Elektrotechnika 1
Pracovní sešit
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
ÚSTAV TEORETICKÉ A EXPERIMENTÁLNÍ ELEKTROTECHNIKY
© Jiří Sedláček, Miloslav Steinbauer 2011
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 1 ‐ úvod
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
1
Elektrotechnika,
základní pojmy a zákony
2
Elektrotechnika
• Fyzikálně se elektrotechnika zabývá elektrickými, magnetickými a
elektromagnetickými jevy, jejichž příčinou je elektricky nabitá hmota
• Technicky je elektrotechnika vědní a technický obor, který se zabývá
– výrobou, rozvodem a přeměnou elektrické energie v jiné druhy energie,
– konstrukcí sdělovacích, zabezpečovacích, výpočetních a jiných elektrických zařízení.
• Z toho vyplývá, že rozpětí elektrotechniky sahá od nejjednodušších
zařízení jako jsou hromosvody až k nejkomplikovanějším lidským
výtvorům jako počítače ‐ „od digitálních hodinek až po atomové
elektrárny“.
• Elektrotechnika se štěpí na řadu oborů a podoborů. Tyto obory mnohdy
nelze zcela striktně oddělit.
– Slaboproud (elektronika, telekomunikace, měření a regulace,…)
– Silnoproud (elektroenergetika, elektrické stroje a přístroje, výkonová
elektronika a elektrické pohony,…)
3
1
Přednosti elektrické energie
Elektrickou energii lze velmi jednoduše a efektivně měnit na další formy:
• mechanickou
• tepelnou
• elektrickou
• zářivou
• chemickou
• jadernou
Elektřina má další výhodné fyzikální vlastnosti, především:
• Lze ji bezproblémově transportovat bez vazby na přenos hmoty a to přesně do
místa spotřeby a prakticky bez zátěže životního prostředí.
• Přenášený výkon lze snadno regulovat bez setrvačnosti.
• Snadno lze měřit všechny její kvalitativní i kvantitativní parametry
• Lze ji užít i jako nositele signálu (informační médium).
4
Zdroje využívané pro výrobu elektrické energie
5
Přeměna elektrické energie na jinou formu
Forma
Účinnost
Příklad použití
mechanická
>90 %
elektromotory
tepelná
>90 %
chladničky, topidla, vařidla
elektrická
až 98 %
transformátory, měniče
světlo
malá, žárovky (<8 %), výbojky (<40 %)
chemická
kolem 90 %
elektrolýza, akumulátory
6
2
Základní pojmy a veličiny
Vznik elektromagnetických jevů je podmíněn elektricky nabitou hmotou.
vznik náboje
(ionty, elektrony)
rozdělující síly +
‐
V okolí nábojů vzniká POLE:
• elektrické
• magnetické
• elektromagnetické
Elektricky neutrální atom
Popis elektromagnetických jevů:
Teorie elektromagnetického pole
Maxwellovy rovnice (3. přednáška)
Elementární náboj elektronu
1,602∙10 ‐19 C
7
Základní pojmy a veličiny
Atom (z řeckého atomos ‐ nedělitelný)
• stejně elektronů jako protonů  elektricky neutrální atom
• nestejně elektronů jako protonů  iont
– kationt ‐ kladně nabitý iont
– aniont ‐ záporně nabitý iont
Mikroskopické vlastnosti látky indukují vlastnosti makrokopické. Dělení látek z hlediska elektrotechniky:
• Nevodiče (izolanty, dielektrika)
• sklo, slída, neionizované plyny, plasty
• Vodiče (vodivé a odporové materiály)
• kovy, uhlík, roztoky solí, ionizované plyny
• Polovodiče (Si, Ge, Se, GaAs, …)
• Magnetické materiály (fero‐ a ferimagnetika,…)
Thales Milétský
(6. stol. př. n. l., Řek)
jantar (řecky elektron) 8
Elektrický náboj
Otto von Guerricke
1672 – rotační elektrostatický generátor (třecí elektrika) Počátek novodobých dějin elektrotechniky ‐ pojem elektrický náboj
9
3
Elektrická kapacita
Elektrický náboj q, kapacita C
1745 Pieter van Musschenbroek –
kondenzátor ‐ Leydenská láhev
Pieter van Musschenbroek
S
C 
S
d
d

  0 r
Deskový kondenzátor –
„Franklinova deska“
permitivita   F  m -1 
 0  8,854 1012  F  m-1 
10
Objev bleskosvodu
1750 Benjamin Franklin ‐ „Motor“
Model ‐ 50kV, 2W, 500 ot/min, účinnost 5%
1754 Prokop Diviš
Kostel v Příměticích
Bleskosvod s uzemněním
(meteorologický stroj)
B. Franklin až r. 1760
11
Coulombův zákon
1786 Ch. A. Coulomb zakládá elektrostatiku
• Po něm je pojmenována jednotka náboje q
• Coulombův zákon
F k
q1  q2
r2
Elektrometr
1790 Elektrometr ‐ „měřicí přístroj“
12
4
Elektrostatické pole, intenzita, potenciál, napětí
Intenzita el. pole siločáry
F  qE
E
F
q
E  V/m 
F k
•
q1  q2
r2
2
U12 
Intenzita elektrostatického pole
= síla působící na náboj
Napětí: charakterizuje práci vykonanou přenosem náboje v elstat. poli = rozdíl potenciálů
2
A12 1
  F  d    E  d
q
q1
1
F  qE  N 
U  1   2  V 
13
Elektrické napětí
Souvislost elektrického náboje q, kapacity C a napětí U
q  C u
 C    F   V 
Coulomb, Farad, Volt
Alessandro Volta
1778 Alessandro Volta – univerzita Como u Milána
• Formulace vztahu pro q
• Sestavil výkonný zdroj (Voltův sloup, r. 1800)
• Definoval elektrické napětí
14
Elektrický proud
I
‐
‐
‐
Q
A
t
I
J
 A/m2 
S
I
15
5
Elektrický proud
16
Vznik elektrického proudu
Elektrická energie vzniká vždy přeměnou z jiné formy energie
Chemické (galvanický článek)
Mechanické (využití indukce)
Tepelné (Seebeckův jev)
Světelné (fotočlánek)
Termočlánek pro měření teploty
17
Vznik elektrického proudu
Mechanické (piezoelektrický jev)
Mechanické (triboelektrický jev)
Van de Graafův VN generátor
18
6
Účinky elektrického proudu
Tepelné účinky – Jouleovo teplo (vždy)
Vznik magnetického pole (vždy)
Stykače a relé
Elektromotory
Elektromagnety
Reproduktory
Zvonky
Tepelné spotřebiče
‐žehlička
‐bojler
‐páječka
Tavné pojistky
(Žárovka)
Vznik světla (v plynech a polovodičích)
Chemické účinky (ve vodivých kapalinách)
Elektrolýza
Galvanické pokovování
Nabíjení AKU
Doutnavky
LED
Zářivky
Výbojky
Elektrický oblouk
19
Účinky elektrického proudu
Fyziologické účinky (na živé tvory)
Elektrické ohradníky
Lékařské přístroje:
‐ kardiostimulátory
‐ defibrilátory
‐ elektroléčba
Úraz elektrickým proudem
Úraz elektrickým proudem – bude předmětem školení z bezpečnosti v elektrotechnice.
20
Elektrický odpor
Teplotní závislost odporu
21
7
Elektrický odpor
22
Měrný odpor látek
23
Souvislost elektrických a magnetických jevů
1820 H. Ch. Oerstedt ‐ působení elektrického proudu na střelku kompasu
1826 A. M. Ampère ‐ Teorie elektromagnetických jevů
André‐Marie Ampère
24
8
Souvislost elektrických a magnetických jevů
1831 M. Faraday ‐ zákon elektromagnetické indukce
Michael Faraday
U 
d
dt
25
Síly v elektromagnetickém poli
Na náboj v EMG poli působí Lorentzova síla
FL  q  E  v  B   qE  q  v  B 
síla elektrického pole
(statická)
síla magnetického pole (dynamická)
B
E
v
FE  qE
F
F
FM  q  v  B 
26
Vznik indukovaného napětí
Na obrázku se pohybuje vodič délky rychlostí v kolmo na směr siločar B.
Elektrony se ustálí v rovnovážném stavu
FL = 0, odtud napětí mezi konci vodiče
qE  q  v  B 
E  vB
U  E   v B
27
9
Síla na vodič v magnetickém poli
Vodič protékaný proudem vytváří magnetické pole, které se superponuje s vnějším polem. Vzniká nehomogenní pole, které vytlačuje vodič.
PRAVIDLO VÝVRTKY
28
Síla na vodič v magnetickém poli
Na element d působí síla
dFM  q  v  B 
v
q  neSd
Náboj v elementu
I
neS
Rychlost pohybu nábojů

dF  I d  B


Na vodič délky  pak působí síla


F   dFd  I   B


29
Ohmův zákon
1825 G. S. Ohm
– O elektrické vodivosti kovů
– věnoval se také optice a akustice
i
u
R
u  R i
Georg Simon Ohm
i
u
R
30
10
Indukčnost
1830 Joseph Henry (New Jersey)
‐ pojem indukčnost

L
i
Joseph Henry
  Li
Definice indukčnosti
 Wb    H    A 
L
Weber, Henry, Ampér

i
31
Vztah mezi u(t) a i(t) u cívky
i (t)
L
u

  Li
u(t)
d
di
L
dt
dt
d
dt
uL
di
dt
L
i
i
1
L
 u dt  I
0
Energie (mag. pole cívky)
W
1
L  i2
2
32
Vztah mezi u(t) a i(t) u kondenzátoru
S
d

q  C u
q
C 
u
dq
du
C
dt
dt
dq
i
dt
iC
i(t)
u(t)
C
Definice kapacity
du
dt
u
1
C
 i dt  U
0
Energie (el. pole kondenzátoru)
W 
1
C u2
2
33
11
Maxwellovy rovnice
34
Elektrické pole
• Zdrojem elektrického pole je elektrický náboj
(volný nebo vázaný v zelektrizované látce)
• Elektrické pole je charakterizováno vektory E a D
• Elektrické pole zobrazujeme pomocí indukčních čar nebo ekvipotenciál
• Indukční čáry jsou neuzavřené křivky  el. pole je zřídlové
E
pole jediného náboje
pole opačných nábojů
35
Magnetické pole
• Zdrojem magnetického pole je elektrický proud (např. v cívce) nebo zmagnetovaná látka (permanentní magnet)
• Magnetické pole je charakterizováno vektory H a B
• Magnetické pole zobrazujeme pomocí indukčních čar
• Indukční čáry jsou uzavřené křivky  mag. pole je nezřídlové
H
proudovodič
permanentní magnet
36
12
Základní veličiny a vztahy
U   Ed
Elektrické pole
•
Intenzita elektrického pole E (V/m)
•
Elektrická indukce D   E
D (C/m2)
Magnetické pole
•
Elektrické napětí
U (V)
•
Elektrický indukční tok
 (C)
U m   Hd •
Magnetické napětí
Um (A)
   B  dS •
Magnetický indukční tok  (Wb)
I   J  dS •
Elektrický proud
I (A)

   D  dS
S

•
Intenzita magnetického pole •
Magnetická indukce B   H B (T)
H (A/m)
S
Proudové pole
•
Hustota vodivého proudu J (A/m2)
S
J E
Materiálové vlastnosti:
   0 r ,  0  8,854 1012  F/m 
• Permitivita
• Permeabilita
  0  r , 0  4π 107  H/m 
• Konduktivita
 (S/m)
37
Teorie elektromagnetismu
• 1873 J. C. Maxwell
– „Pojednání o elektřině a magnetismu“
1000 stran, 20 veličin – kvaterniony
– Maxwell: „…cílem bylo přeložit Faradayovy
myšlenky do matematického tvaru…“
James Clerk Maxwell
Maxwellovy rovnice v původním tvaru (příklad)
Pozn.: kvaterniony (W.R. Hamilton, 1843)
Q  a, b, c, d   a  bi  cj  dk
• 1888 O. Heaviside
i, j, k - tzv. hyperkomplexní jednotky
d d
df 


 4  p  
dy dz
dt 

d d
dg 


 4  q 

dz dx
dt 

d d
dh 


 4  r  
dx dy
dt 

– matematická formulace pomocí vektorů
• H. Hertz
rot H  J 
– potvrzení existence elektromagnetických vln
– zavedení pojmu tok výkonu elektromagnetické energie
D
t
38
Teorie elektromagnetismu
„...Aby si mohl student uvědomit přínos této vědy (elektřiny a magnetizmu), musí být důvěrně obeznámen se značným množstvím velmi složité matematiky, jejíž pouhé uchování v paměti mu významně přispívá k jeho budoucímu růstu…“
James Clerk Maxwell , 1855
Maxwellovy rovnice
Pohybující se náboj (elektrický proud) je zdrojem magnetického pole
Časová změna magnetického pole indukuje elektrické pole
Elektrické pole
je zřídlové
Magnetické pole
je nezřídlové
(s využitím vektorové analýzy ‐ O. Heaviside)
D
t
B
rot E  
t
div D  
rot H  J 
D   E
B   H
J   E
div B  0
Vlastnosti prostředí , , 
ovlivňují pole
39
13
Maxwellovy rovnice ‐
souvislost elektrického a magnetického pole
1.
El
Magnetické pole vzniká pohybem nábojů (vodivý + posuvný proud)
rot H  J 
Mag
2.
Mag
D
t
Elektrické pole vzniká
časovou změnou mag. pole rot E  
El
B
t
40
Maxwellovy rovnice ‐
vlastnosti elektrického a magnetického pole
3.
Tok vektoru D uzavřenou plochou je úměrný objemové hustotě nábojů.
ρ
div D  ρ
Elektrické pole je zřídlové
4.
Siločáry el. pole mají zdroje: zřídlo a noru.
Tok vektoru B uzavřenou plochou je nulový div B  0
Mag. pole je nezřídlové
Siločáry mag. pole nemají zřídla  jsou spojité
41
Maxwellovy rovnice ‐
vliv materiálového prostředí na pole
D   0  E  P    0 r E
 0  8,854 1012  F/m 
D   E  ‐ permitivita
5.
Polarizace P dielektrika vlivem vnějšího pole s intenzitou E.
Výsledné pole je součtem polarizace a vnějšího pole.
6.
Magnetizace M magnetického materiálu vlivem vnějšího pole
s intenzitou H.
Výsledné pole je součtem magnetizace a vnějšího pole.
B  0  H  M   0  r H
0  4π 107  H/m 
B   H  ‐ permeabilita
7.
Elektrické pole E vyvolává ve vodivém prostředí pohyb nábojů, vzniká el. proud s plošnou hustotou J.
Ohmův zákon v obecném tvaru:
Lineární izotropní prostředí:
 ,  ,   skalár
J  E
 – měrná vodivost
Anizotropní prostředí:
ε, μ, γ  tenzor
42
14
1. Maxwellova rovnice
(zobecněný Ampèrův zákon celkového proudu)
J
D
t
diferenciální tvar
rot H  J 
Elektrický proud
D
t
I   J  dS
S
integrální tvar
H
 Hd  I 

Elektrický indukční tok
d
dt
   D  dS
S
Rotace (mohutnost víru) vektoru H je rovna součtu hustot celkového vodivého
proudu J a proudu posuvného dD/dt.
Integrál vektoru H po uzavřené křivce je roven součtu celkového vodivého proudu I
a proudu posuvného d/dt obemknutého touto křivkou.
Proud je zdrojem magnetického pole.
rot H 
rot – rotace, mohutnost víru pole
rot ≠0  vírové (nekonzervativní) pole
ux
uy
uz

x
Hx

y
Hy

z
Hz
43
Ampèrův zákon celkového proudu
 H  d   I
Vztah mezi B a H
B   H  0 r H (T)

H
B
 Hd  0
l2
l1
2
 Hd   I  I
3
 I2
intenzita magnetického pole (A/m)
magnetická indukce (T)
 permeabilita (H/m)
r relativní permeabilita prostředí (‐)
0 magnetická konstanta (H/m)
(dříve permeabilita vakua)
 0  4π 10 7 (H/m)
1
44
Použití Ampèrova zákona celkového proudu
I
uzavřená křivka l
r
  2πr
H
 Hd  I

H  I
PRAVIDLO VÝVRTKY
Orientace siločar magnetického pole
vyvolaného elektrickým proudem
H
I
2πr
45
15
2. Maxwellova rovnice
(Faradayův indukční zákon)
diferenciální tvar
B
t
rot E  
E
Elektrické napětí
B
t
U   Ed

integrální tvar
 Ed  

Magnetický indukční tok
d
dt
   B  dS
S
Rotace vektoru E (mohutnost víru el. intenzity) je rovna záporně vzaté časové
derivaci magnetické indukce B.
Integrál vektoru E po uzavřené křivce je roven záporně vzaté časové derivaci
magnetického indukčního toku  obklopeného touto křivkou.
Při časové změně magnetického pole (indukčního toku) se
indukuje elektrické pole (vzniká elektrické napětí).
46
Faradayův indukční zákon
d
Změna B
 Ed   dt


U 
d B  S
dt
Změna velikosti S
Změna orientace S vůči B
Rotační generátor
Automobilový alternátor
47
3. Maxwellova rovnice
(Gaussův zákon elektrostatiky)
diferenciální tvar
D
S
Gaussova
plocha
+
Q
div D  
Elektrická indukce
D   0 r E
integrální tvar

 D  dS  Q
S
Celkový volný náboj
Q    dV
V
Výtok vektoru indukce D v libovolném bodě je roven hustotě volného náboje
 v tomto bodě.
Integrál vektoru indukce D uzavřenou plochou S je roven celkovému volnému
náboji Q obklopenému touto plochou.
Elektrický náboj je tedy zřídlem elektrického pole.
div – divergence, mohutnost objemového výtoku pole
div D 
Dx Dy Dz


x
y
z
div ≠0 zřídlové pole (+ zřídlo, ‐ nora)
48
16
4. Maxwellova rovnice
(zákon spojitosti magnetického indukčního toku)
diferenciální tvar
div B  0
S
J
integrální tvar

 B  dS  0
B
S
Výtok vektoru indukce B libovolnou uzavřenou plochou je nulový.
Integrál vektoru indukce B libovolnou uzavřenou plochou S je nulový.
Siločáry magnetického pole jsou uzavřené křivky.
Magnetické pole je nezřídlové.
49
Maxwellovy rovnice (diferenciální i integrální tvar)
J
D
t
rot H  J 
H
B
t
rot E  
D
t
B
t
 Hd  I 

d
dt
d
1. M.r. – zobecněný Ampèrův zákon celkového proudu
 Ed   dt
2. M.r. – Faradayův indukční zákon

 D  dS  Q
3. M.r. – Gaussův zákon elektrostatiky

E
D
S
div D  

S
S
J
div B  0
B

 B  dS  0
S
4. M.r. – zákon spojitosti magnetického indukčního toku
S
50
Maxwellovy rovnice
popis elektrického a magnetického pole
MAXWELLOVY ROVNICE
POLE
El
Mag
Souvislosti
1. a 2.
Vlastnosti
3. a 4.
Vliv prostředí
(5. ‐ 7.)
51
17
Hustota toku energie
• J. H. Poynting
– Zavedení Poyntingova vektoru  pro hustotu toku výkonu
– Nezávisle na něm zavedl
i N. A. Umov (1874)
Výkon:
P   Π  dS  U  I
Π  E  H  W  m -2 
×
W
S
Energie se šíří od zdroje k zátěži
dielektrikem, ne vodiči !
Pohled směrem zdroj‐zátěž
52
Pasivní a aktivní obvodové prvky,
modely, obvodové zákony
53
Elektrické obvody – základní pojmy
• Elektrický obvod ‐ soustava složená z prvků navzájem spojených tak, aby celek plnil určitou funkci
• se soustředěnými parametry
 teorie obvodů
• s rozprostřenými parametry
(délka vlny srovnatelná s geometrickými rozměry)
 teorie elektromagnetického pole
• Analýza – hledáme obvodové veličiny (u, i, …)
v existujícím obvodu ‐ jednoznačná úloha
• Syntéza – hledáme obvod (zapojení a parametry) pro určitou funkci – nejednoznačná úloha
54
18
Elektrické obvody – základní pojmy
•
•
•
•
Uzel – ekvipotenciála, vodivé spojení prvků obvodu
Větev – část obvodu mezi dvěma uzly Smyčka – uzavřená část obvodu
Minimální smyčka (oko) – není rozdělena žádnou větví
Toto je jeden uzel!
55
Elektrické obvody – základní pojmy
Reálný elektrický obvod
Obvodové schéma
Graf obvodu
(topologické schéma)
56
Elektrické obvody – Kirchhoffovy zákony
G. R. Kirchhoff (1824‐1887)
1845 universita v Koningsbergu (Kaliningradu)
‐ učili ho profesoři Bessel, Jacobi, Gauss
• v 21 letech napsal seminární práci (odvodil K.z.)
• ve 24 letech docentem
• ve 26 letech profesorem
Gustav Robert Kirchhoff
… dále od 1854
Univerzita Heidelberg a Berlín
(mechanika, termodynamika)
 i
k
0
 u
k
0
57
19
Elektrické obvody – Kirchhoffovy zákony
i2
i1
uzel
i3
i1  i2  i3  0
1
1. Kirchhoffův zákon (proudový)
Algebraický součet proudů vtékajících (‐) a vytékajících (+) z uzlu je roven nule.
Vychází ze zákona zachování náboje.
Vychází ze zákona elektromagnetické
indukce pro stacionární případ.
3
u1  u2  u3  0
0
j
j
 u
2. Kirchhoffův zákon (napěťový)
Algebraický součet napětí podél uzavřené
orientované smyčky  je roven nule.
2

 i
j
0
j
u
d
0
dt
u   Ed   E1d   E2 d   E3d  0

1
2
3
 
 

 u1
u2
u3
58
Elektrické obvody – Kirchhoffovy zákony
Příklad:
Sestavte rovnice pomocí K. z. pro obvod na obrázku. Uzel 1:
i1 i2 i3 0
Smyčka s1:
u  u1  u2  0
Smyčka s2:  u 2  u3  0
59
Základní problémy analýzy obvodů
Reálný
elektrický obvod
Model
elektrického obvodu
• vytvoření modelu reálného elektrického obvodu
• sestavení rovnic pro popis vlastností modelu obvodu
a jejich řešení
• interpretace výsledků
Formulace
a řešení rovnic
Interpretace
výsledků
60
20
Základní ideální obvodové prvky
• prvky pasivní: spotřebovávají (nebo akumulují) energii
• rezistory R
• kapacitory C
• induktory L
• prvky aktivní: dodávají energii
Zdroj (aktivní)
• zdroje napětí U
• zdroje proudu I • zdrojový a spotřebičový systém čítacích šipek
I
Spotřebič (pasivní)
U
I
U
• podle počtu pólů (svorek): dvojpóly, trojpóly, čtyřpóly, atd.
• podle typu obvodových rovnic určující matematické postupy jejich řešení: lineární – nelineární
61
Pasivní obvodové prvky ‐ rezistor
• Rezistor (ideální)
je disipativní obvodový prvek, který elektrickou energii nevratným způsobem mění na jinou formu energie. 1
u
R
i  G u 
u  Ri
Okamžitý výkon
b)
a)
p t   u t   i t 
Rezistor a jeho ampérvoltová charakteristika
p t   R  i2 t   G  u 2 t  
u 2 t 
R
Energie přeměněná (v teplo) t
t
0
0
Wt   p   d   u   i   d
62
Pasivní obvodové prvky ‐ rezistor
a)
b)
Parametrický rezistor a jeho ampérvoltová charakteristika
i(t)
u(t)
a)
b)
Nelineární rezistor s příkladem ampérvoltové charakteristiky
63
21
Vztah mezi u(t) a i(t)
u základních obvodových prvků
Induktor
Rezistor
Kapacitor
i(t)
i(t)
i(t)
u(t)
u(t)
u(t)
L
R
C
  L i
q  C u
d
di
L
dt
dt
dq
du
C
dt
dt
u  R i
uL
di
dt
iC
du
dt
64
Základní problémy analýzy obvodů
Ideální obvodové prvky (definován jeden hlavní parametr)
• Rezistor – (odpor R)
• Kapacitor – (kapacita C)
• Induktor – (indukčnost L)
Reálné elektrické prvky
• Rezistor (odpor)
• Kondenzátor
• Cívka
Reálné prvky modelujeme vhodným propojením prvků ideálních
C
(např. technická cívka pomocí RLC)
R
L
65
Rezistor × „odpor“
i (t)
u(t)
R
Parazitní vlastnosti
• indukčnost, kapacita
• nestálost odporu s teplotou a časem
Reálná omezení
• ztrátový výkon (W)
• max. napětí
66
22
Kapacitor × kondenzátor
i(t)
Parazitní vlastnosti
• indukčnost
• svodový a sériový odpor (ESR)
• nestálost kapacity s teplotou a časem
Reálná omezení
• pracovní napětí
• oblast použití (kmitočet, proudové nárazy,…)
u(t)
C
67
Induktor × cívka
Parazitní vlastnosti
• kapacita (mezizávitová)
• sériový odpor
• ztráty v jádře
• nelinearita (daná jádrem)
Reálná omezení
• pracovní proud a napětí
• oblast použití (kmitočet, maximální sycení jádra,…)
i (t)
u(t)
L
68
Aktivní prvky ‐ zdroje
• Nezávislé zdroje (zdroj napětí, zdroj proudu)
• Závislé (řízené) zdroje
– Napětí nebo proud zdroje je funkcí řídicí veličiny
(např. zesilovač = zdroj napětí řízený napětím)
• Musí existovat rozdělující síly, které rozdělují náboje a vzniká potenciální spád (napětí)
• Rozdělující síla Fr působící na náboj Q, vzniká intenzita E
• Integrál intenzity rozdělujících sil po dráze uvnitř zdroje je elektromotorické napětí emn
• Svorkové napětí je u, u nezatíženého zdroje je shodné s emn
+
‐
E
+
emn
E
Fr
Q

u
‐
emn   Ed

69
23
Nezávislý zdroj napětí
Ideální nezávislý zdroj napětí udržuje na svých svorkách konstantní napětí
nezávisle na velikosti odebíraného proudu.
u
U
0
i
Ideální zdroj napětí a jeho zatěžovací charakteristika
• Jediným parametrem ideálního zdroje napětí je jeho napětí U
• Ideální zdroj napětí je schopen dodávat jakkoli veliký výstupní proud a má tedy nekonečnou zásobu energie
70
Reálný zdroj napětí
Reálný nezávislý zdroj napětí má svorkové napětí závislé na velikosti
odebíraného proudu.
i
u
Ideál.
U0
nelin. RZN
u
lin.
Ik
0
i
Reálný zdroj napětí s příkladem zatěžovací charakteristiky
• Parametrem reálného zdroje napětí je jeho napětí naprázdno U0 a proud nakrátko Ik
• Závislost u = f(i ) se nazývá zatěžovací charakteristika a může být obecně nelineární
71
Model reálného zdroje napětí (lineární)
U
U0
U
U
Ik
0
Ri – vnitřní odpor
Ui – vnitřní napětí
Svorkové napětí
I
U  U i  I  Ri  U i  U
U0 ‐ napětí naprázdno (I = 0)
Ik ‐ proud nakrátko (U = 0) U0  Ui
Ik 
Ui
Ri
72
24
Nezávislý zdroj proudu
Ideální nezávislý zdroj proudu udržuje na svých svorkách konstantní proud
nezávisle na velikosti napětí.
i
I
0
u
Ideální zdroj proudu a jeho zatěžovací charakteristika
• Jediným parametrem ideálního zdroje proudu je jeho proud I
• Ideální zdroj proudu je schopen dodávat konstantní proud při jakkoli velikém svorkovém napětí a má tedy nekonečnou zásobu energie
73
Reálný zdroj proudu
Reálný nezávislý zdroj proudu má výstupní proud závislý na svorkovém
napětí.
i
i
Ideál.
ii(tk)
RZP
nelin. u
lin.
u0(tk)
0
u
Reálný zdroj proudu s příkladem zatěžovací charakteristiky
• Parametrem reálného zdroje proud je jeho napětí naprázdno U0 a proud nakrátko Ik
• Závislost i = f(u) se nazývá zatěžovací charakteristika a může být obecně nelineární
74
Model reálného zdroje proud (lineární)
I
Ik
I
Iz
U0
0
U
Ii – vnitřní proud
Gi – vnitřní vodivost
Výstupní proud
I  I i  U  Gi  I i  I
U0 ‐ napětí naprázdno (I = 0)
Ik ‐ proud nakrátko (U = 0) U0 
Ii
Gi
I k  Ii
75
25
Příklad
Monočlánek typu R14 má napětí naprázdno rovno U0=1,5 V. Odebíráme‐li z něj proud Iz = 0,5 A, klesne výstupní napětí na hodnotu 1,1 V. Určete prvky náhradního schématu monočlánku.
Řešení:
Naprázdno
I = 0 A
U = 0 V
U = 1,5 V
Ui =1,5 V
76
Příklad
Monočlánek typu R14 má napětí naprázdno rovno U0=1,5 V. Odebíráme‐li z něj proud Iz = 0,5 A, klesne výstupní napětí na hodnotu 1,1 V. Určete prvky náhradního schématu monočlánku.
Řešení:
I = 0,5 A
Při zatížení
U =1,5‐1,1= 0,4 V
U = 1,1 V
Ri = 0,8 
Ui =1,5 V
Ri 
U 0, 4

 0,8 
I
0,5
77
Ekvivalence mezi napěťovým
a proudovým modelem zdroje
Proudový model
Napěťový model
Ri 
1
Gi
Ii 
U i  I i Ri
Ui
Ri
Gi 
U  U i   U  U i  Ri I
1
Ri
U
Ii  I
Gi
Parametry se určí ze stavu zdroje: napětí naprázdno U0 a proud nakrátko Ik
Ui  U0
Ri 
U0
Ik
Ii  I k
Gi 
Ik
U0
78
26
Příklad přepočtu zdrojů Přepočítejte napěťový model zdroje s hodnotami Ui =100 V, Ri = 5 na proudový.
Ii = ?, Gi = ?
Ui =100 V, Ri = 5 
Ii 
U i 100

 20 A
Ri
5
Gi 
1 1
  0, 2 S
Ri 5
79
Práce a výkon
80
Práce a výkon elektrického proudu
Elektrická práce
• Jednotkou je Joule (J) nebo kilowatthodina
(1 kWh = 1000 W ∙ 3600 s = 3,6 MJ)
• Měří se např. elektroměrem
A  U  I t
 J, Ws, kWh 
Výkon je množství práce vykonané za jednotku času
• Jednotkou je Watt (W)
A
P   U  I W
• Měří se wattmetrem
t
P U I 
U2 2
=I  R
R
81
27
Účinnost přeměny energie
Ztrátový výkon (ztráty)
PZ  P1  P2
P1 – dodaný výkon (příkon)
P2 – vydaný výkon (užitečný)
Účinnost

P2
P1
82
Účinnost přeměny energie
P1M – příkon motoru
P2M – výkon motoru
P2G – výkon generátoru
Příklad :
M 
3,2 kW
 0,8
4 kW
G 
2,4 kW
 0,75
3,2 kW
  M G  0,8  0,75  0,6

2,4 kW
 0,6
4 kW
83
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 2
Analýza obvodů ‐ speciální metody
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
28
Obsah
• Metoda postupného zjednodušování
– Sériové a paralelní řazení
– Dělič napětí a proudu
•
•
•
•
Metoda úměrných veličin
Transfigurace hvězda / trojúhelník
Princip superpozice
Metoda náhradního zdroje
– Thèveninova věta
– Nortonova věta
85
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových
napětí (MMUN)
86
Metody pro speciální případy
‐ metoda postupného zjednodušování
• Princip ‐ postupné zjednodušování obvodu až na obvod obsahující jeden zdroj a jeden rezistor
• Řešení ‐ postupná náhrada
Klady:
• sériově řazených prvků
• jednoduchá metoda
• paralelně řazených prvků
• použití zákl. matem. operací
• vhodné pro „ruční výpočty“ Zápory:
• zdlouhavá a pracná metoda
• analýza pouze jednodušších obvodů s jediným zdrojem
• postup řešení je „individuální “ (vyžaduje zkušenost )
• některé obvody nelze takto řešit (vyžadují např. aplikaci metody transfigurace obvodu)
87
29
Spojování zdrojů
Sériové řazení zdrojů napětí
U  U1  U 2  ........  U n
Paralelní řazení zdrojů proudu
I  I1  I 2  .......  I n
88
Spojování rezistorů
Sériové spojení rezistorů
U  U1  U 2    U n  I  R1  R2    Rn   I  R
n
R   Rj
j 1
R  R1  R2    Rn
89
Spojování rezistorů
Paralelní spojení rezistorů
Zkrácené značení:
R  R1 || R2 ||... || Rn
90
30
Spojování rezistorů
Paralelní spojení rezistorů
Zkrácené značení:
R  R1 || R2 ||... || Rn
G
n
G j
j 1
G  1/ R
G1  1 / R1
Gn  1 / Rn
1
n
1
R
j 1
j
Speciálně pro 2 rezistory:
R  R1 || R2 
G2  1 / R2
R
R1 R2
R1  R2
I  I1  I 2    I n  U  G1  G2    Gn   U  G
G  G1  G2    G3
91
Metoda postupného zjednodušování
92
Metoda postupného zjednodušování
Příklad 1
Metodou postupného zjednodušování určete všechny proudy v obvodu podle obrázku
R1  150 , R2  450 
R3  370 , R4  220 
U  24 V
93
31
Příklad 1
Metoda postupného zjednodušování
R1  150 
R2  450 
R3  370 
R4  220 
U  24 V
1. část – „přímý postup“
R23 
R2R3
 203 
R2  R3
2. část – „zpětný postup“
I2 
U2
 30,67 mA
R2
I3 
U2
 37,31 mA
R3
U 2  I1R23  13,8 V
R123  R1  R23  353 
I4 
U
 109,1 mA
R4
I1 
U
 67,98 mA
R123
I  I1  I4  177,1 mA
94
Metoda postupného zjednodušování ‐ poznámky
„Přímý postup“ (jednoduchý):
• paralelní a sériové kombinace
• určíme celkový odpor a proud
„Zpětný postup“ (složitější)
• hledání proudů a napětí
• vyžaduje určitou invenci
NELZE řešit přímo!
(paralelní a sériové řazení nelze uplatnit)
Nutno použít transfiguraci Y‐
95
Dělič napětí
Rezistorový dělič napětí
U1 =? U2 = ?
proto napětí
U1  I  R1  U
celkový odpor obvodu je
R  R1  R2
a proud obvodem
I
R1
R1  R2
U
R1  R2
U 2  I  R2  U
R2
R1  R2
Zlomek, kterým vstupní napětí násobíme, je bezrozměrný
a nazývá se činitel přenosu napětí.
96
32
Dělič proudu
Rezistorový dělič proudu
I1 =? I2 = ?
Protože jsou proudy větvemi :
I1  UG1  I
U
I
I

G G1  G2
G1
G1  G2
I 2  UG2  I
G2
G1  G2
97
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových
napětí (MMUN)
98
Metody pro speciální případy
‐ metoda úměrných veličin
• Jen pro jednoduché lineární obvody, s jedním zdrojem
• Volíme fiktivní proud (např. 1 A) nebo
fiktivní napětí (např. 1 V) jedné větve
• Počítáme postupně další veličiny „odzadu“ směrem ke zdroji
• Vypočteme fiktivní napětí zdroje a koeficient
k = U/Ufikt
• Skutečné veličiny obvodu získáme z fiktivních vynásobením koeficientem k
99
33
Metody pro speciální případy
‐ metoda úměrných veličin
Příklad 2
Metodou úměrných veličin určete všechny proudy v obvodu podle obrázku
volíme: I2f  1 A
Koeficient úměrnosti:
U
24
k

 3,067  10-2
U f 782,4
U2f  I2f  R2  450 V
U
I3 f  2f  1216 mA
R3
Skutečné proudy:
I1f  I2f  I3f  2216 mA I1  k  I1f  67,98 mA
R1  150 , R2  450 
R3  370 , R4  220 
U  24 V
I2  k  I2f  30,67 mA
U1f  I1f  R1  332,4 V
I3  k  I3 f  37,31 mA
Uf  U1f  U 2f  782,4 V
I4 f 
I 4  k  I4 f  109,1 mA
Uf
 3557 mA
R4
100
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových
napětí (MMUN)
101
Transfigurace trojúhelník ()  hvězda (Y)
R  R12   R23  R31  
R  R  R31 
 12 23
R12  R23  R31
Zapojení musí být ekvivalentní:
RY  R10  R20
R  RY
R12  R23  R31 
 R10  R20
R12  R23  R31
R23  R12  R31 
 R20  R30
R12  R23  R31
R31  R12  R23 
 R10  R30
R12  R23  R31
Řešením této soustavy rovnic dostaneme transfigurační vztahy
102
34
Transfigurace trojúhelník ()  hvězda (Y)
Transfigurace –Y :
R10 
R12 R31
,
R12  R23  R31
R20 
R23 R12
,
R12  R23  R31
R30 
R31 R23
R12  R23  R31
Transfigurace Y – :
R12  R10  R20 
R10 R20
,
R30
R23  R20  R30 
R20 R30
R R
, R31  R30  R10  30 10
R10
R20
103
Transfigurace trojúhelník ()  hvězda (Y)
Příklad použití transfigurace
3 uzly
4 smyčky
5 uzlů
2 smyčky
Původní zapojení
• 4 uzly
• 3 smyčky
104
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových
napětí (MMUN)
105
35
Princip superpozice
Princip superpozice: Odezva na součet podnětů je rovna součtu odezev na jednotlivé podněty působící samostatně.
Elektrické obvody: podněty = napětí/proudy nezávislých zdrojů
odezvy = napětí/proudy prvků obvodu
I1 
U1
R
I2 
U2
R
U  U1  U 2
I  I1  I 2
U U  U 2 U1 U 2
I  1


 I1  I 2
R
R
R
R
ÚČINKY ZDROJŮ se v lineárních obvodech LINEÁRNĚ SČÍTAJÍ.
106
Princip superpozice
Princip superpozice
• Platí jen v lineárních obvodech
• Účinky zdrojů se sčítají (superponují)
• Výpočet obvodových veličin (U, I) se provede pro každý zdroj zvlášť, ostatní zdroje se nahradí vnitřním odporem:
– ideální zdroj I (R  ) rozpojením
– ideální zdroj U (R = 0) zkratem
107
Příklad 3
Princip superpozice
Určete proud a napětí na rezistoru R1.
U Z1  12 V, Ri1  2 Ω
I Z2  4 A, Gi2  0,5 S
R1  4 Ω
108
36
Příklad 3
Princip superpozice
U1 a I1 určíme superpozicí
+
U1
I1
U1
I1
U1  U1  U1
I1  I1  I1
109
Příklad 3
Příspěvek prvního zdroje
• Zdroj IZ2 je rozpojen
• Řešíme např. zjednodušováním, náhradou napěťového zdroje proudovým zdrojem, …
U Z1  12 V, Ri1  2 Ω
I Z2  4 A, Gi2  0,5 S
R1  4 Ω
U1
I1
U1  4,8 V, I1  1, 2 A
110
Příklad 3
Příspěvek druhého zdroje
• Zdroj UZ1 je nahrazen zkratem
• Řešíme např. zjednodušováním, …
U Z1  12 V, Ri1  2 Ω
I Z2  4 A, Gi2  0,5 S
U1
R1  4 Ω
I1
U1  3, 2 V, I1  0,8 A
111
37
Příklad 3
Výsledek
• U1 a I1 určíme superpozicí
U1
U1
I1
I1
U1  3, 2 V, I1  0,8 A
U1  4,8 V, I1  1, 2 A
U1  U1  U1  4,8   3, 2   1, 6 V
I1  I1  I1  1, 2   0,8   0, 4 A
112
Nelineární obvody ‐ superpozice
I  a U 2
Příklad pro R s kvadratickou AV charakteristikou:
I  aU 2  a U1  U 2  
2
I1  a  U12
 aU12  aU 22  2aU1U 2 
 I1  I 2  2aU1U 2
U  U1  U 2
I  I1  I 2
I 2  a U
2
2
V NELINEÁRNÍCH OBVODECH NEPLATÍ PRINCIP SUPERPOZICE!
113
Princip superpozice
Lineární obvody
Nelineární obvody
i
i
I
I
I2
I1
I2
I1
u
0
I  I1  I 2
U1
U2
U
U  U1  U 2
u
0
U1
I  I1  I 2
U2
U
U  U1  U 2
114
38
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ metoda postupného zjednodušování
‐ metoda úměrných veličin
‐ transfigurace
‐ princip superpozice
‐ metoda náhradního zdroje (Thèveninova a Nortonova věta)
Univerzální metody
‐ přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ metoda uzlových napětí (MUN)
‐ modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
115
Metoda náhradního zdroje
Metoda vhodná v případě, že analyzujeme jednu větev obvodu
• hledání vnitřního odporu obvodu (např. pro výkonové přizpůsobení)
• výhodná pro řešení přechodných dějů (1 akumulační prvek)
• lze použít i pro R nelineární
Thèveninova věta
1853 Herman von Helmholtz
prof. fyziky, Berlín, včetně exaktního důkazu
1883 znovuobjevil francouzský telegrafní inženýr Léon Charles Thèvenin (bez důkazu)
Nortonova věta
zavedena 1926
• Hans Ferdinand Mayer,
pracovník firmy Siemens
• Edward Lawry Norton v interních materiálech firmy Bell
116
Metoda náhradního zdroje
Náhrada části obvodu ekvivalentním zdrojem:
• napětí (Ui, Ri ‐ Thèveninova věta)
• proudu (Ii, Gi ‐ Nortonova věta)
nebo
117
39
Aplikace náhradního zdroje
• Náhradní zdroje jsou vzhledem ke svorkám AB ekvivalentní s původním obvodem
• Stejné UZ a IZ pro stejné RZ
118
Aplikace náhradního zdroje
• Náhradní zdroje jsou vzhledem ke svorkám AB ekvivalentní s původním obvodem
• Stejné UZ a IZ pro stejné RZ
119
Výpočet parametrů náhradního zdroje
•
•
•
Napětí náhradního zdroje je rovno svorkovému napětí původního nezatíženého obvodu
Proud náhradního zdroje je roven svorkovému proudu nakrátko původního obvodu
Při určování vnitřního odporu se zdroje proudu rozpojí a zdroje napětí nahradí zkratem
R1
A
R2
R
R3
B
Ui  U 0
Ii  I k
Ri  R
120
40
Příklad 4
Metoda náhradního zdroje
Vypočítejte metodou Thèveninovy věty proud rezistoru R4
I4 
Ui
Ri  R4
Určení Ui
Určení Ri

U i  U ab0 
Ri  Rab 
U  R3

R1  R2  R3
R3  R1  R2 
R1  R2  R3

121
Příklad 4
Metoda náhradního zdroje
Řešení pomocí Nortonovy věty
I 4  Ii
G4
Gi  G4
Určení Ii
Určení Gi

Gi  Gab 

I i  I abk 
U
R1  R2
1
Rab
G1G2
G1  G2
 G3 
122
Příklad 5
Metoda náhradního zdroje
V obvodu na obrázku vypočítejte pomocí Theveninovy věty napětí, proud a výkon rezistoru R2.
U  20 V
R1  R3  10 Ω
I2 
R2  20 Ω, R4  40 Ω
U 2  I 2 R2
Ui
Ri  R2
P2  U 2 I 2
Určení Ri
Určení Ui
R3  R4
Ui  U
 16, 6 V
R1  R3  R4
Ri 
I2 
R1  R3  R4 
 8, 3 
R1  R3  R4
R3
R1
Ri
R4
U
Ui
 0, 5882 A, U 2  I 2 R2  11, 76 V, P2  U 2 I 2  6,920 W
Ri  R2
123
41
Příklad 6
Metoda náhradního zdroje
V obvodu na obrázku vypočítejte pomocí Theveninovy věty napětí, proud a výkon rezistoru R4.
I4 
Ui
Ri  R4
I4 
Ui
 0, 250 A
Ri  R4
U 4  I 4 R4
U 4  I 4 R4  10 V
P4  U 4 I 4
P4  U 4 I 4  2,5 W
UR3 = 0 !
U  10 V
Iz  2 A
R1  R2  20 ,
R3  10 , R4  40 
Ri  R3 
R1R2
 20 
R1  R2
 G1  G2 U i 
U
UG1  I Z
 IZ  Ui 
  15 V
R1
G1  G2
124
Metoda náhradního zdroje
‐ maximální přenos výkonu
Příklad 7
Pomocí věty o náhradním zdroji vypočtěte hodnotu
rezistoru R tak, aby do něj byl dodán maximální výkon.
Vypočtěte napětí, proud a výkon rezistoru R.
R1 = 10  R2 = 50 , R3 = 30  R4 = 20 , I = 1 A, U = 50 V
I
Ui
Ri  R
Určíme Ri:
UR  R  I
U2
PR  U R  I  I 2  R  R
R
R12  R1  R2  10  50  60 
R123 
R12 .R3
 20 
R12  R3
Ri  R123  R4  40 
Pro maximální přenos výkonu musí být zátěž R = Ri = 40 
125
Metoda náhradního zdroje
‐ maximální přenos výkonu
Příklad 7
Pomocí věty o náhradním zdroji vypočtěte hodnotu
rezistoru R tak, aby do něj byl dodán maximální výkon.
Vypočtěte napětí, proud a výkon rezistoru R.
R1 = 10  R2 = 50 , R3 = 30  R4 = 20 , I = 1 A, U = 50 V
Určíme Ui pomocí MSP:
Alternativně lze určit Ui pomocí MUN:
U   I  R2  50 V
 R1  R2  R3   IS  U   U
90  IS  100
IS  1,1 A
U i  U  R3  I S  50  30 1,1  16, 6 V
I   U / R3  1, 6 A
G1  U10  I 
G1  G2


 G
G1  G3  U20   I  
1

U 20  U i 
2
 16, 6 V


2 
0,12 0,1
0,1 0,13
 5, 9 103
0,12 1
 9, 9.102
0,1 1, 6
126
42
Metoda náhradního zdroje
‐ maximální přenos výkonu
Příklad 7
Pomocí věty o náhradním zdroji vypočtěte hodnotu
rezistoru R tak, aby do něj byl dodán maximální výkon.
Vypočtěte napětí, proud a výkon rezistoru R.
R1 = 10  R2 = 50 , R3 = 30  R4 = 20 , I = 1 A, U = 50 V
I
Ui
Ri  R
UR  R  I
R = Ri = 40 
PR  U R  I  I 2  R 
U R2
R
IR 
U i 16, 6

 0, 2085 A
2 Ri
80
UR 
U i 16, 6

 8,3 V
2
2
U R2  8, 3 

 1, 736 W
Ri
40
2
PR  I R2  Ri 
127
Příklad 8
Metoda náhradního zdroje
V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je‐li U = 2 V,
R1 = 20 , R2 = 40 , R3 = 20 , R4 = 10 , RG = 25 .
IG 
Ui
Ri  RG
128
Metoda náhradního zdroje
Příklad 8
V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je‐li U = 2 V,
R1 = 20 , R2 = 40 , R3 = 20 , R4 = 10 , RG = 25 .
Určení napětí náhradního zdroje
 R2
R4 

Ui  U2 U4  U 
  0,6 V
 R1  R2 R3  R4 
129
43
Příklad 8
Metoda náhradního zdroje
V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je‐li U = 2 V,
R1 = 20 , R2 = 40 , R3 = 20 , R4 = 10 , RG = 25 .
Určení vnitřního odporu náhradního zdroje
Ri 
RR
R1R2
 3 4  20 
R1  R2 R3  R4
130
Příklad 8
Metoda náhradního zdroje
V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji, je‐li U = 2 V,
R1 = 20 , R2 = 40 , R3 = 20 , R4 = 10 , RG = 25 .
R3 R4
R1R2
 R2
R4 
Ui  U2 U4  U 

  0,6 V Ri  R  R  R  R  20 
1
2
3
4
 R1  R2 R3  R4 
IG 
Ui
 14,82 mA
Ri  RG
131
Metoda náhradního zdroje ‐ rekapitulace
Metoda vhodná v případě, že analyzujeme jednu větev obvodu
• hledání vnitřního odporu obvodu (např. pro výkonové přizpůsobení)
• výhodná pro řešení přechodných dějů (1 akumulační prvek)
• lze použít i pro R nelineární
a
Thèveninova věta
I
Ri
R U
U
Určení Ui
Určení Ri
Ui
b
Určení Gi
Nortonova věta
Určení Ii
132
44
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 3
Analýza obvodů – univerzální metody
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
Obsah
• Maticový počet
– Násobení matic
– Výpočet determinantů
– Řešení soustavy rovnic
• Univerzální metody řešení
– Metoda Kirchhoffových rovnic
– Metoda smyčkových proudů (MSP)
– Metoda uzlových napětí (MUN)
• řízené zdroje
• metoda razítek
– Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
134
Maticový počet
Matice – uspořádaná soustava čísel (m řádků, n –sloupců)
Pro čtvercovou matici:
• prvky a11,a22,..., leží na tzv. hlavní diagonále
matice.
• prvky a12,a21,..., leží na tzv. vedlejší diagonále.
Pokud se hovoří o diagonále matice, je tím obvykle
myšlena hlavní diagonála.
Použití: vektory, transformace souřadnic,
řešení rovnic…
Pravidla pro operace s maticemi,
např. součet matic, násobení matic …
Výpočet determinantů matic
PŘÍKLADY :
 y1 
 
 y2 
matice 2×1
(sloupcový vektor)
 a11
a
 21
a12 
a22 
 a11
a
 21
a12
a22
 a11
a
 21
 a 31
a12 
a 22 
a 32 
matice 2×2
(čtvercová)
a13 
a23 
matice 2×3
(obdélníková)
matice 3×2
(obdélníková)
135
45
Maticový tvar rovnic (násobení matic)
 I1  I 2 
I3  0
R1 I1  0  I 2  R3 I 3  U 01
0  I1  R2 I 2  R3 I 3   U 02
 1
 R
 1
 0
1
0
R2
1   I1   0 
R3    I 2    U 01 
 R3   I 3   U 02 
136
Determinant matice 2×2 (Sarussovo pravidlo)
a
b
c
d
3
5
2
5
  a d c b
  3  5  2  5  15  10  5
137
Determinant matice 3×3 (Sarussovo pravidlo)
  a e i  b  f  g  d  h c
c  e  g  f  h  a  b  d  i
 1
 2

 0
3 5
4 2   1 4   3  3  2  0   2   2  5
2 3
 5  4  0  2  2 1  3   2  3   54
138
46
Determinant matice 3×3 (Sarussovo pravidlo)
  a ei  b  f  g  c d h
 c e g  a  f  h  b d i
139
Řešení soustavy lineárních rovnic
a11  x1  a12  x2  y1
vektor
neznámých x
matice
konstant a
a21  x1  a22  x2  y2
Maticový tvar rovnic :
matice
pravých
stran y
a12   x1   y1 


a 22   x 2   y 2 
 a 11
a
 21
Použitím Cramerova pravidla :
x1 
1

x2 
2

 ‐ determinant matice soustavy
Je‐li ≠0, je ma ce regulární a
soustava je řešitelná
Determinant 1
Determinant 2
 
a11
a21
a12
 a11a22  a21a12
a22
1 
y1
y2
a12
 y1a22  y2 a12
a22
2 
a11
a 21
y1
 a11 y 2  a21 y1
y2
140
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného
zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových
napětí (MMUN)
141
47
Univerzální metody
•
•
•
•
Dovolují analyzovat obvody libovolné složitosti
Umožňují algoritmizaci řešení
Jsou efektivní (výsledky jsou „naráz“)
Při řešení nevystačíme se základními početními operacemi, ale musíme řešit soustavu (lineárních) rovnic pro více neznámých veličin
–> maticový počet
• POČÍTAČOVÉ METODY (obvodové simulátory jako MicroCap, Spice, OrCAD, …)
142
Analýza univerzálními metodami ‐ motivace
• Určete všechny napětí U a proudy I v obvodu
• Zjednodušování, úměrné veličiny – nelze (více zdrojů)
• Pomocí superpozice a zjednodušování ‐ zdlouhavé
143
Univerzální metody
Univerzální metody využívají:
• Kirchhoffovy zákony
 i
k
0
k
 u
k
0
k
• Pro rezistorové obvody Ohmův zákon
u  R i
• Princip superpozice (jen lineární obvody)
144
48
Nezávislé uzly
1
Rovnice z I. Kirchhoffova zákona:
1
 I1  I 2  I 3  0
2
 I1  I 2  I 3  0
Druhá rovnice je lineárně závislá!
2
Počet nezávislých uzlů N
jedna větev = jeden proud
N = n ‐ 1
n – počet uzlů
145
Nezávislé smyčky
S3
Rovnice z II. Kirchhoffova zákona:
S1
S2
S1:
Počet nezávislých smyček S
S = v – n + 1
 U Z1  U1  U 3  0
S2:
U 3  U 2  U Z2  0
S3:
U Z1  U1  U 2  U Z2  0
Třetí rovnice je lineárně závislá (S3=S1+S2)!
v .. počet větví n .. počet uzlů
S = počet ok sítě
S1
S2
146
Počet nezávislých smyček
Volba nezávislých smyček …... pomocí grafu obvodu
STROM
Větve obvodu
HLAVNÍ VĚTVE
Příklad grafu obvodu a jeho stromu
(větve stromu spojují všechny uzly a netvoří smyčky)
Každou hlavní větví protéká právě jeden nezávislý smyčkový proud
Příklady volby stromu a smyčkových proudů
147
49
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
Univerzální metody
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta ‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
148
Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů
• Zvolíme a zakreslíme do obvodu proudové a napěťové šipky.
• S užitím Kirchhoffových zákonů se sestaví výchozí rovnice
– I. K. z. ‐ rovnice pro nezávislé uzly
– II. K. z. ‐ rovnice pro nezávislé smyčky
I
I
U
U
Pasivní (spotřebičová) orientace
U a I souhlasně
• Soustava má řešení, jde‐li o soustavu navzájem nezávislých rovnic
• Skutečné směry napětí a proudů většinou předem neznáme  rovnice píšeme pro směry zvolené
I
U
– výsledek +  skutečný směr je totožný se zvoleným – výsledek ‐  skutečný směr je opačný než zvolený
I
U
I
U
Aktivní (zdrojová) orientace:
1. zdroj: U a I nesouhlasně
Další zdroje: je možné jakkoliv
(zdroj může být i spotřebičem)
149
Metoda Kirchhoffových rovnic
1
 I1  I 2  I 3  0
N=n‐1=2‐1=1
S=v‐n+1=3‐2+1=2
Uzel 1 :
 I1  I 2  I 3  0
Smyčka 1:
 U Z1  U1  U 3  0
Smyčka 2:
U 3  U 2  U Z2  0
U1  R1I1
Ohmův zákon:
U 2  R2 I 2
 U Z1  R1 I1  R3 I 3  0
 R3 I 3  R2 I 2  U Z2  0
1 I1  1  I 2  1 I 3  0
R1 I1  0  I 2  R3 I 3  U Z1
0  I1  R2 I 2  R3 I 3  U Z2
U 3  R3 I 3
V maticovém tvaru :
 1 1
R 0
 1
 0 R2
1   I1   0 
R3    I 2    U Z1 
 R3   I 3   U Z2 
150
50
Metoda Kirchhoffových rovnic
Sestavte výchozí rovnice pro obvod podle obrázku:
1
2
N=n‐1=4‐1=3
S=v‐n+1=6‐4+1=3
3
 I1  I 2  I 3  0
Řešení :
uzel 1:
uzel 2:
uzel 3:
smyčka S1:
smyčka S2:
smyčka S3:
 I3  I 4  I5  0
 I1  I 2  I 3  0
 I4  I5  I6  0
 I3  I4  I5  0
 I 4  I5  I6  0
R1 I1  R2 I 2  U Z1
U1  U 2  U Z1  0
 R2 I 2  R3 I 3  R4 I 4  R6 I 6  0
U 2  U 3  U 4  U 6  0
 R4 I 4  R5 I 5  U Z2
U 4  U 5  U Z2  0
151
Metoda Kirchhoffových rovnic
Zápis rovnic v maticovém tvaru :
 I1  I 2  I 3  0
 I3  I4  I5  0
 I 4  I5  I6  0
R1 I1  R2 I 2  U z1
 R2 I 2  R3 I 3  R4 I 4  R6 I 6  0
 R4 I 4  R5 I 5  U z 2
1
 1
0
0

0
0

 R1 R2
 0  R2

0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
R3 R 4
0  R4
0
1
1
0
0
 R5
0   I1   0 
0  I 2   0 

   
1  I3   0 

   
0   I 4   U z1 
R6   I 5   0 

   
0   I 6   U z 2 
152
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
153
51
Od K.r. ke smyčkovým proudům
1
I1
R1
I2
R3
R2
I3
U
UZ1
UZ2
U
Uzel 1 :
 I1  I 2  I 3  0
Smyčka S1:
 U Z1  R1 I1  R3 I 3  0
 U Z1  R1 I1  R3  I1  I 2   0
I 3  I1  I 2
Smyčka S2:
 R3 I 3  R2 I 2  U Z2  0
 R3  I1  I 2   R2 I 2  U Z2  0
 R1  R3  I1  R3 I 2  U Z1
 R3 I1   R2  R3  I 2  U Z2
154
Od K.r. ke smyčkovým proudům
 R1  R3  I1  R3 I 2  U Z1
 R3 I1   R2  R3  I 2  U Z2
I1  IS1 I 2  IS2
I1
R1
 R1  R3  IS1  R3 IS2  U Z1
 R3 IS1   R2  R3  I S2  U Z 2
I2
R3
R2
I3
U
UZ1
UZ2
Smyčkové proudy IS
U
 R1  R3
 R
3

 R3   I S1   U Z1 


R2  R3   I S2   U Z2 
155
Metoda smyčkových proudů (MSP)
• Metoda smyčkových proudů (MSP) vychází z představy, že jednotlivými nezávislými smyčkami obvodu protékají nezávislé proudy IS
• Ve větvích, které jsou společné smyčkám, teče pak proud daný superpozicí (součtem nebo rozdílem) příslušných smyčkových proudů
• MSP předpokládá pouze napěťové zdroje
156
52
Metoda smyčkových proudů (MSP)
Analýza obvodů pomocí MSP probíhá ve 4 krocích:
1. Případné proudové zdroje nahradíme zdroji napěťovými
2. Zvolíme nezávislé smyčky a vyznačíme v nich smyčkové proudy (je vhodné volit oka sítě a jeden směr proudů)
3. Formulujeme a řešíme soustavu rovnic pro smyčkové proudy
4. Z hodnot smyčkových proudů určíme hodnoty větvových proudů a všech napětí v obvodu
Ri
Ui
S1
U
S2
157
Metoda smyčkových proudů (MSP)
Určete proudy obvodu pomocí MSP.
1) Zvolíme nezávislé smyčky a smyčkové proudy
I1
R1
I2
R3
2) Sestavíme rovnice:
R2
Smyčka 1:
I3
U
UZ1
UZ2
I1  IS1
I 2  I S2
I 3  IS1  I S2
U Z1  R1 I1  R3 I 3  0
U Z1  R1 I S1  R3  I S1  I S2   0
U
Smyčka 2:
R3   I 3   R2 I 2  U Z2  0
R3  I S2  I S1   R2 I S2  U Z2  0
Po úpravě a zápisu do matice:
 R1  R3
 R
3

 R3   IS1   U Z1 


R2  R3   IS2   U Z2 
158
Metoda smyčkových proudů (MSP)
U Z1  R1 I S1  R3  I S1  I S2   0
R3  I S2  I S1   R2 I S2  U Z2  0
Zápis rovnic v maticovém tvaru :
 R1  R3
 R
3

OBECNĚ :  R3   IS1   U Z1 


R2  R3   IS2   U Z2 
R
.
IS
= U
Čtvercová matice konstant (odporů)
Matice hledaných veličin ‐
smyčkových proudů
Matice budicích veličin
zdrojů napětí
159
53
Metoda smyčkových proudů (MSP)
3) Řešíme rovnici:
 R1  R3

  R3
 R3   IS1   U Z1 


R2  R3   IS2   U Z2 
Použitím Cramerova pravidla:
I S1 

R1  R3
 R3
1 
U Z1
U Z2
2 
R1  R3
 R3
 R3
R2  R3
1

I S2 
2

Determinant matice soustavy
 R3
R2  R3
Determinant 1
U Z1
U Z2
Determinant 2
Poznámka: Determinanty počítáme až po dosazení –
číselně, ne v obecném tvaru! (složité výrazy)
160
Metoda smyčkových proudů (MSP)
I S1 
1

I S2  2


4) Určíme větvové proudy
(superpozicí ze smyčkových proudů):
I1  I S1
I 2  I S2
I 3  I S1  I S2
… a napětí v obvodu
(z Ohmova zákona ‐ pozor na orientaci šipek):
U1  R1 I1
U 2  R2 I 2
U 3  R3 I 3
161
Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ poznámky
1
I1
R1
I2
R3
R2
I3
U
UZ1
UZ2
U
R1 + R3
‐ R3
2
‐ R3
R2 + R3
.
UZ1
IS1
=
IS2
‐ UZ2
1) Prvky hlavní diagonály jsou vlastní odpory smyček
(Rii = součet odporů ve smyčce ) jsou kladné
2) Prvky mimo hlavní diagonálu jsou
vzájemné odpory smyček (Rij = Rji)
Jsou–li smyčky voleny jako oka sítě a mají–li proudy stejnou orientaci, jsou tyto prvky záporné ‐R
+R
+U
U
2
1
U
3) POZOR ‐ změna znamének napětí zdrojů ! Vyplývá z převodu napětí na druhou stranu rovnice smyčky, např.: (R1+R3)∙IS1 – R3∙IS2 – UZ1 =0,
ale v maticích (R1+R3)∙IS1 – R3∙IS2 = +UZ1
‐U
162
54
Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ s přímým sestavením maticové rovnice
U
‐R
+R
MSP – přímé sestavení matice:
1) Zvolíme nezávislé smyčky 2) Vyznačíme smyčkové proudy
3) Připravíme maticový zápis
1
+U
R
1
R1 + R3
‐ R3
2
‐ R3
R2 + R3
‐U
. IS
2
U
=
U
IS1
.
UZ1
=
IS2
‐ UZ2
4) Zapíšeme odporovou matici
5) Zapíšeme napětí zdrojů
6) Vyřešíme maticovou rovnici
I S1 
1

I S2  2


I1  I S1
I 2  I S2
I 3  I S1  I S2
7) Určíme proudy a napětí v obvodu
U1  R1 I1
U 2  R2 I 2
U 3  R3 I 3
163
Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ poznámky
 R1  R3
 R
3

 R3   IS1   U 01 


R2  R3   IS2   U 02 
 R1  R3
 R
3

R3   I S1  U 01 


R2  R3   IS2  U 02 
 R1  R3
 R
1

R1   IS1   U 01 


R1  R2   IS2  U 01  U 02 
164
Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ poznámky
 R1  R3
 R
3

 R2  R3
 R
3

 R3   IS1   U 01 


R2  R3   IS2   U 02 
 R3   IS1   U 02 


R1  R3   IS2   U 01 
Maticový zápis je vázán na volbu smyčkových proudů 
vždy musí být vyznačeny !
165
55
Metoda smyčkových proudů (MSP)
Příklad 1
Vypočítejte proudy všemi rezistory v obvodu.
I Z1 = 200 mA, U Z2 = 300 V, R1 = 2,4 kΩ,
R2 = 6 kΩ, R3 = 1,6 kΩ, R4 = 5 kΩ
166
Náhrada proudového zdroje
U Z1  I Z1  R1  0, 2  2400  480 V
Příklad 1
I Z1 = 200 mA, U Z2 = 300 V, R1 = 2,4 kΩ,
R2 = 6 kΩ, R3 = 1,6 kΩ, R4 = 5 kΩ
167
Volba smyčkových proudů
Příklad 1
• Zvolíme nezávislé smyčky, vyznačíme smyčkové proudy IS
• Volíme tzv. „oka sítě“
• Jeden směr proudu
168
56
Příklad 1
Sestavení maticové rovnice MSP
U Z1 =480 V, U Z2 = 300 V, R1 = 2,4 kΩ,
R2 = 6 kΩ, R3 = 1,6 kΩ, R4 = 5 kΩ
obecně:
R1  R3  R4
 R4
 R4
R2  R4
dosazení:
9000
5000
5000
11000
.
I S1
IS2
.
I S1
I S2
U Z1
=
U Z2
480
=
300
169
Příklad 1
Řešení
 9000 5000   IS1   480 
 5000 11000    I    300 

  S2  


výsledek:
I S1 
1 3, 78 106

 51, 08 mA

7, 4 107
1 
I S2 
2
3 105

 4, 054 mA
 7, 4 107
2 
9000 5000
 7, 4 107
5000 11000
480 5000
300
11000
 3, 78 106
9000 480
 3 105
5000 300
170
Proudy větví
Příklad 1
smyčkové proudy:
I S1  51, 08 mA
I S2  4, 054 mA
větvové proudy:
I R2   I S2  4, 054 mA
I R3   I S1  51, 08 mA
I R4  IS2  I S1  55,14 mA
I R1  ?
Pozor – proud rezistorem R1 v náhradním obvodu není shodný s hledaným IR1 !
171
57
Příklad 1
Proud větví R1 použitím 1. K. z.
R3
I
IZ1
R1
IR1
R2
IR3
U
R4
UZ2
I Z1  I R3  I R1  0
I R1  I Z1  I R3  148,9 mA
172
Příklad 1
Proud větví R1 použitím 2. K. z.
Původní schéma
I R1 
U R1
 148,9 mA
R1
Náhradní (výpočtové) schéma
U R1  U Z1  R1 I S1 
 480  2400   51, 08 103 
U R1  357, 4 V
173
Příklad 1
Výsledek
Proudy:
I R1  148,9 mA
I R2  4, 054 mA
I R3  51, 08 mA
I R4  55,14 mA
Kontrola (např.):
I R1  I R3  I Z1  0
148,9  51, 08  200  0
I R2  I R4  I R3  0
4, 054  55,14  51, 08  0
174
58
Příklad 2
Metoda smyčkových proudů (MSP)
Pomocí MSP vypočítejte proud I5
 R1  R2
 R
1

  R2
R4  99 
R5  20 
 R5
 R2
 R5
  I S1 
U 
  I    0 
  S2 
 
R2  R4  R5   IS3 
 0 
 201 100 101  I S1 
10 
 100 220 20    I    0 

  S2 
 
 101 20 220   I S3 
 0 
R1  R3  100 
R2  101 
 R1
R1  R3  R5
Řešíme
Cramerovým
pravidlem,
Gaussovou eliminací, LinRov, Matlab,
…
 100, 0 103 
 I S1 
 I   50, 044 103 
S2


 
 50, 461 103 
 I S3 


U  10 V
I 5  I S3  I S2  50, 461 103  50, 044 10 3  0, 4167 mA
175
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ Metoda postupného zjednodušování
‐ Metoda úměrných veličin
‐ Transfigurace
‐ Princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ Přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ Metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
176
Metoda uzlových napětí (MUN)
• Univerzální a efektivní metoda
• Vhodná pro řešení jednoduchých i složitých obvodů
• Počet neznámých uzlových napětí je N = n‐1
(vychází z I. K.z.)
• Obvykle dává nejmenší počet rovnic oproti ostatním metodám
• Předpokládá pouze proudové budící zdroje
• Používaná v programech analýzy (jednoduchý algoritmus sestavení rovnic z popisu obvodů)
177
59
Metoda uzlových napětí (MUN)
Analýza obvodů pomocí MUN probíhá ve 4 krocích:
1. Případné napěťové zdroje nahradíme zdroji proudovými
2. Volíme referenční uzel a očíslujeme ostatní uzly
• zvolíme označíme referenční uzel (0 nebo ref)
• očíslujeme ostatní (nezávislé) uzly, které definují neznámá uzlová napětí
• směr neznámých uzlových Un0 napětí je od uzlu k referenčnímu uzlu 0
3. Formulujeme a řešíme soustavu rovnic
4. Z vypočtených uzlových napětí určíme zbývající U a I
v obvodu
178
Metoda uzlových napětí (MUN)
Určete napětí v obvodu pomocí MUN.
1
U12
2
1) Zvolíme nezávislé uzly a vyznačíme
uzlová napětí
Větvová napětí:
U12  U10  U 20
2) Sestavíme rovnice (1. K.z.):
I Z1  G1U10  G2U12  0
Uzel 1:
I Z1  G1U10  G2 U10  U 20   0
0
Uzel 2:
G2  U12   G3U 20  I Z2  0
G2 U 20  U10   G3U 20  I Z2  0
Po úpravě :
 G1  G2 U10  G2U 20   I Z1
G2U10   G2  G3  U 20  I Z2
G1  G2
 G
2

G2  U10    I Z1 


G2  G3  U 20   I Z2 
179
Metoda uzlových napětí (MUN)
1
 G1  G2 U10  G2U 20   I Z1
2
G2U10   G2  G3  U 20  I Z2
Zápis rovnic v maticovém tvaru :
G1  G2
 G
2

0
OBECNĚ : G
G2  U10    I Z1 


G2  G3  U 20   I Z2 
.
U
= I
Čtvercová matice konstant (vodivostí)
Matice hledaných veličin ‐
uzlových napětí
Matice budicích veličin
zdrojů proudu
180
60
Metoda uzlových napětí (MUN)
1
3) Řešíme rovnici:
2
G1  G2
 G
2

G2  U10    I Z1 


G2  G3  U 20   I Z2 
Použitím Cramerova pravidla:
U10 
0

1 
2 
G1  G2
G2
1

U 20  2


G2
Determinant matice soustavy
G2  G3
 I Z1
G2
I Z2 G2  G3
G1  G3
 I Z1
G2
I Z2
Determinant 1
Poznámka: Determinanty počítáme až po dosazení –
číselně, ne v obecném tvaru! (složité výrazy)
Determinant 2
181
Metoda uzlových napětí (MUN)
1
U10 
2
1

U 20 
2

4) Určíme větvová napětí
(jako rozdíl uzlových napětí):
U1  U10
U 2  U10  U 20
0
U 3  U 20
… a proudy větvemi (z Ohmova zákona,
pozor na orientaci šipek):
I1  G1U1
I 2  G2U 2
I 3  G3U 3
182
Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ poznámky
1
1
2
0
2
1
G1+G2
‐ G2
2
‐ G2
G2+G3
.
‐ IZ1
U10
=
U20
IZ2
1) Prvky hlavní diagonály jsou vlastní vodivosti uzlu
(Gii = součet vodivostí v uzlu) jsou kladné
2) Prvky mimo hl. diagonálu jsou
vzájemné vodivosti mezi uzly (Gij = Gji)
Jsou–li uzlová napětí volena směrem k ref. uzlu, jsou tyto prvky záporné 3) POZOR ‐ změna znamének proudů zdrojů ! Vyplývá z převodu proudu na druhou stranu rovnice, např.: (G1+G3)∙U10 – G2∙U20 + IZ1 =0,
ale v maticích (G1+G3)∙U10 – G2∙U20 = ‐ IZ1
183
61
Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ s přímým sestavením maticové rovnice
G
1
1
G1+G2
2
‐ G2
2
. U
‐ G2
.
G2+G3
MUN – přímé sestavení matice:
3) Zapíšeme vodivosti
4) Zapíšeme proudy zdrojů
5) Vyřešíme maticovou rovnici
I
‐ IZ1
U10
=
U20
U10 
1) Zvolíme referenční uzel (0) a očíslujeme nezávislé uzly
2) Vyznačíme uzlová napětí
=
IZ2
1

U 20  2


U1  U10
I1  G1U1
U 2  U10  U 20
I 2  G2U 2
U 3  U 20
I 3  G3U 3
6) Dopočítáme zbývající napětí
7) Určíme proudy v obvodu
184
Příklad 3
Metoda uzlových napětí (MUN)
Pomocí MUN vypočítejte napětí v obvodu.
I Z1  1A, I Z2  0,375 A, I Z3  1, 5 A
R1  R2  20 , R3  R4  40 
G1  G 2  1/ 20  0, 05 S, G3  G4  1/ 40  0, 025 S
G1  G2
 G
2

 0,05
 0,1
 0,0075

0,1 
 0,05
  0,5  0,05
 0,11875
1  
0,1 
 1,375
0,5 
 0,1
2  
  0,1625
 0, 05 1,375
G2
 U10   I Z1  I Z3 

G2  G3  G4  U 20    I Z1  I Z2 
 0,05 U 10    0,5 
 0,1

 0,05
0,1  U 20   1,375

1 0,11875

 15,83 V
0, 0075

 2 0,1625
U 20 

 21, 6 V
0, 0075

U10 
U12  U10  U 20  15,83  21, 6  5,83 V
185
Metoda uzlových napětí (MUN)
‐ přepočet zdrojů
Metoda vyžaduje proudové budicí zdroje. Pokud jsou v obvodu napěťové zdroje, přepočítáme je v prvním kroku analýzy na proudové.
IZ1=UZ1/R1
I 3  G3U10 I 2  G2U10
POZOR
přepočet zdrojů = změna topologie!
I1  G1U10
nebo taky:
I1  U Z1  U10  / R1
I1  I 2  I 3  I Z2
G . U
= IZ
G1  G2  G3   U10    I Z1  I Z2 
U10 
I Z1  I Z2
G1  G2  G3
186
62
Příklad 4
Metoda uzlových napětí (MUN)
Pomocí MUN vypočítejte proudy v obvodu.
UZ1 = 5 V; UZ2 = 10 V;
R1 = 2 k; R2 = 2 k; R3 = 5 k;
R4 = 3 k; R5 = 1 k; R6 = 4 k;
R7 = 10 k
Čárový graf
(topologie obvodu):
Počet uzlů: 4
Počet větví obvodu: 7 (Metoda K.z.)
Počet nezávislých smyček: 4 (MSP)
Počet nezávislých uzlů: 3 (MUN)
MUN:
• Zvolíme referenční uzel (0) a očíslujeme nezávislé uzly
• Vyznačíme uzlová napětí
• Zvolíme a vyznačíme proudy
(1 větev = 1 proud)
187
Příklad 4
Metoda uzlových napětí (MUN)
UZ1 = 5 V; UZ2 = 10 V;
R1 = 2 k; R2 = 2 k;
R3 = 5 k; R4 = 3 k;
R5 = 1 k; R6 = 4 k;
R7 = 10 k
Výpočtové schéma:
• RG
• zdroje U  zdroje I
IZ1 = 2,5 mA; IZ2 = 3,33 mA;
G1 = 0,5 mS; G2 = 0,5 mS;
G3 = 0,2 mS; G4 = 0,33 mS;
G5 = 1 mS; G6 = 0,25 mS;
G7 = 0,1 mS
I Z1 
U Z1
R1
Gn 
1
Rn
I Z2 
U Z2
R4
188
Metoda uzlových napětí (MUN)
Příklad 4
MUN – přímé sestavení matice:
IZ1 = 2,5 mA; IZ2 = 3,33 mA;
G1 = 0,5 mS; G2 = 0,5 mS;
G3 = 0,2 mS; G4 = 0,33 mS;
G5 = 1 mS; G6 = 0,25 mS;
G7 = 0,1 mS
G1  G2  G3  G7

G2

   G1  G7 
U10  2, 222 V
U 20  2, 424 V
U 30  1,373 V
G2
G2  G4  G5
0
  G1  G7   U10   I Z1 
   

0
  U 20    I Z2 
G1  G6  G7  U 30    I Z1 
 1,3 0,5 0, 6  U10   2,5 
 0,5 1,83
0   U 20    3,33 

   

 0, 6
0
0,85  U 30   2,5
189
63
Příklad 4
Metoda uzlových napětí (MUN)
Proudy určíme z původního obvodu.
UZ1 = 5 V; UZ2 = 10 V;
R1 = 2 k; R2 = 2 k; R3 = 5 k;
R4 = 3 k; R5 = 1 k; R6 = 4 k;
R7 = 10 k
U10  2, 222 V
U 20  2, 424 V
Kontrola:
U 30  1,373 V
I1 
U Z1  U10  U 30  5   2, 222  1,373

 703 μA
R1
2000
I2 
U 20  U 10 2, 424  2, 222

 101 μA
R2
2000
I3 
U10 2, 222

 444 μA
R3
5000
I4 
U Z2  U 20 10  2, 424

 2,525 mA
R4
3000
I5 
U 20 2, 424

 2, 424 mA
R5
1000
I6 
U 30 1,373

 343 μA
R6
4000
I7 
U10  U 30 2, 222  1,373

 360 μA
R7
10000
 I1  I 2  I 3  I 7  0
 I 4  I 2  I5  0
 I 7  I 6  I1  0
190
Metoda uzlových napětí (MUN)
Poznámky k přepočtu zdrojů: 1) Využití ekvivalence mezi zdroji
2) U ideálního zdroje napětí vložit
Ri << RZ, potom přepočet
3) Možnost přesunu ideálního zdroje napětí za uzel, následně přepočet
4) alternativně MMUN
Ii 
Ui
Ri
Gi 
1
Ri
Přesun zdroje za uzel:
NEBO
191
Metoda uzlových napětí (MUN)
Příklad 5
Pomocí MUN vypočítejte proudy v obvodu.
Má vliv na počet uzlů!
Obvod obsahuje větev s ideálním zdrojem napětí
(bez rezistoru)
R1 = R3 = 20 ;
R2 = 40 ; R4 = 10 ;
RG = 25 ; U = 2 V Metoda přemístění ideálního zdroje napětí za uzel
192
64
Příklad 5
Metoda uzlových napětí (MUN)
U10
Přemístění zdroje za uzel
Obvod s proudovými zdroji
I2
I3
I1
IG
I4
U20
I 2  G2U10  28, 4 mA
I G  GG U10  U 20   14,82 mA
I1  I 2  I G  43, 22 mA
Maticová rovnice MUN:
Řešení:
I 4  G4U 20  76,54 mA
G1  G2  GG
U10  1,136 V

 GG
U 20  0, 7654 V 
 GG
 U 10   I z1 


G3  G4  GG  U 20   I z 2 
I 3  I 4  I G  61, 72 mA
I  I1  I 3  104,9 mA
193
Dvojbrany
I1
I2
U1
Vodivostní rovnice dvojbranu:
 I1   G11 G12  U1 
 I   G
 
 2   21 G22  U 2 
U2
Odporová rovnice dvojbranu:
U1   R11
U    R
 2   21
R12   I1 

R22   I 2 
Hybridní rovnice dvojbranu:
U1 

 h11
h12   I1 

 I  h
  
Dvojbran:
 2   21 h22  U 2 
• Má vstupní bránu a výstupní bránu
• Lze chápat jako „černou krabičku“ se dvěma dvojicemi svorek
• Dvojbran je popsán vztahy mezi U a I na branách, popisuje se maticovou rovnicí (vodivostní G, odporovou R,…)
194
Výpočet přenosu napětí dvojbranu pomocí MUN
Výpočet přenosu napětí naprázdno KU0:
KU 
U VÝST
U VST
K U0 
K U0 
Poznámka
U 20
U10
2
U 20

   2
U10 1 1

U10 
1

U 20 
2

K U0 
2
1
Dvojbran popsaný MUN je napájen zdrojem I, výstup naprázdno:
 G11 G12  U10   I 
 


G21 G22  U 20   0 
1 
I G12
 G22 I
0 G22
2 
G11 I
 G21I
G21 0
K U0 
2
G
  21
1
G22
195
65
Výpočet vstupního odporu dvojbranu pomocí MUN
Výpočet vstupního odporu naprázdno Rvst0:
RVST 
RVST0 
U VST
I VST
U10 1 1
 
I
I 
RVST0 
U10
I
U10 
1

1 
RVST0   1
I 
Poznámka
Dvojbran popsaný MUN je napájen zdrojem I, výstup naprázdno:
 G11 G12  U10   I 
 


G21 G22  U 20   0 
1 

1 
G22
RVST0   1 
I  G11G22  G12G21
I G12
 G22 I
0 G22
G11 G12
 G11G22  G12G21
G21 G22
196
Řízené zdroje
Řízené zdroje jsou dvojbrany
• Výstupní veličina (U nebo I) je funkcí vstupní veličiny (U nebo I)
 existují 4 varianty řízených zdrojů
• Poměr výstup/vstup je převodní funkce (převod) zdroje
• Pro lineární řízené zdroje je převod konstantou
Příklad: Zesilovač napětí
(zdroj napětí řízený napětím ‐ ZNŘN)
Přenosová (převodní) charakteristika
lineárního ZNŘN
U2=A∙U1
U2
0
U1
197
Řízené zdroje
a)
b)
U2=A·U1
U1
ZNŘN
U
VofV, VCVS
IofV, VCCS
I
IofI, CCCS
c)
ZPŘN
I2=B·I1
I1
ZPŘP
d)
I2=S·U1
U1
I
ZNŘP
U2=W·I1
I1
U
VofI, CCVS
a) Zdroj napětí řízený napětím (ideální zesilovač napětí), ZNŘN
A … bezrozměrná konstanta nazývaná napěťové zesílení.
b) Zdroj proudu řízený proudem (ideální zesilovač proudu), ZPŘP
B … bezrozměrná konstanta (někdy se značí ) je proudové zesílení.
c) Zdroj proudu řízený napětím, ZPŘN
S … má rozměr vodivosti a nazývá se strmost (gm), nebo přenosová vodivost.
d) Zdroj napětí řízený proudem, ZNŘP
W … má rozměr odporu a nazývá se přenosový odpor.
198
66
Řízené zdroje
• Slouží pro modelování aktivních elektronických prvků (např. tranzistorů, OZ) nebo složitějších funkčních bloků
• Zprostředkovávají přenos energie ze zdroje (obvykle ss
napájecího napětí) do zátěže a jsou přitom řízeny vstupním signálem
• Ideální řízený zdroj neodebírá ze signálového obvodu energii, jeho výstupní napětí nebo proud je nezávislý na zatížení
• Reálné řízené zdroje lze modelovat kombinacemi ideálních řízených zdrojů a pasivních prvků
• Nejdůležitější jsou lineární řízené zdroje, ty jsou charakterizovány jediným parametrem
• Obvody s řízenými zdroji lze řešit pomocí MUN – metoda razítek
199
MUN ‐ „metoda razítek“
1
1
2
 G2
 G
 2
Razítko prvku G
1
1
0
 G1
 G
 1
2
1
1
2
G1  G2
 G
2

2
2
0
G2  U10    I Z1 


G3  G2  U 20   I Z2 
 G3
 G
 3
2
G2 
G2 
0
G1 
G1 
0
G3 
G3 
200
MUN ‐ „metoda razítek“
Zdroj proudu řízený napětím (ZPŘN)
Proud zdroje
(výstup)
Konstanta úměrnosti (přenosová vodivost)
Řídicí napětí (vstup)
I2 = gm∙U1
Poznámka: Vstupní napětí může být funkcí času U1 = f(t)
Hledáme „razítko“ zdroje proudu řízeného napětím.
Razítko „G“
 G2
 G
 2
G2 
G2 
Razítko „ZPŘN“






201
67
MUN – model se ZPŘN
Tranzistorový zesilovač
Linearizovaný (malosignálový) model
bipolárního tranzistoru (ZPŘN + RBE)
IC   IB  
U BE
 g mU BE
RBE
Výpočtové schéma
pro malý signál
202
MUN – model se ZPŘN
MUN – sestavení maticové rovnice:
Vyjdeme z 1. Kirchhoffova zákona
B
GBE U B  U E   GB U B  U C   I
C
GB U C  U B   g m U B  U E   GCU C  0
E
GBE U E  U B   g m U B  U E   GEU E  0
Soustava rovnic v maticovém tvaru:
B
 GBE  GB
 G  g
C
m
 B
E  GBE  gm
B
C
GB
GB  GC
0
E
GBE
 U B   I 
  U   0 
 gm
  C  
GBE  GE  g m  U E  0 
Poznámka: Vodivostní matice není souměrná podle
hlavní diagonály (obvod není tzv. reciprocitní).
203
MUN – model se ZPŘN
Hledáme razítko ZPŘN:
Závěr – razítko ZPŘN
vstup
B
 GBE  GB
 G  g
C
m
 B
E  GBE  gm
B
výstup
B
 gm

E  gm
C
E
 gm 
g m 
C
GB
GB  GC
0
E
GBE
 U B   I 
  U   0 
 gm
  C  
GBE  GE  g m  U E  0 
204
68
Použití ZPŘN v modelech
ZPŘN
vstup
výstup


  gm  gm 
 g

  m gm 
Tranzistor
FET
ZPŘN
Tranzistor
bipolární
IC=gm·UBE
IB
B
C
UBE
RBE
ZPŘN + RBE
I
E
E
205
Příklad 6
Metoda razítek
Určete KU0 a Rvst0 tranzistorového zesilovače pomocí MUN.
IC=gm·UBE
2
IB
1
UBE
RBE
I
0
0
vstup
RB = 50 k, RC=2 k,
gm = 40 mS, RBE = 5 k
U VÝST U 2

U VST U1
Rvst0 
U vst U1

I vst
I
výstup
K U0 


  gm  gm 
   g m g m 




‐ GB
GB+GBE
I
U1
.
U2
‐ GB + gm GB+GC
=
0
206
Příklad 6
Metoda razítek
RB = 50 k, RC=2 k,
gm = 40 mS, RBE = 5 k
1
1
 1




 U   I 
4
5 103
5 104
 5 10
 1 
1
1  U 2  0 
  1  0, 04

4
4
3
5 10
2 10 
 5 10
GB+GBE
‐ GB
‐ GB + gm GB+GC
K U0
.
I
U1
U2
=
 2,2 104

4
399,8 10
0

2

399,8 104 I
U
 2    2 
 76,88
U1 1 1
5, 2 104 I

1 
U1 1 1 1 5, 2 104 I
   
 568,9 
I
I  I 9,14 107
2 
Rvst0 
0, 2 104  U1   I 
    
5,2 104  U 2   0 
2,2 104
0, 2 104
399,8 104
5,2 104
I
0, 2 104
0
5,2 104
 9,14 107
 5, 2 104 I
2,2 104
I
399,8 104
0
 399,8 104 I
207
69
Příklad 7
Metoda razítek
Výpočtové schéma:
‐ Napájecí zdroj nahrazen zkratem
‐ Přidám zdroj proudu I
‐ Rezistory přepočteny na vodivosti
‐ Očíslovány uzly (MUN)
Určete KU0 a Rvst0 zesilovače pomocí MUN.
Rvst0 
U vst U1

I vst
I
K U0 
U VÝST
U VST

U2
U1
R1 = 50 kR2 = 2 kR3 = 1 k
T1, T2: gm = 40 mS, RBE = 5 k
T1 v zapojení SE, T2 v zapojení SC (sledovač)
G1 =0,02 mS, G2 = 0,5 mS, G3 = 1 mS
GBE = 0,2 mS
208
Příklad 7
Metoda razítek
Model bipolárního tranzistoru (ZPŘN + RBE):
Matice MUN (bez ZPŘN):





G1  GBE

0

0


0
0
 U10   I 
GBE  G3
GBE   U 20   0 
GBE  G2  U 30  0 
GBE
209
Příklad 7
Metoda razítek
vstup
výstup
  gm  gm 
   g m g m 




G1  GBE

0

 g m
vstup


0
GBE  G3  g m
GBE

výstup

G1 =0,02 mS
G2 = 0,5 mS
G3 = 1 mS
gm = 40 mS
GBE = 0,2 mS

  gm  gm 

   g m g m 

0
 U10   I 
GBE  g m   U 20   0 
GBE  G2  U 30  0 
210
70
Příklad 7
Metoda razítek
G1  GBE

0

 g m
G1 =0,02 mS
G2 = 0,5 mS
G3 = 1 mS
gm = 40 mS
GBE = 0,2 mS
K U0 
Rvst0
0
 U10   I 
GBE  g m   U 20   0 
GBE  G2  U 30  0 
0
GBE  G3  g m
GBE
0
0  U10   I 
0, 22
103   0
41, 2 40, 2   U 20   0 


 
 40 0, 2 0, 7  U 30  0 
U1  U10
U 2  U 20
0, 22 103
0
0
41, 2 103

40 10
U 2 U 20  2 1, 608 10  I



 77,31
2, 08 105 I
U1 U10 1
U
1  1 2, 08 105 I
 10   1  
 4,546 k
I
I  I 4,576 109
0, 2 10
0
I
3
3
0 0, 2 103
2 
0
40 103
40, 2 103  4, 576 109
0, 7 103
0
1  0 41, 2 103
0, 22 103
0
3
I
40, 2 103  2, 08 105  I
0, 7 103
0
0 40, 2 103  1, 608 103  I
0
0, 7 103
211
Příklad 8
Metoda razítek
Určete KU0 a Rvst0 zesilovače pomocí MUN.
GB =0,02 mS, GC1= GC2 = 0,5 mS, GBE =0,2 mS
RB = 50 kRC1= RC2 =2 k
T1, T2: gm = 40 mS, RBE =5 k
T1 i T2 v zapojení SE ‐ dvoustupňový zesilovač.
212
Příklad 8
Metoda razítek
Matice MUN (bez ZPŘN):




GB  GBE
 G
B


0


GB
0  U10   I 
0   U 20   0 
GB  GBE  GC1
0
GC2  U 30  0 
213
71
Příklad 8
Metoda razítek
vstup


  gm  gm 
   g m g m 




vstup

výstup
výstup
GB =0,02 mS
GC1= GC2 = 0,5 mS
GBE =0,2 mS
gm = 40 mS


 GB  GBE
 G  g
m
 B

0

  gm  gm 

   g m g m 
GB
0  U10   I 
0   U 20   0 
GB  GBE  GC1
0  gm
GC2  U 30  0 
214
Příklad 8
Metoda razítek
 GB  GBE
 G  g
m
 B

0
GB =0,02 mS
GC1= GC2 = 0,5 mS
GBE =0,2 mS
gm = 40 mS
U1  U10
U 2  U 30
GB
0  U10   I 
0   U 20   0 
GB  GBE  GC1
0  gm
GC2  U 30  0 
 0, 22 0, 02 0  U10   I 
103  39,98 0, 72
0   U 20   0 


 
 0
40
0,5 U 30  0 
0, 22 103
0, 02 103
  39,98 103
0, 72 103
0
40 103
0,5 103
0
K U0 
Rvst0 
U 2 U 30 3 1,5992 103  I



 4442
3, 6 107 I
U1 U10 1
U10 1 1 1 3, 6 107 I
   
 751, 6 
I
I  I 4, 79 1010
I
0, 02 103
1  0
0, 72 103
0
40 103
0,5 103
0
0
 4, 79 1010
0
 3, 6 107  I
0, 22 103
0, 02 103
I
 3  39,98 103
0, 72 103
0  1, 5992 103  I
0
40 10
3
0
215
Metoda uzlových napětí (MUN)
Závěry k metodě uzlových napětí:
• Metoda je vhodná pro ruční i počítačové řešení jednoduchých i velmi složitých obvodů.
• Umožňuje řešit i obvody se zdroji proudu řízenými napětím, které jsou obsaženy v náhradních schématech bipolárních i unipolárních tranzistorů (vodivostní matice G ale v tomto případě není symetrická podle hlavní diagonály)
• Metoda má však i nevýhody ‐ neřeší totiž obvody s některými obvodovými prvky, jmenovitě:
– s ideálními zdroji napětí (nezávislými i řízenými), – s operačními zesilovači,
– s vázanými cívkami.
216
72
Základní metody analýzy elektrických obvodů
Metody analýzy
Pro speciální případy
‐ metoda postupného
zjednodušování
‐ metoda úměrných veličin
‐ transfigurace
‐ princip superpozice
‐ Thèveninova a Nortonova věta Univerzální metody
‐ přímá aplikace Kirchhoffových z.
‐ metoda smyčkových proudů (MSP)
‐ metoda uzlových napětí (MUN)
‐ modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
217
Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
• Vychází z klasické metody uzlových napětí, tj. vektor neznámých veličin obsahuje především uzlová napětí, orientovaná od jednotlivých nezávislých uzlů k uzlu referenčnímu
• Tento vektor neznámých veličin je rozšířen o některé proudy:
–
–
–
–
proudy ideálních zdrojů napětí (nezávislých i řízených)
vstupní proudy zdrojů řízených proudem
výstupní proudy ideálních operačních zesilovačů
obecně i proudy induktory, zvláště induktory se vzájemnou vazbou 218
Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
Rs
G
G
II. K.z.:
Ua  U b  US
U a  U b  RS  I S  U S
I. K.z.:
uzel a: vytéká IS
uzel a: vytéká IS
I. K.z.:
uzel b: vtéká IS
uzel b: vtéká IS
• např. napěťový zdroj je zde vyjmut „mimo“ matici G MUN
• pokud má zdroj nenulový vnitřní odpor RS , je možno tento odpor respektovat a přitom zachovat počet rovnic
219
73
Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)

MUN:



G1+G2
‐G2
0

‐G2
G2+G3
+G4
‐G4

0
‐G4
G4+G5



G1+G2
‐G2
0

‐G2
G2+G3
+G4
‐G4
0
U20

0
‐G4
G4+G5
+1
∙ U
30
‐1
0
+1
0
0
U10
∙
U20
=
IZ
U30
0
U10
0
MMUN:

Uzel 1 : – I
Uzel 3 : + I
Smyčka: ‐U10 – UZ + U30 = 0
U10  0  U 20  U30  0  I  U Z
‐1
IZ
=
I
0
UZ
220
Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN)
Rs
MMUN = MUN rozšířená o další rovnice :
G
a
uzel a: vytéká (+IS)
uzel b: vtéká (‐IS)
U a  U b  RS  I S  U S


a


b


I s 
b
G
1
1
Is
    
1  U a   
    
    
    I 
1  U b   
    
    
 Rs   I s  U s 
Matice konstant má čtyři submatice: • v levém horním rohu je čtvercová admitanční matice regulární části obvodu (tj. té části, která má vodivostní matici G a může být popsána MUN)
• v pravém dolním rohu je čtvercová matice odporů R
• zbývající submatice jsou obecně obdélníkové a bezrozměrné
221
Modifikovaná metoda uzlových napětí
(MMUN)
Příklad 9
Určete proudy v obvodu pomocí MMUN.


U  48 V
R1  15 
R2  56 

U20
R3  22 
R4  15 
RG  47 
U10

U30
222
74
Modifikovaná metoda uzlových napětí
(MMUN)
Příklad 9
MUN:
Řešení :
G1
G1  G3
 G
G
G2  GG

1
1

 0
G2
Smyčka: 0  U10  0 
G2   U 20   0 
G2  G4  U 30  0 
U10  U 30  U  0  U10  0 U 20  U 30  0  I  U
Proud I :
Uzel 1 : – I
Uzel 2 : 0
Uzel 3 : + I
MMUN:
G1  G3
 G
1

 0

 1
G1
G1  G2  GG
G2
0
0
G2
G2  G4
1
1 U10   0 
0  U 20   0 


1  U 30   0 
    
0   I  U 
223
Modifikovaná metoda uzlových napětí
(MMUN)
G1  G3
 G
1

 0

 1
Řešení :
112,12 103

3
 66, 6 10

0

1

G1
G1  G2  GG
0
G2
G2
0
G2  G4
1
66, 6 103
0
105,8 103
17,86 103
0
17,86 103
84,52 103
1
1 U10   0 
0  U 20   0 
    
1  U 30   0 
    
0   I  U 
1 U10   0 
    
0  U 20   0 


1  U 30   0 
    
0   I   48
U  48 V
R1  15 
G1  66 , 6 mS
R2  56 
G2  17 ,86 mS
I 2  U 20  U 30  G2  0, 619 A
R3  22 
G3  45, 45 mS
I 3  U10G3  1,19 A
G4  66 , 6 mS
I 4  U 30G4  1, 46 A
GG  21, 28 mS
I G  U 20GG  0, 272 A
R4  15 
RG  47 
Příklad 9
I1  U10  U 20  G1  0,89 A
U10   26,12 
U   12, 76 

 20   
U 30   21,88
   2, 077 
 I  

224
Modifikovaná metoda uzlových napětí
(MMUN)
Sestavte matici MMUN.
1.uzel ‐Ia
2.uzel ‐Ib
U 10  U 1  R1 I a  0
U 10  R1 I a  U 1
U 20  U 2  0
U 20  U 2
Příklad 10
MMUN lze použít i pro reálné zdroje napětí, jestliže to má význam pro řešení problému
(tj. když se zajímáme o proud tekoucí zdrojem).
G3
 G2  G3

G3  G4
 G3
 1
0

0
1

1
0
R1
0
0   U10   0 

1  U 20   0 

 
0   I a   U1 
 
  
0   Ib  U 2 
225
75
Modifikovaná metoda uzlových napětí ‐ razítka
Zdroj napětí řízený napětím (ZNŘN, ideální zesilovač napětí)
U 2  A  U1
U c  U d  A U a  U b 
1
1
Uc  Ud  0
A
A
U a  U b 
 AU a  AU b  U c  U d  0
a
b
c
d
a
„Razítka“ ZNŘN
I2
c
1


d
1

I 2   A  A 1 1

uzel c: vytéká (+IS)
uzel d: vtéká (‐IS)
b

c

d
I 2 
1 1

c
d
I2

1

1

1
1


A
A

226
Modifikovaná metoda uzlových napětí ‐ razítka
Jestliže uvažujeme, že zesílení ZNŘN roste nade všechny meze (A), dostaneme razítko pro ideální operační zesilovač (IOZ):
a
b

c

d
I s 
1 1

c
d
Is

1

1

1
1


A
A

Razítko ideálního OZ
a
A
b
Is
1
c


1
d

I s  1 1

227
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 4
Časově proměnné veličiny a jejich parametry, harmonická analýza
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
76
Obsah
• Klasifikace časově proměnných průběhů
• Harmonický průběh
• Charakteristiky periodických průběhů
– Maximální ,střední, střední absolutní a efektivní hodnota
– Činitel tvaru, výkyvu a plnění
• Harmonická analýza
– Fourierův rozklad
– Kmitočtové spektrum
– Činitel zkreslení
229
Časově proměnné obvodové veličiny ‐ úvod
• základními obvodovými veličinami jsou:
– elektrické napětí U
– elektrický proud I
– protože jsou snadněji měřitelné než jiné veličiny elektromagnetického pole
(B, H, D, E, …) • v obvodech se soustředěnými parametry (obvody se součástkami R, L, C …) jsou U a I pouze funkcemi času – f(t)
• v obvodech s rozprostřenými parametry (např. kabel s vf signálem) jsou U a I
funkcemi času a prostorové souřadnice – f(t,x)
• pomocnými obvodovými veličinami jsou elektrický náboj Q
a magnetický tok 
– nezbytné při definici základních obvodových veličin a parametrů prvků
– magnetický indukční tok  je přímo užíván při řešení magnetických obvodů
– elektrický náboj, resp. elektrický indukční tok , je přímo užíván při řešení tzv. dielektrických obvodů
230
Časově proměnné obvodové veličiny ‐ klasifikace
Časové průběhy
5
u
Determinované
10 sin(100 t+0.5)
10
0
-5
-10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
Stochastické
231
77
Determinované průběhy
• lze je vyjádřit matematickými funkcemi, které jednoznačně určují jejich funkční hodnoty v každém časovém okamžiku, např.:
Exponenciální průběh proudu přechodného děje
Harmonický průběh napětí
i  t   5  e 100t
u  t   10  sin 100t  0,5 
10 sin(100 t+0.5)
10
4
I (t)
5
u (t)
5 exp(-100 t)
5
0
3
2
-5
-10
1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0
0
0.05
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
t
232
Determinované průběhy
• pro daný časový okamžik lze proto vypočítat jednoznačnou hodnotu napětí či proudu
10 sin(100 t+0.5)
10
4
I (t)
5
u (t)
5 exp(-100 t)
5
0
3
2
-5
-10
1
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t
u  t1   10  sin 100  0  0,5   4,794 V
i  t1   5  e 1000  5 A
u  t2   10  sin 100  0,02  0,5   5,985 V
i  t2   5  e 1000,02  0,6767 A
233
Stochastické průběhy
•
•
•
•
•
nazývají se také náhodné nebo nedeterminované
průběhy mají charakter náhodných procesů
jejich hodnoty lze očekávat vždy jen s určitou pravděpodobností
patří sem např. problematika šumů v elektrických obvodech
na obrázku je ukázán jiný příklad, tzv. Barkhausenova šumu, který vzniká při přemagnetování feromagnetika
Teorie náhodných procesů není náplní předmětu BEL1
234
78
Časově proměnné obvodové veličiny
‐ klasifikace
ČASOVÉ PRŮBĚHY
Stochastické
Determinované
USTÁLENÉ
Nespojité
Spojité
Kmitavé
Pulzující
Nesouměrné
Periodické
Střídavé
Stacionární
Neperiodické
Izolované
impulzy
Přechodné
děje
Souměrné
(antiperiodické)
235
Determinované průběhy – spojité a nespojité
• každý reálný obvodový prvek („součástka“) má kromě své dominantní vlastnosti také vlastnosti parazitní
• časové změny napětí a proudů jsou proto vázány na vytvoření nebo zánik příslušného elektrického či magnetického pole
• přitom dochází ke změnám ve velikostech příslušných energií
• energie je z makroskopického hlediska spojitou funkcí času
• nespojité veličiny jsou proto pouze určitou užitečnou abstrakcí, která usnadňuje řešení problému (např. přechodné děje, v náplni BEL2)
i(t)
i(t)
spojitý
0
t
i(t)
spojitý
0
tk
nespojitý
0
t
tk
t
236
Determinované průběhy – stacionární
• stacionární průběh nemění po dobu pozorování (teoreticky bez časového omezení) svou velikost ani smysl
• v praxi se vžil název stejnosměrný (zkratka ss), což však není terminologicky zcela správné
• napětí a proudy jsou proto charakterizovány jedinou hodnotou: značeny velkými písmeny jako U a I
i(t)
u(t)
I
U
0
t
0
t
237
79
Determinované průběhy – neperiodické
• vyskytují se v obvodech zejména při tzv. přechodných dějích
– při zapnutí nebo vypnutí napájecího zdroje
– při změně velikosti některého parametru obvodu
• průběhy zpravidla vyjadřují přechod mezi původním a novým ustáleným stavem – doznívající průběhy exponenciálního tvaru
– exponenciálně tlumené periodické průběhy, tzv. kvaziperiodické
– superpozice průběhů exponenciálních a periodických
u(t)
u(t)
u(t)
0
0
0
t
t
t
• průběhy lze plně popsat pouze jejich funkční závislostí v celém uvažovaném časovém intervalu
238
Determinované průběhy – periodické
• Hodnoty funkce se po určité době T, tzv. periodě, opakují:
i  t  kT   i  t  ,
kde k je libovolné celé číslo.
• Jednotkou periody je sekunda (s).
• Převrácená hodnota periody je kmitočet (frekvence) f,
jednotka je Hertz (Hz)
f 1 T
i  tk   i  tk  T   i  tk  2T   
Příklad:
i(t)
i(tk)
2T
T
tk
0
tk+T
tk+2T
t
Perioda T
Periodická funkce je plně určena svým průběhem v době jedné periody
239
Determinované průběhy – periodické
KMITAVÉ A PULZUJÍCÍ • kmitavý průběh: obecný periodický průběh s nestejnou kladnou a zápornou plochou v rámci periody • pulzující průběh: průběh nabývá hodnot pouze jedné polarity
Příklad na kmitavý průběh
Příklady na pulzující průběhy
Jednocestně usměrněný sinusový průběh
S  S
Im+
i(t)
Im
i(t)
Sled obdélníkových
impulzů
Im
i(t)
S
T
t1
0
Im‐
S
T
T
t
0
Spojité průběhy
T/2
t
0
t0
t
Nespojitý průběh
240
80
Determinované průběhy – periodické
STŘÍDAVÉ
• kladné a záporné plochy v rámci periody jsou stejně veliké
• je‐li shodný tvar půlvln v periodě, jedná se o průběh souměrný neboli antiperiodický
• v obecném případě se jedná o střídavý průběh nesouměrný
i(t)
Souměrné (antiperiodické) průběhy
Nesouměrný průběh
i  t  T / 2   i  t 
i  t  T / 2   i  t 
S  S
Im
Im+
S  S
i(t)
S  S
i(t)
Im
S
S
T
T/2
S
T
T/2
0
0
S
t
S
T
Im‐
t
‐Im
‐Im
T/2
t1 t2
0
t
S
241
Harmonický průběh
• jedná se o nejdůležitější souměrný střídavý periodický průběh, který nalézá uplatnění v praxi i při teoretických úvahách
• matematicky se dá popsat pomocí funkce sinus nebo kosinus
• např. harmonický průběh proudu pomocí funkce sinus:
i  t   I m  sin t  
– Im je maximální hodnota (A)
–  je úhlový kmitočet; jednotka radián za sekundu (rad.s‐1)
  2πf 
2π
T
–  je počáteční fáze; jednotka radián (rad)
• protože platí cos(x) = sin(x+/2), liší se vyjádření harmonické funkce pomocí kosinu pouze o změnu fáze o /2 rad.
242
Harmonický průběh
• grafická konstrukce: časový rozvoj průmětu vektoru Im, rotujícího úhlovou rychlostí , do imaginární osy Gaussovy komplexní roviny
i  t   I m  sin t   
t
Im
i(t)
Im
t=t1
t=t2
t=0, t=T
t1
‐i/
 Im
Re
0
t1
0
t=t4
T/2
t3
t=T/2
t=t3
t2
t4
T
t
‐Im
• rozvoj průmětu do reálné osy vede na harmonický průběh popsaný funkcí kosinus
243
81
Harmonický průběh
T ‐ doba periody
 ‐ úhlový kmitočet (rad/s) 
U

okamžitá hodnota
2π
 2πf
T
počáteční fáze
u  t   U m  sin t   U 
maximální hodnota
fázový úhel
244
Časově proměnné obvodové veličiny
‐ rekapitulace
Determinované
Nespojité
Spojité
Neperiodické
Periodické
SUS (BEL1)
u(t)
i(t)
i(t)
Stacionární
U
0
t
0
0
t
t
Střídavé
Harmonický
Kmitavé
Pulzující
i(t)
i(t)
T
0
0
t
HUS (BEL2)
i(t)
T
T
t
0
t
245
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
• periodická funkce je plně určena svým průběhem v době jedné periody
• pro některé účely vystačíme se znalostí pouze určitých charakteristických hodnot
• Časové hodnoty:
•
•
•
•
perioda T
kmitočet f
úhlový kmitočet  (pro harmonický průběh)
počáteční fáze  (pro harmonický průběh)
• Amplitudové hodnoty:
•
•
•
•
maximální hodnota Im
střední hodnota (stejnosměrná složka) Is nebo I0 střední absolutní hodnota Isa
efektivní hodnota I, nebo také Ief , Irms 246
82
Maximální hodnota
•
•
je největší absolutní hodnota, které periodická funkce během periody nabývá
značení: Im (někdy Imax) nebo Im+ a Im‐ , pokud je třeba rozlišovat mezi maximální hodnotou kladnou a zápornou
Im
i(t)
Im
i(t)
0
Im+
i(t)
0
0
t
t
Elektrické namáhání izolantů,
mechanické namáhání vodičů
UPLATNĚNÍ:
t
Im‐
‐Im
Dovolená napětí
nereciprocitních prvků 247
Střední hodnota (stejnosměrná složka)
T
 i  t  dt
T
Z rovnosti ploch:
I 0T   i  t  dt
0
0
i(t)
T
I 0T
+
I0
1
I 0   i  t  dt
T0
t
0
T
‐
248
Střední hodnota (stejnosměrná složka)
• je to průměrná hodnota časové funkce za dobu jedné periody
T
1
i  t  dt
T 0
• fyzikálně se jedná o takovou hodnotu stacionárního proudu, který přenese stejně velký elektrický náboj, jako proud původní
• geometricky se jedná o výšku obdélníka s délkou hrany rovné době periody a stejné ploše, jako je plocha vymezená původní funkcí IS  I 0 
Im
i(t)
Im+
i(t)
S  S   I 0T
S  S  S  I0T
S
S
střídavý průběh
Im
I0
I0
0
i(t)
S
t0
S
T
t
Im‐
S
I0=0
T
t0
0
T
0
S
t
T/2
S
t
‐Im
249
83
Střední hodnota (stejnosměrná složka), výkon
•
odečteme‐li od funkce kmitavé nebo pulzující její stejnosměrnou složku, dostaneme funkci střídavou
i(t)
i (t )  I 0
S  S
i(t)
S
I0
T
T
0
0
S
t
t
Poznámka:
Střední hodnota okamžitého výkonu p(t) periodického napětí a proudu se nazývá činný výkon P (bude probíráno v BEL2).
T
P
T
1
1
p  t  dt   u  t  i  t  dt
T 0
T0
250
Střední absolutní hodnota
• je to průměrná absolutní hodnota časové funkce za dobu jedné periody
T
1
I sa   i  t  dt
T 0
• geometricky se jedná o výšku obdélníka s délkou hrany rovné době periody a stejné ploše, jako je plocha vymezená absolutní hodnotou původní funkcí absolutní hodnota průběhu
střídavý průběh
Im+
Im
i(t)
|i(t)|
i(t )
S  S1  S  S 2  I saT
S
Isa
T/2
0
t1
Im‐
T
S
S1
0
t2
t1
S2 
t2
T/2
T
Uplatňuje se především v měřicí technicet
t
251
Efektivní hodnota
• nejčastěji užívaná charakteristika v technické praxi ‐ vyjadřuje
energetické účinky proudu
• je to taková hodnota stacionárního proudu, který má za dobu jedné periody stejné tepelné účinky jako proud původní
– energie přeměněná v teplo v lineárním rezistoru s odporem R
T
RI 2T   Ri 2  t  dt
0
• z předešlé rovnice plyne definiční vztah pro efektivní hodnotu
T
I
1 2
i  t  dt
T 0
• značí se velkým písmenem I (bez indexu), pouze v případě možné záměny jako Ief , případně Irms (z anglického root‐mean‐square)
252
84
Efektivní hodnota
T
 i  t  dt
2
Im2
0
i2 (t)
Im
i(t)
I 2T
2
i (t )
I2
t
0
T/2
0
T
T/2
T
t
T
‐Im
I 2T   i 2  t  dt
Z rovnosti ploch:
0
T
I
1 2
i  t  dt
T 0
•
efektivní hodnota periodického proudu a napětí je charakteristika, kterou je třeba v praxi nejčastěji stanovit měřením
•
levnější přístroje však mají zpravidla převodník střední absolutní hodnoty
– proto jsou měřicí přístroje cejchovány převážně v efektivních hodnotách
–
efektivní hodnota se získá vynásobením výstupu tzv. činitelem tvaru
253
Činitel tvaru, výkyvu a plnění
Činitel tvaru
kt =
I
I sa
podíl efektivní a střední absolutní hodnoty
• přístroje s převodníkem střední hodnoty jsou určeny jen pro měření harmonických průběhů s činitelem tvaru
I
k th 
 1,11
I sa
– měříme‐li pak napětí či proud odlišného tvaru, dopouštíme se systematické chyby měření
– přístroje měřicí skutečně efektivní hodnotu se označují někdy označeny TRMS, od anglického true root‐mean‐square
Činitel výkyvu
kv =
Im
I
Postihuje dynamické vlastnosti převodníku měřicího přístroje;
přesnost je zaručována jen do jisté maximální velikosti kv
Činitel plnění
kp =
I sa
Im
Nachází uplatnění v silnoproudé elektrotechnice a elektroenergetice
254
Poznámka k TRMS Napětí periodického neharmonického průběhu
s Uef = 217 V
s činitelem tvaru 1,26
Přístroj s TRMS ukáže 217 V
(správná hodnota)
Tento přístroj ukáže 191 V
(chyba ‐12%)
U  k thU sa  1,11  U sa  191 V
Jednodušší (levnější) měřicí přístroje ukazují namísto efektivní hodnoty
1.11násobek stř. absolutní hodnoty.
255
85
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
Harmonický průběh
Um
Vypočtěte:
u  t   U m sin t
u(t)
• střední absolutní hodnotu Usa
• efektivní hodnotu U
• činitele kt , kv a kp
t
0
Pro funkce souměrné lze Usa počítat jako střední hodnotu v době jedné půlperiody
1
U sa  2
T
T/2
2
T
‐Um

T 2
2U
0 U m sin t  dt   Tm cos t  0 
T /2
U
2
m
2U m2
T
sin 2 t  dt 
0
T /2

T
T 2
sin 2 t  

2U m 
Um
 2 T 

cos 
 cos    cos  0    2U m
  cos  0    
2 

 T 2

T
T
U
Příklad 1
U m2 
1

t
sin  2t  
T  2
0

2
T
1
1  cos  2t  
2
U


 1,1107
U sa 2 2
U
k v  m  2  1, 4142
U
U
2
kp  sa   0,6366
Um π
kt 
T /2
1
 2 1  cos  2t   dt 
0
U m2  T  U m
 
T 2
2
256
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
Trojúhelníkový průběh
Vypočtěte:
Um
u(t)
u (t ) 
Příklad 2
4U m
T
t pro t  0,
T
4
• střední absolutní hodnotu Usa
• efektivní hodnotu U
• činitele kt , kv a kp
t
0
Vzhledem k symetrii stačí integraci provést pouze přes první čtvrtperiodu:
U sa =
T /4
4
T

0
T /4
4U m
16U m  t 2 
td t 
 
T
T 2  2 0

Um
2
nebo z geometrické představy:
4
T
U
kt 
T /4
0
T /4
2
64U m2  t 3 
 4U m 
t dt 
 
T 
T 3  3 0
 

T/4
T/2
T
‐Um
U sa
Um
3
T 1T

Um
4 24
 0,5774U m
Tyto výsledky
jsou platné
i pro obecnou
polohu vrcholu
trojúhelníka
(např. pilový průběh)
U
U
U
2
1

 1,1547 k v  m  3  1,7321 kp  sa 
U
U sa
Um 2
3
257
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
Obdélníkový průběh
Vypočtěte:
u(t)
• střední absolutní hodnotu Usa
• efektivní hodnotu U
• činitele kt , kv a kp
Um
Vzhledem k symetrii stačí integraci provést pouze přes první půlperiodu:
U sa 
U
kt 
2
T
T /2
2
T
T /2
U
m
dt 
0
U
0
2
m
dt 
0
2U m T / 2
t 0  U m
T
2U
T
2
m
U
U
 1 kv  m  1
U sa
U
Příklad 3
t 0
T /2
 Um
kp 
T/2
T
t
‐Um
což je zřejmé i z geometrické představy
což je rovněž zřejmé.
U sa
1
Um
258
86
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) I0 a efektivní hodnotu I periodického průběhu proudu podle obrázku, má‐li proud maximální hodnotu Im = 1 A.
Příklad 4
Im
i
T
T/2
0
t
 2Im
 T
 T t pro t   0; 2 



i t   
T 
 0
pro t   ; T 

2 
Integraci rozdělíme na úseky se spojitým, jednoduše popsatelným průběhem:
T
I0 
I
1
1
i  t  dt 
T 0
T
T 2

0
T 2
T
2Im
2I  t 2 
I
1
tdt   0dt  2m    m  0, 25A
T
TT2
T  2 0
4
2
T 2
T
T

4 I m2
1 2
1   2Im 
i  t  dt 
t  dt   02 dt  
 

T 0
T  0  T 
T3
T 2

T 2
t3 
 
 3 0

Im
 0, 4082A
6
259
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) I0 a efektivní hodnotu I periodického průběhu proudu podle obrázku, má‐li proud maximální hodnotu Im = 1 A.
Im
i
t
‐Im/2
T/2
0
3
T
T

T
4
1 2
 I 

d
I
t

m
   2m  dt  3 I mdt 
T  0
T 
T


2
4
I m  T / 2 1 3T / 4
T
 5I m

 0, 625 A
t   t T / 2  t 3T / 4  
2
8
T  0

I0 
Příklad 5

 Im

i t   
 I m
 2
3T/4
T
 T   3T 
pro t   0;    ; T 
 2  4

 T 3T 
pro t   ; 
2 4 
3
T
T

T
4
 I m2 
1 2 2
13

2
 0,9014 A
  I m dt     dt   I m dt   I m
T 0
16
T  4 
3

T


2
4
I
260
Charakteristické hodnoty periodických průběhů
Kmitavý průběh – rozklad na = a ~ složku
Příklad 6
Kmitavý periodický průběh napětí byl měřen dvěma měřicími přístroji:
stejnosměrným voltmetrem a střídavým voltmetrem pro měření „pravé“
efektivní hodnoty (TRMS), jehož součástí je oddělovací kondenzátor.
Z naměřených výsledků stanovte efektivní hodnotu kmitavého napětí.
= voltmetr změří U0
u~(t)
~ voltmetr změří U~
u(t)
T
U0
0
t
u(t)
T
U0
0
=
T
U2 
u(t)
Uo
T
T
0
t
t
+
T
u~(t)
T
2
2U
1 2
1
1
1
u  t  dt   U 0  u~  t   dt   U 02 dt   u2  t  dt  0  u  t  dt  U 02  U ~2
T 0
T 0
T 0
T 0
T 0
= U02
U  U U
2
0
2
~
= U~2
= 0
efektivní hodnota kmitavého napětí
261
87
Fourierova harmonická analýza
(rozklad na harmonické složky)
SPEKTRUM periodického signálu
Periodický signál:
f t   f t  k  T 
k  0,  1,  2,...
;
1  2  f1
f1  1/ T

f  t     ck sin  k1t   k  
k 0
262
Fourierova harmonická analýza
(informativně)
a0
 a1 cos  1t   a 2 cos  2 1t   a 3 cos  3 1t   ...
2
 b1 sin  1t   b2 sin  2 1t   b3 sin  3 1t   ...
f t  

 a
a0

2

k 1

c

k 0
k
k
cos  k  1t   bk sin  k  1t  
sin  k  1t   k 
Výpočet koeficientů:
ak 
bk 
2
T
t0  T
2
T
t0  T
matematická definice
tvar používaný v elektrotechnice
Přepočet koeficientů:
 f  t  cos  k t  dt
1
t0
 f  t  sin  k t  dt
1
t0
ck  ak2  bk2
Amplitudové spektrum
a 
 k  arctan  k 
 bk 
Fázové spektrum,
0 = 0
ak  ck sin  k ,
bk  ck cos  k
263
Příklad – harmonický rozklad obdélníkového průběhu
1
f (t)
Harmonický rozklad obdélníkového průběhu:
f (t)
0.8
0.6
0.4
1. harmonická
0.2
0
1
0.8
-0.2
-0.4
f t  
0.6
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
0.4
0.2
4



k 1,3,5...
1

 sin(k1t ) 
k

0
-0.2
k = 1
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
c (k)
SPEKTRUM (AMPLITUDOVÉ)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
5
10
15
20
25
k
264
88
Příklad – harmonický rozklad obdélníkového průběhu
Harmonický rozklad obdélníkového průběhu:
f (t)
1
f (t)
0.8
0.6
0.4
1. harmonická
0.2
0
1
0.8
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
+
f t  
0.6
0.4
0.2
4



k 1,3,5...
1

 sin(k1t ) 
k

0
1
0.8
-0.2
0.6
k = 3
k = 5
0.4
-0.4
0.2
3. harmonická
0
-0.2
-0.6
-0.4
-0.8
-0.6
-0.8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.8
0.6
0.4
5. harmonická
0.2
0
-1
+
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
c (k)
-0.2
SPEKTRUM (AMPLITUDOVÉ)
-0.4
-0.6
-0.8
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.8
0.6
0.4
0.2
0
k
0
5
10
15
20
25
265
Příklad – harmonický rozklad obdélníkového průběhu
1
f (t)
Harmonický rozklad obdélníkového průběhu:
f (t)
0.8
0.6
0.4
1. harmonická
0.2
0
1
0.8
-0.2
f t  
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
t
+
0.6
0.4
0.2
4



k 1,3,5...
1

 sin(k1t ) 
k

0
1
0.8
-0.2
0.6
0.4
k = 25
-0.4
0.2
0
3. harmonická
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.8
+
0.6
0.4
5. harmonická
0.2
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
SPEKTRUM (AMPLITUDOVÉ)
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
+
t
c (k)
1
0.8
0.8
0.6
0.4
0.6
0.2
7. harmonická
0
-0.2
-0.4
0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
+
25. harmonická
0.2
0
0
5
10
15
20
25
k
266
Fourierova harmonická analýza ‐ přenosový kanál
267
89
Efektivní hodnota neharmonického průběhu

i  t    I km sin  k1t  k 
T
I
1 2
i  t  dt
T 0
k 0
2
1  

 I km sin  k1t  k   dt
T 0  k 0
T
I

T
T

 sin 2  1cos2 2 
1
2
2
  I km sin  k1t  k     2 I km I lm sin  k1t  k  sin  l1t  l   
T  k 0 0
k ,l  0; k l 0


T
T


1
2 1  cos  2k1t  2 k 
   2 I km I lm sin  k1t  k  sin  l1t  l  
  I km
T  k 0 0
2
k ,l  0; k  l 0




T
T 2
T


1   I k2m  I km cos  2k1t  2k 

   2 I km I lm sin  k1t  k  sin  l1t  l  

T  k 0 0 2 k 0 0
2
0



 k ,l 0;k l 
0
0



m
I
1  I k2m
2



T k 0 0 2
I
T

I
k 0
2
k
I

I
k 0
efektivní hodnota neharmonického průběhu
2
k
 I 02  I12  I 22  
268
Činitel zkreslení neharmonického průběhu
• definuje míru odlišnosti tvaru od ideálního harmonického průběhu
• používá se pro posouzení kvality tvaru průběhu napětí či proudu
– v energetice (vyšší harmonické složky způsobují problémy – ztráty, rušení,…)
– při měření kvality přenosových tras
• definován jako poměr efektivní hodnoty vyšších harmonických
k 1. harmonické složce
I 22  I 32  
I1
k
• alternativně jako poměr k efektivní hodnotě celého průběhu
I 22  I 32  
k 
I12  I 22  I 32  

k
1 k 2
269
Činitel zkreslení neharmonického průběhu
Příklad 7
Neharmonický proud i(t) s kmitočtem 160 Hz má spektrum obsahující tyto složky: I0 = 2 A; I1 = 10 A; I3 = 1,5 A; I5 = 0,6 A. Určete činitel zkreslení v %. k
k 
I 22  I 32  

I1
I 32  I 52
1,52  0, 62
 0,1616=16,16 %

10
I1
I 22  I 32  
I12  I 22  I 32  
I 32  I 52

I12  I 32  I 52

1,52  0, 62
 0,1595  15,95 %
102  1,52  0, 62
Časový průběh (ve srovnání s 1. harmonickou) a spektrum signálu jsou v grafech.
12
10
I1
i (t)
10
8
I1
0
I (A)
i (A)
5
6
4
-5
I0
I3
2
I5
-10
0
1
2
3
t (ms)
4
5
6
0
0
1
2
3
4
5
6
k (-)
270
90
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 5
Nelineární prvky a obvody
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
Obsah
• Nelineární prvky, jejich charakteristiky a vlastnosti
– Statický a dynamický odpor a vodivost
– Malý a velký signál
– Změna spektra signálů
• Náhradní funkce:
– Interpolace
– Aproximace
– Extrapolace
• Metody řešení nelineárních obvodů
–
–
–
–
Analytické
Linearizace + analytické
Grafické (postupné zjednodušování, metoda zatěžovací přímky)
Numerické (iterační metody ‐ půlení intervalu, Regula falsi, Newtonova metoda)
272
Nelineární prvky a obvody
Obecný nelineární rezistor
u  f i 
• mezi dominantními obvodovými veličinami existuje nelineární vztah
• pokud je v obvodu alespoň jeden nelineární prvek, je celý obvod nelineární
• nelineární obvod se popisuje obecně nelinárními rovnicemi
i  f u 
273
91
Nelineární obvody
NESETRVAČNÉ
SETRVAČNÉ
Nelineární (obyčejné) rov.
Nelineární diferenciální rov.
Schematické značky nelineárních prvků
274
Vlastnosti nelineárních prvků
Rd  P   lim
u du  iP 

di
i
Gd  P   lim
i di  uP 
1


u
du
Rd  P 
i 0
P – pracovní bod (up, ip)
 – okolí pracovního bodu
u  0
i
tečna
statický odpor RS (vodivost GS)
P
iP
dynamický odpor Rd (vodivost Gd)
i
u
0
uP
u
RS  P  
uP
iP
GS  P  
iP
1

u P RS
275
Nelineární obvody
• Platí
– Kirchhoffovy zákony
– Ohmův zákon
(pozor – R resp. G není konstanta!)
• NEPLATÍ princip superpozice
276
92
Charakteristiky nelineárních prvků
i = f(u) ….. ampérvoltová charakteristika
monotónní
stabilizační dioda
dioda
nemonotónní
tyristor
tunelová dioda
elektrický oblouk
TYP N
TYP S
oblast negativního (záporného) dynamického odporu
277
Nelineární obvody – malý a velký signál
5
3
2
Malý signál – nelinearita se prakticky neuplatní
(u~ << U0)
4
i (A)
i (A)
5
Rn
i  0,1  u 2
4
3
2
P
1
1
0
0
2
4
6
0
0
8
u (V)
u~
1
2
3
4
5
6
t (s)
6
5
t (s)
4
3
2
1
0
0
2
4
U0
6
8
u (V)
278
Nelineární obvody – malý a velký signál
5
3
2
u~
3
2
P
1
0
0
Velký signál – nelinearita se uplatní –> zkreslení průběhu
4
R
i (A)
i (A)
i (A)
5
Rn
i  0,1  u 2
4
Srovnání s průběhem pro lineární odpor R
1
2
4
6
8
u (V)
0
0
1
2
3
4
5
6
t (s)
6
6
5
5
t (s)
4
4
3
2
1
0
0
2
4
U0
u (V)
66
88
279
93
6
3
5
2.5
4
3
1.5
2
1
1
0.5
0
0
i  0,1  u 2
2
i (A)
u (V)
Nelineární obvody – spektrum
1
2
3
t (s)
4
5
0
0
6
u  t   3  2sin t 
2
s (t)
4
6
i  t   0,1  u 2  0,1 3  2 sin t  
2
 1,1  1, 2sin t   0, 2 cos  2t 
Uk
spektrum u (t)
U0=3 V
Ik
I1=1,2 A
U1=2 V
I0=1,1 A
spektrum i (t)
I2=0,2 A
0
1
k
V nelineárních obvodech dochází ke změnám ve spektru:
• vznik nových harmonických složek
• přesun energie mezi harmonickými složkami
0
1
2
k
280
Způsoby analýzy nelineárních obvodů
ki 2  Ri  U
Analytické řešení
un  ki
2
Zde např. kvadratická rovnice
Grafické řešení
Hledáme proud i obvodem.
u
Numerické řešení
Zde např. metoda
zatěžovací přímky
Rn
U
Zde např. Newtonova iterace
f  i   ki 2  Ri  U  0
i k 1  i k  
 
 
~R
f i k 
f  i k 
0
i
U
R
i
281
Způsoby analýzy nelineárních obvodů
Vychází z nelineárních rovnic
• obyčejných (u nesetrvačných, rezistorových obvodů)
• diferenciálních (u setrvačných obvodů, obsahujících C, L)
Analytický výraz
Tabulka
Graf charakteristiky
Analytické řešení
Náhradní funkce
Numerické řešení
Grafické řešení
Způsob analýzy volíme podle:
• druhu obvodu (nesetrvačný × setrvačný)
• velikosti signálu (malý × velký)
• účelu ‐ jaké jevy chceme sledovat (pracovní bod, přechodné jevy, ustálený stav,
stabilita, ... )
• podle způsobu popisu nelinearity obvodu (charakteristiky ve formě tabulek nebo grafů,
aproximace analytickým výrazem).
282
94
Náhradní funkce
• Charakteristiky y = f(x) (např. i = f(u), = f(i) apod.) jsou určeny většinou měřením:
– jsou uvedeny v tabulce nebo grafu
– mohou být nepřesné (zatíženy nejistotou měření)
– známe pouze konečný počet bodů charakteristiky
• Proto se používá náhradní funkce, kterou lze získat:
– Interpolací (funkce prochází zvolenými body)
– Aproximací (funkce nemusí procházet zvolenými body)
y
aproximační funkce fa(x)
interpolační funkce fi(x)
0
x
283
Náhradní funkce
Vždy jde o kompromis
Hledá se dostatečná přesnost a přitom co nejjednodušší náhradní funkce
Význam
• Jednodušší výpočet f (x )
• Výpočet f (x ) i mimo určené body
• Výpočet derivace funkce
• Výpočet (přibližného) integrálu (třeba při řešení diferenciální rovnice)
Nejčastější náhradní funkce
• přímka ‐ linearizace
• lomená přímka ‐ linearizace po částech
• polynom (y = a0+a1x+a2x2+…)
• exponenciální funkce (y = a∙ex)
• funkce arctg(x) ‐ pro magnetické obvody – B = f (H ),  = f (i )
284
Interpolace
Interpolační funkce
(polynom 2. stupně)
y
0
Původní funkce (body)
x
• Zpravidla jednodušší polynom (1. až 3. stupně)
• Shoduje se v n+1 bodech pro polynom n‐tého stupně
• Ostatní body se neuvažují  může zde být velká odchylka od původní funkce
• Jde tedy o „hrubý odhad“
285
95
Interpolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Požadujeme, aby se polynom přesně shodoval s původním průběhem v n+1 bodech interpolační funkce
25
yi  a0  a1 x  a2 x
20
2
původní funkce
X: 4
Y: 16
a0  a1x3  a2 x32  y3
y
15
X: 3
Y: 9
10
a0  a1 x1  a2 x12  y1
a0  a1x2  a2 x22  y2
X: 2
Y: 4
a0  a1 x2  a2 x2 2  y2
5
0
a0  a1x1  a2 x12  y1
0
1
2
3
a0  a1 x3  a2 x32  y3
4
5
x
Koeficienty (a0, a1, a2) získáme řešením soustavy rovnic
286
Interpolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Příklad 1
Pro křemíkovou diodu byly v propustném směru naměřeny hodnoty viz tabulka.
Určete interpolační polynom 2. stupně pro pracovní bod P1: U P1  0,6V, u  0,1V
u (V)
0,20
0,40
0,50
0,55
0,60
0,625
0,65
0,675
0,70
i (A)
0
0
0,0005
0,004
0,02
0,20
0,45
0,60
1,0
ii  a0  a1u  a2u 2
a0  a1u1  a2u12  i1
a0  a1u2  a2u2 2  i2
a0  a1u3  a2u3 2  i3
Vandermontova matice:
a0  a1 0,5  a2 0,52  0,0005  1 0,5 0,52   a0   0,0005 

 

2 
a0  a1 0,6  a2 0,62  0,02
 1 0,6 0,6    a1    0,02 
 1 0,7 0,7 2   a2   1,0 
a0  a1 0,7  a2 0,7 2  1,0






1
ii  P1  48, 025 u 2  52, 6325 u  14, 3105
i (A)
0.5
0
-0.5
0.5
0.55
0.6
0.65
u (V)
Interpolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
0.7
287
Příklad 1
Pro křemíkovou diodu byly v propustném směru naměřeny hodnoty viz tabulka.
Určete interpolační polynom 2. stupně pro pracovní bod P1: U P1  0,6V, u  0,1V
u (V)
0,20
0,40
0,50
0,55
0,60
0,625
0,65
0,675
0,70
i (A)
0
0
0,0005
0,004
0,02
0,20
0,45
0,60
1,0
ii  a0  a1u  a2u 2
Vandermontova matice:
 1 0,6 0,6 2   a0   0,02 

 

2 
 1 0,65 0,65    a1    0, 45 
 1 0,7 0,7 2   a2   1,0 


   
1
ii  P1  48, 025 u 2  52, 6325 u  14, 3105
ii  P2   24 u 2  21, 4 u  4, 22
0.5
i (A)
Pro jiný pracovní bod P2:
U P2  0, 65 V s u  0, 05 V
0
-0.5
0.5
0.55
0.6
u (V)
0.65
0.7
288
96
Aproximace přímkou
(linearizace)
ya  a0  a1x
i
Obecné přímce i = f(u) nebo u = f(i)
odpovídají lineární zdroje:
P
směrnice
Gd=1/Rd
i
Rd
0
U0
u
U0
i
u
I
I0
u
Gd
U
I0
•
•
Aproximace je určena dvěma parametry: a0 a a1
Linearizací převedeme obvod na lineární – možnost použití známých metod řešení lineárních obvodů (zjednodušování, MUN, MSP …)
Platí jen pro pracovní bod P a jeho blízké okolí – pro malý signál
•
289
Linearizace po částech
stabilizační dioda
dioda
Uz
Up
Up
G  u  U   u  U z
z
 d
0
 u  U z ;U p 
i

Gd  u  U p   u  U p
 u  Up
0

i
Gd  u  U p   u  U p
290
Aproximace polynomem ya  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x 3  ...
Hledáme koeficienty a0, a1, a2,….
Kvadratická parabola
ia  a0  a1u  a2u
Kubická parabola
ua  a0  a1i  a2i 2  a3i 3
2
2
2
i  0, 4  0, 4u  0,1u 2
1.5
u (V)
i (A)
1.5
1
0.5
0
0
u  1  0,5i  2i 2  i 3
1
0.5
2
4
u (V)
6
0
0
0.5
1
1.5
2
i (A)
291
97
ya  A e Bx
Aproximace exponenciální funkcí
• Aproximace je určena dvěma parametry: A a B
• Exponenciální závislost je typická pro polovodičové přechody PN
i
Polovodičová dioda
 qu 
i  Is  e kT  1
Příklad :
u
0
Úbytek napětí na křemíkové diodě při T = 300 K je u = 0,7 V při protékajícím proudu i = 1,3 A. Určete parametry exponenciální aproximační funkce.
Řešení: k je Boltzmannova konst., q je elementární náboj, z toho parametr B
je q/(kT), pro T=300 K je B = 38,68 V‐1.
i
Is 
q
1,3

u
q
e k 300
e kT  1
 2,2619 10-12 A
0,7
ia  2,2619 10-12  e38,68u  1
1
292
Aproximace – kritéria shody
• Kritérium shody udává podobnost aproximační funkce a původní funkce, porovnávají se jednotlivé odchylky 
• Při hledání koeficientů aproximační funkce (AF) máme tyto možnosti:
2
min   i 
– Metoda nejmenších čtverců
– Čebyševova aproximace (minimum největší z odchylek AF)
min max i 
y
aproximační funkce
i
0
x
293
Aproximace metodou nejmenších čtverců
původní funkce
y
y  ya
  y j  ya  x j  
m
2
 min
j 1
aproximační funkce
0
x
• Neshoduje se přímo v daných bodech (bodů je libovolný počet)
• Minimální suma čtverců odchylek mezi naměřenými a aproximovanými hodnotami ve všech zadaných bodech
• Omezí se tak velké odchylky průběhu v daných bodech
• Metoda má jednoznačné řešení
294
98
Aproximace metodou nejmenších čtverců
• Pro výpočet koeficientů aproximační funkce se zavede
účelová (kriteriální) funkce
m

   y j  ya  x j 
j 1

2
• Hledáme minimum kriteriální funkce = všechny parciální
derivace podle jednotlivých koeficientů musí být rovny nule
• Parciálních derivací je tolik, kolik je neznámých koeficientů
hledané aproximační funkce
295
Aproximace metodou nejmenších čtverců
linearizace
Je zadáno m bodů [x,y]
Metodou nejmenších čtverců hledáme koeficienty a0 a a1
rovnice přímky, aproximující těchto m bodů
ya  a 0  a1 x
m
  a0 , a1     y j  a1 x j  a0 
Účelová funkce je
2
j 1
Parciální derivace této funkce položíme rovny nule (hledáme minimum):
  a0 , a1 
a0
m
j 1
  a0 , a1 
a1
m
m
m
j 1
j 1

 a1x j   a0   y j  0


 a1x2j   a0 x j  y j x j  0
 2 a1 x j  a0  y j x j  0
j 1
m
j 1

 2 a1 x j  a0  y j  0
m
m
m
j 1
j 1
j 1
 m

  x j
Podobně lze postupovat i pro
polynomy vyšších stupňů
 x j   a0     y j 

  
 x2j   a1   y j x j 
296
Aproximace metodou nejmenších čtverců
linearizace
Proložte přímkou následující soubor
m = 5 hodnot.
ya  a 0  a1 x
6
0
1
3
5
6
yj
5
3
3
2
1
ya  4, 415  0,538 x
5
4
y
xj
Příklad 2
3
2
1
0
0
j
xj
yj
x j2
xjyj
1
0
5
0
0
2
1
3
1
3
3
3
3
9
9
4
5
2
25
10
5
6
1
36
6

15
14
71
28
1
 m

  x j
2
3
x
4
5
6
7
 x j    a0     y j 

  
 x 2j   a1   y j x j 
 5 15  a0  14 
15 71   a    28

  1  
 a0   4, 415 
 a    0,538

 1 
297
99
Čebyševova aproximace
(nejmenší maximální odchylka)
původní funkce
y
musí být menší než zvolené max
aproximační funkce
0
x
• Neshoduje se přímo v daných bodech (bodů je libovolný počet)
• Je definována odchylka mezi funkcemi (původní a aproximační), která nesmí být nikde v daném intervalu překročena
• Metoda se někdy nazývá minimax
• Nalezení aproximační funkce pomocí ČA není jednoduché
298
Aproximace v Excelu
• Používá metodu nejmenších čtverců
• Funkci lze aproximovat přidáním spojnice trendu (menu Graf)
– Lineární nebo polynomická aproximace
• Lze zobrazit i rovnici regrese (záložka Možnosti)
y = f(x)
10
9
10
3
2
y = 0.4606x - 1.6801x + 2.8024x + 0.1288
89
78
Y
Y
67
Řada1
6
5
5
4
4
3
3
polynom
y =3.st.
f(x)
22
11
00
00
0.5
0.5
11
1.5
1.5
22
X
X
2.5
2.5
33
3.5
3.5
X
0
0.5
1
44
1.5
2
2.5
3
3.5
Y
0
1.4
1.8
1.9
2.5
4
6
9
299
Extrapolace
• Extrapolace je odhad funkční hodnoty y pro x ležící mimo interval známých bodů
• Platí jen pro blízké okolí známých bodů, mimo ně může být extrapolace velmi nepřesná
Aproximační funkce
y
(polynom 2. stupně)
y0
Původní funkce (body)
extrapolovaný bod
rozsah známých hodnot
0
x0
x
Máme určit y0=f(x0)
• provede se aproximace známých bodů
• hodnotu x0 dosadíme do aproximační funkce
300
100
Extrapolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Jsou známy tři naměřené body charakteristiky křemíkové diody
v propustném směru.
Určete hodnotu proudu pro u = 0,85 V.
Příklad 3
u (V)
0
0,75
0,80
0,85
i (A)
0
0,05
0,13
0,22
Určíme interpolační polynom 2. stupně:
ia  a0  a1u  a2u 2
0.6
Řešením Vandermontovy matice dostaneme:
0.5
ia  1, 917 u 2  1, 371u
0.4
0,22
i (A)
1
0
0 2   a0   0 

 

2 
1
0,75
0,75

   a1    0,05 
 1 0,80 0,802   a2   0,13 


   
0.3
0.2
0.1
0
ia  1,917 u 2  1,371u
-0.1
Dosazením do aproximační funkce
extrapolujeme hodnotu pro u = 0,85 V:
-0.2
ia  1,917  0,85   1,371  0,85  0, 2198 A
2
-0.3
0
0.2
0.4
u (V)
0.6
0.8
1
0,85
301
Metody řešení nelineárních obvodů
•
•
Analytické řešení
•
Linearizace +
analytické řešení
Grafické metody
Numerické metody
nelineární prvek popsán analytickým výrazem
pouze pro speciální případy (polynomy lze řešit do
4. stupně, většina nelineárních rovnic není analyticky řešitelná)
většinou pro demonstraci zvláštních vlastností
nelineárních obvodů
• používá metod známých z řešení lineárních obvodů
• metoda postupného zjednodušování
• metoda zatěžovací přímky
• metoda tří rovin
• metoda půlení intervalu
• metoda Regula falsi
• metoda tečen (Newtonova metoda)
302
Metody řešení nelineárních obvodů
Analytické řešení
Pouze speciální případy:
• prvek musí být popsán analytickým výrazem
• nejčastěji polynom 1. až 3. řádu, 4. řád obtížně, 5. řád nelze analyticky řešit
Příklad
U  10 V
Určete proud obvodem
R  10 
un  ki 2
un  20 i 2
un  Ri  U  0
ki 2  Ri  U  0
 R  R 2  4kU
i1,2 
2k
Numericky:
i1
i2
Fyzikální smysl má pouze kladné řešení
20 i 2  10 i  10  0
i1,2 
i  0,5 A
10  100  800  1 A

40
0,5 A
303
101
Metody řešení nelineárních obvodů
AV charakteristika polovodičové diody
i
 qu 
i  Is  e kT  1
UD  R  I U  0

U D  R  IS  e

q
UD
kT
u
0

 1  U  0

Transcedentní rovnice – nelze analyticky řešit!
Možnosti:
• Grafické řešení
• Numerické řešení
• Aproximace (např. eX  x2 nebo linearizace)
304
Metody řešení nelineárních obvodů
linearizace + analytické řešení
Příklad 4
Linearizovaný model Si diody v propustném směru má parametry Ud = 0,48 V, Rd = 0,3  . Dioda je napájena ze zdroje U = 3 V, R = 2  . Jaké je napětí na diodě?
i
~1/Rd
Rd
U
Ud
0
u
Ud
RI D  Rd I D  U d  U  0
I D  R  Rd   U  U d
ID 
U  U d 3  0, 48

 1, 096 A
R  Rd
2  0,3
U D  U d  Rd I D  0, 48  0,3 1, 096  0,809 V
305
Metody řešení nelineárních obvodů
linearizace + analytické řešení
Příklad 5
Stabilizátor napětí je zatížen odporem R2 = 250  . Určete napětí U2 na zátěži, má‐li linearizovaný
model stabilizační diody v závěrném směru parametry: Uz = 5,7 V, Rd = 2  . Stabilizátor je napájen zdrojem U = 10 V, R1 = 100  .
Linearizovaný obvod
Pomocí MSP:
I S2 
2
 0, 02296A

U 2  R2 IS2  5, 739 V
 R1  Rd

  Rd
 Rd   I S1  U  U z 


R2  Rd   I S2   U z 
2   I S1  10  5, 7 
100  2


 2
250  2   I S2   5, 7 

Pomocí MUN:
I
U
10

 0,1 A
R1 100
Iz 
U z 5, 7

 2,85 A
Rd
2
G1  1001  0, 01S
G2  2501  0, 004 S
Gd  21  0,5 S
 G1  G2  Gd U 2  I  I z
0,514 U 2  2,95
U 2  5,739 V
306
102
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zjednodušování
Sériové spojování
I  I R  I Rn
U  U R  U Rn
Rn
i
R
R+Rn
R+Rn
i
UR
I1
URn
I
U
I2
I3
0
u
0
u
U
307
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zjednodušování
Paralelní spojování
U  U R  U Rn
I  I R  I Rn
i
i
R||Rn
R||Rn
I
I
R
Rn
IR
0
U3
U2
IRn
0
u
U1
u
U
308
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
u
Rn
U0  U
Q
URn
Ri  u  U  0
0
u   Ri  U
 rovnice přímky y  a1 x  a0
Napětí naprázdno
Proud nakrátko
IRn
Zatěžovací přímka
Ik 
U
R
i
• Pro lineární zdroj U+R sestrojíme zatěžovací přímku (tj. závislost svorkového napětí na odebíraném proudu) u=f(i).
• Vycházíme:
i  0  U0  U
u  0  Ik 
U
R
• napětí naprázdno U0
• z proudu nakrátko Ik
• Průsečík s charakteristikou nelineárního odporu je pracovní bod Q
309
103
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
• Uvedený postup lze aplikovat i na jiný libovolný obvod, složený
• z lineární části
• z nelineárního prvku
• Lineární část obvodu nahradíme náhradním zdrojem Ui, Ri (Thèveninova věta), tím získáme elementární snadno řešitelný obvod.
310
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
Ri = konst. měníme Ui
i
Ui = konst. měníme Ri
i
Rn
U i3
Ri
Ui2
Ri
U i1
Ri
Q3
Q2
Q1
0
U i1
Rn
Ui
Ri3
Ui
Ri2
Ui
Ri1
U i2
U i3
Q3
Q2
Q1
0
u
Ui
u
311
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
Příklad použití: vyšetření činnosti stabilizátoru napětí
U1
U1
U1
0
u
U1
I   U1/ R
• Změna napětí zdroje U1 způsobí jen malou změnu napětí na stabilizační diodě U2
• Obvod se chová jako stabilizátor napětí
• Tzv. „činitel stabilizace“ s je:
Q
D
I   U1 / R
U 2
I   U1 / R
i
U1 / U1
s
U 2 / U 2
312
104
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: metoda 3 rovin
Příklad použití: zkreslení harmonického průběhu na nelineárním rezistoru.
5
5
A‐V
charakteristika
3
2
3
2
1
1
0
0
2
4
6
0
0
8
u (V)
1
2
3
4
5
t (s)
6
u(t) je sinusové
(harmonické) + U0
i(t)
4
i (A)
i (A)
4
6
i(t) je
NEharmonický
u(t)
5
t (s)
4
3
2
1
0
0
2
U0
4
6
8
u (V)
Napětí U0 určuje polohu pracovního bodu.
313
Metody řešení nelineárních obvodů
Numerické metody
Numerické metody řešení rovnice = hledání kořenů rovnice
• Řešíme rovnici v homogenním tvaru
f(x)=0
•
•
•
f(x) •
Graficky jde o hledání průsečíků funkce f s osou x
Průsečíků může existovat více, je tedy třeba nejprve řešení rozdělit na intervaly s jediným kořenem (tzv. separace kořenů)
V dalším budeme předpokládat, že v zadaném intervalu x existuje jediný kořen
k = pořadí iterace
Numerická metoda je založena na iteračním postupu

x k 1  F x k  , x k 1 ,

x
funkce minulých odhadů
nový odhad hodnoty
x
0
314
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: půlení intervalu
•
•
•
•
•
•
Nejjednodušší metoda, vždy konverguje, ovšem je pomalá
Předpoklad: známe interval řešení (a, b) a v něm je jediný kořen x
Interval (a, b) rozdělíme na poloviny
Předpokládáme kořen x(k) vždy uprostřed intervalu
Určíme nový poloviční interval <a, b> , ve kterém leží kořen
Pokračujeme dalším půlením tohoto intervalu
x k  
ab
2
x/2
f(x)
x
 
a  x k  pokud f x k   f  b   0
x/2
Iterace se ukončí po dosažení zadané přesnosti, když:
b  a  2
( je chyba)
f(b)
x
a
f(a)
0
 
b  x k  pokud f  a   f x k   0
x1 x2 x0
f  a   f b  0
b
x
Kořen x leží v intervalu:
 kořen leží v intervalu (a,b)
x
ab

2
315
105
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: půlení intervalu
Příklad 6
Řešte rovnici f  x   x3  x  1  0 s chybou   0,03
Odhad intervalu řešení: Iterační
krok
x  0;1
ab

2
x k 
f  0   f 1  0
Ověření:
f  x   x3  x  1  0  
ba
2
k
a
x(k)
b
f (a)
f (x(k))
f (b)

0
0
0,5
1
‐1
‐0,375
+1
0,500
1
0,5
̶
+
̶
+
̶
+
+
+
+
0,75
2
0,625
3
0,625
̶
0,75
̶
0,6875
4
0,6563
5
0,6719
̶
0,6875
‐0,025
x   0, 672  0, 016 
Poloha kořene
  0, 03
0,250
0,125
0,063
0,031
0,016
  0, 03
Kontrola: f(x)0
316
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: Regula falsi
•
•
•
•
•
Podobná půlení intervalu, vždy konverguje, bývá rychlejší
Předpoklad: známe interval řešení (a, b) a v něm je jediný kořen x
Vedeme přímku body (a, f(a)) a (b, f(b)) a dostaneme průsečík x(k)
Vybereme z (a, x0), (x0, b) ten interval, ve kterém leží kořen x
Opět vedeme sečnu a najdeme další průsečík
x k   b 
 
b  x k  pokud f  a   f x k   0
ba
f b
f b   f  a 
 
a  x k  pokud f x k   f  b   0
f(x)
Iterace se ukončí, když: x k   x k 1  
Zde  není rovno chybě!
f(b)
x
x1
a
x0
b
Přibližná hodnota kořenu pak je rovna výsledku poslední iterace:
x  x k 
x
f  a   f b   0
f(a)
0
317
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: Regula falsi
Příklad 7
Řešte rovnici f  x   e x  x 2  3  0 s podmínkou   0,01
Odhad intervalu řešení: x k   b 
Iterační
krok
x  0;1
Ověření:
f  0   f 1  0
ba
f b
f b  f  a 
  x k   x k 1

k
a
x(k)
b
f (a)
f (x(k))
f (b)
0
0
0,7358
1
‐2
‐0,3716
0,7183
‐
1
0,8259
1
‐0,3716
‐0,0341
0,7183
0,0901
2
0,8338
‐0,0341
‐0,0027
0,7183
0,0079
x  0,8338
  0, 01
Kontrola: f(x)0
318
106
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: Newtonova metoda
•
•
•
•
Nejefektivnější (konverguje rychle), ale nemusí vždy konvergovat
Zvolíme počáteční odhad x0
Vedeme tečnu k funkci bodem (x0, f(x0)) a dostaneme průsečík x(k)
Opět vedeme tečnu k funkci, tentokrát bodem (x1, f(x1)) x k 1  x k  
 
f   x  
f x k 
f  x 
k
df  x 
dx
x k 1  x k   
Iterace se ukončí, když:
Zde  není rovno chybě!
Přibližná hodnota kořenu pak je
rovna výsledku poslední iterace:
x  x k 
f(x)
Při nevhodné volbě nultého odhadu x0
iterační proces nekonverguje!
f(x0)
x1 x2

f(x1)
x
x0 x2
x0
Proto často kombinace:
• konvergentní (pomalá) metoda pro
nalezení přibližného hodnoty kořene
• rychlá (např. Newtonova) metoda pro zpřesnění hodnoty
x
x1 x3
0
319
Metody řešení nelineárních obvodů
Newtonova iterační metoda
Určete proud následujícím obvodem:
Odhad
(0. iterace)
U  10 V
R  10 
U Rn  20 I 2
U Rn  RI  U  0
20 I  10 I  10  0
2
 
   
f   i  
f i k 
f  i   20i  10i  10
2
k
f   i   40i  10
i k 1  i k     k 
Příklad 8
k
i(k)
(k)
0
1
‐0,4
1
0,6
‐0,0941
2
0,5059
‐0,0059
3
0,5000
‐2,3E‐5
4
0,5000
‐3,5E‐10
k
 k   
20i  10i k   10
2
k 
I  0,5 A
40i k   10
320
Srovnání rychlosti konvergence
Příklad 9
Určete numericky napětí na Si diodě. Předpokládáme napětí
Ud = 0,6 ‐ 0,7 V. Výpočet je třeba provést s chybou pod 1 mV.
U 5 V
R  150 
id  2 1012 e38ud A
Ud  R  I U  0
U d  150  2 1012 e38U D  5  0
Rovnici f(u) pro srovnání vyřešíme:
1) metodou půlení intervalu
2) Newtonovou metodou
f  u   3 1010 e38u  u  5
f  u  
df  u 
du
 114 1010 e38u  1
321
107
Příklad 9
Srovnání rychlosti konvergence
1) Půlení intervalu
 
f u k   3 1010 e
6 iterací
38u k 
 u k   5
k
a
u(k)
b
f(a)
f(u(k))
f(b)

0
0,6
0,65
0,7
‐2,00649
11,65276
102,6928
0,05
1
0,6
0,625
0,65
‐2,00649
1,813925
11,65276
0,025
2
0,6
0,6125
0,625
‐2,00649
‐0,5387
1,813925
0,0125
‐0,5387
3
0,6125
0,61875
0,625
0,499317
1,813925
0,00625
4
0,6125
0,615625
0,61875
‐0,5387
‐0,05029
0,499317
0,003125
5
0,615625
0,617188
0,61875
‐0,05029
0,216406
0,499317
0,001562
6
0,615625
0,616406
0,617188
‐0,05029
0,081092
0,216406
0,000781
3 iterace
2) Newtonova metoda
u(k)
(k)
0
0,65
‐0,01913
1
0,630869
‐0,01141
2
0,619456
‐0,0033
3
0,616152
‐0,00022
k
u k 1  u k  
3 10
10 38u k 
e
114 1010 e
Napětí na diodě je
 u k   5
38u k 
1
U d  0, 616 V
322
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 6
Magnetické obvody
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
Obsah
• Elektromagnetické jevy
– Maxwellovy rovnice
– Ampérův zákon celkového proudu
– Magnetické pole v látkách
(diamagnetika, paramagnetika, feromagnetika)
• Výpočty magnetických obvodů
–
–
–
–
Základní veličiny a vztahy
Formální analogie magnetických a elektrických obvodů
Metody analýzy magnetických obvodů
Přítažná síla elektromagnetu
• Magnetické obvody s permanentními magnety
• Transformátory
– Princip a konstrukce
– Ztráty v transformátoru
324
108
Aplikace elektromagnetických jevů
325
Elektromagnetické jevy
• 1. Maxwellova rovnice:
pohyb elektrického náboje –> elektrický proud –> magnetické pole
• 2. Maxwellova rovnice:
změna magnetického pole –> indukce –> elektrické pole
VYUŽITÍ:
• elektrické stroje (generátory, motory, transformátory)
• elektrické přístroje (jističe, stykače,...), • elektromechanické měřicí přístroje
• elektroakustické měniče (reproduktory, sluchátka, mikrofony)
• čidla, snímače (senzory, záznamové a čtecí hlavy, ...)
• paměťová média (disky, pásky, …)
326
Aplikace magnetických obvodů
Elektromagnetické zaostřování optiky CD/DVD mechaniky
327
109
Aplikace magnetických obvodů
328
Aplikace magnetických obvodů ‐ HDD
Pevný disk – HDD
• záznamová vrstva
• motor
• hlavy
• vystavovací mechanismus
329
Magnetické pole
• Zdrojem magnetického pole je elektrický proud (např. v cívce) nebo zmagnetovaná látka (permanentní magnet)
• Magnetické pole je charakterizováno vektory H a B
BH
• Magnetické pole zobrazujeme pomocí indukčních čar
• Indukční čáry jsou uzavřené křivky  mag. pole je nezřídlové
H
proudovodič
permanentní magnet
330
110
Intenzita a indukce magnetického pole
Tok vektoru B uzavřenou plochou je nulový S
J
div B  0
J
S
Siločáry mag. pole nemají zřídla  jsou spojité
B
B
S
Vlivem vnějšího pole s intenzitou H dochází k magnetizaci magnetického materiálu, vyjádřené vektorem magnetizace M.
Výsledné pole je součtem magnetizace a vnějšího pole.
Vektor H (vnější pole)
Vektor M (mag. orientace látky)
B  0  H  M   0 r H
0  4π 107  H/m 
B   H  ‐ permeabilita
Vektor B (součet)
331
Maxwellovy rovnice (diferenciální i integrální tvar)
J
1. M.r. – zobecněný Ampèrův zákon celkového proudu
rot H  J 
D
t
 Hd  I 

D
t
d
dt
H
Pohybující se náboj (elektrický proud) je zdrojem magnetického pole H
Elektromagnety, motory, hlavy záznamových zařízení (zápis), antény (vysílání), ...
B
t
2. M.r. – Faradayův indukční zákon
rot E  
B
t
d
 Ed   dt
E

Časová změna magnetického pole indukuje elektrické pole E
Cívky a transformátory, generátory, hlavy záznamových zařízení (čtení),
antény (příjem), ... 332
Použití Ampèrova zákona celkového proudu
I
uzavřená křivka l
r
  2πr
H
 Hd  I

H  I
PRAVIDLO VÝVRTKY
Orientace siločar magnetického pole
vyvolaného elektrickým proudem
H
I
2πr
333
111
Magnetický indukční tok, indukčnost
Magnetický indukční tok
Indukčnost cívky
   B  dS (Wb)
L
S

I
(H)
Pro cívku s N závity platí vztah:
L
Pokud je B konstantní po celé ploše S a je na ni kolmá, pak:
  BS


N
L
 N

I
I
indukční tok (Wb)
spřažený indukční tok (Wb)
počet závitů cívky (‐)
indukčnost (H)
334
Magnetické pole v látkách
Orbitální model atomu
• Atomy mají vlastní magnetický moment, daný vektorovým 
součtem orbitálních a spinových n l
magnetických momentů  jádra a elektronů. Vložením látky do vnějšího magnetického pole dochází k interakci – magnetizaci látky.
S
• Působením vnějšího pole s intenzitou H0 vzniká magnetizace M
(m je magnetická susceptibilita)
M H
m
0
• Výsledné pole je vektorovým součtem vnějšího pole H a pole zmagnetované látky M
B  0  H 0  M   0  H 0   m H 0   0 1   m  H 0



r
335
Magnetické vlastnosti látek
Podle velikosti susceptibility m jsou látky
B
• diamagnetické m<0 (voda, dusík, měď)
• paramagnetické m>0 (kyslík, hliník)
přitom abs. velikost m je velmi malá (10‐8 až 10‐3)
a proto tyto látky magnetické pole příliš neovlivňují Pro dia‐ a paramagnetika platí:   1
 0 1   m  H 0



r
r
V některých krystalických látkách dochází ke vzniku magnetických domén, které se snadno orientují ve směru vnějšího pole – feromagnetismus
• feromagnetika mají velmi vysokou relativní permeabilitu
• z čistých látek: železo, kobalt, nikl, (gadolinium)
• jev zaniká při ohřevu látky nad Curieovu teplotu C
(Fe 768 °C, Ni 358 °C, Co 1115 °C, Gd 20 °C)
• používají se i feromagnetické slitiny (dokonce i z látek, které samy jsou nemagnetické)
• podobné jevy:
‐ ferimagnetismus
(u keramických magnetických látek – feritů)
‐ antiferomagnetismus (např. u chrómu)
336
112
Feromagnetika
•
•
•
Působením vnějšího mag. pole H vzniká silná magnetizace M feromagnetika
Dalším zvyšováním vnějšího pole rychle dochází ke stavu nasycení
  f (H )
Permeabilita není konstantní  nelineární BH charakteristika
B
Fe
B f  0  H 0  M  
 0 r H 0
Rovnoběžky
(směrnice je 0)
nasycený
stav
vzduch
B v  0 H 0
0
H0
μ rf
H
Permeabilita = podíl B/H

d
0
statická permeabilita

B
H
dynamická permeabilita
d 
dB
dH
H
337
Feromagnetika
•
•
•
Hodnota indukce B závisí nejen na vnějším poli H, ale i na předchozím stavu
Při střídavém přemagnetování tak dostáváme hysterezní smyčku
Průsečíky s osami H a B jsou:
– remanentní indukce
– koercitivní intenzita
Princip odmagnetování
zmenšujícím se proměnným polem
338
Materiály magneticky tvrdé a měkké
• Pro změnu uspořádání magnetických domén je třeba dodat energii
• Při působení střídavého pole na feromagnetika dochází ke ztrátám projevujícím se oteplením, jsou úměrné ploše BH křivky
WH   H dB
• materiály mag. tvrdé (velké WH ‐ široká BH křivka) se nesnadno přemagnetují – používají se pro permanentní magnety
• materiály mag. měkké (malé WH ‐ úzká BH charakteristika) mají malé hysterezní ztráty a proto se používají pro magnetické obvody se střídavým napájením (transformátory, elektrické točivé stroje na střídavý proud)
339
113
Základní veličiny a vztahy magnetického pole
•
Intenzita magnetického pole H (A/m)
‐ zdrojem pole je proud
•
Magnetická indukce B (T)
‐ ovlivnění pole prostředím
Um (A)
U m   Hd
•
7
 H/m 
Magnetický indukční tok  (Wb)
   B  dS
Permeabilita (vlastnost prostředí)
  0 r , 0  4π 10
Magnetické napětí

B  H
•
•
S
•
Indukčnost cívky L (H)
(N – počet závitů)
L
 N

I
I
340
Příklad magnetického obvodu ‐ relé
• magnetické pole vzniká v cívce
protékané proudem
• magnetický tok se vede jádrem
(pólovými nástavci)
• magnetické pole se tak koncentruje ve vhodně tvarovaném pracovním prostoru (vzduchová mezera)
• magnetický obvod nemusí mít vzduchovou mezeru, například
u transfomátoru
341
Příklad magnetického obvodu – systém měřidla
• magnetické pole je buzeno permanentím magnetem
• magnetický tok se vede pólovými nástavci do pracovního prostoru
• v pracovním prostoru se pohybuje otočná cívka spojená s ručičkou
• na cívku působí dvě síly ‐
Lorentzova síla (vodič v mag. poli) a mechanická síla pružin
• výchylka měřidla je přímo úměrná velikosti proudu
342
114
Magnetický obvod – formální analogie
Elektrický obvod
Magnetický obvod
elektrický proud
I (A)
magnetický indukční tok
 (Wb)
elektrické napětí
U (V)
magnetické napětí
Um (A)
elektrický odpor
R ( )
magnetický odpor
Rm (1/H)
Elektrický obvod
R
I
Rm 
Magnetický obvod
1
 S
1 
S

U mn  N  I
U  I R
U m    Rm
343
Magnetický obvod – analogie s elektrickým obvodem: základní zákony
Hopkinsonův zákon:


U m    Rm
v
f
2. Kirchoffův zákon:
U
U mn  N  I
U mn  U mf  U mv
Větvený obvod
1

m
0
1. Kirchoffův zákon:
1  2    0
1 2
2
Um
Umn

  0
Ampérův zákon:
U m   H d  H  
Um
344
Magnetický obvod
Při výpočtech uvažujeme následující zjednodušení:
• Vektor B je všude kolmý k příčnému řezu S magnetického obvodu a je homogenní, potom lze psát  = B·S
• Zanedbáme rozptylové toky  r
• Efektivní průřez vzduchové mezery je větší než průřez feromagnetické části obvodu, což však při výpočtu zanedbáme.
• Neuvažujeme hysterezi
• Uvažujeme jedinou dráhu – střední siločáru
magnetický tok 
S v  Sf
rozptylový magnetický tok r
345
115
Řešení magnetických obvodů
Feromagnetické materiály
Nelineární obvody
… metody řešení nelineárních obvodů
Analýza
U zadaného obvodu hledáme velikosti:
• magnetických toků 
• magnetických napětí Um
v jednotlivých částech (větvích),
z toho pak určujeme:
• magnetickou indukci B
• indukčnost cívky L
• přitažlivou sílu elektromagnetu F
Syntéza
Navrhujeme magnetický obvod tak, abychom zabezpečili požadovanou:
• magnetickou indukci B v mezeře
• přítažnou sílu elektromagnetu F
• indukčnost cívky L
346
Magnetický obvod – výpočty z odporů
U mn  N  I
Magnetické napětí zdroje
je rovno součtu magnetických napětí v obvodu, většinou složeného z feromagnetika
a vzduchové mezery
U mn  U mf  U mv
Magnetické napětí určíme z Hopkinsonova zákona pomocí toku  a mag. odporu Rm
U mf  Φ f  Rmf

Rmf 
U mv  Φ v  Rmv
f
Rmv 
0 rf Sf
Φ f  Bf Sf
v
0 S v
Φ v  Bv S v
U nerozvětvených obvodů je
tok v celém obvodu stejný, f = v = 
  Bf Sf  Bv S v
347
Magnetický obvod – výpočty z intenzit
U mn  N  I
Magnetické napětí zdroje
je rovno součtu magnetických napětí v obvodu, většinou složeného z feromagnetika
a vzduchové mezery
U mn  U mf  U mv
Magnetické napětí určíme z intenzity pole pomocí Ampérova zákona
U mf  H f   f

U mv  H v   v
kde l je střední délka siločáry
H f  Bf  z grafu
Hv 
Bv
0
U nerozvětvených obvodů je
tok v celém obvodu stejný, takže   Bf Sf  Bv S v
348
116
Magnetické obvody – postup řešení

Z Ampérova zákona:
 H  d  U
v
Integrační dráha je totožná
se střední siločárou
m

f
U mf  H f  f 

Bf
0  r
 f U mv  H v  v 
Bv
0
v
1. alternativa
NI  U mn  U mf  U mv
2. alternativa
U mf    Rmf
Z Hopkinsonova zákona:
Rmf 
f
U mv    Rmv
Rmv 
  Bf  Sf
0  r Sf
v
0 S v
  Bv  S v
349
Magnetický obvod – výpočty
Vztah mezi B a H je u magnetik nelineární, takže je třeba určit pracovní bod magnetika z grafu.
Bf  f  H f 
Příklad: ocelolitina
pro vytvoření indukce B = 1 T
je potřebná intenzita H = 370 A/m
350
Příklad 1
Jednoduchý magnetický obvod
Cívka, která je navinuta na toroidním jádře s ocelolitiny má N=200 závitů a protéká jí proud I = 1 A. Určete magnetický tok jádrem a indukčnost L
cívky.
Střední průměr jádra Ds = 120 mm, průřez S = 4 cm2.
U mn  NI  200 A
Cívka je zdrojem magnetického napětí: které se rozloží podél siločáry v magnetickém obvodu. Délka siločáry: Protože je průřez obvodu konstantní po celé délce siločáry, je f
intenzita:
U mn
200
Hf 
f

0,377
 530 A/m 1,3
 πDS  0,377 m
dynamový plech
1,1
Z magnetizační křivky materiálu určíme pro Hf = 530 A/m hodnotu indukce:
B  1,12 T 0,9
transformátorový plech (4%Si)
f
Magnetický tok obvodem je:
  Bf  S  1,12  4 104  448 106 Wb
Indukčnost této cívky je:
L
N  200  448 10

I
1
6
ocelolitina
B [T] 0,7
0,5
litina
0,3
 89, 6 mH
0,1
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
H [A/m]
351
117
Příklad 2
Analýza magnetického obvodu s mezerou
Na jádře z trafoplechu je navinuta cívka se 450 závity.
Určete budicí proud I potřebný k dosažení magnetické
indukce ve vzduchové mezeře BV = 0,8 T a indukčnost
cívky pro tento proud.
Rozptylové toky zanedbejte.
s
v
Rozměry jádra v (mm):
a = 300, b = 200, t = 20, h = 30, lv = 1, N = 450 záv.
 f  2  a  2t    v  2  b  2t   4 
 2  a  b  4t   π t   v
2π r
4

 f  2  0,3  0, 2  4  0, 02   0, 02π  0, 001 
 0,902 m
S  t  h  600 mm2
352
Příklad 2
… dokončení
Potřebný magnetický tok obvodem je =194 A
  BV  S  0,8  600 106  480 106 Wb

B  Bv  Bf
Tok je konstantní, S také, proto
Z BH charakteristiky jádra zjistíme Hf:
H f  Bf  0,8 T   215 A/m
=637 A
HV 
Hv určíme:
dynamový plech
1,1
transformátorový plech (4%Si)
0,9
0,3
0,1
100
200
300
0,8
 636620 A/m
4π 107
 193,9  636, 6  830,5 A
I
litina
0

U mn  215  0,902  636620  0, 001
ocelolitina
0,5
0
Magnetické napětí (2. K.z.) NI  U mn  U mf  U mv  H f  f  H v  v
1,3
B [T] 0,7
BV
400
500
600
700
800
900
U mn 830,5

 1,846 A
N
450
L
H [A/m ]
 N  450  480 106


=117 mH
I
I
1,846
353
Příklad 3
Analýza magnetického obvodu s mezerou

Odvoďte výraz pro výpočet indukce Bv ve vzduchové
mezeře toroidu. Rozptylové toky zanedbejte.
Tok obvodem je konstantní
v
  BS
Plocha S je konstantní po délce siločáry, proto i B je konstantní.
B  Bf  Bv  0  rf H f  0 H v
Magnetické napětí zdroje je podle II. K.z.:
U mn  NI  U mf  U mv  H f  f  H v  v

z toho:
B
0  rf
B  0
f 
B
0
NI
f
 rf
 v
v 

B  f
 v 

0  rf

f
Umf
Umn

Rmf
Umv
Rmv
Poznámka: při dostatečné vzduchové mezeře se obvod linearizuje:
f
rf
  v
B  0
NI
v
354
118
Indukčnost cívky s jádrem
Definice: Indukčnost cívky
L

I
(H)
Pro cívku s N závity platí vztah:
L
N  NBS N  HS


I
I
I
H   NI
Intenzita H je z A.z.:
 N

I
I
Konstanta indukčnosti AL
(v nH/z2)
L
L


N
L
H
Rm
Materiál – druh feritu
N  NIS N 2  S N 2


 AL N 2
I

Rm
indukční tok (Wb)
spřažený indukční tok (Wb)
počet závitů cívky (‐)
indukčnost (H)
intenzita mag. pole (A/m)
magnetický odpor (1/H)
Rm 

S
355
Příklad 1
Analýza magnetického obvodu
Cívka se 100 závity je navinuta na toroidu z elektrotechnické oceli E11. Střední průměr toroidu je 80 mm, jeho průřez je 12 mm2. Určete indukčnost této cívky pro proudy I = 1 A a I = 2 A.
Veličina
vztah
I = 1 A
I = 2 A
Magnetické napětí zdroje
U mn  NI
100 A
200 A
Intenzita mag.
pole
U
H f  mn
f
398 A/m
796 A/m
Indukce
Bf  H f  z grafu
1,2 T
1,38 T
Mag. indukční
tok
  Bf S
14,4 uWb
16,6 uWb
Indukčnost
L
1,44 mH
0,828 mH
N
I
S  12 106 m 2
 f  πDs  0, 2513 m

Indukčnost L je funkcí proudu  L s jádrem je nelineární prvek!
356
Příklad 1
Analýza magnetického obvodu
Cívka se 100 závity je navinuta na toroidu z elektrotechnické oceli E11. Střední průměr toroidu je 80 mm, jeho průřez je 12 mm2. Určete indukčnost této cívky pro proudy I = 1 A a I = 2 A.
Ocel E11
B(T)
1,5
Veličina
vztah
I = 1 A
I = 2 A
1,4
1,38 T
Magnetické 1,3
U mn  NI
100 A
200 A
1,2 T
1,2
napětí zdroje
1,1
U
Intenzita mag.
1
H f  mn
398 A/m
796 A/m
pole 0,9
f
0,8
Bf  H f  z grafu 1,2 T
0,7
Indukce
1,38 T
0,6
0,5
Mag. indukční
14,4 uWb
16,6 uWb
  Bf S
tok 0,4
0,3
N

0,2
L
Indukčnost
1,44 mH
0,828 mH
0,1
I
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Indukčnost L je funkcí proudu  L s jádrem je nelineární prvek!
H (A/m)
S  12 106 m 2
 f  πDs  0, 2513 m

357
119
Analýza nelineárního magnetického
obvodu různými metodami
Příklad 2
Na jádře z oceli E11 je navinuta cívka se 450 závity. Cívkou se 450 závity protéká proud 2 A. Určete indukci v mezeře, magnetický tok a magnetická napětí v mezeře a v jádře.
Rozptylové toky zanedbejte.
s
v
Rozměry jádra v (mm):
a = 300, b = 200, t = 20, h = 30, lv = 1
U mn  NI  450  2  900 A
Ekvivalentní obvod:
Umf
Umn
S  t  h  600 mm 2

 f  2  a  2t    v  2  b  2t   4 
Umv
Rmf
 2  a  b  4t   π t   v
Rmv
2π r
4
 f  2  0,3  0, 2  4  0, 02   0, 02π  0, 001
 0,902 m
358
Analýza nelineárního magnetického
obvodu ‐ linearizace
B(T) 1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Ocel E11
Příklad 2
Odhadneme pracovní oblast a linearizujeme:
f 
B
1

 4, 2 103 H/m
H 240


0
100 200
Rmf 
v
Rmv 

300 400 500 600 700
800 900 1000
H (A/m)
U mf    Rmf  192 A
0,902
f

 3,58 105 H -1
f Sf 4, 2 103  600 106
0 S v

U mv    Rmv  708 A
1103
 13, 26 105 H -1
4π107  600 106
B
U mn
900

 534 106 Wb
Rmv  Rmf 13, 26 105  3,58 105

 0,89 T
S
Pracovní bod leží v odhadnuté pracovní oblasti.
Chyba je způsobena přímkovou náhradou BH charakteristiky – hrubý odhad.
359
Analýza nelineárního magnetického
obvodu ‐ /Um charakteristika
Příklad 2
Hf (A/m)
0
50
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
Bf (T)
0
0,15
0,53
0,9
1,1
1,2
1,265
1,32
1,35
1,38
1,4
1,42
U mf  H f  f  H f  0,902  A 
Umf (A)
0
45,1
90,2
 f (Wb)
0
90
318
 f  Bf Sf  Bf  600 106  Wb 
180,4 270,6 360,8
540
660
720
451
759
541,2 631,4 721,6
792
810
828
811,8
902
840
852
/Um = charakteristika nelineárního odporu konkrétního feromagnetického obvodu.
Bf(T)
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
f
(Wb)
900
800
700
B/H charakteristika
/Um charakteristika
600
500
f
400
Umf
300
200
Rmf
100
0
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Hf (A/m)
0
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
Umf (A)
360
120
Analýza nelineárního magnetického
obvodu ‐ postupné zjednodušování

(Wb)
Příklad 2

900
800
700
679 106
600
6
540 10500
400
Součet Rmf + Rmv
300
200
100
0

900
0
100
200
300
180
400
500
600
700
800
720
900
1000
Um (A)
Vyneseme charakteristiku odporu Rmv:
Rmv 
v
0 S v

1103
 13, 26 105 H -1
4π107  600 106

U mn
900

 679 106 Wb
Rmv 13, 26 105
  540 106 Wb
Z grafu zjistíme pro Umn tok :
Chyba je způsobena grafickou konstrukcí a odečítáním hodnot z grafu – hrubý odhad.
B
 540 106

 0,9 T
S 600 106
U mf  180 A
U mv  720 A
361
Analýza nelineárního magnetického
obvodu – metoda zatěžovací přímky

 (Wb)
Příklad 2
900
800
679 106
540 106
700
600
500
400
300
200
100
Théveninův zdroj s napětím naprázdno
Umn=900 A a tokem nakrátko
k 
U mn
900

 679 106 Wb
Rmv 13, 26 105
Chyba je opět způsobena nepřesností grafické metody.
0
0
100
200
180
300
400
500
600
700
800
900 1000
900
Um (A)
Vyneseme zatěžovací přímku
lineárního magnetického zdroje
Průsečík určí pracovní bod Umf, :
U mf  180 A
U mv  U mn  U mf  900  180  720 A
B
 540 10 6

 0,9 T
S 600 106
362
Analýza nelineárního magnetického
obvodu – numerická metoda
Příklad 2
Předpokládáme konstantní tok z = v =  a při stejném průřezu Sz=Sv je Bv = Bf = B

U mn  U mv  U mf  H v  v  H f  B   f
Hv 
B
B
0
0
 v  H f  B   f  U mn  0
H f  f  B  ‐ nelineární funkce.
Interpolujeme např. polynomem 3. stupně:
Vandermontova matice:
 1 0,15 0,152

2
 1 0,53 0,53
 1 0,9 0,92

1,12
 1 1,1
0,153   a0   50 
   

0,533   a1   100 


0,93   a2   200 
   

1,13   a3   300 
Hf (A/m)
Bf (T)
50
100
200
300
0,15
0,53
0,9
1,1
H f  B   a0  a1 B  a2 B 2  a3 B 3
50  a0  a1 0,15  a2 0,152  a3 0,153
100  a0  a1 0,53  a2 0,532  a3 0,533
200  a0  a1 0,9  a2 0,92  a3 0,93
300  a0  a11,1  a21,12  a31,13
363
121
Analýza nelineárního magnetického
obvodu – numerická metoda
 1 0,15 0,152

2
 1 0,53 0,53
 1 0,9 0,92
 1 1,1
1,12

0,153   a0   50 
   

0,533   a1   100 


3 




a
200
0,9
2
   

1,13   a3   300 
Příklad 2
 a0   28,54 
  

 a1    164, 6 
 a2   177,8 
  

 a3   229, 6 
řešením
H f  B   28,54  164, 6 B  177,8 B 2  229, 6 B 3
Hledaný interpolační polynom:
v
Dosazením do obvodové rovnice:
0
B  H f  B   f  U mn  0
3
110
B   28,54  164, 6 B  177,8 B 2  229, 6 B 3   0,902  900 
4π 107
 207,1B 3  160, 4 B 2  944,3B  874, 26  0
Nelineární homogenní obvodová rovnice, kterou je třeba vyřešit:
f  B   207,1B3  160, 4 B 2  944,3B  874, 26  0
364
Analýza nelineárního magnetického
obvodu – numerická metoda
Příklad 2
f  B   207,1B3  160, 4 B 2  944,3B  874, 26  0
Řešíme např. Newtonovou metodou
B k 1  B k     k 

    207,1B   160, 4B   944,3B   874, 26
   
621,3B   320,8 B   944,3
f   B  
3
k
f B k 
2
k
k
2
k
k
k
k
B  0,9029 T
k
B(k)
(k)
0
1
‐0,09378
1
0,906218
‐0,00334
2
0,902882
‐0,0000039
3
0,902878
‐5∙10‐12
  B  S  0,9029  600 106  541, 7 106 Wb
Magnetická napětí:
U mv  H v  v 
Bv  v
0

0,9029 1 103
 718,5 A
4π 107
U mf  U mn  U mv  900  718,5  181,5 A
Chyba je způsobena především použitou aproximací BH charakteristiky.
365
Přítažná síla elektromagnetu
Feromagnetické jádro
Energie magnetického pole (v Joulech) je I
S
l
W
1
1 B
B  H V  B   V
2
2 
Energie magnetického pole
v objemu V ve vzduchu
W0 
1 B2
V
2 0
Energie magnetického pole
v objemu V ve feromagnetiku
Wf 
1 B2
V
2 0  rf
V  S
F
Pohyblivá kotva
Energetický rozdíl odpovídá vykonané práci A:
W0  Wf  W  A 

2
1 B 2V
2 0
2
1 B V 1 B S

2 0
2 0

1
1 
 rf



A  F  
Síla působící na kotvu:
F
A

 F
1 B2 S
2 0
366
122
Závislost síly elektromagnetu na velikosti mezery
l
F

S
N2

L
Rmf  Rmv
Wm   
N2
f
0 r S
1 2 1
LI 
2
2

Síla působící na kotvu:

0 S
N 2I 2


0 r S 0 S
f

0 r SN 2 I 2
2   f  r 
F
dWm
d
F 
d  0 r SN 2 I 2  0  r2 SN 2 I 2


d  2   f   r   2   f  r 2
367
Závislost síly elektromagnetu na velikosti mezery
Příklad 3
Síla, kterou je kotva přitahována závisí na
vzduchové mezeře  (pro zjednodušení uvažujeme konstantní I a konstantní r)
l
F
1500

F
0 r2 SN 2 I 2
2
2   f   r 
Příklad
F (N)
1000
S
S  50  50 mm 2
 f  800 mm
500
N  200
I  2A
 r  2000
0
0
1
2
 (mm)
3
4
5
368
Příklad 4
Výpočet síly elektromagnetu
F
Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E11 je složeno ze dvou
částí. Jak velkou silou F jsou drženy obě části pohromadě, je‐li průřez
prstence S = 4 cm2, střední průměr Ds=0,177 m a protéká‐li cívkou s N
=210 závity proud I = 0,8 A?
Řešení :
NI
f
 f  πDs  π  0,177  0,565 m
U mn  NI  H f  f  H f 
Hf 
210  0,8
 302 A/m
0,556
z grafu pro H f  302 A/m
odečteme Bf  1,1 T
F 2
B2 S
1,12  4 104
2
 385 N
2 0
2  4π 107
Ocel E11
B(T) 1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900 1000
H (A/m)
369
123
Obvody s permanentním magnetem
• magnetické pole je buzeno permanentním magnetem – není potřeba přivádět elektrický proud
• zdrojem pole ovšem zůstává pohybující se náboj
(pohyb elektronů a protonů v atomech)
POUŽITÍ • upevňovací systémy
• magnetické separátory
• NMR
• magnetická ložiska
V magnetických obvodech:
• reproduktorů a sluchátek
• měřicí přístrojů
• stejnosměrných, synchronních a
krokových motorků
• dynam
• elektronek (magnetron)
• …
370
Příklady aplikace magnetických obvodů s PM
DC motorky pro různé aplikace
Reproduktory
Upínací břemenový magnet:
‐ rozměry 30x19x20 cm
‐ hmotnost 80 kg
‐ zvedaná hmotnost až 2400 kg
‐ magnetický obvod se „zapíná“ pákou
371
Příklady aplikace magnetických obvodů s PM
Nukleární magnetická rezonance (NMR)
‐ héliový supravodivý PM, B = 21,2 T
Magnetron – generátor mikrovln
2,5 GHz, 1 kW (mikrovlnné trouby)
372
124
Permanentní magnety
Materiály, výroba:
• slitiny kovů (slévání, lisování)
• feritové materiály (ferity)
(oxidy kovů Fe, Mn, Zn, … ‐ lisování, spékání keramiky)
Hotový výrobek – magnet ‐ se musí zmagnetovat
• na konci výrobního procesu
• během výroby (při slévání nebo mokrém lisování)
PM využívají demagnetizační části BH charakteristiky
PM ze slitiny kovů
PM feritový
373
Pracovní bod PM
Pracovní bod permanentního magnetu (Bp, Hp) leží na demagnetizační části hysterezní smyčky.
Pro obvody s PM se optimalizuje vzhledem k minimální spotřebě –
minimálnímu objemu V magnetického materiálu.
B (T)
„Magnetický výkon“ Pm je v analogii k elektrickému P = U ∙I
Pm  U m     H p  p  Bp Sp   Bp H pVp
Bp opt.
BHmax
Je zřejmé, že pro zvolený Pm bude
nejmenší objem Vp pro maximální BH
H (A/m)
Bp
Hp
Hp opt.
0
Geometricky jde o nalezení největší plochy BHmax (tzv. energetický součin)
a tím se určí optimální pracovní bod permanentního magnetu.
374
Materiály pro PM
Materiál
kobaltová ocel
Br (T)
Hc(kA/m)
BHmax (kJ/m3)
Poznámka
0,95
18
4.5
slitina 1)
slitina AlNiCo
1,25
45
15
slitina 2)
slitina Nipermag
0,55
55
8
slitina 2)
izotropní ferity
0,23
130
20
keramika 3)
anizotropní ferity
0,35
240
25
keramika 4)
SmCo5
0,95
670
160 – 195
slitina 5)
Sm2Co17
1,1
725
190 – 240
slitina 6)
NdFeB
1,2
900
225 – 280
slitina 7)
Anizotropní ferit
Poznámky:
1)
klasický materiál první třetiny 20. století
2)
materiál používaný během 2. svět. války
3), 4)
klasické ferity
5), 6), 7) moderní materiály z kovů vzácných zemin
5), 6)
samarium + kobalt
7)
neodym + železo + bór
375
125
Obvod s permanentním magnetem

U m    Rm
PM
Rm 
1 
S
Permanentní magnet jako zdroj Umn:
U mn   H p  p
Sp
  Bp S p
Bp a Hp spolu souvisí – jde o nelineární zdroj!
lp
PM
Bp  f  H p 
376
Obvod s permanentním magnetem
Úbytky magnetického napětí na pólových
nástavcích lze často zanedbat, Rmf = 0

Umn
Umv
PM
Rmv
  Bp  Sp  Bv  S v
U mn  U mv  0
 H p  p  H v v  0
Zadány jsou:
‐ rozměry mezery ‐ Sv, lv
‐ požadovaná hodnota Bv
‐ pracovní bod PM (Bp, Hp)
p 
Máme určit:
‐ rozměry PM ‐ Sp, lp
 H v  v  Bv  v

Hp
0 H p
Sp 
Bv S v
Bp
377
Příklad 5
Obvod s permanentním magnetem
Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky lp a plochy Sp. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě 20 °C. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte.
S v  3 cm 2 ,  v  0,5 cm, S p  8 cm 2 ,  p  3 cm
 p   v  Bp  S p  Bv  S v
 Bv 
p
Bp  BHSppp 240 mT
8
85 kA/m
 Bp
Sv
3
8
Bv  Bp  0, 64 T
3
Bp  2,8274 10 H p
Bv
 0 H p  p
  Bv 
0 v
v
-6
v

U mn   H p  p  U mv 
mv
mn
Bv 
Bp  S p
Sv

 0 H p  p
v
 Bp 
 0  p S v
 v Sp
H p  2,8274 10-6 H p
mv
378
126
Příklad 6
Obvod s permanentním magnetem
Máme v mezeře 2×2 cm o délce 2,5 mm vytvořit pole s B = 0,4 T. Jaké jsou potřebné rozměry PM (Sp, lp) z feritu? Vliv feromagnetika a rozptylové toky zanedbáme.
PM
Odhad optimálního pracovního bodu z Br a Hc:
Anizotropní ferit
Br

Bp
Umv
Rmv
Um
HC
BS
0, 4  4 104
Sp  v v 
 7,8 cm 2
Bp
0, 205
Hp
 Bv  v
0, 4  2,5 103
p 

 7, 6 mm
0 H p 4π 107  -105  103
379
Transformátor
•
•
•
•
•
Transformátor je netočivý elektrický stroj sestávající ze dvou (nebo i více) vinutí magneticky vázaných (tj. sdílejících magnetický tok)
Vazba toku je zprostředkována magneticky vodivým jádrem
Energie se mezi vinutími přenáší formou elektromagnetického pole
Transformátory slouží nejčastěji ke změně úrovně U a I (transformaci) a také ke galvanickému oddělení obvodů
Pracují na indukčním principu, proto transformují jen časově proměnné veličiny
380
Konstrukce běžného transformátoru
Magnetický obvod
(jádro z magneticky měkkého materiálu)

Vinutí
(primární, sekundární)
381
127
Další konstrukce transformátorů
Toroidní transformátor
‐ nejlepší vlastnosti
‐ složitá výroba
Transformátor s jádry C
382
Princip transformátoru

U mn1  N1i1  t 
U mn2  N 2i2  t 
Stav naprázdno (I2=0) Stav při zatížení (I2>0) u1  t   U1m sin t 
U mn1  U mn2    Rm  N1i1M  t  =konst.
Primárem teče tzv. magnetovací proud i1M:
1
1 U1m cos t 
u1  t  dt 
L1 
L1

U1m cos t 
  t   N1  t   L1i1M  t  
N1i1  t   N 2i2  t   N1i1M  t 
i1M  t  
Pro malý Rm je i magnetovací
proud i1M zanedbatelný:

Indukované napětí na sekundárním vinutí:
d  t  N 2
N
u2  t   N 2

U1m sin t   2 u1  t 
dt
N1
N1
u2  t  
N2
u1  t 
N1
i1  t  
N2
i2  t 
N1
383
Výpočet transformátoru
Při harmonickém napájení jsou i magnetická
indukce a tok harmonickou funkcí času:
B  t   Bm sin t 
  t   B  t   S  Bm sin t   S
Na vinutí (kterémkoliv) se indukuje napětí:
d  t 
u t   N
 N  Bm    S  cos t 

dt
Um
Transformátorová rovnice
Z této rovnice lze pro transformátor spočítat potřebný počet závitů vinutí:
N
U
4, 44 fBm S
 záv./V 
Platí jen pro harmonické průběhy!
Efektivní hodnota indukovaného napětí je:
U
U m NBm 2πfS

 4, 44  f  N  Bm  S
kv
2
N
U
Bm
f
S
počet závitů
efektivní hodnota napětí
maximální mag. indukce
kmitočet
průřez jádra (mag. obvodu)
V
384
128
Výkonové ztráty v transformátoru
Magnetovací proud je fázově posunut o /2 oproti napětí a nekoná práci.
Ztráty v transformátoru vznikají jako:

• ztráty ve vinutí (nejčastěji měděném) Pv
Pv  Rv I 2  v I 2
 v Sv
• ztráty v jádře
– ztráty přemagnetováním (hysterezní) Ph
– ztráty vířivými proudy Pf
Ph  fWhV  fV  H dB


Pf  Rf I f2 
If
Uf 
If 
W
Rostou s f, klesají s plochou hyst. s.
Sf
Wh   H dB (J/m3 )
W
Rostou s I2, lze zmenšit zvýšením S
1  2πfBm Sf 


Rf  M

2
W
Rostou s f2, klesají s Rf
d
dB
 Sf
dt
dt
U f Sf dB

Rf Rf dt
Ztráty vířivými proudy lze zmenšit:
• skládáním jádra z M izolovaných plechů
• zvětšením Rf materiálu
(ocel + 4 % Si, ferity, prášková jádra)
385
Autotransformátor a regulační transformátor
• Autotransformátor nemá vinutí galvanicky oddělena, ale zapojena sériově.
Konstrukce vychází menší oproti transformátoru stejného výkonu
Autotransformátor
• Regulační transformátor
je proveden nejčastěji jako autotransfomátor s jezdcem, kterým se mění výstupní napětí
Regulační autotransformátor
386
Konec
Kolejní 2906/4
612 00 Brno
Tel.: 541 149 521
Fax: 541 149 512
e‐mail: [email protected]
387
129
Download

Pracovní sešit k přednáškám