DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
KARARLILIK
Kontrol sistemlerinin tasarımında üç temel kriter göz önünde bulundurulur:
• Geçici Durum Cevabı
• Kararlılık
• Kalıcı Durum Hatası
Bu üç temel spesifikasyon arasında en önemlisi kararlılıktır. Eğer bir sistem kararlı
değilse, diğer iki kriterin hiçbir anlamı yoktur.
Bu derste doğrusal, zamanla değişmeyen sistemlerin kararlılığından bahsedeceğiz.
Kararlılığın çok sayıda tanımı yapılabilir. Daha önce bir sistemin zaman cevabının,
yani çıkışın zamana göre değişim ifadesinin iki bileşeni olduğunu söylemiştik: Doğal
Cevap ve Zorlanmış Cevap.
1
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Kararlılığın çok sayıda tanımı yapılabilir. Daha önce bir sistemin zaman cevabının,
yani çıkışın zamana göre değişim ifadesinin iki bileşeni olduğunu söylemiştik:
Doğal Cevap ve Zorlanmış Cevap.
c(t )  cdoğal (t )  czorlanmış (t )
Bu konsepti kullanılarak, “kararlılık”, “kararsızlık” ve “marjinal kararlılık”
kavramlarının tanımı şu şekilde yapılabilir:
• Doğrusal, zamanla değişmeyen bir sistem, eğer zaman sonsuza giderken
doğal cevabı sıfıra yakınsıyorsa kararlıdır.
• Doğrusal, zamanla değişmeyen bir sistem, eğer zaman sonsuza giderken
doğal cevabı sınırsız olarak artıyorsa kararsızdır.
• Doğrusal, zamanla değişmeyen bir sistem, eğer zaman sonsuza giderken
doğal cevabı ne sıfıra yakınsıyor ne de sınırsız artıyorsa, ancak sabit kalıyor ya
da sabit genlikli osilasyon yapıyorsa marjinal kararlıdır.
2
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu tanımlar, doğrudan sistemin doğal cevabı üzerinden yapılan tanımlardır. Yani
sistemin doğal cevabının sınırlı olup olmamasına göre kararlılığı tanımlar. Ancak
karmaşık sistemlerde doğal cevap ile zorlanmış cevabı birbirinden ayırmak her
zaman kolay olmayabilir. Sınırsız bir giriş için sistem çıkışının da sınırsız olması
durumunda, bu tanımlar üzerinden kararlılık hakkında herhangi bir sonuca
varılamaz. Bu nedenle de kararlılığın aşağıda verilen oldukça basit ve yaygın tanımı
daha çok kullanılır ve daha açıklayıcıdır:
Bir sistem, eğer tüm sınırlı girişler için sınırlı çıkış üretiyorsa kararlıdır.
Bu tanım ise kararlılığın Sınırlı Giriş Sınırlı Çıkış (Bounded Input Bounded Output BIBO) tanımı olarak bilinir. Bu tanım, kararlılığı sadece doğal cevap cinsinden değil,
total cevap (doğal + zorlanmış) cinsinden tanımlar. Bu durumda “karasızlık” tanımı
da aşağıdaki gibi olur:
Bir sistem, eğer herhangi bir sınırlı giriş için sınırsız çıkış üretiyorsa karasızdır.
Bu tanım göz önünde bulundurulduğunda, BIBO kararlılık tanımına göre, daha önce
marjinal kararlı olarak tanımladığımız sistemler kararsız sistem sınıfına dahil edilir.
Çünkü marjinal kararlı sistemler bazı sınırlı girişler için sınırlı çıkış üretirken, bazıları
için sınırsız çıkış üretir.
3
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Fiziksel olarak bir sistemin çıkışının sonsuza gitmesi demek, sistemin (ve etrafındaki
insanların) zarar görmesi ihtimalini ortaya çıkarır. Örneğin bir elektrik motorunun
devri sonsuza gitmek isterse motorun mekanik aksamı buna mukavemet
gösteremeyecek ve motor parçalanacak ya da hasar görecektir. Bu nedenle
kararsızlık, kompanze edilmesi gereken bir problemdir.
Peki bir sistemin kararlı olup olmadığı nasıl belirlenir?
Eğer bir sistemin tüm kapalı çevrim kutupları negatif reel kısma sahipse, yani
kapalı çevrim kutupları s-düzleminin sol yarı tarafında ise, sistem kararlıdır
(Neden?)
Eğer bir sistemin kutuplarından bir tanesi bile s-düzleminin sağ yarı tarafında
ise, ya da sistemin imajiner eksen üzerinde katlı kutbu varsa sistem kararsızdır.
Eğer bir sistemin sadece imajiner eksen üzerinde ve katlı olmayan kutupları
varsa, sistem marjinal kararlıdır, yani sistem çıkışı ne sonsuza gider, ne de sıfıra
yakınsar, sabit genlikli osilasyon yapar.
4
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Örneğin aşağıda kararlı bir sistemin birim adım girişine cevabı görülmektedir.
Zaman sonsuza giderken doğal cevap sıfıra yakınsar, sadece zorlanmış cevap kalır,
yani sistem çıkışı zorlanmış cevaba yakınsar.
5
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Aşağıda ise kararsız bir sistemin birim adım girişine cevabı görülmektedir. Zaman
sonsuza giderken sistem çıkışı üstel olarak artan bir zarfla sonsuza gider.
6
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Görüldüğü gibi sistemin kararlı olup olmadığını belirlemek için, kapalı çevrim
kutuplarının lokasyonunun bulunması gerekir. Eğer sistemi modelleyen transfer
fonksiyonu birinci veya ikinci mertebeden ise, kutupların bulunması için analitik
yöntemler mevcuttur. Ancak üçüncü ve daha yüksek mertebeden ise, bu durumda
kutupların bulunması için analitik bir yöntem mevcut değildir.
Günümüz bilgisayarları yüksek dereceli denklemlerin köklerini bulabilmektedir.
Yıllar önce önerilen bir metod ise, kökleri bulmaya gerek kalmadan sistemin kararlı
olup olmadığını belirlemeye yaramaktadır. Her ne kadar artık günümüz
bilgisayarları ile kökler (kutuplar) bulunabilse de, bu yöntem bugün hala (özellikle
tasarım amaçlı olarak) kullanılmaktadır.
Şimdi bu yöntemi tanıtalım:
7
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Routh Kriteri
Routh Kriteri, kapalı çevrim transfer fonksiyonunun kutuplarının değerini bulmaksızın, bu
kutupların kaç tanesinin sol yarı düzlemde, kaç tanesinin sağ yarı düzlemde ve kaç tanesinin
imajiner eksen üzerinde olduğunu bulmaya yarar. Bunu bulmak için Routh Tablosu adı
verilen bir tablo oluşturulur. Bu tablonun oluşturulmasını açıklayalım:
Bir sistemi kapalı çevrim transfer fonksiyonu,
N ( s)
a4 s 4  a3s 3  a2 s 2  a1s  a0
şeklinde olsun. Bu sisteme ilişkin Routh Tablosu şu şekilde oluşturulur:
Tablonun ilk sütununa, transfer fonksiyonunun
paydasının en yüksek derecesinden başlayıp, s0 ‘a
kadar s’in kuvvetleri yazılır. Daha sonra tablonun
ilk satırına, s’in en yüksek dereceli teriminin
katsayısı yazılıp, daha sonra birer terim atlanarak
katsayılar yazılıp ilk satır tamamlanır. İkinci satır ise
paydanın ikinci teriminin katsayısı ile başlar ve yine
birer terim atlanarak katsayılar yazılıp ikinci satır
da tamamlanır. Yani Routh Tablosunun ilk iki satırı,
kapalı çevrim transfer fonksiyonunun katsayıları ile
doldurulur.
8
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Tablonun geri kalan hücreleri ise, hesaplama yoluyla aşağıdaki gibi doldurulur.
Her bir hücrenin değeri, üstteki iki satırın ilk elemanları ve sağ üstteki iki elemandan oluşan
negatif determinantının bir üstteki satırın ilk elemanına bölünmesiyle elde edilir. Bu şekilde
tablo en alt satırına kadar doldurularak tamamlanır. Tablonun oluşturulmasına ilişkin bir
örnek yapalım.
9
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen geribeslemeli sisteme ilişkin Routh Tablosunu oluşturunuz.
C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu:
Herhangi bir
satırdaki bütün
katsayılar, işlem
kolaylığı olması için
aynı sayıya
bölünerek
sadeleştirilebilir.
10
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Routh Tablosunun Yorumlanması: Az önceki örnekte Routh tablosunun nasıl
oluşturulacağını gördük. Peki bu tabloyu kararlılık açısından nasıl yorumlayacağız?
Routh tablosunun ilk satırında işaret değişimi yoksa, bütün kapalı
çevrim kutupları sol yarı düzlemdedir ve sistem kararlıdır.
Routh tablosunun ilk satırında kaç kere işaret değişimi varsa, sistemin
o kadar kutbu sağ yarı düzlemdedir ve dolayısıyla sistem kararsızdır.
Az önceki örnekte oluşturduğumuz Routh tablosunu ele alalım:
11
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Birinci sütunun ilk satırındaki değer +1 dir. İkinci satırdaki değer de pozitif bir değer
(+1) dir. Ancak üçüncü satırdaki değer -72 dir ve dolayısıyla ikinci satırdan üçüncü satıra
geçerken bir işaret değişimi olmuştur. Dördüncü satırdaki değer ise +103 dür ve
dolayısıyla üçüncü satırdan dördüncü satıra geçerken yine bir işaret değişimi olmuştur.
Toplamda iki kere işaret değişimi olduğu için, bu sistemin iki kutbu sağ yarı
düzlemdedir ve dolayısıyla sistem kararsızdır.
12
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemin kararlı olup olmadığını bulunuz.
C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: T ( s) 
200
s 4  6s3  11s 2  6s  200
İlk sütunda iki kere
işaret değişimi olduğu
için sistemin iki kutbu
sağ yarı düzlemdedir
ve sistem kararsızdır.
13
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Routh Kriteri: Özel Durumlar
Routh Tablosu oluşturulurken iki özel durum meydana gelebilir: (1) İlk sütunda herhangi bir
elemanın sıfır olması durumu, (2) Herhangi bir satırın komple sıfır olması durumu.
Bu iki durumu ayrı ayrı inceleyelim:
1. İlk Sütunda Herhangi Bir Elemanın Sıfır Olması Durumu: Hatırlanacağı üzere, Routh
Kriteri yardımıyla bir sistemin kararlılığını belirlerken Routh Tablosunun ilk sütununa
bakıyorduk. Eğer bu sütundaki herhangi bir eleman sıfır olursa, sıfır ne pozitif ne de negatif
olduğundan işaret değişimi olup olmadığı hakkında herhangi bir yorum yapamayız.
Dolayısıyla kararlılık konusunda bir çıkarımda da bulunamayız.
Böyle bir durumda, sıfırın yerine ϵ şeklinde küçük bir pozitif (ya da negatif) sayı yazılır ve
daha sonra bilinen şekliyle işaret değişimi olup olmadığına bakılarak kararlılık hakkında
sonuca varılır.
Bu durumu örnekler üzerinden açıklayalım:
14
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olan sistemin kararlı olup olmadığını
bulunuz.
10
T ( s)  5
s  2s 4  3s 3  6s 2  5s  3
C: Routh Tablosu aşağıdaki gibi oluşturulur. İlk sütunda s3’ün karşındaki terim sıfır
olmaktadır. Buraya sıfırın yerine ϵ yazılır işlemler sürdürülür.
15
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
ϵ yerine çok küçük bir pozitif bir sayı da yazılsa, negatif bir sayı da yazılsa aynı sonucun elde
edileceğini göstermek için aşağıdaki tabloya bakalım. Her iki durumda da birinci sütunda iki
kere işaret değişimi olmaktadır ve bu nedenle sistemin iki kutbu sağ yarı düzlemdedir.
Dolayısıyla sistem kararsızdır.
16
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İlk sütundaki herhangi bir elemanın sıfır çıkması durumunda başvurulacak ikinci ve daha
basit bir yöntem, verilen kapalı çevrim transfer fonksiyonunun paydasının katsayılarını ters
çevirip, Routh tablosunu bu yeni katsayı dizilişine göre hazırlamaktır. Az önceki örnekte
kapalı çevrim transfer fonksiyonu
T ( s) 
10
s5  2s 4  3s 3  6s 2  5s  3
şeklindeydi. Paydadaki polinomun katsayılarına göre hazırlanan Routh Tablosunun ilk
sütununda bir eleman sıfır değerini almıştı. Böyle durumlarda payda polinomunun
katsayıları ters çevrilerek, yeni bir polinom yazılır ve bu polinoma göre yeni bir Routh
Tablosu oluşturularak, verilen sistemin kararlılığı incelenir. Bu örnek için, payda
polinomunun katsayılarının ters çevrilmiş hali,
D(s)  3s5  5s 4  6s3  3s 2  2s  1
şeklindedir. Şimdi bu polinomu kullanarak yeni bir Routh tablosu oluşturalım ve elde
edeceğimiz kararlılık sonucunun, daha önce kullandığımız ϵ yöntemi ile tamamen aynı
olduğunu, yani kutupların iki tanesinin sağ yarı düzlemde olması nedeniyle sistemin kararsız
olduğu sonucuna varıldığını görelim.
17
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
D(s)  3s5  5s 4  6s3  3s 2  2s  1
18
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemin kararlı olup olmadığını bulunuz.
C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: T ( s) 
1
2s5  3s 4  2s3  3s 2  2s  1
İlk sütunda s3’ün karşısındaki satır sıfır
olduğu için, buraya ϵ yazılır ve ϵ yerine
çok küçük bir pozitif sayı yazılırsa, iki
kere işaret değişimi olduğu, dolayısıyla
iki kutbun sağ yarı düzlemde,
diğerlerinin sol yarı düzlemde olduğu ve
sistemin kararsız olduğu görülür.
Aynı sonucu, katsayıları ters çevirmek
suretiyle de elde edelim:
19
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
D(s)  s5  2s 4  3s3  2s 2  3s  2
Bu yöntem kullanıldığında, ilk sütunun dördüncü satırında eleman sıfır olmaktadır.
Ancak yine de bu tablo, ϵ yönteminde elde edilen tabloya göre daha basittir.
Burada da ϵ yöntemi kullanılırsa aynı kararlılık sonucu elde edilir.
20
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Routh Kriteri: Özel Durumlar
2. Bütün Bir Satırın Sıfır Olması Durumu: Eğer Routh Tablosunun herhangi bir satırı
tamamen sıfır olursa, bu durumda takip eden satırlar hesaplanamaz. Bu durum, az önce
bahsedilen, ilk sütunda herhangi bir elemanın sıfır olması durumundan oldukça farklıdır ve
bu nedenle daha farklı bir şekilde ele alınır. Bu duruma ilişkin çözümü de örnekler
üzerinden anlatalım.
10
Ör: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu T ( s)  5
şeklinde
4
3
2
s  7 s  6s  42s  8s  56
olan bir sistemin, kutuplarının kaç tanesinin sağ yarı düzlemde olduğunu bulunuz.
C: Routh Tablosunu aşağıdaki gibi oluşturalım:
0
0
0
Bu satır komple sıfır
oldu. Artık alttaki
satırlar hesaplanamaz.
21
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Böyle durumlarda, tüm elemanları sıfır olan satırın hemen üstündeki satırdan bir yardımcı
polinom yazılır. Bu yardımcı polinomun ilk teriminde s’in üssü, yardımcı polinom hangi
satırdan yazılıyorsa o satırdaki s’in üssüdür (bu örnek için s4). İlk terimin katsayısı ise bu
satırdaki ilk elemandır. Daha sonra bu satırdaki katsayılar kullanılarak ve her seferinde s’in
üssü bir atlanarak yardımcı polinom tamamlanır. Bu örnek için yardımcı polinom:
P( s )  s 4  6 s 2  8
Yardımcı polinomun s’e göre türevi alınarak, elde edilen katsayılar, tabloda tüm elemanları
sıfır olan satıra yazılır ve bundan sonra tablo bilindik şekilde tamamlanır.
dP( s)
 4s 3  12s  0
ds
0
Elde edilen katsayılar 4, 12 ve 0, tüm elemanları
sıfır olan satıra yazılarak tablo tamamlanır.
0
0
22
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Tablonun tamamlanmış hali yukarıdaki gibidir. Tablonun ilk sütununda işaret değişimi
olmadığı için, sağ yarı düzlemde kutup yoktur.
23
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bir önceki örnekte, sadece sağ yarı düzlemde kutup olup olmadığını belirttik. Peki diğer
kutupların lokasyonu hakkında ne söyleyebiliriz? Daha da önemlisi bunu nasıl söyleyebiliriz?
Eğer Routh tablosunda tüm satırın sıfır olması durumu söz konusu olursa, kutuplardan
bazıları imajiner eksen üzerinde olabilir! Yani sağ yarı düzlemdeki kutupların sayısını
belirttikten sonra, geri kalanların tamamı sol yarı düzlemdedir diyemeyiz. Çünkü tablosunda
tüm satırın sıfır olması durumu söz konusu olursa, kutuplardan bazıları imajiner eksen
üzerinde olabilir.
Esas soruya dönersek, Routh tablosunda tüm satırın sıfır olması durumu söz konusu
olduğunda sağ yarı düzlemdeki, sol yarı düzlemdeki ve imajiner eksen üzerindeki kutupların
sayısını nasıl bulabiliriz?
Bunun için Çift Polinomlar’a ilişkin kısa bir açıklama yapalım:
24
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bir “Çift Polinom”, s’in bütün üslerinin çift sayı olduğu polinomdur. Örneğin,
s 4  3s 2  6
polinomu bir çift polinomdur. Çift polinomlar, her zaman orjine göre simetrik kutuplara
sahiptir. Bu simetri üç şekilde olabilir:
A) Kutuplar reel ve simetrik olabilir,
B) Kutuplar kompleks ve simetrik olabilir,
C) Kutuplar kuadrantal olabilir.
Yandaki şekil, bu 3 durumu göstermektedir:
25
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Routh tablosunda herhangi bir satırın tamamen sıfıra eşit olması durumunda yazılacak
olan yardımcı polinom her zaman çift polinomdur.
Buna göre, herhangi bir satırın tamamen sıfır olması durumunda, yardımcı polinom
yazılıp tablo tamamlandıktan sonra, kutupların kaç tanesinin sağ yarı düzlemde, kaç
tanesinin sol yarı düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde olduğunu
belirlemek için aşağıdaki analiz yapılır:
İlk önce yardımcı polinomun yazıldığı sn satırından en alt satıra yani s0 satırına kadar
bakılır. Bu iki satır arasında işaret değişimi olup olmaması toplamda n tane kutbun
lokasyonunu belirler. Bu iki satır arasında ilk sütunda kaç tane işaret değişimi varsa o
kadar kutup sağ yarı düzlemdedir ve çift polinomlar simetrik olduğu için, aynı sayıda
kutup da sol yarı düzlemdedir. Geri kalan kutuplar imajiner eksen üzerindedir. Eğer
bu iki satır arasında hiç işaret değişimi yoksa bu n kutbun tamamı imajiner eksen
üzerindedir.
Sistemin geri kalan kutuplarının lokasyonu için ise ilk satırdan sn satırına kadar olan
kısma bakılır ve bilinen şekilde kutupların hangi bölgede olduğu tayin edilir.
Örneklerle açıklayalım:
26
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Transfer fonksiyonu,
20
T ( s)  8 7
s  s  12s 6  22s5  39s 4  59s 3  48s 2  38s  20
şeklinde olan bir sistemin kutuplarının kaç tanesinin sağ yarı düzlemde, kaç tanesinin sol yarı
düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde olduğunu bulunuz.
C: Routh tablosu aşağıdaki gibi olur. s6’nın karşısındaki satır 10 ile, s5’in karşısındaki
satır ise 20 ile sadeleştirilmiştir. s3’ün
karşısındaki satır, tüm elemanları sıfır
olan bir satırdır. Bu nedenle bir üst
satırdan, yani s4 satırından yardımcı
polinom şu şekilde yazılır:
P(s)  s 4  3s 2  2
Bu polinomun türevi alınır ve elde
edilen polinomun katsayıları tabloda
yerine yazılır.
dP( s)
 4s 3  6s  0
ds
Elde edilen bu polinomun katsayıları
da tabloda 2 ile sadeleştirilmiştir27.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şimdi ilk önce tabloda, yardımcı polinomun yazıldığı satır olan s4 satırından son satıra
kadar olan kısmın ilk sütununa bakalım. Bu kısımdan, toplam 4 kutbun lokasyonunu
bulacağız. s4 satırından son satıra kadar olan kısımda hiçbir işaret değişimi olmadığı
için, bu dört kutuptan sağ yarı düzlemde olan yoktur. Simetri gereği sol yarı düzlemde
olan da yoktur. Dolayısıyla bu 4 kutbun tamamı imajiner eksen üzerindedir. Sistem
sekizinci mertebeden olduğu için toplam 8 kutup vardır ve geriye kalan 4 kutbun
lokasyonunu belirlemek için bu sefer ilk satırdan s4 satırına kadar olan kısma bakılır.
Bu kısımda ilk sütunda iki kere
işaret değişimi olduğu için iki kutup
sağ yarı düzlemdedir. Sistemin
geriye kalan iki kutbu ise sol yarı
düzlemdedir.
Sonuç olarak 4 kutup imajiner
eksen üzerinde, 2 kutup sağ yarı
düzlemde ve 2 kutup sol yarı
düzlemdedir.
28
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda blok diyagramı verilen sistemin kutuplarının kaç tanesinin sağ yarı
düzlemde, kaç tanesinin sol yarı düzlemde ve kaç tanesinin imajiner eksen üzerinde
olduğunu bulunuz. Sistemin kararlılığını yorumlayınız.
C: Sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonu:
128
T ( s)  8
s  3s 7  10s 6  24s 5  48s 4  96s 3  128s 2  192s  128
Buna göre Routh tablosu şu şekilde olacaktır:
29
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
128
T ( s)  8
s  3s 7  10s 6  24s 5  48s 4  96s 3  128s 2  192s  128
s5’in karşısındaki satırın
tüm elemanları sıfır
olmaktadır. s6’nın
karşısındaki satırdan
yardımcı polinom
yazılırsa;
P(s)  s 6  8s 4  32s 2  64
Türevi alınırsa;
dP( s)
 6s5  32s 3  64s
ds
Bu polinomun katsayıları
kullanılarak ve gerekli
sadeleştirmeler
yapılarak tablo
tamamlanır.
30
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Yardımcı polinomun yazıldığı satırdan son satıra kadar olan kısma bakılırsa, iki kere işaret
değişimi olduğu görülür ve dolayısıyla iki kutup sağ yarı düzlemdedir. Simetri gereği iki kutup ise
sol yarı düzlemdedir. Bu kısma ilişkin 6 tane kutbun iki tanesinin ise imajiner eksen üzerinde
olduğu anlaşılır. Sistemin toplam 8 kutbundan geriye kalan iki tanesi için ilk satırdan yardımcı
polinomun yazıldığı satıra kadar olan kısma bakılır ve bu kısımda işaret değişimi olmadığı için bu
31
iki kutup sol yarı düzlemdedir denir. Sonuç olarak sistem kararsızdır.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Routh Kriteri Yardımıyla Tasarım: Routh Kriteri, herhangi bir sistemin sabit bir K
kazancının, sistemin kararlı olmasını sağlayacak şekilde tasarlanmasına olanak sağlar.
Bu tasarım yaklaşımı, aşağıda bir örnekle açıklanmıştır.
Ör: Aşağıda verilen sistemde, sistemin
a) kararlı
b) kararsız
c) marjinal kararlı
olmasını sağlayacak K değer aralıklarını bulunuz. (K>0)
32
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: T ( s ) 
K
s3  18s 2  77 s  K
Routh Tablosu:
Tabloya göre, eğer K<1386 olursa ilk
satırda işaret değişimi olmaz ve sistem
kararlı olur. Eğer K>1386 olursa ilk satırda
işaret değişimi olur ve sistem kararsız olur.
Eğer K=1386 olursa, s1’in karşısındaki
satırın tüm elemanları sıfır olur ve bir üst
satırdan yardımcı polinom
P(s)  18s 2  1386
şeklinde yazılır. Bunun türevi,
dP( s)
 36s  0
ds
olur ve bu türev polinomunun katsayıları tabloda yerine yazılırsa, tablonun son hali şu
şekilde olur:
33
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Yardımcı polinomun yazıldığı satırdan son satıra kadar herhangi bir işaret değişimi
olmadığı için sistemin 2 kutbu imajiner eksen üzerindedir. Kalan bir kutup ise sol yarı
düzlemdedir. Sistem marjinal kararlı olur.
34
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
DURUM UZAYINDA KARARLILIK
Şu ana kadar kararlılığı sadece frekans uzayında inceledik. Şimdi zaman uzayında
kararlılığın nasıl test edileceğini açıklayalım.
Daha önce defalarca vurgulandığı gibi, bir sistemin transfer fonksiyonu modelinin
kutupları ile durum uzay modelinde sistem matrisinin özdeğerleri aynıdır. Dolayısıyla
dinamik modeli durum uzayında verilmiş bir sistemin kararlılığını belirlemek için A
matrisinin özdeğerlerini bulmak gerekir. A matrisinin özdeğerleri,
det  I  A  0
veya eşdeğer olarak,
det  sI  A  0
denkleminin köklerini bularak hesaplanır. Eğer sistem ikinci mertebeden ise, özdeğerler
analitik olarak bulunabilir. Ancak sistem daha yüksek mertebeden ise, bu denklemin
köklerini bulmak için analitik bir yöntem yoktur ve dolayısıyla Routh tablosu yine
sistemin özdeğerlerinin kaç tanesinin negatif reel kısma, kaç tanesinin pozitif reel
kısma sahip olduğunu ve kaç tanesinin saf imajiner olduğunu bulmaya yarar. Yani
sistemin kararlılığı yine Routh tablosu kullanılarak incelenebilir.
35
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemin kararlılığını inceleyiniz.
3 1
 0
10
x 2
8 1  x   0 u


 
 10 5 2 
 0 
y  1 0 0 x
C: Önce (sI-A) matrisini oluşturalım:
3 1 s
3
1 
 s 0 0  0
 sI  A  0 s 0   2 8 1    2 s  8 1 
0 0 s   10 5 2 10
5
s  2
Şimdi (sI-A) matrisinin determinantını bulup Routh tablosunu oluşturarak sistemin
kararlılığını inceleyelim:
36
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
det  sI  A  s3  6s 2  7s  52
İlk sütunda bir kere işaret değişimi olmuştur. Sistemin bir özdeğeri (kutbu) sağ yarı
düzlemdedir ve bu nedenle sistem kararsızdır.
37
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıda verilen sistemin kararlılığını inceleyiniz.
2 1 1
0 
x   1 7 1  x  0  r


 
 3 4 5
1 
y   0 1 0 x
C: İki özdeğer (kutup) sağ yarı düzlemde bir kutup sol yarı düzlemdedir.
38
Download

s - Düzce Üniversitesi