1. MATEMATICKÁ LOGIKA
Logika je veda, ktorá sa zaoberá usudzovaním, vyplývaním, pravdivosťou, dokázateľnosťou
a vyvrátiteľnosťou. Skúma, aké formy môžu mať úsudky, ktoré sú bezosporné a snaží sa budovať
formálny systém, ktorý najlepšie zachytí štruktúru prirodzeného jazyka. Logika sa zaoberá najmä
analýzou formálnej stavby úsudkov ako základných jednotiek usudzovania. (Je dôležité, ako ste to
povedali a nie to, čo ste povedali.) Ich forma má bezprostredný vzťah k jazyku, v ktorom sú
formulované. A možno práve preto sa matematická logika v mnohých prípadoch veľmi líši od tej
bežnej, nami používanej.
Oblasť logiky zahŕňa základné témy ako štúdium omylov a paradoxov a špeciálne
analýzy vysvetľujúce použitie pravdepodobnosti a argumentov obsahujúcich príčinu.
Logika je dnes často používaná v dôkazovej teórii. Od čias Platóna a Aristotela je
jednou zo základných disciplín filozofie. Od polovice 19. storočia sa spoločenská
logika študuje v súvislosti so základmi matematiky, kde bola často nazývaná ako
symbolová logika. Vývoj spoločenskej logiky a jej implementácií do počítačov je
základom informatiky.
Vyjadrovacími prostriedkami matematiky, s ktorými sa stretávame v učebniciach aj ďalších
matematických textoch, sú predovšetkým bežný spisovný jazyk a špeciálny matematický jazyk
(terminológia a symbolika, grafy, diagramy, tabuľky ...).
V matematike je veľmi významné používanie symbolov (znakov), ktoré umožňuje stručné
vyjadrovanie matematických poznatkov vo forme symbolických zápisov, vzorcov ...
Tak napríklad, uvažovaným objektom sa priraďuje okrem názvu objektu aj jeho symbol, ktorý
ho zastupuje v stručnom vyjadrovaní. Symbol objektu môže byť dvojakého druhu:
a) Konštanta je symbol, ktorý označuje určitý (jediný) objekt z danej množiny objektov.
Napríklad 3 (označuje číslo tri) alebo π (označuje Ludolfovo číslo).
b) Premenná je symbol, ktorý označuje ktorýkoľvek objekt z danej množiny objektov.
Väčšinou je to písmeno x, y ...
Množina konštánt, ktoré zastupuje premenná, sa nazýva obor premennej a prvky oboru
premennej sa nazývajú hodnoty premennej. Nahradenie premennej konštantou z oboru premennej
v nejakom výraze sa nazýva dosadenie konštanty za premennú.
Pracovná verzia: Martina Roľková
Strana 1
1.1 Výroková logika
VÝROKY
Výrok je každá oznamovacia veta, o ktorej má zmysel uvažovať, či je pravdivá alebo
nepravdivá a vždy nastane jedna z týchto dvoch možností.
Hypotéza je oznamovacia veta, o ktorej v danom momente nevieme jednoznačne
určiť, či je pravdivá alebo nie.
Označenie: - výroky sa označujú veľkými aj malými písmenami ... A, B, p, q
- pravdivostné hodnoty výrokov: pravdivý výrok ... 1 alebo p
: nepravdivý výrok ... 0 alebo n
Negácia výroku – ku každému výroku V možno vytvoriť výrok V´ (alebo
), ktorý
popiera to, čo tvrdí výrok V; tzn. výroky V a V´ majú opačnú pravdivostnú hodnotu.
Riešený príklad 1:
a) príklady pravdivých výrokov:
Bratislava je hlavné mesto Slovenska.
Pre každé reálne číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporná.
Číslo 10 je párne.
2 + 3 = 5.
b) príklady nepravdivých výrokov:
Každé prvočíslo je nepárne.
Brno je hlavné mesto Českej republiky.
2 + 3 < 0.
c) príklady hypotéz:
Existujú mimozemské civilizácie.
Rakovina nie je vírusového pôvodu.
Najkrajšia farba je zelená.
d) príklady výrokov, ktorých pravdivosť je miestne alebo časovo vymedzená:
Vonku svieti slnko.
Hokejisti SR sú majstri sveta.
Najpoužívanejšie mužské meno je Jozef.
Bill Gates je najbohatší človek na svete.
e) príklady výrazov, ktoré nie sú výrokmi:
Ako sa máš?
Dobrý deň.
Vysoké Tatry.
2 + 3.
Číslo x je nepárne.
2x + 6 = 10.
Zložené výroky – súvetia vytvorené z jednoduchých výrokov a logických spojok.
Pracovná verzia: Martina Roľková
Strana 2
1. Zbierka príkladov – Výroková logika
1. Ktoré z nasledujúcich viet možno považovať za výroky? Výrokom priraďte
pravdivostnú hodnotu:
a) Sneží?
b) Dnes je sobota.
c) Choď a prines pohár vody!
d) Učebnica matematiky pre 1. ročník
e) Brezno je okresné mesto.
f) Praha je hlavné mesto Nemecka.
g) Všetky reálne čísla sú deliteľmi nuly.
h) Koľko deliteľov má číslo 28?
i) Zajtra bude vo Zvolene svietiť slnko.
j) Existuje pravouhlý trojuholník, ktorý má dva pravé uhly.
k) Narysuj kružnicu s polomerom 3 cm.
l) V každom štvoruholníku sú každé dve susedné strany zhodné.
m) Niekde vo vesmíre existujú iné formy života.
−1 =
−2 +1
n)
o)
=8
p) 6 ≤ 10
2. V nasledujúcich súvetiach sa dajú nájsť časti, ktoré sú výrokmi. Nájdite tieto čiastkové
výroky, zapíšte dané súvetia symbolicky (ako zložené výroky) a pomenujte ich:
a) Milan sa učí a Eva sa hrá.
b) Ak je číslo 12 párne, potom je číslo 21 nepárne.
c) Autobus ide do Bratislavo priamo alebo má prestávku v Nitre.
d) Buď idem na dovolenku k moru, alebo idem na turistický prechod Nízkych Tatier.
e) Číslo 1001 je deliteľné 13 práve vtedy, keď je číslo 143 deliteľné 13.
f) Zotri tabuľu a choď si sadnúť.
g) Buď pôjdeš k tabuli, alebo dostaneš päťku.
3. Rozhodnite, či spojka „alebo“ má v nasledujúcich vetách vylučovací alebo nevylučovací
význam:
a) Prší, alebo je zamračené.
b) Zbierame a jeme maliny alebo jahody.
c) Kamarát pricestuje v sobotu vlakom alebo priletí v nedeľu lietadlom.
d) Na tento žreb vyhrám auto alebo chatu.
e) Auto dostalo šmyk alebo mu praskla pneumatika.
f) Kúpim si jahodovú alebo čokoládovú zmrzlinu.
4. Žiaci prvého ročníka sa mali stretnúť o 15.30 pred štadiónom. O 15.00 sa vedelo:
a) Ak nepríde Jano, nepríde ani Fero.
b) Majka nepríde bez Heleny.
c) Eva príde, len keď príde Iva.
d) Tomáš príde aj s Petrom.
Pracovná verzia: Martina Roľková
Strana 8
1.2 Logická výstavba matematiky
- základom logickej výstavby matematiky je súbor axióm, t.j. východiskových matematických
výrokov, ktoré sa pokladajú za pravdivé a nedokazujú sa; pomocou týchto axióm sa zavádzajú
základné matematické pojmy
- sústava axióm musí byť: a) bezosporná – nemožno z nej vyvodiť výrok a zároveň jeho
negáciu
b) nezávislá – nemožno vyvodiť jednu axiómu z ostatných axióm
c) úplná – zo sústavy axióm sa dá vyvodiť pravdivosť alebo
nepravdivosť ľubovoľného matematického výroku, ktorý nie je axiómou
- na zavedenie ďalších matematických pojmov slúžia definície, ktoré stanovia názov nového
pojmu a určia jeho charakteristické vlastnosti pomocou základných pojmov, príp. už zavedených
pojmov
- matematická veta je pravdivý matematický výrok, ktorý sa dá logicky odvodiť z axióm,
definícií a už dokázaných viet
- môže byť individuálna (jednoduchá) veta, existenčná veta a všeobecná veta
Všeobecná veta v tvare implikácie
názov vety
symbolický zápis
všeobecná veta
∀ ∈ : ( )⇒ ( )
obmenená veta
∀ ∈ : ´( ) ⇒ ´( )
obrátená veta
∀ ∈ : ( )⇒ ( )
negácia vety
∃ ∈ : ( ) ∧ ´( )
- ( )... predpoklad (východisko) vety
- ( )... záver (tvrdenie) vety
- aby veta platila, je platnosť predpokladu postačujúcou podmienkou pre platnosť záveru
a platnosť záveru je nutnou podmienkou pre platnosť predpokladu
- všeobecná a obmenená veta sú ekvivalentné výroky, teda majú rovnakú pravdivostnú hodnotu
- obrátená veta môže ale nemusí mať rovnakú pravdivostnú hodnotu ako pôvodné tvrdenie
- negovaná veta má opačnú pravdivostnú hodnotu ako pôvodné tvrdenie
- ak platí veta a aj obrátená veta, potom ich môžeme spoločne vyjadriť jednou všeobecnou
vetou v tvare ekvivalencie
Riešený príklad 1:
príklady definícií:
a) Štvorec je rovnobežník, ktorého všetky strany sú zhodné a všetky vnútorné uhly sú pravé.
b) Nekonečná postupnosť je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel.
c) Množina je súbor ľubovoľných navzájom rôznych objektov.
príklady individuálnych viet:
a) π je iracionálne číslo.
b) Trojuholník so stranami s dĺžkami 3, 4 a 5 je pravouhlý.
c) 10 − 1 = (10 − 1)(10 + 1)
existenčná veta má tvar existenčného výroku:
Pracovná verzia: Martina Roľková
Strana 12
2. Zbierka príkladov - Dôkazy
1. Dokážte, že ∀! ∈ ":
6
6.B
+
6
B.C
+
6
C.6=
+ ⋯ + (79?
6
)(79>6)
=
9
79>6
2. Dokážte, že ∀! ∈ ": 2 ∤ ! ⇒ 8| !B − 1
3. Dokážte, že ∀! ∈ ":2 ∤ !7 ⇒ 8 ∤ !
4. Dokážte, že ∀! ∈ ": 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2! − 1) = !
5. Dokážte, že ∀! ∈ ":
6
6.7
+
B
7.E
+⋯+(
9F
9?6)( 9>6)
=
9(9>6)
( 9>6)
6. Dokážte, že pre ∀! ∈ ": 3| ! + 1 ⇒ 3 ∤ !
7. Dokážte, že pre ∀! ∈ ": 6| !7 − !
8. Dokážte, že pre ∀! ∈ " platí: ak 3 delí n2, potom 3 delí n.
9. Dokážte, že pre ∀! ∈ ": 3|!7 + 2!
10. Dokážte, že pre ∀! ∈ ": 1.2 + 2.3 + 3.4 + ⋯ + ! ! + 1 =
9 9>6 9>
7
11. Dokážte, že posledná cifra čísla 3GGG je 7.
Pracovná verzia: Martina Roľková
Strana 15
2. Pracovný list – Dôkazy
1. Rozhodnite o pravdivosti daných tvrdení:
a) Dôkaz sporom nemôžeme použiť pri výroku v tvare implikácie.
PRAVDA
NEPRAVDA
b) Priamym dôkazom môžeme dokázať každé tvrdenie okrem tých, ktoré obsahujú nekonečné rady.
PRAVDA
NEPRAVDA
c) Princípom dokazovania tvrdenia v tvare implikácie nepriamo je priamy dôkaz obmeny daného
tvrdenia.
PRAVDA
NEPRAVDA
d) Tvrdenie, že √2 nie je racionálne číslo sa bude dokazovať sporom.
PRAVDA
NEPRAVDA
e) Tvrdenie, že počet všetkých prvočísel je nekonečný sa bude dokazovať matematickou indukciou.
PRAVDA
Pracovná verzia: Martina Roľková
NEPRAVDA
Strana 16
Download

1. MATEMATICKÁ LOGIKA