MECHANIKA TEKUTIN
MECHANIKA TEKUTIN
TEKUTINY:
- studium podmínek rovnováhy tekutin
- zákonitosti pohybu tekutin
- pohyb pevných těles ponořených do tekutiny
• kapaliny a plyny
• jsou „tekuté“ – tj. snadno mění tvar, snadno se dají dělit
• jsou pružné při změně objemu
• jsou stlačitelné
• nemají stálý tvar (tvar dle nádoby)
PLYN
nemá stálý objem ani tvar, vyplní vždy celý objem nádoby – jsou rozpínavé,
částice jsou relativně daleko od sebe, pohybují se v celém objemu a nepůsobí na
sebe přitažlivými silami
KAPALINA
objemově stálá, udržuje vodorovný volný povrch (volnou hladinu) v klidu
v tíhovém poli Země, částice látky jsou relativně blízko sebe, ale nejsou vázány
v pevných polohách a mohou se pohybovat v celém objemu
IDEÁLNÍ TEKUTINA
• bez viskozity (vnitřního tření)
• nepotřebuje ke změně tvaru energii
ideální plyn:
• dokonale stlačitelný (až na V = 0)
• silové působení mezi molekulami zanedbáváme
• molekuly plynu mají zanedbatelný objem
ideální kapalina:
• dokonale nestlačitelná
• dokonale tekutá
• bez vnitřního tření (bez viskozity)
STATIKA KAPALIN A PLYNŮ
TLAK V TEKUTINĚ
• definice tlaku: p =
dF je kolmá k plošce dS
dF
dS
• šíří se v tekutině všemi směry
• jednotka:
Pa = pascal, Pa = N.m-2 = kg.m-1.s-2
bar = 105 Pa (milibar = hektopascal)
torr = (1 mm Hg) = 133,322 Pa = 400/3 Pa
Tlaková síla:
r
r
r
dF = p dS , dF = p dS n0 = pdS
r
n0 je jednotkový vektor ve směru normály k ploše dS
• tlaková síla je vždy kolmá k plošce na povrchu či uvnitř tekutiny
- je-li působící tlak všude na ploše S stejný: F = pS
- je-li tlak proměnný: F =
∫( ) pdS
S
TLAK VYVOLANÝ VNĚJŠÍ SILOU
PASCALŮV ZÁKON
dF1 dF2
=
= konst. = p
dS1 dS 2
„Tlak v tekutině způsobený vnější silou je
ve všech místech stejný (tlak se šíří
v tekutině všemi směry, a to rovnoměrně)“
(Blaise Pascal, objeveno r. 1650)
PASCALŮV JEŽEK
hydraulická a pneumatická zařízení
(princip spojených nádob o nestejných
průřezech)- brzdy, zvedáky, lisy …
SPOJENÉ NÁDOBY
S1
s
s
S2
1
p
p
Z Pascalova zákona:
Práce sil působících na
jednotlivé písty:
p=
F1 F2
=
S1 S 2
W1 = F1s1 = pS1s1 = pV1
W2 = F2s2 = pS2s2 = pV2
z důvodu nestlačitelnosti kapaliny: V = V
1
2
W1 = W2
2
TLAK VYVOLANÝ VLASTNÍ TÍHOU TEKUTINY
I. KAPALINY
• hydrostatický tlak (kapalina v klidu, v tíhovém poli Země):
FG = m g = Vρ g = ρ S h g
F FG ρ S h g
p= =
=
=h ρ g
S
S
S
• hladina: množina míst o stejném hydrostatickém tlaku
• volná hladina: na volném povrchu kapaliny, rozhraní kapaliny a plynu
• uvnitř kapaliny v nádobě jsou rovnoběžné hladiny o stejném tlaku
p = p0 + hρg
p0 … vnější tlak působící na kapalinu
h … hloubka pod volnou hladinou
Pascalův hydrostatický paradox
• ve všech nádobách působí u dna stejná hydrostatická tlaková síla
(bez ohledu na množství tekutiny v nádobách)
• hydrostatická tlaková síla je vždy kolmá na stěnu nádoby
„ Celková tlaková síla působící na svislou nebo šikmou
stěnu je stejně velká jako síla působící na vodorovnou
plochu, která leží v takové hloubce pod hladinou, v jaké je
těžiště té části stěny, která je pokryta kapalinou.“
PŘÍKLAD
Jak velkou tlakovou silou působí voda na přehradu dlouhou 100
m, která je naplněna vodou do výšky 20 m? Počítejte, že
přehradní hráz je a) kolmá, b) šikmá (svírá s podložím úhel 85°).
ARCHIMEDŮV ZÁKON
Tlakové síly působící na boční stěny ponořeného
tělesa jsou stejně velké a opačného směru, ve
svém účinku se navzájem ruší.
Tlakové síly působící na horní a dolní podstavu
jsou různě velké a jejich výslednice má směr
svisle vzhůru:
F1 = h1 ρ k g S , F2 = h2 ρ k g S
F2 f F1 ⇒ Fvýsledná = F 2− F1 = h2 ρ k g S − h1 ρ k g S
Fvýsledná = (h2 − h1 )ρ k g S = hρ k g S = Vρ k g = m k g
„Na těleso ponořené do kapaliny působí hydrostatická vztlaková
síla, která má stejnou velikost jako tíhová síla kapaliny o stejném
objemu jako má ponořená část tělesa. Hydrostatická vztlaková síla
má vždy směr svisle vzhůru.“
Důsledky Archimedova zákona
těleso o hustotě ρ t
kapalina o hustotě ρ k
Rovnováha:
FG = FVZ
ρt V = ρ k V ′
objem
ponořené
části
ρ k = ρ t … těleso se vznáší
ρ k p ρ t ..... těleso klesá ke dnu
ρ k f ρ t ..... těleso plove na hladině
PŘÍKLAD
Dřevěný trám délky 5 m čtvercového průřezu o hraně 12 cm a
hustotě 720 kg.m-3 plove na hladině vody. Jak vysoko vyčnívá nad
hladinu?
TLAK VYVOLANÝ VLASTNÍ TÍHOU TEKUTINY
II. PLYNY
- aerostatická tlaková síla a aerostatický tlak se vzhledem k nízké hustotě plynů
neprojevují (při studiu plynných těles běžných rozměrů v pozemských podmínkách)
- atmosférická tlaková síla a atmosférický tlak (pro sloupec atmosféry nad povrchem
daného tělesa)
• působí na všechna tělesa na povrchu Země
• mění se s nadmořskou výškou
• závisí na počasí a podnebí
normální atmosférický tlak: 1,01325.105 Pa
(při 0 °C, na hladině moře na 45°severní zeměpisné šířky)
barometrická rovnice (závislost atmosférického tlaku na nadmořské výšce):
s rostoucí nadmořskou výškou klesá tlak a zmenšuje se hustota vzduchu
p = p0 e
ρ g
− 0 h
p0
p0, ρ0 … tlak a hustota vzduchu při hladině moře
-určování nadmořské výšky (např. letecké výškoměry)
DYNAMIKA KAPALIN A PLYNŮ
HYDRODYNAMIKA A AERODYNAMIKA
Proudění: pohyb tekutiny
Proudnice: myšlená čára, v jejímž každém bodě má vektor rychlosti směr tečny
Proudová trubice: proudnice tvoří plášť proudové trubice, procházejí-li uzavřenou křivkou
uvnitř kapaliny
Proudové vlákno: kapalina vymezená proudovou trubicí
USTÁLENÉ (STACIONÁRNÍ) PROUDĚNÍ
• tlak a rychlost v proudící tekutině je v každém bodě časově konstantní (v různých
místech může být ovšem různá rychlost i různý tlak)
• v kapalině existuje časově stálé vektorové pole rychlostí
• proudnice se nemohou protínat
• proudnice jsou trajektorie pohybujících se částic kapaliny
USTÁLENÉ PROUDĚNÍ IDEÁLNÍ KAPALINY
Rovnice spojitosti toku (kontinuity)
• dva kolmé řezy v proudové trubici
• v každém bodě kolmého řezu má kapalina stejnou rychlost
S1
+
r
v2
S2
r
v1
+
-proudová trubice je nepropustná
- kapalina je nestlačitelná (nemůže se hromadit)
⇒ v důsledku zákona zachování hmotnosti musí oběma průřezy projít za určitý čas
stejné hmotnosti kapaliny:
d m1 = ρ dV1 = ρ S1v1 dt ∧ d m2 = ρ dV2 = ρ S 2 v2 dt
ρ S1v1 dt = ρ S 2 v2 dt ⇒ S1v1 = S 2 v2 ⇒
Sv = konst.
Objemový tok : QV = Sv
jednotka: m3.s-1
„Při ustáleném proudění nestlačitelné kapaliny
je objemový tok v celé proudové trubici stálý.“
Rovnice spojitosti toku (kontinuity)
zákon zachování hmotnosti v proudící ideální kapalině
BERNOULLIOVA ROVNICE
- ustáleně proudící ideální kapalina
- proudová trubice proměnného průřezu
a) vodorovná
b) skloněná v tíhovém poli Země
Daniel Bernoulli (1700-1782)
HUSTOTA ENERGIE
E
ε=
V
energie objemové jednotky kapaliny
1. hustota potenciální energie tíhové:
εp =
dE p
dV
3. hustota tlakové energie: ε tl = dE tl = p
dV
kapalina pod tlakem koná práci:
p
S
ds
ghdm
= hρg
dV
1 2
v dm
dE k 2
1
εk =
=
= ρv 2
dV
dV
2
2. hustota kinetické energie:
r
F
=
potenciální energie tlaková
(charakterizuje schopnost
kapaliny konat práci)
dos.
dW = Fds = pSds = pdV = dE tl
Hustota celkové mechanické energie:
ε = ε tl + ε p + ε k
Pro ideální kapalinu (bez vnitřního tření):
ε = konst
„Objemová hustota energie proudící ideální kapaliny
je stálá a ve všech bodech trubice stejná.“
p1
r
v1
h1
Zákon zachování mechanické
energie proudící ideální kapaliny:
S1
S2
p2
h2
r
v2
„Součet všech mechanických energií
obsažených v objemové jednotce
kapaliny musí být stálý.“
BERNOULLIOVA ROVNICE
Dosaďme do vztahu pro celkovou hustotu energie:
ε = ε tl + ε p + ε k
hustota potenciální
tíhové energie
hustota tlakové
potenciální energie
proudící kapaliny
p + hρg +
hustota kinetické
energie proudící
kapaliny
1 2
ρv = konst.
2
statický tlak proudící kapaliny
(měření v manometrických
trubicích)
hydrodynamický tlak
hydrostatický tlak
{ε } = {p}
…
skloněná trubice:
hustota energie a tlak se číselně rovnají
p1 + h1 ρ g +
vodorovná trubice: p1 +
(h = h )
1
2
1 2
1
ρ v1 = p2 + h2 ρ g + ρ v22
2
2
1 2
1
ρ v1 = p2 + ρ v22
2
2
1
ρg
1 2
p + hρg + ρv = konst.
2
p
v2
+h+
= hcelková (= konst.)
ρg
2g
tlaková výška (výška
sloupce kapaliny, který
by vyvolal tlak p)
rychlostní výška (výška, z níž by
musela kapalina padat volným
pádem, aby nabyla rychlosti v)
místní výška uvažovaného
bodu proudnice od základní
hladiny
Poznámka:
Bernoulliova rovnice platí přibližně i pro skutečné kapaliny, lze ji použít i pro
plyny s malými tlakovými změnami, pro proudící vzduch platí až do rychlosti 40
ms-1.
Je-li tekutina viskózní, při proudění se zahřívá (s touto energetickou ztrátou nebylo
při odvození počítáno).
APLIKACE BERNOULLIOVY ROVNICE:
Př. 1: Měření rychlosti proudící kapaliny:
Bernoulliova rovnice p1 + 1 ρv 2 = p 2
2
v=
p1
r
v
2( p 2 − p1 )
ρ
p2
v=0
p1 p p2
Př. 2: Výtok kapaliny otvorem v nádobě:
Část tlakové energie mění na kinetickou energii vytékající kapaliny, v obecném
případě je uvnitř kapaliny v místě otvoru jiný tlak (p1) než vně otvoru (p2).
Bernoulliova rovnice:
p1 =
1 2
ρv + p 2
2
(před otvorem je rychlost proudění ve srovnání s výtokovou rychlostí zanedbatelně malá)
výtoková rychlost:
v=
2( p1 − p 2 )
pro :
ρ
p1 f p2
Otevřená nádoba v tíhovém poli Země
p1 = p0 + hρg … tlak v kapalině v místě otvoru
p0 … barometrický tlak
vně nádoby působí jen barometrický tlak!
p1 = p0 + hρ g ∧ p2 = p0 ⇒ p1 − p2 = hρ g
výtoková rychlost kapaliny:
v = 2hg
… Torricelliho vztah
- výtoková rychlost nezávisí na hustotě kapaliny a je
stejná, jako kdyby kapalina padala volným pádem
z výšky h
- směr vektoru rychlosti je vždy kolmý ke stěně nádoby
v místě otvoru
- vodní paprsek opisuje parabolu
PŘÍKLAD
Dvě otevřené nádrže s vodou spojené otvorem ve společné
stěně mají rozdílné výšky hladin nad otvorem. Určete, jakou
rychlostí proudí voda otvorem z jedné nádoby do druhé.
Download

MECHANIKA TEKUTIN