limit Teorisi

X rastsal değişkenlerin ortalaması , varyansı 2
olsun. Bu kitleden örneklem büyüklüğü n olan
örneklemler çekilsin. n arttıkça, bu örneklemlerin
ortalamalarının dağılımı, ortalaması , varyansı 2/n
olan bir normal dağılıma yakınsar. Başka bir gösterim
ile
lim f ( X ) ~ N ( ; 2 n)
n
dir (Genelde, n30 olması ’nın dağılımının normal
kabul edilmesi için yeterlidir).
64
5/26/2014
Örneklem Dağılımı İçin Z Değeri
Z
burada:
(x  μ)
σ
n
µ= kitle ortalaması
x = örneklem ortalaması
σ= kitlenin standart sapması
n = örneklem büyüklüğüdür.
Örnek
Bilgisayar gereçleri üreten bir şirkette üretim oranları iki yıl takip
edilmiştir. Bu üretimde artış yüzdesinin ortalaması %12,2 ve
standart sapması %3,6 olan normal dağılıma uyduğu görülmektedir.
Bu kitleden yerine iade edilerek 9 gözlemlik örneklem seçilmiştir.
Örneklem ortalamasının %10’dan düşük olma olasılığı kaçtır?
µ=12,2
σ=3.6 n=9
 X   10  12,2 
  PZ 1,83)
PX 10)  P

3,6 9 
 x
P(Z<0)-P(-1,83<Z<0)=
0,0336
0,50-0,4664=0,0336
65
5/26/2014
1. Zar
Örneklem No
2. Zar
3. Zar
4. Zar
5. Zar
6. Zar
7. Zar
8. Zar
Topla 2
Topla 4
Topla 6
Toplam 8
1
1
3
6
1
5
3
4
4
2
2,75 3,166667
3,375
2
4
2
3
5
3
6
5
5
3
3,5 3,833333
4,125
3
5
2
3
6
6
3
1
3
3,5
4 4,166667
3,625
4
1
6
5
6
6
6
6
5
3,5
5
4
4
3
2
1
6
1
4
6
5
3
4
6
4
6
5
3
4,5
5
5,125
4
3,25 3,333333
3,125
4
4,5 4,666667
4,5
2
4
Aralıklar
0
Birikimli
Frekans
Aralık
0,5
0,5
0
1
1
0
1,5
1,5
0
8
1,163782 0,825439 0,694971 0,612664
Ortalama
3,523046 3,500501
3,51503 3,513277
Histogram 8 Li
2
2
0
2,5
2,5
19
3
3
92
3,5
3,5
234
120
4
4
373
100
4,5
4,5
464
5
5
494
5,5
5,5
499
6
6
499
Diğer
6
STD
160
Frekans
140
80
8 Li
60
2 Li
40
20
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
Koşullu Olasılık Ve Bağımsızlık

Bir satış yerinin deposunda 25 elektrik ampulü var. Bu ampuller
altta belirtilen iki farklı üreticiden gelmiş durumda ve bazıları
kusurlu.
Kontrol amacıyla rastlantısal
Kusursuz Kusurlu Toplam olarak bir ampul seçilmekte ve
Üretici1
Üretici2
Total
10
8
18
P(E) = ? , P(F)=?, P(E ve F) = ?
5
2
7
15
10
25
buna göre
E=seçilen ampulün üretici 1
den olma olasılığı
F=seçilen ampulün kusurlu
olma olasılığı
Olsun.
P(E) = 15/25 , P(F)=7/25, P(E ve F) = 5/25
Kontrol sonucunda kusurlu olduğu saptanan bir ampulün üretici 1 den gelmiş olma olasılığı
nedir ? P (E|F) = ?
P (E|F) = P(E ve F)/P(F) = 5/7
66
5/26/2014
Koşullu Olasılık


Gelen yeni bilgileri kullanarak olasılık tahminlerini
güncellemenin temellerini oluşturdukları için koşullu
olasılıklar mühendislik uygulamalarında özel olarak önem
verilmesi gereken konulardır.
B olayı gerçekleştiğinde A olayının olma olasılığı
P( A | B) 
P( A  B)
, P( B)  0
P( B)
Ör: 52 kartlık desteden çekilen bir kartın yüz kartlarından bir
olduğu bilindiğine göre vale olma olası kaçtır.
Bağımsızlık

İki olay E ve F bağımsız demek

P(E|F) = P(E)
E ve F olayları birbirinden bağımsızsa
P(E ve F) = P(E) P(F)
67
5/26/2014
Çarpma Kuralı
P( A | B) 
P( A  B)
, P( B)  0
P( B)
veya
135
Bayes Kuralı

Bir önceki slayttaki iki kuralı birleştirirsek
P( B | A) 
P( A | B) P( B)
P( A)
68
5/26/2014
Örnek: Tıbbi Uygulama


Bir doktor beyin zarı iltihabının %50 ihtimalle boyun
tutulmasına neden olduğunu biliyor. Bunun yanında yapılan
çalışmalar sonucunda elde edilen verilere göre beyin zarı
iltihabının olma olasılığı 1/50.000 ve boyun tutulmasının
görülme olasılığı 1/20.
Gelen bir hastada boyun tutulması gözlemlendiğine göre
hastada beyin zarı iltihabının olma olasılığı nedir?
P(b|z) = 0.5 , P(b) = 1/20 ve P(z)=1/50.000 ise P(z|b) = ?
(0.5x1/50.000)/(1/20)=1/5000
Örnek 2:


Tıbbi testler bazen yanlış-pozitif yada yanlış-negatif sonuçlar
verebilir.
Bir testin altta belirtilen şekilde davranıyor:




Doğru şekilde “Pozitif” %94 oranında buluyor.
Doğru şekilde “Negatif” %98 oranında buluyor.
Nüfusun %4’ü belirtilen hastalığa yakalanıyor.
Test sonucu pozitifken bu hastalığa sahip olma olasılığı nedir.
69
5/26/2014
Çözüm

Alttaki olayları tanımlayalım.




H – Hastalık var.
Hc – Hastalık yok.
PT – Pozitif test sonucu.
NT – Negatif test sonucu.
Çözüm
 Verilen olasılıkları yazarsak:



P(H) = .04
P(HC) = .96
P(PT|H) = .94 P(NT|H)= .06
P(PT|HC) = .02 P(NT|HC) = .98
 Ve hesaplamak istediğimiz olasılık test sonucunun pozitif
geldiği bir durumda hasta olma olasılığımız P(H|PT) =?
70
5/26/2014
Bayes’in Formülü
P(H ve PT)
=.0376
P( H | PT ) 
+
P(HC ve PT)
=.0192

P( H ve PT )
P( PT )
.0376
 .6620
.0568
P(PT) =.0568
Bayes’in Kanunu
İlk olasılıklar
Koşullu Olasılıklar
Sonuçta oluşan
olasılıklar
P( H | PT )  .0376  .6620
.0568
71
5/26/2014
FİNAL BURAYA KADAR
72
Download

Rastgele Değişkenler ve Olasılık