Sayısal Analizde Hata
Rıdvan YAKUT
Sayısal Analizlerde Hata
Bir problemin sayısal çözümlemesi yapılırken, bilgisayarlar sonlu
sayıda rakamı saklayabilirler. Bu nedenle hesaplamalar tam değil
yaklaştırmalarla yapılabilir.
Nümerik analizde elde edilen sonuçlar her zaman bir miktar hata
içerir. Burada önemli olan şudur: Hesaplarda ne kadar hata vardır ve
bu kabul edilebilir mi?
Eğer hata gerçek sonuçtan çok uzaklaşırsa yanlış olur.
Hata < verilen tolerans değeri
Hata ve Hata Türleri
Hata: Gerçek (kesin) değer (  ) ile hesaplanan (veya gösterilen) değer (x)
arasındaki farktır.
Mutlak Hata: ℰ =  − 
Gerçek (Bağıl) Hata: ℰ =
Yaklaşım hatası: ℰ =


(1 −0 )
1
=
 −

(ilk tahmini değer için kullanılır)
× 100 (sonraki tahmini değerler için kullanılır)
Anlamlı Basmak Sayısına göre hata: ℰ = 0.5 × 102−
((ℰ < ℰ ) şartı sağlanıncaya kadar devam edilir)
Örnek
Bir sahanın ve kalemin uzunlukları ölçülmek isteniyor. Ölçüm
sonucunda saha ve kalemin boyları sırasıyla 9999 ve 9 cm bulunuyor.
Eğer gerçek değerler sırasıyla 10 000 ve 10 cm ise her iki durum için;
a. gerçek hatayı,
b. gerçek (bağıl) yüzde hatayı hesaplayın.
Çözüm
ℰℎ = ,ℎ − öçü,ℎ = 10000 − 9999 = 1 cm
ℰ = , − öçü, = 10 − 9 = 1 cm
% ℰ,ℎ =
% ℰ, =
ℰℎ
,ℎ
× 100 =
ℰ
,
1
10000
× 100 =
1
10
× 100 = %0.01
× 100 = %10
Hataları Anlamlı Basamak Sayısıyla İlişkilendirmek
π = 3.14159 26535
π = 3. 00000 00000
=10
ℰ =
( −)

=
(3.14159 26535−3.00000 00000)
100
3.14159 26535
= % 4.5
ℰ = % 0.5 × 102− = % 0.5 × 102−10 = % 5 × 10−9
(ℰ > ℰ ) işleme devam edilir.
Hatanın Türleri
Kesme Hatası (Yaklaşım - Yöntem Kaynaklı)
Yuvarlama Hatası
Ölçüm Hatası (Veri Kaynaklı)
Kesme Hatası
Kesin ve tam sonuç veren analitik bir yöntem yerine, yaklaşık sonuç
veren nümerik bir yöntemin kullanılması sonucunda oluşan hatadır.
Sayısal türevdeki yaklaşımdan dolayı oluşan kesme hatası
 Δ (+1 ) − ( )
≅
=
 Δ
+1 − 
2.598754 sayısına üç anlamlı basamaktan sonra kesme uygulanırsa
hata 2.598754 − 2.598000 = 0.000754 olur.
Kesme Hatası
 Örneğin sonsuz terimli serilerin açılımında ilk n
terimin dikkate alınması sonucu kesme hatası oluşur.
Taylor serisi için;
 +1
′′ 
 




=   +  ′  ℎ +
ℎ2 + ⋯ +
ℎ + 
2!
!
Mac Laurin Serisi Açılımı
Matematikte işlevler çoğu zaman sonsuz serilerle gösterilebilir. Örneğin,
üstel işlev aşağıdaki açılım kullanılarak hesaplanabilir.
∞
 =
=0

2

= 1 + + + ⋯+
!
2!
!
Böylece daha fazla sayıda terim eklendikçe, yaklaştırma,   ’in gerçek
değerini daha iyi tahmin eder.
Örnek
İlk terimden başlayarak (  = 1), tek tek terimler ekleyerek,
a)  0.5 sayısını tahmin edin (Gerçek değer e=1.648721..).
b) her adımda gerçek ve yüzde bağıl hatalarını bulun.
c) yaklaşık hatanın mutlak değeri , üç anlamlı basamak veren belirli bir
hata kriterinden daha küçük oluncaya kadar terim eklemeye devam
edin.
Çözüm
Öncelikle sonucun en az üç anlamlı basamak için doğru olmasını
garanti eden hata kriteri belirlenebilir.
ℰ = % 0.5 × 102−3 = %0.05
Bu seviyenin altına inene kadar terim eklenmeye devam edilir.
  = 1 için;
  = 0.5 =1
→ % ℰ =
1,648721−1
1,648721
× 100 = %39.34
Çözüm
  =1+x
 0.5 =1+0.5=1.5 → % ℰ =

 = 1 +  +
 0.5
1,648721−1.5
1,648721
× 100 = %9.02
2
2!
= 1 + 0.5 +
0.52
2!
= 1.625 → % ℰ =
1,648721−1.625
1,648721
işleme % ℰ < 0.05 oluncaya kadar devam edilir.
× 100 = %1.44
Kesme Hatası
f(3)=  fonksiyonunun Taylor Serisi açılımıyla yaklaşık ifade edilmesi Taylor örnek
Yuvarlatma Hatası
Bilgisayar ve hesap makinelerinde sayıların sonlu basamakla
gösterilerek kullanılması veya sayılarda noktadan sonraki bazı
rakamların ihmal edilmesi sonucunda oluşan hatadır.
Ayrıca bilgisayarlar 2 tabanlı gösterim kullandıklarından 10 tabanlı
sayıları hassas ifade edemezler bu da yuvarlama hatalarına neden olur.
Örnek: 0.1= 0.0001100110011001100...
»Bilgisayarlar hızlı, güvenli ve Boole Cebrine uyumlu olduğu için 2 tabanlı gösterim kullanırlar.
Yuvarlama Hatası
İşlem sayısı arttıkça yuvarlama hatası artar.
2.594454 sayısı üç anlamlı basamaktan sonra yuvarlanırsa hata
2.594454 – 2.594 = 0.000454 olur.
2.598754 sayısı üç anlamlı basamaktan sonra yuvarlanırsa hata
2.598754 – 2.599 = – 0.000246 olur.
10 Tabanlı Sayı Sistemi
103 102 101 100
1
9
0
7
7x1=7
0x10=0
9x100=900
1x1000=1000
1907
2 Tabanlı Sayı Sistemi
210 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20
1
1
1
0 1
1
1 0
0
1
1
1×1=1
1×2=2
0×4=0
0×8=0
1×16=16
1×32=32
1×64=64
0×128=0
1×256=256
1×512=512
1×1024=1024
1907
Sayıların Kayan Noktalı Olarak Gösterilimi
Kesirli Nicelikler; m × 

1

≤<1
m: mantis b:kullanılan sayı sistemi e:üs
Örneğin 0.254 sayısının kayan noktalı sistemde karşılığı 0.254×100 ’dır
ve
1
10
≤ 0.254 < 1 eşitliğini sağlar.
Kayan noktalı sayıların gösterimi
Örnek
1
210
= 0.0047619047.. sayısını beş ondalık basamağın saklanmasına izin veren
10 tabanlı kayan nokta sisteminde saklandığını farzedelim. Bu durumda sayı
0.00476 × 100 şeklinde saklanacaktır. Bu bizim altıncı ve yedinci ondalık
5
rakamı atmamıza neden olur. Oysa baştaki sıfırlar kaldırılarak normalize
edilirse altıncı ve yedinci rakamlarda tanımlanabilir.
0.00476 × 100 → Kayan noktalı sistemde; 0.47619× 10−2
Örnek
14 bitli kelimeler kullanılarak bilgi saklayan bir makine için sanal kayan
noktalı sayılar grubu oluşturarak 17 sayısını yazınız.
1 bit
mantisin işaret
5 bit
üssün işareti- büyüklüğü
8 bit
mantisin büyüklüğü
 0 pozitif, 1 negatif sayıyı temsil eder.
Çözüm
 10 tabanında 17 sayısının 2 tabanında gösterimi şöyledir:
(17)10 = (10001)2 x 20 = (1000.1)2 x 21 = (100.01)2 x 22
= (10.001)2 x 23 = (1.0001)2 x 24 =(0.10001)2 x 25
Eğer bu son şekli kullanırsak, kesirli parçamız 10001000 (17) ve
üstümüz 00101 (5) olacak:
Mantisin İşareti
Üssün İşareti
Üssün Büyüklüğü
Mantisin Büyüklüğü
0
0
0101
10001000
Diğer Gösterimler
Aşağıdaki gösterimlerin hepsi aynıdır.
Mantisin İşareti
Üssün İşareti
Üssün Büyüklüğü
Mantisin Büyüklüğü
0
0
0101
10001000
0
0
0110
01000100
0
0
0111
00100010
0
0
1000
00010001
Hedefi Iskalayan Patriot Füzeleri
25 Şubat 1991 tarihinde Körfez Savaşı sürerken Amerika’nın İsrail’e
yerleştirdiği Patriot füzelerinden biri Irak’tan gelen Scud füzesini
ıskaladı ve bir Amerikan askeri barakasına isabet eden füze 29
Amerikan askerinin ölümüne yol açtı.
Amerikan Patriot Füzesi
Irak Scud Füzesi
Kayan Nokta Sistemindeki Kesme Hatası
0.1 sayısının 2’li tabanda açılımı 0.000110011001100110011001100....
şeklindedir.
Sayı:
0.0001100110011001100110011001100....
24-bit:
0.00011001100110011001100
Kesme hatası: 0.0000000000000000000000011001100...
Kayan Nokta Sistemindeki Kesme Hatası
100 saatlik batarya süresince bu hata:
0.000000095×100×60×60×10=0.34 sn
Saniyede 1676 metre yol alan Scud füzesi 0.34 saniyede 570 metre
gider.
Bu hata ise Scud’un menzil dışında görülmesine yol açar.
Ölçüm Hataları
 Doğruluk: Ölçüm değerinin gerçek
değere ne kadar yakın olduğunun
ifadesidir.
 Hassasiyet: Belli bir büyüklük için
aynı şartlarda tekrarlanan ölçümlerin
birbirine ne kadar yakın olduğunun
ifadesidir.
Doğruluk Hassasiyet İlişkisi
KAYNAKLAR
Sayısal Çözümleme - Serhat Yılmaz, Kou. – 2007
Mühendislik Matematiği (Nümerik Analiz)- Doç. Dr. Alper Elçi
Sayısal Yöntemler Ders Notları - Prof. Dr. Cihat Arslantürk - Prof. Dr.
Yusuf Ali Kara
Download

Sayısal Analizde Hata