DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Zaman Domeninde Modelleme
• Transfer Fonksiyonu – Durum Uzay Dönüşümü
• Durum Uzay – Transfer Fonksiyonu Dönüşümü
• Durum Uzayında Doğrusallaştırma
1
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel
modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin
Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem
modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma
dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz
konusuydu:
1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen
diferansiyel denklem, “Laplace Dönüşümü” yoluyla frekans domeninde
ifade edilir. Bu yaklaşım sadece doğrusal sistemlere uygulanabilir.
2. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen
diferansiyel denklem, “Durum-Uzay Dönüşümü” yoluyla zaman
domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım hem doğrusal, hem de doğrusal
olmayan sistemlere uygulanabilir.
Bir önceki derste klasik yaklaşımdan bahsettik. Bugün ise modern
yaklaşım tanıtılacaktır.
2
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Klasik yaklaşım, sistemi modelleyen diferansiyel denklemi, Laplace dönüşümü
yoluyla cebirsel bir denkleme dönüştürür. Bu yaklaşımın temel dezavantajı, sadece
doğrusal zamanla değişmeyen sistemlere uygulanabilmesidir. Temel avantajı ise,
kararlılık ve geçici zaman cevabı gibi temel performans spesifikasyonları ile ilgili
olarak çok fazla matematiksel işleme gerek bırakmadan bilgi sağlamasıdır.
Soğuk savaş döneminde uzay araştırmalarının yoğunlaşması, hem kontrol
sistemlerine duyulan ihtiyacı artırmış, hem de doğrusal olmayan sistemlerin daha
yaygın bir biçimde ortaya çıkmasına sebep olmuştur. Bu nedenle yeni bir
modelleme ve kontrol yaklaşımına ihtiyaç duyulmuştur. Modern Yaklaşım, ya da
diğer isimleri ile “Zaman Domeni Yaklaşımı” ve “Durum-Uzay Yaklaşımı” bu
ihtiyacın sonucu olarak ortaya çıkmıştır. Modern yaklaşımın temel avantajı hem
doğrusal hem de doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir olmasıdır (bugünkü
derste sadece doğrusal sistemlere, son hafta ise doğrusal olmayan sistemlere
uygulanmasını inceleyeceğiz,). Temel dezavantajı ise sistem performansının
belirlenmesi için görece daha fazla matematiksel hesap gerektirmesidir. Ancak
günümüz bilgisayarları ve ticari paket programlar bu hesaplamaları çok kısa sürede
yapabilmektedir.
3
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Durum-Uzay Yaklaşımı ağırlıklı olarak matris cebrine dayalıdır. Bu nedenle temel
Lineer Cebir tanım ve aksiyomlarını gözden geçirmeniz önerilir.
Şimdi Durum-Uzay Yaklaşımında sıkça kullanacağımız bazı ek kavramların
tanımlarını verelim:
Lineer Kombinasyon: xi, {i=1,2,……,n} ile gösterilen n adet değişkenin lineer
kombinasyonu,
S  Kn xn  Kn 1xn 1  .......  K1x1
ile gösterilen toplamdır. Buradaki her bir Ki katsayısı birer sabittir.
Lineer Bağımsızlık: Bir değişken kümesi, eğer o kümedeki elemanların her biri
diğerlerinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılamıyorsa lineer bağımsızdır.
Örneğin 3 elemanlı, x1, x2 ve x3 değişkenlerinden oluşan kümeyi ele alalım. Eğer bu
kümede x2=5x1+6x3 şeklinde ise, bu küme lineer bağımsız değildir! Çünkü
değişkenlerden biri, diğer ikisinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabiliyordur. Bir
elektrik devresinde direncin uçlarındaki gerilim ile direnç üzerinden akan akımdan,
yani vr ve ir değişkenlerinden oluşan bir küme düşünelim. vr=Rir olduğu için, yani
bu iki değişken birbirinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabildiği için, bu küme
de lineer bağımsız değildir. Bir kümede, ancak tüm Ki=0 ve xi≠0 olduğu zaman S
4
toplamı sıfır oluyorsa o küme bağımsızdır.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Sistem Değişkeni: Bir sistemde, herhangi bir girişe (etkiye) tepki üreten tüm
değişkenler, o sistem için birer sistem değişkenidir. Örneğin bir elektrik
devresine gerilim uygulanırsa, devreden bir akım geçmeye başlar ve bu
nedenle akım bir sistem değişkenidir. Ya da dönen bir mekanik sisteme tork
uygulanırsa açısal konum değişeceğinden, açısal konum (yerdeğiştirme) bir
sistem değişkenidir.
Durum Değişkeni: Sistem değişkenlerinin birbirinden lineer bağımsız olanların
en küçük kümesine durum değişkenleri denir. Durum değişkenlerinin seçimi,
“Durum-Uzay Yöntemi” için kritik öneme sahiptir.
Durum Vektörü: Elemanları durum değişkenleri olan vektördür.
Durum Uzayı: Eksenleri durum değişkenleri olan n-boyutlu uzaydır.
5
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Durum Uzayı kavramını görselleştirmek için aşağıdaki şekli göz önünde
bulunduralım. Bu örnek şekilde, bir elektrik devresine ait iki adet durum değişkeni
vardır: Direncin uçlarındaki gerilim vR ve kondansatörün uçlarındaki gerilim vC. Bu
iki değişken şekildeki gibi 2 boyutlu bir uzay oluşturur. Durum vektörü x(t), bu iki
değişkeni içeren bir vektördür. Yani;
v 
x (t )   R 
vC 
şeklindedir. Yörünge (trajectory),
zaman geçtikçe bu vektörün uzayda
aldığı değerleri gösterir. Örneğin t=4
anında durum vektörü, yörünge
üzerinde
şekilde
gösterilen
konumdadır.
6
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Durum Denklemleri: n tane durum değişkeni içeren bir sistemin, n adet birinci
mertebeden diferansiyel denklem kümesidir. Yani, sistemi modelleyen
diferansiyel denklem kullanılarak, sistemin her bir durum değişkeni için bir adet
birinci mertebeden diferansiyel denklem yazılır.
Çıkış Denklemi: Çıkış değişkeni olarak seçilen değişkene ilişkin denklemdir. Bu
denklem, durum değişkenleri ve giriş değişkenlerinin bir kombinasyonudur.
Bu kadar göz korkutucu tanımdan sonra, bir sistemin durum-uzay modelinin
genel formunu verip, daha sonra örnekler üzerinden, diferansiyel denklem
modeli bilinen bir sistemin durum-uzay modelinin nasıl oluşturulacağını
açıklayalım.
7
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bir sistemin durum-uzay modelinin genel formu aşağıdaki gibidir:
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Bu dersin geri kalan kısmında artık sıkça göreceğiniz bu iki denklemden ilki
“Durum Denklemi”, ikincisi ise “Çıkış Denklemi” olarak adlandırılır. (Bu
denklemlerdeki değişkenler birer vektör/matris olduğu için, matematiksel notasyon gereği kalın
yazılırlar). Bu değişkenlerden her biri aşağıdaki gibi isimlendirilir:
x : Durum vektörü (Elemanları durum değişkenleri olan vektör)
x : Durum değişkenlerinin zamana göre türevi
y : Çıkış vektörü (Elemanları çıkış değişkenleri olan vektör)
u : Giriş vektörü (Elemanları giriş değişkenleri olan vektör)
A : Sistem matrisi
B : Giriş matrisi
C : Çıkış matrisi
D: İleribesleme matrisi
8
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Diferansiyel denklem modeli bilinen bir sistemin, bu diferansiyel denklem
modelinin yukarıdaki durum-uzay formuna sokulmasına ilişkin aşamalar şu
şekildedir:
1. Durum değişkenlerinin seçilmesi
2. Diferansiyel denklem modelinin, cebirsel işlemlere her biri durum
değişkenlerinden birinin birinci mertebeden diferansiyel denklemi olacak
şekilde yeniden yazılarak Durum Denkleminin oluşturulması
3. Çıkış Denkleminin oluşturulması
Buradaki ikinci ve üçüncü aşama basit matematiksel işlemlerden oluşmaktadır.
Ancak ilk aşama, yani durum değişkenlerinin seçimi üzerine birkaç önemli
noktayı vurgulayalım.
9
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Her şeyden önce durum değişkenleri lineer bağımsız olmalıdır.
• Genellikle durum değişkenlerinin sayısı, sistemi modelleyen diferansiyel
denklemin mertebesine eşittir.
• Durum değişkenlerinin seçimine ilişkin pratik bir yaklaşım, sistemde enerji
depolayan elemanlara ilişkin değişkenlerin, durum değişkeni olarak seçilmesidir.
Örneğin bir elektrik devresinde enerji depolayan elamanlar indüktör ve
kapasitördür. İndüktör, enerjiyi manyetik alanda depolar. Manyetik alan, akımın bir
fonksiyonu olduğu için indüktör akımı durum değişkeni olarak seçilir. Kapasitör ise
enerjiyi elektrik alanda depolar. Elektrik alan, gerilimin bir fonksiyonudur ve bu
nedenle kapasitör uçlarındaki gerilim durum değişkeni olarak seçilir. Mekanik
sistemlerde ise (genellikle) kütlenin pozisyonu ve hızı durum değişkeni olarak
seçilir.
• Tüm bu bilgilere ek olarak, durum değişkenlerinin seçimi genellikle mühendislik
tecrübesi yoluyla edinilen bir yetidir.
Tüm bu sıkıcı tanım ve açıklamaları örneklerle somutlaştıralım:
10
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: İlk önce basit bir diferansiyel denklem modelini Durum-Uzay formuna
dönüştürmekle başlayalım. Daha sonra diğer örneklerde fiziksel sistemlere ve bu
fiziksel sistemlerde durum değişkenlerinin nasıl seçileceğine geçelim. Aşağıdaki
ikinci mertebeden diferansiyel denklemi göz önünde bulunduralım:
z  2z  7 z  3u
İkinci mertebeden bu doğrusal diferansiyel denklemde bağımsız değişken her ne
kadar doğrudan görünmese de, ● (dot) operatörü genellikle zamana göre türevi
sembolize eder. Şimdi durum-uzay denklemlerinin genel formunu hatırlayalım:
x  Ax  Bu
Durum Denklemi
y  Cx  Du
Çıkış Denklemi
Yapmamız gerekenler sırasıyla; (1) durum değişkenlerini (x) seçmek, (2) durum
değişkenlerinin türevini, yine durum değişkenleri (x) ve giriş değişkeni (u) cinsinden
birinci mertebeden denklemler şeklinde yazarak durum denklemini oluşturmak, (3)
çıkış değişkenini (y) seçmek ve çıkış değişkenini durum değişkenleri ve giriş
11
değişkeni cinsinden yazmak.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
z  2z  7 z  3u
Bu diferansiyel denklem ikinci mertebeden olduğu için iki adet durum değişkeni
olacaktır. Bu durum değişkenlerini
x1  z
x2  z
olarak seçelim. Bu durum değişkenlerinin türevini aldığımızda;
x1  z  x2
x2  z  2 x2  7 x1  3u
Böylece durum değişkenlerinin türevini, yine durum değişkenleri ve giriş değişkeni
cinsinden ifade etmiş olduk. Yani artık durum denklemini yazabiliriz:
x  Ax  Bu
 x1   0 1   x1  0
 x    7 2  x   3 u
 2  
 2 
A
B
12
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Çıkış değişkenini de y=z olarak seçelim. Bu durumda çıkış denklemi vektör-matris
formunda aşağıdaki gibi olacaktır:
 x1 
y  1 0  
 x2 
C
Bu örnekte çıkışın (y), giriş (u) ile doğrudan bir bağıntısı olmadığı için D matrisi
sıfıra eşittir. Sonuç olarak bu diferansiyel denklemin durum-uzay gösterimi
aşağıdaki gibi olacaktır:
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
 x1   0 1   x1  0 
 x    7 2   x    3 u
 2  
 2 
 x1 
y  1 0  
 x2 
13
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Sistem n boyutluysa, yani sistemi modelleyen diferansiyel denklem n’inci
mertebeden bir denklemse, A matrisi n×n boyutlu bir kare matristir. Bu örnekte iki
durum değişkeni olduğu için, A matrisi 2×2 bir matristir.
Sistemdeki diğer matris ve vektörlerin boyutu aşağıdaki gibidir: (Bu örnekte sistem Tek
Giriş – Tek Çıkış bir sistemdir. Birçok sistem Çok Giriş – Çok Çıkış (Multi Input – Multi Output)
olabilir. Yani birden fazla giriş ve/veya çıkış değişkenine sahip olabilir. Bu nedenle aşağıda
matris boyutlarının en genel hali verilmiştir. p giriş değişkeni sayısını, r ise çıkış değişkeni
sayısını göstermektedir.)
x : n×1
x : n×1
y : r×1
u : p×1
A : n×n
B : n×p
C : r×n
D: r×p
14
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Sistemi modelleyen diferansiyel denklemi neden yukarıdaki formda yazmaya
zorladığımız sorusu haklı olarak akla gelebilir. Hatırlanacağı üzere klasik yaklaşımda
sistemi modelleyen diferansiyel denklemi Laplace Dönüşümü yoluyla frekans
domeninde ifade edip, daha sonra transfer fonksiyonunu yazıyorduk. Bunun
nedeni, transfer fonksiyonunun sistemin davranışı hakkında bize kullanışlı bilgiler
sağlamasıydı. Örneğin sistem kararlılığı, geçici hal cevabı gibi önemli performans
kriterlerini transfer fonksiyonu yoluyla belirleyebiliriz. Aynı neden, modern
yaklaşım için de geçerlidir. Yani sistemi modelleyen diferansiyel denklemi DurumUzay Dönüşümü yoluyla yukarıdaki formda yazmamızın nedeni, buradaki A, B, C
ve D matrislerinin sistem performansı hakkında kullanışlı bilgi sağlamasıdır.
Örneğin sistemin kararlı olup olmadığı A matrisinin özdeğerleri bulunarak
belirlenebilir. Aynı diferansiyel denklemi hem transfer fonksiyonu formunda hem
de durum-uzay formunda ifade edersek, A matrisinin özdeğerleri ile transfer
15
fonksiyonunun kutuplarının tamamen aynı değerde olduğunu görürüz.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Şimdi de daha önce transfer fonksiyonunu türettiğimiz aşağıdaki mekanik
sistemin durum-uzay denklemlerini türetelim. Cisme etki eden kuvvetler şekilde
gösterildiği gibidir. Newton yasasına göre;
 F  ma
dx(t )
d 2 x(t )
f (t )  f v
 Kx(t )  m
dt
dt 2
Sistemin giriş değişkeninin f(t) olduğunu biliyoruz.
Çıkış değişkeni olarak, yani değişimini gözlemek
istediğimiz değişken olarak x(t)’yi seçelim.
Yukarıdaki diferansiyel denklem ikinci mertebeden
olduğu için iki adet durum değişkeni olmalıdır. Bu
değişkenlerin bu tür mekanik sistemlerde
genellikle kütlenin konumu x(t) ve hızı v(t) olarak
seçildiğini daha önce vurgulamıştık.
16
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
d 2 x(t )
dx(t )
m
 fv
 Kx(t )  f (t )
2
dt
dt
Durum değişkenlerini
x1  x
dx
x2 
dt
olarak seçelim. Bu durum değişkenlerinin zaman göre türevini aldığımızda
x1  x2
fv
k
x2  x2  x1  f (t )
m
m
elde ederiz. Çıkış denklemi ise şu şekildedir:
y  x1
17
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x1  x2
fv
k
x2  x2  x1  f (t )
m
m
y  x1
Durum Denklemi
Çıkış Denklemi
Bu denklemler, vektör-matris formunda aşağıdaki gibi yazılır:
x  Ax  Bu
y  Cx  Du
0
 x1  
x    k
 2 
m
1
 x1  0 

f v       f (t )
x2  1 

m 
 x1 
y  1 0  
18
 x2 
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Şimdi de elektriksel bir sistemin durum-uzay denklemlerini türetelim. Aşağıdaki
devrede çıkış değişkeni olarak direncin üzerinden akan akımı, iR(t), seçelim. Giriş
değişkeninin ne olduğu ise aşikardır: v(t).
Daha önce elektrik devrelerinde durum değişkenlerinin seçimi ile alakalı olarak
şunları söylemiştik: Bir elektrik devresinde enerji depolayan elamanlar indüktör ve
kapasitördür. İndüktör, enerjiyi manyetik alanda depolar. Manyetik alan, akımın bir
fonksiyonu olduğu için indüktör akımı durum değişkeni olarak seçilir. Kapasitör ise
enerjiyi elektrik alanda depolar. Elektrik alan, gerilimin bir fonksiyonudur ve bu
19
nedenle kapasitör uçlarındaki gerilim durum değişkeni olarak seçilir.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu nedenle durum değişkenlerini iL ve vC olarak seçelim. Bu aşamadan sonra
sistemi modelleyen
denklemler türetilip, bu
denklemler yardımıyla
durum değişkenlerinin
türevinin, durum
değişkenlerinin kendisi
ve giriş değişkeni
cinsinden yazılması
gerekir.
Yani Kirchhoff kanunları yardımıyla yazacağımız denklemler üzerinde manipülasyon
yapıp, bu denklemleri durum değişkenlerinin türevinin, durum değişkenlerinin
kendisi ve giriş değişkeni cinsinden yazılmış forma sokmamız gerekir. Durum
değişkenlerinin türevi bize aşağıdaki büyüklükleri verir:
dvC
C
 iC
dt
di
L  vL
dt
20
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
1 nolu düğümden:
iC  iR  iL
1
  vC  iL
R
Bu denklem, birinci
durum değişkeninin
türevinin, durum
değişkenlerinin kendisi cinsinden yazılmış formunu verir. Çünkü iC akımı birinci
durum değişkeni olan vC’nin türevine eşittir. Yani
dvC
C
 iC
dt
olduğu için, birinci durum değişkenine ilişkin denklem şu şekilde olur:
dvC
1
1

vC  iL
dt
RC
C
21
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İkinci durum değişkeni
için, Kirchhoff’un
Gerilimler Kanununa
göre, dış çevreden şu
denklemi yazabiliriz:
vL  vC  v(t )
Bu denklem yardımıyla da ikinci durum değişkeninin türevini, durum
değişkenlerinin kendisi ve giriş değişkeni cinsinden yazabiliriz. Yani
diL
L
 vL
dt
olduğu için, ikinci durum değişkenine ilişkin denklem şu şekilde olur:
diL
1
1
  vC  v(t )
dt
L
L
22
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Son olarak çıkış denklemi de
1
iR  vC
R
olarak yazılırsa, sistemin durum-uzay denklemleri aşağıdaki gibi olur:
1
 1

0


vC 
RC C vC   
    1 v(t )
i   
iL   

 L  1

0


L


 L

vC 
iR  1 0  
 iL 
23
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıdaki sistemin durum-uzay denklemlerini türetiniz. Çıkış değişkeni
olarak vo(t) değişkenini seçiniz.
 1 / C1 1 / C1 1 / C1 
0 
x   1 / L
0
0  x  1  vi (t )
 1 / C2
0 
0
1 / C2 
y  0 0 1 x
24
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıdaki sistemin durum-uzay denklemlerini türetiniz. Çıkış değişkeni
olarak x2(t) değişkenini seçiniz.
İpucu: Bu sistemde hareket eden iki adet kütle olduğu için, her birine ilişkin birer
tane ikinci mertebeden diferansiyel denklem olacaktır. Dolayısıyla her bir kütleye
ilişkin ikişer tane de durum değişkeni, yani toplamda dört durum değişkeni
olacaktır. Bu durum değişkenleri x1, v1, x2 ve v2 dir.
25
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
1
0
 x1   0
 v  K / M D / M
K / M1
1
1
 1  
 x2   0
0
0
  
0
K / M 2
 v2   K / M 2
Çıkış denklemi?
0   x1   0 
0  v1   0 

f (t )
1   x2   0 
  

0  v2  1 / M 2 
26
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Zaman Domeninde Modelleme 
• Transfer Fonksiyonu – Durum Uzay Dönüşümü
• Durum Uzay – Transfer Fonksiyonu Dönüşümü
• Durum Uzayında Doğrusallaştırma
27
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Daha önce bir sistemin transfer fonksiyonu modeli ile durum-uzay modelinin
birbirinin duali olduğunu, sistemin dinamik davranışı hakkında aynı bilgileri
verdiklerini, örneğin transfer fonksiyonunun kutupları ile sistem matrisi A’nın
özdeğerlerinin aynı olduğunu söylemiştik. Bu durumda bu iki modelin birbirine
dönüştürülmesi mümkündür. Her iki modelleme yaklaşımının da birbirlerine göre
avantajlı yönleri vardır. Dolayısıyla bu dönüşümlerde amaç, dönüşüm yapılan
modelleme yaklaşımının avantajlarından faydalanmaktır. Bir sistemin transfer
fonksiyonu modelinin, durum-uzay modeline nasıl dönüştürüleceğinden
başlayalım. Bunun için önce o transfer fonksiyonuna ilişkin diferansiyel denklem
yazılır, daha sonra bu dif. denklem durum-uzay formuna dönüştürülür. Önce n’inci
mertebeden bir diferansiyel denklemin durum-uzay formunda yazılmasını aşama
aşama anlatıp, daha sonra bunun transfer fonksiyonlarına nasıl uygulanacağını
gösterelim. n’inci mertebeden sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denklemin
genel formu
dny
d n 1 y
d n2 y
dy
 an 1 n 1  an  2 n  2  ............  a1  a0 y  b0u
n
dt
dt
dt
dt
şeklindedir.
28
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
dny
d n 1 y
d n2 y
dy
 an 1 n 1  an  2 n  2  ............  a1  a0 y  b0u
n
dt
dt
dt
dt
şeklindedir. Bu diferansiyel denklemi durum-uzay formunda ifade etmek için,
durum değişkenlerini birbirinin ardışık türevi olacak şekilde aşağıdaki gibi seçelim:
dy
x

 x2
1
x1  y
dt
2
dy
d
y
x2 
x2  2  x3
dt
dt
3
d 2 y Denklemlerin her iki
d
y
x3  2
x 
 x4
dt tarafının türevi alınırsa: 3 dt 3
.
.
.
.
.
d n 1 y
xn  n 1
dt
.
dny
xn  n   a0 x1  a1 x2  ........  an 1 xn  b290u
dt
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu durumda bu diferansiyel denklemin durum-uzay formu aşağıdaki gibi olacaktır.
 x1   0
x   0
 2  
 x3   0

 
 .  .
 .   .

 
 .   .
x   0
 n 1  
 xn   a0
1
0
0
1
0
0
.
.
.
.
.
.
0
0
1
.
.
.
0
0
0
.
.
.
a3
.
.
.
a1 a2
0   x1   0 
0   x2   0 
0   x3   0 

  
.  .   . 
  u



.
.
.

  
.  .   . 
1   xn 1   0 

  
an 1   xn  b0 
Yukarıdaki forma “faz-değişkeni formu” denir. Bu form, sistem matrisindeki ve 1 ve
0’ların deseninden kolayca tanınabilir.
30
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Çıkış değişkeni, diferansiyel denklemin çözümü olan y(t) dir. Bu değişken x1 olarak
seçildiği için, çıkış denklemi ise şu şekilde olacaktır:
 x1 
x 
 2 
 x3 


.

y  1 0 0 0 . . . 0 
. 


 . 
x 
 n 1 
 xn 
Özet olarak, transfer fonksiyonunu durum-uzay formuna dönüştürmek için, önce o
transfer fonksiyonunun içler-dışlar çarpımı yoluyla ve tüm başlangıç koşulları sıfır
kabul edilerek Ters Laplace Dönüşümü ile diferansiyel denklemi yazılır, daha sonra
bu diferansiyel denklem yukarıda anlatıldığı gibi “faz-değişkeni formu”nda durum31
uzay denklemlerine dönüştürülür. Örneklerle somutlaştıralım:
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun durum-uzay gösterimini türetiniz.
C ( s)
24
 3
R( s) s  9s 2  26s  24
C: Bu dönüşüm, aşağıda adım adım gösterilmiştir:
Adım 1: Transfer fonksiyonunu diferansiyel denkleme dönüştür:


İçler-dışlar çarpımı yapılırsa: s3  9s 2  26s  24 C (s)  24R(s)
Ters Laplace Dönüşümü alınırsa:
(Tüm başlangıç koşulları = 0)
c  9c  26c  24c  24r
Adım 2: Durum değişkenlerini seç:
Durum değişkenleri, çıkış değişkeninin ardışık türevleri olarak seçilirse:
x1  c
x2  c
x3  c
Denklemlerin her iki
tarafının türevi alınırsa:
x1  x2
x2  x3
x3  24 x1  26 x2  9 x3  24r
32
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Çıkış denklemi de y=c=x1 olduğu için, verilen transfer fonksiyonunun durum-uzay
formu aşağıdaki gibi olur:
1
0   x1  0
 x1   0
x    0
  x   0 r
0
1
 2 
 2  
 x3   24 26 9  x3  1 
 x1 
y  1 0 0  x2 
 x3 
Sağdaki şekil ise, bu sistemin blok diyagramıdır.
33
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu örnekte, verilen transfer fonksiyonunun pay kısmında sadece bir sabit sayı (24)
vardı. Peki pay kısmında bir polinom olması durumunda dönüşümün nasıl bir form
alır? Genel formu Şekil (a)’da görülen bu tür bir transfer fonksiyonunun durumuzay formunun hesaplanması için en pratik yöntem, Şekil (b)’de görüldüğü gibi
transfer fonksiyonunu iki ayrı blok diyagramın kaskat bağlı hali gibi düşünmektir.
Böylece ilk önce R(s) ile X1(s) arasındaki transfer fonksiyonunun durum-uzay
formu, az önceki örnekte anlatıldığı gibi elde edilir.
34
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu durumda çıkışın ifadesi: C (s)   b2 s 2  b1s  b0  X1 (s)
d 2 x1
dx1
 b0 x1
Ters Laplace Dönüşümü alınırsa: y(t )  c(t )  b2 2  b1
dt
dt
Durum değişkenleri, çıkış değişkeninin ardışık türevleri olarak seçildiği için, bu
denklem aynı zamana şuna eşittir: y(t )  c(t )  b2 x3  b1x2  b0 x1 . Yani pay kısmındaki
polinom, sadece çıkış denklemini etkiler. Buna ilişkin bir örnek yapalım.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun durum-uzay gösterimini türetiniz.
C: Bu dönüşüm, aşağıda adım adım gösterilmiştir:
Adım 1: Transfer fonksiyonunu aşağıdaki gibi iki blok halinde ayır:
Adım 2: R(s) ile X1(s) arasındaki transfer fonksiyonunu bul:
Payda polinomunun katsayıları bir önceki örnekle aynıdır (sadece pay kısmında 24 yok)
1
0   x1  0
 x1   0
x    0
  x   0 r
0
1
 2 
 2  
 x3   24 26 9  x3  1 
36
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Adım 3: Çıkış denklemini elde et:
C (s)   s 2  7 s  2  X 1 (s)
y(t )  c(t )  x1  7 x1  2 x1
y(t )  c(t )  x3  7 x2  2 x1
 x1 
y   2 7 1  x2 
 x3 
37
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıda verilen transfer fonksiyonunun durum-uzay formunu elde ediniz.
2s  1
G( s)  2
s  7s  9
0 1
0
x
x    r (t )

 9 7 
1 
y  1 2 x
38
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Zaman Domeninde Modelleme 
• Transfer Fonksiyonu – Durum Uzay Dönüşümü 
• Durum Uzay – Transfer Fonksiyonu Dönüşümü
• Durum Uzayında Doğrusallaştırma
39
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şimdi de dinamik modeli durum-uzay formunda verilmiş bir sistemin transfer
fonksiyonunun nasıl bulunacağını inceleyelim.
Durum denkleminin ve çıkış denklemlerinin genel formu: x  Ax  Bu
y  Cx  Du
Denklemlerin her iki tarafının Laplace Dönüşümü alınırsa:
sX ( s)  AX ( s)  BU ( s)
Y ( s)  CX ( s)  DU ( s)
Durum denklemi X(s) için çözülürse:
(I: Birim matris)
 sI  A X (s)  BU (s)
1
X ( s)   sI  A BU ( s)
X(s) için elde edilen bu ifade çıkış denkleminde yerine yazılırsa:
Y ( s)  C  sI  A BU ( s)  DU ( s)
1
1

Y ( s)  C  sI  A B  D  U ( s)


Dikkat edilirse bu denklem, sistem çıkışı Y(s) ile sistem girişi U(s)’i doğrudan birbiriyle
40
ilişkilendirir. Eğer giriş ve çıkış skaler ise, bu denklem kullanılarak transfer fonksiyonu yazılır.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
1

Y (s)  C  sI  A B  D  U (s)


Y ( s)
1
T (s) 
 C  sI  A B  D
U ( s)
Bu denklem kullanılarak transfer fonksiyonunun nasıl
hesaplanacağına ilişkin bir örnek yapalım.
41
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda durum-uzay modeli verilen sistemin transfer fonksiyonunu türetiniz.
0 1 0
10 
x   0 0 1  x   0  u
 1 2 3
 0 
y  1 0 0 x
C: Dönüşüm,
T (s) 
Y ( s)
1
 C  sI  A B  D denklemi kullanılarak yapılır.
U ( s)
Bu denklemin en çok hesap yükü gerektiren kısmı (sI-A)-1 matrisidir. Bu matrisin
hesaplanması için öncelikle (sI-A) matrisi hesaplanıp, daha sonra bu matrisin tersi bulunur.
0 
 s 0 0  0 1 0   s 1






 sI  A  0 s 0   0 0 1   0 s 1 
0 0 s   1 2 3 1 2 s  3
42
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
 s 2  3s  2
s3
1


1
s ( s  3) s 

2


s

(2
s

1)
s
adj
s
I

A


1


 sI  A 
det  sI  A
s 3  3s 2  2s  1
T (s) 
Y ( s)
1
 C  sI  A B  D
U ( s)
 s 2  3s  2
s3
1


1
s( s  3) s 

2  10 

s
(2s  1) s   

T ( s)  1 0 0
00
3
2

s  3s  2s  1
 0 
C
(sI-A)-1
B
D
T ( s) 
10  s 2  3s  2 
s 3  3s 2  2s  1
43
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıda durum-uzay modeli verilen sistemin transfer fonksiyonunu türetiniz.
 4 1.5
 2
x
x   u

0 
4
0
y  1.5 0.625 x
3s  5
G( s)  2
s  4s  6
44
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Zaman Domeninde Modelleme 
• Transfer Fonksiyonu – Durum Uzay Dönüşümü 
• Durum Uzay – Transfer Fonksiyonu Dönüşümü 
• Durum Uzayında Doğrusallaştırma
45
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İlk hafta, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağını
görmüştük. Bu haftaki dersin son kısmında ise, doğrusal olmayan bir sistemin
durum-uzay denklemlerinin nasıl doğrusallaştırılacağından bahsedeceğiz. Esasen
kullanacağımız yöntem tamamen geçen hafta kullandığımız yöntemle aynıdır:
Taylor Serileri Açılımı !
Bu nedenle de tamamen aynı formülasyonu kullanacağız. Bunu oldukça yaygın
olarak kullanılan bir örnekle açıklayalım: Sarkaç
46
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Şekildeki sarkaçta T sarkaca uygulanan tork, Mg sarkacın ağırlığı, J eylemsizliği,
L uzunluğu ve θ sarkacın konumudur. Önce bu sistemin hareket denklemini
yazalım, daha sonra durum-uzay denklemlerini türetip, bu denklemleri denge
noktasının küçük komşulukları için doğrusallaştıralım:
Hareket Denklemi:
d 2 MgL
J 2 
sin   T
dt
2
Durum değişkenleri:
x1  
d
x2 
dt
Durum-uzay modeli:
Bu doğrusal olmayan modeli, denge noktası x1=0 ve x2=0
noktasının etrafında doğrusallaştıralım. (Model neden
doğrusal değil? Belirtilen noktanın bir denge noktası
olduğunu nasıl bulduk? Başka denge noktası/noktaları var mı?)
x1  x2
MgL
T
x2  
sin x1 
2J
J
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x1  x2
x2  
MgL
T
sin x1 
2J
J
Bu aşamadan sonrası daha önce gördüğümüz doğrusallaştırma yaklaşımının
uygulanması işlemidir. Elde ettiğimiz durum denklemlerinde, durum değişkenleri x1
ve x2 yerine, onların denge noktası [0,0] etrafındaki küçük değişimlerini temsil
eden
x1   x1  0
x2   x2  0
değerlerini yazalım. Bu durumda denklemler
 x1   x2
MgL
T
 x2  
sin  x1 
2J
J
halini alır. İlk denklem zaten doğrusal bir denklemdir. Bu modeli doğrusal olmayan
bir model yapan, ikinci denklemdeki sin terimidir. Dolayısıyla doğrusallaştırılacak
olan ifade, f(x)=sin(δx1+0)= sinδx1 ifadesidir.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
df
Bunun için daha önce elde ettiğimiz f ( x)  f  x0  
dx
değerleri yerine koyalım:
df
f ( x)  f  x0  
dx
 x denkleminde
x  x0
d (sin x1 )
sin  x1  sin 0 
dx
x
x  x0
 x1
x1  0
Buradan, doğrusal olmayan terimin, denge noktasının küçük komşulukları için
doğrusallaştırılmış hali şu şekilde bulunur:
sin x1   x1
Böylece, doğrusallaştırılmış durum-uzay denklemleri şu şekilde elde edilir:
 x1   x2
 x2  
Çıkış denklemi?
MgL
T
 x1 
2J
J
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıdaki şekilde görülen mekanik sistemde yay, doğrusal olmayan bir
karakteristiğe sahiptir ve yayın kuvveti fs ile yerdeğiştirmesi xs arasındaki ilişki
f s  2 xs2
denklemi ile verilmektedir. sistemin durum-uzay modelini türetiniz ve denge noktası
etrafında doğrusallaştırınız. Çıkış değişkeni olarak kütlenin yerdeğiştirmesi, x(t), değişkenini
seçiniz. Sisteme uygulanan kuvvet f(t)=10+δf(t) değerine sahiptir ve burada δf(t), 10 N
kuvvet değerinin küçük komşuluklarını temsil etmektedir. (İpucu: Bu değer, denge noktasını
bulmanıza yarar.)
 0
x
 4 5
y  1 0 x
1
0
 x     f (t )
0
1 
50
Download

İlan Metni