DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Blok Diyagramlar
• Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı
• İşaret Akış Diyagramları
• Mason Kuralı
• Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları
• Durum Uzayında Alternatif Gösterimler
1
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Birçok kontrol sistemi, aşağıdaki örnekte görüldüğü gibi çeşitli “altsistem”ler içerir.
Dolayısıyla tüm sistemin blok diyagramı, her bir alt sistemi temsil eden blokların
kompozisyonundan oluşur. Karmaşık sistemlerde, sistemi temsil eden blok
diyagram da karmaşıklaşır ve sistem genel transfer fonksiyonunu elde etmek için
bir takım manipülasyon ve işlemlere ihtiyaç duyulur.
Bugün ağırlıklı olarak bu
karmaşık blok diyagramların
sadeleştirilmesi konusundan
bahsedeceğiz.
Bunun için önce blok
diyagramların temellerinden
başlayalım.
2
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Her bir altsistem bir blok ile temsil edilir ve bu bloğun bir girişi, bir çıkışı ve bir de
transfer fonksiyonu vardır. Çok sayıda altsistem birbirine bağlandığında, genel
sistemin blok diyagramına birkaç yeni bileşen eklenir: Bu yeni bileşenler “toplama
noktları” ve “dağılma noktaları”dır.
3
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Şimdi blok diyagramlardaki temel bazı topolojilere bakalım:
Kaskat Form:
4
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Paralel Form:
5
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Geribesleme Formu: Sistem mühendisliğine temel teşkil eden formdur. İlk derste
“açık çevrim” ve “kapalı çevrim” kavramlarını tanıtmıştık. Dersin geri kalanının
önemli bir kısmında bu geribeslemeli sistemlerin analizini ve tasarımını yapacağız.
Tipik bir geribeslemeli sistem, aşağıda Şekil a’da görülmektedir. Bu sistemin
basitleştirilmiş ve yaygın olarak kullanılan hali ise Şekil b’de görülmektedir.
Şimdi Şekil b’deki basitleştirilmiş blok diyagrama odaklanıp, geri beslemeli sistemin
transfer fonksiyonunu türetelim.
6
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu sistemin girişi ile çıkışı arasındaki
transfer fonksiyonunu türetelim.
Hata
denklemini
yazmakla
başlayalım:
E (s)  R(s) C (s) H (s)
Burada C (s)  E (s)G(s) olduğundan,
E (s)  C (s) / G(s) ifadesi ilk denklemde
yerine yazılıp, bu ilk denklem, kapalı
çevrim transfer fonksiyonunu elde etmek amacıyla C (s) / R(s) için çözülürse,
bundan sonra sıkça karşılaşacağımız ve kapalı çevrim sistemlerin transfer
fonksiyonunu ifade eden aşağıdaki denklem elde edilir:
C ( s)
G( s)
Ge ( s) 

R( s ) 1  G ( s) H ( s)
7
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
C ( s)
G( s)
Ge ( s) 

R( s ) 1  G ( s) H ( s)
Elde edilen bu kapalı çevrim transfer fonksiyonu ifadesine dayalı olarak, indirgenmiş
blok diyagram yukarıda Şekil c’de görülmektedir.
!!! Formüldeki işaret değişimine dikkat ediniz!!!
Yani eğer negatif geribesleme yapılırsa paydadaki işaretin +, eğer pozitif geribesleme
yapılırsa paydadaki işaretin – olduğuna dikkat ediniz.
8
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Gerekli olduğu durumlarda, takip eden birkaç slaytta görüldüğü gibi, kimi zaman
sistemin analizini basitleştirmek kimi zaman da daha aşina olunan formlar
oluşturmak üzere blok diyagramlar manipüle edilebilirler. Ancak blokların manipüle
edilmesi genellikle ilkel bir yöntem olarak addedilir ve bunun yerine kapalı çevrim
sistemin blok diyagramını hesaplamak için ileride göreceğimiz işaret akış
diyagramları kullanılır.
Şimdi blokların manipüle edilmesi ve indirgenmesi üzerine birkaç örnek verelim:
9
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
10
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
11
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
12
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Blok Diyagramlar 
• Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı
• İşaret Akış Diyagramları
• Mason Kuralı
• Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları
• Durum Uzayında Alternatif Gösterimler
13
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Az önce kapalı çevrim sistemlerin “kapalı çevrim transfer fonksiyonu”nu elde ettik.
Elde ettiğimiz bu transfer fonksiyonu formülasyonu kullanılarak, ikinci mertebeden
bir sistemin geçici durum cevabının analizi yapılabilir ve ayrıca sistemin önceden
belirlenmiş bazı geçici durum spesifikasyonlarını sağlaması için kontrol kazancının
değeri de tasarlanabilir.
Örneğin aşağıdaki blok diyagramı düşünelim. Bu blok diyagram, bir uydu anteninin
azimuth eksenindeki konum kontrolü yapan kapalı çevrim kontrol sistemine ilişkin
blok diyagramdır. Buradaki K kazancı, sistemin istenen performans kriterlerini
sağlaması için değeri tasarlanacak olan kontrol kazancıdır.
14
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Transfer fonksiyonu K/[s(s+a)] olarak verilen blok; yükseltecin (K), yükün (anten),
yükü süren motorun (DC motor) ve dişlinin modelini içerir. Bu sistemin kapalı
çevrim blok diyagramını bulalım:
G(s)
T (s) 
,
1  G( s) H ( s)
K
 T (s)  2
s  as  K
K
G(s) 
s( s  a)
H (s)  1
15
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
K
T (s)  2
s  as  K
Dikkat edilirse burada, yükseltecin kazancı olan K değiştikçe, kapalı çevrim sistemin
kutupları da değişecektir. Dolayısıyla sistemin geçici durum cevabı da değişecektir.
Yani K’nın değerine göre sistem aşırı sönümlü, kritik sönümlü ya da düşük sönümlü
olabilir. Dolayısıyla verilen bir K değeri için sistemin geçici durum performans
spesifikasyonlarının (yükselme zamanı, yüzde aşım, yerleşme zamanı, tepe zamanı)
değeri bulunabilir (analiz), ya da bunun tam tersi yani bu performans
spesifikasyonlarının belirli bazı değerler almasını sağlayacak K değeri bulunabilir
(tasarım). Şimdi bir analiz ve bir tasarım örneği yapalım.
16
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Blok diyagramı aşağıdaki gibi olan sistemin tepe zamanı, yüzde aşım ve
yerleşme zamanı değerlerini bulunuz.
25
C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: T ( s )  2
s  5s  25
Buna göre; n2  25  n  5 rad/sn
2n  5    0.5
Tp 

n 1  
2
 0.726 sn, Ts 
4
n
 1.6 sn, %OS  e
 / 1 2
100  16.303
17
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda verilen sistemde yüzde aşımın %10 olmasını sağlayacak K değerini
bulunuz.
C: Kapalı çevrim transfer fonksiyonu: T ( s ) 
K
s 2  5s  K
n2  K  n  K rad/sn
5
2n  5   
2 K
%10 aşım değerine karşılık gelen sönüm oranı değeri ζ=0.591 dir. Bu değer, için
yukarıda elde edilen formülde yerine konulursa, K=17.9 bulunur. Yani yükseltecin
18
kazancı 17.9 olmalıdır.
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Blok Diyagramlar 
• Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı 
• İşaret Akış Diyagramları
• Mason Kuralı
• Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları
• Durum Uzayında Alternatif Gösterimler
19
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İşaret Akış Diyagramları, blok diyagramların bir alternatifidir. İşaret akış
diyagramlarında her bir sistem bir “dal” ile (Şekil a), her bir sinyal ise bir “düğüm”
ile (Şekil b) ifade edilir.
Aşağıdaki şekilde ve takip eden şekillerde, sırasıyla kaskat form, paralel form ve
geribesleme formuna ilişkin blok diyagramlar ve işaret akış diyagramları
karşılaştırmalı olarak görülmektedir.
X2(s)
X1(s)
20
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
X1(s)
X2(s)
X3(s)
21
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
X1(s)
22
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Blok Diyagramlar 
• Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı 
• İşaret Akış Diyagramları 
• Mason Kuralı
• Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları
• Durum Uzayında Alternatif Gösterimler
23
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu dersin başlarında, karmaşık blok diyagramların, sistemin girişi ile çıkışı arasında tek
bir transfer fonksiyonu elde etmek için nasıl tek bir bloğa indirgenebileceğini tartıştık.
Şimdi bir sistemin girişi ile çıkışı arasında tek bir transfer fonksiyonu yazmak için
alternatif bir yöntemden bahsedeceğiz.
1953 yılında J. S. Mason, sistem modellerinin işaret akış diyagramlarıyla ifade
edildikten sonra sistemin transfer fonksiyonunun hesaplanması için bir formülasyon
önermiştir. Sistem türüne göre değişmekle beraber, bazı sistemlerde transfer
fonksiyonunun bulunması için Mason Kuralı daha az işlem yükü gerektirir. Ancak bazı
sistemlerde hata riskini artırır ve transfer fonksiyonunun bulunmasını zorlaştırabilir.
Mason Kuralı’na ilişkin formülasyon tanıtılmadan önce, bu formülasyonda sıkça
kullanılan birkaç kavramın tanımını yapalım:
24
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Döngü: Bir düğümden başlayıp, her düğümü yalnız bir kez geçerek yine aynı düğümde
sonlanan yol.
Örneğin aşağıdaki işaret akış diyagramında döngüleri bulalım:
Bu diyagramda toplam 4 tane döngü vardır.
25
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Döngü Kazancı: Bir döngüdeki tüm dal kazançlarının çarpımı.
Örneğin aşağıdaki işaret akış diyagramında döngü kazançlarını bulalım:
1. G2 ( s ) H1 ( s )
2. G4 ( s ) H 2 ( s )
3. G4 ( s )G5 ( s ) H 3 ( s )
4. G4 ( s )G6 ( s ) H 3 ( s )
26
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İleri Yol: Bir giriş düğümünden başlayıp, işaret akış yönünde süren ve bir çıkış
düğümünde son bulan yoldur.
Örneğin aşağıdaki işaret akış diyagramında iki adet ileri yol vardır:
27
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İleri Yol Kazancı: Bir İleri Yol’a ilişkin dalların kazançlarının çarpımıdır.
Örneğin aşağıdaki işaret akış diyagramındaki ileri yol kazançları:
1. G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s)G5 ( s)G7 ( s)
2. G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s)G6 ( s)G7 ( s)
28
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Temas Etmeyen Döngüler: Herhangi bir ortak düğümü olmayan döngülerdir.
Örneğin aşağıdaki işaret akış diyagramında, kazancı G2(s)H1(s) olan döngü, kazançları
G4(s)H2(s), G4(s) G5(s)H3(s), ve G4(s) G6(s)H3(s) olan döngülerle temas etmemektedir.
29
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Temas Etmeyen Döngü Kazancı: Birbirine ikişer ikişer, üçer üçer, dörder dörder vs.
temas etmeyen döngülerin kazançlarının çarpımıdır.
Örneğin aşağıdaki işaret akış diyagramında, kazancı G2(s)H1(s) olan döngü ile kazancı
G4(s)H2(s) olan döngü birbirine ikişer ikişer temas etmeyen döngülerden biridir.
Dolayısıyla bu temas etmeyen döngülerin toplam kazancı G2(s)H1(s) G4(s)H2(s) dir.
Bu işaret akış diyagramında, birbirine ikişer ikişer temas etmeyen toplam 3 adet döngü
vardır. Temas etmeyen bu döngülere ilişkin kazançlar:
1. G2 ( s) H1 ( s) G4 ( s) H 2 ( s) 
2. G2 ( s) H1 ( s) G4 ( s)G5 ( s) H 3 ( s) 
3. G2 ( s) H1 ( s) G4 ( s)G6 ( s) H 3 ( s) 
30
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Aynı diyagramda kazançları G4(s)G5(s)H3(s), ve G4(s)G6(s)H3(s) olan döngüler birbirine
ikişer ikişer temas etmeyen döngü olarak değerlendirilemez, zira bu iki döngüde ortak
olan düğümler mevcuttur.
Bu örnek için birbirine üçer üçer temas etmeyen döngü mevcut değildir.
Bu tanımlardan sonra artık Mason Kuralı tanıtılabilir.
31
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Mason Kuralı: İşaret Akış Diyagramı formunda sunulmuş bir sistemin transfer
fonksiyonu aşağıdaki formülle bulunur:
C ( s)
G(s) 

R( s)
T 
k
k
k

k : İleri yol sayısı
Tk : k'ıncı ileri yolun kazancı
 : 1   döngü kazançları
+  ikişer ikişer temas etmeyen döngü kazançları
-  üçer üçer temas etmeyen döngü kazançları
+ ...........
 k : -   'nın k'ıncı ileri yola temas eden döngülerinin kazancı 
32
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Ör: Aşağıda işaret akış diyagramı verilen sistemin transfer fonksiyonunu bulunuz.
C: Öncelikle ileri yolları ve ileri yol kazançlarını belirleyelim: Bu örnek için tek bir ileri
yol vardır ve bu yola ilişkin kazanç değeri aşağıdaki gibidir:
G1 (s)G2 (s)G3 (s)G4 (s)G5 ( s)
33
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Daha sonra döngü kazançlarını belirleyelim:
1. G2 ( s) H1 ( s)
2. G4 ( s) H 2 ( s)
3. G7 ( s) H 4 ( s)
4. G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s)G5 ( s)G6 ( s)G7 ( s)G8 ( s)
34
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Birbirine ikişer ikişer temas etmeyen döngülerin kazançlarını belirleyelim:
Dikkat edilirse 1. ve 2. döngüler, 1. ve 3. döngüler, 2. ve 3. döngüler birbirine ikişer
ikişer temas etmemektedir. Ancak 1., 2. ve 3. döngülerin tamamı 4. döngüye temas
etmektedir. Bu nedenle ikişer ikişer temas etmeyen döngülerin her birinin kazancı şu
şekilde olacaktır:
1. ve 2. Döngü: G2(s)H1(s)G4(s)H2(s)
1. ve 3. Döngü: G2(s)H1(s)G7(s)H4(s)
35
2. ve 3. Döngü: G4(s)H2(s)G7(s)H4(s)
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Birbirine üçer üçer temas etmeyen döngülerin kazançlarını belirleyelim:
1., 2. ve 3. Döngü: G2(s)H1(s)G4(s)H2(s)G7(s)H4(s)
Birbirine dörder dörder temas etmeyen döngü yoktur.
İlgili döngü kazançları bulunduğuna göre artık formülde değerler yerine yazılabilir.
36
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Genel formül şu şekildeydi:
C ( s)
G(s) 

R( s)
T 
k
k
k
Tek bir ileri yol olduğu için formül şu hali alır: G ( s )

C ( s) T11


R( s )

Δ’yı hesaplayalım:
 : 1   döngü kazançları
+  ikişer ikişer temas etmeyen döngü kazançları
-  üçer üçer temas etmeyen döngü kazançları
 = 1  G2 ( s) H1 ( s)  G4 ( s) H 2 ( s)  G7 ( s) H 4 ( s)  G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s)G5 ( s)G6 ( s)G7 ( s)G8 ( s)
+ G2 (s ) H1 (s )G4 ( s ) H 2 (s )  G2 (s ) H1 (s )G7 (s ) H 4 (s )  G4 (s ) H 2 (s )G7 (s ) H 4 (s ) 
- G2 ( s ) H1 (s )G4 ( s ) H 2 ( s )G7 ( s ) H 4 ( s ) 
37
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Δ1’i hesaplayalım: 1 nolu ileri yola 1., 2. ve 3. döngüler temas etmekte, sadece 4.
döngü temas etmemektedir. Bu nedenle,
1  1  G7 (s) H 4 (s)
Sonuç olarak,
C ( s) T11 G1 ( s)G2 (s)G3 (s)G4 (s )G5 (s )1  G7 (s ) H 4 (s )
G(s) 


R( s )


38
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma:
G1 ( s)G3 ( s) 1  G2 ( s)
C (s)
G( s) 

R( s) 1  G2 ( s) H 2 ( s)  G1 ( s)G2 (s) H1 (s )1  G3 (s) H 3 (s ) 
39
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Blok Diyagramlar 
• Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı 
• İşaret Akış Diyagramları 
• Mason Kuralı 
• Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları
• Durum Uzayında Alternatif Gösterimler
40
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Aşağıda verilen durum ve çıkış denklemlerini göz önünde bulunduralım:
x1  2 x1  5 x2  3x3  2r
x2  6 x1  2 x2  2 x3  5r
x3  x1  3x2  4 x3  7r
y  4 x1  6 x2  9 x3
Bu sistemin işaret akış diyagramını çizelim. İlk adım düğümleri oluşturmaktır. Düğümler
girişten başlamak üzere Şekil (a)’daki gibi oluşturulur. Daha sonra her bir durum
değişkeninin türevi ile kendisi Şekil (b)’deki gibi integratör (1/s) ile birleştirilir:
41
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x1  2 x1  5 x2  3x3  2r
x2  6 x1  2 x2  2 x3  5r
x3  x1  3x2  4 x3  7r
y  4 x1  6 x2  9 x3
Daha sonra x1 durum değişkenine ilişkin denklemin işaret akış diyagramı aşağıdaki gibi
oluşturulur:
42
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x1  2 x1  5 x2  3x3  2r
x2  6 x1  2 x2  2 x3  5r
x3  x1  3x2  4 x3  7r
y  4 x1  6 x2  9 x3
x2 durum değişkenine ilişkin denklemin işaret akış diyagramı aşağıdaki gibi oluşturulur:
43
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
x3 durum değişkenine ve çıkış değişkenine ilişkin denklemlerin de işaret akış diyagramı
aşağıdaki gibi oluşturulur ve verilen sistemin işaret akış diyagramının nihai formu
aşağıdaki gibi elde edilir:
44
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
• Blok Diyagramlar 
• Geribeslemeli Sistemlerin Analizi ve Tasarımı 
• İşaret Akış Diyagramları 
• Mason Kuralı 
• Durum Denklemlerinin İşaret Akış Diyagramları 
• Durum Uzayında Alternatif Gösterimler
45
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
İki hafta önce transfer fonksiyonu – durum uzayı dönüşümünden bahsederken, bu
dönüşüm için sadece “faz değişkenleri” formunu göstermiştik. Faz değişkenleri
formunda, durum değişkenleri birbirinin ardışık türevi olacak şekilde seçiliyordu. Ancak
bu dönüşüm için tek yol “Faz Değişkenleri Formu” değildir. Verilen bir transfer
fonksiyonu, durum-uzay formuna farklı şekillerde dönüştürülebilir. Tabii ki her gösterim
türü, belirli bir giriş için aynı çıkışı üretir. Ancak her bir gösterim türünün, sistemin
analizi ve tasarımı açısından belirli avantajları vardır. Bu derste son olarak bu alternatif
gösterim türlerinden bahsedeceğiz. Bunun için 4 farklı formu tanıtılacaktır:
1. Kaskat Form
2. Paralel Form
3. Kontrolör Kanonik Form (Controller Canonical Form)
4. Gözlemci Kanonik Form (Observer Canonical Form)
Bu yapıların her birini inceleyelim:
46
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Kaskat (Seri) Form: Bu formun elde edilmesini sayısal bir örnek üzerinden anlatalım:
C ( s)
24

R( s) ( s  2)( s  3)( s  4)
Aşağıdaki şekil, bu sistemin kaskat bir şekilde ifadesini göstermektedir. Her bir birinci
mertebeden bloğun çıkış bir durum değişkeni olarak etiketlenir. Dikkat edilirse bu
durum değişkeni, faz değişkenleri değildir.
Şimdi işaret akış diyagramlarını da kullanarak, bu sistemin durum-uzay gösteriminin
kaskat formda nasıl elde edileceğine bakalım. Yukarıdaki her bir birinci mertebeden
bloğun transfer fonksiyonu
Ci ( s)
1

Ri ( s) s  ai
şeklindedir. İçler-dışlar çarpımı yapılırsa,  s  ai  Ci (s)  Ri (s) elde edilir.
47
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
 s  ai  Ci (s)  Ri (s)
Ters Laplace dönüşümü alınırsa:
dci (t )
 ai ci (t )  ri (t )
dt

dci (t )
 ai ci (t )  ri (t )
dt
Bu denklemin işaret akış diyagramı Şekil (a)’daki gibidir. Eğer bu analiz, verilen
örnekteki herbir bloğa uygulanırsa, Şekil (b)’de görülen işaret akış diyagramı elde edilir.
48
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu işaret akış diyagramına göre, durum-uzay denklemleri aşağıdaki gibi elde edilir.
x1  4 x1  x2
x2  3x2  x3
x3  2 x3  24r
Çıkış denklemi:
y  c(t )  x1
Bu denklemleri vektör-matris formunda yazalım:
49
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
C ( s)
24

R( s) ( s  2)( s  3)( s  4)
 4
x 0

 0
y  1 0
1
3
0
0
0
1  x   0 r

 
 24 
2 
0 x
Verilen transfer fonksiyonu ve onun kaskat formdaki durum-uzay dönüşümü bir arada
incelendiğinde, sistem matrsinin diagonal elemanlarında, transfer fonksiyonunun
kutuplarının olduğunu görürüz. İki hafta önceki dersimizde ise, aynı transfer fonksiyonu
için, faz değişkenleri yöntemiyle durum-uzay denklemini aşağıdaki gibi elde etmiştik.
Faz değişkenleri formunda sistem matrisinin en alt satırı, karakteristik polinomialin
katsayılarını içeriyordu.
1
0
 0
0 
C ( s)
24
 3
R( s) s  9s 2  26s  24
x   0
0
1  x  0  r
 24 26 9 
1 
y  1 0 0 x
50
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Paralel Form: Bu formda sistem matrisi diagonal bir matristir. Ancak verilen bir transfer
fonksiyonun durum-uzay denklemlerinin paralel formda yazılabilmesi için, karakteristik
denklemin katlı kökünün olmaması gerekir. Verilen bir transfer fonksiyonunun bu
formda yazılabilmesi için, ilgili transfer fonksiyonu kısmi kesirlerine ayrılır. Bu formun
elde edilmesini açıklamak için, az önce kullandığımız örnek sistemi yeniden göz önünde
bulunduralım. Bu transfer fonksiyonunun kısmi kesirlere ayrılmış hali şu şekildedir:
C ( s)
24
12
24
12




R( s) ( s  2)( s  3)( s  4) s  2 s  3 s  4
Dolayısıyla çıkış denklemi şu şekilde yazılabilir:
12
24
12
C ( s) 
R( s ) 
R( s ) 
R( s )
s2
s3
s4
Şimdi bu denkleme ilişkin işaret akış diyagramını oluşturalım ve ardından bu işaret akış
diyagramını göz önünde bulundurarak durum-uzay denklemlerini yazalım.
51
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
C ( s) 
12
24
12
R( s ) 
R( s ) 
R( s )
s2
s3
s4
x1  2 x1  12r
x2  3x2  24r
x3  4 x3  12r
y  c(t )  x1  x2  x3
Bu denklemleri vektör-matris formunda yazalım:
52
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
C ( s)
24

R( s) ( s  2)( s  3)( s  4)
 2
x 0

 0
y  1 1
0
3
0
1 x
0
 12 
0  x   24  r



 12 
4 
Verilen transfer fonksiyonu ve onun paralel formdaki durum-uzay dönüşümü bir arada
incelendiğinde, sistem matrisinin sadece diagonal elemanlardan oluştuğunu görürüz.
Bu diagonal elemanlar, transfer fonksiyonunun kutuplarıdır.
Bu gösterim şeklinin önemli bir avantajı, her bir durum değişkenine ilişkin denklemin,
kendisi ve giriş değişkeni cinsinden bir denkleme olmasıdır. Böylece her bir durum
değişkenine ilişkin denklem tek bir durum değişkeninin denklemi olduğu için kolaylıkla
çözülebilir. Bu tür sistemlere (her bir durum değişkenine ilişkin denklemin bağımsız
olarak çözülebildiği sistemlere) ayrık (decoupled) sistemler denir.
Eğer sistemin katlı kutbu varsa, paralel form yine oluşturulabilir ancak bu durumda
sistem matrisi diagonal bir matris olmaz ve dolayısıyla bu formun avantajı kalmaz.
53
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Kontrolör Kanonik Form: Bu form, faz değişkenleri kullanılarak elde edilir ancak faz
değişkenlerinin sırası daha önce yaptığımızın tam tersi seçilir. Aşağıdaki sistemi örnek
olarak kullanalım. Eğer bu sistemin durum-uzay denklemlerini faz değişkenleri yöntemi
ile elde etseydik, denklemlerin biçimi aşağıdaki gibi olacaktı:
C ( s)
s 2  7s  2
 3
R( s) s  9s 2  26s  24
1
0   x1  0 
 x1   0
x    0
  x   0  r
0
1
 2 
 2  
 x3   24 26 9   x3  1 
 x1 
y   2 7 1  x2 
 
 x3 
Şimdi durum değişkenlerinin tam tersi sırada seçildiğini düşünelim:
54
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
1
0   x3  0 
 x3   0
x  0
  x   0 r
0
1
 2 
 2  
 x31   24 26 9   x1  1 
 x3 


y   2 7 1 x2
 
 x1 
Bu denklemleri, durum değişkenlerinin artan sırasına göre yazarsak, kontrolör kanonik
formu elde etmiş oluruz:
55
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
 x1   9 26 24   x1  1 
x    1
  x   0  r
0
0
 2 
 2  
 x3   0
1
0   x3  0 
 x1 


y  1 7 2 x2
 
 x3 
Bu form, kontrolör tasarımı
için oldukça kullanışlı bir
formdur. Bu nedenle ileride
sıkça anılacaktır.
56
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Gözlemci Kanonik Form: Bu form, ilgili transfer fonksiyonunun payı ve paydası, s’in en
yüksek derecesine bölünerek oluşturulur. Aşağıdaki sistemi göz önünde bulunduralım:
C ( s)
s 2  7s  2
 3
R( s) s  9s 2  26s  24
1 7 2
 2 3
C
(
s
)
s
Pay ve payda s3’e bölünürse;
 s s
R( s ) 1  9  26  24
s s 2 s3
1 7 2
 9 26 24 
İçler-dışlar çarpımı yapılırsa;  
 s s 2  s 3  R( s)  1  s  s 2  s 3  C ( s)
s‘in ortak terimlerinin parantezine alınırsa;
1
1
1
C ( s)   R( s)  9C ( s)  2 7 R( s)  26C ( s)  3  2 R( s)  24C ( s) 
s
s
s
57
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
1
1
1
C ( s)   R( s)  9C ( s)  2 7 R( s)  26C ( s)  3  2 R( s)  24C ( s) 
s
s
s
İntegratör (1/s) parantezine alınırsa;
1
1
1

C ( s)   R( s)  9C ( s)   7 R( s)  26C ( s)   2 R( s)  24C ( s)   
s
s
s

Bu ifadenin işaret akış diyagramı ve durum değişkenlerinin seçimi şu şekildedir;
58
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Bu işaret akış diyagramına göre, durum-uzay gösterimi aşağıdaki gibi olur:
 x1   9 1 0   x1  1 
 x    26 0 1   x   0  r
 2 
 2  
 x3   24 0 0   x3  0 
 x1 
y  1 0 0  x2 
 
 x3 
Bu form, gözlemci tasarımında oldukça kullanışlı bir formdur.
59
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıda verilen geribeslemeli sistemi durum uzayında kaskat formda ifade
ediniz.
1 
 3
 0 
x
x   r

 200 102
100
y   2 1 x
60
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aynı sistemi durum uzayında kontrolör kanonik formda ifade ediniz.
 105 506 
1 
x
x   r

0 
 1
0 
y  100 500 x
61
DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
EET305 OTOMATİK KONTROL I
Dr. Uğur HASIRCI
Alıştırma: Aşağıda verilen sistemi durum uzayında faz değişkenleri formunda, kaskat
formda, paralel formda, kontrolör kanonik formda ve gözlemci kanonik formda ifade
ediniz.
C ( s)
( s  3)

R( s) ( s  4)( s  6)
62
63
Download

s - Düzce Üniversitesi