Vysoké učení technické v Brně
Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií
Kolejní 2906/4
612 00 Brno
http://www.utee.feec.vutbr.cz
ELEKTROTECHNIKA 1
(BEL1)
Blok 5
Nelineární prvky a obvody
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
UTEE FEKT VUT
Obsah
• Nelineární prvky, jejich charakteristiky a vlastnosti
– Statický a dynamický odpor a vodivost
– Malý a velký signál
– Změna spektra signálů
• Náhradní funkce:
– Interpolace
– Aproximace
– Extrapolace
• Metody řešení nelineárních obvodů
–
–
–
–
Analytické
Linearizace + analytické
Grafické (postupné zjednodušování, metoda zatěžovací přímky)
Numerické (iterační metody - půlení intervalu, Regula falsi,
Newtonova metoda)
3
Nelineární prvky a obvody
Obecný nelineární rezistor
i
u
u = f (i )
• mezi dominantními obvodovými
veličinami existuje nelineární
vztah
• pokud je v obvodu alespoň jeden
nelineární prvek, je celý obvod
nelineární
• nelineární obvod se popisuje
obecně nelinárními rovnicemi
i = f (u )
4
Nelineární obvody
i(t)
NESETRVAČNÉ
R
u1(t)
~
Nelineární (obyčejné) rov.
i(t)
SETRVAČNÉ
R
u1(t)
C
~
Nelineární diferenciální rov.
Schematické značky nelineárních prvků
5
Vlastnosti nelineárních prvků
∆u du ( iP )
=
=
Rd ( P ) lim
∆i →0 ∆i
di
P – pracovní bod (up, ip)
∆i di ( uP )
1
=
=
=
G
P
lim
d( )
∆u →0 ∆u
du
Rd ( P )
∆ – okolí pracovního bodu
i
i
tečna
u
statický odpor RS (vodivost GS)
P
iP
dynamický odpor Rd (vodivost Gd)
∆i
uP
RS ( P ) =
iP
∆u
0
uP
u
GS ( P=
)
iP
1
=
uP RS
6
Nelineární obvody
• Platí
– Kirchhoffovy zákony
– Ohmův zákon
(pozor – R resp. G není konstanta!)
• NEPLATÍ princip superpozice
7
Charakteristiky nelineárních prvků
i = f(u) ….. ampérvoltová charakteristika
monotónní
stabilizační dioda
dioda
nemonotónní
tyristor
tunelová dioda
TYP N
elektrický oblouk
TYP S
oblast negativního (záporného) dynamického odporu
8
Nelineární obvody – malý a velký signál
5
=
i 0,1 ⋅ u
Rn
2
3
2
3
2
P
1
0
0
Malý signál – nelinearita
se prakticky neuplatní
(u~ << U0)
4
i (A)
i (A)
4
5
1
u~
2
4
u (V)
6
8
0
0
1
2
6
3
t (s)
4
5
6
i(t)
5
u~
t (s)
4
3
~ u(t)
Rn
2
U0
1
0
0
2
4
U0
u (V)
6
=
8
9
Nelineární obvody – malý a velký signál
5
=
i 0,1 ⋅ u
Rn
2
R
3
2
P
1
0
0
u~
Velký signál – nelinearita
se uplatní –> zkreslení
průběhu
4
ii(A)
(A)
i (A)
4
5
3
2
Srovnání s průběhem pro
lineární odpor R
1
2
4
u (V)
6
8
0
0
1
2
6
6
3
t (s)
4
5
6
i(t)
5
5
t (s)
4
4
u~
3
~ u(t)
Rn
2
U0
1
0
0
2
4
U0
u (V)
66
=
88
10
Nelineární obvody – spektrum
~
U0
=
u(t)
=
i 0,1 ⋅ u
3
5
2.5
4
2
3
1.5
2
1
1
0.5
0
0
2
i (A)
u~
u (V)
i(t)
6
1
2
3
t (s)
4
5
0
0
6
u ( t )= 3 + 2sin (ωt )
2
s (t)
4
6
i ( t ) = 0,1 ⋅ u 2 = 0,1( 3 + 2sin (ωt ) )
2
=
1,1 + 1, 2sin (ωt ) − 0, 2 cos ( 2ωt )
Uk
U0=3 V
spektrum u (t)
Ik
I1=1,2 A
U1=2 V
0
1
k
V nelineárních obvodech dochází ke změnám ve spektru:
• vznik nových harmonických složek
• přesun energie mezi harmonickými složkami
I0=1,1 A
spektrum i (t)
I2=0,2 A
0
1
2
k
11
Způsoby analýzy nelineárních obvodů
i
U
R
un = ki 2
Rn
~
ki 2 + Ri =
U
Analytické řešení
Zde např. kvadratická rovnice
Grafické řešení
Hledáme proud i obvodem.
u
Numerické řešení
Zde např. metoda
zatěžovací přímky
Rn
U
Zde např. Newtonova iterace
f ( i ) = ki 2 + Ri − U = 0
i( k +=
1)
(
)
i( ) −
f ′ ( i( ) )
~R
f i( k )
k
k
0
i
U
R
i
12
Způsoby analýzy nelineárních obvodů
Vychází z nelineárních rovnic
• obyčejných (u nesetrvačných, rezistorových obvodů)
• diferenciálních (u setrvačných obvodů, obsahujících C, L)
Analytický výraz
Tabulka
Graf charakteristiky
Analytické řešení
Náhradní funkce
Numerické řešení
Grafické řešení
Způsob analýzy volíme podle:
• druhu obvodu (nesetrvačný × setrvačný)
• velikosti signálu (malý × velký)
• účelu - jaké jevy chceme sledovat (pracovní bod, přechodné jevy, ustálený stav,
stabilita, ... )
• podle způsobu popisu nelinearity obvodu (charakteristiky ve formě tabulek nebo grafů,
aproximace analytickým výrazem).
13
Náhradní funkce
• Charakteristiky y = f(x) (např. i = f(u), Φ = f(i) apod.) jsou určeny většinou
měřením:
– jsou uvedeny v tabulce nebo grafu
– mohou být nepřesné (zatíženy nejistotou měření)
– známe pouze konečný počet bodů charakteristiky
• Proto se používá náhradní funkce, kterou lze získat:
– Interpolací (funkce prochází zvolenými body)
– Aproximací (funkce nemusí procházet zvolenými body)
y
aproximační funkce fa(x)
interpolační funkce fi(x)
0
x
14
Náhradní funkce
Vždy jde o kompromis
Hledá se dostatečná přesnost a přitom co nejjednodušší náhradní funkce
Význam
• Jednodušší výpočet f (x )
• Výpočet f (x ) i mimo určené body
• Výpočet derivace funkce
• Výpočet (přibližného) integrálu (třeba při řešení diferenciální rovnice)
Nejčastější náhradní funkce
• přímka - linearizace
• lomená přímka - linearizace po částech
• polynom (y = a0+a1x+a2x2+…)
• exponenciální funkce (y = a·ex)
• funkce arctg(x) - pro magnetické obvody – B = f (H ), Φ = f (i )
15
Interpolace
Interpolační funkce
(polynom 2. stupně)
y
0
Původní funkce
(body)
x
• Zpravidla jednodušší polynom (1. až 3. stupně)
• Shoduje se v n+1 bodech pro polynom n-tého stupně
• Ostatní body se neuvažují  může zde být velká odchylka od původní
funkce
• Jde tedy o „hrubý odhad“
16
Interpolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Požadujeme, aby se polynom přesně shodoval s původním průběhem v n+1 bodech
interpolační funkce
25
yi =a0 + a1 x + a2 x 2
20
a0 + a1 x3 + a2 x32 =
y3
y
15
X: 3
Y: 9
10
a0 + a1 x2 + a2 x2 =
y2
2
X: 2
Y: 4
5
0
původní funkce
X: 4
Y: 16
a0 + a1 x1 + a2 x12 =
y1
0
1
2
x
3
4
a0 + a1 x1 + a2 x12 =
y1
a0 + a1 x2 + a2 x2 2 =
y2
a0 + a1 x3 + a2 x32 =
y3
5
Koeficienty (a0, a1, a2) získáme řešením soustavy rovnic
17
Interpolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Příklad 1
Pro křemíkovou diodu byly v propustném směru naměřeny hodnoty viz tabulka.
∆u 0,1V
Určete interpolační polynom 2. stupně pro pracovní bod P1: U=
P1 0,6 V, =
u (V)
0,20
0,40
0,50
0,55
0,60
0,625
0,65
0,675
0,70
i (A)
0
0
0,0005
0,004
0,02
0,20
0,45
0,60
1,0
ii =a0 + a1u + a2u 2
Vandermontova matice:
a0 + a1u1 + a u =
i1
a0 + a1 0,5 + a2 0,5 =
0,0005 1 0,5 0,52   a0   0,0005 

=


2 
2
2
a
⋅
1
0,6
0,6
0,02
a0 + a1u2 + a2u2 =
i2 a0 + a1 0,6 + a2 0,6 =
0,02
1

   

2
1 0,7 0,7   a2   1,0 
a0 + a1u3 + a2u32 =
i3
a0 + a1 0,7 + a2 0,7 2 =
1,0


   
2
2 1
2
1
ii ( P1) = 48, 025 u − 52, 6325 u + 14,3105
2
i (A)
0.5
0
-0.5
0.5
0.55
0.6
u (V)
0.65
0.7
18
Interpolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Příklad 1
Pro křemíkovou diodu byly v propustném směru naměřeny hodnoty viz tabulka.
∆u 0,1V
Určete interpolační polynom 2. stupně pro pracovní bod P1: U=
P1 0,6 V, =
u (V)
0,20
0,40
0,50
0,55
0,60
0,625
0,65
0,675
0,70
i (A)
0
0
0,0005
0,004
0,02
0,20
0,45
0,60
1,0
ii =a0 + a1u + a2u 2
Vandermontova matice:
1 0,6 0,62   a0   0,02 

=


2 
a
⋅
1
0,65
0,65
0,
45

  1 

2




1 0,7 0,7  a2
1,0






1
ii ( P1) = 48, 025 u − 52, 6325 u + 14,3105
2
ii ( P2 ) =24 u 2 − 21, 4 u + 4, 22
0.5
i (A)
Pro jiný pracovní bod P2:
=
U P2 0, 65 V=
s ∆u 0, 05 V
0
-0.5
0.5
0.55
0.6
u (V)
0.65
0.7
19
Aproximace přímkou
(linearizace)
i
i
y=
a0 + a1 x
a
Obecné přímce i = f(u) nebo u = f(i)
odpovídají lineární zdroje:
u
P
0
U0
směrnice
Gd=1/Rd
u
Rd
U0
i
u
i
I0
I
u
Gd
U
I0
•
•
•
Aproximace je určena dvěma parametry: a0 a a1
Linearizací převedeme obvod na lineární – možnost použití známých metod
řešení lineárních obvodů (zjednodušování, MUN, MSP …)
Platí jen pro pracovní bod P a jeho blízké okolí – pro malý signál
20
Linearizace po částech
stabilizační dioda
dioda
Uz
Up
0
 u < Up

i=
i
u ≥ Up
Gd ( u − U p ) =
Up
G ( u − U )  u ≤ U z
z
 d
0
 u ∈ (U z ;U p )


Gd ( u − U p )  u ≥ U p
21
Aproximace polynomem ya =a0 + a1 x + a2 x 2 + a3 x3 + ...
Hledáme koeficienty a0, a1, a2,….
Kvadratická parabola
ia =a0 + a1u + a2u
Kubická parabola
ua = a0 + a1i + a2i 2 + a3i 3
2
2
i =0, 4 − 0, 4u + 0,1u 2
1.5
u (V)
i (A)
1.5
2
1
0.5
0
0
u =+
1 0,5i − 2i 2 + i 3
1
0.5
2
u (V)
4
6
0
0
0.5
1
i (A)
1.5
2
22
ya = A e Bx
Aproximace exponenciální funkcí
• Aproximace je určena dvěma parametry: A a B
• Exponenciální závislost je typická pro polovodičové přechody PN
i
Polovodičová dioda
 qu 
=
i I s  e kT − 1
D
Příklad :
u
0
Úbytek napětí na křemíkové diodě při T = 300 K je u = 0,7 V při protékajícím
proudu i = 1,3 A. Určete parametry exponenciální aproximační funkce.
Řešení: k je Boltzmannova konst., q je elementární náboj, z toho parametr B
je q/(kT), pro T=300 K je B = 38,68 V-1.
Is
=
i
=
q
u
e kT − 1
1,3
-12
2,2619
10
A
=
⋅
q
e k ⋅300
0,7
−1
ia =
2,2619 ⋅10-12 ( e38,68⋅u − 1)
23
Aproximace – kritéria shody
• Kritérium shody udává podobnost aproximační funkce a
původní funkce, porovnávají se jednotlivé odchylky ∆
• Při hledání koeficientů aproximační funkce (AF) máme tyto
možnosti:
2
min {∑ ∆ i }
– Metoda nejmenších čtverců
– Čebyševova aproximace
(minimum největší z odchylek AF)
min {max ∆ i }
y
aproximační funkce
∆i
0
x
24
Aproximace metodou nejmenších čtverců
původní funkce
y
y − ya
∑ ( y j − ya ( x j ) )
m
2
=
min
j =1
aproximační funkce
0
x
• Neshoduje se přímo v daných bodech (bodů je libovolný počet)
• Minimální suma čtverců odchylek mezi naměřenými a aproximovanými
hodnotami ve všech zadaných bodech
• Omezí se tak velké odchylky průběhu v daných bodech
• Metoda má jednoznačné řešení
25
Aproximace metodou nejmenších čtverců
• Pro výpočet koeficientů aproximační funkce se zavede
účelová (kriteriální) funkce
=
σ
∑ ( y j − ya ( x j ) )
m
2
j =1
• Hledáme minimum kriteriální funkce = všechny parciální
derivace podle jednotlivých koeficientů musí být rovny nule
• Parciálních derivací je tolik, kolik je neznámých koeficientů
hledané aproximační funkce
26
Aproximace metodou nejmenších čtverců
linearizace
Je zadáno m bodů [x,y]
Metodou nejmenších čtverců hledáme koeficienty a0 a a1
rovnice přímky, aproximující těchto m bodů
Účelová funkce je
σ ( a0 , a1 )=
y=
a 0 + a1 x
a
m
∑ ( y j − a1x j − a0 )
2
j =1
Parciální derivace této funkce položíme rovny nule (hledáme minimum):
m
∂σ ( a0 , a1 )
0
= 2∑ a1 x j + a0 =
− yj
∂a0
j =1
(
)
m
∂σ ( a0 , a1 )
= 2∑ a1 x j + a0 − y=
0
j xj
∂a1
j =1
(
Podobně lze postupovat i pro
polynomy vyšších stupňů
)
m
m
m
0
∑ a1x j + ∑ a0 − ∑ y j =
=j 1
m
=j 1 =j 1
m
m
2
a1 x j + a0 x j − y j x j
=j 1 =j 1 =j 1
∑
 m

 ∑ x j
∑
∑
=
0
∑ x j  a0   ∑ y j 
⋅
=


2 a 
∑ x j   1  ∑ y j x j 
27
Aproximace metodou nejmenších čtverců
linearizace
Proložte přímkou následující soubor
m = 5 hodnot.
y= a + a x
a
xj
0
yj
5
1
3
3
3
5
2
0
1
Příklad 2
6
=
ya 4, 415 − 0,538 x
5
4
y 3
6
2
1
1
0
0
j
xj
yj
xj2
xjyj
1
0
5
0
0
2
1
3
1
3
3
3
3
9
9
4
5
2
25
10
5
6
1
36
6
Σ
15
14
71
28
1
 m

 ∑ x j
2
3
x
4
5
6
7
∑ x j  a0   ∑ y j 
⋅
=


2 a 
∑ x j   1  ∑ y j x j 
 5 15   a0  14 
15 71 ⋅  a  =
 

  1   28
 a0   4, 415 
 a  =  −0,538

 1 
28
Čebyševova aproximace
(nejmenší maximální odchylka)
původní funkce
y
musí být menší než zvolené ∆max
aproximační funkce
0
x
• Neshoduje se přímo v daných bodech (bodů je libovolný počet)
• Je definována odchylka mezi funkcemi (původní a aproximační), která
nesmí být nikde v daném intervalu překročena
• Metoda se někdy nazývá minimax
• Nalezení aproximační funkce pomocí ČA není jednoduché
29
Aproximace v Excelu
• Používá metodu nejmenších čtverců
• Funkci lze aproximovat přidáním spojnice trendu (menu Graf)
– Lineární nebo polynomická aproximace
• Lze zobrazit i rovnici regrese (záložka Možnosti)
y = f(x)
10
9
10
y = 0.4606x3 - 1.6801x2 + 2.8024x + 0.1288
89
78
Y
Y
67
Řada1
6
5
5
4
4
3
3
polynom
y =3.st.
f(x)
22
11
00
00
0.5
0.5
11
1.5
1.5
22
X
X
2.5
2.5
3
3
3.5
3.5
X
0
0.5
1
44
1.5
2
2.5
3
3.5
Y
0
1.4
1.8
1.9
2.5
4
6
9
30
Extrapolace
• Extrapolace je odhad funkční hodnoty y pro x ležící mimo interval
známých bodů
• Platí jen pro blízké okolí známých bodů, mimo ně může být
extrapolace velmi nepřesná
Aproximační funkce
y
(polynom 2. stupně)
y0
Původní funkce
(body)
extrapolovaný bod
rozsah známých hodnot
0
x0
x
Máme určit y0=f(x0)
• provede se aproximace známých bodů
• hodnotu x0 dosadíme do aproximační funkce
31
Extrapolace
příklad postupu pro kvadratický polynom
Jsou známy tři naměřené body charakteristiky křemíkové diody
v propustném směru.
Určete hodnotu proudu pro u = 0,85 V.
Příklad 3
u (V)
0
0,75
0,80
0,85
i (A)
0
0,05
0,13
0,22
Určíme interpolační polynom 2. stupně:
ia =a0 + a1u + a2u 2
1
0
0   a0   0 

=


2 
a
⋅
1
0,75
0,75
0,05

  1 

2




1 0,80 0,80  a2
0,13






0.6
0.5
2
ia
1,917 u − 1,371u
2
Dosazením do aproximační funkce
extrapolujeme hodnotu pro u = 0,85 V:
ia
1,917 ( 0,85 ) − 1,371
=
⋅ 0,85 0, 2198 A
2
0,22
i (A)
Řešením Vandermontovy matice dostaneme:
0.4
=
ia 1,917 u 2 − 1,371u
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
0.2
0.4
0.6
u (V)
0.8
1
0,85
32
Metody řešení nelineárních obvodů
Analytické řešení
•
•
•
Linearizace +
analytické řešení
Grafické metody
Numerické metody
nelineární prvek popsán analytickým výrazem
pouze pro speciální případy (polynomy lze řešit do
4. stupně, většina nelineárních rovnic není analyticky
řešitelná)
většinou pro demonstraci zvláštních vlastností
nelineárních obvodů
• používá metod známých z řešení lineárních obvodů
• metoda postupného zjednodušování
• metoda zatěžovací přímky
• metoda tří rovin
• metoda půlení intervalu
• metoda Regula falsi
• metoda tečen (Newtonova metoda)
33
Metody řešení nelineárních obvodů
Analytické řešení
Pouze speciální případy:
• prvek musí být popsán analytickým výrazem
• nejčastěji polynom 1. až 3. řádu, 4. řád obtížně, 5. řád nelze analyticky řešit
Příklad
i
i
Určete proud obvodem
un = ki
2
R
un
un
U
Rn
U
Rn
un + Ri − U =
0
ki 2 + Ri − U =
0
− R ± R 2 + 4kU
i1,2 =
2k
U = 10 V
R= 10 Ω
un = 20 i 2
Numericky:
i1
20 i 2 + 10 i − 10 =
0
i = 0,5 A
i2
−10 ± 100 + 800  −1 A
=
i1,2 = 
40
Fyzikální smysl má pouze kladné řešení
0,5 A
34
Metody řešení nelineárních obvodů
AV charakteristika polovodičové diody
i
R
U
U
D
UD
 qu 
=
i I s  e kT − 1
UD + R ⋅ I −U =
0
D
0
u
 kqT U D 
U D + R ⋅ IS  e
− 1 − U =
0


Transcedentní rovnice – nelze analyticky řešit!
Možnosti:
• Grafické řešení
• Numerické řešení
• Aproximace (např. eX  x2 nebo linearizace)
35
Metody řešení nelineárních obvodů
linearizace + analytické řešení
Příklad 4
Linearizovaný model Si diody v propustném směru má parametry Ud = 0,48 V, Rd = 0,3 Ω.
Dioda je napájena ze zdroje U = 3 V, R = 2 Ω. Jaké je napětí na diodě?
i
R
D
U
U
~1/Rd
Rd
UD
D
U
Ud
0
R
U
U
ID
Rd
Ud
UD
U
Ud
u
RI D + Rd I D + U d − U =
0
I D ( R + Rd ) =
U −Ud
=
ID
U − U d 3 − 0, 48
= = 1, 096 A
R + Rd
2 + 0,3
U D = U d + Rd I D = 0, 48 + 0,3 ⋅1, 096 = 0,809 V
36
Metody řešení nelineárních obvodů
linearizace + analytické řešení
Příklad 5
Stabilizátor napětí je zatížen odporem R2 = 250 Ω. Určete napětí U2 na zátěži, má-li linearizovaný
model stabilizační diody v závěrném směru parametry: Uz = 5,7 V, Rd = 2 Ω. Stabilizátor je napájen
zdrojem U = 10 V, R1 = 100 Ω.
R1
U
U
D
R2
U2
Pomocí MSP:
∆2
I=
= 0, 02296A
S2
∆
U
Uz
R2
U2
U
U2
Rd
Uz
IS2
U
=
U 2 R=
5, 739 V
2 I S2
 R1 + Rd
 −R
d

U
U
Pomocí MUN:
R1
U IS1
Rd
Uz
U
D
Linearizovaný obvod
R1
Rd
− Rd   I S1  U − U z 
⋅
=
R2 + Rd   I S2   U z 
−2   I S1  10 − 5, 7 
100 + 2
⋅  =
 −2

 5, 7 
I
250
+
2

  S2  

R2
G1 Gd
I
U
10
=
I =
= 0,1 A
R1 100
Iz
=
I
I
Iz
G2
U2
U z 5, 7
= = 2,85 A
Rd
2
−1
G1 100
0, 01S
=
=
−1
G2 250
=
= 0, 004 S
−1
G=
2=
0,5 S
d
( G1 + G2 + Gd )U 2 =I + I z
0,514 ⋅U 2 =
2,95
U 2 = 5,739 V
37
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zjednodušování
UR
I
U
Sériové spojování
R
URn
Rn
U
Rn
i
=
I I=
I Rn
R
=
U U R + U Rn
R
I1
URn
U
R+Rn
U
R+Rn
i
R+Rn
UR
I
I
U
I2
I3
0
u
0
U
u
38
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zjednodušování
I
IR
U
U
I
Paralelní spojování
R
IRn
=
U U=
U Rn
R
Rn
U
U
=
I I R + I Rn
R||Rn
i
i
R||Rn
I
IR
0
U3
U2
IRn
U1
R
R||Rn
I
Rn
u
0
U
u
39
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
R
U
Rn
U
u
i
Rn
U0 = U
u
Q
URn
0
Ri + u − U =
0
IRn
Zatěžovací přímka
Ik =
U
R
i
u=
− Ri + U
• Pro lineární zdroj U+R sestrojíme zatěžovací přímku (tj.
→ rovnice přímky y =
a1 x + a0 závislost svorkového napětí na odebíraném proudu) u=f(i).
Napětí
naprázdno
Proud
nakrátko
i =0 ⇒ U 0 =U
u = 0 ⇒ Ik =
U
R
• Vycházíme:
• napětí naprázdno U0
• z proudu nakrátko Ik
• Průsečík s charakteristikou nelineárního odporu je pracovní
bod Q
40
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
R1
U
U
R2
Ri
IRn
Rn
URn
IRn
Ui
U
Rn
URn
• Uvedený postup lze aplikovat i na jiný libovolný obvod, složený
• z lineární části
• z nelineárního prvku
• Lineární část obvodu nahradíme náhradním zdrojem Ui, Ri (Thèveninova věta), tím
získáme elementární snadno řešitelný obvod.
41
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
Ri = konst. měníme Ui
Ui = konst. měníme Ri
I
Ui
I
Ri
Rn
U
Ui
URn
i
Rn
Q2
Q1
U i1
U i2
U i3
u
URn
Rn
Ui
Ri3
Ui
Ri2
Ui
Ri1
Q3
0
Rn
U
i
U i3
Ri
U i2
Ri
U i1
Ri
Ri
Q3
Q2
Q1
0
Ui
u
42
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: zatěžovací přímka
Příklad použití: vyšetření činnosti stabilizátoru napětí
I
∆U1
U2
U1
U
u
U1′
U1′′
U1′′′
0
R
D
I ′′′ = U1′′′/ R
• Změna napětí zdroje ∆U1 způsobí jen malou
změnu napětí na stabilizační diodě ∆U2
• Obvod se chová jako stabilizátor napětí
• Tzv. „činitel stabilizace“ s je:
Q
D
I ′′ = U1′′ / R
∆U 2
I ′ = U1′ / R
i
∆U1 / U1
s=
∆U 2 / U 2
43
Metody řešení nelineárních obvodů
grafické metody: metoda 3 rovin
Příklad použití: zkreslení harmonického průběhu na nelineárním rezistoru.
5
A-V
charakteristika
4
3
i (A)
i (A)
4
2
1
1
2
4
u (V)
6
8
5
4
t (s)
0
0
1
2
u(t)
6
u(t) je sinusové
(harmonické) + U0
3
2
0
0
i(t)
5
i(t)
u~
3
U0
0
0
2
U0
4
u (V)
6
8
4
5
6
i(t) je
NEharmonický
~ u(t)
Rn
2
1
3
t (s)
=
Napětí U0 určuje polohu pracovního bodu.
44
Metody řešení nelineárních obvodů
Numerické metody
Numerické metody řešení rovnice = hledání kořenů rovnice
• Řešíme rovnici v homogenním tvaru
f(x)=0
•
•
•
f(x) •
Graficky jde o hledání průsečíků funkce f s osou x
Průsečíků může existovat více, je tedy třeba nejprve řešení rozdělit na intervaly
s jediným kořenem (tzv. separace kořenů)
V dalším budeme předpokládat, že v zadaném intervalu ∆x existuje jediný
kořen
k = pořadí iterace
Numerická metoda je založena na iteračním postupu
(
x( k +1) = F x( k ) , x( k −1) ,
)
x
∆x
0
nový odhad
hodnoty
funkce
minulých
odhadů
45
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: půlení intervalu
•
•
•
•
•
•
Nejjednodušší metoda, vždy konverguje, ovšem je pomalá
Předpoklad: známe interval řešení (a, b) a v něm je jediný kořen x
Interval (a, b) rozdělíme na poloviny
Předpokládáme kořen x(k) vždy uprostřed intervalu
Určíme nový poloviční interval <a, b> , ve kterém leží kořen
Pokračujeme dalším půlením tohoto intervalu
x( k )
a+b
=
2
∆x/2
f(x)
∆x
( )
=
a x( k ) pokud f x( k ) ⋅ f ( b ) < 0
∆x/2
Iterace se ukončí po dosažení zadané
přesnosti, když:
b − a < 2ε
(ε je chyba)
f(b)
x
a
f(a)
0
( )
=
b x( k ) pokud f ( a ) ⋅ f x( k ) < 0
x1 x2 x0
f ( a ) ⋅ f (b ) < 0
b
x
Kořen x leží v intervalu:
 kořen leží v intervalu (a,b)
a+b
±ε
x∈
2
46
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: půlení intervalu
Příklad 6
Řešte rovnici f ( x ) = x 3 + x − 1 = 0 s chybou ε < 0,03
Odhad intervalu řešení:
Iterační
krok
x( k ) =
x ∈ 0;1
a+b
2
Ověření:
f ( 0 ) ⋅ f (1) < 0
b−a
f ( x) = x + x −1 = 0 ε =
2
3
k
a
x(k)
b
f (a)
f (x(k))
f (b)
ε
0
0
0,5
1
-1
-0,375
+1
0,500
1
0,5
0,75
̶
+
̶
+
̶
+
+
+
+
2
3
0,625
0,625
̶
0,6875
4
0,6563
5
0,6719
=
x
̶
0,75
0,6875
( 0, 672 ± 0, 016 )
̶
-0,025
Poloha kořene
ε > 0, 03
0,250
0,125
0,063
0,031
0,016
ε < 0, 03
Kontrola: f(x)0
47
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: Regula falsi
•
•
•
•
•
Podobná půlení intervalu, vždy konverguje, bývá rychlejší
Předpoklad: známe interval řešení (a, b) a v něm je jediný kořen x
Vedeme přímku body (a, f(a)) a (b, f(b)) a dostaneme průsečík x(k)
Vybereme z (a, x0), (x0, b) ten interval, ve kterém leží kořen x
Opět vedeme sečnu a najdeme další průsečík
=
b x( k ) pokud f ( a ) ⋅ f ( x( k ) ) < 0
b−a
x( k )= b −
f (b)
f (b) − f ( a ) =
a x( k ) pokud f ( x( k ) ) ⋅ f ( b ) < 0
f(x)
Iterace se ukončí, když: x( k ) − x( k −1) < ε
Zde ε není rovno chybě!
f(b)
x
a
f(a)
0
x1
x0
b
Přibližná hodnota kořenu pak je rovna
výsledku poslední iterace:
x  x( k )
x
f ( a ) ⋅ f (b ) < 0
48
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: Regula falsi
Řešte rovnici
f ( x ) = e x + x 2 − 3 = 0 s podmínkou ε < 0,01
Odhad intervalu řešení:
x( k )= b −
Iterační
krok
Příklad 7
x ∈ 0;1
Ověření:
f ( 0 ) ⋅ f (1) < 0
b−a
f (b)
f (b) − f ( a )
=
ε x( k ) − x( k −1)
k
a
x(k)
b
f (a)
f (x(k))
f (b)
ε
0
0
0,7358
1
-2
-0,3716
0,7183
-
1
0,8259
1
-0,3716
-0,0341
0,7183
0,0901
2
0,8338
-0,0341
-0,0027
0,7183
0,0079
x  0,8338
ε < 0, 01
Kontrola: f(x)0
49
Metody řešení nelineárních obvodů
numerické metody: Newtonova metoda
•
•
•
•
x( k=
+1)
Nejefektivnější (konverguje rychle), ale nemusí vždy konvergovat
Zvolíme počáteční odhad x0
Vedeme tečnu k funkci bodem (x0, f(x0)) a dostaneme průsečík x(k)
Opět vedeme tečnu k funkci, tentokrát bodem (x1, f(x1))
(
)
x( ) −
f ′ ( x( ) )
f x( k )
k
k
df ( x )
f ′( x) =
dx
Iterace se ukončí, když:
Zde ε není rovno chybě!
Přibližná hodnota kořenu pak je
rovna výsledku poslední iterace:
f(x)
x( k +1) − x( k ) < ε
x  x( k )
Při nevhodné volbě nultého odhadu x0
iterační proces nekonverguje!
f(x0)
x1 x 2
ε
f(x1)
0
x
x0
x0 x2
x1 x3
x
Proto často kombinace:
• konvergentní (pomalá) metoda pro
nalezení přibližného hodnoty kořene
• rychlá (např. Newtonova) metoda
pro zpřesnění hodnoty
50
Metody řešení nelineárních obvodů
Newtonova iterační metoda
Určete proud následujícím obvodem:
Odhad
(0. iterace)
I
U
R
URn
Rn
U
U = 10 V
R= 10 Ω
U Rn = 20 I 2
U Rn + RI − U =
0
20 I 2 + 10 I − 10 =
0
f ( i ) = 20i + 10i − 10
2
f ′ (=
i ) 40i + 10
i( k +=
i( k ) + ε ( k )
1)
(
)
ε( ) = −
f ′ ( i( ) )
f i( k )
k
Příklad 8
k
i(k)
ε(k)
0
1
-0,4
1
0,6
-0,0941
2
0,5059
-0,0059
3
0,5000
-2,3E-5
4
0,5000
-3,5E-10
k
ε (k ) = −
20i(2k ) + 10i( k ) − 10
I = 0,5 A
40i( k ) + 10
51
Srovnání rychlosti konvergence
Příklad 9
Určete numericky napětí na Si diodě. Předpokládáme napětí
Ud = 0,6 - 0,7 V. Výpočet je třeba provést s chybou pod 1 mV.
R
U
U
I
D
UD
U =5 V
R 150 Ω
=
id = 2 ⋅10−12 e38⋅ud A
Ud + R ⋅ I −U =
0
U d + 150 ⋅ 2 ⋅10−12 e38⋅U D − 5 =
0
Rovnici f(u) pro srovnání vyřešíme:
1) metodou půlení intervalu
2) Newtonovou metodou
f ( u ) = 3 ⋅10−10 e38⋅u + u − 5
df ( u )
′
f (u ) = =
114 ⋅10−10 e38⋅u + 1
du
52
Příklad 9
Srovnání rychlosti konvergence
1) Půlení intervalu
( )
f u( k ) =⋅
3 10
6 iterací
−10 38⋅u( k )
e
+ u( k ) − 5
k
a
u(k)
b
f(a)
f(u(k))
f(b)
ε
0
0,6
0,65
0,7
-2,00649
11,65276
102,6928
0,05
1
0,6
0,625
0,65
-2,00649
1,813925
11,65276
0,025
2
0,6
0,6125
0,625
-2,00649
-0,5387
1,813925
0,0125
3
0,6125
0,61875
0,625
-0,5387
0,499317
1,813925
0,00625
4
0,6125
0,615625
0,61875
-0,5387
-0,05029
0,499317
0,003125
5
0,615625
0,617188
0,61875
-0,05029
0,216406
0,499317
0,001562
6
0,615625
0,616406
0,617188
-0,05029
0,081092
0,216406
0,000781
3 iterace
2) Newtonova metoda
k
u(k)
ε(k)
0
0,65
-0,01913
1
0,630869
-0,01141
2
0,619456
-0,0033
3
0,616152
-0,00022
u( k=
u( k ) −
+1)
3 ⋅10−10 e
38⋅u( k )
114 ⋅10−10 e
Napětí na diodě je
+ u( k ) − 5
38⋅u( k )
+1
U d = 0, 616 V
53
Konec
Kolejní 2906/4
612 00 Brno
Tel.: 541 149 521
Fax: 541 149 512
e-mail: [email protected]
54
Download

Nelineární prvky a obvody - UTEE